Rapport de modélisation des

ouvrages

Simulation numérique du creusement du tunnel

de Tartaguille

Barbisan Nicola - Gaborit Olivier

Sommaire Introduction ............................................................................................................................................. 3

I Le contexte de l’étude ........................................................................................................................... 4

A] Les outils de l’ingénieur .................................................................................................................. 4

B] La méthode des éléments finis ...................................................................................................... 5

C] Critères dimensionnant ................................................................................................................... 5

D] Le modèle de Duncan dans notre étude ? ...................................................................................... 6

II Définition du modèle numérique ......................................................................................................... 7

A] Géométrie ....................................................................................................................................... 7

B] Maillage ........................................................................................................................................... 8

C] Définition des propriétés ................................................................................................................ 8

i sol F2 Elément volumique iso 3d : ................................................................................................ 8

ii Boulons et demie boulons - F8 Elément barres : .......................................................................... 9

iii Coque en béton- F5 Elément plaque : ......................................................................................... 9

D] Conditions aux limites .................................................................................................................. 10

E] Le phasage ..................................................................................................................................... 10

F] Définition du cas de charge ........................................................................................................... 10

G] Paramètres de calcul .................................................................................................................... 11

i Méthode ...................................................................................................................................... 11

ii Tolérance .................................................................................................................................... 12

III Résultats Erreurs réflexion ................................................................................................................ 13

A] Modèle de base............................................................................................................................. 13

B] Comportement général du modèle. ............................................................................................. 14

i Comportement du sol .................................................................................................................. 14

ii Déplacements totaux. ................................................................................................................. 18

iii Plastification du sol. ................................................................................................................... 19

iv Vérifications des contraintes dans le béton. ............................................................................. 20

v Contrainte dans les boulons ....................................................................................................... 21

IV Etude de la sensibilité au incrément ................................................................................................. 23

V Etude de la sensibilité au ko (0.6, 1.2, 1.6) ........................................................................................ 25

A] Point de référence, la clé de voute : ............................................................................................. 25

B] Contrainte dans un demi-boulon de la troisième rangée. ............................................................ 26

C] Micro déformation max dans le sol .............................................................................................. 26

D] Comparaison des contraintes maximales de traction dans le béton ........................................... 27

E] Comportement des boulons. ........................................................................................................ 29

IV Comparaison avec le modèle 3d et 2 d ............................................................................................. 30

A] L’intérêt du 2D .............................................................................................................................. 30

B] Convergence confinement ............................................................................................................ 31

V] Conclusion : ....................................................................................................................................... 34

Introduction

Les approches numériques, Différences Finies, Volumes Finis, ou Eléments Finis sont des approches très performantes permettant de réaliser des simulations réalistes. Leur domaine d’application est très large et permet des approches de phénomènes en statique ou en dynamique. C’est la méthode des éléments finis que l’on va mettre en œuvre ici afin d’étudier le comportement d’un sol lors de la construction d’un tunnel. Le terrain sera alors discrétisé par maillage afin d’approcher au mieux le milieu continu.

I Le contexte de l’étude

Dans le but de réaliser une ligne TGV Sud est, la

SNCF a, dans son tracé, défini la réalisation d’un

tunnel, nommé Tartaguille. Celui-ci est long de 2338

m et possède une section de 180 m².

La partie du tunnel étudiée a été définie avec une

méthode de construction en béton projeté,

générant une coque et de boulons enfoncés dans le

sol.

Afin de mieux comprendre les phénomènes

d’interactions qui lient le soutènement de la coque

au terrain naturelle ainsi que l’utilité des boulons,

on étudiera le comportement global de la première phase de chantier. Cette phase réside en

l’excavation de la zone supérieure du tunnel. Cette opération s’effectue en retirant la voute

supérieur à l’aide d’attaque ponctuelle, avec des haveuses ou parfois à la dynamite. Puis, on vient

consolider, à une certaine longueur du front de taille, le sol par un renforcement (boulons et béton

projeté) pour éviter que le sol se déconfine et engendre des déplacements trop importants.

A] Les outils de l’ingénieur

On peut dimensionner un ouvrage par des méthodes semi-empiriques. Par exemple pour calculer le

fonctionnement d'un rideau de palplanche, on peut utiliser la méthode de Blum. L’idée étant de

traiter le problème au moment de la rupture. Pour traiter ces problèmes (Bilan des efforts), on doit

utiliser des hypothèses simplificatrices et donc ajouter des coefficients des sécurités importantes. De

plus, certains ouvrages subissaient des déformations non prévues comme par exemple des torsions.

La conséquence de ce type d’approche est que les ouvrages sont surdimensionnés et c’est pourquoi

d’autres méthodes plus précises ont été développées comme le calcul aux modules de réaction.

L’idée est alors de découper le sol en couche et d’associé chaque couche à une poutre appuyée sur

un tapis élastique. Puis, on peut utiliser les équations de poutre de la MMC. Comme il est impossible

de traiter le problème en analytique, des codes ont été développé avec la méthode des différences

finies. Cependant, la définition des conditions aux limites reste complexe. Ces méthodes permettent

d’obtenir la déformé du sol. On peut dimensionner ainsi les ouvrages de façon plus rationnelle avec

des coefficients de sécurités adaptés.

