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Page 1: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

3

bull Preacutesenter la simplification 3D vers 2D 1D

bull Rappeler des eacuteleacutements manquants dans le modegravele simplifieacute

bull Preacutesenter le triangle de vitesses

bull Deacutecrire le triangle normal et les triangles speacuteciaux

bull Preacutesenter les coefficients de charge de deacutebit et le degreacute dereacuteaction

Dans le machines axiales le fluide entre et sort avec une vitesseprincipalement axiale

Dans ces dispositifs le deacutebit est important mais le gain (oulrsquoinverse) en pression est faible Pour cette raison ont utiliseplusieurs eacutetages pour traiter le gain (ou chute) en pression

Chaque eacutetage comprend un rotor (mobile) et un stator (fixe)

Dans un compresseur le fluide est drsquoabord acceacuteleacutereacute dans lerotor ougrave il y a un eacutechange drsquoeacutenergie avec le fluide

Dans le stator on modifie la forme drsquoeacutenergie lrsquoeacutenergie cineacutetiquereacutesiduelle du fluide est transformeacutee en pression

Dans une turbine le fluide agrave haute eacutenergie est drsquoabord etacceacuteleacutereacute et guideacute dans le stator pour lrsquoajuster aux exigencesgeacuteomeacutetriques est cineacutematiques du rotorPar la suite lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoeacutecoulement est transmise aurotor en mecircme temps qursquoun changement de direction a lieu

Ces procegraves sont reacutepeacuteteacutes pour des eacutetages conseacutecutifs

Agrave cause du mouvement du rotor par rapport au stator deux typesde vitesses relatives et absolues seront preacutesentes

C2x

C2

C2uC2m

C1uC1m

C1x

Machine axiale

Machine radiale

119963119963

120637120637119955119955

Plan 119903119903 minus 120579120579119911119911 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

Carter

119955119955 Moyeu

Plan 119903119903 minus 119911119911

Plan 119903119903 minus 119911119911120579120579 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119955119955

Rayon moyen

Vues drsquoun compresseur axial

Plan 119911119911 minus 120579120579119903119903 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119880119880 = 119903119903120596120596

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 2: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Dans le machines axiales le fluide entre et sort avec une vitesseprincipalement axiale

Dans ces dispositifs le deacutebit est important mais le gain (oulrsquoinverse) en pression est faible Pour cette raison ont utiliseplusieurs eacutetages pour traiter le gain (ou chute) en pression

Chaque eacutetage comprend un rotor (mobile) et un stator (fixe)

Dans un compresseur le fluide est drsquoabord acceacuteleacutereacute dans lerotor ougrave il y a un eacutechange drsquoeacutenergie avec le fluide

Dans le stator on modifie la forme drsquoeacutenergie lrsquoeacutenergie cineacutetiquereacutesiduelle du fluide est transformeacutee en pression

Dans une turbine le fluide agrave haute eacutenergie est drsquoabord etacceacuteleacutereacute et guideacute dans le stator pour lrsquoajuster aux exigencesgeacuteomeacutetriques est cineacutematiques du rotorPar la suite lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoeacutecoulement est transmise aurotor en mecircme temps qursquoun changement de direction a lieu

Ces procegraves sont reacutepeacuteteacutes pour des eacutetages conseacutecutifs

Agrave cause du mouvement du rotor par rapport au stator deux typesde vitesses relatives et absolues seront preacutesentes

C2x

C2

C2uC2m

C1uC1m

C1x

Machine axiale

Machine radiale

119963119963

120637120637119955119955

Plan 119903119903 minus 120579120579119911119911 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

Carter

119955119955 Moyeu

Plan 119903119903 minus 119911119911

Plan 119903119903 minus 119911119911120579120579 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119955119955

Rayon moyen

Vues drsquoun compresseur axial

Plan 119911119911 minus 120579120579119903119903 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119880119880 = 119903119903120596120596

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 3: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Dans une turbine le fluide agrave haute eacutenergie est drsquoabord etacceacuteleacutereacute et guideacute dans le stator pour lrsquoajuster aux exigencesgeacuteomeacutetriques est cineacutematiques du rotorPar la suite lrsquoeacutenergie cineacutetique de lrsquoeacutecoulement est transmise aurotor en mecircme temps qursquoun changement de direction a lieu

Ces procegraves sont reacutepeacuteteacutes pour des eacutetages conseacutecutifs

Agrave cause du mouvement du rotor par rapport au stator deux typesde vitesses relatives et absolues seront preacutesentes

C2x

C2

C2uC2m

C1uC1m

C1x

Machine axiale

Machine radiale

119963119963

120637120637119955119955

Plan 119903119903 minus 120579120579119911119911 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

Carter

119955119955 Moyeu

Plan 119903119903 minus 119911119911

Plan 119903119903 minus 119911119911120579120579 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119955119955

Rayon moyen

Vues drsquoun compresseur axial

Plan 119911119911 minus 120579120579119903119903 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119880119880 = 119903119903120596120596

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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C2x

C2

C2uC2m

C1uC1m

C1x

Machine axiale

Machine radiale

119963119963

120637120637119955119955

Plan 119903119903 minus 120579120579119911119911 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

Carter

119955119955 Moyeu

Plan 119903119903 minus 119911119911

Plan 119903119903 minus 119911119911120579120579 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119955119955

Rayon moyen

Vues drsquoun compresseur axial

Plan 119911119911 minus 120579120579119903119903 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119880119880 = 119903119903120596120596

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 5: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

119963119963

120637120637119955119955

Plan 119903119903 minus 120579120579119911119911 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

Carter

119955119955 Moyeu

Plan 119903119903 minus 119911119911

Plan 119903119903 minus 119911119911120579120579 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119955119955

Rayon moyen

Vues drsquoun compresseur axial

Plan 119911119911 minus 120579120579119903119903 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119880119880 = 119903119903120596120596

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 6: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Plan 119903119903 minus 120579120579119911119911 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

Carter

119955119955 Moyeu

Plan 119903119903 minus 119911119911

Plan 119903119903 minus 119911119911120579120579 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119955119955

Rayon moyen

Vues drsquoun compresseur axial

Plan 119911119911 minus 120579120579119903119903 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119880119880 = 119903119903120596120596

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 7: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Moyeu

