Programme de Mathematiques en MPSI

8/9/2019 Programme de Mathematiques en MPSI

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CLASSE DE PREMIERE ANNEE MPSI

Le programme de premiere annee MPSI est organise en trois parties. Dans une premiere partie figurent lesnotions et les objets qui doivent etre etudies des le debut de lannee scolaire. Il sagit essentiellement, en partantdu programme de la classe de Terminale S et en sappuyant sur les connaissances prealables des etudiants,

dintroduire des notions de base necessaires tant en mathematiques que dans les autres disciplines scientifiques(physique, chimie, sciences industrielles. . . ). Certains de ces objets seront consideres comme definitivementacquis (nombres complexes, coniques, . . . ) et il ny aura pas lieu de reprendre ensuite leur etude dans le coursde mathematiques ; dautres, au contraire, seront revus plus tard dans un cadre plus general ou dans une presentation plus theorique (groupes, produit scalaire, equations differentielles, . . . ).Les deuxieme et troisieme parties correspondent a un decoupage classique entre lanalyse et ses applicationsgeometriques dune part, lalgebre et la geometrie euclidienne dautre part.

PROGRAMME DE DEBUT DANNEE

I. NOMBRES COMPLEXES ET GEOMETRIE ELEMENTAIRE

1- Nombres complexes

Lobjectif est de consolider et dapprofondir les notions sur les nombres complexes deja abordees en classe deTerminale. Le programme combine letude du corps des nombres complexes et de lexponentielle complexe avecles applications des nombres complexes aux equations algebriques, a la trigonometrie et a la geometrie.

Il est souvent commode didentifierC au plan euclidien notamment pour les problemes dorigine geometrique, cequi permet dexploiter le langage de la geometrie pour letude des nombres complexes et, inversement, dutiliserles nombres complexes pour traiter certaines questions de geometrie plane. En particulier, les etudiants doiventsavoir interpreter a laide des nombres complexes les notions suivantes de la geometrie euclidienne plane : calcul

vectoriel, barycentre, alignement, orthogonalite, distance, mesure dangle.a) Corps C des nombres complexes

Corps C des nombres complexes. Parties reelle et imaginairedun nombre complexe, conjugaison dans C.

La construction du corps C nest pas exigibledes etudiants.Notations Re z, Im z, z.

Le plan etant muni dun repere orthonormal, affixe dunpoint, dun vecteur ; image dun nombre complexe.

Interpretation geometrique des transformationsz z, z z + b.

Module dun nombre complexe, module dun produit, dunquotient. Inegalite triangulaire ; interpretation en termes dedistances.

Notation |z| ; relation |z|2 = zz .Interpretation geometrique de |z|, de |z a| ;disque ouvert (ferme) de centre a.

b) Groupe U des nombres complexes de module 1

Definition du groupe U des nombres complexes de module1. Cercle trigonometrique.Definition de ei, relations dEuler.Morphisme ei de R dans U. Formule de Moivre.

On se contentera dune breve presentation dela structure de groupe.Par definition, ei = cos + i sin ou R.La continuite, la derivabilite et les variationsdes fonctions cosinus, sinus et tangente sontsupposees connues, ainsi que leurs formulesdaddition.

Linearisation et factorisation dexpressions trigonome-triques.

Les etudiants doivent connatre les formulesdonnant cos(a+b), sin(a+b), tan(a+b), cos 2x,sin2x, tan2x. Ils doivent savoir exprimer sin ,

cos , tan et ei a laide de tan

2et relier

ces formules a la representation parametriquerationnelle du cercle trigonometrique prive de1.


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Arguments dun nombre complexe non nul. Ecriture dunnombre complexe z = 0 sous la forme ei ou > 0 et R (forme trigonometrique).Racines n-iemes de lunite. Resolution de lequation zn = a.

c) Equations du second degre

Resolution des equations du second degre a coefficientscomplexes ; discriminant. Relations entre coefficients etracines.

d) Exponentielle complexe

Definition de lexponentielle dun nombre complexe :

ez = ex eiy ou z = x + iy.

Proprietes.

La continuite, la derivabilite et les variationsde la fonction exponentielle reelle sont supposeesconnues, ainsi que son equation fonctionnelle.

e) Nombres complexes et geometrie plane

Interpretation geometrique des transformations :

z

az, z

az + b, z

z.

Interpretation du module et de largument de z 1z

,z az b

Les etudiants doivent savoir interpreter a laidedes nombres complexes les notions suivantes

de la geometrie euclidienne plane : distance,mesure dangle, barycentre, alignement, orthogonalite.

2- Geometrie elementaire du plan

A lissue de la Terminale, les etudiants connaissent le plan geometrique euclidien et lespace geometrique euclidiende dimension 3 en tant quensemble de points. Ils connaissent en particulier la facon dassocier a deux pointsAet B le vecteur

AB, ainsi que les proprietes operatoires usuelles. Il convient de faire constater que lensemble des

vecteurs du plan (respectivement de lespace) est muni dune structure de plan vectoriel reel (respectivementdespace vectoriel reel de dimension 3), defini comme espace vectoriel surR dont tout vecteur sexprime commecombinaison lineaire de deux vecteurs independants, cest-a-dire non colineaires (respectivement trois vecteursindependants, cest-a-dire non coplanaires). Toute theorie generale des espaces vectoriels est exclue a ce stade.

Les notions suivantes sont supposees connues : calcul vectoriel et barycentrique, distance euclidienne,orthogonalite, repere orthonormal, angles, angles orientes dans le plan euclidien.La donnee dun repere orthonormal identifie le plan aR2 ou aC (respectivement lespace aR3).

a) Modes de reperage dans le plan

Repere cartesien du plan, coordonnees cartesiennes. Repereorthonormal direct, changement de repere.

Les formules de changement de repere sont aconnaitre uniquement dans le cas ou les deuxreperes sont orthonormaux directs.

Coordonnees polaires dun point du plan suppose muni dunrepere orthonormal.

Le repere orthonormal identifie le plan a C.

Equation polaire dune droite, dun cercle passant par O.

Repere polaire (u, v) du plan euclidien R2 defini, pour tout

nombre reel , par

u () = cos e1 + sin e2,

v () = sin e1 + cos e2ou ( e1, e2) est la base canonique de R

2.

Identification u = ei, v = iei.

b) Produit scalaire

Definition geometrique du produit scalaire. Si u et v sontnon nuls

u v = u v cos(u, v),et u v = 0 sinon.

Interpretation en terme de pro jection.

Bilinearite, symetrie, expression en base orthonormale. Dans C, interpretation geometrique de Re (ab).


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c) Determinant

Definition geometrique du determinant. Si u etv sont non nuls

Det(u, v) = u v sin(u, v),et Det(u, v) = 0 sinon.

La notion dorientation du plan est admise,ainsi que celle de base orthonormale directe.

Bilinearite, antisymetrie, expression en base orthonormaledirecte.

Dans C, interpretation de Im (ab) comme deter-minant des vecteurs associes a a et b. Interpretationgeometrique de |Det(u, v)| comme aire duparallelogramme construit sur u et v.

d) Droites

Applications du determinant a la colinearite de deuxvecteurs, lalignement de trois points.Lignes de niveau de M u AM et de M Det(u,AM).Parametrage et equation cartesienne dune droite definiepar un point et un vecteur directeur, par deux pointsdistincts, par un point et un vecteur normal.

Distance a une droite, equation normale dune droite.e) Cercles

Equation cartesienne dun cercle. Intersection dun cercleet dune droite. Intersection de deux cercles.

Caracterisation dun cercle de diametre [AB]

par lequationMA M B = 0.

Angles de droites. Etant donnes deux pointsdistincts A et B, ensemble des points M telsque (MA,MB) = , ensemble des points Mtels que M B = kM A.

3- Geometrie elementaire de lespace

a) Modes de reperage dans lespace

Coordonnees cartesiennes, cylindriques, spheriques.Changements de repere.

Pour les coordonnees spheriques, on convientde noter la colatitude, mesure dans [0, ] delangle entre Oz et OM.

b) Produit scalaire

Definition geometrique du produit scalaire. Bilinearite,symetrie, expression en base orthonormale.

Expression de la distance de deux points dansun repere orthonormal.

c) Produit vectoriel

Definition geometrique du produit vectoriel de deux vecteurs.Si u et v sont non nuls, le produit vectoriel de u et v est levecteur de norme u v sin(u, v) directement orthogonala (u, v) ; sinon le produit vectoriel est le vecteur nul.Notation u

v.

La notion dorientation de lespace est admise,ainsi que celle de base orthonormale directe. Ilconvient de donner les conventions physiquesusuelles.Interpretation de

u

v

comme aire duparallelogramme construit sur u et v.

Bilinearite, antisymetrie. Expression dans un repere ortho-normal direct. Condition de colinearite de deux vecteurs.

d) Determinant ou produit mixte

Definition du produit mixte (ou determinant) de troisvecteurs :

Det(u, v, w) = (u v) w.Trilinearite, antisymetrie. Expression en repere orthonormaldirect. Condition pour que trois vecteurs soient coplanaires.

Interpretation de |Det(u, v, w)| comme volumedu parallelepipede construit sur u, v et w.


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e) Droites et plans

Parametrage dune droite definie par un point et un vecteurdirecteur, deux points distincts, deux plans secants.Equation dun plan defini par un point et deux vecteursindependants, un point et un vecteur normal, trois pointsnon alignes. Equation normale dun plan ; distance a un

plan.Perpendiculaire commune.Distance a une droite.

f ) Spheres

Equation cartesienne dune sphere en repere orthonormal.Intersection dune sphere et dune droite, dune sphere etdun plan, de deux spheres.

