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Rapport de stage Master 2 MFA / Stage 3A - IM, Mines de Nancy Etude de schémas de volumes finis colocalisés pour Navier-Stokes faiblement compressible Ibrahim Zangré ENSMN - Département du Génie Industriel-Ingénierie Mathématique UHP - Master 2 MFA Stage effectué au CEA CADARACHE DEN/DER/SSTH/LDAL du 1 er Mars 2010 - 1 er Octobre 2010 Tuteurs Universitaires : M. Xavier ANTOINE, Professeur INPL ; M. Antoine HENROT, Professeur INPL. Tuteur CEA : M. Michel BELLIARD, Ingénieur Chercheur CEA.

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Rapport de stage Master 2 MFA /Stage 3A - IM, Mines de Nancy

Etude de schémas de volumes finis

colocalisés pour Navier-Stokes

faiblement compressible

Ibrahim ZangréENSMN - Département du Génie Industriel-Ingénierie Mathématique

UHP - Master 2 MFA

Stage effectué au CEA CADARACHEDEN/DER/SSTH/LDAL

du 1er Mars 2010 - 1er Octobre 2010

Tuteurs Universitaires : M. Xavier ANTOINE, Professeur INPL ;M. Antoine HENROT, Professeur INPL.

Tuteur CEA : M. Michel BELLIARD, Ingénieur Chercheur CEA.

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Avertissement

L’Ecole des Mines de Nancy et l’Université Henri Poincaré n’entendent donner aucune approbationni improbation au contenu et aux opinions émises dans ce rapport. Ces opinions doivent être considéréescomme propres à leur auteur.

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Remerciements

Je voudrais d’abord remercier Michel BELLIARD de m’avoir acceuilli chaleureusement dans sonéquipe de recherche au CEA Cadarache. Il m’a été d’un grand soutien tout au long de ce stage, enme faisant bénéficier de son expérience dans les Mathématiques appliquées et l’analyse numérique. Il atoujours été disponible et nos discussions m’ont toujours été enrichissantes, personnellement et profe-sionnellement.

Mes remerciements vont à Marc GRANDOTTO pour m’avoir toujours aidé à résoudre mes problèmesinformatiques.

Un grand merci à Benjamin DUPLEX qui a été d’une écoute, disponible, avec qui j’ai passé demoments amicaux. Je lui souhaite un bon courage pour la suite de sa thèse.Je remercie également l’ensemble des cherheurs et chercheuses du laboratoire de développement et d’ap-plications locales.

J’adresse également un grand merci à mes collègues stagiaires, Nicola, Simon et Olivier, avec qui j’aipassé un petit bout du chemin. J’ai passé 7 mois agréables avec eux. Merci ! Et bonne chance dans leursrecherches d’emplois pour certains et dans la suite de leurs études pour d’autres.

Je tiens à remercier Xavier ANTOINE et Antoine HENROT pour leur soutien, leur écoute et leursconseils indéfectibles durant ces trois dernières années. Ils m’ont fait partager leur passion pour les ma-thématiques appliquées (Saviez-vous que je suis venu aux Mines de Nancy dans l’intention d’étudier leGénie Civil ?). C’était un grand plaisir.

Enfin, je dis un grand merci à toute ma famille, qui m’a toujours soutenu et encouragé jusque là.Malgré la distance et tant d’années passées loin d’elle, elle reste ma source inépuisable de motivationset de volonté.

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A mes parentsA mes frères et sœursA Flore.

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ETUDE DE SCHEMAS DE VOLUMES FINIS COLOCALISESPOUR NAVIER-STOKES FAIBLEMENT COMPRESSIBLE

Résumé

Ce stage est composé de six grandes parties et est dédié à la résolution numérique des équations deNavier-Stokes incompressibles et faiblement compressibles par des méthodes elliptiques de type "correc-tion de pression".

Dans le premier chapitre, nous présentons le système d’équations de Navier-Stokes pour un fluidecompressible ou incompressible, sous forme physique ou variationnelle.

Dans le second chapitre nous présentons la méthode de projection en volumes finis colocalisés (i.e.qu’on cherche une approximation numérique de la vitesse et la pression aux mêmes nœuds du maillage)pour un fluide incompressible dans un domaine rectangulaire et avec un maillage structuré cartésien.Nous considérons des conditions de bord de type Dirichlet pour la vitesse (Le schéma s’adapte aisementaux autres conditions aux limites possibles). Nous discutons également dans cette parties des différentstypes de discrétisations et interpolations spatiales et surtout, du type d’interpolation de la vitesse surles interfaces pour obtenir un meilleur couplage entre la vitesse et la pression.

Nous donnons dans le troisième chapitre, les algorithmes des méthodes elliptiques de type correctionde pression adaptés pour un fluide faiblement compressible (barotrope ou dilatable).

Le chapitre quatre est consacré à la présentation de la mise en œuvre informatique des schémas deprojection décrits dans les précédents chapitres.

Enfin, dans les chapitres cinq et six, nous réalisons quelques simulations numériques par des exemplesd’écoulements incompressibles et faiblement compressibles pour illustrer ces schémas numériques.

Mots clés : Méthodes elliptiques - Méthodes volumes finis - Variables colocalisées - Méthodes deprojection - Schéma incrémental - Maillage structuré cartésien - Stabilité - Convergence - Equations deNavier-Stokes.

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STUDIES ON COLOCATED FINITE VOLUMES SCHEMESFOR WEAKLY COMPRESSIBLE NAVIER-STOKES EQUATIONS

Abstract

This thesis is composed with six chapters and it purpose is the numerical resolution of the Navier-Stokes equations for an incompressible or weakly compressible flow with elliptical methods, speciallypressure correction methods.

In the first chapter, we present the Navier-Stokes equations for an incomressible or compressiblefluid, in physical or variationnal form.

In the second chapter, we present the projection method with colocated finite volumes as spatialdiscrétisation (the velocity and the pressure are located in he same space) in a rectangular domain andcartesian structured mesh. We use a Dirichlet boundary conditions (the scheme can easily be adaptedfor any others boundary conditions). Spatial discretisations and interpolations are discussed, mainly, thevelocity fluxes interpolation is important to ensure a well coupling between the velocity and the pressure.

The third chapter presents the elliptical methods algorithms adapted for weakly compressible fluid(barotropic or dialatable).

The chapter four describes the numerical implementation of these schemes in the Fortran 90 pro-gramming language.

Finally, in the chapters five and six, to illustrate this schemes, we realise few numerical examplesand simulations.

Key words : Elliptical methods - Finite volumes methods - Colocated variables - Projection methods- Incremental scheme - Cartesian structured mesh - Stability - Convergence - Navier-Stokes equations.

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Table des matières

Introduction 6

0 Présentation du CEA Cadarache 70.1 Le CEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.2 Le CEA Cadarache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.3 Contexte du stage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 Équations de Navier-Stokes - Méthodes de résolution 111.1 Formulation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Formulation faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Méthodes de Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Méthodes de projection en volumes finis colocalisés 162.1 Discrétisation temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2 Schéma volumes finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Discrétisation spatiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Discrétisation des termes des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Schéma de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Calcul des flux intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Initialisation de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Résultats de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1 Contrôle de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6.2 Contrôle de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Méthodes elliptiques pour le compressible en V.F. colocalisés 323.1 Stabilité des schémas numériques en compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2 Fluides compressibles barotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.3 Fluides dilatables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Organisation du code de calcul 35

5 Exemples numériques pour des écoulements incompressibles 424.1 Ecoulement de Poiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.1 Problème unidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.1.2 Résolution par méthode de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2 Ecoulement dans un coude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.1 Influence des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2 Stabilité du schéma temporel explicite pour la convection . . . . . . . . . . . . . . 555.2.3 Stabilité du schéma spatial centré pour la convection . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.4 Méthode de stabilisation de Rhie & Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2.5 Estimations d’ordre de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

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5.3 Cavité entraînée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 Exemples numériques pour des écoulements compressibles 72

Conclusion 75

Références 78

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Introduction

Ce stage s’inscrit dans le projet de Recherhe & Développement numérique du programme NEPTUNE,co-dévellopé par le CEA, EDF, AREVA et l’IRSN. Ce programme concerne la simulation thermohydrau-lique des centrales nucléaires à travers la réalisation de codes de calcul en mécanique des fluides. L’axeprincipal de la recherche concerne la mise en œuvre de méthodes numériques basées sur des maillagesstructurés cartésiens pour bénéficier des avantages qui en résultent : facilité de la mise en œuvre desolveurs basés, par exemple, sur les méthodes de volumes finis (VF), formulation tensorielle naturelle,bonnes propriétés de convergence...

L’objectif de ce travail est l’étude et l’implémentation des schémas en volumes finis (VF) colocaliséspour la résolution des équations de Navier-Stokes faiblement compressibles. Il fait suite à une précé-dente étude bibliographique des schémas de type "correction de pression" pour Navier-Stokes faiblementcompressible [1].

L’un des avantages des volumes finis colocalisés est que toutes les variables (vitesse et pression) sontrecherchées dans le même espace vectoriel discret, apportant ainsi une simplification considérable dansla mise en œuvre même sur des maillages complexes [2]. Des méthodes de domaines ficitifs ont été dé-veloppées dans le cadre du programme NEPTUNE pour résoudre des problèmes de convection-diffusiondécrivant le bilan énergétique dans un générateur de vapeur. Elles consistent à immerger le domainephysique (en général complexe) dans un domaine ficitif de forme plus simple (cartésien par exemple)qui devient le domaine de calcul. On utilise ensuite un maillage structuré cartésien avec les bonnes pro-priétés qui le caractérisent. Il ne reste ensuite qu’à prendre en compte les conditions sur les frontièresimmergées (par pénalisation par exemple) pour recouvrer sur le domaine physique, la solution du pro-blème originel [3]. D’où l’intérêt d’une discrétisation VF en variables colocalisées qui permet l’utilisationd’une méthode de raffinement local de maillage (AMR) afin d’obtenir une bonne précision au niveau desfrontières immergées.Cette étude est consacrée à la résolution numérique de l’écoulement d’un fluide incompressible ou fai-blement compressible dans un générateur de vapeur. On s’intéressera aux méthodes de type elliptiqueavec correction pression pour Navier-Stokes, en maillage cartésien et en variables colocalisées [1, 4].

Ce travail est organisé de la manière suivante. Dans la première partie, nous présenterons les équationsde navier-Stokes sous forme différentielle ou variationnelle pour un fluide incompressible ou compressible.Nous y rappelons aussi de manière non exhaustive quelques méthodes de résolution des équations deNavier-Stokes. La deuxième partie est consacrée à la présentation détaillée d’une de ces méthodes : laméthode de projection qui est une méthode de marche en temps fractionnaire permettant de découplerle calcul de la vitesse et de la pression. Nous présentons aussi l’algorithme de cette méthode avec unediscrétisation spatiale utilisant un maillage cartésien structuré et une méthode de VF colocalisés.Dans la troisième partie, nous étendons cette méthode de projection en VF colocalisés pour un fluidefaiblement compressible (par exemple dilatable). Toutes ces méthodes ont été implémentées dans solveurFICTITIOUS qui comprenait déjà un code de calcul utilisant des méthodes de domaines fictifs pour desproblèmes de type convection-diffusion. Dans la quatrième nous présentons l’organisation de ce code decalcul écrit en Fortran 90.Enfin, les cinquième et sixième parties sont consacrées à l’illustration de ces méthodes par des exemplesnumériques en incompressible et en compressible respectivement. Quelques propriétés numériques de cesalgorithmes telles que la stabilité, la vitesse de convergence, l’ordre de convergence..., y sont discutées.

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0 Présentation du CEA Cadarache

0.1 Le CEA

Le CEA (Commissariat à l’Energie Atomique et aux énergies alternatives) est un centre public derecherche scientifique et d’innovations en matière d’énergie, de défense, des technologies pour l’infor-mation, des sciences de la vie et de la santé, implanté dans 9 sites en France (5 sites civils et 4 sitesmilitaires, cf. figure 1). Créé en Octobre 1945 par le Général Charles de Gaulle , le CEA a pour mis-sion de développer les énergies nucléaires et ses méthodes de retraitement, ainsi que de participer auxprogrammes de Défense nationale. C’est aussi un organisme au statut d’EPIC (Etablissement Public àCaractère Industriel et Commercial). Les outils exceptionnels mis à sa disposition (supercalculateurs,réacteurs de recherche, lasers de puissance...) font du CEA un acteur majeur de la recherche fondamen-tale et technologique en France et au niveau internationnal.Le CEA comprend trois grandes divisions :

– La Direction Générale dirigée par l’Admistrateur Général.– La Direction des Pôles Fonctionnels qui s’occupe de la maîtrise du risque, de la stratégie et relations

extérieures, de la gestion, des systèmes d’information, des ressources humaines et de la formation.– La Direction des Pôles Opérationnels, responsable des programmes de recherche er développement.

Depuis, on compte cinq principales branches :

1. La Direction de l’Energie Nucléaire (DEN)

2. La Direction des Applications Militaires (DAM)

3. La Direction des Sciences de la Matière (DSM)

4. La Direction des Sciences du Vivant (DSV)

5. La Direction de la Recherche Technologique (DRT)

Chaque direction fonctionnelle est divisée en départements, services, laboratoires... J’ai effectué monstage au DEN/DER/SSTH/LDAL : c’est le Laboratoire de Dévellopement et Apllications à l’EchelleLocale du Service de Simulation en Thermo-Hydraulique, du Département d’Etude des Réacteurs (dela Direction de l’Energie Nucléaire).

On compte également plusieurs instituts tels que :– L’IRSN : Institut de Radiospection et de Sûreté Nucléaire. Il effectue des recherches d’expertises

sur les risques nucléaires et radiologiques.– L’INSTN : Institut National des Sciences Techniques et Nucléaires. Il s’agit d’un établissement

d’enseignement rattaché au CEA à travers lequel il s’engage à fournir des formations propres à sathématique de recherche.

Le CEA en chiffres (2009)1 :– 15718 salariés– 51 Unités mixtes de Recherche– 1360 doctorants et 289 post-doct– 3,9 milliards d’euro de budget– 585 dépôts de brevets proritaires (d’innovation)– 4079 publications en 2008 dans des revues à comité de lecture.

1www.cea.fr

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Fig. 1 – Cartes des sites du CEA en France. Les centres civils sont : Fontenay-aux-Roses (92), Saclay (91), Grenoble(38), Cadarache (13), Marcoule et Pierrelate.

0.2 Le CEA Cadarache

Cadarache est un centre d’étude nucléaire créé en 1959 dans la commune de Saint-Paul-Lez-Durance(Bouches du Rhônes). Il occupe une superficie d’environ 1600 hectares et emploie environ 4500 salariés.Avec 20 installations nucléaires de base, abritant ainsi près de la moitié des installations nucléaires duCEA, Cadarache s’affiche comme l’un des plus importants centres de recherche électronucléaires avecses réacteurs expérimentaux à faible puissance.Il se fait pour objectif, la recherche et développement (R&D) technologique essentiellement pour l’énergienucléaire (fission et fusion), la maîtrise du risque nucléaire, la recherche sur le conditionnement desdéchets radioactifs ainsi que sur l’écophysiologie végétale et la microbiologie. Ses recherches répondentégalement aux objectifs suivants :

– Améliorer la compétitivité et la durée de vie des réacteurs nucléaires actuellement en fonctionne-ment (dits de deuxième génération).

– Participer au développement de la troisième génération de réacteurs comme celle des EPR (Euro-pean Pressurized Reactors).

– Participer également aux recherches sur les réacteurs nucléaires du futur.Ainsi Cadarache dispose-t-il du premier grand tokamak de recherche (Tore Supra) au monde doté d’unaimant supraconducteur. Il abrite également le projet de constrction du réacteur expérimental RJH(Réacteur Jules Horowitz), qui est un projet européen de recherche en énergie nucléaire.De plus ITER (International Thermonuclear Experimantal Reactor), est un grand projet de constructiond’un prototype de réacteur nucléaire à fusion à proximité de Cadarache. Ce projet a pour objectif devérifier la faisabilité scientifique et technique de la fusion nucléaire comme source d’énergie du futurpratiquement sans impact sur l’environnement. Puisque 16% de l’électricité produite dans le monde estd’origine nucléaire (ce taux est de 76% en France), l’énergie nucléaire et les énergies alternatives serontamenées à remplacer les énergies fossiles (pétrole, charbon...).

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0.3 Contexte du stage

Une centrale nucléaire est une usine de production électrique qui utilise la fission nucléaire pourproduire de la chaleur, et celle-ci est ensuite transformée en électricité. Une centrale nucléaire de typeREP (Réacteur à Eau sous Pression) est formée d’une chaudière nucléaire et d’une installation thermiquedont le but est de chauffer de l’eau afin d’obtenir de la vapeur. La pression de la vapeur fait tourner uneturbine à grande vitesse, laquelle entraine un alternateur qui produit alors de l’électricité (cf. figure 2).

Fig. 2 – Fonctionnement d’une centrale nucléaire.

