Programme de mathématiques pour la classe de terminale S...

Programme de mathématiquespour la classe de terminale S

Année scolaire 2011-2012

I. INTRODUCTION

Le programme de terminale S s’inscrit dans la continuité de celui de première et il en reprend de ce fait les éléments. Laclasse terminale signe la fin des études secondaires ; son contenu doit donc répondre à une double exigence :• s’inscrire dans la cohérence des connaissances transmises aux élèves dans leur cursus scolaire,• ouvrir à des horizons neufs et variés.Les formations supérieures sont naturellement diverses et offrent aux mathématiques une place variable. Dans certainesfilières, elles seront une matière centrale et pour toutes un outil de modélisation et de calcul. La réussite des jeunes étu-diants dépendra donc crucialement de leur maîtrise des sciences mathématiques ; pour les préparer, le programme prenden compte les évolutions de la discipline et différentes demandes qui sont l’expression des besoins mathématiques crois-sants de notre société.Les élèves à qui ce programme est destiné ont grandi dans un environnement technologique, qui façonne leur compor-tement et leurs valeurs et crée des centres d’intérêt profondément nouveaux. La puissance d’investigation des outils in-formatiques et l’existence de calculatrices performantes dont la plupart des élèves disposent sont des progrès bienvenus,et leur l’impact sur la pédagogie des mathématiques est considérable. Il faut accompagner cette évolution, notammenten utilisant ces outils dans les phases de découverte et d’observation par les élèves. Certains éléments (par exemple leséquations différentielles ou la statistique) apparaissent immédiatement utiles aux autres disciplines scientifiques. Maisutile ne signifie pas utilitaire. Les mathématiques, science du calcul, ne sont pas que cela, et il est important que les élèvescomprennent qu’elles sont aussi une école de rigueur qui exige une pensée claire. Il faut pour cela maintenir l’équilibreentre l’entraînement au calcul et la réflexion, également indispensables au progrès mathématique, et donc présenter, dansle cadre nécessairement modeste du programme, des démonstrations qui nourrissent cette réflexion. Les élèves pourrontainsi expliciter des raisonnements sans se limiter à quelques démarches stéréotypées, voir clairement la différence entre cequ’on établit et ce qui est provisoirement admis et comprendre comment les mathématiques se construisent.Un programme doit se limiter à ce qui peut être effectivement enseigné dans le temps imparti. Or le cursus en mathé-matiques des élèves qui accèdent maintenant à la classe terminale est différent de celui des générations antérieures. Soncontenu réaliste tient compte de cette situation. Il permettra au professeur d’enseigner toutes les notions du programme,et de prendre le temps d’approfondir les concepts importants et d’éveiller la curiosité de ses élèves. Certains théorèmesdu programme sont admis. Il convient alors d’en faire assimiler le contenu en montrant comment ils s’appliquent, et enconsidérant éventuellement des cas particuliers dont on peut faire la démonstration. Certaines propriétés sont considéréescomme règles opératoires (par exemple, si deux fonctions admettent une limite en un point, la limite de leur somme est lasomme de leurs limites). Dire qu’une propriété est utilisée comme règle opératoire signifie qu’on n’est pas tenu d’en justi-fier l’usage dans une démonstration ou dans un calcul. Ce programme est complété par un document d’accompagnement :celui-ci en explicite certaines intentions et propose des pistes de mise en œuvre.

II. ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

Il est demandé d’introduire la fonction exponentielle très tôt dans l’année, dans un souci de cohérence entre les ensei-gnements de mathématiques, de physique-chimie et de sciences de la vie et de la Terre. Pour l’introduction des autresconcepts, l’enseignant reste libre de l’ordre de présentation. À titre indicatif, la répartition horaire entre les différents cha-pitres peut être : analyse 45% (environ 14 semaines), géométrie 35% (environ 11 semaines), probabilité et statistique 20%(environ 6 semaines).

Classe de terminale S année scolaire 2011-2012 Programme de mathématiques 1 / 12

II.1. Analyse

Deux objectifs majeurs fédèrent les éléments de ce chapitre :• l’extension du champ des suites et des fonctions vues en classe de première à quelques nouvelles fonctions classiques :

exponentielles, logarithmes, trigonométriques (telle la fonction tangente) ou faisant intervenir des radicaux ;• l’initiation au calcul intégral et à la problématique des équations différentielles : la présence de ces dernières, bien

que modeste dans le libellé du programme, est fondamentale pour amener à la compréhension de la puissance desmathématiques pour la modélisation ; un travail conjoint avec les autres disciplines favorisera cet objectif.

