Équation homologique et cycles asymptotiques d’une ... · (3)Sous ces conditions, la solution...

i

s

séolvons

ions

rtir desliennerticulier,rov dans

éristiqueschamps

fieldobtain

sonsus

njugacyviouslyin the

Bull. Sci. math. 128 (2004) 167–187www.elsevier.com/locate/bulsc

Équation homologique et cycles asymptotiqued’une singularité nœud-col

Loïc Teyssier

Laboratoire AGAT, Université de Lille 1, 59655 Villeneuve d’Asq Cedex, France

Reçu le 15 juin 2003 ; accepté le 15 octobre 2003

Résumé

Un germeZ de champ de vecteurs holomorphe à l’origine deC2 opère par dérivation sur legermes de fonctions holomorphes. Nous nous intéressons au cas oùZ présente une singularitisolée de type nœud-col à l’origine (une et une seule valeur propre non nulle). Nous réssectoriellement l’équation homologiqueZ · F = G en intégrant la fonctionG le long de cheminstangents aux trajectoires complexes deZ depuis la singularité. Nous localisons ainsi les obstructà résoudre cette équation au voisinage de l’origine dans les périodes deG le long de cyclesasymptotiques. Ces obstructions géométriques sont explicitées à la fin de l’article à pacoefficients de Taylor deG dans le cas des nœud-cols admettant une intégrale première liouvilet apparaissent comme une généralisation aux feuilletages de la transformée de Borel. En panous retrouvons presque sans calcul les obstructions précédemment obtenues par P.M. Elizale cas des modèles de Poincaré–Dulac. Cette approche singulière de la méthode des caractnous permettra, dans un article ultérieur, de déduire la classification analytique des germes dede vecteurs avec singularité de type nœud-col. 2004 Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Let a germ of holomorphic vector fieldZ be given and assume that(0,0) ∈ C2 is an isolateddegenerate-resonnant singular point forZ (one and only one non-zero eigenvalue). Such a vectoracts as a derivative over the space of holomorphic germs at the origin of the complex plane. Wethe solutions of the homological equationZ · F =G by integratingG along some asymptotic pathtangent to the complex trajectories ofZ and ending at the singularity; this locate the obstructito solve such an equation in the period ofG along asymptotic cycles. The Borel transform is thextended to the foliated setting and this geometrical approach helps us in the study of the coproblem. For instance we find without expense of computation the obstructions obtained preby P.M. Elizarov for the Poincaré–Dulac models. This approach of the caracteristics method

Adresse e-mail :[email protected] (L. Teyssier).

0007-4497/$ – see front matter 2004 Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.bulsci.2003.10.002

168 L. Teyssier / Bull. Sci. math. 128 (2004) 167–187

ms of

Nous

aireit

àes de

ur lesentouses (dansqu’il

gine ;

singular setting will lead us, in a further print, to describe the analytical classification of gerdegenerate-resonnant vector fields. 2004 Elsevier SAS. Tous droits réservés.

MSC:32S65; 34A26; 35C15

Mots-clés :Équation homologique ; Champ de vecteurs ; Cycles asymptotiques

1. Introduction et présentation des résultats

Donnons-nous un champ de vecteursZ(x, y) = A(x,y) ∂∂x

+ B(x, y) ∂∂y

où A,B ∈C {x, y} sont des germes de fonctions holomorphes en l’origine du plan complexe.supposons que l’origine deC2 est une singularité isolée de typenœud-col(ou encorerésonnante dégénérée) pour ce champ, c’est-à-dire qu’il s’y annule et que sa partie linéen ce point possède exactement une valeur propre non nulleλ. Par conséquent il s’écrdans de bonnes coordonnées linéaires :

Z(x, y)= λy ∂∂y

+ · · · (1.1)où les “. . .” représentent des termes d’ordre supérieur strict à 1, avecλ �= 0.

Ce champ de vecteurs opère par dérivation sur l’algèbreC {x, y} ; nous cherchonscaractériser l’image de cet opérateur. Il s’agit de trouver l’espace vectoriel des germfonctions holomorphes en l’origineG telles qu’il existeF ∈ C {x, y} solution de l’équationhomologique:

Z · F =A∂F∂x

+B ∂F∂y

=G.Soit τZ une forme différentielle méromorphe telle queτZ(Z) = 1 ; par exempleτZ =dx

A(x,y). Lorsque l’équation précédente admet une solution holomorpheF , pour tout chemin

γ tangent àZ (c’est-à-dire contenu dans une courbe intégrale deZ) et reliant le pointp0au pointp1 nous avons la relation :

F(p1)− F(p0)=∫γ

G · τZ.

Ainsi, une condition nécessaire à l’existence deF est la nullité, sur tout cycleγ tangent àZ (soit p0 = p1), de l’intégrale

∫γ G · τZ – cette quantité étant appeléepériodedeG sur

le cycleγ . Cependant cette condition est insuffisante si l’on se contente d’intégrer scycles contenus dans les trajectoires deZ : en général ces trajectoires sont simplemconnexes, mais l’image deZ en tant que dérivation est de codimension infinie, nallons le voir. Comme dans le cas des selles résonnantes, précédemment étudiéun langage un peu différent) par M. Berthier et F. Loray [4], nous allons montrerexiste un germe de solution holomorpheF si et seulement si les périodes deG sur les“cycles asymptotiques” sont nulles ; expliquons celà. Toute trajectoire accumule l’oriainsi, quand elle existe, nous pouvons reconstruire la solutionF en intégrant le long d’unchemin tangentγp reliant le pointp à la singularité(0,0) :

L. Teyssier / Bull. Sci. math. 128 (2004) 167–187 169

ipal

e

in

e

t sitrique

) debles den d’une qui laet dere. Lestriquesnce deant unement

etitsristiques

despliquer

p.t les

F(p)= F(0,0)+∫γp

G · τZ. (1.2)

Un tel chemin sera qualifié dechemin asymptotique; ce sera la donnée(γ, I) d’unintervalle non bornéI ⊂ R et d’une application différentiableγ : I → V tangente àZ,tendant vers la singularité dans les parties non bornées deI . Un tel chemin défini surRsera appelé uncycle asymptotique. Nous pouvons maintenant formuler le résultat princde notre étude :

Théorème 1.1(Résolution géométrique de l’équation homologique).SoitZ un champde vecteurs holomorphe sur un voisinageV de(0,0) ayant une singularité isolée de typnœud-col en ce point.(1) Quitte à diminuerV , tout pointp ∈ V peut être relié à la singularité par un chem

asymptotiqueγp = (γ,R−).(2) SoitG une fonction holmorphe surV . L’équation homologiqueZ · F = G admet

une solution formelleF ∈ C[[x, y]] si et seulement si l’intégrale∫γp G · τZ est convergentpour tout chemin asymptotiqueγp reliant un pointp ∈ V à la singularité. De plus, lasolution formelle est unique à constante additive près.(3) Sous ces conditions, la solutionF donnée par(2) est convergente si et seulemen

la période deG sur tout cycle asymptotique est nulle. Dans ce cas, la solution géoméqu’elle définit au voisinage de(0,0) est donnée par la formule(1.2).

