Problèmes inverses et commande robuste de quelques...

Commande Robuste Problèmes Inverses

Problèmes inverses et commande robuste

de quelques

équations aux dérivées partielles.

Lucie Baudouin

20 juin 2014 - Toulouse

Soutenance d’HDR

1/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp

Commande Robuste Problèmes Inverses

Plan de l’exposé

Commande Robuste de systèmes de dimension infinie

Cadre théorique

Application à un miroir déformable en Optique Adaptative

Un exemple d’interaction fluide/structure

Problème inverse de détermination de coefficient

Problématique Générale

Méthodologie de démonstration de la stabilité

Spécificités : edp hyperboliques, paraboliques, dispersives

Convergence et Reconstruction


Commande Robuste Problèmes Inverses Cadre théorique OA Fluide/Structure

Plan de l’exposé


Cadre théorique










Formalisme d’état

P

K

W Z

U Y

∂tX(t) = AX(t) +B1W (t) +B2U(t),

X(0) = 0,

Z(t) = C1X(t) +D12U(t)

Y (t) = C2X(t) +D21W (t).

(P)

I W = perturbation,

I Z = sortie à contrôler,

I Y = mesure,

I U = contrôle,

I X = état du système,

I A générateur infinitésimal

d’un C0-semigroupe sur

X (Hilbert),

I B1, B2, C1, C2, D12, D21

operateurs linéaires bor-

nés.



Contrôle robuste en dimension infinieL’équation d’état est une edp

∂tX(t) = AX(t) +B1W (t) +B2U(t), t ≥ 0,

X(0) = 0

que l’on contrôle en boucle fermée à l’aide de l’observation partielle

Y (t) = C2X(t) +D21W (t), t ≥ 0

et suivant le coût J0(U,W ) =∫ ∞

0

(|C1X(t)|2 + |D12U(t)|2

)dt.

Objectif : construire un contrôleur K assurant que l’influence de

W sur Z reste petite, i.e. J0(U,W ) ≤ γ2

∫ ∞0

|W (t)|2dt.

Autrement dit : construire contrôleur par retour de mesure K qui

stabilise le système en garantissant ‖W 7→ Z‖H∞ < γ.



Théorème Van Keulen, Peters, Curtain ’93,

Bensoussan Bernhard ’93,

Barbu ’95.

Soit γ > 0. Supposons que (A,B1) est stabilisable et (A,C1) est

détectable. Alors :

∃ K contrôleur stabilisant tel que ‖W 7→ Z‖H∞ < γ

⇔∃ P,Σ, opérateurs linéaires symétriques définis positifs tels que

Σ(I − γ−2PΣ)−1 ≥ 0

et vérifiant les équations de Riccati

PA+A∗P + P (B2B∗2 − γ−2B1B

∗1)P + C∗1C1 = 0,

ΣA∗ +AΣ + Σ(C∗2C2 − γ−2C∗1C1)Σ +B1B∗1 = 0.

En particulier, il existe alors un contrôleur explicite K dépendant de P, Σ

et donnant la stabilité exponentielle de l’opérateur en boucle fermée.6/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Contrôleur et reconstructeurLe contrôleur K peut alors prendre la forme suivante

Φ′(t) = (A+M)Φ(t) +NY (t), ∀t ≥ 0,

Φ(0) = 0,

U(t) = LΦ(t) +RY (t), ∀t ≥ 0,

(K)

où Φ est l’état adjoint (ou reconstructeur) et on a par exemple,

en posant Π = Σ(I − γ−2PΣ)−1,

L = −B∗2P, M = −(B2B∗2−γ−2B1B

∗1)P−ΠC∗2C2, N = ΠC∗2 , R = 0.

Cela donne le système en boucle fermée(X

Φ

)′=

(A B2L

NC2 A+M

)(X

Φ

)+

(0

ND21

)W.

exponentiellement stable.7/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Système d’optique adaptative

(e, φtur)

I Objectif :

Corriger en temps réel la netteté desimages obtenues par des téléscopes

terrestres ;

I Contrainte :

La résolution d’un téléscope estlimitée par la turbulence

atmosphérique ;

I Solutions pré-existantes :

Approche statique et empirique ;

I Motivation :

Miroirs de plus en plus grand avecbeaucoup d’actionneurs.