Dans les centrales nucléaires REP le processus de production d’électricité dans une centrale nucléaireest le suivant :

– Circuit primaire :L’énergie libérée lors la fission nucléaire dans le coeur du réacteur est transférée sous forme dechaleur à l’eau qui entoure le combustible nucléaire. Cette eau joue le rôle de fluide caloporteur entransportant la chaleur produite par la fission hors du réacteur.

– Circuit secondaire :L’eau du circuit primaire sort du réacteur à très haute température (environ 320 C). Elle estmaintenue sous pression (155 bars), ce qui l’empêche de bouillir. Elle est utilisée pour chauffer uneeau non irradiée dans un générateur de vapeur (GV). Cette eau est portée à ébullition, libérant dela vapeur qui va entraîner un turbo-alternateur pour produire de l’électricité. Cette vapeur passeensuite dans un condensateur où elle redevient liquide et renvoyée à l’échangeur thermique.

– Circuit de refroidissement :Il assure le refroidissement du condensateur.

Le générateur de vapeur [3] :L’évaporateur du GV est un cylindre d’environ 10 m de haut et 3 m de diamètre. Il contient 2500 à

3000 tubes en forme de U renversé de 1 cm de diamètre. L’eau chaude sous pression du circuit primaireentre dans la partie basse du GV, appelée boîte à eau primaire. Elle circule ensuite dans les milliersde tubes en forme de U renversé et échange de la chaleur avec l’eau du circuit secondaire qui circule àl’extérieur des tubes. L’eau du circuit secondaire à 230 C et 60 bars s’échauffe au contact du faisceaude tubes et se vaporise pour donner un mélange diphasique à 280 C. Le taux de présence de la partiegazeuse atteint 80% dans la partie haute du faisceau de tubes, zone de cintres appelée chignon (cf. figure3).

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Fig. 3 – Principe de fonctionnement d’un GV.

Le générateur de vapeur est une partie très importante de la centrale nucléaire. L’efficacité del’échange thermique entre le l’eau du circuit primaire et celle du circuit secondaire détermique le tauxde vaporisation et donc de la puissance mécanique délivrée à l’arbre de la turbine.L’étude du bilan énergétique d’un générateur de vapeur a déjà été réalisée en utilisant des méthodes dedomaines fictifs sur des maillages structurés cartésien [3]. On s’intéresse ici au problème d’écoulementde l’eau du circuit secondaire dans le GV autour du faisceau de tubes.

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1 Équations de Navier-Stokes -Méthodes de résolution

Les équations de Navier-Stokes sont un système d’équations aux dérivées partielles (EDPs) nonlinéaires de la mécanique des fluides qui gouvernent l’écoulement d’un fluides dans un milieu continu.La formulation forte de ces équations s’écrit comme suit.

1.1 Formulation différentielle

Soient Ω un ouvert (qu’on suppose borné) de Rd, d = 2, 3 de frontière ∂Ω lipschitzienne, n la normale

unitaire extérieure à cette frontière et un intervalle de temps [0, T ], avec T > 0.L’écoulement d’un fluide est alors gouverné par le système suivant :

Équation de continuité (ou équation de bilan de la masse)

∂ρ

∂t+∇. (ρu) = 0. (1)

Équation de bilan de la quantité de mouvement

∂t(ρu) +∇. (ρu⊗ u) +∇p−∇.τ = f . (2)

Équation de bilan de l’énergie

∂t(ρH) +∇. (ρHu)−∇.

(τu)

+∇. (q)− r =∂p

∂t+ f .u. (3)

où :• les variable u (m.s−1) et p (Pa) sont respectivement la vitesse (eulerienne) et la pression du fluide ;• ρ désigne la masse volumique du fluide (kg.m−3) ;• τ ≡ (τi,j) est le tenseur des contraintes visqueuses (Pa). Pour un fluide newtonien il est donné

par :

τ = 2µε+ (κ− 2

3µ)(∇.u)I, (4)

où µ (Pa.s) est la viscosité dynamique du fluide, κ (Pa.s) sa viscosité secondaire (que l’on négligepar la suite), I le tenseur unitaire et ε le tenseur de cisaillement donné par :

ε =1

2(∇u +∇ut); (5)

• f (N.m−3) désigne la résultante des forces volumiques appliquées au fluide (ρG par exemple, oùG est le champ de gravité) ;

• H = h+ 12 |u|

2 est l’enthalpie spécifique totale du système (J.kg−1) ; on considère l’équation d’étatd’un gaz parfait :

e =p

ρ(γ − 1), h =

γp

ρ(γ − 1)

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γ =cpcv, cp =

γ − 1, cp =

r

γ − 1,

où e est l’énergie interne spécifique, h l’enthalpie spécifique, cp et cv sont les capacités calorifiquesà pression constante et à volume constant respectivement.

• q est le flux de chaleur échangé par conduction thermique (J.m−2.s−1) ;• r désigne la chaleur volumique de rayonnement (J.m−3.s−1) ;• t ∈ (0, T ) représente le temps (s).

Un fluide est dit incompressible lorsque la dérivée lagrangienne de sa masse volumique est invariante aucours du temps, c’est à dire que sa dérivée particulaire est nulle, soit :

∂ρ

∂t+ u.∇ρ = 0. (6)

Sauf précision, on considérera par la suite que ρ est une constante dans le cas incompressible. Leséquations de bilan de masse et de quantité de mouvement sont alors simplifiées et découplées de l’équationde l’énergie :

∇.u = 0 dans Ω× (0, T ),

∂u

∂t− ν∆u + (u.∇)u +

1

ρ∇p =

f

ρdans Ω× (0, T ).

(7)

Dans le cas compressible, les équations de bilan de masse et de quantité de mouvement sont coupléesavec l’équation de bilan d’énergie et/ou une des équations d’état.

1.2 Conditions aux limites

L’équation (2) peut être récrite sous la forme :

∂t(ρu) +∇.(ρu⊗ u)−∇.σ = f , (8)

où σ est la contrainte mécanique définie par (avec la condition divu = 0) :

σ = τ − pI = µ(∇u +∇uT)− pI. (9)

Soient Γ une partie de la frontière du domaine de calcul Ω et t1, t2 deux vecteurs unitaires tangents à Γ, desorte que (n, t1, t2) forme un repère local. On écrit qu’au voisinage de Γ, la vitesse s’écrit : u = (un, ut)(un est la composante normale et ut la composante tangentielle). Plusieurs types de conditions auxlimites (C.L.) peuvent être envisagés pour les problèmes d’écoulement modélisés par les équations deNavier-Stokes. On pésente ici les plus généralement utilisées :

Conditions de type Dirichlet sur u. La vitesse du fluide est imposée sur la frontière (ou paroi) dudomaine :

u = g sur Γ. (10)

Il peut s’agir d’une condition d’adhérence (non glissement) due à la viscosité (Γ est une paroi fixeou mobile) ou une condition d’entrée.

Conditions de glissement à la paroi :

u = g sur Γ. (11)

Conditions de non-imperméabilité

u.n = un = 0 sur Γ. (12)

12

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Contrainte mécanique imposée :σn = g sur Γ, (13)

soit :∣∣∣∣∣∣

2µ∂nun − p = gn

µ (∂t1un + ∂nut1) = gt1

µ (∂t2un + ∂nut2) = gt2

(14)

Cette condition est utilisée pour modéliser une sortie libre. Pression imposée :

p = pD

sur Γ. (15)

On peut utiliser une condition de ce type pour une frontière de sortie de l’écoulement plutôt qu’unecondition sur la contrainte mécanique à priori difficile à choisir.

1.3 Conditions initiales

Il faut finalement compléter le système (7) en ajoutant une condition initiale de type :

u(x, 0) = u0(x) et p(x, 0) = p0(x) dans Ω, (16)

où u0 et p0 sont deux fonctions données. Lorsque u0 et p0 ne sont pas spécifiées, on peut initialiser leschéma numérique par des fonctions simples, par exemple :

u0 = u−1 := 0 et p0 = p−1 := pD

(17)

qui toutefois présentent l’inconveniant de n’être pas mécaniquement compatibles au sens où le couple(u0, p0) ne vérifie pas le système de Navier-Stokes. Il peut donc être avantageux de rechercher un étatinitial qui soit mécaniquement compatible (voir section ).

1.4 Formulation faible

On rappelle la définition des espaces de fonctions à valeurs dans un espace de Banach V. Pour r ≥ 1on définit :

Lr(0, T ;V ) =

v : [0, T ]→ V ; v est mesurable2 et

∫ T

0‖v(t)‖rV dt < +∞

Ces espaces sont munis de la norme

‖u(t)‖Lr(0,T ;V ) =

(∫

Ω‖u(t)‖rV dt

) 1r

.

On pose V = [H10 (Ω)]d et Q = L2

0(Ω) = L2(Ω)/R =

q ∈ L2(Ω);

Ωqdx = 0

. Soient f ∈

L2(0, T, [L2(Ω)]d

)et u0 ∈ [L2(Ω)]d. La formulation variationnelle des équations de Navier-Stokes dans

le cas d’un écoulement incompressible s’écrit (avec une condition de Dirichlet homogène sur ∂Ω pour lavitesse) :

Trouver u ∈W (0, T ) =

v ∈ L2(0, T,V );

dv

dt∈ L2

(0, T,V

′)

,

p ∈ L2(0, T, L2

0(Ω)), tels que p.p. t ∈ (0, T ), on a :

2La fonction v est mesurable au sens de Bochner (fortement mesurable) si elle est limite presque partout d’une suite defonctions tages dans V : il existe vk : [0, T ] → V, tages telle que vk(t) → v(t) dans V , p.p. t ∈ [0, T ].

13

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(du

dt(t),v

)+ νa (u,v) + c (u(t),u(t),v)− 1

ρb (p(t),v) =

1

ρ(f ,v) ∀v ∈ V , (18)

b (q,u(t)) = 0 ∀q ∈ Q, (19)

u(0) = u0. (20)

où a(., .), b(., .) et c(., ., .) sont respectivement des formes bilinéaires et trilinéaire définies par :

a(v,w) = 〈∇v,∇w〉 =∫

Ω∇v : ∇wdx où ∇v : ∇w =

d∑

i,j=1

∂vi

∂xj

∂wi

∂xj,

b(q,v) = (q,∇.v) ,

c(v,w,z) = ((v.∇) w,z) ,

où v,w et z sont dans l’espace des vitesse V et q dans l’espace des pressions Q. Ces formes bilinéairesa(., .) et b(., .) sont continues respectivement sur V × V et Q × V et la forme trilinéaire c(., ., .) estcontinue sur V × V × V .Les propriétés suivantes des formes bilinéaires a(., .) et b(., .) sont aisées à établir :

a(., .) est coercive :

il existe α > 0 tel que a(v,v) ≥ α ‖v‖2V∀v ∈ V . (21)

Cela s’obtient en faisant une intégration par parties puis en se servant de l’inégalité de Poincaré 3. b(., .) satisfait la condition ’inf-sup’ :

il existe γ > 0 tel que supv∈V

v 6=0

b(v, q)

‖v‖V

≥ γ ‖q‖Q ∀q ∈ Q, i.e. infq∈Q

q 6=0

supv∈V

v 6=0

b(v, q)

‖v‖V‖q‖Q

≥ γ. (22)

Cela découle directement de la définition de la forme b et du résultat suivant :

Lemme 1. (Nečas)[5]Il existe une constante c > 0 telle que :

pour tout q ∈ L2 (Ω) , il existe v ∈[H1 (Ω)

]dtel que :

divv = q et ‖v‖[H1(Ω)]d

≤ c ‖v‖L2(Ω) .

Si de plus, q vérifie

Ωqdx = 0, alors on peut prendre v ∈

[H1

0 (Ω)]d

.

La constante γ peut être prise égale à1

Il est connu que cette formulation variationnelle (18)-(20) admet une unique solution en dimension d ≤ 3[6].Afin d’avoir d’avoir une approximation numérique de la solution, on remplace ce problème par un“problème approché” posé dans des espaces de dimensions finies. La méthode générale d’approximationvariationnelle de Galerkin de (18)-(20) considère alors des sous-espaces vectoriels de dimensions finiesV h ⊂ V et Qh ⊂ Q. Le “problème approché” consiste à :

Trouver uh ∈ L2(0, T,V h)

ph ∈ L2 (0, T,Qh) , tels que p.p. t ∈ (0, T ), on a :

(duh

dt,vh

)+ νa (uh,vh) + c (uh,uh,vh)− 1

ρb (ph,vh) =

1

ρ〈f ,vh〉 , ∀vh ∈ Vh, (23)

b (qh,uh) = 0, ∀qh ∈ Qh, (24)

uh(0) = u0. (25)

3∃ c1 > 0;∀ϕ ∈ H10 (Ω), ‖ϕ‖L2(Ω) ≤ c1‖∇ϕ‖L2(Ω)

14

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Le choix des espaces discrèts Vh et Qh est très important pour garantir l’existence, l’unicité et la stabilitéde ph ∈ L2 (0, T,Qh). Cela est assuré par la condition inf-sup qui n’est pas généralement satisfaite parles espaces Vh et Qh, surtout lorsqu’on choisit des polynômes d’interpolation de même degré pour lavitesse et la pression (variables colocalisées).En supposant que Vh et Qh satisfont une condition inf-sup discrète, c’est à dire :

infqh∈Qhqh 6=0

supvh∈Vhvh 6=0

b(vh, qh)

‖vh‖Vh‖qh‖Qh

≥ γh > 0, (26)

alors le problème discrèt (23)-(25) admet une solution unique (vh, ph) ∈ Vh ×Qh.Dans notre cas nous utiliserons comme discrétisation spatiale, un schéma de volumes finis colocalisés.Dans ce cas, le dégré des polynômes d’interpolation des espaces d’approximation Vh et Qh est le même.Un tel choix ne respecte pas en général (voire jamais) la condition (26) ci-dessus et ne garantit donc pasla stabilité du problème discret (il n’y a plus d’estimation à priori de la pression).Il existe plusieurs techniques de stabilisation pour garantir un contrôle de la pression lorsque des va-riables colocalisées sont employées. En général ces techniques consistent à l’ajout d’un terme correctif etconsistant à l’équation de continuité.La stabilisation à la Brezzi-Pitkäranta considère un terme de correction en laplacien de pression (divu =ε∆p) [1, 7, 8].La méthode de stabilisation par clusters [1, 9] est une variante du Brezzi-Pitkäranta et permet de re-trouver une condition du type inf-sup lorsque les variables sont colocalisées.D’autres méthodes considèrent une pénalisation de la condition d’incompressibilité par un terme en

pression-divu = εp- ou par la dérivée temporelle de la pression-divu = −ε∂p∂t

(compressibilité artifi-

cielle), le coeficient ε étant choisi très petit (ε≪ 1).Nous présenterons dans la section 2.4 une méthode de stabilisation proposée par Rhie & Chow [10].Elle consiste en une ré-interpolation des flux de vitesse en introduisant une correction en terme pressionpermettant un meilleur couplage entre la vitesse et la pression.

1.5 Méthodes de Résolution

Dans cette étude on s’intéresse à la résolution de l’écoulement de fluides faiblement compressibles.En général, pour des fluides compressibles, on utilise une grande classe de méthodes dites hyperboliques,basées sur la résolution de problème d’ondes ainsi que du problème de Riemann [11].Nous abordons d’abord des méthodes de résoultions pour les fluides incompressibles dites méthodeselliptiques . L’objectif est d’étendre ces méthodes pour les fluides faiblement compressibles (barotropeou dilatable).Les difficultés liées à la résolution des équations de Navier-Stokes pour un fluide incompressible résidentdans la présence de termes non linéaires (termes de convection) et dans la contrainte d’incompressibilitéqui couple ainsila vitesse et la pression.Le problème des termes non linéaires peut être résolu en utilisant une méthode de type quasi-Newtonou en linéairisant la vitesse d’advection.

Pour le problème lié à la contrainte d’incompressibilité et au couplage vitesse-pression, on peututiliser les deux grandes méthodes suivantes :

– Les méthodes de résolution couplée ou semi-couplée (méthodes de Lagrangien augmenté, de com-pressibilité artificielle ou d’Uzawa, ...)

– Les méthodes de résolution découlpée : méthodes de projections.

15

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2 Méthodes de projection en volumesfinis colocalisés

Dans cette partie nous nous intéressons à la résolution des équations de Navier-Stokes pour un fluideincompressible dont nous supposons la masse volumique et la viscosité constantes. Nous supposonségalement une condition de Dirichlet (10) sur ∂Ω. La difficulté majeure dans la simulation numériquedes écoulements incompressibles est due au coupalge des variables (vitesse,pression) par la contrainted’incompressibilité. D’où l’intérêt d’utiliser une méthode de projection qui permet de découpler le calculde la vitesse et de la pression à travers des EDPs elliptiques.La méthode de projection, introduite à la fin des années 60 par A.J. Chorin[12, 13] et R. Temam[14],est très utilisée pour la discrétisation temporelle des équations de Navier-Stokes. Nous l’appliquons icipour une discrétisation spatiale en volumes finis colocalisés.

