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PROPULSION NAVALE

Cours dispensé à l’Ecole Centrale de Nantes

par

Pr. Jean Yves BILLARD

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1. L’environnement de l’hélice.

1.1 Les contraintes architecturales.

La forme générale du navire est imposée par des contraintes liées à l’hydrodynamique

de la carène et l'implantation de l'hélice doit se faire à l'arrière de la carène afin de respecter

des règles de fiabilité de l'installation dans une zone exiguë en fait peu propice à cela en raison

de diverses contraintes géométriques et dynamiques. La zone est en fait encombrée par les

appendices de coque, la présence du gouvernail et si l'on souhaite écarter le propulseur de la

coque l'on doit implanter des appendices supplémentaires afin de limiter les porte-à-faux

(chaises). Malgré cela les hélices de propulsion des navires sont implantées derrière les

carènes et nous allons étudier les conséquences mécaniques de ce choix.

Avec l’utilisation qui se généralise des propulseurs en nacelle un degré de liberté

supplémentaire est donné à l’architecte naval qui peut mieux insérer le propulseur dans un

espace plus grand. Les conséquences sur le propulseur lui-même sont nombreuses et seront

détaillées dans la suite de ce cours.

1.2 L'évolution de l'hélice propulsive.

L’invention de l’hélice remonte au XVIIème

siècle. L’ingénieur anglais Robert Hooke,

plus connu pour ses travaux en élasticité, présente en 1683 le schéma d’une hélice, issue de la

transformation d’une aile de moulin à vent, très semblable à une hélice de propulsion.

Soixante-dix ans plus tard Bernoulli, dans le cadre d’un concours de l’Académie des

sciences de Paris propose un propulseur naval qui possède une allure ressemblant plus à un

étage de turbine qu’à un propulseur actuel. Il faut attendre la première moitié du XXIXème

siècle pour que l’hélice propulsive prenne une forme qu’elle n’a plus abandonnée depuis.

Hélice de Hooke (1683)

Hélice de Bernoulli (1752)

Hélice de l’Archimedes (1839)

Hélice du Napoléon (1842)

Figure 1 : Diverses hélices issues des premiers systèmes propulsifs étudiés ou mis en place.

Des systèmes de propulsion aux caractéristiques très « modernes » ont également été

proposés par les précurseurs. On retrouve ainsi en 1836 une utilisation de l’hélice de Bernoulli

dans un tandem contrarotatif proposé par Ericsson, figure 2.

3

Figure 2 : Propulseur contrarotatif d’Ericsson (1836).

1.3 Dessins de divers systèmes propulsifs.

Aujourd’hui, si l’hélice reste, dans sa forme classique, le système propulsif le plus

couramment mis en œuvre, de nombreux systèmes ont été proposés par les ingénieurs et

certains de ces systèmes ont été industrialisés.

1.3.1 Hélices sous tuyère.

Ce propulseur est une dérivation simple de l’hélice. Il s’agit simplement de faire

fonctionner l’hélice en la plaçant dans une tuyère qui peut être soit accélératrice soit

décélératrice. Le fonctionnement du propulseur s’en trouve assez profondément modifié et

une poussée propre à la tuyère apparaît. Ce type de propulseur peut également être utilisé avec

une tuyère orientable qui permet d’orienter le jet et ainsi de participer à la manœuvre du

navire.

1.3.2 Hélices contrarotatives.

Il s’agit de placer deux hélices l’une derrière l’autre en forte interaction de façon à

récupérer en sortie de la deuxième hélice un jet axial sans composante ortho radiale. Cette

dernière composante entrant en jeu, comme on le verra plus loin dans les pertes de rendement

du propulseur. Les difficultés technologiques liées à ce type de propulseur (joints tournants,

guidage en rotation sur de longues distances…) font que le système, malgré un gain en

rendement intéressant, est peu répandu dans les applications industrielles.

Les propulseurs en nacelle pourraient redonner de l’intérêt à ce type de système

propulsif en évitant la mise en place de deux arbres contrarotatifs.

1.3.3 Hélices à pales orientables.

C’est une modification simple du propulseur à pales fixes qui permet pour certaines

unités qui nécessite une optimisation pour deux points de fonctionnement de trouver un bon

compromis. Ce type de propulseur présente d’autres avantages en terme de manoeuvrabilité

puisqu’il n’est plus nécessaire d’arrêter le propulseur pour inverser le sens de la poussée. Les

4

manœuvres de port et les manœuvres d’urgence s’en trouvent donc nettement améliorées. Le

rendement au point de fonctionnement nominal est par contre un peu plus faible en particulier

parce que le moyeu de l’hélice doit être légèrement plus important pour contenir le système

d’orientation des pales.

1.3.4 Propulseurs cycloïdaux.

Ce type de propulseur aussi appelé propulseur à axe vertical est composé de plusieurs

pales (ailes) qui sont solidaires d’un plateau et subissent au cours de leur rotation une

modification de leur incidence. Cette loi de modification de l’incidence permet de définir

plusieurs type de propulseur dont deux sont présentés schématiquement sur la figure 3 :

Voight-Schneider (a), Lipp, Kirsten-Boeing (b). L’implantation sur la coque étant réalisée

comme présenté en (c)

(a) Cinématique des pales Voith - Schneider

(b) Cinématique des pales Kirsten - Boeing

(c) Implantation du propulseur sous la coque

Figure 3 : Systèmes de propulsion épicycloïdaux.

Le système Lipp est quant à lui visible avec de nombreux détails et en animation

cinématique sur le site de l’Ecole navale1.

1.3.5 Waterjets.

Il s’agit ici d’une pompe placée dans le navire, figure 4, et c’est le jet extérieur qui

constitue l’organe propulsif. L’intérêt de ce type de propulseur est que, contrairement à

l’hélice, sa poussée ne dépend pas de l’adaptation de sa géométrie à celle du navire. Ce type

de propulseur est particulièrement indiqué pour une unité de petites ou moyenne dimension

pour laquelle une vitesse importante est requise.

1 http://www.ecole-navale.fr/fr/irenav/cv/damay/index.htm sous la responsabilité éditoriale de Thomas Damay.

5

Figure 4 : Schéma d’implantation d’un waterjet dans la zone arrière d’un navire.

6

2. Description géométrique.

2.1 Géométrie générale de l’hélice.

2.1.1 Sens de rotation.

Une hélice est composée d'un nombre Z de pales en forme d'ailes portantes montées

sur un moyeu de forme généralement cylindrique et terminée par une ogive ou par un casque.

Les pales sont en général fixes et sont adaptées pour une condition de fonctionnement

parfaitement définie que l'on appellera par la suite "point de fonctionnement nominal", dans

toutes les autres conditions de fonctionnement les performances de l'appareil ne seront plus

optimales. Parfois, si les conditions de fonctionnement peuvent être amenées à varier de façon

importante (chalutier, remorqueur ...) les pales peuvent être orientables de façon à trouver

dans chaque condition de fonctionnement un régime acceptable. Le moyeu est alors de forme

sphérique de façon à pouvoir contenir dans de bonnes conditions le mécanisme d'orientation.

Dans tous les cas une hélice à pales orientables à des performances dégradées par rapport à la

même hélice à pales fixes. Le diamètre, D, de l'hélice est défini comme le diamètre du cercle

décrit par l'extrémité de l'une quelconque de ses pales dans la rotation de l'hélice.

La face avant de la pale est appelée dos et correspond à l'extrados de l'aile (en

fonctionnement normal), la face arrière, correspondant à l'intrados en fonctionnement normal

est appelée face ou face travaillante. La Figure 5 présente un navire à 2 lignes d’arbres vu de

l’arrière. L’une des hélices possède un pas à droite (tournant, vue de l'arrière, dans le sens des

aiguilles d'une montre), l’autre, qui tourne en sens inverse pour compenser les couples, a un

pas à gauche. Dans le cas présenté les deux lignes d’arbres sont dites supradivergentes, dans le

cas contraire elles sont dites supraconvergentes.