II. FONCTIONS USUELLES ET EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES

Les proprietes elementaires liees a la continuite et a la derivabilite des fonctions reelles dune variable reelle

sont supposees connues. Les derivees des fonctions circulaires reciproques seront determinees en admettant letheoreme sur la derivabilite dune fonction reciproque.

1- Fonctions usuelles

Les proprietes des fonctions polynomiales et rationnelles et des fonctions exp, (surR), ln, cos, sin sont rappeleessans demonstration.

a) Fonctions exponentielles, logarithmes, puissances

Fonctions exponentielles reelles, fonctions logarithmes. Fonc-tions puissances. Croissances comparees de ces fonctions.

Les etudiants doivent savoir deriver une fonctionde la forme x u(x)v(x).

Fonctions hyperboliques ch, sh et th. Fonctions hyperboliques

reciproques Arg ch, Arg sh et Arg th.

Les etudiants doivent connaitre les derivees,

les variations et les representations graphiquesdes fonctions hyperboliques directes et reci-proques.En ce qui concerne la trigonometrie hyperbolique,la seule formule exigible des etudiants est larelation ch2t sh2t = 1 et son interpretationgeometrique.

b) Fonctions circulaires

Fonctions circulaires cos, sin et tan.

Fonctions circulaires reciproques Arc sin, Arc cos, Arc tan.

Les etudiants doivent connatre les derivees,les variations et les representations graphiquesdes fonctions circulaires directes et reciproques.

c) Fonction exponentielle complexe

Derivation de t eat ou a C ; derivation de t e(t), ou est a valeurs complexes.

La derivee dune fonction a valeurs complexesest definie par derivation des parties reelle etimaginaire.


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2- Equations differentielles lineaires

Il convient ici de rappeler la notion de primitive et dadmettre le theoreme fondamental la reliant a la notiondintegrale. Toute theorie generale de lintegration est exclue a ce stade.

Lobjectif, tres modeste, est detudier les equations differentielles lineaires du premier ordre et les equationslineaires du second ordre a coefficients constants.

Il convient de relier cette etude a lenseignement des autres disciplines scientifiques (systemes mecaniques ouelectriques gouvernes par une loi devolution et une condition initiale, traitement du signal) en degageant lasignification de certains parametres ou comportements : stabilite, regime permanent, oscillation, amortissement,frequences propres, resonance.

a) Equations lineaires du premier ordre

Caracterisation de la fonction t eat (a C) parlequation differentielle y = a y et la condition initialey(0) = 1.

Equation fonctionnelle f(t + u) = f(t)f(u) ouf est une fonction derivable de R dans C.

Equation y + a(t)y = b(t), ou a, b, c sont des fonctionscontinues a valeurs reelles ou complexes. Equation sanssecond membre associee.

Consequences de la linearite de lequation :structure de lensemble des solutions ; la solutiongenerale de lequation avec second membre

est somme dune solution particuliere et dela solution generale de lequation sans secondmembre ; principe de superposition lorsqueb = b1 + b2.

Existence et unicite de la solution satisfaisant a unecondition initiale donnee. Droite vectorielle des solutionsde lequation sans second membre associee. Expression dessolutions sous forme integrale.

b) Methode dEuler

Methode dEuler de resolution approchee dans le cas duneequation differentielle lineaire du premier ordre.

Interpretation graphique.

c) Equations lineaires du second ordre a coefficients constants

Equation ay + by + cy = f(t), ou a, b, c sont des nombrescomplexes, a = 0, et f une somme de fonctions de typet etP(t), ou C et P C[X].Equation sans second membre associee.

Consequences de la linearite de lequation :structure de lensemble des solutions ; la solutiongenerale de lequation avec second membreest somme dune solution particuliere et dela solution generale de lequation sans secondmembre ; principe de superposition lorsquef = f1 + f2.

Existence et unicite de la solution satisfaisant a unecondition initiale donnee. Plan vectoriel des solutions delequation sans second membre associee.

3- Courbes parametrees. Coniques

On adopte ici le point de vue suivant. Par definition, la fonction vectorielle f tend vers le vecteur l si f ltend vers zero ; cela equivaut au fait que les fonctions coordonnees de f tendent vers les coordonnees de l.

a) Courbes planes parametrees

Derivation de (f|g), f, Det (f, g) lorsque f et g sont deuxfonctions C1 a valeurs dans R2. Courbe definie par une representation parametrique declasse Ck

t OM(t) = f(t).Point regulier, tangente en un point regulier.

Interpretation cinematique : mouvement dun point mobile,

tra jectoire, vitesse, acceleration.Branches infinies : directions asymptotiques, asymptotes.


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Courbe definie par une representation polairef(t) = (t) u

(t)

,

ou et sont deux fonctions reelles de classe Ck sur unintervalle I et (u, v) designe le repere polaire.Calcul des coordonnees de la vitesse et de lacceleration

dans le repere polaire.

Courbe definie par une equation polaire () ou est de classe Ck et a valeurs reelles. Expression dans lerepere polaire de vecteurs directeurs de la tangente et de lanormale.

Les seules connaissances specifiques exigiblesdes etudiants concernant letude de courbesdefinies par une equation polaire sont cellesindiquees ci-contre.

b) Coniques

Dans le plan, lignes de niveau deMF

MH; definition par

excentricite, foyer et directrice dune parabole, dune ellipse,dune hyperbole. Equations reduites, centres, sommets,foyers. Asymptotes dune hyperbole.

Caracterisation des ellipses et des hyperbolesa laide des lignes de niveau de MF + MF etde |MF M F| (definition bifocale).

Equation polaire dune conique de foyer O.Determination en coordonnees cartesiennes ou en coordonneespolaires des tangentes a une conique.

Image dun cercle par une affinite orthogonale. Projection orthogonale dun cercle de lespacesur un plan.

Etude des ensembles definis par une equation cartesienne(dans un repere orthonormal) de la forme P(x, y) = 0, ou Pest un polynome du second degre a deux variables. Equationreduite.

Les etudiants doivent savoir distinguer la naturede la conique a laide du discriminant.


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ANALYSE ET GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

Le programme danalyse est organise autour des concepts fondamentaux de suite et de fonction. La matrise ducalcul differentiel et integral a une variable et de ses interventions en geometrie differentielle plane constitue unobjectif essentiel.

Le cadre detude est bien delimite : suites de nombres reels et de nombres complexes, fonctions definies sur unintervalle deR a valeurs reelles ou complexes, courbes planes, notions elementaires sur les fonctions de deuxvariables reelles.

Le programme combine letude globale des suites et des fonctions (operations, ma jorations, caractere lipschitzien,monotonie, convexite, existence dextremums. . .) et letude de leur comportement local ou asymptotique. Enparticulier, il convient de mettre en valeur le caractere local des notions de limite, de continuite, de derivabiliteet de tangente.

Il combine aussi letude de problemes qualitatifs (monotonie dune suite ou dune fonction, existence de limites,continuite, existence de zeros et dextremums de fonctions, existence de tangentes. . .) avec celle des problemesquantitatifs (majorations, evaluations asymptotiques de suites et de fonctions, approximations de zeros etdextremums de fonctions, proprietes metriques des courbes planes. . .).

En analyse, les majorations et les encadrements jouent un role essentiel. Tout au long de lannee, il convient doncde degager les methodes usuelles dobtention de majorations et de minorations : operations sur les inegalites,emploi de la valeur absolue ou du module, emploi du calcul differentiel et integral (recherche dextremums,inegalites des accroissements finis et de la moyenne, majorations tayloriennes. . .). Pour comparer des nombres,des suites ou des fonctions, on utilise systematiquement des inegalites larges (qui sont compatibles avec le passage a la limite), en reservant les inegalites strictes aux cas ou elles sont indispensables.

En ce qui concerne lusage des quantificateurs, il convient dentraner les etudiants a savoir les employer pourformuler de facon precise certains enonces et leurs negations (caractere borne, caractere croissant, existencedune limite, continuite en un point, continuite sur un intervalle, derivabilite en un point. . .). En revanche, ilconvient deviter tout recours systematique aux quantificateurs. A fortiori, leur emploi abusif (notamment sousforme dabreviations) est exclu.

Le programme danalyse et geometrie differentielle comporte la construction, lanalyse et lemploi dalgorithmesnumeriques (approximations de solutions dequations numeriques, approximations dune integrale. . .) etdalgorithmes de calcul formel (derivation, primitivation. . .) ; plus largement, le point de vue algorithmiqueest a prendre en compte pour lensemble de ce programme, notamment pour le trace de courbes.

I. NOMBRES REELS, SUITES ET FONCTIONS

1- Suites de nombres reels

Pour la notion de limite dune suite (un) de nombres reels, on adopte les definitions suivantes : etant donne un nombre reel a, on dit que (un) admet a pour limite si, pour tout nombre reel > 0, il existeun entier N tel que, pour tout entier n, la relation n N implique la relation

|un

a

| ; le nombre a est

alors unique, et on le note limnun. Lorsquun tel nombre a existe, on dit que la suite (un) est convergente, ouquelle admet une limite finie. Dans le cas contraire, on dit que (un) est divergente. on definit de maniere analogue la notion de limite lorsque a = + ou a = ; on dit alors que la suite (un)tend vers + ou vers.En ce qui concerne le comportement global et asymptotique dune suite, il convient de combiner letude deproblemes qualitatifs (monotonie, convergence, divergence. . .) avec celle de problemes quantitatifs (ma jorations,encadrements, vitesse de convergence ou de divergence par comparaison aux suites de reference usuelles. . . ).

a) Corps R des nombres reels

Corps R des nombres reels ; relation dordre, compatibiliteavec laddition, la multiplication.

