M. Poncy 15/12/2012

N

n

mP

d

M

Projection parallèle

Définition

Etant donné un plan P, appelé plan de projection, et une direction d

non parallèle à P, la projection

sur P selon la direction d est

l’application p de l’espace sur

P telle que :

p (M) = m signifie que la

droite de direction d

passant par M coupe P en m.

La projection sur P d’une

figure de l’espace donne une

figure plane qui servira de

représentation à la figure de

l’espace.

Cas particulier : Projection orthogonale sur un plan :

En effectuant des projections orthogonales sur divers plans, on obtient

des vues de l'objet que l'on veut représenter (très utilisées en dessin

technique).

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N

n

mP

d

M

Pratiquement

On suppose P vertical (comme un tableau) et d oblique.

On considère l’angle de la projetée d’une perpendiculaire à P avec

une droite horizontale de P.

est appelée fuyante

est appelé angle des fuyantes ou angle de fuite

Si on considère deux points M et N placés sur une même

perpendiculaire au plan P et leurs projetés m et n, le quotient mn

MN est

appelé (improprement) rapport de réduction (ou rapport de

projection).

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Perspective cavalière

Utilisée pour la première fois de façon systématique au 16

ème siècle.

Définie pour son utilisation en architecture par Augustin Choisy au

19ème

siècle.

On effectue une perspective cavalière d'un parallélépipède, et plus

généralement d'un objet tri - orthogonal, lorsqu'on effectue une

projection parallèle sur un plan parallèle à une face de l'objet, suivant

une direction non orthogonale au plan de projection.

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Propriétés de la perspective cavalière

1) L’application p n’est pas bijective.

2) Trois points alignés sont représentés par trois points alignés.

3) Si une droite a pour direction d, elle est représentée par un point,

sinon elle est représentée par une droite.

4) Deux droites parallèles dont la direction n’est pas d sont

représentées par deux droites parallèles.

5) Si les droites (MN) et (PQ) sont parallèles, la direction n’étant

pas d, et si les points M, N, P, Q sont représentés par m, n, p, q,

alors : mn

pq =

MN

PQ .

En particulier, le milieu de [MN] est représenté par le milieu de

[mn].

6) Un cercle est représenté par une ellipse.

On ajoute la convention :

Les arêtes cachées sont dessinées en pointillés.

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Un même cube peut avoir plusieurs représentations en perspective

cavalière.

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Construire un cube en perspective cavalière :

- De rapport 0,5 et d’angle de fuite 90° ;

- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 90° ;

- De rapport 0,3 et d’angle de fuite 45° ;

- De rapport 0,5 et d’angle de fuite 45° ;

- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 45° ;

- De rapport 0,2 et d’angle de fuite 30° ;

- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 30° ;

- De rapport 0,3 et d’angle de fuite 0° ;

- De rapport 0,9 et d’angle de fuite 0°.

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On distingue :

Le point de vue : c’est l’endroit où se trouve l’observateur.

Pour que l’objet soit représenté avec un certain effet de volume,

il faut que l’observateur soit placé un peu à droite ou à gauche

sur une droite horizontale (parallèle à la droite d’horizon), et un

peu au – dessus ou au – dessous sur une droite verticale.

Les plans frontaux : ce sont les plans parallèles à P.

Les fuyantes : ce sont les droites perpendiculaires à P.

Les faces fuyantes : ce sont les faces contenant des fuyantes.

Dans le cas du cube, ce sont les faces latérales ou supérieures.

Propriétés géométriques générales :

L’alignement des points est conservé ;

Le parallélisme des droites est conservé (sauf quand la droite a la

direction de la projection ;

Les rapports de longueurs de deux segments parallèles sont

conservés (et en particulier les milieux sont conservés).

Propriétés géométriques sur les faces frontales :

Les dimensions sont conservées ;

Les angles ont leur mesure réelle.

Propriétés géométriques sur des faces fuyantes :

Les segments verticaux sont représentés par des segments

verticaux dont les longueurs sont les vraies longueurs.

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L’AFNOR (Association française de normalisation)

recommande d’utiliser la perspective cavalière PC ( 1

2 ; 45°)

qu’elle appelle projection cavalière courante.

Son inconvénient majeur est que les fuyantes et les diagonales du

carré de la face frontale sont confondues.

Point de vue de l’observateur

Soit l’angle des fuyantes.

Si = 90°, la perspective est orthogonale ;

Si 0° < < 90° : le point de vue est à droite et au – dessus de

l’objet ;

Si 90° < < 180° : le point de vue est à gauche et au – dessus de

l’objet ;

Si ]-180° ; -90°[ ou ]-90° ; 0°[ : le point de vue est au –

dessous de l’objet.

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Perspective axonométrique

Les axonométries correspondent à des projections orthogonales sur le

plan du dessin.

Au lieu de privilégier une face de l'objet à représenter, on peut

privilégier un sommet, un "angle". On parle alors de perspective

axonométrique.

Dans une perspective axonométrique d’un cube, on dispose le cube de

sorte qu’aucune des faces du cube ne soit parallèle au plan de

projection.

Soit ( O;

OI ;

OJ ;

OK ) un repère orthonormal. Dans une perspective

axonométrique qui privilégie le point O, on fixe les angles entre les

représentations des trois directions (OI), (OJ) , (OK), avec un rapport

de réduction particulier sur chacune.

Exemples :

30

120

60

$1$$2$$3$

30

120

60

75

Perspective isométrique

120° ; 120° ; 0,82 ; 0,82 ; 0,82

Perspective tri métrique

120° ; 105° ; 0,92 ; 0,65 ; 0,86

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Perspective isométrique

Perspective dimétrique

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Perspective trimétrique