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Synthèse des filtres numériques

Institut national des sciences appliquées et de technologie

Encadré par :LACHIRI Zied

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PLAN

Procédure de synthèse filtres à réponses impulssionelle finies(RIF)

Procédure de synthèse filtres à réponses impulssionelle infinies(RII)

Introduction

Les types des filtres

Les perspectives

Conclusion

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Le filtrage est une opération qui consiste soit à extraire des informations contenues dans un signal, soit à éliminer le bruit qui entache un signal.

Autrement dit le filtrage est une opération sélective qui s’opère sur les signaux.

Quelques domaines d’application du filtrage: communication , musique ,reconnaissance des paroles , traitement d’images…

Introduction

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Les objectifs Présentation des filtres numérique:

- Les filtres à réponse impulsionnelle finie (RIF) - Les filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII)

Synthèse d’un filtre numérique (RIF) par la méthode de fenêtrage.

Synthèse des filtres (RII) par invariance temporelle et indicielle.

Synthèse des filtres (RII) par la méthode bilinéaire

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Les types des filtres

• Il existe deux types de filtres : les filtres analogiques et les filtres numériques

•Les premiers, sont les filtres analogiques ils agissent directement sur le signal analogique d’entrée, Ils sont constitués d’un ensemble de composants analogiques (résistances, condensateurs, inductances, éléments actifs).

•Les seconds, numériques requièrent une numérisation préalable du signal d’entrée, dont ils modifient les valeurs ainsi à l’aide d’un ensemble d’opérateurs numériques (multiplieurs, additionneurs, éléments à délai).

1- Filtres analogiques :

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Filtres numériques :

•On distingue deux types de filtres numériques :

-Si N=0 : on parle de filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF ou FIR en anglais).

-Si N≥1 : on parle de filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII ou IIR en anglais).

•Les filtres numériques sont des systèmes linéaires, discrets, invariants dans le temps et unidimensionnels. De plus, pour qu’ils soient physiquement réalisables, il faut qu’ils soient nécessairement causaux.

•On peut les représenter par la relation de récurrence :

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•Le filtre numérique transforme la suite d’échantillon d’entrée x(nTe) en une suite d’échantillon y(nTe).

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Les filtres à réponse impulsionnelle

finie(RIF) Pour ce type de filtres tous les coefficients aj  sont nuls:

L’échantillon y(n) ne dépend donc que d’un nombre limité d’échantillons.

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Ce sont des filtres toujours stables(pas de pôles) carla sortie revient toujours à zéro après suppression del’excitation.

Les filtres RIF peuvent générer des filtres à phase linéaire

A sélectivité équivalente, il sont toujours plus coûteuxen temps de calcul que leur équivalent RII.

Les filtres RIF

Propriétés:

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Synthèse des filtres RIF

Les Méthodes de synthèse:

Méthode du fenêtrage: Calcul des coefficients des filtres RIF au moyen de l’utilisation de la transformée de Fourier numérique et des fenêtres spectrales (rectangulaire , triangulaire, Hanning..)

Méthode de échantillonnage fréquentiel

Méthode d’optimisation: minimiser un d’erreur courbe réelle et courbe idéale.

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Synthèse des Filtres RIF par la méthode des fenêtres

La synthèse est menée sur le cas du filtre passe-bas , les autres filtres peuvent s’en déduire par simple transpositionPrincipe:

Le filtre passe-bas idéale est complètement défini par son gabarit fréquentiel idéal.

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Synthèse des filtres RIF

Problèmes:

• La suite des échantillons obtenue h(n)est infinie existe pour tout n.

Méthode de fenêtrage:

• H(n) est non causal, donc impossible de réaliser le filtre en temps réel.

Il est donc nécessaire d'approcher cette réponse infinie par une réponse finie

Solution:

Il est donc nécessaire d'approcher cette réponse infinie par une réponse finie.

Le plus simple est de tronquer cette réponse idéale et de ne garder que la partie centrale qui comprend les valeurs les plus grandes.

