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Raisonnement spatial

Stéphane Donikian

Raisonnement spatialPage 2

Plan

• Introduction• Définitions• Modèles méréo-topologiques• Relations topologiques sur des régions

complexes• Relations spatiales directionnelles• L’algèbre des n-pavés• Concepts spatiaux dans la langue naturelle


Raisonnement spatial : pour quoi faire ?

• Représentation totale de l’espace :– Systèmes d’Information Géographique (SIG)– CAO (architecture, aménagement spatial,

circuits imprimés, …)

• Représentation partielle et subjective :– traitement du langage naturel– vision artificielle

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Connaissance qualitative

• Connaissance pertinente essentielle à un agent pour réaliser une tâche.

• Il faut trouver de bons modèles formels :– pour la manipulation d’informations spatiales

qualitatives, – plus facilement manipulables que les données

quantitatives dont elles sont extraites.


Raisonnement Spatial Qualitatif

• Raisonner sur les notions de l’espace

• sans utiliser :– de représentation – ou de méthode de raisonnement

faisant appel à une description numérique ou quantitative.


Les avantages du Qualitatif

• Réduction de la complexité :– l’utilisation de données numériques peut amener à

faire plus de distinctions que nécessaire et peut entraîner un coût plus important en calcul.

• Meilleure précision :– évite les problèmes de discrétisation et de perte

d’information qualitative (comme l’égalité)

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Les avantages du Qualitatif

• Meilleure gestion des informations partielles :– en numérique, il faut travailler sur des ensembles

de valeurs possibles, ce qui complexifie les calculs.

• Un nombre de distinction adapté à la tâche visée

• Comparaison aisée entre valeurs inconnues


Caractéristiques de l’espace

• Plusieurs catégories :

– Topologie

– Inclusion

– Orientation

– Distance

– Forme


Raisonnement Spatial Qualitatif

• Domaine de recherche très actif en ce moment– Conférences biannuelles :

• Conference on Spatial Information Theory (COSIT), publiée dans la série Lecture Notes in Computer Science de Springer-Verlag

• Spatial Cognition, publiée dans la série Lecture Notes in Artificial Intelligence, sous-série des LNCS de Springer-Verlag

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COSIT• COSIT '0 (1992). Theories and Methods of spatio-temporal reasoning in geographic space (LNCS 639), Springer-Verlag. • COSIT '93 (1993). Spatial information theory: A theoretical basisfor GIS (LNCS 716), Springer-Verlag. • COSIT '95 (1995). Spatial information theory: A theoretical basisfor GIS (LNCS 988), Springer-Verlag. • COSIT '97 (1997). Spatial information theory: A theoretical basisfor GIS (LNCS 1329), Springer-Verlag. • COSIT '99 (1999). Spatial information theory: Cognitive andcomputational foundations of geographic information science (LNCS 1661), Springer-Verlag. • COSIT ’01 (2001). Spatial information theory: Foundations of Geographic Information Science (LNCS 2205), Springer-Verlag.


Spatial Cognition

• Freksa, C., Habel, C., & Wender, K.F. (Eds.) (1998). Spatial Cognition - An Interdisciplinary Approach toRepresenting and Processing Spatial Knowledge, LNAI 1404, Springer-Verlag

• Freksa, C., Habel, C., & Wender, K.F. (Eds.) (2000). Spatial Cognition II - Integrating Abstract Theories, Empirical Studies, Formal Methods, and PracticalApplications, LNAI 1849, Springer-Verlag


Définitions

• Ontologie :– Bases de données dont l’objectif est de capturer

l’ensemble des concepts humains sous forme :• d’un ensemble d’objets conceptuels;• de relations entre ces objets.

– Modélisation par des relations plutôt que par des grandeurs mesurables.

• Problème central : choix des entités primitives

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Définitions

• Méréologie : – relation de partie à tout entre deux régions.

• Topologie :– relations de contact et de connexité entre

régions


Quelques modèles méréotopologiques

• Théories méréologiques

• Théories topologiques

• Théories méréotopologiques

• RCC


Théorie méréologique de base

• La relation primitive la plus souvent choisie est la relation P de partie à tout– C’est en fait une relation de pré-ordre

• Théorie M définie par les axiomes suivants : P(x,x); (P1)

P(x,y) ∧ P(y,x) → x = y; (P2)

P(x,y) ∧ P(y,z) → P(x,z); (P3)

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Autres notions définies sur cette base

• Partie propre de (Proper Part) : PP(x,y) =df P(x,y) ∧ ¬ P(y,x)

• Recouvrement (Overlap) : O(x,y) =df ∃z (P(z,x) ∧ P(z,y))



• Partiellement hors de (Over-Crossing) : OX(x,y) =df O(x,y) ∧ ¬ P(x,y) – Il existe une partie de x hors de y.

• Recouvrement partiel (Partial Overlap) : PO(x,y) =df OX(x,y) ∧ OX(y,x) OU PO(x,y) =df O(x,y) ∧ ¬ P(y,x) ∧ ¬ P(x,y)– Il existe une partie de x hors de y et une partie

de y hors de x.



• Sous-couvrement (Underlap) : U(x,y) =df ∃z (P(x,z) ∧ P(y,z))

• Under Crossing : UX(x,y) =df U(x,y) ∧ ¬ P(y,x)

• Sous-couvrement partiel (Partial Underlap) : PU(x,y) =df UX(x,y) ∧ UX(y,x)

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Les quatre types de configuration


Définitions alternatives

• En prenant O comme primitive : P(x,y) =df ∀ z(O(x,z) → O(z,y))

• En prenant PP comme primitive : P(x,y) =df PP(x,y) ∨ (x = y)


Méréologie étendue (EM)

• Extension de la théorie M en ajoutant l’axiome de complémentarité : ¬ P(x,y) → ∃z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)) ; (P4)

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Méréologie (étendue) fermée C(E)M

• Extension de (E)M en ajoutant les axiomes suivants : U(x,y) → ∃z ∀w(O(w,z) ↔ (O(w,x)∨O(w,y))); (P5)

O(x,y) → ∃z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧P(w,y))); (P6)

∃z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)) → ∃z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧ ¬ O(w,y))); (P7)


Opérations sur CEM

• Soit ι un opérateur de description.• P5 correspond à la somme :

x+y =df ι z ∀w(O(w,z) ↔ (O(w,x)∨O(w,y)))• P6 correspond au produit :

x.y = df ι z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧P(w,y))) P7 correspond à la différence :

x-y = df ι z ∀w(P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧ ¬ O(w,y)))


Réécriture de P5-P7

U(x,y) → ∃z (z = x + y) (P5’)

O(x,y) → ∃z (z = x . y) (P6’)

∃z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)) → ∃z (z = x - y) (P7’)

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Existence d’un univers borné

∃z ∀x(P(x,z))

• Le symbole représentant l’univers est noté U : U=df ι z ∀x(P(x,z))

• Définition du complément : ~x =df ι (U - x)


Quasi-inexistence de l’élément nul

• Peu de théories méréologiques définissent un élément nul tel que :

∃z ∀x(P(z,x))

• Pour cette raison le produit ou la différence ne sont pas toujours garanties et le complément de l’univers U n’est pas défini.


Méréologie Générale (étendue) G(E)M

• G(E)M est une théorie extension de (E)M grâce à l’ajout de l’axiome de fusion : ∃x φ → ∃z ∀y (O(y,z) ↔ ∃x (φ ∧ O(y,x))) (P8)

• Cet axiome introduit un z constitué de toutes les entités qui vérifient une propriété φvérifiée par au moins une entité.