Carter

Rm

X

CmCx

C

Ω

119888119888 119907119907119907119907119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119889119889119888119888 119897119897primeeacute119888119888119888119888119888119888119897119897119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 8: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

intrados

extrados surface S1

surface S2 Rayon moyen r

Lrsquoeacutetude est reacutealiseacute sur la surface 1198781198781

119932119932 = 119955119955120654120654

120654120654

θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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θ

x

Zone aubeacutee

surface S1

119932119932 = 119955119955120654120654

Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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Rotor Stator

Rotor-Stator

RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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RotorStator

Dans une turbomachinelrsquoensemble stator-rotor estappeleacute eacutetage

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 12: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

W2

C3

U

W3

U

C1W3

U

C2

1

2

3

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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W2

U

C2

C3W3

U

C1W1

URotor

Stator

C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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C

W

U

Stator Rotor

U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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U2

Stator

C2

U3

W3

Rotor

Stator

Rotor

U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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U2

W2

Rotor

Stator

C2

U3

W3C3

Stator

Rotor

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 17: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Effets 3DEffets visqueuxDistribution de pressionTraicircneacutee PortanceEacutecoulement instationnaireInteacuteraction fuide structureTurbulence

Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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Extrados

Intrados

L

D

Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
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  • Les coefficients
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  • R=0
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  • R=0 vitesse optimale
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  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
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  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
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  • Diapositive numeacutero 141
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  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
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  • Vitesses
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  • Rotor-Stator
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Profil isoleacuteGrille drsquoaubes

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 20: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Pour analyser lrsquoeacutechange drsquoeacutenergie entre le fluide et le rotor drsquouneturbomachine on utilise la variation de la quantiteacute demouvement (changement de direction etou de vitesse)

Lrsquoeacutetude classique unidimensionnelle utilise le concept de trianglede vitesse Ce modegravele est appliqueacute agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie ducanal inter-aube (grille drsquoaubes)

Dans celui-ci on retrouve la vitesse absolue exprimeacutee dans unrepegravere lieacute aux parties fixes (le stator) accompagneacutee de lavitesse relative lieacutee aux partie tournantes ( le rotor)

Approche classique

Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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Lrsquoapplication du triangle de vitesse permet drsquoestimer

bull lrsquoangle drsquoincidence agrave lrsquoentreacutee du rotor

bull lrsquoangle au bord de fuite du rotor

bull la deacuteflection de lrsquoeacutecoulement dans le stator

bull le travail produit ou consommeacute par la roue

Approche classique

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 22: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

C vitesse absolue de lrsquoeacutecoulement

W vitesse relative de lrsquoeacutecoulement

U vitesse peacuteripheacuterique du rotor

Cu Cm Cx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse absolue du fluide

Wu Wm Wx composante tangentielle radiale et axiale de lavitesse relative du fluide

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 23: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α lrsquoangle des vitesses absolues mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

β lrsquoangle des vitesses relatives mesureacutees par rapport agrave la directionaxiale

La forme des pales du rotor deacutepend des angles 120631120631(des vitesses relatives dans le repegravere du rotor)

La forme des pales du stator deacutepend des angles 120630120630(des vitesses absolues dans le repegravere fixe)

Si lrsquoon veut garder la vitesse axiale 119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 lrsquoeacutequation deconservation de la masse 119950 = 120646120646120488120488119940119940119961119961 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940 impose 120646120646120488120488 = 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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Compresseur

Cu

Cm

Cu

Plan normal

Plan meacuteridional

BABF

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 25: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

W2

C2

U

U

W3C3

u

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 26: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Les vecteurs vitesse (vitesse absolue 119940119940 pour le stator etrelative 119960119960 pour le rotor) sont consideacutereacutes tangents agrave laligne de squelette de lrsquoaube

β2

β3W3

W2

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 27: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Pour les machines axiales (u= uent = usort ) le trianglede vitesse donne lieu agrave des eacutequations scalaires tellesque

cu= wu+u

cx= wxcx= = wx c

U

w

wu

cu

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 28: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Pour les machines agrave eacutetages multiples on suppose que lavitesse axiale demeure constante Crsquoest agrave dire que119940119940120784120784119961119961= 119940119940120785120785119961119961= 119940119940119961119961= 119940119940119940119940119940119940119940119940119940119940

Cette condition jumeleacutee agrave 119932119932120784120784= 119932119932120785120785= 119932119932 megravene agrave lrsquohypothegravese drsquoune cineacutematique reacutepeacutetitive En pratique

Les triangles de vitesse agrave lrsquoentreacutee et agrave la sortie drsquouneacutetage peuvent ecirctre superposeacutes

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 29: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Nous commenccedilons par la repreacutesentation de triangles de vitessespour le cas drsquoune turbineNous rappelons que par hypothegravese le rayon ne varie pas dans leplan inter-aube et que la vitesse axiale demeure constante dansle sens axialCes conditions permettent drsquoeffectuer la superposition destriangles de vitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotoravec la vitesse 119932119932 commune

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 30: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

c1w1

u

c2

u2

w2

➌ c3w3

u

Turbine

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 31: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

C2

W2 C3

W3

Stator Rotor

C2u C3u

W3u

α2β2 β3

α3

∆Cu= ∆Wu

U

W2u

119940119940119961119961119880119880 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

1198881198883 = 1198881198881

1205721205723 = 1205721205721

Cineacutematique reacutepeacutetitive

➁ ➂

➁U➀

Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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Turbine

119914119914120784120784

119914119914120785120785

119934119934120785120785

119932119932119934119934120784120784

119932119932

119914119914120783120783120630120630120783120783

120630120630120784120784120631120631120784120784

120630120630120785120785

120631120631120785120785

Stator Rotor

➀ ➁ ➂

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
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  • Diapositive numeacutero 103
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  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 33: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Le cas du compresseur est similaire agrave celui drsquoune turbineLe rayon ne varie pas (lrsquoeacutetude se deacuteroule dans le plan inter-aube) et la vitesse axiale demeure constante dans le sens axialComme pour la turbine nous pouvons superposer les triangles devitesse au bord drsquoattaque et bord de fuite du rotor

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 34: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

W2 C2

C3W3

U

C1W1

U

U

Compresseur

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 35: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2 β1

C2 W1

C1W2

U

β2α1

W2U C1U

CX

( )2 1 = minuse u uW U C C

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C2U

119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120783120783119958119958 =- 119934119934120784120784119958119958 minus119934119934120783120783119958119958

