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Func oesLimites

ContinuidadeDerivada

Aplicac oes da DerivadaIntegrais

Aplicac oes da IntegralEquac oes Diferenciais

Semana da Matematica Integrada: FUNCOES

Profa. Elaine C. C. Poletti

DMBC/FT/UNICAMP

26 de fevereiro de 2015

Semana da Matem atica Integrada

Func oesLimites




Como surgem as func oes?Definic aoRepresentac ao de func aoExercıciosMais sobre Func oesOperac oes entre Func oesTipos de Func oesFunc ao InversaFunc ao Par e Impar

Funcoes

As funcoes surgem essencialmente quando uma quantidade depende deoutra.

E uma relacao de dependencia entre elementos de dois conjuntos quaisquer.


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Que tipo de relacao se estabelece como funcao?

Definic ao

Uma funcao matematica e uma relacao (entre dois conjuntos) que associa, acada elemento de partida, denominado domınio , um unico elemento de umconjunto de chegada, denominado contra-domınio .

Os elementos do conjunto contra-domınio que sao imagem de algumelemento do domınio constituem o conjunto imagem da funcao.


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Exemplos de Funcoes

1 O volume V de uma esfera depende de seu raio r . A lei que representaesta relacao e dada por:

V = V (r) =43π.r 3

.Ou seja, para cada raio r > 0, existe um unico volume de esfera Vassociado. Dizemos que V e funcao de r ;

2 O Custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w .Embora nao haja uma formula simples conectando w a C, o correiotem uma formula que permite calcular o custo, tendo o peso dacorrespondencia, Desta forma o custo C e dado por:

C = C(w)


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Exemplos de Funcoes

Sabendo que a populacao mundial depende do tempo t , observamosna tabela abaixo que P(1940) = 2.300.000.000 e ainda, a medida quepassa o tempo, muda a populacao mundial.

Ano Pop. (milhoes)

1900 16501920 18601940 23001960 30201980 4450


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Exemplos de Funcoes

A quantidade de poluente num rio depende de varios fatores, dentreeles o tempo e o espaco. Em domınio regular, um exemplo deconcentracao de poluentes c(x , y , t) e representada por:


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Exemplos de Funcoes

A disseminacao de um vırus ou uma doenca tambem pode ser, muitasvezes representada por uma funcao. Segue exemplo de dispersao daDengue na cidade de Campinas.


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Importante

Funcao × Relacao

Nem toda relacao entre conjuntos e uma funcao.

Nao pode sobrar elementos do domınio de f . Ex: os numeros Inteiros Z

nao pode ser domınio de um fenomeno que se desenvolve em funcaodo tempo.

Um elemento do domınio de f nao pode ter duas ou mais imagens(teste da vertical). Ex: Um corpo nao ocupa duas posicoes ao mesmotempo;

Entretanto, varios elementos do domınio de f podem ter a mesmaimagem. Ex: funcao constante.


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Diagramas


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Formas de representar uma funcao

Uma funcao pode ser representada de varias formas: diagramas,expressoes matematicas, graficos, expressoes verbais, dentre outras.

A expressao matematica e o grafico sao as formas mais utilizadas no estudomatematico.

A notacao matematica para uma funcao de domınio A e contradomınio B edada por:

f : A → B

y = f (x)


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Funcoes

Exemplo: Em f : A → B dada pelo diagrama.

O conjunto em amarelo A e o domınio de f ; o conjunto em laranja B e ocontradomınio de f e em conjunto azul e o conjunto imagem de f .


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Funcoes

Exemplo: Em f : A → B dada por f (x) = x2 − 2x + 1.

O eixo-x e o domınio de f . O eixo-y o contradomınio de f e o semi eixopositivo de y e o conjunto imagem de f .


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O domınio da funcao

Qual a importancia do domınio de uma funcao?

Reconhecer para quais valores de x a funcao faz sentido.

1 No calculo de volume de uma esfera V = 43πr 3, o raio e a variavel

independente que deve ser, necessariamente, positiva. Nao temsentido uma esfera de raio (e consequentemente volume) negativo.Neste caso, dizemos que DV = R

+.

2 Para f (x) = 1x , temos que x nao pode ser zero. Entao dizemos que

Df = R∗ ou Df = {x ∈ R|x 6= 0}


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Grafico de FuncoesO grafico e a forma mais comum de representacao, analise e visualizacao deum comportamento de funcao.Se f : A → B e uma funcao. Seu grafico e o conjunto de pares ordenados{(x , f (x)) |x ∈ A}.

Ou seja, grafico e um conjunto de pontos (x , y) do plano de coordenadastais que y = f (x), com x no domınio.