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Somme et produit généralisés

• G(E)M est en fait une extension de C(E)M car (P5)-(P7) dérive de (P8).

• Somme généralisée : σ x φ =df ι z ∀y (O(y,z) ↔ ∃x (φ ∧ O(y,x))) La somme de deux entités est la fusion de leurs

parties.• Produit généralisé :

π x φ =df σ z ∀x (φ → P(z,x))


Réécriture des opérateurs dans GEM

x+y = σ z (P(z,x) ∨ P(z,y))

x.y = σ z (P(z,x) ∧ P(z,y))

x-y = σ z (P(z,x) ∧ ¬ O(z,y)))

U= σ z (P(z,z))

~x = σ z (¬ O(z,x))


Variante atomique

• AX est l’extension atomique de la théorie méréologique X obtenue en ajoutant l’axiome suivant :

∀x ∃y (P(y,x) ∧ ¬ (∃z PP(z,y)))

Il existe des éléments indivisibles (atomes) qui seront les constituants de base de la modélisation.

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Variante sans atomes

• ÃX est l’extension « non-atomique » de la théorie méréologique X obtenue en ajoutant l’axiome suivant :

∀x ∃y PP(y,x) (P10)

Il n’existe pas d’éléments indivisibles. Tout objet peut être décomposé en parties plus fines.


Atomicité vs division infinie

• Discussion détaillée sur les notions :– d’atomicité– de divisibilité – et de densité

• dans :– C. Masolo, L. Vieu. Atomicity vs. Infinite

Divisibility of Space. COSIT99, LNCS 1661, Springer-Verlag


Bilan des théories

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Le besoin de topologie

• La méréologie est une théorie générale qui sert à modéliser des propriétés abstraites sur des entités de même niveau ontologique.

• C’est par l’ajout de notions topologiques que l’on peut commencer à parler de théories spatiales.


La topologie mathématique

• Structure de la forme τ = (E, T) dans laquelle T est un ensemble de sous-ensembles de E, appelés les ouverts de la topologie τ.

• Ces sous-ensembles vérifient les propriétés suivantes :– l’intersection de deux ouverts est un ouvert ;– l’union quelconque d’ouverts est un ouvert ;– E ∈ τ et ∅ ∈ τ


Connexité d’une région

• Dans la théorie classique, une région R est dite connexe lorsqu’il n’existe pas deux ouverts disjoints O1 et O2 tels que :

R = O1 ∪ O2

• Par rapport à la méréologie, la topologie manipule des entités faites d’un seul morceau

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Théorie topologique de base

• Soit C le prédicat de connexion.

• T est la théorie topologique définie par les axiomes suivants : C(x,x); (C1)

C(x,y) → C(y,x); (C2)

P(x,y) → ∀z (C(z,x) → C(z,y)); (C3)


Théorie alternative

• Une solution alternative est de n’avoir que C comme primitive en remplaçant (C3) par :

∀z ((C(z,x) ↔ C(z,y)) → x = y); (C3’)


Autres relations

• Connexion externe : EC(x,y)=df (C(x,y) ∧ ¬ O(x,y))

• Partie tangentielle : TP(x,y)=df P(x,y) ∧ ∃z (EC(z,x) ∧ EC(z,y))

• Partie interne ou non tangentielle : IP(x,y)=df NTP(x,y)=df P(x,y) ∧ ¬ TP(x,y))

x y

y x z x y

y x

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Les sept formes de base


Relations complémentaires

• Fermeture : E(x,y)=df ∀z (C(z,x) → C(z,y));

• Fermeture interne : IE(x,y)=df ∃z (IP(z,y) ∧ E(x,z));

• Fermeture tangentielle : TE(x,y)=df ∃z (TP(z,y) ∧ E(x,z));

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Relations complémentaires

• Superposition : S(x,y)=df ∃z (E(z,x) ∧ (E(z,y));

• SuperCrossing : SX(x,y)=df (S(x,y) ∧ ¬ E(x,y));

• Superposition propre : PS(x,y)=df SX(x,y) ∧ SX(y,x);

• Coïncidence : I(x,y)=df E(x,y) ∧ E(y,x);


Relations de disjonction

• Soit n’importe laquelle des relations (E, IE, TE, S, SX, PS, I) on définit D comme :

D (x,y)=df (x,y) ∧ ¬ S(x,y);


Frontière

• La frontière (Boundary Part) peut être définie comme une partie tangentielle n’incluant pas de partie intérieure :

BP(x,y)=df (TP(x,y) ∧ ¬ ∃z (P(z,x) ∧ (IP(z,y)));

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Combiner Méréologie et topologie

• Il existe différentes stratégies de combinaison :1 Utiliser la méréologie comme théorie de base et

l’enrichir à l’aide entre autre de notions topologiques

2 La méréologie est vue comme une sous-théorie de la topologie et les notions méréologiques sont décrites en terme de primitives topologiques.

3 La topologie est vue comme une sous-théorie de la méréologie et les notions topologiques sont décrites en terme de primitives méréologiques.


Théorie Méréotopologique MT

• La théorie MT est définie conjointement par les axiomes de M (P1)-(P3) et par les axiomes de T (C1)-(C3).

– Méréo-topologie de Casati et Varzi [CAS94]• Cet ensemble d’axiomes est redondant et les

axiomes C2 et C3 peuvent être remplacés par :

P(x,y) → ∀z (C(x,z) → C(z,y));


Théories méréotopologiques XT

• Soit X n’importe laquelle des théories méréologiques précédemment décrites. La théorie méréo-topologique XT induite par X consiste en l’extension de X obtenue par l’ajout des axiomes de T.

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GEMT

• Définition d’opérateurs topologiques en plus des opérateurs méréologiques :

– Intérieur : i(x) =df σz IP(z,x)– Extérieur : e(x)=df i(~x)– Fermeture : c(x)=df ~e(x)– Frontière : b(x)=df ~(i(x) + e(x))


Connexité d’une région

• La propriété SC définie ci-dessous, est vraie pour tout objet x pour lequel il existe un chemin continu pour aller d’une partie de lui-même à toute autre partie sans quitter x.

SC(x)=df ∀y ∀z (x=y+z → C(y,z))


Connexion externe

• La relation SSC définie ci-dessous définit la notion de connexion externe :

SSC(x)=df SC(x) ∧ SC(i(x))

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Définitions supplémentaires

• Ouvert : Op(x)=df (x=i(x))

• Fermé : Cl(x)=df (x=c(x))


GEMTC

• GEMTC (General Extensional Mereotopology with Closure conditions) est l’extension de GEMT obtenue en ajoutant les axiomes suivants: Cl(x) ∧ Cl(y) → Cl(x + y) (C4) ∀x(φ → Cl(x)) → (z = πxφ → Cl(z)) (C5)

• Soit :– la somme finie de fermés est un fermé.– L’intersection de deux fermés est un fermé (si elle

existe).


GEMTC

• ou de manière équivalente : Op(x) ∧ Op(y) → (z=x .y → Op(z)) (C4’) ∀x(φ → Op(x)) → Op(σxφ) (C5’)

• Soit :– l’intersection (si elle existe) de deux ouverts est

un ouvert.– la fusion de deux ouverts est un ouvert.

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Axiomes de Kuratowski

– P(x,c(x))– c(c(x))=c(x)– c(x+y) = c(x) + c(y)– P(i(x),x)– i(i(x))=i(x)– i(x.y)=i(x).i(y)– b(x)=b(~x)– b(b(x))=b(x)– b(x.y)+b(x+y))=b(x)+b(y)


BX

• Soit X une théorie méréotopologiquequelconque. La variante sans frontière de X est l’extension de AX obtenue en remplaçant (P10) par l’axiome suivant :

∀x ∃y IPP(y,x) (C6)

avec : IPP(x,y)=df IP(x,y) ∧ PP(x,y)


Problèmes

• X ne doit pas être atomique• BX ne peut avoir que des modèles infinis.• X doit être plus faible que GEMTC sous peine

d’incohérence.• Le problème principal réside dans la gestion

des frontières.