Hélice pas à droiteHélice pas à gauche

Figure 5 : Hélices d'un bâtiment vu de l'arrière (hélices supradivergentes).

2.1.2 Inclinaison (rake) et dévers (skew).

Pour définir la forme de l'hélice on considère généralement l'intersection de l'hélice

avec des cylindres de révolution de rayon r centrés sur l'axe commun à l'hélice et au moyeu.

Les sections ainsi définies sont "empilées" (pour des valeurs de r variant de rh, rayon du

moyeu, à R) autour d'une courbe de référence que l'on appelle "génératrice" de la pale. Cette

7

génératrice peut être rectiligne et orthogonale à l'axe ou inclinée vers l'arrière d'un angle θ, de

l'ordre de 10 à 15°, appelé angle d'inclinaison de la pale. Ce cas de figure, illustré à la Figure

6, est souvent utilisé sur les navires à une ligne d'arbre pour augmenter le jeu de coque qui

passe alors de j1 à j2. La génératrice peut également ne pas être rectiligne mais suivre une

courbe, ont dit alors que la pale est déversée d'un angle d, également défini sur la Figure 6 et

appelé angle de dévers. Ce type de déformation est utilisé pour diminuer la "raideur" des

fluctuations de pression sur la coque qui sont génératrices de vibrations. Lorsque l'angle de

dévers est grand on parle parfois de pale "en lame de sabre".

Figure 6 : Schéma de définition de l'inclinaison "rake" et du dévers de la pale "skew".

Sur une surface développée, figure 7, le rake et le skew sont définis par des distances.

Cette définition permet d’une part une évolution très souple de chaque paramètre (la

génératrice ou la ligne de référence peuvent être des courbes gauches) et d’autre part de mettre

en évidence l’influence du skew (glissement de la section le long de la ligne de pas) sur le

rake.

Plan de l’hélice

Génératrice

Ligne de p

as

Ligne de référence

Angle de calage

Rake imposé

Rake induit

Skew

Figure 7 : Définition du rake et du skew dans le plan développé.

8

2.1.3 Pas.

Les sections cylindriques développées, correspondant à un rayon r, se présentent

comme des sections d'ailes distantes de 2πr

Z les unes des autres, Figure 8. La droite ES qui

joint les extrémités de l'un quelconque de ces profils correspond, sur le cylindre de départ à

une hélice de pas géométrique H tel que tgH

rγ

π=

2. Ainsi l'angle de calage, γ, varie

continûment entre le moyeu et l'extrémité de la pale. On utilisera fréquemment par la suite le

pas réduit, H

D, à la place de H lorsque l'on devra faire appel à cette notion géométrique. Il faut

noter que contrairement à une vis qui doit avoir, quel que soit le rayon que l’on considère, le

même pas pour pouvoir se visser correctement dans son écrou la pale d’hélice peut avoir un

pas différent, H(r) pour chaque section. On ne peut plus alors parler de « pas de l’hélice » que

si l’on définit un pas géométrique moyen pour l’hélice complète par une formule intégrale du

type :

∫−=

R

rH H

dr)r(HrR

1H (1)

on verra plus loin que l’on peut définir un pas effectif, noté H’, qui a une signification

physique quant au fonctionnement du propulseur.

Figure 8 : Sections cylindriques développées correspondant au rayon r.

Si l'intrados de la section cylindrique est rectiligne, ce qui est fréquemment le cas sur

des hélices classiques, le pas géométrique de la section est alors le pas de l'intrados. Le

fonctionnement de l'hélice isolée ou "en eau libre" hors cavitation est alors défini lorsque l'on

connaît en fonction du rayon ou plutôt sous forme non dimensionnelle en fonction du rapport

xr

Ravec R

D= =

2 les variations des paramètres réduits suivants :

9

maximaleépaisseur :D

e

ES) = (C corde :D

C

egéométriqu pas :D

H

(2)

Sur les hélices classiques le pas est généralement constant, à l'heure actuelle, pour des

raison tenant au rendement et à la cavitation la tendance est à modifier le pas de façon limitée

en le faisant croître du moyeu jusqu'à x = 0,7 et à le faire décroître ensuite. La longueur de la

corde passe également par un maximum pour une valeur de x voisine de 0,7. L'épaisseur des

sections décroît généralement de façon quasi linéaire du moyeu à l'extrémité ou elle s'annule.

2.1.4 Corde et fraction de surface développée.

Pour caractériser le fonctionnement d'une hélice en eau libre on se contente souvent,

en première approximation, de trois paramètres :

• le pas géométrique réduit moyen donné par l’expression (1) ou le pas géométrique à

0,7 R qui est généralement très proche de H ;

• l'épaisseur maximale au moyeu ;

• la fraction de surface développée.

Cette dernière grandeur, ϕ, traduit le rapport qui existe entre la surface de l'hélice et

celle d'un disque de diamètre D. La surface d'une pale est déterminée comme l'intégrale de la

corde entre le moyeu et l'extrémité :

∫=R

rd

H

dr)r(CS (3)

et la fraction de surface développée s'exprime sous la forme :

ϕπ π

= =∫ZS

R

Z Cdr

D

r

R

H

2 2

4

(4)

cette quantité peut varier entre 0,5 et 1 suivant que l'on s'intéresse à des navires de commerce

lents ou à des navires militaires rapides. On verra que ϕ a une influence importante sur la

cavitation de l’hélice.

2.2 Géométrie des sections de pales et forme en plan.

Après avoir défini les caractéristiques géométriques générales des pales le concepteur

est amené à choisir une section de pale. Cette section sera déterminée par rapport à ses

caractéristiques hydrodynamiques et son épaisseur, e, devra permettre de supporter les

contraintes mécaniques issues, en fonctionnement, des efforts hydrodynamiques sur la pale et

des efforts centrifuges. Les sections de pales tendent aujourd'hui, pour des raisons liées en

particulier aux conditions d'apparition de la cavitation et à l’adaptation au sillage, à voir leur

épaisseur relative augmenter alors que la tendance, pour des questions de rendement du

propulseur, était jusqu'à présent de choisir des profils minces.

10

L'épaisseur, e, décroît en général linéairement du moyeu à l'extrémité de la pale. La

corde locale quant à elle augmente du moyeu jusqu'à la section 0,7 R puis décroît rapidement

pour s'annuler à l'extrémité.

La forme en plan de la pale peut ainsi être définie à partir des valeurs du tableau 1 ou

l'on trouve en fonction du rayon adimensionnel la valeur de la corde la position de la section

par rapport à la génératrice et l’épaisseur de la section.

Tableau 1 : Paramètres géométries des hélices Wageningen

ZBAD

trr −=

R

r

ϕ

Z

D

c

c

a

c

b

Ar Br

0,2 1,662 0,617 0,350 0,0526 0,0040

0,3 1,882 0,613 0,350 0,0464 0,0035

0,4 2,050 0,601 0,351 0,0402 0,0030

0,5 2,152 0,586 0,355 0,0340 0,0025

0,6 2,187 0,561 0,389 0,0278 0,0020

0,7 2,144 0,524 0,443 0,0216 0,0015

0,8 1,970 0,463 0,479 0,0154 0,0010

0,9 1,582 0,351 0,500 0,0092 0,0005

1,0 0,000 0,000 0,000 0,0030 0,0000

2.3 Pas des hélices à pales orientables.

Lorsque l’on modifie le calage des pales d’une hélice à pales orientable on obtient une

modification de l’ensemble des angles de calage d’une valeur identique. Comme une hélice à

pas constant à des angles de calage qui varie du moyeu à l’extrémité la loi de pas s’en trouve

donc globalement modifiée.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-2 -1 0 1 2 3 4

-30

-20

-10

0

10

-0,20 0,48 1,19 2,00 3,00

Calage

Pas géométrique moyen

Pas [m]

r

R[-]

Figure 9 : Evolution du pas local en fonction de l’angle de calage (0° géométrie nominale).