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Grafico de Funcoes

Nem todo grafico, e grafico de funcao. Para tanto existe o teste da vertical.

Se o grafico representa uma funcao, entao uma reta vertical atraves dequalquer ponto do eixo horizontal pode ser interceptar o grafico somenteuma vez.


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Exercıcios - Funcoes

Exercıcio 1.

O grafico abaixo representa o numero de pessoas infectadas por um virusem funcao do tempo (horas). Determine aproximadamente f (100) e f (500),determine o domınio e a variacao de f .


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Exercıcios - Funcoes

Exercıcio 2.

Esboce o grafico das funcoes f e g e encontre o domınio e a variacao decada uma: f (x) = 2x − 1 e g(x) = x2

Exercıcio 3.

Esboce o grafico da temperatura T (graus Celsius) em funcao do tempo t(horas) sendo conhecida a tabela:

t 0 2 4 6 8 10T 58 56 54 52 50 48

Assumindo um comportamento uniforme, estime a temperatura das 9 horas.


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Funcoes Definidas por Partes

Exercıcio 4.

Calcule f (0), f (1) e f (2) e esboce o grafico de:

f (x) ={

1 − x se x ≤ 1x2 se x > 1

Exercıcio 5.

Esboce o grafico de f (x) = |x |


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Funcoes Definidas por Partes

Exercıcio 6.

Encontre uma formula para a funcao f cujo grafico e dado por:

Dica: Equacao da reta y − y0 = m(x − x0) onde m = y1−y0x1−x0

.


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Operacoes entre Funcoes


Sendo fe g funcoes definimos:

1 (f + g) (x) = f (x) + g(x), domınio A ∩ B

2 (f − g) (x) = f (x)− g(x), domınio A ∩ B

3 (f .g) (x) = f (x).g(x), domınio A ∩ B

4(

fg

)

(x) = f (x)g(x) , domınio x ∈ A ∩ B com g(x) 6= 0

5 (f ◦ g) (x) = f (g(x))


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Exercıcio 7.

Se f (x) =√

5 − x e g(x) =√

x − 3 desenvolva e discuta o domınio:

1 (f + g) (x)

2 (f − g) (x)

3 (f .g) (x)

4(

fg

)

(x)

5 (f ◦ g) (x)


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Tipos de Funcoes

Funcao linear

Uma funcao dita linear e do tipo f (x) = mx + b, onde m e a inclinacao dareta e b e o intercepto do eixo-y.

Exercıcio 8.

A medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se atemperatura do solo e de 20oC e a temperatura a uma altura de 1km for de10oC. Expresse a temperatura como uma funcao da altura. Faca um graficoda funcao e determine a temperatura a 2, 5km de altura.


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Tipos de Funcoes

Funcao Polinomial

Uma funcao dita polinomial e do tipo f (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0

onde n e um inteiro nao negativo e os valores ai sao constantes chamadascoeficientes do polinomio.


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Tipos de Funcoes

Exemplos de Funcoes Polinomiais


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Tipos de Funcoes

Funcoes Potencias

Uma funcao da forma f (x) = xa, com a constante, e chamada funcaopotencia.

Exercıcio 9.

Esboce no mesmo eixo os graficos de f (x) = x , g(x) = x2, h(x) = x3,r(x) = x4, m(x) = x5.

Exercıcio 10.

Esboce no mesmo eixo os graficos de f (x) =√

x e g(x) = 3√

x .


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Tipos de Funcoes

Funcoes Racionais

Uma funcao racional f e expressa em termos de:

f (x) =P(x)Q(x)

onde P e Q sao polinomios e o domınio de f consiste nos valores tais queQ(x) 6= 0.

Exemplo f (x) = 2x4−x2+1x2−4

onde x 6= {2,−2}.


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Tipos de Funcoes

Funcoes Algebricas

Uma funcao algebrica f e dada pela mistura de operacoes algebricas.

Exemplo f (x) =√

x−1x2−1

com x 6= {1,−1}.


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Tipos de Funcoes

Funcoes Trigonometricas

Exemplo f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x)


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Tipos de Funcoes

Funcoes Exponenciais

Se f : R → R+ tal que f (x) = ax . Se 0 < a < 1, f e decrescente, se a = 1, f

e constante e se a > 1, f e crescente.Exemplo: f (x) = 2x


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Propriedades de Exponenciais

Propriedades Exponenciais

Se a, b > 0 e x , y ∈ R, temos.

1 ax+y = ax .ay

2 ax−y = ax

ay

3 (ax)y = axy

4 (ab)x = ax bx

5 a−n = 1an

6 apq = q

√ap


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Tipos de Funcoes

Funcoes Logarıtmicas

Se a > 0 e a 6= 1, a funcao exponencial f (x) = ax possui inversa. Suainversa e chamada funcao logarıtmica com base a. Logo f : R+ → R tal quef (x) = loga(x).