La formule employée ici pour trouver une solution analytique sectorielle (1.2l’équation homologique peut être considérée comme une extension à deux variala transformée de Borel–Laplace donnant la resommée d’une série formelle solutiosystème dynamique. Elle est cependant de nature essentiellement géométrique, cdistingue de l’approche formelle utilisée par P.M. Elizarov dans [8], qui ne lui permtraiter que le cas de neoud-cols possédant une intégrale première très particulièrésulats que l’on obtient pour les nœud-cols complètent les obstructions géomédégagées par M. Berthier et F. Loray [4] dans le cas non dégénéré en préserésonnances, M. Berthier et D. Cerveau [2] pour les singularités dégénérées possédintégrale première “logarithmique” en l’absences de petits diviseurs, puis plus récempar Christopher, P. Mardešić et C. Rousseau [7] pour les singularités sujettes aux pdiviseurs. Ces approches généralisent au contexte singulier la méthode des caractédécrite par V.-I. Arnold dans [1].

L’importance de l’équation homologique se révèle lorsque l’on étudie l’actionchangements de variables sur les champs de vecteurs comme nous allons l’exmaintenant.

Définition 1.2. (1) Deux champs de vecteursZ et Z̃ seront dit analytiquement (resformellement)conjuguéss’il existe un changement de variable analytique (resp. doncomposantes sont des séries formelles)Ψ = (ψx,ψy) tel que :

Ψ ∗Z =DΨ−1(Z(ψx,ψy))= Z̃.


objets

est bien]) ; une

desamis

moduleslicitesuation

re

hampsalents.

Fig. 1. Feuilletage réel associé à la forme normaleX1,0 = x2 ∂∂x + y ∂∂y montrant les comportementsnœudsàdroite etcolsà gauche.

(2) SiΨ ∗Z =UZ̃ pour une unité analytique (resp. formelle)U , on dira queZ et Z̃ sontanalytiquement (resp. formellement)équivalents(ou encoreorbitalement équivalents) ;une unité est une série dont le terme constant est non nul. En particulier, si lesmis en jeux sont holomorphes, ceci revient à dire que les courbes intégrales deΨ ∗Z et Z̃définissent le même feuilletage holomorphe singulier.

La classification orbitale des germes de champs de vecteurs de type nœud-colconnue. Dans le cas formel elle est dûe à H. Dulac et H. Poincaré (cités dans [12famille complète et non redondante deformes normales d’équivalence formelleest parexemple donnée par :

Xk,µ = xk+1 ∂∂x

+ y(1+µxk) ∂∂y

où (k,µ) ∈ N∗ × C.En d’autres termes, tout champZ est formellement équivalent à un et un seul

champsXk,µ. La classification orbitale analytique a été faite par J. Martinet et J.-P. Rdans [12] et met en évidence (par des arguments cohomologiques) un espace dede dimension infinie. Cependant il est très difficile de trouver des exemples expde champs formellement mais non analytiquement équivalents. Dès lors l’éqhomologique se révèle être un outil efficace.

Considérons une déformationZt = Z0 + ∑n>0 tnYn de Z = Z0. Une premièreobstruction à mettre en équivalence tous les champsZt àZ0 est donnée au premier ordpar l’obstruction à résoudre l’équation homologique plus générale{Z,X} = Y1 (ici Z agitpar crochet de Lie sur les champs de vecteursX). LorsqueY1 est de la formeY1 =GY où{Z,Y } = 0 alors cette équation se ramène à celle plus simpleZ · F = G étudiée ici. Decette manière, P.M. Elizarov dérive dans [8] de nombreux exemples explicites de cde vecteurs de type nœud-col qui sont formellement mais non analytiquement équiv


euxent ou

2.1),

ps derocédéas des

. Lorayormes

iste

s non

ntéetchy et

vail, ladaptant

nt uneière, ilciter lesr

ormel

En choisissantY = Z et Zt = (1 + tG)Z, nous pouvons encore déduire de nombrexemples de champs holomorphiquement équivalents mais non (holomorphiquemformellement) conjugués.

Nous verrons, lors de la résolution formelle de l’équation homologique (sectionque l’image deC[[x, y]] par Z est de codimensionk + 1 dansC[[x, y]]. Ceci nouspermet de trouver des formes normales de conjugaison formelle pour les chamvecteurs nœud-cols, différentes de celles obtenues par A.D. Bruno dans [6]. Le pque nous présentons ici semble plus naturel et peut s’adapter en particulier au cchamps de vecteurs nilpotents. Celà permet, en s’inspirant des techniques de Fpour l’équivalence formelle des singularités cuspidales [11], d’en dériver aussi des fnormales de conjugaison formelle.

Théorème 1.3(Classification formelle,voir aussi[6]).(1) SoitZ un champ de vecteurs de type nœud-col. Il existe(k,µ) ∈ N∗ × C unique

et un polynômeP ∈ Ck[x] (de degré au plusk) vérifiantP(0) = λ de sorte queZ soitformellement conjugué à:

ZP (x, y)= P(x)(xk+1

∂

∂x+ y(1+µxk) ∂

∂y

).

(2) Deux tels champsZP etZQ sont formellement conjugués si et seulement si il exα une racinekieme de l’unité vérifiantP(x)=Q(αx).

Remarque. (1) Un résultat identique est valable pour les singularités résonnantedégénérées (et non linéarisables) de rapport− q

p∈ Q∗− en remplaçant dansP la variable

x par la “variable” résonnanteu = xpyq et le champxk+1 ∂∂x

+ y(1 + µxk) ∂∂y

par

x(−q+ (µ−1)uk) ∂∂x

+y(p+µuk) ∂∂y

. La démarche est alors la même que celle préseen section 2. Des formes normales équivalentes sont aussi données par A.A. GrinS.M. Voronin dans [9] pour le cas génériquek = 1.

(2) Ces formes normales se lisent dans la forme pré-normale formelleUXk,µ à laquelleon a conjuguéZ :

U(x,y)= P(x)+ xk+1A(x)+ yB(x, y).

Le théorème 1.1 nous permettra de déduire aussi, mais avec un peu plus de traclassification analytique des champs de type nœud-col dans un article ultérieur, al’étude de A.A. Grintchy et de S.M. Voronin [9] faite pour les selles resonnantes.