11

Les variation du pas en fonction du calage de la pale sont représentées sur la figure 9.

Sur cette figure la géométrie nominale de l’hélice, qui correspond ici à un pas constant de 2 m,

est associée à un calage nul. A bord on trouve plus souvent le calage nul associé à la poussée

nulle c'est-à-dire à un pas géométrique moyen égal à zéro.

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3. Description du fonctionnement de l'hélice.

3.1 Description théorique (Rankine 1865 - Froude 1887).

3.1.1 Description générale des efforts sur le propulseur.

Nous supposerons, pour aider au raisonnement, que la masse d’eau M qui participe au

fonctionnement de l’hélice à l’instant t se trouve située dans la zone délimitée par un trait fin

sur la Figure 10.

Figure 10 : Schéma simplifié de fonctionnement d’une hélice.

Le propulseur, matérialisé ici par le "disque hélice", est relié au navire. Nous

admettrons que l’eau est un fluide parfait incompressible. L’eau pénètre dans la partie amont

du propulseur avec un débit massique m et une vitesse V que nous supposerons ici égale à la

vitesse du navire puis ressort à l’aval avec le même débit massique et une vitesse V + v. Pour

augmenter la vitesse du fluide de V à V + v le propulseur absorbe une puissance F. Dans ce

processus la pression reste uniformément égale à P0 à l’avant comme à l’arrière du propulseur.

Nous admettrons enfin que l'eau, sous l'action du propulseur exerce sur l'hélice une force T

dirigée vers l'avant.

Soit Q la quantité de mouvement de la masse d'eau M à l'instant t. A l'instant t + dt la

masse d'eau M a progressé vers l'arrière et a été en partie remplacée par la masse d'eau m dt

qui a pénétré dans le propulseur. Vers l'arrière M a évacué une masse d'eau m dt à la vitesse

V + v. La quantité de mouvement de M est alors Q + dQ. Nous pouvons écrire :

dQ = m V dt - m (V + v) dt = -m v dt

La variation de la quantité de mouvement est égale à chaque instant à la somme des

forces appliquées au système. L'eau subit donc une force - T égale à dQ

dtmv T= − = − . La

force propulsive exercée par l'eau sur le propulseur vaut donc :

T = m v (5)

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3.1.2 Rendement maximum du propulseur.

Déterminons la puissance absorbée par le propulseur pour entraîner le navire à une

vitesse V, pour cela considérons la variation de l'énergie cinétique de M :

( )dE m V v dt mV mv Vv

= + − = +

1

2

2 12

2

2 (6)

il vient donc par application du théorème de l'énergie cinétique :

Fdt mv Vv

dt= +

2

soit

F T Vv

= +

2 (7)

Le rendement du propulseur est égal à l'énergie restituée sur l'énergie absorbée. Ici

cette définition conduit à :

ηmax = =

+

TV

F

V

Vv

2

(8)

On constate donc que le rendement maximum est d'autant plus élevé que le surcroît de

vitesse qu'il apporte au fluide est plus faible. La force T devant être aussi élevée que possible

il faut donc augmenter la masse de fluide mise en jeu pendant l'intervalle de temps dt. Il faut

donc dans la mesure du possible pour une hélice augmenter son diamètre (m�) tout en

diminuant le l'augmentation de vitesse communiquée au fluide (v�).

3.2 La propulsion par hélice.

Considérons une hélice en eau libre avançant à une vitesse V pour une vitesse de

rotation de sa ligne d'arbre égale à n. En première approximation l'écoulement peut être

considéré comme celui autour de la persienne définie à la Figure 8. Chaque pale voit alors, sur

le profil d'épaisseur dr situé à la distance r (rh < r < R) du moyeu, un écoulement incident, Ve,

composé de la vitesse d'avance de l'hélice et de la vitesse de rotation 2πnr, Figure 11. On sait

qu'en fluide parfait cet écoulement créerait sur le profil un effort dF orthogonal à Ve. En fluide

visqueux dF comporte une composante dirigée suivant Ve, cette composante est relative à la

traînée visqueuse. Cet effort se décompose en une force dT et une force dN dont les

résultantes T et N, respectivement la poussée sur l'hélice et la force responsable du couple sur

la ligne d'arbre, sont données par les expressions :

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∫

∫

∫

=

=

=

R

r

R

r

R

r

h

h

h

rdNZQ

dNZN

dTZT

(9)

Figure 11 : Efforts élémentaires sur une section de pale.

L'hélice est donc un système mécanique qui, recevant un couple Q correspondant à une

puissance fournie Pf = 2πnQ restitue une poussée T correspondant à une puissance utile

Pu = VT. Le rendement de cette installation est donc donné par :

ηπ

= =P

P

VT

nQ

u

f 2 (10)

Il est aisé de voir sur la Figure 11 que la viscosité entraîne une augmentation de dN et

une diminution de dT, au résultat une diminution du rendement η.

3.3 Pas effectif.

D'après le schéma de la Figure 11, le calage géométrique de la pale au rayon r

correspond à une valeur tgH

rγ

π=

2 de l'angle entre la direction de la face (pour cette valeur du

rayon) et le plan de l'hélice. Si toutes les sections de la pale avaient le même pas géométrique

(hélice à pas constant) l'incidence, i, égale à γ - β s'annulerait simultanément pour toutes les

sections et l'on aurait :

tgV

nrtg

H

rβ

πγ

π= = =

2 2

15

Si l'on utilise les valeurs moyennes de l’angle défini pour une section équivalente, Re,

généralement compris entre 0,7 et 0,75 R, on peut écrire :

tgV

nR

V

n

Re e

γπ π

= =2 2

(11)

Cette relation définit l'avance par tour d'hélice AV

n= . Si, lors d'un essai de l'hélice en

eau libre, on modifie, pour n maintenu constant, la vitesse d'avance, V, on note que la poussée

s'annule pour V' ≠ nH = V. Répétant cette expérience pour diverses valeurs de n on remarque

que le rapport 'Hn

'V= pour lequel la poussée s'annule reste constant. Cette valeur H' est

appelée le pas effectif de l'hélice, il est supérieur au pas géométrique H et l'on a tg γ' > tg γ. La

différence entre le pas effectif H' et l'avance par tour A est appelée le recul, r. Il caractérise en

fait l'incidence sous laquelle la pale voit l'écoulement incident. On peut écrire les relations

approchées suivantes entre les angles γ et γ' :

γ γ γ γγ γ

γ γ

γ γ

γ' ( ' )

'

'

'− ≈ − =

−

+≈

−

+tg

tg tg

tg tg

tg tg

tg1 1 2

cette expression pouvant être transformée pour estimer le pas effectif H' par rapport au pas

géométrique H :

( )

H HD

Hk

e

c

H

D' , '

,≈ + +

1 0 75 11

0 75

0,75

0,752

2

ππ

pour les navires de commerce le terme H

D< 1et l'on a en première approximation la formule

de Le Besnerais :

H H kZe

H'≈ +

1

ϕ (12)

avec Z nombre de pales, e épaisseur de la pale au rayon r = 0,75 R et ϕ fraction de surface

développée de la pale, la constante k étant voisine de 0,7. Cette expression ne peut en tout cas

donner qu'une première estimation du pas effectif qui doit être déterminé par des essais en eau

libre.