Exemplo: f (x) = log(x)


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Propriedades de Logarıtmo

Propriedades Logarıtmicas

Se a > 0 e a 6= 1, loga(x) = y ⇔ ay = x .

1 loga(ax) = x

2 aloga(x) = x

3 loga(xy) = loga(x) + loga(y)

4 loga

(xy

)

= loga(x)− loga(y)

5 loga(x r ) = r .loga(x)

6 loge(x) = ln(x)

7 ln(x) = y ⇔ ey = x

8 ln(ex) = x e eln(x) = x


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Funcao Inversa

Observacao.

Sera que todas as funcoes tem inversas?

Nao!!!

Toda funcao Bijetora tem inversa!


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Funcao Inversa

Funcao Bijetora.

Uma funcao e dita bijetora se ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo;

f : A → B e injetora se x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2), ∀x1, x2 ∈ A.

f : A → B e sobrejetora se ∀y ∈ B, ∃! x ∈ A tal que f (x) = y .


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Funcao Inversa

Exemplo.

A funcao constante f (x) = 2 nao e injetora , pois se tomarmos x1 6= x2 talcomo x1 = 0 e x2 = 1 teremos f (x1) = f (0) = 2 e f (x2) = f (1) = 2 ou sejaNAO atentemos a definicao que x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).

Exemplo.

A funcao f (x) = x2 nao e sobrejetora , pois se tomarmos y = 4 veremos queeste valor e imagem de x = 2 e x = −2, ou seja, NAO atendemos adefinicao que exige que existe um unico valor de x com a imagem indicada.


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Funcao Inversa

Exercıcio 11.

Verifique se as funcoes abaixo sao: Injetora, Sobrejetora, Bijetora ou nemInjetora nem Sobrejetora.

1 f : Z → Z tal que:f (x) = 4x − 1

2 f : R → B tal que:

f (x) ={

1 + x se x ≥ 12 se x < 1

3 f : N → N que associa a cada numero seu sucessor.


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Funcao Inversa

Definicao.

Seja f : A → B uma funcao. Se para cada y ∈ B, existir um x ∈ A tal quey = f (x), entao podemos definir f−1 : B → A tal que x = f−1(y) e tal funcaof−1 e denominada funcao inversa de f .


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Funcao Inversa

Graficamente

Uma funcao possui inversa se qualquer reta pararela ao eixo-x interceptar ografico em apenas um ponto.

Importante: O grafico de f−1 e simetrico ao grafico de f , em relacao aoeixo-x.


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Funcao Inversa

Exemplo 1.

Se f : R → R e dada por y = 2x − 5 tem por funcao inversa f−1 : R → R afuncao f−1(y) = y+5

2

Exemplo 2.

Se f : R− 3 → R−−1 e dada por y = x−13−x admite funcao inversa f−1.

Entao: f−1R−−1 → R− 3 de modo que f−1(y) = 1+3y

y+1


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Funcao Par e Impar

Definicao.

Dizemos que uma funcao f e par se f (−x) = f (x). Graficamente ografico de f e simetrico em relacao ao eixo-y.

Dizemos que uma funcao f e ımpar se f (−x) = −f (x). Graficamente ografico de f e simetrico em relacao a origem.

Algumas funcoes sao ditas nao par nem ımpar.


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Funcao Par e Impar

Exercıcio 12.

Verifique se as funcoes abaixo sao: Par, Impar ou nem Par nem Impar.

1 f (x) = cos(x)

2 f (x) = sen(x)

3 f (x) = ex

4 f (x) = x3 + 1

5 f9x) = (x + 1)2


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Limites FundamentaisRegra de L’Hospital

Limites


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Limites Fundamentais

Alguns limites sao conhecidos como limites fundamentais. Sao eles:

limx→0sen(x)

x= 1

limx→±∞

(

1 +1x

)x

= e

limx→0ax − 1

x= ln(a); a > 0


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Teorema do Sanduiche - teorema do Confronto

Teorema do Sanduiche

Pelo teorema sabemos que se f , g e h sao funcoes de A ⊆ R → R tais quef (x) ≤ g(x) ≤ h(x) e limx→af (x) = b = limx→ah(x) entao limx→ag(x) = b.Desta forma: consideremos o limx→0

sen(x)x .


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Primeiro Limite Fundamental

limx→0sen(x)

x

Considere um cırculo unitario e um angulo x com 0 ≤ x ≤ π

2 .

A area do triangulo AOC e 1.sen(x)2 . A area do triangulo AOB e 1.tg(x)

2 . A areado setor circular e de uma proporcao x

2π radianos da area da circunferenciaπr 2 = π12 = π. Logo x

2π = x2 .