Dans la réalité économique actuelle, on a besoin d’affiner d’avantage les calculs et donc d’étudier

l’ouvrage dans son environnement. La méthode des Eléments Finis permet de discrétiser l’ouvrage

ainsi que tout son environnement.

B] La méthode des éléments finis

Ce type de méthodes est utilisé pour dimensionner des ouvrages conséquents. Ce type de code

permet d’étudier un problème mécanique, hydraulique et thermique et les couplages entre eux. Par

exemple, L’ANDRA, pour étudier le stockage des déchets radioactifs dans le sol, a besoin de

comprendre les interactions entre la chaleur, la déformation des puits et la dimension hydraulique. Il

permet aussi de prendre ne compte le comportement non linéarité des matériaux.

- Rappel sur la démarche des éléments finis :

On passe du domaine continu à une géométrie discrétisée en maillant le domaine. On utilise

l’équation locale de mécanique et on utilise les conditions aux limites en déplacement (Dirichlet) et

en contrainte (Neumann). On construit l’approximation nodale puis on calcule les matrices

élémentaires que l’on assemble. On prend en compte les conditions aux limites et on résout

l’équation matricielle. La phase de post traitement permet d’évaluer les grandeurs.

- Les avantages de la méthode des éléments finis :

On utilise le principe vibrationnel qui, avec une fonction test, permet de rendre nulle la moyenne de

l’erreur (formulation faible, principe des travaux virtuels). La pondération de l’erreur sur tout le

domaine est une des premières caractéristiques de cette méthode. Un autre avantage des éléments

finis est l’utilisation d’une intégration par partie pour la résolution. Cela permet de baisser d’un

degré les équations. De plus, lors de cette intégration par partie, les conditions aux limites en

contraintes sont directement intégrées à l’équation.

C] Critères dimensionnant

On simulera l’excavation de la zone supérieure à l’aide du code de calcul César – LCPC en faisant les

hypothèses suivantes :

- Le modèle d’étude est symétrique, on se modélisera la partie gauche du tunnel. - Les caractéristiques du sol seront prises en fonction des essais réalisés in situ - Pour ne pas avoir des effets de bord, on se placera à une profondeur de 35 m, et on

modélisera le sol en dessous du tunnel de 30 m.

La finalité de l’exercice est de comprendre le fonctionnement de cette méthode et d’étudier le

comportement de l’ouvrage selon les critères suivants (principaux) :

- Déplacements totaux en tête de voute, résultant du déconfinement. On souhaite que les

déplacements restent admissibles.

- Vérification des contraintes dans les coques béton. Valeur de traction < traction admissible

- Calcul des contraintes dans les boulons et demi boulons. Leur fonction est de retenir le sol, ils

doivent donc être tendus.

Dans un second temps nous nous intéresserons à l’aspect calculatoire en faisant une étude de

sensibilité du nombre d’incréments, puis nous analyserons la justesse des résultats nécessairement

décalée de la réalité.

D] Le modèle de Duncan dans notre étude ?

En géotechnique, l’un des tests les plus utilisé, qui permet de définir les caractéristiques d’un sol, est

l’essai triaxial. Cet essai montre que le module du sol dépend de la contrainte initiale (de

confinement). E dépend donc du déviateur.

Figure 1 : Relation entre la contrainte et la déformation (essai triaxial).

Duncan a généralisé ce comportement en 3d. Cependant, on sait que cette loi n’est physiquement

pas admissible car les chemins de contraintes sont complexes. On peut cependant utiliser la loi de

Duncan dans des études, qui ressemblent dans leurs principes à l’essai tri axiale comme par exemple

pour les tassements sous les bâtiments (même chemin de contraintes). Dans notre étude, ce modèle

devient complètement faux car les chemins de contraintes sont très différents de ceux du triaxial.

C’est pourquoi, on n’utilisera pas la théorie de Duncan dans notre cas pour étudier le phénomène de

décharge de notre sol lors du déconfinement.

II Définition du modèle numérique

A] Géométrie

Idée générale : On prend un cube qui constituera le sol d’une hauteur de 70m (largeur 50 m ;

longueur 61 m) dans lequel on vient d’ excaver la demie voute supérieure du tunnel.

Vue globale de la 3D Vue longitudinale de la géométrie

Dessin des éléments :

Volume de sol excavé : on représente le volume excavé par 22 volumes de rayon 6.7 m et de

longueur 1 m. Cette division permettra d’effectuer la notion de phasage. La longueur totale

d’excavation est donc de 22 m.

Boulons : On dispose 11 rangés de 7 boulons. Les boulons mesurent 4 mètres de longueur et sont

disposés perpendiculairement à la tangente de la voute.

Béton projeté : il sera représenté par un élément coque, on le dessine donc comme élément

surfacique.

