Problèmes phy

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delaPCSIàlaPC

exercicesdephysique

A.LeRille

mathsspéPC

lycéeJansondeSailly

2008-2009

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Tabledesmatières

IMécanique 5

1Mécaniquedupointmatériel 71.1Applicationdirecteducours .......................................... 7

1.A.1-Trajectoireparabolique1.A.2-Trajectoirescirculaires1.A.3-LadensitémoyennedelaTerre1.A.4-UnhommesurlaLune1.A.5-Forcedérivantd'unpotentielàdeuxdimensions-n11.A.6-Forcedérivantd'unpotentielàdeuxdimensions-n21.A.7-Trajectoiredupremiersatellitearticiel1.A.8-Trajectoired'unpointàaccélérationcentripète1.A.9-Mouvementd'unressorthorizontal1.A.10-Mouvementd'unressortvertical1.A.11-Pendulesimple1.A.12-Etudedelachuted'unebilledansdiérentsréférentiels

1.2Entraînement .................................................. 91.B.1-Rouedevélo1.B.2-Trajectoirecycloïdale1.B.3-Bretelled'autoroute1.B.4-Coursedevoitures1.B.5-EnergiepotentielledeYukawa1.B.6-Uneballedegolfdansunlac1.B.7-Sautàski1.B.8-LependuleduprofesseurTournesol1.B.9-Interactiondedeuxparticuleschargées1.B.10-Lancementd'unpendule1.B.11-Mouvementd'unebillesurunballon1.B.12-L'enfantsuruntoboggan1.B.13-Utilisationd'unportraitdephase1.B.14-Tracéd'unportraitdephase1.B.15-Cycloïdesd'unpointàlacirconférenced'unerouedevélo1.B.16-Penduledansunascenseur1.B.17-Penduledansunevoiture1.B.18-Entraînementàl'apesanteur1.B.19-Ressortverticaldansunascenseur

1.3Planchesd'oral ................................................. 151.C.1-Conservationdel'énergiemécaniquesurunearchedecycloïde1.C.2-Déviationd'unsatellite1.C.3-Unpenduledansunevoiture

1.4Travauxdirigés ................................................. 161.D.1-Mouvementd'uneparticuledansunchampdeforcenewtonien1.D.2-Relaxationd'unoscillateur

3

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1.D.3-Résonanced'unoscillateur1.D.4-Eetsdesforcesd'inertiedansleréférentielterrestre

1.5Exercicesmaple ................................................. 21

2Mécaniquedusolide 232.1Applicationdirecteducours .......................................... 23

2.A.1-Lecentredemassed'uneépuisette2.A.2-Energiecinétiqued'unebalançoire2.A.3-Elémentscinétiquesd'uncerceau2.A.4-Elémentscinétiquesdesbouclesd'oreillesdeChloé2.A.5-Elémentscinétiquesd'unenacelledegranderoue2.A.6-Etudeduchampdesvitessesdansunsolide2.A.7-Cosettevaaupuits2.A.8-Reculd'unearmeàfeu2.A.9-AstérixetCléopâtre2.A.10-Principedudiérentiel2.A.11-Deuxsphèresquiroulent2.A.12-Leseauquiplongedanslepuits2.A.13-Lepatineur2.A.14-Moteurd'axexe

2.2Entraînement .................................................. 262.B.1-Rouedevoiturelestée2.B.2-Elémentscinétiquesd'unpenduledemi-circulaire2.B.3-Momentcinétiqued'unebalanceàplateaux2.B.4-Lafusée2.B.5-Lachuted'unechaîne2.B.6-Positiond'équilibred'unebalanceàplateaux2.B.7-Leseauquitombedanslepuitsavecunepoulie2.B.8-Déterminationd'uncoecientdefrottement2.B.9-Machined'Atwood2.B.10-Nécessitéduvolantd'inertie2.B.11-Nécessitédel'équilibragestatique

2.3Planchesd'oral ................................................. 292.C.1-Positionsd'équilibred'unecraiedansuntuyau2.C.2-Unebilledansunegoutière2.C.3-Uncylindredansunautrecylindre2.C.4-Sphèrequirouledansunerigole

2.4Travauxdirigés ................................................. 302.D.1-Réductioncanoniqueduproblèmeàdeuxcorps

2.5Exercicesmaple ................................................. 31

3Mécaniquedesuides 333.1Applicationdirecteducours .......................................... 33

3.A.1-Densitéparticulairedansl'eau3.A.2-Caractéristiqued'unécoulementdansundièdredroit3.A.3-Accélérationdansundièdredroit3.A.4-Déterminationd'unchampdevitessesetd'accélération3.A.5-Diérenceentrelignesdecourantettrajectoires3.A.6-Ecoulemententredeuxcylindres3.A.7-Ecoulementaudessusd'unplanoscillant3.A.8-Champdepressiondansunécoulementunidirectionnel3.A.9-Ecoulementbarotropepourungazparfait

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3.A.10-LoideTorricelli3.A.11-Compteurdegaz3.A.12-Jetsuruneplaquemobile3.A.13-Puissanced'unepompe3.A.14-Mélangeur3.A.15-Compresseuradiabatique3.A.16-Forcedepousséesubieparunefusée

3.2Entraînement .................................................. 353.B.1-Distanceentreparticulesdansl'eau3.B.2-Caractéristiqued'unécoulementpourunuideenrotation3.B.3-Caractéristiqued'unécoulementplanauvoisinaged'unesourceponctuelle3.B.4-Caractéristiqued'unécoulementdansundièdredroit(2)3.B.5-Ecoulemententredeuxcylindres(2)3.B.6-Fonctiondecourantd'unécoulementplanincompressible3.B.7-RelationdeBernouillietpremierprincipedelathermodynamique3.B.8-Tempsdevidanged'unrécipient3.B.9-Forceexercéesuruneseringue3.B.10-Evolutiondelavitessed'unefusée3.B.11-Refrigérant3.B.12-Forcesurunelanced'incendie3.B.13-Tourniquetd'arrosage

3.3Planchesd'oral ................................................. 383.C.1-Liquideenrotation

3.4Travauxdirigés ................................................. 383.D.1-Etudedequelquesécoulementsplans3.D.2-Exemplesdebilanspourquelquessystèmesouverts

3.5Exercicesmaple ................................................. 40

IIThermodynamique 43

4Transformationsthermodynamiques 454.1Applicationdirecteducours .......................................... 45

4.A.1-Leskieur4.A.2-L'échelleFahrenheit4.A.3-Vitessedesmoléculesdansl'air4.A.4-Températured'unpneu4.A.5-Massedel'airdansunepièce4.A.6-Caractéristiquesd'ungazdekrypton4.A.7-Énergieetvitessedansuntubenéon4.A.8-Coecientsthermoélastiquesd'ungazréel4.A.9-Baromètres4.A.10-ExpériencedePascalàlatourSaintJacques4.A.11-Gazomètre4.A.12-Dugazdansl'eau4.A.13-DenivellationdansuntubeenU4.A.14-Densitomètre4.A.15-Quentinjouedanssonbain4.A.16-Forcesdepressionsuruneparoi4.A.17-Chuted'eau4.A.18-Unbonbainchaud4.A.19-Chaleursmassiques4.A.20-Troistravauxdiérents

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4.A.21-Compressionsd'ungazparfait4.A.22-Variationd'entropied'ungazparfait4.A.23-Entropiedemélangededeuxgaz4.A.24-Entropiedemélangededeuxliquides4.A.25-CycledeCarnot4.A.26-Cycleàtroistemps

4.2Entraînement .................................................. 494.B.1-Dissociationdubrome4.B.2-Calculsdepressionspartielles4.B.3-Gazparfaitdansuncylindrevertical4.B.4-Coecientsthermoélastiquesd'ungazparfait4.B.5-Coecientsthermoélastiquesdudioxydedecarbone4.B.6-Déterminationd'uneéquationd'étatàpartirdescoecientsthermoélastiques4.B.7-Déterminationdel'équationd'étatd'ungazàpartirdeladiérentielledesapression4.B.8-ModélisationdeVanderWaalsdelavapeurd'eau4.B.9-Déterminationdelamassevolumiqued'unesphère4.B.10-Pressehydraulique4.B.11-Pressionaufondd'unefosseocéanique4.B.12-Mesured'unediérencedepressiondansunecanalisation4.B.13-Mesured'unediérencedepressionentredeuxcanalisations4.B.14-Massedel'atmosphère4.B.15-Ballonatmosphérique4.B.16-Atmosphèrepolytropique4.B.17-Atmosphèreadiabatique4.B.18-Chaleuréchangéeparuncorpsquichute4.B.19-Energieinterned'ungazparfait4.B.20-Etirementd'unressort4.B.21-Variationd'entropied'unsolidechauéourefroidi4.B.22-Biland'entropiepourunsolidemétalliquechaué4.B.23-Biland'entropiepourunerésistanceélectrique4.B.24-Interprétationstatistiquedel'entropiedanslecasd'unsystèmeàdeuxniveaux4.B.25-Expressiondel'équationd'étatàpartirdel'énergieinterneetdel'entropie4.B.26-CycledeBrayton4.B.27-CycledeStirling4.B.28-Moteuretpompeàchaleurutiliséspourunchaue-eau4.B.29-Climatiseur

4.3Planchesd'oral ................................................. 554.C.1-Uncylindreavecdeuxcompartiments4.C.2-ExpériencedeClémentetDesormes4.C.3-Variationd'entropied'unebarre

4.4Travauxdirigés ................................................. 554.D.1-Bilansd'énergieetd'entropiepourungazparfait4.D.2-Moteursàcombustioninterne

4.5Exercicesmaple ................................................. 57

5Thermodynamiquehorséquilibre 595.1Applicationdirecteducours .......................................... 59

5.A.1-Équilibrededeuxgaz5.A.2-Variétésallotropiquesdusoufre5.A.3-Mesureexpérimentaledel'enthalpiemassiquedefusiondelaglace5.A.4-Transformationdeglaceeneau5.A.5-Pressiondevapeursaturantedel'eau5.A.6-Refroidissementd'uncomposantélectronique

Page 8: Problèmes phy

5.A.7-Etuded'undouble-vitrage5.A.8-Pertesthermiquesàtraversunpandemur5.A.9-Lasensationdechaudoudefroid5.A.10-Duréed'unrégimetransitoire5.A.11-Isolant5.A.12-Diusiond'unpicdetempérature5.A.13-Séparationisotopique5.A.14-Tempsdediusiondu CO2 dansunepièce

5.2Entraînement .................................................. 625.B.1-Évolutionmonothermeisochored'unliquide5.B.2-Évolutionlorsdelafusiond'unglaçon5.B.3-Températuredansunigloo5.B.4-Transfertparconductionet(ir)réversibilité5.B.5-Etuded'unecaveenterrée5.B.6-Conductionthermiqueentredeuxsphèresconcentriques5.B.7-Absorptiondeneutronsparlebore

5.3Planchesd'oral ................................................. 635.C.1-Descochonssurlabanquise5.C.2-Héliumdansuncryostat

5.4Travauxdirigés ................................................. 645.D.1-Etudedestransformationsdel'eauàlapressionatmosphérique5.D.2-Conditionsauxlimitesetéquationdediusion

5.5Exercicesmaple ................................................. 66

IIIElectromagnétisme 69

6Loisgénéralesdel'électromagnétisme 716.1Applicationdirecteducours .......................................... 71

6.A.1-Nuageélectronique6.A.2-Noyauradioactif β−

6.A.3-Feuilled'aluminiumchargée6.A.4-Filélectrique6.A.5-Conductionélectriquedansunruband'aluminium6.A.6-ConservationdelachargeetéquationsdeMaxwell6.A.7-Des"charges"magnétiques6.A.8-Unchampmagnétiqueradial6.A.9-Unchampélectriqueorthoradial6.A.10-Courantsélectriquesetcourantsdedéplacement6.A.11-Potentielvecteurdanslecasd'unchampmagnétiquehomogène6.A.12-Potentielscalairecrééparunechargeponctuelle6.A.13-Champélectriquecrééparunechargeponctuelle6.A.14-Champélectriqueauvoisinaged'unconducteurparfait6.A.15-Champmagnétiqueauvoisinaged'unconducteurparfait6.A.16-CyclotrondeLawrence6.A.17-ExpériencedeJ.J.Thomson(1897)6.A.18-SpectrographedeBainbridge6.A.19-Biland'énergiedansunconducteurcylindrique6.A.20-Biland'énergiedansuncondensateurplan6.A.21-Biland'énergiedansunsolénoïdecylindrique6.A.22-Forceexercéeparunchampmagnétiqueuniformesurunespirecirculaire

6.2Entraînement .................................................. 74

Page 9: Problèmes phy

6.B.1 - Vitesse des électrons dans le cuivre6.B.2 - Symétries d'une sphère chargée surfaciquement6.B.3 - Symétries d'une spire circulaire6.B.4 - Symétries d'un ensemble de deux ls parallèles6.B.5 - Courant évanescent6.B.6 - Distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène6.B.7 - Equations de Maxwell et conservation de la charge6.B.8 - Comparaison entre courants électriques et courants de déplacement6.B.9 - Source radioactive ponctuelle6.B.10 - Mesure expérimentale de e

m6.B.11 - Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons6.B.12 - Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons6.B.13 - Moment des forces de Laplace sur une tige conductrice6.B.14 - Roue de Barlow6.B.15 - Cadre carré dans un champ magnétique6.B.16 - Balance de Cotton

6.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.C.1 - Cylindre conducteur6.C.2 - Particule traversant une zone chargée

6.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.D.1 - Introduction à l'analyse vectorielle6.D.2 - Etude des symétries d'une distribution6.D.3 - Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique homogène et stationnaire

6.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7 Electrostatique 837.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.A.1 - Symétries de distributions de charge7.A.2 - Quatre charges ponctuelles7.A.3 - Cas d'un champ connu7.A.4 - Deux condensateurs en série7.A.5 - Moment dipolaire de l'eau

7.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.B.1 - Disque chargé7.B.2 - Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé7.B.3 - Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé7.B.4 - Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée7.B.5 - Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique7.B.6 - Capacité d'un condensateur dièdrique7.B.7 - Répulsion de deux hémisphères chargés7.B.8 - Energies électrostatiques de l'atome d'hydrogène considéré comme un doublet7.B.9 - Distribution dipolaire surfacique7.B.10 - Intéraction de deux dipoles électrostatiques à distance constante

7.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.C.1 - Sphère chargée uniformément7.C.2 - Un tunnel pour traverser la Terre

7.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.D.1 - Analogie entre gravitation et électrostatique7.D.2 - Détermination de champs électrostatiques et de capacités

7.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Page 10: Problèmes phy

8Magnétostatique 918.1Applicationdirecteducours .......................................... 91

8.A.1-Champmagnétiquecréédansuncylindrecreuxconducteur8.A.2-Forceexercéeparunchampmagnétiqueuniformesurundipôle8.A.3-Forceexercéeparunlsurundipôlemagnétique8.A.4-Mesuredumomentdipolairemagnétiqued'unaimant

8.2Entraînement .................................................. 928.B.1-ExpériencedeRowland8.B.2-Champmagnétiquecrééaucentred'unesphèrechargéesurfaciquementquitourne8.B.3-Champmagnétiquecrééaucentred'unesphèrechargéevolumiquementquitourne8.B.4-Mesuredelacomposantehorizontaleduchampmagnétiqueterrestre8.B.5-EetHalldansuneplaquettesemiconductriced'arséniured'indium8.B.6-EetHalldansuneplaquetteconductricedecuivre8.B.7-Intéractiondedeuxdipolesmagnétiquesàdistanceconstante8.B.8-Monopôlesetdipôlesmagnétiques8.B.9-Modèleclassiqueduspindel'électron8.B.10-Inclinaisonduchampmagnétiqueterrestreenfonctiondelalatitude8.B.11-Valeurdumomentdipolairemagnétiqueterrestre

8.3Planchesd'oral ................................................. 948.C.1-Cadreconducteurauvoisinaged'unlélectrique8.C.2-RouedeBarlow18.C.3-RouedeBarlow2

8.4Travauxdirigés ................................................. 958.D.1-Déterminationdechampsmagnétostatiques

8.5Exercicesmaple ................................................. 98

9Régimesquasi-stationnaires(ARQS) 999.1Applicationdirecteducours .......................................... 99

9.A.1-Cadretournantdansunchampmagnétiquehomogèneetpermanent9.A.2-Cadrexedansunchampmagnétiquehomogèneetvariable9.A.3-Déplacementd'unebarreconductricesurdeuxrailsconducteursparallèles9.A.4-Inductancemutuelled'unlrectiligneetd'uncadrerectangulaire9.A.5-Auto-inductiondansunsolénoïde9.A.6-Transformateurabaisseurdetension

9.2Entraînement .................................................. 1009.B.1-Bobineplongéedansunchampmagnétiquevariableinhomogène9.B.2-Déplacementd'unebarreconductricesurdeuxrailsconducteursconcourants9.B.3-CourantsdeFoucaultdansuncylindreconducteur9.B.4-Cylindreconducteurcreuxenrotationdansunchampmagnétique9.B.5-Inductiond'unsolénoïdedansunautre9.B.6-Inductancepropred'untoreàsectioncirculaire9.B.7-Inductancepropred'unelignebilaire

9.3Planchesd'oral ................................................. 1019.C.1-Barresenrotationdansunchampmagnétique9.C.2-Circuitàcondensateur,inductancesetmutuelle

9.4Travauxdirigés ................................................. 1029.D.1-Déterminationd'inductances

9.5Exercicesmaple ................................................. 103

Page 11: Problèmes phy

10Electricité 10510.1Applicationdirecteducours .......................................... 105

10.A.1-Résistanceéquivalente10.A.2-Pointdefonctionnementd'unélectrolyseur10.A.3-Redressementsimple10.A.4-Puissanceconsomméeparuneinstallationélectrique10.A.5-Intensitéscirculantdansdeuxbranchesenrégimesinusoïdalforcé10.A.6-Comparateur10.A.7-Amplicateurinverseur10.A.8-Amplicateurnoninverseur10.A.9-Dispositifpourtraceràl'oscillolacaractéristiqued'undipôle10.A.10-Fonctiondetransfertd'unltre

10.2Entraînement .................................................. 10810.B.1-Courantenprésenced'unediode10.B.2-Associationsdediodesidentiques10.B.3-Adaptationd'impédanceencontinu10.B.4-Déterminationd'unetensioninconnue10.B.5-Déterminationd'uneintensitéinconnue10.B.6-Déterminationd'uneintensitéinconnue10.B.7-Déterminationd'uneintensitéinconnue10.B.8-Déterminationd'unetensioninconnue10.B.9-Déterminationd'unerésistanceand'atteindreunetensionidoine10.B.10-Déterminationd'uneintensitéetd'unepuissancedissipée10.B.11-Méthodedestroisvoltmètres10.B.12-Circuit RLC série10.B.13-Circuit RLC parallèle(ou"bouchon")10.B.14-Adaptationd'impedanceenrégimesinusoïdalforcé10.B.15-Fonctiondetransfertd'unltre10.B.16-Fonctiondetransfertd'unltre10.B.17-Fonctiondetransfertd'uneassociationdedeuxltres C −R10.B.18-Fonctiondetransfertd'uneassociationdetroisltres C −R10.B.19-FiltredeWien10.B.20-Comparateuràhystérésis10.B.21-Résistancenégative10.B.22-Diodesansseuil

10.3Planchesd'oral ................................................. 11410.C.1-Leltraged'unetensionbizarre10.C.2-Filtreàamplicateursopérationnels

10.4Travauxdirigés ................................................. 11510.D.1-Condensateursetselfsenrégimestransitoires10.D.2-Relaxationd'unoscillateur10.D.3-Résonanced'unoscillateur

10.5Exercicesmaple ................................................. 119

IVOndes 121

11Généralitéssurlesondes 12311.1Applicationdirecteducours .......................................... 123

11.A.1-Absorptiondansunebreoptique11.A.2-Modespropred'unecavitérésonnante11.A.3-Observationdelagalaxied'Andromède11.A.4-EetDopplerpourunevoiture

Page 12: Problèmes phy

11.A.5-Dispersiondanslesverrescrownetint11.A.6-Indiceoptiqueetvitessedel'onde11.A.7-VitessesdephaseetdegroupedansunmilieuvériantlaloideCauchy11.A.8-Gastony'aletéléphonequisonne11.A.9-Corded'unvioloncelle11.A.10-RelationdedispersiondeKlein-Gordon11.A.11-Impédancecaractéristiqued'uncâblecoaxial11.A.12-Modespropresd'unecordedeMelde11.A.13-Ondessphériques

11.2Entraînement .................................................. 12511.B.1-Ladispersiondueàl'équationdeSchrödinger11.B.2-Vitessesd'uneonde TE1,0 dansunguided'onde11.B.3-Propriétésd'uneonde11.B.4-Ondedechocd'unavionsupersonique11.B.5-Evolutiondel'intensitéd'uneondeabsorbée11.B.6-RelationdeRayleighentrevitessesdephaseetdegroupe11.B.7-Vitessesdegroupedediversesondesdansl'eau11.B.8-SolutionsdelacordedeMelde11.B.9-ÉquationdepropagationdeKlein-Gordon

11.3Planchesd'oral ................................................. 12711.4Travauxdirigés ................................................. 127

11.D.1-EquationsdepropagationdeD'Alembertdansdiérentsmilieuxnondispersifs11.D.2-Déterminationsd'ondesstationnairesdansuncâblecoaxial11.D.3-Déterminationsd'équationsdedispersiondansdiérentsmilieuxdispersifs

11.5Exercicesmaple ................................................. 130

12Ondessonoresdanslesuides 13112.1Applicationdirecteducours .......................................... 131

12.A.1-Premièreharmoniqued'untuyau12.A.2-Lebarissementdel'oiseauetlepiaillementdel'éléphant12.A.3-Commententendreunc÷urquibat?12.A.4-Longueurdelacaissederésonanced'undiapason

12.2Entraînement .................................................. 13112.B.1-Octavesetdemi-tons12.B.2-Pourquoileventporteleson

12.3Planchesd'oral ................................................. 13212.4Travauxdirigés ................................................. 132

12.D.1-Approchelagrangiennedelapropagationd'uneondesonoreplane12.D.2-Bilanlocald'énergiepouruneondesonoreplane

12.5Exercicesmaple ................................................. 133

13Ondesélectromagnétiques 13513.1Applicationdirecteducours .......................................... 135

13.A.1-OPPetjaugedeCoulomb13.A.2-Longueursd'ondedequelquesondesradios13.A.3-Ondesphérique13.A.4-Caractéristiquesondulatoiresdel'ondeémiseparunlaserhélium-néon13.A.5-Caractéristiquescorpusculairesdel'ondeémiseparunlaserhélium-néon13.A.6-Modulationdel'intensitélumineusegrâceàunpolarisateurtournant13.A.7-Détectiondelumièreauvoisinagedel'extinction13.A.8-Expressioncomplexeduchampélectriqued'uneOPPMpolariséerectilignement

Page 13: Problèmes phy

13.A.9 - Décomposition d'une OPPM polarisée rectilignement13.A.10 - Polariseur circulaire13.A.11 - Détection de l'hélicité d'une polarisation circulaire13.A.12 - Diusion Rayleigh dans le visible13.A.13 - Diusion de l'atome d'hydrogène

13.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.B.1 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement13.B.2 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée elliptiquement13.B.3 - Variation de l'intensité lumineuse avec la loi de Malus13.B.4 - Rayonnement d'une antenne par unité d'angle solide13.B.5 - Diagramme de rayonnement d'une antenne13.B.6 - Caractéristiques d'une OPPM

13.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13813.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

13.D.1 - Equations de propagation et de dispersion

13.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

V Optique 143

14 Optique géométrique 14514.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

14.A.1 - Dispersion de la lumière avec la loi de Cauchy14.A.2 - Dispersion de la lumière blanche sur un dioptre verre-air14.A.3 - Rayon traversant une lame de verre14.A.4 - Angle de Brewster du verre de silice14.A.5 - Nature d'une lentille en fonction des rayons de courbure de ses dioptres14.A.6 - Projection d'une diapositive14.A.7 - Autocollimation14.A.8 - Association de deux lentilles14.A.9 - Un miroir plan comme rétroviseur14.A.10 - Image dans un miroir convexe14.A.11 - Se regarder dans un miroir convexe14.A.12 - Miroir concave14.A.13 - Petite cuiller

14.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14714.B.1 - Déviation par une lame de verre14.B.2 - Détermination de l'indice d'un liquide14.B.3 - Construction de Huygens14.B.4 - Réexion totale sur un prisme14.B.5 - Lame à face parallèle14.B.6 - Arc en ciel14.B.7 - Grandissement d'un rétroviseur14.B.8 - Taille des objets observables dans un miroir de rue14.B.9 - Deux miroirs plans14.B.10 - Distance minimale objet réel - image réelle avec une lentille convergente14.B.11 - Netteté d'un cliché photographique14.B.12 - Un miroir convexe comme rétroviseur

14.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15014.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

14.D.1 - Recherche d'images optiques

Page 14: Problèmes phy

14.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

15 Optique ondulatoire 15315.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

15.A.1 - Intensité résultant de l'éclairage par deux sources en fonction de la distance15.A.2 - Le pêcheur et le poisson15.A.3 - Doublet du sodium15.A.4 - Angle entre deux miroirs de Fresnel15.A.5 - Interfranges avec des miroirs de Fresnel éclairé par une lampe au mercure15.A.6 - Brouillage des interférences avec une lampe au sodium15.A.7 - Déplacement des franges15.A.8 - Michelson en coin d'air15.A.9 - Michelson en coin d'air15.A.10 - Angle maximal d'un coin d'air15.A.11 - Passage du coin d'air aux miroirs parallèles15.A.12 - Largeur d'un faisceau laser15.A.13 - Les phares de voiture la nuit15.A.14 - Brouillard15.A.15 - Positions des ordres d'un réseau15.A.16 - Détermination d'une raie inconnue par un réseau15.A.17 - Réseau eclairé par une lampe à vapeur de mercure15.A.18 - Réseau eclairé par une lumière blanche15.A.19 - Réalisation d'un monochromateur

15.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15615.B.1 - Nombre d'anneaux visibles avec le michelson en miroirs parallèles15.B.2 - Couche anti-reet15.B.3 - Bulle de savon15.B.4 - Principe de la spectrométrie par transformation de Fourier15.B.5 - Limitation du taux de transfert d'une bre optique15.B.6 - Cohérence temporelle d'une source15.B.7 - Longueur de cohérence15.B.8 - Trous d'Young sans diraction15.B.9 - Création d'un réseau grâce à un interféromètre à division du front d'onde15.B.10 - Miroir de Loyd15.B.11 - Miroirs de Fresnel15.B.12 - Mesure de l'indice d'un gaz15.B.13 - Séparation d'un doublet par un réseau15.B.14 - Minimum de déviation pour un réseau15.B.15 - Recouvrement des ordres15.B.16 - Doublet du sodium résolu grâce à un réseau15.B.17 - Apodisation

15.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16115.C.1 - Détermination de l'indice optique de l'air grâce au michelson15.C.2 - Principe d'un ltre interférentiel15.C.3 - Radiotélescope à proximité d'un lac15.C.4 - Interféromètre à cône de verre15.C.5 - Trous d'Young15.C.6 - Limitation de la détection d'une étoile par la diraction

15.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16215.D.1 - Diraction d'ensembles de pupilles simples

15.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Page 15: Problèmes phy
Page 16: Problèmes phy

Première partie

Mécanique

15

Page 17: Problèmes phy
Page 18: Problèmes phy

Chapitre 1

Mécanique du point matériel

1.1 Application directe du cours

1.A.1 - Trajectoire parabolique 3/2

Les coordonnées cartésiennes d'un point sont données, en fonction du temps, par : x = v0. cos(α).ty = 1

2a.t2 + v0. sin(α).tz = 0

où α et a sont des constantes.1) Vérier que la trajectoire est une parabole.2) Donner l'expressions de la vitesse dans le repère cartésien.3) Faire de même avec l'accélération.

1.A.2 - Trajectoires circulaires 3/2

Un mobile se déplace à la vitesse v = 10m.s−1 constante sur une trajectoire continue et dérivable partout, forméed'un segment [AB] suivi d'un quart de cercle de R = 10m entre B et C, suivi d'un autre quart de cercle de R entreC et D (de courbure opposée au quart de cercle précédent), et enn d'un segment [DE] parallèle à [AB].

1) Préciser la norme a de l'accélération subie par le mobile :1.a) entre A et B ;1.b) entre B et C ;1.c) entre C et D ;1.d) entre D et E.

1.A.3 - La densité moyenne de la Terre 3/2

On donne :

• l'accélération de la pesanteur sur Terre : g = 9, 81m.s−2 ;

• le rayon de la Terre RT = 6400km ;

• la constante de gravitation : G = 6, 67259.10−11m3.kg−1.s−2 ;

• la masse volumique de l'eau : µ0 = 1, 0kg/L.

1) Déterminer la masse MT de la Terre2) et sa densité moyenne dT .

1.A.4 - Un homme sur la Lune 3/2

Un astronaute (en scaphandre) de masse m = 75kg apporte une balance sur la Lune. Celle-ci indique mapp = 12kg !1) Que vaut g′ l'intensité de la pesanteur sur la Lune ?2) En déduire la masse ML de la Lune.On donne :

17

Page 19: Problèmes phy

• l'accélération de la pesanteur sur Terre : g = 9, 81m.s−2 ;

• le rayon de la Lune RL = 1750km ;

• la constante de gravitation : G = 6, 67259.10−11m3.kg−1.s−2.

1.A.5 - Force dérivant d'un potentiel à deux dimensions - n1 3/2

Un point matériel M astreint à se déplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis à une force ~F = −k. ~OMavec k > 0.

1) Energie potentielle :1.a) Montrer que la force ~F dérive d'une énergie potentielle Ep(x, y) qu'on déterminera.1.b) Calculer le travail de la force ~F lorsque le point M se déplace du point A(a, 0) au point O(0, 0)

2) Positions d'équilibre :On se place dans le cas où ~F est la seule action mécanique s'exerçant sur M .

2.a) Calculer les dérivées premières de Ep.2.b) Existe-t-il des positions d'équilibre ?2.c) Calculer les dérivées secondes de Ep.2.d) S'agit-il d'équilibre(s) stable(s) ?

1.A.6 - Force dérivant d'un potentiel à deux dimensions - n2 3/2

Un point matériel M astreint à se déplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis à une force

~F = k.

(x+ yx− y

)avec k > 0.

1) Travail :Calculer les travaux de la force ~F lorsque le point M se déplace du point A(−a, 0) au point D(+a, 0)

1.a) W1, pour un trajet le long de l'axe (Ox) ;1.b) W2, pour un trajet le long d'un rectangle ABCD où les coordonnées dans le repère cartésien sont B(−a, b)

et C(+a, b) .2) Energie potentielle :

2.a) Montrer que la force ~F dérive d'une énergie potentielle Ep(x, y) qu'on déterminera.2.b) Qu'est-ce que cela a comme conséquence pour W1 et W2 ?

3) Positions d'équilibre :On se place dans le cas où ~F est la seule action mécanique s'exerçant sur M .

3.a) Calculer les dérivées premières de Ep.3.b) Existe-t-il des positions d'équilibre ?3.c) Calculer les dérivées secondes de Ep.3.d) S'agit-il d'équilibre(s) stable(s) ?

1.A.7 - Trajectoire du premier satellite articiel 3/2

Dans le référentiel géocentrique Rg qu'on supposera galiléen, le premier satellite articiel, qu'on assimilera à unpoint matériel, de masse m, décrivait une trajectoire elliptique autour de O, centre de la Terre, de rayon RT = 6400km.Il avait son apogée à une altitude hA = 327km et son périgée à une altitude hP = 180km.

1) Déterminer le demi grand axe a.2) Déterminer c = FF ′

2 , la demi distance entre les deux foyers.3) Déterminer le demi petit axe b.4) Déterminer le paramètre p.5) Déterminer l'excentricité e de l'ellipse.

1.A.8 - Trajectoire d'un point à accélération centripète 3/2

On considère un point matériel M soumis à une accélération toujours centripète, dirigée vers un point xe O.1) Montrer que le mouvement de M s'eectue :

1.a) dans un plan unique ;1.b) à vitesse aréolaire constante.

Page 20: Problèmes phy

1.A.9 - Mouvement d'un ressort horizontal 3/2

On s'intéresse à un ressort horizontal accroché en O, de longueur à vide l0, de constante de raideur k auquel estassocié une masse m qu'on supposera ponctuelle, en M , qui coulisse sans frottement solide sur l'axe Ox horizontal (onrepère M par son abscisse x). Le système subit un frottement uide de coecient λ.

1) Ecrire l'équation diérentielle suivie par x.2) En déduire :

2.a) la pulsation propre ω0 de l'oscillateur ;2.b) et son facteur de qualité Q.

1.A.10 - Mouvement d'un ressort vertical 3/2

On s'intéresse à un ressort vertical accroché en O, de longueur à vide l0, de constante de raideur k auquel est associéune masse m qu'on supposera ponctuelle, en M qu'on repère par son altitude z. On négligera tout frottement.

1) Ecrire l'équation diérentielle suivie par z.2) En déduire :

2.a) la position d'équilibre zeq du point M ;2.b) la pulsation propre ω0 de l'oscillateur.

1.A.11 - Pendule simple 3/2

On s'intéresse à un pendule simple accroché en O, composé d'un l inextensible de longueur l0 = 25cm, auquel estassocié une masse m = 115g qu'on supposera ponctuelle, en M qu'on repère par l'angle θ que fait le l avec −~uz. Onnégligera tout frottement. On prendra le champ de pesanteur égal à g = 9, 81m.s−2.

1) Ecrire l'équation diérentielle suivie par θ.2) On supposera θ petit.

2.a) Ré-écrire l'équation diérentielle suivie par θ ;2.b) en déduire la période T de l'oscillateur. Application numérique.

1.A.12 - Etude de la chute d'une bille dans diérents référentiels 3/2

On s'intéresse à la chute d'une bille assimilée à un point matériel de masse m en M qu'on laisse tomber en t = 0d'une fenêtre de hauteur h par rapport au sol, le point O centre du repère étant à la verticale de la fenêtre, au sol.Elle est lâchée sans vitesse initiale dans le référentiel R0 du sol qu'on supposera plan horizontal. L'accélération de lapesanteur est ~g = −g.~uz. On négligera les forces de frottement.

1) Quelle est l'équation du mouvement et la trajectoire de M dans un reférentiel lié à une voiture en translationrectiligne (initialement en O à t = 0) :

1.a) la voiture étant à l'arrêt dans R0 ;1.b) la voiture roulant à la vitesse ~v = u.~ux uniforme dans R0 ;1.c) la voiture étant uniformément accélérée, d'accélération ~a = a.~ux dans R0, initialement au repos à t = 0

dans R0.

1.2 Entraînement

1.B.1 - Roue de vélo 5/2

On étudie la roue d'un vélo (de centre C et de rayon R = 350mm) qui se déplace sur un sol horizontal (Ox), dansle plan vertical (xOy). On étudie le mouvement par rapport au référentiel du sol. On se place dans le repère cartésien(Oxyz). On appelle θ, l'angle dont a tourné la roue.

Le centre de la roue (C) a une trajectoire rectiligne uniforme parcourue à la vitesse constante vC = 20km/h.On s'intéresse à un point M de la circonférence de la roue.1) Déterminer l'expression de la vitesse du point M en fonction des vecteurs ~ex et ~eθ.2) Déterminer l'expression de la vitesse du point M dans le repère cartésien.Pour que la roue ne dérape pas, il faut que la vitesse de tout point M de la roue soit nulle lorsqu'il passe au niveau

du sol.3) Donner la relation qui existe dans ce cas entre vC et θ.

Page 21: Problèmes phy

1.B.2 - Trajectoire cycloïdale 5/2

On se place dans le repère cartésien (Oxyz). On s'intéresse à une roue de rayon R et de centre C qui roule sansglisser dans le plan (x0y) : on admet que l'abscisse du centre de la roue est liée à l'angle θ dont a tourné la roue parla relation : xC = −R.θ.

Sur cette roue se trouve le point M qui initialement coïncide avec le point O.1) Exprimer, en fonction de R et de θ, et de ses dérivées, les coordonnées du point M .2) Faire de même pour la vitesse de M .3) Faire de même pour l'accélération de M .

1.B.3 - Bretelle d'autoroute 5/2

Une automobile (qu'on assimilera à un point matériel) qui se déplace initialement à la vitesse v0 = 130km.h−1 sortde l'autoroute. La bretelle de sortie est assimilée à un arc de cercle plan horizontal de rayon constant R = 50m. Lanorme de l'accélération du système ne peut excéder µ.g, avec µ = 1, 0 et g = 10m.s−2.

1) Questions préliminaires :1.a) Montrer que la voiture ne peut aborder le virage à la vitesse v0, au risque de quitter la route.1.b) Expliquer pourquoi il ne faut pas freiner dans le virage au risque, encore, de quitter la route.

Il faut donc prévoir une zone de décélération que l'on assimilera à un segment rectiligne plan.2) Calcul dans le cas d'un terrain sec :

2.a) Quelle est la vitesse vmax maximale à laquelle la voiture peut décrire le virage ?2.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de décélération ?

3) Calcul dans le cas d'un terrain mouillé :Dans cette question, v0 = 110km.h−1 et µ = 0, 30.

3.a) Quelle est la vitesse vmax maximale à laquelle la voiture peut décrire le virage ?3.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de décélération ?

1.B.4 - Course de voitures 5/2

Lors d'une course de voiture, 2 voitures (numérotées 1 et 2) arrivent au même instant, de front, à l'entrée d'unvirage qu'elles négocient de manière diérente.

La première voiture prend le virage à l'extérieur : elle suit à vitesse constante v1 un demi-cercle de rayon r1 = 110m.La seconde voiture, elle, prend le virage à la corde : elle suit à une autre vitesse constante v2 un autre demi-cercle derayon r2 = 100m.

1) Déterminer puis calculer les distances d1 et d2 parcourues respectivement par les deux automobiles.Du fait des frottements sur le sol, les normes des accélérations des deux voitures ne peuvent excéder µ.g, avec

µ = 1, 21 et g = 9, 81m.s−2.2) Déterminer les vitesses maximales des deux bolides.3) En déduire les durées ∆t1 et ∆t2 nécessaires aux 2 voitures pour négocier le virage. Conclure.4) Même question si la piste est mouillée : µ = 0, 342.

1.B.5 - Energie potentielle de Yukawa 5/2

Un point matériel M est soumis à une force ~F qui dérive d'une énergie potentielle

Ep = k.

(1r− 2r0

).e−

rr0

avec k > 0 et r0 > 0.1) Tracer l'allure de Ep(r).On donne l'expression du gradient dans le repère sphérique :

~grad (f) =

∂f∂r

1r .∂f∂θ

1r. sin θ .

∂f∂ϕ

2) Donner l'expression dans le repère sphérique de la force ~F .3) Position d'équilibre :

3.a) Montrer qu'il existe une position d'équilibre pour req.

Page 22: Problèmes phy

3.b) Calculer la dérivée seconde de Ep en req.3.c) S'agit-il d'un équilibre stable ?

4) Comportement de M :On suppose que M se trouve initialement en r = req, et qu'on lui communique une vitesse initiale v0.

4.a) Montrer que M ne peut pas atteindre O.4.b) Quelle est la valeur minimale de v0 (vitesse de libération vl) pour que M échappe à l'équilibre ?

1.B.6 - Une balle de golf dans un lac 5/2

Une balle de golf en M , de masse m, arrive dans un étang en O (centre du repère) avec une vitesse

~v0 = v0. cos(α).~ux − v0. sin(α).~uy

où (Ox) est un axe horizontal et (Oy) un axe vertical orienté vars le haut.On admet que l'action de l'eau se limite à une force de frottements ~ff = −λ.~v où λ > 0.1) Vitesse :

1.a) Exprimer la vitesse ~v de la balle de golf dans le repère cartésien.1.b) Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite vlim que l'on exprimera.

2) Trajectoire :2.a) Exprimer la position ~OM de la balle de golf dans le repère cartésien.2.b) Montrer que la trajectoire de la balle admet une asymptote dont on donnera l'équation dans le repère

cartésien.

1.B.7 - Saut à ski 5/2

On s'intéresse à un skieur assimilé à un point matériel (noté M) qui fait un saut : il quitte le tremplin T (quise trouve à la verticale du centre du repère O : ~OT = h.~uy) avec une vitesse initiale ~v0 qui fait un angle α avecl'horizontale ~ux.

La résistance de l'air est négligée : la seule force qui s'exerce sur le skieur durant le saut est alors son propre poids.1) Déterminer x(t) et y(t).2) Montrer que la trajectoire est parabolique : on donnera y = f(x).3) Exprimer la distance d = OS si S est le point où le skieur touche le sol (Ox).4) A.N : v0 = 90km/h, h = 8, 0m, α = π

4 , g = 9.81m.s−2. Calculer d.

1.B.8 - Le pendule du professeur Tournesol 5/2

On s'intéresse à un pendule OM constitué d'un l de masse négligeable de longueur d, d'une masse ponctuelle men M et xé en O (centre d'un repère cylindrique d'axe (Oz) orienté vers le bas). Le pendule est dans le champ depesanteur ~g et on appelle ~T la tension appliquée par le l sur M .

1) Projeter le principe fondamental de la dynamique appliqué au point M sur les trois axes du repère cylindrique.On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 de telle sorte qu'il décrive des cercles horizontaux à vitesse angulaire

θ constante.2) Montrer qu'il est possible que le pendule décrive eectivement des cercles horizontaux à vitesse angulaire θ

constante.3) Exprimer alors ~v0 dans le repère cylindrique en fonction de g, d et α.

1.B.9 - Interaction de deux particules chargées 5/2

On s'intéresse à un problème à une dimension (Ox). On xe en l'origine O une particule de charge électrique e.On s'intéresse au mouvement d'une autre particule de charge q, de masse m, initialement en A d'abscisse a > 0 et devitesse initiale v0.

1) Particules de charges opposées :On suppose que q = −e.Quelle vitesse minimale (vitesse de libération vl ) doit-on communiquer à la particule de charge q pour qu'elle

échappe à l'attraction de la particule placée en O ?2) Particules de charges de même signe :On suppose que q = +e et ~v0 = −v0.~ux.

2.a) Montrer que cette particule ne peut pas atteindre O.2.b) Calculer la distance minimale d'approche dmin.

Page 23: Problèmes phy

1.B.10 - Lancement d'un pendule 5/2

On s'intéresse à un pendule OM constitué d'un l de masse négligeable de longueur d, d'une masse ponctuelle men M et xé en O (centre d'un repère d'axe (Oz) orienté vers le haut). Le pendule est dans le champ de pesanteur ~g.On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 orthogonale à ~uz.

1) Altitude maximale :1.a) Calculer zmax, l'altitude où le point M a une vitesse nulle, si l'on fait abstraction du l.1.b) Dans quel domaine varie z ?1.c) Ré-exprimer zmax en prenant en compte cette dernière contrainte selon la valeur de v0.

2) Mouvements du pendule :2.a) Montrer que si v0 > v1 que l'on déterminera, le pendule fait un tour complet autour de O, le l restant

tendu.2.b) Montrer que si v0 < v2 que l'on déterminera, le pendule oscille, le l restant tendu.2.c) Que se passe-t-il si v0 ∈ ]v2; v1[ ?

1.B.11 - Mouvement d'une bille sur un ballon 5/2

On s'intéresse à une bille qu'on assimile à un point matériel M de masse m et à un ballon xe dans le référentieldu sol R qu'on assimile, lui, à une sphère de rayon r, de centre O, le centre du repère d'axe (Oy) vertical orienté versle haut.

La bille est lâchée à l'instant initial avec une vitesse initiale ~v0 = v0.~ux sur le sommet S du ballon.1) Dans un premier temps, la bille reste en contact avec le ballon : elle glisse sans frottement. On repère par

θ = (~ux, ~OM) la position de M sur le ballon.Déterminer la réaction ~N de la sphère sur la bille en fonction de θ, g (l'accélération de la pesanteur), m et r.2) La bille décolle du ballon.

2.a) Donner la valeur θmax de θ pour laquelle il y a décollage de la bille.2.b) A partir de quelle vitesse vmin de v0 la bille décolle-t-elle dès le début ?2.c) Si v0 = 0, déterminer θmax en degrés.

1.B.12 - L'enfant sur un toboggan 5/2

On étudie dans le référentiel terrestre galiléen le mouvement d'un enfant assimilé à un point matériel M de massem, qui glisse sur un toboggan, décrivant une trajectoire circulaire de rayon r = 1, 5m, de centre O. On se place dansun repère (Oxyz), le vecteur ~uy étant vertical, dirigé vers le haut (l'accélération de la pesanteur est g = 9.81m.s−2).La position de M est repérée sur le cercle par l'angle θ = (~ux, ~OM).

L'enfant passe de la position initiale θi = −15 où il possède une vitesse nulle jusqu'à la position θf = −90 où ilquitte le toboggan. On néglige tous les frottements.

1) Moment cinétique :1.a) Exprimer le moment cinétique ~σO de M en O.1.b) En déduire l'équation diérentielle suivie par θ.

2) Energie mécanique :2.a) Exprimer l'énergie mécanique Em.2.b) Retrouver l'équation diérentielle suivie par θ.2.c) En déduire l'expression de la norme v de la vitesse de M en fonction de θ.2.d) Calculer la vitesse maximale vmax atteinte par l'enfant. Application numérique.

1.B.13 - Utilisation d'un portrait de phase 5/2

1) Etude théorique :On s'intéresse à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k placé horizontalement. Son extrémité gauche est

xe (en O, centre du repère d'axe (Ox) orienté vers la droite) dans le référentiel du sol considéré galiléen, et l'extrémitédroite est liée à un point matériel M de masse m, astreint par une tige à se déplacer sans frottement suivant l'axe(Ox), et qui subit une force de frottement uide ~f = −λ.~v, où ~v est sa vitesse et λ > 0, une constante.

1.a) Ecrire l'équation diérentielle suivie par l'élongation x, du ressort.1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l'oscillateur en fonction de k et m.1.c) Exprimer le facteur de qualité Q de l'oscillateur en fonction de λ et m.

2) Etude pratique :On donne sur la gure 1.1 le portrait de phase (x(t), x(t)) de l'oscillateur.Déterminer par lecture graphique :

Page 24: Problèmes phy

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06

Fig. 1.1 Portrait de phase (x(t), x(t))

Page 25: Problèmes phy

2.a) la nature du régime de l'oscillateur (qu'est-ce que cela induit ?) ;2.b) la valeur initiale de la position xi = x(t = 0) ;2.c) la valeur nale de la position xf = x(tf ) ;2.d) le rapport tf

T où T est la pseudo-période.

1.B.14 - Tracé d'un portrait de phase 5/2

1) Equation de l'oscillateur :On s'intéresse à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k = 11N.m−1 placé horizontalement. Son extrémité

gauche est xe (en O, centre du repère d'axe (Ox) orienté vers la droite) dans le référentiel du sol considéré galiléen, etl'extrémité droite est liée à un point matériel M de masse m = 130g, astreint par une tige à se déplacer sans frottementsuivant l'axe (Ox), et qui subit une force de frottement uide ~f = λ.~v, où ~v est sa vitesse et λ = 1, 2N.m−1.s, uneconstante.

1.a) Ecrire l'équation diérentielle suivie par l'élongation l = x− l0, où x est l'absisse du point M .1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l'oscillateur en fonction de k et m. Application numérique.1.c) Exprimer le facteur de qualité Q de l'oscillateur en fonction de λ et m. Application numérique.

2) Solution de l'équation diérentielle :l(t) = l0.e

− tτ .cos(ω.t+ ϕ) est solution de l'équation diérentielle.

2.a) Justier le fait que la solution est pseudo-périodique.2.b) Exprimer la pulsation ω en fonction de ω0 et Q. Application numérique.2.c) En déduire la pseudo-période T . Application numérique.2.d) Exprimer le temps τ en fonction de ω0 et Q. Application numérique.

3) Portrait de phase :Les conditions initiales (x(t = 0) = 10cm et x(t = 0) = 0) imposent x0 = 11, 56cm et ϕ = −0, 5256rad. Donner

l'alure du portrait de phase (x(t), x(t)) de l'oscillateur.

1.B.15 - Cycloïdes d'un point à la circonférence d'une roue de vélo 5/2

On s'intéresse à un vélo dont le cadre (assimilé à un référentiel R1) est en mouvement de translation rectiligneuniforme de vitesse ~v = v0.~ux par rapport au sol (assimilé à un référentiel R0). O est un point xe du sol. Une desroues de ce vélo (assimilée à un référentiel R2) est en rotation uniforme de vecteur rotation ~Ω = −Ω.~uz dans R1. Laroue, de rayon R, a pour centre O′ qui est xe dans R1 et dans R2. On s'intéresse au mouvement d'un point M de lacirconférence de la roue initialement en O.

1) Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de M dans R0 et la tracer en distinguant trois cas :1.a) v0 = Ω.R ;1.b) v0 < Ω.R ;1.c) v0 > Ω.R.