L’étude des suites et fonctions sera motivée par la résolution de problèmes : elle n’est pas une fin en soi. Ces problèmespourront être d’origine mathématique, physique, biologique, économique ou autre et amèneront à des recherches d’ex-trema, des comparaisons de fonctions, des résolutions graphiques d’équations ou d’inéquations, etc. On privilégiera lesproblèmes mettant en jeu des liens entre une fonction et sa dérivée première ou seconde. On pourra remarquer en parti-culier que certains phénomènes peuvent être étudiés soit en temps discret – à l’aide d’une suite –, soit en temps continu– à l’aide d’une fonction (évolution d’un capital par exemple).Une bonne maîtrise des fonctions classiques (dérivées, extrema, comportements asymptotiques, courbes représentatives)est nécessaire ; elle doit permettre une certaine aisance dans les problèmes qui les mettent en jeu. La notion de continuitéest introduite et permet de disposer du langage nécessaire pour énoncer les théorèmes de façon satisfaisante. L’étudethéorique de la continuité des fonctions classiques est exclue. Dans le cadre de la résolution de problèmes, l’étude d’unefonction se limitera le plus souvent à un intervalle.

CONTENUS MODALITÉS DE MISE EN ŒUVRE COMMENTAIRES

Limites de suites et defonctionsRappel de la définition de lalimite. Extension à la limitefinie ou infinie d’unefonction en +∞ ou −∞.

Pour exprimer que f (x) tend vers L quand xtend vers +∞, on dira que : « tout intervalleouvert contenant L contient toutes les valeursf (x) pour x assez grand ».On montrera qu’une suite croissante nonmajorée tend vers l’infini.On reverra à cette occasion la notiond’asymptote oblique, en se limitant auxfonctions se mettant sous la formeax + b + h(x), où h tend vers 0 à l’infini.On montrera sur des exemples que l’étude surcalculatrice ou au tableur d’une suite ou d’unefonction permet de conjecturer des limites quidevront ensuite être justifiées.

Il s’agit de prolonger le travail fait enpremière sur les suites. L’expression« pour x assez grand » est l’analoguepour les fonctions de l’expression « àpartir d’un certain rang » utiliséepour les suites.Pour les limites en un réel a, aucunedéfinition n’est exigée : on reprendral’approche intuitive adoptée enclasse de première. Sur un exemple,on fera le lien entre limite en un réela et à l’infini. On pourra parler delimite à droite ou à gauche àl’occasion de certains exemples.

Théorème « desgendarmes » pour lesfonctions.

On démontrera ce théorème lorsque la variabletend vers l’infini.On étendra ce théorème au cas des limitesinfinies.

Limites de la somme, duproduit, du quotient dedeux suites ou de deuxfonctions ; limite de lacomposée de deuxfonctions, de la composéed’une suite et d’unefonction.

On complétera les résultats énoncés en classede première ; on se bornera à une justificationintuitive (calculatoire ou graphique).

Ces propriétés seront appliquéescomme règles opératoires.



Langage de la continuité ettableau de variations

Continuité en un point a. On définira la continuité de f en un point a parlim

af = f (a) ou lim

h→0f (a + h) = f (a).

On illustrera la notion de continuité sur unintervalle en parlant de tracé sans lever lecrayon. On présentera à titre decontre-exemple le cas de la fonction partieentière.

Les fonctions rencontrées enterminale sont le plus souventcontinues sur leur intervalle d’étude ;on indiquera clairement que lesfonctions construites à partir desfonctions polynômes,trigonométriques, logarithmes ouexponentielles sont continues.Démontrer qu’une fonction estcontinue en un point ou sur unintervalle n’est pas un objectif duprogramme.

Théorème (dit des valeursintermédiaires) :« Soient f une fonctiondéfinie et continue sur unintervalle I et a et b deuxréels dans I. Pour tout réel kcompris entre f (a) et f (b), ilexiste un réel c comprisentre a et b tel quef (c) = k ».