2.1 Discrétisation temporelle

Soit T > 0 et Nt un entier non nul. On définit le pas de temps par ∆t :=T

Nt. Pour k = 0, 1, ..., Nt,

on considère uk comme l’approximation de u au temps tk = k∆t. Pour la discrérisation temporelle, onchoisit un schéma d’Adams-Bashforth d’ordre 2 en ∆t pour les termes non linéaires et un schéma deCrank-Nicholson (qui est aussi d’ordre 2) pour les termes linéaires :

un+1 − un

∆t− ν∆

(un+1 + un

2

)+ β

(un,un−1

)+

1

ρ∇(pn+1 + pn

2

)=

fn+1 + fn

2ρ,

un+1∣∣∂Ω

= gn+1,

divun+1 = 0

(27)

avec n = 1, ..., Nt − 1 et β(un,un−1

)=

3

2(un.∇) un − 1

2

(un−1.∇

)un−1, la discrétisation d’Adams-

Bashfort du terme non linéaire.Pratiquement, la méthode de projection est une marche en pas de temps fractionnaire qui découplel’équation de Navier-Stokes de la contrainte d’incompressibilité. A chaque pas de temps, on calcule dansun premier temps une vitesse intermédiaire à travers un sous-pas de convection-diffusion que l’on noteun+ 1

2 :

un+ 12 − un

∆t− ν∆

(un+ 1

2 + un

2

)

+ β(un,un−1

)+

1

ρ∇pn =

fn+1 + fn

2ρ,

un+ 12

∣∣∂Ω

= un+1∣∣∂Ω

= gn+1.

(28)

Dans cete étape de prédiction du champ de vitesse, on suppose qu’on a ∆un+ 12 ≃ ∆un+1. On y a aussi

levé la contrainte d’incompressibilité, le champ un+ 12 n’est donc pas à divergence nulle. En combinant

(27) et (28), on a :

16

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un+1 − un+ 12

∆t= − 1

2ρ∇δpn+1 avec δpn+1 = pn+1 − pn,

un+1∣∣∂Ω.n = un+ 1

2

∣∣∂Ω.n = gn+1.n,

divun+1 = 0

(29)

Dans (29), on peut aussi écrire : un+1 = un+ 12 −∆t

2ρ∇δpn+1. Cela correspond à une correction du champ

un+ 12 par le gradient de l’incrément de pression δpn+1 qu’il va falloir donc calculer. Ainsi, dans un

deuxième temps on projette la vitesse intermédiaire dans un espace de fonctions à divergence nulle. Enévaluant la divergence de l’équation précédente, on a :

0 = divun+1 = divun+ 12 − div∆t

2ρ∇δpn+1, i.e. div

∆t

2ρ∇δpn+1 = divun+ 1

2 .

Les conditions aux limites sur δpn+1 est obtenue en considérant la composante normale de cette équation,soit :

gn+1.n = un+1∣∣∂Ω.n = un+ 1

2

∣∣∂Ω.n− ∆t

2ρ∇δpn+1.n, i.e.

∂δpn+1

∂n

∣∣∂Ω

= 0.

On obtient ainsi le système suivant pour δpn+1 :

∆δpn+1 =2ρ

∆tdivun+ 1

2 dans Ω,

∂δpn+1

∂n= 0 sur ∂Ω.

(30)

En résumé, on calcul d’abord une vitesse intermédiaire par (28) que l’on projette ensuite sur un espacede champs à divergence nulle pour obtenir la vitesse par (29) et la pression par (30). Comme on aune discrétisation explicite du terme non linéaire (on peut aussi utiliser une discrétisation implicite pouravoir un schéma plus stable), à chaque pas de temps on résoud une EDP de type elliptique pour le champde vitesse et un problème de Poisson avec des conditions de bord de type Neumann pour la pression.Un autre avantage de la méthode de projection est que la condition d’incompressibilité est satisfaite enarithmétique exacte.

Remarque 1. La méthode de projection décrite ici est dite incrémentale. Cette version peut atteindrel’ordre 2 en ∆t [15, 16]. Il exite aussi une version non incrémentale dans laquelle la pression n’est pasprise en compte dans l’étape de prédiction.Il s’agit de la version originale introduite par Chorin et Temam et qui est au mieux d’ordre 1 en ∆t.Considérons maintenant un schéma d’Euler semi-implicite (on peut utiliser d’autres types de schémaspour la convection-diffusion), l’algorithme devient :

un+1 − un

∆t− ν∆un+1 +

(un+1.∇

)un+1 +

1

ρ∇pn+1 =

fn

ρ,

un+1∣∣∂Ω

= gn+1,

divun+1 = 0.

(31)

Prédiction (toujours sous l’approximation ∆un+ 12 ≃ ∆un+1) :

un+ 12 − un

∆t− ν∆un+ 1

2 +(un+ 1

2 .∇)

un+ 12 =

fn

ρ,

un+ 12

∣∣∂Ω

= gn+1.

(32)

17

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Projection :

∆pn+1 =ρ

∆tdivun+ 1

2 dans Ω,

∂pn+1

∂n= 0 sur ∂Ω.

(33)

Correction :

un+1 − un+ 12

∆t= −1

ρ∇pn+1 (34)

Mais cette formulation introduit de façon forte une condition de Neumann qui n’est pas physique [17].Ainsi pour ce schéma, la condition de Neumann satisfaite par la pression :

∂pn+1

∂n=∂pn

∂n= · · · = ∂p0

∂n= 0, sur ∂Ω (35)

n’est pas nécessairement satisfaite par la solution exacte de (7). La présence de la condition de Neumanndétruit en partie la précision de l’approximation de la pression (qui peut se limiter à O(1) [16]), bien que

l’approximation de la vitesse ne semble pas affectée [18, 19]. De plus un+ 12 ne satisfait plus entièrement

aux conditions de bord du problème de Navier-Stokes (7) puisque (29) ne fixe plus que la composantenormale de la vitesse.

2.2 Schéma volumes finis

On présente ici la méthode de projection avec une discrétisation spatiale en volumes finis colocalisés.

2.2.1 Discrétisation spatiale

On se restreint à d = 2 et on utilise un domaine Ω rectangulaire : Ω = (0, L1)× (0, L2), L1, L2 ∈ R∗+.

La vitesse est alors un vecteur à deux composantes : u = (u(x, y, t), v(x, y, t)) , t ≥ 0. On pose aussif = (fu(x, y, t), fv(x, y, t)) et g = (gu(x, y, t), gv(x, y, t)). Dans la suite on suppose que Ω est discrétisé

en M×N volumes rectangulaires de même dimension ∆x∆y, avec ∆x =L1

Met ∆y =

L2

M(M et N étant

des entiers). Ces volumes sont définis par (cf. fig.4) :(Kij = [xi− 1

2, xi+ 1

2]× [yj− 1

2, yj+ 1

2])

i=1,...,M, j=1,...,N,

où :

xi+ 12

= i∆x pour i = 0, . . . ,M,

yj+ 12

= j∆y pour j = 0, . . . , N.

Les interfaces entre les volumes de contrôles sont définis par :

Γi+ 12j =

(x, y); x = xi+ 1

2et y ∈ [yj− 1

2, yj+ 1

2]

pour i = 0, . . . ,M,

Γij+ 12

=

(x, y); y = yj+ 12

et x ∈ [xi− 12, xi+ 1

2]

pour j = 0, . . . , N.

Les variables (vitesse et pression) sont dites colocalisées si elles sont discrétisées au même point, aucentre des volumes de contrôle par exemple. Elles sont censées approcher les valeurs moyennes dans lesvolumes de contrôles :

18

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uij(t) ≃1

∆x∆y

∫ xi+ 1

2

xi− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

u(x, y, t)dxdy pour la vitesse (36)

pij(t) ≃1

∆x∆y

∫ xi+ 1

2

xi− 1

2

∫ yj+1

2

yj− 1

2

p(x, y, t)dxdy pour la pression (37)

On définit également les flux de vitesse sur les interfaces :

Fui+ 1

2 j=

1

∆y

∫ yj+ 1

2

yj− 1

2

u(xi+ 12j, y, t)dy (38)

Fvij+ 1

2

=1

∆x

∫ xi+ 1

2

xi− 1

2

v(x, yj+ 12, t)dx (39)

xi− 1

2

xi+ 1

2

yj− 1

2

yj+ 1

2

©

©

©

©

©

©

©

©

© © pij

uij

vij

Fui+ 1

2 j

Fvi+ 1

2 j

Kij

Γi− 1

2j

Γij+ 1

2

∆y

∆x

Fig. 4 – Maillage en volumes finis colocalisés.

Remarque 2. Pour simplifier le traitement des conditions aux limites, on introduit de plus les cellulesfictives suivantes :

(K0j = [x− 1

2, x 1

2]× [yj− 1

2, yj+ 1

2] et KM+1j = [xM+ 1

2, xM+ 3

2]× [yj− 1

2, yj+ 1

2]

)

j=1,...,N(Ki0 = [xi− 1

2, xi+ 1

2]× [y− 1

2, y 1

2] et KiN+1 = [xi− 1

2, xi+ 1

2]× [yN+ 1

2, yN+ 3

2]

)

i=1,...,M

avec : x− 12

= −∆x, xM+ 32

= L1 + ∆x, y− 12

= −∆y et yN+ 32

= L2 + ∆y.

2.2.2 Discrétisation des termes des équations de Navier-Stokes

Dans cette section on présente la discrétisation en volumes finis du schéma de projection présenté plushaut. Le principe de la méthode des volumes finis est d’intégrer l’EDP dans chaque cellule de contrôle.L’intégrale de chacun des termes de l’EDP est approchée par une formule de quadrature numérique.Selon l’approche développée dans [20], pour i = 1, . . . ,M, j = 1, . . . , N , on trouve :

19

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Pour le terme de dérivation en temps dans (27) :

Kij

∂u

∂t|t

n+ 12

dxdy ≃∫

Kij

un+ 12 − un

∆tdxdy = ∆x∆y

un+ 1

2ij − un

ij

∆t. (40)

Pour l’opérateur de Laplace appliqué à la vitesse dans (28) et à l’incrément de pression dans (30) :

Kij

∆udxdy =

∂Kij

∂u

∂ndγ

≃ ∆y

[ui+1j − uij

∆x+

ui−1j − uij

∆x

]+ ∆x

[uij+1 − uij

∆y+

uij−1 − uij

∆y

](41)

Si la viscosité n’est pas une constante d’espace µ = µ(x, y) et µij = µ(xi, yj) avec xi =xi− 1

2+ xi+ 1

2

2et

yj =yj− 1

2+ yj+ 1

2

2, alors le terme de diffusion est donné par :

Kij

div(µ(x, y)(∇u +∇uT)

)dxdy =

∂Kij

µ(x, y)(∇u +∇uT

)dγ

on a :∫

∂Kij

µ(x, y)∇u(x, y) · ndγ =∑

Γ⊂∂Kij

Γµ(x, y)∇u(x, y) · nΓdγ (42)

On note par F(Γ)d

le flux le flux diffusif à travers Γ. Par conservation du flux, on peut approcher le fluxsur Γi+ 1

2j par exemple par les deux expressions suivantes :

F(Γ

i+ 12 j

)

d = µij∆yui+ 1

2j − uij

∆x/2et F

(Γi+ 1

2 j)

d = µi+1j∆yui+1j − ui+ 1

2j

∆x/2.

D’où on déduit :

ui+ 12j =

µijuij + µi+1jui+1j

µij + µi+1j.

Le flux diffusif sur la face Γi+ 12j est donc donné par :

F(Γ

i+ 12 j

)

d =2µijµi+1j

µij + µi+1j∆y

ui+1j − uij

∆x= mh(µij , µi+1j)∆y

ui+1j − uij

∆x,

où mh(a, b) =2ab

a+ b(a, b des réels non nuls) désigne la moyenne harmonique de a et b. Finalement, on

a :

Kij

div (µ∇u) dxdy ≃ mh(µi−1j , µij)∆yui−1j − uij

∆x+mh(µij , µi+1j)∆y

ui+1j − uij

∆x

+ mh(µij−1, µij)∆yuij−1 − uij

∆x+mh(µij , µij+1)∆y

uij+1 − uij

∆x. (43)

Le terme∫

Kij

div(µ∇uT

)dxdy est calculé de la même manière. Pour le gradient de pression, on a :

Kij

∆δpdxdy ≃ ∆y

[δpi+1j − δpij

∆x+δpi−1j − δpij

∆x

]+ ∆x

[δpij+1 − δpij

∆y+δpij−1 − δpij

∆y

]. (44)

20

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Pour le gradient de pression dans (28) et (29), posant n =

(nx

ny

), on a :

Kij

∇pdxdy =

∂Kij

(pnx

pny

)dγ ≃

∆y

[pi+1j + pij

2− pij + pi−1j

2

]

∆x

[pij+1 + pij

2− pij + pij−1

2

]

=

∆y

2[pi+1j − pi−1j]

∆x

2[pij+1 − pij−1]

(45)

en utilisant une interpolation linéaire pour évaluer la pression sur les bords du volume de contrôle. Onpourrait aussi utiliser une interpolation quadratique. Dans ce cas on a :

Kij

∇pdxdy ≃

∆y

2[3(pi+1j − pi−1j)− (pi+2j − pi−2j)]

∆x

2[3(pij+1 − pij−1)− (pij+2 − pij−2)]

(46)

Pour le terme de divergence dans (30), le théorème de Green-Ostrogradski donne :∫

Kij

divudxdy =

∂Kij

u · ndγ

≃[∆y(Fu

i+ 12 j− Fu

i− 12 j

)+ ∆x

(Fv

ij+ 12

− Fvij− 1

2

)](47)

En utilisant également une interpolation linéaire de la vitesse sur les faces de la cellule, une discéti-sation du terme non linéaire est donnée par :

Kij

(u.∇)udxdy =

Kij

(∂x(u2) + ∂y(vu)∂x(uv) + ∂y(v

2)

)dxdy (en utilisant la condition divu = 0)

=

∂Kij

((u2)nx + (vu)ny

(uv)nx + (v2)ny

)dγ

∆yFui+1

2 j

ui+1j + uij

2−∆yFu

i− 12 j

uij + ui−1j

2

∆yFui+1

2 j

vi+1j + vij

2−∆yFu

i− 12 j

vij + vi−1j

2

(48)

+

∆xFvij+ 1

2

uij+1 + uij

2−∆xFv

ij− 12

uij + uij−1

2

∆xFvij+ 1

2

vij+1 + vij

2−∆xFv

ij− 12

vij + vij−1

2

.

Remarque 3. La discrétisation précédente utilise un schéma centré (interpolation linéaire sur les faces)pour calculer les flux de vitesse sur les faces. Cette discrétisation du terme convectif est très souventinstable. On peut limiter ces instabilités en utilisant une discrétisation décentrée (ou upwind). Si de plusρ = ρ(x, y), on a :

21

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Kij

div (ρu⊗ u) dxdy =

Kij

(∂x(ρu2) + ∂y(ρvu)∂x(ρuv) + ∂y(ρv

2)

)dxdy

=

∂Kij

((ρu2)nx + (ρvu)ny

(ρuv)nx + (ρv2)ny

)dγ (49)

≃ mh(ρi−1j , ρij)∆yFui− 1

2 j

[ui− 1

2j

]+mh(ρij , ρi+1j)∆yFu

i+ 12 j

[ui+ 1

2j

]

+ mh(ρij−1, ρij)∆xFvij− 1

2

[uij− 1

2

]+mh(ρij , ρij+1)∆xFv

ij+ 12

[uij+ 1

2

].

avec :

ui± 12j =

ui±1j si Fu

i± 12 j· nx ≥ 0

uij sinon

uij± 12

=

uij±1 si Fv

ij± 12

· ny ≥ 0

uij sinon.

On peut aussi linéariser le terme de convection en utilisant une discrétisation temporelle semi-implicite :

Kij

(un.∇) un+1dxdy ≃ ∆yFnu

i+12 j

[un+1

i+ 12j

]−∆yFn

ui− 1

2 j

[un+1

i− 12j

]

+ ∆xFnv

ij+ 12

[un+1

ij+ 12

]−∆xFn

vij− 1

2

[un+1

ij− 12

]. (50)

où un+1i± 1

2j

et un+1ij± 1

2

sont des interpolations de un+1 sur les interfaces.

Remarque 4. Pour i = 1, . . . ,M et j = 1, . . . , N , les conditions aux limites de Dirichlet pour un+ 12

s’écrivent :

un+ 1

212j

= gn+112j, u

n+ 12

M+ 12j

= gn+1M+ 1

2j, u

n+ 12

i 12

= gn+1i 12

, un+ 1

2

iN+ 12

= gn+1iN+ 1

2

, (51)

Ce qui permet de définir les valeurs moyennes dans les cellules fictives définies à la remarque (2) par :

un+ 1

20j + u

n+ 12

1j

2= gn+1

12j,

un+ 1

2Mj + u

n+ 12

M+1j

2= gn+1

M+ 12j

(52)

un+ 1

2i0 + u

n+ 12

i1

2= gn+1

i 12

,u

n+ 12

iN + un+ 1

2iN+1

2= gn+1

N+ 12j

(53)

avec :

gn+112j

=1

∆y

∫ yj+1

2

yj− 1

2

gn+1(0, y)dy, gn+1M+ 1

2j

=1

∆y

∫ yj+ 1

2

yj− 1

2

gn+1(L1, y)dy,

gn+1i 12

=1

∆x

∫ xi+1

2

xi− 1

2

gn+1(x, 0)dx, gn+1iN+ 1

2

=1

∆x

∫ xi+ 1

2

xi− 1

2

gn+1(x,L2)dx.