La construction du corps des nombres reelset la notion de corps totalement ordonne sonthors programme.


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Valeur absolue dun nombre reel, distance de deux points.Inegalites triangulaires

||x| |y|| |x + y| |x| + |y|.

Definition dune borne superieure, dune borne inferieure.Toute partie majoree non vide admet une borne superieure.

Definition de la droite reelle achevee R.

Propriete admise.

Definition des intervalles de R. Tout intervalle ]a, b[ nonvide rencontre Q et son complementaire.

Toute partie convexe de R est un intervalle.

Partie entiere dun nombre reel. Valeurs decimales appro-chees a la precision 10n ; approximation par defaut, parexces.

La notion de developpement decimal illimiteest hors programme.

b) Suites de nombres reels

Espace vectoriel des suites de nombres reels, relation dordre.Suites majorees, minorees. Suites bornees.Suites monotones, strictement monotones.

Pour la presentation du cours, le programmese place dans le cadre des suites indexees parN. On effectue ensuite une breve extension auxautres cas usuels.

c) Limite dune suiteLimite dune suite, convergence et divergence.Lorsque a R, la relation un a equivaut a un a 0.

Tout nombre reel est limite dune suite denombres rationnels.

Toute suite convergente est bornee. Toute suite de nombres reels convergeant versun nombre reel strictement positif est minoree,a partir dun certain rang, par un nombre reelstrictement positif.

Espace vectoriel des suites convergeant vers 0 ; produitdune suite bornee et dune suite convergeant vers 0.

Operations algebriques sur les limites ; compatibilite dupassage a la limite avec la relation dordre.

Si |un| n et n 0, alors un 0.Si vn un wn, et si vn

a et wn

a,

alors un a.Si vn un et si vn +, alors un +.

Suites extraites dune suite. Toute suite extraite dune suiteconvergeant vers a converge vers a.

Application a la divergence dune suite bornee :il suffit dexhiber deux suites extraites convergeantvers des limites differentes.La notion de valeur dadherence dune suiteest hors programme.

d) Relations de comparaison

Etant donnee une suite (n) de nombres reels non nuls,definition dune suite (un) de nombres reels dominee par(n), negligeable devant (n).

Notations un = O(n), un = o(n).

Caracterisations a laide du quotientun

n

Definition de lequivalence de deux suites (un) e t (vn)de nombres reels non nuls. Equivalent dun produit, dunquotient.

Si un = n + wn, ou wn est negligeable devant n, alorsun n.

Notation un vn.Caracterisation a laide du quotient

un

vn

Si un vn, alors, a partir dun certain rang,le signe de un est egal a celui de vn.

Comparaison des suites de reference :

n an, n n, n (ln n), n n!ou a > 0, R, R.Exemples simples de developpements asymptotiques. Toute etude systematique est exclue ; en particulier,

la notion generale dechelle de comparaison est

hors programme.


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e) Theoremes dexistence de limites

Toute suite croissante majoree (un) converge, et

limn

un = supn

un.

Extension au cas dune suite croissante nonma joree.

Suites adjacentes. Theoreme des segments embotes. Les etudiants doivent connatre et savoir exploiter

la notion de suite dichotomique dintervalles.Theoreme de Bolzano-Weierstrass : de toute suite borneede nombres reels, on peut extraire une suite convergente.

La demonstration de ce theoreme nest pasexigible des etudiants

f ) Breve extension aux suites complexes

Suites a valeurs complexes ; parties reelle et imaginairedune suite ; conjugaison.

Suites bornees.

Notations Re un, Im un, un, |un|.

Limite dune suite a valeurs complexes ; caracterisation alaide des parties reelle et imaginaire.

Toute suite convergente est bornee.

Operations algebriques sur les limites.

2- Fonctions dune variable reelle a valeurs reelles

Pour la notion de limite dune fonction f en un point a (appartenant a I ou extremite de I), on adopte lesdefinitions suivantes :- Etant donnes des nombres reels a et b, on dit que f admet b pour limite au point a si, pour tout nombre reel > 0, il existe un nombre reel > 0 tel que, pour tout element x deI, la relation |xa| implique la relation|f(x) b| ; le nombre b est alors unique, et on le note lim

xaf. Lorsquun tel nombre b existe, on dit que f

admet une limite finie au point a.- On definit de maniere analogue la notion de limite lorsque a = + ou a = , ou lorsque b = + oub = .Dans un souci dunification, on dit quune propriete portant sur une fonction definie sur I est vraie au voisinage

dea si elle est vraie sur lintersection deI avec un intervalle ouvert de centrea lorsquea R, avec un intervalle]c, +[ lorsque a = + et avec un intervalle ] , c [ lorsque a = .En ce qui concerne le comportement global et local (ou asymptotique) dune fonction, il convient decombiner letude de problemes qualitatifs (monotonie, existence de zeros, existence dextremums, existence delimites, continuite, derivabilite. . .) avec celle de problemes quantitatifs (majorations, encadrements, caracterelipschitzien, comparaison aux fonctions de reference au voisinage dun point. . . ).

a) Fonctions dune variable reelle a valeurs reelles

Espace vectoriel des fonctions a valeurs reelles, relationdordre.Fonctions majorees, minorees. Fonctions bornees.

Definition de |f|, sup(f, g), inf(f, g).

Definition dun extremum, dun extremum local. Notations maxxI

f(x) et maxI

f.

Definition de la borne superieure (inferieure) dune fonction. Notations supxI

f(x) et supI

f.

Fonctions monotones, strictement monotones ; composition.

Sous-espace vectoriel des fonctions paires, des fonctionsimpaires.

Fonctions T-periodiques, operations.

Definition des fonctions lipschitziennes.


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b) Etude locale dune fonction

Limite dune fonction f en un point a, continuite en unpoint.Lorsque b R, la relation f(x) b equivaut a la relationf(x) b 0.Lorsque a

R, la relation f(x)

b lorsque x

a equivaut

a la relation f(a + h) b lorsque h 0.

Lorsque a I, dire que f a une limite finieen a equivaut a la continuite de f en ce point.Lorsque a I, f a une limite finie en a si etseulement si f se prolonge par continuite ence point.

Limite a gauche, limite a droite.Continuite a gauche, continuite a droite.

Les limites a gauche (ou a droite) en a sontdefinies par restriction de f a I ] , a [ (aI ]a, +[).

Toute fonction admettant une limite finie en un point estbornee au voisinage de ce point.

Toute fonction admettant une limite strictementpositive en un point est minoree, au voisinagede ce point, par un nombre reel strictementpositif.

Espace vectoriel des fonctions tendant vers 0 en un point a ;produit dune fonction dune fonction bornee au voisinagede a par une fonction tendant vers 0 en a.

Operations algebriques sur les limites ; compatibilite dupassage a la limite avec la relation dordre.

Si |f(x)| g(x) et g(x) 0, alors f(x) 0.Si g(x) f(x) h(x), et si g(x) b eth(x) b, alors f(x) b.

Limite dune fonction composee. Image dune suite convergente.

Existence dune limite dune fonction monotone. Comparaison des bornes (superieure ou inferieure)et des limites (a gauche ou a droite).

c) Relations de comparaison

Etant donnes un point a (appartenant a I ou extremite deI) et une fonction a valeurs reelles et ne sannulant passur I prive de a, definition dune fonction f a valeurs reelles,

dominee par (negligeable devant ) au voisinage de a.

Notations f = O(), f = o().

Caracterisations a laide du quotientf

Definition de lequivalence au voisinage de a de deuxfonctions f et g a valeurs reelles ne sannulant pas sur Iprive de a. Equivalent dun produit, dun quotient.

Si f = + h, ou h est negligeable devant , alors f .

Notation f g.

Caracterisation a laide du quotientf

g

Si f g alors, au voisinage de a, le signe def(x) est egal a celui de g(x).

Application a la comparaison des fonctions usuelles.

d) Fonctions continues sur un intervalle

Espace vectoriel C(I) des fonctions continues sur I et avaleurs reelles.

Composee de deux fonctions continues.

Si f et g sont continues, |f|, sup(f, g), inf(f, g)le sont.

Restriction dune fonction continue a un intervalle J contenudans I.Prolongement par continuite en une extremite de I.

Image dun intervalle par une fonction continue. Theoremedes valeurs intermediaires.

Image dun segment par une fonction continue.

La demonstration de ces resultats nest pasexigible.Les etudiants doivent savoir utiliser les methodesdichotomiques pour la recherche des zerosdune fonction continue.

Continuite de la fonction reciproque dune fonction continuestrictement monotone.

Comparaison des representations graphiquesdune bijection et de la bijection reciproque.

Definition de la continuite uniforme. Continuite uniformedune fonction continue sur un segment.

La demonstration de ce resultat nest pasexigible des etudiants.Toute etude systematique des fonctions uniformementcontinues est exclue.


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e) Breve extension aux fonctions a valeurs complexes

Fonctions a valeurs complexes ; parties reelle et imaginairedune fonction ; conjugaison.

Fonctions bornees.

Notations Re f, Im f, f, |f|.

