Rappels de théorie des circuits notions associées à un quadripole
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ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction1
• Rappels de théorie des circuits
• notions associées à un quadripole
• matrice d’impédance et d’admittance
• gain, puissance
• paramètres S - matrice de répartition
• définition des paramètres S?
• Propriétés de la matrice S
• Méthode de calcul: théorie des graphes et règle de Mason
Paramètres S
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction2
• A basse fréquence, un quadripole est caractérisé par des tensions et courants.
• Les paramètres Z (matrice d’impédance) sont utilisés pour décrire complètement le circuit:
V1 = Z11 I1 + Z12 I2 V2 = Z21 I1 + Z22 I2
Z11 Z12
Z21 Z22
Z =
Z11 Z22
Z12 I2 Z21 I1
I1 I2
V1 V2
+
-
+
-
Théorie des circuits
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction3
• Z11 = V1/ I1 lorsque I2 = 0 (accès de sortie ouvert)
Z12 = V1/ I2 lorsque I1 = 0 (accès d’entrée ouvert)
Z22 et Z21 obtenus similairement
• D’autres matrices sont aussi utilisées pour les quadripoles: matrices Y, H,…
Toutes ces matrices utilisent une représentation courant/tension
Théorie des circuits
Z11 Z22
Z12 I2 Z21 I1
I1 I2
V1 V2
+
-
+
-
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction4
Théorie des circuits
Z11 Z22
Z12 I2 Z21 I1
I1 I2
V1 V2
+
-
+
-
+
-
Zg
VgZL
• Puissance fournie au quadripôle par le générateur
2
*221
*111 )4/1()()2/1()()2/1(
gin
ininginf
ZZ
ZZVZReIIVReP
• Puissance fournie à la charge par le quadripôle
2
*2
11
212
*2
1212 )4/1()4/1(Lout
LL
g
g
Lout
LLf ZZ
ZZZZVZ
ZZZZIZP
• Gain de puissance fournie
),,(1
2ijLg
f
f ZZZGPP
G 22
11
2112 ZZZZZZ
gout
Zin Zout
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction5
Théorie des circuits
Zg
I1
V1
+
-Vg
ZL=RL+jXL
• Puissance fournie à une charge ZL par un générateur d’impédance Zg
22
2
2
*2*11
2)4/1()4/1()()2/1(gLgL
Lg
gL
LLgf
XXRRRV
ZZ
ZZVIVReP
• Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle
est obtenue pour :
Zg=Rg+jXg
gLgLgL ZZsoitXXetRR
et est notée puissance disponibleL
gd R
VP
8
2
0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
RL/RG
Pf/(Vg2/8Rg)
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction6
Théorie des circuits
• Si RL > 0 et Rg > 0 la puissance maximale fournie à la charge par le quadripôle
est obtenue pour : gLgLgL ZZsoitXXetRR
L
gd R
VP
8
2
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction7
Théorie des circuits
Z11 Z22
Z12 I2 Z21 I1
I1 I2
V1 V2
+
-
+
-
+
-
Zg
VgZL
1
2
d
fT P
PG
• Notion de gain transductique: rapport entre la puissance fournie à la charge et la puissance disponible à la source
fL
fI P
PG 2
• Notion de gain d’insertion: rapport entre la puissance fournie à la charge(Pf2) et la puissance fournie à cette
même charge lorsqu’elle est connectée directement au générateur (notée PfL)
2
*2)4/1(
gL
LLgfL
ZZ
ZZVP
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction8
•Aux hyperfréquences: longueur des éléments
théorie des lignes de transmission applicable
des ondes de courant, tension doivent être considérées V1= V10 cos (t - z) = Re{V10 exp j(t - z)}
• il est souvent difficile à ces fréquences
• de mesurer des courants et/ou des tensions
• de créer des circuits ouverts ou des courts-circuits
Généralisation à des ondes qui sont des racines carrées de Watts
Intérêt des paramètres S ?
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction9
• définition des ondes généralisées:
ai = (Vi + Zci Ii )/2Rci avec Rci = Re{Zci}bi = (Vi - Z*ci Ii )/2Rci
où: ai est l’onde incidente à l’accès “i”bi est l’onde réfléchie à l’accès “i”Zci est l’impédance de référence au port “i”
Les impédances de références sont choisies arbitrairement mais pourraient être prises égales aux impédances caractéristiques des lignes de transmission incidentes aux accès
• L’onde réfléchie s’annule à l’ “adaptation conjuguée”, c-à-dire lorsque l’impédance que présente le quadripole à l’accès i est égale au conjugué de l’impédance de référence Zci :
Vi = Z*ci Ii
I1 I2
V1 V2
ciiciii
ciiciii
RIZVb
RIZVa
2/)(
2/)(*
Intérêt des paramètres S ?
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction10
• Les paramètres S décrivent complètement un quadripole
ou
• Les paramètres S sont obtenus comme
• Si l’impédance caractéristique de référence est réelle adaptation conjuguée = adaptation ligne
I1 I2
V1 V2
iciiiciiciii IZVaRIZVa 02/)(
2221212
2121111
aSaSbaSaSb
aSb
0222201221
0211201111
12
12
////
aa
aa
abSabSabSabS
Sij est obtenu en connectant à l’accès j une charge ZLj = Zcj
c’est-à-dire une charge « adaptée » à l’impédance de référence
Intérêt des paramètres S ?
