Problème De Sac à Dos

Projet R-O Complexité:Problème De Sac à Dos

2

Plan

• Mise En contexte• Problématique• Enoncé mathématique• Solutions Proposées• Conclusion

3

Plan


4

Mise en contexte

Mise en contexte

Problématique Enoncé

MathématiqueSolutions Proposées Conclusion

• Article Reducibility Among Combinatorial Problems de Richard Karp en 1972 .

• Les 21 problèmes NP-complets de Karp ont marqué une étape importante de l'histoire de la théorie de la complexité des algorithmes.

5

Plan


6

Problématique 1|2

Histoire du problème

Mise en

contexte Domaines concernés

Enoncé mathématique Variantes Conclusion et

perspective

Sac du cambrioleur

Capacité est limitée

Chaque objet possède un poids et une

valeur

Le voleur doit optimiser la valeur Totale

des objets

Mise en contexte

Problématique

Enoncé Mathématique

Solutions Proposées Conclusion

Question qui se pose?

Quels sont les objets que l’on doit prendre pour maximiser le coût transporté tout en respectant la contrainte de poids du sac?

Mise en contexte

Problématique

Enoncé Mathématique

Solutions Proposées Conclusion

8

Plan


Formulation mathématique

• Toute formulation commence par un énoncé des données:

Problème: choisir un sous ensemble d’objet d’utilité maximale à placer dans un sac tel la capacité du sac soit respectée.

Données:

• W : capacité maximale du sac

• I : ensemble de n objets

• Pi: pour chaque objet i € I , pi représente son utilité

• wi : chaque objet i a un poids w

Mise en contexte Problématique

Enoncé Mathématiqu

eSolutions Proposées Conclusion

Pour quatre objets (n = 4) et un sac à dos d'un poids maximal de 30 kg (W = 30), nous avons par exemple les données suivantes:

• Ensuite, il nous faut définir les variables qui représentent en quelque sorte les actions ou les décisions qui amèneront à trouver une solution:

• xi: une variable associée à un objet i de la façon suivante :

xi = 1 si l’objet i est mis dans le sac

xi = 0 si l’objet i n’est pas mis dans le sac

Objets 1 2 3 4

pi 7 4 3 3

wi 13 12 8 10




• Une solution possible au problème ?

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1, et x4 = 1• La contrainte est elle respectée?

x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 + x4.w4 ≤ W

il suffit de calculer cette somme : 0 × 13 + 1 × 12 + 1 × 8 + 1 ×10 = 30, ce qui est bien inférieur ou égal à 30.

Nous parlons alors de solution réalisable. Mais ce n’est pas nécessairement la meilleure solution.




la fonction qui traduit notre objectif : maximiser la valeur totale des objets dans le sac.

• Pour n objets, cela s’écrit:




13

Plan


• Il existe deux grandes catégories de méthodes de résolution de problèmes d’optimisation combinatoire :

les méthodes exactes: permettent d’obtenir la solution optimale à chaque fois, mais le temps de calcul peut être long si le problème est compliqué à résoudre

les méthodes approchées: - encore appelées heuristiques, permettent d’obtenir rapidement une solution approchée, donc pas nécessairement optimale. - a pour but de trouver une solution avec un bon compromis entre la qualité de la solution et le temps de calcul

Méthode d Résolution

Mise en contexte Problématique Enoncé


Le Best Fit Decreasing (BFD) (meilleur remplissage par ordre décroissant):• Triant tous les objets par ordre décroissant de poids • Sélectionnant les objets un à un dans l’ordre du tri et en ajoutant l’objet sélectionné dans le sac le plus lourd tel que la contrainte de poids maximal reste respectée. Déroulons cet algorithme sur notre exemple :

Best Fit Decreasing Algorithme






Première étape:

Objets

2 3 1 4 5 6 7

Pi 4 4 3 3 3 2 1

Objets

2 3 1 4 5 6 7

Pi 4 4 3 3 3 2 1Xi 1 1 2 2 2 1 2

Deuxième étape:




Objets

2 3 1 4 5 6

Pi 4 4 3 3 3 3Xi 1 1 2 2 2 3

Cette solution est optimale, mais cet algorithme est imparfait comme le montre le cas suivant :

=>La qualité de cet algorithme est de rester rapide même si le nombre d’objets augmente considérablement tout en approchant de moins d’un facteur 2 la solution optimale




• First Fit - FF : on place au fur et à mesure les objets dans le premier sac possible .• Worst Fit - WF : on place au fur et à mesure les objets dans le sac le plus léger possible .

• Best Fit – BF : on place, au fur et à mesure, les objets dans le sac le plus lourd possible .

• First Fit Decreasing et Worst Fit Decreasing – FFD et WFD : on trie les objets dans l’ordre des poids décroissant puis on applique FF / WF.

La méthode de Branch and Bound

1. Recherche de solution initiale:

On va utiliser une approche glouton. En commençant par le premier objet, on met

des objets dans le sac à dos tant que la capacité le permet.

2. Principe d’évaluation:

Le principe d’évaluation a pour objectif de connaître la qualité des nœuds à traiter

La méthode de Branch and Bound utilise deux types de bornes:

- une borne inférieure de la fonction d’utilité du problème initial,

- une borne supérieure de la fonction d’utilité.

- si pour un sous-problème la borne supérieure est plus petite que la borne

inférieure du problème, l’exploration du sous-ensemble correspondant est inutile

3. Le principe de séparation :

- Le principe de séparation consiste à diviser le problème en un certain nombre de

sous problèmes qui ont chacun leur ensemble de solutions réalisables. En

résolvant tous les sous problèmes et en prenant la meilleure solution trouvée, on

est assuré d'avoir résolu le problème initial. Ce principe de séparation est

appliqué de manière récursive à chacun des sous ensembles tant que celui-ci

contient plusieurs solutions

. Condition d’arret:

La procédure de séparation d’un ensemble s’arrête lorsqu’une des conditions suivantes

est vérifiée :

- on connaît la meilleure solution de l’ensemble ;

- on connaît une solution meilleure que toutes celles de l’ensemble ;

- on sait que l’ensemble ne contient aucune solution admissible

4. Stratégie de parcours :

- La stratégie de parcours est la règle qui permet de choisir le prochain sommet à

séparer parmi l’ensemble des sommets de l’arborescence

23

Plan


Le Problème de sac à dos est un problème qui est toujours d’actualité. En effet, dans la recherche en informatique, le problème du sac à dos et ses dérivés sont encore beaucoup étudiés. Il en existe de nombreuses variantes : sac à dos multi-dimensions (plusieurs poids par objet), plusieurs fonctions objectif, etc. De nombreux algorithmes exacts et approchés sont proposés pour ce type de problèmes. Les chercheurs ne sont pas près de partir en vacances…

Conclusion



25

Merci Pour votre attention

Problème De Sac à Dos

Education

Transcript of Problème De Sac à Dos