PURETÉ DES NOMBRES

Pureté des nombres

Essai

Thibault Poulizac

Editions Persée

© Editions Persée, 2015

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L’HARMONIE

Les pythagoriciens (- 6) déterminent la proportion musicale comme suit :

où p et q sont deux entiersp + q / 2 la moyenne arithmétique 2 pq / p + q la

moyenne harmonique.À l’écoute d’une corde vibrante, ils déterminent

l’échelle diatonique pure dont les fréquences relatives sont dans les rapports : 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48.

Johannes Kepler (16-17) cherche un rapport, non dans les distances du système solaire comme l’on cherchait alors, mais dans les paramètres des orbites. Il définit ainsi 3 intervalles :

– L’intervalle basique : vitesse au périhélie / vitesse à l’aphélie. - L’intervalle convergent : vitesse minimale

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de la planète interne / vitesse maximale de la planétaire externe. - L’intervalle divergent : vitesse maximale de la planète interne / vitesse minimale de la planète externe.

Il trouve encore la loi harmonique :

Le cube du demi-grand axe de l’orbite elliptique varie comme le carré de la période orbitale. Le rapport 3/2 cor-respond à l’intervalle de quinte pure.

L’harmonie peut également être sphérique.Généralement, il existe quatre types de coordonnées :– Les coordonnées cartésiennes où le point est déter-

miné par deux grandeurs : x et y. Celui-ci apparaît alors de dimension 0, notion insécable pour la position.

– Les coordonnées polaires où le point différent de 0 est déterminé par deux grandeurs ; la phase � ou la dire��� ou la dire�� ou la direc-tion, mesurée en degrés par rapport à l’axe des abscisses et le module r ou la distance à l’origine.

– Les coordonnées complexes où le nombre complexe z = x + iy et son conjugué z = x – iy sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses qui représente l’axe des réels.

_¯

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– Les coordonnées sphériques sont reliées aux coor-données cartésiennes par les relations suivantes :

où ϕ mesure la longitude,où π / 2 - θ mesure la latitude.

Je peux considérer qu’une étoile est une sphère vi-brante, car les éléments vibrent à sa surface, nous le voyons grâce à la spectrographie. Pour une telle sphère, il y a trois types d’harmonies : les harmoniques radiales, le long du rayon, les harmoniques tangentielles et les har-moniques sphériques. Je dispose alors de 3 nombres qui caractérisent ses modes propres : n qui mesure le nombre de nœuds dans la direction radiale, m et l qui définissent le nombre de nœuds dans une dire�tion définie, m est un sous-ensemble de l qui mesure le nombre de �er�les fixes qui passent par les pôles.

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En �oordonnées sphériques, je dispose enfin des va-leurs propres Ф, dans l’intervalle -l ≤ m ≤ l selon /

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DUALITÉ HARMONIQUE

Christian Huygens (17) suspend chaque horloge à chaque planche, puis pose les planches sur les dossiers de deux chaises se faisant dos à quelque distance. À pre-mière vue, les deux horloges sont en parfaite synchronie. En décalant volontairement le balancement de l’un des deux pendules, il s’aperçoit que les chaises se mettent à se mouvoir sous la force oscillatoire des pendules désyn-chronisés, le mouvement ne cessant que lorsque les deux pendules se retrouvent en phase.

Généralement, l’oscillation d’un pendule de faible amplitude décrit une sinusoïde comme fonction du temps. La fréquence des oscillations peut être réduite en un mouvement harmonique simple de fréquence ω / 2π.

Cette réduction permet une distinction entre l’équi-libre stable, attribut de la faible amplitude, et l’équilibre instable manifestation empirique des écarts à l’équilibre stable. Il y a dualité harmonique.

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Or, la gravitation d’un astre n’a pas de limite. Elle s’affaiblit progressivement comme l’inverse du carré de la distance, divisée par quatre, chaque fois qu’on double l’éloignement. De l’interaction à longue distance devrait donc résulter de l’amorphe, car les champs gravitation-nels ne font que se superposer. Pourtant, un ordonnance-ment se détache dans la forme du disque et de la spirale.