Dans [5], M. Berthier et F. Touzet ont caractérisé tous les nœud-cols admettaintégrale première dans la classe Liouville. En présence d’une telle intégrale premest possible de paramétrer explicitement les cycles asymptotiques et par suite expliobstructions à résoudre l’équation homologiqueZ · F =G sur les coefficients de TaylodeG. En appliquant ceci en particulier aux modèles de Poincaré–DulacZ = Xk,µ onretrouve immédiatement les formules de P.M. Elizarov, obtenues par un calcul ffastidieux dans [8].


ve du’est laipal depar ledes 2ur cesrphes.cas dusens

nt de

ut, par

r lesdesuationimple à

’un

Plan de l’article. La première partie du développement est consacrée à la preuthéorème 1.3 se basant sur la résolution formelle de l’équation homologique : csection 2. Dans la suite, nous nous consacrons en section 3 au résultat princnotre étude, à savoir la résolution analytique de l’équation homologique donnéthéorème 1.1. Nous localisons les cycles asymptotiques dans les intersectionsksecteurs donnés par le théorème de M. Hukuhara, T. Kimura et T. Matuda [10]. Ssecteurs les “resommées” de la solution formelle données par (1.2) sont holomoEn section 4 nous calculons explicitement les obstructions géométriques dans lemodèle formelXk,µ et donnons une formule similaire pour les champs intégrables aude Liouville.

2. Résolution formelle et formes normales formelles

Un résultat de H. Dulac et H. Poincaré [12] nous dit qu’il existe un changemevariables formelΨ et une unité formelleU tels que :

Ψ ∗Z = UXk,µavec :

Xk,µ = xk+1 ∂∂x

+ y(1+µxk) ∂∂y

etU(0,0)= λ. Nous supposerons que le champZ est déjà sous cette formeUXk,µ. Le butde la section est de démontrer le théorème 1.3, c’est-à-dire de montrer que l’on peun nouveau changement de variables essentiellement unique, écrireZ sous une desformesnormales de conjugaison formellesuivantes :

ZP = PXk,µ, P ∈ Ck[x]avecP(0)= λ �= 0.

2.1. Équation homologique

Nous allons montrer que l’image deZ en tant qu’opérateur de dérivation agissant suséries formellesC[[x, y]] est de codimensionk. Comme cette dimension ne dépend pascoordonnées formelles choisies, nous allons effectuer la résolution formelle de l’éqhomologique dans le cas des formes pré-normales formelles dont l’image est très sdécrire.

Proposition 2.1.ConsidéronsZ =UXk,µ et une série formelleG ∈ C[[x, y]]. L’équationhomologiqueZ · F = G admet une solution sous forme d’une série formelleF si etseulement sigm,0 = 0 pourm� k. Cette éventuelle solution est unique à l’addition dscalaire près.

Démonstration. Dans un premier temps, si le résultat est vrai pour la forme normaleXk,µ,alors il reste vrai pourZ puisque d’une partZ · F = G si et seulement siXk,µ · F = GU ,


e

s

,

s

leslles

e

el ;

d’autre partGU

contient des termes non nuls en 1, x, . . . , xk si et seulement si il en est dmême deG comme le montre un calcul simple.

Résolvons maintenant l’équationXk,µ · F =G, en écrivantF =∑n,m�0fm,nxmyn etG=∑gm,nxmyn. L’équation homologiqueXk,µ ·F =G devient, en identifiant les termeenyn :

(a)si n= 0 :∑m

gm,0xm = xk

∑m

mfm,0xm

doncG ne peut pas posséder de termes enxm pourm ∈ {0 . . .k}. Cette obstruction levéesim> 0 :

fm,0 = 1mgm+k,0

existe et il n’y a de liberté que dans le terme constant deF jusqu’à présent.(b) si n > 0 :∑

m

gm,nxm =

∑m

(n(1+µxk)+mxk)xmfm,n

qui découle sur une récurrence linéaire d’ordrek inversible ayant des conditions initialeuniquement déterminées pargm,n = nfm,n pourm< k. Ainsi la “ligne” yn∑fm,nxm estuniquement déterminée.✷2.2. Réduction formelle

Nous allons montrer le théorème 1.3. Donnons-nous un champ de vecteursZ singulieren(0,0). Le flotφtZ deZ au tempst ∈ C :

φtZ(x, y)= (etZ · Id)(x, y) (2.1)est une série formelle en(x, y) dont les coeficients sont des fonctions entières det . Lorsquel’on remplacet par une série formelleF(x, y) on obtient un changement de variabformelΨ = φFZ qui est une équivalence entreZ et lui-même. Cette coordonnée formenous permet de jouer sur les multiplesWZ deZ et via l’équation homologique de lesynthétiser. C’est ce qu’exprime la proposition suivante :

Proposition 2.2. SoitZ un champ de vecteurs singulier en(0,0) et donnons-nous unsérie formelleF . L’objetΨ = φFZ est un changement de variables formel qui vérifie:

Ψ ∗Z = 11+Z · F Z.

Démonstration. On montre sans problème queΨ est un changement de variables formdans ce casΨ est clairement une équivalence entreZ et lui -même :Ψ ∗Z =WZ pour unecertaine unitéW . L’équation de conjugaison devient :

Z ◦Ψ =WZ ·Ψ.


e

n

ulelles

tique der

Posonsg(x, y, t)= φtZ(x, y) etπ(x, y)= (x, y,F (x, y)) ; nous calculonsZ ·Ψ =DΨ (Z)avecΨ (x, y)= g ◦ π(x, y) (on remarquera queZ(x, y)= [ Z·x

Z·y]) :

DΨ (Z)=DgDπ(Z)=Dg([Z · xZ · yZ · F

])

= (Z · φtZ) ◦ π + (Z · F)(∂

∂tφtZ

)◦ π.

Mais la propriété fondamentale du flot∂∂tφtZ(x, y)= (Z ·φtZ)(x, y)=Z ◦φtZ(x, y) donne :

Z ·Ψ = (1+Z · F)Z ◦Ψce qui permet de conclure.✷Preuve du théorème 1.3.(1) EcrivonsZ = UXk,µ. La proposition 2.2 nous indique drésoudre l’équation :

PXk,µ · F = PU

− 1où P(x) est un polynôme de degré au plusk etZP = PXk,µ. D’après la proposition 2.1ceci détermine uniquementP etF au choix deF(0,0) près grace à la factorisation :

U(x,y)= P(x)(1+ xk+1A(x)+ yB(x, y)).Aussi est il possible de conjuguerZP etZ grâce àΨ = φFZP , ce qui démontre l’assertio(1).