1.B.16 - Pendule dans un ascenseur 5/2

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentielR2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en O dansl'ascenseur. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale.

L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz.1) Déterminer la période T des petites oscillations du pendule dans les cas suivants :

1.a) L'ascenseur est immobile ;1.b) L'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;1.c) L'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz.

1.B.17 - Pendule dans une voiture 5/2

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un véhicule (assimilé à un solide auquel on attache le référentielR2), a un mouvement de translation rectiligne horizontal uniformément accéléré, d'accélération ~a = a.~ux.

Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en O dans levéhicule. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale (cet angle étant orienté, avec ~uz pointantvers nous, (~ux, ~uy, ~uz) étant un trièdre direct).

L'accélération du champ de pesanteur est ~g = g.~uy.1) Déterminer l'équation diérentielle suivie par θ.

Page 26: Problèmes phy

2) Déterminer la position d'équilibre repérée par l'angle α que fait le l avec la verticale.3) Quelle est la période des petites oscillations autour de α ?On donne sin (α± β) = sinα. cosβ ± cosα. sinβ et cos (α± β) = cosα. cosβ ∓ sinα. sinβ.

1.B.18 - Entraînement à l'apesanteur 5/2

Pour s'entraîner à l'impesanteur, les astronautes vont dans un avion. On supposera grossièrement que l'avion est entranslation par rapport au sol, supposé galiléen. Le champ de pesanteur ~g = −g.~uz est homogène avec g = 9, 81m.s−2.

1) Quelle doit être la nature de la trajectoire de l'avion pour obtenir l'eet d'impesanteur pendant le vol ?L'avion vole à une altitude limitée à h = 9000m.2) Quelle est la durée maximale T pendant laquelle on peut réaliser l'impesanteur par ce procédé ?

1.B.19 - Ressort vertical dans un ascenseur 5/2

Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentielR2), a un mouvement de translation rectiligne vertical.

On suspend en un point O de l'ascenseur un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide l0 quisoutient un point matériel M de masse m (initialement immobile dans l'ascenseur).

L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz.1) Déterminer l'altitude z de M au cours du temps :

1.a) si l'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;1.b) si l'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz.

2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accéléromètre, même si M n'est pas au repos initialement ?

1.3 Planches d'oral

1.C.1 - Conservation de l'énergie mécanique sur une arche de cycloïde ***

(d'après CCP 2002)Un point matériel M de masse m se déplace sans frottements sur l'arche de cycloïde (cf. gure 1.2) d'équation :

x = R. (θ + sin θ)y = R. (1− cos θ)

dans le champ de pesanteur ~g = g.~uy.

Fig. 1.2 Arche de cycloïde

1) Trouver l'abcisse s(θ) parcourue par le point M pour aller de O au point P repéré par le paramètre θ.2) En utilisant le fait que l'énergie mécanique est constante, trouver la forme de l'abcisse s(t).

1.C.2 - Déviation d'un satellite ***

(Centrale 2007)Ou note M la masse de la Terre de centre O et G la constante gravitationnelle. Un satellite en P de masse m est

lancé à une distance r0 avec une vitesse déviée d'un angle α, mais de même norme que celle qu'il aurait sur uneorbite circulaire de rayon r0.

1) Calculer l'énergie potentielle de gravitation.2) Trouver une équation du second degré dont OP à l'apogée et au périgée est solution.3) Exprimer rp au périgée et ra à l'apogée en fonction de r0 et α.

Page 27: Problèmes phy

4) L'équation polaire de la trajectoire est r = p1+e. cos θ .

4.a) Calculer p et e en fonction de r0 et α.4.b) Qu'obtient-on pour α = 0 ?4.c) Comment fait-on pour passer d'une orbite circulaire à une orbite elliptique ? Et inversement ?

1.C.3 - Un pendule dans une voiture ***

(CCP 2007)Un pendule simple est accroché au plafond d'un véhicule en translation uniformément accélérée avec l'accélération

~a par rapport au sol.1) Quelle est sa position d'équilibre ?2) Donner l'équation dn mouvement pour de petites oscillations autour de la position d'équilibre.

1.4 Travaux dirigés

1.D.1 - Mouvement d'une particule dans un champ de force newtonien TD

On étudie le mouvement d'une particule de masse µ, placée dans un champ de force newtonien de centre O :~F = − k

r2 ~ur.

1. Montrer que la trajectoire est plane.

2. Démontrer que des aires égales sont balayées pendant des temps égaux.

3. Démontrer que la trajectoire est une conique.

4. Exprimer l'énergie de la particule.

5. Discuter de la nature de cette conique en fonction de l'énergie de la particule.

6. Dans le cas de la trajectoire elliptique, exprimer le rapport entre la période T pour la décrire et a, le demi grandaxe. En déduire l'altitude d'un satellite géostationnaire.

7. Donner vl, la vitesse de libération d'un point matériel qui serait à une distance r de O. Application numériquepour un objet sur Terre.

On donne : G = 6, 67.10−11N.m2.kg−2, le rayon moyen de la Terre : RT = 6, 4.103km, et la masse de la Terre :MT = 6, 0.1024kg.

Méthode:

• Moment cinétique et constante des airesEn appliquant le théorème du moment cinétique montrer que :

• la trajectoire est plane ;

• la norme de la vitesse aréolaire, est une constante : dAdt = C2 = cste.

(Il sera utile, par la suite de donner l'expression de C, appelée constante des aires, en fonction de r, θ et µ. )

• Trajectoire coniqueOn peut utiliser trois méthodes diérentes pour montrer que la trajectoire est une conique, d'équation :

r (θ) =p

1− e. cos θ

• Méthode du vecteur excentricitéOn pose le vecteur excentricité : ~e = ~uθ − µC

k ~v.

• Montrer que ~e est une constante du mouvement.

• En formant le produit scalaire ~e.~uθ, montrer que la trajectoire est une conique.

• Méthode de l'intégrale première de Runge-Lenz (ou de Laplace)

On pose le vecteur de Runge-Lenz : ~A = 1k~v ∧ ~σ0 − ~ur.

• Montrer que ~A est une constante du mouvement.

Page 28: Problèmes phy

• En formant le produit scalaire ~A.~r, montrer que la trajectoire de la particule est une conique.

• NB : on peut montrer que ~A⊥~e et ~e2 = ~A2.

• Méthode des formules de Binet :

• On pose ξ (θ) = 1r . On exprime les dérivées successives ξ′ et ξ” de ξ.

• Comme d2rdt2 = dθ

dtddt

[drdtdθdt

]= −C2.ξ2.ξ” et r.

(dθdt

)2= C2.ξ3, l'accélération est : ~a = −C2.ξ2. (ξ + ξ”) .~ur.

• Montrer que le principe fondamental de la dynamique induit :

(ξ + ξ”) = cste

• Vérier que la solution de l'équation diérentielle en ξ donne l'équation d'une conique.

• Energie de la particule

• Montrer que l'énergie mécanique totale du système n'est fonction que de r et que l'on peut alors la séparer endeux termes :

• l'énergie cinétique radiale : Ecr = 12µ.r

2 ;

• l'énergie potentielle eective : Epeff (r) = −kr + µ.C2

2.r2 .

• Interpréter cela :

• en remarquant que Ecr ≥ 0 ;

• en traçant la courbe Epeff (r).

• Nature de la conique

• Montrer que ~e2 − 1 est proportionnel à l'énergie de la particule.

• Discuter de la nature de la trajectoire en fonction de la valeur de l'excentricité dont les cas généraux sont :

• |~e| < 1 : ellipse de foyer O ;

• |~e| = 1 : parabole ;

• |~e| > 1 : hyperbole ;

et un cas particulier :

• |~e| = 0 : cercle de centre O.

• Cas de l'ellipse

• Utiliser l'aire de l'ellipse A = π.a.b avec b2 = p.a (p est le paramètre de l'ellipse), pour calculer la période T àpartir de la vitesse aréolaire.

• En déduire la loi T2

a3 = cste.

• Vitesse de libérationOn cherche la vitesse vl telle que le système devienne diusif, c'est à dire Em = 0.

1.D.2 - Relaxation d'un oscillateur TD

On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :

x+ω0

Qx+ ω2

0 .x =fxm

avec :

• ω0, la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1) ;

• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;• fx, la projection de la force (m est la masse).

Dès que t > 0, on n'impose plus aucune force volontaire sur l'oscillateur (l'opérateur le laisse évoluer librement).Etudier la relaxation de l'oscillateur. Montrer en particulier que, selon la valeur de Q, il existe trois régimes :

Page 29: Problèmes phy

1. Relaxation apériodique

(a) Dans le cas des frottements forts, donner les lois suivies par la relaxation apériodique.

(b) Estimer la durée du régime transitoire, en exprimant le temps de relaxation τ .

(c) Applications numériques pour Q = 0, 1 et 2.πω0

= 1s. Tracer le graphe de x(t) suivant diverses conditionsinitiales (allongement sans vitesse initiale, sans allongement mais avec vitesse initiale, avec allongement etvitesse initiale).

2. Relaxation pseudo - périodique

(a) Dans le cas des frottements faibles, donner les lois suivies par la relaxation pseudo - périodique.

(b) Estimer la durée du régime transitoire τ .

(c) Exprimer la pulsation d'oscillation ω en fonction de ω0 et Q.

(d) Applications numériques pour Q = 10, 2.πω0

= 1s, et les conditions initiales x (t = 0−) = 1m et x (t = 0−) =0m.s−1 (allongement sans vitesse initiale).

(e) Etudier le cas particulier de l'oscillateur harmonique (non amorti).

3. Relaxation critique

(a) Dans le cas des frottements intermédiaires, donner les lois suivies par la relaxation critique.

(b) Montrer qu'on a alors un amortissement optimal.

Méthode:

• Forme des solutions de l'équation diérentielle :Les mathématiques nous enseignent que la solution générale est de type exponentiel : xgenerale (t) = A.er.t où r estune racine de l'équation caractéristique :

r2 +ω0

Qr + ω2

0 = 0

Comme c'est un trinôme du second degré (a.r2 + b.r + c = 0), posons

∆ = b2 − 4.a.c =(ω0

Q

)2

− 4.ω20 = 4.ω2

0

(−1 +

14.Q2

)Suivant le signe de ∆, plusieurs cas se présentent :

• ∆ > 0⇔ Q < 12

L'équation caractéristique a deux racines réelles : r± = −b±√

∆2.a . On parlera de relaxation apériodique :

xaperiodique (t) = A.er+.t +B.er−.t

• ∆ < 0⇔ Q > 12

L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : r± = −b±j.√−∆

2.a . On parlera de relaxationpseudo-périodique :

xpseudo (t) = A.er+.t +B.er−.t

• ∆ = 0⇔ Q = 12

L'équation caractéristique a une seule racine réelle : r0 = −b2.a . On parlera de relaxation critique :

xcritique (t) = (A+B.t) .er0.t

Ce sont donc les caractéristiques de l'oscillateur (son facteur de qualité Q) qui décident de la nature de la relaxation(apériodique, pseudo-périodique ou critique).

• Conditions initialesPour déterminer parfaitement la solution de l'équation diérentielle, il faut connaître les constantes réelles A et B.Or, il y a continuité de la position et de la vitesse à t = 0 : x (t = 0+) = x (t = 0−) et x (t = 0+) = vx (t = 0−).Ceci est assuré par la continuité de l'énergie (potentielle Ep = 1

2k.x2 pour x, et cinétique Ec = 1

2m.v2 pour v).

Les conditions initiales permettent donc de déterminer les constantes.

Page 30: Problèmes phy

1.D.3 - Résonance d'un oscillateur TD

On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :

x+ω0

Qx+ ω2

0 .x =fxm

avec :

• ω0, la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1) ;

• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;• fx, la projection de la force (m est la masse).

L'oscillateur est en régime permanent excité de façon sinusoïdale, à la pulsation ω.

1. Résonance en vitesse

(a) Etudier l'amplitude de la vitesse v0, en fonction de ω. Montrer en particulier que cette fonction admettoujours un maximum, et qu'il se trouve toujours en ω0. Tracer son allure.

(b) Etudier l'acuité de la résonance : exprimer pour cela la largeur du pic ∆ω = |ω2 − ω1|, pulsations tellesque : v0 (ω1) = v0 (ω2) = v0(ω0)√

2.

(c) Etudier aussi la phase ψ en fonction de ω.

2. Résonance en élongation

(a) Etudier l'amplitude de l'élongation x0, en fonction de ω. Chercher les conditions d'existence d'un maximum,et sa position.

(b) Etudier aussi la phase ϕ en fonction de ω. Montrer que l'élongation est toujours en retard sur l'excitation(ϕ < 0).

(c) Dans le cas d'un oscillateur à faible frottement (Q 1), montrer que la résonance en élongation estidentique à la résonance en vitesse.

Méthode:

• Equation diérentielleLe second membre de l'équation diérentielle est sinusoïdal :

x+ω0

Qx+ ω2

0 .x =f0m

cos (ω.t)

Le régime est permanent : après un temps de l'ordre de quelques τ , le régime transitoire est terminé car la solutiongénérale de l'équation diérentielle sans second membre est nulle xgenerale (t τ) = 0 ;

• Passage aux grandeurs complexesPuisque l'équation diérentielle à résoudre est linéaire, elle est vériée par les grandeurs complexes associées.

Ainsi, l'excitation est : f0m cos (ω.t) = Re(f0m .e

j.ω.t), la position : x (t) = Re (x (t)) avec x (t) = x0.e

j.ϕ.ej.ω.t.

Or la dérivation temporelle de ces grandeurs complexes est très simple : ˙x (t) = j.ω.x (t) et ¨x (t) = (j.ω)2 .x (t) =−ω2.x (t).L'équation diérentielle à résoudre devient donc :

˜x+ω0

Q˜x+ ω2

0 .x =f0m.ej.ω.t

soit :(−ω2 + ω0

Q j.ω + ω20

).x0.e

j.ϕ.ej.ω.t = f0m .e

j.ω.t. Grâce à l'utilisation des complexes, la variation temporelle

disparaît, ce qui explique pourquoi on se sert d'une telle méthode de résolution.On aboutit à une équation complexe :

x0.ej.ϕ =

f0m

ω20 − ω2 + j ω0.ω

Q

Page 31: Problèmes phy

• Pour déterminer parfaitement l'élongation, il faut connaître x0 (le module du membre de droite) et ϕ (sonargument).

• Pour déterminer la vitesse, qui peut se mettre sous la forme : vx (t) = Re (v (t)) avec v (t) = v0.ej.ψ.ej.ω.t, il

sut de remarquer que : v (t) = ˙x (t) = j.ω.x (t) = ω.x0.ej(ϕ+ π

2 ).ej.ω.t, ainsi : v0 = ω.x0 et ψ = ϕ+ π2 .

1.D.4 - Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre TD

1. Le poids

On donne : G = 6, 67.10−11N.m2.kg−2, le rayon moyen de la Terre : RT = 6, 4.103km, et la masse de la Terre :MT = 6, 0.1024kg.

(a) Quelle est la forme de la Terre ?

(b) Un l à plomb statique dénit la verticale locale. La direction qu'il donne passe-t-elle par le centre de laTerre ?

(c) Discuter des inhomogénéités de |~g| en fonction de l'altitude et de la latitude.

2. La déviation vers l'est

On supposera ~g uniforme (|~g| = 9, 81m.s−2). On s'intéresse à un point matériel qui tombe sans vitesse initiale.L'expérience a été faite dans un puits de 158m de profondeur, en Allemagne (λ = 55).

(a) Pourquoi donc dans un puits ?

(b) Montrer que le point matériel est dévié vers l'Est.

(c) Proposer une interprétation simple de cette déviation vers l'est.

3. Le pendule de Foucault

Le pendule de Foucault est un pendule sans frottement, à petites oscillations. La pointe du mobile trace un sillondans le sable le long de sa trajectoire.

(a) Montrer que le plan d'oscillation du pendule tourne.

(b) Quelle serait la période du phénomène si le pendule de Foucault était suspendu au pôle nord ?

(c) La latitude de Paris est : λ ≈ 50N . Quelle est la période du phénomène observé au Panthéon ?

Méthode:

R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R′ est leréférentiel terrestre, lié à la Terre. R est galiléen, mais R′ qui est en rotation uniforme dans R, autour de l'axe despôles, n'est pas galiléen : toute étude dynamique faite dans R′ impose de considérer les forces d'inertie.

• On se place dans une région autour d'un point de la surface du globe de latitude λ et de longitude ϕ. (Oz) estl'axe vertical en ce point, (Ox) est orienté vers le sud et (Oy) vers l'est an que (Oxyz) soit orthonormé.

• Exprimer la force d'inertie d'entraînement dans (Oxyz) :

~fie = m.RT . cosλ.Ω2. (sinλ.~ux + cosλ.~uz)

• Faire de même pour la force d'inertie de Coriolis :

~fiC = 2.m.Ω2. [vy. sinλ.~ux + (−vz. cosλ− vx. sinλ) .~uy + vy. cosλ.~uz]

• Eets de la force d'inertie d'entraînement : le poids

• Le poids d'un système ponctuel de masse m en P est la résultante de la force d'attraction gravitationnelle dela Terre et de la force d'inertie d'entraînement : ~P = m.~g.

• Si la Terre est à répartition de masse sphérique, on peut montrer (il s'agit d'appliquer un théorème de Gausspour la gravitation) que la force d'attraction gravitationnelle est celle que crée un point matériel situé au centrede la Terre O et qui aurait comme masse la masse de la Terre, MT : cette force est dirigée suivant OP (versO).

Page 32: Problèmes phy

• Le mouvement du point coincidant en P est un mouvement circulaire uniforme : la force d'inertie d'entraînementest centrifuge, dans le plan du parallèle qui passe en P .

• La force d'attraction est bien supérieure à la force d'inertie d'entraînement.

• Eet de la force d'inertie de Coriolis verticale : la déviation vers l'estOn peut faire une résolution du problème en puissances croissantes : l'équation ~r (t) du mouvement de la chutelibre sans vitesse initiale se développe en ~r (t) = ~r1 (t) + ~r2 (t) + ....

• Résolution au premier ordre.Pour déterminer ~r1 (t), on néglige la force d'inertie de Coriolis devant le poids.

• Résolution au second ordre.On trouve la perturbation ~r2 (t) introduite par la force d'inertie de Coriolis sur le mouvement précédent.

• Eets planaires de la force d'inertie de Coriolis : le pendule de FoucaultLe problème est à deux dimensions, dans le plan horizontal déni pour un point de la surface du globe de latitudeλ : vz = 0 et ~fiC .~uz = 0. On s'intéresse donc à un point matériel de masse m se déplaçant dans ce plan horizontal.

• Donner l'expression de ~fiC//, la projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis :

~fiC// = 2.m.Ω2. sinλ. (vy.~ux − vx.~uy)

• Montrer que la projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis tend à dévier le point matériel vers la

droite si l'on est dans l'hémisphère nord (λ > 0) : ~fiC//.~v = 0⇒ ~fiC//⊥~v et ~fiC// ∧ ~v = +∣∣∣~fiC//∣∣∣ . ∣∣∣~fiC∣∣∣ ~uz.

1.5 Exercices maple

1.E.1 - Trajectoire d'un satellite vue de la Terre maple

Fig. 1.3 Repères adaptés à l'étude de la trajectoire du satellite

Soit Rg, le référentiel géocentrique ; T est le centre de la Terre. (Tx0y0z0) est un repère lié à Rg, choisi de tellesorte que (Tz0) soit l'axe polaire (orienté vers le Nord).

Soit Rt, le référentiel terrestre. (Tx1y1z1) est un repère lié à Rt avec (Tz1) = (Tz0).(Tx0y0) = (Tx1y1) est donc le plan équatorial.On rappelle que la Terre tourne dans le référentiel géocentrique avec un vecteur rotation ω1 autour de l'axe polaire.On donne le rayon terrestre : rT = 6, 4.106m.1) Donner, dans (Tx1y1z1), la position d'un point M(x0, y0, z0).

Page 33: Problèmes phy

2) Dans Rg, la trajectoire d'un satellite articiel de la Terre (qu'on supposera ponctuel, en S) est un cercle derayon rS contenu dans le plan (Tx2y2), décrit uniformément par S avec la pulsation ω2.

Quelles sont les coordonnées de S dans le repère (Tx1y1z1) ?3) Le plan de révolution du satellite (Tx2y2) est incliné d'un angle θ par rapport au plan équatorial, et on décide

que l'axe (Tx2) coïncide avec (Tx0) (cf. gure 1.3).Quelles sont les composantes de S dans (Tx0y0z0) ?4) En déduire les composantes de S dans (Tx1y1z1).5) On choisit rS = 42, 103km (orbite géostationnaire). A une telle altitude, ω2 = ω1.Donner les nouvelles composantes de S dans la base (Tx1y1z1).À quelle condition le satellite parait au repos pour un observateur xe au sol ? (On se rappellera que les paraboles

de réception TV sont orientées vers le Sud, en France).6) Etudier, pour plusieurs valeurs de l'inclinaison θ du plan de révolution du satellite, la trajectoire apparente de

celui-ci pour un observateur terrestre. Montrer en particulier que c'est une sorte de huit .

1.E.2 - Déviation vers l'est maple

R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R′ est leréférentiel terrestre, lié à la Terre. On suppose R galiléen.

On se place dans une région autour d'un point de la surface du globe de latitude λ et de longitude ϕ. (Oz) estl'axe vertical en ce point, (Ox) est orienté vers le sud et (Oy) vers l'est an que (Oxyz) soit orthonormé.

On supposera ~g = −g.~uz uniforme (|~g| = 9, 81m.s−2).1) Exprimer la force d'inertie de Coriolis ~fiC = −2.m.~Ω ∧ ~v dans le repère (Oxyz) (la rotation de la Terre se fait

en 24h, suivant le vecteur rotation ~fiC = −2.m.~Ω ∧ ~v dirigé du pôle sud vers le pôle nord).2) Faire une étude balistique en intégrant le mouvement pas à pas et montrer que le projectile est dévié vers la

droite dans l'hémisphère nord (λ > 0).

Page 34: Problèmes phy

Chapitre 2

Mécanique du solide

2.1 Application directe du cours

2.A.1 - Le centre de masse d'une épuisette 3/2

Une épuisette est formée d'une tige en acier, homogène, de longueur l = 50cm, à l'extrémité de laquelle est soudéeun anneau de rayon r = 10cm, obtenu en courbant une tige de même nature et de même section que la première. Latige est dans le plan de l'anneau, et le centre O de cet anneau se trouve sur le prolongement de la tige. On négligerala masse du maillage en celle devant celle de la tige en acier, et le diamètre de la tige devant sa longueur.

1) Déterminer la distance OG du centre de masse de l'épuisette au centre de l'anneau.

2.A.2 - Energie cinétique d'une balançoire 3/2

Une balançoire est formée de deux tiges rigides identiques AB et A′B′, homogènes, de masse m et de longueur l,qui tournent d'un angle θ par rapport à l'axe AA′ horizontal, ainsi que d'un siège assimilé à une tige BB′ de massem.

On donne le moment d'inertie d'une tige homogène de masse m et de longueur 2.b par rapport à sa médiatrice :J = 1

3m.b2.

1) Calculer l'énergie cinétique du siège BB′.2) Calculer l'énergie cinétique de la tige AB.3) En déduire l'énergie cinétique totale de la balançoire.

2.A.3 - Eléments cinétiques d'un cerceau 3/2

Un cerceau homogène de centre O, d'axe (Oz) de masse m et de rayon r tourne à vitesse constante θ autour deson axe qui reste xe dans le référentiel R.

1) Calculer le moment cinétique en O du cerceau dans R.2) Calculer l'énergie cinétique du cerceau dans R.

2.A.4 - Eléments cinétiques des boucles d'oreilles de Chloé 3/2

Chloé possède des boucles d'oreilles. Chaque pendentif, acroché à l'oreille en O est constitué de deux boulesidentiques, assimilables à deux points matériels A et B de masse m, xées aux deux extrémités d'une barre AB demasse négligeable et de longueur l. Cette barre, astreinte à rester dans le plan (xOy), est articulée en G, milieu de[AB] à une tige OG de masse négligeable et de longueur a. Le mouvement est repéré par les angles θ1 = (~ux, ~OG) etθ2 = (~uy, ~GB).

1) Calculer directement, pour le pendentif, en fonction de m, a, l, dθ1dt et dθ2dt :

1.a) le moment cinétique ~σO ;1.b) et l'énergie cinétique Ec.

2.A.5 - Eléments cinétiques d'une nacelle de grande roue 3/2

Une grande roue de fête foraine de rayon r tourne autour de son axe horizontal (Oz) dans le référentiel R. Onconsidère une nacelle accrochée en A sur la roue, de masse m, de centre d'inertie G qui se trouve sur la verticale du

33

Page 35: Problèmes phy

point A, en dessous, à une distance a. On repère l'angle θ = (~ux, ~OA).1) Calculer la vitesse du centre de masse G de la nacelle dans R.2) Calculer le moment cinétique en O de la nacelle dans R.3) Calculer l'énergie cinétique de la nacelle dans R.

2.A.6 - Etude du champ des vitesses dans un solide 3/2

1) Montrer que l'étude des vitesses d'un solide peut se ramener à ~v = ~Ω ∧ ~r.2) Exprimer div (~v). Comment interpréter cette formule ?3) Exprimer ~rot (~v). Comment interpréter cette formule ?

2.A.7 - Cosette va au puits 3/2

Cosette doit aller cherche de l'eau au puits avec son seau de masse négligeable (il est en aluminium) de contenanceV = 10L.

1) Quelle sera la masse m du seau rempli d'eau ?On prendra l'intensité de pesanteur g = 10m.s−2.Au puits (dont la profondeur est h = 15m), Cosette a deux solutions.2) Soit elle accroche le seau à la corde, corde qu'elle fait passer dans la gorge d'une poulie P1 accrochée au sommet

du puits.2.a) Donner la tension T1 que cosette doit exercer pour tenir en équilibre le seau plein d'eau.2.b) En déduire le travail W1 minimal (c'est à dire dans le cas réversible) que Cosette devra développer pour

remonter le seau rempli d'eau.3) La deuxième possibilité consiste à accrocher la corde au sommet du puits, à la faire passer dans une seconde

poulie P2 à l'axe de laquelle est accroché le seau, pour réaliser un palan. Cosette n'a plus qu'à passer la corde dans lagorge de la poulie P1 accrochée au sommet du puits, et à tirer sur l'extrémité libre de cette corde.

3.a) Donner la tension T2 que cosette doit exercer pour tenir en équilibre le seau plein d'eau grâce au palan.3.b) En déduire le travail W2 minimal (c'est à dire dans le cas réversible) que Cosette devra développer pour

remonter le seau rempli d'eau.

2.A.8 - Recul d'une arme à feu 3/2

Une arme à feu de masse m1 tire un projectile de masse m2 à la vitesse ~v2.1) Calculer en fonction des données, pour l'arme à feu :

1.a) la vitesse ~v1 ;1.b) et l'énergie cinétique de recul Ec1 .

2) Soit Ec l'énergie cinétique totale libérée par l'explosion.2.a) Exprimer en fonction de m1 et m2 la fraction de cette énergie perdue sous forme d'énergie cinétique de

recul.2.b) A quelle condition cette perte est-elle faible ?

2.A.9 - Astérix et Cléopâtre 3/2

Obélix pousse à la vitesse v un bloc de pierre (assimilé à un parallélépipède rectangle) sur des rondins de bois(assimilés à des cylindres de rayon R) qui ne glissent ni sur le sol, ni sur la pierre.

1) Quelle est la vitesse du centre de gravité des rondins, vO ?2) Quelle est leur vitesse angulaire Ω ?

2.A.10 - Principe du diérentiel 3/2

On va donner le principe d'un diérentiel de voiture, qui permet, dans un virage, aux deux roues motrices detourner à des vitesses diérentes.

Un cylindre creux, d'axe Oz, de rayon R2, tourne à la vitesse angulaire ω2 d'une roue et un cylindre coaxial, derayon R1, à la vitesse angulaire ω1 de l'autre.

On supposera R1 < R2.La synchonisation entre les deux roues se fait par l'intermédiaire d'un troisième cylindre de diamètre R2 − R1,

tangent aux deux précedents : il est inclu dans le cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en fait il s'agit de rouesdentées).

1) Ecrire les deux conditions de non glissement dans le repère cylindrique d'axe (Oz).2) En déduire, en fonction de R2, ω2, R1 et ω1 :

Page 36: Problèmes phy

2.a) la vitesse angulaire ω3 du cylindre de rayon R3 = R2−R12 ;

2.b) et la vitesse v3 de son centre C.

2.A.11 - Deux sphères qui roulent 3/2

On dispose de deux sphères de même masse m, de même rayon R. La sphère n1 est pleine (en aluminium) etla sphère n2 est creuse (en plomb). On les fait rouler sans glisser sur un plan incliné (qui fait un angle α avecl'horizontale).

1) Comparer les moments d'inertie par rapport à leur diamètre J1 et J2 respectifs.2) Pour chacune des deux sphères (numérotées k ∈ [1; 2]), on donnera :

2.a) la vitesse du centre vk en fonction de la vitesse angulaire Ωk et de R ;2.b) l'énergie cinétique Eck

en fonction de m, R, vk et Jk.3) Etude dynamique :

3.a) En appliquant le théorème de la puissance cinétique, exprimer dvk

dt en fonction de m, R, Jk, α et g,l'intensité de la pesanteur.

3.b) Conclure : quelle sphère descendra le plus rapidement la pente ?

2.A.12 - Le seau qui plonge dans le puits 3/2

Un treuil est constitué d'un cylindre de révolution de rayon R et de moment d'inertie J par rapport à son axehorizontal ∆, par rapport auquel il peut tourner sans frottement. Une chaîne, dont on négligera l'épaisseur et la masse,est enroulée sur le cylindre et retient un seau de masse M .

1) Déterminer la projection az suivant la verticale ascendante de l'accélération du seau si le système est laissé àlui-même.

2.A.13 - Le patineur 3/2

On s'intéresse à un patineur de masse volumique µ = 1kg/L de masse M = 70kg. On négligera tout frottement.1) Dans un premier temps, le patineur tient ses bras le long de son corps, il tourne à la vitesse angulaire ω autour

de son axe (vertical). On peut l'assimiler à un cylindre de hauteur h = 1, 70m et de rayon R.1.a) Calculer le rayon r.1.b) En déduire le moment d'inertie du patineur par rapport à son axe J .

2) Dans un second temps, le patineur éloigne ses bras (assimilés à des cylindres de rayon R1 = 5, 0cm, de longueurh2 ) perpendiculairement à son corps, sa vitesse angulaire est ω′.

2.a) Calculer la masse m1 et le moment d'inertie J1 des deux bras du patineur par rapport à son axe.2.b) Calculer la masse m2, le rayon R2 et le moment d'inertie J2 du tronc du patineur par rapport à son axe.2.c) En déduire le moment d'inertie J ′ total du patineur par rapport à son axe.

3) Exprimer le rapport ωω′ .

2.A.14 - Moteur d'axe xe 3/2

On considère un moteur d'axe horizontal xe qui exerce un couple C sur une poulie de rayon R. Une masse M estsuspendue à la poulie. La poulie a un moment d'inertie J .

1) Sans frottement :1.a) Quelle est la condition sur C pour que la masse remonte ?

Dans la suite, la dernière relation sera satisfaite. A t = 0, le mouvement démarre (la vitesse angulaire de la poulieest ω (t = 0) = 0).

1.b) Que vaut ω (t) ?1.c) La solution vous semble-t-elle satisfaisante physiquement ?

2) On prend en compte les frottements uides qui s'exercent sur un tel système en considérant le couple Cf .2.a) Comment modéliser Cf ?2.b) Que vaut ω (t) ?

3) Dans la suite, on supprime la masse M et on néglige les frottements uides, mais pas les frottement solides Cssur l'axe.

3.a) Comment modéliser Cs ?3.b) Quelle est la condition sur C pour que la poulie se mette à tourner ?3.c) A t = 0, la poulie tourne à la vitesse angulaire Ω = ω (t = 0). Quel temps faudra-t-il pour arrêter la poulie

grâce à un frein qui exerce un frottement solide sur l'axe Cs ?

Page 37: Problèmes phy

2.2 Entraînement

2.B.1 - Roue de voiture lestée 5/2

1) Une roue de voiture assimilée à un cylindre homogène, de rayon R de centre O, de masse M , de hauteur hd'axe (Oz) tourne à la vitesse constante ω autour de son axe xe dans le référentiel d'étude.

1.a) Calculer son moment d'inertie J par rapport à (Oz).1.b) Calculer la résultante cinétique ~P1 du système.1.c) Calculer le moment cinétique en O du système ~σ1.

2) On ajoute sur une face de la roue deux masselottes ponctuelles identiques de masse m en A et B, à une distanced de (Oz), symétriquement par rapport cet axe.

2.a) Calculer la résultante cinétique ~P2 du système.2.b) Calculer le moment cinétique en O du système ~σ2.

2.B.2 - Eléments cinétiques d'un pendule demi-circulaire 5/2

On considère un pendule demi circulaire AB, de rayon r, homogène, de masse m. On accroche en son milieu C lependule à un point O xe, grâce à une tige OC de masse négligeable et de longueur r (le point d'accroche C est àmi-chemin de A et B).

Le pendule peut tourner autour de son axe (Ox) horizontal qui reste xe dans le référentiel R. On repère sa positionpar l'angle β que fait la tige OC avec la verticale descendante.

1) Calculer la résultante cinétique du pendule dans R.2) Calculer le moment cinétique en O du pendule dans R.3) Calculer l'énergie cinétique du pendule dans R.

2.B.3 - Moment cinétique d'une balance à plateaux 5/2

On considère un repère cartésien (Oxyz) xe dans le référentiel du sol, R. L'axe (Oy) est vertical, dirigé vers lehaut.

Une balance à trébuchet est composée (cf. gure 2.1 ) :

• d'un éau de masse m0 assimilable à un axe (Ox′), avec une èche (Oy′), qui peut tourner autour de l'axe (Oz) ;

• d'un premier plateau et de son poids (de masse m1) suspendu à l'extrémité A1 du éau, qui peut tourner autourde l'axe (A1z) ;

• d'un second plateau et de son poids (de masse m2) suspendu à l'autre extrémité A2 du éau, qui peut tournerautour de l'axe (A2z).

G0, le centre d'inertie du éau est tel que ~OG0 = −a.~u′y. Le moment d'inertie du éau par rapport à l'axe (G0z)est égal à J .

Fig. 2.1 Balance à plateaux

1) Déterminer le moment d'inertie J ′ du éau par rapport à l'axe (Oz).Les points A1 et A2 sont symétriques par rapport à O, sur l'axe (Ox′) tels que ~A1O = ~OA2 = b.~u′x. Au cours du

mouvement, les centres d'inertie (respectivement G1 et G2) des deux plateaux se trouvent toujours à la verticale despoints d'accroche des plateaux (respectivement A1 et A2) : ~A1G1 = ~A2G2 = −c.~uy.

2) Qualier le mouvement des plateaux dans R.

Page 38: Problèmes phy

On dénit l'angle α = (~ux, ~u′x).3) Déterminer le moment cinétique total ~σ0 en O de la balance dans R.

2.B.4 - La fusée 5/2

Une fusée, de masse totalem(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par un dispositifà réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec un débit massiqueconstant a = 120kg.s−1, à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1). Le mélange combustible a unemasse mc(0) = 0, 8.m(0) au départ.

1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse ~V de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestreconsidéré comme galiléen, en fonction de ~g, intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, et m(t)masse de la fusée à l'instant t.

2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver ~V (t), lavitesse de la fusée à l'instant t.

3) On prendra g = 10m.s−2. Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.

2.B.5 - La chute d'une chaîne 5/2

Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Une chaîne AB homogène sans raideur, de longueur d et de masse m,est posée sur le bord d'une table horizontale, sans vitesse initiale.

L'axe (Oz) est orienté vers le bas, O se trouvant au bord de la table. La partie OA de la chaîne pend dans le videtandis que le reste de la chaîne BO repose sur la table. On repère par z l'altitude de A. Initialement, z(t = 0) = a.

On néglige tout frottement interne à la chaine d'une part, et entre la table et la chaîne d'autre part.1) Calculer l'énergie mécanique de la chaîne.2) En déduire l'équation diérentielle que vérie z.3) Déterminer alors la loi z(t).

2.B.6 - Position d'équilibre d'une balance à plateaux 5/2

On considère un repère cartésien (Oxyz) xe dans le référentiel du sol, R. L'axe (Oy) est vertical, dirigé vers lehaut.

Une balance à trébuchet est composée (cf. gure 2.1 ) :

• d'un éau de masse m0 assimilable à un axe (Ox′), avec une èche (Oy′), qui peut tourner sans frottement autourde l'axe (Oz) ;

• d'un premier plateau et de son poids (de masse m1) suspendu à l'extrémité A1 du éau, qui peut tourner sansfrottement autour de l'axe (A1z) ;

• d'un second plateau et de son poids (de masse m2) suspendu à l'autre extrémité A2 du éau, qui peut tourner sansfrottement autour de l'axe (A2z).

G0, le centre d'inertie du éau est tel que ~OG0 = −a.~u′y. Les points A1 et A2 sont symétriques par rapport à O,

sur l'axe (Ox′) tels que ~A1O = ~OA2 = b.~u′x. Au cours du mouvement, les centres d'inertie (respectivement G1 et G2)des deux plateaux se trouvent toujours à la verticale des points d'accroche des plateaux (respectivement A1 et A2) :~A1G1 = ~A2G2 = −c.~uy.On dénit l'angle α = (~ux, ~u′x).1) Déterminer les moments en O

1.a) du poids du éau ~M0 ;1.b) du poids du premier plateau ~M1 ;1.c) du poids du second plateau ~M2.

2) En déduire la position d'équilibre du éau αeq.

2.B.7 - Le seau qui tombe dans le puits avec une poulie 5/2

Un seau de masse m est accroché à un bout d'une corde sans masse qui coulisse sans glisser dans la gorge d'unepoulie de rayon R, de moment d'inertie J , dont l'axe Ox est accroché au sommet d'un puits de profondeur h.

1) Exprimer la condition de non glissement en fonction de R, v (la vitesse du seau) et ω (la vitesse angulaire dela poulie).

2) Déterminer la vitesse du seau v0 à son arrivée dans l'eau (il est lâché sans vitesse initiale) :2.a) en utilisant le théorème du moment cinétique ;

Page 39: Problèmes phy

2.b) en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.

2.B.8 - Détermination d'un coecient de frottement 5/2

Une masse M1 est posée sur un plan horizontal (le coecient de frottement est noté f). Elle est reliée par l'inter-médiaire d'un l inextensible sans masse et d'une poulie de moment d'inertie négligeable à une masse M2, lâchée sansvitesse initiale à partir d'une hauteur h du sol.

1) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au système composé des deux masses, déterminer la vitessev1 quand M2 arrive au sol, en fonction de M1, M2, g (l'accélération de la pesanteur) et h.

Quand M2, arrivée au sol, s'arrête, M1 continue sur sa lancée et met une distance d pour s'arrêter.2) Calculer f en fonction de M1, M2, h et d.

2.B.9 - Machine d'Atwood 5/2

La machine d'Atwood est composée d'une poulie de rayon R et de moment d'inertie J par rapport à son axehorizontal. Y coulisse, sans glissement un l sans masse avec, d'un côté une masse M et de l'autre une masse M + µoù la surcharge est µM .

1) En appliquant le théorème du moment cinétique au système composé de la poulie et des deux masses, déterminerla dérivée de la vitesse angulaire dω

dt .2) En déduire l'accélération a de la masse la plus lourde.3) On utilisait la machine d'Atwood en TP de physique pour mesurer l'accélération de la pesanteur. Expliquer

pourquoi.

2.B.10 - Nécessité du volant d'inertie 5/2

1) Régime transitoire.Initialement immobile, une machine tournante de moment d'inertie J par rapport à son axe, est soumise à partir

de l'instant t = 0 à l'action d'un couple moteur de moment Γ = Γ0 constant. On supposera que l'ensemble des forcesde frottement a un moment de la forme −k.ω, où ω est la vitesse angulaire de la machine tournante.

1.a) On donnera l'équation diérentielle suivie par ω.1.b) Identier la vitesse angulaire ω0 atteinte en régime permanent1.c) ainsi que le temps de relaxation τ du système.

2) Inuence d'une vibration.On reprend l'étude précédente en supposant que, en raison de vibrations indésirables, le couple moteur n'est plus

une constante mais est modulé à la fréquence Ω2.π avec un taux de modulation η :

Γ = Γ0 (1 + η. cos (Ω.t))

2.a) Reprendre l'étude du mouvement en établissant l'équation diérentielle dénie par la fonction ε(t) telleque : ω(t) = ω0 [1 + ε(t)].

Au bout d'un temps susant, ε(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation Ω que l'on cherchera sous la forme :ε(t) = α. cos (Ω.t− ψ).

2.b) Déterminer les constantes α2.c) et ψ en fonction des données η, Ω et τ .

3) Rôle d'un volant.A l'aide des expressions précédentes, expliquer pourquoi, de façon à régulariser le fonctionnement d'une machine

tournante, on adjoint aux parties tournantes un anneau massif et de grand rayon appelé volant.

2.B.11 - Nécessité de l'équilibrage statique 5/2

Un disque de centre O, d'axe (Oz) vertical, de centre de masse G (tel que OG = 0, 5mm), de masse M = 10kgtourne uniformément autour de son axe à la pulsation ω = 4000tours/min dans le référentiel du sol R.

Le support xe dans R exerce des forces respectivement notées ~F1 et ~F2 respectivement en O1 et O2, deux points dexation situés sous O, tels que O1O = 10cm et O2O = 50cm. Le champ de pesanteur est ~g = −g~uz avec g = 9, 81m.s−2.

On utilisera le repère (~ur, ~uθ, ~uz) tel ~ur, où ~ur = ~OGOG .

1) Appliquer au système décrit le théorème de la résultante cinétique. Le projeter dans le repère cylindrique(~ur, ~uθ, ~uz).

2) Lui appliquer le théorème du moment cinétique en O. Le projeter dans le repère cylindrique (~ur, ~uθ, ~uz).

Page 40: Problèmes phy

3) En déduire les valeurs numériques des projections horizontales des forces ~F1 et ~F2. Les comparer au poids dudisque. Conclusion ?

2.3 Planches d'oral

2.C.1 - Positions d'équilibre d'une craie dans un tuyau ***

(d'après CCP 2002)On se place dans un repère (O,~ux, ~uy, ~uz), ~uy étant vertical, orienté vers le bas. Un cylindre de centre O′, de rayon

r se déplace librement dans un autre cylindre, d'axe parallèle (Oz horizontal, parallèle à ~ux), de rayon R > r. Onrepère la position du centre O′ du petit cylindre par l'angle θ = (~uy, ~OO′) (cf. gure 2.2).

Fig. 2.2 Un bâton de craie dans un tuyau

1) Trouver les positions d'équilibre et étudier leur stabilité.

2.C.2 - Une bille dans une goutière ***

(Mines-Pont 2007)On place une bille de rayon r, de moment d'inertie I = 2.m.r2

5 par rapport à l'un de ses axes, à l'intérieur d'uncylindre de rayon R d'axe horizontal et on la lâche d'un angle ϕ = ϕ0 (cf. gure 2.3).

Fig. 2.3 la bille dans la goutière

On donne ψ(0) = 0, ψ(0) = 0, ϕ(0) = ϕ0, ϕ(0) = 0.1) Montrer par des considérations physiques que |ϕ(t)| ≤ ϕ0.2) Etablir l'expression de ψ(t).On note f le coecient de frottement statique.

Page 41: Problèmes phy

3) A quelle condition y-a-t-il roulement sans glissement ?4) Commenter pour ψ0 = 15 ; R = 2m ; r = 5cm ; g = 9, 81m.s−2.

2.C.3 - Un cylindre dans un autre cylindre ***

(Mines-Pont 2007)Un cylindre C de rayon a, de masse M et de moment d'inertie J par rapport à son axe ∆, contient un cylindre C ′

de masse m′, de même axe, de moment, d'inertie J ′, libre de tourner autour de son axe grâce à une liaison pivot.C peut rouler, mais alors c'est sans glisser, sur le plan horizontal lié à un réfèrentiel galiléen R. A l'origine, C est

immobile dans R et la vitesse angulaire de C ′ par rapport à C est ω0. Un dispositif interne à C + C ′ freine la vitesseangulaire de C ′ relative à C jusqu'à l'annuler.

1) Quelle est alors la vitesse angulaire commune de C et C ′ dans R ?2) Quelle est l'évolution ultérieure du système ?3) Faire un bilan énergétique et déterminer le travail des actions intérieures Wint.

2.C.4 - Sphère qui roule dans une rigole ***

(Centrale 2007)Une sphère de masse m, de rayon r, de moment d'inertie J par rapport à un de ses diamètres, roule sans glisser

dans une rigole de largeur W < 2r, sur un plan incline d'un angle θ par rapport à l'horizontale.1) Calculer le coecient de frottement minimal fmin pour qu'il y ait roulement sans glissement (on supposera

que la force de frottement se fait uniquement suivant la direction de la glissière).2) Décrire le mouvement pour un coecient de frottement

2.a) f ≤ fmin2.b) et f ≥ fmin.

2.4 Travaux dirigés

2.D.1 - Réduction canonique du problème à deux corps TD

On s'intéresse à un système isolé de deux points matériels (de masse m1 en M1 et de masse m2 en M2), de centrede masse O. On pose le vecteur position relative : ~r = ~M1M2.

Montrer que l'étude du système à deux corps revient à l'étude d'une particule ctive, de masse µ = m1.m2m1+m2

, en ~r,

qui subit la force ~f2 qu'exerce M1 sur M2.

Méthode:

• Montrer que O est xe dans le référentiel barycentrique R∗ et que ce référentiel est galiléen. La suite de l'étude sefera dans le référentiel R∗.

• Montrer que les trajectoires respectives de M1 et deM2 sont homothétiques de celle d'un point M situé en ~OM = ~r.Exprimer les vitesses respectives de M1 et de M2 en fonction de ~v = ~dr

dt .

• Montrer que les expressions :

• du moment cinétique total du système ~σO

• et de l'énergie cinétique totale du système Ec

sont celle d'une particule de masse µ en ~r.

• En déduire que l'étude dynamique du système revient à celle d'une particule ctive de masse µ en ~r, qui ressentune force ~f2, aussi bien en ce qui concerne :

• le principe fondamental de la dynamique,

• le théorème du moment cinétique,

• le théorème de l'énergie cinétique.

• Se ramener au cas où m2 m1, pour vérication.

Page 42: Problèmes phy

2.5 Exercices maple

2.E.1 - Calcul de l'ensoleillement sur Terre maple

On repère un point à la surface de la Terre par sa latitude λ.Soit un repère sphérique xe dans le référentiel géocentrique. (Oz) est suivant l'axe polaire. (Ox) est l'axe de

référence dans le plan équatorial par rapport auquel on compte l'angle ϕ.La Terre tourne dans le référentiel géocentrique en un jour (24 heures) autour de l'axe polaire : ϕ varie alors de -π

à +π.(Oz) pointe vers l'étoile polaire et fait un angle α0 = 2327′ avec la normale au plan de l'écliptique. Le Soleil,

toujours dans le plan (xOz), envoie ses rayons avec un angle α par rapport à (Ox) : α ∈ [−α0; +α0]. Aussi, on repèrele moment de l'année par l'angle α : α = −α0 au solstice d'hiver (21 décembre), α = +α0 au solstice d'été (21 juin)et α = 0 aux équinoxes (de printemps le 21 mars et d'automne le 22 septembre). On supposera que la vitesse derévolution de la Terre est constante au cours de l'année.

1) Montrer que le Soleil se lève ou se couche pour l'angle ϕ0 = Arc cos (− tanα. tanλ) u.2) Montrer que l'éclairement théorique d'une journée est de la forme : I = 2.I0. (sinϕ0. cosα. cosλ+ ϕ0. sinα. sinλ).3) Pour l'équateur (λ = 0), Paris (λ = 50) et le pôle Nord (λ = 90), donner les heures de lever et coucher du

soleil au cours de l'année. Comparer ensuite l'éclairement théorique pour ces trois latitudes (sur un même graphique, au cours de l'année, et numériquement pour l'année entière).

Page 43: Problèmes phy
Page 44: Problèmes phy

Chapitre 3

Mécanique des uides

3.1 Application directe du cours

3.A.1 - Densité particulaire dans l'eau 3/2

On donne :

• le nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.1023mol−1 ;

• la masse volumique de l'eau liquide ρliq = 1, 0.103kg.m−3 ;

• la masse molaire de l'eau M = 18.g.mol−1 ;

• la constante des gaz parfaits R = 8, 31J.K−1..mol−1.

1) Calculer la densité particulaire n pour :1.a) l'eau à l'état liquide ;1.b) l'eau à l'état gaz à la température T = 400K, sous une pression P = 1bar. Ce gaz est supposé obéir à la

loi des gaz parfaits.

