R ALGÉRIENNE D P M ’ENSEIGNEMENT S R S UNIVERSITÉ DE E -H L

RÉPUBLIQUE ALGÉRIENNE DÉMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

UNIVERSITÉ DE EL-HADJ LAKHDAR- BATNA

FACULTÉ DES SCIENCES

DÉPARTEMENT DES SCIENCES DE MATIÈRE

MÉMOIREprésenté par

Mohammed Laid YahiaouiEN VUE DE L’OBTENTION DU DIPLÔME DE MAGISTÈRE EN PHYSIQUE

Option « Astrophysique »

THÈME

ETUDE ET MISE EN OEUVRE DE LA TECHNIQUE RING-DIAGRAM POUR

L’ANALYSE DES PHÉNOMÈNE LOCAUX SOLAIRESDevant le Jury :

Président : Mr A.BOULDJEDRI Prof, Université de BatnaRapporteur : Mr N.SEGHOUANI M.R.A au CRAAGExaminateur : Mr A.SID M.C.A Université de BatnaExaminateur : Mr J.MIMOUNI Prof, Université de Constantine

MÉMOIRE PRÉPARÉ AU CENTRE DE RECHERCHE EN ASTRONOMIE, ASTROPHYSIQUE ET

GÉOPHYSIQUE

À mes parentsÀ mes enseignants, de la maternelle à la PG

À mes frères et tous mes amis. . .

REMERCIEMENTS

En préambule à ce mémoire, je souhaitais adresser mes remerciements les

plus sincères aux personnes qui m’ont apporté leur aide et qui ont contri-

bué à l’élaboration de ce mémoire. Je tiens à remercier sincèrement Mon-

sieur Nassim Seghouani qui en tant que Directeur de mémoire, s’est tou-

jours montré à l’écoute et très disponible tout au long de la réalisation de ce

mémoire, ainsi pour l’inspiration, l’aide et le temps qu’il a bien voulu me

consacrer et sans qui ce mémoire n’aurait jamais vu le jour. Et aussi pour sa

générosité et la grande patience dont il a su faire preuve malgré ses charges

académiques et professionnelles, vraiment je le remercie du fond du coeur.

Mes remerciements s’adressent également à professeur Mimouni et profes-

seur Bouldjedri : les instigateurs de l’EDA, qui nous a ouvert cette voie et qui

ont derrière toutes ces bonnes choses.

Monsieur Sid, toujours de bonnes humeurs, et un grand merci aussi aux

autres enseignants admirables de l’EDA : monsieur Attalah, monsieur Mé-

barki, monsieur Benslama ...etc.

Je n’oublie pas ma mère et mes frères pour leur contribution, leur soutien et

leur patience.

Enfin, j’adresse mes plus sincères remerciements à tous mes proches et amis

et toutes les scoutismes de groupe Benbatouche Abdelali de Barika, qui m’ont

toujours soutenu et encouragé au cours de la réalisation de ce mémoire.

Merci à tous et à toutes.

Titre ETUDE ET MISE EN OEUVRE DE LA TECHNIQUE RING-DIAGRAM

POUR L’ANALYSE DES PHÉNOMÈNE LOCAUX SOLAIRES

Résumé La technique de diagramme en anneaux est basée sur l’analyse

des spectres de puissance d’une série chronologique d’images d’une région

spécifique du soleil. Le spectre de puissance d’une telle série se présente

sous forme d’une superposition de trompettes. Une coupe transversale de

ce spectre de puissance à des pulsations ω bien définies nous donne le dia-

gramme en anneaux. On peut aisément montrer que la forme de ces anneaux

dépend fortement des inhomogénéités du milieu, des flux de vitesse subsur-

facique...etc. Il s’agit alors d’établir un modèle décrivant la structure des an-

neaux pour remonter aux paramètres internes tels que le flux de vitesse. Dans

notre travail, nous avons étudié la technique du diagramme en anneaux et

nous avons mis en oeuvre le modèle Patron 1995. Et d’autre part, de mettre

en place les différentes procédures de traitement de données et en suite l’in-

version de modèle et l’estimation les déférents paramètres qui sont issus de

l’observation à partir des données Dopplerogrammes du soleil obtenues du

réseau MDI.

Mots-clés soleil, héliosismologie locale, diagramme des anneux, simula-

tion, l’inversion de modèle

Title STUDY AND IMPLEMENTATION OF THE RING DIAGRAM TECH-

NIQUE FOR THE ANALYSIS OF THE SOLAR LOCAL PHENOMENA

Abstract The ring diagram technique is based upon a powers spectrums

analysis of a chronological series of images related to a specific zone of the

sun. The powers a spectrum of such a series appears like superposed trumpet.

A transversal section of this power spectrum with defined ω pulsations gives

us the Ring Diagram. It can be shown that the shape of those rings depend

highly upon the non homogeneities of the region, the subsurface velocities

flux...etc. We have to set up a model describing the structure of the rings to

get back to the internal parameters such as velocities flux.

We have studied the ring diagram technique and we have implemented the

Patron model 1995. On the other hand we have set up the different procedures

of data processing then the model reversal and estimation of the different

parameters resulting from the observation of the Dopplerogrammes data of

the sun, obtained from the MDI network.

Keywords Sun, helioseismology local, Rings diagram, simulation, inver-

sion

TABLE DES MATIÈRES

REMERCIEMENTS v

TABLE DES MATIÈRES ix

LISTE DES FIGURES x

LISTE DES TABLEAUX xiii

INTRODUCTION 1

1 GÉNÉRALITÉS SUR LE HÉLIOSÉISMOLOGIE 5

1.1 STRUCTURE DU SOLEIL : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 BREF HISTORIQUE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 LES OSCILLATIONS SOLAIRE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Équations de base : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.2 Linéarisation des équations : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Nature des modes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 HÉLIOSISMOLOGIE GLOBALE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 HÉLIOSISMOLOGIE LOCALE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.1 Le diagramme en anneaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5.2 Héliosismologie Temps-Distance : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.3 L’Holographie Acoustique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 LA MÉTHODE DU DIAGRAMME EN ANNEAUX 25

2.1 HISTORIQUE : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 NATURE DE SPECTRE DE PUISSANCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 INFLUENCE DES FLUX DE VITESSEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4 MODELISATION DU SPECTRE PUISSANCE . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5 SIMULATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5.1 Simulation avec un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.2 Simulation avec 05 anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.6 INVERSION & ESTIMATION DES DIFFÉRENTS PARAMÈTRES : . . . . . . . . 36

3 TRAITEMENT ET ANALYSE DES DONNÉES 41

3.1 LES DONNÉES : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Les instruments : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 Description des différentes étapes de traitement de données : . . . . . . . . 48

CONCLUSION GÉNÉRALE 59

BIBLIOGRAPHIE 61

A ANNEXES 67

LISTE DES FIGURES

1.1 Schéma de la structure interne du Soleil prédit par la théorie de

la structure stellaire et vérifiée par l’Hélioséismologie. En noir,

la propagation de rayons associés aux ondes sismiques p et g.

Crédits : NASA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

x

1.2 Exemples d’harmoniques sphériques pour l = 6 et diffé-

rentes valeurs de m, Les noeuds sont les lignes bleu foncé et

les régions bleu clair (l’onde se rapproche) ou rouges (l’onde

s’éloigne). Crédits : CEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Fréquences de Brunt-Vaisala N (ligne continue) et fréquences

de Lamb Sl pour l allant de 1 à 5 (ligne pointillées). Les lignes

horizontales indiquent les régions de piégeage pour un mode g

de fréquence ν = 60µHz, et pour un mode p de degré 5 et de

fréquence ν = 1000µHz. (Brassard et al. 1992) . . . . . . . . 17

1.4 Exemple de coupe transversale du spectre de puissance

3D, pour ν = 0.82mHZ à partir d’un DataCube MDI

(128×128×512) correspondant à un patch de 16×16 toutes

les minutes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Trajets des rayons sous la surface du Soleil. Sont courbés du

fait que la vitesse du son varie de 7 km/s prés de la surface à

35 km/s à 10 Mm de profondeur. Crédits : http ://soi.stanford.edu 21

2.1 Spectre 2D sons forme d’arête dans le plan m− ν. (Hill, 1988) 27

2.2 Diagramme ν− l obtenu à partir d’observations de MDI ; seuls

les modes p son présents. Crédits : NASA . . . . . . . . . . . 28

2.3 Représentation des trompettes pour 3 modes d’oscillations p1 à

p3. (Hill, 1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4 Exemple de diagramme en anneaux pour ν = 3 µHZ à partir

un DataCube données GONG, de dimensions (128×128×512) 29

2.5 Arêtes et anneaux en présence et en absence du champ de vi-

tesse. k0 et ωd en l’absence de flux de vitesse, et k+ et k− en

présence de flux de vitesse. Les quantités ∆k− et ∆k+ ne sont

pas égaules, et donc les anneaux ne sont pas exactement des

cercles. (Hill, 1988) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.6 Simulation avec un anneau (a) ux = 0, uy = 0, Background =

0, (b) Avec ux, uy et Background . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7 Simulation avec 5 anneaux (a) ux = 0, uy = 0, Background =


2.8 (a) Estimation les paramèter de 1 anneau sans jacobian ,(b) Es-

timation les paramèter de 1 anneau avec jacobian . . . . . . . 37

2.9 (a) Estimation les paramèter de 3 anneaux sans jacobian ,(b)

Estimation les paramèter de 3 anneaux avec jacobian . . . . . 39

3.1 Le réseau GONG. Crédits : http ://gong.nso.edu . . . . . . . . 44

3.2 Le Satellite SOHO. Crédits : ESA . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Le Satellite SDO. Crédits : NASA . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Image brute du soleil, cette image est recueillie par GONG pour

la journée du 25/01/2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Les coordonnées héliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6 Illustration des angles P et B0. Dans le cas présenté : P =

−23, 7 et B = −7.2 . Les deux lignes bleu représentent l’équa-

teur et le méridien central solaire, les lignes en noir représentent

les axes X,Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.7 Image après Remapping du soleil, cette image est recueillie par

GONG pour la journée du 25/01/2007 . . . . . . . . . . . . . 52

3.8 Image après Remapping et Tracking du soleil, cette image est

recueillie par GONG pour la journée du 25/01/2007 . . . . . . 53

3.9 Fonction de Snodgrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.10Extraction d’un Data Cube(x, y, t) de 22.5 × 22.5 à partir de

données remappées et trackées. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.11Représentation du Data Cube dans l’espace fréquentiel en

(kx, ky, ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.12(a) Coupe transversale du Data Cube à frequence ν =

0.7810−3HZ.(b) Coupe longitudinale . . . . . . . . . . . . . . 56

3.13(a) la fenéter d’apodisation de cloche cosinus de 128 × 128

pixels .(b) Image du DataCube aprés l’apodisation par une fe-

nétre de cloche cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Liste des tableaux

2.1 Simulation avec un anneau (a) ux = 0, uy = 0, Background =


2.2 Simulation avec 05 anneaux (a) ux = 0, uy = 0,

Background = 0, (b) Avec ux, uy et Background . . . . . . . 35

2.3 Minimisation pour un anneau (a) sans jacobian, (b) Avec jacobian 37

2.4 Simulation pour 03 anneaux (a) sans jacobian, (b) Avec jacobian 38

INTRODUCTION

Etant la source fondamentale de lumière et de chaleur, animant toute base de

chaine alimentaire, et ainsi toute harmonie de vie sur terre, le soleil est moteur

de la vie sur terre. Sans lui notre fascinante planète bleue ne sera qu’un gros

caillou parmi tant d’autres, sans climat, et surtout, elle sera privée de ses plus

importants résidents dotés d’intelligence. Depuis la nuit des temps, l’homme

s’est rendu compte que sa vie ne sera que malheur et souffrance si le soleil

arrêtera de briller un jour. De ce fait, le soleil a toujours occupé une place

exclusive pour toute civilisation humaine.

Mais pour l’homme préhistorique, ou pour un aristocrate du moyen âge, le

mystère était : " Comment le soleil fait t’il pour rester brillant jour après

jour ? ", plus précisément : " D’où trouve-t-il les ressources nécessaires pour

briller aussi constamment et considérablement ? ".

En fait la réponse à cette petite problématique a trainer durant des siècles,

où les philosophes s’amusèrent à ajuster des théories compliquées. Dans la

majorité des cas on a cru qu’il s’agissait d’une combustion chimique. C’est

normal puisque c’était la seule source d’énergie connue à l’époque. Le mys-

tère n’a résolu qu’avec l’arrivée d’Albert Einstein, avec sa célèbre théorie de

relativité publié en 1905. D’après cette théorie la masse peut se transformer

en énergie suivant l’équation E = mc2. Avec cette équation tous s’explique,

et peu après on a compris que l’énergie du soleil est produite par des inter-

actions nucléaires présentes au coeur de notre étoile jaune. Au centre où la

pression gravitationnelle est énorme, les noyaux d’hydrogène se heurtent, et

finissent par fusionner donnent naissance à un noyau d’hélium plus léger que

2 Introduction

les deux noyaux initiaux, ainsi la différence en masse est transformée en éner-

gie pure (suivant l’équation d’Einstein), et c’est cette énergie qui illumine les

couches externes de notre soleil ou toute autre étoile. Avec ces arguments re-

lativement récents, le mystère avait été résolu. Mais, même de nos jours, rares

sont les gents qui connaissent comment le soleil brille, pourtant l’explication

n’est pas vraiment compliquée.

