processusstoch

Processus stochastiques et temps darrtExercices

Genevive Gauthier

Dernire mise jour : 13 mars 2004

Exercice 2.1. Aujourdhui lundi, vous avez un dollar dans votre tirelire. partir dedemain matin et ce, tous les matins jusqu vendredi inclusivement, vous tirez pile ou facepour savoir si vous retirez un dollar (si possible) de la tirelire (pile) ou si vous y en mettezun (face). Modlisez lvolution du contenu de votre tirelire en rpondant aux questionssuivantes :a) Quel est lensemble fondamental ?b) Dnissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signication. Nou-bliez pas de dnir ce que vous signiez par une priode de temps.c) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?d) Quelles sont les tribus de la ltration engendre par le processus pour les journes delundi, mardi, mercredi et vendredi ?e) Interprtez, en fonction de linformation disponible, la structure dinformation que vousavez construite la question prcdente pour la journe du mercredi.f) Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi ?g) Dmontrez que le premier instant ou la tirelire est vide est un temps darrt.

Exercice 2.2. Soit (;F), un espace probabilisable tel que Card ()

b) Donnez la tribu reprsentant linformation disponible aprs le deuxime lancer. Inter-prtez.c) Quelle est la distribution du montant que nous possdons la n du jeu?

Exercice 2.4 La ruine du joueur.Deux joueurs possdant initialement des fortunes de r et n r dollars respectivement (r

et n sont des entiers positifs tels que r < n), misent et jouent jusqu la ruine de lun deux.Disons que le deuxime joueur reprsente le croupier tandis que le premier joueur dterminela mise. Ce dernier gagne sa mise avec probabilit p (0 < p < 1) ou la perd avec probabilitq = 1 p; et ce, indpendamment de lhistoire du jeu. Les seules mises possibles sont desmultiples dun dollar et il ny a pas demprunt possible.

tudions deux stratgies populaires pour ce jeu :1) lapproche audacieuse qui consiste pour le premier joueur miser chaque tour leminimum entre sa fortune personnelle et le montant requis pour sa victoire;2) lapproche timide qui consiste pour le premier joueur miser un dollar chaque tour.

Supposons que Xt reprsente la fortune du premier joueur aprs le t ime jeu lorsque cedernier emploi la stratgie timide. La variable alatoire Yt reprsente la fortune du premierjoueur aprs le t ime jeu lorsque ce dernier emploi la stratgie audacieuse.

Pour les ns de cet exercice, nous supposerons que les joueurs jouent pile ou face avecun sou possiblement mal balanc. Le premier joueur remporte sa mise si le sou tombe ducot pile et la probabilit dobtenir pile lors dun lanc de ce sou est de p. Nous tudieronsles rsultats des quatre premiers lancers seulement. Le croupier dbute avec 4 dollars tandisque le premier joueur possde initialement 6 dollars.

a) Quel est lensemble fondamental correspondant cette exprience alatoire ?

b) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

c) Quelles sont les tribus de la ltration engendre par le processusX = fXt : t 2 f0; 1; 2; 3; 4ggpour les instants 0; 1; 2 et 4 ?

d) Quelles sont les tribus de la ltration engendre par le processus Y = fYt : t 2 f0; 1; 2; 3; 4ggpour les instants 0; 1; 2 et 4 ?

e) Interprtez, en fonction de linformation disponible, la structure dinformation quevous avez construite la question c) pour linstant t = 3.

f) Donnez les fonctions de masse de X4 et de Y4.

Pour les prochaines questions, nous ne nous limiterons pas ltude des quatre premierslancers mais laisserons le jeu se poursuivre jusqu la ruine dun des deux joueurs.

g) Soit la variable alatoire donnant linstant auquel le jeu sest arrt, cest--dire que

(!) min ft 2 f0; 1; 2; :::g : Xt = 0 ou Xt = ng :

2

Montrer que est un temps darrt.

Exercice 2.5. Soit 1 et 2, deux (;F ;F)temps darrt o est un ensemble fonda-mental contenant un nombre ni dlments, et F = fFt : t 2 f0; 1; 2; :::gg est une ltration.Est-ce que la somme de ces deux temps darrt est aussi un temps darrt ? Si oui, dmontrez-le. Sinon, donnez un contre exemple.

