Propriétés_mécaniques_1
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Propriétés mécaniques Propriétés mécaniques des matériauxdes matériaux
2012-2013
Y. JOLIFF
1
Institut des Sciences de l’Ingénieur de Toulon et du Var
Université du Sud Toulon-Var
Matériaux 1ère année
2
IntroductionIntroduction
3
Matériaux utilisé pour élaborer des pièces usuelles ou techniques subissent des sollicitations en service
Usage approprié et optimal du matériau (choix)
Connaissance du comportement du matériau
Sollicitations mécaniques
Sollicitations thermiques
Sollicitations autres
Grand nombre de propriétés caractérise un matériau, cependant, les propriétés mécaniques apparaissent bien souvent prépondérantes pour la conception d’une pièce : l’objectif premier étant la tenue mécanique
IntroductionIntroduction
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Pour une sollicitation donnée, tous les matériaux ne vont pas décrire la même évolution
Etudier le comportement mécanique d’un matériau consiste :
à suivre sa réponse (déformation / allongement) en fonction d’une charge (force appliquée / contrainte)
F
l
Comportement des verres
F
l
Comportement des élastomères
F
l
Comportement des métaux
IntroductionIntroduction
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
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Identification et classement Identification et classement rhéologiques des solidesrhéologiques des solides
2.2 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
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L’ensemble des lois de comportement des matériaux peut être obtenu à partir de 3 méthodes de formulation distinctes :
Approche microscopique :
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
cherche à prendre en compte la microstructure du matériau en vue de déterminer ses propriétés macroscopiques
Métal considéré comme un polycristal : agrégat de grains d’orientations cristallographiques différentes et au comportement individuel parfaitement caractérisé Composite représenté par sa matrice et ses fibres
Béton par la matrice et les granulats
…
Modéliser l’hétérogénéité des matériaux pour mieux prévoir le comportement moyen global
Lois relativement fines mais certaine lourdeur à la mise en œuvre
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Approche microscopique :
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
Utilisation est encore limitée à la prévision du comportement des matériaux, dans l’optique de mieux comprendre leur «fonctionnement» et d’améliorer leurs propriétés mécaniques
Approche thermodynamique : cherche un milieu continu homogénéisé équivalent au milieu réel qui représente les phénomènes physiques microscopiques par des variables internes macroscopiques
Approche fonctionnelle : repose sur l’usage de lois héréditaires de type intégral qui font intervenir des fonctions caractéristiques des matériaux utilisant des variables macroscopiques
Les approches thermodynamique et fonctionnelle, à l’inverse de l’approche microscopique, cherchent simplement à caractériser le comportement d’un élément de volume représentatif (EVR)
Abstraction de la structure fine du matériau
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
Emploi aveugle peut être dangereux s’il s’agit d’appliquer le modèle hors de son domaine de détermination initial
Méthode EVR consiste à déterminer les relations de cause à effet qui existent entre les variables constituant les entrées et les sorties du processus étudié
Elle trouve une justification dans le fait que des phénomènes de l’échelle microscopique très divers peuvent conduire, après des effets de moyenne, à des réponses globales de même nature
Dans bien des cas, cette méthode est la seule applicable dans un cadre industriel
Le choix de l’élément de volume représentatif est fondamental
Doit être suffisamment grand par rapport aux hétérogénéités du matériau
rester petit par rapport aux gradients de contraintes et de déformations dans la structure
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
Exemple EVR : il faut une trentaine de grains dans la partie utile d’une éprouvette de traction pour déterminer les propriétés d’un métal
Matériaux Hétérogénéité Eléments de volume
Métaux et alliages cristal 1 à 100 m 0,5 x 0,5 x 0,5 mm
Polymères molécule 10 à 50 m 1 x 1 x 1 mm
Céramiques grain 1 à 10 m 0,1 x 0,1 x 0,1 mm
Bois fibre 0,1 à 1 mm 10 x 10 x 10 mm
Béton granulat ≈ 10 mm 100 x 100 x 100 mm
Ordre de grandeur des éléments de volume représentatifs
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Identification et classement rhéologiques des solides
L’utilisation de la loi de comportement pour décrire un matériau donné n’est pas intrinsèque au matériau
Cette loi va dépendre de l’utilisation du matériau
sollicité en petites déformations :
sollicité en grandes déformations
Exemple : cas d’un acier à température ambiante
se comportera en suivant une loi élastique linéaire
se comportera en suivant une loi élastoplastique
à température élevée :
un comportement viscoélastique pourra être utilisé…
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
Un grand nombre de matériaux présente des comportements non linéaires
des essais mécaniques
Pour déterminer les paramètres (ou variables) de ces lois :
Les essais qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux sont relativement nombreux
Les essais simples sont bien souvent normalisés :
[1] AFNOR : Association Française de NORmalisation
[2] ISO : International Standardisation Organisation
[3] ASTM : American Society for Testing and Materials
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
Les résultats sont sous la forme d’efforts et de déplacement qui sont ensuite convertis pour obtenir une courbe sous la forme de contrainte-déformation
f ()
Géométrie des éprouvettes d’essai d’écrouissage :
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
C’est un essai de traction ( > 0) ou de compression ( < 0) qui réalisé avec une vitesse de déformation constante sur une éprouvette du matériau
Eprouvettes cylindriques munis en général de têtes d’amarrage filetées > 0
< 0
Eprouvettes sous la forme de plaques de section rectangulaire
Eprouvettes sous la forme de cylindre
Métaux et des matériaux composites
Roches et métaux en grandes déformations
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
L’essai d’écrouissage en compression simple requière des précautions particulières
s’assurer du meilleur glissement possible sur les appuis de l’éprouvette
Champs de contrainte et de déformation développés dans l’échantillon ne
seront pas représentatif d’un essai de compression simple
Effet tonneau
t = t initial t = t final t = t final
Compression
simple
Effet
tonneau
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
Modélisation de l’essai de compression – mise en évidence de l’effet tonneau
Ess
ai d
e co
mpr
essi
on s
impl
e
Ess
ai d
e co
mpr
essi
on a
vec
effe
t ton
neau
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Re
Rm
Ah Ar
R0,2
0,2%
Allure typique d’un courbe obtenue par un essai d’écrouissage :
1ère partie linéaire comportement élastique linéaire
2nde partie non-linéaire comportement plastique
Re : limite d’élasticité « vraie »
R0,2 : limite d’élasticité conventionnelle, qui correspond à une déformation inélastique de 0,2% Rm : résistance à la traction
Ah : allongement correspondant à la contrainte maximale
Ar : allongement à la rupture
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Re
Rm
Ah Ar
R0,2
0,2%
Bien qu’étant un essai simple, l’interprétation des résultats peut devenir délicate