Ce qui empêche le soleil de consommer sont énergie rapidement et ce qui

lui donne une brillance constante de jour en jour durant des millions d’an-

nées (première question), est due au fait que la fusion dépend de l’interaction

faible, qui est dite faible pour sa très faible section efficace. Ainsi les noyaux

d’hydrogène se transforment petit à petit en hélium, mais pas d’un seul coup.

Ce qui permet au soleil d’avoir une brillance constante, et de vivre longtemps.

Le soleil est aussi l’étoile la plus proche parmi les centaines de milliards

d’étoiles présentes dans chacune des quelques cent milliards de galaxies de

notre l’Univers. De ce fait, étudier le soleil est indispensable, comprendre le

soleil conduit à comprendre le ciel nocturne. Le soleil est donc une porte pour

explorer l’univers, et cette porte est très proche relativement, et on peut es-

père qu’on pourra l’ouvrir bientôt, si elle n’est pas déjà ouverte vu les percés

récentes...

Jusqu’aux années 70, notre connaissance du soleil était purement théorique.

On avait aucune moyen de sonder l’intérieur du soleil. Avec la mise en évi-

dence d’onde acoustique se propageant à l’intérieur de soleil au mileu des

années 70, les astrophysiciens ont trouvé un moyen de sonder l’intérieur de

soleil. Un nouvelle discipline était née : l’héliosismologie. En analysant les

variations des raies d’absorption dans le spectre solaire. Les astrophysiciens

ont mis en évidence la présence de millions de modes acoustiques, se pro-

pageant sous le plasma solaire. Ces modes acoustiques dépendent du milieu

dans lequel ils se propagent, et nous permettent donc de remonter aux proprié-

Introduction 3

tés internes du soleil (rotation, température, densité, ...) après etre confrontés

au modèle solaire.

Le soleil a d’abord été étudié dans sa globalité comme une étoile. C’est l’hé-

liosismologie globale. Par la suite, le développement de la technologie (ca-

méra CCD, ...) a permis l’étude de régions locales de soleil. Ce fut la nais-

sance de l’héliosismologie locale. Il a été alors possible de s’interesser à une

région précise de soleil (tache solaire, ...) et d’étudier la région subsurface de

la région en question. Pour atteindre cet objectif, il existe plusieurs techniques

en héliosismologie locale, telles que la technique temps distance, l’hologra-

phie acoustique et la technique de diagramme en anneaux. C’est cette dernière

technique que fera l’objet de notre travail.

Cette technique a d’abord été proposée par Gough & Toomre en 1983, puis

par Hill en 1988. Elle est basée sur l’analyse des spectres de puissance

d’une série chronologique d’images d’une une région spécifique du soleil.

Le spectre de puissance d’une telle série se présente sous forme d’une super-

position de trompettes.

Une coupe transversale de ce spectre de puissance à des pulsations ω bien

définies nous donnent le diagramme en anneaux. On peut aisément montrer

que la forme de ces anneaux dépend fortement des inhomogénéités du mi-

lieu, des flux de vitesse subsurfacique...etc. Il s’agit alors d’établir un modèle

décrivant la structure des anneaux pour remonter aux paramètres internes tels

que le flux de vitesse. Dans notre travail, nous avons étudié la technique du

diagramme en anneaux et nous avons mis en oeuvre le modèle Patron 1995.

A partir de cela nous avons d’abord étudié le problème direct à travers des

simulations. Nous avons ensuite développé des techniques d’inversion pour

estimer en flux du vitesse. Ces techniques furent d’abord appliquées aux don-

nées simulées avant passer à des données réelles issues du réseau MDI. Ces

données ont d’abord été soumises à un ensemble de traitement (Remapping,

4 Introduction

Tracking,...) avant d’être analysées.

Afin de présenter notre travail, nous présenterons d’abord dans le chapitre

01 des généralités sur le soleil et sur l’héliosismologie où nous verrons un

bref historique de la technique avant d’étudier les principales équations qui

la régissent. Nous verrons également un aperçu des techniques utilisées en

héliosismologie globale et locale.

La technique du diagramme en anneaux, qui nous intéresse particulièrement,

fera l’objet du chapitre 02, où nous verrons précisément la nature de spectre

de puissance et l’influence des flux de vitesse. Nous étudierons les modèles

de spectre de puissance que l’on testera à travers des simulations avant de

présenter les techniques d’inversion.

Le chapitre 03, sera consacré quant à lui, au traitement et à l’analyse des don-

nées héliosismiques issues du réseau GONG et de l’instrument MDI, et sur

lesquelles nous avons travaillé. Nous présenterons d’abord les données elles-

mêmes et nous détaillerons toutes les étapes de prétraitement, qui nous déli-

vrerons des données susceptibles d’être confrontées au modèle préalablement

développé. Nous présenterons alors les résultats obtenus. Nous terminerons

enfin par une conclusion sur le travail réalisé et les perspectives de ce dernier.

1GÉNÉRALITÉS SUR LE

HÉLIOSÉISMOLOGIE

L’héliosismologie est la science que nous permet d’étudier les vibrations

qui se propagent à l’intérieur du soleil, à partir des observations des flux

observé à la surface.

Dans ce chapitre nous des écrivons tout d’abord l’objet de notre étude.

1.1. Structure du Soleil : 7

FIGURE 1.1 – Schéma de la structure interne du Soleil prédit par la théorie de la structure stellaire et

vérifiée par l’Hélioséismologie. En noir, la propagation de rayons associés aux ondes sismiques p et g.

Crédits : NASA

1.1 STRUCTURE DU SOLEIL :

Le Soleil est une source de lumière et de chaleur pour la vie sur Terre. Le

Soleil est une étoile naine jaune qui se compose de 74 % d’hydrogène, de

24 % d’hélium et d’une fraction d’éléments plus lourds. Le Soleil tire son

énergie de réactions de fusions nucléaire qui transforment, dans son noyau,

l’hydrogène en hélium, et se trouve dans un état d’équilibre hydrostatique.

Au centre : Au centre du Soleil se trouve le noyau où auront lieu les réac-

tions thermonucléaires. La température peut aller jusqu’à 14 000 000 K

avec une pression de 150 109 bar. Le noyau se limite à 1/4 du rayon du

Soleil. Toute la chaleur (énergie) produite ou émise par le soleil provient

de cette zone.

La zone de radiation : La zone de radiation ou zone radiative se situe ap-

8 Chapitre 1. Généralités Sur Le Hélioséismologie

proximativement entre 0,25 et 0,7 rayon solaire. Dans cette région la

température est de 2 000 000 K. Dans cette zone, il n’y a pas de convec-

tion thermique. Le rôle de cette région est de transmettre l’énergie du

noyau aux couches externes sous forme de photons.

La zone de convection : La zone de convection ou zone convective s’étend

de 0,7 rayon solaire du centre à la surface visible du Soleil. La tempé-

rature y passe de 2 000 000 K à 5 800 K. C’est selon un mouvement

vertical, par convection, que la chaleur est conduite vers la photosphère.

La photosphère : La photosphère est la surface visible du Soleil, son épais-

seur est de l’ordre de 100 km (très petit par raport au rayon solaire de

700 000 km). Sa température est de 6000 K.

La chromosphère : La température de la chromosphère est plus basse 4 000

K et elle augmente graduellement avec l’altitude, pour atteindre un maxi-

mum de 100 000 k à son sommet. Elle est épaisse d’environ 2000 km.

La couronne : La couronne est la région la plus externe de l’atmosphère so-

laire. Elle s’étend sur une distance de plusieurs rayons solaires, comme

on peut le voir lors d’une éclipse totale du soleil. Elle est constituée de

grands jets de gaz chauds, formant une structure radiale suivant le champ

magnétique indiquant les régions actives du soleil. C’est un milieu en

perpétuelle évolution, qui répercute les variations du champ magnétique

du Soleil. Sa température est de 1 000 000 K. Le réchauffement de la cou-

ronne constitue un des mystères du soleil, car on a pas encore bien com-

pris le processus d’un tel réchauffement, puisque les couches externes

(les plus proches du noyau) ne sont qu’a quelques milliers de degrés.

L’héliosphère : L’héliosphère est une zone débutant à environ 20 rayons so-

laires du centre du Soleil, et elle s’étend jusqu’aux confins du système

solaire.

1.2. Bref historique : 9

1.2 BREF HISTORIQUE :

En 1960, Leigton et al., mesurèrent le décalage spectral par effet Doppler

d’une raie de Fraunhaufer du spectre solaire. En conclusion de leur tra-

vaux, ils annoncèrent l’existence de variations d’une période de 5 minutes.

Mein (1966) et plus tard Frazier (1968) calculent une densité spectrale bi-

dimensionnelle. Acette époqu, l’analyse se faisait à une dimension, habituel-

lement temporelle. Mein (1966) a clairement montré les avantages d’ana-

lyse des propriétés spatiale et temporelle simultanément. Dans ces spectres,

la puissance observée est tracée en fonction du nombre d’onde horizontal

kh et de la fréquence temporelle de l’onde ω : un tel diagramme est appelé

diagramme (kh, ω). Ulrich(1970), Leibacher et Stein (1971) donnèrent l’in-

terprétation théorique de ces oscillations solaires faisant appel à des ondes

acoustiques avec des modes propres. Deubner (1975) a confirmé que la puis-

sance des oscillations est concentrée à des fréquences discrètes pour tout

nombre d’onde horizontale donnée. Et les ondes acoustiques peuvent être

piégées dans une couche sous la photosphère. L’année 1975 a effectivement

été le vrai commencement de l’Hélioséismologie. Un événement important,

peu après, a été la détection (faite par H.A., Hill et al., 1976 & Brown et

al.,1978) des oscillations dans le diamètre solaire apparent. La prochaine per-

cée observationnelle a été l’identification par Claverie et al., (1979) de la

structure modale des oscillations 5 minutes dans les observations Doppler-

vitesse de la lumière intégrée sur le disque solaire. Ces observations ne sont

sensibles qu’aux oscillations de plus bas degré harmoniques sphériques, et

donc il s’agissait de la première détection confirmée de modes d’oscillations.

En 1982, Duvall associa une simple relation de dispersion aux diagrammes

(k, ω) (publie en 1984) des résultats relatifs à la relation solaire, en utilisant

des méthodes d’inversion développées par Gough. C’est ainsi que l’Hélio-

séismologie commença à donner des conclusions détaillées des propriétés de


l’intérieur solaire, telles que la rotation solaire interne (Duvall et al., 1984)

et la vitesse du son (Christensen-Dalsgaard et al. , 1985). Pour obtenir des

résultats très précis dans le calcul des fréquences, les années 80 ont vu l’ins-

tallation des réseaux au sol comme GONG, IRIS, et BISON ce qui a permit

l’utilisation de durées d’observation plus longues, en continu. Le lancement

du satellite SOHO en 1995 a été une des réalisations des plus importantes

dans cette discipline. Le satellite SDO, loncé en 2010 vient completer cette

quête avec des outils de plus en plus perfoments.

1.3 LES OSCILLATIONS SOLAIRE :

Les oscillations sont considérées comme des perturbations de faibles ampli-

tudes et adiabatiques autour de la position d’équilibre du Soleil (Christensen-

Dalsgaard & Berthomieu, 1991).

1.3.1 Équations de base :

Les équations de base qui décrivent l’état thermodynamique d’un fluide stel-

laire sont :

l’équation de conservation de la masse :

dρ

dt+ ~∇ρ~v = 0 (1.1)

l’équation de conservation de la quantité de mouvement :

ρd~vdt

= −~∇p + ρ~F (1.2)

l’équation de Poisson :

∇2Φ = 4πGρ (1.3)

La relation entre p et r est déterminée par l’équation de l’énergie :1p

dpdt− Γ1

1ρ

dρ

dt=

Γ3− 1p

(ρε− ~∇.~F) (1.4)

1.3. Les oscillations solaire : 11

avec Γ1 et Γ3 les indices adiabatiques,

Γ1 =(d ln pd ln ρ

)setΓ3− 1 =

(d ln Td ln ρ

)s

(1.5)

d fdt est la dérivée lagrangienne d’une quantité f et s’écrit :

d fdt

=d fdt

+~v.~∇ f (1.6)

où T est la température et les dérivées sont à entropie S constante. ε est le taux

de génération d’énergie (des réactions nucléaires) par unité de masse, et F est

le flux d’énergie. L’hypothèse d’adiabaticité consiste à négliger les effets dis-

sipatifs liés au transport radiatif, essentiellement concentrés en surface, ainsi

que l’effet de la convection, qui excite et amortit les oscillations acoustiques.