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limx→0sen(x)

x

Desta forma temos:sen(x)

2≤ x

2≤ tg(x)

2Multiplicando tudo por dois, temos:

sen(x) ≤ x ≤ tg(x)

Dividindo tudo por sen(x), fica:

1 ≤ xsen(x)

≤ tg(x)sen(x)

= 1 ≤ xsen(x)

≤ 1cos(x)

Daı:


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limx→0sen(x)

x

Tomando o inverso desta inequacao, temos:

1 ≥ sen(x)x

≥ cos(x) ⇒ cos(x) ≤ sen(x)x

≤ 1

Quando x → 0, temos: limx→0cos(x) ≤ limx→0sen(x)

x ≤ limx→01.Pelo teorema do confronto limx→0

sen(x)x = 1


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Exercıcios.


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Segundo Limite Fundamental

limx→±∞(1 + 1

x

)x

Para o entendimento deste limite sao necessarios conceitos de seriesnumericas, portanto a demosntracao deste limite podera ser abordadooportunamente e

limx→±∞

(

1 +1x

)x

= e


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Segundo Limite Fundamental

Exercıcios.


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Terceiro Limite Fundamental

limx→0ax−1

x , a ∈ R, a 6= 1

Suponha t = ax − 1 ⇒ ax = t + 1. Aplicando o logaritmo neperiano deambos os lados, temos:

ln(ax) = ln(t + 1) ⇒ xln(a) = ln(t + 1) ⇒ x =ln(t + 1)

ln(a)

Daı, verifica-se que se x → 0, x 6= 0, entao t → 0, t 6= 0. Entao:

limx→0ax − 1

x= limt→0

tln(t+1)

ln(a)

= ln(a)

(

limt→01

ln(t+1)t

)

= ln(a)


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Terceiro Limite Fundamental

Exercıcios.


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Regra de L’Hospital


Utilizamos a regra de L’Hospital para a determinacao de limites comindeterminacao matematica da forma 0

0 e ∞∞ .

Teorema. Regras de L’Hospital Se limx→af (x)g(x) tem uma forma

indeterminada 00 ou ∞

∞ entao:

limx→af (x)g(x)

= limx→af ′(x)g′(x)

caso este ultimo limite exista.O mesmo vale se a for substituıdo por a+ ou a−, ou ainda, se a = ∞ oua = −∞.


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Exercıcios.

Determine

1 limx→0sen(x)

x

2 limx→0ax−1

x

3 limx→03x2−2x

x

4 limx→0x−sen(x)

x3


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Continuidade


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Derivada


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Aplicacoes da Derivada


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Integrais


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Aplicacoes da Integral


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Noc oes PreliminaresSoluc ao de Uma EDOResoluc ao de Equac oes DiferenciaisEquac oes Diferenciais Linear de Primeira OrdemEquac oes Diferenciais de Segunda OrdemS.L.H.E.D. de Primeira Ordem com Coeficientes Constantes

Nocoes Preliminares

Definicao.

Uma equacao dita diferencial e uma equacao matematica que envolvederivadas de uma funcao desconhecida y(t).

O objetivo de se resolver a equacao diferencial e descobrir esta funcao.


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Nocoes Preliminares

Exemplos.

1 y ′ = 2t + 1, ou seja, dydt = 2t + 1

2 y ′′ + y ′ = t , ou seja, d2ydt2 + dy

dt = t

3 3(

y [4])2

+ 53 y = ty ′, ou seja, 3

(d4ydt4

)2+ 5

3 y = t dydt

Observac ao. Em cada exemplo a funcao procurada e y(t); logo t e avariavel independente e y(t), a incognita, a variavel dependente.


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Nocoes Preliminares

Informacoes importantes

Quando estudamos uma equacao diferencial, algumas informacoes saoimportantes:

sua classificacao: EDO ou EDP

sua ordem, ordem 1, ordem 2, etc

seu grau, grau 1, grau 2, etc, e

sua solucao.


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Nocoes Preliminares

Classificacao

Uma equac ao diferencial e chamada ordin aria (E.D.O.) se as variaveisdependentes forem funcao de uma unica variavel livre (como porexemplo:y(t), f (x), etc). Caso contrario, a equac ao diferencial e chamadaparcial (E. D. P.) (como por exemplo y(x , t), f (x , y , z), etc).

Ordem

E determinada pela mais alta derivada da equacap. Portanto, nos exemplos:1) e de grau 1; 2) e de grau 2 e 3) e de grau 4.


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Nocoes Preliminares

Grau

E o maior expoente (potencia) da derivada de maior ordem. Nos exemplos 1)e 2) sao de primeiro grau, ja 3) e do segundo grau.

