Mathmatiques Spciales Espaces Prhilbertiens

Espaces prhilbertiens

1 Soient E un R-espace vectoriel (resp. C-espace vectoriel) de dimension finie, non nulle,et B une base. Soit f une forme bilinaire symtrique (resp. sesquilinaire symtrie her-mitienne) sur E. Trouver une condition (ncessaire et suffisante) sur MatB f pour que fsoit non dgnre.

2 Soient a et b dans E prhilbertien rel. Rsoudre lquation x2 +2a | x+b2 = 0 et dcrire gomtriquement lensemble des solutions.

3 Soit E un espace prhilbertien rel. Montrer que

a,b,c,d E ba2+cb2+dc2+ad2 = ca2+db2+ab+cd2

x1, . . . , xn E n

k=1xk

2 6 n nk=1

xk2

4 Soient n N?, (ak )16k6n , (bk )16k6n dans Cn et (ck )16k6n dans Rn+. Prouver nk=1

ak bk ck2 6 ( n

k=1|ak |2 ck

)( nk=1

|bk |2 ck)

5 Trouver tous les (x, y, z) C3 tels que

|1x|2 +|x y |2 +|y z|2 +|z|2 = 14

Indication : Considrer les vecteurs t[1 1 1 1] et t[1x x y y z z].

6 Soient n N? et x1, . . . , xn des rels strictement positifs, tels quen

k=1xk = 1. Montrer que

nk=1

1xk

> n2 et discuter le cas dgalit.

7 Soit n N?. On poseA,B Mn(R) A | B = Tr(tAB)

1. Montrer que | est un produit scalaire, pour lequel la base canonique est orthonor-me.

2. Montrer que An(R) et Sn(R) sont supplmentaires orthogonaux ; trouver une base or-thonorme de ces espaces.

3. Soit A Mn(R). Calculer

Inf

{ 16i , j6n

(ai , j mi , j )2 M = (mi , j )16i , j6n Sn(R)

}

4. Prouver A Mn(R) |TrA|6

n

16k,`6nA2k,`

et discuter le cas dgalit.

5. Montrer que si A Mn(R) et U On(R), alors AU = UA = A.

8 Soit E prhilbertien. Soient f et g deux applications de E dans lui-mme, telles que

x, y E f (x) | y = x | g (y)Prouver que f et g sont linaires.

9 Dans R4 muni du produit scalaire canonique, on considre

v1 = t[1 2 1 1] v2 = t[0 3 1 1] F = Vect(v1, v2)

Trouver une base orthonorme de F et de F. Donner la matrice, dans la base canonique,de la projection orthogonale sur F.

Mmes questions avec F ={

x R4 |{

x1 +x2 +x3 +x4 = 0x1 x2 +x3 x4 = 0

}

10 Soient a1, . . . , an dans C, non tous nuls. On note H = {z Cn |n

k=1ak zk = 0}. Calculer la

matrice, dans la base canonique de Cn , de la projection orthogonale sur H.

11 Calculer Infa,bR

10

x2 (ln x +ax +b)2 dx et trouver les valeurs de a et b qui ralisent lin-fimum.

12 On travaille dans R[X] muni du produit scalaire | : (P,Q) 7

[1;1]PQ et on pose

n N Ln = 12n n!

[(X2 1)n](n)

1. Vrifier rapidement quon a un produit scalaire.

2. Si n N, calculer le degr de Ln , son coefficient dominant, sa parit, sa valeur en 1.3. Si n,m N, calculer Ln | Lm. Comparer (Ln)nN la famille orthonorme obtenue en

Schmidtant la base canonique de R[X].

4. Si n N, trouver et rels tels que Ln+2 = XLn+1 +Ln .5. Si n N, montrer que (X2 1)Qn +2XQn = n(n +1)Qn .

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13 Soit n N?. On travaille dans Rn[X], muni du produit scalaire

(P,Q) 7 P | Q =

[0 ;1]PQ

Soit P Rn1[X], non nul. On pose

: x 7 1

0P(t ) t x dt

1. Quel est le degr de P ? Montrer que est une fonction rationnelle et trouver ses ples.

2. En dduire et P.

3. Trouver une base orthonorme de Rn[X].

4. Calculer Mina1,...,anR

10

(1+

nk=1

ak xk)2

dx.

14 On travaille dans E = C ([0 ; 1],C) muni du produit scalaire | : ( f , g ) 7

[0 ;1]f g .

Posons F = { f E | f (0) = 0}. Montrer que F = {0}. Quen pensez-vous ?Indication : On pourra montrer que, si f F, alors | f |2 F.15 Soient n N? et e1, . . . ,en dans E (prhilbertien), de norme 1, tels que

x En

k=1

ek | x2 = x2Prouver que (e1, . . . ,en) est une base orthonorme de E.

16 Soit E prhilbertien, de dimension finie n N?. Soit f L (E), qui prserve lorthogo-nalit :

x, y E x y = f (x) f (y)Montrer quil existe > 0 tel que

x, y E f (x) | f (y) = x | y

17 On travaille dansR[X] avec le produit scalaire | : (P,Q) 7

[0 ;1]PQ. Est-ce quil existe

A R[X] tel queP R[X] A | P = P(0) ?

Mme question dans Rn[X].

18 Soient n N? et M GLn(C). Montrer quil existe Un(C) et T triangulaire suprieureavec des rels strictement positifs sur la diagonale, telles que M = T. et T sont-ellesuniques ? Que dire sur et T si M GLn(R) ?

Indication : Travailler dans Cn avec le produit scalaire canonique et schmidter une base de Cn bienchoisie.

19 Soit E prhilbertien de dimension finie n non nulle. Soient x1, . . . , xn dans E. Montrerque |detB (x1, . . . , xn)| ne dpend par de la base orthonorme B choisie, et que

|detB (x1, . . . , xn)|6n

k=1

xk

Voyez-vous une interprtation gomtrique de ce rsultat si K=R et n = 2 ou 3 ?20 Soient n N? et E prhilbertien. Si x1, . . . , xn sont dans E, on appelle matrice de Gram

de (x1, . . . , xn) la matrice

G(x1, . . . , xn) =(xi | x j )16i , j6n

1. Montrer que (x1, . . . , xn) est libre si, et seulement si, G(x1, . . . , xn) est inversible.

2. Montrer que (x1, . . . , xn) et G(x1, . . . , xn) ont le mme rang.

3. On suppose que (x1, . . . , xn) est libre et on note F = Vect(x1, . . . , xn). Soit pF la projectionorthogonale sur F. Prouver que

x E x pFx2 = detG(x, x1, . . . , xn)detG(x1, . . . , xn)

21 Soit p un projecteur de E (prhilbertien). Montrer que

Ker p (Im p) (x E px6 x)

22 Soit E un R-espace vectoriel, muni dune norme . On suppose que vrifie la rela-tion du paralllogramme :

x, y E x + y2 +x y2 = 2(x2 +y2)On veut montrer que est une norme euclidienne. On pose

x, y E f (x, y) = 12

(x + y2 x2 y2)1. Montrer que, si x et y sont fixs dans E, alors lim

t0t x + y = y.

2. Montrer que x, x , y E f (x +x , y) = f (x, y)+ f (x , y)3. En dduire que f est un produit scalaire sur E et que est la norme euclidienne

associe f .

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