3.A.2 - Caractéristique d'un écoulement dans un dièdre droit 3/2

Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est

~v(~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy

1) Ce champ des vitesses correspond-il à :1.a) un écoulement stationnaire ?1.b) un écoulement incompressible ?1.c) un écoulement avec tourbillons ?

2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?3) Déterminer :

3.a) les lignes de courant ;3.b) les trajectoires des particules de uide.

3.A.3 - Accélération dans un dièdre droit 3/2

Soit un écoulement bidimensionnel dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 ety > 0, est

~v(~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy

1) Déterminer l'accélération d'une particule de uide.1.a) en passant par le formalisme lagrangien ;1.b) en passant par le formalisme eulérien.

3.A.4 - Détermination d'un champ de vitesses et d'accélération 3/2

Soit un écoulement bidimensionnel déni en formalisme lagrangien par :X = X0. (1 + b.t)

Y = Y0

43

Page 45: Problèmes phy

1) Déterminer :1.a) la vitesse d'une particule de uide en formalisme lagrangien ;1.b) le champ de vitesse en formalisme eulérien.

2) Déterminer l'accélération d'une particule de uide :2.a) en passant par le formalisme lagrangien ;2.b) en passant par le formalisme eulérien.

3.A.5 - Diérence entre lignes de courant et trajectoires 3/2

Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, déni par

~v(~r, t) = u0.~ux + (v0 − g.t) .~uz

1) Déterminer les lignes de courants.2) Déterminer :

2.a) les trajectoires,2.b) et la ligne d'émission issue du point (0, 0).

3.A.6 - Ecoulement entre deux cylindres 3/2

L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2, tournant autour de leur axecommun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :

~v(~r, t) =(A.r +

B

r

).~uθ

1) Ce champ des vitesses correspond-il à :1.a) un écoulement stationnaire ?1.b) un écoulement incompressible ?1.c) un écoulement avec tourbillons ?

2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?

3.A.7 - Ecoulement au dessus d'un plan oscillant 3/2

L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des vitessessuivant :

~v(~r, t) = A.e−k.y. cos (ω.t− k.y) .~ux1) Ce champ des vitesses correspond-il à :

1.a) un écoulement stationnaire ?1.b) un écoulement incompressible ?1.c) un écoulement avec tourbillons ?

2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?3) Vérier si les conditions aux limites sont correctes.

3.A.8 - Champ de pression dans un écoulement unidirectionnel 3/2

Dans un écoulement unidirectionnel horizontal, la vitesse est de la forme ~v = v(x, t).~ex. Les seules forces volumiquesconsidérées seront les forces de pesanteur (l'axe (Oy) étant pris vertical ascendant).

1) Montrer que le champ de pression, transversalement à l'écoulement horizontal, obéit aux lois de la statique desuides.

3.A.9 - Ecoulement barotrope pour un gaz parfait 3/2

Un uide considéré comme un gaz parfait est en écoulement isentropique.1) Montrer que l'écoulement est barotrope.

3.A.10 - Loi de Torricelli 3/2

On s'intéresse à un récipient de hauteur h rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice très petit devant lasection du récipient situé dans le fond de celui-ci.

Page 46: Problèmes phy

1) Calculer la vitesse d'écoulement v.

3.A.11 - Compteur de gaz 3/2

Le méthane, principal constituant du gaz naturel, peut céder par combustion à 300K une énergie molaire Qm =890kJ.mol−1.

1) Quel est le débit volumique en m3/h d'une canalisation qui alimente un brûleur dont la puissance théoriqueest de 20kW ?

3.A.12 - Jet sur une plaque mobile 3/2

Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale (Ox), est en translation, de vitesse constante ~v = v.~ex. Elleest poussée par un jet d'eau, dont la vitesse est ~vi0 = v0.~ex et le débit massique Dm.

Un déecteur dévie le jet d'un angle dont la valeur est α dans le référentiel de la plaque. Le jet garde une sectionuniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité.

1) Calculer le débit D′m du jet dans le référentiel de la plaque.2) Calculer la force exercée sur la plaque.

3.A.13 - Puissance d'une pompe 3/2

Une pompe aspire l'eau d'un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massique Dm constant.Le niveau supérieur de l'eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits, et la pression y est égaleà P1, supérieure à la pression atmosphérique P0. On néglige toute viscosité.

1) Calculer la puissance utile Pu fournie par la pompe au uide.

3.A.14 - Mélangeur 3/2

Un robinet mélangeur admet de l'eau froide (température Tf , débit massique Df ) et de l'eau chaude (températureTc, débit massique Dc).

1) Déterminer la température T de l'eau sortant du robinet.

3.A.15 - Compresseur adiabatique 3/2

Un compresseur amène de l'air de l'état atmosphérique (Pi = 1bar, Ti = 300K) jusqu'à l'état nal (Pf = 6bar, Tf )sans échange de chaleur. La puissance du moteur qui l'entraîne est P = 1, 5kW , et le débit massique est Dm = 6, 5g.s−1.On assimilera l'air à un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constante cp = 1, 0kJ.kg−1.K−1.

1) Calculer la température Tf .

3.A.16 - Force de poussée subie par une fusée 3/2

Une fusée, dont la masse à l'instant t est m éjecte vers l'arrière les gaz issus de la combustion du carburant etdu comburant qu'elle contient. On suppose qu'elle est en translation, de vitesse ~v par rapport au référentiel d'étude,galiléen, et que la vitesse ~u des gaz éjectés dans le référentiel de la fusée est uniforme et constante. Dm représente leurdébit massique.

1) Calculer la poussée de la fusée, c'est-à-dire la force ~Fp qu'il faudrait appliquer à un système fermé soumis auxmêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération.

3.2 Entraînement

3.B.1 - Distance entre particules dans l'eau 5/2

On donne :

• le nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.1023mol−1 ;

• la masse volumique de l'eau liquide ρliq = 1, 0.103kg.m−3 ;

• la masse molaire de l'eau M = 18.g.mol−1 ;

• la constante des gaz parfaits R = 8, 31J.K−1..mol−1.

1) Calculer la distance moyenne entre molécules pour :1.a) l'eau à l'état liquide ;

Page 47: Problèmes phy

1.b) l'eau à l'état gaz à la température T = 400K, sous une pression P = 1bar. Ce gaz est supposé obéir à laloi des gaz parfaits.

3.B.2 - Caractéristique d'un écoulement pour un uide en rotation 5/2

Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :

~v(~r, t) = −k.y.~ux + k.x.~uy

1) Ce champ des vitesses correspond-il à :1.a) un écoulement stationnaire ?1.b) un écoulement incompressible ?1.c) un écoulement avec tourbillons ?

2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?3) Déterminer :

3.a) les lignes de courant ;3.b) les trajectoires des particules de uide.

4) Calculer l'accélération des particules de uide :4.a) en passant par le formalisme lagrangien ;4.b) en passant par le formalisme eulérien.

3.B.3 - Caractéristique d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle 5/2

Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :

~v(~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy

1) Ce champ des vitesses correspond-il à :1.a) un écoulement stationnaire ?1.b) un écoulement incompressible ?1.c) un écoulement avec tourbillons ?

2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?3) Déterminer :

3.a) les lignes de courant ;3.b) les trajectoires des particules de uide.

4) Calculer l'accélération des particules de uide :4.a) en passant par le formalisme lagrangien ;4.b) en passant par le formalisme eulérien.

3.B.4 - Caractéristique d'un écoulement dans un dièdre droit (2) 5/2

Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est

~v(~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy + a.ω. cos (ω.t) .~uz

1) Qualier cet écoulement.2) Déterminer :

2.a) les lignes de courant ;2.b) les trajectoires des particules de uide.

3.B.5 - Ecoulement entre deux cylindres (2) 5/2

L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2, tournant autour de leur axecommun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :

~v(~r, t) =(A.r +

B

r

).~uθ

1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres en R1 et R2.2) Que se passe-t-il dans le cas où Ω1 = Ω2 = Ω ?3) Déterminer l'accélération d'une particule de uide.

Page 48: Problèmes phy

3.B.6 - Fonction de courant d'un écoulement plan incompressible 5/2

1) Montrer qu'à tout écoulement plan incompressible déni en coordonnées cartésiennes par ~v(~r, t) = vx.~ux+vy.~uy,il est possible d'associer une fonction scalaire ψ (fonction courant) telle que :

vx = ∂ψ∂y

vy = −∂ψ∂x

2) Montrer qu'alors ~v. ~grad(ψ) = 0 et en déduire que les courbes d'équation ψ = cte s'identient aux lignes decourant.

3) Déterminer la fonction courant associée aux écoulements dénis par les champs de vitesse suivants :3.a) ~v(~r, t) = −k.y.~ux + k.x.~uy ;3.b) ~v(~r, t) = k.y.~ux + k.x.~uy.

3.B.7 - Relation de Bernouilli et premier principe de la thermodynamique 5/2

1) Montrer que pour un uide quelconque en écoulement isentropique et stationnaire, l'équation de Bernouilliprend la forme :

v2

2+ ep + h = cte

où h est l'enthalpie massique du uide.

3.B.8 - Temps de vidange d'un récipient 5/2

On s'intéresse à un récipient ayant la forme d'un cylindre d'axe vertical, de hauteur H = 50cm et de rayonR = 10cm, initialement complètement rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice circulaire de rayon r = 0, 5cmsitué dans le fond du cylindre.

1) Calculer la vitesse d'écoulement v à l'orice de ce récipient lorsque la hauteur de uide est h. Vérier que l'onretrouve bien la loi de Torricelli dans le cas où R r.

2) Calculer le temps de vidange T de ce récipient.

3.B.9 - Force exercée sur une seringue 5/2

Une seringue est formée d'un corps de section constante S1 et d'une aiguille dont l'extrémité a une section S2 S1. Cette seringue contient un liquide de masse volumique µ qui est éjecté en appuyant sur un piston mobile sansfrottements.

1) Quelle force un opérateur doit-il exercer sur le piston pour assurer un débit volumique D d'éjection ?

3.B.10 - Evolution de la vitesse d'une fusée 5/2

Une fusée, de masse totalem(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par un dispositifà réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec un débit massiqueconstant a = 120kg.s−1, à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1). Le mélange combustible a unemasse mc(0) = 0, 8.m(0) au départ.

1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse ~V de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestreconsidéré comme galiléen, en fonction de ~g, intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, et m(t)masse de la fusée à l'instant t.

2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver ~V (t), lavitesse de la fusée à l'instant t.

3) On prendra g = 10m.s−2. Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.

3.B.11 - Refrigérant 5/2

De l'air chaud (Pi = 6bar, Ti = 500K, de chaleur massique à pression constante ca = 1, 0kJ.kg−1.K−1.) est refroidide façon isobare jusqu'à la température Tf = 300K, dans un échangeur parfaitement calorifugé.

Le uide réfrigérant est constitué par de l'eau (de chaleur massique ce = 4, 18.kJ.kg−1.K−1) qui entre à la tempé-rature θe = 12C et qui sort à θs. Le débit massique d'eau est De = 100g.s−1 et celui de l'air Da = 6, 5g.s−1.

1) Calculer θs.

Page 49: Problèmes phy

3.B.12 - Force sur une lance d'incendie 5/2

Un tuyau souple, de section S se termine par un embout dont la section terminale s = 1cm2 est très petite devantS.

La pression dans le tuyau est P1 = 10bar et le jet sort dans l'atmosphère à la pression P0 = 1bar. L'embout faitun angle droit avec la partie antérieure du tuyau.

La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du uide dans le tuyau.1) L'eau étant assimilée à un uide partait, calculer le débit massique Dm

2) Calculer Fy, la composante parallèle au jet de la force ~F exercée par la personne qui tient la lance.

3.B.13 - Tourniquet d'arrosage 5/2

Un tourniquet d'arrosage est constitué d'un tube vertical d'axe (Oz), et d'un tube horizontal constitué de deuxbras de longueur a, terminés par des embouts dont la section terminale est S, qui font un angle α avec la directionorthoradiale.

Le tube horizontal peut tourner autour de l'axe xe (Oz). On néglige l'épaisseur des tubes, et on suppose lesécoulements unidimensionnels. Le moment d'inertie du tourniquet et de l'eau qu'il contient est J , et, lorsqu'il tourneà la vitesse angulaire ω, il est soumis à un couple résistant constant de valeur absolue Γ. Le débit massique d'eau estDm.

1) Établir l'équation diérentielle en ω(t).2) Calculer ωp, valeur de ω en régime permanent.3) ω(t = 0) étant nul à l'instant initial, étudier le régime transitoire.

3.3 Planches d'oral

3.C.1 - Liquide en rotation ***

(CCP 2007)Un récipient cylindrique vertical contenant un liquide, tourne autour de son axe à vitesse angulaire constante ω.1) Déterminer l'équation de l'intersection de la méridienne du cylindre avec la surface du liquide.2) Déterminer la hauteur de liquide au centre et sur les bords.

3.4 Travaux dirigés

3.D.1 - Etude de quelques écoulements plans TD

On s'intéresse aux écoulements qui suivent :1) Ecoulement uniforme : ~v = v0.~ux.2) Ecoulement dans un dièdre droit : ~v = k (−x.~ux + y.~uy) pour x < 0 et y > 0.3) Puits ou source : ~v = Dv

2.π.r~ur (dans les coordonnées cylindriques) où Dv est le débit volumique (Dv > 0, d'unpuits si Dv < 0).

4) Dipôle source-puits : superposition d'un puits ponctuel de débit volumique Dv situé en P (−a2 , 0, 0) et unesource de même débit située en S(+a

2 , 0, 0) (et on se place en M , loin du puits et de la source).5) Ecoulement dans un évier : superposition d'un puits en O et un vortex de centre O, de sorte que ~v =

−Dv

2.π.r~ur + C2.π.r~uθ ∀ r.

6) Ecoulement au voisinage d'une source ponctuelle proche d'un mur : superposition de deux sources ponctuellesde même débit volumique : A(−a, 0, 0) et A′(+a, 0, 0), symétrique de A par rapport au mur.

7) Ecoulement autour d'un cylindre xe : superposition courant uniforme - dipôle, de sorte que ~v = v0. cos θ.(1− a2

r2

).~ur−

v0. sin θ.(1 + a2

r2

).~uθ.

8) Ecoulement autour d'un cylindre en rotation : superposition écoulement autour d'un cylindre xe et d'un

vortex, de sorte que ~v = v0. cos θ.(1− a2

r2

).~ur +

[−v0. sin θ.

(1 + a2

r2

)+ C

2.π.r

].~uθ.

Pour chacun de ces écoulements :

• vérier que −→rot (~v) = ~0 ;

• calculer le potentiel φ ;

Page 50: Problèmes phy

• en déduire la forme des lignes iso-potentielles ;

• vérier que div (~v) = 0 ;

• calculer la fonction courant ψ ;

• en déduire la forme des lignes de courant.

Méthode:

Les écoulements permanents, plans, potentiels et incompressibles permettent de décrire ecacement un grandnombre d'écoulements réels. On pourra les caractériser par :

• le champ de vitesse ~v ;

• le potentiel des vitesses φ tel que ~v = −−→grad (φ) ;

• la fonction courant ψ telle que ~v = −→rot (ψ.~uz) = −−→grad (ψ) ∧ ~uz.La vitesse se déduit donc aisément du potentiel des vitesses φ ou de la fonction courant ψ.

D'autre part,div (~v) = 0⇒ ∆φ = 0

De même,−→rot (~v) = ~0⇒ ∆ψ = 0

Ainsi, aussi bien φ que ψ obéissent à l'équation de Laplace.

3.D.2 - Exemples de bilans pour quelques systèmes ouverts TD

1) Déterminer l'eet mécanique du déplacement de uide dans les cas suivants :1.a) Jet d'eau sur une plaque

On s'intéresse à une plaque plane orthogonale à ~ux, immobile dans le référentiel du sol, sur laquelle arrive un jetd'eau à la pression atmosphérique (de masse volumique µ, de vitesse ~v0 = v0.~ux, de section S et donc de débit massiqueDm = µ.S.v0). Après contact avec la plaque, le jet est dévié d'un angle α, il garde la même section S, et la mêmepression. On néglige tous phénomènes de viscosité.

1.b) FuséeOn s'intéresse à une fusée dont la masse à l'instant t est m(t), dont la vitesse est ~v = +v.~uz dans le référentiel

du sol (supposé galiléen), qui éjecte (vers l'arrière) un débit massique Dm de gaz avec une vitesse ~u = −u.~uz dans leréférentiel de la fusée.

1.c) Tourniquet hydrauliqueOn s'intéresse à un tourniquet qui peut tourner autour de son axe vertical Oz, de moment d'inertie J par rapport

à Oz, formé de deux bras de longueur a d'où est éjecté un débit total Dm d'eau de façon orthoradiale (vers l'arrière)à travers une section S. La vitesse angulaire par rapport à Oz est ω.

1.d) TurbineOn s'intéresse à une turbine qui peut tourner autour de son axe Oz, de moment d'inertie J par rapport à Oz (en

comprenant l'eau qui est au contact de la turbine), avec une vitesse angulaire ω. Un débit d'eau Dm arrive avec unevitesse ~ve = ve.~uθ à une distance a de l'axe Oz et ressort avec une vitesse ~vs = vs.~uθ à la même distance a de l'axeOz.

Méthode:

On s'intéresse à système ouvert de volume V délimité par une surface fermée Σ. Cette surface fermée est composéede :

• la surface S délimitée par les bords de l'écoulement ;

• la surface Se à travers laquelle entre le uide ;

• la surface Ss à travers laquelle sort le uide.

Σ est xe dans le référentiel d'étude au cours du temps.A la date t, un système fermé est composé du uide dans le volume V . Il coïncide alors avec le système ouvert

précédemment déni.Plus tard, à la date t+ dt, ce système fermé s'est déplacé (cf. gure ??) :

• à travers la surface Se est passée une masse δme de uide ;

• à travers la surface Ss est passée une masse δms de uide.

Page 51: Problèmes phy

Soit une grandeur extensive dénie pour le système ouvert

G =∫∫∫

V

g.d3m

où g est la grandeur intensive massique associée à G.A l'instant t : le système fermé coïncident a comme valeur de G

Gf (t) = G(t)

A l'instant t+ dt : le système fermé s'est déplacé. La grandeur G associée à celui-ci à la date t+ dt est alors :

Gf (t+ dt) = G(t+ dt) + δms.gs − δme.ge

où ge (respectivement gs) est la grandeur intensive associée à G sur la surface Se (respectivement Ss).Il faut en eet :

• retrancher la quantité de G qui est passée à travers la surface Se ;

• ajouter la quantité de G qui est passée à travers la surface Ss.

La variation temporelle de G pour le système fermé est :

DG

Dt=Gf (t+ dt)−Gf (t)

dt=dG

dt+δms

dtgs −

δme

dtge

• DGDt est la variation temporelle de G pour le système fermé,

• dGdt est la variation temporelle de G pour le système ouvert.

On voit que la variation temporelle de G pour le système fermé fait apparaître

• dGdt = ∂

∂t

(∫∫∫Vg.d3m

), la variation temporelle explicite de G,

• les ux entrant ( δme

dt ge) et sortant (δms

dt gs) de G, dus au déplacement du système fermé.

On a ainsi relié les variations temporelles de G pour le système ouvert et pour le système fermé qui lui coïncide.Il ne reste plus qu'à appliquer un théorème sur la variation de G concernant le système fermé.

3.5 Exercices maple

3.E.1 - Ecoulement dans un dièdre droit maple

On s'intéresse à un écoulement bidimensionnel (dans le plan xOy) d'un uide en régime stationnaire dans un dièdredroit, dans l'espace x < 0 et y > 0. La vitesse dans le repère cartésien est :

~v = −k.x.~ux + k.y.~uy

L'instruction maple fieldplot donne une représentation d'un champ vectoriel bidimensionnel : le vecteur estreprésenté en chacun des points d'une grille déterminée. Cela n'est pas exactement ce que l'on utilise en mécaniquedes uides.

1) Ecrire des routines qui permettent de faire des représentations graphiques :

• une procédure qui permet de tracer une ligne de champ à l'instant t qui part de la position x0; y0 ;• une procédure qui permet de tracer toute la trajectoire d'une particule de uide qui est partie à l'instant t0 de laposition x0; y0 ;

• une procédure qui permet de tracer une animation qui représente le trajet eectué jusqu'à une date t par uneparticule de uide qui part à l'instant t0 de la position x0; y0.2) Tracer alors sur un même graphique quelques lignes de champ, l'animation correspondant à quelques particules

de uide ainsi que les trajectoires de celles-ci.

3.E.2 - Etude d'une détente dans une tuyère maple

On s'intéresse à un écoulement unidimensionnel (suivant x) d'un gaz parfait en régime stationnaire dans un cylindrede section variable, la tuyère. On supposera le fonctionnement réversible et les bords athermes : l'écoulement estisentropique. On se placera dans le référentiel de la tuyère.

Page 52: Problèmes phy

Les notations sont les suivantes :S(x) est la section de la tuyère à la cote x, et r(x), son rayon ; P (x), la pression ; T (x), la température ; v(x), le

volume massique ; c(x) la vitesse du gaz.Pour les applications numériques, on s'intéressera par exemple à l'air : on prendra M = 29g.ml−1 et γ = 1, 4.Ecrire un programme Maple qui permet de résoudre l'exercice suivant :

1) Vérier que S (c) = S0.c0.e12

c2−c20c2son

c est bien solution de la formule d'Hugoniot :

dS

S=dc

c

(c2

c2son− 1)

2) A l'entrée de la tuyère (en x = 0), la surface est S0 = 1m2, la vitesse est c0 = 100m.s−1, la température estT0 = 300K et la pression P0 = 5.105Pa. Calculer v0, le débit massique à l'entrée et cson (on prendra T = T0).

3) On va supposer que la vitesse varie linéairement dans la tuyère : c = a.x + c0. On prendra par exemplea = 1kHz. Dénir dans le programme les fonctions :

• r(x) grâce à la symétrie de révolution de la tuyère ;

• v(x) grâce à la conservation du débit ;

• P (x) grâce à la loi de Laplace ;

• T (x) grâce à la loi des gaz parfaits ;

• et enn D(x), le débit massique.

4) A la sortie de la tuyère (dans l'atmosphère), la pression est Patm. Trouver numériquement pour quelle positionxfin cette sortie a lieu.

5) Tracer alors les graphes (pour x ∈ [0, xfin]) de c(x), v(x), P (x), T (x) et la forme de la tuyère. Vérier que ledébit se conserve bien.

Page 53: Problèmes phy
Page 54: Problèmes phy

Deuxième partie

Thermodynamique

53

Page 55: Problèmes phy
Page 56: Problèmes phy

Chapitre 4

Transformations thermodynamiques

4.1 Application directe du cours

4.A.1 - Le skieur 3/2

On considère un skieur de masse m = 80kg tout habillé.1) Quelle est la pression exercée par le skieur sur la neige

1.a) P1 lorsqu'il a aux pieds des chaussures dont la semelle peut être assimilée à un rectangle de dimensionL1 = 33cm sur l1 = 8cm ?

1.b) P2 lorsqu'il a aux pieds des skis de dimension L2 = 1, 80m sur l2 = 8cm ?

4.A.2 - L'échelle Fahrenheit 3/2

L'échelle de température anglaise Fahrenheit est dénie par les deux températures :

• fusion de la glace θ1 = 0C ↔ τ1 = 32F ;

• ébullition de l'eau θ2 = 100C ↔ τ2 = 212F .1) Exprimer les coecients a et b de la relation ane qui lie la température τ en Fahrenheit à la température T

en Kelvin : τ = a.T + b.2) En déduire :

2.a) la température τ0 en Fahrenheit correspondant à T = 0K ;2.b) la température θ3 en Celsius correspondant à τ3 = 100F .

4.A.3 - Vitesse des molécules dans l'air 3/2

1) Exprimer la vitesse quadratique moyenne vq de molécules d'un gaz parfait diatomique à la température T enfonction de la masse molaire M .

2) En déduire la vitesse quadratique moyenne :2.a) vq(O2) des molécules de dioxygène (de masse molaire M(O2) = 32g.mol−1) ;2.b) vq(N2) des molécules de diazote (de masse molaire M(N2) = 28g.mol−1).

4.A.4 - Température d'un pneu 3/2

Un pneu sans chambre, de volume V supposé constant, est goné (d'air, assimilé à un gaz parfait) à la températureθ1 = 20C, sous la pression P1 = 2, 1bar. Après avoir roulé un certain temps, le pneu ache une pression P2 = 2, 3bar.

1) Quelle est alors sa température θ2 ?

4.A.5 - Masse de l'air dans une pièce 3/2

Quelle est la masse d'air (considéré comme un gaz parfait constitué de 45 de N2, de masse molaire M1 = 28g.mol−1

et de 15 de O2, de masse molaire M2 = 32g.mol−1) contenue dans une pièce parallélipipédique de dimension 5, 0m ×

3, 0m× 3, 0m à 20C sous 1, 0atm ?

4.A.6 - Caractéristiques d'un gaz de krypton 3/2

Le krypton est un gaz monoatomique de masse molaire M = 83, 8g.mol−1 qu'on considérera parfait.

55

Page 57: Problèmes phy

1) On le suppose à l'équilibre thermodynamique à la température T = 298, 15K et à la pression p = 1, 0bar.1.a) Calculer nv, la densité volumique de particules.1.b) Donner la vitesse quadratique moyenne vq de ses particules.

2) On augmente la pression de 10%. En déduire la variation relative de la vitesse quadratique moyenne.

4.A.7 - Énergie et vitesse dans un tube néon 3/2

Un tube de longueur L = 1, 0m et de section s = 80mm2 contient du néon (masse molaire MNe = 20g.mol−1),sous une pression p = 1, 0kPa, à la température T = 300K.

1) Calculer la masse du néon contenu dans le tube, l'énergie interne et la vitesse quadratique moyenne du gaz.2) On ajoute dans le tube 0, 40mg d'hélium (masse molaire MHe = 4, 0g.mol−1). Quelles sont la pression partielle

de ce gaz et la vitesse quadratique moyenne de ses molécules ? Calculer la pression totale et l'énergie interne totale.3) On diminue le volume de l'enceinte de 2, 0% de façon isotherme. Calculer les nouvelles valeurs de la pression,

de l'énergie interne et des vitesses quadratiques.

4.A.8 - Coecients thermoélastiques d'un gaz réel 3/2

On considère un gaz réel aux basses pressions obéissant à l'équation d'état P.Vm = R.T + b.P , où Vm est sonvolume molaire, P sa pression, T sa tempéraure, et R et b deux constantes positives. Calculer les coecients :

1) α ;2) β ;3) χT .

4.A.9 - Baromètres 3/2

On prendra Patm = 1, 013.105Pa pour la pression atmosphérique et g = 9, 81m.s−2 pour l'accélération de lapesanteur.

1) Quelle est la hauteur indiquée par un baromètre1.a) à eau (de masse volumique µ1 = 1, 0kg/L) ?1.b) à mercure (de masse volumique µ2 = 13, 6kg/L) ?

4.A.10 - Expérience de Pascal à la tour Saint Jacques 3/2

Pascal a mesuré la pression atmosphérique en bas et en haut de la tour Saint Jacques de la boucherie, au Châtelet,à Paris. Déterminer la diérence de pression ∆P attendue, en mmHg.

On prendra :

• pour la diérence d'altitude h = 52m ;

• pour la masse molaire de l'air : M = 29g.mol−1 ;

• pour la température T = 285K ;

• pour l'accélération de la pesanteur g = 9, 81m.s−1 ;

• pour la pression atmosphérique P0 = 760mmHg.

4.A.11 - Gazomètre 3/2

Un gazomètre est formé d'une cloche de diamètre d = 20m, de masse m, qui plonge dans une cuve d'eau surmontéede gaz de ville.

Déterminer la masse m de la cloche pour que la surpression du gaz soit ∆P = 15mbar.On prendra pour l'accélération de la pesanteur g = 9, 81m.s−1.

4.A.12 - Du gaz dans l'eau 3/2

On plonge un tuyau de gaz de ville dans un récipient d'eau et on note h = 9, 0cm, la profondeur maximale pourlaquelle on observe des bulles.

Déterminer la surpression ∆P du gaz de ville en mbar.On prendra pour l'accélération de la pesanteur g = 9, 81m.s−1 et pour la masse volumique de l'eau µ = 1, 0kg/L.

4.A.13 - Denivellation dans un tube en U 3/2

On met un liquide masse volumique µ1 dans un tube en U de section s. On verse un volume V d'un autre liquidede masse volumique µ2 < µ1 dans une des branches (numérotée 2).

Page 58: Problèmes phy

1) Déterminer la dénivellation h entre les deux surfaces libres.

4.A.14 - Densitomètre 3/2

On met du mercure dans le fond d'un tube en U. On verse h1 = 20cm d'eau dans une des branches. Dans l'autrebranche, on verse une hauteur h2 = 25cm d'éthanol, de sorte que les niveaux du mercure dans les deux branches soientdans un même plan horizontal.

1) Quelle est la densité d2 de l'éthanol ?

4.A.15 - Quentin joue dans son bain 3/2

Quentin joue dans son bain avec un verre de forme cylindrique, de masse à vide m, de hauteur intérieure h, desection intérieure Si et de section extérieure Se. Il remplit complètement ce verre avec de l'eau (de masse volumiqueµ), puis ferme la surface libre avec la main et retourne ce verre dans son bain, en l'enfonçant suivant une hauteur h′.On prendra le champ de pesanteur ~g = −g~uz.

1) Quelle est la force appliquée par Quentin sur le verre pour le maintenir en équilibre ?

4.A.16 - Forces de pression sur une paroi 3/2

On s'intéresse à la paroi verticale d'un récipient, rempli d'un liquide de masse volumique µ et placé dans l'air.On appellera h la hauteur de la paroi et a sa largeur. On négligera la variation de la pression atmosphérique avecl'altitude.

1) Donner :1.a) la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la paroi ;1.b) la cote du point d'application D de cette résultante.

4.A.17 - Chute d'eau 3/2

On s'intéresse à un torrent de montagne.1) Déterminer l'élévation de température ∆T produite par la descente de l'eau de la montagne sur une hauteur

h = 1500m, d'un lac à un autre lac. On négligera les échanges thermiques. On donne la capacité calorique de l'eau :c = 4, 17J.K−1.g−1.

4.A.18 - Un bon bain chaud 3/2

On veut préparer un bain de Vtot = 120L d'eau à θ0 = 35C en mélangeant un volume V1 d'eau chaude à θ1 = 72Cet un volume V2 d'eau froide à θ2 = 16C. On négligera les échanges thermiques avec l'atmosphère et la baignoire.

1) Déterminer V1

2) et V2.

4.A.19 - Chaleurs massiques 3/2

On plonge une masse m = 1, 0kg d'un corps initialement à la température θi = 100C dans un calorimètrecomprenant une masse m = 1, 0kg d'eau initialement à la température θ′i = 20C. A l'équilibre, la température naleest θf .

1) Sachant que la chaleur massique de l'eau est c0 = 4, 18kJ.K−1.kg−1, déterminer la chaleur massique :1.a) c1 du fer (pour lequel la température nale est θf1 = 28C) ?1.b) c2 du plomb (pour lequel la température nale est θf2 = 22, 4C) ?

4.A.20 - Trois travaux diérents 3/2

On considère n = 2, 00mol de gaz parfait, que l'on fait passer de façon quasistatique de l'état initial A(PA, VA, TA)à l'état nal B(PB = 3.PA, VB , TB = TA = 300K) par trois chemins distincts.

1) Calculer dans chaque cas les travaux mis en jeu en fonction de n, R et TA et faire l'application numériquepour :

1.a) chemin 1 : transformation isotherme ;1.b) chemin 2 : transformation composée d'une isochore puis d'une isobare.1.c) chemin 3 : transformation représentée par une droite en diagramme de Clapeyron (P, V ) ;

2) Représenter les trois chemins en diagramme de Clapeyron.

Page 59: Problèmes phy

4.A.21 - Compressions d'un gaz parfait 3/2

On comprime n = 1, 0mol de dioxygène, assimilé à un gaz parfait diatomique depuis la température Ti = 300K etla pression Pi = 1, 0.105Pa, jusqu'à la température Tf = 300K et la pression Pf = 5, 0.105Pa.

1) Calculer les volumes :1.a) Vi initial,1.b) et Vf nal.

2) Calculer travail et chaleur échangés par le gaz2.a) lors d'une compression isotherme ;2.b) lors d'une transformation isochore (de Pi à Pf ) suivie d'une transformation isobare (de Vi à Vf ).2.c) lors d'une transformation isobare (de Vi à Vf ) suivie d'une transformation isochore (de Pi à Pf ).

4.A.22 - Variation d'entropie d'un gaz parfait 3/2

1) Exprimer (à une constante près) l'entropie S de n moles d'un gaz parfait en fonction de son coecient γ, desa pression P , et du volume V .

2) En déduire la variation d'entropie ∆S de n = 1, 0mol de gaz parfait de coecient γ = 1, 4 lorsqu'il passe del'état initial de pression P0 = 1, 0.105Pa et de volume V0 = 24L à l'état nal de pression P1 = 5, 0.105Pa en subissant :

2.a) une transformation adiabatique réversible ;2.b) une transformation isochore ;2.c) une transformation isotherme.

4.A.23 - Entropie de mélange de deux gaz 3/2

Deux récipients (A) et (B) calorifugés communiquent par un robinet. Initialement, les deux récipients sont à lamême température Ti et à la même pression Pi, et

• (A) contient n(N2) = 4, 0mol de diazote ;

• (B) contient n(O2) = 1, 0mol de dioxygène.

On considérera les gaz comme parfaits et on pose Vtot = VA + VB , où VA et VB sont respectivement les volumes de(A) et de (B).

1) Quelles sont :1.a) la température nale Tf ?1.b) le volume VA en fonction de Vtot ?1.c) le volume VB en fonction de Vtot ?

On rappelle que l'entropie d'un gaz parfait à la pression P qui occupe un volume V est S = n.Rγ−1 ln(P.V γ) + cste.

2) Déterminer2.a) la variation d'entropie ∆S(O2) pour le dioxygène ;2.b) la variation d'entropie ∆S(N2) pour le diazote ;2.c) l'entropie créée Screee.

4.A.24 - Entropie de mélange de deux liquides 3/2

On mélange, à pression constante, une masse m1 = 0, 50kg de pétrole (de chaleur massique c = 2, 1J.K−1.g−1), àla température θ1 = 77C, avec une masse m2 = 2, 0kg de pétrole à la température θ2 = 17C.

1) Déterminer littéralement, puis numériquement, la température d'équilibre T en fonction de m1, m2, T1 et T2.2) Puis faire un bilan d'entropie pour le système que constituent les deux corps en fonction de m1, m2, T1 et T2,

c et T . On fera aussi l'application numérique, pour :2.a) l'entropie échangée Sech ;2.b) la variation d'entropie ∆S ;2.c) l'entropie créée Screee.

4.A.25 - Cycle de Carnot 3/2

Un gaz parfait décrit un cycle de Carnot moteur réversible, caractérisé par les températures T1 (avec la sourcechaude) et T2 (avec la source froide).

1) Diagramme entropique :1.a) Quel est la forme du cycle dans le diagramme entropique ?1.b) Dans quel sens est décrit le cycle dans le diagramme entropique ?

2) Etablir le rendement η du moteur thermique en fonction de T1 et T2.

Page 60: Problèmes phy

4.A.26 - Cycle à trois temps 3/2

L'état initial d'une mole de gaz parfait est caractérisé par P0 = 2.105Pa, V0 = 14L. On fait subir successivementà ce gaz les transformations réversibles suivantes :

• phase 1 : une détente isobare qui double son volume ;

• phase 2 : une compression isotherme qui le ramène à son volume initial ;

• phase 3 : un refroidissement isochore qui le ramène à l'état initial.

1) A quelle température s'eectue la compression isotherme ? En déduire la pression maximale atteinte.2) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V ).3) Calculer, en fonction de P0, V0 et γ = 1, 4, les travaux et transferts thermiques échangés par le système au

cours de chacune des phases du cycle :3.a) W1 et Q1 ;3.b) W2 et Q2 ;3.c) W3 et Q3.

4) Que vaut ∆U pour le cycle.

4.2 Entraînement

4.B.1 - Dissociation du brome 5/2

On s'intéresse au dibrome (molécule Br2), qu'on suppose être un gaz parfait. On donne la masse molaire MBr =80g.mol−1.

1) Quel est le volume V1 occupé par m = 1, 0g de brome à 60C sous la pression P = 1, 0atm.2) Que serait le volume V2 à 1600C sous la même pression ?3) L'expérience montre que ce volume est en fait égal à 1, 195L. Montrer que cela peut s'expliquer en considé-

rant qu'une certaine proportion des molécules s'est dissociée en atomes Br. Calculer le coecient d de dissociation(proportion de molécules dissociées).

4.B.2 - Calculs de pressions partielles 5/2

Trois récipients contiennent respectivement de l'hydrogène, de l'oxygène et de l'azote dans les conditions suivantes :

• H2 : 2, 15L, 250mmHg, 20C ;

• O2 : 5, 50L, 250mmHg, 20C ;

• N2 : 1, 40L, 760mmHg, 0C.

On mélange ces gaz dans un même récipient de volume 18, 5L, à la température de 0C ; on suppose le mélange idéal.Calculer pour chaque gaz sa pression partielle.

4.B.3 - Gaz parfait dans un cylindre vertical 5/2

Un cylindre vertical fermé aux deux bouts est séparé en deux compartiments égaux par un piston sans frottements,de forme cylindrique, homogène ; sa masse par unité de surface est 136g/cm2.

Les deux compartiments, de 0, 50m de hauteur, contiennent un gaz parfait à 0C. La pression qui règne dans lecompartiment inférieur est 100cmHg.

1) On chaue le système à 100C. Quel est le déplacement du piston ?2) Partant de l'état initial (0C), au lieu de chauer, on retourne le cylindre bout pour bout, la température des

gaz étant maintenue constante. Quel est le déplacement du piston ?

4.B.4 - Coecients thermoélastiques d'un gaz parfait 5/2

1) Dans le cas d'un gaz parfait, calculer les coecients :1.a) α ;1.b) β ;1.c) χT .

2) Que vaut αβ.χT

?

Page 61: Problèmes phy

4.B.5 - Coecients thermoélastiques du dioxyde de carbone 5/2

Le dioxyde de carbone obéit à l'équation d'état de Van Der Waals :(P +

a

V 2m

). (Vm − b) = R.T

où Vm est son volume molaire, P sa pression, T sa température, et enn a, b et R des constantes positives.1) Déterminer, en fonction de T , Vm, a, b et R les coecients :

1.a) α

1.b) et β.2) Etablir leurs expressions lorsque le volume tend vers l'inni.

4.B.6 - Détermination d'une équation d'état à partir des coecients thermoélastiques 5/2

On s'intéresse à un uide de température T et de pression P . Déterminer son équation d'état si :1) α = 1

T et β = 1T ;

2) α = 1T et β = P.V 2

a.T , a étant une constante ;

3) α = 3.a.TV et χT = b

V , a et b étant des constantes ;

4) α = aa.T+b.P et χT = 1

P −b

a.T+b.P , a et b étant des constantes que l'on déterminera par la condition : àT = 300K et P = 1, 013bar, 1mol de uide occupe un volume de 20L.

4.B.7 - Détermination de l'équation d'état d'un gaz à partir de la diérentielle de sa pression 5/2

Déterminer l'équation d'état d'un gaz dont la diérentielle de la pression peut être mise sous la forme :

dP = −n.R.TV 2

(1 +

2.V0

V

).dV +

n.R

V

(1 +

V0

V

).dT

n étant la quantité de matière (en mol), T la température, P la pression, V le volume, V0 et R des constantes positives.

4.B.8 - Modélisation de Van der Waals de la vapeur d'eau 5/2

Le tableau 4.1 donne quelques caractéristiques thermodynamiques de la vapeur d'eau à la température θ = 500C(Vm est le volume molaire et Um l'énergie interne molaire) pour diérentes valeurs de la pression P . On donne enoutre la constante des gaz parfaits R = 8, 314J.K−1.mol−1.

P (en bar) 1 10 20 40 70 100Vm (en m3.mol−1) 6, 43.10−2 6, 37.10−3 3, 17.10−3 1, 56.10−3 8, 68.10−4 5, 90.10−4

Um (en kJ.mol−1) 56, 33 56, 23 56, 08 55, 77 55, 47 54, 78

Tab. 4.1 Vapeur d'eau à la température θ = 500C

1) Justier sans calcul que la vapeur d'eau ne se comporte pas comme un gaz parfait.2) On se propose d'adopter le modèle de Van der Waals pour lequel on a :

(P + a

V 2

)(Vm − b) = R.T et Um =

UGP − aVm

.2.a) Calculer le coecient a en utilisant les énergies internes molaires des états à P = 1bar et à P = 100bars.2.b) Calculer b en utilisant l'équation d'état à P = 100bars.

3) Validité du modèle :3.a) Quelle valeur obtient-on alors pour Um à P = 40bars ?3.b) Quelle température obtient-on alors en utilisant l'équation d'état avec P = 40bars et V = 1, 56.10−3m3.mol−1 ?

4.B.9 - Détermination de la masse volumique d'une sphère 5/2

Une sphère en verre de rayon R = 2, 0cm plonge dans le mercure (de masse volumique µ(Hg) = 13, 6.103kg.m−3).Son point le plus bas est à h = 1, 1cm de la surface du liquide.

1) Calculer la masse volumique µ du verre.

Page 62: Problèmes phy

4.B.10 - Presse hydraulique 5/2

Une presse hydraulique est constituée d'un circuit hydraulique (le liquide est supposé incompressible) reliant deuxpistons A1 et A2 qui sont dans le même plan horizontal. A1 a une aire S1 = 10cm2 tandis que A2 a une aireS2 = 1000cm2.

On donne le champ de pesanteur g = 9, 81m.s−2.1) Quelle force F faut-il exercer sur A1 pour soulever une masse m = 1tonne posée sur A2 ?

4.B.11 - Pression au fond d'une fosse océanique 5/2

A sa surface libre de l'eau de mer a pour masse volumique µ0 = 1, 03.103kg.m−3 et pour pression P0 = 1, 013.105Pa.On la supposera à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur uniforme, de valeur g = 9, 81m.s−2.

1) On suppose d'abord que l'eau de mer est incompressible1.a) Quelle est la pression P1(z) à la profondeur z ?1.b) En déduire la pression dans une fosse océanique à z = 10, 0km de profondeur.

2) On suppose maintenant que l'eau est compressible et isotherme, de coecient de compressibilité χT =4, 5.10−10Pa−1.

2.a) Déterminer la masse volumique µ(z) à la profondeur z en fonction de µ0, χT , g et z.2.b) En déduire la pression P2(z) à la profondeur z en fonction de µ0, χT , g et z.2.c) Application numérique : donner suivant ce nouveau calcul la valeur de la pression dans une fosse océanique

à z = 10, 0km de profondeur.

4.B.12 - Mesure d'une diérence de pression dans une canalisation 5/2

On s'intéresse à un manomètre destiné à mesurer la diérence de pression de l'eau (de masse volumique µe =1000kg.m−3) dans une canalisation entre deux points A et B. On raccorde A et B par un tube en U qui contient del'eau en A et en B, et de l'huile (de masse volumique µh = 980kg.m−3).

On supposera les uides à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur uniforme, de valeur g = 9, 81m.s−2.1) Le U est vertical, mais dans quel sens ?2) Déterminer la diérence de pression ∆P entre A et B, sachant que le ménisque entre l'huile et l'eau se situe à

une altitude hA = 1, 578m en A, et à une altitude hB = 1, 653m en B.

4.B.13 - Mesure d'une diérence de pression entre deux canalisations 5/2

On s'intéresse à un manomètre destiné à mesurer la diérence de pression entre deux canalisations :

• la première (à une altitude z1 = 1, 50m), contenant de l'eau de masse volumique µ1 = 1000kg.m−3 à la pressionP1,

• la seconde (à une altitude z2 = 0, 75m), contentant un liquide organique de masse volumique µ2 = 900kg.m−3 à lapression P2.

On raccorde les deux canalisations par un tube en U qui contient du mercure (de masse volumique µ0 = 13600kg.m−3).On supposera que les uides sont à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur uniforme, de valeur g =

9, 81m.s−2.1) Le U est vertical, mais dans quel sens ?L'altitude du ménisque entre le mercure et l'eau est conventionnellement nulle, et celle du ménisque entre le mercure

et le liquide organique est h = 50cm.2) Déterminer la diérence de pression ∆P = P2 − P1 entre les deux canalisations.

4.B.14 - Masse de l'atmosphère 5/2

1) Généralités sur l'atmosphère isotherme1.a) Exprimer la masse mtot contenue dans un volume V en fonction de la masse volumique µ dans le repère

sphérique.1.b) Rappeler l'expression de la masse volumique µ d'un gaz parfait en fonction de la pression P , de sa masse

molaire M et de la constante des gaz parfaits R.1.c) En supposant l'atmosphère isotherme (à T ), exprimer la pression dans l'atmosphère en fonction de

l'altitude P (z).2) On suppose l'atmosphère isotherme, à T = 300K, et on la considère comme un gaz parfait de masse molaire

M = 29g.mol−1. On donne le rayon terrestre RT = 6370km et la pression au niveau du sol P0 = 1, 0.105Pa. Enn, onconsidérera l'intensité du champ de pesanteur |~g| comme uniforme.

Page 63: Problèmes phy

Quelle est la masse de l'atmosphère terrestre ?

4.B.15 - Ballon atmosphérique 5/2

Le modèle de l'atmosphère à gradient thermique constant (si la température est mise sous la forme : Tair =T0.(1−a.z) avec a = 2, 26.10−5m−1) permet d'établir qu'entre 0 et 11000m d'altitude la pression atmosphérique varieen fonction de l'altitude z, suivant la relation : Pair = P0.(1 − a.z)α avec α = 5, 25 et P0 = 1013hPa. A l'altitudez = 0, la masse volumique de l'air est µ0 = 1, 225kg.m−3.

Un ballon sonde goné au dihydrogène est assimilé à une sphère de diamètre D = 4, 0m. La masse totale del'enveloppe (non gonée), de la nacelle est mb = 5, 0kg et cet ensemble a un volume négligeable devant celui de lasphère. La masse des appareils embarqués est ma.

L'hydrogène est constamment en équilibre thermique avec l'air atmosphérique. A l'altitude z = 0, la masse volu-mique de l'hydrogène est µ′0 = 0, 094kg.m−3 et sa pression de gonage est P ′0 = 1127hPa.

1) Exprimer la masse volumique µair de l'air en fonction de l'altitude z.2) Dans le ballon :

2.a) Exprimer la pression intérieure Pint(z) qui s'exerce sur l'enveloppe du ballon à l'altitude z en fonction deP ′0, a et z.

2.b) En déduire la masse volumique µint de l'hydrogène à l'altitude z en fonction de µ′0, a et z.3) Etude mécanique :

3.a) Ecrire la résultante des forces exercées sur le ballon.3.b) En déduire la masse maximale mamax(0) des appareils que le ballon peut élever du sol,3.c) puis la masse maximale mamax(z1) des appareils que le ballon peut élever jusqu'à l'altitude z1 = 11000m.

4.B.16 - Atmosphère polytropique 5/2

On considère l'atmosphère comme un gaz parfait dans le champ de pesanteur ~g = −g.~uz, de masse molaire M , quisuit une loi polytropique, c'est à dire que la température à l'altitude z est : T (z) = T0.− a.z, où a > 0.

1) Calculer la pression à l'altitude z : P (z) en fonction de a, M , P0 et T0.

4.B.17 - Atmosphère adiabatique 5/2

On considère l'atmosphère comme un gaz parfait dans le champ de pesanteur ~g = −g.~uz, de masse molaire M , quin'échange pas de chaleur et qui évolue de façon réversible.

1) Calculer la pression à l'altitude z : P (z) en fonction de γ, M et P0.

4.B.18 - Chaleur échangée par un corps qui chute 5/2

On lâche sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme (de valeur g = 9, 81m.s−2) un corps solideassimilé à un point matériel, de masse m = 5, 0kg. A la n de la chute (d'une hauteur de h = 2, 0m), sa vitesse estvf = 9, 0m.s−1. Le travail des forces de frottement est W1 = −50J . On suppose que la température ainsi que le volumedu corps restent constante.

1) En déduire la variation d'énergie interne ∆U .2) Déterminer la variation d'énergie cinétique ∆Ec.3) Calculer les autres travaux des forces W2.4) Conclure en déterminant la chaleur Q échangée par ce corps en joules et en calories.

4.B.19 - Energie interne d'un gaz parfait 5/2

On assimilera les gaz suivants à des gaz parfaits.1) Déterminer l'énergie interne U à 0C de m = 1, 0kg d'hélium (de masse molaire M(He) = 4, 0g.mol−1).2) De même, déterminer l'énergie interne de'un volume V = 1, 0L d'air (composé de 20% de O2 et de 80% de N2)

à la pression P = 1, 0bar.

