r4.02.05

Code_Aster Version defaultTitre : Elments de frontire absorbante Date : 03/02/2012 Page : 1/21Responsable : Georges DEVESA Cl : R4.02.05 Rvision : 8441

Elments de frontire absorbante

Rsum

Ce document dcrit l'implantation dans Code_Aster des lments de frontire absorbante. Ces lments de type paraxiaux, dont on dcrit ici la thorie, sont affects des frontires de domaines lastiques ou fluides pour traiter des problmes 2D ou 3D d'interaction sol-structure ou sol-fluide-structure. Ils permettent de satisfaire la condition de Sommerfeld vrifiant l'hypothse d'anchocit : l'limination des ondes planes lastiques ou acoustiques diffractes et non physiques venant de l'infini.

Manuel de rfrence Fascicule r4.02 : Acoustique

Document diffus sous licence GNU FDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)


Table des Matires1Introduction ........................................................................................................................................... 3

1.1Problmatique d'un milieu semi-infini pour l'ISS .......................................................................... 3 1.2Etat de l'art des approches numriques ........................................................................................ 4

2Thorie des lments paraxiaux ......................................................................................................... 5 2.1Impdance spectrale de la frontire ............................................................................................. 5 2.2Approximation paraxiale de l'impdance ...................................................................................... 7 2.3Prise en compte du champ sismique incident .............................................................................. 8

3Elments fluides anchoques en transitoire ....................................................................................... 9 3.1Formulation standard .................................................................................................................... 9

3.1.1Formulation lments finis ................................................................................................ 10 3.1.2Approximation paraxiale .................................................................................................... 10

3.2Impdance des lments vibro-acoustiques dans le Code_Aster .............................................. 11 3.2.1Limites de la formulation en p ........................................................................................... 11 3.2.2Formulation symtrique en p et phi ................................................................................... 12 3.2.3Imposition dune impdance avec la formulation en p et phi ............................................ 12 3.2.4Formulation dtaille ......................................................................................................... 13 3.2.5Intgration temporelle directe ............................................................................................ 15

3.3Utilisation dans le Code_Aster .................................................................................................... 15 4Elments absorbants lastiques dans le Code_Aster ....................................................................... 16

4.1Adaptation du chargement sismique aux lments paraxiaux ................................................... 16 4.2Implmentation des lments en transitoire et en harmonique .................................................. 18

4.2.1Implmentation en transitoire ............................................................................................ 18 4.2.2Implmentation en harmonique ......................................................................................... 18

4.3Mode de chargement sismique par onde plane .......................................................................... 19 4.3.1Caractrisation dune onde plane en transitoire ................................................................ 19 4.3.2Donnes utilisateur pour le chargement par onde plane ................................................... 20

4.4Utilisation dans le Code_Aster .................................................................................................... 22 5Bibliographie ...................................................................................................................................... 22 6Description des versions du document .............................................................................................. 22




1 Introduction1.1 Problmatique d'un milieu semi-infini pour l'ISS

Les problmes standard de rponse sismique et d'interaction sol-structure ou sol-fluide-structure amnent considrer des domaines infinis ou supposs tels. Par exemple, dans le cas de barrages soumis au sisme, on a souvent affaire des retenues de grande taille qui nous permettent de faire l'hypothse d'anchocit : les ondes qui partent vers le fond de la retenue ne "reviennent" pas. Ceci a pour but de rduire la taille de la structure mailler et de permettre de passer des calculs complexes avec les moyens informatiques actuels. On propose sur la [Figure 1.1-a] ci-dessous un schma qui dcrit le type de situations envisages.

S

'S

F B

Surface absorbante lastique

Surface absorbante fluide

Domaines modliss aux lments finis : F domaine fluide (par exemple retenue de barrage) B domaine structure (par exemple vote de barrage) S domaine sol non-linaire 'S domaine sol linaire

Figure 1.1-a : Domaine pour linteraction sol-fluide-structure

Dans tout le document, on considre que la frontire du maillage lments finis du sol se trouve dans un domaine au comportement lastique.

La thorie des systmes elliptiques assure simplement l'existence et l'unicit de la solution des problmes acoustiques ou lastoplastiques dans les domaines borns, sous l'hypothse de conditions aux limites assurant la fermeture du problme. Il en va diffremment pour les domaines infinis. On doit avoir recours une condition particulire, dite de Sommerfeld, formule dans les directions infinies du problme. Cette condition assure notamment, dans le cas de la diffraction d'une onde plane (lastique ou acoustique) par une structure, l'limination des ondes diffractes non physiques venant de l'infini que les conditions classiques sur les bords du domaine distance finie ne suffisent pas assurer.




1.2 Etat de l'art des approches numriquesLa mthode privilgie pour traiter des domaines infinis est celle des lments finis de frontire (ou quations intgrales). La solution fondamentale utilise vrifie automatiquement la condition de Sommerfeld. Seulement, l'utilisation de cette mthode est conditionne par la connaissance de cette solution fondamentale, ce qui est impossible dans le cas d'un sol gomtrie complexe, par exemple, ou lorsque le sol ou la structure sont non linaires. Il faut donc alors avoir recours aux lments finis. Ds lors, des conditions particulires la frontire du maillage lments finis sont ncessaires pour interdire la rflexion des ondes diffractes sortantes et reproduire ainsi artificiellement la condition de Sommerfeld.