Ce théorème pourra être admis ou démontré àl’aide de suites adjacentes. On démontrera lecorollaire suivant : « si f est une fonctioncontinue strictement monotone sur [a; b], alors,pour tout réel k compris entre f (a et f (b),l’équation f (x) = k a une solution unique dans[a; b] ».On étendra ce corollaire au cas où f est définiesur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, bornéou non, les limites de f aux bornes del’intervalle étant supposées connues.� On pourra approcher la solution del’équation f (x) = k par dichotomie oubalayage avec la calculatrice ou l’ordinateur.

On conviendra, dans les tableaux devariations, que les flèches obliquestraduisent la continuité et la strictemonotonie de la fonction surl’intervalle considéré.Dans la rédaction de la solution à unproblème, une simple référence autableau de variations suffira pourjustifier l’existence et l’unicité d’unesolution d’une équation du typef (x) = k.

DérivationRappels sur les règles dedérivation et sur le lienentre signe de la dérivée etvariations de la fonction.Application à l’étude de lafonction tangente.

On rappellera en particulier le théorèmesuivant qui sera utilisé à propos desprimitives : « une fonction dont la dérivée estnulle sur un intervalle est constante sur cetintervalle ».On fera remarquer que toute fonctiondérivable est continue.Écriture différentielle dy = f ′(x) dx. On se contentera d’expliquer que

l’écriture différentielle exprimesymboliquement l’égalité :∆y = f ′(x)∆x + ε(∆x)∆x où ε tendvers zéro avec ∆x.

Dérivation d’une fonctioncomposée.

Le principe de la démonstration sera indiqué.La notation différentielle est ici un moyenmnémotechnique de retrouver la formule.

À l’occasion des exercices, onrencontre des relations entregrandeurs de la forme x = f (t),y = g(x), v = u(t) etc., où treprésente un temps, x et y deslongueurs, v une vitesse : dans cesconditions, f ′(t) est une vitesse,g′(x) est un nombre et u′(t) uneaccélération, ce que l’écrituredifférentielle met en valeur.



Introduction de la fonctionexponentielleÉtude de l’équation f ′ = k f .Théorème : « Il existe uneunique fonction f dérivablesur R telle que f ′ = f etf (0) = 1 ».Relation fonctionnellecaractéristique.Introduction du nombre e.Notation e x.Extension du théorèmepour l’équation f ′ = k f .

L’étude de ce problème pourra être motivéepar un ou deux exemples, dont celui de laradioactivité traité en physique, ou par larecherche des fonctions dérivables f telles quef (x + y) = f (x) f (y).� On construira avec la méthode d’Euler desreprésentations graphiques approchées de fdans le cas k = 1 ; on comparera divers tracésobtenus avec des pas de plus en plus petits.L’unicité sera démontrée. L’existence seraadmise dans un premier temps. Elle seraétablie ultérieurement à l’occasion de laquadrature de l’hyperbole.Approximation affine, au voisinage de 0, deh 7→ e h.

Ce travail se fera très tôt dans l’annéecar il est central dans le programmede mathématiques et de physique. Ilfournit un premier contact avec lanotion d’équation différentielle etmontre comment étudier unefonction dont on ne connaît pas uneformule explicite. La méthoded’Euler fait apparaître une suitegéométrique et donne l’idée quel’exponentielle est l’analogue continude la notion de suite géométrique, ceque l’équation fonctionnelleconfirme.

Étude des fonctionslogarithmes etexponentielles

Fonction logarithmenépérien ; notation ln.Équation fonctionnellecaractéristique.Dérivée ; comportementasymptotique.

On mentionnera la fonction logarithmedécimal, notée log, pour son utilité dans lesautres disciplines et son rapport avec l’écrituredécimale des nombres.Approximation affine, au voisinage de 0, deh 7→ ln(1 + h).

Le mode d’introduction dulogarithme n’est pas imposé. Onpeut, pour l’introduire :• soit partir des propriétés desfonctions exponentielles ;• soit poser le problème desfonctions dérivables sur R+∗ tellesque f (xy) = f (x) + f (y) et admettrel’existence de primitives pour la

fonction x 7→ 1x

;

• soit traiter le logarithme aprèsl’intégration.