(2) Considérons un changement de variables formelΨ conjuguantZP etZQ. Etant bienentendu que les rotationk-périodiquesΛ= (x, y) �→ (αx, y) conjuguent les champsZP etZP◦Λ, nous supposons queΨ est tangent à l’identité enx. Nous nous basons sur un calcde M. Berthier, D. Cerveau et R. Meziani [3] établissant que les équivalences formentre le champXk,µ et lui-même, tangentes à l’identité enx, sont de la formeΨ = φFXk,µpour une certaine série formelleF . Nous avons :

Ψ ∗Xk,µ = QP ◦Ψ Xk,µ =

1

1+Xk,µ · F Xk,µ.

La proposition 2.1 oblige alorsP◦ΨQ

− 1 à ne pas contenir de termes enxj pour j � k.Mais Q(0) �= 0 donc ceci revient à dire queP ◦ Ψ et Q sont tangents à l’ordrek. Undéveloppement en série immédiat assure que la première coordonnée deΨ est tangente àl’identité à l’ordrek enx, de sorte queP =Q. ✷

3. Résolution géométrique

La démonstration du théorème 1.1 nécessite une étude de la topologie asymptola singularité de feuilletage du champZ considéré. Lefeuilletage holomorphe singulieinduit parZ sur un voisinageV de l’origine sera notéFZ . Cette partition deV \ {(0,0)} en


t enationrt

On dite

s

ité.

quela

pposera

erts

courbes holomorphes constitue l’ensemble des courbes intégrales deZ restreintes àV , quel’on appelerafeuillesdu feuilletage. Une feuille qui peut se prolonger analytiquemenl’origine sera appeléeséparatrice, bien que le terme ne prenne tout son sens de “séparde l’espace” que dans le cas analytique réel. Rappelons ce que nous entendons pachemintangentde point basep0 = (x0, y0) : c’est la donnée d’un intervalleI ⊂ R contenant 0 ed’une application dérivableγ : I →U , vérifiant pour toutt ∈ I :

d

dtγ (t)= c(t)Z ◦ γ (t)

c(t) �= 0 etγ (0)= p0. Ce sera un chemin (tangent) asymptotique lorsqueI n’est pas bornéet que :

limt→±∞γ (t)= (0,0).

Un chemin asymptotique est un cycle asymptotique lorsqu’il est défini surR : il s’obtientcomme la concaténation de deux chemins asymptotiques partant du même point.alors que deux chemins tangents asymptotiquesγ0 et γ1 qui sont dans la même feuillsonthomotopes(le long du feuilletage) s’il existe une famille continue(γs)s de cheminsasymptotiques dans cette même feuille joignantγ0 et γ1.

D’après H. Dulac [12], le champZ est analytiquement équivalent au champX suivant :

X =Xk,µ + xk+1R(x, y) ∂∂y

= xk+1 ∂∂x

+ (y(1+µxk)+ xk+1R) ∂∂y

(3.1)

oùR est une fonction holomorphe sur un certain voisinageV de l’origine. Ecrit dans cecoordonnées analytiques, le champZ est mis sous uneforme pré-normale analytiquequiest loin d’être unique ; cette écriture fait apparaître une courbe invariante (ouséparatrice)“verticale” S = V ∩ {x = 0}. C’est la réunion disjointe d’une feuille et de la singularDe plus, le feuilletage est partout transverse à la fibration verticalex = cte sur lecomplémentaireV \ S. Enfin rappelons qu’il n’existe pas d’autre courbe analytiinvariante passant en(0,0) (toute autre feuille adhère àS) excepté dans de rares cas oùdirection propre associée à la valeur propre 0 possède une courbe invariante. On sudans la suiteque le champZ =UX est écrit dans ces coordonnées.

3.1. Topologie asymptotique sectorielle

Fixons πk> β > 0 et r > 0 suffisamment petit pour queR soit holomorphe sur le

recouvrement sectoriel fibré(V ncj ,Vcnj )j∈Z/k deV \ S = rD∗ × rD par :

V ncj ={x:

∣∣∣∣arg(x)− (4j + 1) π2k∣∣∣∣< π2k + β et |x|< r

}× rD,

V cnj ={x:

∣∣∣∣arg(x)− (4j − 1) π2k∣∣∣∣< π2k + β et |x|< r

}× rD.

Dans la suite, nous écrironsV #j pour désigner indifféremment un des deux ouvdéfinis ci-dessus et il faudra comprendre “n” comme “nœud” et “c” comme “col” ; ces


tione danspartie

à deux

quermale

ent

Fig. 2. Structure sectorielle d’un nœud-col pourk = 2 (les secteurs angulaires sont vus en projecsur {y = 0} alors que les parties col et nœud à gauche essayent de donner l’allure du feuilletagR3 = {Re(x), Im(x),Re(y)}). Lorsque l’on tourne dans le sens direct, un secteur “nc” possède d’abord unenœud puis une partie col ; c’est l’inverse dans une partie “cn”.

désignations sont justifiées par la remarque 3.3 et la figure 2. Les intersections deuxde ces secteurs seront notées :

V nj = V cnj ∩ V ncj .et :

V cj = V ncj ∩ V cnj+1.Nous pouvons maintenant énoncer le théorème clef sur lequel repose notre étude :

Théorème 3.1(M. Hukuhara, T. Kimura, T. Matuda [10]. Classification orbitale analytisectorielle).Soit Z un champ de vecteurs de type nœud-col sous forme pré-noanalytique. Pour toutβ > 0 et r > 0 suffisamment petits, les champsZ et Xk,µ sontanalytiquement équivalents sur chaqueV #j . Cette équivalence se prolonge continum

surS ⊂ V̄ #j en un difféomorphisme tangent à l’identité.

Remarque.(1) Cette équivalence est fibrée, i.e., de la formeΨ #j (x, y)= (x, f #j (x, y)).(2) Il est possible de trouver une équivalence sectorielleψ#j entreXk,µ etXk,0, mais le

changement de variables n’est plus prolongeable le long deS si µ �= 0 :

ψ#j (x, y)=[x

yx−µ].


t,

eux de

r

pologie

-

ent

ns

ant

ment

asses

ire

losion

Ce théorème nous dit que la structure analytique deFZ surV s’obtient par recollemendans les intersectionsV nj et V

cj , des feuilletages modèles (induits parXk,µ) sur chaque

secteurV #j . Nous supposeronsβ et r ainsi fixés dans toute la suite.La fonction (ou plutôt chacune de ses déterminations locales) :

H(x,y)= yx−µe1/(kxk) (3.2)est une intégrale première du modèleXk,µ (i.e.,Xk,µ ·H = 0), c’est-à-dire que sur chaqusecteurV #j les feuilles deFXk,µ coïncident avec les composantes connexes des niveaH . On obtient évidemment des intégrales premièresH ◦ Ψ #j pour le feuilletage induit paZ sur chaque secteurV #j .

Le théorème précédent nous permet de déduire la description complète de la toasymptotique deFZ .