Solucao

E qualquer funcao y(t) que satisfaca as condicoes da equacao dada.


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Solucao de Uma EDO

Exemplo. y(t) = 5e−2t e solucao de y ′ + 2y = 0.

Se y = 5e−2t , derivando temos: y ′ = −10e−2t . Entao, substituindo y e y ′

conforme equacao dada y ′ + 2y = 0, temos:

y ′ + 2y = 0 ⇒−10e−2t + 2 ∗ 5e−2t = 0 ⇒−10e−2t + 10e−2t = 0 ⇒

0 = 0


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Solucao de Uma EDO

Ou seja, tendo a equacao diferencial e a suposta solucao, devemos fazer asdevidas substituicoes na equacao de y e/ou suas respectivas derivadas: y ′,

y ′′, etc, conforme necessario.


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Solucao de Uma EDO

Exemplo. Mostre que y(t) = 19 t + sen(3t) e solucao de y ′′ + 9y = t .

Se y = 19 t + sen(3t), temos que y ′ = 1

9 + 3cos(3t) e y ′′ = −9sen(3t). Daısubstituindo, temos:

y ′′ + 9y = t ⇒−9sen(3t) + 9 ∗

(19 t + sen(3t)

)= t ⇒

−9sen(3t) + t + 9sen(3t) = t ⇒t = t


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Solucao de Uma EDO

Exercıcios.

Mostre que a funcao y(t) e solucao da equacao dada.

1 y = e2t e y ′′ − 5y ′ + 6y = 0

2 y = e3t e y ′′ − 5y ′ + 6y = 0

3 y = C1e2t + C2e3t e y ′′ − 5y ′ + 6y = 0


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Resolucao de Equacoes Diferenciais

Solucao Geral de Equacao Diferencial.

O processo de determinar as solucoes de uma equacao diferencial simplesnos remete a um processo de antiderivacao.

Exemplo.

Se y ′ = 3t2 − 4 ⇒∫

y ′(t) dt =∫

3t2 − 4 dt ⇒ y(t) = t3 − 4t + c, onde c euma constante.A funcao y(t) = t3 − 4t + c e denominada soluc ao geral da equacao dada.


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Solucao Particular de Equacao Diferencial.

Para se obter a soluc ao particular de uma equacao diferencial, devemosdeterminar o valor da constante c. Para isso, devemos ter uma condic aoinicial , conforme o exemplo.

Exemplo. Obtenha a solucao de y ′ = 3t2 − 4 com y(0) = 5.

Se y ′ = 3t2 − 4, y(t) = t3 − 4t + c. Como y(0) = 5, temos que:

y(t) = t3 − 4t + c ⇒ 5 = y(0) = 03 − 4 ∗ 0 + c ⇒c = 5 ⇒ y(t) = t3 − 4t + 5


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Solucao Particular de Equacao Diferencial.

Quando uma equacao diferencial vem acompanhada de uma (ou mais)condicao especial, temos o chamado Problema de Valor Inicial (PVI).Exemplo.

1 x2y ′ = y − xy , com y(−1) = −1

2 y ′′ − 3y ′ + 2y = 0, com y(1) = 0 e y ′(1) = 1


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Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem

Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem.

Uma equacao diferencial linear de primeira ordem pode ser colocada, se afuncao y depender apenas da variavel t , na seguinte forma:

y ′ + a(t)y = b(t)

onde a(t) e b(t) sao funcoes contınuas num intervalo I. Se b(t) = 0 dizemos

que a equacao diferencial e homog enea. Caso contrario e dita naohomog enea.


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Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem

Equacoes Diferenciais Linear de Primeira Ordem.

Trabalharemos com dois metodos para resolver as equacoes lineares deprimeira ordem:

Equacoes Separaveis

Metodo do Fator Integrante


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Equacoes Separaveis

Metodo das Equacoes Separaveis.

As equacoes diferenciais lineares de primeira ordem sao da forma:

y ′ = ay + b

onde a e b sao constantes podem ser resolvidas via equacoes separaveis.Para resolvermos uma equacao diferencial, via equacoes separaveis,devemos separar a variaveis, isto e, deveremos deixar o coeficiente dadiferencial dt como sendo uma funcao exclusiva da variavel t e o coeficienteda diferencial dy como sendo uma funcao exclusiva da variavel y , e entaointegrarmos cada diferencial.


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Equacoes Separaveis

Exemplo. Resolva a equacao diferencial y ′ = 2y .

