Programmation linéaire et Recherche opérationnelle mdr Licence dEconométrie Professeur Michel de...

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Programmation linéaire et Recherche opérationnelle

http://www.lri.fr/~mdr

Licence d’EconométrieProfesseur Michel de Rougemont

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Programmation linéaire et Recherche opérationnelle

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Introduction•Contraintes linéaires en Economie•Optimisation•Complexité, Approximation, Stabilité

Programmation linéaire•Simplex•Simplex à deux phases•Dualité•Simplex révisé et dual

Recherche Opérationnelle•Problèmes de flots et de réseaux•NP-complétude et approximation

Jeux et Equilibres•Programmation linéaire complémentaire

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Contraintes linéaires en Economie

Exemples de contraintes linéaires.

Maximisation et Minimisation de fonctions.

Incertitude.

Complexité.

Approximation.

Bases de l’algèbre linéaire.

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Introduction au Simplex

Résolution d’un système linéaire de maximisation:

•Introduction de variables d’écart•Solution initiale•Itération pour augmenter la valeur de la solution.•Terminaison

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Exemple d’itération

0,,8243

1124532345Max

321

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxx

xxx

321

3216

3215

3214

34524382411

325

xxxzxxxxxxxxxxxx

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Itérations possibles

321

3216

3215

3214

34524382411

325

xxxzxxxxxxxxxxxx

0,8,11,5,0,0,0 654321 zxxxxxx

Augmentons 3,2,1 111 xxx

Les contraintes sont : 4/113/82/51 x

2/25,2/1,1,0,0,0,2/5 654321 zxxxxxx

Nouvelle solution:

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Nouveau système

321

3216

3215

4321

34524382411

2/2/2/32/5

xxxzxxxxxxxxxxxx

32432

324326

324325

4321

34)2/2/2/32/5(524)2/2/2/32/5(382)2/2/2/32/5(411

2/2/2/32/5

xxxxxzxxxxxxxxxxxxxxxx

2/52/2/72/252/32/2/2/1

2512/2/2/32/5

432

4326

425

4321

xxxzxxxxxxxxxxx

Substituons 1x

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Itération 2

Augmentons

642

425

6421

6423

313251

222231

xxxzxxxxxxxxxxx

2x

3x

513 xLes contraintes sont:

13,0,1,0,1,0,2/5 654321 zxxxxxx

Nouveau système:

La valeur z ne peut plus être augmentée: optimum.

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Méthode générale

Mise sous forme normale.

Itération:•Choix d’un pivot qui augmente la solution.•Détection de l’optimum ou d’infaisabilité

Problèmes possibles:•Solution non bornée•Infaisabilité•Cycles•Solution initiale

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Difficultés du Simplex

•Initialisation : peut-on toujours trouver une solution initiale?

•Itération : peut-on toujours itérer?

•Terminaison : les itérations terminent-elles toujours?

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Systèmes et Tableaux

321

3216

3215

3214

34524382411

325

xxxzxxxxxxxxxxxx

12x

0345

82431124532

321

6321

5321

4321

xxxz

xxxxxxxx

xxxx

Dictionnaire:

Forme équivalente:

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Tableaux

2 3 1 1 0 0 5

4 1 2 0 1 0 11

3 4 2 0 0 1 8

5 4 3 0 0 0 0

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

0 -5 0 -2 1 0 1

0 -1/2 1/2 -3/2 0 1 1/2

0 -7/2 1/2 -5/2 0 0 -25/2

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Itération de Tableaux

2 3 1 1 0 0 5

4 1 2 0 1 0 11

3 4 2 0 0 1 8

5 4 3 0 0 0 0

Colonne du pivot : Max cjLigne pivot : Min s/rPivot =2Diviser ligne pivot par le pivot

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

4 1 2 0 1 0 11

3 4 2 0 0 1 8

5 4 3 0 0 0 0

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Itération de Tableaux

Soustraire à chaque ligne un multiple de la ligne pivot (0 apparaît sur la colonnePivot)