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Frontière

• Définition de la relation de frontière (Boundary) :

B(x,y) → ∃z ∃w (BP(x,z) ∧ IP(w,z))

B étant défini par :

B(x,y)=df P(x,b(y))


Bilan de la première stratégie


Deuxième stratégie

• Topologie comme base pour la méréologie.• SMT (Strong Mereotopology) est la théorie

extension de MT obtenue en ajoutant l’axiome suivant :

∀z((C(z,x) → C(z,y)) → P(x,y)) (C7)

• SMT peut être simplifiée car (P1) et (P3) peuvent être dérivées des autres axiomes.

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SMT

• SMT est ainsi définie par (C1), (C2) et (P2’), l’axiome suivant :

∀z((C(z,x) ↔ C(z,y)) → x=y) (P2’)

• qui correspond à (P2) avec P défini comme suit :

P(x,y)=df ∀z((C(z,x) → C(z,y))


Simplification

• Réduction du nombre de primitives :– P et C peuvent être définis par une relation

ternaire unique CP(x,y,z) qui signifie :– x et y sont des parties connectées de z

• Réécriture de P et C : P(x,y) =df ∃z (CP(x,z,y) C(x,y) =df ∃z (CP(x,y,z)


Définitions

• Soit X une théorie méréologique. La théorie méréologique forte SXT induite par X est l’extension de XT obtenue en ajoutant l’axiome C7.

• La théorie correspondante avec condition de fermeture SXTC est obtenue en ajoutant les axiomes de fermeture (C4) et (C5) ou de manière équivalente (C4’) et (C5’).

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Définitions

• La théorie sans frontière BSXTC est obtenue en ajoutant l’axiome (C6) ou en le substituant par (P9) ou (P10) si l’un d’eux fait partie de X.


De la place des frontières

• Modification de la sémantique des opérateurs + et - en remplaçant O par C :

x +’ y=df ι z ∀w (C(w,z) ↔ (C(w,x) ∨ C(w,y)))

x -’ y=df ι z ∀w (P(w,z) ↔ (P(w,x) ∧ ¬ C(w,y)))


Analyse

• Si x est fermé, alors : i(x) + e(x) = U - b(x)

tandis que i(x) +’ e(x) = U

• De la même manière : U - x = ~x

tandis que U -’ x = ~x - b(x)

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Redéfinition de l’opérateur de fusion

σ’x φ =df ι z ∀y (C(y,z) ↔ ∃x (φ ∧ C(y,x)))

Les opérateurs i,e,c,b peuvent être ainsi redéfinis.

On note X’ la théorie qui utilise ces nouveaux opérateurs.


Conséquences

• Dans la théorie SGMT’, on obtient les axiomes suivant :

¬ C(x,~x)

¬ SC(U)


BSCMTW’

• La théorie BSCMTW’ est obtenue en ajoutant les axiomes suivants à BSCMT’ : ∃x ∀z C(z,x) existence de l’univers ∃y ∀z (C(z,y) ↔ ∃w (IP(w,x) ∧ C(w,z))) c(U) = U ∃x ∃y EC(x,y) ∃y (y = n(x)) ∃x ∃y WC(x,y)

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Voisinage et connexion faible

• n est l’opérateur de voisinage : n(x) =df ι y (P(x,y) ∧ Op(y) ∧

∀z ((P(x,z) ∧ Op(z)) → P(y,z))) plus petit ouvert contenant x

• WC définit la relation de connexion faible : WC(x,y) =df ¬ C(x,y) ∧ C(x,c(n(y))) connection avec la clôture du voisinage


BSCMTW’

• D’après Asher et Vieu, BSCMTW’ est sémantiquement cohérente et complète.

• Cette théorie est utilisée pour des applications en sémantique de la langue naturelle.


RCC

• RCC est une version de BSCMT’, avec une interprétation faible de la connexion :

Les fermetures topologiques des régions x et y partagent un point commun.

• La définition de SC est transformée en : SC(x)=df ∀y ∀z (x=y+z → C(c(y),c(z)))

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RCC• L’opérateur ~ (complémentaire) défini dans les

théories de type (B)SXT(C)’, par : ~x=df ι y ∀z(C(z,y) ↔ ¬ P(z,x))

devient : ~x=df ι y ∀z((C(z,y) ↔ ¬ IPP(z,x)) ∧

(O(z,y) ↔ ¬ P(z,x)))

• Ce qui permet de garantir que toute région non universelle soit connectée avec son propre complément : C(x,~x)


RCC

• RCC est une extension de EM.

• Dans RCC, la distinction entre ouvert et fermé s’effondre.

• En effet : ∀z(O(z,x) ↔ O(z,y)) → x = y


Bilan de la deuxième stratégie

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Troisième stratégie

• Soit X une théorie méréologique. La théorie Méréotopologique RBX fondée sur des régions minimales est une extension de X obtenue en ajoutant les axiomes suivants pour le prédicat Région R :

C(x,y) ↔ O(x,y) ∧ R(x) ∧ R(y) EC(x,y) ↔ C(x,y) ∧ ∀z((P(z,x) ∧ P(z,y)) → ¬ R(z))


Références bibliographiques

• Méréotopologie :– A.V. Varzi. Parts, wholes and part-whole

relations: the prospects of mereotopology. Dataand knowledge engineering, vol. 20, pp 259-286, 1996.


Différents modes de connexion

• C1(x,y) ↔ x ∩ y ≠ ∅• C2(x,y) ↔ (x ∩ c(y) ≠ ∅) ∨ (c(x) ∩ y ≠ ∅)• C3(x,y) ↔ c(x) ∩ c(y) ≠ ∅

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Quatre types de frontières

connexion minimale

connexion étendue

connexion maximale

connexion parfaite


Un cas extrême de connexion


Référence bibliographique

• Pour plus de détails, consulter l’article suivant :

– A.G. Cohn et A.C. Varzi. Modes of Connection, COSIT99, LNCS 1661, Springer-Verlag

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RCC-8


DC(x,y) =df ¬ C(x,y) P(x,y) =df ∀z(C(z,x) → C(z,y)) PP(x,y) =df P(x,y) ∧ ¬ P(y,x) x=y =df P(x,y) ∧ P(y,x) O(x,y) =df ∃z [P(z,x) ∧ P(z,y)] PO(x,y) =df O(x,y) ∧ ¬ P(x,y) ∧ ¬ P(y,x) DR(x,y) =df ¬ O(x,y) TPP(x,y) =df PP(x,y) ∧ ∃z [EC(z,x) ∧ EC(z,y)] EC(x,y) =df C(x,y) ∧ ¬ O(x,y) NTPP(x,y) =df PP(x,y) ∧ ¬ ∃z [EC(z,x) ∧ EC(z,y)]

RCC-8P-1(x,y) =df P(y,x)PP-1(x,y) =df PP(y,x)TPP-1(x,y) =df TPP(y,x)NTPP-1(x,y) =df NTPP(y,x)


Graphe de dépendance des relations

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Relation spatiale

• Relation spatiale : R(x,y) = ∨i=1

8 αi.ri(X,Y) avec ri l’une des huit relations de RCC8.

• Il y a donc 28 relations différentes possibles entre deux régions.


