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PROFILS, CUBATURES 479 10PROFILS, CUBATURESCechapitreestconsacrlamodlisationetlareprsentationdunterrainentroisdimensions ; en effet, sur une carte, sur un plan, laltimtrie est une donne essentielle. 1 COURBES DE NIVEAU 1.1 DfinitionsLescourbesdeniveau,appelesisophyses,sontdestinesdonnersurunecarteunaperu du relief rel. Une courbe de niveau (fig. 10.1.) est lintersection du relief rel avecun plan horizontal daltitude donne en cote ronde (gnralement un nombre entier).Lescourbessontquidistantesenaltitude ;leurespacementhorizontaldpenddeladclivit du terrain reprsenter et de lchelle du plan ou de la carte. Sur une carte IGNau1/100 000,lesplanshorizontauxsontdistantsde20menaltitudeetlescourbesprincipales y sont repres tous les 100 m. Les courbes matresses sont en trait continupaisetplacestouteslescinqcourbes ;lescourbesordinairessontentraitcontinumoyen, les courbes intercalaires en trait interrompu fin.On visualise en trois dimensions le terrain dessin plat sur la carte. Cela est renforcsurlescartespardescoloriagespoursoulignerleslignesdecrte :ilsreprsententlombrecreparunelumirefictivequiviendraitdunord-ouestdelacarte.Surlexemple ci-aprs, on peut lire sur la vue en plan les pentes du terrain naturel ; on repreles sommets, les cols topographiques, les cuvettes (ou dolines), les ruptures de pente.On distingue les zones en forte dclivit, o les courbes de niveau sont trs proches, deszones de moindre dclivit, o les courbes sont plus espaces.Plusieurs courbes qui fusionnent en une seule indiquent une falaise verticale (fig. 10.1.).480PROFILS, CUBATURESUnecourbedeniveauestunecourbefermequinepeutcroiseruneautrecourbedeniveau daltitude diffrente, sauf dans une caverne, auquel cas il y a deux croisements(voir fig. 10.1.).Fig. 10.1. : TerminologiePROFILS, CUBATURES 481Pour renforcer la lisibilit dun plan, sont ajoutes :q les lignes de crte en rouge qui joignent les sommets et les cols ; elles figurent leslignes de partage des eaux qui sparent deux bassins-versants contigus dont les eauxscoulent vers deux talweg diffrents. En zone peu accidente, on parle de ligne defate ;q les lignes de talweg (en allemand chemin de fond de valle) en bleu rejoignent lespointslesplusbasdunevalleetfigurentleslignesdcoulementdeseaux.Laramification de ces lignes se fait de laval vers lamont et donne sur le plan une figurenomme le chevelu (voir chap. 8, 2.4.6.2).Les lignes de crte et de talweg sont perpendiculaires aux courbes de niveau.Les courbes de niveau des cartes petite chelle ne sont pas leves directement sur leterrain : ce serait fastidieux. Elles sont traces par restitution photogrammtrique (voirchap. 7, 5).Dans un lever de dtails, les courbes de niveau sont toujours une information supplmen-taire importante ; ellessontdonc souventtraces. Ellessontgnralementlevesavecdes stations totales par la cration de semis de points, puis traces automatiquement surinformatique. 1.2 Principe de linterpolationComprendre l'interpolationpermetdechoisirjudicieusementlenombreetlaposition des points lever.LaltitudeaupointMsituentrelescourbes de niveau 530 et 540 est dter-mine en considrant le terrain en penteconstante entre A et B. Les points A etB sont les points les plus proches de Msur les courbes de niveau 530 et 540 ; iciH = 10 m. La pente au point M vaut :p =.Ladistanceabestladistancerelle,cest--direladistancemesuresurleplanetdiviseparlchelleduplan.Laltitude de M est : .Onpeutappliquercettedernireformuleaveclesdistancesmesuressurleplan ;lefacteur dchelle se simplifie.Fig. 10.2. : Interpolation de courbes de niveauH ab------- -HMHA= amH ab-------- +482PROFILS, CUBATURES 1.3 Lever de courbes de niveauLinterpolationimpliquedecollectersurleterrainunpointchaquechangementdepente. En pratique, on lve les lignes de changement de pente, les crtes et pieds de taluset on densifie le nombre de points dans les zones de forte dclivit. Dans tous les cas, ilfautcollecterunnombresuffisantdepointspourquelesinterpolationsfaitessoientproches de la ralit.La densit lhectare des points ncessaires pour obtenir une reprsentation fiable duterrain est fonction des changements de dclivit du terrain et de lchelle du plan. Letableau ci-aprs donne quelques ordres de grandeur.Il existe diffrentes mthodes de lev de courbes, savoir :q leleverdeslignescaractristiques(crtes,talwegs,rupturesdepente),dontondduitlescourbesdeniveau.Cetypedeleverdoittrecompltpardessemisdepoints dans les versants entre les lignes caractristiques. Cest une mthode qui donnedes rsultats satisfaisants et qui est adapte aux stations totales ;q le quadrillage du terrain : lorsque le terrain est peu accident, on peut construire unquadrillage rgulier constitu de mailles carres (par exemple 6 m 6 m pour un planau 1/100) dont une direction correspond la ligne de plus grande pente du terrain. Lequadrillagepeuttreimplantaumoyendunesimplequerreoptiqueetleleveraltimtrique peut tre ralis au niveau, ce qui fait de cette mthode une alternativeintressante lorsque lon ne dispose pas de station ;q lefilagedecourbes:ilconsistesuivrelacourbedeniveauavecunemirepourmarquer puis lever tous les points dune courbe : cest un procd long.Il faut ajouter ces mthodes le lever par photographies ariennes et restitution photo-grammtrique(voirchap.7,5),quipermettentdobtenirrapidementlescourbesdeniveaupourunezonedetrsgrandetendueetavecuneprcisionhomognelamodlisation du terrain et lchelle de reprsentation choisie. 1.4 Report de courbes de niveau 1.4.1 Report manuelCe travail fastidieux est maintenant pris en charge par les logiciels de topographie cepen-dantilestformateurdavoireffectuaumoinsunreportmanuelpourassimilerladiscrtisation du terrain.chelles 1/100 1/200 1/500 1/1 000 1/2 000 1/5 000Trs accident 400 250 150 80 40 20Accident 340 200 130 70 35 15Peu accident 250 150 80 40 20 10PROFILS, CUBATURES 483Le trac manuel consiste raliser linterpola-tion inverse de celle qui est dtaille au para-graphe1.2.Parexemple,lafigure10.3-a.reprsentelacourbedaltitude129,50 mpartirdunsemisdepoints.Onreprelespointsquiencadrentcettecourbe:17et19sontau-dessus,18,20et24sontau-dessous.Les points 31 et 23 sont trop loigns : ils neseront pas pris en compte. Il reste dterminerparinterpolationdespointsdepassagedelacourbesurlesquatresegments17-18,17-20,19-20 et 19-24 ; ces segments sont choisis de manire tre les plus courts et les plusperpendiculaires possibles la future courbe de niveau ; on carte par exemple le seg-ment 17-24.Lecalculdinterpolationestralisenutilisantlaformulesuivante : avecHM= 129,50m.Cequidonnepournotreschmaletableau ci-contre :Avecunpeudhabitudeetsilaprcisionrecherchelautorise,onpeutaussifairementalement cette interpolation et placer approximativement les points de passage de lacourbe. Il faut garder prsent lesprit que ces courbes ne sont quun modle approxi-matif et quil est illogique de faire des calculs au centimtre prs.Ilexisteunemthodegraphiqueplusrapidedontlaprcisionestgnralementlargementsuffisante.LoprateurdisposedunefeuilleA4 sur laquelle il dessine des lignes horizon-talesrgulirementespaces(fig.10.3-b.),numrotesparexemplede0100.Afindeplacer la courbe de niveau 129,50 m entre lespoints 19 et 24 (fig. 10.3-a. et 10.3-b.), il dis-pose la feuille A4 de faon que la ligne 129,08mpassesurlepoint24,cepositionnementseffectuevuepuisquelaligne129,08mnexistepas,etdefaonquelaligne129,82passe par le point 19 ; il reste piquer linter-section de la droite 19-24 et de la ligne 50 dela feuille A4 pour obtenir un point de passagede la courbe 129,50 