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

0 -5 0 -2 1 0 1

3 4 2 0 0 1 8

5 4 3 0 0 0 0

Ligne 2 – 4.ligne 1

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Tableau 2

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

0 -5 0 -2 1 0 1

0 -1/2 1/2 -3/2 0 1 1/2

0 -7/2 1/2 -5/2 0 0 -25/2

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

0 -5 0 -2 1 0 1

0 -1/2 1/2 -3/2 0 1 1/2

0 -7/2 1/2 -5/2 0 0 -25/2

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Itération

1 3/2 1/2 1/2 0 0 5/2

0 -5 0 -2 1 0 1

0 -1 1 -3 0 2 1

0 -7/2 1/2 -5/2 0 0 -25/2

1 2 0 2 0 -1 2

0 -5 0 -2 1 0 1

0 -1 1 -3 0 2 1

0 -3 0 -1 0 -1 -13

Faire apparaître 0 dans la colonne du pivot:

Optimum atteint.

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Interprétation géométrique

•Contrainte sur n variables : hyperplan de dimension n•Dimension 2 : droites•Dimension 3 : plans

21

21

2

1

2 1

0 20 2

xxMaxxx

xx

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Interprétation géométrique

21

215

24

13

2 1 2 2

xxzxxxxxxx

X1 rentre X5 sort

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Interprétation géométrique

52

24

523

521

232 2 1 1

xxzxx

xxxxxx

X2 rentre X3 sort

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Interprétation géométrique

53

534

31

532

35 1 2 1

xxzxxx

xxxxx

X5 rentre X4 sort

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Interprétation géométrique

43

435

31

42

26 1 2 2

xxzxxx

xxxx

Optimum

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Difficultés d’itération

•Itération : peut-on toujours itérer?•Solution non bornée•Itération dégénérée•Cycle

•Solution non bornée:

143

145

1432

5

437325

xxxz

xxxxxxx

3x entre dans la base : seule borne est

2/53 x

Solution z arbitraire !

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Itération dégénérée

321

3216

3215

34

82432642321

xxxzxxxxxxxxxx

3x entre dans la base. Seule contrainte est:

2/13x sort de la base (au choix). On obtient:4x

421

4216

4215

43

42423342

2/2/1

xxxzxxxxxxxxxx

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Itération dégénérée

4 ,2/1,0et 0 365421 zxxxxxx

065 xxSolution dégénérée car

421

4216

4215

43

42423342

2/2/1

xxxzxxxxxxxxxx

01xEquation 2 impose:

542

5426

43

5421

342/2/7

2/2/12/2/32

xxxzxxxx

xxxxxx

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Itération dégénérée

Solution identique à la précédente! L’itération est dégénérée.

Remarque: l’itération suivante est aussi dégénérée et la suivante est optimale.

4 ,2/1,0et 0 365421 zxxxxxx

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Cycles

sort. et entre 51 xx

4321

17

43216

43215

2495710

15.05.15.0

95.25.55.0

xxxxz

xxxxxxxxxxxx

5432

54327

54326

54321

202044153

2185111824

218511

xxxxz

xxxxxxxxxxxxxxx

sort. et entre 62 xx

6543

65437

65431

65432

25.1375.6985.14

25.1375.045.0175.275.045.025.025.025.0

xxxxz

xxxxxxxxxxxxxxx

sort. et entre 13 xx

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Cycles

sort. et entre 24 xx

1654

17

16542

16543

29931518

15.25.02

25.55.18

xxxxz

xxxxxxxxxxxx

2165

17

21653

21654

9205.705.10

1425.45.05.05.025.125.0

xxxxz

xxxxxxxxxxxx

sort. et entre 35 xx

3216

17

32164

32165

21932224

15.05.15.0

2849

xxxxz

xxxxxxxxxxxx

sort. et entre 46 xx

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Cycles

!1er au identique reDictionnai

4321

17

43216

43215

2495710

15.05.15.0

95.25.55.0

xxxxz

xxxxxxxxxxxx

Chaque itération est dégénérée.