Plusieurs mthodes permettent d'identifier des conditions aux limites rpondant nos exigences. Certaines conduisent une rsolution exacte du problme : on les appelle "frontires consistantes". Elles sont fondes sur une prise en compte prcise de la propagation des ondes dans le domaine infini. Par exemple, si ce domaine peut tre suppos lastique et avec une stratigraphie simple loin de la structure, on peut envisager un couplage lments finis - quations intgrales. Un des problmes de cette solution est qu'elle n'est pas locale en espace : il faut faire un bilan sur toute la frontire sparant le domaine fini du domaine infini, ce qui nous conduit obligatoirement un problme de sous-structuration. Cette non-localit en espace est caractristique des frontires consistantes.Pour aboutir des termes de frontire locaux en espace, on peut utiliser la thorie des lments infinis [bib1]. Ce sont des lments de dimension infinie dont les fonctions de base reproduisent au mieux la propagation des ondes lastiques ou acoustiques l'infini. Ces fonctions doivent tre proches de la solution car les thormes mathmatiques classiques n'assurent plus la convergence du rsultat de calcul vers la solution avec de tels lments. En fait, on peut trouver une analogie entre la recherche de fonctions de base satisfaisantes et celle d'une solution fondamentale pour les quations intgrales. Les contraintes gomtriques sont assez voisines mais surtout, cette recherche prsente un inconvnient de taille : elle dpend de la frquence. Par consquent, de telles frontires, locales ou non en espace, ne peuvent tre utilise que dans le domaine de Fourier, ce qui interdit une certaine catgorie de problmes, avec des non-linarits de comportement ou des grands dplacements par exemple.On en arrive donc devoir trouver des frontires absorbantes performantes qui soient locales en espace et en temps pour traiter aux lments finis des problmes transitoires poss sur des domaines infinis.

Nous allons prsenter dans la suite la thorie des lments paraxiaux qui ralisent l'absorption cherche avec une efficacit inversement proportionnelle leur simplicit d'implmentation ainsi que la description des contraintes d'implmentation dans Code_Aster. On prsente les dveloppements pour traiter des problmes 3D. Ceux pour les cas 2D ont t raliss et leur thorie se dduit simplement de la modlisation 3D.




2 Thorie des lments paraxiauxOn prsente dans cette partie le principe de l'approximation paraxiale dans le cas de l'lastodynamique linaire. Deux approches thoriques permettent de cerner l'esprit et la mise en pratique des lments paraxiaux lastiques : on doit la premire Cohen et Jennings [bib2] et la seconde Modaressi [bib3]. L'application de la thorie des lments paraxiaux au cas fluide sera faite dans la partie suivante.Dans toute la suite, comme prsent sur la [Figure 1.1-a], on suppose que la frontire du maillage du sol est situe dans un domaine au comportement lastique.L'approche de Modaressi implante dans Code_Aster permet la fois de construire des frontires absorbantes et d'introduire la champ sismique incident.

2.1 Impdance spectrale de la frontirePour obtenir l'quation paraxiale, il nous faut d'abord dterminer la forme du champ de dplacement diffract au voisinage de la frontire. Pour cela, on part des quations de l'lastodynamique 3D :

2u t 2

E11 c2

2u x ' 2

E12c2

2u x ' x3

E22 c2

2u x3

2=0

Avec : u={u 'u3 } E11= 1c2 [ cP2 00 cS2 ] E12= 1c2 c P2 cS2 [ 0 11 0 ]E22=

1c2 [cS

2 00 cP

2 ] La constante c , homogne une vitesse, est introduite pour rendre certaines quantits adimensionnelles. Les quations et leurs solutions sont bien entendu indpendantes de cette constante.On appelle x ' et u ' les directions et les composantes du dplacement dans le plan tangent et x3 et u3 selon e3 , la direction normale la frontire. On procde deux transformes de Fourier, l'une par rapport au temps, l'autre par rapport aux variables d'espace dans le plan la frontire. On se limite au cas d'une frontire plane et sans coin :Les quations s'crivent alors :

c P2 cS2 [' . u'i u3 x3 ]'cS2 ['2 2

x32 ] u'2 u'=0

c P2 cS2 [i' . u' x32 u3 x3

2 ]cS2['2 2 x32 ] u32 u3=0 o u et u3 dsignent les transformes de Fourier et ' le vecteur d'onde associ x ' .




Il s'agit d'un systme diffrentiel en x3 que l'on sait rsoudre en le diagonalisant. On en dduit :

u'' .e3'

=Aexp iS x3

u' .'='[ AP exp i P x3 AS expi S x3 ] 'u3 = -APP exp iP x3 ASS exp i S x3

Avec : P= 2cP2 '2 et S= 2cS2 '2Pour dterminer les constantes A , AS et AP , on suppose connu u ' ,0 sur la frontire du domaine lments finis. On les exprime en fonction de u ' ' ,0 =u0' et u3 ',0 =u30 .