m.Fig. 10.3-a. : Exemple de report manuelPoints HM-HA (m) H (m) ab (m) am (m)17-18 0,22 0,49 2,6 1,217-20 0,33 0,60 5,2 2,919-20 0,33 0,65 4,4 2,219-24 0,42 0,74 5,3 3,0am HMHA ( )abH -------- =Fig. 10.3-b. : Outil de report manuel484PROFILS, CUBATURESTracez les courbes de niveau tous les 10 m partir du lev de la figure 10.4. Le maillageest de 100 m 100 m. 1.4.2 Report automatiqueLeslogicielsdetopographieproposentuntracautomatiquedescourbesdeniveaupartir dun semis de points.Ce trac fonctionne plus ou moins sur le mme principe que le trac manuel : crationdun maillage du terrain, soit constitu de triangles sappuyant sur les points levs, soitconstitu de mailles rgulires (fig. 10.5.) sappuyant sur le contour de la zone mailler ;dans ce cas, le programme dtermine laltitude des nuds du maillage en sappuyant surle semis de points. Le logiciel dtermine ensuite tous les points dintersection entre lescts du maillage et les plans horizontaux daltitude entire pour tracer les courbes deniveau point par point.Application (correction au paragraphe 1.5)Fig. 10.4. : Semis de pointsPROFILS, CUBATURES 485Une vue en perspective dun maillage de terrain est prsente ci-dessus (fig. 10.5.), envert, fait partir dun semis de points. On distingue les courbes de niveau calcules parle logiciel ainsi quune tranche inscrite dans le maillage du terrain. 1.5 Applications au trac de profils en long et en traversLorsdunavant-projetsommairedeltudedunprojetroutier,leprojeteurabesoindune vue en coupe du terrain naturel suivant laxe du projet quil tudie : ce graphiqueest le profil en long du terrain naturel (voir ltude complte au paragraphe 2). Des vuesen coupe perpendiculairement laxe sont aussi ncessaires ltude : ce sont les profilsen travers. Ces deux types de graphiques permettent dobtenir, aprs plusieurs tudes untrac idal rpondant aux impratifs du projet que sont la visibilit, lemprise sur leterrain, la dclivit maximale, le moindre cot, etc. Le rle de linformatique est alorsdterminant grce au gain de temps sur les tracs des profils et les calculs des cubatures(voir le paragraphe 2.1), mais aussi parce quil est possible denvisager une programma-tion qui aboutisse automatiquement, en plusieurs passes de calcul, au trac idal enfonction de paramtres fixs par le projeteur.La figure 10.6. donne une correction de lexercice du paragraphe 1.4. Le trac en plande laxe dun projet routier et huit profils en travers y sont ajouts. Dduisez-en le profildu terrain naturel le long de laxe du projet et le profil en travers.Fig. 10.5. : Modle numrique de terrain (MNT)Application486PROFILS, CUBATURESLes courbes de niveau de la figure 10.6. sont obtenues par une modlisation base detrianglesquicorrespondaumodedetracmanuelparinterpolation.Lescourbesbrutes, qui sont des assemblages de segments, sont ensuite lisses de manire obtenirune reprsentation plus conventionnelle.Les distances horizontales sont mesures sur le plan : cela donne les profils de la figure10.7. (voir au paragraphe 2 la reprsentation complte et normalise des profils en longet en travers).Fig. 10.6. : Implantation dun projet routierRponseFig. 10.7. : Profil en long et exemple de profil en traversPROFILS, CUBATURES 487 1.6 Digitalisation de courbes de niveauLadigitalisation,ounumrisation,dunplanestlaretranscriptionsurunsupportinformatiquedespointsconnus,desdtailsetdescourbesdeniveaupermettant de bnficier des facilits de calcul gra-phiquedunlogicieldeDAO.Cetteoprationaumoyendunetableoutablette(fig. 10.8.)digita-liser sur laquelle est fix le plan numriser. Diff-rents modles existent du format A4 au format A0.Les points sont entrs dans lordinateur en les poin-tant les uns aprs les autres avec un dispositif (fig. 10.9.) ressemblant une souris et munidun rticule en forme de croix. Le dplacement du dispositif de pointage lcran estcapt par le support magntique de la tablette alors que, pour une souris, cest gnrale-ment la rotation dune boule retranscrite par des capteurs optiques qui permet le dpla-cement dune mire lcran.DigitalisationsurAutoCAD:ilfautdisposerdunetablettedigitaliseretdelaversioncompltedAutoCAD ou bien d'AutoCAD LT 95. Depuis la ver-sion 13, on peut utiliser en mme temps une tablette digitaliseretunesouris.SurlaversioncompltedAutoCAD,lacommandeTABLETTEgrelestablettes digitaliser. Ses options sont les suivantes :q option configurer (CFG) : dfinition des zones de menu pourutiliser la tablette en tant que dispositif de pointage, cest--dire comme une souris. Un dessin associ au menu standarddAutoCAD (ou AutoCAD LT) est fourni avec le logiciel, ilpeut tre imprim et fix sur la tablette ;q option calibrer (CAL) : en sappuyant sur au moins deux points, le calibrage permetdadapter le repre du plan numriser au repre gnral du logiciel. La routine decalibrage dtermine un facteur dchelle, un angle de rotation et un vecteur de trans-lation qui ramnent les dplacements du curseur dans le repre (X, Y) gnral (voirtome2,chap.1,10.3).Onpeutentrerplusdedeuxpointspouramliorerlaprcisiondecettetransformation.Lespointsdappuilesplusintressantssontlescroix du quadrillage (ou un couple de points connus en coordonnes) qui permettentde travailler directement en repre Lambert. dfaut, une droite de longueur connuepermettra deffectuer une restitution en repre local sans contrle.Depuis la version 13 dAutoCAD, une nouvelle possibilit de digitalisation est offerte :il est possible de rcuprer en fond de plan limage scanrise (numrise au moyendun scanner) dun plan existant sur papier et redessiner par dessus les lments intres-sants. Le fond de plan arrive sous forme dimage point par point (ou Bitmap de format.BMP,.TIF,.GIF,etc.).IlfautensuitefairesubirauplandigitalisuneadaptationFig. 10.8. : DigitaliseurFig. 10.9. : Curseurde digitalisation488PROFILS, CUBATURESdchelle,unetranslationetunerotationpourrtablirlesdimensionsrellesensappuyant,parexemple,surlequadrillage.Lavantagedecettemthodeestquilestpossible de suivre lcran le travail de digitalisation et de vrifier que lon noublie pasde points. On peut aussi utiliser les possibilits des fonctions de zoom du logiciel. 1.6.1 Utilisation de la digitalisationCette opration est rserver aux tudes sommaires ou lobtention de fonds de plan peuprcis. La prcision obtenue est fonction des paramtres suivants :q lejeudupapier :dformationdupapierdueauvieillissementetauxvariationshygromtriques de lairqui est plus grande dans le sens du laminage du papier et quientranedesdformationsenplanimtrieduterrainreprsentetlesventuellesdformations de photocopiage ;q laprcisiondupointaveclecurseur,dautantmoinsprcisequelchelledusupport papier est petite ;la prcision de la connaissance dans un repre gnral ou local dau moins deux pointsdu terrain sur lesquels on sappuie pour restituer la digitalisation chelle relle. 