Limite dune fonction a valeurs complexes en un point a,

continuite en a ; caracterisation a laide des parties reelle etimaginaire.

Toute fonction admettant une limite en un

point est bornee au voisinage de ce point.

Operations algebriques sur les limites.

Ensemble C(I) des fonctions continues sur I a valeurscomplexes.

II. CALCUL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL

Le programme est organise autour de trois axes :- Derivation en un point et sur un intervalle ; notions sur la convexite.- Integration sur un segment des fonctions continues par morceaux, a partir de lintegration des fonctions en

escalier.- Theoreme fondamental reliant lintegration et la derivation ; exploitation de ce theoreme pour le calculdifferentiel et integral, et notamment pour les formules de Taylor.

Letude generale de la derivation et de lintegration doit etre illustree par de nombreux exemples portant surles fonctions usuelles (vues en debut dannee) et celles qui sen deduisent.

1- Derivation des fonctions a valeurs reelles

a) Derivee en un point, fonction derivee

Derivabilite en un point : derivee, derivee a gauche, a droite.

Extremums locaux des fonctions derivables.

Les etudiants doivent connatre et savoir exploiterlinterpretation graphique et linterpretationcinematique de la notion de derivee en un

point.

Derivabilite sur un intervalle, fonction derivee. Operationssur les derivees : linearite, produit, quotient, fonctionscomposees, fonctions reciproques.

Notations f, Df,df

dx

Pour 0 k +, ensemble Ck(I) des fonctions de classeCk ; operations. Derivee n-ieme dun produit (formule deLeibniz).

Notations f(k), D kf,dkf

dxk

Breve extension aux fonctions a valeurs complexes

b) Etude globale des fonctions derivables

Theoreme de Rolle, egalite des accroissements finis.Inegalite des accroissements finis :- si m f M, alors m(b a) f(b) f(a) M(b a);- si |f| k, alors f est k-lipschitzienne.Caracterisation des fonctions constantes, monotones etstrictement monotones parmi les fonctions derivables.

Pour le theoreme de Rolle, legalite et linegalitedes accroissements finis, ainsi que pour lacaracterisation des fonctions monotones, onsuppose f continue sur [a, b] et derivable sur]a, b[.

Les etudiants doivent connatre linterpretationgraphique et cinematique de ces resultats. Ils doivent savoir etudier des suites denombres reels definies par une relation derecurrence un+1 = f(un) et utiliser une tellesuite pour lapproximation dun point fixe ade f.


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MPSI 12

Application de linegalite des accroissements finis a letudedes suites definies par une relation de recurrence

un+1 = f(un)

Voir le chapitre 4- Approximation.

Si f est continue sur [a, b], de classe C1 sur ]a, b] et si f aune limite finie en a, alors f est de classe

C1 sur [a, b].

Breve extension au cas dune limite infinie.

c) Fonctions convexes

Definition, interpretation graphique (tout sous-arc est soussa corde).Croissance des pentes des secantes dont on fixe une extremite.

Inegalite de convexite : si j 0 etn

j=1

j = 1,

alors

f nj=1

jaj

nj=1

jf(aj).

Si f est de classe C1, f est convexe si et seulement si f estcroissante. La courbe est alors situee au dessus de chacunede ses tangentes.

Letude de la continuite et de la derivabilitedes fonctions convexes est hors programme.

d) Breve extension aux fonctions a valeurs complexes

Derivabilite en un point, caracterisation a laide des partiesreelle et imaginaire ; operations sur les fonctions derivables.Espace vectoriel Ck(I) des fonctions de classe Ck a valeurscomplexes, ou 0 k + ; derivee n-ieme dun produit.

Inegalite des accroissements finis. Caracterisa-tion des fonctions constantes.Il convient de montrer, a laide dun contre-exemple, que le theoreme de Rolle ne setendpas.

2- Integration sur un segment des fonctions a valeurs reelles

Le programme se limite a lintegration des fonctions continues par morceaux sur un segment. Les notions defonction reglee et de fonction integrable au sens de Riemann sont hors programme.

a) Fonctions continues par morceaux

Definition dune fonction en escalier sur [a, b], dunesubdivision de [a, b] subordonnee a . Ensemble des fonctionsen escalier sur un segment.

Ensemble des fonctions continues par morceaux sur unsegment ; operations.

Approximation des fonctions continues par morceaux surun segment par des fonctions en escalier : etant donnee unefonction f continue par morceaux sur [a, b], pour tout reel > 0, il existe des fonctions et en escalier sur [a, b]telles que :

f et .b) Integrale dune fonction continue par morceaux

Integrale dune fonction en escalier sur un segment. Linearite.Croissance.Integrale dune fonction continue par morceaux sur unsegment.

Notations

I

f,

[a,b]

f.

Definition de

ba

f(t)dt, ou a et b appartiennent a I.

Linearite. Croissance ; inegalite

I

f

I

|f|.

Additivite par rapport a lintervalle dintegration, relationde Chasles.

Invariance de lintegrale par translation.

Il convient dinterpreter graphiquement linte-grale dune fonction a valeurs positives entermes daire. Aucune difficulte theorique nedoit etre soulevee sur la notion daire.


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MPSI 13

Valeur moyenne dune fonction.

Inegalite de la moyenne

[a,b]

f g

sup

[a,b]

|f|[a,b]

|g|.

En particulier

[a,b]

f

(b a) sup

[a,b]

|f|.

Toute autre formule ou egalite dite de lamoyenne est hors programme.

Une fonction f continue et a valeurs positives sur unsegment est nulle si et seulement si son integrale est nulle.

Produit scalaire (f, g) I

f g sur lespace vectoriel C(I) ;inegalite de Cauchy-Schwarz.

Approximation de lintegrale dune fonction f continue sur[a, b] par les sommes de Riemann

Rn(f) =b a

n

n1j=0

f(aj)

ou (a0, . . . , an) est une subdivision a pas constant.

Cas ou f est k-lipschitzienne sur [a, b].

Approximation dune integrale par la methode des trapezes.c) Breve extension aux fonctions a valeurs complexes

Par definition, I

f =

I

Re f + i

I

Im f.

Linearite, relation de Chasles et inegalite de la moyenne.

3- Integration et derivation

Dans cette partie, les fonctions considerees sont a valeurs reelles ou complexes.a) Primitives et integrale dune fonction continue

Definition dune primitive dune fonction continue.Deux primitives dune meme fonction different dune cons-tante.

Il convient de montrer sur des exemples quecette definition ne peut etre etendue sanschangement au cas des fonctions continues parmorceaux.

Theoreme fondamental : etant donnes une fonction fcontinue sur un intervalle I et un point a I,

- la fonction x xa

f(t) dt est lunique primitive de f qui

sannule en a ;

- pour toute primitive h de f sur I,xa

f(t) dt = h(x) h(a).Pour toute fonction f de classe C1 sur I,

f(x) f(a) =xa

f(t) dt.

b) Calcul des primitivesIntegration par parties pour des fonctions de classe C1.Changement de variable : etant donnees une fonction fcontinue sur I et une fonction a valeurs dans I et declasse C1 sur [, ],

()

()

f(t) dt =

f(u) (u) du.

Il convient de mettre en valeur linteret dechangements de variable affines, notammentpour exploiter la periodicite et les symetries,ou pour se ramener, par parametrage dusegment [a, b], au cas ou lintervalle dintegration

est [0, 1] ou [1, 1].Primitives des fonctions usuelles.


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MPSI 14

c) Formules de Taylor

Pour une fonction de classe Cp+1 sur I, formule de Tayloravec reste integral a lordre p en un point a de I.Majoration du reste : inegalite de Taylor-Lagrange.

Relation f(x) = Tp(x) + Rp(x), ou

Tp(x) =

pn=0

(x a)nn!

D nf(a).

d) Developpement limites

Developpement limite a lordre n dune fonction auvoisinage dun point ; operations algebriques sur les de-veloppements limites : somme, produit ; developpement

limite de u 11 u , application au quotient.

Les etudiants doivent savoir determiner surdes exemples simples le developpement limitedune fonction composee. Aucun resultat generalsur ce point nest exigible.

Developpement limite des fonctions usuelles exp, ln, sin,cos,x (1 + x)Application a letude des points singuliers (ou stationnaires)des courbes parametrees planes.

Existence dun developpement limite a lordre p pour une

fonction de classe Cp

: formule de Taylor-Young.Developpement limite dune primitive, dune derivee.

Exemples simples de developpements asymptotiques. Toute etude systematique est exclue ; en particulier,la notion generale dechelle de comparaison esthors programme.

4- Approximation

Dans cette partie sont regroupees un certain nombre de methodes debouchant sur des calculs approches parla mise en place dalgorithmes. Aucune connaissance nest exigible concernant les erreurs ; seul leurs ordres degrandeur doivent etre connus des etudiants. A cette occasion, on pourra introduire la notion de rapidite de

convergence dune suite mais aucune connaissance nest exigible sur ce point.Les algorithmes presentes ne sont regroupes que pour la commodite de la presentation ; leur etude doit intervenirau fur et a mesure de lavancement du programme.

a) Calcul approche des zeros dune fonction

On considere ici des fonctions f : I R, ou I est un intervalle deR.Methode de dichotomie. Pratique dun test darret.

Utilisation de suites recurrentes (methode dapproximationssuccessives).

Le theoreme du point fixe de Cauchy esthors programme sous forme generale maisles etudiants doivent savoir utiliser linegalitedes accroissements finis pour justifier uneconvergence.