Remarque : On distingue les éléments avec des couleurs

différentes pour améliorer la sélection plus tard.

Rangée de boulons

Sol excavé

Béton - coque

B] Maillage

Le maillage, en trois dimensions des éléments, est complexe à réaliser. Dès lors, qu’un maillage est

supprimé, toutes ses caractéristiques sont perdues. En effet, la version actuelle de César mémorise

les propriétés du maillage et non celles des volumes. Cette correction sera apportée dans les

versions futures. Pour cette raison, on se limitera, à défaut de temps, à l’étude d’un seul maillage et

nous ne mènerons pas d’étude sur la sensibilité du maillage.

On maille les éléments volumiques : sol et sol extrudé. Maillage linéique : 4 points par boulon et demi boulons Le modèle totale possède ainsi 8421 nœuds.

C] Définition des propriétés

i sol F2 Elément volumique iso 3d :

Contraintes géostatiques du sol : poids volumique = 2280 kg/m3. Koy=kox=1.2 (essais triaxiaux).

E sol νm c φ Ψ

1 500 MPa 0.3 MPa 0.3 MPa 20° 0°

Malgré la précision des essais géotechniques sur site (préssiometre) ou en laboratoire (essai tri axial), ν n’est connu qu’à 50%. En effet, on a l’information par carottage à un point précis du sol mais l’hétérogénéité du sol ne permet pas d’avoir une valeur précise « moyennée » pour tout le site. C’est pourquoi, les différents paramètres, et donc la connaissance du sol, restent souvent imprécis.

Choix du modèle de sol

Non linéarité du sol

Lorsque l’on est à l’intérieur de la surface de charge, on a un comportement élastique parfait. Mais

très vite, le sol va subir de l’écrouissage. Dans notre étude, on utilise la méthode de Mohr coulomb

sans écrouissage qui est le critère utilisé à 95% en géotechnique. Dans Morh Coulomb, le modèle ne

prend pas en compte l’évolution de la surface de charge, on plastifie et on part directement à la

rupture.

Pourquoi il y t-il 5 coefficients ?

Schéma : sa déformation est élastique, il se comprime puis dans un deuxième temps, il va se dilater

en fonction de φ du sol.

Pour un sable de Loire, on devrait avoir une dilatation unique car elle ne dépend que de φ, hors (ou

or) sa dilatation dépend de son état initial. C’est pourquoi, pour prendre en compte ce phénomène,

on rajoute un angle à l’angle de frottement interne qui s’appelle l’angle de dilatance Ψ. Ce

coefficient est difficile à interpréter et généralement, dans la pratique, on prend φ = Ψ. D’après les

caractéristiques mécaniques, nous avons pris Ψ=0, ce qui signifie, d’après la modélisation de la

dilatance, qu’en plasticité il n’y aura pas d’évolution de volume. Cela veut dire que le sol ne se

dilatera pas. Le modèle est donc simplifié, on ne peut donc pas quantifier la résistance normale du

sol se comprimant sur les barres d’acier. Cette méthode est plutôt sécuritaire, mais on pourrait

gagner en quantité de matériaux avec des modèles qui prendraient en compte la dilatation du sol.

ii Boulons et demie boulons - F8 Elément barres :

E acier Sboulons Sdemie boulons

210 000 MPa 4.80 10^-4 m² 2.40 10^-4 m²

iii Coque en béton- F5 Elément plaque :

Ebéton frais Ν ρ Ep

7000 MPa 0.2 2500 kg/m3 20 cm

C’est un béton projeté. On ne peut pas garantir un module élevé car il dépend de la mise en œuvre,

qui sur chantier peut être variable.

Dilatation

D] Conditions aux limites

On bloque les déplacements sur tous

les points du maillage extérieur.

L’hypothèse de travailler en symétrie,

impose donc un déplacement nul selon

la direction y (flèche rouge) dans le

plan de symétrie. Seule la surface du

dessus reste libre.

E] Le phasage

César permet de gérer la notion de phasage. Il effectue en quelque sorte plusieurs calculs, à des temps donnés de l’opération d’excavation du tunnel. L’opération réelle d’excavation se déroule en trois phases. On creuse, à une distance de 2 mètre du front de taille, on vient placer les boulons comme renfort du sol puis, on vient mettre le soutènement en projetant le béton. La phase 0 (initiale) consiste à calculer le modèle sans excavation. Les phases 1 à 11 sont définies de la manière suivantes : on désactive le maillage du sol excavé par tranche puis on active la coque et les boulons par tranche décalée de 2 m. On a ainsi, pour toutes les phases, seulement 2 mètres de sol ni boulonnés ni soutenus. En réalité, il existe un décalage temporel entre le boulonnage et la pose du soutènement. De plus, dans notre cas le béton projeté est frais et n’obtient pas sa résistance maximale subitement. Nous reviendrons en détails sur ces points, dans le chapitre III (B iv).

F] Définition du cas de charge

Pour chaque phase, les cas de charges changent. Le modèle est sollicité par deux actions distinctes :

- L’une provient du déconfinement qui résulte de l’excavation. Cette force du sol est exercée

normalement aux faces excavées (flèches bleues). On choisit pour la première étude un ko=1.2 (voir

chapitre V pour la sensibilité).