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 36: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Compresseur

119914119914120784120784119914119914120785120785

119934119934120783120783

119932119932119914119914120783120783120630120630120783120783 120630120630120784120784

120631120631120784120784120630120630120785120785

Rotor Stator

119934119934120784120784120631120631120783120783

119932119932

➀ ➁ ➂

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 37: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Trois quantiteacutes fondamentales sont utiliseacutees dans laconception des turbomachines

bull le coefficient de charge ψ

bull le coefficient de deacutebit Φ

bull le degreacute de reacuteaction R

Approche classique

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 38: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Parfois ψ est consideacutereacute positif pour les turbines et neacutegatifpour les compresseurs 119882119882119890119890 = frasl119882 119888

Coefficient de charge

2Ψ = eWU

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 39: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Coefficient de charge

2e

UW

=ψ 02 01 02 2

h h hU Uminus ∆

= = 02

s shU

η ∆=

=

eWWm

120578120578119904119904 =∆ℎ0∆ℎ0119904119904

Turbine

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 40: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Coefficient de deacutebit

xcU

Φ =

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 41: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

xCU

Φ =ρRT

= xC RTRTU p

=RT m RT

U Ap

xCU

Φ =119888 = ρ119862119862119909119909119860119860

11988811987711987711987911987901199011199010119860119860

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

minus 120574120574+1)2(120574120574minus1

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 42: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Afin de geacuteneacuteraliser le triangle de vitesses drsquoune machineaxiale on effectue une mise agrave lrsquoeacutechelle en divisant chaquecocircteacute par la vitesse tangentielle U

Cette opeacuteration permettra de retrouver directement lescoefficients de charge ψ et de deacutebit Φ

Par la suite un nouveau paramegravetre R qursquoon appelle degreacutede reacuteaction sera introduit pour compleacuteter la caracteacuterisationde lrsquoaubage

Approche classique

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 43: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2 α3

β3C2 W3

W2

c3u - c2u= w3u - w2u

W3uW2u

U

CX CX

Lrsquoopeacuteration est vectorielle

C3

120511120511 = frasl119934119934119940119940 119932119932120784120784 = frasl119914119914120785120785119958119958 minus 119914119914120784120784119958119958 119932119932

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 44: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

Turbine

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 45: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

3

2

3 3

2 2

12

12

12

12

u

u

u u

u u

c RUc RU

w c RU Uw c RU U

Ψ= minus +

Ψ= minus +

Ψ= minus = +

Ψ= minus = minus

2 22 23 2

2 22 23 2

1 12 2

2 2

c cR RU U

w wR RU U

Ψ Ψ = Φ + minus + = Φ + minus +

Ψ Ψ = Φ + + = Φ + minus

3 2

3 2

1 2 1 2

2 2

R Ratan atan

R Ratan atan

minus + Ψ minus + Ψ = = Φ Φ

Ψ + Ψ minus = = Φ Φ

α α

β β

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 46: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2β1

C2U

W1U

C1UW2U β2 α1

Compresseur

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 47: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

ΦC2U

C3UW3U

W2U

ψ

1

ψ

ΦC2UC3U

W3U

W2U

1

Il faut deacutefinir un troisiegraveme paramegravetre pour diffeacuterencier ces deux triangles de vitesses ayant le mecircme 120509120509 et le mecircme 120537120537

Les coefficients 120509120509 et 120537120537 ne suffisent pas pour deacutefinir de maniegravereunivoque le triangle de vitesses

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 48: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Le degreacute de reacuteaction est un paramegravetre adimensionnel quiexprime la variation drsquoenthalpie subie par le fluide dans le rotorpar rapport agrave la chute totale drsquoenthalpie dans lrsquoeacutetage

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 49: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

Variation d enthalpie dans le rotorRVariation d enthalpie dans l eacutetage

=

❸❶

Rotor

Stator

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 50: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

R=0 machine drsquoaction (Δhrotor=0 Δheacutetage=Δhstator)

R=1 machine agrave reacuteaction (Δhstator=0 Δheacutetage=Δhrotor)

rotor 3 2

eacutetage 3 1

h h hRh h h

∆ minus= =

∆ minus

R indique la reacutepartition du saut drsquoenthalpie (de pression) statique entre le stator et le rotor

Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
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  • R=0 vitesse optimale
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  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
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  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
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  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
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  • Diapositive numeacutero 141
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  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
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Le degreacute de reacuteaction R deacutefini en fonction de variablesthermodynamiques (lrsquoenthalpie) peut aussi srsquoexprimer en fonctionde variables cineacutematiques preacutesentes dans le triangle de vitessesNotamment en fonction de la vitesse peacuteripheacuterique U et descomposantes des vitesses absolues et relatives

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 52: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

La vitesse absolue agrave lrsquoentreacutee du stator est eacutegale agrave celle agrave la sortie du rotor (c1= c3 eacutetage reacutepeacutetitif )

On neacuteglige les pertes et le transfert de chaleur dans le stator

1 2 3

ℎ3 minus ℎ1= ℎ3 + frasl11988811988832 2 minus ℎ1 minus frasl11988811988812 2 = ℎ03 minus ℎ01 = 120549120549ℎ0

ℎ03 minus ℎ01 = ℎ03 minus ℎ02 = 120549120549ℎ )0(3minus2

ℎ03 minus ℎ02 = ℎ3 minus ℎ1

119945119945120782120782120783120783 = 119945119945120782120782120784120784

frasl11988811988832 2 = frasl11988811988812 2

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

eng - Royalty Free Sound Effects - Sounddogscom

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 53: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

3 2

3 1

rotor

eacutetage

h h hRh h h

∆∆

minus= =

minus

2 20 3 2 2 3

0 3 2

2 2( )

( )

h c c h

∆∆

minus

minus

+ minus=

ℎ03 ℎ02

(ℎ01= ℎ02 1198881198881= 1198881198883)

120549120549ℎ )0(3minus2 = (ℎ3 + frasl11988811988832 2) minus (ℎ2 + frasl11988811988822 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

ℎ3 minus ℎ2 = 120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 54: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