On va maintenant valuer le vecteur contrainte sur une facette de normale e3 en x3=0 , ce qui nous donnera l'impdance de la frontire. On fait subir t x ', x3 la mme transforme de Fourier en espace que pour les quations de l'lastodynamique, si bien que :

t ' , x3 =[ i u' .'2 u3 x3 ] e3 u'

x3i u3x

' On souhaite s'affranchir en x3=0 des termes contenant des drives en x3. Le systme obtenu prcdemment nous le permet en fonction de u0

' et u30 :

u0'

x3.'=i'2 u30

u0' x3' .e3= - iS u0'' .e3 u30 x3

=i [PS u0' .''2 PS u30] On obtient ainsi l'impdance spectrale de la frontire :

t0=a0 e3b

0'c0'e3

o a0 ,b0 et c0 sont des fonctions de ' et de qui dpendent linairement de u0' et u30

On peut alors crire : t0=A ', u0 ' ,o A dsigne l'oprateur impdance spectrale globale. On revient l'espace physique par deux transformes de Fourier inverses.




2.2 Approximation paraxiale de l'impdanceL'impdance spectrale calcule prcdemment n'est locale ni en espace ni en temps puisqu'elle fait intervenir u0 ', , transforme de Fourier de u0 x ', t pour tout x ' et tout t .

L'ide est alors de dvelopper P et S selon les puissances de '

. Cette approximation sera

bonne soit haute frquence, soit pour ' petit. Examinons la dpendance en x3, par exemple de u3 : on aura, pour u3 x ', x3 ,t des termes de la forme : exp [ i ' x ' tP x3 ]

Avec le dveloppement de P : P=cP [ 1 cP

'

2

.. .]On montre que pour ' petit, on aura des ondes se propageant selon des directions voisines de la normale e3 la frontire, car l'exponentielle s'crit :

exp {i[ t x3cP i o' ]} Ds lors, avec un dveloppement asymptotique de P et S , en multipliant par une puissance convenable de w pour supprimer cette quantit au dnominateur, on obtient :

A0 ' , t0=A1 ' , u0 o A0 et A1 sont des fonctions polynomiales en ' et .

Soit, aprs les deux transformes de Fourier inverses :

A0 x ' , t t0=A1 x ' , t u0 On obtient ainsi la forme finale de l'impdance locale transitoire approche en fonction du dernier

terme en '

retenu. On peut trouver le calcul dtaill des Ai dans [bib5].

Par exemple, pour l'ordre 0 :

t0=cP u3 t

e3cSu '

t

Ceci correspond des amortisseurs visqueux distribus le long de la frontire du domaine lments finis.




A l'ordre 1 :

t0 t

=cP2u3 t 2

e3c S2u '

t 2cS[ 2cScP 2u3 x' t e3 cP2cS

2u'

x' t ]cP

2 cScP2 2u3 .e3 x ' 2

cS2 cPcS2

2u'

x' 2

On voit apparatre la drive par rapport au temps du vecteur contrainte. Dans le traitement numrique, il faudra avoir recours une intgration de ce terme sur les lments de la frontire.Pour conclure, on retiendra que l'approximation paraxiale conduit une impdance locale transitoire ne faisant intervenir que des drives en temps et dans le plan tangent la frontire. De faon symbolique, on crit :

t0=A0 u t l'ordre 0 t0 t

=A1 2u t 2 ,u t ,u l'ordre 1

2.3 Prise en compte du champ sismique incidentOn rappelle que le comportement du sol est suppos lastique au moins au voisinage de la frontire. A l'infini, le champ total u doit tre gal au champ incident u i (une des consquences de la condition de radiation de Sommerfeld). On introduit donc le champ diffract ur tel que :

u=uiur limx

ur=0

A la frontire du maillage lments finis, on crit la condition d'absorption pour le champ diffract :

t 0ur =A0 ur t l'ordre 0 t0 t

ur=A1 2ur t 2 , ur t ,ur l'ordre 1On en dduit le vecteur contrainte total sur la frontire du maillage lments finis :

t 0 u =t0 ui t0 ur =t0 ui A0 u t A0 u i t l'ordre 0




On obtient ainsi la formulation variationnelle du problme au voisinage de la frontire pour l'ordre 0 :

2u t 2

v

u : v SA0 u t v=S [ t ui A0 u i t ] v

Pour tout champ v cinmatiquement admissible

Pour l'ordre 1, on conserve la formulation classique :

2u t2

v

u : v S

t u v=0

o t u suit la loi d'volution suivante :

t u t

= t ui t

A1 2u t2 , u t ,uA1 2ui t 2

,u i t

,u i La sollicitation due au champ incident apparat explicitement dans le cas de l'ordre 0, mais elle est contenue dans la loi d'volution de t u pour l'ordre 1.