- l’autre est la force de pesanteur agissant sur la coque en béton, elle est dirigée verticalement vers le

bas.

Forces d’excavation en bleu, pour la phase 7.

G] Paramètres de calcul

i Méthode

Toutes les méthodes travaillent par récurrence. Avant tout, la résolution d’un problème non linéaire

est toujours la succession de problèmes linéaires.

Méthode de la sécante (méthode itérative directe) : On estime une solution, et par une

simplification on en déduit un x1, plus proche de la solution. Cette méthode nécessite de

nombreux calculs, parce qu’une nouvelle matrice K doit être inversée.

Méthode de Newton Raphson, deux solutions : -rigidité constante : soit on garde [K] matrice de rigidité constante c’est-à-dire que pour toutes les itérations on n’aura pas besoin de la redéfinir. Elle a, comme défaut, de nécessiter plus d’itérations, mais c’est une méthode robuste si le modèle est bien posé.

Figure 2 : Méthode de Newton Raphson

-méthodes à contrainte initiale : à chaque itération on recalcule [K], la convergence est donc très rapide, mais le calcul de [K] est énorme. La méthode est moins stable. Nous avons sélectionné la méthode à rigidité constante pour une première étude.

Figure 3 : Résolution par incréments de charge

ii Tolérance

On choisit 0.01 pour la tolérance. Le critère de convergence peut être choisi de 1% à 1%0, le

compromis entre temps et justesse temps de calcul est à trouver.

III Résultats Erreurs réflexion

A] Modèle de base

Vérification dans la phase 1 des valeurs de contraintes initiales : σzz= h ϒ ici h= 70 m et ϒ = 2280 kg/m3. σzz= 70 x 2280 x 9.81 = 1.566 MN/m². on trouve 1.544 σxx= ko σzz =1.2 x 1.566 = 1.879 MN/m².

On vérifiera pour les phase 1 à 11 les quatres poins suivants :

- Déplacement totaux en tête

- Vérification des contraintes dans les coques béton. Valeur de traction < traction admissible

- Calcul des contraintes dans les boulons et demi boulons.

- Critère de non plastification du sol.

B] Comportement général du modèle.

i Comportement du sol

L’excavation du sol engendre un effort de déconfinement du sol et donc des déplacements. César

calcule la phase 1, puis pour les phases successives il additionne les déplacements obtenus à la phase

précédente, ce qui explique les déplacements « triangulaires en clé de voute ». On a donc

l’impression que les boulons ne reprennent pas les efforts de déconfinement, ce qui est dû à la

méthode employée pour résoudre le système. En effet, le calcul pour la phase 2 ne se base par sur le

maillage déformé de la phase 1 mais sur le maillage initial. L’hypothèse de reprendre la déformée

pour chaque calcul sera d’un point de vue calculatoire un coût énorme. Il faudrait, de fait, recalculer

toutes les coordonnées des points et donc redéfinir la matrice de rigidité pour chaque calcul de

phase. La méthode utilisée fait donc la somme des déplacements de la phase précédente avec ceux

de la phase de calcul. Ce qui explique la déformée observée en clé de voute et également en base

d’excavation.

En géotechnique, la question est de savoir comment

évolue le domaine de plasticité en fonction des chemins

de contrainte (fortement corrélée à l’histoire du lieu,

consolidation des sols). Lorsque l’on va déconfiner, le sol

subira une décharge et donc le domaine élastique

évoluera.

Effet de Baushinger : Ce phénomène doit être pris en

compte dans les lois de comportement pour des

sollicitations de type cycliques.

Figure 4 : effet de baushinger

Figure 5 : surface de charge dans un espace à 2 dimensions.

Ce n’est pas l’état de contrainte qui définit la plasticité, mais c’est toute l’histoire du chargement du

sol. Pour une même contrainte, je peux donc être en élasticité ou en plasticité.

Dans Cesar, on opère une simplification et on

considère que les surfaces de charge évoluent

de manière isotrope. On ne considère aucune

translation des surfaces et donc la surface de

charge se transforme de manière homothétique.

Et c’est pourquoi, on utilise le morh coulomb à

écrouissage isotrope. C’est un modèle qui ne

permet pas de travailler sur des chargements

cycliques dynamiques (Séisme, fondation

éolienne).

Avec Morh coulomb, on a une surface de rupture totalement indépendante de la facette. Elle dépend

des invariants du tenseur des contraintes (tenseur 3D). Il y a plusieurs critères usuels de rupture.

Celui de Tresca, par exemple, est adapté aux argiles fortement consolidées ou celui de Von Mises qui

ne concerne que les matériaux métalliques. Morh Coulomb est utilisé dans 95% des cas en

géotechnique. Le critère se base sur le maximum du déviateur.