4.B.20 - Etirement d'un ressort 5/2

On considère un ressort parfaitement élastique de constante de raideur k. Initialement, sa température est Ti etsa longueur est l0, la longueur à vide. On va considérer deux transformations qui l'améneront au même état nal, delongueur lf = l0 + ∆l, et de température Tf = Ti.

1) Lors de la transformation 1, on allonge progressivement le ressort (de façon réversible), et de façon adiabatique.1.a) Déterminer la variation d'énergie interne ∆U .

Page 64: Problèmes phy

1.b) En déduire le travail W1 de l'opérateur.2) Lors de la transformation 2, on allonge brutalement le ressort, avec une force constante F2.

2.a) Quelle doit être cette force F2 ?2.b) Calculer le travail W2 de l'opérateur.2.c) Quelle est la variation d'énergie interne lors de cette transformation ?2.d) En déduire la chaleur échangée Q2.

4.B.21 - Variation d'entropie d'un solide chaué ou refroidi 5/2

Un solide de capacité thermique C, initialement à la température Ti, est mis en contact thermique avec une sourcede chaleur de température invariable Text.

1) Exprimer pour la transformation du solide :1.a) l'entropie échangée Sech ;1.b) la variation d'entropie ∆S ;1.c) l'entropie créée Screee.

2) Vérier le signe de l'entropie créée Screee si la température initiale du solide est très proche de celle de lasource : Text = Ti.(1 + ε) avec ε 1.

4.B.22 - Bilan d'entropie pour un solide métallique chaué 5/2

On s'intéresse à n = 1, 0mol d'un métal solide de capacité thermique molaire égale à 3.R. On négligera la variationde volume du solide.

1) On place le solide initialement à la température ambiante Ta = 300K dans de l'eau bouillante (à la températureTe = 373K). Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le solide

1.a) la variation d'entropie ∆S ;1.b) l'entropie échangée Sech ;1.c) l'entropie créée Screee.

2) On sort maintenant le solide de l'eau bouillante, et on le laisse se refroidir au contact de l'air ambiant àTa = 300K. Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le solide

2.a) la variation d'entropie ∆S ;2.b) l'entropie échangée Sech ;2.c) l'entropie créée Screee.

3) Le second principe est-il vérié lors des deux transformations ?

4.B.23 - Bilan d'entropie pour une résistance électrique 5/2

Un courant électrique de I = 1, 0A circule dans un conducteur ohmique, de résistance R = 30Ω pendant ∆T = 10′

qui plonge dans de l'eau bouillante (à la température T0 = 373K).La température du résistor passe de la valeur initiale Ti = 373K à la valeur nale Tf = 400K. La capacité

thermique du résistor est de C = 45J.K−1.1) Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le résistor

1.a) la variation d'entropie ∆S ;1.b) l'entropie échangée Sech ;1.c) l'entropie créée Screee.

4.B.24 - Interprétation statistique de l'entropie dans le cas d'un système à deux niveaux 5/2

Soit un système constitué de N particules en équilibre à la température T et dont chacune peut avoir deux valeursd'énergie E1 ou E2, avec E2 > E1 (système à deux niveaux). Soit N1 le nombre de particules d'énergie E1 et N2 lenombre de particules d'énergie E2.

Nous supposons que la répartition sur les niveaux d'énergie suit la loi statistique de Boltzmann : N2N1

= −e−∆E

kB.T .1) Exprimer l'énergie interne U en fonction de N1, N2, E1 et E2 et sa diérentielle dU en fonction de dN1 et

∆E = E2 − E1.2) Exprimer l'entropie du système S en fonction de kB , N et N1 en admettant l'expression de la formule de

Stirling pour n grand : ln(n!) ≈ n. lnn. Exprimer alors la diérentielle de l'entropie dS en fonction de ∆E, dN1 etT .

3) Montrer que l'on retrouve l'identité thermodynamique.

Page 65: Problèmes phy

4.B.25 - Expression de l'équation d'état à partir de l'énergie interne et de l'entropie 5/2

On considère n moles d'un gaz dont l'énergie interne U et l'entropie S s'expriment en fonction de la températureT et du volume V sous la forme :

U (T, V ) = U0 + n.C0.T − n.R.bT2

V

S (T, V ) = S0 + n.C0. lnT + nR lnV − 2.n.R.b TV

où C0, b, U0 et S0 sont des constantes.1) Exprimer la pression P du gaz en fonction de dérivées partielles de U et de S en fonction de V , à T constant.2) En déduire P (T, V ) en fonction de b.3) Retrouver le cas des gaz parfaits, et discuter de U(T, V ).

4.B.26 - Cycle de Brayton 5/2

Un gaz parfait décrit un cycle de Brayton moteur réversible, caractérisé par deux isobares (de pressions respectivesP1 et P2 avec P1 < P2) alternées avec deux adiabatiques.

1) Diagramme de Clapeyron :1.a) Quel est la forme du cycle dans le diagramme de Clapeyron ?1.b) Dans quel sens est décrit le cycle dans le diagramme de Clapeyron ?

2) Etablir le rendement η du moteur thermique en fonction de γ, P1 et P2.

4.B.27 - Cycle de Stirling 5/2

Un cycle de Stirling est formé de deux isothermes (aux températures T1 et T2 < T1) et de deux isochores (auxvolumes V1 et V2 > V1) alternées. Le cycle est supposé réversible ; il est décrit dans le sens moteur par un gaz parfaitcaractérisé par son γ.

1) En fonction des températures T1 et T2, du taux de compression a = V2V1

et de n, R et γ, établir les expressions :1.a) de la quantité de chaleur Q1 reçue par le système au cours d'un cycle moteur réversible ;1.b) de la quantité de chaleur Q2 cédée par le système au cours d'un cycle moteur réversible ;1.c) du rendement thermodynamique η de ce cycle.

2) Comparaison avec le cycle de Carnot :2.a) Quelle est l'expression du rendement du cycle de Carnot réversible η0 correspondant (c'est à dire utilisant

des sources dont les températures sont égales aux températures extrêmes précédentes) ?2.b) Comparer les deux rendements et montrer que le sens de l'inégalité est indépendant des valeurs numériques

des paramètres.

4.B.28 - Moteur et pompe à chaleur utilisés pour un chaue-eau 5/2

Pour maintenir la température d'un chaue-eau à Tc = 333K on utilise les deux sources de chaleurs qui se trouventà proximité de l'habitation : l'air extérieur à Ta = 310K et l'eau d'une rivière à Tr = 285K.

Un moteur ditherme réversible fonctionnant entre l'air extérieur et la rivière, fournit le travail nécessaire à unepompe à chaleur réversible ditherme fonctionnant entre le chaue-eau et la rivière.

1) Exprimer le rendement ηm du moteur en fonction de Ta, Tc et Tr.2) Exprimer de même le rendement ηpac de la pompe à chaleur.3) Déterminer le rendement η du dispositif global, déni comme le rapport de la chaleur donnée au chaue-eau à

la chaleur prélevée à l'air.

4.B.29 - Climatiseur 5/2

Un local, de capacité thermique à pression constante Cp = 4.103kJ.K−1, est initialement à la température de l'airextérieur Text = 305K. Un climatiseur, qui fonctionne de façon cyclique réversible ditherme (entre l'air extérieur et lelocal), ramène la température du local à Tf = 293K en une heure.

1) Quel est le rendement η de ce climatiseur si le local est à la température T ?2) Exprimer la chaleur totale Ql échangée par le climatiseur avec le local pendant la transformation.3) Exprimer le travail total W échangé par le climatiseur pendant la transformation.4) Quelle puissance électrique moyenne < P > a dû recevoir ce climatiseur ?

Page 66: Problèmes phy

4.3 Planches d'oral

4.C.1 - Un cylindre avec deux compartiments ***

(Centrale 2007)L'une des extrémités d'un cylindre est fermée par une paroi xe et l'autre par un piston mobile de masse négligeable

qui peut glisser sans frottements sur la paroi. On exerce une pression P0 constante sur le piston. Le cylindre a deuxcompartiments A et B séparés par une paroi xe munie d'une valve. Les parois et le piston sont supposés athermes etde capacité calorique négligeable. Initialement, la valve est fermée, le compartiment A a un volume VA et contient nmoles d'un gaz parfait tandis que le compartiment B, de volume VB est vide. On ouvre la valve.

1) Montrer que, selon que VB est supérieur ou inférieur à un volume VL, on a deux types de solutions.2) Si VB < VL, calculer P1, V1, T1 en fonction des données de l'énoncé et de γ = cp

cv.

3) Calculer VL en fonction de VA et de γ.4) Dans le cas où VB > VL, calculer P2, V2, T2.

4.C.2 - Expérience de Clément et Desormes ***

(Mines-Pont 2007)Un récipient de volume V0, dont les parois transmettent faiblement la chaleur, contient un gaz à pression P1

légèrement supérieure à la pression extérieure P0, à la température T0. Il est fermé par un robinet et un tube en Ucontenant un liquide de masse volumique µ. Le robinet est initialement fermé et la dénivellation du liquide vaut h.

On ouvre le robinet, le volume passe à V2. La dénivellation du liquide devient presque instantanément nulle et onnote T2 la température du gaz dans l'enceinte juste après ouverture. On referme le robinet : la quantité de matièrediminue puisqu'on reprend le volume V0.

Après un certain temps, la dénivellation atteint un niveau h′.1) Décrire qualitativement l'évolution du système, notamment les variations de température.2) Donner T2

T0en fonction de P0, µ, g, h et γ.

3) Donner T2T0

en fonction de P0, µ, g, h′.4) En déduire γ en fonction de h et h′.5) Quel est l'intérêt de ce dispositif ?

4.C.3 - Variation d'entropie d'une barre ***

(CCP 2007)Une barre homogène de masse volumique ρ, de capacité calorique massique Cp, de section S de longueur l, est

en contact à l'une de ses extrémités avec une source à température T1, et à son autre extrémité avec une source àtempérature T2. On réalise l'état (i) en atteignant un régime stationnaire. On réalise l'état (f) en atteignant un régimepermanent pour le système calorifugé et évoluant à pression P constante.

1) Calculer ∆S de (i) à (f).

4.4 Travaux dirigés

4.D.1 - Bilans d'énergie et d'entropie pour un gaz parfait TD

Dans tous les cas de gure, on s'intéresse à un gaz parfait. Faire un bilan d'énergie et d'entropie pour le gaz dansles trois transformations qui suivent :

1. Transformation n1

Le gaz parfait est initialement à la pression Patm, dans un cylindre fermé par un piston horizontal, de massenégligeable, de section S, on supposera que l'atmosphère est un bon thermostat. Une masse m tombe brutalementsur le piston.

2. Transformation n2

On suppose maintenant que le système repart du même état initial et que l'on verse sur le piston la même massem, mais de sable, petit à petit.

3. Détente de Joule - Gay Lussac

Page 67: Problèmes phy

Soit maintenant une enceinte rigide et athermane séparée en deux compartiments de volumes V1 et V2. Legaz parfait est initialement dans V1, V2 étant vide. Pour les applications, on supposera : V1 = V2 = V0. Latransformation débute lorsqu'on casse la paroi séparant V1 et V2.

Méthode:

• Comment faire un bilan d'énergie ?Soit une transformation nie τ d'un système thermodynamique. Faire un bilan d'énergie, c'est donner ∆U , W etQ. Voici une méthode qui fonctionne très souvent.

• Travail :pour un uide, W = −

∫Pimp.dV .

Attention : Pimp = P uniquement dans le cas réversible !

• Si les parois sont athermes :alors l'évolution est adiabatique ⇒ Q = 0, ce qui permet de déduire ∆U = W +Q.

• Si les parois sont diathermes avec un thermostat :alors l'évolution est isotherme ⇒ T = cste, ce qui permet de connaître ∆U (par exemple, pour un gaz parfait,∆U = 0), et d'en déduire Q = ∆U −W .

• Comment faire un bilan d'entropie ?Soit une transformation nie τ d'un système thermodynamique. Faire un bilan d'entropie, c'est donner ∆S, Screeeet Sech. Voici une méthode qui fonctionne quasiment toujours.

• Transformation réversible imaginaire :on imagine souvent une transformation τ ′ réversible qui a mêmes états initial et nal que τ . Ainsi : S′creee = 0,Timp = T ⇒ S′ech =

∫δQrev

T . Avec : T.dS = CV .dT + l.dV par exemple.∆S = ∆S′, car S est une fonction d'état.

• Entropie échangée :Sech =

∫δQTimp

, les données du problème doivent permettre d'en faire un calcul.

• Entropie créée :∆S = Screee + Sech permet d'en déduire Screee.Attention : Screee ≥ 0 !

4.D.2 - Moteurs à combustion interne TD

On s'intéresse à un gaz parfait (dont on connaît le γ = cp

cv) qui suit un cycle réversible.

Tracer le cycle dans les coordonnées de Clapeyron (P = f (V )) et calculer le rendement η du moteur, dans les cassuivants :

1. Moteur à explosion (cycle Beau de Rochas)déni par les transformations suivantes :

• A→ B : compression adiabatique ;

• B → C : combustion à volume constant (explosion) ;

• C → D : détente adiabatique ;

• D → A : ouverture de la soupape (à volume constant).

2. Moteur Dieseldéni par les transformations suivantes :

• A→ B : compression adiabatique de l'air seul ;

• B → C : inammation par injection de gazole (à pression constante) ;

• C → D : détente adiabatique ;

• D → A : ouverture de la soupape (à volume constant).

Méthode:

Page 68: Problèmes phy

• Etats thermodynamiques :Dénir parfaitement chaque état thermodynamique intermédiaire (pression, température, volume).

• Transformations :Calculer pour chaque phase (entre deux états) le travail et la chaleur échangés par le gaz parfait. S'intéresser enparticulier aux signes de ces grandeurs.Attention : on doit vérier à la n le premier principe sur un cycle :∑

(W +Q) = 0

• Diagramme de Clapeyron :Tracer le diagramme.Attention : un cycle moteur est parcouru dans le sens inverse du sens trigonométrique.

• Rendement du moteur :

η =−W

Qcombustion

Attention : η ∈ ]0; 1[.

4.5 Exercices maple

4.E.1 - Etude des propriétés cinétiques des gaz parfaits maple

1) Etude théorique : démonstrations formelles.La probabilité pour que la projection de la vitesse de la particule soit vx à dvx près est : pp (vx) .dvx = A.e−B.v

2x .dvx.

1.a) Calculer A pour que la gaussienne pp(vx) soit normée :+∞∫−∞

pp (vx) .dvx = 1.

1.b) Calculer la moyenne de la projection des vitesses selon x : 〈vx〉 =+∞∫−∞

vx.pp (vx) .dvx, or 〈~v〉 =

〈vx〉〈vy〉〈vz〉

.1.c) Calculer la largeur de la distribution de la projection des vitesses : vxq =

√〈v2x〉 =

√+∞∫−∞

v2x.pp (vx) .dvx.

On pose la probabilité de la norme de la vitesse : pn (v) .dv = 4.π.A3.v2.e−B.v2.dv.

1.d) Vérier que la densité de probabilité pn(v) (maxwellienne) est normée :+∞∫0

pn (v) .dv = 1.

1.e) Déterminer la vitesse la plus probable, telle que pn(v) soit maximale : vpp.

1.f) Puis déterminer la moyenne de la norme de la vitesse : vm = 〈v〉 =+∞∫0

v.pn (v) .dv.

1.g) Déterminer enn la vitesse quadratique moyenne : vq =√〈v2〉 =

√+∞∫0

v2.pn (v) .dv.

1.h) En déduire les valeurs numériques des rapports vm

vppet vq

vpp.

2) Etude numérique de la distribution gaussienne de la distribution des projections des vitesses.

2.a) Tracer sur un même graphique les distributions pp (vx) =√

M2.π.R.T .e

−M.v2x

2.R.T à T = 300K pour le dihydro-

gène (M (H2) = 2, 0g.mol−1), le dioxygène (M (O2) = 32, 0g.mol−1) et l'hélium (M (He) = 4, 0g.mol−1).2.b) Tracer la distribution pp(vx) en trois dimensions, en fonction de vx et de la température pour l'air

(M (air) = 29, 0g.mol−1).3) Etude numérique de la distribution maxwellienne de la distribution de la norme de la vitesse.

3.a) Tracer sur un même graphique les distributions pn (v) = 4.π(

M2.π.R.T

)3/2 .v2.e−M.v2

x2.R.T à T = 300K pour le

dihydrogène (M (H2) = 2, 0g.mol−1), le dioxygène (M (O2) = 32, 0g.mol−1) et l'hélium (M (He) = 4, 0g.mol−1).3.b) Evaluer la vitesse moyenne vm et la vitesse quadratique moyenne vq de l'air (M (air) = 29, 0g.mol−1) à

T = 300K.

Page 69: Problèmes phy

3.c) Tracer la distribution pn(v) en trois dimensions, en fonction de v et de la température pour l'air.

4.E.2 - Etude statistique de la détente de Joule - Gay Lussac maple

On s'intéresse à un gaz (parfait) dans une enceinte rigide et athermane. Cette enceinte est séparée en deux com-partiments de volumes V1 et V2. Pour simplier, on supposera : V1 = V2 = V . Le gaz est composé de N molécules(avec N 1 dans la réalité). Il y a N1 molécule dans V1 (et bien sûr N2 = N −N1 dans V2).

On caractériste un microétat par la distribution des molécules dans les deux volumes, et un macroétat par ladonnée de N1.

Le gaz est initialement dans V1, V2 étant vide.Toutes les molécules sont dans le compartiment 1 : il n'y a qu'une distribution possible (un seul microétat). Il n'y

a donc aussi qu'un état thermodynamique (macroétat) possible : N1 = N .Il n'y a aucun manque d'information dans cet état, car on sait où sont toutes les molécules. On peut dire que

l'entropie du système est initialement nulle.La transformation débute lorsqu'on casse la paroi séparant V1 et V2. Les molécules (numérotons les de 1 à N , même

si elles sont indiscernables) se répartissent dans les deux volumes V1 et V2.A l'état nal, le nombre total de microétats possibles est 2N : c'est le nombre de façons de répartir N molécules

dans deux récipients. Le nombre de microétats correspondant au macroétat N1 est Ω(N1) = CN1N : c'est le nombre

de façons de répartir N molécules dans deux récipients, tels qu'il y en ait N1 dans l'un. Ainsi, la probabilité d'un

macroétat N1 est p (N1) = CN1N

2N .1) Ecrire un programme qui permet de tracer Ω(N1) pour N1 ∈ [1;N ], et tracer cette courbe pour N = 3, 10, 25,

100, 1000.

Page 70: Problèmes phy

Chapitre 5

Thermodynamique hors équilibre

5.1 Application directe du cours

5.A.1 - Équilibre de deux gaz 3/2

Un cylindre horizontal, à parois diathermanes et indéformables, est séparé en deux compartiments par une paroimobile sans frottements. Le premier compartiment contient un gaz (1), occupant un volume V1, le deuxième com-partiment contient un gaz (2), occupant un volume V2. Ces deux gaz sont en équilibre thermique à la températureT = Text.

1) Montrer dans ces conditions que l'établissement de l'équilibre thermodynamique entraîne nécessairement l'éga-lité des pressions dans les deux compartiments.

5.A.2 - Variétés allotropiques du soufre 3/2

Le soufre existe à l'état solide sous deux variétés allotropiques (notées α et β). Dans les conditions standard, ladiérence d'entropie molaire est Smβ

− Smα = 7, 87J.K−1.mol−1 et la diérence de volume molaire Vmβ− Vmα =

0, 8cm3.mol−1 (toutes ces grandeurs seront supposées indépendantes de la température T et de la pression P ).1) Donner pour un corps pur, l'expression de la variation innitésimale dµ du potentiel chimique, lorsque la

pression varie de dP et la température de dT .La température de transition est de 95, 5C dans les conditions standard.2) Quelle est donc l'espèce stable à 20 dans les conditions standard ?3) Calculer la variation ∆T de la température de transition lorsque la pression s'accroît de ∆P = 1, 0bar.

5.A.3 - Mesure expérimentale de l'enthalpie massique de fusion de la glace 3/2

Dans un calorimètre de valeur en eau mc = 20, 0g contenant une masse ml = 200g d'eau liquide (de chaleurmassique cl = 4, 18J.K−1.g−1) à la température ambiante θ1 = 25, 0C, on ajoute un glaçon de masse mg = 10, 0g(de chaleur massique cg = 2, 10J.g−1.K−1) à la température θ2 = −5, 0C.

A l'équilibre thermique, la température est θf = 20, 4C. On néglige les pertes du calorimètre.1) Calculer l'enthalpie massique de fusion lf de la glace.En fait, la chaleur massique de fusion de la glace à T0 = 273, 15K est lf = 335kJ.kg−1.2) Proposer une explication.

5.A.4 - Transformation de glace en eau 3/2

On chaue (à la pression atmosphérique) une masse m = 100g de glace initialement à la température Ti = −18,pour la transformer en eau liquide à la température Tf = +25.

On donne :

• la capacité thermique massique de la glace cg = 2, 1kJ.K−1.kg−1 ;

• la capacité thermique massique de l'eau liquide cl = 4, 18kJ.K−1.kg−1 ;

• la chaleur massique de fusion lf = 335kJ.kg−1 de la glace à T0 = 273, 15K.

1) Calculer la variations d'enthalpie ∆H lors de cette transformation.2) Calculer la variations d'entropie ∆S lors de cette transformation.

69

Page 71: Problèmes phy

5.A.5 - Pression de vapeur saturante de l'eau 3/2

Pour l'eau la formule de Duperray Psat = P0.(θ

100

)4où P0 = 1, 0atm et θ est la température en C donne une

bonne approximation de la pression de vapeur saturante.1) Justier la valeur de P0.2) Tracer la courbe Psat = f (θ). Sur le graphique on distinguera les zones de stabilité de l'eau sous formes liquide

et vapeur.3) Application :

3.a) A quelle température observe-t-on l'ébullition de l'eau sous une pression de P = 0, 50atm ?3.b) A quelle pression observe-t-on l'ébullition de l'eau à une température de θ = 50 ?

5.A.6 - Refroidissement d'un composant électronique 3/2

Un composant électronique de conductivité thermique κ = 4, 0.10−2W.m−1.K−1 a deux faces 1 et 2 séparées parl'épaisseur d = 2, 0cm. Un ventillateur refroidit la surface 1 grâce à un courant d'air à la température θa = 20C tandisque l'autre face (2) est maintenue (du fait de son utilisation) à la température θ2 = 50C. En régime permanent, latempérature de 1 doit avoir la valeur θ1 = 30C.

1) Calculer quelle doit être la valeur du coecient h déni dans la loi de Newton.2) Sur quel paramètre peut-on jouer simplement pour obtenir cette valeur ?

5.A.7 - Etude d'un double-vitrage 3/2

On s'intéresse à une baie vitrée de surface S = 4, 0m2 qui délimite un intérieur où règne une température Ti = 20Cd'un extérieur où règne une température Te = 5C. On suppose que les fuites thermiques n'ont lieu que par conduction,à travers cette baie vitrée.

1) La baie vitrée est constituée d'un verre (de conductivité thermique κ = 1, 2W.m−1.K−1) d'épaisseur e =3, 0mm.

1.a) Calculer la résistance thermique Rth présentée par la baie vitrée.1.b) En déduire la puissance thermique Pth perdue.

2) La baie vitrée est maintenant un double-vitrage, constitué d'une épaisseur e = 3, 0mm d'air de conducti-vité thermique κ′ = 26mW.m−1.K−1 compris entre deux verres (de conductivité thermique κ = 1, 2W.m−1.K−1)d'épaisseur e = 3, 0mm.

2.a) Calculer la nouvelle résistance thermique R′th présentée par la baie vitrée.2.b) En déduire la puissance thermique P ′th perdue.

5.A.8 - Pertes thermiques à travers un pan de mur 3/2

On s'intéresse à un pan de muraille de surface totale St = 7, 5m2 composé d'un mur de brique d'épaisseur eb = 40cm,de conductivité thermique κb = 0, 70W.m−1.K−1 et d'une fenêtre de surface Sf = 0, 5m2 en verre κv = 1, 2W.m−1.K−1

d'épaisseur ev = 3mm qui délimite un intérieur où règne une température Ti = 20C d'un extérieur où règne unetempérature Te = 5C. On suppose que les fuites thermiques n'ont lieu que par conduction, à travers cette muraille.

1) Calculer la résistance thermique :1.a) Rv présentée par la fenêtre de verre ;1.b) Rb présentée par le mur de brique ;1.c) Rt présentée par le mur en totalité.

2) En déduire la puissance thermique Pth perdue.

5.A.9 - La sensation de chaud ou de froid 3/2

Tout l'exercice est à une dimension : x et les transferts thermiques sont purement conductifs. On s'intéresse à deuxcylindres (1 en x ∈ [−L, 0] et 2 en x ∈ [0,+L]), de mêmes longueurs L, de masses volumiques respectives µ1 et µ2, decapacités caloriques massiques respectives c1 et c2, de conductivités thermiques respectives κ1 et κ2, thermostatés àleurs extrémités (T (−L, t) = T1 et T (+L, t) = T2), en contact en x = 0.

1) Thermodynamique :1.a) Rappeler l'équation de diusion thermique.1.b) Donner l'expression de la température en régime permanent. Exprimer en particulier T0, la température

en x = 0.2) Application à la sensation de chaud et de froid :

Page 72: Problèmes phy

On suppose que le cylindre 2 est une main, et T2 = 37C. L'autre cylindre est un objet touché par la main. Onimagine que la sensation de chaud ou de froid ressentie par la main est reliée à la température au point de contactx = 0.

2.a) Discuter cette modélisation.2.b) Contact avec du bois : κ1 κ2. Ce bout de bois semble-t-il chaud ou froid, si le bout de bois est à

T1 = 20C ? Et si T1 = 60C ?2.c) Contact avec un métal : mêmes questions, mais cette fois, κ1 κ2.

5.A.10 - Durée d'un régime transitoire 3/2

1) Calculer l'ordre de grandeur ∆t de la durée d'établissement du régime permanent pour une tige d'acier ho-mogène, de longueur L, de section droite circulaire de rayon a, de masse m, de capacité thermique massique c, deconductivité thermique κ lors d'une diusion thermique.

2) Applications numériques :2.a) a = 1, 0cm, m = 1, 24kg, c = 0, 46kJ.kg−1.K−1, L = 0, 50m et κ = 82W.m−1.K−1.2.b) même matériau de longueur double.

5.A.11 - Isolant 3/2

Une couche d'isolant d'épaisseur d = 10cm et de conductivité thermique κ = 40mW.m−1.K−1 a une face (repéréepar x = 0) maintenue à la température θ1 = 100C. L'autre face (repérée par x = d) est refroidie par convection parun courant d'air à θa = 25C qui doit maintenir sa température à la valeur θ2 = 30C (en régime permanent).

1) Calculer quelle doit être la valeur du coecient h déni dans la loi de Newton.2) Quel paramètre peut-on adapter simplement pour obtenir cette valeur ?

5.A.12 - Diusion d'un pic de température 3/2

Soit une tige isolée et homogène, de section S constante, et susamment longue pour que le problème des conditionsaux limites ne se pose pas. À l'instant initial, la répartition température est une fonction gaussienne de x :

T (x, t = 0) = T0 + θ.e−

xl0

2

1) Vérier que T (x, t) = T0 + θr4.D.t

l20+1.e− x2

4.D.t+l20 est solution de l'équation de diusion.

2) Etudier T (x, t) à t xé :2.a) Que vaut son maximum Tmax(t) ?2.b) Possède-t-elle des propriétés de parité ?2.c) Donner l'allure de T (x, t).

On dénit la largeur l(t) à l'instant t du pic de température par la largeur de l'ensemble des positions x telles queT (x, t)− T0 >

Tmax(t)−T0e .

3) Dénir et calculer l(t), la largeur à l'instant t du pic de température.

5.A.13 - Séparation isotopique 3/2

L'uranium naturel contient une faible proportion (0, 72%) de l'isotope 235, qui seul intéresse l'industrie nucléaire, lereste étant de l'isotope 238. Il convient donc d'enrichir le minerai naturel en 235U . On commence pour cela à préparerl'hexauorure UF6, gazeux.

La diusion est d'autant plus rapide que les molécules sont plus légères (loi de Graham) : le coecient de diusiondépend de la masse molaire M en 1√

M.

On arrive à une séparation acceptable moyennant de très nombreux passages successifs du mélange gazeux à traversdes cloisons poreuses.

1) Calculer le rapport r des vitesses de diusion de 235UF6 et 238UF6, connaissant la masse molaire du uor :M(F ) = 19g.mol−1.

5.A.14 - Temps de diusion du CO2 dans une pièce 3/2

On donne le coecient de diusion du dioxyde de carbone dans l'air : D = 0, 14.10−4m2.s−1.1) Calculer l'ordre de grandeur de la durée t que mettrait du dioxyde de carbone à diuser dans une salle dont le

volume vaut V = 50m3.

Page 73: Problèmes phy

5.2 Entraînement

5.B.1 - Évolution monotherme isochore d'un liquide 5/2

Soit un récipient de volume constant complètement rempli d'une masse d'eau m = 100g portée, dans une étuve,à la température T1 = 353K. On la place à température ambiante, T0 = 293K. La chaleur massique de l'eau c =4, 18kJ.K−1.kg−1 peut être considérée comme constante.

1) Dénir les caractéristiques de la transformation et donner l'étal nal du système.2) Calculer la variation de F ∗ au cours de la transformation. Conclure.3) Tracer la fonction F ∗(T ) pour T ∈ [T0;T1]. Interpréter la courbe.

5.B.2 - Évolution lors de la fusion d'un glaçon 5/2

Un glaçon, de masse m = 20g, initialement à la température θi = −20C, est placé dans l'air ambiant (à latempérature θa = 20C, à la pression Pa = 1, 0bar).

La chaleur massique de l'eau liquide est cl = 4, 18kJ.K−1.kg−1, celle de l'eau solide est cs = 2, 1kJ.K−1.kg−1, etl'enthalpie de fusion de l'eau à 273K et lf = 335kJ.kg−1. Les volumes massiques de l'eau liquide vl et de l'eau solidevs sont constants sur l'intervalle de température considéré.

1) Montrer que le potentiel thermodynamique G∗ permet de prévoir l'évolution de ce système couplé avec le milieuextérieur. Étudier successivement :

1.a) l'évolution de l'eau solide,1.b) le changement d'état1.c) et l'évolution de l'eau liquide.

2) Calculer la variation de G∗ au cours de la transformation de l'eau.

5.B.3 - Température dans un igloo 5/2

On assimile un igloo à une demi sphère de rayon R = 1, 5m et d'épaisseur e = 20cm R, en glace (dontla conductivité thermique est κ = 50mW.K−1.m−1). Un être humain dans l'igloo dégage une puissance thermiquePth = 75W . Seule la conduction thermique sera prise en compte.

1) Quelle est la température à l'intérieur Tint si la température extérieure est :1.a) Text = −5 ?1.b) Text = −10 ?1.c) Text = −15 ?1.d) Text = −20 ?

5.B.4 - Transfert par conduction et (ir)réversibilité 5/2

An de modéliser un échangeur thermique, on considère une barre de section S et de longueur L, de conductivitéthermique κ (on négligera les autres modes de transfert thermique) qui a, en régime permanent, ses deux extrémitésaux températures T1 (en x1) et T2 (en x2 > x1).

1) Exprimer le ux thermique φ qui se propage suivant ~ux.2) Faire un bilan d'entropie pendant dt : donner

2.a) la variation d'entropie dS ;2.b) l'entropie échangée δSe ;2.c) l'entropie créée δSc.

3) Interprétation :3.a) Le précédent résultat est-il conforme au second principe ?3.b) Comment faire pour rendre le processus réversible ? Qu'est-ce que cela impose pour φ ?3.c) Montrer que, pour minimiser les irréversibilités tout en conservant un ux non nul, il faut que T1 − T2 =

δT T1.

5.B.5 - Etude d'une cave enterrée 5/2

On modélise la terre entre le sol et le plafond d'une cave enterrée par un milieu solide homogène de masse volumiqueµ, de conduction thermique κ et de capacité calorique massique c.

Toutes les variables ne dépendent que du temps t et de z la profondeur.1) Ré-écrire l'équation de diusion thermique sous la forme : ∂T

∂t = D.∂2T∂z2 . Que vaut D ? Application numérique

dans le cas de la pierre calcaire : µ = 2320kg.m−3, c = 810J.K−1.kg−1 κ = 2, 2W.m−1.K−1.

Page 74: Problèmes phy

On s'intéresse à des solutions de type : Tω.ej(ω.t−k.z) où Tω et ω sont des réels positifs.2) Trouver la relation de dispersion, c'est à dire une équation du type : ω = f (k).3) Montrer que T (z, t) = Tω.e

− z∆z cos [ω. (t−∆t)]. On exprimera numériquement pour une épaisseur z = 1, 0m

et une uctuation diurne (ω = 2.π24h ) :

3.a) ∆t ;3.b) ∆z ;3.c) et e−

z∆z . Conclusion.

5.B.6 - Conduction thermique entre deux sphères concentriques 5/2

On considère un matériau homogène compris entre deux sphères concentriques de centre O, de rayons a et b (a < b),de conductivité thermique κ, de capacité thermique massique c et de masse volumique µ. Les parois sphériques de cematériau sont maintenues aux températures T1 (pour r = a) et T2 (pour r = b) et on suppose T1 > T2.

1) Écrire l'équation aux dérivées partielles que vérie la température T en un point M , à l'instant t.2) Déterminer, en régime permanent :

2.a) la température T (r) en tout point M du matériau ;2.b) la puissance thermique Pt transférée entre les deux sphères de rayons a et b ;2.c) la résistance thermique Rt, de ce conducteur.

5.B.7 - Absorption de neutrons par le bore 5/2

On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur communiquentune vitesse d'agitation moyenne constante v. On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons par unité de volume.

1) Rappeler la loi de Fick qui donne le vecteur densité de courant de neutrons ~jn, dont le ux à travers une surfacequelconque est égal au nombre de neutrons traversant cette surface par unité de temps.

Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λa jusqu'à son absorp-tion.

2) Relier le nombre A de réactions d'absorption par seconde et par unité de volume à n, v et λa.3) Etablir l'équation aux dérivées partielles vériées par n.On se place dans un milieu semi-inni situé dans le demi-espace correspondant aux valeurs positives de x (un mur).

Il est limité en x = 0 par une source plane délivrant N0 neutrons par unité de surface et par seconde.4) Calculer la densité de neutrons n(x) en régime permanent.5) Déterminer l'épaisseur L du mur pour diminuer la densité de neutrons d'un facteur 1000.

5.3 Planches d'oral

5.C.1 - Des cochons sur la banquise ***

(Centrale 2007)Les trois petits cochons sont poursuivis par le grand méchant loup sur la banquise et se réfugient dans un igloo

hémisphérique de rayon intérieur R = 1m et d'épaisseur e = 1m ; la seule chance pour le loup est de souer surl'igloo. La température extérieure est Te = −5C. On donne la conductivité thermique massique λ = 2, 1W.m−1.K−1,la capacité thermique c = 2.06kJ.kg−1.K−1 et la masse volumique ρ = 917kg.m−3 de la glace. Chaque petit cochondissipe une puissance P = 80W . Le coecient de couplage conducto-convcctif est hi = 5W.m−2K−1 à l'intérieur,hs = 100W.m−2K−1 à l'extérieur, quand le loup soue, et he = 10W.m−2K−1 quand il ne soue pas.

1) Calculer la résistance thermique diusive de l'igloo.2) Le loup soue : calculer la température à l'intérieur de l'igloo et la température sur la paroi intérieure.3) Le loup, épuisé, s'arrête de souer : la glace fond-elle ? Si oui, de quel côté et de quelle épaisseur ?

5.C.2 - Hélium dans un cryostat ***

(Centrale 2007)On s'intéresse à un cryostat représenté sur la gure 5.1 dans lequel se trouve de l'hélium liquide à la température

THe = 70K, de chaleur latente massique de vaporisation LHe. Hypothèses : le manchon ne met pas en cause la symétriesphérique du système, e est nul, la température de l'air extérieur est Text, les échanges à la surface extérieure se fontuniquement par convection (on se donne la conductivité thermique λ du polystyrène et le coecient de Newton h).

1) Calculer la température en r = R. En déduire T (R+ e′).2) Donner la masse d'hélium ∆m vaporisée pendant une durée ∆t.

Page 75: Problèmes phy

Fig. 5.1 Cryostat

5.4 Travaux dirigés

5.D.1 - Etude des transformations de l'eau à la pression atmosphérique TD

On se place dans l'atmosphère : la pression est xée à P = P0 = 1, 000atm. La température T , elle, peut varier.On va étudier les transformations physiques de l'eau. Celle-ci peut se trouver sous la forme liquide (H2OL), glace

(H2OS), ou vapeur (H2OV ).On donne les enthalpies et entropies massiques des diérents états de l'eau à la pression P0, que l'on considérera

indépendants de la température (cf. tableau 5.1).

H2O solide liquide vapeur

h (en J.kg−1) −1.623.107 −1, 59.107 −1, 344.107

s (en J.K−1.kg−1) 2, 66.103 3, 88.103 1, 05.104

Tab. 5.1 Grandeurs thermodynamiques massiques relatives à l'eau

1. H2Os = H2OLMontrer qu'il existe une température limite Tf qui délimite les domaines d'existence de la glace et de l'eauliquide. Application numérique : que vaut Tf ?

2. H2OL = H2OVOn supposera que la vapeur d'eau est un gaz parfait à la pression pv (et pas nécessairement à P0).

(a) Montrer qu'il existe une température limite Tv au delà de laquelle toute l'eau liquide se vaporise (elle"bout"). Application numérique : que vaut Tv ?

(b) Montrer aussi qu'en deçà de Tv un équilibre thermodynamique est possible entre l'eau liquide et sa vapeurà une pression Psat (dite "pression de vapeur saturante"). Exprimer Psat en fonction de T et des constantesde l'énoncé. On donne la formule semi-empirique de Dupré : Ln [Psat (T )] = α− β

T − γ.Ln (T ). La formuletrouvée précédemment coïncide-t-elle ?

3. Evaporation de l'eauSupposons que T < TV . On dénit le degré d'humidité de l'air par θ = pv

Psat, qui est typiquement de l'ordre de

50% à 75%.

(a) Expliquer pourquoi l'eau liquide s'évapore.

(b) Quelle est la diérence fondamentale entre l'évaporation et l'ébullition ?

Page 76: Problèmes phy

(c) Pourquoi les facteurs suivants favorisent l'évaporation d'un linge : l'étendage, le vent et le soleil.

(d) Expliquer aussi pourquoi l'on peut "attraper froid" si l'on a transpiré.

4. Condensation de l'eau

(a) Expliquer pourquoi lorsque l'on pénètre dans une voiture en hiver les vitres se couvrent de buée.

(b) Expliquer aussi le phénomène de la rosée du matin.

(c) Que vous inspirent les vers de Rimbaud :

Mes étoiles au ciel avaient un doux frou-frou

Et je les écoutais, assis au bord des routes,

Ces bons soirs de septembre, où je sentais des gouttes

De rosée à mon front, comme un vin de vigueur ?

Méthode:

• Fusion de la glace

Tracer l'enthalpie libre massique g des deux états de l'eau qui nous intéressent, à la pression P0, en fonction de latempérature.

• H2OL = H2OV

• Il faut d'abord montrer que l'enthalpie libre massique de la vapeur d'eau est :

gv (pv, T ) = gv (P0, T ) +R.T

M.Ln

(pvP0

)où gv (P0, T ) = g (T ).

• Ensuite on compare les potentiels massiques : gv (pv, T ) < gL (T )⇒ H2OL → H2OVgv (pv, T ) > gL (T )⇒ H2OL ← H2OVgv (pv, T ) = gL (T )⇒ H2OL H2OV

• Evaporation de l'eau : T < TV , et on est hors équilibre : H2OL → H2OV , vers l'équilibre.

• Condensation de l'eau : T < TV , et on est hors équilibre : H2OL ← H2OV , vers l'équilibre.

5.D.2 - Conditions aux limites et équation de diusion TD

On s'intéresse à deux cylindres (1 en x ∈ [−L1, 0] et 2 en x ∈ [0,+L2]), de longueurs respectives L1 et L2, demême section S, de masse volumiques respectives µ1 et µ2, de capacités caloriques massiques respectives c1 et c2, deconductivités thermiques respectives κ1 et κ2.

Donner l'expression de la température en régime permanent dans les cas suivants :

1. Les extrémités des deux cylindres sont en contact avec des thermostats de températures respectives T1 et T2.

2. L'extrémité du cylindre 1 est en contact avec un thermostat de température T1 et l'extrémité du cylindre 2 estatherme.

3. Les extrémités des deux cylindres sont athermes.

Méthode:

• Extrémité isolée

Si la tige (de conductivité thermique κ, d'axe ~ux) a une extrémité isolée thermiquement en x0, le ux thermiquey est nul :

φ (x0) = 0⇒(∂T

∂x

)x0

= 0

Page 77: Problèmes phy

• Contact avec un thermostatSi la tige (de conductivité thermique κ, d'axe ~ux) a une extrémité (en x0) en contact avec un uide à la températureT0, la projection suivant ~ux de la densité de ux thermique suit la loi de Newton :

jthx (x0, t) = −κ(∂T

∂x

)x0

= h. (T (x0, t)− T0)

où h est un coecient qui s'exprime en W.m−2.K−1

• Contact entre deux tiges solidesAu point de contact thermique (en x0) de deux tiges de même axe ~ux, de conductivités thermiques respectives κ1

et κ2, la température est unique :T1 (x0, t) = T2 (x0, t)

et le ux thermique se conserve :

φ1 (x0, t) = φ2 (x0, t)⇒ κ1

(∂T1

∂x

)x0

= κ2

(∂T2

∂x

)x0

5.5 Exercices maple

5.E.1 - Des isothermes de Van der Waals à ceux d'Andrews maple

Ecrire un programme qui permet de vérier les calculs suivants :1) Calcul formel :

1.a) Equation de Van der Waals :On rappelle qu'un uide réel suit assez bien l'équation de Van der Waals :

(p+ a

v2

)(v − b) = R.T , où p est la

pression, T , la température absolue et v = Vn , le volume molaire.

Réexprimer l'équation de Van der Waals en fonction de n, la quantité de matière (exprimée en moles) et V , levolume total, plutôt que v, le volume molaire.

Donner la pression en fonction des autres variables.Montrer que V = n.b est le volume incompressible du uide.Montrer encore que, pour les grands volumes (V → +∞), on retrouve au premier ordre l'équation des gaz parfaits

p.V = n.R.T .1.b) Coordonnées du point critique :

Le point critique est le seul point d'inexion parmi les courbes isothermes de Van der Waals dans le diagrammede Clapeyron (P = f (V )).

Montrer que les coordonnées du point critique sont : PC = a27.b2 , VC = 3.n.b et TC = 8.a

27.R.b .1.c) Loi des états correspondants :

On va dénir des nouvelles variables sans unités : la pression réduite Pr = pPC

, le volume réduit Vr = VVC

et la

température réduite Tr = TTC

.Donner l'expression de Pr en fonction de Vr et Tr, et montrer qu'elle est la même quel que soit le gaz. On a alors

une loi universelle :

Pr =8.Tr.V 2

r + 3− 9.VrV 2r (3.Vr − 1)

Montrer que Vr > 13 .

2) Calcul numérique :Le long d'isothermes de Van der Waals, la pression peut parfois être négative, et certaines portions de courbes

(pour Tr < 1) sont croissantes ((∂P∂V

)T> 0), ce qui est absurde.

En fait, il faut remplacer l'isotherme de Van der Waals par une nouvelle isotherme (celle d'Andrews) qui présenteun palier (Pr = Psat) entre deux valeurs du volume réduit (Vliq et Vvap), tels que l'on doit vérier la condition de

Maxwell :Vvap∫Vliq

Pr.dVr =Vvap∫Vliq

Psat.dVr.

Ce palier est dû à la coexistence du liquide et de la vapeur lors de la transition de phase à la pression de vapeursaturante Psat(T ).

2.a) Ecrire un certain nombre de routines :

Page 78: Problèmes phy

Fig. 5.2 Construction de Maxwell pour passer de l'isotherme de Van Der Waals à celle d'Andrew

• une expression (Pr) et une fonction (P (V, T )) qui suivent l'équation de Van der Waals pour les grandeurs réduites :la pression réduite Pr = p

PC, le volume réduit Vr = V

VCet la température réduite Tr = T

TC;

• une routine qui permet de tracer (en rouge si Tr < 1, en bleu sinon) une isotherme de Van der Waals dans lediagramme de Claperon réduit (Pr = f(Vr)) : vdw(T ) avec T , la température réduite ;

• un module (maxwell(Pessai)) qui permet de calculer la diérence des intégrales entre un palier à la pression Pessaiet une isotherme de Van der Waals ;

• une routine (palier(T )) qui permet de calculer, pour une isotherme de Van der Waals : les coordonnées des pointsB (minimum) et C (maximum), et aussi le palier à la pression de vapeur saturante (Psat), en tant que solution demaxwell(Psat) = 0, les limites de ce palier (liquide en H et vapeur en J), enn qui calcule le graphique andrews(T ).

Il n'y a plus qu'à appeler andrews(T ) pour faire apparaître l'isotherme d'Andrews (en noir) à l'écran.2.b) 4) Tracé des isothermes de Van der Waals et de celles d'Andrews :

Tracer quelques isothermes de Van der Waals autour de Tc. Vérier qu'il y a des problèmes si Tr < 1.2.c) Tracé des isothermes d'Andrews :

Utiliser ces procédures pour diverses températures réduites (inférieures à 1) et tracer les isothermes d'Andrews.Les comparer aux isotherme de Van der Waals.

5.E.2 - Diusion à partir d'une introduction ponctuelle maple

On introduit à t = 0 de la matière en x = 0 : la densité n y est alors plus élevée.Tout le problème est à une dimension : x. Pour toutes les applications numériques, on prendra D = 5, 2.10−10m2.s−1.Nous allons étudier la solution mathématique de ce problème. Pour ce faire, on pose une fonction gaussienne :

e−x2

4.D.t .

On dénit la densité en utilisant une telle gaussienne normée : n(x, t > 0) = n0.e−

x24.D.t√

4.π.D.t. Nous supposerons que les

conditions initiales sont vériées.1) Montrer que la quantité de matière se conserve.

2) Vérier que la fonction précédemment dénie vérie l'équation de diusion : ∂n∂t = d.∂

2n∂x2 .

3) Tracer :3.a) l'allure de la densité en fonction de x, pour plusieurs temps écoulés depuis t = 0 ;3.b) une animation représentant la densité en fonction de x, qui varie avec t, le temps.3.c) l'allure de la densité en trois dimensions en fonction de x, et de t, le temps.

5.E.3 - Choc thermique en marche maple

On s'intéresse à deux barres solides identiques, indénies, numérotées 1 et 2. Initialement, les températures des

Page 79: Problèmes phy

deux barres sont homogènes, mais diérentes l'une de l'autre : T1 et T2 avec T2 > T1. A la date t = 0, les barres sontmises en contact en x = 0.

Tout le problème est à une dimension : x, et les transferts thermiques sont purement conductifs. Pour toutes lesapplications numériques, on prendra a = κ

µ.c = 11.10−5m2.s−1 (c'est le cas pour le cuivre).

On pose la fonction : f (x, t) =

x√4.a.t∫0

e−u2.du (c'est l'intégrale d'une gaussienne).

1) Etudier en particulier f (x, t = 0). Montrer en particulier que T (x, t) = T1+T22 + T2−T1

22√πf (x, t) vérie les

conditions initiales.2) Vérier que la fonction précédemment dénie vérie l'équation de diusion de la chaleur : ∂T

∂t = a.∂2T∂x2 .

3) Tracer :3.a) l'allure de la température en fonction de x, la position dans la barre, pour plusieurs temps écoulés depuis

le contact thermique ;3.b) une animation représentant la température en fonction de x, qui varie avec t, le temps.3.c) l'allure de la température en trois dimensions en fonction de x, la position dans la barre, et de t, le temps.

Page 80: Problèmes phy

Troisième partie

Electromagnétisme

79

Page 81: Problèmes phy
Page 82: Problèmes phy

Chapitre 6

Lois générales de l'électromagnétisme

6.1 Application directe du cours

6.A.1 - Nuage électronique 3/2

On modélise l'électron d'un atome d'hydrogène centré en O par une densité volumique de charge

ρ(r, θ, ϕ) = C.e−r

a0

où a0 = 50pm.Déterminer C. Application numérique.

6.A.2 - Noyau radioactif β− 3/2

On considère une source (très petite, en O, centre d'un repère sphérique), de césium 137 radioactif β− :

13755 Cs→0

−1 e− +137

56 Ba∗

Son activité (nombre de désintégration par seconde) est A = 0, 185MBq.1) Quelle est l'intensité I qui traverse une sphère de centre O ? Application numérique.

2) Exprimer dans le repère sphérique la densité volumique de courant ~j. Que vaut numériquement∣∣∣~j∣∣∣ à r = 10cm

de la source ?