Ainsi, pour les conditions de Dirichlet pour un+ 12 dans les discrétisations (41), on a :

∆yu

n+ 12

0j − un+ 1

21j

∆x= ∆y

gn+112j− u

n+ 12

1j

∆x

2

, ∆yu

n+ 12

M+1j − un+ 1

2Mj

∆x= ∆y

gn+1M+ 1

2j− u

n+ 12

1j

∆x

2

,

∆xu

n+ 12

i0 − un+ 1

2i1

∆y= ∆x

gn+1i 12

− un+ 1

2i1

∆y

2

, ∆xu

n+ 12

iN+1 − un+ 1

2iN

∆y= ∆x

gn+1iN+ 1

2

− un+ 1

2iN

∆y

2

. (54)

22

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Les conditions au bord de Neumann pour δpn+1 dans (30) s’écrivent :

∆yδpn+1

0j − δpn+11j

∆x= 0, ∆y

δpn+1M+1j − δpn+1

Mj

∆x= 0,

∆xδpn+1

i0 − δpn+1i1

∆y= 0, ∆x

δpn+1iN+1 − δpn+1

iN

∆y= 0. (55)

Remarque 5. Le terme de gradient de pression dans (28) est discrétisé en utilisant des différencesfinies centrées. Lorsqu’on se trouve sur une cellule de bord, interviennent les termes pn

0j , pnM+1j , p

ni0 et

pniN+1 des cellules voisines fictives. Ces derniers sont alors évalués selon une extrapolation linéaire ou

quadratique en tenant compte d’une éventuelle condition aux limites sur la pression au bord. Par exemplesi aucune condition aux limites n’est imposée sur la pression, on obtient en extrapolation

quadratique :

pn0j = 3pn

1j − 3pn2j + pn

3j , pnM+1j = 3pn

Mj − 3pnM−1j + pn

M−2j, (56)

pni0 = 3pn

i1 − 3pni2 + pn

i3, pniN+1 = 3pn

iN − 3pniN−1 + pn

iN−2,

linéaire :

pn0j = 2pn

1j − pn2j, pn

M+1j = 2pnMj − pn

M−1j, (57)

pni0 = 2pn

i1 − pni2, pn

iN+1 = 2pniN − pn

iN−1.

Maintenant si une condition Dirichlet (15) est imposée sur la frontière en x = L1, alors on a pour uneextrapolation :

quadratique :

pnM+1j =

8

3pD(L1, yj)− 2pn

Mj +1

3pn

M−1j (58)

linéaire :

pnM+1j =

3

2pD(L1, yj)−

1

2pn

Mj. (59)

2.3 Schéma de projection

On récrit ici l’algorithme global de la méthode de projection avec une discrétisation en volumes finisen variables colocalisées.

23

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Étape 1. On calcule la vitesse intermédiaire un+ 12 =

(un+ 1

2 , vn+ 12

)par :

∆x∆yu

n+ 12

ij − unij

∆t− ν

2

∆yu

n+ 12

i+1j − un+ 1

2ij

∆x+ ∆y

un+ 1

2i−1j − u

n+ 12

ij

∆x+ ∆x

un+ 1

2ij+1 − u

n+ 12

ij

∆y+ ∆x

un+ 1

2ij−1 − u

n+ 12

ij

∆y

− ν

2

[

∆yun

i+1j − unij

∆x+ ∆y

uni−1j − un

ij

∆x+ ∆x

unij+1 − un

ij

∆y+ ∆x

unij−1 − un

ij

∆y

]

+3

2

[∆yFn

ui+ 1

2 j

uni+1j + un

ij

2−∆yFn

ui− 1

2 j

unij + un

i−1j

2+ ∆xFn

vij+ 1

2

unij+1 + un

ij

2

−∆xFnv

ij− 12

unij + un

ij−1

2

]− 1

2

[

∆yFn−1u

i+12 j

un−1i+1j + un−1

ij

2−∆yFn−1

ui− 1

2 j

un−1ij + un−1

i−1j

2

+∆xFn−1v

ij+ 12

un−1ij+1 + un−1

ij

2−∆xFn−1

vij− 1

2

un−1ij + un−1

ij−1

2

]

+1

ρ

∆y

2

[pn

i+1j − pni−1j

]

∆x

2

[pn

ij+1 − pnij−1

]

= ∆x∆yfn+1

ij + fnij

2ρ. (60)

Étape 2. On calcule l’incrément de pression δpn+1 :

∆yδpn+1

i+1j − δpn+1ij

∆x+ ∆y

δpn+1i−1j − δpn+1

ij

∆x+ ∆x

δpn+1ij+1 − δpn+1

ij

∆y+ ∆x

δpn+1ij−1 − δpn+1

ij

∆y

=2ρ

∆t

[∆y

(F

n+ 12

ui+ 1

2 j− Fn+ 1

2u

i− 12 j

)+ ∆x

(F

n+ 12

vij+ 1

2

− Fn+ 12

vij− 1

2

)](61)

Étape 3. On calcule enfin les nouvelles vitesses et les nouveaux flux sur les faces en effectuant lescorrections suivantes :

∆x∆yun+1

ij − un+ 1

2ij

∆t= − 1

∆y

2

[δpn+1

i+1j − δpn+1i−1j

]

∆x

2

[δpn+1

ij+1 − δpn+1ij−1

]

(62)

Fn+1u

i+ 12 j− Fn+ 1

2u

i+ 12 j

∆t= − 1

δpn+1i+1j − δpn+1

ij

∆x(63)

Fn+1v

ij+ 12

− Fn+ 12

vij+ 1

2

∆t= − 1

δpn+1ij+1 − δpn+1

ij

∆y. (64)

Ce problème discrèt admet une et une seule solution citeFau3.

2.4 Calcul des flux intermédiaires

L’algorithme (60) permet de calculer la vitesse intermédiaire un+ 12 aux centres des cellules. Cepen-

dant dans le problème de Poisson (61) on a besoin des flux de vitesse Fn+ 1

2u et F

n+ 12

v sur les faces. Cesflux peuvent être interpolés en utilisant les valeurs aux centres des cellules. Le type d’interpolation utilisédétermine en grande partie le degré de couplage entre la vitesse et la pression. Une simple façon de faireest d’utiliser une interpolation linéaire :

24

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Fn+ 1

2u

i+ 12 j

=u

n+ 12

ij + un+ 1

2i+1j

2, (65)

Fn+ 1

2v

ij+ 12

=v

n+ 12

ij + vn+ 1

2ij+1

2. (66)

Cependant ce type d’interpolation n’est pas numériquement satisfaisante car il entraîne un découplageentre la vitesse et la pression dû au fait qu’on ait choisit les mêmes espaces d’approximations pour laviitesse et la pression. On peut s’en rendre compte en faisant une analyse du flux de vitesse ([1, 20]). Enrécrivant l’équation (60) pour la première composante de la vitesse (raisonnement identique pour l’autrecomposante), on a :

un+ 1

2ij =

(∆x∆y

∆t+ ν

∆y

∆x+ ν

∆x

∆y

)−1 [∆x∆y

∆tun

ij +ν

2

[∆y

∆xu

n+ 12

i+1j +∆y

∆xu

n+ 12

i−1j +∆x

∆yu

n+ 12

ij+1

+∆x

∆yu

n+ 12

ij−1 + ∆yun

i+1j − unij

∆x+ ∆y

uni−1j − un

ij

∆x+ ∆x

unij+1 − un

ij

∆y+ ∆x

unij−1 − un

ij

∆y

]

− 3

2

[∆yFn

ui+ 1

2 j

uni+1j + un

ij

2−∆yFn

ui− 1

2 j

unij + un

i−1j

2+ ∆xFn

vij+ 1

2

unij+1 + un

ij

2

− ∆xFnv

ij− 12

unij + un

ij−1

2

]+

1

2

[

∆yFn−1u

i+ 12 j

un−1i+1j + un−1

ij

2−∆yFn−1

ui− 1

2 j

un−1ij + un−1

i−1j

2

+ ∆xFn−1v

ij+ 12

un−1ij+1 + un−1

ij

2−∆xFn−1

vij− 1

2

un−1ij + un−1

ij−1

2

]

+ ∆x∆yfn+1

uij+ fn

uij

]

−(

∆x∆y

∆t+ ν

∆y

∆x+ ν

∆x

∆y

)−1 ∆y

(pn

i+1j − pni−1j

)(67)

On voit donc que pour une interpolation linéaire, la contribution de la pression au flux Fn+ 1

2u

i+ 12 j

est :

− ∆y

(pn

i+2j + pni+1j − pn

ij − pni−1j

),

avec =

(∆x∆y

∆t+ ν

∆y

∆x+ ν

∆x

∆y

). Ainsi dans le second membre de (61) la contribution de la pression

au terme(F

n+ 12

ui+ 1

2 j− Fn+ 1

2u

i− 12 j

)est :

− ∆y

(pn

i+2j − 2pnij + pn

i−2j

).

L’absence des termes pni+1j et pn

i−1j dans cette contribution montre qu’il n’ya pas de couplage entre ladivergence de la vitesse et la pression dans les cellules voisines. Ce qui peut entraîner des oscillationsnon physiques de la pression (souvent appelées faux modes de pression) qui n’est plus alors définie defaçon unique à une constante additive près. Comme on vient de le voire, avec le choix fait ici pour lesespaces d’approximations de la vitesse et de la pression, le problème vient de la discrétisation des termes

∇p et ∇ · u

qui sont présents dans les équations de la quantité de mouvement et de la masse. En effet pour ce typede maillage et de discrétisation, on peut construire un champ de pression p (ou u) tel que ∇p = 0ou (∇ · u = 0) (exemple d’un champ de pression en ’damier’ dont le gradient en schéma centré estnul ou d’un champ de vitesse en dents de scie dont l’interpolation linéaire sur les faces des cellules est

25

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constante [21]). L’utilisation de maillages différents pour la vitesse et la pression comme les maillagesdécalés (’staggered grids’) à longtemps été une solution pour éviter ce problème. On peut utiliser lesvariables colocalisées en calculant les flux comme suit :

Fn+ 1

2u

i+ 12 j

=

⟨1

[∆x∆y

∆tun

ij +ν

2

[∆y

∆xu

n+ 12

i+1j +∆y

∆xu

n+ 12

i−1j +∆x

∆yu

n+ 12

ij+1

+∆x

∆yu

n+ 12

ij−1 + ∆yun

i+1j − unij

∆x+ ∆y

uni−1j − un

ij

∆x+ ∆x

unij+1 − un

ij

∆y+ ∆x

unij−1 − un

ij

∆y

]

− 3

2

[∆yFn

ui+1

2 j

uni+1j + un

ij

2−∆yFn

ui− 1

2 j

unij + un

i−1j

2+ ∆xFn

vij+ 1

2

unij+1 + un

ij

2

− ∆xFnv

ij− 12

unij + un

ij−1

2

]+

1

2

[

∆yFn−1u

i+12 j

un−1i+1j + un−1

ij

2−∆yFn−1

ui− 1

2 j

un−1ij + un−1

i−1j

2

+ ∆xFn−1v

ij+ 12

un−1ij+1 + un−1

ij

2−∆xFn−1

vij− 1

2

un−1ij + un−1

ij−1

2

]

+ ∆x∆yfn+1

uij+ fn

uij

]⟩

i+ 12j

− ∆y

ρ

(pn

i+1j − pnij

)(68)

où 〈ξij〉i+ 12j

:=ξij + ξi+1j

2. Avec cette interpolation, la contribution de la pression au terme

(F

n+ 12

ui+ 1

2 j− Fn+ 1

2u

i− 12 j

)

dans (61) est :

− ∆y

(pn

i+1j − 2pnij + pn

i−1j

),

la pression et la vitesse sont ainsi mieux couplé. Cela revient à calculer les flux comme suit :

Fn+ 1

2u

i+ 12 j

=u

n+ 12

ij + un+ 1

2i+1j

2+

∆y

(pn

i+2j − 2pni+1j + pn

ij

)− ∆y

(pn

i+1j − 2pnij + pn

i−1j

), (69)

Fn+ 1

2v

ij+ 12

=v

n+ 12

ij + vn+ 1

2ij+1

2+

∆x

(pn

ij+2 − 2pnij+1 + pn

ij

)− ∆x

(pn

ij+1 − 2pnij + pn

ij−1

). (70)

L’approximation des flux en (69)-(70) est appelée interpolation ou correction de Rhie & Chow [10]. Ila été demontré que de la ré-interpolation de Rhie & Chow [10] et les maillages décalés sont équivalents[22].

Remarque 6. En dimension 3, le coefficient est donné par :

=

(∆x∆y∆y

∆t+ ν

∆x∆y

∆z+ ν

∆x∆z

∆y+ ν

∆y∆z

∆x

)

si ∆z est le pas du maillage dans la troisième direction.

Sur une frontière correspondant à une condition de Dirichlet sur la vitesse normale, u ·n = g, le fluxde vitesse sur cette frontière est égale à cette valeur Dirichlet. Le terme de correction de Rhie & Chowest donc nul sur cette frontière.

Pour des CL de u normale Dirichlet, la correction de Rhie & Chow est nulle car on le flux est alorségal à la vitesse normale de Dirichlet. Pour l’interface intérieure d’une cellule de bord la correction deRhie & Chow utilise les termes de pression pn

0j , pnM+1j, p

ni0 et pn

iN+1 que l’on extrapole linéairement selon(57)-(59)

26

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2.5 Initialisation de l’algorithme

Si on est intéressé d’atteindre un état stationnaire le plus rapidement possible, il est important dedémarrer avec des champs de vitesse qui soient plus proches de la solution du problème et en particuliermécaniquement compatibles au sens où ils vérifient

soit une équation de type Stokes :

−ν∆u0 +1

ρ∇p0 =

f

ρ∇.u0 = 0⊕ C.L.

(71)

soit une équation de type Navier- Stokes stationnaire :

−ν∆u0 +(u0.∇

)u0 +

1

ρ∇p0 =

f

ρ∇.u0 = 0⊕ C.L.

(72)

Comme il s’agit de trouver un couple (u0, p0) pour initialiser l’algorithme, il est nécessaire que cetteétape soit peu coûteuse en temps de calculs. Pour ce faire, on peut se contenter de calculer un champu0 vérifiant la condition d’incompressibilité en utilisant une décomposition du type Helmholtz-Hodge [23] (on suppose que le champ u−1 vérifie les conditions aux limites du problème) :

u−1 = u0 +∇φdivu0 = 0∂φ

∂n= 0 sur ∂Ω,

(73)

Le potentiel φ est calculé en resolvant le problème de Poisson suivant avec une condition de bordde Neumann homogène :

∆φ = divu−1 dans Ω,∂φ

∂n= 0 sur ∂Ω.

(74)

Le champ u0 est alors déduit par :u0 = u−1 −∇φ.

Notons que u0 ne satisfait pas en général les conditions aux limites du problème (7), sauf dans lecas où le prolongement par continuité de u−1 sur ∂Ω coincide avec ces conditions aux limites ; u0

satisfait alors (pour une condition de type Dirichlet : u = g sur ∂Ω), une condition du type :

u0.n = g.n.

En évaluant la divergence de la première équation dans (72), il suffit de résoudre le problème depoisson suivant pour obtenir la pression p0 :

∆p0 = div

[f + µ∆u0 − ρ

(u0.∇

)u0]

dans Ω,C.L. sur p.

(75)

On peut aussi démarrer l’algorithme avec un couple (u0, p0) égal au résultat provenant d’un calculantérieur.

2.6 Résultats de stabilité

Dans cette partie nous présentons quelques résultats de stabilité (c’est une condition nécéssaire àla convergence d’un schéma numérique en vertu du théorème d’équivalence de Lax-Richtmyer) pour laméthode de volumes finis colocalisés avec une méthode de projection comme discrétisation temporelle

27

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en dimension d = 2. Pour une fonction ϕ ∈ [L2(Ω)]2, on considère son approximation ϕh constante parmorceaux et définie par :

ϕh(x, y) = ϕij si (x, y) ∈ Kij , i = 0, . . . ,M + 1, j = 0, . . . , N + 1.

On construit une approximation V h de V = [H10 (Ω)]2 par :

V h =ϕh; ϕ 1

2j = ϕM+ 1

2j = ϕi 1

2= ϕiN+ 1

2= 0, i = 1, . . . ,M, j = 1, . . . , N

(76)

On donne ensuite pour ϕh, ψh ∈ V h, le produit scalaire discrèt et la norme discrète associée dans lesespaces fonctionnels [L2(Ω)]2 et [H1

0 (Ω)]2.