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Synthèse des filtres RIF

On remédie au premier problème en tronquant la suite deséchantillons h(n) les échantillons h1(n) retenus sont les échantillons pondérés par le fenêtre rectangulaire w(n) qui est la troncature simple où la fonction de fenêtre est une fonction rectangle

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Afin de rendre le filtre causal on effectue la translation des échantillons h1(n). Le filtre obtenu est réalisable en temps réel.La nouvelle suite d’échantillons h2(n) se déduit de h1(n) par:

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Synthèse des filtres RIF

Exemples de conception de filtre passe-bas par les différentes fenêtres:

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Fenêtre de triangle

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Fenêtre de Hamming

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LES FILTRES RIIo Les filtres RII(a réponse impulsionnelle

infinie) possèdent une réponse impulsionnelle qui ne se stabilisera jamais, même à l'infini.

oAinsi, on a des filtres RII de Butterworth, de Tchebychev, de Bessel, elliptiques, etc.L'idée est ici de profiter dans le monde numérique de tout le savoir faire acquis dans le monde analogique

oCe type de filtre est récursif, c'est-à-dire que la sortie du filtre dépend à la fois du signal d'entrée et du signal de sortie, il possède ainsi une boucle de contre-réaction (feedback), ces filtres sont inspirés des techniques de filtrage analogiques

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Approximation des filtres RII :

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Equation aux différences :

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L(ω2), étant un polynôme en ω, désigne la fonction caractéristique du filtre. La qualité d’un filtre se mesure au fait que sa caractéristique soit voisine de zéro dans la bande passante et très grande à l’extérieur

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Les méthodes de synthèse des RII

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1. Synthèse par invariance impulsionnelle

Le principe de cette méthode est le suivant:

1. on détermine la réponse impulsionnelle désirée h(t)

2. on échantillonne cette réponse impulsionnelle à la fréquence fe et on en déduit la suite {hk}

3. on recherche la fonction de transfert H(z) du filtre numérique qui a pour réponse impulsionnelle la suite {hk}

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2. SYNTHÈSE PAR INVARIANCE INDICIELLE

Le principe de cette méthode est semblable au cas précédent :

on détermine la réponse indicielle désirée {d}.

on échantillonne cette réponse indicielle à la fréquence Fe et on déduit la suite {dk}.

on recherche la fonction de transfert H(z) du filtre numérique qui a la même réponse indicielle.

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4. SYNTHÈSE PAR TRANSFORMATION BILINÉAIRE

Objectif : obtention de la fonction de transfert H(z) d'un filtre numérique qui a la même réponse fréquentielle qu'un filtre analogique de référence H(p),autrement dit le même gabarit.

En pratique, on utilisera cette méthode couplée avec une méthode de synthèse de filtres analogiques qui sera vue par ailleurs en électronique

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Exemple

Prenons le cas d’un filtre analogique passe-bande du second ordre (fréquences de coupure 100 Hz et 1000 Hz, pulsation de coupure 628 et 6280 rad/sec) obtenu par synthèse par la méthode deButterworth sous Matlab : [num,den]=butter(2,[628 6280],'s');bode(num,den)

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La réponse fréquentielle d'un filtre numérique équivalent pourra être de la forme suivante :

La courbe ci-dessous représente la superposition des réponses des filtres analogiques et numériques étudiés précédemment

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Utilisation pratique de la méthode :

1. - Faire l'étude du filtre analogique de référence H(p) (manuellement ou informatiquement)

2. Définir une pulsation de référence wr ,une pulsation que l'on voudra être identique dans les domaines analogique et numérique.

3. calculer la fonction de transfert de Laplace normalisée (en pn) en utilisant la relation

4. Déterminer le facteur d'échelle k.

5. Ecrire la fonction de transfert en z après avoir effectué le changement de variable :

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6. Etudier le filtre numérique obtenu afin de vérifier ces spécifications.

N.B. Cette méthode donne d'assez bons résultats à condition que les fréquences caractéristiques ne soient pas trop proches de la demi-fréquence d'échantillonnage

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Conclusion

oUn filtre numérique, c'est d'abord un algorithme de calcul. On peut bien entendu restituer un signal analogique V(t) à partir des échantillons V(nTe).

oLes filtres numériques sont particulièrement utilisésdans le traitement du son et des images, la reconnaissancede forme, l’analyse spectrale, … etc. Parmi leurs principauxavantages on distingue :- une grande fiabilité- une absence de dérive- une grande facilité pour modifier les cœfficients des filtres.

oLes méthodes de synthèse des filtres numériques sont nombreuses le choix de la méthode se fait selon l’étude des besoins

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Les perspectives

Les filtres RIF sont cher à réaliser

La synthèse des filtres RIF n’est pas parfaite à cause du phénomène de Gibbs

Pour les filtres RII c’est difficile d’avoir une phase linéaire , ceci engendre souvent une faible distorsion de phase.

les filtres RIF nécessite beaucoup des coefficients pour avoir des réponses en fréquences très spécifiques et donc requièrent un cout de calcul ainsi qu’un retard non négligeables.

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Les perspectives

Contrairement au filtre RII , le filtre RIF est adapté au multi-cadences

Le filtre RII risque des problèmes de stabilité si la précision de calcul insuffisante

On n’a pas de métrise de la phase dans les filtres RII

les filtres RII sont instables

Merci pour votre attention