Methode de Newton et algorithme de Newton-Raphson. On degagera, sur des exemples, le caracterequadratique de la convergence.Convergence dans le cas dune fonction f declasse C2 telle que f ne sannule pas, si lavaleur initiale x0 est telle que f(x0)f

(x0) 0.

b) Calcul approche dune integrale

Presentation dun algorithme associe a la methode destrapezes. Il convient de souligner linteret des subdivisionsdichotomiques.

On admettra que pour une fonction de classe

C1, lerreur est un O 1

n2

, ou n est le nombre

de points de la subdivision.

c) Valeur approchee de reels

On presentera, sur des exemples, quelques algorithmes decalcul de nombres reels remarquables (, e,

2, etc.).

On pourra utiliser les algorithmes vus prece-demment.


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MPSI 15

III. NOTIONS SUR LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES REELLES

Cette partie constitue une premiere prise de contact avec les fonctions de plusieurs variables ; toute techniciteest a eviter aussi bien pour la presentation du cours quau niveau des exercices et problemes.

Lobjectif, tres modeste, est triple :

etudier quelques notions de base sur les fonctions de deux variables reelles (continuite et derivation) ; introduire la notion dintegrale double ; exploiter les resultats obtenus pour letude de problemes, issus notamment des autres disciplines scientifiques.En vue de lenseignement de ces disciplines, il convient detendre brievement ces notions aux fonctions de troisvariables reelles. Mais, en mathematiques, les seules connaissances exigibles des etudiants ne portent que sur lesfonctions de deux variables.

1- Espace R2, fonctions continues

Les fonctions considerees dans ce chapitre sont definies sur une partie A de R2 qui est muni de la normeeuclidienne usuelle ; letude generale des normes surR2 est hors programme. Pour la pratique, on se limite auxcas ou A est definie par des conditions simples.

Pour definir la notion de limite, on procede comme pour les fonctions dune variable reelle.

Espace vectoriel des fonctions definies sur A et a valeursreelles. Applications partielles associees a une telle fonction.

Limite et continuite en un point a dune fonction definiesur une partie A et a valeurs reelles.

Espace vectoriel des fonctions continues sur A et a valeursreelles ; operations.

Il convient de montrer, sur un exemple simple,que la continuite des applications partiellesnimplique pas la continuite, mais letude dela continuite partielle est hors programme.

Extension des notions de limite et de continuite a uneapplication de A dans R2 ; caracterisation a laide descoordonnees.Continuite dune application composee.

Definition des parties ouvertes de R2. Les operations sur les ouverts, ainsi que lesnotions de partie fermee, de voisinage, dinterieuret dadherence dune partie sont hors programme.

2- Calcul differentiel

Les fonctions etudiees dans ce chapitre sont definies sur un ouvert U deR2 et a valeurs reelles.

Lobjectif essentiel est dintroduire quelques notions de base : derivee selon un vecteur, derivees partielles,developpement limite a lordre 1, gradient et de les appliquer aux extremums locaux et aux coordonnees polaires ;en revanche, les notions de fonction differentiable et de differentielle en un point sont hors programme.En vue de lenseignement des autres disciplines scientifiques, il convient detendre brievement ces notions au cas

ou f est definie sur un ouvert deR3

. Il convient egalement de donner quelques notions sur les courbes definiespar une equation impliciteF(x, y) = (tangente et normale en un point regulier). En mathematiques, aucuneconnaissance sur ce point nest exigible des etudiants.

a) Derivees partielles premieres

Definition de la derivee de f en un point a de U selon unvecteur h, notee Dhf(a). Definition des derivees partielles,

notees Djf(a) ouf

xj(a).

Il existe un nombre reel > 0 tel que, pourtout element t [, ], a + th appartienne aU ; on pose alors h(t) = f(a + th). Si h estderivable a lorigine, on dit que f admet unederivee au point a de U selon le vecteur h, etlon pose Dhf(a) =

h(0).

Definition des fonctions de classe C1 sur U (les deriveespartielles sont continues).


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MPSI 16

Theoreme fondamental : si les derivees partielles sontcontinues sur U, alors f admet, en tout point a de U,un developpement limite a lordre un, ainsi quune deriveeselon tout vecteur h, et

Dhf(a) = h1D1f(a) + h2D2f(a).

En particulier, f est de classe C1

sur U et lapplicationh Dhf(a) est une forme lineaire. Le gradient de f estdefini, dans le plan euclidien R2, par la relation

La demonstration de ce resultat est hors programme.

En vue de lenseignement des autres disciplinesscientifiques, il convient de donner la notationdifferentielle df, mais aucune connaissance surce point nest exigible en mathematiques.

Dhf(a) = (gradf(a)|h). Interpretation geometrique du gradient.Espace vectoriel C1(U) des fonctions de classe C1 sur U.Derivee dune fonction composee de la forme f , ou est de classe C1 sur un intervalle I et a valeurs dans U.Application au calcul des derivees partielles dune fonctioncomposee de la forme f , ou est une application declasse C1 sur un ouvert V de R2 et a valeurs dans U.

En un point de U ou une fonction f de classe C1

sur Upresente un extremum local, ses derivees partielles sontnulles.

b) Derivees partielles dordre 2

Theoreme de Schwarz pour une fonction de classe C2 sur U.Espace vectoriel C2(U) des fonctions de classe C2 sur U.

La demonstration est hors programme.

Exemples simples dequations aux derivees partielles,equation des cordes vibrantes.

3- Calcul integral

Definition de lintegrale double dune fonction f continue

sur un rectangle R = [a, b] [c, d] et a valeurs reelles.Notation

R

f =

R

f(x, y) d x d y.

Linearite, croissance, invariance par translation. Additivitepar rapport au domaine dintegration.Theoreme de Fubini : expression de lintegrale double alaide de deux integrations successives.

Breve extension au cas dune fonction continue

sur une partie A bornee de R2 definie parconditions simples ; extension du theoreme deFubini lorsque A est constituee des points(x, y) R2 tels que a x b et (x) y (x) ou et sont des fonctions continues sur[a, b]. Aucune demonstration sur le theoremede Fubini nest exigible des etudiants.

Changement de variables affine, integration sur un parallelogramme.Passage en coordonnees polaires. Integration sur un disque,une couronne ou un secteur angulaire.

La demonstration de ces resultats, ainsi quetout enonce general concernant les changementsde variables, sont hors programme.


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MPSI 17

IV. GEOMETRIE DIFFERENTIELLE

Les fonctions considerees dans ce chapitre sont de classe Ck sur un intervalle I deR (ou 1 k +) et sont avaleurs dans le plan euclidien R2. En outre, pour la presentation des notions du cours, on suppose que les arcsparametres ainsi definis sont reguliers a lordre 1, cest-a-dire que tous leurs points sont reguliers.

1- Etude metrique des courbes planes

Lobjectif est detudier quelques proprietes metriques fondamentales des courbes planes (abscisse curviligne,repere de Frenet, courbure).

Pour un arc oriente regulier a lordre 1, repere deFrenet (

T ,N), abscisse curviligne. Labscisse curviligne

est un parametrage admissible (la notion de parametrageadmissible sera introduite a cette occasion) ; representationnormale dun arc. Longueur dun arc.

Par definition, une abscisse curviligne est unefonction s de classe C1 sur I telle que

s(t) = f(t).La longueur dun arc est definie a laide delabscisse curviligne ; toute definition geometriquedune telle longueur est hors programme.

Si f est de classe Ck sur I, ou 2 k < +, existence dunefonction de classe Ck1 sur I telle que, pour tout t I,T(t) = cos (t)e1 + sin (t)e2 .

La demonstration de ce resultat est hors programme.Relations

df

ds=T ,

dx

ds= cos ,

dy

ds= sin .

Definition de la courbure =d

ds; caracterisation des

points bireguliers.

RelationsdT

ds=

N ,

dN

ds= T .

Aucune connaissance specifique sur le centrede courbure, le cercle osculateur, les developpeeset les developpantes nest exigible des etudiants.

Dans le cas dun arc biregulier, est un parametrageadmissible de larc de classe Ck1 sous-jacent. Rayon decourbure.

Relations dTd

= N , dNd

= T .

Calcul des coordonnees de la vitesse et de laccelerationdans le repere de Frenet.

2- Champs de vecteurs du plan et de lespace

En vue de lenseignement des autres disciplines scientifiques, il convient de donner quelques notions sur leschamps de vecteurs du plan et de lespace.

Potentiel scalaire, caracterisation des champs admettant unpotentiel scalaire.

Circulation, integrale curviligne. Formule de Green-Riemanndans le plan.

Aucune demonstration nest exigible des etudiantssur ces differents points.


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MPSI 18

ALGEBRE ET GEOMETRIE

Le programme dalgebre et geometrie est organise autour des concepts fondamentaux despace vectoriel etdapplication lineaire, et de leurs interventions en algebre, en analyse et en geometrie. La matrise de lalgebrelineaire elementaire en dimension finie constitue un objectif essentiel.

Le cadre detude est bien delimite : breve mise en place des concepts despace vectoriel, dapplication lineaire,de sous-espaces vectoriels supplementaires, de produit scalaire, sous leur forme generale, en vue notamment desinterventions en analyse ; en dimension finie, etude des concepts de base, de dimension et de rang, mise en placedu calcul matriciel, etude des espaces vectoriels euclidiens ; interventions de lalgebre lineaire en geometrie affineet en geometrie euclidienne. La matrise de larticulation entre le point de vue geometrique (vecteurs et points)et le point de vue matriciel constitue un objectif majeur.