Configuration spatiale

• Une configuration spatiale est constituée d’un ensemble de relations spatiales.

• Définition des différentes opérations :

– Union : (R∪S)(X,Y) ↔ R(X,Y) ∨ S(X,Y)

– Intersection : (R∩S)(X,Y) ↔ R(X,Y) ∧ S(X,Y)

– Inverse : R-1(X,Y) ↔ R(Y,X)

– Composition : (R°S)(X,Y) ↔∃Z : R(X,Z) ∧ S(Z,Y)


Table de composition

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Fermeture

• Etant donné un ensemble U quelconque de relations de RCC8 ;

• La fermeture de U, notée Û, est obtenue en appliquant les opérations de composition, d’inversion et d’intersection à l’ensemble des relations de U.


Cohérence de la description

• Un ensemble Φ de relations spatiales est dit cohérent s’il est possible de trouver une réalisation de Φ.

• C’est à dire de trouver une instanciation de chaque variable spatiale à l’aide d’une région spatiale de telle manière que toutes les relations soient compatibles.


Exemple d’incohérence

• Soit l’ensemble :

Φ = {NTPP(X,Y),TPP(Y,Z),(TPP ∨ NTPP)(Z,X)}

• Φ est incohérent car :- NTPP(X,Y) ° TPP(Y,Z) donne NTTP(X,Z)

- l’intersection entre {NTTP-1} et {TPP, NTPP} est vide.

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Transitions continues dans RCC-8


Décidabilité

• La définition de RCC en logique du premier ordre ne permet pas des procédures de décision efficaces.

• Il peut même être prouvé que RCC est indécidable.

• Pour pallier ce problème, certains auteurs ont proposé une description de RCC-8 en logique modale.


Codage en logique modale de RCC8

• Introduit en 1995 par Bennett. • Utilisation de l’opérateur I (Intérieur).

IX = intérieur de X

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Codage en logique modale de RCC8

• Dans ce modèle, les contraintes du modèle doivent être vraies (c’est à dire égales à l’univers) tandis que les contraintes induites (entailment constraints) doivent être fausses.

X ∨ Y : union des régions

X ∧ Y : intersection des régions

¬ X : complément de la région


Second opérateur €

• Utilisé pour combiner les contraintes du modèle et les contraintes induites dans la même formule modale.

• €ϕ signifie :– la région spatiale ϕ est égale à l’univers

• et ¬ €ϕ signifie :– la région spatiale ϕ n’est pas égale à l’univers


m2

• Chaque formule spatiale R(X,Y) peut être ainsi transformée en une formule modale m1(R(X,Y)).

• Il faut aussi ajouter la formule m2 qui assure que seules des régions fermées seront utilisées.

m2(X) = €(X ↔ ¬ I ¬ IX) ∧ �(¬ X ↔ I ¬ X)

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H8

• Soit H8 l’ensemble des formules spatiales qui peuvent être réécrites en formule de Horn (64 relations différentes).

• H8 = RCC8 \ (N1∪ N2 ∪ N3) (148 relations/256) N1 = {R / {PO} ⊄ R et ({TPP,TPP-1} ⊆ R ou

{NTPP,NTPP-1} ⊆ R) } N2 = {R / {PO} ⊄ R et ({TPP,NTPP-1} ⊆ R ou

{NTPP,TPP-1} ⊆ R) } N2 = {R / {EQ} ⊆ R et (({NTPP} ⊆ R, {TPP} ⊄ R )

ou ({NTPP-1} ⊆ R, {TPP} ⊄ R ))}


Théorème

• H8 est un sous-ensemble maximale traitable de RCC8 (la consistance peut être résolue par la méthode de la chemin-consistance).

• Les auteurs en ont découvert deux autres récemment avec respectivement 158 et 160 relations et ont montré que ce sont les trois seules ensembles maximaux possédant les huit relations de base.


Références Bibliographiques

• D.A. Randell, Z. Cui et A.G. Cohn. A spatial logic based on Regions and Connection. Proceedings of the 3rd International Conferenceon Principles of Knowledge Representation andReasoning, pp 165-176, Morgan Kaufmann, octobre 1992.

• J. Renz et B. Nebel. Spatial Reasoning with Topological Information. COSIT 1997, pp 351-371.

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Couplage topologie et tailles

• Coupler :– des relations topologiques (RCC-8)– des relations de taille relative (QS)


Relations de tailles qualitatives

• Soit S ∈ QS (Qualitative Size)

• Soient x,y ∈ V (ensemble de régions)

• On peut définir la contrainte suivante :

– size(x) S size(y)

– avec S ∈ {<, >, ≤, ≠, =, ≥, <=>, ∅}


Interdépendance entre QS et RCC-8

• Les contraintes de QS peuvent être utilisées pour raffiner une description dans RCC-8

• On peut aussi détecter des incohérences entre les deux descriptions

35


Théorème• Soit Φ un ensemble de contraintes dans H8 et Σ

un ensemble de contraintes dans QS impliquant des objets de Φ. L’algorithme BIPATH-CONSISTENCY appliqué à Σ et Φ décide de la cohérence de Σ∪Φ.

• Cet algorithme (décrit dans l’article) est une version modifiée de l’algorithme de chemin-consistance de Vilain et Kautz opérant sur un graphe de paires de contraintes.


Référence Bibliographique

• A. Gerevini et J. Renz. Combining Topologicaland Qualitative Size Constraints for Spatial Reasoning. Dans les actes de Principles andPractice of Constraint Programming - CP98, Pise, Italie, octobre 1998, LNCS 1520, Springer-Verlag.

Raisonnement Spatial

Méréotopologie sur les espaces discrets

36


Méréo-topologie sur les espaces discrets

• Théorie atomique• Une cellule est définie comme le constituant le

plus petit d’une région de l’espace.

– Les régions sont des agrégats de cellules.

– Une région nulle ne contient aucune cellule

– La région universelle contient toutes les cellules.


Espaces discrets

• Notations : – lettres minuscules : les cellules – lettres majuscules : les régions.

• Les relations primitives sont :– x ∈ X : la cellule x est contenue dans la région X.– A(x, y) : la cellule x est adjacente ou égale à la

cellule y.


Exemples d’espaces discrets

37


Quelques propriétés

• La relation d’adjacence est réflexive et symétrique, c’est à dire :

– ∀x A(x, x)– ∀x, y A(x, y) → A(y, x)

• Chaque cellule a un nombre fini de voisins

• L’univers contient un nombre fini de cellules.


Quelques relations• X ⊆ Y =df ∀x (x ∈ X → x ∈ Y)

• X ⊂ Y =df X ⊆ Y ∧ X ≠ Y

• P(X, Y) =df X ⊆ Y ∧ X ≠ ∅

• PP(X, Y) =df P(X, Y) ∧ X ≠ Y

• O(X, Y) =df ∃ Z (P(Z, X) ∧ P(Z, Y))

• PO(X, Y) =df O(X, Y) ∧ ¬ P(X, Y) ∧ ¬ P(Y, X)

• DJ(X, Y) =df X ∩ Y = ∅


Méréologie sur les espaces discrets

• {DJ, PO, =, PP, PPi} forme un ensemble de relations mutuellement exhaustives et complet.

• Cet ensemble de relations permet de définir tous les partitionnements possibles de l’espace.