0(3 2) 3 2( )∆ minus = minusu uh U c c

= 1 minusfrasl11988811988832 2 minus frasl11988811988822 2120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 =120549120549ℎ )0(3minus2 + frasl11988811988822 2 minus frasl11988811988832 2

120549120549ℎ )0(3minus2

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 55: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

3 212+

= minus u uc cRU

119888119888119909119909 = 1198881198882119909119909 = 1198881198883119909119909 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119877119877 = 1 minus11988811988832 minus 11988811988822

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 11988811988821199061199061198881198882 = 1198881198881199091199092+1198881198881199061199062

119877119877 = 1 minus11988811988831199061199062 minus 11988811988821199061199062

)2119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 56: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Indirectement lrsquoeacutequation pour R deacutecrite en fonction de composantes cineacutematiques eacutetablit un lien entre les angles drsquoentreacutee et de sortie

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

= 1 minus1198881198883119906119906 + 1198881198882119906119906

2119880119880

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 57: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

2232

2 32 2wwh h+ = +

2 23 2

2 3 2 2w wh hminus = minus

2 2 2 23 3 2 2

2 3 2 2u x u xw w w wh h + +

minus = minus

Machine axiale U2 = U3

La composante axiale de la vitesse demeure constante w3x = w 2x

( eacutequation justifieacutee plus tard lors de la rothalpie)

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 58: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

2 23 2

2 3 2 2u uw wh hminus = minus

3 2 3 22 3

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus =

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

Eacutetage reacutepeacutetitif c3 = c1

Si les pertes dans le stator sont neacutegligeacutees

c2u ndash c3u= w2u - w3u

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 59: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

( ) ( )03 01 3u 2u 3u 2uh h U c c U w wminus = minus = minus

rotor 3 2 3 2

eacutetage 3 1 03 01

h h h h hRh h h h h

∆ minus minus= = =

∆ minus minus

3 2 3 23 2

( )( )2

u u u uw w w wh h minus +minus = minus

c2u ndash c3u= w2u - w3u

119877119877 = minus1199081199083119906119906 + 1199081199082119906119906

2119880119880

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 60: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

2 2 2 22 3 2 3 2 3( ) 2 ( ) 2h h u u w wminus = minus minus minus

2 2 2 2 2 23 2 3 2 3 2

2 2 2e

I II III

u u c c w wW minus minus minus= + minus

2 2 2 22 3 2 3

2 2 2 2 2 22 3 2 3 2 3

( ) ( )( ) ( ) ( )

minus minus minus=

minus + minus minus minusu u w wR

c c u u w w

3 2= =U u u

Expliqueacutee + tard

2 23 2

03 02 3 2 2ec cW h h h h minus

= minus = minus +

119877119877 =ℎ2 minus ℎ3ℎ1 minus ℎ3

=ℎ2 minus ℎ3ℎ02 minus ℎ03

Degreacute de reacuteaction

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 61: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

( )3u 2uw wR2U+

= minus

3 212

u uc cRU+

= minus

119877119877 =minus(11990811990822 minus 11990811990832)

11988811988822 minus 11988811988832) minus (11990811990822 minus 11990811990832

119877119877 =ℎ3 minus ℎ2ℎ3 minus ℎ1

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 62: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Puisque le degreacute de reacuteaction R peut aussi srsquoexprimer enfonction de variables cineacutematiques on peut chercher sarepreacutesentation dans le triangle adimensionnel de vitesses

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 63: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Turbine

α2

β2 α3

β3

C2 W3

C3W2

C3uC2u

U

C2xC3x

W2u

c2u ndash c3u= w2u - w3u

2Ψ minusR

frasl119934119934120784120784119958119958 119932119932 = frasl1198621198622119906119906 119880119880 minus frasl119880119880 119880119880Ψ = frasl1198621198622119906119906 minus 1198621198623119906119906 119880119880

119877119877 = 1 minus (1198621198623119906119906 + 1198621198622119906119906 frasl) 2119880119880Φ = frasl1198621198622119909119909 119880119880 = frasl1198621198623119909119909 119880119880

= (119914119914120784120784119958119958 minus 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880 minus 1 + (119914119914120784120784119958119958 + 119914119914120785120785119958119958 frasl) 2119880119880

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 64: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 65: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α2

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932 120509120509 =119940119940119961119961119932119932

120511120511 =119934119934119940119940

119932119932120784120784

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 66: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Les repreacutesentations des triangles de vitesses adimensionnellessont tregraves riches en information et contiennent plusieurs formules

Par exemple pour un compresseur on deacuteduit aiseacutement que

Avec 120595120595 = 1198821198821198901198901198801198802

Φ = 119888119888119909119909119880119880

et que pour 119888119888119901119901 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888 119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902minus11987911987901)on trouve

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

(11987911987902minus11987911987901) =119880119880119888119888119909119909119888119888119901119901

(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 67: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Alors si lrsquoon veut obtenir une plus grande variation detempeacuterature 11987911987902 minus 11987911987901 indirectement un plus grand rapport(1199011199010211990111990101) on peut augmenter

bull la vitesse peacuteripheacuterique 119880119880 (la vitesse de rotation)bull la vitesse axiale 119888119888119909119909 (le deacutebit massique)bull lrsquoangle de deacuteflection de la pale(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
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  • Remarque
  • Veacuterification
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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De maniegravere similaire agrave partir du triangle de vitesses on peuttrouver le degreacute de reacuteaction deacutecrit par

On note que la variation adimensionnelle de tempeacuterature dans ledegreacute de reacuteaction frasl119877119877 = (1198791198793 minus 1198791198792) (1198791198793minus1198791198791) est aussi une fonctiondes angles des pales

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 69: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Crsquoest le temps de faireun peu drsquoexercise

4090761

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 70: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Pour un compresseur axial on a les donneacutees suivantes

Neacutetages=5 U= 313 ms T01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05 119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339m rint =0271m ηp =09

1

bullEacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 du compresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

2

bullCalculez la vitesse axiale et la puissance transmise au fluidebullObtenez les angles α1β1et β2bullCalculez le rendement ηtt (isentropique)bullCalculez les conditions T02 et p02 agrave la sortie 2

3bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette

hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 71: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Eacutecrire lrsquoensemble drsquoeacutequations qui vous permettrait de calculer T p et ρ agrave lrsquoentreacutee 1 ducompresseur Est-il possible drsquoutiliser une forme abreacutegeacutee pour obtenir le mecircme reacutesultat