3 Elments fluides anchoques en transitoireCette partie prsente lessentiel des contraintes gnrales dimplmentation dlments fluides anchoques de frontire absorbants avec l'approximation paraxiale d'ordre 0 dans Code_Aster. Pour des raisons de simplicit lies la manipulation de grandeurs scalaires telles que la pression ou le potentiel de dplacement, en opposition aux grandeurs vectorielles comme le dplacement, on sintresse dabord aux lments fluides.

3.1 Formulation standardOn reprend ici le raisonnement de Modaressi en ladaptant un domaine fluide acoustique. Dans un premier temps, on sintresse la seule donne de la grandeur pression dans ce fluide. On reviendra ensuite sur cette modlisation pour sadapter aux contraintes de Code_Aster, en soulignant les ajustements faire.

Soit donc la configuration suivante, en reprenant les conventions de la partie prcdente au voisinage de la frontire :

La dfinition dun repre local au niveau de llment permet de nous ramener systmatiquement dans une telle situation.

3.1.1 Formulation lments finisLa pression p vrifie lquation dHelmholtz dans tout le domaine modlis aux lments finis, ce qui donne, pour tout champ de pression virtuel q :



x 1

x 3

x 2

Frontire localement orthogonale laxe x

3

Maillage lments finis

Domaine fluide infini


p . q 1c2

2

t 2

pq

p n

q=0

reprsente la frontire du domaine .

La grandeur estimer sur grce lapproximation paraxiale est ici p n

.

3.1.2 Approximation paraxiale

Dans la configuration propose, le terme pn

correspond p x3

.

Considrons ds lors une onde plane harmonique se propageant dans le fluide :

p=Aexp [ i k1 x1k 2 x2k 3 x3 t ] En remplaant dans lquation dHelmholtz, on obtient :

k 3=c 1 c22 k 12k 22

On obtient alors le dveloppement suivant, pour des hautes frquences ( grand) ou au voisinage de la frontire ( k 1 et k 2 petits) :

k 3=c 1 c222 k 12k22

Soit, en multipliant par pour faire disparatre cette quantit au dnominateur et aprs une transforme de Fourier inverse en espace et en temps :

2 p x3 t

= - 1c2 pt 2

12c 2 p x12

2 p x2

2

Comme lavait prsent Modaressi, cette quation fait intervenir la drive par rapport au temps du terme surfacique. Dans le cadre de cette partie, on ne sintresse quau terme dordre 0, soit, aprs une intgration en temps, ce qui fait disparatre la drive gnante :

p x3

= - 1c p t ou plus gnralement :

p n = -

1c p t

Cest cette relation dimpdance que nous allons discrtiser sur la frontire du domaine lments finis.




Remarque : Compte tenu de la disparition du terme d'ordre 1 dans le dveloppement de la racine carre, l'ordre minimal d'approximation pour les paraxiaux fluides est en fait 1 et non 0. Nous conserverons l'appellation d'lments d'ordre 0 pour la cohrence avec le solide. Toutefois, on parle d'lments fluides d'ordre 2 au moment de considrer des lments d'ordre strictement positif.

3.2 Impdance des lments vibro-acoustiques dans Code_AsterCode_Aster dispose dlments vibro-acoustiques. On rappelle dans ce paragraphe les choix de formulation faits au moment de leur implmentation. On s'inspire pour prsenter l'existant de la documentation de rfrence de Code_Aster [bib6].

3.2.1 Limites de la formulation en p

Dans le cadre de linteraction fluide-structure en harmonique, la formulation en pression uniquement du fluide acoustique conduit des matrices non symtriques. En effet, le systme global sexprime, sous forme variationnelle, de la faon suivante :

s

Cijkl .uk ,l v i , j2 s

sui v i

pv i .ni=0 pour la structure

1 f

2 f

p . qk 2 f

pq

ui .niq=0 pour le fluide

avec k=c

, nombre donde pour le fluide, v et q deux champs virtuels dans la structure et dans

le fluide respectivement.

Aprs discrtisation par lments finis, on obtient le systme matriciel suivant :

[K C0 H ][ up]2[ M 0 f CT Qc2 ] [up ]=0 o : K et M sont les matrices de rigidit et de masse de la structure

H et Q sont les matrices fluides obtenues respectivement partir des formes bilinaires : f

p . q et f

pq

C est la matrice de couplage obtenue partir de la forme bilinaire :

pui .n i

Le caractre non symtrique de ce systme ne permet pas dutiliser les algorithme de rsolution classiques de Code_Aster. Ceci motive lintroduction dune variable supplmentaire dans la description du fluide.




3.2.2 Formulation symtrique en p et phi

La nouvelle grandeur introduite est le potentiel des dplacements , tel que x = . D'aprs [bib6], on obtient la nouvelle forme variationnelle du systme coupl fluide-structure :

s

Cijkl .uk ,l v i , j2 s

sui v i f 2

p v i .n i=0 pour la structure

1 f c

2 f

pq f 2[ 1 f c2 f qp f .S u ini]=0 pour le fluide

Avec : p= f2 f dans le fluide et un champ de potentiel de dplacement virtuel

Ceci nous conduit au systme matriciel symtrique :

[K 0 00 Mf f c2 00 0 0

] [ up ]2[M 0 f M

0 0M flc2

f MT M fl

T

c2 f H ] [ up ]=0

o : K et M sont les matrices de rigidit et de masse de la structure

M est la matrice de couplage obtenue partir de la forme bilinaire

uin i

Mf ,M fl et H sont les matrices fluides obtenues partir des formes bilinaires : fpq ,

f

pq (ou f

q ) et f

.