Dans la majorité du Soleil, la partie droite de l’éq (1.4) est négligeable com-

parée à la magnitude des termes de la partie gauche. Si on approxime ~∇.~F

par F/d, avec d l’échelle de hauteur typique, et si on ignore ε :

Γ3− 1p

(ρε− ~∇.~F) ∼ τ−1th =

Fpd' 1

pRd

s−1 (1.7)

avec R, le rayon solaire. En moyennant sur le Soleil entier, et en prenant

d ' R, l’échelle de temps thermal τth est approximativement le temps de

Kelvin-Helmholtz du Soleil, qui est de l’ordre de 107 années. Dans l’enve-

loppe solaire, on peut prendre d ∼ Hp, où

Hp =p

gρ(1.8)

est l’échelle de hauteur de pression, g étant l’accélération gravitationnelle très

près de la surface, τth est comparable avec les périodes typiques d’oscilla-

tions, et le terme de chauffage dans l’équation d’énergie a un effet substentiel

sur le mouvement. Cependant, à cause de l’augmentation rapide de la pres-

sion avec la profondeur (p augmente d’environ un facteur 4 dans 1% de la

couche extérieure du Soleil), τth augmente rapidement, et dans la majorité du

Soleil, le terme de chauffage est très petit comparé aux taux de changements


de p et ρ. Il est donc raisonnable de traiter le mouvement comme étant adia-

batique.

C’est-à-dire sans gain ou perte de chaleur :

1p

dpdt

= Γ11ρ

dρ

dt(1.9)

1.3.2 Linéarisation des équations :

Les amplitudes observées des oscillations solaires sont très petites. Donc, en

principe les modes peuvent être traités dans la théorie d’une perturbation li-

néaire. On considère un modèle d’équilibre statique et de symétrie sphérique,

avec la pression p0(r), la densité ρ0(r), le potentiel de gravitation Φ0(r)...

Ces quantités satisfont les équations usuelles de la structure stellaire. Ainsi,

l’accélération gravitationnelle est : ~∇Φ0 = −g0~ar ou~ar est le vecteur unité

dans la direction radiale, et :

g0 =Gm0

r2 (1.10)

Ici, r est la distance à partir du centre, et m0 est la masse contenue dans la

sphère de rayon r, telle que :

dm0

dr= 4πr2ρ0 (1.11)

L’équation hydrostatique devient :

dp0

dr= −g0ρ0 (1.12)

On écrit, par exemple, p(r, t) = p0(r) + p′(r, t), où le prime note la per-

turbation eulérienne, c’est-à-dire la perturbation à un point donné. Alors, on

introduit le déplacement d~r par ~v = d~rdt

Les équations linéarisées s’écrivent :

ρ0d~vdt

= −~∇p′ +ρ′

ρ0

~∇p0− ρ0~∇Φ′ (1.13)


dρ′

dt+ ~∇(ρ0~v) = 0 (1.14)

∇2Φ′ = 4πGρ′ (1.15)

d

dtρ′

ρ0+~v

~∇ρ0

ρ0=

1Γ1

( d

dtp′

p0+~v

~∇p0

p0

)(1.16)

A cause de la symétrie sphérique et de l’indépendance temporelle de l’équi-

libre (Fig 1.2), on peut séparer les quantités de perturbation en coordonnées

polaires sphériques (r, Θ, Φ) et temporelle. Les équations peuvent être com-

binées de sorte que toutes les dérivées apparaissent sous la forme de l’opéra-

teur tangentiel de Laplace :

∇2t ≡

1r2sinΘ

d

dΘ

(sinΘ

d

dΘ

)+

1r2sin2Θ

d2

dΦ2 (1.17)

En conséquence, la variation d’une quantité scalaire avec Θ et Φ peut être

écrite en termes d’une fonction propre de r2∇2t . Elle peut être choisie comme

une harmonique sphérique Yml . De même, la dépendance temporelle peut être

exprimée en terme d’une fonction harmonique. Donc, par exemple, la pertur-

bation de pression peut être écrite :

p′(r, Θ, Φ, t) =√

4πRe[p′(r)Yml (Θ, Φ)e−iωt] (1.18)

Yml est défini par : Ym

l (Θ, Φ) = (−1)mClmPml (cosΘ)e−iωt, où Pm

l est la

fonction de Legendre, et Clm la constante de normalisation, déterminée par :

C2lm =

2l + 14π

(l −m)!(l + m)!

(1.19)

tel que l’intégrale de |Yml |2 sur la sphère unité est égale à 1. De l’eq (1.13) du

moment, il vient le vecteur déplacement ξ ≡ d~r :

ξ(r, Θ, Φ, t) =√

4πRe

[ξr(r)Ym

l ~ar + ξh(r)(dYm

l

dΘ~aΘ +

1sinΘ

dYml

dΦ~aΦ

)]e−iωt

(1.20)


où~aΘ et~rΦ sont les vecteurs unité dans les directions Θ et Φ. ξ et ξh sont les

composantes radiale et horizontale du déplacement respectivement. Il est à

noter qu’avec cette séparation de variables, l’effet de∇2t sur n’importe quelle

variable correspond à la multiplication par −K2h, où

Kh =

√l(l + 1)

r≡ L

r(1.21)

kh est le nombre d’onde horizontal du mode de degré l. L’ordre azimutal m

représente le nombre de lignes de noeuds en longitude

Les eqs (1.18) et (1.20) décrivent les modes sphéroïdaux. En substituant les

représentations des harmoniques sphériques dans les eqs (1.13)-(1.16), les

relations suivantes sont obtenues (on supprime les zéros pour les quantités à

l’équilibre) :

−ω2ρξr = −dp′

dr− ρ′g + ρ

dΦ′

dr(1.22)

−ω2ρξh = −1r(p′ − ρΦ′) (1.23)

1r2

ddr(r2 dΦ′

dr)− L2

r2 Φ′ = −4πGρ′ (1.24)

ρ′ = − 1r2

ddr(r2ρξr) +

L2

rρξh (1.25)

p′ = p[Γ1

ρ′

ρ−(d ln p

dr− Γ1

d ln ρ

dr

)ξr

](1.26)

Les eqs (1.22) à (1.26) peuvent être réarrangées en équations différentielles

ordinaires d’ordre 4 pour les amplitudes (ξr(r), ξh(r), Φ′(r)) :

dξr

dr= −

(2r+

1Γ1

d ln pdr

)ξr +

rω2

c2

( S2l

ω2 − 1)

ξh −1c2 Φ′ (1.27)

dξh

dr=

1r

(1− N2

ω2

)ξr +

( 1Γ1

d ln pdr− d ln ρ

dr− 1

r

)ξh +

N2

rgω2 Φ′ (1.28)


FIGURE 1.2 – Exemples d’harmoniques sphériques pour l = 6 et différentes valeurs de m, Les noeuds

sont les lignes bleu foncé et les régions bleu clair (l’onde se rapproche) ou rouges (l’onde s’éloigne).

Crédits : CEA

d2Φ′

dr2 = −2r

dΦ′

dr− 4πGρ

(N2

gξr +

rω2

c2 ξh

)+(L2

r2 −4πGρ

c2

)Φ′ (1.29)

où c est la vitesse du son adiabatique,

c2 =Γ1p

ρ∼ Γ1KBT

µmu(pour un gaz par f ait) (1.30)

kB est la constante de Boltzmann, mu est la masse atomique unite et µ est le

poids moyen moleculaire. On introduit aussi la frequence de Lamb Sl :

Sl =Lcr

= Khc (1.31)

et la fréquence de Brunt-Väissälä N2 (fréquence d’un mouvement adiabatique

en équilibre de pression) :

N2 = g( 1

Γ1

d ln pdr− d ln ρ

dr

)(1.32)


1.3.3 Nature des modes :

Pour étudier la nature des modes on peut utiliser l’approximation de Cowling,

qui consiste à négliger la perturbation du potentiel gravitationnel. Le système

d’équations est alors réduit à un système du second ordre :

dξrl,n,m(r)dr

= −(2

r+

1Γ1p

dpdr

)ξr

l,n,m(r) +1

ρc2

( S2l

ω2 − 1)

p′ (1.33)

dp′

dr= ρ

(ω2− N2)ξr

l,n,m(r) +1

Γ1pdpdr

p′ (1.34)

pour les modes d’ordre radial élevé les fonctions propres varient beaucoup

plus rapidement que les quantités à l’équilibre, ce qui permet de simplifier les

deux équations précédentes :

dξrl,n,m(r)dr

=1

ρc2

( S2l

ω2 − 1)

p′ (1.35)

dp′

dr= ρ

(ω2− N2)ξr

l,n,m(r) (1.36)

En combinant ces deux équations on obtient une équation du second ordre :

d2ξrl,n,m(r)dr2 =

ω2

c2

(1− N2

ω2

)( S2l

ω2 − 1)

ξrl,n,m(r) = −K(r)ξr

l,n,m(r) (1.37)

La solution de cette équation dépend du signe de K(r) , quand K(r) est positif

ξrl,n,m(r) est localement une fonction oscillante de r, et quand K(r) est négatif

la solution est une fonction exponentielle croissante ou décroissante de r. Le

point de retournement des ondes est obtenu pour K(r) = 0.

Parmi les modes oscillants (K(r) < 0) :

– les modes correspondant aux solutions avec | ω |>| N | et | ω |> Sl

sont les modes de hautes fréquences piégés entre la surface et le point de

retournement r = rt pour lequel Sl(rt) = ω et typiquement ω N .

La dynamique de ces modes est dominée par la pression, c’est pourquoi

ces modes sont appelés modes p.

1.4. Héliosismologie globale : 17

FIGURE 1.3 – Fréquences de Brunt-Vaisala N (ligne continue) et fréquences de Lamb Sl pour l allant

de 1 à 5 (ligne pointillées). Les lignes horizontales indiquent les régions de piégeage pour un mode g

de fréquence ν = 60µHz, et pour un mode p de degré 5 et de fréquence ν = 1000µHz. (Brassard et

al. 1992)

– les modes correspondant aux solutions avec | ω |<| N | et | ω |< Sl

sont les modes de basses fréquences piégés entre le centre et le point de

retournement où N = ω , typiquement ω2 S2l . La dynamique de ces

modes est dominée par la force de gravité, ils sont appelés modes g.

1.4 HÉLIOSISMOLOGIE GLOBALE :

L’héliosismologie c’est la science qui étudie les vibrations solaires. C’est un

outil très puissant qui nous fournit beaucoup d’information sur la structure so-

laire( rotation, température, la densité...etc). On peut observer les oscillations

à la surface du Soleil par deux méthodes. La première consiste à mesurer les

variations de la luminosité de l’étoile. En effet l’oscillation de la surface de

l’étoile due aux ondes acoustiques influe sur sa luminosité. Cette méthode est


utilisée à bord du satellite SOHO par l’instrument VIRGO. La seconde tech-

nique est la spectroscopie qui permet d’observer les mouvements de la surface

en mesurant les variations de vitesse radiale. On observe les raies spectrales

d’absorption de manière très fine et on mesure leur décalage Doppler qui cor-

respond aux variations de vitesses radiales. Ces vitesses sont cependant très

petites et occasionnent donc des décalages très faibles et très difficiles à dé-

tecter. Ils ne dépassent parfois pas un cent millième de la largeur des raies

étudiées. A bord de SOHO, l’instrument d’imagerie MDI mesure les ondes

les plus superficielles (déformation locale) tandis que l’instrument GOLF dé-

tecte les modes les plus pénétrants.

1.5 HÉLIOSISMOLOGIE LOCALE :

L’objectif de l’héliosismologie locale est d’obtenir des informations en trois

dimensions sur la structure et la dynamique sous la surface du Soleil dans une

région locale à partir des observations d’oscillations solaires. Les grandeurs

physiques d’intérêt comprennent les flux, les variations de vitesse du son ..etc.

Les principales techniques de l’héliosismologie locale sont : Le Diagramme

en anneaux( Ring-Diagram), Temps Distance (Time-Distance), et l’Hologra-

phie Acoustique (helioseismic holography).

1.5.1 Le diagramme en anneaux :

Cette technique a été proposée par Gough et Toomre en 1983, F. Hill en

1988. Elle consiste à appliquer la transformée de fourier tridimensionnelle

sur des régions locales du soleil, à partir des séries de données chronolo-

giques qui sont obtenues des divers instruments d’observation. Ce passage

des données Dopplerogrammes en (x, y, t) aux données fréquentielles nous

fournit le spectre de puissance en (kx, ky, ω). kx, ky sont respectivement les

vecteurs d’ondes selon x et y, et ω est la fréquence d’oscillation. Ce spectre

1.5. Héliosismologie locale : 19

de puissance est représenté sous forme de superposition de trompettes dans le

plan tridimensionnel.

Des coupes transversales appliquées à cette superposition de trompettes à des

fréquences ω spécifique, nous donne le diagramme en anneaux dans le plan

(kx, ky). Les anneaux sur le diagramme corresponddent aux modes propres

d’oscillation à la surface du soleil à une fréquence donnée. Les anneaux ob-

tenus sont consentriques selon l’axe des fréquence ω, mais pas forcément

symétriques. Ceci montre qu’il y’a présence de flux d’écoulement ou d’in-

homogénéités locales à cette région. Car en l’absence de tout écoulement ou

bien d’inhomogénéités locales, les anneaux seront concentriques, mais égale-

ment symétriques par rapport au centre. L’analyse de la forme et du déplace-

ment de la position de ces anneaux par rapport à une position symétrique des

anneaux, nous donne des informations sur le flux de l’écoulement solaire et

les propriétés thermodynamiques sous la photosphère su soleil.

FIGURE 1.4 – Exemple de coupe transversale du spectre de puissance 3D, pour ν = 0.82mHZ à

partir d’un DataCube MDI (128×128×512) correspondant à un patch de 16×16 toutes les minutes.