Figure 6 : surface de rupture

ii Comportement de la coque :

L’approche de la modélisation en 2d permet de travailler en plan de coupe. On définissait un

matériau béton pour un maillage. En 3d, les nœuds ne correspondent pas forcement à un plan de

coupe. On a donc, la répartition des contraintes selon le schéma ci-dessous.

Compression

traction

intrados

extrados

σ2

σ1

σ1 est la contrainte principale de compression

au point considéré

σ2 est la contrainte principale de traction au

point considéré

les contraintes sont supposées linéaires

dans l’épaisseur du béton.

L’effort normal est alors défini N = (σ 1u + σ 1l) /2 σ 1u : contrainte sur l'extrados σ 1l : contrainte sur l’intrados

Contrainte principale s1 sur la coque à l’extrados, montrant l’influence des boulons.

Dans notre modèle, on duplique des sections de coques, ce qui explique le dessin de contrainte en

séquence. Dans la réalité lorsque l’on projette le béton, même avec des reprises de bétonnage, la

continuité est globalement assurée.

Pour un ko=1.2, nous avons observé des compressions dans les boulons horizontaux en pied de

voute.

ii Déplacements totaux.

Déplacements des points de la clé de voute :

Phase : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Déplacement

horizontal en clé de voute en mm

0.044 0.853 1.196 1.335 1.409 1.471 1.515 1.533 1.544 1.514 1.715

Déplacement verticale en clé de voute en mm

-0.670 -0.690 -0.847 -0.944 -0.802 -0.787 -0.799 -0.815 -0.836 -0.844 -0.786

On remarque, premièrement, un déplacement vertical (axe z) du point de clé de voute, dû au poids de la couche de terre supérieure, de l’ordre de 0.7 mm. Ce déplacement est constant tout au long du phasage et varie entre 0.67 à 0.944. Si on a un sol homogène, ce déplacement ne sera par conséquent peu différent lors de l’excavation du tunnel. On sait par nature que le sol n’est ni homogène et ni isotrope et donc notre modèle n’est pas représentatif de la réalité. Cependant cette courbe montre que les déplacements en clé de voute du front de taille se stabilisent. Deuxièmement, les déplacements horizontaux des points en clé de voute sont de l’ordre de 1.5 mm. Il y a donc un déplacement global du massif de sol dû à la pousser des terres du front de taille vers la partie excavée. Il résulte de ce déplacement horizontal du sol, un déplacement des boulons dans la même direction. Il est donc probable que ces boulons subissent également des efforts de flexion, car le déplacement relatif en tête est différent de celui en base du pieu (au contact du béton). Notre modèle ne prend pas en compte la flexion des pieux. Enfin on reste dans l’hypothèse des petites déformations.

)(2

1uu t

.

En géotechnique, on travaille à 95% en petites déformations car pour des déplacements même importants de l’ordre du mètre pour un barrage par exemple, on reste dans des grandeurs petites par rapport aux dimensions de l’ouvrage. Le calcul en grande déformations est très complexe, car ε=Bu avec B dépend de u. On n’est donc plus en linéaire.

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

déplacement en mm

phases

Evolution des déplacements en clé de voute en fonction des phases.

Déplacement horizontal en clé de voute en mm

Déplacement vertical en clé de voute en mm

axe x

axe z

iii Plastification du sol.

Micros déformations maximales relevées pour chacune des phases ci-dessous :

Phase : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Micro déformation max 306.38 604.47 710.82 675.26 694.63 703.34 688.99 667.71 653.75 624.92

Les micros déformations se

localisent principalement au front de

taille, et autour des boulons. Les

micros déformations, en front de

taille, n’ont que peu d’importance

car ont vient excaver la partie

plastifié. On étudiera plus en détail,

ce point pour une valeur de Ko

différente.

La visualisation proposée par

l’interface ne permet pas de prendre

en considération visuelle les micros

déformations à l’intérieur du massif.

On a une simple visualisation sur les

surfaces extérieures du maillage.

On remarque une stabilisation des micros déformations autour de 650 µm.

250

350

450

550

650

750

850

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

déplacement en µm

phases

Evolution des micro déformations maximales en fonction des phases.

Micro déformation max

iv Vérifications des contraintes dans le béton.

Contrainte maximale dans les coques au court du phasage

Phase : 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Contrainte maximale de compression s2

3.36 3.59 3.78 3.87 3.92 3.96 4.02 4.07 4.11

Contrainte maximale de traction s1

2.989 2.694 2.519 2.432 2.37 2.326 2.29 2.27 2.259

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

2 3 4 5 6 7 8 9 10

contrainte en MPa

phases

Evolution des contraintes maximales du modèle dans le béton en fonction des phases.