Pour les groupes, les anneaux et les corps, le programme se limite a quelques definitions de base et aux exemplesusuels ; toute etude generale de ces structures est hors programme.

Le point de vue algorithmique est a prendre en compte pour lensemble de ce programme.

I. NOMBRES ET STRUCTURES ALGEBRIQUES USUELLES

1- Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications

Le programme se limite strictement aux notions de base figurant ci-dessous. Ces notions doivent etre acquises progressivement par les etudiants au cours de lannee, au fur et a mesure des exemples rencontres dans lesdifferents chapitres dalgebre, danalyse et de geometrie. Elles ne doivent en aucun cas faire lobjet dune etudeexhaustive bloquee en debut dannee.

Ensembles, appartenance, inclusion. Ensemble P(E) des parties de E. Operations sur les parties : intersection,reunion, complementaire. Produit de deux ensembles.

Application de E dans (vers) F ; graphe dune application.

Ensemble F(E, F) des applications de E dans F. Ensemble EI

des familles (xi)iI delements dun ensembleE indexees par un ensemble I.

Composee de deux applications, application identique. Restriction et prolongements dune application.

Equations, applications injectives, surjectives, bijectives. Application reciproque dune bijection. Composee dedeux injections, de deux surjections, de deux bijections.

Images directe et reciproque dune partie.

Definition dune loi de composition interne. Associativite, commutativite, element neutre. Definition des elementsinversibles pour une loi associative admettant un element neutre.

Relation dordre, ordre total, ordre partiel. Majorants, minorants, plus grand et plus petit element.

2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, denombrements

En ce qui concerne les nombres entiers naturels et les ensembles finis, lobjectif principal est dacquerir la matrisedu raisonnement par recurrence. Les proprietes de laddition, de la multiplication et de la relation dordre dansN sont supposees connues ; toute construction et toute axiomatique deN sont hors programme.

Lequipotence des ensembles infinis et la notion densemble denombrable sont hors programme.

En ce qui concerne la combinatoire, lobjectif est de consolider les acquis de la classe de Terminale S ; leprogramme se limite strictement aux exemples fondamentaux indiques ci-dessous.

La demonstration des resultats de ce chapitre nest pas exigible des etudiants.

a) Nombres entiers naturels

Proprietes fondamentales de lensemble N des nombresentiers naturels. Toute partie non vide a un plus petitelement ; principe de recurrence. Toute partie majoree nonvide a un plus grand element.

Les etudiants doivent matriser le raisonnementpar recurrence simple ou avec predecesseurs.


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MPSI 19

Suites delements dun ensemble E (indexees par une partiede N). Suite definie par une relation de recurrence et unecondition initiale.

Exemples dutilisation des notations a1 + a2 + . . . + ap +

. . . + an, a1a2 . . . ap . . . an,

1pn

ap,

1pn

ap.

Suites arithmetiques, suites geometriques. Notations na etan.

Symbole n! (on convient que 0! = 1).

b) Ensembles finis

Definition : il existe une bijection de [[1, n]] sur E; cardinal(ou nombres delements) dun ensemble fini, notation Card E.On convient que lensemble vide est fini et que Card = 0.

On admet que sil existe une bijection de [[1, p]]sur [[1, n]], alors p = n.Etant donnes deux ensembles finis E et Fde meme cardinal, et une application f de Edans F, f est bijective si et seulement si f estsurjective ou injective.

Toute partie E dun ensemble fini E est finie et

Card E Card E,

avec egalite si et seulement si E = E.

Une partie non vide P de N est finie si etseulement si elle est majoree. Si P est finie

non vide, il existe une bijection strictementcroissante et une seule de lintervalle [[1, n]] surP, ou n = Card P.

c) Operations sur les ensembles finis, denombrementsSi E et F sont des ensembles finis, EF lest aussi ; cardinaldune reunion finie de parties finies disjointes.Si E et F sont des ensembles finis, E F lest aussi et

Card (E F) = Card E Card F.

Les etudiants doivent connatre la relationCard(AB) = Card A+Card BCard(AB).

Cardinal de lensemble F(E, F) des applications de E dansF ; cardinal de lensemble P(E) des parties de E. Cardinalde lensemble des bijections (permutations) de E.

Cardinaln

p

de lensemble des parties ayant p elements

dun ensemble E a n elements. Combinaisons.Relations

np

=

nn p

,

np=0

np

= 2n,

np

=

n 1p

+

n 1p 1

(triangle de Pascal).

Interpretation ensembliste de ces relations

Ensemble Z des nombres entiers, ensemble Q des nombres

rationnels. Relation dordre, valeur absolue.

La construction de Z et deQ est hors programme.

3- Structures algebriques usuelles

Le programme se limite strictement aux notions de base indiquees ci-dessous. Ces notions doivent etre acquises progressivement par les etudiants au cours de lannee, au fur et a mesure des exemples rencontres dans lesdifferents chapitres dalgebre, danalyse et de geometrie. Elles ne doivent pas faire lobjet dune etude exhaustivebloquee en debut dannee.

a) Vocabulaire relatif aux groupes et aux anneaux

Definition dun groupe, dun sous-groupe, dun morphismede groupes, dun isomorphisme. Noyau et image dunmorphisme de groupes.Groupe additifZ des nombres entiers.

Ces notions doivent etre illustrees par desexemples issus :des ensembles de nombres, notamment Z, R etC ;des applications exponentielle et logarithme ;de lalgebre lineaire et de la geometrie.


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MPSI 20

Definition dun anneau (ayant un element unite), dun sous-anneau. Distributivite du produit par rapport au symbole

sommatoire

.

Definition dun corps (commutatif et non reduit a {0}),dun sous-corps.

Ces notions doivent etre illustrees par desexemples issus :- des ensembles de nombres Z, Q, R, C ;- des polynomes et fractions rationnelles.

AnneauZ

des nombres entiers, corpsQ

des nombresrationnels.

b) Arithmetique dans Z. Calculs dans R ou C.Multiples et diviseurs dun entier. Division euclidienne dansZ, algorithme de la division euclidienne.

Diviseurs communs a deux nombres entiers ; nombres premiersentre eux. PGCD de deux entiers ; algorithme dEuclide.PPCM de deux entiers ; forme irreductible dun nombrerationnel.

Theoreme de Bezout. Theoreme de Gauss.

La definition des ideaux de Z est hors programme.Les etudiants doivent connatre lalgorithmedonnant les coefficients de legalite de Bezout,ainsi que lalgorithme dexponentiation rapide.

Definition des nombres premiers. Existence et unicite de la

decomposition dun entier strictement positif en produit defacteurs premiers.

La demonstration de lexistence et de lunicite

de la decomposition en facteurs premiers nestpas exigible des etudiants.

Formule du binome. Relation

xn yn = (x y)n1k=0

xnk1yk.

Somme des n premiers termes dune suite geometrique.

On generalisera en cours dannee au cas dele-ments qui commutent dans les anneaux dematrices ou dendomorphismes.

II. ALGEBRE LINEAIRE ET POLYNOMES

Lobjectif est double :

- Acquerir les notions de base sur les espaces vectoriels de dimension finie (independance lineaire, bases,dimension, sous-espaces vectoriels supplementaires et projecteurs, rang) et le calcul matriciel.- Matriser les relations entre le point de vue geometrique (vecteurs et applications lineaires) et le point de vuematriciel.Il convient detudier conjointement lalgebre lineaire et la geometrie affine du plan et de lespace et, dans lesdeux cas, dillustrer les notions et les resultats par de nombreuses figures.

En algebre lineaire, le programme se limite au cas ou le corps de base est K, ou K designeR ou C.

1- Espaces vectoriels

a) Espaces vectoriels

Definition dun espace vectoriel sur K, dun sous-espacevectoriel.

Exemples : espace Kn, espaces vectoriels desuites ou de fonctions.

Intersection de sous-espaces vectoriels. Sous-espace engendrepar une partie.

Somme de deux sous-espaces vectoriels. Sous-espaces supple-mentaires.

La notion generale de somme directe est horsprogramme.

Espace vectoriel produit E F.Espace vectoriel F(X, F) des applications dun ensemble Xdans un espace vectoriel F.


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MPSI 21

b) Translations, sous-espaces affines

Translations dun espace vectoriel E.Definition dun sous-espace affine : partie de E de la formea + F, ou F est un sous-espace vectoriel de E. Directiondun sous-espace affine.Sous-espaces affines paralleles : W est parallele a W si la

direction de W est incluse dans celle de W.Intersection de deux sous-espaces affines, direction de cetteintersection lorsquelle nest pas vide.Barycentres. Parties convexes (lorsque K=R).

Il convient dillustrer ces notions par la geometriedu plan et de lespace, deja abordee dansles classes anterieures et en debut dannee.Il convient de souligner que le choix duneorigine du plan ou de lespace permet didentifier

points et vecteurs. On evitera cependant defaire systematiquement cette identification.

c) Applications lineaires

Definition dune application lineaire, dune forme lineaire,dun endomorphisme.Espace vectoriel L(E, F) des applications lineaires de Edans F.

Homotheties. Projecteurs associes a deux sous-espaces supplementaires. Symetries, affinites.Exemples dapplications lineaires en analyse,en geometrie.

Composee de deux applications lineaires, reciproque duneapplication lineaire bijective. Definition dun isomorphisme,

dun automorphisme. Linearite des applications v v uet u v u. Definition du groupe lineaire GL(E)

Letude generale du groupe lineaire est horsprogramme.

