Programme de seconde Objectifs visés par lenseignement des statistiques et probabilités à...

Programme de seconde Objectifs viss par lenseignement des statistiques et probabilits loccasion de rsolutions de problmes. Dans le cadre de lanalyse de donnes rendre les lves capables: De dterminer et dinterprter des rsums dune srie statistique; De raliser la comparaison de deux sries statistiques laide dindicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe des frquences cumules; Lobjectif est de faire rflchir les lves sur des donnes relles, riches et varies (issues, par exemple, de fichiers mis disposition par lInsee).

Une remarque : Lutilisateur dun outil statistique doit prendre en compte la situation relle et les objectifs viss pour effectuer le choix des indicateurs de faon pertinente. (Document ressource de Premire)

Programme de seconde Objectifs viss par lenseignement des statistiques et probabilits loccasion de rsolutions de problmes. Dans le cadre de lchantillonnage: Faire rflchir les lves la conception et la mise en uvre dune simulation; Sensibiliser les lves la fluctuation dchantillonnage, aux notions dintervalle de fluctuation et dintervalle de confiance et lutilisation qui peut en tre faite.

Programme de seconde Objectifs viss par lenseignement des statistiques et probabilits loccasion de rsolutions de problmes. Dans le cadre des probabilits, rendre les lves capables Dtudier et modliser des expriences relevant de lquiprobabilit De proposer un modle probabiliste partir de lobservation de frquences dans des situations simples. Dinterprter des vnements de manire ensembliste. De mener bien des calculs de probabilit.

CONTENUSCAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Modle de la rptition dexpriences identiques et indpendantes deux ou trois issues. Reprsenter la rptition dexpriences identiques et indpendantes par un arbre pondr. Utiliser cette reprsentation pour dterminer la loi dune variable alatoire associe une telle situation. Pour la rptition dexpriences identiques et indpendantes, la probabilit dune liste de rsultats est le produit des probabilits de chaque rsultats. La notion de probabilit conditionnelle est hors programme. On peut aussi traiter quelques situations autour de la loi gomtrique tronque. On peut simuler la loi gomtrique tronque avec un algorithme. (Daprs les documents de ressource en statistiques et probabilits)

1.Arbre pondr 2.Loi gomtrique tronque Les situations de rptitions d'une exprience alatoire, dans des conditions d'indpendance constituent un lment fort du programme de premire. L'introduction de la loi gomtrique tronque prsente de nombreux avantages : travailler sur des rptitions d'une exprience de Bernoulli ; envisager ces rptitions sous l'angle algorithmique ; prsenter une situation d'arbre pour lequel tous les chemins n'ont pas la mme longueur ; exploiter dans un autre cadre les proprits des suites gomtriques ; exploiter dans un autre cadre des rsultats sur la drivation. Dfinition Soit p un rel de l'intervalle ]0, 1[ et n un entier naturel non nul. On considre l'exprience alatoire qui consiste rpter dans des conditions identiques une exprience de Bernoulli de paramtre p avec au maximum n rptitions et arrt du processus au premier succs. On appelle loi gomtrique tronque de paramtres n et p la loi de la variable alatoire X dfinie par : X = 0 si aucun succs n'a t obtenu ; pour 1 k n, X = k si le premier succs est obtenu l'tape k.

Dterminons la loi de X. X = 0 si aucun succs n'a t obtenu donc avec l'outil arbre: P(X = 0) = (1-p) n Pour 1 k n, avec l'arbre, le premier succs est obtenu l'tape k pour le chemin qui prsente dans l'ordre (k 1) checs et un succs d'o : P(X = k) = (1 p) k-1 p s e s e s e s e 1-p p p p p Exemple pour n=4

Loi gomtrique tronque Avec Algobox

CONTENUSCAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Epreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. Schma de Bernoulli, loi binomiale (loi du nombre de succs) Coefficients binomiaux, triangle de Pascal. Reconnatre des situations relevant de la loi binomiale. Calculer une probabilit dans le cadre de la loi binomiale. Dmontrer que : ( ) + ( ) = ( ) Reprsenter graphiquement la loi binomiale. La reprsentation laide dun arbre est privilgie : il sagit ici dinstaller une reprsentation mentale efficace. On peut ainsi : - Faciliter la dcouverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n (n 4); - Introduire le coefficient binomial ( ) comme nombre de chemins de larbre ralisant k succs pour n rptitions; - Etablir enfin la formule gnrale de la loi binomiale. Cette galit est tablie en raisonnant sur le nombre de chemin ralisant k+1 succs pour n+1 rptitions. On tablit galement la proprit de symtrie des coefficients binomiaux. Lutilisation des coefficients binomiaux dans des problmes de dnombrement et leur criture laide des factorielles ne sont pas des attendus du programme. En pratique, on utilise une calculatrice ou un logiciel pour obtenir les valeurs des coefficients binomiaux, calculer directement des probabilits et reprsenter graphiquement la loi binomiale. nknk nknk n k+1 n+1 k+1