Proposition 3.2.SoitFZ le feuilletage induit surV par un champ de vecteursZ de typenœud-col sous forme pré-normale analytique.(1) Dans tout secteurV #j et pour tout pointp = (x, y) ∈ V #j il existe un chemin asymp

totiqueγ #j (p) :R− → V #j reliant p à la singularité. Plus précisément son comportemasymptotique est donné par:

γ #j (p)(t)∼−∞

e2iπJk

|kt |1/k

yet−2iπµJk

|x|µ|kt |µ/k

oùJ = j si # = nc etJ = j + 1 sinon; c’est-à-dire que l’on tend vers la singularité dala partie nœudV nj ouV

nj+1 selon que# = nc ou# = cn.

(2) Tout cycle asymptotiqueγ dont le support est entièrement contenu dansV #j est

homotopiquement trivial le long du feuilletage. En ce sens, il n’y a, en restriction àV #j ,qu’une seule classe d’homotopie de chemins asymptotiques à extrémités fixes relip àla singularité; elle est donnée par(1).(3) Pour tout pointp ∈ V nj la concaténation des chemins asymptotiquesγ cnj (p) et

−γ ncj (p) donnés par(1) donne naissance à un cycle asymptotique homotopiquetrivial.

Pour tout point p ∈ V cj la concaténation des chemins asymptotiquesγ ncj (p) et−γ cnj+1(p) donnés par(1) donne naissance à un cycle asymptotiqueγj (p)⊂ V ncj ∪ V cnj+1non homotopiquement trivial le long du feuilletage. C’est un générateur des cld’homotopie le long deFZ des cycles asymptotiques contenus dansV ncj ∪ V cnj+1.

Remarque 3.3.Nous prouvons en fait que lorsquep est dans une partie nœud, c’est-à-dp ∈ V nj , et que l’on tend radialement vers 0 enx le long d’une feuille, l’ordonnéey tendaussi vers 0 et de manière exponentielle. Sip est dans une partie colV cj , la même opérationdonne une ordonnée qui explose exponentiellement (voir la figure 1). C’est cette expqui rend non trivial le cycle asymptotiqueγj (p) comme l’illustre la figure 3.


uver

a

ure

Fig. 3. Graphe de(Re(x), Im(x)) �→ |y(x)| d’une feuille du feuilletage induit parX1,0 = x2 ∂∂x + y ∂∂y ;c’est-à-direy(x)=Ce−1/x pourC ∈ C. On voit apparaître le cycle asymptotique en pointillés.

Démonstration. (1) D’après le théorème 3.1 rappelé ci-dessus, il nous suffit de proce résultat pour le modèleXk,µ. Fixonsp = (x, y) un point deV #j et désignons parLp lafeuille passant parp du champXk,µ restreint àV #j . Elle admet la paramétrisation :

Ω0 →Lp, (3.3)

t �→ φ(t)=[ x(1−ktxk)1/k

yet

(1−ktxk)µ/k

](3.4)

induite par le flot défini en 2.1. L’ouvertΩ0 ⊂ C qui paramétrise la feuille est lcomposante connexe deΩ = {t ∈ C: φ(t) ∈ V #j } contenant 0.

Ω ={∣∣∣∣arg(x(t))− (4j ± 1) π2k

∣∣∣∣< π2k + β}

∩ {∣∣x(t)∣∣< r}∩ {∣∣y(t)∣∣< r}.On peut se convaincre queΩ est tangent en l’infini à un secteur angulaire d’ouvertπ2k+β de bissectrice1kxk +R± (le signe dépend de celui de−Re(xk)), puisque la “variable”t est la translatée de la coordonnée de Léau :

t = 1k

(1

xk− 1x(t)k

).

Enfin,Ω0 est contenu dans la coupureA = C \ ( 1kxk − R±) et par suiteφ est holomorphesurΩ0.


r

e

la

m

e dire.

min

ler

mpsnnées

ces de

Dans un premier temps, supposons quexk > 0 (en particulierp ∈ V nJ pour J = j si# = nc etJ = j+1 sinon). Des estimations évidentes montrent alors queR− ⊂Ω et que lecheminγ défini parγ (t)= φ(t) surR− vérifie lim−∞ γ (t)= (0,0), de sorte que(γ,R−)est un chemin asymptotique de basep. Si maintenantp ∈ V #j , il est possible de trouveun chemin tangent compactγ1 amenant ce point surp1 = (x1, y1) avecxk1 = |x|k ∈ R∗+ etp1 ∈ V nJ . Il suffit de considérer dans l’expression (3.3) une paramétrisationu= t ∈ [0, a]où ka = x−k − |x|−k. La concaténationγ #j (p) = γ1 ∧ γ donne le chemin asymptotiquainsi que l’estimation cherchés.

Pour finir de montrer (1), il nous faut établir queΩ0 est simplement connexe danssphère de Riemann. Considérons un cycle (éventuellement) asymptotiqueΓ ⊂Ω0 ∪ {∞},qui délimite un domaineD tel queD ⊂ A ; d’après le principe du module maximuD ⊂Ω0 et doncΓ est trivial.

(2) La première partie de l’assertion découle immédiatement de ce que l’on vient dLa remarque 3.3, que l’expression (3.3) valide, où l’on prendu= t ∈ 1

xkR− nous permet de

conclure quant à la non-trivialité du cycle asymptotiqueγj (p)= γ ncj (p) ∧ −γ cnj+1(p). Eneffet, si ce cycle était trivial, l’homotopie trivialisante donnerait l’existence d’un cheradial, inclus dansV cj et tendant vers la singularité, dont le relevé dans la feuilleLpcontredirait “l’explosion” signalée. ✷3.2. Résolution de l’équation homologique

Nous supposons toujours que le champZ = UX est mis sous forme pré-normaanalytique (3.1). La séparatriceS = {x = 0} ∩ V est une feuille deZ ; dans un premietemps on résout l’équation homologique en restriction àS :

F0(s)= F(0,0)+∫

[0,s]G(0, y)

dy

yU(0, y)

pour touts ∈ S. Cette application est holomorphe si et seulement siG(0,0)= 0 puisqueU(0,0) �= 0. Par ailleurs nous avons :

dy

yU(0, y)

(Z(0, y)

)= 1.L’idée pour résoudre l’équation homologique surV \ S est d’intégrer une formedifférentielleGτZ vérifiantτZ(Z)= 1. Prenons par exemple :

τZ = dxxk+1U(x,y)

.