En outre, d’une part, l’indistinction des poids du pen-dule os�illant induit un angle droit, d’autre part, la figure du disque et de la spirale sont modélisables en coordon-nées polaires. Pour le disque, j’ai r = cosθ, pour la spirale j’ai r = aebθ. r désigne la distance à l’origine, l’angle entre une ligne tangente à la courbe et la ligne radiale tracée en (r,θ) est constant.

La dualité harmonique est comprise par la géométrie, elle-même dominée par la gravitation universelle.

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L’ONDE

Onde : propagation d’une grandeur physique. Au cours de cette propagation, il y a transport d’énergie sans transport de matière.

Oscillation : vibration périodique d’un système (oscillateur) ayant un point d’équilibre stable.

Phase : grandeur qui décrit l’état de vibration de l’onde, tous les points d’un front d’onde vibrent en phase.

Cohérence : un système ondulatoire se situe entre deux cas extrêmes :

– Celui où toutes les phases des vibrations sont distri-buées de manière aléatoire, le phénomène d’ensemble est alors incohérent.

– Celui où il existe une relation déterminée entre les phases des ondes qui se composent, le phénomène est alors cohérent.

Équation d’onde : équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre par rapport au temps de la

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fonction f (r, t) qui définit l’amplitude de l’os�illation en r à l’instant t.

où c vitesse de phase.Équations de la lumière : λv = v, vitesse, ω = 2 vπ,

pulsation, T = 1/v, période, v = 1/ T, fréquence, λ = cT, longueur d’onde, distance parcourue par une vibration dans le vide, d’extremum à extremum, σ = 1/λ, nombre d’ondes, E = hv.

L’analyse de Fourrier, du nom de Joseph Fourrier (18-19) permet de formaliser un ordre harmonique. J’écris pour des harmoniques d’ordre n, pour n=2, 3, 4, et�. :

Pour tout x où l est une constante appelée période, f (x+l) une fonction périodique.

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Onde longitudinale : onde pour laquelle le vecteur pro-le vecteur pro-pagation k et l’élongation des oscillations individuelles A sont parallèles : A = │A│k

Onde transverse : onde pour laquelle le vecteur propa-le vecteur propa-gation k et l’élongation des oscillations individuelles A sont perpendiculaires : kA = 0.

Ondes magnétohydrodynamiques : leurs propriétés dépendent de l’orientation de la vitesse de déplacement des particules relativement au vecteur d’onde et à la di-rection du champ magnétique.

Onde de choc : onde non linéaire associée à un phénomène violent.

Soit :

et la source sonore se rapproche à vitesse v.

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et la source sonore s’éloigne à vitesse v.De même :

Où z = ( λ0 – λe ) / λe quand z > 0 la source lumi-neuse s’éloigne, et quand z < 0 la source lumineuse se rapproche.

Enfin :

où a rayon de courbure de l’univers. Quand le rayon de courbure tend vers 0, le Redshift cosmologique tend vers l’infini.

Thomas Young (18-19) perce deux fentes dans la paroi d’une �hambre obs�ure, afin d’examiner sur l’é�ran pla�é derrière elles les régions où les deux faisceaux mono-chromatiques se superposent. La zone examinée contient des bandes sombres alternées de bandes plus brillantes.

Il écrit : « Chaque fois que deux parties d’une même lumière arrivent � l’�il exactement ou presque exacte� arrivent � l’�il exactement ou presque exacte�

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ment dans la même direction, la lumière est la plus in�tense lorsque la différence de route est un multiple d’une certaine longueur et elle est moins intense dans l’état intermédiaire des parties qui interfèrent. Cette longueur est différente pour des lumières de couleurs différentes. » En théorie ondulatoire de la lumière, on parle d’interfé-rences constructrices ou d’interférences destructrices.

En 1927, Clinton Davisson et Lester Germer constatent qu’un fais�eau d’éle�trons �onstituent une figure d’inter-férence, la distance entre les franges d’interférences est égale à :

où p impulsion.Cette expérience manifeste la dualité onde /corpus-

cule. Le corps se voit sur l’écran, l’onde apparaît dans le motif des franges d’interférences.

La polarisation de la lumière est l’orientation de la lumière dans une direction particulière. Elle peut être aux extrêmes, soit rectiligne, la vibration se fait selon un plan, soit circulaire, la vibration se fait selon un cercle. Celle-ci peut alors être vers la droite, polarisation circulaire droite, ou vers la gauche, polarisation circulaire gauche.