Fonctions x 7→ ax poura > 0.Comportementasymptotique ; allure descourbes représentatives.

On positionnera, à l’aide d’un grapheur, lescourbes représentatives de x 7→ e x et dex 7→ ln x par rapport à celles des fonctionsx 7→ xn.

Croissance comparéedes fonctionsexponentielles, puissancesentières et logarithme.

On établira la limite en +∞ dee x

xet de

ln xx

;

on en déduira la limite en −∞ de xe x ;on aboutira aux règles opératoires : « à l’infini,l’exponentielle de x l’emporte sur toutepuissance de x » et « les puissances de xl’emportent sur le logarithme de x ».

À travers des exemples, on étendraces règles au cas des polynômes,

comme pour la fonction x 7→ e x

1 + x2 ·

On étudiera les fonctions x 7→ e−kx, oux 7→ e−kx2

, avec k > 0, et on illustrera leurdécroissance rapide.

Ces fonctions sont très utilisées enprobabilité et en statistique, enthéorie du signal etc.

Fonction racine n-ième :x 7→ n

√x.

La racine n-ième, sera introduite et expliquée ;on utilisera aussi la notation x1/n.

On pourra aborder lors de l’étude deproblèmes des fonctions du typex 7→ xα (avec α réel) ; l’étude généralede ces fonctions est hors programme.



Suites et récurrenceRaisonnement parrécurrence.Suite monotone, majorée,minorée, bornée.

On choisira des exemples permettantd’introduire le vocabulaire usuel des suites etnécessitant l’utilisation de raisonnements parrécurrence. On s’appuiera sur un traitementtant numérique (avec outils de calcul :calculatrice ou ordinateur) que graphique oualgébrique.

On présentera le principe derécurrence comme un axiome.� On étudiera expérimentalementdes suites définies par une relationde récurrence.

On étudiera numériquement sur un ou deuxexemples, la rapidité de convergence d’unesuite (un) vers sa limite L, en complétantl’étude sur calculatrice ou ordinateur par desencadrements de (un − L).� Ce pourra être l’occasion d’écrire unprogramme de calcul mesurant la vitesse deconvergence.On traitera quelques problèmes menant àl’étude de suites définies par un+1 = aun + b.

Aucune notion théorique de rapiditéde convergence n’est au programme.

Suites adjacentes etthéorème des suitesadjacentes.

La notion de suites adjacentes sera introduiteen liaison avec le calcul intégral :encadrements d’aires (par exemple aire d’uncercle par la méthode d’Archimède, aire sousune parabole).On montrera le lien avec l’écriture décimaled’un réel.

� Calcul d’une solution d’une équationf (x) = 0 par un algorithme dichotomique.

� Calculs d’aires.

On fera le lien avec la méthode dedichotomie. L’objectif est d’enrichirla vision des nombres réels etd’indiquer l’importance des suitesadjacentes dans le problème de lamesure des grandeurs géométriquesou physiques.

L’étude de suites un+1 = f (un) pourapprocher une solution de l’équationf (x) = x n’est pas un objectif duprogramme : la dichotomie, lebalayage suffisent au niveau de laterminale pour des problèmesnécessitant de telles approximations.

Théorème de convergencedes suites croissantesmajorées.

L’équivalence avec le théorème dessuites adjacentes pourra faire l’objetd’un problème.

IntégrationPour une fonction fcontinue positive sur [a, b],introduction de la notation∫ b

af (x) dx comme aire sous

la courbe.Valeur moyenne d’une tellefonction.

On indiquera que l’aire sous la courbe peutêtre approchée en l’encadrant par deux suitesadjacentes construites en quadrillant le plan deplus en plus finement.Exemple où la fonction intégrée est en escalier.Exemple de la parabole : on fera apparaîtrel’intégrale comme limite de sommes et onadmettra que cette situation est généralisable.

Les élèves ont une notion intuitived’aire (avec la propriété d’additivité)et savent calculer certaines airesélémentaires ; l’objectif est de leurdonner un aperçu de la définition etdu calcul de l’aire de domaines plansliés aux fonctions ; toutdéveloppement théorique est exclu.

Extension à l’intégrale et àla valeur moyenne d’unefonction de signequelconque.

On indiquera la convention de signe sur unintervalle où f est négative et on en déduira lecas général ; on pourra aussi ajouter uneconstante à f pour la rendre positive.