Diminution de pente observée au-delà de Rm peut traduire des phénomènes physiques très différents
La pente négative est souvent liée au fait que le champ de déformation n’est plus uniforme
Exemple : en traction sur un métal
Phénomènes d’origine métallurgique (bandes de Lüders) ou géométrique
Lorsque les déformations sont trop importantes striction
Exemple : en compression sur une roche
Phénomènes d’endommagement désordres dans le matériau
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Courbe contrainte-déformation typique jusqu’à la rupture
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.1 - L’essai d’écrouissage
Lorsque le matériau testé est sensible à la vitesse de chargement, l’allure de la courbe de résultat est :
Les courbes expérimentales sont comprises entre deux courbes théoriques limites : Courbe à une vitesse de déformation infinie (c-à-d très grande) Courbe à une vitesse de déformation nulle (c-à-d très petite)
01
2
3
Schéma du comportement d’un matériau viscoplastique en traction simple à différentes vitesses de déformation
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.2 - L’essai de fluage
Lorsqu’une éprouvette est soumise à une traction simple (essai monodimensionnel sous une contrainte et une déformation ) si, à partir d’un certain état, la contrainte est maintenue constante :
Cas d’un matériau réel :
Observation quasi-systématique de déformations différées (phénomène de viscosité)
la déformation restera constante (absence de déformations différées dans le temps) s’il n’y a aucune viscosité
Tous les matériaux réels présentent un phénomène de viscosité, pourvu qu’une période de temps suffisamment grande soit considérée
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.2 - L’essai de fluage
Courbes type en contrainte et déformation en fonction du temps d’un essai de fluage
t
t
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.3 - L’essai de relaxation
Une autre manière de caractériser la viscosité d’un matériau est de le soumettre à un essai de relaxation
Cette fois, la déformation de l’éprouvette est maintenue constante après une pré-déformation initiale
Cet essai est essentiellement réalisé sur les métaux et les polymères
Plus le comportement du matériau présente une composante visqueuse importante, et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre éventuellement une valeur nulle
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.3 - L’essai de relaxation
Courbes type en déformation et en contrainte en fonction du temps d’un essai de relaxation
t
t
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.4 - L’essai de triaxialité
L’essai de triaxialité s’adresse principalement aux matériaux ne pouvant être sollicités en traction en raison de leur très faible résistance ou forte sensibilité aux défauts d’alignement
cas des bétons et des céramiques
L’échantillon est soumis latéralement à une pression hydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de tester des matériaux pulvérulents (argiles, sables)
sollicités en compression simple ou en flexion 3 ou 4 points
sollicités par un essai de triaxialité
L’essai de triaxialité consiste à maintenir les bords latéraux des échantillons
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.5 - L’essai de flexion
L’essai de flexion fait partie des essais classiquement utilisés pour caractériser les matériaux
Essai de flexion 3 points
Il peut être à 3 ou 4 points d’appuis
L/2
L b
h
F
F/2 F/2
2max bh
FL
2
3
Essai de flexion 4 points
b
h
l
L F/2 F/2
F/2 F/2
2max bh
)lL(F
2
3
25
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.6 - L’essai de torsion
Cet essai est principalement utilisé à haute température pour déterminer l’aptitude à la mise en forme des métaux
L’intérêt de l’essai est d’éviter tout phénomène de striction
Les interprétation des résultats obtenus sont difficile à interpréter état de contrainte et déformation non uniforme
La solution est d’opter pour des tubes minces instrumentés localement par des jauges ou des extensomètres
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.7 - Les essais cycliques
L’éprouvette est sollicitée en contrainte ou déformation périodiquement
Exemple :
Nature des matériaux différentes évolutions
Essai de traction compression cyclique sur un acier mi-dur (LMT, ENS Cachan)
Essai de compression cyclique sur un béton réfractaire (Travaux de thèse H. Marzagui (2005) Ecole des Mines d’Albi-Carmaux)
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.7 - Les essais cycliques
Au bout d’un certain nombre de cycle, le comportement atteint un seuil
Essai de traction compression cyclique sur un acier mi-dur (LMT, ENS Cachan)
On dit alors que le matériau est stabilisé
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.8 - Les essais de dureté
Point de départ un constat : certains corps ont la possibilité d’en rayer d’autres
La notion de dureté est très ancienne
un corps est plus dur qu’un autre s’il peut le rayer
Mohs (1812) propose la 1ère échelle de dureté par rayure des minéraux
échelle toujours utilisée par les minéralogistes
Il est logique d’adopter la même notion au niveau des matériaux en étudiant leur résistance à la pénétration d’un corps dur
se déplaçant parallèlement à la surface (scléromètres à rayure) ou perpendiculairement à celle-ci (dispositifs d’indentation)
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2.1 - Les grands principes d’essai mécaniques
2.2.8 - Les essais de dureté
Dispositifs d’indentation différents indenteurs
indenteurs de Brinell (1901)
indenteurs de Vickers (1922)
indenteurs de Knoop (1939)
indenteurs de Rockwell …
L'essai consiste à faire pénétrer progressivement l’indenteur de forme et de résistance appropriées (sphère, pyramide, cône...) en appliquant une force F sur la surface de l’échantillon et en la maintenant pendant un temps précis
Valeurs de dureté différentes d’un process à l’autre
Si le matériau est plastiquement déformable, une empreinte de surface latérale S et de profondeur e subsiste après retrait de la charge
La dureté s’exprime alors par :S
FH H : nombre sans dimension
(selon les normes)
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2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Brinell - procédure
L’essai de dureté Brinell fait appel à une bille en acier ou en carbure de tungstène, maintenue pendant un temps bien défini et avec une force bien déterminée
Si F est la charge d’essai (exprimée en newtons), D le diamètre (en millimètres) de la sphère (de la bille) et d le diamètre (en millimètres) de l’empreinte, la dureté Brinell est donnée par la relation :
22..
.102,0.2
dDDD
FH BRINELL
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2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Brinell - notation
Deux symboles sont utilisés pour indiquer une dureté Brinell :
HBS pour l’essai effectué avec une bille en acier
HBW pour l’essai effectué avec une bille en carbure de tungstène
Des chiffres sont placés devant et derrière ces symboles :
Le chiffre placé devant le symbole valeur de la dureté
Les trois chiffres placés derrière le symbole les conditions de l’essai
Le premier le diamètre de la bille (en mm)
Le second la valeur de la charge (en N) multipliée par le facteur de proportionnalité 0,102 (autrement dit la charge exprimée en kgf)
Le troisième chiffre la durée de maintien de la charge (en s)
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2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Brinell - notation
Exemple350 HBS 5/750/20
Dureté Brinell de 350 mesurée avec une bille en acier de 5 mm de diamètre, sous une charge de 7355 N (750 kgf) maintenue pendant 20 secondes