6.A.3 - Feuille d'aluminium chargée 3/2

Soit une feuille d'aluminium de format A4 (21cm sur 29, 7cm) à laquelle on a arraché 1000 électrons.1) Quelle est la charge surfacique σ portée par la feuille d'aluminium? Application numérique.

6.A.4 - Fil électrique 3/2

Soit un l électrique en cuivre, cylindrique, de rayon R0 = 3, 0mm dans lequel circule un courant électriquehomogène d'intensité I = 10A, vers les z négatifs dans le repère cylindrique associé au l.

1) Exprimer dans ce repère la densité volumique de courant ~j. Que vaut numériquement∣∣∣~j∣∣∣ ?

6.A.5 - Conduction électrique dans un ruban d'aluminium 3/2

Soit un ruban de papier d'aluminium de largeur L0 = 1, 0cm (suivant la direction y d'un repère cartésien) danslequel circule un courant électrique homogène d'intensité I = 10mA vers les x positifs.

1) Exprimer dans ce repère la densité surfacique de courant ~js. Que vaut numériquement∣∣∣~js∣∣∣ ?

6.A.6 - Conservation de la charge et équations de Maxwell 3/2

Démontrer l'équation de conservation locale de la charge en utilisant uniquement les équations de Maxwell.

6.A.7 - Des "charges" magnétiques 3/2

1) Par analogie avec l'équation de Maxwell Gauss,

81

Page 83: Problèmes phy

1.a) dénir une densité de "charge" magnétique ρm ;1.b) montrer que ρm = 0.

6.A.8 - Un champ magnétique radial 3/2

1) Un champ radial (Cr~er) peut-il être un champ magnétique ~B :1.a) en cylindrique ?1.b) en sphérique ?

6.A.9 - Un champ électrique orthoradial 3/2

1) Est-ce qu'un champ orthoradial (Cθ~eθ en cylindrique) peut être un champ électrique ~E :1.a) en régime permanent ?1.b) en régime non permanent ?

6.A.10 - Courants électriques et courants de déplacement 3/2

On se place dans un milieu ohmique de conductivitéγ (~j = γ. ~E), en régime sinusoïdal forcé de fréquence ν.

1) Montrer que∣∣∣~j∣∣∣ > ∣∣∣~jd∣∣∣ pour peu que ν < νmax. Exprimer νmax en fonction de ε0 = 8,8 .10−12SI et γ.

2) Application numérique :2.a) dans le cas du cuivre (γ = 5, 8.107S.m−1) ;2.b) dans le cas de l'eau (γ = 1, 0.10−9S.m−1).

6.A.11 - Potentiel vecteur dans le cas d'un champ magnétique homogène 3/2

Soit un champ magnétique homogène ~B = B0.~uz.1) Montrer que 1

2~B ∧ ~r est un bon potentiel vecteur.

2) Ce potentiel vecteur vérie-t-il la jauge de Coulomb ?

6.A.12 - Potentiel scalaire créé par une charge ponctuelle 3/2

Une charge ponctuelle q en O crée un potentiel scalaire V (M) = q4.π.ε0.r

exprimé dans le repère sphérique de centreO.

1) Ce potentiel vérie-t-il bien l'équation de Poisson ?2) En déduire le champ électrique ~E(M) créé en M .

6.A.13 - Champ électrique créé par une charge ponctuelle 3/2

On s'intéresse à une charge ponctuelle q en O. On se place dans le repère sphérique de centre O.1) Calculer le champ électrique ~E(M) créé en M en utilisant :

1.a) la formule des potentiels retardés ;1.b) le théorème de Gauss.

6.A.14 - Champ électrique au voisinage d'un conducteur parfait 3/2

On considère un conducteur parfait (milieu 1) dans le demi-espace z < 0, dans lequel le champ électrique est nul. Al'interface qui délimite le conducteur du vide (dans l'autre demi espace z > 0), existe une charge surfacique σ = σ0.

1) Que vaut le champ électrique au voisinage du conducteur, en z = O+ ?

6.A.15 - Champ magnétique au voisinage d'un conducteur parfait 3/2

On considère un conducteur parfait (milieu 1) dans le demi-espace z < 0, dans lequel le champ magnétique estnul. A l'interface qui délimite le conducteur du vide (dans l'autre demi espace z > 0), circule un courant surfacique~js = j0.~uy.

1) Que vaut le champ magnétique au voisinage du conducteur, en z = O+ ?

6.A.16 - Cyclotron de Lawrence 3/2

Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayon R = 14cmet communiquait à des protons (de charge e = 1, 6.10−19C et de masse m = 1, 67.10−27kg) une énergie cinétiqueEc = 1, 2MeV . La diérence de potentiel était ∆V = 4000V au moment du passage du faisceau entre les dees.

1) Quelles étaient :

Page 84: Problèmes phy

1.a) la vitesse maximum des protons ?1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ?1.c) la fréquence du champ accélérateur ?1.d) le nombre de tours décrits par les protons ?1.e) le champ magnétique ?

6.A.17 - Expérience de J.J.Thomson (1897) 3/2

1) Un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse ~v = v0.~uz est détecté sur un écran (plan xOy) en O. Iltransite dans une zone Z qui a une taille a le long de l'axe Oz, petite devant la distance D entre l'écran et Z.

1.a) Déterminer le temps ∆t pendant lequel le faisceau transite dans Z.2) On dévie ce faisceau d'électrons à l'aide d'un champ électrique ~E = −E0.~uy règnant dans Z, uniforme et

indépendant du temps, et on mesure la déviation y du spot sur l'écran.2.a) Déterminer la projection de la vitesse ∆vy suivant ~uy des électrons au sortir de Z, en fonction de y, D et

v0.2.b) De même, déterminer ∆vy en fonction de e

m , E0 et ∆t.3) Enn, on établit en plus dans Z un champ magnétique ~B = B0.~ux, uniforme et indépendant du temps. On

règle la valeur de B0 de manière à ce que le spot soit ramené en O.3.a) Exprimer alors l'expression de B0 en fonction de E0 et v0.3.b) En déduire l'expression de la charge massique e

m de l'électron en fonction des grandeurs intervenant dansl'expérience : y, a, D, B0 et E0.

6.A.18 - Spectrographe de Bainbridge 3/2

Dans le spectrographe de Bainbridge, les ions de masse m et de charge q sortant d'un ioniseur sont préalablementaccélérés sous une tension de valeur absolue U = 10kV qui leur impose une vitesse ~v = v0.~uz.

1) Déterminer la vitesse v0 du cercle décrit par un ion.Ils pénètrent ensuite en O dans une zone (z > 0) où règne un champ magnétique ~B = B0.~uy uniforme et indépendant

du temps (B0 = 0, 10T )2) Déterminer le rayon R du cercle décrit par un ion.3) Deux isotopes viennent impressionner une plaque photographique dans le plan xOy.

3.a) Déterminer la distance x séparant les traces laissées par sur la plaque.3.b) Application numérique pour les isotopes 39K+ et 41K+.

6.A.19 - Bilan d'énergie dans un conducteur cylindrique 3/2

Un l conducteur cylindrique, de rayon a, de conductivité γ, de longueur L, est parcouru par un courant de densitéuniforme ~j = j0.~uz parallèle à son axe.

1) Loi d'Ohm :1.a) Déterminer l'intensité I qui circule dans le sens des z croissants en fonction de j0, a et L.1.b) En déduire la puissance électrique Pe échangée par ce résistor de résistance R = L

γ.π.a2 .2) Eet Joule :

2.a) Déterminer le champ électrique dans le conducteur.2.b) En déduire la puissance cédée à la matière Pd de ce vecteur à travers la surface de l. Commenter.

6.A.20 - Bilan d'énergie dans un condensateur plan 3/2

Un condensateur plan, composé par deux disques conducteurs de rayon a, d'axe O~uz éloignés de e portant unecharge ±Q a une capacité ε0.π.a

2

e .1) Etude électrocinétique : déterminer l'énergie Ec du condensateur.2) Etude électromagnétique :

2.a) Déterminer le champ électrique dans l'espace entre les conducteurs.2.b) En déduire l'énergie électrique Ee stockée dans l'espace entre les armatures. Commenter.

6.A.21 - Bilan d'énergie dans un solénoïde cylindrique 3/2

Un solénoïde cylindrique de rayon a, d'axe O~uz, de longueur h, formé de n spires par unité de longueur, a uneinductance L = µ0.n

2.π.a2.h. Dans ce solénoïde règne un champ magnétique ~B = µ0.n.I.~uz.1) Etude électrocinétique : déterminer l'énergie Eb de cette bobine.

Page 85: Problèmes phy

2) Etude électromagnétique : déterminer l'énergie magnétique Em stockée dans le solénoïde. Commenter.

6.A.22 - Force exercée par un champ magnétique uniforme sur une spire circulaire 3/2

Soit un repère cartésien Oxyz, et un vecteur ~u0 dans le plan (xOy), et on pose l'angle α = (~u0, ~ux).Il règne dans l'espace un champ magnétique ~B = B.~u0 uniforme et stationnaire.Soit une spire circulaire de centre O, de rayon R, dans le plan xOz parcourue par un courant I dans le sens

trigonométrique déni par le vecteur ~ux.1) On calculera, pour l'action exercée par le champ magnétique sur la spire :

1.a) la résultante des forces ~F ,1.b) le moment en O ~MO.

6.2 Entraînement

6.B.1 - Vitesse des électrons dans le cuivre 5/2

Le cuivre a pour masse molaire M = 63, 54g.mol−1, et pour masse volumique µ = 8, 9.kg/L. On donne le nombred'Avogadro : NA = 6, 02.1023mol−1 et la charge fondamentale : e = 1, 6.10−19C.

1) Calculer la densité volumique n des atomes de cuivre.2) En admettant que chaque atome de cuivre libère un électron assurant la conduction, calculer la vitesse moyenne

〈v〉 de ces électrons libres correspondant à un courant I = 0, 50A circulant dans un l de section droite de rayona = 1, 0cm.

6.B.2 - Symétries d'une sphère chargée surfaciquement 5/2

Soit une sphère de centre O, portant une répartition surfacique de charges σ.1) Déterminer les symétries de cette répartition de charges :

1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

6.B.3 - Symétries d'une spire circulaire 5/2

Soit une spire circulaire de centre O, d'axe (Oz), parcourue par un courant d'intensité I.1) Déterminer les symétries de cette répartition de courants :

1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

6.B.4 - Symétries d'un ensemble de deux ls parallèles 5/2

Soit deux ls innis, sans épaisseur, parallèles à l'axe (Oz), passant respectivement par les points O1 = (0,−a, 0)(dans un repère cartésien de centre O) et O2 = (0,+a, 0) dans lesquels circulent respectivement des courants I1 et I2,orientés conventionnellement vers les z croissants.

Dénir les symétries et invariances de cette distribution dans les trois cas suivants :1) I1 et I2 quelconques ;2) I1 = I2 = I ;3) I1 = +I et I2 = −I.

6.B.5 - Courant évanescent 5/2

Supposons que dans un demi-espace z > 0, la densité volumique de courants soit donnée par ~j = j0.e− z

h .~ex, où hest une constante.

1) Intensité élémentaire :1.a) Quelle est l'intensité élémentaire dI (z1, z2) qui traverse la surface élémentaire orientée dans le sens des x

croissants, pour y ∈ [0; dy] et z ∈ [z1; z2] ?1.b) Calculer dI (0, z)1.c) En déduire dI (0,∞).1.d) Pour quelle valeur z0 de z a-t-on dI (0, z0) = 0, 90.dI (0,∞) ? Commenter ce résultat.

Page 86: Problèmes phy

2) Densité surfacique de courant :2.a) Dans quelle limite est on confronté à une densité surfacique de courant ~js ?2.b) Exprimer alors ~js.

6.B.6 - Distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène 5/2

Dans la théorie quantique, l'électron de l'atome d'hydrogène n'est pas localisé : il s'agit d'un nuage électronique.Ainsi, si l'on exclu le proton (en O, centre de l'atome), la distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogèneest à symétrie sphérique et ne dépend que de la distance r à O : peut

ρ (r) = C.e−2.ra0

où a0 = 52, 9pm est le rayon de Bohr.1) Quelle est la probabilité p1(r, θ, ϕ) de trouver l'électron en M(r, θ, ϕ) ?2) Quelle est la probabilité p2(r) de trouver l'électron à une distance r de O ?3) A quelle distance rmax a-t-on le plus de chance de trouver l'électron ?4) Calculer la constante C. Application numérique

6.B.7 - Equations de Maxwell et conservation de la charge 5/2

1) Rappeler les équations de Maxwell.2) Montrer qu'elles impliquent l'équation locale de conservation de la charge.

6.B.8 - Comparaison entre courants électriques et courants de déplacement 5/2

On considère un milieu de conductivité γ pour lequel le courant de conduction ~j est lié à ~E par ~j = γ. ~E. On appellecourant de déplacement ~jd = ε0.

∂ ~E∂t .

On se place en régime sinusoïdal de pulsation ω.1) Exprimer le rapport α des amplitudes du courant de conduction sur le courant de déplacement.2) Pour ω = 2.π.106rad.s−1, exprimer numériquement ce rapport, dans les diérents cas suivants :

2.a) pour le cuivre (γ = 6, 0.107Ω−1.m−1) ;2.b) pour un sol argileux (γ ≈ 10−4Ω−1.m−1) ;2.c) pour du verre (γ ≈ 10−6Ω−1.m−1).

6.B.9 - Source radioactive ponctuelle 5/2

Un corps radioactif ponctuel au point O (centre d'un repère sphérique) se désintègre de façon isotrope en émettantdes particules chargées. Sa charge à l'instant t est notée Q(t).

1) Que vaut le vecteur densité de courant ~j ?2) En déduire le champ magnétique ~B.3) Que vaut le champ électrique ~E ?4) A partir de l'équation de Maxwell Ampère, retrouver ~j.

6.B.10 - Mesure expérimentale de em 5/2

Des électrons (de masse m et de charge −e) préalablement accélérés par une diérence de potentiel u = 2, 5kV ,décrivent dans une ampoule où règne un vide poussé une trajectoire circulaire de rayon R = 3, 3cm. Le champmagnétique créé par les bobines de Helmoltz, est quasi uniforme et sa valeur numérique égale à B = 5, 1mT .

1) Exprimer la vitesse v0 des électrons en fonction de m, e et u.2) Relier le rayon R de la trajectoire des électrons à v0, m, e et B.3) En déduire le rapport e

m en fonction de u, R et B.4) Comparer à la valeur théorique : e = 1, 6.10−19C et m = 9, 1.10−31kg.

6.B.11 - Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons 5/2

Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une fentesupposée très ne dans la région y > 0 où règne un champ électrique uniforme ~E = E.~ey. Ce faisceau, dans le plan(xOy) fait un angle α ∈

]0; π2

[avec ~ex.

1) Déterminer l'équation paramétrique du mouvement :1.a) x(t) ;

Page 87: Problèmes phy

1.b) y(t).2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0.Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈

[α0 − ∆α

2 ;α0 + ∆α2

]).

3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S.

6.B.12 - Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons 5/2

Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une fentesupposée très ne dans la région y > 0 où règne un champ magnétique uniforme ~B = −B.~ez. Ce faisceau, dans le plan(xOy) fait un angle α ∈ ]0;π[ avec ~ex.

1) Déterminer les caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement :1.a) son rayon R ;1.b) la position de son centre C.

2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0.Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈

[α0 − ∆α

2 ;α0 + ∆α2

]).

3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S.

6.B.13 - Moment des forces de Laplace sur une tige conductrice 5/2

Une tige conductrice homogène OA de longueur d = 10cm, de masse m = 50g est xée en O dans le référentielR du sol (supposé galiléen). Elle peut tourner parfaitement dans un plan vertical (xOy), autour d'un axe horizontal(Oz). Son extrémité mobile A aeure dans une cuve à mercure, ce qui permet le passage d'un courant stationnaireI = 1, 0A. On applique un champ magnétique extérieur ~B = B.~uz uniforme et stationnaire avec B = 100mT (onnégligera le champ magnétique propre du circuit électrique).

1) Exprimer le moment ~MO en O des forces de Laplace appliquées à OA :1.a) si I est orientée vers le bas ;1.b) si I est orientée vers le haut.

L'accélération de la pesanteur est ~g = −g.~uy avec g = 9, 81m.s−2. On pose θ = (−~uy, ~OA).2) Exprimer le moment ~M ′

O en O du poids de OA en fonction de θ.3) Déterminer la position d'équilibre θeq de la tige (en faisant une application numérique) :

3.a) si I est orientée vers le bas ;3.b) si I est orientée vers le haut.

6.B.14 - Roue de Barlow 5/2

On s'intéresse à un disque conducteur de rayon r0, d'épaisseur e qui peut tourner autour de son axe (Oz) dans leréférentiel R du sol (supposé galiléen).

Un contact glissant sur l'axe (en O) et un autre sur la périphérie obtenu à l'aide d'une cuve à mercure, permettentde faire circuler un courant I dans le conducteur (orienté de O vers la périphérie).

On impose un champ magnétique extérieur uniforme et stationnaire ~Bext = Bext.~uz (on négligera le champ ma-gnétique propre du circuit électrique).

1) Intensité I :1.a) Donner l'expression de l'intensité I à travers un cercle de rayon r < r0 grâce à une double intégrale de la

densité de courant volumique ~j.1.b) En déduire I en fonction d'une simple intégrale de la densité de courant volumique ~j sur θ.

2) Moment ~MO en O des forces de Laplace appliquées à la roue :2.a) Exprimer ~MO sous forme d'une triple intégrale.2.b) Calculer ~MO en fonction de Bext, I et r0.2.c) ~MO est-il indépendant de la topographie des lignes de courant ?

6.B.15 - Cadre carré dans un champ magnétique 5/2

Un cadre carré vertical, indéformable, de centre O, de côté d constitué de N spires parcourues par un courantstationnaire I, peut tourner autour d'un axe vertical (Oz) parallèle à deux de ses côtés dans le référentiel R du sol(supposé galiléen).

On applique un champ magnétique extérieur ~B = B.~ux uniforme et stationnaire (on négligera le champ magnétiquepropre du circuit électrique).

Page 88: Problèmes phy

On repère le plan du cadre par l'angle θ que fait sa normale ~n (dont le sens est donné par l'orientation électriquedes ls) avec ~ux : θ = (~n, ~ux).

1) Exprimer le moment ~MO en O des forces de Laplace appliquées au cadre :1.a) en utilisant l'expression de la force de Laplace ;1.b) en utilisant l'expression du travail de la force de Laplace ;1.c) en utilisant l'expression du dipôle magnétostatique.

6.B.16 - Balance de Cotton 5/2

La balance de Cotton permettait de mesurer un champ magnétique uniforme et stationnaire. Elle est constituéed'un éau de deux bras accroché en un point O où il peut librement tourner.

Au bout du premier bras OA (de longueur R1 = 10cm) est suspendu un plateau sur lequel est posée une massemarquée m. L'accélération de la pesanteur est ~g = −g.~uy avec g = 9, 81m.s−2.

Au bout du second bras OB (de longueur R2 = 30cm) se trouve un l électrique rectiligne MN//OA de longueurd = 2, 0cm R2 parcouru par un courant I = 1, 0A plongé dans un champ magnétique ~B uniforme est stationnairequi lui est perpendiculaire.

1) Calculer numériquement B à l'équilibre (m = 2, 0g).2) Quelle est la sensibilité de la mesure lorsque les dimensions, m et I sont connues avec une précision relative de

1% et g avec une précision de 0, 01% ?

6.3 Planches d'oral

6.C.1 - Cylindre conducteur ***

(Centrale 2007)Un cylindre de hauteur h et de rayon a orienté suivant (Oz) a des conductivités électrique γ et thermique κ, et

baigne dans un milieu à la température T0. Il est parcouru par une densité de courant ~j = j0ra~uz.

1) En régime stationnaire, en supposant que T ne dépend que de r, déterminer T (r) dans le cylindre.2) Connaissant a, h, j0 et T0, calculer l'intensité I dans le cylindre et la température au centre. Commenter.

6.C.2 - Particule traversant une zone chargée ***

(Mines-Pont 2007)On considère la répartition de charges (de densité de charges ρ) :

• ρ = 0 pour x < −a ;• ρ = ρ0. sin

(π.xa

)pour x ∈ [−a, a] ;

• ρ = 0 pour x > a.

On envoie une particule (de masse m et de charge q) avec une vitesse initiale selon l'axe des x.1) A quelle condition la particule traverse-t-elle la zone chargée ?

6.4 Travaux dirigés

6.D.1 - Introduction à l'analyse vectorielle TD

1) Quelques formules utiles :1.a) Montrer que ~grad (r) = ~ur et ~rot (~r) = ~0.1.b) Montrer que div (~r) = 3 en sphérique et en cylindrique et div (r.~ur) = 2 en cylindrique.1.c) En utilisant f. ~K où ~K est un vecteur uniforme, démontrer la formule de Kelvin :∮

f.d~l =∫∫

d2~S ∧ ~grad (f)

1.d) D'une façon analogue, démontrer la formule du gradient :∫∫© f. ~d2Σ =

∫∫∫~grad (f) .d3τ

Page 89: Problèmes phy

1.e) Démontrer ∫∫© d2~S ∧ ~A =

∫∫∫~rot(~A).d3τ

2) Exprimer dans le repère cartésien :2.a) ~grad (f) ;2.b) ~rot

(~A);

2.c) div(~A);

2.d) ∆f .3) Mêmes questions dans le repère cylindrique :4) Mêmes questions dans le repère sphérique :5) Applications :

5.a) Soit un champ uniforme ~B = ~rot ~A. Montrer que ~A = 12~B ∧ ~r convient. Est-ce la seule solution de cette

équation diérentielle ?5.b) En déduire que le vecteur surface ~S =

∫∫S

d2~S peut se réécrire : ~S =∮~r∧d~l

2 .

5.c) Montrer que le long d'un tube de champ d'un vecteur à divergence nulle le ux se conserve.

Méthode:

Opérateur nabla : ~∇ = ~ux.∂∂x + ~uy.

∂∂y + ~uz.

∂∂z en coordonnées cartésiennes seulement ! ! !

Gradient :Diérentielle d'un champ scalaire f : df = ~grad (f) .~dlExpression avec l'opérateur nabla : ~grad (f) = ~∇f .Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :

~grad (f) =

1µ1. ∂f∂s1

1µ2. ∂f∂s2

1µ3. ∂f∂s3

Interprétation : le gradient de f est orthogonal aux surfaces iso-f , il va vers les f croissants.Expression intégrale :

∫ ba~grad (f) ~dl = f(b)− f(a).

Propriété :∮

~grad (f) d~l = 0.

Rotationnel :Expression avec l'opérateur nabla : ~rot

(~A)

= ~∇∧ ~A.

Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :

~rot(~A)

=

1

µ2.µ3

[∂(µ3.A3)∂s2

− ∂(µ2.A2)∂s3

]1

µ3.µ1

[∂(µ1.A1)∂s3

− ∂(µ3.A3)∂s1

]1

µ1.µ2

[∂(µ2.A2)∂s1

− ∂(µ1.A1)∂s2

]

Interprétation : les lignes de champ tournent autour de leur rotationnel.

Formule de Stokes :∮~A.d~l =

∫∫r~ot(~A).d2~S.

Propriété : ~rot(~grad(f)

)= ~∇∧ (~∇f) = 0. Le rotationnel d'un gradient est nul.

Divergence :

Expression avec l'opérateur nabla : div(~A)

= ~∇. ~A.Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :

div(~A)

=1

µ1.µ2.µ3

(∂ (µ2.µ3.A1)

∂s1+∂ (µ3.µ1.A2)

∂s2+∂ (µ1.µ2.A3)

∂s3

)

Page 90: Problèmes phy

Formule d'Ostrogradsky :∫∫© ~A. ~d2S =

∫∫∫div(~A).d3τ .

Propriété : div(~rot(~A))

= ~∇.(~∇∧ ~A) = 0. La divergence d'un rotationnel est nulle.

Le long d'un tube de champ d'un vecteur à divergence nulle le ux se conserve.

Laplacien scalaire :

Expression avec l'opérateur nabla : ∆f = ∇2f = div [gr~ad (f)] = ~∇.(~∇f)

Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :

∆f =1

µ1.µ2.µ3

[∂

∂s1

(µ2.µ3

µ1.∂f

∂s1

)+

∂s2

(µ3.µ1

µ2.∂f

∂s2

)+

∂s3

(µ1.µ2

µ3.∂f

∂s3

)]Laplacien vectoriel :Expression avec le laplacien scalaire

∆ ~A =

∆Ax∆Ay∆Az

Expression avec l'opérateur nabla : ∆ ~A = ~∇.

(~∇. ~A

)− ~∇∧

(~∇∧ ~A

)Coordonnées ~u1 ~u2 ~u3 s1 s2 s3 µ1 µ2 µ3

cartésiennes ~ux ~uy ~uz x y z 1 1 1cylindriques ~ur ~uθ ~uz r θ z 1 r 1sphériques ~ur ~uθ ~uϕ r θ ϕ 1 r r. sin θ

Tab. 6.1 Repères

Page 91: Problèmes phy

Formulaire d'analyse vectorielle :

Formules locales :

~∇ (U + V ) = ~∇U + ~∇V ~∇(~A+ ~B

)= ~∇ ~A+ ~∇ ~B

~∇∧(~A+ ~B

)= ~∇∧ ~A+ ~∇∧ ~B ~∇∧

(~∇U)

= ~0

~∇.(~∇∧ ~A

)= 0 ~∇.

(~∇U)

= ∇2U

~∇∧(~∇∧ ~A

)= ~∇.

(~∇. ~A

)−∇2. ~A

~∇ (U.V ) =(~∇U).V + U.

(~∇V)

~∇(U. ~A

)=(~∇U). ~A+ U.

(~∇ ~A)

~∇∧(U. ~A

)=(~∇U)∧ ~A+ U.

(~∇∧ ~A

)~∇.(~A ∧ ~B

)=(~∇∧ ~A

). ~B − ~A.

(~∇∧ ~B

)~∇∧

(~A ∧ ~B

)=(~∇. ~B

). ~A−

(~∇. ~A

). ~B +

(~B.~∇

). ~A−

(~A.~∇

). ~B

~∇.(~A. ~B

)= ~A ∧

(~∇∧ ~B

)+ ~B ∧

(~∇∧ ~A

)+(~A.~∇

). ~B +

(~B.~∇

). ~A

Formules intégrales :Formule de Kelvin :

∮f.~dl =

∫∫ ~d2S ∧ ~grad (f)

Formule de Stokes :∮~A.~dl =

∫∫~rot(~A). ~d2S

Formule du gradient :∫∫© f. ~d2S =

∫∫∫~grad (f) .d3τ

Formule d'Ostrogradsky :∫∫© ~A. ~d2S =

∫∫∫div(~A).d3τ

Formule du rotationnel :∫∫© ~d2S ∧ ~A =

∫∫∫~rot(~A).d3τ

Expression des opérateurs vectoriels dans un repère quelconque (cf. tableau 6.2) :

~grad (f) =

1µ1. ∂f∂s1

1µ2. ∂f∂s2

1µ3. ∂f∂s3

~rot(~A)

=

1

µ2.µ3

[∂(µ3.A3)∂s2

− ∂(µ2.A2)∂s3

]1

µ3.µ1

[∂(µ1.A1)∂s3

− ∂(µ3.A3)∂s1

]1

µ1.µ2

[∂(µ2.A2)∂s1

− ∂(µ1.A1)∂s2

]

div(~A)

=1

µ1.µ2.µ3

(∂ (µ2.µ3.A1)

∂s1+∂ (µ3.µ1.A2)

∂s2+∂ (µ1.µ2.A3)

∂s3

)∆f =

1µ1.µ2.µ3

[∂

∂s1

(µ2.µ3

µ1.∂f

∂s1

)+

∂s2

(µ3.µ1

µ2.∂f

∂s2

)+

∂s3

(µ1.µ2

µ3.∂f

∂s3

)]

Coordonnées ~u1 ~u2 ~u3 s1 s2 s3 µ1 µ2 µ3

cartésiennes ~ux ~uy ~uz x y z 1 1 1cylindriques ~ur ~uθ ~uz r θ z 1 r 1sphériques ~ur ~uθ ~uϕ r θ ϕ 1 r r. sin θ

Tab. 6.2 Repères

6.D.2 - Etude des symétries d'une distribution TD

Page 92: Problèmes phy

1. Rechercher les symétries d'une distribution cylindrique innie d'axe (Oz), de rayon R :

(a) de charge (le cylindre est uniformément chargé) ;

(b) de courants (~j//~uz, uniforme dans le cylindre).

2. En déduire les symétries (en statique) :

(a) de V et ~E ;

(b) de ~A et ~B.

Méthode:

• Choix du repèreL'étude des symétries demande un choix judicieux du repère.

• ρ, V et ~E

• Invariances

• Il faut déterminer les invariances de la distribution volumique de charge ρ.

• On déduit du principe de Curie que le potentiel et le champ électrostatique ont (au moins) les mêmesinvariances.

• Plans de symétrie

• Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P ′ de ρ.

• Le potentiel scalaire V sera symétrique par rapport aux plans de symétrie P , et antisymétrique par rapportaux plans d'antisymétrie P ′.

• Le champ électrostatique ( ~E est un vrai vecteur) appartient aux plans de symétrie P , et est orthogonal auxplans d'antisymétrie P ′.

• ~j, ~A et ~B

• Invariances :

• Il faut déterminer les invariances de la distribution volumique de courant ~j.

• On déduit du principe de Curie que le potentiel vecteur ~A et le champ magnétostatique ( ~B) ont (au moins)les invariances de la distribution volumique de courant ~j.

• Plans de symétrie :

• Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P ′ de la distribution ~j.

• ~A est un vrai vecteur, il appartient donc aux plans de symétrie P , et est orthogonal aux plans d'antisymétrieP ′.

• ~B est un pseudo vecteur, il est donc orthogonal aux plans de symétrie P , et appartient aux plans d'antisy-métrie P ′.

6.D.3 - Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique homogène et stationnaire TD

On considère une particule chargée (de charge q, de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du repère(O, x, y, z)) avec la vitesse initiale ~v0 = v0x.~ux + v0y.~uy.

Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à :

1. un champ électrique homogène et permanent ~E = E0.~uy ;

2. un champ magnétique homogène et permanent ~B = B0.~ux ;

3. un champ électromagnétique homogène et permanent ~E = E0.~uy et ~B = B0.~ux.

Méthode:

On négligera quasiment toujours les autres forces (pesanteur,...) devant la force de Lorentz. Le principe fondamentalde la dynamique s'écrit :

md~v

dt= q. ~E + q.~v ∧ ~B

Page 93: Problèmes phy

• Champ électrique seulLes projections sont indépendantes et on se ramène à un problème équivalent mathématiquement à celui de lachute libre. La trajectoire est une parabole.

• Champ magnétique seul

• InvariantsIl est tout à fait bien venu de déterminer préalablement les invariants :

• la norme de la vitesse,

• la projection de la vitesse parallèle au champ magnétique,

• la vitesse orthogonale au champ magnétique.

• Mouvement parallèle : le mouvement suivant l'axe du champ magnétique est donc uniforme.

• Mouvement perpendiculaire : pour déterminer le mouvement orthogonal au champ magnétique, il convientd'éviter les coordonnées cartésiennes (les projections sont couplées, et il faut alors diagonaliser une matrice, cequi n'est pas élégant). Le repère de Frenet est beaucoup plus adapté, d'autant que la vitesse orthogonale estconstante. On démontre alors aisément que le mouvement perpendiculaire est circulaire.

• Mouvement : le mouvement total est donc un mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique.

• Champ électrique et magnétiqueChangement de référentiel : il faut changer de référentiel R et se ramener à un référentiel R′ où le champ électriqueest nul, grâce aux formules de changement de référentiel pour le champ électromagnétique.

• Dans R′ : mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, comme démontré précédement.

• Dans R : mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, conjugué à une vitesse de dérive (lavitesse d'entraînement de R dans R′).

6.5 Exercices maple

Page 94: Problèmes phy

Chapitre 7

Electrostatique

7.1 Application directe du cours

7.A.1 - Symétries de distributions de charge 3/2

1) Déterminer les symétries des distributions de charges suivantes :1.a) demi-cerceau chargé uniformément, d'axe Oz, dans le plan xOy, dans la partie x < 0.1.b) cylindre chargé uniformément, d'axe Oz, avec une cavité cylindrique vide, d'axe O′z, avec OO′ sur l'axe

Ox.

7.A.2 - Quatre charges ponctuelles 3/2

Soit quatre charges ponctuelles disposées au sommet d'un carré d'axes Ox et Oy, de centre O dont la longueur dela diagonale est 2a .

1) Calculer le potentiel en O ainsi que le champ ~E dans les cas où les charges sont les suivantes :

1.a) q(− a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= +e.

1.b) q(− a√

2,+ a√

2

)= −e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= −e.

1.c) q(− a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= −e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= −e.

1.d) q(− a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(+ a√

2,+ a√

2

)= +e, q

(− a√

2,− a√

2

)= +e et q

(+ a√

2,− a√

2

)= −e.

7.A.3 - Cas d'un champ connu 3/2

Soit le champ ~E = a.y.~ux + a.x.~uy (avec a > 0).1) Montrer qu'il s'agit d'un champ électrostatique.2) Déterminer le potentiel électrostatique.3) Donner les équations des lignes équipotentielles dans le plan xOy.

7.A.4 - Deux condensateurs en série 3/2

Un générateur parfait impose une diérence de potentiel U = 12V aux bornes de deux condensateurs en série, decapacités respectives C1 = 10µF et C2 = 80µF .

1) Calculer les tensions respectives aux bornes des deux condensateurs :1.a) u1 ;1.b) et u2.

2) Calculer les énergies stockées respectivement dans les deux condensateurs :2.a) E1 ;2.b) et E2.

7.A.5 - Moment dipolaire de l'eau 3/2

Dans la molécule d'eau H2O, la distance O−H est a = 97pm et l'angle que font entre elles les deux liaisons O−Hvaut θ = 104, 30. D'autre part, l'oxygène étant plus électronégatif que l'hydrogène, on suppose que chaque H porteune charge + e

3 , où e = 1, 6.10−19C est la charge électronique fondamentale.

93

Page 95: Problèmes phy

1) Exprimer le moment dipolaire p0 de la molécule d'eau1.a) dans les unités du système international ;1.b) en debye.

7.2 Entraînement

7.B.1 - Disque chargé 5/2

On s'intéresse à un disque d'axe Oz, de centre O, de rayon R portant la charge surfacique σ = cte, en un point Mde l'axe Oz, d'abcisse z > 0.

0.c) Calculer le champ électrostatique.0.d) Calculer le potentiel électrostatique.

7.B.2 - Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé 5/2

On considère une distribution linéique de charge, de densité λ, uniforme sur le cercle de centre O, d'axe Oz, derayon R.

1) Déterminer les symétries de cette répartition de charge :1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

2) En déduire les symétries de ~E :2.a) sur l'axe (Oz) ;2.b) sur l'axe (Oz), en z = 0.

3) Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe Oz, de coordonnée z.

7.B.3 - Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé 5/2

On considère une distribution linéique de charge innie de densité λ sur l'axe Oz.1) Etudier les symétries :

1.a) invariances de cette répartition de charge ;1.b) plans de symétrie et d'antisymétrie de cette répartition de charge ;1.c) en déduire les symétries de ~E.

2) Calculer le champ électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz.3) Potentiel électrostatique :

3.a) En déduire le potentiel électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz.3.b) Peut-on prendre V = 0 à l'inni ?

7.B.4 - Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée 5/2

On considère une distribution surfacique de charge uniforme σ sur une demi-sphère (dans l'espace z > 0) de centreO, de rayon R.

1) Déterminer les symétries de cette répartition de charge :1.a) invariances ;1.b) plans de symétrie ;1.c) plans d'antisymétrie.

2) Champ électrostatique :2.a) En déduire les symétries de ~E en O.2.b) Calculer le champ électrostatique créé en O.

7.B.5 - Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique 5/2

On assimile le noyau d'un atome à une sphère uniformément chargée, de centre O, de rayon R, de charge Q.1) Généralités :

1.a) Établir l'expression du champ électrostatique ~E produit par le noyau en un point quelconque M .1.b) En déduire le potentiel V en un point quelconque, en choisissant V = 0 à l'inni.

2) Application :

Page 96: Problèmes phy

On considère un noyau de baryum : Z = 56 et R = 6, 3fm. On donne la charge électronique e = 1, 6.10−19C et lapermittivité du vide ε0 = 8, 85.10−12F.m−1. Que vaut le champ

2.a) au voisinage du noyau : r = 2R ?2.b) à la périphérie de l'atome : r = 1, 0.10−10m ?

7.B.6 - Capacité d'un condensateur dièdrique 5/2

1) Rappeler la capacité C0 d'un condensateur formé de deux plans parallèles parfaitement conducteurs éloignésde e, de surface S.

2) On considère maintenant dans un repère cylindrique d'axe Oz un dièdre (d'axe Oz) formé de deux plansparfaitement conducteurs dénis par r ∈ [R1;R2], z ∈ [0;h], qui font un angle θ petit entre eux.

2.a) En réutilisant le résultat de la question précédente, trouver la capacité C(θ) de ce condensateur dièdrique.2.b) Dans quel cas limite peut-on retrouver C0 ?

7.B.7 - Répulsion de deux hémisphères chargés 5/2

On charge une sphère parfaitement conductrice, de rayon R, avec une charge Q.1) Exprimer la charge surfacique σ portée par la sphère.2) On divise la sphère en deux hémisphères suivant un plan diamétral.

2.a) Exprimer la pression électrostatique Pe en un point d'un hémisphère ;2.b) En déduire la force totale de répulsion entre les hémisphères.

7.B.8 - Energies électrostatiques de l'atome d'hydrogène considéré comme un doublet 5/2

On modélise l'atome d'hydrogène comme un doublet formé d'un proton (chargé +e = 1, 6.10−19C) et d'un électron(chargé −e, placé à la distance a = 0, 10nm du noyau). On donne ε0 = 8, 85.10−12F.m−1.

1) Calculer Wpropre, l'énergie électrostatique propre de ce doublet :1.a) dans les unités du système international ;1.b) en eV .1.c) Cela vous rappelle-t-il quelque chose ?

On place l'atome dans un champ électrique extérieur de valeur le champ de claquage de l'air : Eext = 3.106V.cm−1.On suppose que la distance entre le noyau et l'électron est quasi invariante.

2) Calculer Wext, l'énergie électrostatique d'intéraction de ce doublet avec le champ extérieur :2.a) dans les unités du système international ;2.b) en eV .

3) Comparer Wext et Wpropre.

7.B.9 - Distribution dipolaire surfacique 5/2

On se place dans le repère sphérique de centre O, d'axe polaire ~uz (à partir duquel on compte l'angle θ).On considère une distribution surfacique de charge, de densitéσ = σ0. cos(θ), sur une sphère de centre O et de

rayon R, où σ0 est une constante.1) Charge totale :

1.a) Calculer la charge totale Q de la distribution.1.b) Pourquoi peut-on alors s'intéresser au moment dipolaire ~p de cette distribution ?

2) Moment dipolaire :2.a) Exprimer ~p grâce à des intégrales.2.b) Calculer ~p en fonction de R et σ0.2.c) La direction de ~p était-elle prévisible ?

7.B.10 - Intéraction de deux dipoles électrostatiques à distance constante 5/2

On étudie deux dipôles électrostatiques de moments dipolaires respectifs ~p1 et ~p2. Le premier est xe en O, centred'un repère sphérique d'axe polaire (O,~uz), parallèle à son moment dipolaire : ~p1 = p1.~uz.

Le second dipole est placé en r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angle α = (~uz, ~p2),qui peut varier.

1) Exprimer l'énergie potentielle Ep(α) d'intéraction du second dipole avec le champ électrostatique créé par lepremier dipole.

2) Que doit vérier tan(θ − α) à l'équilibre stable ?3) Application : que vaut α si

Page 97: Problèmes phy

3.a) θ = 0 ;3.b) θ = π

4 ;3.c) θ = π

2 ;3.d) θ = π.

7.3 Planches d'oral

7.C.1 - Sphère chargée uniformément ***

(Centrale 2007)Une sphère centrée sur O de rayon R est uniformément chargée de charge Q.1) Calculer :

1.a) le champ électrique ~E1.b) et le potentiel V

en tout point de l'espace.1.c) Calculer l'énergie électrostatique de la sphère.

7.C.2 - Un tunnel pour traverser la Terre ***

(CCP 2007)On considère la Terre comme une boule homogène de rayon R. On creuse un tunnel AB (cf. gure 7.1). On lâche

Fig. 7.1 Un tunnel dans la Terre

un point matériel M de masse m en A. Il se déplace sans frottement.1) Donner une expression du temps T mis par M pour aller de A en B, à partir d'une forme intégrale si la Terre

est immobile dans le référentiel géocentrique.On donne

∫ 0

θmax

cos θmax.dθcos θ

√cos2 θ−cos2 θmax

= π2 ∀θmax, la masse de la Terre MT = 5, 97.1024kg, son rayon RT = 6378km

et G = 6, 67.10−11SI.2) Calculer numériquement T .

7.4 Travaux dirigés

7.D.1 - Analogie entre gravitation et électrostatique TD

On donne la constante de gravitation : G = 6, 67.10−11S.I., la valeur du champ de pesanteur à la surface de laTerre : g = 9, 81S.I., la masse volumique de l'eau : µ0 = 1, 00kg.L−1, la masse de la Terre : MT = 5, 98.1024kg, et sonrayon : RT = 6, 36.103km.

1. Astre ponctuelOn considère un astre (la Terre par exemple), qu'on assimile à un point matériel en O, de masse MT .

(a) Donner les unités de G et de g.

(b) Exprimer g en fonction de G et des constantes de l'énoncé.

Page 98: Problèmes phy

2. Astre homogèneOn suppose que la masse volumique de la Terre est une constante (µT ).

(a) Calculer la densité moyenne de la Terre, dT .

(b) La comparer à celle de la terre (celle du jardin, les roches, etc...) : dt = 2, 3. En conclure que la Terre n'estpas homogène.

3. Astre à symétrie sphériqueOn assimile donc la Terre à une sphère de rayon R et de centre O, dont la masse volumique est à symétriesphérique : µ ne dépend que de r.

(a) Grâce aux symétries de µ, déduire la forme qualitative du champ gravitationnel ~A créé par l'astre.

(b) Appliquer le théorème de Gauss pour connaître quantitativement ~A.

(c) Montrer que, hors de l'astre (en particulier à sa surface), tout se passe comme si l'astre était ponctuel.

Méthode:

• Analogie entre électrostatique et gravitation.On peut faire une analogie formelle entre le champ électrique créé par une charge ponctuelle et l'attraction crééepar une masse ponctuelle (cf. tableau 7.1).

Electrostatique Gravitation

charge q masse mcharge volumique ρ masse volumique µ

force ~F = q. ~E force ~F = m. ~A

champ électrostatique ~E champ gravitationnel ~Aforce ~F = q1.q2

4.π.ε.r2 ~ur force ~F = −Gm1.m2r2 ~ur

constante 14.π.ε constante −G

Tab. 7.1 Analogie entre électrostatique et gravitation

• Théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel.Grâce à cette analogie, on peut énoncer la loi locale que vérie le champ d'attraction gravitationnel :

div(~A)

= −4.π.G.µ

En intégrant ceci, on obtient un théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel :∫∫© ~A. ~d2Σ = −4.π.G.Mint

où Mint est la masse intérieure au volume V délimité par la surface fermée Σ.

7.D.2 - Détermination de champs électrostatiques et de capacités TD

Déterminer les capacités :

1. d'un condensateur plan (formé de deux plans métalliques de surface S en regard, et éloignés de e) ;

2. d'un condensateur cylindrique (formé de deux cylindres métalliques coaxiaux de longueur l en regard, et derayons respectifs a et b > a) ;

3. d'un condensateur sphérique (formé de deux sphères métalliques de même centre, et de rayons respectifs R1 etR2 > R1).

Méthode:

Pour déterminer une capacité C, il faut supposer le condensateur chargé : les armatures sont aux potentiels V1 etV2, et portent les charges Q1 et Q2 = −Q1.

Page 99: Problèmes phy

• Détermination du champ électrostatique ~E

Avant toute chose, il faut déterminer le champ électrostatique ~E à partir de la distribution des charges. Pour cefaire, on peut :

• Utiliser la formule des potentiels retardésEn électrostatique, la solution de l'équation de Poisson pour le potentiel est :

V (M) =1

4.π.ε0.

∫ ∫ ∫P∈D

ρ(P )PM

d3τ

On en déduit ensuite le champ électrostatique grâce à :

~E = − ~gradV

Attention : les opérateurs vectoriels opèrent une dérivation par rapport à la position du point M !Il vaut mieux, tant qu'à faire, utiliser directement l'expression du champ électrostatique :

~E(M) =1

4.π.ε0.

∫ ∫ ∫P∈D

ρ(P ). ~PMPM3

d3τ

Quoi qu'il en soit, cette méthode ne doit être utilisée qu'en dernier recours : elle donne lieu à beaucoup decalculs ! De plus, elle n'est valable que pour les distributions de charges d'extension nie.

• Utiliser le théorème de GaussPour les distributions de charges qui présentent de nombreuses symétries, nous allons voir, point par point laméthode à employer.

• Il faut d'abord déterminer les invariances de la distribution volumique de charge ρ. pour cela, il faut choisir unbon repère. On déduit du principe de Curie que le champ électrostatique a (au moins) les mêmes invariances.

• Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P ′ de ρ. Le potentiel scalaire V serasymétrique par rapport aux plans de symétrie P , et antisymétrique par rapport aux plans d'antisymétrieP ′. Le champ électrostatique ( ~E est un vrai vecteur) appartient aux plans de symétrie P , et est orthogonalaux plans d'antisymétrie P ′. Ainsi, si P est un plan de symétrie pour ρ, alors ~E ∈ P et V est symétriquepar rapport à P . Si P ′ est un plan d'antisymétrie pour ρ, alors : ~E⊥P ′ et V est antisymétrique par rapportà P ′.

• On choisit ensuite une surface fermée Σ qui vérie les symétries du problème, pour appliquer le théorèmede Gauss :

φ( ~E) =∫∫© ~E. ~d2Σ =

Qintε0

• Détermination de la capacité du condensateurUne fois que l'on a le champ électrostatique ~E (et parfois aussi le potentiel V ), il existe deux méthodes pour endéduire la capacité d'un condensateur :

• Utilisation de la relation tension-chargeLa circulation du champ électrostatique d'une armature à l'autre donne :

V1 − V2 =∫ 1

2

dV = −∫ 1

2

~E.~dl

On peut ensuite en déduire la capacité par la relation :

V1 − V2 =Q1

C

• Utilisation de l'énergie d'un condensateurLe condensateur a une énergie électromagnétique :

WC =Q2

1

2.CCette énergie est celle qui existe dans le champ électromagnétique dans le volume V entre les armatures :

WC =∫∫∫

M∈V

ε0.E(M)2

2.d3τ

• VéricationsAttention : C (en F ) est toujours positive, et ne dépend que des caractéristiques géométriques du condensateur.

Page 100: Problèmes phy

7.5 Exercices maple

7.E.1 - Potentiel électrostatique créé par un dipôle électrostatique maple

On s'intéresse à un doublet électrostatique formé de deux charges q = ±e = ±1, 6.10−19C, éloignées de a = 10−10mdans le plan yOz.

1) Calculer :1.a) V1 le potentiel créé par la première charge ;1.b) V2 le potentiel créé par la seconde charge ;1.c) V le potentiel créé par le doublet.

2) Tracer pour le doublet :2.a) quelques courbes isopotentielles dans le plan yOz ;2.b) le potentiel en fonction de y et z (en trois dimensions).

Page 101: Problèmes phy
Page 102: Problèmes phy

Chapitre 8

Magnétostatique

8.1 Application directe du cours

8.A.1 - Champ magnétique créé dans un cylindre creux conducteur 3/2

On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).On considère d'abord un cylindre conducteur de rayon R0, d'axe Oz et supposé inni, parcouru par un courant

volumique uniforme : ~j = J.~ez.1) Déterminer le champ magnétique ~B0 à l'intérieur de ce cylindre.On considère maintenant un cylindre conducteur de rayon R1, d'axe Oz et supposé inni, dans lequel on a creusé

une cavité cylindrique d'axe parallèle à (Oz), de rayon R2 < R1. Le cylindre creux est parcouru par un courantvolumique uniforme : ~j = J.~ez.

2) Calculer le champ magnétique ~B dans la cavité.

8.A.2 - Force exercée par un champ magnétique uniforme sur un dipôle 3/2

Soit un repère cartésien Oxyz, et un vecteur ~u0 dans le plan (xOy), et on pose l'angle α = (~u0, ~ux).Il règne dans l'espace un champ magnétique ~B = B.~u0 uniforme et stationnaire.Soit une spire circulaire de centre O, de rayon R, dans le plan xOz parcourue par un courant I dans le sens

trigonométrique déni par le vecteur ~ux.1) Quel est le moment dipolaire ~m du dipôle magnétique associé à cette spire ?2) On calculera, pour l'action exercée par le champ magnétique sur la spire :

2.a) l'énergie potentielle Ep ;

2.b) le moment en O ~MO ;2.c) la résultante des forces ~F .