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)120646120646120783120783120587120587(03392 minus 02712

120646120646120783120783 =11990111990111198771198771198791198791

=119953119953120783120783

287 times 119931119931120783120783

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

119940119940120783120783120784120784

2 times 1004

119953119953120783120783 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 106119931119931120783120783

293

1404

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

11988811987711987711989211989211987911987901119901119901011198601198601

= 119924119924 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 119924119924120784120784minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

eng - Royalty Free Sound Effects - Sounddogscom

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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12( 1)0 2

0

112

RTm M M

P A

γγγγ+

minusminusminus = +

1

13

1

2840089711

T Kp MPa

kg mρ

==

=

rint

rext

11988811987711987711987911987901119901119901011198601198601

= 119872119872 120574120574 1 +120574120574 minus 1

2 1198721198722minus 120574120574+1

)2(120574120574minus1

119940119940120783120783119961119961 = 1207831207831207851207851207841207841207891207891199501199501199401199401198881198881119909119909 = 1198881198881

119879119879011198791198791

= 1 +120574120574 minus 1

21198721198722

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 73: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

Neacutetages=5

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

119934119934119940119940 = 1205951205951198801198802

Le travail speacutecifique

Calculez la puissance transmise au fluide

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2

Il y a 5 eacutetages

119934119934119940119940 = 0393 times 313 2 times 120783120783 = 1925091 frasl119888119888 119888119888 2

119934 = 119950119934119934119940119940 = 120785120785120788120788120783120783120789120789119924119924119934119934

La puissance

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

eng - Royalty Free Sound Effects - Sounddogscom

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120543120543 = 120782120782120786120786120784120784120786120786

119940119940120783120783119961119961 = 120783120783120785120785120784120784120789120789119950119950119940119940

Les angles 120572120572112057312057311205731205732

Calculez les angles 120572120572112057312057311205731205732

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

1327313

= 0424

119877119877 = 120601120601(tan1205731205731 + tan1205731205732 frasl) 2

120595120595 = 120601120601(tan1205731205731 minus tan1205731205732)

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

eng - Royalty Free Sound Effects - Sounddogscom

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 75: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09Les angles 120572120572112057312057311205731205732

01 587β =

tan1205731205732 =2119877119877 minus 120595120595

2120601120601 =2 times 05 minus 0393

2 times 0424 = 0715

02 3558β =

tan1205731205731 =2119877119877 + 120595120595

2120601120601=

2 times 05 + 03932 times 0424

= 163

01 2 3558α β= =

119877119877 = 05

α2 β1

C2U

W1UC1UW2U

φR- ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2α1

( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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( )( )

(04)14

(04)(14 09)

5 10875

5 1tt times

minus η = = minus

bull Supposez p02 p01=5 (pour lrsquoensemble des eacutetages) Veacuterifiez cette hypothegravese Comme premiegravere approximation consideacuterez c1x=c1ne0

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783120783120783120783120783

Les rendement total-agrave-total

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120578120578119905119905119905119905 =frasl11990111990102 11990111990101 120574120574minus1 frasl) 120574120574 minus 1

frasl11990111990102 11990111990101 (120574120574minus1 frasl) 120574120574120636120636119953119953 minus 1

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 77: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Le valeur du rendement isentropique total-agrave-total 120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783 aeacuteteacute calculeacutee sur la base drsquoun rapport de pression hypotheacutetiquesupposeacute eacutegal agrave 5

On doit alors veacuterifier si ce reacutesultat est coheacuterent par rapport agravelrsquoensemble de donneacutees et aux calculs reacutealiseacutes

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 78: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

02 01 02 01

02 01 02 01

( )s stt p

h h T T c cteh h T T

minus minusη = = =

minus minus

( 1)

02

01

( 1)

02

01

1

1poltt

pp

pp

γminus γ

γminus γη

minus

η =

minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

120636120636119953119953 = 120782120782120783120783

119882119882119890119890 = 119888119888119901119901(11987911987902 minus 11987911987901

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574120578120578119901119901

11987911987902s11987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 120574120574

02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

eng - Royalty Free Sound Effects - Sounddogscom

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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02 01( )e pW c T T= minus

02 01

02 01

stt

T TT T

minusη = minus

Neacutetages=5 U= 313 msT01=293 K p01=01 MpaΨ =0393 R=05119950=19kgs Rg=287 Jkg Kγ=14 rext =0339mrint =0271m ηp =09

119934119934119940119940 = 120783120783120783120783120784120784120783120783120782120782120783120783120783120783 frasl119950119950 119940119940 120784120784

120636120636119940119940119940119940 = 120782120782120790120790120789120789120783120783

119931119931120782120782120784120784119940119940 = 120786120786120788120788120782120782120783120783120784120784119922119922

1199011199010211990111990101

=11993111993112078212078212078412078411994011994011987911987901

frasl120574120574 (120574120574minus1)

=46012

293

frasl14 04 1199011199010211990111990101

= 484

1198791198790211987911987901

=1199011199010211990111990101

(120574120574minus1 frasl) 12057412057412057812057811990111990111987911987902 = 4833 K(veacuterification)

119931119931120782120782120784120784 = 120786120786120790120790120786120786120789120789119922119922

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 80: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Lrsquohypothegravese 119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783 a permis drsquoeffectuer un premier calcul desvariables On doit cependant recalculer ces quantiteacutes en fonctiondes reacutesultats obtenus Notamment

01 2 3558α β= =

1198881198881u = 11988811988811199091199091198881198881199051199051198881198881205721205721 = 120783120783120786120786120783120783120785120785119950119950119940119940

1198881198881 = 11988811988811199061199062 + 11988811988811199091199092 = 16316 frasl119888119888 119888119888

1198881198881119909119909 = 1327119888119888119888119888

119931119931120783120783 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901= 293 minus

11988811988812

2 times 1004 = 120784120784120789120789120783120783120789120789120786120786119922119922

119940119940120783120783119961119961 = 119940119940120783120783Hypothegravese

hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
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  • Diapositive numeacutero 89
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  • Veacuterification
  • Veacuterification
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  • Remarque
  • Veacuterification
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  • Turbine
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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hellipetc