Exercice 2.6. On lance deux ds et on observe le nombre X de points sur le pre-mier et le nombre Y de points sur le deuxime. Nous recevrons un paiment dun mon-tant de max (X; Y ) au temps = min (X; Y ). Le processus fSt : t 2 f1; 2; :::; 6gg modliselvolution des paiments qui nous seront verss.a) Quel est lensemble fondamental ?b) Dterminez la ltration fFt : t 2 f1; 2; :::; 6gg engendre par le processus stochastiquefSt : t 2 f1; 2; :::; 6gg :c) Est-ce que est un fFt : t 2 f1; 2; :::; 6ggtemps darrt ? Justiez votre rponse.

3

Les solutions

1 Exercice 2.1

a) Quel est lensemble fondamental ?

=

PPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFF;FPPP; FPPF; FPFP; FPFF; FFPP; FFPF; FFFP; FFFF

b) Dnissez le processus stochastique que vous utilisez et donnez en la signication. Noubliezpas de dnir ce que vous signiez par une priode de temps.Posons t = 0 pour la journe de lundi (aujourdhui). 8t 2 f0; 1; 2; 3; 4g

Xt = montant dans la tirelire aprs la transaction de la t ime journe.

c) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

! X0 (!) X1 (!) X2 (!) X3 (!) X4 (!)!1 = PPPP 1 0 0 0 0!2 = PPPF 1 0 0 0 1!3 = PPFP 1 0 0 1 0!4 = PPFF 1 0 0 1 2!5 = PFPP 1 0 1 0 0!6 = PFPF 1 0 1 0 1!7 = PFFP 1 0 1 2 1!8 = PFFF 1 0 1 2 3!9 = FPPP 1 2 1 0 0!10 = FPPF 1 2 1 0 1!11 = FPFP 1 2 1 2 1!12 = FPFF 1 2 1 2 3!13 = FFPP 1 2 3 2 1!14 = FFPF 1 2 3 2 3!15 = FFFP 1 2 3 4 3!16 = FFFF 1 2 3 4 5

La tribu F doit faire en sorte que X0, X1, X2, X3 et X4 soient des variables alatoires.Comme les 16 trajectoires sont direntes les unes des autres, F est engendre par la partitionf!1; :::; !16g. Ainsi

F = ensemble de tous les vnements de ainsi que ?.

4

d) Quelles sont les tribus de la ltration engendre par le processus pour les journes de lundi,mardi, mercredi et vendredi ?

F0 = f?;g

F1 = f?; A;Ac;go A = fPPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFFg

F2 =

8>>>:?; B1; B2; B3; B4; B1 [B2; B1 [B3;B1 [B4; B2 [B3; B2 [B4; B3 [B4;

B1 [B2 [B3; B1 [B2 [B4;B1 [B3 [B4; B2 [B3 [B4;

9>>=>>;o B1 = fPPPP; PPPF; PPFP; PPFFgB2 = fPFPP; PFPF; PFFP; PFFFgB3 = fFPPP; FPPF; FPFP; FPFFgB4 = fFFPP; FFPF; FFFP; FFFFg

F4 = F

e) Interprtez, en fonction de linformation disponible, la structure dinformation que vousavez construite la question prcdente pour la journe du mercredi.

F2 =


B1 [B2 [B3; B1 [B2 [B4;B1 [B3 [B4; B2 [B3 [B4;


Les atomes qui engendrent F2 partitionnent selon les rsultats obtenus lors des deuxpremiers lancers (soit ceux de mardi et mercredi matins) mais sont incapables de distinguer

5

les vnements qui impliquent les lancers des deux derniers matins (soit ceux de jeudi etvendredi).

f) Quelle est la distribution du contenu de la tirelire vendredi midi ?Supposons que nous obtenons pileavec probabilit p et faceavec probabilit 1 p:

Remarquez que cela signie que jai utilis le mme sou tout au cours de la semaine.

! P (!) X4 (!)

PPPP p4 0PPPF p3 (1 p) 1PPFP p3 (1 p) 0PPFF p2 (1 p)2 2PFPP p3 (1 p) 0PFPF p2 (1 p)2 1PFFP p2 (1 p)2 1PFFF p (1 p)3 3

! P (!) X4 (!)