Se y ′ = 2y , entao dydt = 2y , logo dy

y = 2dt . Aplicando a integral de ambos oslados, temos:

∫ dyy =

∫2dt ⇒ lny = 2t + c ⇒

exp (lny) = exp (2t + c) ⇒y = e2t+c ⇒ y = e2t ∗ ec

y = Ke2t


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Equacoes Separaveis

Exemplo. Resolva a equacao diferencial y ′ = 3ycos(x).

Se y ′ = 3ycos(x), entao dydx = 3ycos(x), logo dy

y = 3cos(x)dx . Aplicando aintegral de ambos os lados, temos:

∫ dyy =

∫3cos(x)dx ⇒ lny = 3sen(x) + c ⇒

exp (lny) = exp (3sen(x) + c) ⇒y = e3sen(x)+c ⇒ y = e3sen(x) ∗ ec

y = Ke3sen(x)


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Equacoes Separaveis

Exercıcios.

1 y ′ = 3x − 1

2 ydt − tdy = 0

3 dydx = sen(5x)

4 dt + e3tdy = 0

5 xy ′ = 4y

6 y ′ = 3y .cos(x), com y(0) = 5

7 y ′ = 2y , com y(1) = 3


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Metodo do Fator Integrante.

O metodo do fator integrante conta com uma funcao auxiliar

µ(t) = e∫

a(t) dt

, denominada fator integrante , para resolver as equacoes diferenciais daforma y ′ + a(t)y = b(t).


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Metodo do Fator Integrante consiste em:

identificar a funcao a(t);

calcular a funcao µ(t);

multiplicar ambos os membros da equacao diferencial pela funcao µ(t);

identificar no primeiro membro da equacao a derivada de um produto;

aplicar a integral nos dois membros da equacao e resolve-las


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Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ + 2ty = t

a(t) = 2t ⇒ µ(t) = e∫

a(t)dt = e∫

2tdt = et2

et2(y ′ + 2ty) = tet2

⇒ y ′et2+ y2tet2

)︸︷︷︸

u′v+uv′

= tet2⇒

(

yet2)′

= tet2⇒

∫ (

yet2)′

dt =∫

tet2dt ⇒

(

yet2)

=12

et2+ c ⇒ y(t) =

12+ ce−t2


Func oesLimites






Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′ − 3t2y = t2

a(t) = −3t2 ⇒ µ(t) = e∫−3t2dt = e−t3

e−t3(y ′ − 3t2y) = t2e−t3

⇒ y ′e−t3− y3t2e−t3

)︸︷︷︸

u′v+uv′

= t2e−t3⇒

(

ye−t3)′

= t2e−t3⇒

∫ (

ye−t3)′

dt =∫

t2e−t3dt ⇒

(

ye−t3)

= −13

e−t3+ c ⇒ y(t) = −1

3+ cet3


Func oesLimites






Exercıcios.

1 y ′ = ycos(t) com y(0) = 1

2 y ′ + 2t y = t3

3 ty ′ + y = t com y(10) = 20

4 dydt + 2y = 3

5 dydt + 1

2 y = 2 + t

6 y ′ − 2y = 4 − t


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Algumas Aplicacoes - Fısica

Suponha que uma barra de aco quente seja mergulhada em um banho deagua fria a 10oC. De acordo com a Lei de Newton para resfriamento, a taxade variacao de T (t) e proporcional a diferenca entre a temperatura atual docorpo T (t) e a temperatura constante do meio ambiente. Encontre e resolvaa equacao diferencial que descreve esta lei fısica.

Seja T (t) a temperatura da barra no instante t , desta forma as temperaturassao 10o e T (t). Daı:

T ′(t) = k [T (t)− 10]

.


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Algumas Aplicacoes - Fısica

O cafe esta a 90oC logo depois de coado e, um minuto depois, passa para85oC, em uma cozinha a 25oC. Vamos determinar a temperatura do cafe emfuncao do tempo e o tempo que levara para o cafa chegar a 60oC.

Seja T (t) a temperatura do cafe no instante t , desta forma:

T ′(t) = k [T (t)− 25]

comT (0) = 90oC e T (1) = 85oC


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Algumas Aplicacoes - Economia

Uma conta de poupanca acumula 6% de juros por ano, compostoscontinuamente. Saques contınuos sao efetuados a uma taxa de R$900 porano. Escreva uma equacao diferencial que seja satisfeita pelo saldo S(t) daconta no tempo t . Primeiramente, ignorando os saques, o saldo da conta

cresce a um taxa proporcional ao saldo na forma: S′(t) = 0, 06S(t)Consideramos os saques, o saldo da conta varia em funcao da taxa de jurosque sao adicionados e da taxa com que os saques sao efetuados. Daı:

S′(t) = 0, 06S(t)− 900


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Algumas Aplicacoes - Economia

Vamos supor que uma aplicacao renda juros de 1% ao mes (continuamente).Vamos encontrar o saldo como funcaao do tempo e o saldo apos 12 mesesse o saldo inicial e de R$100, 00.