- Robust control of a bimorph mirror for adaptive optics system,LB, C. Prieur, F. Guignard & D. Arzelier, Applied Optics 2008.



Outils de mesure

I Analyseur de surface d’onde :

un analyseur de Shack-Hartmann mesure la déformation du

front d’onde a posteriori : ySH = φtur − 4πλ e+ cwSH ;

I Capteurs du miroir déformable : ype = e31∆e+ dwpe.

Permettent la modélisation de Y = (ype, ySH).9/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Modélisation du système d’OA

I Modèle edp du miroir déformable (Prieur Lenczner ’07) :

ρ∂tte+Q1∆2e+Q2e = d31∆u+ bρwmod ;

I Modèle dynamique de la turbulence atmosphérique (théorie de

Kolmogorov) : ∂tφtur = Fφtur + Gwtur ;

I Variables du modèle d’état complet :

I X = (e, ∂te, φtur) ; W = (wmod, wSH , wtur, wpe) ; Z = (φres, u) ;

φres = φtur −4πλe

I le contrôle U = u correspond au voltage appliqué aux

actionneurs piezo-électriques ;I le vecteur des mesures en sortie Y = (ype, ySH).

Le modèle entre dans le cadre théorique attendu.10/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Application numérique

I (e, ∂te) : projection du modèle de dimension infinie sur une base

hilbertienne appropriée (fonctions de Bessel) ;

I φtur : base "optique" des modes de Zernique (les 14 premiers

contiennent 92% d’information) ;

I Données expérimentales du projet SESAME de l’Observatoire

de Paris ;

I Indice de performance : le ratio ‖φtur‖L2/‖φres‖L2 .

Simulations de Monte-Carlo montrant une atténuation

de la distorsion de phase du front d’onde réfléchi de 48%,

comparable à celle de Paschall ’93 (approche statique).



Un exemple d’interaction fluide/structureDispositif expérimental à l’ISAE reproduisant le comportement

dynamique d’ailes d’avion contenant des reservoirs de carburant.



Modèles edp Blevins ’79, Geradin Rixen ’96

Le déplacement transversal w de la plaque vérifie

ms∂ttw(y, z, t) + ζ∂tw(y, z, t) +D∆2(y,z)w(y, z, t) = F (y, z, t),

∀(y, z, t) ∈ [0, L]× [0, `]× (0, T ) ;

Stoker ’95, Dodge ’00

Le potentiel de vitesse φ du liquide dans le réservoir vérifie

∆(x,y,z)φ(x, y, z, t) = 0 et ∂tφ(x, y, z, t)+p(x, y, z, t)

ρ+gz−α(t)x = 0,

∀(x, y, z, t) ∈ Ω× (0, T ) ;

Termes de couplage entre réservoir et plaque : F et α.

Echec de l’écriture d’un modèle d’état complet de dim. infinie.



Modèle mécanique équivalent - Thèse B. Robu

I Ballottement du liquide décrit à l’aide de pendules (poids,

longueurs et point d’attache à ajuster) ;

I Projection du modèle de plaque sur une base de modes propres

associés à ∆2 ;

I Couplages écrits après le passage à la dimension finie ;

I Ajustement du modèle théorique, par essai-erreur à la lecture

du diagramme de Bode :

101 102−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5Ma

gnitud

e (dB)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

simulationstests



Commande robuste du systèmeObjectifs :

I Etudier numériquement la commande robuste :

I par placement de pôle (retour d’état avec observateur de

Luenberger)I par contrôleur H∞, d’ordre plein ou réduit, ou avec objectifs

simultanés (HIFOO)

I Implémenter les contrôleurs calculés sur le banc d’essai ;

I Identifier et gérer les problèmes de spillover.