16

4. Analyse dimensionnelle et paramètres de similitude.

4.1 Grandeurs principales.

Les grandeurs dynamiques auxquelles nous nous intéressons ici sont :

• la poussée T ;

• le couple Q ;

• le rendement η.

Ces grandeurs dépendent des paramètres suivants :

• le diamètre de l'hélice D ;

• le pas de l’hélice H ;

• la vitesse d'avance V ;

• le nombre de tours par unité de temps n ;

• la pesanteur g ;

• la viscosité du fluide ν ;

• la masse volumique de l'eau ρ.

Choisissant comme grandeurs fondamentales le diamètre, D, la vitesse de ligne d'arbre,

n et la masse volumique les 4 paramètres sans dimensions fondamentaux suivants peuvent

être formés :

• le coefficient de poussée : KT

n DT =

ρ 2 4 ;

• le coefficient de couple : KQ

n DQ =

ρ 2 5 ;

• le degré de progression : JV

nD= ;

• le rendement : .

Il est aussi possible d'écrire les paramètres secondaires :

nombre de Reynolds : ν

=2nD

Re ;

nombre de Froude : Fr nD

g= .

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qui vont être utilisés pour rendre compte des effets visqueux ou des effets de surface libre. Si

l'hélice est suffisamment immergée le nombre de Froude ne joue aucun rôle et les coefficients

de poussée, de couple et le rendement peuvent être mis sous la forme de fonctions du nombre

de Reynolds et du paramètre d'avance.

Les effets de la viscosité peuvent être évalués en fonction de la fraction de surface

développée et de la valeur du nombre de Reynolds local et ainsi, pour une valeur donnée du

nombre de Reynolds les coefficients ne sont plus fonction que du paramètre d'avance.

4.2 Analyse dimensionnelle.

Afin de mettre les différents groupements précédents en évidence nous allons procéder

à une analyse dimensionnelle des paramètres de fonctionnement du propulseur. En particulier

les deux grandeurs qui nous intéressent sont la poussée que produira l'hélice, T, et le couple

qu'il est nécessaire de lui fournir pour qu'elle produise cette poussée, Q. Ces deux grandeurs

sont des fonctions des paramètres géométriques et en particulier du diamètre, D, du

propulseur, de la vitesse de rotation, n, de la ligne d'arbres, de la vitesse d'avance, V, du navire

des caractéristiques de l'eau (viscosité ν, et masse volumique ρ), de la pression à laquelle

fonctionne l'hélice et de l'accélération de la pesanteur, g. Les relations peuvent être mise

formellement sous la forme :

( )( )g,p,,,V,n,H,DGQ

g,p,,,V,n,H,DFT

ρν=

ρν= (13)

Le théorème de Vaschy nous dit que ces relations doivent conduire au même résultat

physique quel que soit le système d'unités cohérent dans lequel elles sont exprimées. En

particulier il est possible de choisir trois unités de base, masse, [M], longueur, [L] et temps,

[T], caractéristiques du problème et à partir desquelles toutes les grandeurs propres au

problème pourront s'exprimer. Nous avons ici des grandeurs dont les dimensions sont les

suivantes :

T :: [M][L][T-2]

D :: [L]

H :: [L]

n :: [T-1]

V :: [L][T-1]

ν :: [L2][T-1]

ρ :: [M][L-3]

p :: [M][L-1][T-2]

g :: [L][T-2]

On peut donc choisir les unités fondamentales de la façon suivante :

l'unité de longueur D,

l'unité de masse construite à partir de ρ et égale à ρD3,

18

l'unité de temps pouvant être construite de deux façons différentes soit à partir de la

vitesse d'avance V et égale à V

D, soit à partir de la vitesse de rotation et égale à

n

1. Ces deux

définitions conduiront à des expressions différentes du nombre de Reynolds. Un argument

physique pour le choix de l’unité de temps consiste à remarquer que la vitesse, V, est la

vitesse d’avance du navire et que par conséquent c’est une grandeur qui ne caractérise pas que

le fonctionnement de l’hélice, contrairement à n qui est un paramètre de fonctionnement

propre à l’hélice. Nous choisirons donc cette grandeur pour définir l’unité de temps. Par

application des unités qui viennent d'être définies les expressions (13) deviennent :

ρ

ν=

ρ=

ρ

ν=

ρ=

222252Q

222242T

Dn

p,

Dn

g,

nD,

nD

V,

D

HG

Dn

QK

Dn

p,

Dn

g,

nD,

nD

V,

D

HF

Dn

TK

(14)

on reconnaît ici trois grandeurs qui sont un nombre de Reynolds, ν

nD2, un nombre de

Reech-Froude, g

n D2 et un coefficient de pression

p

n Dρ 2 2. L'expérience montre que ces trois

grandeurs interviennent comme des termes correctifs sur les expressions des coefficients de

poussée, KT et de couple KQ. Le coefficient de pression interviendra en particulier sous une

forme légèrement différente lors de l'apparition du phénomène de cavitation. Il sera mis sous

la forme p p

n D

v−

ρ 2 2, nombre de Thomas paramètre de similitude essentiel à respecter pour

évaluer les risques relatifs à la cavitation. Le terme H/D est un paramètre géométrique qui est

constant dès lors que l’on a choisi une hélice, la poussée et couple seront donc représentés

pour différentes valeurs du pas réduit lorsque l’on tracera les caractéristiques KT et KQ en

fonction du paramètre principal.

Ce dernier paramètre s'appelle le degré d'avance, J, il est proportionnel à la tangente de l'angle

β définit sur la Figure 11 et caractérise en fait l'angle d'incidence de la pale avec l'écoulement

amont. C'est le paramètre principal en fonction duquel nous allons, au chapitre suivant, étudier

les courbes caractéristiques du fonctionnement de l'hélice.

19

5. Courbes caractéristiques du fonctionnement d'une hélice.

5.1 Evolution des courbes de performances en fonction du degré d'avance.

Ces courbes peuvent être tracée et ont l'allure donnée à la Figure 12.

Figure 12 : Courbes caractéristiques du fonctionnement d'une hélice.

En reprenant le graphique présenté à la Figure 11 il est évident que si, pour n constant,

on diminue la vitesse d'avance alors l'incidence du profil, donc la force dF, augmente. Ainsi

lorsque J diminue on obtient bien une augmentation de KT et KQ conformément au schéma

présenté à la Figure 12. De la même façon l'expression 10 montre que le rendement doit

s'annuler pour J = 0 et pour KT = 0.

5.2 Point d'annulation de la poussée.

Si toutes les sections cylindriques avaient le même pas H les angles d'incidence des

différents profils élémentaires s'annuleraient tour à la fois pour :

tgV

nrtg

H

Dβ

πγ= = =

2 (15)

c'est à dire pour une valeur JV

nD

H

DJ= = = 0 . Pour cette valeur particulière du degré d'avance

la poussée et le couple s'annulent en fluide parfait. En fait l'angle γ n'est pas strictement égal à

l'angle de portance nul du profil γ'. On a donc en fluide parfait γ' > γ et la valeur de J qui

annule KT, donc KQ est supérieure à H

D, notons la

H

D

'.Par ailleurs l'effet de la viscosité étant

de diminuer KT et d'augmenter KQ on obtient finalement une annulation de KT pour une

valeur P du paramètre d'avance telle que H

DP

H

D< <

' et que l'on appelle le pas effectif, Figure

13.

20

Figure 13 : Localisation du point de poussée nulle pour une hélice réelle.