38


Topologie sur les espaces discrets

• C(X, Y) =df ∃ x, y (x ∈ X ∧ y ∈ Y ∧ A(x, y))• EC(X, Y) =df ¬ O(X, Y) ∧ C(X, Y)• DC(X, Y) =df ¬ C(X, Y)

• TPP(X, Y) =df EC(X, - Y)

• NTPP(X, Y) =df DC(X, - Y)

• TPPi (X, Y) =df TPP(Y, X)• NTPPi (X, Y) =df NTPP(Y, X)


RCC-8D

• {DC, EC, PO, =, TPP, NTPP, TPPi, NTPPi} forme un ensemble de relations mutuellement exhaustives et complet.

• Cet ensemble de relations permet de définir tous les partitionnements possibles de l’espace.


Voisinage conceptuel

RCC-8 RCC-8D

39


Voisinage, frontière, intérieur, ...

• Voisinage d’une cellule : ensemble des cellules directement adjacentes à la cellule– Nx =df { y | A(x, y) }

• Intérieur d’une région : X° =df { x | Nx ⊆ X }

• Extérieur d’une région : ( - X)°

• Fermeture d’une région : X =df { x | Nx ∩ X ≠ ∅ }

• Frontière d’une région : δX =df { x | Nx ∩ X ≠ ∅ ∧ Nx - X ≠ ∅ }


Région et composante connexe

• Région connexe :– SC(X) =df X ≠ ∅ ∧ ∀Y ( PP(Y, X) → C(Y, X - Y) )

• Composante connexe :– CC(Y, X) =df PP(Y, X) ∧ SC(Y) ∧ ¬ C(Y, X - Y)

• Soit x ∈ X et la séquence Xx0, Xx

1, … définie récursivement par :– Xx

0 = {x} et Xxn+1 = Xx

n ∩ X• Xx = ∪n=1

∞ Xxn est la composante connexe de X

contenant x.


Chemin et distance

• Un intérêt des espaces discrets concerne l’existence d’une métrique naturelle.

• Afin de définir la distance entre deux cellules, on utilise la notion de chemin les rejoignant.

• Chemin de x à y : – séquence de cellules x=x0, x1, x2, …, xn-1, xn=y – telles que ∀ i=1..n A(xi-1, xi)– Le nombre n dans cette définition correspond à la

longueur du chemin.

40


Distance entre cellules

• Soit δ(x, y) le plus petit entier n tel qu’il existe un chemin de longueur n entre x et y.

• Propriétés :– δ(x, y) = 0 ssi x = y– δ(x, y) = δ(y, x) – δ(x, y) ≤ δ(x, z) + δ(z, y)


Distance entre régions

• ∆(A, B) est le plus petit entier n tel que chaque cellule d’une région est au plus à une distance n d’une cellule dans l’autre région.

• Propriété :∆(X, Z) ≤ ∆(X, Y) + ∆(Y, Z)



• A. Galton. The Mereotopology of discrete space. Dans les actes de COSIT ’99, LNCS 1661, pages 251-266, Springer-Verlag

41


Topologie dans des partitions hiérarchiques

• Découpage de l’espace en quadtree– partition spatiale récursive et régulière en

quatre quadrants de taille égale


Intersection entre deux régions

Intérieur de la région Extérieur de la région



• S. Winter. Topological Relations in Hierarchical Partitions. Dans les actes de COSIT ’99, LNCS 1661, pages 141-155, Springer-Verlag

42


Relations topologiques sur des régions complexes


Régions complexes

• Soit U l’univers défini par l’espace ℜ2 et la métrique usuelle d.

• A est un ensemble homogène de points de U simplement connectés.

• A est appelé une région.


Notations• On note :

∂A la frontière de A Å l’intérieur de A A la fermeture de A

Soit C(p,r) un disque 2D de rayon r centré en p Å = {p ∈ A : ∃ε > 0 : C(p,ε) ⊂ A} ∂A = {p ∈ A : ∀r > 0 : C(p,r) ∩A ≠ ∅ ∧

C(p,r) ∩U - A ≠ ∅ }

43


Modèle d’Egenhofer


Les huit relations topologiques


Comparaison avec RCC

44


Orientation de la frontière

• Pour tout point p ∈ ∂A, soit l une ligne contenant p dans C(p,ε) ∩ ∂A, pour un ε >0.

• l est appelé un chemin passant par p. • Une orientation rA(p) est un chemin l orienté

passant par p, le long de la frontière ∂A, de telle manière que l’intérieur Å se trouve sur la droite lors du passage par p dans l’orientation rA(p).


Région simple

• Une région est dite simple si pour tout point p de sa frontière ∂A, rA(p) est unique.


Régions avec trous

• Soit {A0, A1, …, Ak} un ensemble de régions simples telles que : ∀Ai, 1≤ i ≤ k : contains(A0,Ai)

et ∀Ai ∀Aj, 1≤ i ≠ j ≤ k : disjoint(Ai, Aj)

A = A0 - ∪i=1k Åi est appelé région à trous et

A1, …, Ak sont appelés les trous de A.

45


Régions avec trous

∂ A = ∪i=0k ∂ Ai

Å = Å0 - ∪i=1k Ai


Relations entre régions à trous

• Soit A = A0 - ∪i=1

k Åi

et B = B0 - ∪j=1

l Bºj

• Nous allons redéfinir les relations d’Egenhoferpour ces régions à trous.



disjointH(A,B) ↔ disjoint(A0,B0) ∨ (∃Ai, i ≠ 0 : contains(Ai,B0)) ∨(∃Bi, j ≠ 0 : contains(Bj,A0))

46



touchH(A,B) ↔ touch(A0,B0) ∨ (∃Ai, i ≠ 0 : covers(Ai,B0)) ∨(∃Bi, j ≠ 0 : covers(Bj,A0))

equalH(A,B) ↔ equal(A0,B0) ∧ k = l ∧ ∃(j1, …, jl) : ∀i : equal(Ai, Bjl)



containsH(A,B) ↔ contains(A0,B0) ∧ (∀Ai , i ≠ 0 : disjoint(Ai,B0) ∨

(∃Bi, j ≠ 0 : contains(Bj,Ai)))



coversH(A,B) ↔ (covers|contains|equal)(A0,B0)∧ (∀i ≠ 0 : (disjoint|touch)(Ai,B0) ∨

(∃j ≠ 0 : (covers|contains|equal)(Bj,Ai)))∧ ¬ ((containsH|equalH)(A,B))

47



overlapH(A,B) ↔ ¬ ( (disjointH|touchH|coversH|containsH)(A,B) ∨

(coversH|containsH)(Β,Α) ∨equalH(A,B))


Théorème

• Soit SH l’ensemble suivant de relations topologiques :

SH= {disjointH,touchH,overlapH,coversH,containsH,equalH}

Etant donné deux régions à trous A et B, il existe une et une seule relation de Shentre A et B.


Régions complexes

48


Régions complexes

• Une région complexe peut être définie récursivement par :– toute région simple avec ou sans trous est une

région complexe.– Soit {A1, …, Ak} un ensemble de régions

complexes. A= ∪i=1k Ai est une région

composite. – Chaque région composite est aussi une région

complexe.


Orientation inverse

• Soit une orientation rA, l ’orientation rA-1

appelée orientation inverse, est induite par le même chemin l, de telle manière que l’intérieur Å se trouve sur la gauche lors du passage par p dans l’orientation rA

-1.


DAB

• Chaque chemin orienté r(p) est divisé par p en deux moitiés : allant à et partant de p. Ces deux vecteurs sont notés respectivement r(p-) et r(p+).