- Active vibration control of a fluid/plate system using a pole placement controller,B. Robu, LB & C. Prieur, International Journal of Control 2012.- Simultaneous H∞ vibration control of fluid/plate system via reduced-order controller,B. Robu, LB, C. Prieur & D. Arzelier, IEEE TCST 2012.- Contrôle actif des vibrations dans un système couplé fluide/structure,B. Robu, LB & C. Prieur, JESA 2012.



Perspectives

I Explorer les questions de convergence des commandes

calculées sur les modèles tronqués... cf K. Morris ;

I Etudier les approches limitant les problèmes de spillover ;

I Travailler sur un modèle permettant l’analyse “dimension infinie”

complète et l’implémentation sur banc d’essai.

Université de Bristol : modèle de cable incliné.


Commande Robuste Problèmes Inverses Problématique Méthodologie Spécificités Reconstruction

Plan de l’exposé


Cadre théorique










Un problème inverse pour les ondes

Considérons l’équation des ondes dans Ω, borné régulier :∂tty −∆xy + p(x)y = f, (t, x) ∈ (0, T )× Ω,

y(t, x) = g(t, x), (t, x) ∈ (0, T )× ∂Ω

(y(0, x), ∂ty(0, x)) = (y0(x), y1(x)), x ∈ Ω.

• Données : termes sources f, g ; données initiales (y0, y1).

• Inconnue : le potentiel p = p(x).

• Information supplémentaire : ∂νy(t, x) on (0, T )× Γ0.

Objectif : Trouver le potentiel p.

Questions d’identifiabilité avant toute identification.



Est il possible de retrouver le potentiel p = p(x) dans Ω

à partir de mesures du flux ∂νy(t, x) sur (0, T )× Γ0 ?

• Questions liées

I Unicité : Etant donnés deux potentiels p 6= q,

peut on assurer que ∂νy[p] 6= ∂νy[q] ?

I Stabilité : Etant donnés deux potentiels p, q,

si ∂νy[p] ' ∂νy[q], peut on garantir p ' q ?

I Reconstruction : Etant donné ∂νy[p], peut-on calculer p?

• Résultats connus : unicité (Klibanov ’92), stabilité (Yamamoto ’99,

Imanuvilov Yamamoto ’01), par inégalités de Carleman.

• Problème ouvert : la reconstruction - i.e. comment calculer

effectivement le potentiel à partir de mesures localisées ?19/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Outil principal : inégalité de CarlemanOndes. Imanuvilov ’02, LB & Puel, Zhang, Klibanov...Soient λ > 0, β ∈ (0, 1) et les poids ψ et ϕ définis par

ψ(x, t) = |x− x0|2 − βt2 + α, ϕ(x, t) = eλψ(x,t)

où α > 0 est tel que ψ ≥ 1 sur Ω× [0, T ].

Sous des hypothèses sur x0 et Γ0,

∃s0 > 0, λ > 0 et M = M(s0, λ, T, β, x0) > 0 tel que :

s

∫ T

−T

∫Ω

e2sϕ(|∂tw|2 + |∇w|2) dxdt+ s3

∫ T

−T

∫Ω

e2sϕ|w|2 dxdt

≤M∫ T

−T

∫Ω

e2sϕ|∂ttw −∆xw|2 dxdt+Ms

∫ T

−T

∫Γ0

e2sϕ |∂νw|2 dσdt

∀s > s0 et w ∈ L2(−T, T ;H10 (Ω)), ∂ttw −∆xw ∈ L2(−T, T ;L2(Ω)),

w(·,±T ) = ∂tw(·,±T ) = 0 dans Ω.20/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Méthode de démonstration de la stabilité‖p− q‖L2(Ω) ≤ C ‖∂νy[p]− ∂νy[q]‖H1((0,T );L2(Γ0)) (?)