FPPP p3 (1 p) 0FPPF p2 (1 p)2 1FPFP p2 (1 p)2 1FPFF p (1 p)3 3FFPP p2 (1 p)2 1FFPF p (1 p)3 3FFFP p (1 p)3 3FFFF (1 p)4 5

La fonction de masse est :

x fX (x) = P f! 2 : X (!) = xg

0 p4 + 3p3 (1 p) = 2p4 + 3p3

1 p3 (1 p) + 5p2 (1 p)2 = +4p4 9p3 + 5p2

2 p2 (1 p)2 = p4 2p3 + p2

3 4p (1 p)3 = 4p 12p2 + 12p3 4p4

4 0

5 (1 p)4 = 1 4p+ 6p2 4p3 + p4

x P! 2 : X (!) = x p = 1

2

0 4

16= 1

4

1 616= 3

8

2 116

3 416= 1

4

4 0

5 116

6

La fonction de rpartition est :

x FX (x) = P f! 2 : X (!) xg

0 p4 + 3p3 (1 p) = 2p4 + 3p3

1 p4 + 4p3 (1 p) + 5p2 (1 p)2 = 2p4 6p3 + 5p2

2 p4 + 4p3 (1 p) + 6p2 (1 p)2 = 3p4 8p3 + 6p2

3 p4 + 4p3 (1 p) + 6p2 (1 p)2 + 4p (1 p)3 = p4 + 4p3 6p2 + 4p

4 p4 + 4p3 6p2 + 4p

5 p4 + 4p3 (1 p) + 6p2 (1 p)2 + 4p (1 p)3 + (1 p)4 = 1

g) Dmontrez que le premier instant o la tirelire est vide est un temps darrt.

! X0 (!) X1 (!) X2 (!) X3 (!) X4 (!) (!)!1 = PPPP 1 0 0 0 0 1!2 = PPPF 1 0 0 0 1 1!3 = PPFP 1 0 0 1 0 1!4 = PPFF 1 0 0 1 2 1!5 = PFPP 1 0 1 0 0 1!6 = PFPF 1 0 1 0 1 1!7 = PFFP 1 0 1 2 1 1!8 = PFFF 1 0 1 2 3 1!9 = FPPP 1 2 1 0 0 3!10 = FPPF 1 2 1 0 1 3!11 = FPFP 1 2 1 2 1 1!12 = FPFF 1 2 1 2 3 1!13 = FFPP 1 2 3 2 1 1!14 = FFPF 1 2 3 2 3 1!15 = FFFP 1 2 3 4 3 1!16 = FFFF 1 2 3 4 5 1

7

f! 2 : (!) = 0g= ? 2 F0

f! 2 : (!) = 1g= fPPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFFg 2 F1

f! 2 : (!) = 2g= ? 2 F2

f! 2 : (!) = 3g= fFPPP; FPPFg 2 F3

f! 2 : (!) = 4g= ? 2 F4:

2 Exercice 2.2

Comme 8k 2 f0; 1; :::g ;

f! 2 : 1 (!) _ 2 (!) kg

= f! 2 : 1 (!) k et 2 (!) kg

= f! 2 : 1 (!) kg| {z }2Fk

\ f! 2 : 2 (!) kg| {z }2Fk

2 Fk;

8

alors 8t 2 f0; 1; :::g ;

f! 2 : 1 (!) _ 2 (!) = tg

= f! 2 : t 1 < 1 (!) _ 2 (!) tg

= f! 2 : 1 (!) _ 2 (!) tg \ f! 2 : 1 (!) _ 2 (!) > t 1g

= f! 2 : 1 (!) _ 2 (!) tg| {z }2Ft

\ f! 2 : 1 (!) _ 2 (!) t 1g| {z }2Ft1Ft

c

| {z }2Ft1Ft

2 Ft:

3 Exercice 2.3

a) Dnissez les variables alatoires et la notation que vous utilisez an de modliser cettesituation.Lensemble fondamental comporte 16 lments qui sont numrs dans le tableau ci-

dessous. Pour i 2 f0; 1; 2; 3; 4g, la variable alatoire Xi reprsente le montant que nousdtenons aprs le i ime lancer.

! X0 X1 X2 X3 X4

pppp 20 30 30 30 30pppf 20 30 30 30 20ppfp 20 30 30 20 30ppff 20 30 30 20 20pfpp 20 30 20 30 30pfpf 20 30 20 30 20pffp 20 30 20 20 30pfff 20 30 20 20 20

! X0 X1 X2 X3 X4

fppp 20 10 20 20 20fppf 20 10 20 20 10fpfp 20 10 20 10 20fpff 20 10 20 10 10ffpp 20 10 10 20 20ffpf 20 10 10 20 10fffp 20 10 10 10 20ffff 20 10 10 10 10

b) Donnez la tribu reprsentant linformation disponible aprs le deuxime lancer. Inter-prtez.