• DAB = {p∈ ∂A ∩ ∂B | ∀rx(p*): (rx(p*) ⊂Y° ∧ Y ≠ X) ∨(∃ry(p#), Y ≠ X : rx(p*) = ry(p#)-1)}

• avec X,Y ∈ {‘ A ’, ‘ B ’} et *,# ∈ {‘ - ’, ‘ + ’}

49


Lemme

• Soit A et B deux régions. L’intérieur, la frontière et la fermeture de A ∪ B sont déterminés comme suit :

(A ∪ B)° = A° ∪ B° ∪ DAB

∂(A ∪ B) = ∂Α ∪ ∂B - (A ∪ B)°

(A ∪ B) = A ∪ B


Lemme

•Soit A, B et C trois régions. L’intérieur et la frontière de A ∪ B ∪ C sont déterminés comme suit :

(A ∪ B ∪ C)° = (A ∪ (B ∪ C)°)° = ((A ∪ B)° ∪ C)°

= ((A ∪ C)° ∪ B)°

∂(A ∪ B ∪ C) = ∂(Α ∪ ∂(B ∪ C)) = ∂ (∂(A ∪ B) ∪C)= ∂ (∂(A ∪ C) ∪B)


Relations entre régions composites

• Soit A = ∪i=1

n Ai avec N = {1, …, n} et

B = ∪j=1m Bj avec M = {1, …, m}

• Nous allons redéfinir les relations d’Egenhofer pour les régions composites.

51


Théorème

• Les relations topologiques sur les espaces composites :

{disjointC,touchC,overlapC,coversC,containsC,equalC}

sont mutuellement exclusives et l’ensemble est complet.


Algorithme de test pour OverlapC

O(nm)

Complexitéoptimale


Complexité

• Algorithme en O(nm)

• Cet algorithme est dit de complexité optimale par les auteurs.

52



• V.H. Nguyen, C. Parent, S. Spaccapietra. Complex Regions in Topological Queries. Spatial Information Theory, a Theoretical Basis for GIS, International ConferenceCOSIT’97, LNCS 1329, 1997.


Relations spatiales directionnelles


Travailler dans un espace orienté

• La notion d’orientation est associée à l’existence d’une direction.

– haut, bas, avant, arrière, …

– est, ouest, nord, sud

53


Illustrations

• Calcul des directions cardinales

• 2D-PIR

• L’algèbre des N-pavés


Calcul des directions cardinales

• Généralisation au plan de l’algèbre des points de Vilain et Kautz.

• Les points considérés sont les points du plan muni d’un repère orthogonal.


Positions relatives

• Etant donné un point X(x1, x2) du plan ;• Décomposition du plan en neuf zones :

X

n

sw se

nw ne

s

w eeq

54


card

• Neuf relations pour caractériser la position relative d’un point par rapport à un autre :

• card = {eq, e, ne, n, nw, w, sw, s, se}


card -> algèbre des points

sw (<, <) w (<, =) nw (<, >)

s (=, <) eq (=, =) n (=, >)

se (>, <) e (>, =) nw (>, >)

A chaque relation A de card correspond un couple de relations atomiques (A1, A2) :


Exemple

• X = (x1, x2)• Y = (y1, y2)• X e Y <=> {x1 > y1, x2 = y2}

55


Relations

• Il existe 29 relations qui correspond à l’ensemble 2 card.

• Relation = disjonction des relations atomiques• soit X et Y deux points• soit R ε 2 card, • X R Y, si et seulement si il existe une relation

atomique A ε R telle que X et Y satisfont A.


Raisonnement

• Représentation des informations spatiales par des réseaux de contraintes binaires (V, C)

• V : ensemble de variables représentant des points

• C : application qui associe à chaque couple de variables (Vi, Vj) une relation de 2 card, notée Cij.


Problème de la consistance

• Trouver une instanciation consistante de ces réseaux est un problème NP-complet dans le cas général.

• Sur les 29 relations de 2 card il y a 141 relations préconvexes.

56


Problème de la consistance

• Propriété 1 : La méthode de chemin-consistance est une méthode de décision pour le problème de la consistance des réseaux de contraintes ne contenant que des relations préconvexes de 2 card.

• Propriété 2 : L’ensemble des relations préconvexes est pour le problème de la consistance l ’ensemble maximal traitable contenant les neuf relations atomiques de card.


Référence Bibliographique

• Gérard Ligozat. Reasoning about cardinal directions. Journal of Visual Languages andComputing, 1(9):23-44, 1998.


2D-PIR

• 2D-PIR est l’acronyme de 2D Projection Interval Relationships

• Rectangle Minimum Englobant // axes (a) et véritable Rectangle Minimum Englobant (b).

57


Relation spatiale

•Déterminée par le triplet (δxy,χxy,ψxy) défini par: δxy = relation topologique utilisant le formalisme

d’Egenhofer ({disjoint, touch, overlap, covers, contains, equal})

χxy = relation d’Allen satisfaite par les deux intervalles projections des boites englobantes sur l’axe des X.

ψxy= relation d’Allen satisfaite par les deux intervalles projections des boites englobantes sur l’axe des Y.


La relation (disjoint, b, oi)


Utilisation

• Description symbolique des relations spatiales entre les objets se trouvant dans des images :

à droite de = (*, a, *)

au dessous de = (*, *, b)

58



• M. Nabil, J. Shepherd, A.H.H. Ngu. 2D projection interval relationships: a symbolic representation of spatial relationships. LNCS n°951, pp 292-309, 1995.


L’algèbre des N-pavés

• N-pavé : extension de l’intervalle d’Allen dans à n.

• Une relation entre deux N-pavés est ainsi un nuplet de relations d’Allen sur chacun des axes.


La relation est intérieurement connecté

• Entre deux 2-pavés :

59


La relation est à gauche de


Exemple

• Soient quatre objets A, B, C, D modélisés par des 2-pavés.– A, B, C se trouvent à l’intérieur de D.– A ne touche aucun bord de D.– B se trouve dans un coin de D.– C est à droite de A et au dessus de B.

• Soit V1,V2,V3 et V4 les quatre variables représentant les objets A, B, C et D.


Codage de l’exemple

• R(V1, V4 ) = {(d,d)}• R(V2, V4 ) = {(s,s), (s,f), (f,s), (f,f)}• R(V3, V4 ) = {(s,eq), (s,s), (s,d), (s,f), (eq,s),

(eq,d), (eq,f), (d,eq) (d,s), (d,d), (d,f), (f,eq), (f,s), (f,d), (f,f), (eq,eq)}

• R(V3, V2 ) = ψ1 x {mi,a}

• R(V3, V1 ) = {mi,a} x ψ1

60


Une instanciation consistante


Complexité des sous-ensembles de 2 n


Théorèmes

• Soit un sous-ensemble ε de 2 n tel que ε est inclus dans W et stable pour l’opération d ’intersection avec les relations convexes de 2 n. La méthode de la chemin-consistance est une méthode de décision pour le problème de la consistance des réseaux de n-pavés sur ε.

• La méthode de la chemin-consistance est une méthode de décision pour le problème de la consistance des réseaux de n-pavés sur S.

61


Stabilité des sous-ensembles de 2 n


Réseau de rectangles augmentés

• M = (N, S1, S2)


Instanciation consistante de M

• Algorithme en temps polynomial pour trouver une instanciation consistante d’un réseau de rectangles augmenté fortement préconvexe.

62


Références bibliographiques• J.F. Condotta. Problèmes de satisfaction de

contraintes spatiales : algorithmes et complexité. Thèse de l’Université Paul Sabatier, Toulouse, 14 janvier 2000.

• J.F. Condotta. Les réseaux augmentés des intervalles et des rectangles, RFIA 2000, volume 3, pages 183-192, Paris, 1-3 février 2000.