I Outils principaux :

I Inégalité de Carleman globale avec fonction poids ad-hoc ;I Estimations d’énergie classiques ;

I Etapes pour démontrer la stabilité Lipschitzienne (?) :

I Poser z = y[p]− y[q] : on se place localement autour d’une

solution connue y[p] ;I Ecrire l’équation de Z = ∂tz et l’étendre à des temps

négatifs (si possible) ;I Appliquer l’inégalité de Carleman à w = η(t)Z, où η est une

fonction cut-off, nulle près de t = ±T (si besoin) ;I Conclure avec des estimations d’énergie.



Illustration dans le cas des ondes

Soient x0 ∈ RN \ Ω, Γ0 et T tels que

x ∈ ∂Ω, (x− x0) · ν(x) > 0 ⊂ Γ0 ; T > supx∈Ω|x− x0|.

Supposons aussi que ‖p‖L∞(Ω) ≤ m, infx∈Ω|y0(x)| ≥ γ > 0 et

y[p] ∈ H1(0, T ;L∞(Ω)) dans8><>:∂tty −∆xy + p(x)y = f, in (0, T )× Ω,

y(t, x) = g(t, x), on (0, T )× ∂Ω

(y(0, x), ∂ty(0, x)) = (y0(x), y1(x)), in Ω.

Les étapes décrites plus haut donnent8><>:∂ttw −∆xw + q(x)w = η(q − p)∂ty[p] + η′∂tZ + η′′Z, in (−T, T )× Ω,

w(t, x) = 0, on (−T, T )× ∂Ω,

(w(0, x), ∂tw(0, x)) = (0, (q − p)y0) in Ω.



Spécificités des cas d’edp hyperboliques

I Cas des ondes classiques :

I Condition sur le temps d’observation T assez grand ;I Condition sur le domaine d’observation Γ0 ⊂ ∂Ω ;I Réversibilité permettant de se placer sur (−T, T ) ;I Inégalité de Carleman globale : d’autres méthodes existent.

Travaux de Puel, Yamamoto, Imanuvilov, Zhang,...

I Cas plus exotiques étudiés :

I Opérateur discontinu ∂tt − div(a(x)∇·),

a(x) =

a1 > 0 dans Ω1,

a2 > 0 dans Ω2.et a1 > a2

Observation sur ∂Ω ; somme de 2 inégalités de Carleman.

- A global Carleman estimate in a transmission wave equation...,LB, A. Mercado & A. Osses, Inverse Problems 2007.



I I Opérateur sur un réseau : ∂tt − ∂xx, pour x ∈ R Choix crucial du poids de Carleman,

inspiré de Benabdallah, Dermenjian, Le Rousseau ’07.

I Opérateur semi-discret : ∂tt −∆h (différences finies)Γ00 1x0

Résultat de stabilité uniforme

‖ph − qh‖L2(Ω) ≤ C∥∥∂t(∂−h yh[ph])N+1 − ∂t(∂−h yh[qh])N+1

∥∥L2(0,T )

+ C∥∥h∂+

h ∂tt(yh[ph]− yh[qh])∥∥L2((0,T );L2([0,1)))

.

Autre Carleman discret par Boyer, Hubert, Le Rousseau ’10.- Global Carleman estimate on a network for the wave equation and application to an inverse problem,LB, E. Crépeau & J. Valein, MCRF 2011- Convergence of an inverse problem for discrete wave equations,LB & S. Ervedoza, SICON 2013.



Spécificités du cas des edp paraboliques

I Observation localisée en espace suffisante ;

I Observation supplémentaire en temps T0 ∈ [0, T ] ;

I Voir Fursikov Imanuvilov ’96, Imanuvilov Yamamoto ’98,

Le Rousseau, Dermenjian, Benabdallah, Gaitan ’06 ’07,...

cf survey Yamamoto ’09 ;

I Equation de Kuramoto Sivashinski :

∂ty + ∂2x(σ(x)∂2

xy) + γ(x)∂2xy + y∂xy = g,

pour (x, t) ∈ (0, 1)× (0, T ) ;

Poids de Carleman ϕ(x, t) =ψ(x)

t(T − t).