Dans [L2(Ω)]2 :

(ϕh, ψh)0,h =

M∑

i=1

N∑

j=1

∆x∆y ϕij · ψij , (77)

‖ϕh‖20,h = (ϕh, ϕh)0,h . (78)

Dans [H10 (Ω)]2 (on considère ‖∇ϕ‖[L2(Ω)]2 comme norme car équivalente à la norme naturelle dans

[H10 (Ω)]2 en vertu de l’inégalité de Poincaré) :

(ϕh, ψh)1,h =M−1∑

i=1

N∑

j=1

∆x∆yϕi+1j − ϕij

∆x· ψi+1j − ψij

∆x

+

M∑

i=1

N−1∑

j=1

∆x∆yϕij+1 − ϕij

∆x· ψij+1 − ψij

∆x(79)

+1

2

N∑

j=1

∆x∆y

[ϕM+1j − ϕMj

∆x· ψM+1j − ψMj

∆x+ϕ1j − ϕ0j

∆x· ψ1j − ψ0j

∆x

]

+1

2

M∑

i=1

∆x∆y

[ϕiN+1 − ϕiN

∆x· ψiN+1 − ψiN

∆x+ϕi1 − ϕi0

∆x· ψi1 − ψi0

∆x

],

‖ϕh‖21,h = (ϕh, ϕh)1,h . (80)

Dans [L∞(Ω)]2 :

‖ϕh‖∞ = maxi,j|ϕij | (81)

Les résultats du type inégalité de Poincaré et inégalité inverse 4 sont vérifiés par les normes L2 et H1

discrètes [24].

Pour simplifier la suite, on introduit les notations suivantes : dans une discrétisation spatiale donnée, onconsidère :

M représente la matrice du terme inertiel, F pour le terme de diffusion, L pour le Laplacien, C pour le terme de convection, G pour le gradient et D pour la divergence ; on peut montrer la dualité discrète entre les opérateurs de gradient et

de divergence : D = −Gt [1] et on a l’approximation : L ≃ DM−1G et L+ = −L est symétriquedéfinie positive.

4∃Sh > 0; ∀ϕ ∈ H10 (Ω); ‖ϕ‖1,h ≤ Sh ‖ϕ‖0,h

28

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Pour une matrice symétrique définie positive A, on définit le produit scalaire suivant et la norme associéedans R

M×N :

(X,Y )A = (AX,Y ) où (X,Y ) =

M×N∑

i=1

XiYi,

‖X‖2A = (X,X)A

‖X‖−A = supY 6=0

(X,Y )

‖Y ‖A

et pour une famille de vecteurs (Xn)0≤n≤Nt, on note :

Xn ∈ ℓ∞ (A) ⇐⇒ ‖X‖A ≤ C <∞, ∀n = 0, 1, . . . , Nt

Xn ∈ ℓr (A) ⇐⇒Nt∑

n=0

∆t ‖Xn‖rA ≤ C <∞, 1 ≤ r <∞, ∀n = 0, 1, . . . , Nt.

2.6.1 Contrôle de la vitesse

Il est montré que sous certaines conditions initiales pour la vitesse et le terme source, le schéma deprojection en volumes finis colocalisés est stable pour la vitesse (le résultat donné ici est démontré parS. Faure dans [25] pour le schéma de projection de premier ordre présenté dans la remarque 1, le termede convection ayant été discrétisé par un schéma explicite d’Adams-Bashforth d’ordre 2 et le terme dediffusion par un schéma de Crank-Nicholson).Une autre démarche présentée par R.D. Guy et A.L. Fogelson dans [26] consiste à diagonaliser les opé-rateurs dans (29),(30) et (31), ensuite à éliminer la variable intermédiaire un+ 1

2 pour trouver l’opérateurlinéaire qui permet d’avancer (un, pn) en (un+1, pn+1). Les valeurs propres de cet opérateur permettentenfin de conclure quant à la stabilité du schéma.

Conditions de stabilité de la vitesse :Il existe des constantes positives K1,K2,K3 et K3 indépendantes de h := max(∆x,∆y) et ∆t telles que :

∥∥u0h

∥∥0,h

≤ K1 (82)

∆t

Nt−1∑

n=0

‖fnh‖0,h ≤ K2 (83)

∥∥u1h

∥∥2

0,h+ ν∆t

∥∥u1h

∥∥2

1,h≤ K3 (84)

∥∥∥∥u1+ 1

2h

∥∥∥∥2

0,h

+ ν∆t

∥∥∥∥u1+ 1

2h

∥∥∥∥2

1,h

≤ K3 (85)

Dans la pratique, on peut facilement vérifier ces conditions.

Théorème 2. (S. Faure [25])Supposons que les conditions (82)-(85) sont vérifiées. Alors il existe des constantes positives K4 et K5

indépendantes de h et ∆t telles que si :

∆t ≤ 2c21ν, (86)

où c1 est la constante de l’inégalité de Poincaré (c1 = max (L1, L2)), et,

∆tS2h ≤ min

(1

64ν,

ν

5120K4

), (87)

29

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où Sh est la constante de l’inégalité inverse

(

Sh =

4

(1

∆x2+

1

∆y2

))

,

alors :

‖unh‖20,h ≤ K4, n = 0, . . . , Nt, (88)

Nt−1∑

n=0

∥∥un+1h − un

h

∥∥2

0,h≤ K5, (89)

ν∆t

Nt−1∑

n=0

∥∥un+1h

∥∥2

1,h≤ K5, (90)

2.6.2 Contrôle de la pression

Comme dit dans la section 1.4, les espaces d’approximation des vitesses Vh et des pressions Qh

doivent satisfaire une condition de compatibilité appelée condition inf-sup (26) ou condition LBB(Ladyzhenskaya-Babuska-Brezzi). Cette compatibilité dépend du choix du dégré des polynômes d’inter-polation pour Vh et Qh. En général, elle n’est pas satisfaite si on choisit le même degré d’approximationpour ces deux espaces comme c’est le cas en variables colocalisées : Vh ≡ Qh [5]. Dans ce cas le champde pression calculé peut présenter des instabilités, phénomène connu sous le nom “spurious pressuremodes” [27].Néanmoins, lorsqu’une méthode de projection à pas fractionnaire est utilisée, le schéma en variablescolocalisées peut être relativement stable au sens où le contrôle de la pression dépend de l’inverse dupas de temps ∆t [28]. De plus, l’analyse faite dans [27] montre que pour le schéma de projection non-incrémentale (schéma de premier ordre (32-34)), si le pas de temps n’est pas trop petit et vérifie :

∆t ≥ θhℓ+1, (91)

avec θ > 0 une constante et ℓ le degré polynomial d’approximation des vitesses, alors la pression vérifiel’estimation de stabilité :

max1≤n≤Nt

‖pnh‖1,h ≤ θ. (92)

Stabilité du schéma de projection du premier ordre :

Soit la formulation variationnelle du schéma de premier ordre pour une discrétisation en temps impliciteet mise sous la forme matricielle suivante (où pour 0 ≤ n ≤ Nt, Un et Pn représentent respectivementla vitesse et la pression) :

1

∆tM(Un+ 1

2 − Un) + C(Un+ 12 )Un+ 1

2 = νFUn+ 12

LPn+1 =ρ

∆tDUn+ 1

2

1

∆tM(Un+1 − Un+ 1

2 ) = −1

ρGPn+1.

(93)

Théorème 3. (R. Codina [28])Les résultats de stabilité pour ce schéma est donné par :

Un ∈ ℓ∞(M), Un+ 12 ∈ ℓ∞(M) ∩ ℓ2(C),

√∆tPn ∈ ℓ2(L+).

Cette estimation de la stabilité pour la pression indique que la norme L2 du gradient de pression est

controlée par1

∆t. Ce contrôle est optimal (92) si ∆t est d’ordre h2.

30

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Stabilité du schéma de projection du second ordre :

Pour une discrétisation en temps de Crank-Nicholson, le schéma de second ordre s”écrit matriciellement :

1

∆tM(Un+ 1

2 − Un) + C(Un+ 12 )U

n+ 12 + GPn = νFUn+ 1

2

LδPn+1 =2ρ

∆tDUn+ 1

2

1

∆tM(Un+1 − Un+ 1

2 ) = − 1

2ρGδPn+1.

(94)

avec Un+ 1

2 =Un + Un+ 1

2

Théorème 4. (R. Codina [28])Les résultats de stabilité pour ce schéma est donné par :

Un ∈ ℓ∞(M), Un+ 12 ∈ ℓ∞(M), Un+ 1

2 ∈ ℓ2(C),

∆tPn+1 ∈ ℓ∞(L+), √

∆tδPn+1 ∈ ℓ2(L+).

31

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3 Méthodes elliptiques pour lecompressible en V.F. colocalisés

Dans cette partie on s’intéresse aux méthodes de correction de pression pour les fluides faiblementcompressibles. Ces méthodes on été présentées dans le chapitre précédent pour un fluide incompressible.Elles vont maintenant être étendues dans le cas de fluide barotrope : ρ = ϕ(p) ou dilatable ρ = ϕ(T ),où p est la pression et T , la température. Nous suivons la démarche présentée dans la note technique[1]. On utilise la thermodynamique d’un gaz parfait : p = (γ − 1)ρe, où e est l’énergie. Dans le cas d’unfluide barotrope, l’équation donnant la pression doit être couplée avec l’équation de bilan de masse et laloi d’état.

3.1 Stabilité des schémas numériques en compressible

Lorsqu’un schéma conserve la masse totale au cours du temps :∫

Ωρ(x, t)dx =

Ωρ(x, 0)dx = M,∀t ∈ [0, T ],

alors on a un contrôle sur la pression pour un fluide compressible ou barotrope (ρ = ρ(p(x, t))) [29]. Pourun fluide barotrope, dans le cas où la relation entre ρ est linéaire (exemple d’un gaz parfait : ρ ∝ γp),on a : ∫

Ωγp(x, t)dx ∝M <∞.

Comme ρ et p sont positives, alors

‖p‖L1 <∞, (95)

c’est à dire que la pression est contrôlée en norme L1.

3.2 Fluides compressibles barotropes

On présente ici l’algorithme de projection pour les équations de Navier-Stokes barotropes [1, 29].Par exemple, un écoulement diphasique liquide/gaz considéré par un mélange dont la loi d’état estρ = (1−α)ρl +αρg(p), avec α le taux de présence gazeuse, est considéré comme barotrope. L’algorithmede correction de pression pour un tel écoulement est donné par Algorithme 3.

32

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Algorithme 3. Semi-discrétisation en temps du schéma de projection pour un fluide barotrope [1, 29].

Soit (un, pn, ρn).

1. Prédiction de la densité :

ρn+1 − ρn

∆t+∇ · (ρn+1un) = 0.

2. Normalisation de la pression :

−∇ ·(

1

ρn+1∇pn+1

)= −∇ ·

(1√

ρn+1ρn∇pn

)

.

3. Prédiction de la vitesse :

ρn+1un+1 − ρnun

∆t+∇ ·

(ρn+1un ⊗ un+1

)+∇pn+1 −∇ · τ(un+1) = fn+1.

4. Projection (couplage masse-pression) :

ρ(pn+1)un+1 − un+1

∆t+∇

(pn+1 − pn+1

)= 0,

ρ(pn+1)− ρn

∆t+∇ ·

(ρ(pn+1)un+1

)= 0,

ρn+1 = ρ(pn+1).

5. Normalisation de la vitesse :

√ρn+1un+1 =

√ρn+1un+1.

Les étapes 2 et 5 de normalisation de la vitesse et de la pression sont utiles à la stabilité et à laconvergence du schéma [29, 30].

Les deux équations de l’étape 4 permettent d’obtenir une équation de projection : en éliminant un+1

entre les deux lignes (prendre la divergence de la première équation), on a :

∆(pn+1 − pn+1

)=∇ ·(ρ(pn+1)un+1

)+ρ(pn+1)− ρn

∆t∆t

.

Dans le cas où la relation ρ = ϕ(p) n’est pas linéaire, on doit recourir à des algorithmes de type itératifpour résoudre cette équation non linéaire.La discrétisation des opérateurs différientiels ont déjà été donnée dans le chapitre précédent.

3.3 Fluides dilatables

On présente ici l’algorithme de projection pour un fluide compressible dilatable[1, 31]. Pour un telfluide, la masse volumique est représentée selon une loi du type : ρ = ϕ(z), où z peut être la température,une concentration (cas d’un mélange de deux fluides), mais pas la pression (sinon barotrope). Le schémade projection peut être adapté à un tel écoulement, en privilégiant la variable q = ρu (flux de masse).Le schéma de projection semi-discrétisé est donné par Algorithme 4.

33

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Algorithme 4. Semi-discrétisation en temps du schéma de projection pour un fluide dilatable [1, 31].

Soit (zn,un, pn, qn).

1. Prédiction de z et de la densité :

zn+1 ← équation d’évolution de z

ρn+1 = ϕ(zn+1)

2. Prédiction de la vitesse :

ρn+1un+1 − qn

∆t+∇ ·

(qn ⊗ un+1

)+∇pn −∇ · τ(un+1) = fn+1.

3. Projection :

δpn+1 = pn+1 − pn

∆δpn+1 =∇ ·(ρn+1un+1

)+ρn+1 − ρn

∆t∆t

.

4. Correction du flux de masse :

qn+1 = ρn+1un+1 −∆t∇δpn+1.

4. Correction de la pression :

pn+1 = pn + δpn+1.

34

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4 Organisation du code de calcul

L’objectif de cette partie est de présenter la librairie informatique développée dans le cadre de cestage au sein du solveur FICTITIOUS. Il s’agit d’un solveur qui permet la résolution des équations deNavier-Stokes incompressibles et faiblement compressibles par des méthodes elliptiques, de type correc-tion de pression. Il permet la résolution de problèmes 2D et 3D en régime permanent ou transitoire, bienque les discrétisations et les algorithmes aient été présentés pour un problème 2D.

Ce solveur Navier-Stokes complète complète la librairie déjà mise en œuvre dans FICTITIOUS pourdes problèmes de convection-diffusion ou paraboliques, permettant la simulation du bilan énergétiquedans un générateur de vapeur.

La mise en œuvre a été réalisée avec le langage de programmation Fortran 90. Le langage ForTran(Mathematical Formula Translator System) a été créé au milieu des années 50 par des chercheursd’IBM et depuis, a beaucoup évolué. C’est un langage qui supporte la programmation procédurale (ouprogrammation structurée), qui consiste à résoudre un problème en constuisant un ensemble de routines(algorithmes).Sa version 90 a introduit de nombreuses extensions et fonctionnalités : Modules (partages de données),possibiité de créer de nouveaux types (Objets), gestion dynamique de la mémoire, pointeurs, manipula-tion plus souple des tableaux [32], ...

L’utilisation des modules facilite considérabement la gestion des variables (matrices des systèmeslinéaires, inconnues, paramètres des équations, constantes...) et leur partages entre les différentes procé-dures. Les modules utilisés sont :

Module maillage :

Il contient les caractéristiques géométriques du problème ainsi le maillage du domaine de calcul (il s’agitdu domaine fictif cartésien, rectangle en 2D et pavé en 3D) :• dimP : dimension de l’espace• dimF : nombre de faces d’une cellule (= 2 × dimP)• Nx, Ny, Nz : nombre de subdivisions en espace• Nt : nombre de pas de temps• x0, y0, z0 : coordonées à l’origine du domaine• lx, ly, lz : dimensions du domaine• Tfinal : temps de calcul• hx, hy, hz : pas de discrétisation en espace• ht : pas de discrétisation temps• coord : matrice Nx × Ny × Nz × dimP des coordonnées des points au centre des mailles (les

trois premiers indices indiquent la numérotation des mailles et le quatrième, la coordonnée dansla direction correspondante).

Ce module contient également les paramètres géométriques dans le cas d’une méthode de frontière im-mergée.

35

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Module equation :

Ce module contient les paramètres physiques des équations de Navier-Stokes (viscosité, masse volumique,champ de force volumique) ainsi que les conditions aux limites du problème physique.

Module systeme_ns :

L’étape de prédiction de l’algorithme de projection en VF colocalisés conduit à trois systèmes matricielslinéaires découplés correspondant aux trois composantes de la vitesse (en 3D par exemple). Ce modulecontient les matrices et seconds membres de chaque système.Dans la discrétisation spatiale décrite ici (cf section 2.2.2), dans chacun des systèmes linéaires, chaqueligne fait intervenir au plus les 6 termes immédiatement voisins. Par exemple, pour la première com-posante u, et pur la ligne du système correspondant à la cellule courante Ki,j,k, n’interviennent queles termes uijk, ui−1jk, ui+1jk, uij−1k, uij+1k, uijk−1 et uijk+1. L’assemblage des matrices se fait en nestockant donc que les diagonales correspondant au termes précédents. Cela permet de bénéficier de lastructure creuse des matrices et de réduire le coût en mémoire de stockage.Les matrices correspondant à l’étape de prédiction sont :• Ax : correspondant aux termes ui−1jk

• Ay : correspondant aux termes uij−1k

• Az : correspondant aux termes uijk−1

• Bu : correspondant aux termes uijk1

• Cx : correspondant aux termes ui+1jk

• Cy : correspondant aux termes uij+1k

• Cz : correspondant aux termes uijk+1

• BS : second membre.Elles sont de taille Nx × Ny × Nz × dimP, la quatrième dimension indiquant la composante de la vitessecorrespondante.