3.2.3 Imposition dune impdance avec la formulation en p et phi

Dune manire gnrale, une relation dimpdance la frontire du fluide sexprime ainsi :

p=Z v .n o : Z est limpdance impose

v .n est la vitesse normale sortante des particules fluides

On en dduit, daprs la loi de comportement du fluide, qui relie la pression au dplacement des

particules fluides pour un fluide acoustique p f2u t 2

=0 :

fZ p t

= p n




La discrtisation dun telle quation conduit un terme non symtrique dans une formulation en p et . On prfre formuler la condition par rapport au potentiel de dplacement, soit :

fZ

t

=0

On obtient alors comme expression pour le terme de bord associ la relation dimpdance :

f2

t 2

n

=3

t 3

f2

Z

On constate alors lapparition (quelque peu artificielle) dun terme en drive troisime par rapport au temps. En harmonique, qui est le domaine dapplication privilgi des lments vibro-acoustiques dans Code_Aster, cela ne pose pas de problme. On traite un terme en 3 sans difficult. Pour le calcul transitoire, plutt que d'introduire une approximation dune drive troisime dans le schma de Newmark implment dans les oprateurs dintgration directe en dynamique dans Code_Aster DYNA_LINE_TRAN [U4.53.02] et DYNA_NON_LINE [U4.53.01], on prfre oprer une simple correction du second membre, ce qui revient en fait considrer limpdance de faon explicite. Les conditions de stabilit du schma de Newmark ne sont plus rigoureusement les mmes, mais lexprience nous a montr quil est simple de parvenir la convergence partir des anciennes conditions.

Ce choix dune correction explicite du second membre sera galement justifi au moment de limplmentation dlments paraxiaux dordre 1, quil rend nettement plus aise.

3.2.4 Formulation dtailleOn propose ici la formulation prcise pour un fluide acoustique modlis sur un domaine avec une condition anchoque sur une partie a de la frontire du domaine. En dehors de cela, on dcompose la frontire en une surface libre et une partie en contact avec un solide rigide. Lintroduction de sollicitations extrieures ou la prsence dune structure lastique se modlise aisment par les mthodes courantes. Les lments de volume et de surface sont formuls en p et .

Les quations dans le fluide sont :

f 1c2

p=0 dans le volume q 3.2.4-1

p= f2 t 2

dans le volume q 3.2.4-2

p=0 sur la surface libre q 3.2.4-3n

=0 sur la paroi rigide q 3.2.4-4

p n =-

1c p t sur la partie de la frontire avec condition anchoque q 3.2.4-5




On multiplie lquation [q 3.2.4-1] par un champ de potentiel virtuel y et on intgre dans :

f[ 1c2 p f

2

t 2 .]

f2

t 2 n =0 daprs la formule de GreenSoit, avec les conditions aux limites sur et lquation [q 3.2.4-2] :

f[ 1c2 p f

2

t 2 .]

f pn

=0

On peut ds lors appliquer la condition dimpdance formule en pression :

a

f p n

=1ca

f p t

De plus, pour parvenir une formulation symtrique des termes de volume, on multiplie lquation [q 3.2.4-2] par un champ de pression virtuel q et on intgre dans :

f

pq f c

22

t 2 f

qc2

=0

En sommant les deux quations variationnelles, on obtient :

1 f c

2 f

pq f2

t 2 [ 1 f c2 f qp f .]1ca f p t =0 Matriciellement :

[Mf 00 0 ] [ p ]1c [0 A0 0 ][ p ][ 0 M flc2M flTc2

f H ] [ p ]=0 o les sous-matrices Mf ,M fl et H discrtisent les mmes formes bilinaires que prcdemment.

La sous-matrice A discrtise le terme a

f p t . La matrice damortissement obtenue nest pas

symtrique, comme on lavait prdit plus haut. Cest pourquoi on rejette ce terme au second membre.




3.2.5 Intgration temporelle directe

Dans notre cas, en raison de la non symtrie de la matrice dimpdance, on choisit de considrer le terme anchoque de faon explicite comme nous lavons voqu auparavant. Cela revient le calculer linstant t et le placer parmi les sollicitations lors de lexpression de lquilibre dynamique linstant t t .On rsout :

[Mf 00 0 ] [ p t ttt ][ 0 M flc2M flTc2

f H ] [ ptttt ]=1c [ 0 A0 0 ] [ ptt ] q 3.2.5-1Au lieu de :

[Mf 00 0 ] [ p t ttt ]1c [ 0 A0 0 ] [ p t tt t ][ 0 M flc2M flTc2

f H ] [ ptttt ]=0 Ainsi, on na pas de matrice non symtrique traiter dans le systme donnant X linstant t t .