Contrainte maximale de compression s2

Contrainte maximale de traction s1

Comportement d’une partie de la coque en fonction du phasage (au cours du temps). Coque n°3

Phase : 4 5 6 7 8 9 10

Contrainte maximale de compression s2s

3.13 3.32 3.43 3.49 3.52 3.54 3.55

Contrainte maximale de traction s1

1.1 0.99 0.90 0.82 0.75 0.7 0.65

Si on regarde les contraintes pour une coque précisément, on observe un léger accroissement de la

contrainte en compression qui se stabilise rapidement autour de 3,5 MPa. En revanche, la contrainte

de traction est plus pénalisante lors de la 1ère phase. Cette observation se généralise lorsque l’on

regarde le béton dans l’ensemble du phasage. On imagine alors que les contraintes lors des

premières phases sont dûes aux effets de bords. Les valeurs des phases 1 à 5 sont seulement

indicatives et ne retranscrivent pas les réelles sollicitations sur le béton.

v Contrainte dans les boulons

Variation de la contrainte d’un demi-boulon au cours du temps.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4 5 6 7 8 9 10

contrainte en MPa

phases

Evolution des contraintes dans une même coque en fonction des phases.

Contrainte maximale de compression s2s

Contrainte maximale de traction s1

Phase : 4 5 6 7 8 9 10

Contrainte dans un boulon de la deuxième rangée en kN

2.64 2.93 3.01 3.07 3.145 3.215 3.28

Représentation de la contrainte normale dans les boulons.

Non prise en compte de la dilatation des sols.

Figure 7

Le phénomène de dilatation des sols peut être un paramètre important dans notre cas, mais on ne le

prendra pas en compte. Lorsque des éléments sont repris par des efforts latéraux, comme par

exemple des pieux de fondations, l’effet de dilatation peut est important car il augmente l’effort

normal, et donc la reprise par frottement-adhérence de la fondation. Dans notre cas, les barres sont

ancrées et l’on ne considère pas le frottement. Cet effet là est donc caduc mais dans la réalité l’effet

Dilatation du sol

de frottement sur les barres n’est pas négligeable sur la capacité portante du sol, surtout que l’on

voit que le sol plastifie au niveau des pieux.

Figure 8 : reprise de charge par frottement d’un pieu

IV Etude de la sensibilité au incrément

Dans le processus itératif de calcul, on va converger vers la solution. On prend un point x0, puis on

prend la tangente à ce point. On trace la droite jusqu’à la solution et l’on déduit le x1 sur la courbe. Si

x0 est proche de la solution finale alors, on va converger. En revanche, si x0 est éloigné de la valeur

finale alors, on divergera.

Pour déterminer le x1, on commet une imprécision car on ne connaît que des tangentes en des

points et donc pour déterminer x1 on fait des projections sur la courbe en faisant une erreur. A

chaque itération, on cumule donc les erreurs.

Nous avons calculé toutes les phases, en un seul calcul. Le temps de calcul a été de 10 minutes, avec

5 incréments et une tolérance de 0,01%. La phase 11, (voir invite de commande ci-dessous) qui est

toujours la plus longue, a mis 16 secondes pour le dernier incrément. On en conclut que la

convergence est rapide.

On cherche à comprendre la convergence en fonction des résultats selon les incréments. Pour cela,

on regarde la contrainte s1 en un point - sur la clé de voute - pour la phase 5.

incrément 1 2 3 4 5

Contrainte (compression) s1 0.458 0.409 0.405 0.4 0.397

La convergence étant rapide, la variation de valeur de la contrainte entre 1 ou 5 incréments est de

l’ordre de 13 % (0.458 – 0.397). Nous avons également fait la démarche similaire, en regardant les

déplacements et les contraintes dans les boulons. La variation est alors très peu visible selon le

nombre d’incréments. On ne commet donc pas une erreur importante en choisissant 5 incréments.

L’erreur étant surtout dûe à la lâcheté du maillage. Le travail du maillage serait donc primordial.

Imprimer écran de l’invite de commande lors du calcul de la phase 11.

V Etude de la sensibilité au ko (0.6, 1.2, 1.6)

A] Point de référence, la clé de voute : On compare le déplacement vertical x du point de clé de voute au front de taille pour toutes les phases, en mm. Le déplacement y étant bloqué.

Phase : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ko=1.6 -0.611 -0.590 -0.783 -0.9 -0.755 -0.717 -0.725 -0.752 -0.768 -0.772

Ko=1.2 -0.670 -0.690 -0.847 -0.944 -0.802 -0.787 -0.799 -0.815 -0.836 -0.844

Ko=0.6 -0.750 -0.835 -0.952 -1.020 -0.894 -0.909 -0.932 -0.939 -0.962 -0.979

Plus ko est faible plus les déplacements en clé de voute du front de taille sont importants. On peut

expliquer ce déplacement, par le fait que pour un coefficient ko faible le terrain exerce une force

horizontale plus faible par rapport à la composante verticale dûe au poids des terres. Le terrain « ne

se tient pas assez ».Ainsi, on obtient des déplacements plus importants pour ko= 1.6. Cette

différence est valable dans les deux directions horizontales, ce qui complique la compréhension du

modèle. On remarque également que l’allure des déplacements est invariante selon le ko.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

déplacement en mm

phases

Evolution de déplacement verticale en clé de voute en fonction de ko.