5.3 Point de fonctionnement.

Nous venons de voir comment dans le voisinage du point de poussée nulle les courbes

de poussée et de couple se disposaient. Il est intéressant de savoir maintenant comment le

point de fonctionnement nominal de l'hélice va se disposer par rapport à ces courbes. Ce point

est évidemment voisin du point de poussée nulle qui serait obtenu si l'hélice se "vissait"

parfaitement dans le fluide. A l'évidence en ce point la poussée s'annule et le navire ralenti. Le

point de fonctionnement nominal est donc obtenu pour une valeur légèrement inférieure du

paramètre d'avance donc pour une valeur de. Pour des valeurs inférieurs de ce rapport la

poussée de l'hélice augmente on se trouve alors dans une phase d'augmentation de la vitesse

d'avance (accélération) et pour des valeurs supérieures de ce rapport on observe une

diminution de la vitesse d'avance (décélération). Une analyse du diagramme de la Figure 11

conduirait aux mêmes conclusions.

5.4 Séries classiques.

Afin d’étudier de façon systématique l’influence des paramètres géométriques sur les

performances de l’hélice plusieurs bassin ont réalisé des « séries ». En particulier le bassin de

Wageningen a étudié plusieurs séries dont la série « B » qui a fait l’objet d’études

approfondies sur plus de 100 hélices.

Pour cette série les résultats expérimentaux ont été mis sous la forme de polynômes2

qui permettent de calculer les valeurs de KT et de KQ en fonction d’une géométrie choisie. Ces

polynômes sont de la forme :

mm

m

m

nn

n

n

VU47

1m

TS

mQ

VU39

1n

TS

nT

ZD

PJCK

ZD

PJCK

ϕ

=

ϕ

=

∑

∑

=

= (16)

2 Marine Propellers & Propulsion, 1994, Carlton J. S., Butterworth Heinemann Ltd.

21

6. Le sillage du navire.

Il importe de décrire maintenant les conditions dans lesquelles l’hélice va travailler et

en particulier le champ de vitesse qui va l’alimenter.

Pour des raisons de sécurité et de commodité de mise en place du propulseur celui-ci

est en général implanté à l’arrière de la carène dans une zone de l’écoulement qui est en fait

extrêmement perturbée. C’est la zone où l’écoulement autour de la carène est en phase de

recompression, dans cette zone de gradient de pression inverse, la couche limite s’épaissit de

façon très importante, épaississement pouvant, dans le pire des cas, donner lieu à des

décollements de l’écoulement si la carène est mal dessinée.

La description du champ de vitesse se fait généralement en terme de rapport de vitesse.

En un point d’intérêt du disque hélice les composantes de vitesse de l’écoulement incident

sont va, vr et vt. En fonction de la vitesse d’avance Va les composantes du sillage, w, sont

reportées sous la forme :

wv

Vw

v

Vw

v

Va

a

at

t

ar

r

a

= = =, , (17)

Taylor a proposé une définition légèrement différente faisant appel à la notion de perte

de vitesse. Dans cette définition les composantes du sillage sont définies par :

wV v

Vw

V v

Vw

V v

Va

a a

a

t

a t

a

r

a r

a

=−

=−

=−

, , (18)

On tracera ainsi une cartographie du sillage dans le disque de l’hélice en mettant en

évidence une composante normale au plan de l’hélice, Figure 14a, et une composante dans le

plan de l’hélice, Figure 14b.

Figure 14: Décomposition du sillage en composante (a) axiale et (b) dans le plan de l’hélice.

A partir de cette cartographie la vitesse moyenne ou fraction de sillage est définie par :

ww rdr

rdr

ar

R

r

R

h

h

=∫

∫ (19)

6.1 Analyse du sillage.

Cette analyse est basée sur une décomposition en série de Fourier de la vitesse

rencontrée par la pale à pour une position x = r / R par rapport à l’axe de l’hélice. Le nombre

d’harmoniques que l’on devra considérer est fonction du nombre de pales et croît avec celui

ci. Pour une hélice à 5 pales on considérera en général les 10 premières harmoniques du

sillage.

22

6.2 Sillage nominal.

Il s’agit du sillage de la coque nue sans son propulseur. Il peut se décomposer en une

composante potentielle, une composante visqueuse et une composante induite par le champ de

vague de la carène il s’écrit donc :

wn = wp + wv + ww + ∆w

Le terme ∆w est un terme de non linéarité qui provient de l’interaction qui existe entre

les diverses composantes du sillage. Le sillage nominal peut être déterminée par une mesure

des composantes de la vitesse dans le disque hélice sur le modèle en bassin.

6.3 Sillage effectif.

L’hélice étant en fonctionnement le champ de vitesse qui en résulte n’est pas la simple

superposition du sillage nominal, défini plus haut, et d’une vitesse induite par l’hélice. En fait

des interactions extrêmement compliquées font qu’en présence du propulseur une différence

importante existe entre le sillage nominal et le sillage effectif. Sa détermination peut être faite

soit de façon additive, par rapport au sillage nominal, soit de façon soustractive par rapport au

sillage total conformément au schéma donné à la Figure 15.

Figure 15 : Schéma de composition du champ de sillage d’une carène.

La méthode additive est de loin la plus employée car la mesure du sillage nominal est

considérablement plus aisée et plus précise que celle du sillage total, propulseur en fonction.

6.4 Effets d’échelle.

Les essais en bassin sont réalisés pour des nombres de Froude identique entre le

modèle et le réel. Dans ces conditions il est évident que les nombres de Reynolds peuvent

différer de plusieurs ordres de grandeur. Afin de déterminer le sillage du navire il est essentiel

de prendre en compte cet effet d’échelle. A titre d’exemple les différences entre le sillage

nominal au modèle et au réel d’un même navire sont présentés sur la Figure 16.

23

(a) (b)

Figure 16 : Comparaison entre les sillage nominaux d’une même carène au modèle (1/14) (a) et au réel (b).

On remarquera qu’au réel le déficit de vitesses dans le sillage nominal est beaucoup

plus réduit. On dit en général que le sillage se trouve "contracté " au réel. Deux méthodes

d’extrapolation au réel ont été proposées l’une est due à Sasajima et l’autre à Hoekstra.

24

7. L’hélice derrière la carène.

Jusqu'à présent nous avions observé le fonctionnement de l'hélice indépendamment du

bâtiment qui doit être propulsé. Par ailleurs nous venons de voir que la présence du bâtiment

modifie le champ de vitesse qui alimente l'hélice. Il va donc exister une interaction entre

l'hélice et la carène qui va entraîner une modification de ses caractéristiques de

fonctionnement, et, comme nous allons le voir maintenant, cette modification ne se résume

pas au fonctionnement dans un champ de vitesse non uniforme.

7.1 La succion.

Tout d'abord lorsque l'on compare, lors d'un essai d'autopropulsion, la poussée

nécessaire à entraîner le navire à la vitesse V, T, et la force de remorquage, R, nécessaire à

entraîner le même navire à la même vitesse V on constate que T est supérieure à R. Cet état de

fait n'est pas surprenant en soit puisque R est relatif à la carène nue alors que T est relatif à la

carène avec ses appendices, les chaises de ligne d'arbre et le safran de gouvernail en

particulier. Mais, ce qui est plus surprenant, l'on constate également que T > R (1+a) si cette

quantité désigne la résistance de remorquage de la carène équipée de ses appendices. a est la

majoration pour appendices qui peut valoir 10 à 20 % de R et qui décroît lorsque la vitesse

augmente. On pose donc :

( )R a

Tt

11

+= − (20)

t caractérise l'effet de succion et vaut jusqu'à 0,2 pour un navire à une hélice et peut descendre

jusqu'à 0,07 pour un navire rapide à deux lignes d'arbres. Cet accroissement de la résistance à

l'avancement à pour cause la dépression causée par l'hélice qui aspire l'eau qui se trouve vers

l'arrière de la carène.