1.6.2 Digitalisation des courbes de niveauDeux solutions sont possibles pour obtenir des courbes de niveaux numrises :q digitaliserdirectementlescourbesdeniveaupuisutiliserunlogicielcapabledemodliser le terrain partir des courbes de niveau (ADTOPO permet cette modlisa-tion).Ilfautveillerdessinerchaquecourbe(utiliserlacommandePOLYLIGNEoption Arc) son altitude : pour cela, il est possible de changer de SCU. Par exemple,avant de digitaliser la courbe de niveau 80 m, changez de SCU par SCU Origine0,0,80. Revenez ensuite toujours au SCU gnral. Une fois la courbe termine, ellepeut tre lisse (commande PEDIT option Lissage ou Pspline) ;q Digitaliser un semis de points cots sur le plan support et modlisez le terrain partirde ceux-ci comme si lon partait dun ensemble de points levs. Chacun devant treentr une altitude donne, il faut utiliser le filtre .XY. Une squence de digitalisationse drouleainsi : POINT .XY(cliquezle point) Z demand (entrez laltitude dupoint puis validez par ). Cette squence peut tre automatise en entrant une macro-commande dans un bouton de la bote outils. Pour cela, cliquez sur un bouton de laboite outils avec le bouton de droite de la souris et modifiez la ligne de commandeainsi:POINT_.XY_puisvalidezavecOK(_reprsenteunespacequisimulelatouche entre ).Ilestgalementpossibledaffectercettecommandeunboutondelasouris(oududispositifdepointagedelatablette):danslefichierACAD.MNU,modifiezainsilatroisime ligne de la section ***BUTTONS1 : ^C^CPOINT_.XY_PROFILS, CUBATURES 489 2 PROFILS EN LONG ET EN TRAVERS 2.1 DfinitionsUnprofilenlongestlareprsentationdunecoupeverticalesuivantlaxedunprojetlinaire(route,voieferre,canalisation,etc.).Leprofilenlongestcompltpardesprofils en travers qui sont des coupes verticales perpendiculaires laxe du projet. Leurtablissement permet en gnral le calcul des mouvements de terres (cubatures) et, parexemple,permetdedfinirletracidaldunprojetdemanirerendregauxlesvolumes de terres excavs avec les volumes de terre remblays. Linformatique joue iciaussiunrledterminantpuisquecescalculssontrptitifs.Eneffet,ilfautplusieursessais lors dune recherche de trac avant darriver au trac dfinitif.Par exemple, sur la figure 10.10., un projet routier est figur en trait daxe. Le profil enlong constitue un dveloppementsuivant son axe sur lequelsont reprsents le terrainnaturel et le projet. Les profils en travers, rgulirement espacs, sont une vue en coupequi fournit linscription de la route dans le relief perpendiculairement laxe.Fig. 10.10. : Profils en long et en travers490PROFILS, CUBATURES 2.2 Le profil en longLe profil en long est un graphique (fig. 10.11.) sur lequel sont reports tous les pointsdu terrain naturel et de laxe du projet. Il est tabli en premier lieu. On sappuie sur cedocument pour le dessin des profils en travers (fig. 10.12.). Ce graphique soriente de lagauche vers la droite ; les textes se rapportant au projet sont en rouge, criture droite etceux qui se rapportent au terrain naturel en noir et en italique (si lon travaille exclusive-mentsurunsupportencouleur,onpeutnepasutiliserlareprsentationenitalique).Distances et altitudes sont donnes en mtres au centimtre prs.On choisit en gnral un plan de comparaison daltitude infrieure laltitude du pointle plus bas du projet ou du terrain naturel. Ce plan de comparaison est laxe des abscissesdu graphique sur lequel sont reportes les distances horizontales suivant laxe du projet.Sur laxe des ordonnes, sont reportes les altitudes.Les chelles de reprsentation peuvent tre diffrentes en abscisse et en ordonnes (enrapport de lordre de 1/5 1/10) de manire souligner le relief qui peut ne pas apparatresur un projet de grande longueur.On dessine tout dabord le terrain naturel (TN), gnralement en trait moyen noir. Sontracestdonnparlapositiondechaquepointdaxedunprofilentravers,leterrainnatureltantsupposrectiligneentrecespoints.Onreporteenmmetempsdanslecartouchedesrenseignementsenbasdugraphique :lesdistanceshorizontalesentreprofils en travers dites distances partielles, les distances cumules (appeles aussi abs-cisses curvilignes) depuis lorigine du projet et laltitude de chaque point.On positionne ensuite le projet (trait fort rouge) en tenant compte de tous les impratifsde visibilit : pente maximale (voir chap. 9, 6), galit des dblais et des remblais, etc.Ce trac donne des points caractristiques comme les points de tangence entre droites etparties courbes, les points hauts (ou sommets situs la fin dune rampe et au dbut delapentesuivante),lespointsbas(situslafindunepenteetaudbutdelarampesuivante). Une rampe est une dclivit parcourue en montant dans le sens du profil ; unepente est parcourue en descendant. Un parcours horizontal est aussi appel palier. Lesdclivitsdespartiesdroites,leslongueursprojetesdesalignementsdroitsetdescourbes ainsi que les rayons de courbure sont reports en bas du cartouche ; on reportegalement les longueurs dveloppes des courbes.Les cotes des points caractristiques du projet sont reportes dans les lignes de rensei-gnementenbasdugraphique:distancelorigineduprojet(distancecumule)etaltitude. Dans la phase davant-projet sommaire, elles sont mesures sur le graphique duprofil en long. Elles sont calcules exactement en phase de projet dexcution, partir duprofilenlongetdesprofilsentraversrels,levssurleterrain.Lamanirelaplusefficace de faire ce calcul est de construire le profil sur un logiciel de DAO et dy lire lescoordonnes des intersections (voir lexemple du paragraphe 2.4).PROFILS, CUBATURES 491Lescalculsdespositionsdespointscaractristiquesseramnentdesintersectionsdroites-droites,droites-cerclesoudroites-parabolesdanslerepreassociauprofilenlong.On peut colorier de manire diffrente les remblais (en rouge) et les dblais (en bleu).Les profils en travers fictifs (surface nulle) dont on doit dterminer la position (abscisseet ventuellement laltitude) sont les points dintersection entre le terrain naturel et laxedu projet ; ces profils particuliers sont utiles pour le calcul des cubatures. Il faut connatreleur position en abscisse par rapport aux deux profils en travers qui les encadrent.RemarqueVeillez ne pas confondre le systme de coordonnes dans lequel sont reprs le profilen long et le profil en travers (x, y associ au graphique, laxe des y reprsentant lesaltitudes)aveclerepregnral(oulocal)danslequellespointsduterrainsontexprims pour les implantations (altitudes cotes sur laxe des Z).Attention au fait que lon utilise des chelles diffrentes en abscisse et en ordonne.Les pentes sur le graphique sont multiplies par un facteur dchelle qui est le rapportde lchelle des ordonnes sur celle des abscisses. Les courbes sont aussi transformesmaisdemanirenonhomothtique(puisqueseulelchelleenordonnevarie) :uncercle devient donc une ellipse et les rayons de courbure sur le graphique nont plusFig. 10.11. : Profil en long492PROFILS, CUBATURESrien voir avec la ralit... Cette erreur peut facilement tre vite par une constructiongraphique avec un logiciel de DAO : la construction est faite lchelle 1 en abscisseetenordonne(onendduitlescotesrelles)et,ensuite,pourlesbesoinsdelareprsentation, on peut multiplier lchelle des ordonnes par 5 ou 10. (voir lexempletrait au paragraphe 2.4). 