Remarque 3.4.La proposition 2.1 de résolution formelle reste valable pour les chaZ sous forme pré-normale analytique. En effet il existe un changement de coordoformel fibréΨ (x, y)= (x, y + ψ(x, y)) conjuguant formellementZ à un certainÛXk,µ.L’obstruction à la résolution formelle, qui se lisait dans le développement en puissanx du second membre, est alors la même.


gere la

rmale

ation

e

e

e :

gique.port à

ueans

t

Nous allons maintenant intégrerGτZ le long des chemins asymptotiques du feuilletaFZ , lorsqu’il existe une solution formelle de l’équation homologique, comme l’assuproposition suivante :

Proposition 3.5.SoientZ un champ de vecteurs de type nœud-col sous forme pré-noanalytique, muni da la forme tempsτZ = dxUxk+1 , etG une fonction holomorphe surV .Pourp ∈ V #j on considère le chemin asymptotiqueγ #j (p) donné par la proposition3.2. Laquantité:

F #j (p)=∫

γ #j (p)

GτZ (3.5)

est(absolument) convergente si et seulement si il existe une solution formelle de l’équZ · F =G.

Démonstration. L’équationZ · F =G est équivalente àX · F = GU

=W . Cette dernièreadmet une solution formelle si et seulement siW n’a pas de termes enxm pourm � k :c’est la remarque 3.4. D’autre part, sauf siG est nul, il existe(m,n) ∈ N × N tel que laformeW dx

xk+1 soit équivalente – quand on tend vers la singularité le long deγ = γ #j (M) –à τm,n = cxmyn dxxk+1 . Déterminons ces entiers en écrivant :

W(x,y)=∑ybhb(x) �= 0.

On posen= sup{b ∈ N: hb = 0} etm= inf{a ∈ N: h(a)n (0) �= 0}. L’équivalence annoncédécoule alors des estimations de la proposition 3.2 entraînant quey(t) est négligeabledevantx(t) et x(t)a devantx(t)m si a > m. La valeur dec ∈ C est celle du coefficient dxmyn dansW .

Avec ces conventions, et puisquedx(t)xk+1(t) = dt , l’intégrale (3.5) est de même nature qu

−∞∫0

|t|−(m+nµ)/kent dt

qui converge si et seulement sin > 0 oum> k. C’est-à-dire si et seulement siW n’a pasde termes enxm pourm� k. ✷

Supposons maintenant que l’on peut résoudre formellement l’équation homoloNous allons montrer que l’intégrale introduite ci-dessus est holomorphe par rapp ∈ V #j .

Proposition 3.6. Reprenons les hypothèses de la proposition3.5.(1) La valeur de l’intégrale définissantF #j (p) ne dépend pas du chemin asymptotiq

γ – reliantp à (0,0) – sur lequel on intègre, tant que l’image de celui-ci est incluse dV #j .

(2) La fonctionF #j est holomorphe surV#j et limx→0F #j (x, y)= F0(y) uniformémen

eny.


oit

ren-é dans

classeique

e

pport à

; il est

nt

tionlution

able de

(3) De plusZ ·F #j =G et la fonctionF #j est l’unique solution de cette équation qui sholomorphe surV #j , bornée quandx tend vers0, à addition d’une constante près.

Démonstration. (1) Les estimations de la proposition 3.2 indique que la forme diffétielleGτZ intégrée est exponentiellement décroissante au voisinage de la singularitles parties nœuds. Il est alors aisé de montrer que l’intégrale ne dépend que de lad’homotopie deγ dans la feuille contenant ce chemin. Mais la proposition 3.2 nous indjustement qu’il n’y a qu’une seule de ces classes surV #j .

(2) Fixons(0, y0) ∈ S \ {(0,0)} et considérons la transversaleΣ = {(x, y0) ∈ V } quiest partout transverse au feuilletage induit parZ (quitte à diminuerr). Le (1) nous assurde la bonne définition deF #j (p) et par suite son holomorphie quandp décrit une feuille

du feuilletage restreint au secteurV #j . Pour prouver queF#j est holomorphe surV

#j il ne

reste qu’à montrer qu’elle est holomorphe dans la direction transverse (i.e., par rap ∈Σ).

Considérons le difféomorphisme d’holonomie∆ calculé surΣ associé àZ (on pourrase réferrer à [12] pour une définition précise de cette application de premier retour)de la forme :

∆(x)= x +∆k+1xk+1 + · · ·avec∆k+1 �= 0. En définissant la fonctiong holomorphe surD parg(x)=

∫γ (x)GτZ , pour

un chemin tangentγ deV #j d’extrémitésx et∆(x), la fonctionf :x �→ F #j (x, y0) vérifiel’équation aux différences :

f − f ◦∆= g. (3.6)Pour tousN ∈ N et x ∈ D tels que ces sommes aient un sens :

f (x)− f ◦∆◦N(x)=N−1∑n=0g ◦∆◦n(x),

f ◦∆◦−N(x)− f (x)=N−1∑n=0g ◦∆◦−n(x).

Si l’on suppose par exemple que #= nc l’itération positive de∆ converge vers 0 en restadansV ncj (si #= cn il faut considérer l’itération négative), c’est-à-dire lim+∞∆◦n(x)= 0.Par suite :

f (x)− f (0)=+∞∑n=1g ◦∆◦n.

Il est bien connu (voir [4,8,9]) que cette somme est holomorphe sur le secteurvj ={x ∈ D: (x, y0) ∈ V ncj } si et seulement si il existe une solution formelle de l’équaaux différences (3.6) – et donc de l’équation homologique. La resommée de la soformelle donne ces solutions sectorielles. Si l’on regarde cette équation dans la variLéauω = −1 k + · · · , qui transforme∆ enω �→ ω+ 1 etvj en un secteur de sommet∞

2iπkx


n

étré

tion

s

).

centré surR+ et d’ouvertureπ2 + kβ . Nous disposons alors de la relation (en notantf̂ et ĝles fonctionsf etg vues dans la coordonnéeω) :

f̂ (ω)− f̂ (∞)=+∞∑n=1ĝ(ω+ n)=

∑n�1

∑p>k

ĝp

(ω+ n)p/k

puisqueĝ peut s’écrireĝ(ω)=∑p>k ĝpω−p/k. On en déduit la majoration :∣∣f (x)− f (0)∣∣� ζ(1+ 1

k

)2πM(x)

dès que Re( 12iπkxk

)∼ Re(ω) >−1, oùM(x)= supy∈D |G(x,y)| et ζ est la fonctionzetade Riemann. Cette propriété établit le caractère borné deF #j ainsi que limx→0F(x, y0)=F0(y0)= f (0) uniformément eny0.

(3) Montrons que la restriction deF #j aux feuilles deFZ est solution de l’équatiohomologique. Si l’on notet la coordonnée paramétrisant une feuillevia le flot φtZ , ladérivationZ agit comme ∂

∂ten restriction à cette feuille. Plus précisément siF est

une fonction holomorphe etγ un chemin tangent contenu dans la feuille, paramnaturellement part (i.e., dγ

dt=Z ◦ γ ) :

d

dtF ◦ γ = dF

(dγ

dt

)= dF(Z ◦ γ )= (Z · F) ◦ γ.