Valeur de la dureté
Type de duretéDiamètre de la bille/Charge /Temps
600 HBW 1/30/20
Dureté Brinell de 600 mesurée avec une bille en carbure de tungstène de 1 mm de diamètre, sous une charge de 294,2 N (30 kgf) maintenue pendant 20 secondes
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Brinell - notation
Les billes habituellement utilisées pour les essais Brinell ont des diamètres de :
1 - 2 - 2,5 - 5 ou 10 mm
Si aucun chiffre ne figure derrière le symbole HBS ou HBW, cela signifie que l’essai a été réalisé dans des conditions “normales”
Bille de 10 mm de diamètre Charge de 29 430 N Appliquée pendant 10 à 15 s
Remarque :• Aucune comparaison universelle valable entre les valeurs de dureté Brinell et les valeurs de dureté déterminées selon d’autres méthodes de dureté ou à partir des valeurs de résistance à la traction
• Relations statistiques pour des cas particuliers existent
Principes fondamentaux sûrs ont été obtenus pour de telles conversions par des essais comparatifs
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Vickers - procédure
Le principe de l’essai de dureté Vickers est le même que celui de l’essai Brinell, mais le pénétrateur est ici une pyramide en diamant à base carrée d’angle au sommet 136°, appliquée avec une force F de 49 à 980 N
On mesure la longueur d moyenne des deux diagonales de l’empreinte, à l’aide d’un système optique approprié. La dureté Vickers HV est donnée par la relation suivante :
2
.102,0.854,1
d
FHVICKERS
avec F exprimée en N et d en mm
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Vickers - procédure
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Vickers - notation
La formulation d’une dureté Vickers est assez proche de celle de la dureté Brinell
A gauche du symbole HV se trouve un chiffre donnant la valeur de la dureté
A droite du symbole HV peuvent figurer jusqu’à deux chiffres :
Le premier la valeur de la charge d’essai (en newtons) multipliée par 0,102 (c’est-à-dire la charge en kgf)
Le second la durée (en secondes) d’application de la charge
Exemple640 HV 50/20
dureté Vickers de 640 a été obtenue en appliquant une charge de 490,3 N (50 kgf) pendant 20 secondes
Valeur de la duretéType de dureté
Valeur de charge / Temps
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2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Vickers - notation
La dureté Vickers peut être étendue aux faibles charges
Pour une charge de 1,961 à 49,03 N (HV 0,2 à HV 5)
Essai de dureté Vickers sous charge réduite
Pour des charges inférieures à 1,961 N (HV 0,2 et en dessous)
Essai de microdureté Vickers
Remarque :• Lorsqu’on a affaire à des surfaces cylindriques convexes ou concaves, la valeur de dureté donnée par la formule de l’expression de la dureté HV doit être corrigée (NF A 03-154)
• Après essai : aucune déformation visible sur la face opposée à celle du pénétrateur
épaisseur de la pièce ou de la couche superficielle à indenter ne doit pas être inférieure à 1,5 fois la diagonale de l’empreinte
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Rockwell - procédure
Simples d’utilisation, les duretés Rockwell font appel à deux types de pénétrateurs :
L’essai se ramène à une mesure de longueur de l’enfoncement rémanent e du pénétrateur après application d'une surcharge
Le premier est un cône en diamant d’angle au sommet 120 °, à pointe arrondie sphérique (rayon de 0,2 mm)
Le second est une bille en acier trempé, polie, de diamètre 1,587 mm (1/16 de pouce) ou 3,175 mm
La procédure d’essai comporte trois étapes : Pénétrateur est mis en contact avec la surface du matériau à mesurer. Précharge F0 = 98 N est appliquée et l’indicateur d’enfoncement est mis à 0
1
Application d’une surcharge F1 permettant d’atteindre la charge d’essai2
Retrait de la surcharge mais conservation de la précharge et lecture de la valeur de l’enfoncement
3
39
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Rockwell - procédure
1 2 3
40
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Rockwell - procédure
La combinaison de divers pénétrateurs et de diverses charges conduit à utiliser plusieurs échelles Rockwell, symbolisées par HR suivi d’une lettre
Echelle Rockwell C (HRC) : pénétrateur est un cône de diamant auquel est appliqué une charge de 1470 N Échelle destinée aux métaux durs ayant une résistance > 1000 N.mm-2
Echelle Rockwell B (HRB) : pénétrateur est ici une bille d’acier de 1,59 mm de diamètre soumise à une charge de 980 N Échelle destinée aux aciers dont la résistance est comprise entre 340 et 1000 N.mm-2
Il existe aussi les échelles HRE (bille de 3,175 mm de diamètre, charge de 980 N) et HRF (bille de 1,587 mm de diamètre, charge de 588 N)
Les deux échelles les plus utilisées sont :
41
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Rockwell - procédure
Si e est l’enfoncement en millimètres du pénétrateur, la dureté Rockwell est donnée par les relations :
Une unité Rockwell correspond à un enfoncement de 0,002 mm
HR = 100 - 5.102.e (Rockwell C)HR = 130 - 5.102.e (Rockwell B, E et F)
Dureté Rockwell - notation
La dureté Rockwell est désignée par le symbole HR précédé de la valeur de dureté et suivi de l’échelle utilisée
Exemple85 HRC
Valeur de la dureté Type de dureté
Dureté de 85 exprimée dans l’échelle C de Rockwell
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.2.8 - Les essais de dureté
Dureté Rockwell
Pour réaliser un essai Rockwell, il est préférable de travailler sur des surfaces présentant un fini satisfaisant exemptes de rayures
L’épaisseur de la pièce ou de la couche superficielle à essayer ne doit pas être inférieure à 8e
En aucun cas, une déformation ne doit être visible sur la face opposée à celle de la mesure
Remarque :• Dureté Rockwell peut être étendue aux faibles charges pour, par exemple, réaliser des essais sur des produits minces.
Il existe notamment les échelles HRN et HRTB elles-mêmes divisées en trois sous-échelles précisant la charge appliquée
• Lorsqu’on a affaire à des surfaces cylindriques, les valeurs mesurées doivent être corrigées (les normes donnent les tables de correction)
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides2.2.8 - Les essais de dureté
L’essai Brinell sous sa forme habituelle (pour les aciers : bille de 10 mm de diamètre -charge de 29 400 N, ou bille de 5 mm - charge de 7 350 N) convient spécialement pour les mesures d’atelier L’empreinte ayant des dimensions importantes (de 2,5 à 6 mm de diamètre environ avec la bille de 10 mm, de 1,4 à 3 mm avec la bille de 5 mm), les lectures sont relativement faciles. L’état de la surface n’a pas besoin d’être particulièrement soigné
L’essai Rockwell, simple et rapide, convient pour les pièces plus petites et pour les hautes duretés (supérieures à 400 Brinell). La dispersion des résultats est nettement plus forte que pour l’essai Brinell, et il est généralement nécessaire de prendre la moyenne de deux ou trois mesures. La pièce doit être bien assise sur son support, ce qui pose parfois des problèmes d’adaptation, et l’état de surface doit être correct
L’essai Vickers convient aussi bien pour les matériaux très durs que pour les matériaux tendres, car, en raison de la constance de l’angle de pénétration, la mesure est indépendante de la charge (entre 49 et 980 N). Mais le fini superficiel doit être soigné ; la lecture au microscope est lente ; la pièce ne peut avoir que de faibles dimensions. Ce mode d’essai est plutôt du domaine du laboratoire
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.1 - Modèles analogiques