Cette extension doit être faitebrièvement. La convention de signeprendra tout son sens lors de l’étude

de∫ b

af (x) dx



Linéarité, positivité, ordre,relation de Chasles.Inégalité de la moyenne.

On interprétera ces propriétés en terme d’aireou en terme de valeur moyenne pour lesrendre conformes à l’intuition.

Les propriétés générales del’intégrale seront rapidementcommentées et admises ; les élèvess’en serviront comme règlesopératoires.

On illustrera l’intérêt de l’intégrale pardiverses situations, entre autres :• expression intégrale de la distance parcouruesur une droite par un point mobile dont onconnaît la vitesse instantanée ;• expression intégrale du volume d’un solidedont on connaît les aires des sections avec lesplans d’équation z = constante ;• calculs de probabilités d’intervalles pour deslois de probabilités à densité.

Ce travail est une façon de préparerle théorème liant intégrales etprimitives, particulièrement frappantdans le cas du point mobile.Aucune connaissance théorique n’estexigible sur ces activités demodélisation.Dans les problèmes, les expressionsintégrales seront toujours données.En lien avec la physique, onmentionnera le problème des unités :si x et y sont deux grandeurs liéespar une relation y = f (x), l’intégrale∫ b

af (x) dx est une grandeur

homogène au produit des grandeursxy tandis que la valeur moyenne esthomogène à y.

Intégration et dérivationNotion de primitive.Théorème : « si f estcontinue sur un intervalle I,et si a est un point de I, lafonction F telle que

F(x) =∫ x

af (t) dt est

l’unique primitive de f surI s’annulant en a ».

On démontrera que F est une primitive de fdans le cas où f est continue et croissante, eton admettra le cas général.

L’intégration permet d’établirl’existence des primitives desfonctions continues et d’en donnerdes méthodes numériques de calcul ;inversement, la connaissance d’uneprimitive d’une fonction continuedonne une formule explicite pour lecalcul des intégrales : les élèvesdevront percevoir l’intérêt de cettedouble démarche.

Calcul de∫ b

af (x) dx à

l’aide d’une primitive de f .

� Exemple de tracé de lacourbe approchée de laprimitive d’une fonctionpar la méthode d’Euler.

Tableau primitives-dérivées des fonctionsusuelles (fonctions x 7→ xn, x 7→

√x, x 7→ ln x,

x 7→ e x, sinus, cosinus).Application de la dérivation des fonctions

composées à la primitivation deu′

u, u′e u, u′un.

L’existence d’une solution del’équation y′ = f (t), admise enpremière est ainsi justifiée ; de même,est justifiée l’existence dulogarithme : celle de sa fonctionréciproque en découle alors. Lavolonté d’introduire rapidement lafonction exponentielle pour laphysique aura conduit à admettre unthéorème d’existence en débutd’année, qui se trouve ici justifié.

Intégration par parties. On se limitera à des cas simples oùl’élève aura à trouver lui-même lerecours à la technique d’intégrationpar parties.



Équations différentiellesy′ = ay + b

On démontrera l’existence et l’unicité de lasolution passant par un point donné.On étudiera quelques problèmes oùinterviennent des équations différentielles seramenant à y′ = ay + b.

Ce paragraphe, déjà abordé lors del’introduction de la fonctionexponentielle, pourra être réparti surl’ensemble de l’année.On fera le lien avec l’étude de ceséquations en physique ; on définira letemps caractéristique τ = −1/a poura < 0.Les indications utiles pour seramener à y′ = ay + b doivent êtredonnées.Des solutions de l’équationy′′ + ω2y = 0 seront introduites encours de physique.