1.5.2 Héliosismologie Temps-Distance :

L’héliosismologie temps-distance, a pour principe la mesure des temps de

parcours des ondes qui se propagent entre deux points quelconques à la sur-

face du Soleil. Le temps de parcours entre deux positions x− ∆2 et x + ∆

2 à la

surface du soleil, est extrait à partir de la fonction de covariance

C(t) =∫ T

0Φ(x− ∆

2, t′)Φ(x +

∆2

, t′ + t)dt′ (1.38)

où T est la durée des observations. La fonction de covariance permet de

moyenner, en phase, les ondes aléatoires ; elle s’apparente à un sismogramme

solaire. Le temps de parcours pour les ondes se propageant de x − ∆2 vers

x + ∆2 , noté, τ(x, ∆) est mesuré à partir de la restriction de C au domaine

t > 0.

Les temps de parcours contiennent la signature sismique des inhomogénéités

à l’intérieur du soleil. Les écoulements de plasma dans le Soleil rompent la sy-

métrie entre τ(x, ∆) et τ(x,−∆) , tandis que les perturbations de température

et de densité affectent le temps de parcours moyen,[τ(x, ∆) + τ(x,−∆)]/2

Les temps de parcours sont mesurés pour chaque paire de points (pour chaque

x et ∆).

Un problème inverse devra ensuite être résolu pour interpréter les mesures

de temps de parcours et estimer les paramètres physiques qui caractérisent la

structure 3D et la dynamique de l’intérieur solaire.

Afin d’effectuer les inversions linéaires des temps de parcours, il est d’abord

nécessaire de résoudre le problème direct. Le problème direct consiste à dé-

terminer la relation entre un temps de parcours et les propriétés internes du

soleil. Nous désignons par qα l’ensemble des quantités physiques : l’indice α

réfère, par exemple, à la vitesse du son, la température, la densité, etc. D’après

les travaux de Birch et Gizon , le problème direct linéaire se présente sous la


FIGURE 1.5 – Trajets des rayons sous la surface du Soleil. Sont courbés du fait que la vitesse du son

varie de 7 km/s prés de la surface à 35 km/s à 10 Mm de profondeur. Crédits : http ://soi.stanford.edu

forme d’une intégrale de volume :

τ(x, ∆) = ∑α

∫⊙

d3rKα(r, x, ∆)δqα(r) (1.39)

où le noyau Kα(r, x) donne la sensibilité de τ à la perturbation interne δqα(r).

Les perturbations δqα, mesurées par rapport à une moyenne horizontale, sont

supposées être petites en valeurs relatives. Jusqu’à présent, toutes les études

supposent que les δqα sont indépendants du temps.

La Figure (1.5) montre une fonction de noyau obtenue par Birch et al. pour la

sensibilité du temps de parcours à une perturbation locale δqα = δc2/c3, où c

est la vitesse du son. Le noyau est non nul au voisinage du rayon acoustique

qui connecte les deux points d’observation (courbe noire). La complexité du

noyau est due au fait que les fréquences des ondes sont seulement comprises

entre 2 et 5 mHz (le noyau serait confiné le long du rayon acoustique si toutes


les fréquences étaient présentes). Le lobe central du noyau de sensibilité s’ap-

pelle la première zone de Fresnel.

La connaissance des noyaux de sensibilité est essentielle en héliosismologie

temps-distance.

1.5.3 L’Holographie Acoustique :

L’Holographie acoustique est une technique qui permet la reconstruction de

la puissance du champ acoustique tri-dimentionnel de l’intérieur solaire. Par-

ticulièrement sous les régions actives. Cette technique a été developée par

Lindsey et Braun en 1997 et en parallèle par Chang durant la méme année.

L’holographie acoustique est basée sur le calcul de :

H±(~r, z, ν) =∫

pG±(~r,~r′, z, ν)Ψ(~r′, ν)d2~r′ (1.40)

Ou H+ et H− sont l’egression et l’ingression monochromatiques. Ψ est la per-

turbation acoustique locale à la surface localisée par~r′ et ayant la fréquence

ν.G+ et G− sont les fonctions de Green, qui expriment comment le point mo-

nochromatique est perturbé à la position~r′ dans la surface de propagation en

arrière et en avant dans le temps du foyer à la position~r′ et à la profondeur z.

En calculant les puissance d’agression et d’ingression (les fossés acoustiques)

et (les brillances acoustique) se trouvent directement associés avec les régions

actives solaires. Cette technique est éventuellement utilisée pour détecter avec

succès de larges régions actives, et ce en profondeur.

L’holographie acoustique sensible à la phase a été développée plus tard de la

dérivée des différences de phase en corrélant les signaux egression et ingres-

sion.

C(~r, z, t) =∫

H−(z,~r, t′)H+(z,~r, t′ + τ)dt′ (1.41)

Les différences de phase peuvent apporter des informations sur la dynamique.

Qui alors peut etre employée pour dériver le champs de écoulement subsur-

faciques. Les champs des écoulements des super grannules sortant des taches


solaires ont été déduits par une telle analyse. grace à Braun et Lindsey en

2003. De nouveaux modèles numériques pour une meilleure interprétation de

l’holographie sont toujours en cours.

2LA MÉTHODE DU DIAGRAMME EN

ANNEAUX

2.1 HISTORIQUE :

L’idée d’explorer les perturbations des ondes acoustiques pour en déduire la

dynamique du milieu a émergé quand Deubner (1975) a produit avec succès la

première observation de diagramme k−ω (spectre 2D) où les arêtes s’adap-

taient bien aux prévisions solaires (p-modes) d’Ulrich (Ulrich, 1970). Deub-

ner et al. (1979) a suggéré d’utiliser les changements des arêtes des modes

p afin d’en déduire la rotation à différentes profondeurs. En 1983, Gough et

Toomre ont étudié théoriquement l’effet à grande échelle des champs de vi-

tesse horizontale et les fluctuations de température sur le diagramme k− ω.

Les preuves observationnelles de leurs prédictions ont été données par Hill et

al. (1983). Toutes ces études ont toutefois été réalisées en 2D où seulement

les flux est-ouest pouvaient être déduit. Afin de garder l’information sur les

flux dans le sens nord-sud, Hill (1988) a suggéré d’utiliser l’image entière,

sans moyenner sur y afin d’en déduire le spectre de puissance des oscillations

solaires. Dans l’espace de Fourier (ν, kx, ky), où ν est la fréquence et (kx, ky)

sont les deux composantes de l’onde horizontale, le spectre 3D a une forme

de trompette et une coupe à une fréquence spécifique donne un spectre de

puissance en forme d’anneau (figure 2.4) qui a conduit à nommer technique

de Hill "l’analyse de diagramme en anneaux". En présence de flux sous la

26 Chapitre 2. La Méthode du Diagramme en anneaux

surface, le spectre de puissance devient déformé dans les directions kx et ky.

L’exploration de ses déformations permet la mesure des flux dans les deux di-

rections spatiales. Une idée intuitive de Hill (1988) a consisté à modéliser les

anneaux déformés par des ellipses et une minimisation des moindres carrés a

été utilisée pour obtenir les intensités de champ de vitesse dans la directions

x et y qui ont été liés à des paramètres de l’ellipse. Le travail de Hill (1988)

a conduit à un flux surestimé de 100 m/s dans la direction y et n’a pas été

concluant en raison de la mauvaise qualité des données qui étaient disponibles

et la procédure simplifiée utilisée pour le fit des spectres de puissance. Par

ailleurs, puisque ces images ont été prises à la latitude fixe, il n’était pas pos-

sible de révéler les variations du flux nord-sud. Par la suite, Patron (1994) et

Patron et al. (1995) a pris un ensemble de cubes de données à partir d’images

améliorées du Mont Wilson à différentes latitudes et longitudes pour étudier

la distribution spatiale des flux et a utilisé un outil plus puissant pour fitter

le spectre de puissance 3D, basé sur le fitting du spectre d’oscillation solaire

pour les profils de Lorentz Anderson et al. (1990). Le spectre de puissance a

été fitté dans les trois dimensions (kx, ky, ν). Ce fit a conduit à des vitesses

plus stables et plus petites d’environ quelques dizaines de m/s.

L’analyse de diagramme en anneaux a été appliquée à plusieurs ensembles de

données composées de Dopplergrams à haute résolution continue de 1 min

pour des périodes de quelques jours à plusieurs années. Une des premières

séries de données à haute résolution fixe à laquelle l’analyse de diagramme

en anneaux a été appliquée pour déduire les flux de données à grande échelle

sont les donnés MDI (Michelson Doppler Imager) (ex Bogart et al, 1997 ;

Gonzalez Hernandez et al, 1998) et les données TON (Taiwan Oscillation

Network) (Patron et al., 1998). Plus récemment, l’analyse a été utilisée pour

déduire les flux de petite échelle, notamment autour et en dessous de régions

2.2. Nature de spectre de puissance 27

FIGURE 2.1 – Spectre 2D sons forme d’arête dans le plan m− ν. (Hill, 1988)

actives (Hindman et al., 2006), Antia et Basu (2007), et Gonzalez-Hernandez

(2008).

2.2 NATURE DE SPECTRE DE PUISSANCE

Dans l’héliosismologie globale, un cube de données en trois dimensions qui

contient initialement une série chronologique d’images du soleil en fonction

de coordonnées spatial (x,y) et du temps (t), est décomposé d’abord en har-

moniques sphériques le long des directions spatiales et ensuite en fonction du

temps. On obtient alors un spectre de puissance en trois dimensions comme

une fonction des harmoniques sphériques de degré l, de l’ordre azimutal m,

et de fréquence temporelle ν ou ω ; avec ω = 2πν. Pour un l donné, on ob-

tient un spectre 2D sons forme d’arête dans le plan ν−m (voir Figure 2.1).

Ces arêtes sont le résultat du piégeage des ondes acoustiques dans des cavités

définies par la température à l’intérieur du soleil. Chaque arête correspond


FIGURE 2.2 – Diagramme ν− l obtenu à partir d’observations de MDI ; seuls les modes p son pré-

sents. Crédits : NASA

à un nombre n différent d’ordre radial dans la cavité (Figure 2.2). Au lieu

d’une décomposition en harmoniques sphériques sur le disque complet, nous

pouvons effectuer une analyse de Fourier sur de petites zones sur la surface

solaire. Dans ce cas, on obtient un spectre en fonction de kx, ky, et ω, où kx et

ky sont les deux composantes du vecteur nombre d’onde k. Le nombre d’onde

est une autre mesure de la longueur d’onde sphérique des oscillations ; k tel

que à l par k =

√(l(l+1))

R . Les arêtes, forment par rotation auteur de ω, une

forme similaire à une trompette (Figure 2.3). Lorsqu’on fait une coupe pour

un ω donné nous obtenons une figure sous forme d’un ensemble d’anneaux

imbriquées dans le plans kx − ky : c’est le diagramme en anneaux (Figure

2.4).

2.2. Nature de spectre de puissance 29

FIGURE 2.3 – Représentation des trompettes pour 3 modes d’oscillations p1 à p3. (Hill, 1995)

FIGURE 2.4 – Exemple de diagramme en anneaux pour ν = 3 µHZ à partir un DataCube données

GONG, de dimensions (128×128×512)


2.3 INFLUENCE DES FLUX DE VITESSEE

En présence d’un champ de vitesse, la structure des anneaux est altérée, nous

permettant ainsi de mesurer le champ de vitesse moyen sous la surface étu-

diée. En effet, le flux de vitesse change les phase des ondes qui se propagent.

Analogue à l’effet Doppler, les ondes orientées dans la direction de l’écoule-

ment observent un augmentation de ω, alors que les ondes orientées dans le

sens inverse auront un diminution de ω. En général, le changement de ω est

donné par :

∆ω = u.k = uxkx + uyky (2.1)

Dans le k− ω diagramme, ∆ω est perceptible comme un changement de

position des arêtes dans le quadrants +ω et −ω. Ceci aura pour effet une

inclinaison des trompettes. Dans le diagramme en anneau, cette inclinaison

a aura deux effets. Tout d’abord, les anneaux seront déplacés d’un centre au

kx = 0, ky = 0 à un nouvelle position, et la forme circulaire des anneaux sera

déformée. (Voir Figure 2.5)

Les avantages de la méthode du diagramme en anneaux sont que les deux

ux(r) et uy(r) peuvent être déterminés, et ces éléments peuvent être détermi-

nés en plusieurs zone locale à différentes positions héliographiques. L’utili-

sation des techniques d’inversion permettra alors de déduire u(x, y, r).