Les modèles analogiques consistent à assembler des éléments mécaniques comme un ressort, un patin, un amortisseur ou une buté afin de décrire le comportement du matériau
Mécanismes physiques mis en jeux ne sont pas pris en compte par cette approcheParmi les éléments les plus utilisés on retrouve :
Le ressort qui schématise l’élasticité linéaire
E
L’amortisseur qui schématise la viscosité linéaire
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.1 - Modèles analogiques
L’amortisseur qui schématise la viscosité non linéaire
N/1)(
Le patin qui schématise un seuil de contrainte
s
ss
La butée qui schématise un seuil de déformation
s
ss
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2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.1 - Modèles analogiques
Chacun des éléments analogiques décrits précédemment peut être associé avec un autre élément :
Association série :
i
iiet
Association série :
i
iiet
Association mixte : série / parallèle
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.2 - Fluides visqueux
Un fluide visqueux définit tout corps ayant une déformation permanente une fois la sollicitation achevée
Dans le cadre des solides, le comportement est dit viscoplastique
On observe un écoulement dès qu’une contrainte est appliquée au corps
modèle analogique simple : modèle de Maxwell
Courbe type contrainte-déformation d’un comportement fluide visqueux
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.2 - Fluides visqueux
Modèle de Maxwell : association en série d'un ressort et d’un amortisseur
Ce comportement s’applique aux « solides mous » comme les polymères thermoplastiques, le béton frais ou de nombreux métaux à haute température
Modèle viscoélastique de Maxwell
t
tan-1(
Evolution de en fonction de temps
La force dans chaque élément est la même mais les déformations individuelles sont cumulées (totale = ressort + amortisseur)
La relation de la contrainte est :
Et
E exp0
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3 - Solides élastiques
La notion d’élasticité traduit un comportement réversible du solide
Comportement réversible instantané
2.3.3.1 - Solides élastiques parfaits
Elastique parfait linéaire
Elastique parfait non-linéaire
Cas comportement élastique linéaire : modèle analogique utilisé est le ressort seul s’applique aux métaux, bétons, céramiques et roches pour des sollicitations inférieures à la limite d’élasticité
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Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
Dans ce cas la réversibilité n’est plus immédiate mais « retardée » et n’intervient qu’après un temps infini
Plusieurs modèles analogiques permettent de décrire le comportement viscoélastique:
le plus simple étant les modèles de Kelvin-Voigt
Courbe type contrainte-déformation d’un comportement viscoélastique
51
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques Modèles de Kelvin-Voigt
Le modèle de Kelvin-Voigt associe en parallèle un ressort et un amortisseur
Modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt
t
t1 t2 t3
Evolution de en fonction de temps
L’association en parallèle du ressort et de l’amortisseur impose que les deux éléments aient à tout instant la même position (ou déformation)La contrainte totale de cet assemblage est la somme des contraintes de chaque élément (totale = ressort + amortisseur)
52
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques Modèles de Kelvin-Voigt
La contrainte totale de cet assemblage est la somme des contraintes de chaque élément (totale = ressort + amortisseur) :
Eressort dt
dramortisseu
et
dt
dEtatale
Après intégration en fonction du temps de cette relation, on obtient :
Et
Etatale exp1
53
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques Modèles de Zener
Un autre modèle est également utilisé pour décrire le comportement viscoélastique qui rajoute un ressort en association série au modèle de Kelvin-Voigt
Modèle viscoélastique de Zener
Evolution de en fonction de temps
t
t1 t2 t3
a
b c
d
e
54
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3.3.2 - Solides viscoélastiques
Modèles de Zener Sous une sollicitation instantanée :
Une déformation élastique instantanée (déformation du ressort E1) se produit (jusqu’à « a »)
Suivi d’une déformation viscoélastique (cf Modèle Kelvin-Voigt) décrite entre « a » et « b »
t
t1 t2 t3
a
b c
d
e
En relâchant spontanément la contrainte : La déformation élastique est récupérée immédiatement (segment « c-d ») Suivi par la déformation viscoélastique (entre « d » et « e ») jusqu’au retour à la forme initiale aucune déformation permanente
Comportement caractéristique des polymères et des élastomères. Pour des petites sollicitations, il est également caractéristique du comportement du bois
55
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4 - Solides plastiques
La notion de solide plastique définit les solides qui conservent une déformation permanente après cessation d’une sollicitation
2.3.4.1 - Solide rigide parfaitement plastique
La déformation est nulle ou suffisamment négligeable en dessous d’une valeur seuil (s)
Il décrit les solides dont le comportement en contrainte / déformation suit la courbe
s A partir de ce seuil, la déformation est « arbitraire » et indépendante de la vitesse de la déformation
Le modèle s’applique essentiellement dans les domaines de la mécanique des roches et l’analyse de la mise en forme des métaux
< s = 0 ;
= s = p.
Le modèle analogique qui traduit se comportement est le patin
56
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.2 - Solide élastique parfaitement plastique
Il s’agit d’un comportement élastique linéaire (e = /E) suivi d’une déformation plastique (p) « arbitraire » et indépendante du temps une fois atteint une valeur seuil (s)
L’association d’un ressort et d’un patin en série modélise le comportement élastique parfaitement plastique
< s = e ; = s = e + p.
< s = e ; = s = e + p.
s
s
ep
s
Modèle de Saint-Venant
Ce modèle s’applique aux aciers à faible teneur en carbone qui présentent un palier
57
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.3 - Solide rigide plastique
Ce modèle rigide-plastique associe un ressort et un patin en parallèle :
Modèle de Prager
s
La déformation est nulle tant que la contrainte appliquée est inférieure à la valeur seuil s (caractéristique du patin)
s E
Au-delà, un écoulement plastique linéaire intervient
Modèle à écrouissage linéaire dit cinématique
car dépendant de la valeur instantanée de la déformation plastique
58
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.4 - Solide élastoplastique parfait
En ajoutant un ressort en série au modèle rigide-plastique précédent, ce dernier devient élastoplastique parfait
Il représente le comportement idéalisé des matériaux métalliques dans l'approximation élastoplastique parfaite utilisée en calcul analytique
s
s
E1
21
21
EE
EEE
E
59
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.4.5 - Solide élastoplastique écrouissable
La déformation plastique est fonction de la contrainte
Ce comportement est composé : Une première partie élastique linéaire (e = /E) réversible
Suivie d’une déformation plastique (p) permanente si la sollicitation a atteint le seuil minimal (s)
s
Modèle analogique : assemblage en parallèle de modèles de Saint-Venant
permet une bonne description du comportement élastoplastique écrouissable caractéristique, en particulier, des métaux
60
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3.4.5 - Solide élastoplastique écrouissable
Le comportement est élastique linéaire (combinaison des contributions individuelles Ei des différents ressorts) jusqu'à la valeur seuil s imposée par le patin le moins résistant