Les variables à calculer aux centres des cellules sont représentées par :• uSOL(Nx,Ny,Nz,dimP) : vitesse par cellule• qSOL(Nx,Ny,Nz,dimP) : flux de masse par cellule (ρu)• pSOL(Nx,Ny,Nz) : pression par cellule,et les flux aux interfaces par :• Fu(Nx+1,Ny+1,Nz+1,dimP) : vitesse par face• Fq(Nx+1,Ny+1,Nz+1,dimP) : vitesse massique par face.

Produit matrice-vecteur :

Les apports du Fortran 90 sur la manipulation des tableaux par des fonctions intrinsèques permettentune utilisation pratique des matrices : produit et somme de matrices conformes, c’est à dire de mêmesdimensions, décalages de sections de tableaux... Ainsi, on peut écrire un algorithme rapide de produitmatrice-vecteur avec le format creux ci-dessus, basé sur ces nouvelles fonctionnalités. SiM1 est la matricedu sytème correspondant à la première composante,

V =M1W

s’écrit :

Algorithme 1. Produit matrice-vecteur.

1 ! d eca lage du v ec t eu r W dans chaque d i r e c t i o n2 ! avec l a f o n c t i o n i n t r i n s e q u e EOSHIFT3 !4 ! Exemple : U=(x1 , x2 , x3 , . . . , x10 )5 ! EOSHIFT(U, S h i f t =−1, Boundary =0.d0 , Dim=1) = (0 , x1 , x2 , . . . , x9 )

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6 ! EOSHIFT(U, S h i f t =1, Boundary =0.d0 , Dim=1) = ( x2 , x3 , . . . , x10 , 0 )7 ! Dim =1 par defaut8 !9 ! D i r ec t ion x ( terme en i −1)

10 Wxm = EOSHIFT(W, S h i f t =−1, Boundary =0.d0 , Dim=1)11 !12 ! D i r ec t ion x ( terme en i +1)13 Wxp = EOSHIFT(W, S h i f t =1, Boundary =0.d0 , Dim=1)14 !15 ! D i r ec t ion y ( terme en j −1)16 Wym = EOSHIFT(W, S h i f t =−1, Boundary =0.d0 , Dim=2)17 !18 ! D i r ec t ion y ( terme en j +1)19 Wyp = EOSHIFT(W, S h i f t =1, Boundary =0.d0 , Dim=2)20 !21 ! D i r ec t ion z ( terme en k−1)22 Wzm = EOSHIFT(W, S h i f t =−1, Boundary =0.d0 , Dim=3)23 !24 ! D i r ec t ion z ( terme en k+1)25 Wzp = EOSHIFT(W, S h i f t =1, Boundary =0.d0 , Dim=3)26 !27 ! M u l t i p l i c a t i o n de chaque d iagona le par28 ! l e v ec t eu r deca l é dans chaque d i r e c t i o n29 V = Bu∗W + Ax∗Wxm + Cx∗Wxp + &30 Ay∗Wym + Cy∗Wyp + &31 Az∗Wzm + Cz∗Wzp

Module systeme_poisson :

Il contient les matrices du système linéaire résultant de la discrétisation du problème de Poisson (30),correspondant au calcul de la correction de pression.

Module systeme_transport :

Ce module contient les matrices du système linéaire issu de la discrétisation d’un problème de transportdu type :

∥∥∥∥∥∥∥

∂Z

∂t+ div(Zu) = 0 dans Ω× (0, T )

Z (x, t = 0) = Z0(x) dans Ω⊕ C.L.

(96)

Il s’agit de l’advection de la quantité scalaire Z (qui peut représenter une concentration, une massevolumique, ...) par le champ de vitesse u donné.

Module choix_utilisateur :

Il contient les différentes options à choisir pour le type d’écoulement, de projection, de discrétisation,d’interpolation, de traitement des conditions initiales, ...• choix_ecoulmt : choix du type de fluide (1 pour un fluide incompressible, 2 pour dilatable, 3 pour

barotrope)• choix_proj : type de projection (0 pour la version non-incrémentale et 1 pour la version incrémen-

tale)• choix_tps_conv : type de discrétisation temporelle pour le terme non linéaire div(ρu ⊗ u) : (O

pour Euler-explicite, 1 pour Adam-Bashforth et 2 pour Euler-implicite)• choix_conv : type de discrétisation spatiale du terme de convection (1 pour upwind et 2 pour

centré)• interp_face : type d’interpolation des flux sur les interfaces (1 pour linéaire et 2 pour Rhie &

Chow)

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• initCI : traitement des conditions initiales (-1 pour le traitement, 1 pour passer cette étape)• nbmaxiter : nombre d’itérations maximal dans le solveur de systèmes linéaires• toliter : critère d’arrêt du solveur de systèmes linéaires.

Résolution des systèmes linéaires :

Les discrétisations faites dans de prédiction (28) et dans l’étape de projection (30) conduisent à dessystèmes linéaires matriciels du type

Ax = b.

La première grande classe de méthodes de résolution comprend les méthodes dites directes qui permettentde calculer la solution exacte en un nombre fini d’opérations (factorisations, pivots, ...). Pour un problème3D, les systèmes linéaires sont de très grande taille et le coût en mémoire de stockage et en temps decalcul devient très vite préoccupant lorsqu’on utilise une méthode directe. Cela est encore moins adaptédans notre cas puisqu’à chaque pas de temps de l’alogorithme de projection nécessite la résolution d’aumoins 4 systèmes linéaires (par exemple en 3D, 1 système linéaire pour chaque composante de la vitessedans l’étape de prédiction, puis 1 système pour le calcul du correcteur de pression par le problème dePoisson).Les solveurs itératifs demeurent donc la seule alternative envisageable. Ils permettent de calculer unesolution approchée à l’aide d’une série d’approximations de la solution. A chaque itération, une nouvelleapproximation de la solution

xk+1 = xk + akpk

est calculée, ak étant une matrice ou un scalaire et pk la direction de descente. Les algorithmes les plussimples sont [33, 34] :• La méthode de Jacobi : ak = D−1 où D est la matrice des éléments de la diagonale de A etpk = b−Axk

• La méthode de Gauss-Seidel : ak = L−1 où L est la matrice des éléments de la partie triangulaireinférieure de A et pk = b−Axk

• La méthode de relaxation (SOR : Successive Over relaxation) : ak = ω−1D − L où ω est unparamètre de relaxation, D la matrice des éléments de la diagonale de A, L la matrice des élémentsde la partie triangulaire inférieure de A et pk = b−Axk.

cependant ces algorithmes présentent un convergence lente (au plus linéaire) : lorsque le résidu rk =b−Axk diminue, il n’y a pas d’accélération de la convergence.D’autres méthodes itératives plus performantes peuvent être construites à partir d’une modification ducoefficient ak et de la direction de descente pk. Elles sont basées sur la minimisation de l’erreur ‖x−xk‖ou du résidu ‖rk − rk−1‖. Cela permet de calculer la prochaine direction de descente en resolvant unproblème de minimisation sur un espace de type

K = vectz1, z2, ..., zm

appelé espace de Krylov et ces méthodes sont dites de Krylov. Les plus connues sont :• Le Gradient Conjugué (CG) : Il s’agit d’une méthode adaptée aux systèmes linéaires dont la matrice

est symétrique définie positive. Dans notre cas, par exemple pour l’étape de prédiction, la matricen’est symétrique définie positive que si le terme de convection est discrétisé de manière explicite. deplus la matrice issue du problème de Poisson est symétrique mais n’est définie positive que si unecondition de Dirichlet sur le correcteur de pression est posée sur une partie non vide de la frontièredu domaine. Il existe des variantes du CG pour des matrices non-symétriques (BiCG, CGS). Dansnotre cas nous utilisons le Bi-CGSTAB (BiConjugate Gradient Stabilized) dont l’algorithme estdonné ci-dessous (cf. Algorithme 2.).

• LE GMRES (General Minimal RESidual method) [35] : C’est un algorithme très robuste adaptépour les matrices non-symétriques basé sur la minimisation de l’erreur ‖x − xk‖ sur l’espace deKylov.

Cependant, la convergence de méthode itératives dépend fortement des propriétés spectrales de la matricedu système linéaire. Un mauvais conditionnement de la matrice peut conduire à une convergence très

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lente de la méthode. Le conditionnement de la matrice mesure la sensibilité de la solution du systèmeAx = b par rapport à des variations des coefficients de A et b. La matrice A est bien conditionné si cettesensibilité est petite. Pour une matrice A inversible, le conditionnement est mesuré par la quantité

κp(A) = ‖A‖p‖A−1‖p,

où ‖.‖p est une norme matricielle (si A = (aij)) :• ‖A‖1 = max

j

i

|aij |

• ‖A‖2 =√(ATA), (ATA) étant la plus grande valeur propre de ATA

• ‖A‖inf = maxi

j

|aij |.

Ainsi la matrice A est bien conditionné si κp(A) est petit.Pour améliorer la convergence, on utilise des techniques de préconditionnement, qui consistent à rem-plement la résolution du système Ax = b par celle du système

C−1Ax = C−1b.

La matrice C−1 est appelé préconditionneur et est choisie de telle sorte que la matrice C−1A ait unmeilleur conditionnement que A, c’est à dire que C−1A est "proche" de la matrice identité et donc queC−1 est "proche" de l’inverse de A. Théoriquement le meilleur choix est C−1 = A−1. Dans la pratique,on calcule un préconditionneur C−1 à partir de A sans que cela ne soit trop coûteux.On utilise en général une factorisation de la matrice A (Cholesky,Cholesky incomplet, LU, ILU ILLU,...) [33, 34]. Le préconditionneur le plus simple est le préconditionneur diagonal : C−1 = D−1. C’est celuique nous utilisons ici.

Algorithme 2. Bi-CGSTAB préconditionné.

Initialisations :Choisir x0

Calculer r0 = b−Ax0; r = r0p0 = r0

Pour k = 0, 1, ... faire∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Cyk = pk

αk =rTrkrTAyk

sk = rk − αkAyk

Czk = sk

tk = Azk

ωk =tTk sk

tTk tkxk+1 = xk + αkyk + ωkzkrk+1 = sk − ωktk

βk+1 =rTrk+1

rTrk· αk

ωk

pk+1 = rk+1 + βk+1(pk − ωkAyk)Fin pour

39

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Les principales routines de la librairie sont listées ci-après.

Initialisations :

• initfict.f :On définit les paramètres géométriques du domaine de calcul.

• init_nav_stok.f :On alloue dynamiquement de la mémoire aux variables communes.

• coordonnees.f :On définit le maillage du domaine.

• set_coeff_ns.f :Cette routine permet d’initialiser les paramètres physiques de l’équation.

• init_sol_ns.f :Elle permet de définir la solution initiale donnée par l’utilisateur.

• mises_a_jour_CL.f :Elle permet de poser les conditions aux limites définies par l’utilisateur.

• init_prediction_densite.f :Elle permet d’effectuer un prétraitement de la densité lorsqu’il s’agit d’un fluide faiblement com-pressible.

• calcul_pas_temps_ns.f :Elle permet de calculer le pas de temps en tenant compte de la condition CFL définie par l’utili-sateur.

• conditions_initiales_ns.f :On effectue ici un pré-traitement des conditions initiales définies par l’utilisateur afin d’obtenirun champ de vitesse et de pression "mécaniquement compatible" (cela permet d’atteindre un étatstationnaire plus rapidement lorsqu’il s’agit d’un problème transitoire).

Noyau :

C’est la "partie physique" du code correspondant à la résolution des équations de Navier-stokes.• sys_lin_prd.f :

Cette routine effectue l’assemblage des systèmes linéaires correspondant à l’étape de prédiction duschéma de projection. Cet assemblage tient compte du choix du type de discrétisations temprorelleet spatiale fait par l’utilisateur.

• bicgstab_core.f :Au moins 4 systèmes linéaires sont résolus à chaque pas de temps en faisant appel à chaque fois,au solveur Bi-CGSTAB préconditionné.

• qfaces_interpol.f :Elle permet de calculer les flux intermédiaires sur les interfaces des cellules.

• sys_lin_pcor.f :Elle effectue l’assemblage du système linéaire du problème de Poisson lors de l’étape de projection.

• correction_pression.f :On corrige la pression avec le correcteur de pression calculé lors de la projection.

• correction_vitesse.f :On corrige la vitesse intermédiaire calculée lors l’étape de prédiction.

• correction_flux.f :On corrige les flux sur les interfaces.

• mises_a_jour_ns.f :On actulise toutes les variables et on passe au pas de temps suivant.

Post-traitement :

C’est la "partie physique" du code correspondant à la résolution des équations de Navier-stokes.

40

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• verif_navier_stokes.f :Elle vérifie que la nouvelle vitesse et la nouvelle pression issues de la projection sont bien solutionde l’équation de Navier-Stokes en calculant le résidu.

• calcul_div.f :On calcule le résidu de l’équation de bilan de masse. Dans le cas d’un fluide incompressible,c’est ladivergence du flux corrigé qui est calculé. On vérifie que celle-ci est nulle, à "la précision machine".

• norme_vec.f :S’il existe une solution théorique au problème, on calcule les erreurs sur la vitesse et la pressionpar rapport à celle-ci dans les normes usuelles.

• sauv_sol_ns.f :On sauvegarde les solutions approchées calculées.

41

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5 Exemples numériques pour desécoulements incompressibles

On se propose d’étudier ici quelques exemples d’écoulements incompressibles en observant numéri-quement le comportement des différents schémas de projection et discrétisation volumes finis colocalisés.Il s’agit des deux types de méthode de projection (incrémentale (PI) et non-incrémentale (PNI)), desdifférents types de discrétisation temporelle et de calcul des flux convectifs pour le terme non linéaire :schéma explicite d’Adams-Bashforth (AB) et schéma d’Euler semi-implicite (EI) pour la discrétisationtemporelle. Pour la discrétisation volumes finis on a le schéma centré (C) et le schéma upwind (U) . Onutilise un schéma de Crank-Nicholson pour la discrétisation temporelle du terme de diffusion, les fluxdiffusifs étant calculés selon un schéma centré. Par l’exemple l’algorithme (PIABC) désigne la méthodede projection incrémentale avec une discrétisation temporelle d’Adams-Bashforth et une discrétisationspatiale centrée pour le terme non linéaire. Sauf indication contraire, le gradient de pression dans leschéma de projection incrémentale sera discrétisée en utilisant une interpolation quadratique sur lesinterfaces (46).Pour n = 0, 1, . . . , Nt, on pose :

εnp,0 =‖ph − p‖0,h

‖p‖0,h

εnu,0 =‖uh − u‖0,h

‖u‖0,h

εnu,1 =‖uh − u‖1,h

‖u‖1,h

et εnu,∞ =‖uh − u‖∞‖u‖∞

où (u, p) désigne la solution théorique et (uh, ph), la solution numérique calculée.

5.1 Ecoulement de Poiseuille

5.1.1 Problème unidimensionnel

On se propose d’étudier ici l’écoulement monodirectionnel d’un fluide incompressible dans un conduitde section rectangulaire : u = (u, v) avec v = 0 (cf. figure 5).

On impose à l’entrée du conduit (x = 0), un profile de vitesse parabolique ue =U

(L2/2)2y(L2− y), où U

est la vitesse maximale et à la sortie (x = L1), on impose la pression ps . Le problème est donc le suivant :

∂xu = 0∂t(ρu)− µ(∂2

xu+ ∂2yu) + ρ(u∂xu+ v∂yu) + ∂xp = 0

∂t(ρv)− µ(∂2xv + ∂2

yv) + ρ(u∂xv + v∂yv) + ∂yp = 0.

En régime stationnaire, la solution est donnée par :

u(y) =4U

L22

y(L2 − y) et p(x) =8µU

L22

(L1 − x) + ps , (x, y) ∈ Ω =]0, L1[×]0, L2[.

42

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x

y

L1

L2

u = 0

u = 0

p = ps

u = ue

Fig. 5 – Domaine de calcul.

Etant donné le champ de pression ci-dessus, il s’agit donc de résoudre l’EDP parabolique suivante :

∂tu− ν∂2yu = f dans Ω× (0, T )

u(0, t) = u(L2, t) = 0u(y, 0) = 0

avec f =8νU

L22

. Le maillage du domaine est tel que décrit dans la section 2.2.1. On utilise un schéma de

Crank-Nicholson pour la discrétisation temporelle : pour n = 0, 1, . . . , Nt − 1,

un+1 − un

∆t− ν∂2

y

(un+1 + un

2

)=fn+1 + fn

2un+1(0) = un+1(L2) = 0u0 = 0.

Un schéma de volumes finis colocalisés est utilisé pour la discrétisation spatiale (voir section 2.2.2 pourla discrétisation des opérateurs et des conditions aux limites). Le schéma gobal est donc le suivant : pourn = 0, 1, . . . , Nt − 1, et j = 1, . . . , N ,

∥∥∥∥∥∥∥∥

un+1j − un

j

∆t− ν

un+1j−1 − 2un+1

j + un+1j+1

2∆y2

− νun

j−1 − 2unj + un

j

2∆y2=fn+1

j + fnj

2.

(97)

Ce schéma discrèt admet une et une seule solution et est inconditionnellement stable [5, 36].