F2 = fpppp; pppf; ppfp; ppffg ; fpfpp; pfpf; pffp; pfffg ;ffppp; fppf; fpfp; fpffg ; fffpp; ffpf; fffp; ffffg

:

9

En observant le processus stochastique X jusquau deuxime lancer, nous sommes en mesurede dterminer quels taient les rsultats obtenus aux deux premiers lancers mais nous sommesincapables de dterminer quels sont les rsultats des deux derniers lancers.

c) Quelle est la distribution du montant que nous possdons la n du jeu ?Si q reprsente la probabilit dobtenir pile un lancer alors

P (X4 = 30) = q4 + 2q3 (1 q) + q2 (1 q)2

= q2

P (X4 = 20) = 2q3 (1 q) + 4q2 (1 q)2 + 2q (1 q)3

= 2q2 + 2q= 2q (1 q)

P (X4 = 10) = q2 (1 q)2 + 2q (1 q)3 + (1 q)4

= 1 2q + q2 = (1 q)2

4 Exercice 2.4

a) Quel est lensemble fondamental correspondant cette exprience alatoire ?

=

PPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFF;FPPP; FPPF; FPFP; FPFF; FFPP; FFPF; FFFP; FFFF

Dans le cas o la stratgie audacieuse est employe, lensemble fondamental peut aussi tredcrit par

fP; FPPP; FPPF; FPF; FFgpuisque le jeu peut sarrter au bout de trs peu de lancers du sou. Cela est une questiondinterprtation. On peut supposer que le sou est lanc malgr labsence de mise (le jeu esttermin) pour nous permettre de construire les deux processus stochastiques sur le mmeespace probabilisable.

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b) Quelle tribu utilisez-vous pour construire votre espace probabilisable ?

! X0 X1 X2 X3 X4 Y0 Y1 Y2 Y3 Y4!1 = PPPP 6 7 8 9 10 6 10 10 10 10!2 = PPPF 6 7 8 9 8 6 10 10 10 10!3 = PPFP 6 7 8 7 8 6 10 10 10 10!4 = PPFF 6 7 8 7 6 6 10 10 10 10!5 = PFPP 6 7 6 7 8 6 10 10 10 10!6 = PFPF 6 7 6 7 6 6 10 10 10 10!7 = PFFP 6 7 6 5 6 6 10 10 10 10!8 = PFFF 6 7 6 5 4 6 10 10 10 10!9 = FPPP 6 5 6 7 8 6 2 4 8 10!10 = FPPF 6 5 6 7 6 6 2 4 8 6!11 = FPFP 6 5 6 5 6 6 2 4 0 0!12 = FPFF 6 5 6 5 4 6 2 4 0 0!13 = FFPP 6 5 4 5 6 6 2 0 0 0!14 = FFPF 6 5 4 5 4 6 2 0 0 0!15 = FFFP 6 5 4 3 4 6 2 0 0 0!16 = FFFF 6 5 4 3 2 6 2 0 0 0

La tribu F doit faire en sorte que X0, X1, X2, X3 et X4 ainsi que Y0, Y1, Y2, Y3 et Y4 soientdes variables alatoires. Comme les 16 trajectoires sont direntes les unes des autres, F estengendre par la partition f!1; :::; !16g. Ainsi

F = ensemble de tous les vnements de ainsi que ?.

F contient 216 = 65 536 vnements.c) Quelles sont les tribus de la ltration engendre par le processus X = fXt : t 2 f0; 1; 2; 3; 4gg

11

pour les instants 0; 1; 2 et 4 ?

F0 = f?;g

F1 = f?; A;Ac;go A = fPPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFFg

F2 =


B1 [B2 [B3; B1 [B2 [B4;B1 [B3 [B4; B2 [B3 [B4;


F4 = F

d) Quelles sont les tribus de la ltration engendre par le processus Y = fYt : t 2 f0; 1; 2; 3; 4gg

12

pour les instants 0; 1; 2 et 4 ?

G0 = f?;g

G1 = f?; A;Ac;go A = fPPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFFg

G2 = f?; B1; B3; B4; B1 [B3; B1 [B4; B3 [B4; B1 [B3 [B4;go B1 = fPPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFFgB3 = fFPPP; FPPF; FPFP; FPFFgB4 = fFFPP; FFPF; FFFP; FFFFg

G4 =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

?; C1; C2; C3; C4; C5;C1 [ C2; C1 [ C3; C1 [ C4; C1 [ C5; C2 [ C3;C2 [ C4; C2 [ C5; C3 [ C4; C3 [ C5; C4 [ C5;C3 [ C4 [ C5; C2 [ C4 [ C5; C2 [ C3 [ C5;C2 [ C3 [ C4; C1 [ C4 [ C5; C1 [ C3 [ C5;

C1 [ C3 [ C4; C1 [ C2 [ C5; C1 [ C2 [ C4; C1 [ C2 [ C3;C1 [ C2 [ C3 [ C4; C1 [ C2 [ C3 [ C5; C1 [ C2 [ C4 [ C5;

C1 [ C3 [ C4 [ C5; C2 [ C3 [ C4 [ C5;

9>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>;C1 = fPPPP; PPPF; PPFP; PPFF; PFPP; PFPF; PFFP; PFFFgC2 = fFPPPgC3 = fFPPFgC4 = fFPFP; FPFFgC5 = fFFPP; FFPF; FFFP; FFFFg

e) Interprtez, en fonction de linformation disponible, la structure dinformation quevous avez construite la question c) pour linstant n = 3.