Modèle analogique : assemblage en parallèle de modèles de Saint-Venant
s1
s2
s3
sk
1234
Au-delà de cette limite, et à chaque instant, l'écoulement plastique est gouverné par la hiérarchie des résistances si des patins encore en service
En le nombre de motifs élémentaires du modèle de Saint-Venant, décrire assez finement (segments linéaires) le comportement de nombre de matériaux réels
61
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5 - Solides viscoplastiques
On retrouve le comportement décrit dans le cas des fluides visqueux : la vitesse de déformation permanente est une fonction de la contrainte
Les solides dits viscoplastiques regroupent les corps qui présentent des déformations permanentes après cessation des sollicitations et qui sous l’action d’une sollicitation tendent à s’écouler en fonction du temps (fluage)
Le modèle analogique équivalent est le modèle de Norton c’est l’amortisseur
2.3.5.1 - Solide parfaitement viscoplastique
t
N/1)( Décrit de manière « très grossière » le comportement des métaux à haute température
62
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5.2 - Solides élastique parfaitement viscoplastique
Sous une sollicitation donnée :
La déformation plastique dépend uniquement de la contrainte
Il n’y a pas de phénomène d’écrouissage
Le solide va se déformer de manière élastique (réversible instantanément) si la contrainte est inférieure à une valeur seuil
< s = e E
Puis au-delà de ce seuil, la déformation engendrée par la sollicitation sera composée d’une déformation élastique et plastique
= s = e + p )(fE
s
t
0
La déformation plastique dépend uniquement de la contrainte
Il n’y a pas de phénomène d’écrouissage
63
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5.2 - Solides élastique parfaitement viscoplastique
Sous une sollicitation donnée : Le solide va se déformer de manière élastique (réversible instantanément) si la contrainte est inférieure à une valeur seuil
< s = e E
Puis au-delà de ce seuil, la déformation engendrée par la sollicitation sera composée d’une déformation élastique et plastique
= s = e + p )(fE
s
t
0
Modèle de Bingham-Norton
s
s E
s pe
64
Identification et classement rhéologiques des solidesIdentification et classement rhéologiques des solides
2.3 - Schéma des comportements réels à partir de modèles analogiques
2.3.5.2 - Solides élastoviscoplastique écrouissable
C’est l’un des modèles le plus complexe puisque la contrainte est fonction : de la vitesse de déformation plastique et cette dernière est elle-même fonction de la variable d’écrouissage
t
Ce modèle décrit les métaux à moyenne et haute température ainsi que le bois dans le cas de sollicitations élevées
3.1 - Éprouvette de traction
65
L’essai de tractionL’essai de traction
3.2 - Dispositif expérimental
3.3 - Courbe contraintes - déformations
66
Les dimensions des éprouvettes de traction sont réglementées par les nomes :
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.1 - Eprouvettes de traction
NF EN 10002-1 dans le cadre d’essais de traction à température ambiante
NF EN 10002-2 pour les essais de traction à chaud
Géométrie des éprouvettes d’un essai de traction :
Eprouvettes cylindriques
Eprouvettes sous la forme de plaques de section rectangulaire
67
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
Un dispositif de traction est composé :
Un bâti rigide
Une traverse mobile
Le déplacement de la traverse est assuré :
par vis sans fin
par des vérins hydrauliques
L’échantillon de matériaux à caractériser est fixé entre deux mors
68
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
Une cellule de force directement liée à l’échantillon permet de mesurer la force appliquée lors de l’essai
Bâti rigide
Traverse mobile
Cellule de force
Mors
Eprouvette
69
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
L’allongement de l’éprouvette est mesuré par :
un extensomètre
des jauges de déformation
70
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.2 - Dispositif expérimental
La courbe brute d’un essai de traction se présente sous la forme de F = f(l)
Suivant la nature du matériau l’allure générale de cette courbe varie
3.2.1 - Matériaux au comportement fragile Il s’agit de matériaux ne présentant aucune déformation plastique quelques soit la valeur de la sollicitation où la rupture intervient brutalement
Les matériaux concernés sont :
La courbe F = f(l) est une droite caractéristique de l’élasticité linéaire
F
l
les verres les céramiques les bétons
la majorité des polymères thermodurcissables
la fonte grise certains aciers bruts de trempe
71
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.2.2 - Matériaux au comportement ductile Les matériaux ductile décrivent :
un comportement élastique linéaire (déformation réversible) jusqu’à une certaine valeur de force puis un comportement plastique (déformation irréversible) pour des efforts plus important
Comportement typique : des métaux des alliages certains polymères thermoplastiques
La courbe F = f(l) est :
F
l
72
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.2.3 - Matériaux au comportement élastique non linéaire
Le comportement élastique non linéaire traduit une déformation réversible non proportionnelle à la charge
Il décrit le comportement : des élastomères certains polymères thermoplastiques
La courbe F = f(l) est :
F
l
73
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3 - Courbe contraintes - déformations
L’inconvénient de ces courbes brutes est qu’elles sont dépendantes de la géométrie des éprouvettes de mesure
conversion en courbe = f() à partir des relations :
où S0 est la section initiale perpendiculaire à la direction de sollicitation de l’éprouvette de traction
et l0 est la longueur initiale entre repères de l’échantillon
0S
F
0l
let
Les contraintes s’expriment en Pascals (1 Pa = 1 N.m-2) ou mégapascal (1 MPa = 1 N.mm-2) Les déformations sont sans dimensions et peuvent être exprimées en pourcentage de déformation
74
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
La courbe = f() d’un matériau ductile peut se décomposé en 3 parties traduisant 3 phénomènes différents :
un domaine de déformation élastique
La déformation élastique linéaire obéit à la loi de Hooke : = E
La pente de la courbe de la déformation plastique est donnée par le taux de consolidation (d / d)
un domaine de déformation plastique homogène un domaine de déformation plastique inhomogène (ou striction)
La pente de la droite donne le module d’Young du matériau Dans cette partie l’échantillon s’allonge de manière homogène entre les deux repères
Elle diminue pendant que la contrainte augmente jusqu’à atteindre une valeur nulle (traduit la valeur maximale de la contrainte)
Cet extrémum traduit le changement de comportement plastique
75
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
Changement de comportement plastique au passage de l’extrémum :
en dessous de cette valeur l’échantillon s’allonge de manière homogène au dessus la déformation n’est plus homogène mais se localise dans la zone de striction
L’allongement se poursuit alors que la contrainte chute jusqu’à la rupture du matériau dans la zone de striction
76
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
77
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
Plusieurs informations caractéristiques des propriétés du matériau sont décrites par les résultats de l’essai de traction :
La limite d’élasticité
Dans la notion de limite d’élasticité deux grandeurs apparaissent :
moment où apparaît la première déformation plastique
- la limite d’élasticité vraie (Re)