1199011199011 = 11990111990101119879119879111987911987901

120574120574120574120574minus1

= 01 times 1061198791198791

293

1404

= 008503119872119872119872119872119905119905

1205881205881 =11990111990111198771198771198791198791

=1199011199011

287 times 1198791198791= 1059 frasl119896119896119896119896 1198881198883

119940119940120783120783119961119961 =11988812058812058811198601198601

=19

)1205881205881120587120587(03392 minus 02712 = 120783120783120788120788120783120783120783120783120789120789 frasl119950119950 119940119940

120601120601 =1198881198881119909119909119880119880 =

16157313 = 0516 tan1205731205732 =

2119877119877 minus 1205951205952120601120601 1205731205732 = 30460

1

13

1

1

279740085031059 16316 x

T Kp MPa

kg mc m sρ

==

==

119920119920 119920119920119920119920

1

13

1

1

2840089711 1327 x

T Kp MPa

kg mc m s

==

==

ρ

(1205731205732= 3558 1egravere fois)

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 82: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Pour une turbine axiale on a les donneacutees suivantesΦ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1 bullCalculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

2

bullCalculez les surfaces annulaires (normales agrave cx ) aux sections 1 2 et 3bullAgrave lrsquoaide de ces surfaces annulaires estimez la hauteur des aubes aux

sections 1 2 et 3

3

bull Consideacuterez c p=cte= 1148 Jkg Kbull Consideacuterez les variables thermodynamiques de lsquolsquolrsquoenvironnementrdquo comme

eacutetant des quantiteacutes totales ou drsquoarrecirct

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 83: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Marcelo Reggio

Image pour fins drsquoillustration Lrsquoaubage correspond agrave celui drsquoun compresseur

❷❶

Stator 1-2

Rotor 2-3

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 84: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Tenv = 1100K

Penv = 4 bar

U = 340 ms

= 20 m kg s

= 20m kg s

Chambre de combustion

119953119953120782120782120783120783119953119953120782120782120785120785

= 120783120783120790120790120789120789120785120785

120607120607119931119931120782120782120783120783120785120785 = 120783120783120786120786120783120783119922119922

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 85: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09 c p=cte= 1148 Jkg K

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

120653120653 = 120783120783120786120786120786120786

120595120595 =1198881198881199011199011205491205491198791198791198801198802 =

1148 times 1453402

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 86: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2

α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR ψ2 +R-1

W2U

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601 120595120595 + 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

eng - Royalty Free Sound Effects - Sounddogscom

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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R

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 bar p01p03=1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100 γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1198881198881199051199051198881198881205721205723 = 1198881198881199051199051198881198881205731205733 minus1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205721205722 = 1198881198881199051199051198881198881205731205732 +1120601120601

1198881198881199051199051198881198881205731205732 =1

2120601120601 120595120595 minus 2119877119877

1198881198881199051199051198881198881205731205733 =1

2120601120601120595120595 + 2119877119877

120537120537 = 120783120783120786120786120786120786

1198881198881199051199051198881198881205731205733 = 119888119888119905119905119888119888(10) +1

08= 01763 + 125

120631120631120785120785 = 120783120783120786120786120783120783120789120789120782120782

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 88: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Hypothegravese IIle processus 1-2 estconsideacutereacute isentropique(sans pertes + adiabatique)

Hypothegravese I T02 = T01

2c

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2| c2 Τ2 p2 ρ2 et A2

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 m=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

119931119931120784120784

119953119953120784120784

1198791198792 = 11987911987902 minus11988811988822

2119888119888119901119901

11990111990101119953119953120784120784

=119879119879011198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

=119879119879021198791198792

)frasl120574120574 (120574120574minus1

1198881198882 =119888119888119909119909

119888119888119888119888119888119888 1205721205722=

1206011206011198801198801198881198881198881198881198881198881205721205722

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
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  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
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  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
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  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
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  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
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  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
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  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
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  • Veacuterification
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  • Veacuterification
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
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  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 89: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

22

2

pRT

ρ =

( )21 3xx x xc c c Uc= = = = φ11

1 1

xc Uccos cos

φ= = α α =α α1 3

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Calculez ψ β3 R β 2 α2 c2 Τ2 p2 ρ2 et A2 (normale agrave cx)

Eacutetage reacutepeacutetitif

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

1T1198791198791 = 11987911987901 minus11988811988812

2119888119888119901119901

119912119912120784120784 =119888

12058812058821198881198882119909119909

( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

17763262

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
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  • Le triangle de vitesses
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  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
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  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
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  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
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  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
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  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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( 1)

01

1 1

01p Tp T

γ γminus

=

11

1

pRT

ρ =

1p

φα2

β2α3

β3

Stator Rotor

1

φ

Ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 minusR

W2U

ψ2 +R-1

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

mecircme endroit

119912119912120783120783 =119888

12058812058811198881198881119909119909

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

Sound Effects - Cheering male alright (human voice)

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2008

SFX - Humans Voices Male

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
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  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
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  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 91: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

23

3 03 2 p

cT Tc

= minus

) ( 1)

03 03

3 3

p Tp T

γ γminus

=

33

3

pRT

ρ =

01

03

1873pp

=3p

013( 145 )T K∆ =03 01 013T T T= minus ∆

Φ=08 n= 250 rps Tenv=1100 K penv=4 barp01p03= 1873 119950=20kgs Rg=287 Jkg K α3=100

γ=133 U=340 ms ΔT01-03=145 K ηtt =09

Sortie 3 Calculez les surfaces annulaires aux sections 1 2 et 3 3

1198881198883 = 1198881198881

119912119912120785120785 =1198881205881205883119888119888119909119909

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 92: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

2

2

asymp π

= π

m

m

A r h

U r n

Calculez la hauteur des aubes aux sections 1 2 et 3

ℎ =119888119888119860119860119880119880

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Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 93: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Dans le domaine des turbomachines on a introduit un terme quelrsquoon peut associer agrave lrsquoenthalpie totale deacutecrite en fonction de lavitesse relative Cette nouvelle variable deacutesigneacutee par rothalpiese conserve agrave travers le rotor

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 94: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Eacutenergie Euler02 01 2 2 1 1( )u uh h c U c Uminus = minus

02 2 2 01 1 1u uh c U h c Uminus = minus

202 2 2 1 1 1 1

12u uh c U h c c Uminus = + minus

rothalpie Rthℎ0 minus 119888119888119906119906119880119880

2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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2 2 21 1 12 2 2th uR h c c U U U= + minus + minus