Ainsi l’équationZ · F = G se résout surγ en [F ◦ γ ]t1t0 =∫ t1t0G ◦ γ (t) dt . Finalement,

la relationτZ(Z)= 1 entraîneγ ∗τZ = dt de sorte que siγ (p) relie les points(0,0) et pon a :

Z ·∫γ (p)

GτZ =G.

Montrons maintenant la clause d’unicité : considérons deux solutionsF1 et F2holomorphes surV #j ; nous avonsXk,µ · (F1 − F2) = 0. La fonctionh = F1 − F2 estdonc constante sur les feuilles deFXk,µ et se factorise par conséquent en une foncholomorpheh= ϕ(H) où la coordonnée sectorielle transverseH est l’intégrale premièredéfinie par (3.2). CependantH(V #j )= C – la partie nœudV nJ intersecte toutes les feuilledeFZ surV #j – doncϕ est une fonction entière. Si l’on suppose queF1 − F2 est bornée ils’ensuit queϕ est constante. ✷Preuve du théorème 1.1.Examinons les cocycles :

Fnj = F ncj − F cnj ∈ O(V nj),

F cj = F cnj+1 − F ncj ∈O(V cj)

où par constructionFnj = 0 (il n’y a pas de cycles non triviaux dans les parties nœudsD’une part, s’il est possible de trouver un germe de fonctionF solution de l’équation

Z · F =G, il en existe un tel queF(0,0)= 0. Dans ce cas les restrictions deF à chaque


ese

cycles

orielles,de

t. Nousions enons

letages

lar

lle

s

s

es

V #j sont égales àF#j d’après la clause d’unicité de la proposition 3.6 et de plusF

cj = 0.

Réciproquement siFcj = 0 alors on peut construire par recollements une solutionF del’équation homologique qui soit holomorphe surV \ S et bornée. Par le théorème dsingularités apparentes de Riemann, on peut prolongerF en une fonction holomorphsurV , solution de l’équation homologique. MaisFcj (p)=

∫γj (p)

GτZ oùγj (p) est le cycleasymptotique donné par la proposition 3.2. En conclusion il existeF ∈ C {2} solution del’équation homologique si et seulement si les périodes du second membre le long desasymptotiques du feuilletageFZ sont nulles. ✷

4. Calcul des obstructions

Reprenons les notations de la section 3. Nous connaissons des solutions sectqui en restriction aux transversalesΣ = D × {y0} s’écrivent comme les resomméesBorel–Laplace de la solution formelleF deZ · F = G avecF(0,0) = 0. Nous auronsune solutionF convergente si et seulement si les périodes deG sont nulles, mais ce poinde vue géométrique impose une infinité non dénombrable de conditions à réaliserallons dans un premier temps nous ramener à une infinité dénombrable de conditexprimant ces obstructions dans la nullité dek séries entières convergentes. Nous pourrexpliciter les coefficients de ces séries pour les formes normales formelles de feuilXk,µ.

4.1. Représentation des périodes commes séries

Les cocyclesFcj = F ncj+1 − F cnj vérifient Z · Fcj = 0 surV cJ où J = j si # = nc etJ = j + 1 sinon. Géométriquement, pour une feuille sectorielleLp contenant le pointp,la classe d’homotopie du cycle asmptotiqueγj (p) est uniquement déterminée. Ainsivaleur deFcj (p)=

∫γj (p)

GτZ ne dépend que deLp , c’est-à-dire queFcj est constante sules feuilles, ce qui redonne la relationZ ·Fcj = 0. Le théorème de normalisation sectorie3.1 permet de construire les intégrales premières(H #j )j∈Z/k#∈{nc,cn} via les équivalenceΨ #j :V

#j → V #j entreZ etXk,µ, ce dernier possédantH = yx−µex

−k/k comme intégralepremière :

Hj(x, y)=H ◦Ψ #j .La feuille Lp est paramétrée parH #j (x, y) = H #j (p) de sorte qu’il existe deux fonctionholomorphesf ncj etf

cnj telles que :

Fcj (x, y)= f #j ◦H #j (x, y).Dans les parties cols, l’espace des feuillesH #j (V

#j ) =Ω#j est un voisinage de 0∈ C : f #j

est un germe de fonction holomorphe en 0. Nous venons de montrer :

Lemme 4.1.Les périodes deG s’écrivent sous forme dek séries entières convergentf #j (h)=

∑anh

n dont le choix des coefficientsan dépend de la déterminationH ncj ouHcnj


ue si

nt

.ossède

ges de

considérée. En particulier il existe une solution holomorphe de l’équation homologiq

et seulement si(f#jj )j∈Z/k = (0) pour un choix de(#j )⊂ {cn,nc}.

Nous définissons l’application linéairepériode depuis l’espace vectorielCk desgermes en(0,0) de fonctions holomorphesG tels queG(0, x) = αxk+1 + · · ·, à valeurdans l’espace vectoriel produitC0 {h}k des k-uples de germes en 0∈ C de fonctionsholomorphes s’annulant en 0 :

TZ :Ck → C0 {h} ,G �→ (f ncj )j∈Z/k =

(h �→

∫γj (p)

GτZ

)j∈Z/k

où pour touth on choisit p tel que H ncj (p) = h (le choix de nc est uniquemeconventionnel). Le théorème 1.1 s’écrit plus concisement :

Z · C {x, y} = kerTZoù C {x, y} représente l’espace vectoriel des germes en(0,0) de fonctions holmorphesLa question de la surjectivité de l’opérateur période est une question ouverte qui pvraisemblablement une réponse positive.

4.2. Cas du modèle formel

Nous allons expliciter les scalairescjm,n vérifiant :∫γj (p)

xmynτXk,µ = cjm,nH(p)n

exprimant les obstructions à la résolution deX0 · F = xmyn.

Lemme 4.2. On a TXk,µ(xmyn) = h �→ (cjm,nhn)j∈Z/k où, en posantξ = m+nµk , cesscalaires valent:

si n �= 0 :

cjm,n = 2iπeiπ(2j+1)ξ

(nk

)ξnΓ (ξ)

;

si n= 0 :cj

m,0 ={∞ m� k,

0 m> k.

La nullité d’un coefficientcm,n, quandn > 0, est équivalente àξ ∈ −N. En particulierµ ∈ Q−.

Démonstration. Ces calculs sont similaires à ceux effectués dans les dernières pa[8]. Il s’agit d’évaluer la quantité :


st

omme

Fcj (p)=∫γj (p)

xmyndx

xk+1.

Mais si l’on paramétrise la feuille contenantp pary(x)= hxµe−x−k/k avech=H(p) ontrouve :

Fcj (p)= hn∫γj (p)

xkξe−nµx−k/k dxxk+1

.