- la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (Re0,2)
Re0,2 correspond à la contrainte à laquelle une déformation plastique permanente de valeur égale à 0,2% existe
Re correspond à la contrainte à partir de laquelle le comportement du matériau s’écarte de la loi de Hooke
Re délicat à déterminer dans la pratique car la transition du domaine élastique au domaine plastique s’effectue progressivement
Pour s’affranchir de cette difficulté, une limite Re0,2 est souvent utilisée
78
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
La limite d’élasticité
- la limite d’élasticité vraie (Re)
- la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% (Re0,2)
Re
Re0,2
0,2%
MPa
0,4% 0,6%
E E 20
40
60
80
79
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
La limite d’élasticité
Dans certains cas, en particulier pour les aciers doux, la courbe contrainte - déformation présente un palier d’écoulement à la transition élastique / plastique
La limite d’élasticité vraie et la limite d’élasticité conventionnelle à 0,2% sont alors égales et représente la valeur inférieure de la discontinuité
Re
0,2%
MPa
0,4% 0,6%
E 20
40
60
80
Re
80
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
La résistance à la traction
La résistance à la traction Rm est la contrainte maximale atteinte lors de l’essai de traction
Pour les matériaux ductile elle se situe dans le domaine plastique lorsque le taux de consolidation est nul (d / d 0 )
Rm
(MPa)
50
100
150
200
1,0% 2,0% 3,0%
81
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
L’allongement à la rupture
L’allongement à la rupture correspond à la valeur de la déformation au moment de la rupture
A
(MPa)
50
100
150
200
1,0% 2,0% 3,0%
250
82
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
La striction à la rupture
La striction traduit la variation de section à l’endroit où la rupture s’est produite
0
0
S
SSZ f
Elle se calcul à partir de la relation :
avec S0 la section initiale de l’échantillon
Sf la section finale de la surface de rupture
83
L’essai de traction en détailL’essai de traction en détail
3.3.1 - Lecture d’une courbe = f() d’un matériau ductile
L’énergie de déformation
L’énergie de déformation par unité de volume correspond à l’aire sous la courbe = f()
Elle se calcul à partir de la relation : dW
)(1
)(1
00000
lFdV
lFdlSl
ld
S
FW
L’énergie ainsi mesurée prend en compte :
- l’énergie élastique (We)
- l’énergie plastique (Wp)
L’énergie élastique est calculée à partir de la loi de Hooke :
eeee dEdW E
EW e
e 22
)( 22
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
84
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2 - Origine physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
4.3 - Striction
85
Le module d’Young traduit la rigidité du matériau
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
la capacité qu’à un matériau à se déformer réversiblement sous l’action d’une sollicitation
Un matériau est dit d’autant plus rigide que sa déformation est faible pour un chargement donné
Hiérarchisation de quelques matériaux en fonction de leur rigidité
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
E (MPa)
Métaux
Bois
Céramiques Biomatériaux
Matières plastiques
Le matériau le plus rigide est le diamant avec un module de 1 000 GPa
86
Valeurs de module d’Young pour des métaux purs
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Matériaux E (MPa)
Rhodium (Rh) 275 000
Rubidium (Rb) 2 400
Ruthénium (Ru) 447 000
Scandium (Sc) 74 000
Sélénium (Se) 10 000
Sodium (Na) 10 000
Tantale (Ta) 186 000
Titane (Ti) 114 000
Tungstène (W) 406 000
Uranium (U) 208 000
Vanadium (V) 128 000
Zinc (Zn) 78 000
Zirconium (Zr) 68 000
Matériaux E (MPa)
Indium (In) 110 000
Iridium (Ir) 528 000
Lithium (Li) 4 900
Magnésium (Mg) 45 000
Manganèse (Mn) 198 000
Molybdène (Mo) 329 000
Nickel (Ni) 214 000
Niobium (Nb) 105 000
Or (Au) 78 000
Palladium (Pd) 121 000
Platine (Pt) 168 000
Plomb (Pb) 18 000
Plutonium (Pu) 96 000
Matériaux E (MPa)
Aluminium (Al) 69 000
argent (Ag) 83 000
Baryum (Ba) 13 000
Béryllium (Be) 240 000
Bismuth (Bi) 32 000
Cadmium (Cd) 50 000
Césium (Cs) 1 700
Chrome (Cr) 289 000
Cobalt (Co) 209 000
Cuivre (Cu) 124 000
Étain (Sn) 41 500
Fer (Fe) 196 000
Germanium (Ge) 89 600
87
Valeurs de module d’Young pour des Verres, céramiques, oxydes, carbures métalliques, minéraux
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Matériaux E (MPa)
Béton 27 000
Brique 14 000
Calcaire (CaCO3) 20 à 70 000
Carbure de chrome (Cr3C2) 373 130
Carbure de silicium (SiC) 450 000
Carbure de Titane (TiC) 440 000
Carbure de tungstène (WC) 650 000
Diamant (C) 1 000 000
Graphite 30 000
Granite 60 000
Marbre 26 000
Matériaux E (MPa)
Mullite (Al6Si2O13) 145 000
Alumine (Al2O3) 390 000
Oxyde de béryllium (BeO) 30 000
Oxyde de magnésium (MgO) 250 000
Oxyde de zirconium (ZrO) 200 000
Saphir 420 000
Silice (oxyde de silicium SiO2) 107 000
Titanate d'aluminium (Ti3Al) 140 000
Titanate de baryum (BaTiO3) 67 000
Verre 69 000
88
Valeurs de module d’Young pour des Bois
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Matériaux E (MPa)
Acajou (Afrique) 12 000
Bambou 20 000
Bois de rose (Brésil) 16 000
Bois de rose (Inde) 12 000
Chêne 12 000
Épicéa 13 000
Érable 10 000
Frêne 10 000
Papier 3 000 - 4 000
Séquoia 9 500
Module d’Young mesuré dans le sens des fibres
89
Valeurs de module d’Young pour des Polymères, fibres
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Matériaux E (MPa)
caoutchoucs 700 à 4 000
Fibre de carbone 190 000
Kevlar 34 500
Nanotubes (Carbone) 1 100 000
Nylon 2 000 à 5 000
Plexiglas (Polyméthacrylate de méthyle) 2 380
Polyamide 3 000 à 5 000
Polycarbonate 2 300
Polyéthylène 200 à 700
Polystyrène 3 000 à 3 400
Résines époxy 3 500
90
Valeurs de module d’Young pour des biomatériaux
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Matériaux E (MPa)
Cartilage 24
Cheveux 10 000
Collagène 6
Fémur 17 200
Humérus 17 200
Piquant d'oursin 15 000 à 65 000
Radius 18 600
Soie d'araignée 60 000
Tibia 18 100
Vertèbre cervicale 230
Vertèbre lombaire 160
91
Le module d’Young n’est pas le seul paramètre pour quantifier la rigidité d’un matériau
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
avec E le module d’Young et le coefficient de Poisson
En effet, le module de cisaillement G ainsi que le module de compressibilité volumique K le permettent également
)1(2
EG
Le module K est la constante de proportionnalité entre le changement relatif de volume V d’un matériau soumis à une pression hydrostatique P et la valeur de cette pression
)21(3
EK
Pour comprendre les phénomènes physiques mise en jeu lors de l’élasticité il faut se placer au niveau des atomes constituant le matériau
Des modèles plus ou moins complexes permettent de décrire ces phénomènes
92
4.1.1 - Modèle des ressorts
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Ce premier modèle, un des plus simples représente le matériau comme un ensemble d’atomes relié entres eux par des ressorts
Modèle des ressorts sans contraction latérale
Pour simplifier le modèle on considère que le matériau ne subit pas de contraction latérale sous une sollicitation de traction
Le matériau peut alors être représenté par :
a0
a0
a0
a0+a
F
F
I.S.I.T.V. 2009 - 2010
93
4.1.1 - Modèle des ressorts
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Modèle des ressorts sans contraction latérale
Sous l’action d’un force de traction, n ressorts sont en tension, la contrainte sur le matériau est alors égale à :
S
F
ii anfF 2
0 )a(S etavec
002
0 a
a
a
n
)a(
an
Ce qui s’écrit sous la forme : E
Un matériau soumis à une déformation élastique va emmagasiner l’énergie de déformation.