8.A.3 - Force exercée par un l sur un dipôle magnétique 3/2

Soit un l inni rectiligne parcouru par un courant I, suivant l'axe Oz. On se placera dans le système de coordonnéescylindrique de même axe.

1) Calculer le champ magnétique ~B créé par le l.2) Soit un dipôle magnétique de moment ~m selon ~uθ et distant d'une distance r du l.

2.a) Calculer l'énergie potentielle d'intéraction entre le l et le dipôle.2.b) En déduire la force exercée par le l sur le dipôle.

8.A.4 - Mesure du moment dipolaire magnétique d'un aimant 3/2

On se place dans un repère cartésien (Oxyz), (Oz) étant vertical.Une boussole (assimilée à une aiguille aimantée mobile sans frottements autour de (Oz)) est placée en O et s'oriente

parallèlement au champ magnétique terrestre ~Bt = Bt.~ux (où Bt = 20µT ).On approche de cette boussole un petit aimant, en le gardant parallèle à la direction Est-Ouest (Oy).Cet aimant est assimilé à un dipôle magnétique, de moment magnétique ~m = m.~uy, de norme m que l'on va

déterminer.

101

Page 103: Problèmes phy

1) Déterminer l'angle α que fait la boussole avec (Ox), en fonction de m et de r, la distance de l'aimant à laboussole.

Pour r = 1, 2m, α = 45. On donne µ0 = 4.π.10−7H.m−1.2) En déduire m.

8.2 Entraînement

8.B.1 - Expérience de Rowland 5/2

On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).Un disque isolant, d'épaisseur négligeable, de rayon R, chargé uniformément avec une charge surfacique σ tourne

autour de son axe avec une vitesse angulaire constante ω.1) Donner l'expression du courant surfacique ~js.On rappelle que le champ magnétique créé par une spire de courant circulaire de rayon r et d'axe (Oz) est, en un

point M de l'axe Oz d'altitude z :

~B0(M) =µ0.I.r

2

2.(r2 + z2

)−32 ~uz

2) Calculer le champ magnétique ~B en un point M de l'axe Oz d'altitude z.

8.B.2 - Champ magnétique créé au centre d'une sphère chargée surfaciquement qui tourne 5/2

Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R, portantune charge surfacique σ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω.

1) Exprimer le courant dI créé par la spire virtuelle repérée par la distance R à O et par l'angle θ (à dθ près) parrapport à (Oz).

2) En déduire le champ magnétique crée en O par la rotation de la sphère.

8.B.3 - Champ magnétique créé au centre d'une sphère chargée volumiquement qui tourne 5/2

Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R, portantune charge volumique ρ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω.

1) Exprimer le courant dI créé par la spire circulaire virtuelle repérée par la distance r (à dr près) à O et parl'angle θ (à dθ près) par rapport à (Oz).

2) En déduire le champ magnétique crée en O par la rotation de la sphère.

8.B.4 - Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre 5/2

On se place dans un repère cartésien (Oxyz), (Oz) étant vertical.Une boussole (assimilée à une aiguille aimantée mobile sans frottements autour de (Oz)) est placée en O et s'oriente

parallèlement à la composante horizontale du champ magnétique terrestre ~Bt = Bt.~ux (on cherche à déterminer Bt).On place cette boussole au centre de bobines de Helmoltz assimilées à deux spires circulaires parcourues par le

même courant I, d'axe parallèle à la direction Est-Ouest (Oy), de rayon R = 10cm, disposées dans les plans y = +R2

et y = −R2 .1) Exprimer le champ magnétique BH créé par les bobines de Helmoltz en O.2) Déterminer l'angle α que fait la boussole avec (Ox), en fonction de I.Pour I = 2, 2A, α = 45. On donne µ0 = 4.π.10−7H.m−1.3) En déduire Bt.

8.B.5 - Eet Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium 5/2

Une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), d'épaisseur b = 1, 0mm suivant (Oz) et a suivant (Oy) estparcourue par un courant I = 15mA suivant (Ox). On suppose que la conduction est assurée par des électrons libresde charge −e = −1, 6.1019C, de densité ne.

1) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de I, a, b, ne et e.Plongée dans un champ magnétique B = 66mT suivant (Oz), la plaquette présente une tension de Hall UH =

1, 0mV suivant (Oy).2) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de UH , a, et B.3) En déduire le nombre de porteurs de charge ne par unité de volume dans le matériau. Application numérique.

Page 104: Problèmes phy

8.B.6 - Eet Hall dans une plaquette conductrice de cuivre 5/2

Une plaquette de cuivre d'épaisseur b = 0, 5mm suivant (Oz) et a = 1, 5cm suivant (Oy) est parcouru, selon (Ox),par un courant I = 60A.

On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge −e = −1, 6.1019C, de densité ne et ondonne la conductivité : γ = 58.106S.m−1 et la constante de Hall du cuivre : AH = 1

ne.e= −5, 3.10−11m3.C−1.

1) Exprimer le champ électrique Ex assurant la conduction.La plaquette de cuivre est maintenant soumise à l'action d'un champ magnétique ~B = B.~ez avec B = 2, 5T .2) Calculer le champ de Hall Ey.3) Quel est l'angle θ (qu'on exprimera en degré, minute et secondes) que fait le champ électrique total ~Etot avec

la direction (Ox) ?

8.B.7 - Intéraction de deux dipoles magnétiques à distance constante 5/2

On étudie deux dipôles magnétiques de moments dipolaires respectifs ~m1 et ~m2. Le premier est xe en O, centred'un repère sphérique d'axe polaire (O,~uz), parallèle à son moment dipolaire : ~m1 = m1.~uz.

Le second dipole est placé en r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angle α = (~uz, ~m2),qui peut varier.

1) Exprimer l'énergie potentielle Ep(α) d'intéraction du second dipole avec le champ magnétique créé par lepremier dipole.

2) Que doit vérier tan(θ − α) à l'équilibre stable ?3) Application : que vaut α si

3.a) θ = 0 ;3.b) θ = π

2 ;3.c) θ = π.

8.B.8 - Monopôles et dipôles magnétiques 5/2

1) Démontrer l'équation locale de conservation de la charge.2) Justier (par une analogie avec l'électrostatique par exemple) le nom de monopôle magnétique donné à

l'expression :

~C =∫∫∫

~j.d3τ

3) En exprimant div(x.~j), montrer que ~C = ~0.

4) Application : servez vous du fait que les monopôles magnétiques n'existent pas pour démontrer que l'expressiongénérale d'un moment dipolaire magnétique

~m =12

∫∫∫~OM ∧~j.d3τ

ne dépend pas du repère choisi.

8.B.9 - Modèle classique du spin de l'électron 5/2

1) Modélisation de l'électron :Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R, portant

une charge volumique ρ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω.1.a) Exprimer le courant dI créé par la spire circulaire virtuelle repérée par la distance r (à dr près) à O et

par l'angle θ (à dθ près) par rapport à (Oz).1.b) Quel est le moment dipolaire magnétique élémentaire d~m associé à cette spire, en fonction de ρ, ω, r et

θ ?1.c) En déduire le moment dipolaire magnétique total ~m de l'électron en fonction de e (la charge de l'électron),

R et ω.2) Discussion de la modélisation :On admet que la valeur du moment dipolaire magnétique est celui du magnéton de Bohr

m = µB = 9, 27.10−24A.m2

et que le rayon de la sphère doit être R = 2, 8fm.

Page 105: Problèmes phy

2.a) Que vaut la vitesse angulaire ω ?2.b) En déduire la vitesse maximale vmax d'un point de la sphère.2.c) Que faut-il conclure d'un tel résultat ?

8.B.10 - Inclinaison du champ magnétique terrestre en fonction de la latitude 5/2

La Terre de centre O et de rayon RT , d'axe polaire (O,~uz) orienté du pôle Nord vers le pôle Sud, est supposéecontenir en son centre un dipole magnétique de moment dipolaire : ~m = m.~uz.

On repère un point M du globe terrestre par r = RT , θ xé, et ϕ quelconque. En M , le champ magnétique terrestre~Bt fait un angle I avec l'horizontale (l'inclinaison I est négative si ~Bt est vers le sol) .

1) Exprimer tan(I) en fonction de θ.2) Exprimer la latitude λ comptée depuis l'équateur (positivement dans l'hémisphère nord, et négativement dans

l'hémisphère sud), en fonction de θ.On donne tan (α± β) = tanα±tan β

1∓tanα. tan β .3) En déduire tan(I) en fonction de λ.4) Application : que vaut l'inclinaison à Paris (λ = 49),

8.B.11 - Valeur du moment dipolaire magnétique terrestre 5/2

La Terre de centre O et de rayon RT , d'axe polaire (O,~uz) orienté du pôle Nord vers le pôle Sud, est supposéecontenir en son centre un dipole magnétique de moment dipolaire : ~m = m.~uz.

On repère un point M du globe terrestre par r = RT = 6371km, θ xé, et ϕ quelconque.1) Exprimer la latitude λ comptée depuis l'équateur (positivement dans l'hémisphère nord, et négativement dans

l'hémisphère sud), en fonction de θ.A Paris (λ = 49), le champ magnétique terrestre ~Bt est vers le sol : il fait un angle I = −65 avec l'horizontale

et sa composante horizontale est Bh = 20µT .2) Exprimer :

2.a) la composante verticale Bv du champ magnétique terrestre ;2.b) la norme Bt du champ magnétique terrestre.

3) Déduire la valeur du moment dipolaire magnétique terrestre m.

8.3 Planches d'oral

8.C.1 - Cadre conducteur au voisinage d'un l électrique ***

On se place dans un repère (O, ~ux, ~uy, ~uz), ~uy étant vertical, orienté vers le bas.On tire sur un cadre rectangulaire de côté a suivant Oy et b suivant Ox, rigide, de résistance R, de sorte qu'il se

déplace à vitesse constante ~v = v.~ux au voisinage d'un l inniment long parcouru par un courant constant I dans ladirection ~uy (cf. gure 8.1).

Fig. 8.1 Cadre conducteur au voisinage d'un l électrique

1) Déterminer la puissance P que doit fournir l'opérateur pour assurer le mouvement.

8.C.2 - Roue de Barlow 1 ***

(CCP 2007)On s'intéresse à une roue conductrice cylindrique d'axe Oz, d'épaisseur e, de rayon R plongée dans un champ

magnétique ~B = B0.~uz. Un courant I est amené en O et sort en M , contact ponctuel à l'extérieur de la roue.1) Trouver une expression de I en fonction d'une intégrale de la densité de courant.2) Calculer le moment de la force par rapport à l'axe de rotation.

Page 106: Problèmes phy

3) Calculer la puissance fournie par le moteur sachant que la roue eectue n tours par seconde.

8.C.3 - Roue de Barlow 2 ***

(CCP 2007)La roue métallique représentée gure 8.2 pleine homogène (de masse m) est libre de tourner autour de ~ez. On la

modélise par le rayon OA de résistance R, en considérant que ce rayon tourne à la vitesse θ.

Fig. 8.2 Roue de Barlow

1) Déterminer le mouvement de la roue.

8.4 Travaux dirigés

8.D.1 - Détermination de champs magnétostatiques TD

On va déterminer le champ magnétique créé par plusieurs distributions de courant.

1. Fil rectiligne inni

Un l rectiligne, inni, cylindrique d'axe (Oz) et de rayon R, est parcouru par un courant (réparti de façonhomogène) I. Déterminer le champ magnétique créé partout dans l'espace.

2. Spire de courant

Soit une spire circulaire, de rayon R, de centre O, d'axe Oz, parcourue par un courant I (cf. gure 8.3). Déterminerle champ magnétique qui règne en un point M de l'axe de la spire, en fonction de z, l'abscisse du point M surl'axe. Obtenir l'expression en fonction de α, l'angle sous lequel le point M voit la spire (cf. gure 8.3).

3. Bobines de Helmoltz

On dispose dans les plans z = +R2 et z = −R2 deux spires circulaires de rayon R parcourues par le même courant

I, dans le même sens : ces spires identiques ont le même axe (Oz) et sont éloignées de R. Déterminer le champmagnétique BC qui règne au centre du dispositif.

4. Solénoïde

(a) Solénoïde ni

Soit un solénoïde circulaire, de rayon R, de longueur L suivant son axe Oz, parcouru par un courant I (cf.gure 8.4). Le nombre de spire le constituant par unité de longueur est n. Montrer que le champ magnétiquequi règne en un point M de l'axe peut se mettre sous la forme : B (M) = µ0.n.I

2 . (cosα1 − cosα2) où α1 etα2 sont les angles sous lesquels le point M voit les extrémités du solénoïde.

(b) Solénoïde inni

On considère maintenant que ce solénoïde est inni. Déterminer le champ magnétique en un point quel-conque de l'espace.

5. Tore

On considère enn un tore à section circulaire (de rayon a), d'axe Oz, de rayon R (cf. gure 8.5), sur lequelsont enroulées N spires jointives parcourues par un courant I. Déterminer le champ magnétique qui règne en unpoint M quelconque de l'espace.

Méthode:

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le champ magnétostatique.

Page 107: Problèmes phy

Fig. 8.3 Spire

Fig. 8.4 Solénoïde circulaire

Fig. 8.5 Tore à section circulaire

Page 108: Problèmes phy

• Utilisation du théorème d'Ampère

Pour les distributions de courants ~j qui présentent de nombreuses symétries, nous allons voir la méthode à employer.

• Etude des invariances

On déduit du principe de Curie que le champ magnétostatique ~B a (au moins) les invariances de la distributionvolumique de courant de courants ~j. L'étude des invariances demande un choix judicieux du repère.

• Etude des plans de symétrie et d'antisymétrie

Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P ′ de la distribution ~j. Les vrais vecteurs ( ~A)appartiennent aux plans de symétrie P , et sont orthogonaux aux plans d'antisymétrie P ′. Les pseudo vecteurs( ~B) sont orthogonaux aux plans de symétrie P , et appartiennent aux plans d'antisymétrie P ′. Ainsi, si P estun plan de symétrie pour la distribution de courants ~j, alors ~B⊥P et ~A ∈ P . Si P ′ est un plan d'antisymétriepour la distribution de courants ~j, alors ~B ∈ P ′ et ~A⊥P ′.

• Application du théorème d'Ampère

Il faut choisir un contour fermé orienté C qui vérie les symétries du problème.∮C

~B.~dl = µ0.Iint

où Iint est l'intensité électrique qui passe à travers une surface S qui s'appuie sur le contour fermé orienté C etqui est orientée par lui :

Iint =∫∫

S

~j. ~d2S

• Utilisation de la formule de Biot et Savart

Un circuit C fermé orienté parcouru par un courant I crée un champ magnétique :

~B(M) =µ0.I

4.π.

∮P∈C

(~dl(P ) ∧

~PM

PM3

)

Cette méthode donne lieu à des calculs parfois longs et diciles. De plus, elle n'est valable que pour les distributionsde courants d'extension nie.

• Utilisation de la formule des potentiels retardés

La solution de l'équation de Poisson pour une distribution de courants d'extension nie D en magnétostatique est :

~A(M) =µ0

4.π.

∫ ∫ ∫P∈D

~j(P )PM

d3τ

Notons que ~A vérie la jauge de Coulomb :div ~A = 0

On en déduit ensuite le champ magnétostatique grâce à la relation locale (attention : les opérateurs vectorielsopèrent une dérivation par rapport à la position du point M !) :

~B = ~rot ~A

ou bien par l'équivalent intégré :

φ(~B)

=∫∫

S

~B. ~d2S =∮C

~A.~dl

(S est une surface qui s'appuie sur le contour fermé orienté C, et qui est orientée par lui).

Cette méthode ne doit être utilisée qu'en dernier recours : elle donne lieu à beaucoup de calculs ! De plus, elle n'estvalable que pour les distributions de courants d'extension nie. Enn, la formule de Biot et Savart est plus rapide :elle ne demande pas le dernier stade d'intégration.

• Utilisation de la discontinuité à une interface

Dans certains cas, on peut s'aider (ou vérier les calculs) grâce aux relations de discontinuité du champ magnétiqueau passage d'une nappe surfacique de courant.

Page 109: Problèmes phy

Soit une distribution surfacique de courants ~jS qui délimite deux zones (1 et 2). ~n1→2 est un vecteur unitairenormal à cette surface, orienté de 1 vers 2. Au voisinage de la nappe de courant, le champ magnétique subit unediscontinuité. Il vaut ~B1 du coté 1 et ~B2 du coté 2, avec :

~B2 − ~B1 = µ0.~jS ∧ ~n1→2

Il y a donc continuité de la composante normale du champ magnétique au passage de la nappe de courant :

~B2N = ~B1N

mais il y a discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique au passage de la nappe de courant :

~B2T − ~B1T = µ0.~jS ∧ ~n1→2

8.5 Exercices maple

Page 110: Problèmes phy

Chapitre 9

Régimes quasi-stationnaires (ARQS)

9.1 Application directe du cours

9.A.1 - Cadre tournant dans un champ magnétique homogène et permanent 3/2

Soit un champ magnétique homogène et permanent ~B = B0.~uz.On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD. Les longueurs de ses côtés sont a suivant AD et BC

et b suivant AB et CD. Ce cadre tourne autour de l'axe AD = (Ox). On repère sa rotation par l'angle θ = (~uz, AB).1) Calculer la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant :

1.a) la loi de Faraday ;1.b) la circulation du champ électromoteur.

9.A.2 - Cadre xe dans un champ magnétique homogène et variable 3/2

Soit un champ magnétique homogène et variable ~B = B0 cos (ω.t) .~uz.On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD dans le plan (xOy). Les longueurs de ses côtés sont a

suivant AD et BC et b suivant AB et CD.1) Calculer la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant :

1.a) la loi de Faraday ;1.b) la circulation du champ électromoteur.

9.A.3 - Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs parallèles 3/2

On se place dans un repère cartésien orthogonal direct (O,~ux, ~uy, ~uz), avec ~uz vers le haut.Deux tiges conductrices AB et A′B′ sont placées parallèlement (AB//A′B′//(Ox)) dans un plan horizontal ; elles

sont distantes de AA′ = 15cm.On déplace une barre conductrice CC ′ qui reste parallèle à (Oy) à la vitesse ~v = v0.~ux, avec v0 = 50cm.s−1.

Le tout est plongé dans un champ magnétique vertical, uniforme et constant ~B = Ba.~uz, avec Ba = 0, 10T .1) Quelle est la f.e.m e qui apparaît entre A et A′ ?Entre A et A′ se trouve un conducteur ohmique, de résistance R = 1, 0kΩ (la résistance des tiges étant négligeable).2) Quelle est la puissance P dissipée par ce résistor ?

9.A.4 - Inductance mutuelle d'un l rectiligne et d'un cadre rectangulaire 3/2

On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).On considère un l rectiligne quasi inni d'axe (Oz), d'épaisseur quasi nulle, dans lequel circule un courant I vers

les z positifs.1) Calculer le champ magnétique ~B créé par ce l.Un cadre métallique rectangulaire de N spires est dans un plan contenant (Oz), déni par une hauteur h parallè-

lement à (Oz), de côtés à des distance r1 et r2 de l'axe (Oz).2) Déterminer l'inductance mutuelle M des deux cicuits.

109

Page 111: Problèmes phy

9.A.5 - Auto-induction dans un solénoïde 3/2

On considère un solénoïde cylindrique, d'axe Oz, de longueur l (mais supposé quasi-inni), de rayon R, comportantN tours de l.

On suppose que circule un courant i(t) variable dans la bobine.1) Quel est le champ magnétique créé par le courant i à travers la bobine ?2) Utilisation du ux :

2.a) Quel est le ux Φ du champ magnétique à travers la bobine ?2.b) En déduire la self L de la bobine.

3) Utilisation de l'énergie :3.a) Quel est l'énergie magnétique Em dans la bobine ?3.b) En déduire la self L de la bobine.

9.A.6 - Transformateur abaisseur de tension 3/2

On s'intéresse à un transformateur supposé parfait qui comporte N1 spires au primaire, et N2 spires au secondaire.Au primaire, on impose une tension sinusoïdale de valeur ecace U1 = 25, 0kV , et on récupère une tension

sinusoïdale d'amplitude U2 = 3, 32kV .1) En déduire le rapport du nombre de spires N1

N2du transformateur.

On met à la sortie de ce transformateur un transformateur identique.2) Quelle est la tension ecace U3 à la sortie de cette association ?

9.2 Entraînement

9.B.1 - Bobine plongée dans un champ magnétique variable inhomogène 5/2

On se place dans un repère cylindrique d'axe Oz.Une bobine constituée de N spires circulaires, de rayon R, d'axe Oz, est plongée dans un champ magnétique

variable inhomogène~B = B0. cos

( π.r2.R

). cos (ω.t)~ez

1) Calculer le ux du champ magnétique Φ(t) à travers la bobine.2) En déduire la f.e.m e(t) induite.

9.B.2 - Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs concourants 5/2

On se place dans un repère cartésien orthogonal direct (O,~ux, ~uy, ~uz), avec ~uz vers le haut.Deux tiges conductrices OA et OA′ sont placées dans un plan horizontal ; elles ont pour médiatrice l'axe (Ox) et

font un angle α =(~OA, ~ux

)=(~ux, ~OA′

)avec lui.

On déplace une barre conductrice parallèlement à (Oy) à la vitesse ~v = v0.~ux, avec v0 > 0. Cette barre est encontact avec la tige OA (respectivement OA′) en B (respectivement en B′). A t = 0, B = B′ = O.

1) Exprimer, à l'instant t, en fonction de α et v0 :1.a) la circonférence C(t) du circuit ;1.b) l'aire S(t) du circuit.

Les conducteurs composant le circuit ont une résistance linéïque Rl. Le tout est plongé dans un champ magnétiquevertical, uniforme et constant ~B = Ba.~uz, avec Ba > 0.

2) Exprimer, en fonction de Ba, v0, Rl et de α :2.a) la valeur absolue de la f.e.m |e(t)| qui apparaît dans le circuit ;2.b) la valeur absolue de l'intensité |i(t)| qui circule dans le circuit.

9.B.3 - Courants de Foucault dans un cylindre conducteur 5/2

On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).Un conducteur cylindrique en cuivre (de conductivité γ = 58.106S.m−1), d'axe (Oz), de rayon R = 20cm et de

longueur L = 50cm est placé dans un champ magnétique homogène mais variable

~B = B0. cos (ω.t) .~uz

où B0 = 1, 0T et ω = 2.π.ν, avec ν = 50Hz.

Page 112: Problèmes phy

1) Donner l'expression des courants de Foucault ~j induits dans le conducteur.2) En déduire la puissance moyenne 〈P 〉 dissipée par eet Joule dans le cylindre.

9.B.4 - Cylindre conducteur creux en rotation dans un champ magnétique 5/2

Soit un conducteur métallique (de conductivité γ = 58.106S.m−1), cylindrique d'axe (Oz), de rayon R = 15, 0cm,creux (d'épaisseure = 1, 0mm R).

On fait tourner ce cylindre autour de son axe, à la vitesse angulaire ω = 10rad.s−1 dans un champ magnétique~B = Ba.~uz avec Ba = 10mT .

1) Quelle est la f.e.m e qui apparait entre les faces intérieure et extérieure du cylindre ? Application numérique.A.N : B = 0, 1T ; R = 5cm ; a = 1mm et le cylindre eectue 240 tours par minute.

9.B.5 - Induction d'un solénoïde dans un autre 5/2

On considère deux solénoïdes cylindriques, de même axe Oz, de même longueur L (mais supposés quasi-innis). Lapremière bobine, de rayon R1, comportant N1 tours de l, est dans la seconde bobine, de rayon R2 > R1, comportantN2 tours de l.

1) On suppose que circule un courant i1(t) variable dans la première bobine. Quelle est la f.é.m. d'induction e2(t)qui apparaît aux bornes de la seconde bobine (qui reste en circuit ouvert) ?

2) On suppose maintenant que circule un courant i2(t) variable dans la seconde bobine. Quelle est la f.é.m.d'induction e1(t) qui apparaît aux bornes de la première bobine (qui reste en circuit ouvert) ?

3) En déduire le coecient d'auto-inductance mutuelle M .

9.B.6 - Inductance propre d'un tore à section circulaire 5/2

On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).On considère un tore d'axe (Oz), de rayon R, composé de N spires de section circulaire, de rayon a R.1) Calculer le champ magnétique ~B dans le tore si y circule un courant I.2) En déduire l'inductance propre L de ce tore

2.a) grâce au calcul du ux Φ ;2.b) grâce au calcul de l'énergie magnétique Em.

9.B.7 - Inductance propre d'une ligne bilaire 5/2

On se place dans un repère cartésien (Oxyz).Un l électrique habituel est constitué de deux ls f et f ′ dans lesquels circulent des courants opposés : c'est une

"ligne bilaire".Supposons que f et f ′ sont deux cylindres de rayon a, d'axes parallèles à (Oz), situés dans le plan (xOz) et distants

de D > a :

• dans f , d'abscisse x = Da circule +I dans la direction de ~uz ;

• dans f ′, d'abscisse x = −Da circule −I dans la direction de ~uz.

1) Quel est le champ magnétique ~B(x ∈[−D2 + a; D2 − a

], y = 0, z) en un point du plan (xOz) compris entre les

deux ls ?2) Calculer le ux Φ de ce champ à travers la surface rectangulaire du plan (xOz) dénie par deux tronçons de

ls de longueur l0.3) En déduire l'inductance propre linéïque Ll de la ligne bilaire.

9.3 Planches d'oral

9.C.1 - Barres en rotation dans un champ magnétique ***

(Mines-Pont 2007)Deux barres conductrices homogènes identiques en rotation autour d'un axe horizontal ∆ ont un moment d'inertie

J autour de cet axe. A l'autre extrémité, elles se déplacent dans des glissières reliées par un l de résistance R. Lesystème est plongé dans un champ magnétique ~B parallèle à ∆. On néglige tout frottement.

On appelle ϕ1 et ϕ2 les angles que font les barres 1 et 2 avec la verticale.1) Déterminer :

Page 113: Problèmes phy

1.a) l'équation électrique qui donne le courant i circulant dans le circuit en fonction de ϕ1 et ϕ2 ;1.b) les équations mécaniques qui donnent l'évolution de ϕ1 et ϕ2 en fonction de i.

9.C.2 - Circuit à condensateur, inductances et mutuelle ***

(Mines-Pont 2007)

Fig. 9.1 Circuit à condensateur, inductances et mutuelle

1) Étudier l'évolution du circuit de la gure 9.1 où les inductances pures ont pour inductances propres respectivesL1 et L2 et pour inductance mutuelle M , sachant que la charge initiale est Q0 et qu'il n'y a aucun courant initial.

9.4 Travaux dirigés

9.D.1 - Détermination d'inductances TD

Déterminer les inductances :

1. d'une bobine cylindrique de longueur l et de rayon R (sans épaisseur), formée de n ls par unité de longueur ;

2. d'un câble coaxial constitué de trois cylindres de longueur l0 de même axe (Oz) : l'âme, conducteur électriquede rayon a, la gaine, isolant (r ∈ ]a; b[ ; on admettra que la présence de l'isolant a la perméabilité µ0, du vide :µr = 1), la masse, conducteur électrique (pour r ∈ ]b; c[).

Méthode:

• Détermination du champ magnétiquePour déterminer l'inductance L, il faut préalablement connaître le champ magnétique ~B que crée le dispositif. Pource faire, on se reportera à la partie magnétostatique.

• Déduction de l'inductanceEnsuite, il y a deux méthodes.

• Utilisation du ux magnétiqueLe ux du champ magnétique ~B à travers la surface S qui s'appuie sur le contour fermé orienté C et qui estorientée par lui est :

φ =∫∫

S

~B. ~d2S = L.i

• Utilisation de l'énergieLa bobine d'inductance L, parcourue par un courant i a une énergie électromagnétique :

WB =12L.i2

Cette énergie est celle qui existe dans le champ électromagnétique :

WB =∫∫∫

B2

2.µ0.d3τ

• VéricationsL'inductance L (en henry H) est toujours positive, et ne dépend que des caractéristiques géométriques de la bobine(pas des conventions d'orientation).

Page 114: Problèmes phy

9.5 Exercices maple

Page 115: Problèmes phy
Page 116: Problèmes phy

Chapitre 10

Electricité

10.1 Application directe du cours

10.A.1 - Résistance équivalente 3/2

1) Déterminer la résistance équivalente entre les points A et D du circuit de la gure 10.1.

Fig. 10.1 Dipôle de résistance inconnue

10.A.2 - Point de fonctionnement d'un électrolyseur 3/2

On s'intéresse à

• un générateur de fem Eg = 4, 0V , et de résistance interne Rg = 20Ω ;

• un électrolyseur de tension seuil Es = 1, 2V , et de résistance interne Ri = 8, 0Ω.1) Tracer sur un même graphique les caractéristiques i = f(u) de cette pile en convention générateur et de cet

électrolyseur en convention récepteur.On branche cet électrolyseur sur ce générateur.2) Déterminer le point de fonctionnement (i0, u0).

10.A.3 - Redressement simple 3/2

Une tension u(t) = Um cos (ω.t) est appliquée aux bornes d'un dipôle série formé d'une diode à jonction idéale etd'un résistor de résistance R.

1) Déterminer la tension v(t) aux bornes du résistor.2) Calculer la valeur moyenne temporelle Vm de v(t).3) Calculer la valeur ecace Veff de v(t).

10.A.4 - Puissance consommée par une installation électrique 3/2

Une installation électrique de type inductif (composée de lampes à laments, radiateurs, transformateurs, moteurs)est alimentée sous une tension ecace Ueff = 220V . Elle consomme une puissance P = 12kW . La fréquence estf = 50Hz et l'intensité ecace Ieff = 80A.

115

Page 117: Problèmes phy

1) Calculer la résistance R et l'inductance propre L qui, placées en série avec la même alimentation, seraientéquivalentes à cette installation.

2) Calculer la capacité C à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à 0, 9.

10.A.5 - Intensités circulant dans deux branches en régime sinusoïdal forcé 3/2

On s'intéresse à un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé où un générateur de tension parfait de la formeu(t) = em. cos(ω.t) alimente en parallèle deux branches :

• la première (dans laquelle circule un courant i1(t) = I1. cos(ω.t+ ϕ1)) comporte en série une self d'inductance L,un condensateur de capacité C, et un résistor de résistance R ;

• la seconde (dans laquelle circule un courant i2(t) = I2. cos(ω.t+ϕ2)) comporte en série seulement une self d'induc-tance L, et une résistance R.

1) Déterminer parfaitement les courants. En particulier, on exprimera :1.a) I1 ;1.b) I2 ;1.c) tan(ϕ1) ;1.d) tan(ϕ2).

10.A.6 - Comparateur 3/2

On s'intéresse au montage de la gure 10.2. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.

Fig. 10.2 Comparateur simple

1) Exprimer Vs en fonction de Ve, Vref étant xé.2) Quelle est la forme de Vs si Ve est sinusoïdal, Vref étant nul ?

10.A.7 - Amplicateur inverseur 3/2

On s'intéresse au montage de la gure 10.3. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.

Fig. 10.3 Amplicateur inverseur

1) Exprimer Vs en fonction de Ve.

Page 118: Problèmes phy

10.A.8 - Amplicateur non inverseur 3/2

On s'intéresse au montage de la gure 10.4. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.

Fig. 10.4 Amplicateur non inverseur

1) Exprimer Vs en fonction de Ve.

10.A.9 - Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle 3/2

On s'intéresse au montage de la gure 10.5. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.

Fig. 10.5 Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle

Fig. 10.6 Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle

1) Que visualise-t-on sur :1.a) la voie X de l'oscillo ?1.b) la voie Y de l'oscillo ?

2) Que doit vérier le générateur pour que ce montage fonctionne ?Une alternative, lorsque la précédente condition n'est pas vériée, consiste à s'intéresser au montage de la gure

10.6. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.3) Que visualise-t-on sur :

3.a) la voie X de l'oscillo ?3.b) la voie Y de l'oscillo ?

10.A.10 - Fonction de transfert d'un ltre 3/2

On pose x = R.C.ω.1) Exprimer la fonction de transfert H du ltre de la gure 10.7 en fonction de x.2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.

Page 119: Problèmes phy

Fig. 10.7 Filtre inconnu

10.2 Entraînement

10.B.1 - Courant en présence d'une diode 5/2

Un générateur parfait de tension E est branché en série avec un résistor de résistance R et une diode (branchéedans le sens passant par rapport au générateur).

1) Calculer le courant I dans le circuit si :1.a) la diode est supposée parfaite ;1.b) la diode a une résistance dynamique égale à rd sans tension seuil ;1.c) la diode a une tension seuil us sans résistance dynamique ;1.d) la diode a une tension seuil us et une résistance dynamique égale à rd.

10.B.2 - Associations de diodes identiques 5/2

On s'intéresse à une diode de tension seuil us et de résistance dynamique rd.1) Tracer la caractéristique i = f(u) d'une telle diode, en convention récepteur.On associe de diérentes manières des diodes toutes identiques à celle étudiée précédemment.2) Déterminer la tension seuil u′s et la résistance dynamique r′d des associations :

2.a) de deux diodes en série ;2.b) de deux diodes en parallèle.

10.B.3 - Adaptation d'impédance en continu 5/2

On considère un générateur de tension parfait Eg en série avec une résistance Rg, qui alimente une résistancechauante R.

1) On note P (R), la puissance dissipée dans la résistance chauante en fonction de R.1.a) Exprimer P (R) en fonction de Eg, Rg et R.1.b) Tracer le graphe de P (R).

2) Optimisation ("adaptation d'impédance") :2.a) Pour quelle valeur de R, la puissance dissipée P (R) est-elle maximale ?2.b) Que vaut alors Pmax, le maximum de cette puissance ?

10.B.4 - Détermination d'une tension inconnue 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.8.

Fig. 10.8 Circuit électrique

Page 120: Problèmes phy

1) Déterminer la tension u.

10.B.5 - Détermination d'une intensité inconnue 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.9.

Fig. 10.9 Circuit électrique

1) Déterminer l'intensité i.

10.B.6 - Détermination d'une intensité inconnue 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.10.

Fig. 10.10 Circuit électrique

1) Déterminer l'intensité i.

10.B.7 - Détermination d'une intensité inconnue 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.11.

Fig. 10.11 Circuit électrique

1) Déterminer l'intensité i.

10.B.8 - Détermination d'une tension inconnue 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.12.1) Déterminer la tension u.R0 = 5, 0Ω, R1 = 10Ω, R2 = 15Ω, e = 5, 0V et η = 0, 20A.2) Application numérique.

Page 121: Problèmes phy

Fig. 10.12 Circuit électrique

10.B.9 - Détermination d'une résistance an d'atteindre une tension idoine 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.13.

Fig. 10.13 Circuit électrique

1) Déterminer la résistance Rx pour que la tension u soit u = U0.R1 = 4, 0Ω, R2 = 2, 0Ω, e = 10V et η = 1, 0A.2) Application numérique si on veut u = U0 = 2, 0V .

10.B.10 - Détermination d'une intensité et d'une puissance dissipée 5/2

On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.14.

Fig. 10.14 Circuit électrique

R = 1, 00kΩ, e1 = 6, 00V et e2 = 12, 0V .1) Déterminer l'intensité i. Application numérique.2) Déterminer la puissance totale Ptot dissipée par eet Joule. Application numérique.

10.B.11 - Méthode des trois voltmètres 5/2

On se propose de déterminer la puissance P dissipée dans une impédance Z quelconque. Pour cela, on considère lemontage de la gure 10.15 (méthode dite des trois voltmètres) : r est une résistance, les trois voltmètres mesurent enAC les tensions ecaces U1, U2 et U3.

Page 122: Problèmes phy

Fig. 10.15 Méthode des trois voltmètres

1) Exprimer la puissance P en fonction de r, U1, U2 et U3.

10.B.12 - Circuit RLC série 5/2

On s'intéresse à un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé où sont placés en série :

• un générateur de tension parfait de la forme u = em. cos(ω.t),

• une self d'inductance L (aux bornes de laquelle la tension est uL = uLm. cos(ω.t+ ϕL)),

• un condensateur de capacité C (aux bornes duquel la tension est uC = uCm . cos(ω.t+ ϕC)),

• et une résistance R (aux bornes de laquelle la tension est uR = uRm. cos(ω.t+ ϕR)).

On pose ω0 = 1√L.C

.

1) Déterminer uCm .2) Déterminer uLm

3) Déterminer tanϕC .

10.B.13 - Circuit RLC parallèle (ou "bouchon") 5/2

On s'intéresse à un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé où sont placés en parallèle :

• un générateur de courant parfait de la forme i = Im. cos(ω.t),

• une self d'inductance L,

• un condensateur de capacité C,

• et une résistance R.

La tension aux bornes de ces dipôles est u = Um. cos(ω.t+ ϕ).1) Déterminer Um (l'amplitude de u) en fonction de ω.2) Pour quelle pulsation ω0 Um passe-t-elle par un maximum?3) Déterminer VMAX = Um(ω = ω0) cette valeur maximale.On note ω1 et ω2 (ω2 > ω1) les deux pulsations pour lesquelles Um = VMAX√

2. Le facteur de qualité est Q = ω0

ω2−ω1.

4) Exprimer Q en fonction de R, L et C.

10.B.14 - Adaptation d'impedance en régime sinusoïdal forcé 5/2

Un générateur de tension sinusoïdale, de pulsation ω, a une f.e.m d'amplitude E, et une impédance interne Zi =Ri + j.Xi. Il alimente une impédance externe Ze = Re + j.Xe.

1) Exprimer la puissance moyenne Pm consommée par Ze en fonction de E, Ri, Re, Xi et Xe.2) Déterminer les conditions à satisfaire sur Zi pour que Pm soit maximale.3) Que vaut alors Pm ?

10.B.15 - Fonction de transfert d'un ltre 5/2

On pose x = R.C.ω.1) Exprimer la fonction de transfert H du ltre de la gure 10.16 en fonction de x.2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.3) Quel est son intérêt ?

Page 123: Problèmes phy

Fig. 10.16 Filtre inconnu

10.B.16 - Fonction de transfert d'un ltre 5/2

On pose x = R.C.ω.

Fig. 10.17 Filtre inconnu

1) Exprimer la fonction de transfert H du ltre de la gure 10.17 en fonction de x.2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.

10.B.17 - Fonction de transfert d'une association de deux ltres C −R 5/2

On pose x = R.C.ω.

Fig. 10.18 Association de deux ltres C −R

1) Exprimer la fonction de transfert H du ltre de la gure 10.18 en fonction de x.2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.3) Quel est son intérêt ?

10.B.18 - Fonction de transfert d'une association de trois ltres C −R 5/2

On pose x = R.C.ω.1) Exprimer la fonction de transfert H du ltre de la gure 10.19 en fonction de x.2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.3) Quel est son intérêt ?

10.B.19 - Filtre de Wien 5/2

1) Exprimer la fonction de transfert H du ltre de la gure 10.20 en fonction de x = R.C.ω.2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.3) Quel est son intérêt ?

10.B.20 - Comparateur à hystérésis 5/2

On s'intéresse au montage de la gure 10.21. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.

Page 124: Problèmes phy

Fig. 10.19 Association de trois ltres C −R

Fig. 10.20 Filtre de Wien

Fig. 10.21 Comparateur à hystérésis

Page 125: Problèmes phy

1) Exprimer Vs en fonction de Ve.2) Tracer la courbe Vs = f(Ve).

10.B.21 - Résistance négative 5/2

On s'intéresse au montage de la gure 10.22. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.

Fig. 10.22 Résistance négative

1) Déterminer le rapport ui .

10.B.22 - Diode sans seuil 5/2

1) Montrer que le dipôle contenant un ampli-op de la gure 10.23 est bien équivalent à une diode sans seuil.

Fig. 10.23 Schéma de la diode sans seuil

10.3 Planches d'oral

10.C.1 - Le ltrage d'une tension bizarre ***

(d'après CCP 2002)On s'intéresse au circuit de la gure 10.24. Ur(t) = U0. cos3 (ω0.t), avec RCω0 = 1.1) Calculer Vs(t).

10.C.2 - Filtre à amplicateurs opérationnels ***

(Centrale 2007)On s'intéresse au montage de la gure 10.25. Tous les amplicateurs opérationnels sont parfaits et en régime

linéaire, a = 0, 1 et RC = 0, 1ms.1) Calculer la fonction de transfert H(jω) = us

ue.

Page 126: Problèmes phy

Fig. 10.24 Filtre électrocinétique

Fig. 10.25 Filtre à amplicateurs opérationnels

2) Donner le diagramme de Bode en amplitude et en phase.3) Quelle est l'inuence de a ?On applique le signal ue = Ue.cos

3 (Ω.t) avec Ω = 900rad.s−1.4) Déterminer us.

10.4 Travaux dirigés

10.D.1 - Condensateurs et selfs en régimes transitoires TD

Déterminer (et tracer) le courant i(t) et la tension u(t) au cours du temps t dans les circuits suivants :

1. Condensateur (cf. gure 10.26).

Fig. 10.26 Charge et décharge d'un condensateur

(a) à t = 0, l'interrupteur K passe de 2 à 1.

(b) à t = 0, l'interrupteur K passe de 1 à 2.

2. Self (cf. gure 10.27).

(a) à t = 0, on ferme l'interrupteur, l'intensité i étant nulle.

Page 127: Problèmes phy

Fig. 10.27 Self en régime transitoire

(b) à t = 0, on ouvre l'interrupteur, le système étant initialement en régime stationnaire.

Méthode:

• Etablissement de l'équation diérentielleLes lois des mailles et des n÷uds, couplées aux caractéristiques des dipôles permettent d'établir l'équation dié-rentielle (du premier ordre avec second membre constant) suivie par l'intensité ou la tension :

τ.u+ u = u0

• Solution de l'équation diérentielleLa solution est la somme de la solution générale (A.e−

tτ ) et de la solution particulière (qui est la solution en régime

permanent, u0).

• Utilisation des conditions initialesPour déterminer la constante (A), il faut utiliser les conditions initiales. Attention : a priori, seule l'énergie estcontinue, aussi :

• l'intensité dans une bobine est continue (mais pas nécessairement la tension à ses bornes) ;

• la charge d'un condensateur (donc la tension à ses bornes) est continue (mais pas nécessairement le courant quile parcourt).

• Tracer des courbesLa courbe caractéristique de l'exponentielle décroissante est telle que la tangente à l'origine croise l'asymptote (lamoyenne du régime permanent) en t = τ .

10.D.2 - Relaxation d'un oscillateur TD

On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :

x+ω0

Qx+ ω2

0 .x =fxm

avec :

• ω0, la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1) ;

• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;• fx, la projection de la force (m est la masse).

Dès que t > 0, on n'impose plus aucune force volontaire sur l'oscillateur (l'opérateur le laisse évoluer librement).Etudier la relaxation de l'oscillateur. Montrer en particulier que, selon la valeur de Q, il existe trois régimes :

1. Relaxation apériodique

(a) Dans le cas des frottements forts, donner les lois suivies par la relaxation apériodique.

Page 128: Problèmes phy

(b) Estimer la durée du régime transitoire, en exprimant le temps de relaxation τ .

(c) Applications numériques pour Q = 0, 1 et 2.πω0

= 1s. Tracer le graphe de x(t) suivant diverses conditionsinitiales (allongement sans vitesse initiale, sans allongement mais avec vitesse initiale, avec allongement etvitesse initiale).

2. Relaxation pseudo - périodique

(a) Dans le cas des frottements faibles, donner les lois suivies par la relaxation pseudo - périodique.

(b) Estimer la durée du régime transitoire τ .

(c) Exprimer la pulsation d'oscillation ω en fonction de ω0 et Q.

(d) Applications numériques pour Q = 10, 2.πω0

= 1s, et les conditions initiales x (t = 0−) = 1m et x (t = 0−) =0m.s−1 (allongement sans vitesse initiale).

(e) Etudier le cas particulier de l'oscillateur harmonique (non amorti).

3. Relaxation critique

(a) Dans le cas des frottements intermédiaires, donner les lois suivies par la relaxation critique.

(b) Montrer qu'on a alors un amortissement optimal.

Méthode:

• Forme des solutions de l'équation diérentielle :

Les mathématiques nous enseignent que la solution générale est de type exponentiel : xgenerale (t) = A.er.t où r estune racine de l'équation caractéristique :

r2 +ω0

Qr + ω2

0 = 0

Comme c'est un trinôme du second degré (a.r2 + b.r + c = 0), posons

∆ = b2 − 4.a.c =(ω0

Q

)2

− 4.ω20 = 4.ω2

0

(−1 +

14.Q2

)Suivant le signe de ∆, plusieurs cas se présentent :

• ∆ > 0⇔ Q < 12

L'équation caractéristique a deux racines réelles : r± = −b±√

∆2.a . On parlera de relaxation apériodique :

xaperiodique (t) = A.er+.t +B.er−.t

• ∆ < 0⇔ Q > 12

L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : r± = −b±j.√−∆

2.a . On parlera de relaxationpseudo-périodique :

xpseudo (t) = A.er+.t +B.er−.t

• ∆ = 0⇔ Q = 12

L'équation caractéristique a une seule racine réelle : r0 = −b2.a . On parlera de relaxation critique :

xcritique (t) = (A+B.t) .er0.t

Ce sont donc les caractéristiques de l'oscillateur (son facteur de qualité Q) qui décident de la nature de la relaxation(apériodique, pseudo-périodique ou critique).

• Conditions initiales

Pour déterminer parfaitement la solution de l'équation diérentielle, il faut connaître les constantes réelles A et B.Or, il y a continuité de la position et de la vitesse à t = 0 : x (t = 0+) = x (t = 0−) et x (t = 0+) = vx (t = 0−).Ceci est assuré par la continuité de l'énergie (potentielle Ep = 1

2k.x2 pour x, et cinétique Ec = 1

2m.v2 pour v).

Les conditions initiales permettent donc de déterminer les constantes.

Page 129: Problèmes phy

10.D.3 - Résonance d'un oscillateur TD

On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :

x+ω0

Qx+ ω2

0 .x =fxm

avec :

• ω0, la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1) ;

• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;• fx, la projection de la force (m est la masse).

L'oscillateur est en régime permanent excité de façon sinusoïdale, à la pulsation ω.

1. Résonance en vitesse

(a) Etudier l'amplitude de la vitesse v0, en fonction de ω. Montrer en particulier que cette fonction admettoujours un maximum, et qu'il se trouve toujours en ω0. Tracer son allure.

(b) Etudier l'acuité de la résonance : exprimer pour cela la largeur du pic ∆ω = |ω2 − ω1|, pulsations tellesque : v0 (ω1) = v0 (ω2) = v0(ω0)√

2.

(c) Etudier aussi la phase ψ en fonction de ω.

2. Résonance en élongation

(a) Etudier l'amplitude de l'élongation x0, en fonction de ω. Chercher les conditions d'existence d'un maximum,et sa position.

(b) Etudier aussi la phase ϕ en fonction de ω. Montrer que l'élongation est toujours en retard sur l'excitation(ϕ < 0).

(c) Dans le cas d'un oscillateur à faible frottement (Q 1), montrer que la résonance en élongation estidentique à la résonance en vitesse.

Méthode:

• Equation diérentielleLe second membre de l'équation diérentielle est sinusoïdal :

x+ω0

Qx+ ω2

0 .x =f0m

cos (ω.t)

Le régime est permanent : après un temps de l'ordre de quelques τ , le régime transitoire est terminé car la solutiongénérale de l'équation diérentielle sans second membre est nulle xgenerale (t τ) = 0 ;

• Passage aux grandeurs complexesPuisque l'équation diérentielle à résoudre est linéaire, elle est vériée par les grandeurs complexes associées.

Ainsi, l'excitation est : f0m cos (ω.t) = Re(f0m .e

j.ω.t), la position : x (t) = Re (x (t)) avec x (t) = x0.e

j.ϕ.ej.ω.t.

Or la dérivation temporelle de ces grandeurs complexes est très simple : ˙x (t) = j.ω.x (t) et ¨x (t) = (j.ω)2 .x (t) =−ω2.x (t).L'équation diérentielle à résoudre devient donc :

˜x+ω0

Q˜x+ ω2

0 .x =f0m.ej.ω.t

soit :(−ω2 + ω0

Q j.ω + ω20

).x0.e

j.ϕ.ej.ω.t = f0m .e

j.ω.t. Grâce à l'utilisation des complexes, la variation temporelle

disparaît, ce qui explique pourquoi on se sert d'une telle méthode de résolution.On aboutit à une équation complexe :

x0.ej.ϕ =

f0m

ω20 − ω2 + j ω0.ω

Q

• Pour déterminer parfaitement l'élongation, il faut connaître x0 (le module du membre de droite) et ϕ (sonargument).

• Pour déterminer la vitesse, qui peut se mettre sous la forme : vx (t) = Re (v (t)) avec v (t) = v0.ej.ψ.ej.ω.t, il

sut de remarquer que : v (t) = ˙x (t) = j.ω.x (t) = ω.x0.ej(ϕ+ π

2 ).ej.ω.t, ainsi : v0 = ω.x0 et ψ = ϕ+ π2 .