Equations lineaires ; noyau et image dune applicationlineaire. Description de lensemble des solutions deu(x) = b.

Structure de lensemble des solutions duneequation differentielle lineaire. Structure delensemble des suites (un) definies par unerelation de recurrence de la forme un+2 =aun+1 + bun.

Caracterisation des projecteurs par la relation p2 = p.Caracterisation des symetries par la relation s2 = IE.

2- Dimension des espaces vectoriels

a) Familles de vecteurs

Definition des combinaisons lineaires de p vecteursx1, x2, . . . , xp dun espace vectoriel ; image par une appli-cation lineaire dune combinaison lineaire.

Le cas des familles indexees par un ensembleinfini est hors programme.

Sous-espace engendre par une famille finie de vecteurs.Definition dune famille generatrice.Independance lineaire : definition dune famille libre, liee.Definition dune base ; coordonnees (ou composantes) dunvecteur dans une base. Base canonique de Kn.Etant donnes un espace vectoriel E muni dune base(e1, . . . , ep) et une famille (f1, . . . , f p) de vecteurs dunespace vectoriel F, il existe une application lineaire u et

une seule de E dans F telle que u(ej) = fj.

La donnee dune famille de p vecteurs(x1, x2, . . . , xp) dun K-espace vectoriel E de-termine une application lineaire de Kp dansE; noyau et image de cette application ; caracterisationdes bases de E, des familles generatrices, desfamilles libres.

b) Dimension dun espace vectoriel

Definition dun espace vectoriel de dimension finie (espacevectoriel admettant une famille generatrice finie). Theoremede la base incomplete, existence de bases.

Toutes les bases dun espace vectoriel E de dimensionfinie sont finies et ont le meme nombre delements, appeledimension de E. On convient que lespace vectoriel reduita {0} est de dimension nulle.Tout espace vectoriel de dimension n est isomorphe a Kn ;deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont

isomorphes si et seulement si dim E = dim F.

Etant donnee une famille S de vecteurs dunespace vectoriel de dimension n :- si S est libre, alors p n, avec egalite si etseulement si S est une base ;- si S est generatrice, alors p n, avec egalitesi et seulement si S est une base.

Base de EF associee a des bases de E et de F ; dimensionde E F.


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MPSI 22

Etant donnes un espace vectoriel E muni dune baseB = (ej) et un espace vectoriel F muni dune base C = (fi),une application lineaire u de E dans F et un vecteur x de E,expression des coordonnees de y = u(x) dans C en fonctiondes coordonnees de x dans B.

Etant donnee une forme lineaire sur E,expression de (x) en fonction des coordonneesde x dans B.

c) Dimension dun sous-espace vectoriel

Tout sous-espace vectoriel E dun espace vectoriel dedimension finie E est de dimension finie et dim E dim E,avec egalite si et seulement si E = E. Rang dune famillede vecteurs.

Existence de sous-espaces vectoriels supplementaires dunsous-espace vectoriel donne ; dimension dun supplementaire.

Les etudiants doivent connatre la relationdim(E+ F) = dim E+ dim F dim(E F).

d) Rang dune application lineaire

Etant donnee une application lineaire u de E dans F, udefinit un isomorphisme de tout supplementaire de Ker usur Im u ; en particulier,

dim E = dim Ker u + dim Im u.

Cas dune forme lineaire : caracterisation etequations dun hyperplan.

Rang dune application lineaire, caracterisation des isomor-phismes.

Invariance du rang par composition avec unisomorphisme.

Caracterisation des elements inversibles de L(E).

3- Polynomes

Lobjectif est detudier, par des methodes elementaires, les proprietes de base des polynomes et des fractionsrationnelles, et dexploiter ces objets formels pour la resolution de problemes portant sur les equationsalgebriques et les fonctions numeriques.

Le programme se limite au cas ou le corps de base est K, ou K designeR ou C.

a) Polynomes a une indeterminee

Espace vectoriel K[X] des polynomes a une indeterminee acoefficients dans K ; operations.

Aucune connaissance sur la construction deK[X] nest exigible des etudiants.

Degre dun polynome (on convient que le degre de 0est ), coefficient dominant, polynome unitaire (ounormalise). Degre dun produit, dune somme ; les polynomesde degre inferieur ou egal a p constituent un sous-espacevectoriel de K[X].Lanneau K[X] est integre. Corps K(X) des fractionsrationnelles, degre dune fraction rationnelle.

Notation a0 + a1 X + + ap Xp ou, le cas

echeant,+n=0

anXn.

Multiples et diviseurs dun polynome, polynomes associes.Division euclidienne dans K[X], algorithme de la divisioneuclidienne.

b) Fonctions polynomiales et rationnelles

Fonction polynomiale associee a un polynome. Equationsalgebriques. Zeros (ou racines) dun polynome ; ordre demultiplicite. Isomorphisme entre polynomes et fonctionspolynomiales.

Reste de la division euclidienne dun polynomeP par X a ; caracterisation des zeros de P. Algorithme de Horner pour le calcul desvaleurs dune fonction polynomiale.

Fonction rationnelle associee a une fraction rationnelle.Zeros et poles dune fraction rationnelle ; ordre de multiplicite.


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MPSI 23

Definition du polynome derive. Linearite de la derivation,derivee dun produit. Derivees successives, derivee n-iemedun produit (formule de Leibniz). Formule de Taylor,application a la recherche de lordre de multiplicite dunzero.

Les etudiants doivent connatre les relations

P(X) =+n=0

(X a)nn!

P(n)(a),

P(a + X) =+

n=0

Xn

n!

P(n)(a).

c) Polynomes scindes

Definition dun polynome scinde sur K ; relations entre lescoefficients et les racines dun polynome scinde.

Aucune connaissance specifique sur le calculdes fonctions symetriques des racines dunpolynome nest exigible des etudiants.

Theoreme de dAlembert-Gauss. Description des polynomesirreductibles de C[X] et de R[X].

La demonstration du theoreme de dAlembert-Gauss est hors programme.

Decomposition dun polynome en produit de facteurs irre-ductibles sur C et sur R.

Decomposition dans C[X] de Xn 1.

d) Divisibilite dans lanneau K[X]

Diviseurs communs a deux polynomes, polynomes premiers

entre eux. PGCD de deux polynomes ; algorithme dEuclide.PPCM de deux polynomes ; forme irreductible dune fractionrationnelle.

La definition des ideaux de K[X] est horsprogramme.

Theoreme de Bezout. Theoreme de Gauss. Les etudiants doivent connatre lalgorithmedonnant les coefficients de legalite de Bezout.

Polynomes irreductibles. Existence et unicite de la decompo-sition dun polynome en produit de facteurs irreductibles.

Pour la pratique de la decomposition en produitde facteurs irreductibles, le programme selimite au cas ou K = R ou C. Aucuneconnaissance specifique sur lirreductibilite surQ nest exigible des etudiants.

e) Etude locale dune fraction rationnelle

Existence et unicite de la partie entiere dune fractionrationnelle R ; existence et unicite de la partie polaire deR relative a un pole a. Lorsque a est un pole simple de R,expressions de la partie polaire relative a ce pole.

Les etudiants doivent savoir calculer la partiepolaire en un pole double. En revanche, desindications sur la methode a suivre doiventetre fournies pour des poles dordre superieurou egal a 3. La division des polynomes suivantles puissances croissantes est hors programme.

Lorsque K = C, toute fraction rationnelle R est egale ala somme de sa partie entiere et de ses parties polaires.Existence et unicite de la decomposition de R en elements

simples. Decomposition en elements simples deP

P

Aucune connaissance specifique sur la decom-position en elements simples sur un corpsautre que C nest exigible des etudiants.

4- Calcul matriciela) Operations sur les matrices

Espace vectoriel Mn,p(K) des matrices a n lignes etp colonnes sur K. Base canonique (Ei,j) de Mn,p(K) ;dimension de Mn,p(K). Isomorphisme canonique de L(Kp,Kn)sur Mn,p(K). Definition du produit matriciel, bilinearite.

Identification des matrices colonnes et desvecteurs de Kn, des matrices lignes et desformes lineaires sur Kp.Ecriture matricielle Y = M X de leffet duneapplication lineaire sur un vecteur.

AnneauMn(K) des matrices carrees a n lignes. Isomorphismecanonique de lanneau L(Kn) sur lanneau Mn(K). Matricescarrees inversibles ; definition du groupe lineaire GLn(K).

Sous-anneau des matrices diagonales, des matricestriangulaires superieures (ou inferieures).

Transposee dune matrice. Compatibilite avec les operationsalgebriques sur les matrices.

Matrices carrees symetriques, antisymetriques.


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MPSI 24

b) Matrices et applications lineaires

Matrice MB,C(u) associee a une application lineaire u dunespace vectoriel E muni dune base B dans un espacevectoriel F muni dune base C. Lapplication u MB,C(u)est un isomorphisme de L(E, F) sur Mn,p(K) ; dimensionde

L(E, F).

Matrice MB(u) associee a un endomorphisme u dun espacevectoriel E muni dune base B. Lapplication u MB(u)est un isomorphisme (lineaire) danneaux.Matrice dans une base dune famille finie de vecteurs, dunefamille finie de formes lineaires.

La j-ieme colonne de MB,C(u) est constitueedes coordonnees dans la base C de limage paru du j-ieme vecteur de la base B.