Podemos descrever o problema de encontrar S(t) como o problema de valorinicial:

S′(t) = 0, 01S(t)

com S(0) = 100 e determinando S(12).


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Algumas Aplicacoes - Biologia

Sabe-se que uma cultura de bacterias cresce proporcionalmente aquantidade de bacterias presente em qualquer instante. Ao fim de uma horaobservam-se 1000 bacterias na cultura e apos 4h ha 3000 bacterias.Determine o numero de bacterias em qualquer instante assim como onumero inicial de bacterias na cultura.

Seja P(t) o numero de bacterias. Desta forma P′(t) = kP(t). Sabe-se queP(1) = 1000 e P(4) = 3000.


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Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem

Equacoes Diferenciais de Segunda Ordem.

Uma equacao diferencial de segunda ordem tem a seguinte forma:

y ′′ + p(t)y ′ + q(t)y = g(t)

Se g(t) = 0 dizemos que a equacao diferencial e homog enea. Casocontrario e dita nao homog enea.


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Equacoes Diferenciais Homogeneas de SegundaOrdem com Coeficientes Constantes

Equacoes Diferenciais Homogeneas de Segunda Ordem com CoeficientesConstantes.

Uma equacao diferencial homogenea de segunda ordem com coeficientesconstantes tem a forma:

ay ′′ + by ′ + cy = 0

onde a, b e c sao constantes dadas.


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Exemplo: Resolva a equacao diferencial y ′′ − y = 0

Se y ′′ − y = 0 entao y ′′ = y . Logo

y1(t) = et ou y2(t) = e−t

Note que c1y1(t) = c1et e c2y2(t) = c2e−t tambem e solucao. E ainda acombinac ao linear y(t) = c1et + c2e−t dessas solucoes tambem e solucao.


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Equacoes Diferenciais Homogeneas de Segunda Ordem com CoeficientesConstantes

Voltando a expressao:ay ′′ + by ′ + cy = 0

Procuramos por solucoes que tenham a forma y(t) = ert , onde r e umaparametros a ser determinado.Assim y ′ = rert e y ′′ = r 2ert .


Func oesLimites







Substituindo y = ert , y ′ = rert e y ′′ = r 2ert na equacao ay ′′ + by ′ + cy = 0,fica:

(ar 2 + br + c)ert = 0

Como ert 6= 0 fica que (ar 2 + br + c) = 0 que e a chamada equac aocaracterıstica da equacao diferencial.


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A equac ao caracterıstica (ar 2 + br + c) = 0 possibilita a determinacao de rque satisfaz y = ert solucao procurada.

Como a equacao caracterıstica e uma equacao de segundo grau, comcoeficientes constantes, possui duas raizes: reais distintas, reais iguais oucomplexas conjugadas.


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Solucao de EDO Segunda Ordem com CoeficientesConstantes

Solucao de EDO Segunda Ordem com Coeficientes Constantes

Se as raızes da equac ao caracterıstica forem:

raızes reais distintas r1 6= r2 entao: y(t) = c1er1t + c2er2 t

raızes reais iguais r1 = r2 entao: y(t) = c1ter1t + c2er1 t

raızes complexas conjugadas r1 = λ+ iµ e r2 = λ− iµ entao:y(t) = c1eλtcos(µt) + c2eλtsen(µt)


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EDO Segunda Ordem

Exercıcios.

1 y ′′ + 5y ′ + 6y com y(0) = 2 e y ′(0) = 3

2 4y ′′ − 8y ′ + 3y = 0 com y(0) = 2 e y ′(0) = 12

3 y ′′ + 4y ′ + 3y = 0

4 4y ′′ − y = 0

5 y ′′ + 9y = 0

6 16y ′′ − 8y ′ + 145y = 0 com y(0) = −2 e y ′(0) = 1

7 y ′′ + 4y ′ + 4y = 0

8 y ′′ − y ′ + 14 y = 0 com y(0) = 2 e y ′(0) = 1

3


Func oesLimites





Sistemas Lineares Homogeneos de EquacoesDiferenciais de Primeira Ordem com CoeficientesConstantes

Sistemas Lineares Homogeneos de Equacoes Diferenciais de PrimeiraOrdem com Coeficientes Constantes.

Um sistema de equacao lineares homogeneas com coeficientes constantestem a seguinte forma:

x′ = Ax

Onde A e uma matriz n × n de numeros reais.


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Sistemas Lineras de EDO

Sistemas Lineras de EDO.