Page 130: Problèmes phy

10.5 Exercices maple

10.E.1 - Caractéristique d'une photodiode maple

On s'intéresse à une photodiode caractérisée, lorsqu'elle ressent l'éclairement φ, en convention récepteur par

i = i0.

(e

uu0 − 1− φ

φ0

)(i0, u0 et φ0 sont des constantes positives).

1) Tracer les caractéristiques :1.a) en l'absence d'éclairement (φ = 0)1.b) pour diérents éclairements croissants.

2) Tracer la courbe de la puissance délivrée par la photodiode (pour un éclairement φ non nul) en fonction de latension, an de faire apparaître un maximum.

10.E.2 - Mise en évidence du phénomène de Gibbs maple

On s'intéresse à un signal temporel qui subit une discontinuité en t = 0 :u(t < 0) = −u0

u(t > 0) = +u0

(où u0 > 0).1) Acher le graphe de u(t).2) Calculer la synthèse de Fourier de u(t) jusqu'au rang n :

sn(t) =4.u0

π

k=n∑k=0

sin (2.k + 1)2.k + 1

3) Tracer sur un même graphique la courbe de u(t) et de sn(t), autour de t = 0, en faisant varier n de façon àfaire apparaître l'écart entre la fonction et sa synthèse de Fourier.

10.E.3 - Tracés de diagrammes de Bode maple

1) Pour un ltre de fonction de transfert H = vs

ve, créer des routines pour acher, en fonction de log (r) où

r = ωω0

:

1.a) le diagramme de bode GdB = 20log(∣∣∣H∣∣∣) ;

1.b) le déphasage ϕ = arg(H).

2) Appliquer ces routines à un ltre passe-bas :2.a) du premier ordre H = 1

1+j.r ;

2.b) du second ordre H = 11+j. r

Q−r2, pour plusieurs facteurs de qualité Q.

3) Appliquer ces routines à un ltre passe-haut :3.a) du premier ordre H = j.r

1+j.r ;

3.b) du second ordre H = −r21+j. r

Q−r2, pour plusieurs facteurs de qualité Q.

4) Appliquer ces routines à un ltre passe-bande du second ordre H = 1

1+j.Q.(r− 1r ) , pour plusieurs facteurs de

qualité Q.

Page 131: Problèmes phy
Page 132: Problèmes phy

Quatrième partie

Ondes

131

Page 133: Problèmes phy
Page 134: Problèmes phy

Chapitre 11

Généralités sur les ondes

11.1 Application directe du cours

11.A.1 - Absorption dans une bre optique 3/2

1) Donner l'expression de l'intensité en décibels IdB d'une onde qui se propage dans une bre optique.Cette bre optique présente une absorption β = 0, 10dB/km.2) Au bout de quelle distance L l'intensité d'entrée aura-t-elle diminué de moitié ?

11.A.2 - Modes propre d'une cavité résonnante 3/2

On s'intéresse à une cavité résonnante parallélipipédique (de dimensions Lx, Ly et Lz suivant les trois directionsde l'espace).

1) Donner la forme des ondes ψ(x, y, z, t) qui existent dans la cavité.2) Ecrire la relation de dispersion due à l'équation de propagation de D'Alembert.3) Grâce aux conditions aux limites, en déduire les modes propres de la cavité, c'est à dire les pulsations ω qui

peuvent y exister.

11.A.3 - Observation de la galaxie d'Andromède 3/2

L'hydrogène en laboratoire émet une raie lumineuse ayant une longueur d'onde λ0 = 656, 3nm. Quand on observel'hydrogène contenu dans la galaxie d'Andromède on observe que la raie lumineuse précédente a une longueur d'ondeλ telle que λ−λ0

λ0= 2, 7.10−4.

1) La galaxie se rapproche-t-elle ou s'éloigne-t-elle de l'observateur ?2) Calculer sa vitesse par rapport à l'observateur.

11.A.4 - Eet Doppler pour une voiture 3/2

1) On s'intéresse à l'eet Doppler dans le cas une voiture se dirigeant vers un piéton à 50km/h. Calculer lesdécalages relatifs en fréquence

1.a) dans le cas de la lumière : le piéton peut-il voir un changement de couleur de la voiture, sachant que l'÷ilne peut pas faire de distinction entre les couleurs du doublet du sodium pour lequel ∆ν

ν = 0, 1% ?1.b) dans le cas du son : le piéton peut-il percevoir un changement de timbre de la voiture, sachant qu'une

oreille peut délecter une variation relative ∆νν = 1% ?

11.A.5 - Dispersion dans les verres crown et int 3/2

On donne les indices de réfraction de deux verres, pour plusieurs longueurs d'onde de la lumière dans le vide, λ0,pour le crown :

• nc(656, 3nm) = 1, 504 ;

• nc(589, 3nm) = 1, 507 ;

• nc(486, 1nm)− 1, 521 ;

et pour le int :

133

Page 135: Problèmes phy

• nf (656, 3nm) = 1, 612 ;

• nf (589, 3nm) = 1, 621 ;

• nf (486, 1nm)− 1, 671 ;

1) Pourquoi dit-on que le crown et le int sont des milieux transparents dispersifs ?2) Lequel de ces deux milieux est le plus dispersif ?3) Citer une application pratique de cette propriété.

11.A.6 - Indice optique et vitesse de l'onde 3/2

1) L'indice optique correspond-il à une vitesse de phase ou à une vitesse de groupe ?

11.A.7 - Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de Cauchy 3/2

On s'intéresse à un milieu vériant la loi de Cauchy :

n = A+B

λ2

On donne la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe :

vg = vϕ − λdvϕdλ

1) Exprimer la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase, de n, de B et de λ.2) Comparer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.3) Que se passe-t-il si le milieu est non dispersif ?

11.A.8 - Gaston y'a le téléphone qui sonne 3/2

1) Gaston se demande pourquoi, connaissant la vitesse du son, lors d'une conversation téléphonique les parolesne mettent pas plusieurs heures pour parvenir à un interlocuteur situé à plusieurs milliers de kilomètres. Que luirépondre ?

Un constructeur de casques audio sans l donne les caractéristiques techniques suivantes :

• Réponse fréquentielle : 20− 22000Hz

• fréquence porteuse : 433MHz.

2) Expliquer à Gaston ce que cela signie.

11.A.9 - Corde d'un violoncelle 3/2

Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz.1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de rayon

r = 250µm ?

11.A.10 - Relation de dispersion de Klein-Gordon 3/2

On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon :

ω2 = ω2p + k2.c2

1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :1.a) la vitesse de phase vϕ,1.b) la vitesse de groupe vg.

2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.3) Comparer chacune des vitesses à c.

11.A.11 - Impédance caractéristique d'un câble coaxial 3/2

Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm et b = 3, 5mm.

Page 136: Problèmes phy

L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique (polyéthylène)de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câble sont respectivement :

c = 2π.ε0.εr

ln( ba )

l = µ02π ln

(ba

)1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.

11.A.12 - Modes propres d'une corde de Melde 3/2

1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse M accrochéeà celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour trois fuseaux.

1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?

2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbation surcette corde ?

3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.

11.A.13 - Ondes sphériques 3/2

On donne le laplacien, en coordonnées sphériques, d'une fonction f(r, θ, ϕ) = f(r) :

∆f(r) =1r

∂2

∂r2(r; f(r))

1) Etablir la forme générale des ondes sphériques, dont l'amplitude ne dépend que de t et de la distance r = OMau point origine O : ψ(x, y, z, t) = ψ(r, t) solutions de l'équation de propagation de D'Alembert.

2) Interpréter les termes intervenant dans cette expression.3) Caractériser les surfaces d'onde.4) Commenter énergétiquement l'intervention d'un facteur décroissant comme 1

r dans l'amplitude de l'onde.

11.2 Entraînement

11.B.1 - La dispersion due à l'équation de Schrödinger 5/2

On donne l'équation de Schrödinger qui donne l'évolution de la fonction d'onde ψ d'une particule de masse m dansun potentiel V :

i.~.∂ψ

∂t= − ~2

2.m∆ψ + V.ψ

1) Déterminer la relation de dispersion de l'onde.2) Calculer la vitesse de propagation de l'onde.En mécanique quantique, la quantité de mouvement de la particule est ~p = ~.~k et son énergie E = ~.ω.3) Que deviennent les deux précédentes relations ?

11.B.2 - Vitesses d'une onde TE1,0 dans un guide d'onde 5/2

Une micro-ondes de fréquence ν = 300GHz est envoyée dans un guide d'onde de section rectangulaire, de côtésa = 1, 0mm et b = 2, 0mm.

On s'intéresse au mode TE1,0.1) Quelle est la pulsation de coupure ωc du guide d'onde pour le mode TE1,0 ?2) Déterminer numériquement (et comparer à c), les vitesses

2.a) de phase vϕ ;2.b) de groupe vg.

Page 137: Problèmes phy

11.B.3 - Propriétés d'une onde 5/2

On va étudier les propriétés d'une onde dont la forme en coordonnées cartésiennes est :

~ξ (~r, t) = ~ξ0. cos [kx. (x− c′.t)] . cos [ky.y + kz.z]

1) Donner les caractéristiques de cette onde.2) Montrer que l'on peut comprendre cette onde comme la superposition de deux ondes progressives planes.3) Comparer c′ à la vitesse c qui apparaît dans l'équation de D'Alembert dont ~ξ est solution.

11.B.4 - Onde de choc d'un avion supersonique 5/2

1) Calculer le demi-angle θ au sommet du cône formé par l'onde de choc accompagnant un avion supersonique sedéplaçant à une vitesse v.

2) Application numérique : l'avion vole à Mach 2.3) Que se passe-t-il pour :

3.a) v c ;3.b) v < c.

11.B.5 - Evolution de l'intensité d'une onde absorbée 5/2

1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par un volumeélémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.

1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dans le milieu(loi de Beer-Lambert).

1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1. Au bout de quelle longueur l'intensité

d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?

11.B.6 - Relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe 5/2

1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variable lalongueur d'onde λ :

vg = vφ − λdvφdλ

2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω = A.kα où A et α sont indépendants de k. Exprimer lavitesse de groupe en fonction de vφ et α.

11.B.7 - Vitesses de groupe de diverses ondes dans l'eau 5/2

On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnée par :

ω2 =(g.k +

γ.k3

µ

)th (k.h)

où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3SI latension supercielle à l'interface eau-air.

1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :1.a) de marée (λ = 1000km et h = 5km),1.b) de houle (λ = 5m),1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).

11.B.8 - Solutions de la corde de Melde 5/2

Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :

ψ (0, t) = a. cos (ω.t)

La corde, de longueur L, est xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0.

Page 138: Problèmes phy

1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.

11.B.9 - Équation de propagation de Klein-Gordon 5/2

On étudie la propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,couplés par des ressorts de raideur K, disposé à une distance a les uns des autres. On note θn l'angle du pendule n par

rapport à la verticale et ψn = L.θn l'écart de la masse n à sa position d'équilibre. On pose ω0 =√

KM et Ω0 =

√gL .

1) Quelle est l'équation de propagation liant les petits angles θn, θn−1, θn+1 des extrémités des pendules ?2) Quelle est la relation de dispersion des ondes progressives monochromatiques caractérisant cette propagation ?3) Préciser la bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés.4) Donner la forme prise par ces résultats dans l'approximation des milieux continus.

11.3 Planches d'oral

11.4 Travaux dirigés

11.D.1 - Equations de propagation de D'Alembert dans diérents milieux non dispersifs TD

Démontrer l'équation de propagation de D'Alembert et déterminer la célérité c0 des ondes se propageant dans lesmilieux suivants (supposés sans amortissement) :

Fig. 11.1 Chaîne de ressorts

Fig. 11.2 Echelle de perroquet

1. une chaîne de ressorts (cf. gure 11.1) de longueur à vide l0 et de constante de raideur k, reliant des pointsmatériels de masse m ;

2. une échelle de perroquet (cf. gure 11.2) constituée de barres k disposées à distance xe a suivant l'axe Oz, demoment d'inertie J par rapport à Oz, faisant un angle θk par rapport à une direction xe Ox et exerçant surles plus proches voisins un couple ~Ck→k+1 = −C. (θk+1 − θk) ~uz, où C est une constante positive ;

Page 139: Problèmes phy

Fig. 11.3 Corde inextensible

Fig. 11.4 Câble coaxial non dispersif

3. une corde inextensible horizontale (cf. gure 11.3) de masse linéique µl soumise à une tension T0 ;

4. un câble coaxial (cf. gure 11.4) d'inductance propre par unité de longueur l et de capacité propre par unité delongueur c.

Méthode:

Pour la chaine de ressorts et l'échelle de perroquet, on a à résoudre un problème discrêt, il faut ensuite passer aumodèle continu. Dans le détail, voici la marche à suivre :

1. Pour la chaine de ressorts, il faut appliquer le théorème de la résultante cinétique (on négligera le poids) aupoint matériel k, dont l'abscisse est xk = Xk + ξk, avec Xk la position à l'équilibre (qu'on ne cherchera pas àdéterminer). Le passage au continu consiste à poser m = µl.dx, en faisant un développement limité de ξk, ξk−1

et ξk+1 autour de ψ(x, t).

2. Pour l'échelle de perroquet, il faut appliquer le théorème du moment cinétique à la barre k. Le passage au continuconsiste à faire un développement limité de θk, θk−1 et θk+1 autour de ψ(x, t).

3. Pour la corde inextensible horizontale, il faut appliquer le théorème de la résultante cinétique au petit élémentde longueur dx entre x et x + dx (on négligera le poids). La projection suivant ~ux montre que T0 se conserve,tandis que la projection suivant ~uy combinée au fait que l'angle que fait la corde avec l'horizontale est petitdonne l'équation de propagation pour y = ψ(x, t).

4. Pour le câble coaxial, la loi des n÷uds et la loi des mailles donnent deux équations diérentielles couplées en I etV . En les dérivant à nouveau, on découple les équations et on trouve l'équation de propagation pour V = ψ(x, t)ou I = ψ(x, t).Une fois établie l'équation de D'Alembert, on peut en déduire la célérité c0 :

∂2ψ

∂t2= c20

∂2ψ

∂x2

Page 140: Problèmes phy

11.D.2 - Déterminations d'ondes stationnaires dans un câble coaxial TD

On s'intéresse à un câble coaxial non dispersif d'axe x, situé dans la région x < 0, d'impédance Z, fermé en x = 0sur une impédance Z0. Dans ce milieu se propage vers les x croissants une OPPM incidente, dont l'expression complexeest :

Ii = I0.ej(ω.t−k.x) pour l'intensité

Vi = Z.I0.ej(ω.t−k.x) pour la tension

Déterminer l'intensité I(x, t) et la tension V (x, t) réelles de l'onde stationnaire formée par la superposition de cetteonde et de l'onde rééchie dans les cas où le câble est terminé par :

1. un l coupé : Z0 =∞ ;

2. un l : Z0 = 0 ;

3. une inductance ou une capacité pure : Z0 imaginaire pur, avec φ = arg(Z0 − Z

).

Méthode:

Il s'agit tout d'abord d'écrire la forme de l'onde rééchie qui est une OPPM qui se propage vers les x décroissants,dont l'expression complexe est :

Ir = I ′0.ej(ω.t+k.x) pour l'intensité

Vr = −Z.I ′0.ej(ω.t+k.x) pour la tension

La condition aux limites V = Z0.I en x = 0 ∀t donne

I ′0 =Z − Z0

Z + Z0

Il s'agit ensuite de prendre la partie réelle de la somme des deux ondes complexes : I = <(Ii + Ir

)pour l'intensité

V = <(Vi + Vr

)pour la tension

11.D.3 - Déterminations d'équations de dispersion dans diérents milieux dispersifs TD

Trouver l'équation de dispersion pour les milieux suivants :

1. une corde inextensible horizontale (cf. gure 11.3) de masse linéique µl soumise à une tension T0 avec une forcede frottement uide ~ff = −λ.~v ;

2. un câble coaxial (cf. gure 11.5) d'inductance propre par unité de longueur l, de capacité propre par unité delongueur c, de résistance par unité de longueur r1 et de conductance par unité de longueur g2.

Fig. 11.5 Câble coaxial dispersif

Méthode:

Dans le détail, voici la marche à suivre :

Page 141: Problèmes phy

1. Pour la corde inextensible horizontale, il faut appliquer le théorème de la résultante cinétique au petit élémentde longueur dx entre x et x + dx (on négligera le poids). La projection suivant ~ux montre que T0 se conserve,tandis que la projection suivant ~uy combinée au fait que l'angle que fait la corde avec l'horizontale est petitdonne l'équation de propagation pour y = ψ(x, t).

2. Pour le câble coaxial, la loi des n÷uds et la loi des mailles donnent deux équations diérentielles couplées en I etV . En les dérivant à nouveau, on découple les équations et on trouve l'équation de propagation pour V = ψ(x, t)ou I = ψ(x, t).

Une fois établie l'équation de propagation en ψ, on remplace par une OPPM en complexe :

ψ = ψ0.e−j.(ω.t−k.x)

avec k complexe.

11.5 Exercices maple

11.E.1 - Visualisation d'une onde stationnaire maple

On s'intéresse à une onde stationnaire dans un câble coaxial non dispersif d'axe x, situé dans la région x < 0,d'impédance Z, fermé en x = 0 sur une impédance Z0 imaginaire pure (une inductance ou une capacité pure), avec

φ = arg(Z0 − Z

).

I(x, t) = 2.I0. cos (ω.t+ φ) . cos (k.x+ φ) pour l'intensitéV (x, t) = 2Z.I0. sin (ω.t+ φ) . sin (k.x+ φ) pour la tension

1) Créer une animation qui représente l'onde stationnaire en fonction de x évoluant avec le temps, en lui super-posant son enveloppe, de façon à faire apparaître clairement les n÷uds et les ventres de vibration.

11.E.2 - Déplacement d'un paquet d'onde dans un milieu dispersif maple

On s'intéresse à un paquet d'ondes constitué d'une centaines d'OPPM

cos (ω.t− k(ω).x)

(pour ω ∈ [ω1;ω2]) qui se propage dans un milieu dispersif :

k (ω) =

√ω2 − ω2

0

c

avec ω0 < ω1.1) Créer une animation qui représente le paquet d'onde en fonction de x évoluant avec le temps.

Page 142: Problèmes phy

Chapitre 12

Ondes sonores dans les uides

12.1 Application directe du cours

12.A.1 - Première harmonique d'un tuyau 3/2

1) Quelle est la fréquence de la première harmonique émise par un tuyau de longueur L = 10m fermé à ses deuxextrémités ?

12.A.2 - Le barissement de l'oiseau et le piaillement de l'éléphant 3/2

1) Montrer que les longueurs d'onde audibles par l'oreille humaine dans des conditions standard sont à l'échellehumaine.

2) Pourquoi a priori un barrissement, est-il plus grave qu'un piaillement ?3) Pourquoi peut-on entendre des fréquences que l'on ne sait pourtant pas chanter ?

12.A.3 - Comment entendre un c÷ur qui bat ? 3/2

On donne les masses volumiques de l'eau µe = 1, 0.103kgm−3 et de l'air µa = 1, 3kgm−3 ainsi que la célérité desondes acoustiques dans l'air ca = 340m.s−1 et dans l'eau ce = 4.ca.

1) Estimer l'impédance sonore de l'air et de l'eau et les comparer.2) Calculer le coecient de transmission énergétique T d'une onde sonore à l'interface air-eau.3) Expliquer pourquoi l'on entend pas naturellement les battements de c÷ur d'une autre personne à moins, par

exemple, de coller l'oreille contre son corps.

12.A.4 - Longueur de la caisse de résonance d'un diapason 3/2

L'analyse harmonique du son émis par un diapason posé sur sa caisse de résonance contient essentiellement unharmonique de fréquence ν = 440Hz (la note est un la). La caisse de résonance est un parallélépipède creux, dont laplus grande dimension est L = 19, 5cm, l'un des bouts étant fermé, l'autre ouvert.

1) Comment expliquer le choix de cette dimension ?

12.2 Entraînement

12.B.1 - Octaves et demi-tons 5/2

1) Rappeler la dénition d'une octave.2) Sur combien d'octaves s'étend le domaine audible ?Une oreille exercée est capable de diérencier un écart d'un dixième de demi-ton tempéré (il y a douze demi-tons

tempérés dans une octave) dans de bonnes conditions d'écoute.3) À quel écart relatif de fréquence cela correspond donc un dixième de demi-ton ?

12.B.2 - Pourquoi le vent porte le son 5/2

On considère un écoulement d'air à vilessc constante u0 > 0 (dans la direction et le sens de l'axe (Ox)), la même

141

Page 143: Problèmes phy

en tout point. Dans cet écoulement se propage une onde sonore plane progressive dans la direction de l'axe (Ox).1) Trouver l'équation de propagation de la surpression acoustique p(x, t) dans le cadre de l'approximation acous-

tique.Une O.P.P.M. se propage dans l'écoulement. En notation complexe p(x, t) s'écrit

p(x, t) = p0.ej.(ω.t−k.x)

2) Trouver la relation de dispersion entre k et ω et interpréter le résultat obtenu.3) Que doit-on entendre par l'expression le vent porte le son ?

12.3 Planches d'oral

12.4 Travaux dirigés

12.D.1 - Approche lagrangienne de la propagation d'une onde sonore plane TD

1) Retrouver les équations de propagation du son à l'aide d'une description lagrangienne du uide dans uneconduite de section S constante.

Méthode:

Le déplacement, à l'instant t, d'une particule de uide d'abscisse x lorsque le uide est au repos est noté ξ(x, t).La surpression et la masse volumique de cette tranche sont p(x, t) et µ(x, t). La masse volumique µ(x, t) désigne, àl'instant t, la masse volumique de la particule suivie dans son mouvement, dont l'abscisse à la date t correspond àx+ ξ(x, t), et non pas x.

1) Évaluer la variation de masse volumique d'une tranche élémentaire de uide, de section S et d'épaisseur dx aurepos. On doit trouver :

µ = −µ0∂ξ

∂x

2) Établir l'équation du mouvement de cette même tranche de uide. On doit trouver :

µ0∂2ξ

∂t2= −∂p

∂x

3) En utilisant la relation µ = µ0.χS .p et la vitesse v = ∂ξ∂t , on retrouve le système d'équations couplées réduit à

la propagation unidimensionneIle : µ0

∂v∂t = − ∂p

∂x

χS∂p∂t = − ∂v

∂x

12.D.2 - Bilan local d'énergie pour une onde sonore plane TD

On s'intéresse à une onde plane, se propageant parallèlement à l'axe (Ox).1) Exprimer les densités volumiques d'énergie

1.a) cinétique,1.b) potentielle1.c) et sonore ;1.d) ainsi que le vecteur densité de débit d'énergie.

2) Vérier le bilan énergétique local dans ce cas particulier.

Méthode:

Pour une onde plane se propageant parallèlement à l'axe (Ox), nous savons que la vitesse et la surpression sont dela forme :

~v =[f(t− x

c

)+ g

(t+ x

c

)].~ux

p = µ0.c.[f(t− x

c

)− g

(t+ x

c

)]

Page 144: Problèmes phy

On se souvient que la célérité de l'onde sonore c est telle que :

c2 =1

χS .µ0

1) Nous pouvons exprimer :1.a) la densité volumique d'énergie cinétique :

ec =12µ0.v

2 =µ0

2[f2 + 2.f.g + g2

]1.b) la densité volumique d'énergie potentielle :

ep =12χS .p

2 =µ0

2[f2 − 2.f.g + g2

]1.c) la densité volumique d'énergie sonore :

es = ep + ec =µ0

2[f2 + g2

]1.d) le vecteur densité de débit d'énergie :

~Π = p.~v = µ0.c.[f2 − g2

].~ux

2) Le bilan d'énergie est :

−∂es∂t

= div(~Π)

=∂Πx

∂x

qu'on vérie en dérivant les fonctions f et g.

12.5 Exercices maple

Page 145: Problèmes phy
Page 146: Problèmes phy

Chapitre 13

Ondes électromagnétiques

13.1 Application directe du cours

13.A.1 - OPP et jauge de Coulomb 3/2

Soit une onde plane progressive se propageant vers les x croissants.1) Montrer que le potentiel vecteur qui vérie la jauge de Coulomb est transversal.

13.A.2 - Longueurs d'onde de quelques ondes radios 3/2

1) Déterminer la longueur d'onde λ, le nombre d'onde σ en cm−1 et la norme du vecteur d'onde k pour :1.a) une station grande onde (de fréquence ν = 250kHz) ;1.b) une station FM (de fréquence ν = 100MHz) ;1.c) un téléphone portable (de fréquence ν = 1, 8GHz).

13.A.3 - Onde sphérique 3/2

On s'intéresse à une onde sphérique monochromatique, de pulsation ω et de centre O. Son amplitude est de la

forme : A (~r, t) = a (r) . cos(ω.t− ~k.~r

)1) Donner l'expression du vecteur d'onde ~k dans le repère sphérique en distinguant les deux cas : onde convergente

ou onde divergente.2) Pourquoi l'amplitude a (r) est-elle proportionnelle à l'inverse de la distance r ?

13.A.4 - Caractéristiques ondulatoires de l'onde émise par un laser hélium-néon 3/2

Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1, 0mm d'une onde plane progressivemonochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. La puissance moyenne émise est Pe = 1, 0mW .

On donne : µ0 = 4.π.10−7H.m−1.1) Calculer les amplitudes

1.a) Emax du champ électrique ;1.b) et Bmax du champ magnétique.

13.A.5 - Caractéristiques corpusculaires de l'onde émise par un laser hélium-néon 3/2

Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1, 0mm d'une onde plane progressivemonochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. La puissance moyenne émise est Pe = 1, 0mW .

On donne : h = 6, 62.10−34J.s.1) Déterminer le nombre de photons

1.a) n par unité de volume dans le faisceau ;1.b) N de photons émis par seconde par le laser.

13.A.6 - Modulation de l'intensité lumineuse grâce à un polarisateur tournant 3/2

Un faisceau parallèle de lumière naturelle non polarisée d'intensité I0 traverse un polariseur xe.1) Quelle est l'intensité I1 après ce polariseur ?

145

Page 147: Problèmes phy

Le faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur qui tourne autour de l'axe optique avec une vitesseangulaire ω.

2) Déterminer l'intensité lumineuse I2 sortant du second polariseur.(On supposera que le second polariseur tourne lentement devant le temps de réponse du détecteur).3) Montrer que l'on a modulé l'intensité à la pulsation 2.ω.

13.A.7 - Détection de lumière au voisinage de l'extinction 3/2

Un polariseur et un analyseur sont réglés à l'extinction. On fait tourner l'analyseur d'un angle α.1) Exprimer l'intensité I2 après l'analyseur en fonction de I1, l'intensité entre le polariseur et l'analyseur, et de

α.2) Pour détecter de la lumière après le polariseur, il faut que l'intensité soit supérieure au bruit, qui vaut 5%.I1.

Déterminer numériquement en secondes d'angle, l'angle minimum αmin dont il faut tourner l'analyseur pour détecterde la lumière.

13.A.8 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement 3/2

1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique ~E de l'onde planeprogressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), polarisée rectilignement suivant l'axe(Oy) se propageant suivant une direction faisant, dans le plan (xOz), un angle de 45 avec l'axe (Oz).

On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.

13.A.9 - Décomposition d'une OPPM polarisée rectilignement 3/2

Soit une onde plane progressive monochromatique, de pulsation ω et de vecteur d'onde ~k = k.~uz, polarisée rectili-gnement selon un axe qui fait l'angle α avec (Ox).

1) Donner l'expression des composantes Ex et Ey du champ électrique. On prendra E0 comme amplitude de cechamp.

2) Montrer que la superposition de deux OPPM de mêmes caractéristiques polarisées circulairement :Ex = E′0. cos (ω.t− k.z + α)Ey = E′0. sin (ω.t− k.z + α)

et Ex = E′0. cos (ω.t− k.z − α)Ey = −E′0. sin (ω.t− k.z − α)

redonne l'OPPM polarisée rectilignement. On exprimera E′0 en fonction de E0.

13.A.10 - Polariseur circulaire 3/2

On s'intéresse à un ltre suivi d'un polariseur, lui-même suivi d'une lame quart d'onde avec ses lignes neutres à45de la direction du polariseur.

1) On envoie de la lumière naturelle dans le dispositif. Quelle est la polarisation de la lumière ainsi produite ?On retourne le dispositif donc la lumière naturelle rencontre d'abord la lame quart d'onde puis le polariseur.2) La polarisation de la lumière produite a-t-elle changé ?

13.A.11 - Détection de l'hélicité d'une polarisation circulaire 3/2

On s'intéresse à un ltre suivi d'une lame quart d'onde (qui ajoute un déphasage +π2 sur l'axe vertical), lui-même

suivi d'un polariseur, qui peut librement tourner dans son plan. On envoie de la lumière polarisée circulairement dansle dispositif.

1) Pour quelle direction du polariseur obtient-on l'extinction si :1.a) la polarisation est circulaire gauche ?1.b) la polarisation est circulaire droite ?

13.A.12 - Diusion Rayleigh dans le visible 3/2

1) Quelle est la dépendance en longueur d'onde λ de la puissance P diusée par un dipôle (diusion Rayleigh) ?2) En déduire le rapport Pb

Prdes puissances rayonnées par diusion Rayleigh pour les longueurs d'onde extrêmes

du spectre visible, λb = 400nm et λr = 750nm.

Page 148: Problèmes phy

13.A.13 - Diusion de l'atome d'hydrogène 3/2

Dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, l'électron est animé d'une vitesse constante v = α.c (où α =q2e

(~.c) = 1137 est la constante de structure ne) sur une orbite circulaire de rayon a0 = 53pm.

1) Caractéristiques du rayonnement :1.a) Quel est la pulsation ω du mouvement ?1.b) En déduire la longueur d'onde λ associée.1.c) A quel domaine lumineux cela correspond-il ?

2) Approximations du rayonnement dipolaire :On observe le dipôle de taille d à une distance r = 50cm. Vérier que sont vériées les approximations

2.a) non relativiste : d λ ;2.b) dipolaire : d r ;2.c) du rayonnement lointain : λ r.

3) Rayonnement dipolaire :3.a) Evaluer le moment dipolaire électrique p0 que l'on peut associer à un tel système.3.b) En déduire la puisssance moyenne 〈P 〉 dissipée par rayonnement.

On donne :

• la charge élémentaire : qe = 1, 6021892.10−19C

• la vitesse de la lumière dans le vide : c = 2, 99792458.108m.s−1

• la permittivité du vide : ε0 = 8, 854187817.10−12F.m−1

13.2 Entraînement

13.B.1 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement 5/2

1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique ~E de l'ondeplane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), se propageant suivant l'axe (Ox),polarisée rectilignement, le champ électrique faisant un angle de 60 avec l'axe (Oy).

On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.

13.B.2 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée elliptiquement 5/2

1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique ~E de l'ondeplane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), se propageant suivant l'axe (Oy),polarisée elliptiquement à droite.

Le demi grand axe de l'ellipse, étant suivant (Oz), est trois fois plus grand que le demi petit axe (noté E0). Ledéphasage entre les deux axes de l'ellipse est π

2 .

13.B.3 - Variation de l'intensité lumineuse avec la loi de Malus 5/2

Un faisceau parallèle de lumière traverse un polariseur xe. Son intensité est notée I0 après ce polariseur. Lefaisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur dont l'axe fait un angle θ avec l'axe du premier polariseur.

1) Déterminer l'intensité lumineuse I sortant du second polariseur (loi de Malus).2) Initialement, θ = θi, et l'intensité lumineuse sortant du second polariseur est Ii. On fait varier θ de dθ π.

2.a) Exprimer la variation relative dIIi

de l'intensité lumineuse sortant du second polariseur, en fonction de θiet dθ.

Application : dθ = 1, que vaut dIIi

2.b) si θi = 10 ?2.c) si θi = 80 ?

13.B.4 - Rayonnement d'une antenne par unité d'angle solide 5/2

On se place dans le repère sphérique de centre O, un point M étant repéré par ses coordonnées r = OM , θ =(~uz, ~OM

), et ϕ.

On assimile une antenne laire d'axe (Oz) à un dipôle électrique de même direction, placé en O.1) Puissance moyenne rayonnée par unité d'angle solide :

Page 149: Problèmes phy

1.a) Rappeler la dépendance en (r, θ, ϕ) de⟨dPdΩ (θ)

⟩, la puissance moyenne rayonnée par l'antenne par unité

d'angle solide.1.b) Pour quel angle θmax obtient-on la puissance moyenne maximale rayonnée par l'antenne par unité d'angle

solide (que l'on note Pmax) ?2) Puissance totale :

2.a) Exprimer la puissance totale Ptot(∆θ) envoyée par l'antenne dans la direction θmax à ±∆θ.2.b) Que vaut la puissance totale Ptot envoyée dans tout l'espace ?

2.c) Exprimer Ptot(π4 )

Ptot.

13.B.5 - Diagramme de rayonnement d'une antenne 5/2

On se place dans le repère sphérique de centre O, un point M étant repéré par ses coordonnées r = OM , θ =(~uz, ~OM

), et ϕ.

On assimile une antenne laire d'axe (Oz) à un dipôle électrique de même direction, placé en O.1) Rappeler la dépendance en (r, θ, ϕ) de

⟨dPdΩ (θ)

⟩, la puissance moyenne rayonnée par l'antenne par unité d'angle

solide.2) Applications numériques :On appelle Pmax, la puissance moyenne maximale rayonnée par l'antenne par unité d'angle solide. Exprimer la

fonction f(θ) = 〈dPdΩ (θ)〉Pmax

pour les angles suivants :2.a) θ = 0 ;2.b) θ = π

4 ;2.c) θ = π

2 .3) Tracer le diagramme de rayonnement de l'antenne, c'est à dire la courbe paramétrée en polaire r = f(θ), l'axe

par rapport auquel est repéré θ étant vertical, vers le haut.

13.B.6 - Caractéristiques d'une OPPM 5/2

On se place dans un repère cartésien (Oxyz).Un faisceau laser émet une onde plane progressive (suivant ~u), monochromatique (de longueur d'onde λ), polarisée

rectilignement suivant (Oz).On pose θ = (~ux, ~u).1) Ecrire, en fonction de E0 (l'amplitude du champ électrique) et de λ, les composantes dans le repère cartésien

(Oxyz)1.a) du vecteur d'onde ~k,

1.b) du champ électrique ~E,

1.c) du champ magnétique ~B,

1.d) et du vecteur de Poynting ~Π.

13.3 Planches d'oral

13.4 Travaux dirigés

13.D.1 - Equations de propagation et de dispersion TD

On s'intéresse à la propagation d'une OPPM de grandeurs complexes associées

ψ = ψm.e−j.

ω.t−~k.~r

dans diérents milieux.I) Propagation dans le vide illimité :Le milieu ne possède ni charge (ρ = 0), ni courant (~j = ~0).Montrer qu'il y a propagation sans dispersion, ni absorption.

Page 150: Problèmes phy

II) Propagation dans les plasmas :

Le milieu est globalement neutre (ρ = 0) et suit la loi d'Ohm : ~j = σ. ~E. La conductivité complexe s'écrit

σ =j.ε0.ω

2p

ω

où la pulsation plasma est ωp ≈ 106rad.s−1.Montrer que suivant les diérents domaines, la propagation dière :

• ω < ωp (ondes radio de grandes longueurs d'onde) : onde évanescente, donc réexion ;

• ω > ωp (ondes radio courtes jusqu'aux rayonnements γ) : propagation avec dispersion, mais sans absorption.

III) Propagation dans les métaux :

Le milieu est globalement neutre (ρ = 0) et suit la loi d'Ohm : ~j = σ. ~E. La conductivité complexe s'écrit

σ =ε0.ω

2p.τ

1 + j.ω.τ

où la pulsation plasma est ωp ≈ 1016rad.s−1 et 1τ ≈ 1014s−1.

Montrer que suivant les diérents domaines, la propagation dière :

• ω 1τ ωp (ondes hertziennes) : propagation avec absorption et dispersion ;

• 1τ ω < ωp (ondes visibles) : onde évanescente, donc réexion ;

• 1τ ωp < ω (rayonnements UV) : propagation avec dispersion, mais sans absorption ;

• 1τ ωp ω (rayonnements ionisants) : propagation sans dispersion, et sans absorption.

IV) Propagation dans les diélectriques LHI, parfaits et non magnétiques :Le milieu ne possède que des charges et des courants de polarisation (charges liées) dont la densité volumique

de charge et le vecteur densité de courant sont ρP = −div(~P)et ~jP = ∂ ~P

∂t où ~P est le vecteur polarisation. La

polarisation créée par le champ électrique extérieur est ~P = ε0.χe. ~E où χe est la susceptibilité électrique qui vaut,dans le modèle de l'électron élastiquement lié :

χe =ω2

1

ω20 − ω2 + j.ω0.ω

Q

avec Q 1.On note la permittivité relative du milieu εr = 1 + χe et on dénit l'indice complexe n du milieu par : k = nωc .Montrer que suivant les diérents domaines, la propagation dière :

• ω ω0 ou ω ω0 : zone de transparence (propagation avec dispersion, mais sans absorption) ;

• ω0 − ω0Q < ω < ω0 + ω0

Q : zone d'absorption (propagation avec dispersion et avec absorption).

Tracer les graphiques <(n) = f(ω) et =(n) = f(ω).V) Propagation dans un guide d'onde à section rectangulaire :Le milieu ne possède ni charge (ρ = 0), ni courant (~j = ~0), mais les conditions aux limites (champs nuls dans

le métal parfait) imposent des ondes non planes, comme les ondes TEn,m qui obéissent à la relation de dispersionsuivante : (ω

c

)2

= k2 +(m.π

a

)2

+(n.πb

)2

= k2 +(ωcc

)2

où a et b sont les dimensions du guide (et n et m sont des entiers).Montrer que seules les ondes de pulsation supérieures à ωc peuvent se propager dans le guide d'onde (il s'agit d'un

ltre passe haut) et qu'il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.Déterminer les vitesses de phase vϕ et de groupe vg, et tracer vϕ = f(ω) et vg = f(ω) sur un même graphique.Montrer que si λ a et b, on retrouve la propagation dans le vide illimité.

Méthode:

• Equation de propagationIl faut d'abord déterminer l'équation de propagation des ondes électromagnétiques. Pour cela, il y a deux méthodes

Page 151: Problèmes phy

• Champs réels

• On peut démontrer l'équation de propagation pour les champs réels ~E et ~B qui suivent les équations deMaxwell :

div ~B = 0div ~E = ρ

ε0

~rot(~E)

= −∂ ~B∂t~rot(~B)

= µ0.~j + 1c2∂ ~E∂t

• Mais il faut découpler les équations de Maxwell. Pour cela, il sut de redériver une fois : prendre lerotationnel d'une équation, en se rappelant que les dérivations temporelle ( ∂∂t ) et spatiales (div, ~rot, ~gradet ∆) commutent. Enn, on a besoin de la formule :

~∇∧(~∇∧ ~A

)= ~∇.

(~∇. ~A

)−∇2. ~A

soit :~rot(~rot(~A))

= ~grad(div(~A))−∆ ~A

• Champs complexes

• On peut associer à l'OPPM réelle

ψ (~r, t) = <(ψ) =ψ + ψ∗

2l'OPPM complexe

ψ = ψm.e−iω.t.e+i.

~k.~r.e+iϕ

NB : on aurait pu choisir une autre convention en changeant le signe dans l'exponentielle complexe. Aussi,il est très important de bien déclarer sa convention ! Les opérateurs de dérivation sont à remplacer par :

∂∂t → −i.ω~∇ → +i.~k

• On peut remplacer ψ par ψ dans toutes les équations linéaires. En particulier, les grandeurs complexes

associées (ψ = ~E, ~B, ~A, V ) vérient les équations de Maxwell.Les équations de Maxwell réécrites avec des OPPM complexes deviennent :

i.~k. ~B = 0

i.~k. ~E = ρε0

i.~k ∧ ~E = i.ω ~B

i.~k ∧ ~B = µ0.~j − i.ωc2 .

~E

• Là aussi, il faut découpler les équations de Maxwell. Pour cela, il sut de redériver une fois : faire le produitvectoriel de ~k et d'une équation On a besoin de la formule :

~A ∧(~B ∧ ~C

)= ~B

(~A. ~C

)− ~C

(~A. ~B

)• Equation de dispersionIl faut maintenant passer impérativement aux champs complexes.Avec les OPPM complexes, l'équation de dispersion (k = f (ω)) arrive naturellement, après simplication del'équation de propagation.

• Forme de la solutionA partir de l'équation de dispersion, il s'agit de déterminer le vecteur d'onde complexe ( k) et en le réinjectant dansl'expression de l'onde d'interpréter la forme de la solution donnée :

• si k = ωc est réel, il y a propagation sans dispersion, et sans absorption ;

• si k est réel mais k 6= ωc , il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.

• si k est complexe, il propagation avec absorption et dispersion ;

• si k est imaginaire pur, l'onde est évanescente, il y a donc réexion.

Page 152: Problèmes phy

13.5 Exercices maple

13.E.1 - Polarisation d'une OPPM maple

On s'intéresse à une OPPM : Ex = E0x cos (ω.t)

Ey = E0y cos (ω.t− ϕ)

1) Donner :1.a) un graphique donnant la courbe paramétrique décrite par le vecteur ~E ;1.b) une animation permettant de voir dans quel sens est décrit cette courbe.

Page 153: Problèmes phy
Page 154: Problèmes phy

Cinquième partie

Optique

153

Page 155: Problèmes phy
Page 156: Problèmes phy

Chapitre 14

Optique géométrique

14.1 Application directe du cours

14.A.1 - Dispersion de la lumière avec la loi de Cauchy 3/2

Un verre a l'indice n1 = 1, 595 pour la lumière à un bord du spectre visible (λ1 = 750nm, dans le rouge) etn2 = 1, 625 à l'autre bord du spectre visible (λ2 = 400nm, dans le violet).

On donne la loi de Cauchy : n = A+ Bλ2 .

1) Déterminer :1.a) B1.b) et A.

2) Déterminer, pour un rayon de lumière verte (λ = 532nm) l'indice n de ce verre.

14.A.2 - Dispersion de la lumière blanche sur un dioptre verre-air 3/2

Un verre a l'indice nr = 1, 595 pour la lumière rouge et nv = 1, 625 pour la lumière violette. Un rayon de lumièreblanche, qui contient ces deux couleurs, se propage dans ce verre et arrive à la surface de séparation avec l'air sousune incidence i = 35.

1) Calculer l'angle α entre les rayons rouge et violet dans l'air.2) Calculer l'angle de réfraction limite imax dans le verre pour ces deux longueurs d'onde.

14.A.3 - Rayon traversant une lame de verre 3/2

Soit une lame de verre d'indice n = 1, 6, à faces parallèles, d'épaisseur e = 5cm, plongée dans l'air. Un rayon arrivesur la face supérieure avec un angle d'incidence i1 = 75.

1) Calculer l'angle de réfraction i2.2) Calculer l'angle i4 que fait le rayon émergent de la lame avec la normale.

14.A.4 - Angle de Brewster du verre de silice 3/2

On peut polariser de la lumière naturelle par réexion vitreuse, cette polarisation étant totale si l'angle d'incidencei1 sur le dioptre air (d'indice nair) - verre (d'indice nv) est l'angle de Brewster iB caractérisé par le fait que iB = i1 =π2 − i2, où i2 est l'angle réfracté.

1) Exprimer iB en fonction de nv et nair uniquement.Le verre de silice est dispersif. Son indice optique varie de n1 = 1, 456 pour λ = 700nm à n2 = 1, 470 pour

λ = 400nm.2) Calculer les limites inférieure et supérieure des angles de Brewster d'une lumière blanche incidente sur ce verre.

14.A.5 - Nature d'une lentille en fonction des rayons de courbure de ses dioptres 3/2

On admet que la vergence V d'une lentille de centre O est fonction :

• de l'indice n du verre la constituant

• du rayon de courbure du dioptre air-verre OC1 d'entrée

• du rayon de courbure du dioptre verre-air OC2 de sortie

155

Page 157: Problèmes phy

suivant la relation :

V = (n− 1)(1

OC1

− 1OC2

)

1) Relier à la vergence :1.a) la distance focale objet OF1.b) et la distance focale image OF ′.

2) Donner le signe de V et en déduire le caractère convergent ou divergent des lentilles :2.a) plan-concave ;2.b) plan-convexe ;2.c) concave-plan ;2.d) convexe-plan ;2.e) convexe-concave ;2.f) concave-convexe ;2.g) convexe-convexe ;2.h) concave-concave.

3) En déduire en toute généralité la nature des lentilles :3.a) à bords minces ;3.b) à bords épais.

14.A.6 - Projection d'une diapositive 3/2

Une diapositive a comme dimensions 24mm × 36mm. On la projette sur un écran placé à une distance L de lalentille de focale f ′ = 10cm du projecteur.

La mise au point se fait en changeant la distance diapositive-lentille. Cette dernière varie dans le domaine[101mm; 120mm].

1) Dans quel domaine varie L pour avoir une image nette sur l'écran ?2) Montrer que le grandissement est γ ≈ − L

f ′ .3) Pourquoi faut-il mettre la diapositive à l'envers dans le projecteur ?4) Si on dispose d'un écran de largeur l = 1, 80m, à quelle distance maximale du mur Lmax faut-il disposer le

projecteur ?

14.A.7 - Autocollimation 3/2

On accole à une lentille mince convergente de focale f ′ un miroir plan. On positionne un objet A sur l'axe optiquede façon à ce que son image A′ lui soit superposée.

1) Déterminer la distance d entre A et la lentille.2) Quel est le grandissement transversal γ ?

14.A.8 - Association de deux lentilles 3/2

1) Soit une lentille convergente L1, de focale f ′1 = 10cm. Un objet de hauteur 24m est placé à 1200m de la lentilleL1. Calculer :

1.a) la position1.b) et la taille de l'image.

2) On place ensuite une lentille divergente L2 de focale f ′2 = −4cm à 6, 5cm derrière L1. Calculer :2.a) la position2.b) et la taille de l'image.

14.A.9 - Un miroir plan comme rétroviseur 3/2

On s'intéresse à un miroir plan faisant oce de rétroviseur intérieur de voiture. Le conducteur observe à une distanced = 40cm du rétroviseur la lunette arrière de largeur L = 1, 2m placée à une distance D = 1, 8m du rétroviseur.

1) Quelle doit être la largeur l du rétroviseur pour que toute la lunette arrière soit visible ?

14.A.10 - Image dans un miroir convexe 3/2

On considère un miroir sphérique convexe de 1,2 m de rayon. Un objet lumineux AB (A est sur l'axe du miroir)de 3 cm de hauteur est placé à 40 cm devant le miroir.

1) Déterminer pour l'image A′B′ de AB :1.a) la position,

Page 158: Problèmes phy

1.b) la nature,1.c) et la taille.

14.A.11 - Se regarder dans un miroir convexe 3/2

On s'intéresse à un miroir sphérique convexe de rayon R, de sommet S, de centre C.Soit un objet en A et son image par le miroir en A′.1) Rappeler la formule de conjugaison avec origine au sommet.2) Exprimer le grandissement γ en fonction de SA et de SA′.3) En déduire la position SA de l'objet en fonction de γ et du rayon de courbure R du miroir.Application : on veut placer un objet auprès d'un miroir sphérique convexe de rayon R = 1, 0m, de telle sorte que

γ = 0, 50.4) Que vaut alors SA ?

14.A.12 - Miroir concave 3/2

On dispose d'un miroir concave de rayon R = 1, 0m.1) Quelle est sa distance focale f ′ ?2) Ce miroir est placé à la distance D = 5, 0m d'un écran E.

2.a) Où doit-on mettre un petit objet pour en avoir une image nette sur E ?2.b) Quel est le grandissement γ ?

14.A.13 - Petite cuiller 3/2

On s'intéresse à un homme qui se regarde dans une petite cuiller placée à une distance d = 40cm de lui. Onassimilera la cuiller à un miroir sphérique de rayon R = 5, 0cm.

1) Quel est le grandissement γ de son image1.a) lorsqu'il regarde le côté creux ?1.b) lorsqu'il regarde le côté bombé ?

14.2 Entraînement

14.B.1 - Déviation par une lame de verre 5/2

Soit une lame de verre d'indice n = 1, 6, à faces parallèles, d'épaisseur e = 5cm, plongée dans l'air. Un rayon arrivesur la face supérieure avec un angle d'incidence i1 = 75.

1) Calculer la déviation latérale d entre les rayons incident sur la lame et émergent de la lame.

14.B.2 - Détermination de l'indice d'un liquide 5/2

Deux ls parallèles, distants de a, sont maintenus à la surface d'un liquide d'indice n, grâce à des otteurs. Leliquide est placé dans un récipient dont le fond est un miroir plan. Soit h la hauteur du liquide, cette hauteur estréglable grâce à un dispositif à vases communiquants. On observe un des ls sous une incidence i donnée, et on règleh de façon à ce que l'image de l'autre l coïncide avec le l observé.