2.3 Le profil en traversLes profils en travers (sections transversales perpendiculaires laxe du projet) permet-tent de calculer les paramtres suivants :q la position des points thoriques dentre en terre des terrassements ;q lassiette du projet et son emprise sur le terrain naturel ;q les cubatures (volumes de dblais et de remblais).Le profil en travers (fig. 10.12.) est reprsent en vue de face pour une personne qui sedplacerait sur laxe du projet de lorigine lextrmit du projet. La voie de gauche doitdonc se situer sur la partie gauche du profil.On commence par dessiner le terrain naturel partir dun plan horizontal de rfrencequi nest pas forcment celui du profil en long, de manire obtenir le profil en travers lchellemaximalesurleformatchoisi.Lchelledereprsentationestdelordrede1/1001/200(jusqu1/50pourlesvoieslesmoinslarges).Ilnyapasdchellediffrente en abscisse et en ordonne de manire pouvoir mesurer directement sur legraphiquedeslongueursdanstouteslesdirectionsoubiendessurfaces(mesuresurpapier au planimtre ou sur informatique, par exemple laide de la commande AIREdAutoCAD). Labscisse de chaque point du terrain naturel (ou du projet) est repre parrapportlaxeduprofilentravers(doncngativegaucheetpositivedroite),lordonneesttoujourslaltitudedupoint.Cettereprsentationlogiqueintroduitunrepre (x, y, z) non direct (fig. 10.10.).On y superpose ensuite le gabarit type du projet (largeur de chausse, accotements, fossset pentes de talus) partir du point daxe dont laltitude a t dtermine sur le profil enlong. Sur informatique, ce gabarit est un dessin type (sous forme de bloc) mis en place chaque profil. En dessin manuel, on utilise un fond de plan.Cela permet de calculer la position des points dentre en terre (voir chap. 9, 7).Lesconventionsdecouleuretdcrituredoiventtrelesmmesquepourleprofilenlong.Lesfosssnesontpasreprscommelesautrespointscaractristiquespuisque,demanire simplifier le calcul, ils ninterviennent pas dans la dcomposition de la surfaceen triangles et trapzes. Ils sont calculs sparment.PROFILS, CUBATURES 493Une flche verticale dans laxe du foss indique si leau scoule vers le profil suivant(flche vers le bas) ou vers le profil prcdent (flche vers le haut) dans le sens du profilen long.On porte sur chaque profil la surface de remblais et de dblais (voir 2.5).Lenumroduprofiletsaposition(P.K.oupointkilomtrique)dansleprojetdoiventfigurer sur le graphique.Les surfaces en dblai et en remblai sont calcules et portes sur le graphique ainsi quela distance dapplication du profil (voir 2.5).Onindiqueaussilabscissecurvilignelaxeduprojet(distancesuivantlaxedepuislorigine du projet).Les calculs ncessaires la dtermination des points dentre en terre, sils sont effectusmanuellement,peuventtreobtenusparlintersectiondedroitesdansleplandugra-phique.Demme,lessurfacespeuventtrecalculesmanuellementenutilisantlescoordonnes(xetz)dessommetsouaumoyendunplanimtre.Lemoyenleplusefficace reste le dessin chelle relle sur ordinateur et la lecture directe des coordonneset surfaces (voir exercice du paragraphe 2.4).Il existe trois types de profils en travers (fig. 10.13.) : les profils en remblai, en dblai oubien les profils mixtes.Fig. 10.12. : Profil en travers494PROFILS, CUBATURESNotons que la prsence du foss sur ces diffrents types de profils nest ncessaire quencas dimpossibilit dcoulement naturel des eaux. Par exemple, comparez le profil enremblai et le profil mixte. 2.4 ApplicationLa construction graphique sur ordinateur laide dun logiciel de DAO facilite le travailduprojeteurpuisquelescalculssonteffectussimultanmentaudessin :ilsuffitderelever les positions des points dans un repre associ au profil. Deplus,les lmentsrptitifs tels les symboles, les cartouches, le profil type de la chausse peuvent tre misen mmoire sous forme de bloc et rappels si besoin.nonc :partirdesdonnesdutableausuivant,dterminezleprofilenlongquiminimisera les cubatures et les mouvements de terre en essayant dquilibrer les volumesderemblaietdedblai,sachantqueladclivitnedoitpasdpasser4%,quetoutraccordement dans le sens du profil en long est ralis par un arc de cercle dun rayondau moins 2 500 m et que la route est horizontale au dpart et la fin de la portion deprojet tudie. La largeur de la chausse est de 10 m, le dvers du revtement est de 2 %de part et dautre de laxe de la chausse, la pente des talus de 2/1 (voir chap. 9, 6.1.1),les fosss ont une largeur de 20 cm en fond pour une profondeur de 30 cm.Profils Dh (m) -10.00 m -5.00 m 0.00 m 5.00 m 10.00 m1 0,00 110,95 111,05 110,82 110,76 110,452 50,10 110,74 110,45 110,21 110,02 109,743 100,30 108,13 107,95 107,78 107,14 106,694 150,90 106,05 105,32 104,98 104,32 103,785 201,20 105,77 104,37 103,75 103,14 102,316 251,50 104,96 104,52 104,12 103,78 103,647 301,90 106,84 106,77 106,67 106,54 106,338 351,50 109,87 109,79 109,75 109,76 109,849 402,00 110,01 110,20 110,25 110,37 110,5810 450,00 109,87 110,34 110,60 110,94 111,47Fig. 10.13. : Diffrents types de profilPROFILS, CUBATURES 495Letableauprcdentdonnelesaltitudesreleveschaqueprofilentravers:laxe,colonne 0,00 m, 5,00 m et 10,00 m gauche de laxe et 5,00 m et 10,00 m droitede laxe. Dh reprsente la distance horizontale cumule chaque profil depuis lorigine. Rsolution graphique laide dAutoCAD LTCommencez par la cration des calques utiles au dessin : un calque PROJET enrouge, un calque TN en vert. Rglez lunit de sortie sur papier pour que lonpuisse dessiner directement en mtres : case de dialogue IMPRIMER du menuFICHIER, dans lencadr chelles, entrez les valeurs suivantes :1000 mm tracs= 1 unit dessin (1 000 mm dans la ralit = 1 unit cran). 2.4.1 Prparation du dessinCrez un style de texte PROJET dont le texte sera en italique et la hauteur des caractresde2,5mmsurpapier.CommandeSTYLEnomdustylePROJETpoliceROMANS.SHXhauteur0.0025angledinclinaison15(degrs) ;pourtouteslesautres questions, rpondez par qui valide les valeurs par dfaut.CrezdemmeunstyleTNquiserviratouslestextesrelatifsauterrainnaturel:commande STYLE nom du style TN police ROMANS.SHX hauteur 0.0025 angledinclinaison0.Cecipermettradedessinerleslmentsdemiseenpage(textesetcartouches)enmtres ;parexemple,unformatA4aurapourdimensions0,21mpar0,297 m. Nous utiliserons ensuite les possibilits de lespace papier pour rgler lchellede sortie des profils.RemarqueLespacepapierdAutoCAD,danslequelonbasculeencochantloptionESPACEPAPIERdumenuVUE,permetdefairedelamiseenpage ;onpeutyjuxtaposerplusieurs fentres qui sont autant de vues diffrentes des objets dessins dans lespaceobjet.Onpeutainsireprsenterunseuletmmeobjetvudeplusieursperspectivesdiffrentes. Cest la facilit de la mise lchelle grce la commande Zoom optionXP spcialement conue pour prparer la sortie sur papier. 2.4.2 Dessin du profil en long du terrain naturelDans le calque TN, dessinez en polyligne le profil du terrain naturel : POLYLIGNE dupoint 0,110.82 au point 50.1,110.21 au point 100.3,107.78 etc. au point 450,110.6Dessinezleplandecomparaison,parexemple102m,etlapositiondesprofilsentravers : LIGNE du point 0,102 au point 450,102 puis LIGNE de lEXTrmit dechaque tronon de la polyligne PERpendiculaire la droite figurant le plan de compa-raison.496PROFILS, CUBATURESLa visibilit du relief doit tre accentue pour la recherche du trac du profil en long dela route. Multipliez par 10 la hauteur de chaque droite verticale marquant un profil entravers. Commande ECHELLE, slection de lobjet : cliquez sur une droite, point debase : INTersection entre la droite et le plan de comparaison, facteur dchelle 10Rptezcecipourchaqueprofil(voirle rsultat fig. 10.14.). Pour cette sriede trac o les accrochages EXTrmitetINTersectionsonttrsutiliss,passezenaccrochagepermanent(toucheF3oumenu OPTIONS /ACCROCHAGEAUXOBJETS,cochez les deux casesExtrmitetIntersection). Noubliez pas de dsactiver cet accrochage permanent en fin dopration,par exemple, en appuyant nouveau sur la touche F3. 