En effectuant le changement de coordonnées sectorielz= −nk(δ−j x)−k oùδ = exp(2iπ j

k),

cette intégrale devient :

Fcj (p)=[δj (−n/k)1/k]kξ

nhn∫γ

z−ξez dz

où le cheminγ est un cycle asmptotique de{Re(z) < 1} \R− ⊂ C tendant vers−∞. Nousavons alors affaire à une intégrale de Henkel

∫γ z

−ξez dz= 2iπΓ (ξ)

∈ C. ✷Remarque. On déduit de ce lemme que l’opérateurXk,µ· est surjectif. Une section eengendrée, siµ /∈ Q−, par :(

α0hn, . . . , αk−1hn

)(n,(αj ))∈N∗×Ck �→

(ynP (x)

)(n,P )∈N∗×Ck−1[x].

Siµ= − ab

alors il faut considérerynxma+1P(x) à la place deynP (x) pour toutn=mb ∈N∗.

Corollaire 4.3. SoitG = ∑gm,nxmyn un germe de fonction holomorphe. Il existeF ∈C {x, y} solution deXk,µ · F =G si et seulement si∑m cm,ngm,n = 0 pour toutn > 0 etgm,0 = 0 pour toutm� k.

4.3. Cas des champs de la classe Liouville

Un champ (nœud-col) dont l’intégrale première est dans la classe de Liouville, cle montrent M. Berthier et F. Touzet [5], est analytiquement équivalent àXR,s = Xk,µ +ys+1R(x) ∂

∂ypour s ∈ {−1} ∪ N ; si s = 0 la perturbationR est divisible parxk+1.

Cherchons à évaluer l’intégrale première sectorielleH #j du champXR,s . Si s �= 0 on laconstruit de la forme :

H #j =H(1+ sF )−1/s (4.1)avecF(x, y)= ysg#j (x). On calcule :

XR,s ·H #j = (1+ sF )−(1+1/s)

×[−H(Xk,µ · F)+ ys+1R(x)

((1+ sF ) ∂

∂yH −H ∂

∂yF

)].


e

L’équationXR,s ·H #j = 0 entraine, puisquey ∂∂yH =H et sF = y ∂∂y F :Xk,µ · F = ysR(x).

On peut vérifier que cette relation est encore valable quands = 0 etH #j =HeF .

Lemme 4.4.SoitX = XR,s . La période deG = xmyn le long d’un cycle asymptotiqupassant par(x0, y0)= p ∈ V cj est égale à:

TX(xnym

)(h)=

( ∫Γj (x0)

(h−sx−sµesx−k/k − sgncj (x)

)−n/sxm

dx

xk+1

)j

où l’on a poséh = H ncj (p) et le cycleΓj(x0) ⊂ D est paramétré parΓj (x0)(t) =(x−k0 − kt)1/k pour toutt ∈ R. La fonctiongncj :

gncj (x)=1

ys

∫γ ncj (x,y)

vsR(u)du

uk+1

est une solution sectorielle de l’équationXk,µ · ysg(x)= ysR(x).

Démonstration. La formule (4.1) s’écrit :

sysgncj (x)=(H(x,y)

H ncj (x, y)

)s− 1

et on poseh=H ncj (p). Dès lors :

y = (h−sx−sµesx−k/k − sgncj (x))−1/spermet de paramétrer sectoriellement les feuilles du feuilletage induit parX. La période dexmyn le long du cycle asymptotiqueγj (p) relatif àX s’écrit :∫

γj (p)

xmynτX =∫

γj (p)

(h−sx−sµesx−k/k − sgncj (x)

)−n/sxm

dx

xk+1.

L’intégrale ne dépend plus dey, on intègre surx ∈ Γj (x0) paramétré parΓj (x0)(t) =x0(1− ktxk0)−1/k vérifiantΓj (x0)∗ dxxk+1 = dt . ✷

Par exemple pour le champ d’EulerX= x2 ∂∂x

+ (y + x) ∂∂y

on obtient :

TX(xmyn

)(h)=

( ∫Γj (x0)

(he−1/x +

x∫0

e1/udu

u

)nxm

dx

xk+1

)j

.


dans

80.

orphes,

nal. 15

ension

atics,

ts in

ence,

rphic

champ

ferential

premier

Fig. 4. Le chemin d’intégrationΓ0(x0) dans le cask = 2 ; le secteur est d’ouvertureπ/k.

Remerciements

Je tiens à remercier Franck Loray pour son soutien et son aide précieuxl’élaboration de cet article et dans la conduite de ma thèse.

Références

[1] V.-I. Arnold, Chapitres supplémentaires sur les équations différentielles ordinaires, Mir, Moscow, 19[2] M. Berthier, D. Cerveau, Quelques calculs de cohomologie relative, Ann. Sci. ENS, 4eme Sér. 26 (1993)

403.[3] M. Berthier, D. Cerveau, R. Meziani, Transformations isotropes des germes de feuilletages holom

J. Math. Pures Appl. 78 (7) (1999) 701.[4] M. Berthier, F. Loray, Cohomologie relative des formes résonnantes non dégénérées, Asymptotic A

(1997) 41.[5] M. Berthier, F. Touzet, Sur l’intégration des équations différentielles holomorphes réduites en dim

deux, Boletim Soc. Brazil Math. 30 (3) (1999) 247.[6] A.D. Bruno, Local methods in nonlinear differential equations, in: Springer Series in Soviet Mathem

Springer-Verlag, 1989, p. 195.[7] C. Christopher, P. Mardešić, C. Rousseau, Normalizable, integrable and linearizable saddle poin

complex quadratic systems inC2, Preprint UniversitT de Bourgogne, #227, 2000.[8] P.-M. Elizarov, Tangents to moduli maps, in: Adv. Sov. Math., vol. 14, Amer. Math. Society, Provid

RI, 1993, p. 107.[9] A.A. Grintchy, S.M. Voronin, An analytic classification of saddle resonant singular points of holomo

vector fields in the complex plane, J. Dynam. Control Syst. 2 (1) (1996) 21.[10] M. Hukuhara, T. Kimura, T. Matuda, Equations différentielles ordinaires du premier ordre dans le

complexe, Pub. Math. Soc. Japan 7 (1961).[11] F. Loray, Réduction formelle des singularités cuspidales de champs de vecteurs analytiques, J. Dif

Equations 158 (1999) 152.[12] J. Martinet, J.-P. Ramis, Problémes de modules pour des équations différentielles non linéaires du

ordre, Pub. IHES 55 (1982) 63.

Équation homologique et cycles asymptotiques d’une ... · (3)Sous ces conditions, la solution...

Documents

Transcript of Équation homologique et cycles asymptotiques d’une ... · (3)Sous ces conditions, la solution...