1) Donner l'expression de n en fonction de i, a et h.

14.B.3 - Construction de Huygens 5/2

On considère un dioptre plan qui sépare deux milieux d'indices de réfraction respectifs n1 et n2. Un rayon lumineuxAI arrive sur ce dioptre en I (cf. gure 14.1).

Dans le plan d'incidence, on trace deux cercles de centre I : C1 a un rayon ρ1 = 1n1

et C2 a un rayon ρ2 = 1n2.

On note H, le point situé dans le milieu 2, à l'intersection du rayon incident et du cercle C1. J est l'intersectionde la trace du dioptre avec la tangente en H au cercle C1. Enn, K est le point du milieu 2 où la droite passant parJ est tangente au cercle C2.

On pose les angles θ1 = ( ~JI, ~JH) et θ2 = ( ~JI, ~JK).1) Que vérie sin θ1

sin θ2en fonction de n1 et n2 ?

2) Que peut on en déduire ?

Page 159: Problèmes phy

Fig. 14.1 Construction de Huyghens

14.B.4 - Réexion totale sur un prisme 5/2

On s'intéresse à un prisme dont le plan de section principale ABC est plan d'incidence d'un rayon lumineux quiarrive sur le côté AB sous l'incidence i au dessus de la normale.

1) Ecrire la loi de la réfraction qui lie i à r, l'angle que fait le rayon après cette réfraction.2) Relier les angles r, B et i2 (l'angle d'incidence sur le côté BC).3) Exprimer la condition limite sur l'angle i2 et sur l'indice n pour qu'il y ait réexion totale sur BC.4) Trouver la condition liant i, B et n pour qu'il y ait réexion totale sur BC.On donne sin2 α+ cos2 α = 1 et sin (α± β) = sinα. cosβ ± cosα. sinβ.

14.B.5 - Lame à face parallèle 5/2

Un faisceau de lumière parallèle tombe sur une lame à faces parallèles, d'épaisseur e, d'indice n par rapport à l'air,sous un angle α avec le plan de la lame.

Il sort par la face inférieure après avoir subi un nombre pair de réexions à travers la lame.1) Quel est l'angle αk que fait le kième rayon émergeant (à la date tk) avec le plan de la lame ?2) Quelle serait la longueur L que la lumière parcourrait dans le vide pendant tk+1 − tk, en fonction de r, l'angle

que fait le premier rayon réfracté par rapport à la normale au dioptre air-verre ?3) Calculer L0 correspondant à l'incidence rasante.

14.B.6 - Arc en ciel 5/2

1) Un rayon de lumière monochromatique pénètre dans une sphère homogène d'indice n sous une incidence i, ilsubit p réexions partielles à l'intérieur de la sphère avant de sortir.

1.a) Calculer la déviation D du rayon émergent par rapport au rayon incident en fonction de i et r, l'angle dupremier rayon réfracté.

1.b) Montrer que cette déviation passe par un extremum lorsque i = im. On donnera cos im en fonction de net p.

2) Applications numériques pour l'arc-en-ciel. Calculer pour n = 1, 33 et p = 1 :2.a) l'angle d'incidence im2.b) et la déviation Dm correspondante.

14.B.7 - Grandissement d'un rétroviseur 5/2

Un rétroviseur de voiture est un miroir sphérique convexe de rayon R = 20cm, de sommet S, de centre C.Soit un objet (une voiture par exemple) en A et son image par le miroir en A′.1) Rappeler la formule de conjugaison avec origine au sommet.2) Exprimer le grandissement γ en fonction de SA et de SA′.3) En déduire le grandissement γ en fonction de la position SA de l'objet et du rayon de courbure R du miroir.4) Tracer γ = f(SA) dans le cas qui nous intéresse.

14.B.8 - Taille des objets observables dans un miroir de rue 5/2

Soit un objet (une voiture par exemple) en A et son image par un miroir en A′.On observe à une distance o = 70cm, dans un miroir de sommet S et d'ouverture d = 15cm, un objet placé à une

distance x = −SA > o sur l'axe optique.1) Miroir plan :

Page 160: Problèmes phy

On suppose dans un premier temps que ce miroir est plan.1.a) Exprimer le grandissement transversal γp(x) en fonction de la position de l'objet repérée par x.1.b) Montrer que la taille transversale maximum que l'on puisse observer d'un objet à une distance x du miroir

est tp(x) = d. (1 + α.x). On donnera α en fonction o.1.c) Application numérique : que vaut tp(x) pour x = 3, 0m ?

2) Miroir sphérique :An d'augmenter le champ de vision, on suppose maintenant qu'il s'agit d'un miroir sphérique convexe de rayon

R = 50cm.2.a) Exprimer le grandissement transversal γs(x).2.b) Montrer que la taille transversale maximum que l'on puisse observer d'un objet à une distance x du miroir

est ts(x) = d. (1 + β.x). On donnera β en fonction o et R.2.c) Application numérique : que vaut ts(x) pour x = 3, 0m ?

14.B.9 - Deux miroirs plans 5/2

Deux miroirs plans presque orthogonaux M1 et M2 forment entre eux un angle π2 − ε avec ε = 1′. Leur arête

commune est notée A, et le plan perpendiculaire à cette arête est Π. Dans le plan Π, à la distance d = 10cm de A, ondispose une source lumineuse ponctuelle S et on observe les images de S formées, l'une (S1) par réexions successivessur M1 puis M2 et l'autre (S2) par réexions successives sur M2 puis M1.

1) Calculer les distances AS1 et AS2.2) Calculer la distance S1S2.

14.B.10 - Distance minimale objet réel - image réelle avec une lentille convergente 5/2

1) Question préliminaire :1.a) Rappeler les formules de conjugaison avec origine au centre entre un point objet en A et son image en A′

pour une lentille convergente de focale f ′.1.b) Exprimer OA′ en fonction de OA et f ′.1.c) En déduire la distance d = AA′ entre l'objet et son image en fonction de OA et f ′.

2) Distance minimale entre objet et image :2.a) Pour quelle valeur de OA atteint-on le minimum de d ?2.b) Que vaut alors OA′ ?2.c) En déduire la distance minimale dmin entre un objet réel et son image réelle obtenue avec une lentille

mince convergente.

14.B.11 - Netteté d'un cliché photographique 5/2

L'objectif d'un appareil photographique est assimilé à une lentille mince convergente de centre O de distance focalef ′ = 12cm et de diamètre d = 5, 0cm.

1) On photographie un objet situé à une très grande distance.Pour eectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du lm de telle façon qu'une image

nette se forme sur la pellicule.1.a) Où doit être placée la pellicule ?

Sur cette prise de vue, il y a un motif placé sur l'axe de la lentille à une distance OA = −3, 0m.Les rayons provenant de A forment sur la pellicule une tache de rayon t.

1.b) Déterminer t.L'image de A est nette si t < 200µm.

1.c) L'image de A est-elle nette sur le cliché ?On déplace la pellicule de manière à ce que l'image de B soit nette sur la pellicule. Déterminer les distances

minimale et maximale correspondantes de p1 et p2. Déterminer la profondeur de champ p1 - p2.

14.B.12 - Un miroir convexe comme rétroviseur 5/2

On s'intéresse à un miroir sphérique convexe de focale f ′, de largeur l faisant oce de rétroviseur intérieur devoiture. Le conducteur observe à une distance d = 40cm du rétroviseur la lunette arrière de largeur L = 2, 0m placéeà une distance D = 2, 0m du rétroviseur.

1) Quelle doit être la focale f ′ du rétroviseur pour que toute la lunette arrière soit visible ?

Page 161: Problèmes phy

14.3 Planches d'oral

14.4 Travaux dirigés

14.D.1 - Recherche d'images optiques TD

Déterminer l'image A′, sa nature (réelle ou virtuelle), le grandissement γ, pour un objet A sur l'axe optique (donton donnera la nature)

1. d'une lentille convergente de centre O, de focale f ′ avec :

(a) OA = ±∞ ;

(b) OA < −2.f ′ ;

(c) OA = −2.f ′ ;

(d) OA ∈ ]−2.f ′;−f ′[ ;(e) OA = −f ′ ;(f) OA ∈ ]−f ′; 0[ ;

(g) OA > 0.

2. d'une lentille divergente de centre O, de focale f avec :

(a) OA = ±∞ ;

(b) OA < 0 ;

(c) OA ∈ ]0; f [ ;

(d) OA = f ;

(e) OA ∈ ]f ; 2.f [ ;

(f) OA = 2.f ;

(g) OA > 2.f .

3. d'un miroir convergent de sommet S, de focale f avec :

(a) SA = ±∞ ;

(b) SA < 2.f ;

(c) SA = 2.f ;

(d) SA ∈ ]2.f ; f [ ;

(e) SA = f ;

(f) SA ∈ ]f ; 0[ ;

(g) SA > 0.

4. d'un miroir divergent de sommet S, de focale f avec :

(a) SA = ±∞ ;

(b) SA < 0 ;

(c) SA ∈ ]0; f [ ;

(d) SA = f ;

(e) SA ∈ ]f ; 2.f [ ;

(f) SA = 2.f ;

(g) SA > 2.f .

Méthode:

• Choix de l'objet

• Tout objet A sur l'axe optique aura une image A′ sur l'axe.

Page 162: Problèmes phy

• Pour déterminer l'image A′, il faut considérer B, hors de l'axe optique, dans le même plan perpendiculaire àl'axe que A. Cet objet B a pour image B′, hors de l'axe optique, dans le même plan perpendiculaire à l'axeque A′.

• Pour déterminer B′, il faut regarder l'intersection d'au moins deux rayons provenant de B, suivant les règlesqui suivent.

• Pour les lentilles

• Les rayons passant par le centre O d'une lentille ne sont pas déviés.

• Les rayons incidents sur la lentille passant par le foyer objet F sortent parallèlement à l'axe optique.

• Les rayons incidents sur la lentille parallèles à l'axe optique sortent en passant par le foyer image F ′.

• Pour les miroirs sphériques

• Tout rayon incident sur le miroir sphérique passant par le centre C est rééchi par le miroir dans une directionqui passe aussi par C.

• Tout rayon incident sur le miroir sphérique avec un angle α par rapport à l'axe optique passant par le sommetS est rééchi par le miroir dans une direction qui fait un angle −α par rapport à l'axe optique.

• Tout rayon incident sur le miroir sphérique passant par le foyer objet F est rééchi parallèlement à l'axe optique.

• Tout rayon parallèle à l'axe optique incident sur le miroir sphérique est rééchi suivant une direction passantpar le foyer image F ′.

14.5 Exercices maple

Page 163: Problèmes phy
Page 164: Problèmes phy

Chapitre 15

Optique ondulatoire

15.1 Application directe du cours

15.A.1 - Intensité résultant de l'éclairage par deux sources en fonction de la distance 3/2

Soient deux lampes spectrales qui émettent la même puissance P .1) Calculer l'intensité reçue en un point M situé à égale distance D des deux sources en fonction de cette distance.

15.A.2 - Le pêcheur et le poisson 3/2

Un pêcheur (H), dont les yeux sont à HS = 1, 20m au dessus de l'eau (d'indice n = 1, 33), regarde verticalementun poisson P situé à SP = 0, 60m au dessous de l'eau.

1) A quelle distance d1 le pêcheur voit-il le poisson ?2) A quelle distance d2 le poisson voit-il le pêcheur ?

15.A.3 - Doublet du sodium 3/2

On réalise des interférences (la diérence de marche est δ) avec comme éclairage une lampe à vapeur de sodium,qui a deux raies très proches et de même intensité (λ1 = 589, 6nm et λ2 = 589, 0nm).

1) Calculer numériquement σ1 = 1λ1, σ2 = 1

λ2, σ = σ1+σ2

2 et ∆σ = |σ1 − σ2|.2) Exprimer l'intensité résultant de l'interférence en fonction de σ et ∆σ.3) Donner les valeurs de δ pour lesquelles il y a brouillage des interférences.4) En déduire la période ∆δ des battements. Application numérique.

15.A.4 - Angle entre deux miroirs de Fresnel 3/2

On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un angle α inconnu. Ils sont éclairés par un laserhélium-néon (de longueur d'onde λ = 632, 8nm) qui voit son faisceau élargi par un objectif de microscope placé à unedistance d = 20cm de l'arête des miroirs. On observe des franges sur un écran à une distance D = 1, 6m de cettearête, grâce à une loupe de focale f ′ = 10cm. A travers cette loupe, on voit (sans accomoder) deux franges lumineusesconsécutives à l'inni, écartées d'un angle β = 1′.

1) Quelle est l'interfrange i ?2) En déduire la valeur numérique ende α, l'angle entre les deux miroir.

15.A.5 - Interfranges avec des miroirs de Fresnel éclairé par une lampe au mercure 3/2

On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un angle α = 4′0”. Ils sont éclairés par une fente neparallèle à l'arête des miroirs à une distance d = 40cm de cette arête. On observe des franges sur un écran à unedistance D = 1, 6m de cette arête.

1) Quelle est l'interfrange i des franges avec les diérentes longueurs d'onde du mercure :1.a) λ1 = 405nm1.b) λ2 = 436nm1.c) λ3 = 546nm1.d) λ4 = 579nm

163

Page 165: Problèmes phy

15.A.6 - Brouillage des interférences avec une lampe au sodium 3/2

Un dispositif interférentiel à division du front d'onde est équivalent à des fentes d'young éloignées de a = 4, 0mm.On observe les interférences sur un écran à une distance D = 1, 0m de ces fentes. La lumière est obtenue à l'aide d'unelampe à vapeur de sodium de longueurs d'onde λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm.

1) Exprimer l'interfrange ik pour la longueur d'onde k, en déduire numériquement1.a) l'interfrange moyen i1.b) et l'écart entre les interfranges i2 − i1.

2) En déduire la distance l de la frange centrale pour laquelle il y a brouillage des interférences.

15.A.7 - Déplacement des franges 3/2

Un système de fentes d'Young F1 et F2 (parallèles à Ox), éloignées de a = 1, 0mm suivant Oy est éclairé par unelampe à vapeur de sodium de longueur d'onde λ = 589nm, On observe les interférences sur un écran à une distanceD = 1, 2m de F1 et F2.

1) Calculer l'interfrange i.2) On place devant F1 une lame mince de verre d'indice n = 1, 5 et d'épaisseur e = 5, 0µm. Calculer le décalage

∆y des franges.

15.A.8 - Michelson en coin d'air 3/2

On s'intéresse à un michelson réglé en coin d'air, l'angle entre les deux miroirs étant θ. On observe les interférencescréées par une lampe monochromatique large (de longueur d'onde λ) grâce à une lentille convergente de focale f ′

placée à une distance l1 des miroirs.1) Comment éclairer les miroirs ?2) Localisation des interférences :

2.a) Les interférences sont-elles localisées ?2.b) Où?2.c) Où les observe-t-on grâce à la lentille (on donnera la distance l2 entre la lentille et le plan d'observation) ?2.d) Quel est alors le grandissement du montage γ en fonction de f ′ et l1 ?

3) Franges d'interférences :3.a) Quelle est la forme des franges ?3.b) Que vaut l'interfrange sur l'écran d'observation i en fonction de λ, θ, f ′ et l1 ?3.c) Que se passe-t-il si les miroirs sont parallèles ?

15.A.9 - Michelson en coin d'air 3/2

On s'intéresse à un michelson réglé en coin d'air, l'angle entre les deux miroirs étant θ. On observe les interférencescréées par une lampe monochromatique large (de longueur d'onde λ) grâce à une lentille convergente de focale f ′

placée à une distance l1 des miroirs.1) Comment éclairer les miroirs ?2) Localisation des interférences :

2.a) Les interférences sont-elles localisées ?2.b) Où?2.c) Où les observe-t-on grâce à la lentille (on donnera la distance l2 entre la lentille et le plan d'observation) ?2.d) Quel est alors le grandissement du montage γ en fonction de f ′ et l1 ?

3) Franges d'interférences :3.a) Quelle est la forme des franges ?3.b) Que vaut l'interfrange sur l'écran d'observation i en fonction de λ, θ, f ′ et l1 ?3.c) Que se passe-t-il si les miroirs sont parallèles ?

15.A.10 - Angle maximal d'un coin d'air 3/2

1) On s'intéresse à un michelson réglé en coin d'air dont on observe les franges d'égale épaisseur sur un écranconjugué du coin d'air par une lentille convergente. On prendra pour longueur d'onde moyenne : λ = 600nm.

1.a) Rappeler la valeur de l'interfrange i sur le coin d'air en fonction de l'angle du coin d'air α et de λ.1.b) En déduire la valeur de l'interfrange i′ sur l'écran en fonction de α, de λ et du grandissement γ du

montage.2) Les miroirs au Michelson ont un diamètre de 2cm et sur l'écran, on observe les franges dans une tache lumineuse

circulaire de 14cm de diamètre. Calculer le grandissement γ du montage.

Page 166: Problèmes phy

3) Connaissant le pouvoir séparateur linéique de l'÷il (0, 1mm), calculer l'angle maximal αmin (en minutes d'arc)que doit faire le coin d'air pour qu'on puisse eectivement discerner les franges sur l'écran.

15.A.11 - Passage du coin d'air aux miroirs parallèles 3/2

1) On s'intéresse à un michelson (dont les miroirs ont un diamètre d = 4, 0cm) réglé en coin d'air. On observe lesfranges d'égale épaisseur sur un écran conjugué du coin d'air par une lentille convergente. On prendra pour longueurd'onde moyenne : λ = 600nm.

1.a) Rappeler la valeur de l'interfrange i sur le coin d'air en fonction de l'angle du coin d'air α et de λ.Au cours du réglage du Michelson en lame d'air à faces parallèles, on passe par une étape où on agrandit les franges

du coin d'air jusqu'à n'en obtenir plus qu'une seule.1.b) Donner alors un ordre de grandeur de l'angle α du coin d'air (en secondes d'arc).

15.A.12 - Largeur d'un faisceau laser 3/2

Un laser hélium-néon émet une onde quasiment plane et monochromatique de longueur d'onde λ = 633nm.A la sortie du laser, le faisceau est limité par un trou du diamètre du faisceau de sortie : D1 = 3, 0mm.1) Déterminer l'ordre de grandeur du diamètre D du faisceau à une distance :

1.a) L = 15m ;1.b) L = 150m.

15.A.13 - Les phares de voiture la nuit 3/2

Les deux phares avant (supposés ponctuels) d'une voiture observée à une distance D (très grande) sont distantsde l = 1, 4m.

1) Quel est l'angle α sous lequel on voit ces deux phares ?Le diamètre de la pupille de l'÷il est d = 5mm.2) Quelle est l'ouverture angulaire δθ de la tache de diraction donnée par un phare ? On prendra une longueur

d'onde moyenne de la lumière : λ = 600nm.Le critère de Rayleigh stipule que deux images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au

diamètre de la tache de chacune des images.3) Déterminer la distance Dmax à partir de laquel l'÷il peut séparer l'image des deux phares. Application numé-

rique.

15.A.14 - Brouillard 3/2

On observe une source ponctuelle blanche (λ ≈ 0, 6µm) à l'inni à travers un brouillard est constitué de goutelettesopaques de rayon r. On visualise un halo irisé, de premier anneau sombre obtenu pour l'angle θ = 2.

1) En déduire r. Application numérique.

15.A.15 - Positions des ordres d'un réseau 3/2

Soit un réseau à 8 000 LPI (traits par pouce, où 1in = 2, 5cm).1) Situer les positions angulaires θp (en) des maxima principaux pour un faisceau en incidence normale et de

longueur d'onde λ = 546nm.

15.A.16 - Détermination d'une raie inconnue par un réseau 3/2

On eclaire un réseau de n = 547 traits /mm en incidence quasi-normale par une raie de longueur d'onde λ inconueet on observe les déviations suivantes : θ−2 = −3234”, θ+2 = 3231”.

1) Déterminer λ.

15.A.17 - Réseau eclairé par une lampe à vapeur de mercure 3/2

On eclaire un réseau de pas a par la raie verte du mercure (λ = 546, 1nm), et on observe les déviations suivantes :θ−3 = −6340”, θ−2 = −3641”, θ−1 = −1724”, θ+1 = 1722”, θ+2 = 3622”, θ+3 = 6337”.

1) Déterminer :1.a) a, le pas du réseau ;1.b) n, le nombre de traits par mm du réseau.

Page 167: Problèmes phy

15.A.18 - Réseau eclairé par une lumière blanche 3/2

On eclaire un réseau de n = 500 traits /mm en incidence quasi-normale par une lumière blanche (dont les longueursd'ondes sont dans le domaine λ ∈ [400nm; 750nm]).

1) Pour chaque ordre k, déterminer en degré les déviations minimale θminket maximale θmaxk

.2) En déduire :

2.a) le nombre de spectres complets observables ;2.b) les ordres des spectres sans recouvrement.

15.A.19 - Réalisation d'un monochromateur 3/2

Un réseau 15 000 LPI (traits par pouce, où 1in = 2, 5cm) est éclairé en incidence normale par une lumière blanche.Un spectre se forme sur un écran parallèle au réseau, situé à d = 50cm du réseau.

1) Si on perce un trou de ∆x = 5mm de côté dans l'écran et dont le centre est placé à x = 20cm de l'imagegéométrique parallèlement aux traits du réseau, quel sera le domaine de longueurs d'onde sélectionné par le trou ?

15.2 Entraînement

15.B.1 - Nombre d'anneaux visibles avec le michelson en miroirs parallèles 5/2

On s'intéresse à un michelson réglé en miroirs parallèles, la distance entre les deux miroirs étant e. On observe lesinterférences créées par une lampe monochromatique (de longueur d'onde λ) dans le plan focal image d'une lentille(de focale f ′).

1) Questions préliminaires :1.a) Exprimer la diérence de marche ∆ en fonction de θ.1.b) Les conditions de Gauss étant vériées, donner une expression approchée de ∆ grâce à un développement

limité au premier ordre non nul en θ.1.c) Relier la distance r au foyer image F ′ de cette lentille à l'inclinaison θ des rayons avec l'axe optique avant

la lentille.1.d) En déduire l'intensité lumineuse I en un point M situé à une distance r du foyer image F ′.

2) Etude des anneaux :2.a) Montrer que le rayon de l'anneau correspondant à l'ordre d'interférence p est de la forme

rp = f ′.√a− b.p

On exprimera en particulier a et b.2.b) En notant E(x), la fonction partie entière de x, exprimer n(e), le nombre d'anneaux visibles en fonction

de e, λ et θmax, l'angle d'incidence maximum.2.c) Que se passe-t-il à la teine plate ? Comment évolue n(e) quand on s'éloigne de la teinte plate ?

15.B.2 - Couche anti-reet 5/2

En vue de constituer une couche antireets dans le visible (on prendra λ0 = 550nm), on dépose sur un verred'indice n0 = 1, 7 une lame d'épaisseur e et d'indice n1 = 1, 3. On admet qu'ainsi, les ondes rééchies respectivementsur les dioptres air-couche antireet et couche antireet-verre ont même intensité I0.

1) Que doit vérier e en fonction de λ0 et n pour que, sous incidence normale θ = 0, la lumière rééchie soittotalement supprimée ?

2) Quelle est alors la fraction de lumière rééchie I2.I0

pour les longueurs d'ondes2.a) λ1 = 400nm ?2.b) et λ2 = 750nm ?

15.B.3 - Bulle de savon 5/2

On s'intéresse à une bulle de savon qui otte dans l'air, qu'on assimilera à une pellicule d'eau savonneuse d'épaisseure, et d'indice n = 1, 33. Elle est éclairée perpendiculairement par un faisceau de lumière blanche, dont on observe laréexion.

1) Calculs généraux :1.a) Exprimer la diérence de phase entre les deux rayons rééchis.1.b) En déduire une condition pour qu'il y ait interférence constructive sur λ, n et e.

Page 168: Problèmes phy

1.c) Faire de même pour qu'il y ait interférence destructive.2) Applications :On observe des interférences constructives pour λ1 = 600nm et des interférences destructives pour λ2 = 450nm.

On n'observe pas de minimum d'intensité entre ces deux valeurs.2.a) En déduire son épaisseur e supposée uniforme.

Sous l'eet de la gravité, l'eau savonneuse s'écoule et le lm s'amincit, au sommet de la bulle en premier.2.b) Quelle est la couleur au sommet de la bulle juste avant qu'elle n'éclate ?

15.B.4 - Principe de la spectrométrie par transformation de Fourier 5/2

On éclaire un interféromètre de Michelson, dont les miroirs sont symétriques par rapport à la séparatrice. Onconsidère que les éclairements dus aux deux voies de l'interféromètre prises isolément sont égaux.

On fait tourner à vitesse uniforme à l'aide d'un moteur la vis de translation d'un des miroirs, ce qui le translatede x = v.t à l'instant t ; v = 1, 0mm/s est constant.

E(x) est l'éclairement du point central de la gure d'interférence observée à l'inni (dans le plan focal d'unelentille). Grâce à un choix judicieux des origines, la diérence de marche en ce point est ∆ = 2.x.

On enregistre avec un photorécepteur un signal s(t) (une tension, par exemple) proportionnel à l'éclairement E(t).1) Principe du lambdamètreOn s'intéresse à une source lumineuse monochromatique de fréquence ν0

1.a) Exprimer s(t).1.b) Tracer s(t).1.c) En déduire une méthode de mesure de la longueur d'onde. Application : quelles sont la fréquence f et la

période T du signal s(t) observées à l'oscillo pour un laser hélium-néon de longueur d'onde λ = 632, 8nm ?2) Modèle du train d'ondeLa source émet une onde quasi monochromatique de fréquence ν0 que l'on peut comprendre comme la succession de

trains d'ondes de même fréquence, de même amplitude et de même durée d'émission τc, mais de phases aléatoirementdiérentes (cf. gure 15.1).

Fig. 15.1 Train d'onde

2.a) Soit ϕ = ϕ1−ϕ2, le déphasage entre les deux ondes qui interfèrent. Déterminer la valeur moyenne 〈cosϕ〉si ∆ = 0 (teinte plate), ∆ > lc = c.τc et ∆ ∈ [0; lc].

2.b) En déduire E(x).2.c) Tracer E(x). A quelles positions x1 et x2 les interférences sont elles brouillées ? On pose ∆x = |x1 − x2|.

3) Principe de la spectroscopie de FourierOn s'intéresse maintenant à une source lumineuse quelconque (polychromatique) dont on suppose connu le spectre

(I =+∞∫0

Iν (ν) dν, cf. gure 15.2).

3.a) Quel est l'intérêt du montage du Michelson en miroirs parallèles ?3.b) Exprimer l'eclairement E(x) en fonction de Iν .3.c) On détecte s′(x), l'enveloppe de E(x). Pourquoi ? Proposer un montage électronique pour ce faire.

Fig. 15.2 Spectre d'une source large

Page 169: Problèmes phy

4) Largeur d'une raie spectraleLa source émet une onde quasi monochromatique de fréquence moyenne νwu On suppose que Iν est rectangulaire

(cf. gure 15.2). On note ∆ν la largeur totale à mi-hauteur de Iν .4.a) Trouver E(x) en fonction de ν0 et ∆ν.4.b) Tracer s′(x). A quelles positions x1 et x2 les interférences sont elles brouillées ? On pose ∆x = |x1 − x2|.4.c) Applications :

Dans chacun des cas suivants, calculer ∆x et conclure quant à la faisabilité de la mesure de la largeur de la raie∆ν par ce dispositif.

Source Position de la raie Largeur à mi-hauteur ∆x

Laser Hélium-Néon λ = 632, 8nm ∆ν = 1τc≈ 10MHz

Raie rouge du cadmium λ = 643, 8nm ∆ν = 1τc≈ 1GHz

Raie verte d'une lampe Hg basse pression λ = 546, 1nm ∆λ ≈ 5.10−2nmFiltre interférentiel λ = 500nm ∆λ ≈ 5nm

Filtre coloré λ ∈ [500nm; 550nm]Lumière blanche λ ∈ [400nm; 750nm]

I) Séparation d'un doubletLa source émet deux ondes monochromatiques de même intensité, de fréquences νx et νys très proches : ∆ν =

|ν1 − ν2| << ν1+ν22 = ν0u

I.1) Déterminer E(x) en fonction de ν0 et ∆ν.I.2) Tracer E(x). Quelles sont les positions xn pour lesquelles les interférences sont brouillées ? L'interféromètre

a un bras de longueur lmax = 10cm. Quelle est le plus petit écart ∆νmin entre deux raies discernable par le dispositif ?Exemple du doublet jaune du sodium : λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm. Peut-on résoudre ce doublet avec ledispositif précédent ?

I.3) Combien compte-t-on de franges entre deux brouillages ? Il est possible de limiter l'erreur à deux franges.Application : Quel est le nombre de franges comptées pendant un battement sur un interférogramme du doublet jaunedu sodium? En déduire la précision expérimentale sur la mesure.

15.B.5 - Limitation du taux de transfert d'une bre optique 5/2

Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargissementtemporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations à grandedistance. En eet, les rayons lumineux d'inclinaisons diérentes n'ont pas le même chemin à parcourir dans la bre,donc leur temps de parcours est variable.

1) Calculer la diérence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une bre optique delongueur L = 10km, l'un sur l'axe de la bre et l'autre incliné de θ = 20par rapport à celui-ci.

2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle bre par unité de temps ?

15.B.6 - Cohérence temporelle d'une source 5/2

On s'intéresse à une source lumineuse qui envoie un rayonnement sinusoïdal pendant la durée ∆t, supposée par-faitement connue. On compte N périodes avec une incertitude sur ce décompte de ∆N ≈ 1.

1) Quelle est la fréquence ν et la longueur d'onde λ du signal en fonction de c, ∆t et N ?2) Exprimer les incertitudes ∆ν sur la fréquence et ∆λ sur la longueur d'onde en fonction de c, ∆t et N .3) Quelle est la longueur de cohérence lc des trains d'onde ?4) Trouver une relation liant l'incertitude ∆E sur l'énergie des photons envoyés par la source et la durée d'émission

∆t.5) Applications numériques : la longueur d'onde est λ = 500nm exprimer N , lc et ∆λ si

5.a) ∆t = 1ns ;5.b) ∆t = 1ps ;5.c) ∆t = 10fs.

15.B.7 - Longueur de cohérence 5/2

On s'intéresse à une source blanche avec un ltre interférentiel dans le vert.1) Calculer la longueur de cohérence temporelle de cette source de largeur ∆λ = 10nm autour de la longueur

d'onde λ = 546nm.

Page 170: Problèmes phy

15.B.8 - Trous d'Young sans diraction 5/2

Une source ponctuelle S0 (en (0, 0,−l0)) monochromatique (de longueur d'onde λ) éclaire un écran opaque (placéen z = −D, où D < l0) est percé de deux trous ponctuels S1 (en (a2 , 0,−D)) et S2 (en (−a2 , 0,−D)). On observe lesinteférences sur un écran en z = 0.

1) Calculs généraux :On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I0. On néglige donc le phénomène

de diraction.1.a) Exprimer l'éclairement E en fonction de ∆, la diérence de marche au point M et I0.1.b) Déterminer la diérence de marche ∆ pour le point M placé en (x, y, 0).

2) On suppose de plus que D |x| et D |y|.2.a) Grâce à un développement limité, simplier l'expression de ∆.2.b) En déduire la forme des franges.2.c) Quelle est l'interfrange i ?

15.B.9 - Création d'un réseau grâce à un interféromètre à division du front d'onde 5/2

1) Généralités :Un interféromètre à division du front d'onde est équivalent au dispositif des trous d'Young éloignés d'une distance a.

On néglige le phénomène de diraction. On observe les interférences créées par une source primaire monochromatique(un laser HeNe de longueur d'onde λ = 632, 8nm) sur un plan parallèle à celui des trous d'Young, placé à une distanceD = 1, 0m de ce dernier.

1.a) Quelle la forme des franges ?1.b) Quelle est l'interfrange i ?

2) Création d'un réseau :On photographie ces franges grâce à un appareil photo, de focale f ′ = 50mm, placé à une distance D du plan

d'observation.2.a) Calculer le grandissement γ.2.b) Que doit valoir a pour obtenir sur la pellicule un réseau de n = 130 traits par millimètres ?

15.B.10 - Miroir de Loyd 5/2

On s'intéresse à une source ponctuelle éclairée par une lampe monochromatique à vapeur de sodium (λ = 589nm)à une distance d d'un miroir.

1) On observe les interférences sur un écran placé à une distance D = 1, 0m d, orthogonalement au miroir entrele rayon issu directement de la source et celui rééchi sur le miroir.

1.a) Où se trouvent les franges ?1.b) Quelle est la forme de ces franges ?1.c) Y a-t-il un déphasage supplémentaire ϕsup introduit par ce dispositif ?

2) Interfrange :2.a) Quelle est l'interfrange i ?

On veut que l'interfrange soit, au moins i > imin = 1, 0mm.2.b) Déterminer alors dmax, la valeur maximale de d.

15.B.11 - Miroirs de Fresnel 5/2

On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel M1 et M2 faisant un angle θ entre eux. Ils sont éclairés par une sourceponctuelle S derrière laquelle est placée une lampe monochromatique à vapeur de sodium (λ = 589nm). S se trouveà une distance R = 15cm du point O, appartenant aux deux miroirs, OS faisant un angle α avec M1.

1) On observe les interférences sur un écran placé à une distance D = 1, 0m R, de O.1.a) Quelle est la forme de ces franges ?1.b) Y a-t-il un déphasage supplémentaire ϕsup introduit par ce dispositif ?

2) Rapport avec les trous d'Young :2.a) A quelles distances de O se trouvent les sources secondaires S1 et S2 ?

2.b) Que vaut l'angle(~OS1, ~OS2

)?

2.c) En déduire la distance a = S1S2.3) Interfrange :

3.a) Quelle est l'interfrange i ?On veut que l'interfrange soit, au moins i > imin = 1, 0mm.

Page 171: Problèmes phy

3.b) Déterminer alors θmax, la valeur maximale de θ en degrés, minutes et secondes d'arc.

15.B.12 - Mesure de l'indice d'un gaz 5/2

On éclaire un montage de fentes de Young S1 et S2 avec une lampe à vapeur de sodium de longueur d'ondeλ = 589nm placée derrière une fente d'éclairage S.

On intercale sur le trajet de la lumière après S2 une cuve transparente de longueur intérieure l = 10cm.On place un écran parallèlement à S1S2, à une distance grande devant S1S2.Initialement la cuve est pleine d'air.1) Que visualise-t-on dans le champ de recouvrement des faisceaux ?Grâce à une pompe, on fait le vide dans la cuve. En un point M de l'écran on voit lors de l'opération déler n1

franges.2) Exprimer n1 en fonction de l, λ et l'indice de l'air nair.On remplit maintenant la cuve par du gaz ammoniac NH3. Le déplacement total des franges (par rapport à l'état

où la cuve était remplie d'air) est de n2 = 17 franges.3) Déterminer la diérence ∆n des indices de l'air (nair) et de l'ammoniac (nNH3). Application numérique.

15.B.13 - Séparation d'un doublet par un réseau 5/2

Un réseau comporte n = 130traits/mm et est éclairé par un faisceau en incidence normale d'extension spatialeL = 5mm dans la direction perpendiculaire aux traits. On se placera aux petits angles.

1) Rappeler :1.a) l'angle θ sous lequel est envoyée la lumière à l'ordre p pour la longueur d'onde λ ;1.b) la largeur angulaire ∆θ de ce faisceau.

2) On s'intéresse au doublet du sodium : λ = 590nm, et ∆λ = 0, 6nm. Le critère de Rayleigh stipule que deuximages sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au diamètre de la tache de chacune des images.

2.a) Quel est le plus petit intervalle de longueur d'onde séparable ∆λmin dans l'ordre p autour de λ = 590nm ?2.b) Application numérique dans l'ordre 1. Sépare-t-on le doublet du sodium?2.c) Application numérique dans l'ordre 2. Sépare-t-on le doublet du sodium?

15.B.14 - Minimum de déviation pour un réseau 5/2

Si on éclaire un réseau de période spatiale a avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui faitun angle θi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directionsrepérées par les angles θp par rapport à la normale au plan du réseau.

1) Que verie θp (formule des réseaux) ?On dénit l'angle de déviation pour l'ordre p par D = θp − θi.2) Si la déviation est minimale (D = Dmin), qu'est-ce que cela impose sur θi et θp ?3) Exprimer sin

(Dmin

2

), en fonction de p, a et λ.

15.B.15 - Recouvrement des ordres 5/2

On éclaire un réseau par transmission qui possède n = 130traits/mm de façon normale, avec de la lumière blanche(λ ∈ [λmin = 400nm;λmax = 750nm]).

On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, dans le plan focal image d'une lentille convergente de focaled = 2, 5m, et repéré par un axe (Ox), l'axe (Oy) étant confondu avec l'ordre nul.

1) Calculer la position des bords des spectres :1.a) x1(λmin) et x1(λmax) pour l'ordre 1 ;1.b) x2(λmin) et x2(λmax) pour l'ordre 2 ;1.c) x3(λmin) et x3(λmax) pour l'ordre 3.

2) Quels sont les ordres qui se recouvrent ?

15.B.16 - Doublet du sodium résolu grâce à un réseau 5/2

On éclaire un réseau par transmission qui possède n = 130, 0traits/mm de façon normale, avec une lampe ausodium (de longueurs d'onde λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm).

On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, , dans le plan focal image d'une lentille convergente defocale d = 2, 500m, et repéré par un axe (Ox), l'axe (Oy) étant confondu avec l'ordre nul.

1) Calculer la position des raies dans l'ordre 1 pour :1.a) λ1 (x1)

Page 172: Problèmes phy

1.b) et λ2 (x2).La largeur de la fente d'éclairage est l, le grandissement du montage optique est γ = 1

10 (on négligera l'élargissementde l'image de la fente d'éclairage par diraction).

2) Exprimer une condition sur l pour que le doublet du sodium soit résolu.

15.B.17 - Apodisation 5/2

On s'intéresse à la gure de diraction de Fraunhofer d'une pupille de transmittance t (X).On repère les points sur l'écran à partir du centre du repère O(0, 0), image du point source éclairant la pupille

diractante, via les deux lentilles convergentes (on note f ′2 la distance focale de la deuxième lentille).1) Exprimer l'amplitude complexe A (x) de l'onde en M(x, y = 0).La pupille a une transmittance amortie exponentiellement de la forme :

X > 0⇒ t(X) = exp(−Xa

)X < 0⇒ t(X) = exp

(+Xa

)2) Calculer l'intensité I(x) de l'onde en M(x, y = 0).3) En comparant au résultat trouvé avec une fente, justier l'apellation "apodisation" (qui veut dire "couper les

pieds").

15.3 Planches d'oral

15.C.1 - Détermination de l'indice optique de l'air grâce au michelson ***

(Mines-Pont 2007)On s'intéresse à un interféromètre de Michelson réglé en coin d'air, éclairé par une lampe à vapeur de sodium, de

longueur d'onde λ = 589nm.1) Expliciter :

1.a) le montage ;1.b) l'éclairage ;1.c) les réglages.

Sur chacun des bras, on place une cuve remplie d'air. Les deux cuves ont même longueur L = 2, 9cm. On faitprogressivement le vide dans l'une des cuves. On voit déler 30± 1 franges.

2) Déterminer n− 1 où n est l'indice de l'air.

15.C.2 - Principe d'un ltre interférentiel ***

(CCP 2007)On utilise en réexion une lame d'épaisseur e et d'indice n = 1, 33. De la lumière blanche tombe sous une incidence

i = 30 par rapport à la normale.1) Tracer la marche d'un rayon lumineux.2) Calculer la diérence de marche entre deux rayons passant par un point M .3) Déterminer l'eclairement en M .4) On souhaite rééchir λ1 = 600nm mais pas λ2 = 450nm. En déduire l'épaisseur minimale de la lame.

15.C.3 - Radiotélescope à proximité d'un lac ***

(Mines-Pont 2007)Un radio-télescope à proximité d'un lac (à une altitude h au dessus de la surface libre de l'eau), observe en la

suivant une étoile se lever à l'horizon. Lorsque celle-ci apparaît, l'intensité est minimale.1) Pour quel angle α l'intensité est-elle maximale pour la première fois ?2) A.N. : h = 20m, α = 10′. Calculer λ.

15.C.4 - Interféromètre à cône de verre ***

(CCP 2007)1) Qu'observe-t-on avec le dispositif dessiné sur la gure 15.3 ?

Page 173: Problèmes phy

Fig. 15.3 Interféromètre à cône de verre

15.C.5 - Trous d'Young ***

(CCP 2007)On s'intéresse au dispositif des trous d'Young. On connait l'interfrange i = 1mm, la longueur d'onde de l'onde

eclairant les trous d'Young λ = 650nm, la distance trous d'Young - écran D = 2m.1) Redémontrer ce que vaut l'interfrange i en fonction de λ ; D et a.2) Calculer la distance a entre les trous.

15.C.6 - Limitation de la détection d'une étoile par la diraction ***

(d'après Centrale 2007)

Fig. 15.4 Dispositif pour observer les étoiles

1) Grâce au dispositif de la gure 15.4 (de focale f ′ = 100cm), on observe une source à l'inni (une étoile vuesous l'angle ε = 31′).

1.a) Donner la position de l'image AB.1.b) A.N. : que vaut AB ?

2) On tient compte de la taille nie du miroir : on modélise la diraction par une pupille carrée de côté 2a.2.a) Où la placer ?

On pointe Sy vers une étoile E à l'inni, on observe une tache comme image.2.b) Où est le plan de l'image ?2.c) Donner l'intensité I(x, z). Commenter : dépendance en a, f , λ,...

On observe une étoile sous l'angle ε.2.d) Comment évolue l'intensité I(x, z) par rapport au cas ε = 0 ?

On observe deux étoiles séparées angulairement de α.2.e) Quelle est l'ouverture angulaire minimale pour les distinguer ?

15.4 Travaux dirigés

15.D.1 - Diraction d'ensembles de pupilles simples TD

On éclaire un plan par une onde plane monochromatique, de longueur d'onde λ, qui fait un angle αi avec l'axeoptique Oz dans le plan (xOz) (et un angle βi avec l'axe optique Oz dans le plan (yOz)). On observe l'onde diractée

Page 174: Problèmes phy

à l'inni dans les directions respectives α et β avec l'axe optique Oz respectivement dans le plan (xOz) et dans le plan(yOz).

Ce plan diractant est constitué de N pupilles identiques. Chaque pupille, numérotée m, centrée sur (xm, ym), aune transparence t0 identique et la transmission du plan diractant est t (x, y) =

∑mt0 (x− xm, y − ym).

1. Quelle est la gure de diraction d'une pupille constituée de petits grains sphériques de même dimension ?

2. Tracer l'intensité diractée par une fente parallèle à (Ox) d'épaisseur e suivant (Oy).

3. Donner l'intensité diractée par deux fentes d'Young (deux fentes parallèles à (Ox) d'épaisseur e et distantes dea suivant (Oy)). Tracer I(α).

4. On considère un réseau plan de N fentes, de largeur e. Tracer l'intensité diractée pour plusieurs valeurs de N .

Vérier que le résultat est conforme à la loi des réseaux.

Méthode:

• Forme générale de l'onde diractée

• Montrer que l'amplitude de l'onde diractée par la pupille m, à l'inni dans la direction (α,β), est de la forme :

sm (α, β, t) = K.s0.FD (α, β) .ei(ω.t+ϕm(α,β))

où FD (α, β) est la fonction de diraction d'une seule pupille que l'on exprimera.

• Montrer que l'amplitude de l'onde diractée par le plan diractant entier, à l'inni dans la direction (α,β), estde la forme :

s (α, β, t) = K.s0.FD (α, β) .FI (α, β) ei(ω.t+ϕ0(α,β))

où FI (α, β) est un terme d'interférence que l'on exprimera.

• Diraction par une répartition aléatoire

• Montrer que, dans le cas d'une répartition aléatoire, le terme d'interférence est |FI (α, β)|2 = N partout endehors de la direction de l'onde incidente.

• Que vaut FI (α, β) dans la direction de l'onde incidente ?

• Diraction par un réseau plan

• Montrer que, dans le cas d'un réseau plan de N fentes de période spatiale a, le terme d'interférence est :

|FI |2 =

sin(Nψ2

)sin(ψ2

)2

où ψ = 2πaλ (sinα− sinαi).

• Prendre en compte le terme de diraction et tracer l'intensité en fonction de α.

15.5 Exercices maple

15.E.1 - Eet du contraste sur la visualisation des interférences maple

On s'intéresse à deux sources synchrones de longueur d'onde λ qui interfèrent avec un contraste C grâce à uninterféromètre à division du front d'onde équivalent à deux fentes d'Young écartées de a, l'observation se faisant surun écran à la distance d. On néglige le phénomène de diraction.

1) Tracer le graphe de l'intensité en fonction de la position x sur l'écran pour divers contraste.2) Donner une visualisation du plan d'observation.3) Donner l'apparence du plan d'observation, si le contraste varie selon y.

Page 175: Problèmes phy

15.E.2 - Michelson utilisé en miroirs parallèles maple

On s'intéresse à un michelson utilisé en miroirs parallèles (l'écart entre les miroirs est noté x), éclairé par unesource monochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. On observe les interférences dans le plan focal d'unelentille convergente de focale f = 1m. On repère le plan d'observation par le rayon r compté à partir du foyer.

1) Tracer le graphe de l'intensité en fonction de r pour plusieurs écarts x entre les miroirs.2) Donner une animation de l'intensité en fonction de r qui simule le chariotage lorsque l'on s'écarte du contact

optique.

15.E.3 - Diraction par un réseau de fentes maple

On éclaire un réseau de nf fentes de hauteur hf (suivant la direction Oy), de largeur lf (suivant la direction Ox),espacées de a suivant la direction Ox, par une onde plane monochromatique qui arrive normalement sur le réseau(suivant la direction Oz), par exemple grâce à un laser He-Ne (λ = 632, 8.10−9m).

NB : pour que ça ait un sens physique, a > lf !On observe dans le plan focal d'une lentille (de focale f), la position sur ce plan d'observation étant repérée par

(x, y), comptés à partir du foyer, trace de l'axe (Oz) sur le plan.On rappelle que l'intensité en fonction de la position sur le plan d'observation est du type :

I (x, y) = dify (y) .dify (x) .interx (x)

(en fait, à un facteur près) où les diérentes fonctions sont :

dify (y) = sin c2(π.hf.y

λ.f

)et

difx (x) = sin c2(π.lf.x

λ.f

)(diraction par une ouverture rectangulaire seule), et

interx (x) =sin2

(nf π.a.xλ.f

)sin2

(π.a.xλ.f

)(interférence entre les nf fentes).

1) Ecriture du programme :Ecrire un programme où les données du problème sont clairement dénies, ainsi que les précédentes fonctions et

qui permet de visualiser les graphes de :

• dify(y),• difx(x),• interx(x),• interx(x).difx(x),• I(x, y) (graphique en 3 dimensions).

Et enn donner l'allure du plan d'observation (les taches lumineuses, comme si on avait fait l'expérience).2) Diraction par une fente :Utiliser le programme avec nf = 1.Quelle est la fonction d'interférence ?Choisir diverses valeurs de hf et lf : qu'est-ce que ça change ? Vérier en particulier qu'une fente longue suivant

Oy donne une gure de diraction principalement suivant (Ox).3) Deux fentes d'Young observées dans le plan focal d'une lentille :Utiliser le programme avec nf = 2.Quelle est la fonction d'interférence ? Choisir diverses valeurs de a : qu'est-ce que ça change ?Choisir diverses valeurs de lf : qu'est-ce que ça change sur le graphique de interx(x).difx(x) ? Vérier en particulier

que si les fentes d'Young sont trop larges, on n'observe plus les interférences : c'est grâce à la diraction que la zoned'interférence existe.

4) Réseau :

Page 176: Problèmes phy

Augmenter progressivement le nombre de fentes (nf = 3 jusqu'à 10) : qu'est-ce que ça change à la fonctiond'interférence ? Vérier en particulier que la formule des réseaux est de mieux en mieux réalisée : il n'y a de l'intensitéque dans les directions

xpf

= sin θp = sin θi + p.λ

a= p.

λ

a

15.E.4 - Illustration du critère de Rayleigh maple

On s'intéresse à deux étoiles E1 et E2 qui émettent une lumière monochromatique de longueur d'onde λ visualiséesdans le plan focal image d'une lentille convergente de focale f ′, la première vue suivant l'angle α1, la seconde suivantl'angle α2. On supposera que la limitation de la lentille suivant la direction E1E2 est due à une fente de largeur a quiinduit une tache de diraction

I (x) ∝ sinc2(

π

λ.f ′a.x

)1) Créer une animation avec α1 − α2 augmentant au cours du temps qui représente :

• la tache de diraction de l'étoile E1 ;

• la tache de diraction de l'étoile E2 ;

• l'intensité résultant des deux étoiles E1 et E2.

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Table des matières

191 exercices d'application191 exercices d'entraînement30 exercices de colle29 td21 exercices mapleen tout 462 exercices

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