2.4.3 Choix du trac du profil en long du projetPour raliser au mieux lgalit des remblais et dblais, il faut trouver une droitehorizontale qui partage le terrain naturel en deux surfaces gales. Ceci peut seraliser graphiquement (par calcul : voir le redressement de limite au chapitre 3du tome 2, 3). Dans le calque PROJET, dessinez vue une ligne sparant lafigureendeuxsurfacesquivalentes(fig.10.14.),puismesurezlasurfacederemblai et les surfaces de dblai avec la commandeAIRE : cela peut tre trsrapide si on est en accrochage permanent INTersection et si on utilise loptionAjouter pour obtenir directement la somme des deux surfaces de dblais qui sontspares. Par approximations successives, en positionnant une ligne 157,61 mon obtient deux surfaces de lordre de 5 190 m2. Dessinez la position relle decette droite qui est laltitude 102 + (157,61 102) / 10 = 107,561 m ; cela peutse faire graphiquement en appliquant la commande ECHELLE avec un facteurdchelle de 0.1.Il reste positionner le trac du profil en long de la route le plus symtriquement possiblepar rapport cette droite.Le trac est choisi en fonction de critres de visi-bilit,dedclivitmaximale,dutypederoute,etc. (voir chap. 9, 6.1). Nous choisissons poursimplifier un trac symtrique compos de troisparties circulaires dun rayon de 2 500 m, raccor-despardesalignementsdroitsdunelongueurde lordre de 70 m (voir fig. 10.15.).Dessinducercledegauche :commandeCER-CLE de centre lEXTrmit gauche de la lignede partage et de rayon 2 500Fig. 10.14. : Profil en long du terrain naturelFig. 10.15. : Profil en long du projetPROFILS, CUBATURES 497Dessin du cercle de droite : COPIER le cercle prcdent (option Dernier objet dessin)de lEXTrmit gauche de la ligne de partage vers lEXTrmit droite.Demandez un Zoom Etendu pour voir lensemble du dessin.Dessin du cercle central : CERCLE option TTR (tangent, tangent, rayon), tangent auxdeux autres cercles en partie suprieure, rayon 2 500Pour obtenir des alignements droits entre les parties circulaires, DEPLACER le cerclecentralde0.5mverslehautpuisdessinezdeuxsegmentstangentsauxdeuxcercles :LIGNEde TANgent TANgent...(voir figure10.15. : lallurerelleestenhautdelafigure, seuls les arcs de cercles de raccordement sont dessins ; en bas, un schma permetdemieuxvisualiserlallureduraccordement).Pourrduirelescerclesauxarcsdecercles, utilisez la commande COUPURE (option P pour premier point) ; attention ausens positif de rotation, donnez les intersections comme points de coupure. 2.4.4 Positionnement du profil du projet sur le terrain naturel et lecture des points caractristiquesOncherchepositionnerleprofilenlongduprojet(fig.10.16.et10.17.)symtriquementsurladroitedepartageduterrainnaturel(fig.10.14.).Pourcela, DEPLACER lensemble du profil du projet depuis le MILieu de lun desdeux segments de raccordement de 70 m au point PERpendiculaire la droitede partage ( sa position relle). Il ne reste plus qu lire les altitudes du projetau niveau de chaque profil en travers. Cela donne :Ilfautaussiconnatrelabscissedesprofilsfictifs:ellessontde91,29m,altitude108,22 m et 292,31 m, altitude 106,18 m. On les ajoute en bleu sur le profil rel.Pour exagrer le profil en long du projet de manire amliorer la lisibilit, procdez demme que pour le terrain naturel au paragraphe 2.4.2. On dconnecte ensuite le profil reldu profil agrandi en dplaant ce dernier en mode ORTHO vers le haut de lcran (voirfig. 10.16.).Profils 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Z projet (m)109,84 109,34 107,94 106,38 105,39 105,42 106,46 107,99 109,38 109,84Fig. 10.16. : Positionnement du projet sur le profil en long498PROFILS, CUBATURES 2.4.5 Dessin du profil complet en espace papierPassez en espace papier, menu VUE / ESPACE PAPIER. Pour sortir ce profil surformat A4 horizontal, on dessine dans le calque 0 un RECTANGLE du point0,[email protected],0.21(formatA4horizontal29,7cmpar21cm).Enespace papier, lespace objet apparat lintrieur de fentres qui sont dessinesavec la commande FMULT (ou menu VUE / FENETRE EN MOSAQUE / 1FENETRE). Dessinez cette fentre dans le format A4 en laissant une marge de1cm.Lespaceobjetcompletapparatdanscettefentremaislesobjetslintrieurdelafentrenesontpasdirectementaccessibles.Seulelafentreglobale peut tre modifie. Pour accder aux objets situs lintrieur, il fautpasser en espace objet local avec le raccourcis de commandeEP ou en cli-quant sur le bouton E de la barredoutils. On peut alors rgler lchelle de sortiegrce la fonction Zoom option XP : le dessin doit tre sorti lchelle 1/2 000pour entrer dans le format A4 horizontal (450 / 2 000 = 0,225 m) : donc entrezla commande Zoom 0.0005XP. Lespace objet apparat alors comme il serasur un format A4. Il reste centrer les objets dans la fentre avec la commandePANoramique. Vous obtenez en format A4 lquivalent de la figure 10.17. aprsavoirajoutleslignesducartouchedelgende.Surcettefigure,latailledestextes a t augmente pour la lisibilit.Remarquez que la symbolisation des raccordements et des alignements employe dans larubrique dclivit projet est diffrente de celle propose la figure 10.11. Lestextessontdessinsdirectementenespacepapierdansleurscalquesetpolicesrespectives. Pour les textes crits en vertical, on donne une orientation de 90 degrs.Fig. 10.17. : Rsultat du profil en longPROFILS, CUBATURES 499Ilresteimprimerlegraphique:menuFICHIER/IMPRIMER,rglezleformatdupapier de limprimante ou du traceur, son orientation (paysage) et lancez limpression ;on peut aussi prparer la sortie papier de ce graphique sans utiliser lespace papier, maislespace papier est plus performant et nous vous conseillons de toujours lutiliser. 2.4.6 Dessin dun profil en traversPrparezunprofiltypedelachaussequiresserviradanschaqueprofilentravers. En espace objet dans un nouveau calque Projet_1 en rouge, dessinez leprofil type de la chausse (fig. 10.18.) : LIGNE du point, point quelconque endehorsduprofilenlong,aupoint@5,[email protected],[email protected],0 au point @0.2,0.4 puis MIROIR de ces objets en mode ORTHO parrapport au point de dpart (EXTrmit).Crezunbloc,ougroupedobjets,partirde ce profil type : menu DESSIN / CRERUNBLOC ;choisissezlesobjetspuisdonnez comme point de base le point daxede la chausse et donnez un nom au bloc, parexemple Chausse.Vousvousappuierezsurleprofilenlongrelpourpositionnerfacilementlesprofilsen travers.En zoom autour du profil n 1 (fig. 10.18.),insrez le bloc Chausse au point daxe de lachausse en le dcomposant ; cochez la casedcomposerdelaboitededialogueINSERER UN BLOC du menu DESSIN.DansunnouveaucalqueTN1envert,dessinezleprofilentraversduterrainnaturel:LIGNE du point -10,110.95 au point -5,111.05 au point INTersection de... au point5,110.76aupoint10,110.45.Ilresteconstruirelespointsdentreenterreetlemprise du projet au moyen de la commande PROLONGER (ou AJUSTER).Le dessin des autres profils peut tre fait de la mme manire. Notez que pour dessinerfacilementauniveaudechaqueprofilentravers,ilfautdplacerloriginedurepregnralainsi:SCUOrigine.Xde(donnezunpointsurleprofilentravers,parexemple avec laccrochage EXTrmit de...) YZ demands 0,0. Retour au SCU gnralavec SCUDans lespace papier et dans le calque 0, COPIER le format A4 qui a t dessin pourle profil en long et positionnez le un endroit quelconque de lcran. En zoom autour dece format, dessinez le cartouchetypeetajoutez-yles textesdanslesplansProjet_1etTN1 que lon retrouve chaque profil (fig. 10.19.). Fig. 10.18. : Profil en travers type500PROFILS, CUBATURESDessinez ensuite dans ce format A4 et dans le calques Fentres une fentre sur lespaceobjet(menuVUE / FENETRES MOSAQUE/1FENETRE).Passezenespaceobjetlocal avec la commande EO et rglez lintrieur de cette fentre le facteur de zoom 0.01XP (chelle 1/100), puis centrez laxe du profil sur celui du cartouche (commandeDEPLACER).On peut geler certains calques uniquement dans lespace papier pour faire disparatre lecontour de la fentre et les lments du profil en long : dans la case de dialogue PLAN(commande DDPMODES), slectionnez les calques Fentres, TN et Projet puis cliquezsur le bouton F.Cr / GELER (ce qui signifie : geler dans la fentre courante). Vous devezobtenirlquivalentdelafigure10.19.sanslecontourdelafentresurlespaceobjetlaiss volontairement pour lillustration.Crez neuf copies de cet original avec la commande RESEAU, choix