Par analogie avec le ressort l’énergie emmagasinée est :
2)a(2
1W avec raideur du ressort et
a l’allongement du ressortI.S.I.T.V. 2009 - 2010
94
4.1.1 - Modèle des ressorts
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Modèle des ressorts sans contraction latérale
En fonction de la raideur des ressorts, la courbe W = f(a) sera plus ou moins ouverte. Plus la courbe sera ouverte plus la rigidité est faible et inversement
W
a
a0
1 2
1 > 2
I.S.I.T.V. 2009 - 2010
95
4.1.1 - Modèle des ressorts
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Modèle des ressorts avec contraction latérale
Le modèle précèdent supposait que sous l’action d’un effort de traction, le matériau ne subissait aucune contraction latérale
En réalité les atomes ne sont pas connectés de manière aussi simple
Il existe 2 réseaux de ressorts :
un premier qui relit chaque atome à ses plus proches voisins
connexions horizontales et verticales
un second qui relie chaque atome à ses voisins secondaires atomes
connexions diagonales
I.S.I.T.V. 2009 - 2010
96
4.1.1 - Modèle des ressorts
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Modèle des ressorts avec contraction latérale
a0
a0
F
F
I.S.I.T.V. 2009 - 2010
97
4.1.1 - Modèle des ressorts
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Modèle des ressorts avec contraction latérale
a0
a0
F
F
Lors d’une sollicitation de traction, l’allongement longitudinal s’accompagne d’une contraction latérale
Cette contraction est caractérisée par le coefficient de Poisson
Il se calcul à partir de la relation :
alelongitudin
latérale
Le coefficient de Poisson est compris entre 0,2 et 0,5
Les métaux ont des coefficients proches 0,3
I.S.I.T.V. 2009 - 2010
98
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1.2 - Modèle électrostatique
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
Le modèle électrostatique s’appuie sur la nature des atomes et utilise le modèle atomique de Bohr
Le potentiel électrostatique correspond la somme des potentiels de répulsion et d’attraction
répulsionattraction UU)d(U
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1.2 - Modèle électrostatique
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
une courbe qui est caractérisée par : une valeur de force nulle lorsque d = a0 atomes en équilibre
un extremum (Fth, af)
La force qui s’exerce entre les deux atomes peut aisément être calculée à partir de la relation :
dd
)d(dUF
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.1.2 - Modèle électrostatique
4.1 - Origines physiques du module d’Young et du coefficient de Poisson
La fonction F(d) peut être interpolée entre a0 et af par la fonction :
a2
sinFF th
Dans le cadre des petites déformations et petits déplacements, la relation peut être simplifié et s’écrit alors :
a2
FF th
La contrainte est alors :S
F
00
th2
0thth a
a
a
F2
)a(
a2F
S
a2F
0
th
a
F2E
Le module d’Young s’écrit alors :
Plus le puit de potentiel a un rayon de courbure faible plus le matériau est rigide
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
Certains matériaux comme les métaux ou les alliages continue de se déformer au-delà de la limite d’élasticité
Ce comportement est dû à la ductilité des matériaux sollicités
Ces matériaux sont dits élastoplastique
L’intérêt de la plasticité est d’avoir une sécurité avant la rupture
Dans cette zone plastique, la pièce va continuer de s’allonger sans rompre
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
Sollicité en traction pure ou en compression pure, un monocristal va faire se déformer plastiquement par une succession de cisaillement faisant intervenir des plans de glissement préférentiels ou facile
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
Les matériaux cristallins sont anisotropes à l’échelle des cristaux
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
les plans de glissements préférentiels qui apparaissent suivant les matériaux
Des études cristallographiques ont montré que les plans de glissement actifs, dans les métaux et les alliages sont des plans de plus forte densité atomique
Par ailleurs dans ces plans, la direction de glissement correspond à la direction cristallographique de plus grande densité atomique
Ces observations expérimentales permettent de supposer que la déformation plastique de ces matériaux cristallins ductile est due à un glissement irréversible de certains plans les uns par rapport aux autres
Déformation plastique par glissement (monocristal de Zinc) - J.P. Baïlon, Des matériaux, 3ème édition, Ecole Polytechnique de Montréal, 2004, p. 42I.S.I.T.V. 2009 - 2010
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
plans et direction de glissement cristallographique pour quelques métaux
La déformation plastique a pour unique origine ces phénomènes de glissement
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
Ils prennent naissance sous l’effet des contraintes de cisaillement qui apparaissent lorsqu’un cristal est sollicité en traction et/ou compression
La déformation est marquée par des glissements relatifs d’atomes au sein de la structure
Structure cristalline métaux Plans de
glissement Directions de glissement
c.f.c Al, Ag, Cu, Ni, Au {1 1 1} <1 1 0>
c.c. Fe Mo, Nb {0 1 1}, {1 1 2} <1 1 1>
h.c. Ti, Zn, Mg, Cd, Be {0 0 0 1}, {1 0 1 0} <1 1 2 0>
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Déformation plastique par glissement des plans atomiques
4.2.1 - Glissement des plans cristallographiques dans un monocristal
Les atomes qui ont glissé se retrouve dans une nouvelle position d’équilibre :
État initial
Glissement
État déformé plastiquement
plus de raison de revenir à leur ancienne position ( irréversible)
Le matériau se trouve alors dans un état en équilibre avec une déformation permanente mais en conservant sa cohésion
105
Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
La déformation plastique étant lié à du cisaillement, il faut considérer non plus la contrainte nominale de l’essai de traction mais uniquement la composante tangentielle de cette dernière
4.2.2 - Notion de cission de glissement
La contrainte de traction appliquée au solide est :
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
Direction de glissement
Normale au plan de cisaillement
Plan de cisaillement
F
0min S
Faleno
S0 section de l’éprouvette
La contrainte normale au plan de cisaillement est :
S section de matière dans le plan de cisaillement
S
F
cos0S
S
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
La contrainte de cisaillement (ou contrainte de cission) s’écrit alors :
Direction de glissement
Normale au plan de cisaillement
Plan de cisaillement
F
Équation connue sous le nom de loi de Schmid et le terme "coscos" est appelé facteur de Schmid
cosS
F
coscos0S
F
coscosmin aleno
4.2.2 - Notion de cission de glissement
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
Supposons une cission direction x tel que la moitié supérieure du cristal glisse sur sa moitié inférieure
On considérera que la distance inter-atomique dans la direction x est égale à b
Sous l’effet de cette cission, tout atome est déplacé de la position d’équilibre qu’il occupait dans le réseau (position où le niveau d’énergie était minimal) à une position de plus forte énergie
Dans une première approximation supposons que la variation de niveau d’énergie évolue suivant une fonction sous la forme d’une sinusoïdale
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
J.P. Baïlon, Des matériaux, 3ème édition, Ecole Polytechnique de Montréal, 2004
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
4.2 - Origines physiques de la déformation plastique – notion de dislocation
Par définition, le glissement s’écrit :
En supposant que le comportement du matériau est élastique jusqu’à la valeur th au moment où un glissement irréversible se produit (c-à-d quand x = b/4), on peut écrire :
Cette relation apporte une justification quand au glissement des plans contenant la plus forte densité atomique et les directions des glissements
En effet, les premiers sont caractérisés par des distances inter-réticulaires les plus grandes et les secondes sont caractérisées par les distances inter-atomiques les plus petites
a
x
a
xGG
a
bGth
2
rapport b/a minimalI.S.I.T.V. 2009 - 2010
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.2 - Notion de cission critique théorique
En supposant que le matériau à une structure cubique simple, la cission théorique s’écrit alors :
Lorsque l’on compare les résultats obtenus par mesures expérimentales de la cission et les calculs analytiques utilisant les formules précédentes on obtient les résultats suivants :
62
GGth
Métal Module de cisaillement
selon la direction de glissement (MPa)
a
bGth
2
(MPa) Cission
expérimentale (MPa)
Al 24 400 4 800 0,79
Ag 25 000 5 000 0,37
Cu 40 700 8 000 0,49
Fe 59 000 11 500 26,6
Mg 16 500 3 200 0,39
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Une explication pour justifier les écarts observés au Tableau précédent repose sur l’existence de défauts dans les matériaux
L’architecture atomique proposée par la théorie (répétitivité parfaite de la maille élémentaire) se rencontre rarement sur les matériaux réels
Les défauts peuvent être classé suivant leur dimension de l’espace affecté par leur présence
Défauts ponctuels (dimension 0)
Défauts linéaires (dimension 1)
Défauts surfaciques (dimension 2)
Défauts en 3 dimensions
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Les défauts ponctuels regroupent les perturbations du réseau à l’échelle atomique
o Lacunes
o Les lacunes
Défauts ponctuels (dimension 0)
o Atomes auto-interstitiels
o Impuretés dans les solides
Défaut ponctuel le plus simple, la lacune, correspond à l’absence d’un atome dans la structure atomique
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
o Les lacunes
Défauts ponctuels (dimension 0)
La pratique révèle qu’il est impossible de produire un cristal exempt de lacune
Tous les solides cristallins comportent dans leur réseau des lacunes
L’explication de ce phénomène se trouve par les principes de la thermodynamique
Dans un métal, la concentration atomique n1/N en lacune en équilibre est donné par la loi d’Arhenius :
kT
Q
N
n 11 exp
n1 : nombre de lacune présentes dans un ensemble de N atomes à la température T
k : constante de Boltzmann T : température absolue
Q1 : l’énergie de formation d’une lacune (≈ 1 eV dans les métaux)
Les lacunes jouent un rôle de principal dans la diffusion à l’état solide : facilité à déplacer des atomes sur de longues distances
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
o Atomes interstitiels
Défauts ponctuels (dimension 0)
Un atome auto-interstitiel est un atome qui occupe un site interstitiel (petit espace vide entre deux atomes du réseau)
La conséquence de cet atomes est, par exemple, dans les métaux la distorsion du réseau :
Atome occupe un espace bien plus important que celui proposé par l’interstice
La formation de ce défaut est assez faible à causes des fortes énergies mises en jeux
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
o Impuretés dans les solides
Défauts ponctuels (dimension 0)
Tous les solides contiennent des traces d’impuretés
Ces impuretés vont générer dans le réseau des défauts
soit de type insertion
Les deux types de défauts causés par ces impuretés sont :
soit de type substitution
Le mode va dépendre des caractéristiques en solution des impuretés
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Les défauts linéaires sont des dislocations :
mauvais alignement des atomes dans le réseau
o dislocation-coin
Défauts linéaires (dimension 1)
On retrouve deux types de dislocation
o dislocation-vis
o Dislocation-coin
Il s’agit d’un défaut centré autour d’une ligne le long de laquelle se termine un demi-plan atomique supplémentaire dans le réseau cristallin
Au voisinage de la ligne de dislocation, la structure du réseau est déformée
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation-coin
Ce type de défaut va faire apparaître des contraintes dans le réseau :
Au dessus de la ligne de dislocation, les atomes sont
dans un état de compression
En dessous de la ligne de dislocation, les atomes sont
dans un état de tension
William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001I.S.I.T.V. 2009 - 2010
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation-vis
Une dislocation-vis traduit un défaut linéaire qui résulte du cisaillement du cristal
La partie supérieure du réseau a subit un déplacement dans une direction d’une distance équivalente à la distance entre deux atomes
William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed.