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Initialisation

Solution faisable, Dictionnaire faisable?Problème auxiliaire:

0,,12532

422Max

321

321

321

321

321

xxxxxxxxxxxxxxx

0,,,12532

422Max

3210

0321

0321

0321

0

xxxxxxxxxxxxxxxxx

0

03216

03215

03214

21325

224

xw

xxxxxxxxxxxxxxx

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Initialisation

Infaisable: Pivot :

0

03216

03215

03214

21325

224

xw

xxxxxxxxxxxxxxx

sort. )(Min et entre 50 ibxx

5321

53216

5324

53210

325

343429325

xxxxw

xxxxxxxxxxxxxx

Faisable: sort. et entre 62 xx

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Initialisation

Pivot : sort. et entre 03 xx

6531

65314

65310

65312

75.025.025.125.02

5.05.05.25.1775.025.025.125.0225.025.075.075.01

xxxxw

xxxxxxxxxxxxxxx

0

0614

06512

06513

236.02.04.06.02.28.06.02.02.06.1

xw

xxxxxxxxxxxxxx

Optimum :Dictionnaire d’origine:

3. 1.6, , 2.2 0, 4320 xxxx

651

614

6512

6513

4.02.02.06.0

32.04.06.02.26.02.02.06.1

xxxz

xxxxxxxxxxx

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Initialisation générale

Etape 1 :

Etape générale : simplex

Terminaison:• •

sort. variableautre uneet entre 0x

Faisable 0.et w base la dans pasest n' 0 xInfaisable 0.et w base la dansest 0 x

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Interprétation géométrique de l’initialisation

•Le point (0,0,…0) n’est pas dans le polytope.•Trouver un autre point en ajoutant -x0 pour être sur de trouver une solution.

21

21

2

1

2 1

0 21 2

xxMaxxx

xx

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Interprétation géométrique de l’initialisation

Contraintes sont:

2 1

12

2

21

1

1

xxx

xx

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Interprétation géométrique de l’initialisation

Ecrire les contraintes avec x0

2 1

12

02

021

01

01

xxxxx

xxxx

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Interprétation géométrique de l’initialisation

Ecrire les contraintes avec x0

0

026

0215

014

013

211

2

xzxxxxxxxxxxxxx

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Interprétation géométrique de l’initialisation

Dictionnaire infaisable: x0 entre et x4 sort (b minimum)

41

4216

4215

413

410

13

2223

1

xxzxxxxxxxxxxxxxx

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Interprétation géométrique de l’initialisation

Dictionnaire : x1 rentre et x0 sort

02

221

1

206

4205

403

401

xzxxxxxxxxxxxxx

OptimumX0=0 donc faisable

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Interprétation géométrique de l’initialisation

Dictionnaire global

42

26

425

43

41

222

11

xxzxxxxxxxxx

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Simplex à deux phases

Phase 1 : résolution du problème auxiliaire.

Phase 2 : résolution du problème original.

Théorème fondamental.Pour chaque problème LP:•Soit le problème est infaisable•Soit le problème n’est pas borné•Soit le problème a une solution optimale

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Simplex révisé

Représentation compacte d’un dictionnaire.

Forme Matricielle:

0,,,4204334117225223

171213 19Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

1004 3340101 1110 0 1 2 1 2 3

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Dualité

0,,,3532

5583513

35 4Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Estimation de z > az>5 avec (0,0,1,0)z>22 avec (3,0,2,0)….

Estimation de z <b ?Quel est le témoin?

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Dualité

0,,,3532

5583513

35 4Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

Montrons que z <275/3

2nd contrainte . 5/3

3/2753/4053/53/25 4321 xxxx

3/2753/4053/53/25354 43214321 xxxxxxxx

Donc z <275/3

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Dualité

0,,,3532

5583513

35 4Max

4321

4321

4321

4321

4321

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2nd contrainte +3ème contrainte

583634 4321 xxxx

Donc z <58

Méthode systématique.

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Dualité

0,,,3532 .

55835 . 13 .

35 4Max

4321

43213

43212

43211

4321

xxxxxxxxyxxxxyxxxxyxxxx

332123211321 ).33().2().5( xyyyxyyyxyyy

Conditions pour que le membre gauche >

)355().583( 3214321 yyyxyyy

4321 354 xxxx

358353312 45

321

321

321

321

yyyyyyyyyyyy

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Dualité

On obtient donc:

358353312 45

3 55 Min

321

321

321

321

321

yyyyyyyyyyyyyyy

3114321 355354 yyyzxxxx