des objets : faitesune fentre autour du format complet, type de rseau Rectangulaire, nombre de ranges1, nombre de colonnes 10, espace entre colonnes 0.3. Ajustez dans chaque fentredespaceobjetlavuesurchaqueprofilentravers(commandePANoramique).Pourslectionner une fentre, son contour doit tre visible.Il reste calculer la surface de dblai et de remblai dans chaque profil (commande AIREen accrochage permanent INTersection) et coter la position des points dentre en terreque lon relve parIdentification en espace objet local et dans un SCU local attach laxe du profil en travers. Les textes sont crits dans les plans Projet_1 et TN1.Lersultatpourleprofiln 1estreprsentlafigure10.20.Lesrenseignementsncessaires au calcul manuel figurent sur ce profil bien que les calculs des surfaces aientt raliss directement avec le logiciel de DAO.Fig. 10.19. : Prsentation du profil en traversPROFILS, CUBATURES 501Le tableau suivant donne les rsultats pour lensemble des profils.La figure 10.20. ci-dessous montre le profil en travers de dpart (profil n 1).Profil Dblai Remblai E. terre gauche E. terre droitem2m2abscisse altitude abscisse altitude1 13,03 0,00 6,24 111,03 6,07 110,692 11,36 0,00 6,24 110,52 5,96 109,97fictif 0,66 1,80 5,74 108,31 5,23 107,563 0,35 2,50 5,67 107,97 5,37 107,114 0,00 15,49 5,45 105,39 6,03 104,215 0,00 17,34 5,40 104,48 6,17 102,956 0,00 13,09 5,38 104,55 5,78 103,76fictif 0,85 0,27 5,73 106,34 5,05 105,987 3,23 0,00 5,81 106,78 5,68 106,518 22,58 0,00 6,56 109,82 6,55 109,789 11,38 0,00 -6,04 110,16 6,17 110,4210 10,15 0,00 5,86 110,26 6,26 111,07Fig. 10.20. : Profil entravers n1502PROFILS, CUBATURES 2.5 Calcul de cubaturesLe calcul de cubatures est un calcul dvaluation des volumes de terres dplacer pourlexcution dun projet. Il existe deux types de calcul suivant la forme gnrale du projettudi :q lecalculdesvolumes debouts pourlesprojetstendusensurface(stade,aro-ports, etc.) ;q le calcul des volumes couchs pour les projets linaires.Remarqueq Les calculs suivants ne prennent pas en compte le foisonnement des sols.q Les calculs de cubature sont trs importants dans lorganisation dun chantier de travaux publics : ils permettent daboutir aux pures de Lalanne qui optimisent lesmouvements et le choix des engins de chantier sur les chantiers linaires. 2.5.1 Calcul des volumes couchsPourcescalculs,ilfautconnatrechaqueprofilentraverslasurfacededblaietderemblai ainsi que la distance entre les profils, y compris les profils dits fictifs (voir 2.2). 2.5.1.1 Calcul approch par moyenne des airesLe volume V compris entre les profils 1 et 2(fig.10.21.)estunpolydrelimitparlesfacettes planes du terrain naturel et du projetdunepart,etparlessurfacesplanesverti-cales des profils en travers dautre part. OnpeutluiappliquerlaformuledestroisniveauxenconsidrantlesprofilsP1etP2parallles (voir tome 2, chap. 5, 7.2).SP1 et S P2 sont les surfaces des profils 1 et 2. S P est la surface dun profil intermdiairesitu mi-distance entre P1 et P2.Il est possible de calculer SP mais la prcision obtenue est illusoire puisquil ne faut pasoublier que le terrain nest pas rectiligne entre deux points levs. Les volumes rels sontdonc de toute faon diffrents. Il faut donc admettre que :Fig. 10.21. : Volume de remblaiVh6-- - SP1SP24SP+ + ( ) =SPSP1SP2+2---------------------- =PROFILS, CUBATURES 503Pour le calcul du volume total de cubature dun projet linaire, on peut utiliser une autreformedecetteformulequifaitintervenirladistancedapplicationdunprofilentravers. Considrons un volume discrtis en (n+1) profils :V1 = h1.(S0 + S1 ) / 2 V2 = h2.(S1 + S2 ) / 2 . ... etc.Vn = hn.(Sn-1 + Sn ) / 2.En sommant ces volumes et en mettant en facteur les surfaces et non plus les hauteurs,on obtient :VT = h1.S0/ 2 + S1.( h1 + h2 ) / 2 + ... etc. + hn.Sn / 2.En appelant entre-profils la demi-distance sparant deux profils successifs, on admetquelevolumeengendrparunprofilestleproduitdesasurfaceparlamoyennedesentre-profilsquilencadrent.Celapermetdassocierunvolumedecubaturechaqueprofil en travers et de linscrire sur son graphique.Lapriseencomptedunprofilfictifpeuttrefaitesimplementenrajoutantdansletableau de calcul un profil de surface nulle. Un calcul plus prcis ncessite de dterminerles surfaces de remblai et de dblai au niveau du profil fictif (voir lexemple ci-aprs). Uncalcul exact ncessiterait de calculer la position, en abscisse curviligne, du point depassage de remblai dblai et de dblai remblai. partirdesvaleursdelexer-ciceduparagraphe2.4ontrouve :Dblais 2 923 m3Remblais 2 376 m3Diffrence 546 m3Lesremblaisetlesdblaisnesontpastoutfaitquilibrscarilfauttenircomptedufaitque le terrain travers nest pasen pente uniforme et constantedun profil en travers lautre.La formule des trois niveaux devient alors :Le volume total est alors le suivant :Donc : V hSP1SP2+2---------------------- =VT12--- hii 1 =i n =Si 1 Si+ ( ) =VTS0h12----- Snhn2----- S1i 1 =n 1 hihi 1 ++2--------------------- + + =Profil Dblai Remblai Entre-profilsm2m2m1 13,03 0,00 25,052 11,36 0,00 45,65fictif 0,66 1,80 25,103 0,35 2,50 29,814 0,00 15,49 50,455 0,00 17,34 50,306 0,00 13,09 45,56fictif 0,85 0,27 25,207 3,23 0,00 29,608 22,58 0,00 50,059 11,38 0,00 49,2510 10,15 0,00 24,00Application504PROFILS, CUBATURESEn ralit, le problme nest pas seulement dquilibrer remblais et dblais ; on doitaussi tenir compte de la nature des dblais pour une ventuelle utilisation en remblaisainsi que des distances parcourir pour dplacer les terres.Il faudrait recommencer une tude en remontant la ligne de partage dfinie graphique-ment au paragraphe 2.4. Une srie de calculs informatiques (ADTOPO + AutoCAD)indique une galit 2 600 m3 pour un point de dpart du projet situ une altitude de109,9 m. 2.5.1.2 Cas particuliers des virages forte courbureDans la formule des trois niveaux, lesprofilsentraverssontsuppossparalllesentreeux.Cenestpaslecasdansunviragelorsquelerayondecourbureestfaible.Silonchercheamliorerlaprcisionducalculcetendroit,ilfaututiliserponctuellementunautremodedecalcul. Deux solutions possibles :q silerayondecourbureestsuffi-sammentgrand,onrajoutedespro-fils en travers sur la partie courbe ;q silerayondecourbureesttrspetit,lesentre-profilsnesontpluscalculs suivant laxe de la chaussemaisentrelescentresdegravit(CDG) des surfaces en dblai, dunepart,etenremblaidautrepart(fig.10.22.).Parexemple,lapositionenabscisseducentredegravitdessurfacesderemblai et de dblai sont dterminessur le profil P2 et sur le profil P3. OntrouveauprofilP2unedistancede5,95 m du centre de gravit de la sur-facederemblaijusqulaxeduprojet et 6,01 m au profil P3.OnconnatlalongueurdveloppeLa du raccordement circulaire laxedu projet ; on en dduit une longueurFig. 10.22. : Virage forte courbureFig. 10.23. : Virage forte courburePROFILS, CUBATURES 505moyenne Lm de larc de cercle joignant les centres de gravit des surfaces de remblai (fig.10.23.) laide de la formule suivante :.Cette longueur est utilise dans le calcul des entre-profils. Le mme calcul est effectupour les surfaces en dblai.Si,enpleinecourbe,leprofilpassede profilenremblai ou profilendblai profil mixte , il faut dterminer la position du point de changement sur larc de cercle.valuez lerreur commise sur le calcul du volume situ entre ces deux profils (P2 et P3,fig. 10.23.) si lon admet que les surfaces de remblai et de dblai sont identiques en P2etenP3(30,8m2).Lerayondecourbureestde50 mcetendroit,lalongueurdveloppe laxe est de 62,83 m. Le calcul du volume entre P2 et P3 peut tre effectu de deux manires :q sans tenir compte de la courbureVdblai = 62,83 . (30,8 + 30,8) / 2 = 1 935 m3; Vremblai = 1 169 m3;q en tenant compte de la courbureVdblai = 53,62 . 