Loi binomiale 1 Dcouverte de la loi binomiale et introduction des coefficients binomiaux Rptition d'une preuve de Bernoulli de paramtre p quelconque On rpte n fois cette preuve. Nous reprsentons cette rptition par un arbre pondr n niveaux. On note ( ) on et lit k parmi n le nombre de chemins qui conduisent k succs exactement. 2.Formule gnrale de la loi binomiale La probabilit de chacun des chemins qui ralisent exactement k succs est p (1 p). On obtient donc : Soient un entier naturel n et un rel p de l'intervalle [0, 1]. La variable alatoire X correspondant au nombre de succs dans la rptition de n preuves de Bernoulli de paramtre p suit la loi binomiale B(n, p) avec pour tout entier k compris entre 0 et n : p(X=k) = ( )p (1-p) k n -k nknk k nknk

Document ressource Statistiques et Probabilits

CONTENUSCAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES chantillonnage Utilisation de la loi binomiale pour une prise de dcision partir dune frquence. Exploiter lintervalle de fluctuation un seuil donn, dtermin laide de la loi binomiale, pour rejeter ou non une hypothse sur une proportion Lobjectif est damener les lves exprimenter la notion de diffrence significative par rapport une valeur attendue et remarquer que, pour une taille de lchantillon importante, on conforte les rsultats vus en classe de seconde. Lintervalle de fluctuation peut tre dtermin laide dun tableur ou dun algorithme. Le vocabulaire des tests (test dhypothse, hypothse nulle, risque de premire espce) est hors programme.

2.Dfinition de lintervalle de fluctuation 95 % laide de la loi binomiale Dfinition : lintervalle de fluctuation 95 % dune frquence correspondant la ralisation, sur un chantillon alatoire de taille n, dune variable alatoire X de loi binomiale, est lintervalle [a/n, b/n ] dfini par : a est le plus petit entier tel que P(X a) > 0,025 ; b est le plus petit entier tel que P(X b) > 0,975. Zone de rejet gauche : au plus 2,5 % Zone de rejet droite : au plus 2,5 % Intervalle de fluctuation : au moins 95 % a b

Exemple : Un mdecin veut savoir si, dans sa rgion, le pourcentage dhabitants atteints dhypertension artrielle est gal la valeur de 16 % rcemment publie. Pour vrifier cette hypothse, le mdecin constitue un chantillon de n = 100 habitants de la rgion, dont il dtermine la frquence f dhypertendus. Lorsque la proportion dans la population vaut p = 0,16, la variable alatoire X correspondant au nombre dhypertendus observ dans un chantillon alatoire de taille n = 100, suit la loi binomiale de paramtres n = 100 et p = 0,16. Tableur

La rgle de dcision est la suivante : si la frquence observe f appartient lintervalle de fluctuation ( au moins 95%) [a/n, b/n] = [0,09 ; 0,23], on considre que lhypothse selon laquelle la proportion dhypertendus dans la population est p = 0,16 nest pas remise en question et on laccepte ; sinon, on rejette lhypothse selon laquelle cette proportion vaut p = 0,16.

3.Comparaison de lintervalle de fluctuation de premire avec lintervalle de fluctuation exploit en classe de seconde Le programme des classes de premires S, ES et STI2D-STL, demande de comparer, pour une taille de lchantillon importante, cet intervalle avec lintervalle de fluctuation exploit en classe de seconde. Tableur

Daprs document ressources

En AP : La mthode de Monte-Carlo.Monte-Carlo

Calculer des valeurs avec GoGbra

Connatre une valeur approche des probabilits suivantes

Intervalle de fluctuation. Intervalle de confiance. Attention au vocabulaire ! Population Echantillon On connait une proportion p dans une population (par exemple la proportion p de femmes) On calcule la frquence de femmes f. Si f est dans lintervalle de fluctuation de p, lchantillon est dit reprsentatif de la population pour ce critre au seuil 1- On slectionne un chantillon de taille n par tirage au sort de la population p est connu. On dtermine un intervalle de fluctuation.

PopulationEchantillon p est inconnu On dtermine un intervalle de confiance On calcule la frquence de personnes tant sportives : f On ne connait pas la proportion p de personnes tant sportives A partir des donnes de lchantillon on estime un paramtre inconnu de la population par un intervalle de confiance

Intervalle de fluctuation

Intervalle de confiance

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