II.2. Géométrie

L’objectif de ce paragraphe est d’entretenir la pratique des objets usuels du plan et de l’espace et de fournir quelquesnotions nouvelles permettant de parfaire l’approche entreprise dans les classes antérieures sur la géométrie vectorielleou repérée. Dans le prolongement du repérage polaire introduit en première, les nombres complexes, outre leur intérêthistorique, algébrique et interdisciplinaire pour la poursuite des études, fournissent un outil efficace dans les problèmesfaisant intervenir les transformations planes.L’extension à l’espace du calcul vectoriel et du produit scalaire permet de résoudre de nouveaux problèmes et, de cefait, d’approfondir la vision de l’espace. Bien que, comme dans les programmes antérieurs, le libellé de cette partie soitrelativement concis, on prendra le temps de mettre en œuvre toutes les connaissances de géométrie de l’ensemble ducursus scolaire pour l’étude de configurations du plan ou de l’espace, le calcul de distances, d’angles, d’aires et de volumes,etc. Ces travaux seront répartis tout au long de l’année afin que les élèves acquièrent une certaine familiarité avec ledomaine géométrique ; on privilégiera les problèmes dont les procédés de résolution peuvent avoir valeur de méthodeet on entraînera les élèves à choisir l’outil de résolution le plus pertinent parmi ceux dont ils disposent (propriétés desconfigurations, calcul vectoriel, calcul barycentrique, transformations, nombres complexes, géométrie analytique).


Géométrie plane : nombrescomplexesLe plan complexe : affixed’un point ; parties réelle etimaginaire d’un nombrecomplexe. Conjugué d’unnombre complexe.Somme, produit, quotientde nombres complexes.Module et argument d’unnombre complexe ; moduleet argument d’un produit,d’un quotient.Écrituree i θ = cos θ + i sin θ.

Le vocabulaire sera introduit à partir deconsidérations géométriques.

On retrouvera à cette occasion la notion decoordonnées polaires et celle, sous-jacente,d’équation paramétrique d’un cercle (sous laforme z = zω + re i θ oux = xω + r cos θ, y = yω + r sin θ).

La notation exponentielle sera introduite aprèsavoir montré que la fonction θ 7→ cos θ + i sin θvérifie l’équation fonctionnelle caractéristiquedes fonctions exponentielles.

La vision des nombres complexes estd’abord géométrique : calculs sur despoints du plan. Les repéragescartésien et polaire introduits enpremière conduisent naturellement àdeux écritures d’un nombrecomplexe.L’objectif est ensuite de montrer lapuissance de ce calcul dans lesproblèmes de géométrie.On introduira dans ce chapitrequelques éléments lui donnant unedimension historique.Les nombres complexes permettentde retrouver et de mémoriser lesformules trigonométriquesd’addition et de duplication vues enpremière.



Résolution dans C deséquations du second degréà coefficients réels.Interprétation géométriquede z 7→ z′ avec z′ = z + b ouz′ − w = k(z− w) avec kréel non nul, ouz′ − w = e i θ(z− w).

On utilisera les nombres complexes pourtraiter des exemples simples de configurationset résoudre des problèmes faisant intervenirdes translations, des rotations, deshomothéties.

On exploitera à la fois les possibilitésoffertes par les nombres complexes etles raisonnements géométriquesdirects qui réactivent lesconnaissances antérieures,notamment sur les transformationsdu plan.

Calcul vectoriel dansl’espace

On étendra à l’espace les opérations sur lesvecteurs du plan. On introduira la notion devecteurs coplanaires.

Produit scalaire dansl’espaceRappels sur le produitscalaire dans le plan.Définition du produitscalaire de deux vecteursdans l’espace. Propriétés,expression en repèreorthonormal.

Expression en repère orthonormal de ladistance d’un point à une droite dans le plan.Plan orthogonal à un vecteur passant par unpoint. Équation cartésienne en repèreorthonormal. Expression de la distance à unplan.Inéquation définissant un demi-espace.

On généralisera aux vecteurs del’espace la définition du produitscalaire donnée dans le plan ; à cetteoccasion, on présentera la projectionorthogonale sur une droite ou sur unplan.

Droites et plans dansl’espaceReprésentationparamétrique d’une droitede l’espace.Intersection de deux plans,d’une droite et d’un plan.Discussion géométrique ;discussion algébrique.

On fera clairement apparaître que lesproblèmes géométriques considérés ici sontaussi l’étude des systèmes d’équationslinéaires, que l’on résoudra algébriquement.On traitera aussi quelques situationsnumériques (issues de l’analyse, de situationséconomiques ou autres) s’y ramenant.

Les élèves doivent aussi savoirqu’une droite de l’espace peut êtrereprésentée par un système de deuxéquations linéaires.