- Lipschitz stability in an inverse problem for the Kuramoto-Sivashinsky equation,LB, E. Cerpa, E. Crépeau & A. Mercado, Applicable Analysis 2013.



Spécificités du cas des edp dispersivesI Equation de Schrödinger : i∂ty + div(a(x)∇y) + p(x)y = 0

I Pas de temps minimal d’observation ;I Donnée initiale y0 ∈ R ou y0 ∈ iR uniquement ;

I Poids de Carleman ϕ(x, t) =α− eλ|x−x0|2

(T − t)(T + t);

I voir LB & Puel ’02, Mercado Osses Rosier ’08,

Cardoulis Cristofol Gaitan ’08, Yuan Yamamoto ’09...

I Equation de Korteweg-de-Vries : ∂ty+ a(x)∂3xy+ ∂xy+ y∂xy = 0

I hypothèse de symétrie sur y0 et a, du type a(x) = a(L− x) ;

I Poids de Carleman ϕ(x, t) =α− eλψ(x)

(T − t)(T + t).

- An inverse problem for Schrödinger equations with discontinuous main coefficient,LB & A. Mercado, Applicable Analysis 2008.- On the determination of the principal coefficient from boundary measurements in a KdV equation,LB, E. Cerpa, E. Crépeau & A. Mercado, JIIP 2014.



Vers la reconstruction

Etant donnée une observation continue M [p] = ∂νy[p]|(0,T )×∂Ω

I Discretisons l’équation des ondes∂ttyh −∆hyh + phyh = fh ' f,yh|(0,T )×∂Ω = gh ' g,(yh, ∂tyh)(t = 0) = (y0

h, y1h) ' (y0, y1).

I Problème inverse discret : trouver le potentiel ph tel que la

solution discrète correspondante yh[ph] approche au mieux

l’observation :

∂hyh[ph]|(0,T )×∂Ω (t, x) 'M [p](t, x).

Question : Obtenons-nous ph ' p?



Premier objectifAnalyser la convergence du problème inverse discret.

I Question naturelle pour tout problème inverse en dimension

infinie : retrouver un terme source, une conductivité...

I Dépend a priori du schéma numérique employé ;

I Principale difficulté : dynamique de l’équation des ondes

continue 6= dynamique de l’équation des ondes discrétisée,

cf Ervedoza - Zuazua ’11.

Ondes parasites hautes-fréquence, générées par les schémas numériques.

Dynamique continue 6= dynamique discrète28/35 Lucie Baudouin Problèmes inverses et commande robuste d’edp


Second objectifProposer un nouvel algorithme de reconstruction globalement

convergent.

Remarques :

I Reconstruction du potentiel, avec une seule observation locale ;

I A partir de l’observation M [p] = ∂νy[p], une méthode classique

pour résoudre ce problème inverse consiste à minimiser

J(q) = ‖∂t (∂νy[q]−M [p]) ‖2L2(Γ0×(0,T ))

qui est non convexe ⇒ problème de minima locaux ;

I Notre algorithme est basé sur une inégalité de Carleman et sur

la structure de démonstration du résultat de stabilité.



Résultat de convergenceobtenu avec un argument de type théorème de Lax, en deux étapes :

I Consistance : Pour tout potentiel q, on peut trouver une suite de

potentiels discrets qh tels que qh −→h→0

q dans L2(Ω) et

∂t(∂−h yh[qh])N+1 −→h→0

∂txy[q](t, 1) dans L2(0, T ).

I Stabilité uniforme : Il existe une constante C indépendante de

h > 0 telle que pour tout ph, qh,

‖ph − qh‖L2(Ω) ≤ C∥∥∂t(∂−h yh[ph])N+1 − ∂t(∂−h yh[qh])N+1

∥∥L2(0,T )

+C∥∥h∂+

h ∂tt(yh[ph]− yh[qh])∥∥L2((0,T );L2([0,1)))

.

- Convergence of an inverse problem for discrete wave equations,LB & S. Ervedoza, SICON 2013.- Stability of an inverse problem for the discrete wave equation and convergence results,LB, S. Ervedoza & A. Osses, submitted.



