Chapitre 6 : Propagation guidée des ondes électromagnétiques par M.TRABELSI (Prof)

Propagation guidée des ondes électromagnétiques

I) Equations de propagation [5]Nous supposons qu’une onde soit guidée par une certaine structure, sans atténuation, parallèlement

à un axe Oz (Fig. 1). Cette structure est appelée guide d’ondes.

Dans le cas d’un guide indéfini parcouru par une onde progressive, l’onde sera de la forme : Pour le champ électrique :

(1a)

Pour le champ magnétique :

(1b)

où et représentent les amplitudes des champs dans une section droite, qui peuvent s’écrire :

(2a)

(2b)où et sont les composantes transversales des champs et le vecteur unité de Oz.

est la longueur d’onde mesurée suivant Oz.

En écrivant le vecteur nabla ainsi et compte tenu de (2a) et (2b), la première

équation de Maxwell s’écrit :

Après calcul, on trouve : (3a)

(3b)

où est la perméabilité du milieu diélectrique de la structure.Pour un diélectrique parfait, la deuxième équation de Maxwell s’écrit :

. Le développement du calcul n’est

pas indispensable, Il suffit pour cela de remplacer dans les expressions (3a) et (3b) par , par , par , par , et par - pour aboutir à :

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z

o

Figure 1 : Guide d’ondes quelconque

y

x

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(4a)

(4b)

où est la permittivité du milieu diélectrique de la structure.En combinant (3b) avec (4b), on arrive aux relations suivantes :

(5a)

(5b)

A partir desquelles, on tire les expressions suivantes :

(6a)

(6b)

où est la longueur d’onde dans le milieu indéfini de caractéristiques ε et μ.La propagation s’effectue dans un milieu ne comportant aucune charge, par conséquent :

et (7)et compte tenu des expressions des champs précédentes, on obtient :

(8a)

(8b)

Après quelques calculs, il vient :

(9a)

(9b)

où est le Laplacien défini par :

(9a) et (9b) sont les équations de propagation guidée par la structure, le long de Oz. Dans un milieu indéfini, les équations de propagation d’une onde plane sont :

(10a)

et

(10a)

II) Ondes TE et TM. Impédance d’onde [5]

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Il existe plusieurs type d’ondes (ou modes) dont les configurations des champs vont dépendre des conditions aux limites imposées par la physique, c’est à dire par la structure du dispositif de guidage suivant Oz. Parmi ces ondes, nous pouvons citer l’onde TE (ou H) et l’onde TM (ou E). Pour l’onde TE (Transverse Electrique) : , les équations (6a), (6b) et (9b) deviennent :

(11a)

(11b)

(12)

Les équations (11a) et (11b) montrent que et sont perpendiculaires et reliés entre eux :

(13)

et leur rapport est l’impédance d’onde :

(14)

Pour l’onde TM (Transverse Magnétique) : ,les équations (6a), (6b) et (9a) deviennent :

(15a)

(15b)

(16)

Les équations (15a) et (15b) montrent que et sont perpendiculaires et reliés entre eux :

(17)

et leur rapport est l’impédance d’onde :

(18)

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III) Ondes TEM [5]Dans ce cas, et les seules solutions physiquement possibles sont alors :

pour (6a)

pour (6b)

Ces équations ne peuvent être satisfaites que si l’on a simultanément  soit :

et

Considérons le cas particulier où , l’expression (4b) donne :

Comme la vitesse de propagation est :

(19)

nous obtenons alors :

(20)

et sont toujours perpendiculaires et l’impédance d’onde est maintenant celle du milieu indéfini :

(21)

IV) Guidage dans un tube métallique [5] Les parois du tube métallique sont supposées être des conducteurs parfaits. Soit (C) le contour du

tube dans une section droite (Fig. 1). La courbe (C) est dans le plan xOy.Les équations de propagation dans le tube sont les relations (9a) et (9b) auxquelles nous allons

appliquer les conditions aux limites imposées par la présence des parois métalliques. Dans les plans xOy, le champ électrique transversal doit être perpendiculaire à (C ) ou nul. Pour l’onde TEM : et

dérive donc d’un potentiel qui doit satisfaire à la relation de Laplace : Mais sur (C ) : , donc sur (C ) : = constante. La seule solution admissible pour l’équation de Laplace dans la section droite du tube est alors : . Donc il ne peut y avoir d’onde TEM dans un tube métallique. Pour échapper à cette limitation, il faudrait envisager un deuxième conducteur et une variation du potentiel entre les deux conducteurs ; c’est le cas des lignes coaxiales. Pour l’onde TE : Les relations (9b), (11a) et (12) permettent entre autre de montrer que la dérivée normale de sur (C) est nulle : 

(22)

Nous devons donc chercher une intégrale de (12) de sorte que l’équation (22) soit satisfaite. En posant :

(23)

(12) s’écrit :

(24)

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La solution est obtenue si (longueur d’onde de coupure) est réel, c’est à dire : ou bien la fréquence f inférieure à (fréquence de coupure). La longueur d’onde dans le guide est :

(25)

Pour l’onde TM :

(26)

et la solution de cette équation doit satisfaire la condition . Nous obtenons les mêmes résultats que précédemment.

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