Remarque :

Dans un calcul non linaire, on ractualise le second membre chacune des itrations internes. Le calcul peut donc savrer plus exact et plus stable dans ce cas.

3.3 Utilisation dans Code_AsterLa prise en compte d'lments fluides anchoques et le calcul de leur impdance ncessite une modlisation spcifique sur les frontires absorbantes :

en 2D avec la modlisation '2D_FLUI_ABSO' sur les lments finis de type MEFASEn (n=2,3 ) sur les artes absorbantes n noeuds.

en 3D avec la modlisation '3D_FLUI_ABSO' sur les lments finis de type MEFA_FACEn (n=3,4,6,8,9 ) sur les faces absorbantes n noeuds.

En analyse harmonique avec l'oprateur DYNA_LINE_HARM [U4.53.11], on calcule au pralable une impdance mcanique par l'option IMPE_MECA de l'oprateur CALC_MATR_ELEM [U4.61.01] et on la renseigne dans DYNA_LINE_HARM (mot cl MATR_IMPE_PHI).En analyse transitoire, la prise en compte de la force correctrice due aux termes d'impdance est automatique avec les modlisations d'lments absorbants dans les oprateurs DYNA_LINE_TRAN [U4.53.02] et DYNA_NON_LINE [U4.53.01].




4 Elments absorbants lastiques dans Code_AsterCette partie prsente lessentiel des contraintes gnrales dimplmentation dlments lastiques de frontire absorbants avec l'approximation paraxiale d'ordre 0 dans Code_Aster. On rappelle la relation dimpdance paraxiale dordre 0 telle quelle a t tablie par Modaressi pour un domaine lastique linaire :

t u = c p u t cs u // t uT devient u3 et u // devient u /

4.1 Adaptation du chargement sismique aux lments paraxiauxOn a prsent dans la premire partie le principe de prise en compte du champ incident grce aux lments paraxiaux. Il convient ici de prsenter les mthodes de modlisation du chargement sismique dans Code_Aster pour pouvoir adapter les donnes aux exigences des lments paraxiaux.

Lquation fondamentale de la dynamique associe un modle quelconque 2D ou 3D discrtis en lments finis de milieu continu ou de structure et en labsence de chargement extrieur scrit dans le repre absolu :

MX aCXaKXa=0

On dcompose le mouvement des structures en un mouvement dentranement Xe et un mouvement relatif Xr .

Figure 4.1-a : Dcomposition du mouvement des structures




Ainsi, Xa=XrXe

Xa est le vecteur des dplacements dans le repre absolu, Xr est le vecteur des dplacements relatifs, cest--dire le vecteur des dplacements de la

structure par rapport la dforme quelle aurait sous laction statique des dplacements imposs au niveau des supports XS . Xr est donc nul aux points dancrage,

Xe est le vecteur des dplacements dentranement de la structure produit statiquement par le dplacement impos des supports XS : Xe=Xs ,

est la matrice des modes statiques. Les modes statiques reprsentent la rponse de la structure un dplacement unitaire impos chaque degr de libert de liaison (les autres tant bloqus), en labsence de forces extrieures. Ainsi, K=0 , cest--dire, KXe=0 .Dans le cas du mono-appui (tous les appuis subissent le mme mouvement impos), est un mode de corps rigide.

Hypothse dans Code_Aster : On suppose que lamortissement dissip par la structure est de type visqueux cest--dire que la force damortissement est proportionnelle la vitesse relative de la structure. Ainsi, CXe=0 .

Lquation fondamentale de la dynamique dans le repre relatif scrit alors :

MX rCXrKXr=M XS

Loprateur CALC_CHAR_SEISME [U4.63.01] calcule le terme M , ou plus exactement , Md o d est un vecteur unitaire tel que Xs=d . f t avec f une fonction scalaire du

temps.

On distingue deux types de chargements sismiques introduits dans Code_Aster grce loprateur CALC_CHAR_SEISME :

1) Le chargement de type MONO_APPUI, pour lequel est la matrice identit (les modes statiques sont des modes de corps rigide),

2) Le chargement de type MULTI_APPUI, pour lequel est quelconque.

Daprs la mthode de prise en compte du champ incident avec les lments paraxiaux prsente dans la premire partie, il nous faut connatre sur la frontire le dplacement et les contraintes dus au champ incident. Pour le chargement de type MULTI_APPUI, seul le dplacement est directement accessible tout instant. Il semble donc difficile de permettre lutilisation dun tel mode de chargement avec des lments paraxiaux dans le sol. Dailleurs, si un tel chargement modlise les dplacements imposs des appuis, il ne requiert pas une modlisation du sol puisque toute linfluence est prise en compte par ces dplacements.