2.4 MODELISATION DU SPECTRE PUISSANCE

L’analyse des diagrammes en anneau consisté à ajuster un modèle au spectre

de puissance 3D pour déterminer les fréquences et les autres paramètres. Dif-

férentes techniques et modèles ont été utilisés à cette fin (Schou & Bogart

1998 ; Patron et al. 1997 ; Basu et al. 1999). Ces techniques utilisent essentiel-

lement une méthode du maximum de vraisemblance (Anderson et al. 1990)

2.4. Modelisation du spectre puissance 31

FIGURE 2.5 – Arêtes et anneaux en présence et en absence du champ de vitesse. k0 et ωd en l’absence

de flux de vitesse, et k+ et k− en présence de flux de vitesse. Les quantités ∆k− et ∆k+ ne sont pas

égaules, et donc les anneaux ne sont pas exactement des cercles. (Hill, 1988)


pour adapter un modèle de profile à différent anneaux dans le spectre de puis-

sance correspondant à différentes valeurs de n. Dans ce travail nous avons

choisi un profile Lorentzien comme modèle pour les anneaux du spectre de

puissance. Dans notre cas, le profil doit être une fonction non seulement de

ω, mais aussi des kx et ky. La dépendance à kx et ky est donnée par le dé-

calage Doppler effective de la fréquence de référence (eq 2.1) ; la fréquence

décalée résultante sera la position du maximum Lorentzien. Le modèle de la

puissance en un point ω, kx, ky dans le spectre est :

P(ω, kx, ky) =A2

[ν− ck1/2− (Uxkx+Uyky)

2π ]2 + Γ2+ b1k−3 + b2k−4 (2.2)

La fréquence de référence est approchée par la quantité de ck1/2, décrivant

la relation de dispersion. Le terme uxkx + uyky est le décalage Doppler de

la fréquence. L’amplitude et la demi-largeur à mi-hauteur de la lorentzienne

sont donnés par A et Γ, respectivement. Le bruit est paramétré en fonction de

k par b1 et b2. Nous supposons que le bruit varie lentement avec ω, et le fitting

est effectué sur un intervalle de fréquence suffisamment petit pour que cette

approximation soit valide. Cette formule représente un seul pic de fréquence

pour une seule valeur de n. Le spectre de puissance réel est la somme sur

tous les n des oscillations, on obtient ainsi un ensemble de paramètres Aj, cj,

ujx, uj

y, et Γj pour chaque ordre radial j en fonction de ω. Le modèle final est

donc :

P(ω, kx, ky) =N

∑j=1

A2j

[ν− cjk1/2− (U jxkx+U j

yky)

2π ]2 + Γ2j

+ b1k−3 + b2k−4 (2.3)

Où N est le nombre de modes inclus dans l’intervalle de fitting. Nous de-

vons ensuite définir Mj, à la valeur du modèle P à un moment donné par

les coordonnées ω, kx, et ky, et Oi la puissance observée dans les données

pour le même point. Comme le montre Anderson et al. (1990), la fonction de

2.5. Simulation 33

vraisemblance, L, est donnée par :

L = ∏i

[ 1Mi

exp(−Oi

Mi

)](2.4)

Où le terme entre crochets représente la densité de probabilité pour le spectre

des oscillations solaires (Duvall et Harvey 1986) en un seul point. La proba-

bilité totale est alors le produit des probabilités individuelles sur l’ensemble

des données. En Appliquant le logarithme :

− ln(L) = ∑i

[ln Mi +

−Oi

Mi

]≡ S (2.5)

La méthode du maximum de vraisemblance cherche la probabilité maximale,

correspondant à la valeur maximale de L ou un minimum de S, pour l’en-

semble des paramètres du modèle.

2.5 SIMULATION

Avant de passer à l’analyse de données réelles, il est indispensable de passer

par une étape de simulation. Cette étape de simulation nous permettra d’abord

de tester le modèle pour différents paramètres, puis de vérifier et tester les

techniques d’inversion afin d’estimer les paramètres prealablement choisis.

Nous avons donc simulé un spectre de puissance à partir du modèle de Patron

(Patron, 1995), où le profil d’un mode donné est modélisé par une fonction de

Lorentz. Nous avons utilisé pour cela l’équation (2.3) précédemment établie.

Nous avons effectué des simulations pour différentes nombre d’anneaux et

différentes fréquences sous diverses conditions (flux de vitesse, background).

Nous ne présenterons toutefois que 02 exemples, le premier avec un seul an-

neau, le second avec 05 anneaux, sous différentes conditions.


2.5.1 Simulation avec un anneau

Paramètre Γ ux uy A c b1 b2

(a) 5 10−5 0 0 1.2 10−2 6 10−4 0 0

(b) 5 10−5 −8 10−5 6 10−5 1.2 10−2 6 10−4 0.8 −0.3

TABLE 2.1 – Simulation avec un anneau (a) ux = 0, uy = 0, Background = 0, (b) Avec ux, uy et

Background

(a) (b)

FIGURE 2.6 – Simulation avec un anneau (a) ux = 0, uy = 0, Background = 0, (b) Avec ux, uy et

Background

2.5. Simulation 35

2.5.2 Simulation avec 05 anneaux

Paramètre Γ ux uy A c

Ring 01 5 10−5 0 0 1.2 10−2 6 10−4

Ring 02 6 10−5 0 0 1.4 10−2 7 10−4

Ring 03 7 10−5 0 0 1.8 10−2 8.5 10−4

Ring 04 8 10−5 0 0 1.8 10−2 11 10−4

Ring 05 9 10−5 0 0 2 10−2 16 10−4

Background

b1 b2

0 0

(a)

Paramètre Γ ux uy A c

Ring 01 5 10−5 −8 10−5 6 10−5 1.2 10−2 6 10−4

Ring 02 6 10−5 −8.8 10−5 6.6 10−5 1.4 10−2 7 10−4

Ring 03 7 10−5 −9.6 10−5 7.2 10−5 1.6 10−2 8.5 10−4

Ring 04 8 10−5 −10.4 10−5 7.8 10−5 1.8 10−2 11 10−4

Ring 05 9 10−5 −11.2.8 10−5 8.4 10−5 2 10−2 16 10−4

Background

b1 b2

0.8 −0.3

(b)

TABLE 2.2 – Simulation avec 05 anneaux (a) ux = 0, uy = 0, Background = 0, (b) Avec ux, uy et

Background

(a) (b)

FIGURE 2.7 – Simulation avec 5 anneaux (a) ux = 0, uy = 0, Background = 0, (b) Avec ux, uy et

Background


2.6 INVERSION & ESTIMATION DES DIFFÉRENTS PARAMÈTRES :

Il s’agit maintenant d’estimer les différents paramètres des modèle (2.3), à

partir des diagrammes en anneaux obtenus par simulation.

Pour cela nous utiliserons la méthode du Maximum de Vraisemblance pré-

cédemment décrite (section 2.4). Dans un premier temps, nous supposerons

que le nombre d’anneaux est connu. Ainsi pour 01 anneau nous avons 07

paramètres dans le modèle : Γ1, A1, c1, ux1, uy1, b1, b2.

pour 05 anneaux nous avous 27 paramètres Γ1−5, A1−5, c1−5, ux1−5, uy1−5, b1, b2.

Plus tard le nombre N sera fixé à 05 anneaux. C’est le nombre maximum

d’anneaux que l’on peut séparer en pratique. Si le diagramme en anneaux

compte moins d’anneaux, les Γi des anneaux manquants seront nuls.

La fonction du modèle étant non-linéaire, il en va de mème pour le fonction-

nel maximum de vraisemblance que l’on doit maximiser. De ce fait pour la

minimisation, nous ferons appel à des techniques de minimisation (maximi-

sation) non-linéaires. Nous utiliserons pour cela la technique des gradients

Conjugués. Cette dernière fait appel an Jacobian de la fonction à minimiser.

A titre de comparaison nous avons également utilisé des techniques sans Ja-

cobian (méthode de Powell). Les résultats obtenus sont identiques mais avec

un nombre plus grand d’itérations. Nous nous conterons donc de la première

méthode.

En utilisant MATLAB, cette technique est donnée par la fonction "lsqcurve-

fit)". Les résultats obtenus pour les données simulées sont très satisfaisants.

2.6. Inversion & Estimation des différents paramètres : 37

Minimisation avec un anneau


Simulation 5 10−5 −8 10−5 6 10−5 1.2 10−2 6 10−4 0.8 −0.3

Minimisation 5.01 10−5 −7.9978 10−5 5.9985 10−5 1.2039 10−2 6 10−4 1 −0.1

L’erreure 0.2% 0.03% 0.02% 0.32% 0% 25% 66.67%

(a)


Simulation 5 10−5 −8 10−5 6 10−5 1.2 10−2 6 10−4 0.8 −0.3

Minimisation 5.0083 10−5 −7.9977 10−5 5.9985 10−5 1.2036 10−2 6 10−4 1 −0.1

L’erreure 0.17% 0.03% 0.02% 0.30% 0% 25% 66.67%

(b)

TABLE 2.3 – Minimisation pour un anneau (a) sans jacobian, (b) Avec jacobian

(a) (b)

FIGURE 2.8 – (a) Estimation les paramèter de 1 anneau sans jacobian ,(b) Estimation les paramèter

de 1 anneau avec jacobian


Minimisation 3 anneaux

Ring01

Paramètre Simulation Minimisation L’erreure

Γ 5 10−5 5.01 10−5 0.20%

ux −8 10−5 −7.9978 10−5 0.03%

uy 6 10−5 5.9985 10−5 0.02%

A 1.2 10−2 1.2039 10−2 0.32%

c 6 10−4 6 10−4 0%

Ring02

Γ 6 10−5 5.9153 10−5 1.41%

ux −8 10−5 −7.9859 10−5 0.18%

uy 6 10−5 5.9872 10−5 0.21%

A 1.4 10−2 1.3869 10−2 0.94%

c 7 10−4 6.9999 10−4 0%

Ring03

Γ 7 10−5 7.0384 10−5 0.55%

ux −8 10−5 −7.9969 10−5 0.04%

uy 6 10−5 5.9975 10−5 0.04%

A 1.6 10−2 1.6112 10−2 0.7%

c 8.5 10−4 8.5 10−4 0%

Background

b1 0.8 1 25%

b2 −0.3 −0.1 66.67%

Paramètre MATLAB

iterations funcCount

141 1152

(a)

Ring01

Paramètre Simulation Minimisation L’erreure

Γ 5 10−5 5.0083 10−5 0.17%

ux −8 10−5 −7.9977 10−5 0.03%

uy 6 10−5 5.9985 10−5 0.02%

A 1.2 10−2 1.2036 10−2 0.3%

c 6 10−4 6 10−4 0%

Ring02

Γ 6 10−5 5.9001 10−5 1.67%

ux −8 10−5 −7.9862 10−5 0.17%

uy 6 10−5 5.9871 10−5 0.21%

A 1.4 10−2 1.3839 10−2 1.15%

c 7 10−4 6.9999 10−4 0%

Ring03

Γ 7 10−5 7.0376 10−5 0.54%

ux −8 10−5 −7.9969 10−5 0.04%

uy 6 10−5 5.9976 10−5 0.04%

A 1.6 10−2 1.6111 10−2 0.69%

c 8.5 10−4 8.5 10−4 0%

Background

b1 0.8 1 25%

b2 −0.3 −0.1 66.67%

Paramètre MATLAB

iterations funcCount

215 216

(b)

TABLE 2.4 – Simulation pour 03 anneaux (a) sans jacobian, (b) Avec jacobian

2.6. Inversion & Estimation des différents paramètres : 39

(a) (b)

FIGURE 2.9 – (a) Estimation les paramèter de 3 anneaux sans jacobian ,(b) Estimation les paramèter

de 3 anneaux avec jacobian

3TRAITEMENT ET ANALYSE DES DONNÉES

AVant d’être confrontées au modèle théorique développé au chapitre pré-

cédent, les données d’observations doivent d’abord subir un ensemble

de prétraitements pour être exploitables. Dans ce chapitre, nous décrirons

d’abord l’origine des données avant de présenter toutes les étapes de trai-

tement d’images nécessaires pour produire un datacube que l’on pourra ana-

lyser avec la technique du diagramme en anneaux.

3.1. Les données : 43

3.1 LES DONNÉES :

3.1.1 Les instruments :

Le réseau GONG :

Le réseau international d’observation GONG (Global Oscillation Network

Group) est un programme à caractère communautaire pour entreprendre une

étude détaillée de la structure interne et de la dynamique solaire en uti-

lisant l’Héliosismologie. Afin d’exploiter cette nouvelle discipline, un ré-

seau de six-sites d’observations héliosismiques, répartis autour du globe ter-

restre à différentes longitudes et latitudes a été développé. Les instruments

de GONG qui sont extrêmement sensibles et stables, fournissent des obser-

vations presque continues des oscillations solaires en analysant le décalage

Doppler de la raie d’absorption du Nickel (Ni=6768 A) à l’aide des interfé-

rences de Michelson. En 1991, six emplacements que comportent le réseau

GONG ont été répertoriés à travers le monde . Les sites sont distribuées sur six

bandes longitudinales dans le but d’observer le soleil en continu (24 heures

par jour). Le système est devenu opérationnel en octobre 1995, et il a été

prévu pour fonctionner sur au moins un cycle solaire, (11 ans). Il est toujours

fonctionnel de nos jours. Le programme de GONG est basé à l’Observatoire

Solaire National (NSO) à Tuscon en Arizona.

Les six stations ont été installées dans les sites suivants :

1. The Big Bear Solar Observatory ( California, USA )

2. Learmonth solar observatory ( Western Australie)

3. Udaipur Solar Observatory (Inde)

4. Observatorio del Teide (Iles Canaries islands)

5. Cerro Tololo Interamerican Observatory (Chili)

6. Mauna Loa Observatory (Hawaii USA)

44 Chapitre 3. Traitement et Analyse des données

FIGURE 3.1 – Le réseau GONG. Crédits : http ://gong.nso.edu

Chaque instrument de GONG est basé sur un interféromètre de Michelson

appelé tachomètre de Fourier qui mesure la phase de la transformée de Fou-

rier du spectre solaire autour de la raie d’absorption du Nickel à Ni=6768 A,

et est soutenu par une installation fortement automatisée et portative, tiré de

la conception des vaisseaux spatiaux. Les instruments originaux de GONG

ont employé une caméra CCD de 256×256 Pixels et avaient une résolution

de 2.5′′ d’arc/pixel. Depuis2001, l’ensemble du réseau GONG a été rénové

avec des caméras à plus haute résolution spatiale de 1024×1024 pixels à

5′′ d’arc/pixel. Ceci permettra de développer d’avantage les différentes tech-

niques de l’Héliosismologie locale à haute résolution. Le taux d’image com-

binées à partir des six sites de GONG est supérieur à 90%. Une fois que les

données solaires sont récoltées et combinées (merged data) elles seront trai-

tées suivant les différentes étapes de traitement de données.