–Accessibles en ligne :http://www.irit.fr/ACTIVITES/LILaC/Pers/Condotta/home.html


Théorie Qualitative des Formes

• Notions de distance, orientation et forme• Notions de direction et d’angle


Sphères

• Introduction de la relation F qui veut dire :– x peut être contenu dans y

• F(x, x)• F(x, y) ∧ F(y, z) → F(x, z)• P(x, y) → F(x, y)• Congruence :

x =cg y =df F(x, y) ∧ F(y, x)

63


Relations sur les sphères

ID(x, y, z) =df TPP(x, z) ∧ TPP(y, z) ∧ ∀u ∀v (¬O(u, z) ∧¬O(v, z) ∧ EC(x, u) ∧ EC(y, v) → ¬O(u, v))

« x et y sont diamétralement internes »ED(x, y, z) =df EC(x, z) ∧ EC(y, z) ∧ ∀u ∀v (¬O(u, z) ∧

¬O(v, z) ∧ P(x, u) ∧ P(y, v) → ¬O(u, v))« x et y sont diamétralement externes »

zu v zu vyxx y

ID(x, y, z) ED(x, y, z)



CNC(x, y) =df (x=y) ∨ (PP(x,y) ∧ ∀u∀v(ED(u,v,x) ∧ TPP(u,y) ∧ TPP(v,y) →

ID(u,v,y))) ∨(PP(y,x) ∧ ∀u∀v(ED(u,v,y) ∧ TPP(u,x) ∧ TPP(v,x) →

ID(u, v, x)))« x et y sont concentriques »

BTW (x,y,z) =df ∃x’ ∃y’ ∃z’ (CNC(x,x’) ∧ CNC(y,y’) ∧CNC(z,z’) ∧ ED(y’,z’,x’)

« x est entre y et z »



LIN(x, y, z) =df BTW(x,y,z) ∨ BTW(x,z,y) ∨BTW(y,x,z) ∨ CNC(x,y) ∨ CNC(y,z) ∨ CNC(x,z)

« x, y, z sont alignés »

SSD(x, y, z) =df BTW(x,y,z) ∨ BTW(y,x,z) ∨CNC(x,y)

« x et y sont du même côté de z »

64


Relations sur les sphèresPB (x,y,z) =df ∃x’ ∃y’ ∃z’ (CNC(x,x’) ∧ CNC(y,y’) ∧

CNC(z,z’) ∧ DC(y’,z’) ∧ EC(x’,y’) ∧ EC(x’,z’) ∧ y’ =cg z’

« x se trouve sur la bissectrice perpendiculaire à y et z »z

z’x

y

x’

y’


DistancesSP(x,y) → ∃z (SPH(z) ∧ EC(c,x,z) ∧ EC(c,y,z) ∧

∀t (SPH(t) ∧ EC(t,c,x) ∧ EC(t,c,y) → F(z,t)))« z est la plus petite sphère fermée connectée-externe à

x et y et notée δ(x,y) »

Z

X

Y


DirectionD(x,y) =df ¬CNC(x,y) « x et y définissent une direction »

xy // x’y’ =df D(x, y) ∧ D(x’, y’) ∧ (¬∃w (LIN(w, x, y) ∧ LIN(w, x’, y’)) ∨ (LIN(x’, x, y) ∧ LIN(y’, x, y)))

« xy et x’y’ sont parallèles »X Y

X’ Y’

Directions parallèles

X Y Y’ X’

Directions égales

65


Intersection

¬(xy//x’y’) ∧ D(x, y) ∧ D(x’, y’) → ∃z (LIN(z, x, y) ∧ LIN(z, x’, y’))

« si deux directions ne sont pas parallèles alors il existe une sphère z qui appartient à ces deux directions »

Y’X Y Z

X’


Angles• Différentes sortes d’angles

Y Z

X

Angle droit

X Y Z

Angle plat

Y X Z

Angle nul

W

X

Y Z

Angle aigu

X

W

Y Z

Angle obtus


Formes: squelette et épaisseur• Utilisation de sphères maximales internes pour mesurer

l’épaisseur d’un objet• Volume englobant pour approximer la forme• Nécessité d’extraire le squelette

66


Polygones réguliers sans direction principale


Orientation relative de deux objets convexes

• Directions associées à chaque objet• Déduction de l’orientation relative de deux

objets• Deux cas pour xy et x’y’:

– Même direction– Intersection: cas remarquables


Directions parallèles

x yx’ y’

DCx x’ y y’

PO

x x’ y y’

TPP et TPPI

x y x’ y’

ECx x’ y y’

EQ

x x’ y’ y

NTPP et NTPPI

67


Le “V”• xy et x’y’ sont du même coté de z• V(x,y,x’,y’) = ∃ z(INT(z,x,y,x’,y’) ∧ SSD(x,y,z) ∧

SSD(x’,y’,z)

y

x y’ x’z


Le “T”• z, l’intersection, est entre les sphères d’un

segment et du même coté que l’autre.• T(x,y,x’,y’) = ∃ z(INT(z,x,y,x’,y’) ∧((BTW(z,x,y) ∧

SSD(x’,y’,z)) ∨ (BTW(z,x’,y’) ∧ SSD(x,y,z)))) x z y

x’

y’


Le “L”• L’intersection z est concentrique avec une sphère

d’un des segments• L(x,y,x’,y’) = ∃z ( INT(z,x,y,x’,y’) ∧

( (SSD(x,y,z) ∧(CNC(z,x’) ∨ CNC(z,y’))) ∨(SSD(x’,y’,z) ∧(CNC(z,x) ∨ CNC(z,y)))))

x’ y’

x

y

68


Le “X”• xy et x’y’ se croisent en z• X(x,y,x’,y’) = ∃z ( INT(z,x,y,x’,y’) ∧ BTW(z,x,y) ∧

BTW(z,x’,y’))

x x’

z

yy’

Raisonnement spatial

Concepts spatiaux dans la langue naturelle


Langage et cognition spatiale

• Lien entre la schématisation de l’espace :– par le langage naturel– par le système de perception et de conception

de l’être humain• Postulat : on décrit les choses comme on les

perçoit ou conceptualise.– Un certain nombre d’études de psychologues et

de cogniticiens.– cf conférences Spatial Cognition I et II

69


Orientation et distance qualitatives

• Knauff, Rauh et Renz ont demandé à un échantillon représentatif de personnes de décrire un ensemble de relations spatiales entre objets.

• Objectif :– déterminer les familles de relations spatiales les

plus utilisées– et ainsi les techniques de schématisation de

l’espace de l’être humain.


Résultats de l’étude

Con

tenu T O M T

+O

T+M

O+M

T+O+M

Aut

re

Fréq

uenc

e

62.1 0 0 14.1 19.2 0 0 4.6

T : topologie ; O : orientation ; M : métrique


Analyse

• Forte prédominance de la topologie.

T + (T+O) +(T+M) = 95.4%

• Il manque des informations dans l ’article sur la nature des « autres » informations.

70



• M. Knauff, R. Rauh et J. Renz. A Cognitive Assessment of Topological Spatial Relations: Results from an Empirical Investigation. Dans les actes de COSIT ’97, LNCS N°1329, Springer-Verlag.


Repères « allo et égo » centriques

• Repère allocentrique : repère global de l’espace de représentation.– Au minimum un point et une direction– exemple : axe nord-sud sur une carte.

• Repère égocentrique : associé à une entité. – Le point de référence est l’entité elle-même.– La direction concerne l’avant d’un objet

(lorsque celui-ci en a un).