Le cas MONO_APPUI peut tre peru diffremment. Il reprsente une acclration densemble applique au modle. Ds lors, la propagation donde dans le sol peut avoir un rle jouer dans le comportement de la structure, puisque les mouvements de linterface sol-structure ne sont pas imposs. De plus, les lments paraxiaux sont utilisables avec ce type de chargement car il ne cre pas de contraintes la frontire du maillage (un mode de corps rigide ne cre pas de dformations). Ds lors, on dispose de toutes les donnes ncessaires au calcul de limpdance absorbante sur la frontire.

Remarque 1 : Dans le cas dune sollicitation sismique MONO_APPUI , le calcul dynamique se fait dans le repre relatif. Si on revient sur le terme discrtiser sur les lments paraxiaux (voir premire partie), on remarque que u i correspond exactement au dplacement




dentranement Xe prsent plus haut. Ainsi, uui correspond au dplacement relatif calcul pendant le calcul. Ds lors, la relation prendre en compte sur les lments paraxiaux dans une telle configuration est simplement :

t u =A0 u t Remarque 2 :

Dans le cas dun calcul dinteraction sol-fluide-structure avec fluide infini, la pression prendre en compte pour le calcul de limpdance anchoque dans le fluide est bien la pression absolue, si on na pas de champ incident dans le fluide (ce qui est souvent le cas). La correction que lon pouvait se dispenser de faire pour le sol doit alors tre faite pour les lments paraxiaux fluides.

4.2 Implmentation des lments en transitoire et en harmonique4.2.1 Implmentation en transitoire

Le mode dimplmentation des lments paraxiaux lastiques en transitoire est trs voisin de celui prsent pour les lments fluides. La diffrence vient essentiellement de la ncessit de dcomposer le dplacement en une composante selon la normale llment, correspondant une onde P , et une composante dans le plan de llment, correspondant une onde S . On est alors mme de discrtiser la relation dimpdance introduite dans la premire partie :

t u =C pu3 t

C su /

t

On ne revient pas sur le schma dintgration temporelle que lon a dj dcrit dans la partie prcdente, sachant quon considre toujours la relation dimpdance de faon explicite par une correction du second membre.

4.2.2 Implmentation en harmoniqueLes lments acoustiques fluides de Code_Aster proposent dj la possibilit de prendre en compte une impdance impose la frontire du maillage en harmonique. Cela correspond au traitement dun terme en 3 dans les quations, comme cit plus haut. Il est tentant dintroduire la possibilit dimposer une impdance absorbante pour un problme lastique en harmonique.

Pour un calcul de rponse harmonique dune structure infinie, la prise en compte de limpdance absorbante comme une correction du second membre nest videmment pas applicable. Cependant, la relation dimpdance lordre 0 exprime les termes surfaciques en fonction de la vitesse des noeuds de llment. On peut donc construire une pseudo-matrice damortissement visqueux traduisant la prsence du domaine infini.

La dcomposition de la relation dimpdance selon les composantes normale ou tangentielle du dplacement sur llment nous contraint construire la matrice dimpdance dans un repre local sur llment. On dfinit ce repre local dans la routine lmentaire ainsi que la matrice de passage qui permet le retour la base globale.

Remarque : Dans le cas des lments paraxiaux lastiques dordre 0, crer une matrice damortissement aurait pu nous permettre de rsoudre le problme en transitoire sans altrer la stabilit du schma de Newmark, contrairement la prise en compte explicite que nous avons retenue. Cependant, nous avons montr les problmes que cela crait pour les lments fluides et nous avons souhait garder lhomognit des modes d'implmentation. De plus, le traitement des lments dordre 1 rendant la voie explicite obligatoire, le tout semble cohrent. Cela permet galement de prendre en compte la fois un domaine infini avec des lments paraxiaux et un amortissement de type amortissement modal pour la structure.

4.3 Mode de chargement sismique par onde planeManuel de rfrence Fascicule r4.02 : Acoustique



En complment des mthodes de prise en compte du chargement sismique dj disponible et en raison de linadquation du mode MULTI_APPUI avec les lments paraxiaux, il semble intressant dintroduire un principe de chargement par onde plane. Cela correspond aux chargements classiquement rencontrs lors des calculs dinteraction sol-structure par les quations intgrales.

4.3.1 Caractrisation dune onde plane en transitoireEn harmonique, une onde plane lastique est caractrise par sa direction, sa pulsation et son type (onde P pour les ondes de compression, ondes SV ou SH pour les ondes de cisaillement). En transitoire, la donne de la pulsation, correspondant une onde stationnaire en temps, doit tre remplace par la donne dun profil de dplacement dont on va prendre en compte la propagation au cours du temps dans la direction de londe.Plus prcisment, on va considrer une onde plane sous la forme :

u x , t = f k .xC p t k pour une onde P (avec k unitaire)u x , t = f k .xCS t k pour une onde S (avec toujours k unitaire)

f reprsente alors le profil de londe donn selon la direction k .

O

k

Fonction f

Front donde principal correspondant lorigine du profil

H

H est la distance de lorigine au front donde principal.