7.2 Le sillage.

Nous avons vu au chapitre consacré au sillage que la vitesse d'alimentation de l'hélice

est différente de la vitesse d'avance du navire et que l'on pouvait écrire de façon globale que :

U

Vw= −1 (21)

où V est la vitesse du navire et U la vitesse d'alimentation de l'hélice. Comme l'hélice se

déplace à la même vitesse V que le navire on en conclut qu'elle progresse dans une eau déjà

animée d'une certaine vitesse d'avance dans sa direction de progression. Nous avons vu que w

peut varier de 0,05 pour un navire rapide à deux lignes d'arbres jusqu'à plus de 0,3 pour un

gros navire de charge à une ligne d'arbre.

7.3 Rendement d'adaptation de l'hélice à la coque.

La puissance absorbée par l'hélice devrait, en toute logique, être égale à la puissance

torsiomètrique qui peut être mesurée sur l'arbre d'hélice diminuée d'un terme relatif au

rendement de ligne d'arbre (frottements dans les paliers et dans le presse-étoupe), soit :

ηlT

T

F

F= 2 (22)

25

Ou FT représente la puissance torsiomètrique en sortie moteur et FT2 la puissance

torsiomètrique disponible en aval de la chaise. En fait on constate que FH ≠ FT2 avec le plus

souvent FH < FT2.

On pose donc :

ηη

aH

l T

F

F= (23)

ηa est appelé le rendement d'adaptation de l'hélice à la coque.

7.4 Rendement propulsif global.

Ce rendement est définit comme le rapport entre la puissance nécessaire à remorquer le

navire à la vitesse V à la puissance fournie sur l'arbre par le moteur :

ηgT

RV

F= (24)

cette expression pouvant être réécrite en introduisant de façon arbitraire les termes relatifs aux

différents effets qui viennent d'être décrits :

( )

ηη

η ηηg

T

H

H

l

l

H

T ll

H

RV

F

a

a

T

T

U

U

F

F a

R a

T

V

U

F

F

TU

F=

+

+=

+

+1

1

1

1

1 (25)

soit encore :

η η η η η ηg A c a H l= (26)

si l'on pose :

ηAa

=+

1

1 rendement d'appendices dont la valeur est de l'ordre de 0,9.

( )ηc

R a

T

U

V

t

w=

+=

−

−

1 1

1 qui constitue le rendement de coque qui prend en compte le sillage et

la succion et qui varie de 1 - 1,3 pour les bâtiment à une hélice (le sillage est alors un

phénomène favorable au rendement) à 0,85 - 0,95 pour un navire à deux lignes d'arbres.

ηη

aH

T l

F

F= qui est le rendement d'adaptation de l'hélice à la coque et qui varie de 0,95 à 1,05.

ηHH

TU

F= qui constitue le rendement de l'hélice en eau libre dont la valeur peut varier de 0,5

à 0,75.

ηlT

T

F

F= 2 , rendement de ligne d'arbres dont la valeur est de l'ordre de 0,98.

La difficulté principale de la définition qui vient d'être donnée du rendement propulsif

global et que les deux termes qui entrent dans sa définition ne sont, en général pas mesurés

dans les mêmes conditions puisque R est mesurée lors d'un essai en bassin alors que FT est

mesuré au réel lors de l'essai de recette du navire. Pour éviter cela les grands navires subissent,

pendant leur étude un essai d'autopropulsion au cours duquel la puissance FT est mesurée sur

26

le modèle. Cette mesure permet en outre de déterminer un coefficient de corrélation

bassin / mer après recette du bâtiment égal à 1 + x et tel que :

FTM = (1 + x) FTB (27)

ce coefficient prend en compte des erreurs systématiques en particulier dues aux effets

d'échelle lorsque les effets visqueux sont prépondérants et que la différences entre les nombres

de Reynolds obtenus au bassin et en mer est mal compensée par les formules d'extrapolation

qui sont utilisées aujourd'hui. Ce coefficient, de l'ordre de 0,8 à 1,1, est utilisé a posteriori

pour affiner les prévisions de puissances relatives à des navires de même type.

27

8. Performances des hélices.

Après avoir décrit le fonctionnement des hélices il est intéressant de regarder quelles

performances elles sont capables d'atteindre en fonction des divers paramètres géométriques

permettant de les décrire. Nous nous intéresserons en particulier aux paramètres suivants :

• nombre de pales ;

• fraction de surface développée ;

• pas réduit.

Afin de pouvoir comparer les hélices d'une même famille sur un point particulier seul

un paramètre évolue, tous les autres restants fixes.

8.1 Types classiques d'hélices propulsives.

Afin de permettre à un architecte de faire le choix d'une hélice propulsive adaptée à un

projet donné il existe un certain nombre de familles d'hélices dont les caractéristiques sont

connues et qui ont donné lieu à de nombreux essais décrits dans autant de publications

désormais classiques.

Parmi les familles d'hélices classiquement utilisées citons les hélices Wageningen et

les hélices Gawn dont les caractéristiques (KT, KQ, η) ont été tabulées à l'aide de fonctions

polynomiales dépendant des caractéristiques géométriques de ces hélices.

8.1.1 Wageningen série B.

Cette série comprend des hélices dont le nombre de pales peut varier de 2 à 7. Cette

caractéristique ainsi que le fait que les résultats de nombreux essais ont été publiés nous

permettent d'utiliser cette hélice pour étudier l'effet du nombre de pales sur les performances

propulsives. Le pas réduit pour cette série varie de 0,6 à 1,4 et les autres paramètres sont

rappelés dans le tableau 2.

Tableau 2 : Caractéristique de fraction de surface développée des hélices de la série B.

Z Fraction de surface développée AE/A0

2 0,3

3 0,35 0,5 0,65 0,8

4 0,4 0,55 0,7 0,85 1

5 0,45 0,6 0,75 1,05

6 0,5 0,65 0,8

7 0,55 0,7 0,85

Dans cette série le diamètre du moyeu est de 16,9 % du diamètre maximum de l'hélice.

Aucun résultat d'essais en cavitation n'est disponible pour cette série d'hélices qui comprend

au total environ 120 spécimens.

28

8.1.2 Série Gawn.

Cette série classique ne comprend que des hélices à trois pales ayant des pas réduits

variant de 0,2 à 2 et des fractions de surface développée allant de 0,2 à 1,1. Dans cette série le

diamètre du moyeu est de 20 % du diamètre maximum de l'hélice et les résultats de 37 essais

hors cavitation sont disponibles. L'intérêt de cette série réside dans les plages de paramètres

adoptés pour P/D et pour AE/A0. La Figure 17 présente la représentation développée des pales

de la série Gawn. On remarquera la grande amplitude de variation du paramètre de fraction de

surface développée.

Figure 17 : Dessin des pales de la série Gawn.

Grâce aux nombreux essais réalisés les performances de cette série d'hélice ont pu être

tabulées et permettent de comparer numériquement les effets de la fraction de surface

développée et du pas réduit.

8.2 Nombre de pales.

A partir du résultat des essais de la série B Wageningen il est possible d'étudier

l'évolution du rendement pour des hélices ayant même fraction de surface développée et même

pas réduit. Les résultats de cette comparaison sont donnés dans la Figure 18.

0.0 0.4 0.8 1.2

Pas réduit [-]

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Re

nd

em

en

t [-

]

3 pales

6 pales

Figure 18 : Evolution du rendement d'hélices de la série B Wageningen en fonction de leur nombre de pales

(P/D = 1, AE/A0 = 0,8).

