C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 941-944, 1998

Equations aux dbrivbes partielleslfartial Differential Equations

ProbGme de Cauchy global pour des hquations de Kirchhoff

Daniel GOURDIN a, Mustapha MECHAB h

a UFR 920, UMR 9994, universiti: de Paris 6, 4, place Jussieu. 75252 Paris, France

h Universitb Djilali-LiabZs. B.P. 89, 22000, Sidi Bel-AbbBs, AlgCrie

(Reyu le 8 novembre 1997, accept6 aprh rhvision le 30 mars 1998)

R&urn& On considkre le problkme de Cauchy global pour des equations de Kirchhoff gCnCralisCes. Avec des conditions sur la partie non lineaire ou sur la taille des donnkes initiales. on Ctablit l’existence d’une solution deux fois differentiable par rapport au temps et uniformkment analytique par rapport aux variables d’espace. Dans le cas oti la partie non lirkaire est independante des variables spatiales, on donne des estimations asymptotiques du temps de vie de la solution et on montre la stabilitt? du systkme. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris

Global Cauchy problem for kirchhoff equations

Abstract. We consider the global Cauchy problem for generalized Kirchhoff equations. Under conditions upon the nonlinear part or upon the size of data, we show existence of a solution which is twice differentiable with respect to time and uniformly analytic with respect to spatial variables. When the nonlinear part does not depend of spatial variables, we give asymptotic estimates for lifespan of the solution and we prove the stability of the problem. 0 Academic des SciencesElsevier, Paris

1. DCfinitions-r&ultats

Soit n E N*, les points gknkriques de R et de R” sont not&s respectivement t et x = (21,. . . : z:,) ; O,u, A,u dtsignent le gradient et le Laplacien de u relativement g 2; D,‘v est la primitive de u relativement 2 t, s’annulant avec t, 10~1 est la norme euclidienne de Vu.

Soient R et P deux voisinages ouverts de l’origine de R’” tels que P soit relativement compact dans Q. A(Q) est l’espace des fonctions cp E C-(n) telles que

La borne inftkieure de ces constantes C: est notke [cp]. Si T > 0 et IT =] -T, T[, pour k E N, on dira qu’une fonction U, dkfinie dans 0~ = 1~ x Q i valeurs dans R, est de classe C”(IT: A(R)) lorsque :

Note prksentde par Paul MALLIAVIN.

0764-4442/98/03260941 0 Acadtmie des Sciences/Elsevier, Paris 941

D. Courdin, M. Mechab

(9 V;j E (0:. . . > k}, V6 E N”, D;D$ E C(IT x n),

(ii) 3c > 0, vj E (0,. . . . k},V’s E N”: SUP (tJ)ERT

ID:D$(~: z)l 5 ci61+1(6!).

En particulier, pour k = 0, on dit que ‘U E C(I,; A(0)) si :

{

V6 E N”, D:u E C(IT x 0) et

3c > 0, v’6 E iv, (t sy xc2 ID;u(t: z)j <@+‘S!. . T.

On notera aussi [u] la borne infk-ieure de ces constantes C. On dira qu’une fonction f E C(IT, ; C(IT, : A(n)) si :

V’s E N”, D:f E C(IT~ x R x IT>) et

3c > 0, v’s E N”,

(2)

(3)

et la borne infkrieure de ces constantes est notCe C, = [f].

Lorsque f et f: = g sont de classe C(I, ; C(I, : A(R))), on dira que

f E C(Iz-, ; C1(I,;A(f4)). Pour TI = +x8, on notera

C(I,,C(I, ; A(R))) = @,C(IT~ : A(W)),

qIT,!qb2; A@))) = @,C1(I, ; A(W). Partie 1. - On considkre le problitme de Cauchy :

i

D&(t: X) = f t,x! ( 1

IV,u(t, x)l’dx &u(t, x),

~(0, x) = 4(x), Dtu&) = T/J(X). > (4)

TH~OR~ME. - Pour tout T > 0. $, $ E A(R). ‘I i existe EO > 0 tel que pour toute fonction f(t.x,s) E C(IT; C1(R+ ; A(R))) vkrifiant [f] < ~0, il existe ‘U E C2(IT;A(0)) solution du probkme (4).