4.3.2 Donnes utilisateur pour le chargement par onde plane

Conformment la thorie expose en premire partie, il nous faut calculer la contrainte la frontire du maillage due londe incidente et le terme dimpdance correspondant au dplacement incident, soit :

t u i et A0 ui t Pour exprimer les contraintes, il nous faut disposer des dformations dues londe incidente, la loi de comportement du matriau nous permettant de passer des unes aux autres. Sur les lments de frontire, on peut exprimer le tenseur des dformations linarises en chaque nud par la formule classique :

x , t =12 [ u x , t

t u x , t ]




Finalement, pour estimer les contraintes dues au champ incident, il nous faut donc dterminer les

drives u i j xk

pour j et k parcourant les trois directions de lespace. On obtient ces quantits

partir de la dfinition de londe plane incidente :

(u i ) j xk

=k k f ' ( k .xCm t ) k j avec m=S ou P

En ce qui concerne le terme dimpdance, il nous faut u i t

=C m f ( k .xC mt ) k , toujours avec m=S ou P .

On voit alors que la fonction importante pour un chargement par onde plane avec des lments paraxiaux dordre 0 nest pas le profil de londe f , mais sa drive, soit f ' soit f . L'onde tant plane, le front d'onde est caractris par les plans k .xC m t=cte , d'o la relation : k .d x=Cmdt

. Il y a donc l'quivalence suivante entre les deux drivs de f : f '=1C m

f . On choisit de

demander la fonction f lutilisateur comme donne du calcul.On peut ds lors rcapituler les paramtres entrer pour la dfinition dun chargement par onde plane en transitoire :

Type de londe : P , SV ou SHDirection de londe : k x , k y , k zDrive du profil de londe : f (t) pour t[0,+ [




4.4 Utilisation dans Code_AsterLa prise en compte d'lments lastiques absorbants et le calcul de leur impdance ncessite une modlisation spcifique sur les frontires absorbantes :

en 2D avec la modlisation 'D_PLAN_ABSO' sur les lments finis de type MEPASEn (n=2,3 ) sur les artes absorbantes n noeuds.

en 3D avec la modlisation '3D_ABSO' sur les lments finis de type MEAB_FACEn (n=3,4,6,8,9 ) sur les faces absorbantes n noeuds.

En analyse harmonique avec l'oprateur DYNA_LINE_HARM [U4.53.11], on calcule au pralable un amortissement mcanique par l'option AMOR_MECA de l'oprateur CALC_MATR_ELEM [U4.61.01] et on le renseigne dans DYNA_LINE_HARM (mot cl MATR_AMOR).

En analyse transitoire, la prise en compte de la force correctrice due aux termes d'impdance est automatique avec les modlisations d'lments absorbants dans les oprateurs DYNA_LINE_TRAN [U4.53.02] et DYNA_NON_LINE [U4.53.01].

5 Bibliographie1) J. M. CREPEL, " Modlisation tridimensionnelle de linteraction sol-structure par des

lments finis et infinis.", Thse docteur-ingnieur, Ecole Centrale de Paris (1983))

2) M. COHEN, P. C. JENNINGS, "Silent boundary methods for acoustic and elastic wave equations.", S. S. A. (1977.

3) H. MODARESSI, " Modlisation numrique de la propagation des ondes dans les milieux poreux lastiques.", Thse docteur-ingnieur, Ecole Centrale de Paris (1987.

4) D. CLOUTEAU, A. S. BONNET-BEN DHIA, " Propagation d'ondes dans les solides.", Cours de l'Ecole Centrale de Paris

5) B. ENGQUIST, A. MAJDA, " Absorbing boundary conditions for the numerical simulation of waves.", Mathematics of Computation (1977)

6) Fe. WAECKEL, " Elments vibro-acoustiques.", Document de rfrence. Code_Aster [R4.02.02]

6 Description des versions du documentVersion Aster

Auteur(s) Organisme(s)

Description des modifications

05/01/00 G. DEVESA, V. FAUCHER (EDF/RNE/AMV)

Texte initial



1Introduction1.1Problmatique d'un milieu semi-infini pour l'ISS1.2Etat de l'art des approches numriques

2Thorie des lments paraxiaux2.1Impdance spectrale de la frontire2.2Approximation paraxiale de l'impdance2.3Prise en compte du champ sismique incident

3Elments fluides anchoques en transitoire3.1Formulation standard3.1.1Formulation lments finis3.1.2Approximation paraxiale

3.2Impdance des lments vibro-acoustiques dans Code_Aster3.2.1Limites de la formulation en p3.2.2Formulation symtrique en p et phi3.2.3Imposition dune impdance avec la formulation en p et phi3.2.4Formulation dtaille3.2.5Intgration temporelle directe

3.3Utilisation dans Code_Aster

4Elments absorbants lastiques dans Code_Aster4.1Adaptation du chargement sismique aux lments paraxiaux4.2Implmentation des lments en transitoire et en harmonique4.2.1Implmentation en transitoire4.2.2Implmentation en harmonique

4.3Mode de chargement sismique par onde plane4.3.1Caractrisation dune onde plane en transitoire4.3.2Donnes utilisateur pour le chargement par onde plane

4.4Utilisation dans Code_Aster

5Bibliographie6Description des versions du document

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