Ko=0 ,6

Ko=1 ,2

Ko=1 ,6

Point de la clé de voûte étudiée

Ko= 1.6

Ko= 0.6

B] Contrainte dans un demi-boulon de la troisième rangée. On compare les contraintes de traction dans le demi boulon de la rangée 3 (activé dans la phase 4) en MPa.

Phase : 4 5 6 7 8 9 10

Ko=1.6 2.924 3.861 4.469 4.9 5.223 5.472 5.664

Ko=1.2 2.64 2.93 3.01 3.07 3.145 3.215 3.28

Ko=0.6 2.767 3.049 3.073 3.071 3.072 3.083 3.098

On remarque premièrement, une valeur limite de traction au cours du phasage pour ko=1.2 et

ko=0.6 de l’ordre de 3MPa. En revanche cette stabilisation est plus difficilement atteinte pour un

ko=1.6. On suppose que cette valeur peut atteindre les 6 MPa au cours de la construction du tunnel.

C] Micro déformation max dans le sol On compare pour des phases différentes la plastification du sol, les micros déformations maximales.

Phase : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ko=1.6 451.9 1196 1285 1301 1304 1275 1220 1183 1222 1194

Ko=1.2 306.4 604.5 710.8 675.3 694.6 703.3 689 667.7 653.7 624.9

Ko=0.6 387.1 387.1 387.1 387.1 405.6 424.8 459.4 466.8 423.7 427

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

3 4 5 6 7 8 9 10 11

contrainte en MPa

phases

Comparaison des contraintes d'un demi boulon en fonction des phases pour des ko différents.

Ko=1,6

Ko=1,2

Ko=0,6

0,0

200,0

400,0

600,0

800,0

1 000,0

1 200,0

1 400,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

déformation en µm

phases

Evolution des micros déformations maximalles en fonction de ko.

Ko=1,6

Ko=1,2

Ko=0,6

On remarque une stabilisation des micros déformations au cours du phasage. La zone sensible, comme l’image ci-dessus le montre, se trouve sur le front de taille. Pour un coefficient ko de poussée de terre fort 1.6, il est donc compréhensible qu’il y ait plus de plastification. On remarquera également que les micros déformations sont essentiellement présentes dans la zone du front de taille pour ko=0.6. En revanche, pour ko= 1.6, on remarque plusieurs zones, notamment autour les demis-boulons.

Image des micros déformations pour un ko=0.6 ko=1.6

La représentation graphique de César ne permet pas de visualiser le maillage interne ainsi que ses

déformations. L’étude des micros déformations s’effectue donc sur les surfaces libres du sol. Il serait

cependant intéressant de localiser d’autres zones de plastification interne.

D] Comparaison des contraintes maximales de traction dans le béton Afin de connaitre l’influence du ko sur les contraintes de traction s’exerçant sur le béton, il a fallu isoler la première coque. Elle présente une traction importante en sa base, contrainte sur sa face externe. La concentration de contraintes en ce point, est en partie due aux conditions aux limites. Nous avons, dans un premier temps, étudié ce point particulier, puis nous avons cherché les zones de traction dans le reste des coques.

Résultat du point inférieur de la coque :

Phase : 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ko=1.6 4.530 4.256 4.078 4.000 3.925 3.909 3.883 3.865 3.853 Ko=1.2 2.989 2.694 2.519 2.432 2.37 2.326 2.29 2.27 2.259 Ko=0.6 1.755 1.733 1.708 1.693 1.894 1.926 1.964 2.066 2.142

Coque 1 pour k0=0.6 ko=1.2 ko=1.6

Comparaison des valeurs maximales de traction dans les coques (hormis la coque 1 qui présente un point faible).

Les contraintes pour les trois coefficients augmentent en fonction du phasage donc en fonction de

l’avancée du tunnel. Elles se stabilisent lors de la phase 8, autour d’une valeur qui serait celle de la

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

3 4 5 6 7 8 9 10 11

contrainte en MPa

phases

Comparaison des contraintes de traction maximale dans la coque en fonction des phases pour des ko différents.

Ko=1,6

Ko=1,2

Ko=0,6

Phase : 3 4 5 6 7 8 9 10

Ko=1.6 1.594 1.817 2.188 2.369 2.289 2.894 2.829 2.818

Ko=1.2 0.649 1.013 1.479 1.625 1.713 1.962 1.879 1.937 Ko=0.6 0.769 1.380 1.661 1.894 1.926 1.964 2.066

2.142

contrainte sans l’influence des conditions aux limites. La traction est minimale pour un ko=1.2. Pour

le béton projet σtadm = 1 Mpa.

E] Comportement des boulons.

Contraintes dans les boulons pour un ko= 0,6 (valeur maximale de 4.48 MPa)

Contraintes dans les boulons pour un ko= 1,6 (valeur maximale de 3.8 MPa)

Les boulons sont soumis entièrement à la compression pour un Ko de 1,6. En revanche, pour ko de

0,6 les boulons horizontaux subissent et de la compression et de la traction.

IV Comparaison avec le modèle 3d et 2 d

A] L’intérêt du 2D

ε σ ne sont pas représentés en matrice mais en vecteur, à 6 composantes pour la 3D et 3 pour la 2D.