II.3. Probabilités et statistiques

On poursuit ici la présentation entreprise en seconde et en première des concepts fondamentaux de probabilité dans le casfini avec la notion de conditionnement et d’indépendance et l’étude de quelques lois de probabilité.


Conditionnement etindépendance

Conditionnement par unévénement de probabiliténon nulle puisindépendance de deuxévénements.

On justifiera la définition de la probabilité de Bsachant A, notée PA(B), par des calculsfréquentiels.

Indépendance de deuxvariables aléatoires.

On utilisera à bon escient les représentationstelles que tableaux, arbres, diagrammes, . . .efficaces pour résoudre des problèmes deprobabilités.

Un arbre de probabilité correctementconstruit constitue une preuve.

Formule des probabilitéstotales.

Application à la problématique des tests dedépistage en médecine et à la loi de l’équilibregénétique lors d’appariements au hasard.

Les élèves doivent savoir appliquersans aide la formule des probabilitéstotales dans des cas simples.

Statistique et modélisationExpériences indépendantes.Cas de la répétitiond’expériences identiques etindépendantes.

Application aux expériences de référencesvues en seconde et première (dés, pièces,urnes, . . .).

On conviendra, en conformité avecl’intuition, que pour des expériencesindépendantes, la probabilité de laliste des résultats est le produit desprobabilités de chaque résultat.

Lois de probabilité

Exemples de lois discrètesIntroduction des

combinaisons, notées(

np

).

Formule du binôme.

On introduira la notation n!.L’élève devra savoir retrouver les formules :(

np

)=(

n− 1p− 1

)+(

n− 1p

)(

np

)=(

nn− p

)Le symbole

(np

)peut être désigné

par la locution « p parmi n ».Pour les dénombrements intervenantdans les problèmes, on en restera àdes situations élémentairesrésolubles à l’aide d’arbres, dediagrammes ou de combinaisons.

Loi de Bernoulli, loibinomiale ; espérance etvariance de ces lois.

On appliquera ces résultats à des situationsvariées.� La simulation de tirages avec remise estproposée comme activité algorithmique.

La formule donnant l’espérance seraconjecturée puis admise ; la formulede la variance sera admise.

Exemple de loi continue• loi uniforme sur [0,1].


Algorithmique (objectifs pour le lycée)

La démarche algorithmique est, depuis les origines, une composante essentielle de l’activité mathématique. Au collège,les élèves ont rencontré des algorithmes (algorithmes opératoires, algorithme des différences, algorithme d’Euclide, algo-rithmes de construction en géométrie). Ce qui est proposé dans le programme est une formalisation en langage naturelpropre à donner lieu à traduction sur une calculatrice ou à l’aide d’un logiciel. Il s’agit de familiariser les élèves avec lesgrands principes d’organisation d’un algorithme : gestion des entrées-sorties, affectation d’une valeur et mise en formed’un calcul, en opérant essentiellement sur des nombres entiers.

Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés :• à décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;• à en réaliser quelques uns à l’aide d’un tableur ou d’un petit programme réalisé sur une calculatrice ou avec un logiciel

adapté ;• à interpréter des algorithmes plus complexes.Aucun langage, aucun logiciel n’est imposé.

L’algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être enrelation avec les autres parties du programme (fonctions, géométrie, statistiques et probabilité, logique) mais aussi avecles autres disciplines ou la vie courante. Quelques activités pouvant donner lieu à écriture d’algorithmes sont signaléesdans le programme par le signe � .

À l’occasion de l’écriture d’algorithmes et de petits programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes derigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle.

Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).

Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :• d’écrire une formule permettant un calcul ;• d’écrire un programme calculant et donnant la valeur d’une fonction ;ainsi que les instructions d’entrées et sorties nécessaires au traitement.

Boucle et itérateur, instruction conditionnelle

Les élèves, dans le cadre d’une résolution de problèmes, doivent être capables :• de programmer un calcul itératif, le nombre d’itérations étant donné ;• de programmer une instruction conditionnelle, un calcul itératif, avec une fin de boucleconditionnelle.


Notations et raisonnement mathématiques (objectifs pour le lycée)

Cette rubrique, consacrée à l’apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l’objet de séancesde cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l’année scolaire.

Notations mathématiques

Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’apparte-nance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les sym-boles de base correspondant : ∈, ⊂, ∪, ∩ ainsi que la notation des ensembles de nombres et desintervalles.Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités A.

Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés, sur des exemples :• à utiliser correctement les connecteurs logiques « et », « ou » et à distinguer leur sens des sens

courants de « et », « ou » dans le langage usuel ;• à utiliser à bon escient les quantificateurs universel, existentiel (les symboles ∀, ∃ ne sont pas

exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et, particulière-ment, dans les propositions conditionnelles ;• à distinguer, dans le cas d’une proposition conditionnelle, la proposition directe, sa réciproque,

sa contraposée et sa négation ;• à utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire », « condition suffisante » ;• à formuler la négation d’une proposition ;• à utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ;• à reconnaître et à utiliser des types de raisonnement spécifiques : raisonnement par disjonction

des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde, raisonnement par récurrence.


III. ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Les paragraphes qui suivent concernent deux domaines choisis pour leur richesse mathématique au niveau d’une forma-tion initiale. L’arithmétique est un champ des mathématiques très vivant dont les applications récentes sont nombreuses ;c’est un domaine au matériau élémentaire et accessible conduisant à des raisonnements intéressants et formateurs. C’estun lieu naturel de sensibilisation à l’algorithmique où la nécessité d’être précis impose rigueur et clarté du raisonnement.Avec l’étude des similitudes directes planes, on vise à la fois une synthèse des études antérieures sur les transformationset une première approche implicite de la structure de groupe.


ArithmétiqueDivisibilité dans Z.Division euclidienne.Algorithme d’Euclide pourle calcul du PGCD.Congruences dans Z.Entiers premiers entre eux.PPCM.

On fera la synthèse des connaissances acquisesdans ce domaine au collège.� On étudiera quelques algorithmes simples eton les mettra en œuvre sur calculatrice ouordinateur : recherche d’un PGCD,décomposition d’un entier en facteurspremiers, reconnaissance de la primalité d’unentier.

On montrera l’efficacité du langagedes congruences.On utilisera les notations : a ≡ b (n)ou a ≡ b (modulo n), et on établirales compatibilités avec l’addition etla multiplication.Toute introduction de Z/nZ estexclue.

Nombres premiers.Existence et unicité de ladécomposition en produitde facteurs premiers.

On démontrera que l’ensemble des nombrespremiers est infini.

L’unicité de la décomposition enfacteurs premiers pourra êtreadmise. premiers.

Théorème de Bézout.Théorème de Gauss.

Sur des exemples simples, obtention etutilisation de critères de divisibilité. Exemplessimples d’équations diophantiennes.Applications élémentaires au codage et à lacryptographie.Application : petit théorème de Fermat.

� L’arithmétique est un domaineavec lequel l’informatique interagitfortement ; on veillera à équilibrerl’usage de divers moyens de calculs :à la main, à l’aide d’une calculatriceou sur un ordinateur.

Similitudes directes planes

Définition géométriqued’un déplacement, d’unesimilitude directe.

Caractérisation complexe :toute similitude directe aune écriture complexe de laforme z 7→ az + b(a non nul).

Les similitudes directes seront introduitescomme transformations du plan composéesd’une homothétie et d’un déplacement.On démontrera qu’une similitude directeconserve les rapports de distances et les anglesorientés.On fera remarquer que la réciproque d’unesimilitude directe est une similitude directe,que la composée de deux similitudes directesest une similitude directe et que, dans le casgénéral, la composition n’est pas commutative.On démontrera qu’une similitude directeayant deux points fixes distincts est l’identité.

La définition générale sera illustréed’une part avec les transformationsétudiées antérieurement, d’autre partavec les transformations d’écriturecomplexe z 7→ az + b ; ces dernièresseront amenées progressivement àtravers des exemples.La caractérisation complexe est unmoyen efficace d’établir la plupartdes propriétés.

Les similitudes indirectes sont horsprogramme.

Étude des similitudesdirectes.Forme réduite d’unesimilitude directe.

On démontrera la propriété suivante : étantdonnés quatre point A, B, A′, B′ tels que A 6= Bet A′ 6= B′, il existe une unique similitudedirecte transformant A en A′ et B en B′.Applications géométriques des similitudesdirectes à l’étude de configurations, larecherche de lieux et la résolution deproblèmes de construction.


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