F2 =


B1 [B2 [B3; B1 [B2 [B4;B1 [B3 [B4; B2 [B3 [B4;


13

Les atomes qui engendrent F2 partitionnent selon les rsultats obtenus lors des deuxpremiers lancers mais sont incapables de distinguer les vnements qui impliquent les 2derniers lancers.

f) Donnez les fonctions de masse de X4 et de Y4.

! X0 X1 X2 X3 X4 Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 P!1 = PPPP 6 7 8 9 10 6 10 10 10 10 p

4

!2 = PPPF 6 7 8 9 8 6 10 10 10 10 p3 (1 p)

!3 = PPFP 6 7 8 7 8 6 10 10 10 10 p3 (1 p)

!4 = PPFF 6 7 8 7 6 6 10 10 10 10 p2 (1 p)2

!5 = PFPP 6 7 6 7 8 6 10 10 10 10 p3 (1 p)

!6 = PFPF 6 7 6 7 6 6 10 10 10 10 p2 (1 p)2

!7 = PFFP 6 7 6 5 6 6 10 10 10 10 p2 (1 p)2

!8 = PFFF 6 7 6 5 4 6 10 10 10 10 p (1 p)3!9 = FPPP 6 5 6 7 8 6 2 4 8 10 p

3 (1 p)!10 = FPPF 6 5 6 7 6 6 2 4 8 6 p

2 (1 p)2!11 = FPFP 6 5 6 5 6 6 2 4 0 0 p

2 (1 p)2!12 = FPFF 6 5 6 5 4 6 2 4 0 0 p (1 p)3!13 = FFPP 6 5 4 5 6 6 2 0 0 0 p

2 (1 p)2!14 = FFPF 6 5 4 5 4 6 2 0 0 0 p (1 p)3!15 = FFFP 6 5 4 3 4 6 2 0 0 0 p (1 p)3!16 = FFFF 6 5 4 3 2 6 2 0 0 0 (1 p)4

fY4 (y) =

8>>>>>>>>>>>>>>>:

p2 + p3 p+ 1 si y = 0

p2 2p3 + p4 = p2 (1 p)2 si y = 6

p4 + p3 + p si y = 10

0 sinon

9>>>>>>>>=>>>>>>>>;

14

fX4 (y) =

8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

(1 p)4 si x = 2

4p (1 p)3 si x = 4

6p2 (1 p)2 si x = 6

4p3 (1 p) si x = 8

p4 si x = 10

0 sinon

9>>>>>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>>>>>;g) Soit la variable alatoire donnant linstant auquel le jeu sest arrt, cest--dire que

(!) min ft 2 f0; 1; 2; :::g : Xt = 0 ou Xt = ng :

Montrer que est un temps darrt.Nous voulons montrer que pour tout t 2 f0; 1; 2; :::g, lvnement f! 2 : (!) = tg 2

Ft. Or,

f! 2 : (!) = tg= f! 2 : X0 (!) ; X1 (!) ; :::; Xt1 (!) 2 f1; 2; :::; n 1g et Xt (!) 2 f0; ngg

=t1\k=0

f! 2 : Xk (!) 2 f1; 2; :::; n 1gg| {z }2FkFt| {z }2Ft

\ f! 2 : Xt (!) 2 f0; ngg| {z }2Ft

2 FtAutre mthode plus simple: est le premier contact avec lensemble f0; ng donc est untemps darrt par le thorme dmontr dans les notes de cours (ch.2).

15

5 Exercice 2.5

Oui, la somme de ces deux temps darrt est un temps darrt car t 2 f0; 1; 2; :::g. En eet,soit t 2 f0; 1; 2; :::g quelconque. Alors

f! 2 : 1 + 2 = tg

=

t[k=0

8>:f! 2 : 1 = kg| {z }2FkFt \ f! 2 : 2 = t kg| {z }2FtkFt9>=>;| {z }

2Ft

2 Ft:

Ce quil fallait dmontrer.

16

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