Le satellite SOHO :

En parallèle au développement des réseaux au sol, le projet d’observatoire

solaire SOHO voit le jour. SOHO, (Solar and Heliospheric Observatory ), est

un satellite artificiel. Il est réalisé dans le cadre d’un programme de collabora-

tion entre la NASA et l’Agence Spatiale Européenne ESA, ayant pour objectif

principal l’étude du Soleil. Le satellite SOHO a une hauteur de 3.65m, une

largeur de 3.65m et pèse 610kg. Il a été lancé le 02 décembre 1995 de la

base de Cap Canaveral (USA) par une fusée Atlas II. Il est Positionné aux

alentours du point de Lagrange L1, l’endroit où les attractions terrestres et

solaires s’équilibrent. Ce point est situé entre la Terre et le Soleil à 1.5million

de kilomètres de la Terre (Soit plus de quatre fois la distance Terre -Lune)

dans la direction du Soleil. Véritable observatoire dédié au Soleil, SOHO est

une plateforme sur laquelle sont placés douze instruments qui observent en

permanence le Soleil, mesurant le rayonnement électromagnétique (du visible

à l’extrême ultraviolet et aux rayons X, en spectroscopie et/ou en imagerie),

afin de répondre aux trois principaux objectifs des programmes de recherche :

– Etude de la structure interne du Soleil

– Etude du vent solaire

– Etude de l’atmosphère solaire

SOHO comporte trois instruments dédié à l’Héliosismologie : GOLF,VIRGO

et MDI/SOI :

L’expérience GOLF : (Global Oscillation at Law Frequency) A pour but

d’étudier la structure interne du Soleil par la mesure du spectre des

oscillation globales dans la gamme de fréquences allant de 0.1µHZ à

10mHZ, ayant ainsi accès aux modes de bs degrés .

L’expérience VIRGO : (Variability of Solar irradiance and Gravity Oscilla-

tion ) fournit la mesure de l’irradiante solaire, les fréquences, les am-


plitudes et les phases des modes d’oscillation dans une gamme de fré-

quences de 1µHz à 8mHZ.

L’expérience MDI/SOI : (Michelson Doppler Imager /Solar Oscillation In-

vestigation ) Consiste à la mesure de haute résolution angulaire des

champs de vitesse de surface, permettant de déduire les modes d’oscil-

lation solaires. Cet instrument a atteint une résolution spatiale suffisante

(de l’ordre de 2 à 300 km ) qui permet le tracé du diagramme Temps -

Distance. Les caméras CCD de l’instrument MDI est 1024× 1024 pixel,

il fonctionne en deux modes différents : Soit en mode de résolution de

0.6 d’arc/pixel qui peut aller jusqu’à 2.4 Mm sur la surface du Soleil.

Pour ce dernier mode, la résolution est triplement meilleure, par contre

le champ d’observation est plus réduit. En revanche, le taux d’images

recueillies à partir de MDI atteint les 100%.

En fonctionnement depuis le mois de Février 1996, et malgré une perte de

contact de plusieurs mois, la mission de SOHO se déroule remarquablement

bien. SOHO est célèbre pour avoir révolutionné notre connaissance du Soleil.

Des millions de clichés et de mesures, des certaines de publications scien-

tifiques sont dues aux données qu’il a transmises à la Terre. La date de fin

de mission de SOHO était prévue pour décembre 2009, seuls les instruments

VRGO, GOLF et LASCO sont restés opérationnels. Par contre, l’instrument

MDI à cédé la place à l’instrument HMI du satellite SDO qui a été lancé

en Février 2010. HMI permettra donc de continuer avec une meilleure per-

formance et précision les études déjà entreprises en Héliosismologie globale

et accentuera nos capacités le domaine de l’Héliosismologie Locale à haute

résolution.


FIGURE 3.2 – Le Satellite SOHO. Crédits : ESA

FIGURE 3.3 – Le Satellite SDO. Crédits : NASA


FIGURE 3.4 – Image brute du soleil, cette image est recueillie par GONG pour la journée du

25/01/2007

3.1.2 Description des différentes étapes de traitement de données :

Les Images :

Les images que nous allons utiliser sont des Dopplerogrammes du soleil,

ou chaque pixel détient une information sur la vitesse. Les image sont sous

un format de fichier électronique FITS (Flexible Image Transport System) ;

En plus de l’image, notre fichier FITS renferme une entête (FITS header)

qui contient plusieurs informations sur l’image, allant de la taille en pixels,

l’heure et la date jusqu’au lieu (station) de mesure,...etc.

Les images sont généralement traitées et analysées par journée entière soit

1440 minutes et donc 1440 images.

Remapping :

Le soleil étant une sphère ; tout point à sa surface peut étre localisé par des

coordonnées sphériques. Mais sur des région spécifique, il est beaucoup plus

pratique de travailler avec les coordonnées cartésiennes, donc une transforma-


tion des coordonnes sphériques aux coordonnées cartésiennes. La définition

d’une collection de points autour de la position centrale consiste ce qu’on ap-

pelle le Remapping. Etant donné que l’echelle de la distance est grandement

déformée, il est nécessaire d’employer un moyen pour pouvoir la préserver

afin de traiter correctement les pixels rectangulaires de l’appareil photo et

d’utiliser les méthodes de traitement tel que la transformée de fourier à trois

dimensions pour laquelle l’équidistance est supposée. Nous sommes amenées

alors à créer une grille équidistance, ou chaque point de la surface solaire lo-

calisé par ces coordonnées sphériques sera représenté sur cette grille.

Les coordonnées héliographiques :

Ce système est très semblable au système terrestre de latitude et longitude.

Il est défini par rapport au disque apparent du soleil en lumière blanche (la

photosphère).

La latitude héliographique θ est comptée depuis l’équateur solaire entre−90

au Sud et +90 au pôle Nord solaire.

La longitude héliographique φ est un peu plus compliquée à compter car il

n’existe pas naturellement de référence fixe (comme par exemple le méri-

dien terrestre passant par Greenwich sur Terre). L’intérêt de ce système de

coordonnées est qu’une structure présente sur le disque solaire conservera les

mêmes coordonnées pendant des durées relativement longues.

Les variations observées seront dues à l’évolution propre de la structure

(changement de forme ou mouvement propre sur le disque solaire) et non

pas à la seule rotation solaire.

Comme les mouvements propres sont généralement plus lents que la rotation

solaire, on pourra repérer un groupe sur une plus longue période qu’avec les

coordonnées cartésiennes qui changent en permanence.

En conséquence, pour indiquer un endroit sur la surface solaire, trois coordon-


nées (B, L, CMD) sont nécessaires pour la définition d’une grille. Les termes

employés pour se rapporter à ces coordonnées sont définis comme suit :

L’angle P : est l’angle entre le pôle nord géocentrique et le pôle nord de la

rotation solaire mesuré vers l’est à partir du nord géocentriqu.

L’angle B0 : est la latitude héliographique du point central du disque solaire.

La longitude L0 : est longitude héliographique du point central du disque

solaire, elle est déterminée sur un système de longitude fixe, tournant sur

le soleil à un taux de 13.2 par jour (la vitesse moyenne de rotation par

rapport au mérdien central).

Une fois P, B0, L0 connus, peuvent étre déterminées B, CMD, L comme suit :

La latitude B : est la distance angulaire mesurée de l’équateur solaire vers le

nord ou vers le sud le long d’un méridien.

La distance méridienne centrale CMD : est la distance angulaire dans la

longitude solaire, à mesurer à partir du méridien central. Cette position

est relativement à la vue de la terre et changera pendant que le soleil

tourne, elle ne devrait pas etre confondue avec les positions héliogra-

phiques qui sont fixes sur la surface solaire.

La longitude L : est la distance angulaire à partir du méridien standard (lon-

gitude héliographique de 0(L0)), mesurée de l’est à l’ouest le long de

l’équateur du soleil.

Les coordonées cartésiennes (x, y) s’écrivent en fonction des coordonnées

héliographiques (θ, L) par :

x = x0 + R(X cos P0−Y sin P0) (3.1)

y = y0 + R(Y cos P0− X sin P0) (3.2)

Avec :

X =sin L sin θ

1− R(cos θ sin B0 + sin θ cos B0 cos L)(3.3)


FIGURE 3.5 – Les coordonnées héliographiques

FIGURE 3.6 – Illustration des angles P et B0. Dans le cas présenté : P = −23, 7 et B = −7.2 . Les

deux lignes bleu représentent l’équateur et le méridien central solaire, les lignes en noir représentent

les axes X,Y


FIGURE 3.7 – Image après Remapping du soleil, cette image est recueillie par GONG pour la journée

du 25/01/2007

Y =cos θ cos B0− sin θ sin B0 cos L

1− R(cos θ sin B0 + sin θ cos B0 cos L)(3.4)

Ou (x0, y0) sont les coordonnées de la caméra au centre du disque, et R est le

rayon solaire exprimé en radians par : R = 4.6524.103rd.

Les paramètres (P0, B0, L0) seront récupérés à partir de l’entête des fichier

d’images FITS.

Tracking :

Les observations montrent que le soleil ne tourne pas comme un corps solide

avec la même vitesse angulaire partout en latitude : l’équateur prend environ

25 jours pour une révolution complète, alors que cela prend plus de 30 jours

pour les secteurs près des pôles, c’est ce qui représente le phénomène de la

rotation différentielle qui a été découvert pour la première fois par Carrington

en 1863.

Il s’avère aussi que les fréquences des oscillations solaires dépendent de la

rotation solaire. Les oscillations qui se déplacent dans la même direction que


FIGURE 3.8 – Image après Remapping et Tracking du soleil, cette image est recueillie par GONG

pour la journée du 25/01/2007

la rotation solaire sembleraient avoir une fréquence peu inférieure. L’effet est

très semblable à l’effet Doppler, chaque mode sera affecté par la rotation.

Etant donné, que la rotation solaire est grande par apport aux amplitudes des

oscillations ; et afin d’étudier ces oscillations, il est important d’enlever autant

que possible l’effet de cette dernière c’est le but principal du tracking.

La technique utilisée pour supprimer la rotation différentielle, est celle déve-

loppée par Snodgrass(1984), dont la formule est la suivante :

Ω2π

= 451− 55 sin2 θ − 80 sin4 θ (3.5)

Ou Ω est la vitesse angulaire en fonction de la latitude θ en [rd].

Le diagramme de puissance " PowerMap " :

Dans le but de vérifier la validité des résultas obtenus à partir des deux procé-

dures de traitement d’images Remapping et Tracking. Nous pouvons utiliser

le diagramme de puissance ou " PoweMap ". Il est calculé en effectuant une

sommation sur le carré de la valeur de chaque fichier (image) pixel par pixel,


FIGURE 3.9 – Fonction de Snodgrass

on prenant ensuite la racine du résultat de cette dernière sur le nombre de

fichiers que contient ce répertoire.

Création d’un cube de donnée " Data Cube " :

Une fois les images remappées et trackées, on prend une série chronologique

d’images à raison d’une image par minute. Le cube de donnée aura trois axes :

la coordonnée longitudinale, la coordonnée latitudinale et la coordonnée tem-

porelle.

A partir de cette série d’images, on extraie un carré de dimensions 22.5 ×22.5.

La transformée de fourier à trois dimension " FFT3D " :

Le passage dans l’espace des fréquences (kx, ky, ω), on a appliqué la trans-

formée de Fourier FFT, (sous Matlab) car elle permet un gain de temps de

calcul considérable à condition que le pas d’échantillonnage soit régulier, et

que le nombre de mesures soit une puissance de deux (512 images sur l’axe

temporel).


FIGURE 3.10 – Extraction d’un Data Cube(x, y, t) de 22.5 × 22.5 à partir de données remappées et

trackées.

FIGURE 3.11 – Représentation du Data Cube dans l’espace fréquentiel en (kx, ky, ω).


Une coupe transversale de ce diagramme 3D nous permet d’observer le

diagramme en anneaux .

(a) (b)

FIGURE 3.12 – (a) Coupe transversale du Data Cube à frequence ν = 0.7810−3HZ.(b) Coupe longi-

tudinale .

La fenêtre de troncature :

L’extraction d’un Data Cube revient à multiplier une image de dimension

plus grande par une fonction porte à deux dimensions, qui se traduit dans le

domaine de Fourier par une convolution par un sinus cardinal. C’est le phé-

nomène de Gibbs. Ceci va induire des fréquences parasites.

Pour atténuer ce phénoméne, on multiplie le signal par une fonction fenetre

d’observation (fenêtre d’apodisation) qui va gommer toutes les discontinuités

n’appartenant pas au signal d’origine conduisant à une transition plus douce

avant d’opérer la transformation de Fourier.