30,8 = 1 651 m3; Vremblai = 70,34 . 18,6 = 1 308 m3.Soit des carts de lordre de 11 17 %. 2.5.1.3 Calcul exactCecalculpardcompositionenvolumeslmentairesestdtailldansletome2,auparagraphe 7.4 du chapitre 5. 2.5.2 Calcul des volumes debouts 2.5.2.1 Plate-forme sans calcul de talusLeterrainnaturelestdcoupparunmaillage:lamailledebaseestgnrale-ment un carr dont la longueur du ct estfonction de la dclivit du terrain et de laprcisioncherche.Laltitudedechaquesommetdumaillageestdterminesurplan par interpolation partir des courbesde niveau ou sur le terrain par nivellement.LmRemblaisLaR------5 95 6 01 , + ,2---------------------------- R + =ApplicationRponseFig. 10.25. : Implantation de plate-forme506PROFILS, CUBATURESDans le cas ou lon peut ngliger le volume de terrassement d aux talus (grande surfaceetfaiblehauteurdeterrassement),levolumetotal(fig.10.25.)dlimitparlaplate-forme, le terrain naturel et les plans verticaux issus du contour du terrain est dcoup envolumes lmentaires qui sont des prismes de section rectangulaire (fig. 10.26.).Lecalculduvolumedelensembledesdeuxprismesseffectue ainsi :q si lon admet que les faces infrieures et suprieures desdeux prismes sont planes, le volume de lensemble des deuxprismes peut sexprimer de deux manires diffrentes :donc, pour une maille :;qle volume de lensemble des prismes (pris deux deux) peut donc sexprimer ainsi :On note h la diffrence daltitude (ou hauteur) entre la plate-forme et le terrain naturel.Lindice 1 de h1 indique une hauteur appartenant un seul carr du maillage, lindice 2de h2 une hauteur appartenant deux carrs, etc.Par exemple, sur la figure 10.25., il y a cinq hauteurs h qui appartiennent un seul carr,vingt hauteurs appartenant deux carrs, une hauteur appartenant trois carrs et vingthauteurs appartenant quatre carrs du maillage (trente-quatre, carrs soit quarante-sixhauteurs au total). S est la surface totale de la maille de base.Cette mthode de calcul prsente lavantage de la simplicit et de la rapidit par compa-raison avec la mthode des volumes couchs. Le nouveau calcul des volumes de dblaiet remblai aprs modification de la hauteur de la plate-forme est plus rapide quavec lamthode profils en long et en travers ; cela permet dquilibrer en quelques calculs lesvolumes de terre dblayer et remblayer en faisant voluer laltitude de la plate-forme.Fig. 10.26. : Deux prismes accolsV1ab2------h h h h + + + ( )3-----------------------------------------------h h h + + ( )3-------------------------------- + = ab6------ 2h 2h h h + + + ( ) =V2ab2------h h h + + ( )3-------------------------------------h h h + + ( )3--------------------------------- +ab6------ 2h 2h h h + + + ( ) = =V1V2+2------------------ab4------ h h h + h + + ( ) = =VTS4--- 1 h12 h23 h34 h4+ + + =PROFILS, CUBATURES 507Lecalcul informatique estdautantplusindiqudanscecasquil conduit encoreplusrapidementaursultat,conditiondavoirunediscrtisationduterrainnaturelsousforme de semis de points ou de maillage rgulier.Il faut noter que la formule prcdente est aussi valable pour une surface de base en formede paralllogramme. 2.5.2.2 Plate-forme avec calcul des talusEn fait, dans le cas gnral, il faut tenir compte des pentes de talus de remblai et de dblaiqui engendrent des volumes non ngligeables, surtout si le terrain est trs accident ouen forte pente. Il faut donc dterminer les volumes des terres provenant des talus (commepourunprojetlinaire)etcalculerlespointsdentreenterre.Leslogicielsdecalcultopographiquesetcertainslogicielsadaptsauxprojetsdetravauxpublicspermettentdautomatiser ces calculs (voir sur la figure 10.30. le rsultat du calcul de lexemple ci-aprsobtenuaveclelogicielADTOPO).LelogicielMicro-Piste,duSETRA,oulelogiciel MOSS permettent deffectuer des calculs similaires.Pour comprendre le principe du calcul, nous allons voir avec un exemple comment onpeut construire graphiquement les points dentre en terre des talus sur une pure (fig.10.27.). Le principe est comparable celui du paragraphe 2.3, ceci prs que loprateurconstruit les profils en travers dans les deux directions du maillage : en effet, il ny a pasde direction privilgie comme dans un projet linaire.Explication partir dun exempleLes donnes du projet sont les coordonnes locales et altitudes des sommets du maillagedu terrain naturel. Elles sont donnes dans le tableau suivant.N x (m) y (m) z (m) N x (m) y (m) z (m) N x (m) y (m) z (m)60 96,44 152,41 152,30 72 120,16 121,77 141,00 84 150,66 77,99 121,1061 120,16 152,41 142,40 73 96,44 121,77 149,70 85 137,11 77,99 128,9062 137,11 152,41 134,00 74 204,88 99,88 111,40 86 120,16 77,99 138,0063 150,66 152,41 127,30 75 181,16 99,88 114,60 87 96,44 77,99 146,8064 164,22 152,41 122,90 76 164,22 99,88 118,00 88 204,88 47,35 104,6065 181,16 152,41 119,70 77 150,66 99,88 123,00 89 181,16 47,35 108,9066 204,88 152,41 116,70 78 137,11 99,88 130,90 90 164,22 47,35 112,7067 204,88 121,77 113,40 79 120,16 99,88 139,90 91 150,66 47,35 117,5068 181,16 121,77 116,60 80 96,44 99,88 148,30 92 137,11 47,35 124,9069 164,22 121,77 119,80 81 204,88 77,99 109,00 93 120,16 47,35 134,1070 150,66 121,77 124,60 82 181,16 77,99 112,50 94 96,44 47,35 144,3071 137,11 121,77 132,10 83 164,22 77,99 116,10508PROFILS, CUBATURESLa plate-forme installer est de base rectangulaire et doit se situer laltitude 118 m. Sesdimensionssontde50m25 metlescoordonnesdupointinfrieurgauchesont(141,54 ; 87,66). Les pentes des talus de remblai et de dblai sont de 1/1.La figure 10.27. reprsente lpure de construction des lignes dentre en terre : ce sontles droites dintersection entre les plans inclins du talus et le terrain naturel. En parallleavec la vue en plan, on construit deux vues en lvation du terrain naturel et de la plate-forme, soit une vue pour chaque direction du maillage. Pour exagrer le relief du terrainnaturel,leschellespeuventtrediffrentesenabscisseetenordonnesurchaquegraphique en lvation.Attention : si les chelles en abscisse et en ordonne sont diffrentes, veillez multiplierles pentes de talus par le mme facteur dchelle (rapport de lchelle en z par lchelleen x) de manire conserver la pente relle des talus par rapport au terrain naturel.On reporte ensuite sur la vue en plan les points dintersection du terrain naturel avec lestalus de la plate-forme : cela donne les points dentre en terre et la ligne de sparationentre remblai et dblai.Fig. 10.27. : pure des entres en terre dune plate-formePROFILS, CUBATURES 509Ces constructions peuvent tre effectues sur DAO : on y travaille directementen trois dimensions.Surlafigure10.27.,toutesleslignesdentreenterresontconstruites.Enfait, certaines sont inutiles puisquellesvonttroploindansleterrainnatureldans les angles de la plate-forme (voirfigure10.28.leslignesdentreenterre dfinitives traces en considrantquelesanglessontdfinispardesplans inclins selon la mme pente queles autres faces des talus). En pratique,lesanglesnesontpasrellementtaills :ilssontunejonctionentrelestalus des cts de la plate-forme. Pourlecalculthorique,silonveutcon-serverlapentedestalusdansceszones,onpeutconstruirecesanglescomme sur la figure 10.28. On obtientalorsdanslesanglesdesvolumesdeterre qui sont des pyramides dont deux faces sont verticales, une face incline suivant lapentedetalutage,ici1/1,etunefacesuprieureappartenantauterrainnaturel,parexemple le volume dont la projection horizontale donne les points 1, 5 et 6.On peut alors relever sur le graphique la position des points