D’autre part, pour un paramktre E > 0 petit, si on examine une variante prCcisCe du problkme (4) du type :

i

D:u(t, z) = of t>z, ( s

IV,u(t,x)12dz

~(0, x) = 4(x), Dtu(O,;) = T/J(X), )

&u(t,z), V(t,x) E a~, (4>E

vx E n>

on obtient le theorkme suivant :

THBORZME 2. - Soient 4, $ E A(a) et f E B(R,C1 (R+ ; A(R))), alors pour tout E > 0 il e.xiste

T, > 0 et une fonction u, E C2(ITz ; A(R)) solution du probkme (4), avec T, 2 pp (‘;l,” .

Partie 2. - Dans cette partie on &udie le probkme (4) quand la non-linkark f ne dCpend pas de 2.

THGORBME 3. - Soit f E C(IT;C~(W+; W)), a ors 1 il existe EO > 0 tel que pour toutes fonctions 4 et $ duns A(0) ve’ri$ant [$I et [$,I < ~0, le probEme (4) admette une solution u E C2(I~; A(Q)).

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Probkme de Cauchy global pour des equations de Kirchhoff

STABILITJ?. - 11 est clair que le probleme de Cauchy (4) a donnees initiales nulles admet la fonction u = 0 comme solution. Pour Q et $ deux fonctions dans d(0) telles que c5( 0) = $(O) = 0 on considere le probleme de Cauchy suivant :

A,w(t! x) dans Qr,

dans fl, (5)

1 est suppose auto-absorbant ou CtoilC pour que $(Ex) et $(&XT) soient definies).

THI~OR~ME 4 (1) Pour tout T > 0 et f E C(IT,C~(W+;R)), ‘1 1 existe Eg > 0 tel que pour tout e < CO le

problbme (5) posskde une solution uE E C2 (IT; d(R)). (2) Si f E Z?(~;C1(R+, W)), pour tout E > 0, il existe U, E C2(ITE: d(a)) solution de (5), avec

TE > fi(E)2/“’

(3) Si It est un ouvert honk, le systhne (5) est stable dans le sens suivant : pour T > 0, lim u, =

E+O 0 duns la classe C2 (IT; d(a)).

2. DCmonstrations

Les techniques qu’on utilise sont basees sur les normes de Leray-Waelbroeck [2]. Pour T > 0 et < E (W;)“, on delinit les algebres de Banach GT.c (n,) en prenant dans la definition des algebres

G$2,E(flT), de [l] et [4], les fonctions majorantes

avec

cP,,,(t; x) = c qfD”p,(t) -. kEN

VT(t) = $0 ; = 1 c 0

fx (+)j

K jzo (i + 1j2’

oti K est une constante positive telle que la fonction de Lax, 0, verifie o2 < KB. En posant u(~,z) = u(t,x) - t$(x) - 4(x), le probleme de Cauchy (4) devient :

]V,v(t. .t.) + t+(x) + &z)12dx [A,(v + t$ + 4)],

et en posant D~u = w, sachant que D;’ w(O,z) = D;27u(0,x) = 0, alors le probleme (4) est equivalent a la resolution de l’equation

IV.~D,2w(t,x) + t+(x) + io(x)i’dx) [A,(D,‘w + tq’) + 4)].

En definissant l’application L telle que

lV,D,‘w(t,x) + t$(x) + Q(r)12dz [AJD,2w + t$ + d)],

le probleme (4) est reduit a la recherche des points fixes de l’application C.

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D. Gourdin, M. Mechab

Comme les fonctions 4 et $ sont dans d(R) et f E C (IT, C1 (W ; d(R))), on peut choisir < E (W;)” tel que dans l’algebre GT,c(&), l’application L soit strictement contractante dans une certaine boule fermee cent&e en l’origine ; puisque GT,c (Qr ) c C (IT : d(Q)), un point fixe ‘u de L dans GT,< (Q,) donne la solution D;‘v de (4) dans C* (IT ; d(R)). De meme, les calculs developpes dans [l] et correctement adapt& permettent de dtmontrer les autres theoremes.

RCftkences bibliographiques

[1] Gourdin D., Mechab M.. Probleme de Goursat non lintaire dans les classes de Gevrey, pour des equations de Kirchhoff generalisees, J. Math. Pures Appl. 75 (1996) 569-593.

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[3] Lions J.-L., On some questions in boundary value problem of mathematical physics, In: Contemporary Developments in Cont. Mech. and Partial Differ. Eq., North-Holland, Math. Studies, Medeiros L.A., de la Penha G.M. (Eds.). 1978, pp. 284-346.

[4] Wagschal C., Le probleme de Goursat non lineaire, J. Math. Pure Appl. 58 (1979) 309-337.

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