29

On remarquera en général que le rendement propulsif de l'hélice en eau libre est

amélioré lorsque l'on augmente le nombre de ses pales. Ce fait correspond à ce que le nombre

de pales augmentant l'on se rapproche des conditions optimales déterminées par la théorie de

Rankine qui correspond au disque "actuator" qui comporte une infinité de pales. Cependant

dans la pratique ce paramètre à peu d'effet et le choix du nombre de pales dépend plus des

caractéristiques du sillage et des pressions fluctuantes que l'on souhaite minimiser. Des

comportements inverses (diminution du rendement avec l'augmentation du nombre de pales)

peuvent d'ailleurs être observés. Ce type de comportement peut, en particulier, être lié au fait

que la fraction de surface développée augment en général avec le nombre de pales et que les

effets de traînée visqueuse sont proportionnels à la surface du propulseur.

8.3 Fraction de surface développée.

Ce paramètre va être étudié à partir des résultats disponibles sur la série Gawn. Les

courbes des rendements comparés sont données sur la Figure 19.

Figure 19 : Evolution du rendement d'hélices de la série Gawn en fonction de leur fraction de surface développée.

On remarquera que l'augmentation de ce paramètre correspond à une baisse du

rendement. Ce fait est du à l'augmentation des pertes dues à la viscosité du fluide lorsque l'on

augmente la surface mouillée de la pale. Bien que l'on ne dispose pas d'essais de cavitation sur

cette série, nous savons que l'augmentation de ce paramètre est favorable à une diminution de

la cavitation en diminuant la charge de l'hélice, donc la différence de pression intrados -

extrados à poussée constante. Cette diminution de charge est obtenue au prix d'une perte sur le

rendement propulsif de l'hélice en eau libre.

8.4 Pas réduit.

Ici nous pouvons utiliser indifféremment les résultats de l'une ou l'autre des deux séries

d'hélices présentées dans ce chapitre.

30

9. Fonctionnement de l'hélice hors adaptation.

Nous ne nous sommes intéressé jusqu'à présent qu'au fonctionnement nominal de

l'hélice, c'est à dire à un régime de fonctionnement ou l'hélice tourne dans le sens de la marche

avant pour une vitesse du navire en marche avant. En conditions de manœuvre il arrivera

fréquemment que l'hélice tourne dans le sens de la marche arrière alors que le navire évolue en

marche avant (freinage) ou au contraire que l'hélice tourne dans le sens de la marche avant

alors que le navire évolue en marche arrière (renversement de marche au cours d'une

manœuvre). Il importe alors de savoir comment se comportera le navire et comment il

répondra à ces sollicitations hors des conditions pour lesquelles sa propulsion a été calculée.

9.1 Données multi - quadrant.

La représentation classique des performances sous forme d'un diagramme en fonction

du paramètre d'avance, J, est mal adaptée pour décrire les fonctionnement hors adaptation. En

effet JV

nD= tend vers l'infini lorsque la vitesse de rotation tend vers 0, hors lors d'un

renversement de marche la ligne d'arbre passe par cet état

31

10. Conception de l’hélice propulsive.

32

11. Cavitation.

11.1 Définitions

Définition thermodynamique :

La cavitation est un phénomène de changement de phase qui intervient à température

constante sous l’effet d’une diminution de la pression locale.

Définition mécanique :

La cavitation est un phénomène de rupture du liquide que l’on soumet à une contrainte

trop importante.

Ces deux définitions de la cavitation, qui se réfèrent respectivement à la

thermodynamique et à la mécanique des milieux continus, vont nous permettre de caractériser

le phénomène essentiel qui est la variation de la pression dans la veine fluide.

La deuxième définition proposée en se référant à la mécanique des milieux continus et

à la notion de contrainte n’exclut pas l’existence possible de valeur négative de la pression

dans le fluide. En effet si l’on considère l’exemple simple d’un barreau soumis à une

contrainte de traction - compression, figure 20, la contrainte qui est dans ce cas égale au

rapport entre l’effort et la section du barreau change de signe avec le sens de la sollicitation.

Cette contrainte a bien la dimension d’une pression et elle peut être soit positive, soit

négative. En traction (flèches rouges) le barreau résistera jusqu’à la limite de rupture qui est

une caractéristique du matériau. Si l’on considère maintenant le deuxième échantillon de

liquide contenu dans un piston, de la même façon une contrainte de compression (flèche

jaune) conduit à une élévation de la pression dans le liquide. Une traction conduit à une

diminution de la pression et la rupture de la colonne liquide se produit pour une valeur de la

pression dans le liquide qui est, en première approximation égale à la valeur de la pression de

vapeur saturante (notion thermodynamique) mais qui peut être extrêmement inférieure à cette

valeur.

Echantillonmétallique

Echantillonliquide

Figure 20 : Comparaison traction compression sur deux échantillons.

33

Afin de comprendre les paramètres qui interviennent la différence entre la pression de

vapeur et la pression de rupture, analysons le comportement d’une inclusion gazeuse

sphérique contenue dans le liquide.

11.2 Equation de Rayleigh – courbes d’équilibre.

Si l’on se réfère à la seconde définition il est connu en mécanique du solide qu’une

singularité géométrique peut conduire à une augmentation locale des contraintes

(concentration de contrainte). Dans un liquide une inclusion gazeuse que l’on suppose

sphérique et non contiguë à une paroi peut jouer le rôle de singularité géométrique.

Soit une bulle sphérique de rayon initial R0. Nous allons analyser les conditions dans

lesquelles cette bulle reste en équilibre lorsque la pression à laquelle elle est soumise varie de

façon quasi statique, c'est-à-dire d’une façon où toute les dérivées temporelles de toutes les

quantités peuvent être négligées devant les autres termes.

La bulle présentée en insert sur la figure 21 est en équilibre sous l’effet d’une pression

extérieure P∞. Elle contient du gaz incondensable à la pression Pg et de la vapeur à la pression

Pv. Enfin la tension superficielle exerce sur elle un effort inversement proportionnel au rayon

de courbure de l’interface, effort qui tend à écraser la bulle sur elle-même.

On peut donc écrire, en reportant au second membre tous les termes qui l’état de la

bulle ou celui du fluide et en isolant au premier membre le terme moteur :

R

S2PPP vg −+=∞

En supposant qu’à l’instant initial les valeurs de la pression et du rayon sont P∞0 , Pg0

et R0, il vient :

0

v0g0R

S2PPP −+=∞

En supposant de plus, en raison de l’hypothèse d’évolution quasi statique que le gaz

évolue de façon isotherme on a :

R

S2P

R

RPP v

3

00g −+

=∞ (28)

Les courbes représentant P∞ en fonction du rayon pour diverses valeurs de R0 sont

représentées sur la figure 21. On remarque que pour des valeurs faibles de R0 le minimum de

la courbe est obtenu pour des valeurs faibles du rayon qui conduisent à des valeurs négatives

de la pression. Effectivement des pressions négatives ont été obtenues au laboratoire sur des

échantillons spécialement préparés ou dans des mesures dynamiques sur des profils portants.

Cet effet est alors lié à la tension superficielle qui agit pour empêcher l’expansion de la bulle

et entraîne un retard à l’apparition de la cavitation.