43

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Résultats numériques :

∥∥∥∥∥∥

L1 = L2 = 1 m, T = 100 s

U = 1 m.s−1, ps = 0 Pa

ρ = 1 kg.m−3, µ = 10−2 Pa.s

Pour étudier la convergence en ∆t, on fixe le pas de maillage très petit : ∆y ∼ 10−2. L’étude de laconvergence en ∆y se fait en fixant un pas de temps très petit ou en omettant simplement dans ce casle temps temporel de sorte à ne résoudre qu’une équation elliptique.

Fig. 6 – Analytic velocity field (∆y = 10−2, ∆t = 10−1).

44

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10−2

10−1

10−3

10−2

10−1

∆ y

ERROR ON VELOCITY

L∞ norm (slope=1.9999)

Fig. 7 – Spatial convergence in L∞ norm.

10−1

100

101

10−4

10−3

10−2

10−1

100

∆ t

ERROR ON VELOCITY

L∞ norm (slope=2.0813)

Fig. 8 – Temporal convergence in L∞ norm.

45

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On voit donc sur les figures () et () que l’algorithme (97) est d’ordre deux en temps et en espace ennorme L∞. A présent nous allons utiliser une méthode de projection pour résoudre le même problème.

5.1.2 Résolution par méthode de projection

Il s’agit de résoudre le problème de l’écoulement de Poiseuille avec une méthode projection en volumesfinis colocalisés. Nous considérons la même géométrie et les mêmes paramètres de calcul que ci-dessus.L’algorithme est initialisé avec une vitesse nulle et une pression égale partout à la pression de sortie.L’établissement d’un écoulement permanent peut être suivi par le comportment de la variation de lavitesse entre deux pas de temps :

δun+1 = ρun+1 − un

∆t.

La courbe représentant la norme L∞ de cette variation peut être visualisée sur la figure 9. Le critèrede convergence au régime stationnaire est fixé à ‖δun‖∞ < 10−8.

100

101

102

103

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

ITERATION NUMBER

INSTATIONARY TERM

Fig. 9 – ‖δun‖∞ from PIABC scheme.

Sur la figure 10, est représentée le champ de vitesse en norme L2 à plusieurs instants du régimetransitoire jusqu’à l’établissement du régime stationnaire.

46

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Fig. 10 – Flow establishment on a 40 × 40 mesh grid.

47

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Nous représentons maintenant le profile de la vitesse suivant l’axe vertical passant par le centre dudomaine ainsi que celui de la pression suivant l’axe horizontal passant aussi par le centre sur les figures11 et 12 respectivement. Nous comparons ces profiles à la solution analytique.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u

y

x = 1

2

Num. solution (N=40)Exact solution

Fig. 11 – Velocity profile u (N=40).

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

x

p

y = 1

2

Num. solution (N=40)Exact solution

Fig. 12 – Pressure profile (N=40).

48

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5.2 Ecoulement dans un coude

On considère l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible dans une conduite coudée avec unangle

π

2[37].

Géométrie

Le domaine de calcul est un cube d’arête 1 m, l’écoulement se faisant dans le plan (x, y) :Ω = [0, L]× [0, L], cd. figure 13.

x

y

Γ1 (Paroi)

Γ2

(Sortie)

Γ3 (Entrée)

Γ4

(Paroi)(Ω)

L

L

Fig. 13 – Domaine de calcul.

Conditions aux limites

−Γ3(en entrée) : u = ax, v = −aL avec a > 0

−Γ1(paroi) : u = 0,∂v

∂n= 0 (glissement)

−Γ4(paroi) :∂u

∂n= 0, v = 0 (glissement)

−Γ2(en sortie) :∂u

∂n= a,

∂v

∂n= 0 et p = p

D= p0 −

1

2ρa2(L2 + y2).

On considère alors le problème suivant :

∂u

∂t− ν∆u + (u.∇)u +

1

ρ∇p = 0 dans Ω× (0, T )

∇ · u = 0Conditions initialesConditions aux limites

Au vu de la condition de Dirichlet pour la pression sur la face Γ2, on doit modifier les conditions auxlimites de l’étape de projection (30) et (33) comme suit :

– Pour la projection incrémentale (30) :∥∥∥∥∥∥∥∥∥

∆δpn+1 =2ρ

∆tdivun+ 1

2 dans Ω,

δpn+1 = 0 sur Γ2

∂δpn+1

∂n= 0 sur Γ1 ∪ Γ3 ∪ Γ4.

(98)

49

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– Pour la projection non-incrémentale (33) :

∥∥∥∥∥∥∥∥

∆pn+1 =ρ

∆tdivun+ 1

2 dans Ω,

pn+1 = pD

sur Γ2

∂pn+1

∂n= 0 sur Γ1 ∪ Γ3 ∪ Γ4.

(99)

La solution analytique de ce problème est donnée par (cf. figures 14) :

u(x, y) = axv(x, y) = −ay (x, y) ∈ Ω

p(x, y) = p0 −1

2ρa2(x2 + y2).

(100)

Données numériques

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

a = 1 s−1

ρ = 1 kg.m−3

µ = 10−3 Pa.s (ν = 10−3)p0 = 2.103 Pa

L = 1 m, h = ∆x = ∆y =L

N, T = 10 s.

(a) velocity field.(b) pressure isocurves.

Fig. 14 – Analytic solutions (N = 25)

5.2 .1 Influence des conditions initiales

Considérons les algorithmes de projection incrémentale (PIABC) et non incrémentale (PNIABC)comme décrit en (60)-(64) et en (32)-(34). On initialise le schéma

– soit à partir du couple (u−1, p−1) tel que u−1 = 0 dans Ω, p−1 étant le prolongement continu depD

dans Ω,– soit à partir du couple (u0, p0) satisfaisant une équation du type Navier-Stokes stationnaire comme

présenté en (73)-(74)-(75) ; ce couple est souvent très “proche” de la solution.On s’intéresse à la convergence de l’algorithme vers un état stationnaire. On simule donc l’écoulementsur un temps très long (T = 50 s). Comme on considère ici un schéma explicite d’Adams-Bashforth

50

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pour le terme de convection conjugué avec une discrétisation spatiale centrée, on utilise la condition destabilité générale (C.F.L.) :

∆tU

h≤ CFL < 1, soit ∆t ≤ CFL

h

U

avec U = ‖u‖∞. On suppose que si‖δun‖∞ < 10−10

alors l’état stationnaire est atteint (cf figures 15 et 16).En général on prendra CFL =1

4. On observe

l’historique de convergence en norme L2 sur les figures (17)-(24).

100

101

102

103

104

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

ITERATION NUMBER

INSTATIONARY TERM

int with (u0,p0)

int with (u−1,p−1)

Fig. 15 – ‖δun‖∞ from PIABC scheme (N=20).

100

101

102

103

104

105

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

104

ITERATION NUMBER

INSTATIONARY TERM

int with (u0,p0)

int with (u−1,p−1)

Fig. 16 – ‖δun‖∞ from PIABC scheme (N=40).

100

101

102

103

104

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 17 – PIABC (N=20).

100

101

102

103

104

105

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 18 – PIABC(N=40).

51

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101

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10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 19 – PIABC (N=20).

100

101

102

103

104

105

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 20 – PIABC (N=40).

100

101

102

103

104

10−4

10−3

10−2

10−1

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 21 – PNIABC (N=20).

100

101

102

103

104

10−4

10−3

10−2

10−1

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 22 – PNIABC (N=40).

52

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101

102

103

104

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 23 – PNIABC (N=20).

100

101

102

103

104

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

init with (u0,p0)

init with (u−1,p−1)

Fig. 24 – PNIABC (N=40).

Sur les figures de convergence en temps ci-dessus, il est clair que le prétraitement des conditions initialespermet d’atteindre en très peu d’itérations, une très grande précision et dans ce cas l’état stationnaireest atteint plus rapidement. Si on retient le nombre d’itérations à partir duquel l’état stationnaire estatteint pour la vitesse et la pression dans les cas incrémental et non-incrémental, on a :

Schéma PIABC (cf. table 1) :

(u0, p0) (u−1, p−1)

u p u p

N = 20 1200 1500 3600 3500N = 40 2000 3000 10000 11000

Tab. 1 – Résultats pour le schéma PIABC

Schéma PNIABC (cf. table 2) :

(u0, p0) (u−1, p−1)

u p u p

N = 20 60 40 240 50N = 40 40 120 230 250

Tab. 2 – Résultats pour le schéma PNIABC

On peut ainsi obtenir un gain en temps de calcul jusqu’à un facteur 5 en initialisant le schéma avec(u0, p0).

Remarque 7. Comme dit plus haut, une des grandes difficultés dans la résolution des écoulementsincompressibles est liée à la contrainte d’incompressibilité. On a vu aussi qu’avec la méthode de projec-tion, cette contrainte est respectée en arithmétique exacte. Cependant celle-ci est limitée numériquementpar la précision machine. Mais on vérifie que l’on obtient des estimations acceptables de la divergencecalculée à partir des flux de vitesse corrigés. Les figures (25) et (26) montrent l’ordre de grandeur de ladivergence calculée pour les schéma PIABC et PNIABC.

53

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0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

00.2

0.40.6

0.81

−0.5

0

0.5

1

x 10−14

x

y

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−15

Fig. 25 – Numerical div., PIABC (N=40).

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1−1

0

1

x 10−13

xy

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x 10−14

Fig. 26 – Numerical div., PNIABC (N=40).

De plus, lorsque l’on utilise une méthode à pas fractionnaire, il est important de vérifier que le champobtenu lors de l’étape de projection est bien solution des équations de Navier-Stokes. En effet, lorsqu’unschéma est mal construit, un état dit stationnaire peut être atteint bien que les équations de la quantité demouvement ne soient pas bien résolues [21]. Dans ce cas, le résidu des équations de Navier-Stokes atteintun point de stagnation même si la variation des variables à chacun des pas de temps tend vers zéro. Afinde vérifier qu’il ya un accord entre la solution obtenue par projection et les équations de Navier-Stokes,on observe le comportement en norme L∞ des résidus (pour le schéma PIABC par exemple)

rn+1 = ρun+1 − un

∆t−µ∆h

(un+1 + un

2

)+

3

2divh(ρun⊗un)− 1

2divh(ρun−1⊗un−1)+∇h

(pn+1 + pn

2

)

et du terme instationnaire δun+1, où ∆h, divh et ∇h désignent respectivement l’approximation discrètedes opérateurs Laplacien (41), du terme convectif non linéaire (48) et du gradient de pression (45).

100

101

102

103

104

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

ITERATION NUMBER

INSTATIONARY TERM

Fig. 27 – ‖δun‖∞ from PIABC scheme (N = 20).

100

101

102

103

104

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

ITERATION NUMBER

NAVIER STOKES RESIDUAL

Fig. 28 – ‖rn‖∞ from PIABC scheme (N = 20).

Les figures ci-dessus montrent que la courbe de variations (fig. 27) et la courbe résiduelle (fig. 28)sont en cohérence : la vitesse calculée lors de la projection est bien une solution des équations de laquantité de mouvement.

54

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5.2.2 Stabilité du schéma temporel explicite pour la convection

Nous discutons ici de la stabilité de la discrétisation temporelle explicite du terme non linéaire. Nousavons considéré un schéma de Crank-Nicholson pour la diffusion. Le gradient de pression est discrétiséselon un schéma de Crank-Nicholson dans le cas incrémental et un schéma implicite dans le cas nonincrémental.Cependant, dans un écoulement à convection dominante, l’utilisation d’un schéma explicite en tempspour le terme de convection peut conduire à des instabilités numériques. Pour éviter ce problème, lacondition CFL doit être respectée, ce qui restreint le choix du pas du temps. Nos résultats de simulation

montrent que lorsque CFL >1

2, le schéma diverge pour une discrétisation en temps explicite et que le

schéma semi-implicite (PIEIC ou PIEIU) est stable en norme L2 pour des CFL proches de 1.Sur les figures 29-34, nous représentons l’erreur sur la vitesse et la pression en norme L2 calculée avec

le schéma de projection incrémentale pour des CFL de1

4,

1

2et

3

4.

100

101

102

103

104

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

CFL = 1

4

PIABC schemePIABU schemePIEIC schemePIEIU scheme

Fig. 29 – L2 norm error (N=20).

100

101

102

103

104

10−12

10−11

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

CFL = 1

4

PIABC schemePIABU schemePIEIC schemePIEIU scheme

Fig. 30 – L2 norm error (N=20).

100

101

102

103

10−10

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

CFL = 1

2

PIABC schemePIABU schemePIEIC schemePIEIU scheme

Fig. 31 – L2 norm error (N=20).

100

101

102

103

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

CFL = 1

2

PIABC schemePIABU schemePIEIC schemePIEIU scheme

Fig. 32 – L2 norm error (N=20).

55

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100

101

102

103

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

102

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

CFL = 3

4

PIABC schemePIABU schemePIEIC schemePIEIU scheme

Fig. 33 – L2 norm error (N=20).

100

101

102

103

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

CFL = 3

4

PIABC schemePIABU schemePIEIC schemePIEIU scheme

Fig. 34 – L2 norm error (N=20).

5.2.3 Stabilité du schéma spatial centré pour la convection

Une des difficultés dans la résolution des équation de Navier-Stokes est le choix de la discrétisationpour les termes convectifs. La discrétisation doit être consistante et ne doit pas favoriser l’apparitiond’oscillations non physiques de la solution. Avec la discrétisation uniforme du domaine Ω, il a été de-montré que l’approximation du flux convectif par la différence centrée comme faite en (48) conduit àune solution oscillatoire lorsque le nombre de Reynolds local est supérieur à deux [38] :

Reh :=ρ |u|hµ

> 2.

La convergence des schémas dépend alors fortement du pas du maillage qui doit être réduit pour obtenirune solution acceptable. Cependant, cela conduit à utiliser un maillage comportant un très grand nombred’éléments ; ce qui ne peut être envisagé dans la pratique car très coûteux en temps de calcul et encapacité de stockage.Lorsque le nombre de Reynolds local est plus grand que 2, une solution est d’utiliser une approximationamont ou décentrée du terme de convection faite en (49). Cette discrétisation est, certes, moins préciseque le schéma centré mais possède l’avantage d’être plus stable lorsque les forces d’inertie deviennent plusimportantes que les forces de viscosité car cette discrétisation introduit de la diffusion numérique, doncde la stabilité dans le schéma. Le choix entre les deux types de discrétisations est donc un compromisentre la précision et la stabilité.Il existe des schémas dits hybrides, qui permettent de combiner les avantages des deux schémas : leterme de convection est discrétisé selon un schéma amont dans les régions où la convection prédomineet par un schéma centré dans les autres régions.

5.2.4 Méthode de stabilisation de Rhie & Chow

Dans ce paragraphe on s’intéresse aux instabilités dues au type d’interpolation utilisé pour discrétiserle gradient de pression et la divergence de un+ 1

2 dans l’algorithme de projection. Cela peut se traduireégalement en terme de contrôle du gradient de pression [1, 39]. On va montrer par un exemple numériquequ’en modifiant le calcul des flux de vitesse en ajoutant une correction de type Rhie & Chow (69)-(70),on obtient des résultats numériques satisfaisants. Pour cela on initialise l’algorithme avec la solutionanalytique (100) en introduisant une perturbation δp en damier sur le champ de pression (cf. figure 35) :

∥∥∥∥∥∥

δpij = −η(−1)i+j ,δp 1

2j = δpN+ 1

2j = δpi 1

2= δpiN+ 1

2= 0,

η > 0 et i, j = 1, · · · , N.(101)

56

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δp = +η

δp = −η

Fig. 35 – Pression en damier

On prend η = 5, L = 1, N = 20, T = 20, CFL =1

4h = ∆x = ∆y =

L

N, ∆t = CFL

h

U, a = 1, ρ = 1,

µ = 10−3 et p0 = 2.103. On considère un schéma PIABC comme présenté en (60) avec une interpolationlinéaire pour les flux sur les interfaces (cf. eq. 48), un schéma linéaire centré pour le terme de gradientde pression (cf. eq. 45) et de divergence de la vitesse (cf. eq. 47) avec ou sans correction de Rhie & Chowet avec ou sans perturbation. Les erreurs relatives en norme L2 sur la vitesse et sur la pression sontdonnées sur les figures suivantes.

100

101

102

103

104

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

ITERATION NUMBER

ERROR ON VELOCITY

Linear + no perturbationLinear + no perturbation + Rhie&Chow correctionLinear + perturbationLinear + perturbation + Rhie&Chow correction

Fig. 36 – L2 norm historic convergence on the velocity.

100

101

102

103

104

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

ITERATION NUMBER

ERROR ON PRESSURE

Linear + no perturbationLinear + no perturbation + Rhie&Chow correctionLinear + perturbationLinear + perturbation + Rhie&Chow correction

Fig. 37 – L2 norm historic convergence on the pressure.