( )2 2 21 122 2uh c c U U U= + minus + minus

2 21 12 2

h W U+ minus

20

12w

enthalpie de stagantion relative

h h W= +

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
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  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
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  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
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  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
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  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
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  • Formules commentaires
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  • Veacuterification
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  • Veacuterification
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
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  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
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  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
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  • Diapositive numeacutero 147
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  • Rayon moyen
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  • Vitesses
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  • Rotor-Stator
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Page 96: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

La quantiteacute Rth se conserve Elle est deacutesigneacutee par rothalpie

La rothalpie correspond agrave la geacuteneacuteralisation du casstationnaire(119880119880 = 0119882119882 = 119862119862) pour lequel lrsquoenthalpie de stagnationest conserveacutee

119929119929119940119940119945119945 = ℎ 0minus119888119888119906119906119880119880

= ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
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  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
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  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
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  • Vitesses dans un eacutetage
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  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
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  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
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  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 97: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

En geacuteneacuteral lrsquoenthalpie drsquoarrecirct relative dans un repegravere mobile119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784 nrsquoest pas une constante Cependant pour une

machine axiale 119932119932 = cnste Dans ce cas 119945119945 + frasl119934119934120784120784 120784120784=cnste

119929119929119940119940119945119945 = ℎ +12119882119882

2 minus12119880119880

2 = 119888119888119888119888119888119888119888119888119888119888

119945119945120784120784 +120783120783120784120784119934119934120784120784

120784120784 = 119945119945120785120785 +120783120783120784120784119934119934120785120785

120784120784

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 98: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

Trois valeurs particuliers du degreacute de reacuteaction R sont agrave noter

R=0 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dans lestator Le rotor simplement deacutevie lrsquoeacutecoulement

R=05 megravene agrave un triangle de vitesse symeacutetrique Lavariation de pression (drsquoenthalpie) est eacutequireacutepartie entre lerotor et le stator

R=10 toute variation de pression (drsquoenthalpie) a lieu dansle rotor

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 99: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2 β1

C2U

W1UC1U

W2UΦ

R-ψ2

1

1-R-ψ2ψ

β2 α1

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
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  • Rayon moyen
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  • Compresseur
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  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
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  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
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  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
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  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 100: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2α3

β3

ψ

C2U

C3U

W3U

ψ2 -R ψ2 +R-1

W2U

119929119929 =119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

119929119929 = 120783120783 minus119940119940120785120785119958119958 + 119940119940120784120784119958119958

120784120784119932119932120509120509 =

119940119940119961119961119932119932 120511120511 =

119934119934119940119940119932119932120784120784

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 101: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

La valeur du degreacute de reacuteaction 119825119825 deacutetermine des relations entreles angles drsquoentreacutee et de sortie du rotor (120514120514120515120515) ainsi que desrelations particuliegraveres entre le coefficient de charge 120511120511 et de deacutebit120509120509 afin drsquooptimiser le transfert drsquoeacutenergie entre le fluide enmouvement et le rotorDans la suite nous allons regarder trois cas speacutecifiques 119825119825 = 120782120782 119825119825 = 120783120783120784120784et 119825119825 = 120783120783 pour le cas drsquoune turbine

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 102: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=0 R=0

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 103: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

β2 β3

C2

W3 C3W2

UW2u W3u

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 104: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

(1205731205732 = 1205731205733)

119888119888119909119909tan1205731205732 = 1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880

119882119882119890119890 = 119880119880(1198881198883119906119906 minus 1198881198882119906119906)

= 2119880119880119888119888119909119909tan1205731205732119882119882119890119890 = 119880119880(119888119888119909119909tan1205731205733 + 119888119888119909119909tan1205731205732)

α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

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UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
  • Diapositive numeacutero 82
  • Diapositive numeacutero 83
  • Diapositive numeacutero 84
  • Diapositive numeacutero 85
  • Diapositive numeacutero 86
  • Diapositive numeacutero 87
  • Diapositive numeacutero 88
  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
  • Diapositive numeacutero 99
  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
  • Diapositive numeacutero 102
  • Diapositive numeacutero 103
  • Diapositive numeacutero 104
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  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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α2

Ψ =119882119882119890119890

1198801198802

)119882119882119890119890 = 2119880119880(1198881198882sin1205721205722 minus 119880119880 ψ = 21198881198882119880119880 sin1205721205722 minus 1

119932119932119952119952119953119953119940119940 =119940119940120784120784119852119852119852119852119852119852120630120630120784120784

120784120784 )120537120537 = 120784120784 (120543120543 119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 4119880119880 = 0

= 2119888119888119909119909119880119880 tan1205721205722 minus 1

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
  • Diapositive numeacutero 80
  • Diapositive numeacutero 81
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  • Diapositive numeacutero 84
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  • Diapositive numeacutero 89
  • Diapositive numeacutero 90
  • Veacuterification
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 93
  • Remarque
  • Veacuterification
  • Diapositive numeacutero 96
  • Diapositive numeacutero 97
  • Diapositive numeacutero 98
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  • Turbine
  • Diapositive numeacutero 101
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  • Diapositive numeacutero 104
  • Diapositive numeacutero 105
  • Diapositive numeacutero 106
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 106: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=12 R=12

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
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  • Compresseur Axial
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  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
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  • Eacutetage
  • Eacutetage
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  • Compresseur
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  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
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  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
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  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
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  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
  • Compresseur
  • Formules commentaires
  • Formules commentaires
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
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  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
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  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 107: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

C2 W3

C3W2

UW2u W3u

2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

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Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Compresseur
  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Hypothegraveses
  • Eacutecoulement et triangle de vitesses
  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
  • Triangles de vitesses superposeacutes
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • R et les vitesses absolues
  • Eacutequivalence
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et les vitesses relatives
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
  • R dans le triangle de vitesses
  • Turbine
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  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpie
  • Rothalpiemachine axiale
  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
  • Compresseur
  • Turbine
  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
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  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
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  • Rayon moyen
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  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
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2 2sinoptU c= α

120569120569 =119882119882119890119890

1198801198802

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(1198881198882 sin1205721205722 + 1199081199083 sin1205731205733 minus 119880119880