Dunod, 2001
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation-vis
Il en résulte une déformation linéaire et une ligne de dislocation matérialisée par le segment AB Le nom de vis est du au fait que les plans atomiques ont subi un déplacement qui décrit une rampe hélicoïdale
William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed.
Dunod, 2001
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation mixte
En réalité, les dislocations que l’on rencontre sont rarement parfaites : coins ou vis mais plutôt mixtes
William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod, 2001
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Défauts linéaires (dimension 1)
o Dislocation mixte
Au point A la dislocation est exclusivement du type dislocation-vis
William D. Callister, Jr, Science et génie des matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed.
Dunod, 2001
Au point B, elle exclusivement du type dislocation-coin
Entre A et B, la dislocation est mixte
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
Dans les défauts de surfaces on va retrouver :
o les joints de grains
Défauts de surfaces (dimension 2)
o les plans de maclage
o Joints de grains
Les matériaux sont généralement constitués d’un ensemble de grains et de joints de grains (éléments à la frontière des grains)
Ces derniers assurent la cohésion du solide. La taille des joints est de quelques distances interatomiques
Un joint est une disparité entre l’orientation cristallographique d’un grain et celle du grain adjacent voisin
En fonction de l’angle de désorientation des grains on parle de joints de gains à faible angularité ou à forte angularité
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Défauts de surfaces (dimension 2)
o Joints de grains
Joints de grains
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Défauts de surfaces (dimension 2)
o Plans de maclage
Dans un réseau cristallin, on parle de plan de maclage lorsqu’une symétrie (miroir) bien précise est présente
Chaque atome situé d’un côté du plan de maclage occupe une position correspondant à l’image spéculaire d’un atome situé de l’autre côté du plan
William D. Callister, Jr, Science et génie des
matériaux, 5ème édition, Siences Sup, Ed. Dunod,
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
Défauts à trois dimensions
o Pores
Les défauts à 3 dimensions sont des défauts de grandes tailles (bien plus grand que tous les défauts mentionnés précédemment)
Ils sont fréquemment liés aux différentes phases du procédé d’élaboration
o Fissures
o Inclusions
o Précipités
4.2.3 - Défauts dans les matériaux
On trouve :
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.4 - Dislocations et déformation plastique
La déformation plastique correspond au déplacement d’un grand nombre de dislocations
Une dislocation-coin va se déplacer lorsqu’une contrainte de cission est appliquée dans une direction perpendiculaire à sa ligne de dislocation
Dès que la contrainte de cission est appliquée le plan A se déplace vers la droite et pousse sur les demi-plans voisins (B, C et D)
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.4 - Dislocations et déformation plastique
Une fois la contrainte de cission atteint une certaine valeur, les liaisons inter-atomiques du plan se rompent le long du plan de cisaillement et créent un nouveau demi plan B, le plan devenant un plan entier exempt de dislocation
Cette mécanique se reproduit pour les plans C et D
Au final une marche de glissement apparaît à la surface
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.4 - Dislocations et déformation plastique
Le cheminent de déplacement d’une dislocation s’apparente aux déplacement d’une chenille ou d’un tapis
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
Les propriétés mécaniques des matériaux polycristallins varient en fonction de la taille des grains de la structure
4.2.5.1 - Durcissement par réduction de la taille des grains
On vu précédemment qu’entre deux grains existe un joint
Lors de la déformation plastique un glissement doit se produire de par et d’autre de ce joint
Le joint de grain fait office d’obstacle à ce déplacement pour deux raisons :
Comme deux grains voisins auront des orientations différentes, la direction du déplacement d’une dislocation sera forcement modifié
Au joint grain existe un désordre atomique qui va engendrer une discontinuité dans le passage des plans de glissement d’un grain à l’autre
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
Un matériau à grains fins est plus dur et résistant qu’un matériau à gros grains
4.2.5.1 - Durcissement par réduction de la taille des grains
Le déplacement de dislocations est entravé en raison de plus fort taux de joints de grains
La limite conventionnelle d’élasticité Re0,2 de nombreux métaux varie en fonction de la taille du grain :
2/102,0
dkR ye équation de Hall-Petch
d diamètre moyen des grains
0 et ky constantes fonction du matériau
Les joints de macles vont également arrêter le glissement et augmenter la résistance des matériaux
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
Le renforcement peut intervenir en alliant le métal avec des impuretés en solution solide d’insertion ou de substitution
4.2.5.1 - Durcissement par solution solide
Un métal pur sera toujours plus mou et moins résistant que ce même métal sous la forme d’un alliage
Une augmentation de impureté entraîne une augmentation de la limite d’élasticité et de la résistance à la traction
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par solution solide
Les atomes d’impureté présents dans la solution solide imposent des déformations réticulaires aux atomes voisins
Ces impuretés vont interagir avec la dislocation et limiter son déplacement
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage
Le durcissement par écrouissage est le procédé par lequel un métal devient plus dur et plus résistant lors de sa déformation plastique
On parle d’ampleur de déformation plastique au moyen du taux d’écrouissage plutôt que de la déformation
Ce taux, noté E , se calcul à partir de :
1000
0 xS
SSE d
S0 aire initiale de la section transversale qui subit la déformation
Sd l’aire après déformation
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage
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Élasticité et plasticitéÉlasticité et plasticité
4.2.5 - Limites d’écoulement : durcissement des métaux
4.2.5.1 - Durcissement par écrouissage
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