Cette fenêtre d’apodisation doit être choisie de manière à ce que sa transfor-

mée de Fourier présente adopté la fenêtre de cloche cosinus définie par :C(x) = 1 si x < Rcb

C(x) = 0.5

(1 + cos

(π2(x−Rcb)(1−Rcb)

))si x > Rcb

(3.6)

Ou Rcb et la fraction du rayon à partir de laquelle la courbe décroît. Pour


notre cas, on a pris Rcb = 0.65.

x est une fraction du rayon comprise entre 0 et 1.

La fonction fenetre de cloche cosinus donnée ci-dessus a une amplitude maxi-

male de 1 et est symétrique par rapport au centre.

(a) (b)

FIGURE 3.13 – (a) la fenéter d’apodisation de cloche cosinus de 128 × 128 pixels .(b) Image du

DataCube aprés l’apodisation par une fenétre de cloche cosinus.

CONCLUSION GÉNÉRALE

Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressés à la mise en place d’une tech-

nique de l’héliosismologie locale par l’analyse des spectres de puissance des

mode propre des oscillations, afin de déterminer les écoulements horizontaux,

qui renferment de bien précieuses informations sur l’intérieur solaire.

Pour cela, nous avons étudié toutes les bases théoriques qui régissent la pro-

pagation des ondes dans le milieu solaire dans le cadre de l’héliosismologie

globale. Nous nous sommes ensuit, intéresse à une des techniques de l’hélio-

sismologie locale : la technique du diagramme en anneaux. Cette technique

consiste à modéliser les anneaux du spectre de puissance pour une fréquence

donnée afin d’estimer les paramètres internes et notamment les flux horizon-

taux.

Nous avons donc choisi un modèle de spectre de puissance qui approche au

mieux les spectres observés. Nous avons d’abord effectué diverses simula-

tions pour tester et valider le modèle. Nous avons ensuite utilisé des tech-

niques d’inversion basées sur le maximum de vraisemblance pour estimer les

paramètres du modèle.

Nous nous sommes ensuite intéressés aux données réels les obtenues par le

réseau d’héliosismologie terrestre GONG et par l’instrument MDI, embarqué

sur SOHO. Avant de pouvoir utiliser la méthode du diagramme en anneaux,

il fallait effectuer toutes les étapes de traitement pour obtenir des cubes de

données exploitables. Nous avons donc d’abord effectué les projections des

images solaires sur un plan : c’est l’étape du remapping.

Nous avons ensuite supprimé la rotation différentielle qui masque les effets

60 Conclusion générale

des flux d’amplitudes plus faibles. Nous avons ensuite créé des cubes de don-

nées chronologiques autour des régions d’intéret auxquelles nous avons ap-

pliqué la méthode du diagramme en anneaux précédemment développée.

Les résultats obtenus ont montré l’intérêt de cette méthode et sa grande capa-

cité pour estimer les flux sous la surface du soleil.

Le lancement du satellite SDO, avec à son bord des instruments dédiés à

l’héliosismologie plus performants (HMI) permettra certainement d’ouvrir

de nouveaux horizons.

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AANNEXES

SOMMAIRE3.1 LES DONNÉES : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Les instruments : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 Description des différentes étapes de traitement de données : . . . . . . . . . . . . . 48

A.1. Les équations de base en Héliosismologie 67

A.1 LES ÉQUATIONS DE BASE EN HÉLIOSISMOLOGIE

A.1.1 Les équation de base de l’oscillation d’un modèle solaire

Nous considérons que le soleil représente un corps fluide continu. Pour étu-

dier les mouvements d’oscillations des modes propres, cela signifie que tout

déplacement d’une particule fluide sera question d’un élément de volume,

considéré comme un point.

La mise en évidence des oscillations solaires a été établie à partir des équa-

tions qui régissent le soleil, telles que la conservation de la masse, de l’im-

pulsion et de l’énergie, ainsi que l’équation de poisson et du flux d’énergie

de notre étoile le soleil, et en adoptant le modèle solaire standard " S ", de

Dalsgaard qui repose sur les hypothèses de base de l’évolution stellaire. Ce

modèle néglige la viscosité, la rotation, la convection et le champ magnétique

et en supposant une symétrie sphérique. Ces mouvement d’oscillations s’ex-

priment dans le repère d’inertie par :

La conservation de la masse :

dρ

dt+ ~∇.(ρ~v) = 0 (A.1)

L’équation du mouvement :

(d

dt+~v.~∇)~v = −

~∇pρ− ~∇Φ (A.2)

L’équation de Poisson

∇2Φ = 4πGρ (A.3)

La conservation d’énergie :

ρT(d

dt+~v.~∇)S = ρEN − ~∇.~FR (A.4)

Où ρ est la densité, ~v est la vitesse, p la pression, S l’entropie spécifique, T

la température, EN le taux de réaction nucléaire, Ev la chaleur créée par la

viscosité et ~F le flux d’énergie.

68 A. Annexes

En prenant en considération les deux zones du soleil(zone radiative et zone

convective), le flux d’énergie s’écrit comme suit :~F = ~FR + ~Fcon d’où ~Fcon est le flux d’énergie convectif et ~FR = −K.~∇T

est le flux d’énergie radiative, avec K = 4aCsT3

3κρ qui est la conductivité radia-

tive, Cs la vitesse du son dans le milieu, et κ l’opacité (permettant de calculer

le transport d’énergie par transfert radiatif, et l’énergie déposée dans chaque

couche).

Cependant, afin de simplifier le calcul, nous allons supposer que la source

d’énergie du soleil est nucléaire, d’où Ev = 0 et nous allons également négli-

ger la convection ~Fcon = 0. Il advient du bilan énergétique :

dρ

dt+ ~∇.(ρ~v) = 0

(d

dt+~v.~∇)~v = −

~∇pρ− ~∇Φ

ρT(d

dt+~v.~∇)S = ρEN − ~∇.~FR (A.5)

~FR = −K.~∇T

∇2Φ = 4πGρ

A.1.2 Perturbation et linéarisation du modèle solaire

Les oscillations étant de faibles amplitudes comparées aux dimensions ca-

ractéristiques du soleil ; elles perturbent faiblement sa structure. Une linéa-

risation au 1erordre des équations décrivant le modèle solaire à l’équilibre

est suffisante pour calculer les fréquences des modes propres et leur fonction

propre. Elles peuvent être traitées comme des perturbations de l’état d’équi-

libre.

Ces perturbations sont exprimées sous forme Eulérienne (à une position don-

née) ou bien Lagrangienne (en suivant l’élément perturbé) définit par la quan-

tité physique f .


La description eulérienne décrit un fluide via des termes de champ, explici-

tant ce qui se passe en un point et à une date donnée.

La vitesse y est petite, de sorte qu’on peut négliger dans l’équation d’Euler le

terme (v∇)v.

Quant à la description lagrangienne ; elle est typiquement utilisée dans le

cadre de la mécanique du point matériel, lorsque l’on suit le système étu-

dié pas à pas.

La différence entre les 2 points de vue s’exprime opérationnellement par : f (~r, t) = f0(~r) + f ′(~r, t) (Eulerienne)

f (~r, t) = f0(~r0) + δ f (~r0, t) (Lagrangienne)(A.6)

Où δ f (~r, t) = f ′ + ~ζ~∇ f0(~r) est la relation entre les deux formes de pertur-

bation eulérienne et Lagrangienne.

Au premier ordre du déplacement : ~ζ =~r− ~r0

Où ~r est la variable de position lagrangienne d’un élément fluide donné

(~r = ~r0 à l’équilibre).

La dérivée temporelle Lagrangienne de f s’écrit :

d fdt

=d fdt︸︷︷︸

variation temporelle

+ ~v.~∇. f︸︷︷︸l’advection

(A.7)

Dans le cas général, lorsque l’état non perturbé possède un courant station-

naire non nul ~=0 (étoile en rotation), les perturbations Eulériennes et Lagran-

gienne de vecteur vitesse sont reliées par :

~v′ = δ~v− (~ζ.~∇)~v0 =d~ζ

dt+ (v0~∇)~ζ − (~ζ.~∇)~v0 (A.8)

On suppose que l’écoulement est nul ~v 6= 0 :

⇒ ~v′ = δ~v =d~ζ

dt=

dζ

dt(A.9)

L’équation de conservation de l’énergie apporte des complications impor-

tantes dans le calcule des oscillations solaire par son terme de chauffage.

70 A. Annexes

L’onde ici est supposée adiabatique. Ceci est justifié en partie par le fait que

les effets dissipatifs sont très faibles dans presque toute l’étoile ; c’est à dire

les termes de chauffage sont faibles, on obtient alors pour l’équation d’éner-

gie :dpdt

=Γ1p

ρ

dρ

dt(A.10)

Tel que Γ1 est le facteur adiabatique donné par Γ1 =(

d log pd log ρ

)adiabatique

En substituant l’équation (A.6) dans le système (A.5), et en négligeant les

quantités du second ordre, et l’indice 0 caractérise les quantités à l’équilibre

qui ne dépendent que de la partie radiale r, et en tenant également compte de

l’état d’équilibre on obtient le système d’équations linéaires, homogène aux

dérivées partielles par rapport au temps et la coordonnée spatiale~r pour les

variables perturbées notées prime.

Finalement on retrouve les équations linéarisées sous forme eulérienne après

perturbation de l’état d’équilibre : (rajouter prime sur les deux v du système

si dessous et un prime sur le F)

dρ′

dt+ ~∇.(ρ0~v) = 0

ρ0d~vdt

+ ~∇p′ + ρ0~∇Φ′ + ρ′~∇Φ0

ρ0T0d

dT(S′ +~ζ.~∇S0) = (ρEN)− ~∇.~F′ (A.11)

~F′ = −K0~∇T′ − K′~∇T0

∇2Φ′ = 4πGρ′


Pour le développement du système d’équations linéarisées (A.11) après per-

turbation de l’état d’équilibre, on suppose une dépendance temporelle par

la transformée de Fourier pour toutes les variables physiques (de la forme

eiωt) ;où ddt iω, et~v′ devient alors~v′ = iω~ζ, et en omettant l’indice 0 (sauf

en cas de confusion) puis en séparant l’équation d’Euler en ses deux compo-

santes radiale et horizontale, par le déplacement ~ζ = ~ζr +~ζ⊥ = (ζr, ζθ, ζΦ),

et ζ⊥ = (0, ζθ, ζΦ) est la composante horizontale.

Le système d’équations (A.11) devient :

ρ′ + ~∇(ρ~ζ) = 0 ouδρ

ρ+ ~∇(~ζr +~ζ⊥) = 0 (A.12)

−ω2ζr +1ρ

dp′

dr+

dΦ′

dr+

ρ′

ρ

dΦdr

= 0 (A.13)

−ω2ζ⊥ + ~∇⊥( p′

ρ+ Φ′

)= 0 (A.14)

1r2

d

dr

(r2dΦ′

dr

)+ ~∇2

⊥Φ′ = 4πGρ′ (A.15)

Où~∇ = 1r

(r ddr , d

dθ , 1sin θ

ddφ

)est le gradient en coordonnées sphériques, et

~∇⊥ = 1r

(0, d

dθ , 1sin θ

ddφ est sa composante horizontale.

Avec ~∇2⊥ = 1

r21

(sin θ)2

(sin θ d

dθ (sin θ ddθ ) +

d2

d2φ2

)En combinant les équations (A.12) et (A.14), l’équation de continuité de-

vient :δρ

ρ+

1r2

d

dr(r2ζr) +

1ω2

~∇2⊥

( pρ+ Φ′

)= 0 (A.16)

En appliquant les caractéristiques thermodynamiques pour exprimer les quan-

tités thermodynamiques, telle que la perturbation de la densité ρ′ en fonction

de p′, ζr et δS (ρ et T couple de variable indépendante), on obtient :

δρ

ρ=

1Γ1

δpp−∇ad

ρTp

δS (A.17)

72 A. Annexes

Avec

cp = T(

dSdT

)p

∇ad =(d ln Td ln p

)s

Γ1 =(d ln pd ln ρ

)s

ω2BV = g

(1

Γ1

d ln pdr −

d ln ρdr

) (A.18)

On trouve pour ρ′ : ρ′

ρ = 1Γ1

p′

p − Aζr −∇adρTp δS

Où A est le critère de Schwarzchild (de Ledoux, si on tient compte du gradient

de composition chimique). Pour l’instabilité convective (pour le cas où A >

0) où la stabilité (le cas où A < 0), et se trouve relié à la fréquaence de

Brunt-Vaisala ωBV par :

A = −ω2BV

g=

d ln ρ

dr− 1

Γ1

d ln pdr

(A.19)

En éliminant δρ et ρ′, on obtient finalement les équations de base pour les os-

cillations linéaires non adiabatiques et non radiales pour les variables (p′,T′,

δS, ζr, Φ′ et F′r)

1ρ

( d

dr+

ρgΓ− 1p

)p′ − (ω2−ω2

BV)ζr +dΦ′

dr= g∇ad

ρTp

δS

1r2

d

dr(r2ζr) +

1Γ1

d ln pdr

ζr +( ρ

Γ1p+

~∇2⊥

ω2

) p′

ρ+

1ω2

~∇2Φ′ = ∇adρTp

δS

( 1r2

d

r

(r2 d

dr

)+ ~∇2

⊥

)Φ′ − 4πGρ

( p′

Γ1p+

ω2BV

gζr

)= −4πG∇ad

ρ2Tp

δS

(A.20)

F′r = −KdT′

dr− k′

dTdr


iωρTδS = ρ′EN −1r2

math f rakddr

(r2F′r) + ~∇2⊥(KT′)

δTT

= ∇adδpp

+δScp

Où F′r est la composante radiale de la perturbation Eulérienne du flux radiatif

F′r .