Ainsi, D, matrice d’élasticité (loi de Hook) devient tenseur d’ordre 2 dans la relation D .La

représentation d’un tenseur d’ordre 2 est représentable alors que celle d’un tenseur d’ordre 3 est

moins évidente.

Dans ces conditions, s’il le projet compte 10000 nœuds, alors en 2D, pour 3DDL par nœuds, on aura

une matrice 30000*30000 alors qu’en 3D, la matrice devient 60000*60000. Donc, même pour des

calculs linéaires, la 3D peut être consommatrice en ressource informatique et en temps. Souvent, les

maîtres d’ouvrage imposent des délais réduits au bureau d’étude et les calculs d’une semaine sont à

proscrire. C’est là où réside l’intérêt de la 2D.

Dans notre cas, l'option de simplification 2D repose sur l'hypothèse des déformations planes qui

définissent ainsi la troisième dimension. Il existe d’autres hypothèses simplificatrices pour d’autres

configurations comme la contrainte plane et l’axisymétrie. En déformation plane, les déplacements

dans l'une des directions sont négligeables par rapport aux deux autres. Ici 0 yzyxyy. La

condition de déformation plane est valide lorsque les conditions suivantes sont réunies :

Une des dimensions est beaucoup plus grande que les deux autres. Ici, on imagine notre

tranche de tunnel suffisamment longue.

Les forces dans le plan ne varient pas le long de la dimension ,la plus grande.

Les forces agissant dans la direction normale au plan de coupe sont négligeables.

Figure 9

La figure montre un volume épais soumis à des chargements uniformes. La dimension en Y est

beaucoup plus grande que les dimensions X et Z. Pour modéliser le problème, on crée un plan de

coupe parallèle au plan XZ, l'épaisseur étant très supérieure au diamètre de l’ouvrage.

Pour que les résultats soient cohérents, on évite les effets de bord donc loin de l’entrée et du front

de taille.

B] Convergence confinement

On utilise la méthode de convergence confinement qui permet ainsi d’appliquer à nos nœuds situés

sur la surface libre du tunnel une force équivalente à (1-λ)f, f étant l’équivalent de la contrainte

initiale. λ varie de 0 à 1. Cela modélise le processus d’excavation. Cette méthode permet de

modéliser le phasage de l’ouvrage et prend en compte la distance au front de taille. Cette notion

résulte de plusieurs résultats empiriques. Le paramètre clé étant, à quelle distance du front de taille

le déconfinement atteint 100%.

Le modèle 2d converge plus facilement que le 3d ce qui permet d’avoir une vision du comportement

de notre modèle, afin d’améliorer notre modèle 3d. On raffinera notamment le maillage là où les

contraintes sont le plus élevées.

Maillage 2d.

Notre maillage 2d possède environ le même nombre de nœuds que celui en 3d (8000).

L’approximation des déplacements sera donc plus précise en 2d. On observe d’ailleurs, des

déplacements trois fois supérieurs (Déplacements en clé de voute de 3.585 mm pour la 2d et 1 mm

pour la 3d). Il semble donc plus judicieux d’augmenter le nombre de nœud du modèle 3d, ou de

prendre un coefficient de sécurité sur les résultats 3d.

Un autre avantage du modèle 2d, est de mieux percevoir les phénomènes locaux. Notamment la

traction de la coque à l’ancrage des boulons. On notera également le nombre de micros

déformations max beaucoup plus important 11073 en phase 3 pour la 2d et 700 pour la 3d.

Grace à la 2d, on obtient des

résultats assez rapides. La contrainte

dans les boulons est supérieure pour

celui du bas, respectivement aux

autres boulons. La poussée des

terres est donc supérieure à la

contrainte liée au poids propre des

terres.

On peut considérer la coque

comme une poutre avec des

actions ponctuelles (effort

des boulons) et des actions

réparties (effort exercé par le

sol). Cette courbe nous

montre bien les moments

que reprend le béton.

MN.m

V] Conclusion :

L’étude effectuée sur César est très intéressante car on manie des outils performants et toujours en

développement, qui permettent d’optimiser le dimensionnement des ouvrages.

Ces études permettent aussi d’adapter le modèle lors de la phase de construction, en prenant en

compte les paramètres réels du sol qui restent imprécis lors de l’étude initiale. On s’approche ainsi

au plus près de la réalité mais sachant par ailleurs qu’en non linéaire, nous n’obtiendrons jamais la

solution exacte.

Sur César, on a eu des difficultés sur la construction géométrique pour que le maillage prenne en

compte tout les éléments. Les outils de contrôle permettent de se rendre compte de ce type d’erreur

mais à notre sens, le logiciel manque parfois d’outils de visualisation.

Dans l’étude, on assimile le sol à un milieu continu car 1g contient des millions de grains. C’est

cependant une hypothèse très forte car les terrains sont souvent très hétérogènes, ce que l’on a

observé sur les TP sol. Dans César, on pourra éventuellement modéliser deux sols si la discontinuité

est importante et localisée.