On peut d’abord remarquer que l’algorithme de projection sans perturbation et avec une correctionde Rhie & Chow (courbes cyan, figures 36-37) est plus précis que celui utilisant une interpolation linéairesimple pour les flux de vitesse (courbes bleues, figures 36-37). Cela est dû au fait que la correction deRhie & Chow introduit un meilleur couplage entre la vitesse et la pression.En ajoutant la perturbation de pression en damier, l’algorithme de projection en volumes finis colocalisésutilisant une interpolation linéaire simple pour les flux de vitesse converge vers un couple (uh, ph)(courbes rouges, figures 36-37) qui n’est pas la solution du problème : le champ de vitesse obtenuest identique à celui produit par l’algorithme sans perturbation, mais le champ de pression présentetoujours la perturbation. Tout se passe comme si on le schéma est ’transparent’ pour cette perturbation :

l’erreur relative en norme L2 reste constante et égale l’amplitude relative de la perturbation‖δp‖0,h

‖p‖0,h

2, 5.10−3. Ce schéma est donc incapable de filtrer certaines perturbations comme celles présentées ici(101). Lorsqu’on applique l’interpolation de Rhie & Chow au calcul des flux de vitesse, la perturbationest filtrée et le couple (uh, ph) calculé converge vers la solution exacte du problème (courbes vertes,figures 36-37). on peut observer cela sur les figures 38 et 39.

57

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x

y

ph level contours

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

(a) ph from PIABC scheme .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

x

ph profil at y = h

2

p

h

pexact

(b) ph(x, h2).

Fig. 38 – Projection scheme with linear interpolation for fluxes.

x

y

ph level contours

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1999.1

1999.2

1999.3

1999.4

1999.5

1999.6

1999.7

1999.8

1999.9

(a) ph from PIABC scheme.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11999.5

1999.55

1999.6

1999.65

1999.7

1999.75

1999.8

1999.85

1999.9

1999.95

2000

x

ph profil at y = h

2

p

h

pexact

(b) ph(x, h2).

Fig. 39 – Projection scheme with Rhie&Chow interpolation for fluxes.

Remarque 8. Dans les autres sections de simulations numériques, on utilise une interpolation qua-dratique (46) sur les interfaces pour discrétiser le gradient de pression. Cette discrétisation assure unestabilité intrinsèque du schéma. Lorsqu’on l’utilise, en présence des pertubations observées plus haut, lesrésultats numériques convergent vers la solution physique du problème.

58

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5.2.5 Estimations d’ordre de convergence

On s’intéresse ici à la precision des algorithmes. Pour cela, on fait une étude de convergence endiminuant conjointement (puisque la solution analytique est stationnaire) le pas d’espace et le pas detemps, de sorte que la CFL reste constante (∆x = ∆y = L

Net ∆t = CFL h

U). On prend T = 10 s, CFL

=1

4et N = 5, 10, 20, 40, 80, 160.

Une interpolation quadratique de la pression sur les interfaces a été utilisée. Nous avons étudié laconvergence en maillage de tous les schémas mis en œuvre dans le cadre de ce stage :

Schéma PIABC : figures 40 et 41

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre presque 3 pour la vitesse et 2 pour la pression, ennorme L2.

10−2

10−1

100

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=2.7145)

H1 norm (slope=2.3124)

Fig. 40 – PIABC scheme.

10−2

10−1

100

10−8

10−7

10−6

10−5

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=1.924)

Fig. 41 – PIABC scheme.

59

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Schéma PIABU : figures 42 et 43

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre presque 1 pour la vitesse et la pression, en norme L2.

10−2

10−1

100

10−4

10−3

10−2

10−1

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=1.0611)

H1 norm (slope=0.98395)

Fig. 42 – PIABU scheme.

10−2

10−1

100

10−6

10−5

10−4

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=0.86799)

Fig. 43 – PIABU scheme.

60

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Schéma PIEIC : figures 44 et 45

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre presque 3 pour la vitesse et 2 pour la pression, ennorme L2.

10−2

10−1

100

10−7

10−6

10−5

10−4

10−3

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=2.6861)

H1 norm (slope=2.2253)

Fig. 44 – PIEIC scheme.

10−2

10−1

100

10−9

10−8

10−7

10−6

10−5

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=1.9431)

Fig. 45 – PIEIC scheme.

61

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Schéma PIEIU : figures 46 et 47

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre presque 1 pour la vitesse et la pression, en norme L2.

10−2

10−1

100

10−4

10−3

10−2

10−1

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=1.0614)

H1 norm (slope=0.98418)

Fig. 46 – PIEIU scheme.

10−2

10−1

100

10−6

10−5

10−4

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=0.93821)

Fig. 47 – PIEIU scheme.

62

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Schéma PNIABC : figures 48 et 49

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre presque 2 pour la vitesse et intermédiaire (1.5) pourla pression, en norme L2.

10−2

10−1

100

10−4

10−3

10−2

10−1

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=1.7071)

H1 norm (slope=1.274)

Fig. 48 – PNIABC scheme.

10−2

10−1

100

10−7

10−6

10−5

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=1.5075)

Fig. 49 – PNIABC scheme.

63

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Schéma PNIABU : figures 50 et 51

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre intermédiaire (1.3) pour la vitesse et 1 pour la pression,en norme L2.

10−2

10−1

100

10−3

10−2

10−1

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=1.3723)

H1 norm (slope=1.1338)

Fig. 50 – PNIABU scheme.

10−2

10−1

100

10−6

10−5

10−4

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=1.0769)

Fig. 51 – PNIABU scheme.

64

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Schéma PNIEIC : figures 52 et 53

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre intermédiaire (1.5) pour la vitesse et 1 pour la pression,en norme L2.

10−2

10−1

100

10−4

10−3

10−2

10−1

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=1.5283)

H1 norm (slope=1.1863)

Fig. 52 – PNIEIC scheme.

10−2

10−1

100

10−7

10−6

10−5

10−4

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=1.0762)

Fig. 53 – PNIEIC scheme.

65

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Schéma PNIEIU : figures 54 et 55

La convergence en ∆x (et donc en ∆t) est d’ordre intermédiaire (1.3) pour la vitesse et 1 pour la pression,en norme L2.

10−2

10−1

100

10−4

10−3

10−2

10−1

∆ x

ERROR ON VELOCITY

L2 norm (slope=1.3523)

H1 norm (slope=1.1392)

Fig. 54 – PNIEIU scheme.

10−2

10−1

100

10−6

10−5

10−4

∆ x

ERROR ON PRESSURE

L2 norm (slope=1.0116)

Fig. 55 – PNIEIU scheme.

66

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5.3 Cavité entraînée

Nous effectuons les tests numériques dans ce dernier exemple pour illustrer et valider les schémasnumériques mis en œuvre. Le problème considéré ici est celui de l’écoulement dans une cavité carrée decoté L engendrée par le défilement d’une paroi animée d’une vitesse constante (paroi supérieure), lesautres parois étant au repos (conditions de Dirichlet homogènes sur u = (u, v)) (cf. figure 56).

u = um, v = 0

u = 0

u = 0u = 0

Fig. 56 – Domaine de calcul.

Le nombre de Reynolds est évalué en utilisant la vitesse d’entraînement de la paroi

Re =ρvmL

µ.

Pour Re = 1000 l’écoulement est laminaire et stationnaire et les résultats provenant d’une méthodespectrale DNS (Direct Numerical Simulation : Botella et al [40], Ghia et al [41]) sont utilisés commeréférence. Pour calculer cette solution stationnaire, nous utilisons l’algorithme de la méthode de projec-tion avec un schéma semi-implicite en temps pour le terme de convection avec une condition CFL = 1.On fixe aussi un critère de convergence à la solution stationnaire :

‖δun‖∞ ≤ 10−5.

On effectue les calculs avec les paramètres suivants :

ρ = 1, µ = 10−3, L = 1, um = 1.

On peut ainsi observer la variation de la vitesse sur chaque pas de temps sur la figure suivante :

100

101

102

103

104

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

100

101

102

ITERATION NUMBER

INSTATIONARY TERM

N=20N=40N=80

Fig. 57 – ‖δun‖∞ from PIEIC scheme.

67

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On introduit la notion de vorticité ou tourbillon égale au rotationnel du champ de vitesse. Endimension 2, c’est un scalaire donné par

ω = ∇× u =∂v

∂x− ∂u

∂y. (102)

L’équation de continuité pour un fluide incompressible montre qu’il existe une fonction ψ(x, y, t),appelée fonction de courant telle que

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x. (103)

On obtient donc le problème de Poisson suivant :

∆ψ =∂u

∂y− ∂v

∂x= −ω. (104)

Les lignes ψ = cte sont, à chaque instant, les lignes de courant du champ de vitesse u. Les fonctions decourant et de vorticité peuvent calculées numériquement après résolution des équations de Navier-Stokes.En effectuant une simulation avec les paramètres ci-dessus sur une grille de 40 × 40 mailles, on peutobserver le champ de vitesse |u| (fig. 58,59), le champ de pression (fig. 60,61), la fonction de courant(figures 62 et 63) et le champ de vorticité (figures 64 et 65).

Fig. 58 – Velocity norm field |u|.

x

yVelocity field contours

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Fig. 59 – Iso-contours of velocity norm |u|.

Fig. 60 – Pressure field.

x

y

Pressure level contours

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

−3.1937

−3.1937

−3.1937

−3.1937

−3.1937

−3.1937

−3.1937

−3.1937

−3.1936

−3.1936

Fig. 61 – Pressure iso-contours.

68

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Fig. 62 – Streamfunction field.

x

y

stream function contours

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

−0.06

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Fig. 63 – Streamfunction iso-contours.

Fig. 64 – Vorticity field.

x

y

vorticity function contours

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

−15

−10

−5

0

5

10

Fig. 65 – Vorticity iso-contours.

Nous comparons ensuite nos résultats avec ceux de Botella & al [40] et Ghia & al [41] obtenus pourRe = 1000. On représente les profiles de la composante horizontale de la vitesse u (fig. 66) ainsi que celuide sa composante verticale v (fig. 67) respectivement le long des axes verticale et horizontale passantpar le centre du vortex pour des maillages de plus en plus fins. On observe également les profiles suivantces deux axes pour la pression (figures 68 et 69).

69

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Profiles de la vitesse : figures 66 et 67

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

u

yRe = 1000, x = 1

2

PIEIC scheme (N=20)PIEIC scheme (N=40)PIEIC scheme (N=80)Botella et alGhia et al

Fig. 66 – Horizontal component profile u.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

v

Re = 1000, y = 1

2

PIEIC scheme (N=20)PIEIC scheme (N=40)PIEIC scheme (N=80)Botella et alGhia et al

Fig. 67 – Vertical component profile v.

Nos résultats sur la vitesse convergent vers ceux de Botella & al ([40]) et Ghia & al ([41]) quand lemaillage devient de plus en plus fin.

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Profiles de la pression : figures 68 et 69

−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

yRe = 1000, x = 1

2

PIEIC scheme (N=20)PIEIC scheme (N=40)PIEIC scheme (N=80)Botella et al

Fig. 68 – Pressure profile at x =1

2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

x

p

Re = 1000, y = 1

2

PIEIC scheme (N=20)PIEIC scheme (N=40)PIEIC scheme (N=80)Botella et al

Fig. 69 – Pressure profile at y =1

2.

Nos résultats sur la pression convergent également vers ceux de Botella & al ([40]) quand le maillagedevient de plus en plus fin.

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6 Exemples numériques pour desécoulements compressibles

Dans cette partie, nous donnons seulement un exemple d’écoulement dilatable.

Géométrie

Le domaine de calcul est un cube d’arête L = 1 m, l’écoulement se faisant dans le plan (x, y) :Ω = [−L, 0]× [−L, 0] (cf. figure 70).

x

y

Γ1 (Sortie)

Γ2

(Sortie)

Γ3 (Entrée)

Γ4

(Entrée)(Ω)

−L

Fig. 70 – Domaine de calcul.

Conditions aux limites

−Γ3(en entrée) : u = 0, v = ax avec a > 0−Γ1(sortie) : p = p1(x)−Γ4(en entrée) : u = −ay, v = aL−Γ2(en sortie) : p = p2(y).

avec p1(x) =1

8λ(x2 + L2)2 +

1

2ρ0(x

2 + L2) + p0 et p2(y) =1

8λy4 +

1

2ρ0y

2 + p0, où λ > 0 et p0 une

constante donnée.La loi donnant la masse volumique est ρ = ϕ(z) = (1 − z)ρ0 + zρ1 = (ρ1 − ρ0)z + ρ0, où ρ0 et ρ1 sontdes constantes positives données et z, une fonction scalaire, transportée par le champ de vitesse. Lesconditions aux limites sont donc :

−Γ3(en entrée) : z =λx2

2(ρ1 − ρ0)

−Γ4(en entrée) : z =λ(L2 + y2)

2(ρ1 − ρ0).

On considère alors le problème suivant :

72

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∥∥∥∥∥∥∥∥∥

∂ρu

∂t− τ(u) +∇ · (ρu⊗ u) +∇p = 0 dans Ω× (0, T )

∇ · u = 0Conditions initialesConditions aux limites

La solution analytique de ce problème est donnée par (cf. figures 71 et 72) :∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

u(x, y) = −ayv(x, y) = ax

ρ(x, y) =1

2λ(x2 + y2) + ρ0

p(x, y) =1

8λ(x2 + y2)2 +

1

2ρ0(x

2 + y2) + p0.

(105)

La condition d’incompressibilité permet d’écrire :

∇ · (ρu) = u · ∇ρ+ ρ∇ · u = 0⇒ u · ∇ρ = 0,

donc u · ∇z = 0. Nous resolvons le problème avec un algorithme instationnaire. On modélise l’évolutionde z par le problème de transport semi-discrétisé en temps suivant :

zn+1 − zn

∆t+ un · ∇zn+1 = 0 dans Ω× (0, T )

La discrétisation spatiale de cette équation est réalisée en privilégiant les schémas qui respectent le prin-cipe du maximum. Le schéma de projection pour ce problème s’écrit :

Soit (zn,un, pn, qn).

1. Prédiction de z et de la densité :

zn+1 − zn

∆t+ un · ∇zn+1 = 0

ρn+1 = ϕ(zn+1)

2. Prédiction de la vitesse :

ρn+1un+1 − qn

∆t+∇ ·

(qn ⊗ un+1

)+∇pn −∇ · τ(un+1) = fn+1.

3. Projection :

δpn+1 = pn+1 − pn

∆δpn+1 =∇ ·(ρn+1un+1

)+ρn+1 − ρn

∆t∆t

.

4. Correction du flux de masse :

qn+1 = ρn+1un+1 −∆t∇δpn+1.

4. Correction de la pression :

pn+1 = pn + δpn+1.

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Fig. 71 – Analytical velocity field. Fig. 72 – Analytical pressure field.

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Conclusion

Dans un premier temps nous avons présenté un schéma de projection avec une méthode de vo-lumes finis colocalisés commme discrétisation spatiale, afin de résoudre les équations de Navier-Stokesincompressibles. La principale difficulté dans la résolution des équations de Navier-Stokes dans le casincompressible est liée au couplage entre la vitesse et la pression par la contrainte d’incompressibilité.L’avantage des schémas de projections est qu’ils permettent de découpler le calcul de ces deux variables.De plus l’utilisation de variables colocalisées est grand avantage, car les schémas qui en résultent sontaisement applicables aux géométries complexes.Cependant la colocalisation des inconnues engendre un découplage entre la vitesse et la pression. Celapeut conduire à des solutions numériques non physiques surtout avec l’apparition des faux modes depressions dans certains types d’écoulements. Il est donc nécessaire de trouver une meilleur d’interpolerles flux aux interfaces pour obtenir un couplage correct entre la vitesse et la pression. Nous avons montrénumériquement qu’à défaut d’une interpolation correcte des flux aux interfaces, une interpolation d’ordreplus élevé (en l’occurence 2 ici) dans le calcul du gradient de pression intervenant dans l’équation de laquantité de mouvement permet d’obtenir de meilleurs résultats.

Nous avons réalisé quelques exemples numériques (écoulement de Poiseuille, dans un coude, dans unecavité entraînée) et nous avons discuté les propriétés de convergence et de stabilité de tous les schémasmis en œuvre dans le cadre de ce stage. Nous avons comparés certaines simulations à certains résultatsde la littérature (cavité entraînée) et vérifié qu’il y avait cohérence.

Ce stage fait suite à des travaux de synthèse sur les méthodes ellipiques de type correction de pression.Nous avons mis en œuvre numériquement ces méthodes dans le code FICTITIOUS, ou existait déjà desméthodes de domaines fictifs pour la résolutions des équations de bilan d’énergie dans un générateur devapeur.Une suite envisageable de ce stage est l’étude et la mise en œuvre de méthodes de stabilisation pourles volumes finis colocalisés. Nous avons mis en œuvre la stabilisation par interpolation des flux dite deRhie & Chow.Ensuite, nous pouvons envisager l’implémentation des schémas de projection pour une grande classe defluides faiblement compressible ou pour des écoulements multiphasiques. Nous avons réalisé le cas d’unfluide dilatable, mais malheureusement, nous n’avons pas encore validé ses résultats par des simulations.Enfin, on pourrait envisager d’appliquer les méthodes de domaines fictifs aux problèmes d’écoulements.Cela permettra de disposer d’une vaste librairie de simulations thermohydrauliques des générateurs devapeur.

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