Repères « allo et égo » centriques• R. Klatzky définit les notions de repérage

dans ces deux types de repères :

Ego

ObjetDirection

égocentrique

Directionallocentrique

Distanceégocentrique

71



• R. Klatsky. Allocentric and egocentric spatial representation: definitions, distinctions andinterconnections. Spatial Cognition - An Interdisciplinary Approach to Representingand Processing Spatial Knowledge, LNAI 1404, Springer-Verlag, 1998.


Relation entre langage et vision Le monde

• Collection d’objets identifiables par un nom ;• Certains des objets sont des sujets qui peuvent

observer le monde ;• Le monde est construit au début, mais peut être

manipulé (déplacer un objet).


Exemple

72


Les objets

• Les objets du monde sont vus comme des points sur un plan 2D.

• La position d’un objet est donné à travers la position de son centre et une orientation;

• Pour les objets dotés d’une orientation intrinsèque, on fournit l’azimut de la direction frontale.


Quatre types de description

• égocentrique :– position (locuteur), orientation (locuteur)

• intrinsèque (droitier)– position (personne), orientation (personne)

• intrinsèque (gaucher)– position (objet orienté), orientation (objet)

• rétinal– position (objet), orientation (à travers l’observateur)


Description égocentrique

• A partir de sa propre position et orientation dans l’espace, le locuteur décrit une vue comme une liste d’objets avec pour chacun :– son nom– un vecteur (distance, orientation)

73


Exemple (Simon locuteur)

Paul est devant moi à gauche.

La chaise se trouve devant moi.


Distance et direction qualitatives


Description intrinsèque• Selon le point de vue de quelqu’un d’autre.

Pierre dit à Simon : la balle est devant toi.Pierre dit à Paul : la balle est devant Simon.

74


transformationsVsol->objet = Wobservateur->objet - Uobservateur->sol


Orientation

Après rotation, la relation « la balle est au nord de la chaise » devient « la balle est à l’ouest de la chaise »


Combinaison de plusieurs relations• R(a, b) = R-1(b, a)• Pour la transitivité, il sera possible seulement

dans certains cas de déterminer la relation entre le premier et le troisième objet à partir des deux autres relations.– Seulement quand le type d’orientation des deux

phrases est le même– Simon, Pierre et Paul sont devant moi.– Simon est à gauche de Pierre qui est lui même à

gauche de Paul => Simon est à gauche de Paul.

75


Allocentrique vs égocentrique



• A. Frank. Formal Models for Cognition -Taxonomy of Spatial Location Descriptionand Frames of Reference. Dans les actes de Spatial Cognition, LNAI N°1404, Springer-Verlag, 1998.


Autre représentation qualitative

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Mouvement qualitatif

• Utilisé pour la description de mouvements– <close east> 5 <close north> 2 <close

west> 3 <close south> 1 <medium-dist south> 1 <medium-dist east> 1

– <close forward> 5 <close left> 2 <close left> 3 <close left> 1 <medium-dist forward> 1 <medium-dist left> 1


Problème de maintien de l’information


Règles de composition

• Si dir ∈ {left, right}– dir ° -dir = forward– dir ° dir = backward– dir ° forward = dir– dir ° backward = -dir– <dist1 dir speed1> + <dist2 dir speed2> =

<dist2 backward speed2> si dist2>dist1<dist1 dir speed1> sinon

– ...

77



• A. Musto, K. Stein, K. Schill, A. Eisenkolb andW. Brauer. Qualitative Motion Representationin Egocentric and Allocentric Frames of Reference. COSIT’99, LNCS 1661, pp. 461-476, Springer-Verlag, 1999.


Raisonnement spatial paramétrique

• Les relations entre paires d’objets sont représentées par des matrices de transformation homogènes paramétriques et par des contraintes numériques.

• Une description textuelle est transformée en un graphe composé de :– nœuds (objets et référentiels locaux)– arcs (relations)


Objets : cercles et rectangles

Personne : cercle de rayon ∈ [0.2, 0.4]Frigidaire : rectangle de largeur ∈ [0.3, 0.4]

et de longueur ∈ [0.3, 0.4]

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Relations


Graphe initial : structure hiérarchique


Définition de « à droite de »

79


Ambiguité

• « B est à droite de A » et « C est à gauche de B »• On ne peut pas déduire exactement la relation

entre A et C, car C intersecte les secteurs « à droite de » et « derrière ».


Inférence• Inférence d’une relation par multiplication

de matrices :


Exemple de graphe

80


Contraintes et résolution

• Pour obtenir une représentation visuellement correcte de l’ensemble des relations exprimées

• Équations et inéquations contenant des fonctions trigonométriques

• Résolution en utilisant des techniques d’apprentissage par réseaux neuronaux


Références bibliographiques• B. Claus, K. Eyferth, C. Gips, R. Hörnig, U.

Schmid, S. Wiebrock et F. Wysotzki. Reference Frames for Spatial Inference in Text Understanding. Spatial Cognition, LNAI 1404, Springer-Verlag, 1998.

• S. Wiebrock, L. Wittenburg, U. Schmid et F. Wysotzki. Inference and Visualization of Spatial Relations. Spatial Cognition II, LNAI 1849, Springer-Verlag, 2000.


Sémantique du positionnement spatial

• Soit une phrase de type : Ncible Verbe Syntagme locatif Nsite

[selon le point de vue du locuteur]0/1

• avec– N : syntagme nominal complet– Verbe : verbe d’état principalement l’auxiliaire

être mais aussi des verbes comme se trouver, être placé, se tenir, etc.

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Orientation de la phrase

• La sémantique de la phrase n’est pas unique pour chaque syntagme locatif.

• Elle dépend de l’orientation de la phrase qui est en fait un repère tridimensionnel dont l’origine et l’orientation vont définir le sens de la phrase.

• Le polarisateur est défini comme l’entité déterminant l’orientation dans l’expression considérée.


Orientation déictique

• Le sens de la relation ne dépend que de la position du locuteur.

• Exemple : la chaise est devant la table.

locuteur cible site


Exemple

• A gauche de :

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Orientation intrinsèque

• Il existe une partie du site qui permet de définir l’orientation du repère de manière indépendante du locuteur.

• Exemple : la table est devant le canapé.

cible site


Orientation contextuelle

• Deux cas de figure : soit c’est la cible qui est le polarisateur, soit il s’agit d’un élément extérieur à la relation.

• Exemple : l’armoire est derrière la chaise.

cible site


Utilisation de l’algèbre des 3-pavés

• Recherche du polarisateur et du repère de la relation

• Passage de l’expression de la relation exprimée dans son propre repère à son expression dans le repère de la scène.

• Les relations de localisation s’appliquent entre les boites englobantes des objets.

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Exemple• X est posé sur Y

Clatéral(I, J) = {s ∨ f ∨ d ∨ =}Cvertical(I,J) = {mi}Cfrontal(I,J) = {s ∨ f ∨ d ∨ =}


Mélange qualitatif-quantitatif

• Exprimer des contraintes entre des extrémités de segments


Allen => relations entre extrémités

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Résolution symbolique

• Chemin consistance

• Réduction des incertitudes numériques au cours de l’algorithme– détection de certaines incohérences numériques

linéaires


Réécriture du système • Transformation en un système d’inéquations

non-linéaires

• V est défini de la manière suivante :


Détection d’incohérences numériques

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Réécriture (suite)

• Prise en compte de contraintes géométriques non-linéaires :

• Le système à résoudre est de la forme :


Résolution numérique


Exemple

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Exemple (suite)



• N. Hathout. Un modèle logique pour le raisonnement spatial. Rapport de DEA, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1989.

• S. Donikian. Une approche déclarative pour la création de scènes tridimensionnelles : application à la conception architecturale. Thèse de l’Université de Rennes I, 1992.

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