Se n = 1 A = [a] e x ′ = ax = dxdt = ax

Se n = 2 A =

[a bc d

]

e x′ =

[a bc d

]

x

Se n = 3 A =

a b cd e fg h i

e x′ =

a b cd e fg h i

x


Func oesLimites







Em:

x′ =

[a bc d

]

x

Temos que x′ e x sao vetores dados respectivamente por:

x′ = x′(t) =[

x ′1(t)

x ′2(t)

]

e x = x(t) =[

x1(t)x2(t)

]

A incognita e o vetor x, onde busca-se: x1(t) e x2(t)


Func oesLimites







O sistema:

x′(t) =[

a bc d

]

x

Pode ser reescrito da seguinte forma:

x′(t) =[

x ′1(t)

x ′2(t)

]

=

[a bc d

] [x1(t)x2(t)

]

Ou seja:

x′(t) ={

x ′1(t) = ax1(t) + bx2(t)

x ′2(t) = cx1(t) + dx2(t).


Func oesLimites







Quando tomamos n = 1, temos a equacao de primeira ordem dxdt = ax cuja

solucao e x(t) = ceat .

Quando n = 2, temos o sistema x′(t) =[

a bc d

]

x e procuraremos por

solucoes com a forma x(t) = ξert , onde teremos que determinar ocoeficiente r e o vetor ξ.


Func oesLimites







Substituindo x(t) no sistema x′(t) = Ax , obtemos: rξert = Aξert .

Desta forma: Aξert − rξert = 0

Daı: ξert (A − r I) = 0. Como ert 6= 0, temos ξ (A − r I) = 0


Func oesLimites







Para encontrarmos, entao, solucoes do sistema x′(t) = Ax , devemosdeterminar os autovalores e autovetores de A.

Os autovalores r1 e r2 sao as raızes da equacao: det (A − r I) = 0

Se r1 6= r2 ∈ R, entao existe um autovetor ξ(1) associado a r1 e outroautovetor ξ(2) associado a r2.

E a solucao geral procurada sera: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ

(2)er2 t


Func oesLimites






Exemplo. Resolva o sistema x′(t) =[

1 14 1

]

x

Para resolvermos o sistema acima, devemos, primeiramente encontrar osautovalores da matriz A. Entao:

det([

1 14 1

]

− r[

1 00 1

])

= 0 ⇒

∣∣∣∣

1 − r 14 1 − r

∣∣∣∣= (1 − r)(1 − r)− 1.4 = 0

Ou seja: (1 − r)2 − 4 = r 2 − 2r − 3 = 0


Func oesLimites






Resolucao de x′(t) =[

1 14 1

]

x

Se r 2 − 2r − 3 = 0, os autovalores sao r1 = 3 e r2 = −1

Se r1 = 3, entao: (A − r I) ξ = 0 fica:[

1 − r 14 1 − r

]

ξ = 0

Ou seja:[

1 − r 14 4 − r

] [ξ1

ξ2

]

=

[00

]


Func oesLimites







1 14 1

]

x

Substituindo r = 3 em[

1 − r 14 4 − r

] [ξ1

ξ2

]

=

[00

]

, temos:[

−2 14 1

] [ξ1

ξ2

]

=

[00

]

, logo:

−2ξ1 + ξ2 = 0 ⇒ ξ2 = 2ξ1

Daı o autovetor e: ξ(1) =[

12

]


Func oesLimites







1 14 1

]

x

Da mesma forma, substituindo r = −1 em[1 − r 1

4 4 − r

] [ξ1

ξ2

]

=

[00

]

, temos:[

2 14 2

] [ξ1

ξ2

]

=

[00

]

, logo:

2ξ1 + ξ2 = 0 ⇒ ξ2 = −2ξ1

Daı o autovetor e: ξ(2) =[

1−2

]


Func oesLimites







1 14 1

]

x

Tendo a forma da solucao geral: x = c1ξ(1)er1 t + c2ξ

(2)er2t

Conhecendo r1 = 3, r2 = −1, ξ(1) =[

12

]

e ξ(2) =

[1−2

]

Temos a solucao

do sistema como:

x = c1

[12

]

e3t + c2

[1−2

]

e−t


Func oesLimites






Exercıcios

1 x′(t) =[

−3√

2√2 −2

]

x

Resp. r1 = −1, r2 − 4, ξ(1) =[ 1√

21

]

e ξ(2) =

[−√

21

]

2 x′(t) =[

3 −22 −2

]

x

Resp. r1 = 2, r2 = 1, ξ(1) =[

21

]

e ξ(2) =

[12

]


Func oesLimites






Exercıcios

1 x′(t) =[

2 −13 −2

]

x

Resp. r1 = −1, r2 = 1, ξ(1) =[

11

]

e ξ(2) =

[131

]


Func oesLimites





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