Si l’on recherche à partir de l’expression (28) le lieu des minima des courbes de

Rayleigh on obtient deux relations qui lient le rayon critique, Rc, et la pression critique, Pc,

définis par :

34

S2

RP3RR

300g

0c =

c

vcR3

S4PP −=

-2,0E+05

-1,5E+05

-1,0E+05

-5,0E+04

0,0E+00

5,0E+04

1,0E+05

0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 2,00E-05 2,50E-05 3,00E-05 3,50E-05 4,00E-05 4,50E-05 5,00E-05

1,00E-05

5,00E-06

1,00E-06

5,00E-07

Minima

R

S2P +∞ vg PP +

Schéma d’une bulleen équilibre

Figure 21 : Courbes de Rayleigh

Le lieu des minima est également représenté sur la figure 21. Pour chaque courbe le minima

délimite une branche stable où une modification de la pression entraîne une adaptation de la

taille de la bulle et une branche instable où une modification de la pression va conduire à un

comportement dynamique de la bulle soit dans le sens d’une explosion soit dans le sens d’un

collapse.

11.3 Equation de Rayleigh – Plesset – Comportement dynamique.

Si maintenant l’évolution de la bulle sphérique est suffisamment rapide pour que les

termes d’inertie ne puissent plus être négligés l’analyse conduite par Franc et al.3 Permet

d’établir l’équation de Rayleigh-Plesset :

0

v

3

0

0v

2

2

2

R

S2PP

R

R

R

S2PP

dt

dR

R

4

dt

dR

2

3

dt

RdR

0−+−

+−=

µ+

+ρ ∞

γ

∞ 29

où les dérivées du rayon par rapport au temps vont avoir un rôle majeur qui aura pour

conséquences de faire apparaître différents comportement de la bulle.

3 La cavitation, 1995, Franc J-P. et al., Presses Universitaires de Grenoble, Collection Grenoble Sciences

35

11.3.1 Analyse de l’équation linéarisée

L’équation (29) est fortement non linéaire mais l’on peut, sous l’hypothèse de petits

mouvements mettre le rayon sous la forme ( ))t(1RR 0 ε+= . En reportant dans l’équation (29) et

en ne conservant que les terme d’ordre 0 en e il vient :

0R

S2

R

S2PPk3

R

1

R

4

00v2

02

00

=ε

−

+−

ρ+ε

ρ

µ+ε ∞ 30

qui permet, par identification à l’équation d’un oscillateur harmonique, la détermination du

coefficient d’amortissement et de la période propre des petits mouvements de la bulle

sphérique.

11.3.2 Intégration numérique – comportement non linéaire.

L’intégration numérique de l’équation (29) permet la détermination de différents types

de comportement suivant la loi de pression temporelle imposée à la bulle.

11.4 Cavitation sur profil portant.

Un profil portant détermine lorsqu’il est mis en incidence une face en surpression et

une face en dépression. La figure 22 représente la pression sur un profil Naca0015 à 5°

d’incidence. La pression est mise sous une forme adimensionnelle en rapportant la différence

de pression entre une pression de référence et la pression locale à la pression dynamique

calculée à partir de la pression à l’infini :

2

p

V2

1

PPC

∞

∞

ρ

−= (31)

Cette expression peut, à partir de la relation de Bernoulli, se mettre sous la forme :

2

pV

V1C

−=

∞

qui permet d’exprimer le coefficient de pression par rapport à la vitesse sur le profil.

36

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

0,02

Figure 22 : Evolution du coefficient de pression sur un profil Naca 0015 à 5° d’incidence.

La cavitation prenant naissance, en première approximation, lorsque la pression

devient égale, quelque part dans l’écoulement, à la pression de vapeur on introduit, pour

caractériser la condition d’apparition un nombre sans dimension, appelé paramètre de

cavitation et égal à :

2

v

V2

1

PP

∞

∞

ρ

−=σ (32)

Le premier endroit où la pression est égale à Pv est le point ou la pression est minimale et l’on

peut ainsi écrire en comparant 31 et 32 :

σ−=

ρ

−=

ρ

−=

∞

∞

∞

∞

2

v

2

minp

V2

1

PP

V2

1

PPC (33)

Cette expression conduisant au critère classique d’apparition de la cavitation :

minPC−=σ (34)

La connaissance de la loi de pression permet donc de prévoir la position du point

d’apparition de la cavitation et, en fonction des caractéristiques de la pression à l’infini, le

risque d’apparition de la cavitation dans un écoulement. Dans le cas de la figure 22 la

cavitation apparaît à 2 % de la corde lorsque la valeur de σ est de 1,78.

On peut reporter la valeur du Cpmin pour divers angles d’incidence et ainsi construire la

courbe d’apparition de la cavitation sur le profil, figure 23. Il faut remarquer que cette figure a

été construite à partir des valeurs de Cpmin déterminées par un calcul en fluide parfait. Le

calcul aurait été réalisé en fluide visqueux la courbe aurait été légèrement différente ce qui

met en évidence les effets du nombre de Reynolds sur la valeur de σ à l’apparition de la

cavitation.

37

Zone hors cavitation

Zone cavitanteα [°]

σ [-]

Cpmin

Figure 23 : Courbe d’apparition de la cavitation sur le profil Naca 0015.

Si l’on a déterminé les régions avec et sans cavitation l’on n’a pas encore déterminé la

forme qui sera prise par la cavitation à son apparition puis lors de son développement. Pour

cela il faut réaliser une cartographie dans le plan α – σ qui permettra de définir pour chaque

point le type de cavitation associée. Nous trouverons 3 types de cavitation, des bulles, des

poches et une zone de super cavitation.

Les bulles s’observent pour des angles d’incidence faibles conduisant à des gradients

de pression modérés. Les poches prennent naissance lorsque le gradient de pression est plus

intense donc pour des angles d’incidence plus forts. Enfin la super cavitation existe aux très

faibles valeurs de σ. On considère avoir atteint ce régime lorsque la poche, en grandissant

sous l’effet de la diminution de σ, atteint une longueur qui dépasse la corde du profil.

11.4.1 Vitesse sur la poche

La pression qui règne dans une bulle qui a grossi ou dans une poche est égale à la

pression de vapeur saturante (voir figure 21). Dans ces conditions, en appliquant le théorème

de Bernoulli sur une ligne de courant qui passe au voisinage immédiat de la poche entre

l’infini amont et un point situé à la verticale de la poche il vient :

2pv

2V

2

1PV

2

1P ρ+=ρ+ ∞∞ (35)

Cette relation permet le calcul de la vitesse Vp qui est constante sur la poche :

+

ρ

−=

∞

∞∞ 1

V2

1

PPVV

2

v22p

1VVp +σ= ∞ (36)

38

Cette relation détermine la vitesse de l’écoulement sur toute la longueur de la poche en

fonction de la vitesse à l’infini et de la valeur du paramètre de cavitation.

11.4.2 Longueur de la poche.

Il existe une relation entre la valeur du paramètre de cavitation et la longueur de la

poche. Cette relation est déterminée expérimentalement pour chaque profil. Par exemple pour

le Naca 0015 qui nous sert d’exemple la corrélation expérimentale suivante est proposée4 :

45,12

17,0c

l+

α

σ−= (37)

ce travail est conforté par plusieurs études théoriques5 qui conduisent aux mêmes ordres de

grandeur et qui mettent en évidence un changement de comportement pour une valeur de l/c

voisine à 0,75, figure 24. La poche devient alors instable et le niveau de bruit augmente

énormément ainsi que les vibrations mécaniques.

0,0962

0,7485

0,050,000,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

Branches expérimentalement instables

Branches stables

Cavitation partielle

Supercavitation

C

l c

σ

α

Figure 24 : Limite de stabilité d’une poche d’après Tulin.

4 Spectral characteristics of sheet / cloud cavitation, 2000, Kjeldsen et al., Jour. Fluid Eng., 122, 481-487.

5 Linear analyses of cavitation instabilities, 1998, Watanabe et al., Proc. 3

rd Int. Symp. Cavitation, Grenoble.

39

12. Contraintes dans la structure de l’hélice.

40

13. Autres systèmes de propulsion.