En analysant ces équations, on remarque qu’elles ne dépendent des variables

angulaires (θ, Φ) que via l’opérateur ~∇2⊥. Dans ce cas, on peut faire une sé-

paration de variables.

Cependant nous trouvons les fonctions propres f (θ, Φ) satisfaisant l’équa-

tion :

[r2∇2⊥ + Λ] f (θ, φ) = 0, où Λ est une constante.

A.1.3 Représentation des modes par les harmoniques sphériques

Les oscillations dont le soleil est le siège, se décomposent en une multitude

de différents modes propres qui se comptent théoriquement par millions et

dont plusieurs milliers ont déjà été recensés. Chacun de ces modes est porteur

d’informations sur les couches traversées.

Le soleil, ou toute autre étoile, peut être assimilé à une cavité résonante. Sous

l’action d’un mécanisme d’excitation, des ondes (des modes propres) sont

générées et se propagent. Pour le soleil, il s’agit essentiellement de modes

acoustiques. La surface du soleil oscille à une fréquence autour de 3 mHz,

à plusieurs dizaines d’octaves en dessous du seuil accessible à l’oreille hu-

maine (de 16 à 20 000 Hz).

Les oscillations observées sur la surface du soleil sont représentées sous

forme d’harmoniques sphériques par la somme d’ondes stationnaires (modes

normaux) observés au point (r, θ, Φ) à l’instant t, ce signal correspond à la

74 A. Annexes

perturbation radiale de déplacement ou de pression, il est donné par :

F(r, θ, Φ) = Σnlmanlmζnlm(r, θ, Φ)exp(i[ωnlmt + αnlm]) (A.21)

Les trois nombres entier n, l et m ; représentent respectivement le mode radial,

le mode angulaire et l’ordre azimutal, anlm : L’amplitude du mode, ζnlm :

Fonction propre spatiale de coordonnées r, θ et Φ, ωnlm : Fréquence propre,

αnlm : La phase initial du mode.

Pour simplifier les analyses, on considère le cas de symétrie sphérique du

soleil. Les fonctions propres sont alors séparées en composantes radiale et

angulaire telle que :

ζnlm(r, θ, Φ) = ζnlYlm(θ, Φ) (A.22)

Où ζnl(r) est la fonction propre radiale, et Ylm : L’harmonique sphérique.

Les variables indépendantes peuvent s’écrire :

f ′(r, θ, Φ, t) = f ′(r)Yml (θ, Φ)eiωn,lt (A.23)

Avec : ω est la fréquence d’oscillation, et Yml (θ, Φ) est l’oscillateur d’ordre

azimutal m et de degré l. Chaque mode est caractérisé par trois nombres en-

tiers n, l et m qui représentent respectivement le nombre de noeuds de la

fonction propre le long du rayon r, le nombre de lignes de noeuds totale en

longitude Φ et colatitude θ. (mesure le nombre d’onde horizontal à la surface

par Kh ∼ L/Rodot), et le nombre de lignes de noeuds En longitude Φ (le long

de l’équateur).

Des considérations mathématiques montrent que les harmoniques sphériques

Yml (θ, Φ) sont des solutions pour : Λ = l(l + 1) = L2

En l’absence de rotation, la fréquence est indépendante de m, le déplacement

est décrit alors en coordonnées sphériques par :

~ζ =[ζr(r), ζh(r)

d

dθ, ζh(r)

d

sinθdφ

]Ym

l (θ, φ)eiωt (A.24)


Et le déplacement horizontal est définit par : ζh =1

ω2r

[p′

ρ+Φ′

]Substituons ces dernière équations dans le système (A.13), et en considérant

que la partie radiale des variables, on obtient le système du 4ème ordre pour la

quantité radiale ζr :

1ρ

( ddr

+g

C2s

)p′ + (ω2

BV −ω2)ζrdΦ′

dr= g∇ad

ρTp

δS

1r2

ddr(r2ζr) +

1Γ1

d ln pdr

ζr +(

1− F2l

ω2

) p′

ρC2s− L2

ω2r2 Φ′ = ∇adρTp

δS

( 1r2

dr

(r2 d

dr

)− L2

r2

)Φ′ − 4πGρ

( p′

ρC2s+

N2

gζr

)= −4πG∇ad

ρ2Tp

δS

(A.25)

F′r = −KdT′

dr− K′

dTdr

iωρTδS = ρ′EN −1r2

ddr(r2F′r)−

L2

r2 (KT′)

δTT

= ∇adδpp

+δScp

Les coefficients de ce système dépendent des quantités à l’équilibre (l’indice

0 a été supprimé), Φ′ est la perturbation Eulérienne du potentiel de gravité, g

est la gravité, Cs est la vitesse du son du milieu ; Cs =(

Γ−1pρ

)1/2.

Dans ce système intervient deux quantités physiques fondamentales, et qui

sont la fréquence de Lamb F1 et la fréquence de Brunt-Vaisala ωBV, elles ont

pour expression : F2l = L2C2

sr2 , avec L2 = l(l + 1), et ω2

BV =(

1Γ1

dpdr −

1ρ

dρdr

76 A. Annexes

A.1.4 Approximation adiabatique

Le temps caractéristique thermodynamique (temps d’échange de chaleur)

étant considérablement supérieur à la période des oscillations (on considère

les oscillations de 5 minutes pour les ondes acoustiques solaires), on peut

cependant le négliger durant une période sur pratiquement toute la surface

solaire (exception faite de la région très externe dite superadiabatique), de ce

fait, on considère alors que les oscillations sont adiabatiques (S=constante),

d’où le système :

1ρ

( ddr

+g

C2s

)p′ + (ω2

BV −ω2)ζr +dΦ′

dr= 0

1r2

ddr(r2ζr) +

1Γ1

d ln pdr

ζr +(

1− F2l

ω2

) p′

ρC2s− L2

ω2r2 Φ′ = 0 (A.26)

( 1r2

dr

(r2 d

dr

)− L2

r2

)Φ′ − 4πGρ

( p′

ρC2s+

ω2BV

gζr

)= 0

Ces équations constituent un système du quatrième ordre d’équations diffé-

rentielles pour les quatre variables : p′, ζr, Φ′, dΦ′dr .

En se fixant les conditions aux limites :

– Des solution réguliéres au centre (r = 0), où toutes les quantités ont des

valeurs finies : Φ′ ∝ r′, p′ ∝ r′, ζr ∝ rl−1

– Et à la surface (r = Rodot), où la perturbation de la pression et Φ′ dépend

du modèle d’atmosphère utilisé et qui est continue : Φ′ ∝ r−(l+1), δp =

0, ζr =p′

ρg

A.1.5 Approximation de Cowling

Pour étudier la nature des modes ; on peut utiliser l’approximation de Cowling

qui consiste à négliger la perturbation eulérienne du potentiel gravitationnel.


Pour les modes d’ordre radial élevé, les fonctions propres varient beaucoup

plus rapidement que les quantités à l’équilibre dans des régions à densité

supposée quasi-constante, avec ρ′ ≈ 0, ce qui implique que Φ′ ≈ 0 (voir les

équations de poisson).

Ceci permet de simplifier le système qui se ramène doc au premier ordre pour

les variables p′, ζr, avec deux conditions aux limites (au centre et à la surface).

1ρ

( ddr

+g

C2s

)p′ + (ω2

BV −ω2)ζr = 0 (A.27)

1r2

ddr(r2ζr)−

gC2

sζr +

(1− F2

l

ω2

) p′

ρC2s= 0 (A.28)

Une nouvelle hypothèse consiste à considérer des oscillations de haut ordre

radial où les fonctions propres varient plus rapidement que les variables

d’équations (en négligeant à nouveau les dérivée des variables d’équilibre

en annulant les termes du produit de g et de la vitesse du son) on obtient :

dp′

dr= ρ(ω2−ω2

BV)ζr

dζr

dr=( F2

l

ω2 − 1) p′

ρC2s

(A.29)

En combinant ces deux dernières équations, on obtient une seule équation

différentielle du second ordre (la plus approximative).Pour décrire les oscil-

lations non radiales adiabatiques

d2ζr

dr2 =ω2

C2s

(1− ω2

BV

ω2

)( F2l

ω2 − 1)

ζr = −K2(r)ζr (A.30)

Aveck(r) , est le vecteur de propagation de l’onde donné par :~k =~kr +~kh

Où

K2r =

1C2

s(ω2−ω2

s )− k2h

(1− ω2

BV

ω2 (A.31)

k2h =

F2l

C2s= L2

r2 Etkr, etkh représentent respectivement les vecteurs d’ondes

radiale et horizontal.

78 A. Annexes

A.2 MAXIMUM DE VRAISEMBLANCE

L’estimation du maximum de vraisemblance est une méthode statistique .

Cette méthode a été développée par le statisticien et généticien Ronald Fi-

sher entre 1912 et 1922.

Définitions :

Soit X une variable aléatoire réelle, de loi ou bien discrète ou bien continue,

dont on veut estimer un paramètre θ. On note Dθ cette famille de lois para-

métriques. Alors on définit une fonction f telle que :

f (x, θ) =

fθ(x) si X est une v.a. continu

Pθ(X = x) si X est une v.a. discret

fθ(x) représente la densité de X (où θ apparaît) et Pθ(X = x) représente une

probabilité discrète (où θ apparaît).

On appelle vraisemblance de θ au vu des observations (x1, ..., xi, ..., xn) d’un

n-échantillon indépendamment et identiquement distribué selon la loi Dθ , le

nombre :

L(x1, ..., xi, ..., xn; θ) = f (x1; θ)× f (x2; θ)× ...× f (xn; θ) =n

∏i=1

f (xi; θ)

On cherche à trouver le maximum de cette vraisemblance pour que les proba-

bilités des réalisations observées soient aussi maximum. Ceci est un problème

d’optimisation. On utilise généralement le fait que si L est dérivable (ce qui

n’est pas toujours le cas) et si L admet un maximum global en une valeur

θ = θ,alors la dérivée première s’annule en θ = θ et que la dérivée seconde

est négative. Réciproquement, si la dérivée première s’annule en θ = θ et

que la dérivée seconde est négative en θ = θ, alors θ = θ est un maximum

local (et non global) de L(x1, ..., xi, ..., xn; θ). Il est alors nécessaire de vérifier

qu’il s’agit bien d’un maximum global. La vraisemblance étant positive et le

logarithme népérien une fonction croissante, il est équivalent et souvent plus

A.2. Maximum de vraisemblance 79

simple de maximiser le logarithme népérien de la vraisemblance (le produit

se transforme en somme, ce qui est plus simple à dériver). On peut facilement

construire la statistique Yn = Θ qui est l’estimateur voulu.

Ainsi en pratique :

– La condition nécessairedL(x1, ..., xi, ..., xn; θ)

dθ= 0

ou

dlnL(x1, ..., xi, ..., xn; θ)

dθ= 0

permet de trouver la valeur θ = θ

– θ = θ est un maximum local si la condition suffisante est remplie au

point critique θ = θ :

d2L(x1, ..., xi, ..., xn; θ)

dθ2 6 0

ou

d2lnL(x1, ..., xi, ..., xn; θ)

dθ2 6 0

Pour simplifier, dans les cas de lois continues, où parfois la densité de proba-

bilité est nulle sur un certain intervalle, on peut omettre d’écrire la vraisem-

blance pour cet intervalle uniquement.

Exemples :

Avec une loi discrète

On souhaite estimer le paramètre λ d’une loi de Poisson à partir d’un n-

échantillon.

f (x, λ) = Pλ(X = x) = e−λ λx

x!L’estimateur du maximum de vraisemblance est :λML = x

80 A. Annexes

Démonstration

La vraisemblance s’écrit :

L(x1, ..., xi, ..., xn; λ) =n

∏i=1

e−λ λxi

xi!

L(x1, ..., xi, ..., xn; λ) = e−λnn

∏i=1

λxi

xi!

La vraisemblance étant positive, on considère son Logarithme naturel :

lnL(x1, ..., xi, ..., xn; λ) = lne−λn + lnn

∏i=1

λxi

xi!

lnL(x1, ..., xi, ..., xn; λ) = −λn +n

∑i=1

lnλxi

xi!

lnL(x1, ..., xi, ..., xn; λ) = −λn + lnλn

∑i=1

xi −n

∑i=1

ln(xi!)

La dérivée première s’annule quand :

dlnL(x1, ..., xi, ..., xn; λ)

dλ= 0

−n +∑n

i=1 xi

λ= 0

λ =∑n

i=1 xi

nLa dérivée seconde s’écrit :

d2lnL(x1, ..., xi, ..., xn; λ)

dλ2 = −∑ni=1 xi

λ2 6 0

Ce ratio étant toujours négatif alors, l’estimation est donnée par :

Yn = Λ =∑n

i=1 Xi

n= X

Il est tout à fait normal de retrouver dans cet exemple didactique la moyenne

empirique, car c’est le meilleur estimateur possible pour le paramètre ? (qui

représente aussi l’espérance d’une loi de Poisson).

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