S11
a1
S22
S21
S12
b2
a2b1
graphe de transfert associéI1 I2
V1 V2ZL1 ZL2
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction11
• Si Rci > 0, et qu’une source d’impédance Zg = Zci est placée à l’accès i, la puissance disponible à l’accès “i” est
• La puissance fournie à l’accès i est
• La matrice de répartition est reliée aux coefficients de réflexion de façon immédiate si on suppose les impédances de référence réelles (ex. lignes d’accès à faibles pertes):
Zci = Zci* = Rci
22*)( iiiifi baIVReP
2ia
ciiciii
ciiciii
RIRVb
RIRVa
2/)(
2/)(
i
cii
cii
icii
iciiaiiii RZ
RZIRVIRVabS
ij
)(
)()()(/ 0
S11/22 est le facteur de réflexion (au sens ligne) obtenu à l’entrée/sortie du quadripôle lorsque sa sortie/entrée est chargée par une impédance Zcj
(condition pour que aj soit nul)
Intérêt des paramètres S ?
(Pdisp correspond à Zin = Zg * = Zci
* , donc bi = 0)
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction12
ciiciii
ciiciii
RIRVb
RIRVa
2/)(
2/)(
i
cii
cii
icii
iciiaiiii RZ
RZIRVIRVabS
ij
)()(
)()(/ 0
Intérêt des paramètres S ?
)()()( zVzVeVeVzV zz
)()()( zVzVYeVeVYzI ozz
o
zLezV
zVz 2
)()()(
facteur de réflexion à l’abscisse z
Analogie avec ligne de transmission de longueur L:
)0(1 VV
)0(1 II
)(2 LVV
)(2 LII
01221
01111
2
2
//
a
a
abSabS 0V 011 S
LeS 21ligne adaptée 02222
02112
1
1
//
a
a
abSabS 0V
LeS 12
022 Sligne adaptée
c
c
RVb
RVa
2/
2/
1
1
cL
cL
ReVb
ReVa
2/
2/
2
2
si Yo=Yc
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction13
Intérêt des paramètres S ?
Paramètres S pour une ligne de transmission adaptée:
00
2221
1211L
L
ee
SSSS
Par analogie avec une ligne de transmission, la définition de paramètres S
permet donc sous certaines conditions (Zci réelle), de caractériser un quadripole
en terme de transmission et de réflexion du signal hyperfréquences:
• S11 et S22 traduisent la réflexion du signal incident à chacun des accès
• S21 et S12 traduisent la propagation du signal à travers le quadripole
(déphasage et atténuation)
Intérêt des paramètres S pour un quadripole:le comparer avec le comportement d’une ligne de transmission (adaptée)
a1e- L
b2
a2b1
e- L
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction14
Propriétés particulières
22*)( iiiifi baIVReP
La puissance fournie à l’accès i est
Sous forme matricielle:
aSSa
aSSaaa
bbaaPP
TT
TTT
TT
ifitot
)1( **
***
**
Quadripôle passif et sans pertes: Ptot = 0 1* SST
Quadripôle passif: Ptot > 0 SST*1 est définie positive
Quadripôle réciproque: SST
Lien entre matrices S et Z: 11* ))(( FGZGZFS)( ciZdiagG 1)2( ciRdiagF
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction15
• calcul des fonctions de transfert à partir de la théorie des graphes
z
x
yu w r
v
avec D = 1 - T’ + T’’ - T’’’ + …T’ transmittance de boucleT’’ produit 2 à 2 des transmittances de boucles qui ne se touchent pasT’’’ produit 3 à 3 des …
N = Tab Dp
Tab chacun des trajets liant y à x Dp calculé comme D, mais pour graphe dont Tab est supprimé
Règle de Mason
DN
xy
wr1
)1( wru )1( zrv=
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction16
a1
b1
S11 S22
S21
L
S12
Règle de Mason
I1 I2
V1 V2
a2 = L b2
2
2
22
22
22
22
//
ba
IZVIZV
ZIVZIV
ZZZZ
c
c
c
c
cL
cLL
impédance de charge ZL = Zc
?? Facteur de réflexion en entrée du quadripôle ??
1
1
11
11
11
11
//
ab
IZVIZV
ZIVZIV
ZZZZ
c
c
c
c
cin
cinin
22
12212211
1
1
1)1(S
SSSSDN
ab
L
LLin
b2
a2
ELEC2700 - Hyperfréquences Chapître 1: Introduction17
L
Règle de Mason pour une ligne de transmission
Hypothèses
ligne d’impédance caractéristique Zc
impédances de références Zci choisies = Zc
I1 I2
V1 V2
S11
a1
S22
S21
S12
b2
a2b1
2
2
22
22
22
22
//
ba
IZVIZV
ZIVZIV
ZZZZ
c
c
c
c
cL
cLL
impédance de charge ZL Zc
a1
e- Lb2
a2b1
e- L
a2 = L b2
LL
LL
L
in eeeDN
ab
2
1
1
01