Matrice de passage dune base B a une base B dunespace vectoriel E; effet dun changement de base(s) surles coordonnees dun vecteur, sur lexpression dune formelineaire, sur la matrice dune application lineaire, sur lamatrice dun endomorphisme.

La matrice de passage de la base B a la baseB est, par definition, la matrice de la familleB dans la base B : sa j-ieme colonne estconstituee des coordonnees dans la base B duj-ieme vecteur de la base B. Cette matrice estaussi MB,B(IE).

c) Operations elementaires sur les matrices

Operations (ou manipulations) elementaires sur les lignes(ou les colonnes) dune matrice.

Interpretation des operations elementaires en termes deproduits matriciels.

Les operations elementaires sur les lignes sontles suivantes :- addition dun multiple dune ligne a uneautre (codage : Li Li + Lj) ;- multiplication dune ligne par un scalaire nonnul (codage : Li Li) ;- echange de deux lignes (codage : Li Lj).

Application a linversion dune matrice carree par lalgorithmedu pivot de Gauss.

Cet algorithme permet en outre detudierlinversibilite de la matrice.

d) Rang dune matrice

Definition du rang dune matrice (rang de lapplication

lineaire canoniquement associee, ou encore rang des vecteurscolonnes).

Pour toute application lineaire u de E dans F,

le rang de u est egal au rang de MB,C(u), ouB est une base de E et C une base de F.

Une matrice de Mn,p(K) est de rang r si et seulement si elleest de la forme U JrV ou U et V sont des matrices carreesinversibles. Invariance du rang par transposition.

Emploi des operations elementaires pour le calcul du rangdune matrice.

La matrice Jr est lelement (i,j) de Mn,p(K)defini par les relations :

i,j =

1 si i = j r0 dans tous les autres cas.

e) Systemes dequations lineaires

Definition, systeme homogene associe ; interpretations. Des-cription de lensemble des solutions.

Rang dun systeme lineaire. Dimension de lespace vectorieldes solutions dun systeme lineaire homogene.

Les etudiants doivent connatre linterpretationdun systeme de n equations lineaires a p

inconnues, a laide des vecteurs deKn

, desformes lineaires sur Kp, et dune applicationlineaire de Kp dans Kn (ainsi que la traductionmatricielle correspondante).

Existence et unicite de la solution lorsque r = n = p(systemes de Cramer). Resolution des systemes de Cramertriangulaires. Algorithme du pivot de Gauss pour la resolutiondes systemes de Cramer.

Le theoreme de Rouche-Fontene et les matricesbordantes sont hors programme.

5- Determinants

a) Groupe symetrique

Definition du groupe Sn des permutations de [[1, n]] ;cycles, transpositions. Decomposition dune permutation enproduit de transpositions. Signature () dune permutation, signature dune transposition.


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MPSI 25

Lapplication () est un morphisme de Sn dansle groupe multiplicatif {1, 1} ; definition du sous-groupealterne An.

La demonstration de ce resultat nest pasexigible des etudiants.

b) Applications multilineaires

Definition dune application n-lineaire, applications n-line-

aires symetriques, antisymetriques, alternees.

Il convient de donner de nombreux exemples

dapplications bilineaires issus de lalgebre,de lanalyse et de la geometrie. En revanche,letude generale des applications bilineaires etmultilineaires est hors programme.

c) Determinant de n vecteurs

Formes n-lineaires alternees sur un espace vectoriel dedimension n. Determinant de n vecteurs dans une base dunespace vectoriel de dimension n. Caracterisation des bases.Application a lexpression de la solution dun systeme deCramer.

La demonstration de lexistence et de lunicitedu determinant nest pas exigible des etudiants.

d) Determinant dun endomorphisme

Determinant dun endomorphisme, du compose de deuxendomorphismes ; caracterisation des automorphismes. Application a lorientation dun espace vectorielreel de dimension finie ; la donnee dune basedetermine une orientation. Bases directes dunespace vectoriel oriente.

e) Determinant dune matrice carree

Determinant dune matrice carree. Determinant du produitde deux matrices, de la transposee dune matrice. Developpementpar rapport a une ligne ou une colonne ; cofacteurs.

Relation

M.tCom M = tCom M.M = (Det M) In,

ou Com M designe la matrice des cofacteursde M.Expression de linverse dune matrice carree.

III. ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS ET GEOMETRIE EUCLIDIENNE

Lobjectif est double :- Refonder la theorie des espaces vectoriels euclidiens de dimension 2 ou 3 (bases orthonormales, supplementairesorthogonaux) et la geometrie euclidienne du plan et de lespace (distances, angles).- Developper les notions de base sur les automorphismes orthogonaux, les isometries et les similitudes.Dans toute cette partie, le corps de base est R.

a) Produit scalaire

Produit scalaire (x, y) (x|y) sur un R-espace vectoriel.Inegalite de Cauchy-Schwarz ; norme euclidienne, distanceassociee, inegalite triangulaire.

Vecteurs unitaires. Vecteurs orthogonaux, sous-espaces vectorielsorthogonaux, orthogonal dun sous-espace vectoriel. Famillesorthogonales, familles orthonormales ; relation de Pythagorepour une famille orthogonale finie.

Relations entre produit scalaire et norme. Identite duparallelogramme. Identites de polarisation.

Les etudiants doivent connatre linterpretationgeometrique de ces relations.

Definition dun espace vectoriel euclidien. Un espace vectoriel euclidien est un espacevectoriel de dimension finie muni dun produitscalaire.

b) Orthogonalite

Existence de bases orthonormales, completion dunefamille orthonormale en une base orthonormale.


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MPSI 26

Lorthogonal dun sous-espace vectoriel F est un supple-mentaire de ce sous-espace vectoriel, appele supplementaireorthogonal de F, et note F ou F.

Distance a un sous-espace vectoriel. Procededorthonormalisation de Gram-Schmidt.

Toute forme lineaire f secrit de maniereunique sous la forme f(x) = (a|x), ou a estun vecteur.

Projecteurs orthogonaux, symetries orthogonales, reflexions. Expression de la projection orthogonale dunvecteur sur un sous-espace muni dune baseorthonormale.

c) Isometries affines du plan et de lespace

Definition dune isometrie du plan (resp. de lespace).Applications affines. Exemples : translations, reflexions.

Image dun barycentre par une applicationaffine.

Etant donnes deux points distincts A et B du plan ou delespace, il existe une reflexion affine et une seule echangeantA et B.

Expression dune isometrie comme composee de reflexions.Deplacements.

Toute isometrie est affine.

d) Automorphismes orthogonaux du plan vectoriel euclidienDefinition dun automorphisme orthogonal dun plan eucli-dien E (cest-a-dire un automorphisme de E conservant leproduit scalaire). Caracterisation a laide de la conservationde la norme.

Caracterisation dun automorphisme orthogonalpar limage dune (de toute) base orthonormale.

Definition du groupe orthogonal O(E) ; symetries orthogo-nales, reflexions.

Letude generale du groupe orthogonal esthors programme.

Matrice dun automorphisme orthogonal.Definition des matricesorthogonales et du groupe O(2). Caracterisation des matricesorthogonales par leurs vecteurs colonnes.

Definition du groupe special orthogonal SO(E) (rotations),du groupe SO(2).

Caracterisation dune rotation par limage dune(de toute) base orthonormale directe.

Decomposition dun automorphisme orthogonal en produitde reflexions.

Matrice dans une base orthonormale directe dune rotation,mesure de langle dune rotation ; matrice de rotation R()associee a un nombre reel ; morphisme R() de R surSO(2).

Si u est la rotation dangle de mesure , alorspour tout vecteur unitaire a,

cos =

a u(a), sin = Det a, u(a).

e) Automorphismes orthogonaux de lespace

Automorphismes orthogonaux dun espace vectoriel euclidiende dimension 3, groupe orthogonal O(E), symetries orthogonales,reflexions. Matrices orthogonales, groupe O(3). Definitiondu groupe des rotations SO(E), du groupe SO(3).

Il sagit dune breve extension a lespace desnotions deja etudiees dans le cas du plan.Etude de la decomposition dune rotation enproduit de deux reflexions.

Axe et mesure de langle dune rotation dun espaceeuclidien oriente de dimension 3. Etant donnee une rotationu daxe dirige par un vecteur unitaire a et dangle de mesure (modulo 2), limage dun vecteur x orthogonal a laxeest donnee par

u(x) = (cos ) x + (sin ) a x.

Les etudiants doivent savoir determiner laxeet la mesure de langle dune rotation, ainsique limage dun vecteur quelconque et lamatrice associee a cette rotation.En revanche, letude generale de la reductiondes automorphismes orthogonaux de lespaceest hors programme.

f ) Deplacements

Definition dun deplacement.Tout deplacement du plan est soit une translation, soit unerotation.

Tout deplacement de lespace est soit une translation, soitune rotation, soit un vissage.


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g) Similitudes directes du plan

Definition dune similitude (transformation affine multipliantles distances dans un rapport donne) ; rapport de similitude.Definition dune similitude directe. Homotheties de rapportnon nul, translations, rotations. Ecriture complexe dunesimilitude directe. Centre et mesure de langle dune similitude

directe distincte dune translation.

Les etudiants doivent connatre leffet dunesimilitude directe sur les angles orientes et lesaires.

Etant donnes deux segments [AB] et [AB] de longueurnon nulle, il existe une similitude directe et une seuletransformant A en A et B en B.

Les etudiants doivent savoir determiner lerapport, la mesure de langle et le centre decette similitude directe lorsquelle nest pasune translation.

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