dentre en terre en planim-trie pour une implantationultrieure. Leur altitudeestcalcule par interpolation soit partir des courbes de niveau, soit directement partir des sommets du maillage.RsultatsLe tableau suivant donne les coordonnes des points dentre en terre de la plate-forme.N x (m) y (m) z (m) N x (m) y (m) z (m) N x (m) y (m) z (m)1 141,54 112,66 128,70 12 195,78 112,66 114,60 23 141,54 99,88 128,402 191,54 112,66 114,40 13 197,09 99,88 112,50 24 150,66 99,88 123,003 141,54 87,66 127,20 14 198,60 87,66 111,20 25 164,22 99,88 118,004 191,54 87,66 112,30 15 191,54 80,91 111,40 26 181,16 99,88 114,605 118,33 112,66 141,21 16 181,16 82,60 112,90 27 191,54 99,88 113,206 141,54 124,47 129,80 17 164,22 86,50 116,80 28 150,66 112,66 124,907 150,66 119,06 124,70 18 161,11 87,66 118,00 29 164,22 112,66 119,008 164,22 113,81 120,00 19 150,66 84,03 121,60 30 181,16 112,66 115,809 169,58 312,66 118,00 20 141,54 79,23 126,40 31 150,66 87,66 121,9010 181,16 114,71 116,00 21 121,57 87,66 138,00 32 164,22 87,66 118,0011 191,54 115,99 114,70 22 119,35 99,88 139,10 33 181,16 87,66 113,40Fig. 10.28. : Entres en terre et talus510PROFILS, CUBATURESCalcul des cubatures de cette plate-formeIl y a deux possibilits pour calculer ce volume.1 - Calcul exact , en dcomposant le volume en volumes lmentaires partir descoordonnesx,yet zde chaque pointdentreen terreainsiquedes pointsduterrainnaturelsitus laverticale de la plate-forme(points1, 2,3, 4 et 23 33 surla figure10.28.), les sommets du maillage tant dj connus. On affecte dun signe prime ( ) lespoints projets sur la plate-forme, par exemple (1 ) la verticale de (1).Par exemple (fig. 10.28.), le volume qui se projette sur la plate-forme en 23, 24, 3 et 31est constitu de deux prismes et se calculecomme indiqu au paragraphe 2.5.2.1 :V3-23-24-31 = 12,22 . 9,12 . (9,2 + 10,4 + 5 + 3,9) / 4 = 794,1 m3.Levolumequi se projettesur leterrain naturel en 1, 5, 22 et23est dlimit pardeuxtriangles verticaux dont on peut calculer la surface ainsi :q triangle 1-1-5 : surface 124,2 m2q triangle 23-23-22 : surface 115,4 m2Le volume approch est :V1-5-22-23 = 12,78 . (124.2 + 115,4) /2 =1 531 m3.Levolumequiseprojettesurleterrainnaturelen1,5et6estunepyramidebasetriangulaire (triangle 1-1-6 de surface 63,2 m2) et de hauteur 23,21 m. Son volume secalcule ainsi :V1-6-5 = 63,2 . 23,2 / 3 = 488,7 m3. Et ainsi de suite. Le volume complet peut tre calcul en utilisant les trois types de calculprcdents.Vrifiez laprcisionobtenuetantinutiletantdonnelamodlisationapproche du terrain que les volumes totaux sont : Vdblai 7 045 m3, Vremblai 2 430 m3.2-Calculendcoupantlevolumecherchentrancheshorizontales.Cestlemodedecalculdecertainslogiciels,parexemple ADTOPO : cest le plussimpleetleplusrapidedanslecadre dun travail manuel. Sur lammepure(fig.10.27.),cons-truisezleslignesdintersectionentredesplans horizontauxrgulirementespacsetlestalus.Celarevientajouterdeslignesdeniveausurleterrainnaturelaprsexcavationdesterres. Fig. 10.29. : Calcul de cubaturesPROFILS, CUBATURES 511Lespacemententrecestranchesdpenddelaprcisiondsire.Parexemple,surlafigure 10.29., les tranches sont espaces de 5 m, ce qui correspond aux courbes de niveaudu terrain naturel dont on dispose dj puisquelles ont t traces partir du maillage.On calcule ensuite la surface dlimite par ces courbes de niveau ; on peut la mesurerdirectementsurlpureavecunplanimtresurpapierouaveclacommandeAIREdAutoCAD.Enappliquantlaformuledelamoyennedesairesvueauparagraphe2.5.1.1, on en dduit le volume total.Par exemple, calculons le volume de dblais compris entre les deux surfaces suivantes :q surface de niveau 118 m : 6-7-8-10-9-6 (portion de la plate-forme), S = 585 m2q surface de niveau 123 m : 1-2-3-4-5-11-1, S = 533 m2Remarquez que, sur la ligne 5-11, on suit la courbe de niveau du terrain naturel.Le volume compris entre ces deux surfaces parallles distantes de 5 m est :V = 5.(533 + 585) / 2.Le calcul complet demande beaucoup de temps pour arriver ce rsultat sans erreur. Lecalcul informatique est donc trs indiqu. Le tableau suivant rsume les rsultats.Ci-aprs (fig. 10.30.) est donn le rsultat du mme calcul effectu en quelques minutessur ADTOPO. Le rsultat fournit par le logiciel est le suivant :volume de dblais..6 860 m3,volume de remblais2 104 m3.On constate sur la vue en trois dimensions (fig. 10.30.) que la modlisation des talus dansles angles est lgrement diffrente de celle choisie dans la rsolution manuelle.Lerreur commise par rapport au calcul exact est de lordre de 3 % en dblai ce quiest dautant plus acceptable que le terrain naturel choisi est trs dfavorable puisquenDblais Remblaisz (m) S (m2) h (m) V (m3) z (m) S (m2) h (m) V (m3)118 585 118 6645 2 795 5 1 943123 533 113 1135 2 195 1.8 102128 345 111,20 05 1 303133 1765 503138 252.3 29140,30 06 825 2 045512PROFILS, CUBATURESforte pente. En remblai, lcart est de 13 % ce qui peut sexpliquer par le fait que la partieenremblaiestinsuffisammentdiscrtise :ilnyapasassezdecourbesdeniveau,lecalcul est donc moins prcis.Attention !lesrsultatsfournisparADTOPOpeuventtretrsdiffrentssuivantlamodlisa-tion choisie et le type de terrainnaturel. Il convient donc de vri-fierlesrsultatsparplusieurscalculsfaisantintervenirdesmodlisations diffrentes du ter-rain naturel. On peut aussi jouersurdesparamtrestelsquellancement des facettes du ter-rainou la densitdudcoupagepourlecalculdesvolumesdedblai et remblai. 2.5.3 Dcoupage suivant les courbes de niveauLa mthode de calcul aborde dans lexercice prcdent sapplique aussi directement auxcourbesdeniveaupourvaluerparexemplelacapacitdunrservoirnaturel(fig. 10.31.).On suppose toujours que le terrain est linaire entre deux courbes de niveau. Les surfacesdlimitesparcescourbestanthorizontalesetdoncparalllesentreelles,onpeutappliquer la formule des trois niveaux (Simpson, voir tome 2, chap. 5, 7.1) pour obtenirle volume compris entre trois courbes conscutives. Si le terrain est en pente rgulire,on lapplique dans sa forme simplifie, cest--dire que le volume est gal la moyennedes surfaces qui le dlimitent multipli par la distance entre ces surfaces (cest le cas dutableau de calcul suivant). La courbe de niveau 365 m a t ajoute par interpolation partir des courbes 360 m et 370 m pour tenir compte de lirrgularit du terrain naturelentre ces deux courbes de niveau.Calculer le volume de la retenue deau cre par le barrage de la figure 10.31. si lonadmetqueleaunedoitpasdpasserlacote400m.Lefonddevalleestestimlaltitude 324 m.Fig. 10.30. : Implantation de la plate-forme en 3DApplicationPROFILS, CUBATURES 513Le tableau suivant dtaille les calculs de volume.z (m) S (m2) h (m) V (m3) z (m) S (m2) h (m) V (m3)400 6 354 069 365 2 130 21510 56 604 605 5 9 224 678390 4 966 852 360 1 559 65610 44 242 610 10 10 905 645380 3 881 670 350 621 47310 33 786 435 10 4 653 175370 2 875 617 340 309 1625 12 514 580 10 2 044 580365 2 130 215 330 99 7546 299 262Fond de 0bassin : Total : 174 275 570Fig. 10.31. : Exercice de calcul de volume dune retenue deau514PROFILS, CUBATURESSi lon ne tient pas compte de lirrgularit entre les courbes 360 m et 370 m, on obtientun volume de 174 712 677 m3, soit 0,2 % dcart : on peut donc la ngliger.Si on calcule le volume en appliquant la formule de Simpson, on obtient :.Rsultat : Vtotal = 173 699 430 m3, soit un cart de 0,3 % par rapport au calcul prcdent.RemarqueOn considre dans ce dernier calcul que le fond de valle est laltitude 320 m (erreurngligeable).RponseVtotal103------ S400S3244S390S370S350S330+ + + ( ) 2S380S360S340+ + ( ) + + + [ ] =