1198881198882 sin1205721205722 = 1199081199083 sin1205731205733 (1205721205722 = 1205731205733 1198881198882 = 1199081199083)

119882119882119890119890 = 1205951205951198801198802 = 119880119880(21198881198882sin1205721205722 minus 119880119880)

part119882119882119890119890part119880119880 = 21198881198882 sin1205721205722 minus 2119880119880 = 0

120653120653 = 2119888119888119909119909119880119880 1198881198881199051199051198881198881205721205722 minus 1 = 120784120784120659120659119940119940119957119957119940119940120630120630120784120784 minus 120783120783

α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
  • Compresseur
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  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
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  • Agrave venir
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α2

β2 α3

β3

1

C2U

C3U

W3U

W2U

R=1R=1

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
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  • Le canal interaube
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  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
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  • R varie entre 0 et 1
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  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
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  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
  • Diapositive numeacutero 150
  • Rotor-Stator
  • Vitesses
  • Le canal interaube
  • Rotor-Stator
  • Diapositive numeacutero 155
Page 110: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

α3

C2

W3C3W2

UW2u W3u

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
  • OBJECTIFS
  • Contexte
  • Contexte
  • Diapositive numeacutero 6
  • Compresseur Axial
  • Diapositive numeacutero 8
  • Rayon moyen
  • Eacutecoulement moyen
  • Surface meacuteridienne
  • Diapositive numeacutero 12
  • Agencement Rotor-Stator
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Eacutetage
  • Turbine
  • Compresseur
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  • Vitesses
  • Eacutecoulement relatif W
  • Eacutecoulement absolu C
  • Ce que nous ne regardons pas
  • Le canal interaube
  • Forces
  • Distribution de pression
  • Conception moderne
  • Le triangle de vitesses
  • Le triangle de vitesses
  • Nomenclature
  • Nomenclature
  • Projections de la vitesse absolue
  • Grille drsquoaubes et triangle de vitesses
  • Hypothegraveses
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  • Diapositive numeacutero 39
  • Turbine
  • Superposition de triangles
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  • Vitesses dans un eacutetage
  • Compresseur
  • Superposition de triangles
  • Compresseur
  • Vitesses dans un eacutetage
  • Paramegravetres de conception
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Ψ
  • Les coefficients
  • Forme particuliegravere pour Φ
  • Triangle normal
  • Triangle dimensionnel
  • Triangle normal (adimensionnel)
  • Relations algeacutebriqueshellipoufff
  • Triangle normal
  • Mecircme Φ et mecircme ψ
  • Degreacute de reacuteaction
  • Degreacute de reacuteaction
  • R varie entre 0 et 1
  • R en variables cineacutematiques
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  • Eacutequivalence
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  • R et les vitesses relatives
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  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Trois formules cineacutematiques
  • R dans le triangle de viteses
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  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
  • Agrave venir
  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
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Page 111: Présenter la simplification 3D vers 2Dcours.polymtl.ca/MReggio/mec4270/PDFBloc3_2013.pdf · 2019. 9. 11. · 3 • Présenter la simplification 3D vers 2D 1D • Rappeler des éléments

3 2( )e u uW U c c= minus

3 2 2 2( | |) 2 sinu uU c c Uc= + = α

2 22 22

sin2 2 2e xW c c tan tanU U U

αψ = = = α = φ α

22 tanψ = φ α

R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
  • Reacutevision Thermo+ Meacutecaflu
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  • Forme particuliegravere pour Ψ
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  • R=1
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R=0

R=05

R=1

119929119929 =120607120607119945119945119955119955119952119952119940119940119952119952119955119955120607120607119945119945eacute119940119940119957119957119957119957119940119940

=119945119945120785120785 minus 119945119945120784120784119945119945120785120785 minus 119945119945120783120783

Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

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Dans une machine drsquoactionlrsquoeacutenergie du fluide transmise aurotor (en mode turbine) provientdrsquoune variation de lrsquoeacutenergiecineacutetique

Lors du passage de lrsquoeacutecoulementdans le rotor la pression(enthalpie) demeure constantePar contre il y a un changementde vitesse

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

  • Diapositive numeacutero 1
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Dans une machine agrave reacuteaction lapression (enthalpie) et la vitessevarient dans le rotor Ceschangements provoquent unereacuteaction dans les aubes quiproduissent(turbine) une puissance

Dans une machine hypotheacutetique agravereacuteaction pure (R=1) crsquoestuniquement lrsquoeacutenergie de pressionqui change dans le rotor tandis quela variation drsquoeacutenergie cineacutetiquedemeure nulle

rotor

eacutetage

hRh

∆=

Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

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Pour un mecircme deacutebit une variation de la charge modifie lrsquoinclinaison de aubes

Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

Agrave venirLes machines radiales

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Pour une mecircme charge une variation du deacutebit modifie lrsquoinclinaison de aubes

R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

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R=0

Ψ=05 Ψ=1

Φ=05 Φ=1 Φ=05 Φ=1

R=05

R=1

Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

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Lrsquoeacutetage reacutepeacutetitif nrsquoest qursquoune ideacutealisation En reacutealiteacute ρ varie drsquoun eacutetage agrave lrsquoautre

Pour compenser cette variation on construit des roues avec des diamegravetres diffeacuterents

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  • Triangles speacuteciaux
  • Contexte
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  • Sur de la valeur de R
  • R=0
  • R=0
  • R=0 vitesse optimale
  • R=0 vitesse optimale
  • R=12
  • R=12
  • R=12 vitesse optimale
  • R=1
  • R=1
  • R=1
  • R et la forme des aubes
  • R et la forme des aubes
  • R=0 machine drsquoaction
  • R=1 machine de reacuteaction
  • Mecircme Φ diffeacuterent ψ
  • Mecircme ψ diffeacuterent Φ
  • Tableau reacutecapitulatif
  • Mais
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  • Mecircme Φ mecircme ψ ne R
  • Diapositive numeacutero 137
  • Diapositive numeacutero 138
  • Diapositive numeacutero 139
  • Diapositive numeacutero 140
  • Diapositive numeacutero 141
  • Diapositive numeacutero 142
  • Turbine
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • R et lrsquoeacutenergie cineacutetique
  • Diapositive numeacutero 146
  • Diapositive numeacutero 147
  • Vitesses
  • Rayon moyen
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  • Rotor-Stator
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  • Rotor-Stator
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