Vers la reconstruction du potentielRappelons que Z = ∂t (y[p]− y[q]) vérifie

∂ttZ −∆xZ + q(x)Z = (q − p)∂ty[p], (t, x) ∈ (0, T )× Ω,

Z(t, x) = 0, (t, x) ∈ (0, T )× ∂Ω

(Z(0, x), ∂tZ(0, x)) = (0, (q − p)y0), x ∈ Ω.

Idée : le terme source (q − p)∂ty[p] est “moins important” que la

donnée initiale (q − p)y0, et nous connaissons par ailleurs

∂νZ = ∂t∂νy[p]− ∂t∂νy[q] sur (0, T )× Γ0.

L’idée est d’ajuster Z en utilisant ces informations,

et en appliquant l’inégalité de Carleman appropriée.

- Global Carleman estimates for waves and applications,LB, M. de Buhan & S. Ervedoza, Comm. PDE 2013.



AlgorithmeInitialisation : q0 = 0.

Itération : Etant donné qk,

1 - Calculer la solution w[qk] deLqkw = ∂2

tw −∆w + qkw = f, dans Ω× (0, T ),

w = g, sur ∂Ω× (0, T ),

w(0) = w0, ∂tw(0) = w1, dans Ω,

et poser µk = ∂t(∂νw[qk]− ∂νw[p]

)sur Γ0 × (0, T ).

2 - On introduit la fonctionelle

Jk0 (z) =∫ T

0

∫Ω

e2sϕ|Lqkz|2 + s

∫ T

0

∫Γ0

e2sϕ|∂νz − µk|2,

sur l’espace T k = z ∈ L2(0, T ;H10 (Ω)), z(0) = 0,

Lqkz ∈ L2(Ω× (0, T )), ∂νz ∈ L2(Γ0 × (0, T )).



Théorème :

Sous les hypothèses sur Γ0 ⊂ ∂Ω et T > 0, pour tout s > 0 et k ∈ N, lafonctionelle Jk

0 est continue, strictement convexe et coercive sur T k.

3 - Soit Zk le minimiseur unique de la fonctionnelle Jk0 , et posons

qk+1 = qk +∂tZ

k(0)w0

⇔ ∂tZk(0) = (qk+1 − qk)w0

4 - Finalement, on choisit

qk+1 = Tm(qk+1), où Tm(q) =

q, si |q| ≤ m,sign(q)m, sinon.

Théorème :

Soit p ∈ L∞m (Ω). Sous les hypothèses sur Γ0, T , y0, y[p], il existe M > 0

telle que ∀s assez grand, ∀k ∈ N,ZΩe2sϕ(0)(qk − p)2 dx ≤

„M√s

«k ZΩe2sϕ(0)p2 dx.

En particulier, pour s assez grand, qk converge vers p quand k →∞ .



Conclusion et perspectivesI Bonnes simulations numériques en 1D (en ∼ 20 itérations) ;

I Encore meilleures avec l’ajout d’un terme de régularisation dans Jk0,h(zh) de la

forme sZ T

0

Z 1

0e2sϕ|h∂+

h ∂tzh|2 dt.

- 2.0

- 1.5

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0- 2.0

- 1.5

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

I Mais les paramètres de Carleman sont “irréalistes” : s = 1 et λ = 0.1 !

I en 2D (2 itérations, ∼ 1 journée de calcul !) :IsoValue0.70.7842110.8684210.9526321.036841.121051.205261.289471.373681.457891.542111.626321.710531.794741.878951.963162.047372.131582.215792.3

IsoValue0.70.7842110.8684210.9526321.036841.121051.205261.289471.373681.457891.542111.626321.710531.794741.878951.963162.047372.131582.215792.3

IsoValue0.70.7842110.8684210.9526321.036841.121051.205261.289471.373681.457891.542111.626321.710531.794741.878951.963162.047372.131582.215792.3

I Travaux en cours avec une fonction poids à un seul paramètre...



Merci pour votre attention.


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