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PROBABILITES

Lunivers est lensemble des rsultats possibles dune exprience alatoire. Un vnement A est une partie de

Langage ensembliste Langage probabiliste Notation

Univers des possibles { }1 2 3; ; ;... n =

{ } [ ]1;i i n Evnement lmentaire { } [ ]1;i i n

A est une partie de A est un vnement A

A est vide Lvnement A est impossible A = A est gal Lvnement A est certain A =

C A B= C est lvenement A ou B C A B=

C A B= C est lvenement A et B C A B=

A et B sont disjoints Les vnements A et B sont incompatibles A B =

A et B sont complmentaires Les vnements A et B sont contraires B A=

Une probabilit p dfinie sur vrifie :

- Pour tout vnement A, ( )0 1p A . On a ( ) 0p = et ( ) 1p =

- La somme des probabilits des vnements lmentaires vaut 1

- La probabilit dun vnement est gale la somme des probabilits des vnements lmentaires qui le composent

En cas dquiprobabilit,( )

( )( )

Card Ap A

Card=

. Pour deux vnements A et B, ( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B = + .

Sils sont incompatibles ( ) ( ) ( )p A B p A p B = + . Pour tout vnement A, ( ) ( )1 p A p A=

Si A et B sont deux vnement, tels que ( ) 0p A , on dfinit la

probabilit conditionnelle de lvnement B sachant A par

( )( )

( )A

p A Bp B

p A

= . En version multiplicative on a

( ) ( ) ( )Ap A B p A p B =

Les probabilits situs sur les sous-branches dun arbre sont des

probabilits conditionnelles

Les vnements A et B sont indpendants lorsque la ralisation de lun ninflue pas sur la ralisation de lautre.

Autrement dit, ( ) ( )A p B p B= ou ( ) ( )B p A p A= , ce qui se traduit en pratique par ( ) ( ) ( )p A B p A p B =

Variable alatoire :Soit lunivers associ une exprience alatoire. On appelle variable alatoire toute application X de dans .

( )X est alors limage de . La loi de probabilit de la variable alatoire X est la fonction

[ ]: ( ) 0,1

( ) ( )

L X

k L k P X k

= =. Elle est souvent prsente dans un tableau :

valeurs possibles1

x 2x nx

probabilit 1p 2p np

Lesprance de cette loi est le nombre not E(X) gal : ( ) 1 1 2 2 .... n nE X p x p x p x= + +

La variance de cette loi est le nombre not V(X) dfini par : V(X)=E[X-E(X)] , autrement dit :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) .... ( )

n nV X p x E X p x E X p x E X = + +

Proprit (formule de Koenig) ( ) ( )2

22 2 2

1 1 2 2

esprance de la variable alatoire X carr de l'esprancede la variable alatoire X

.... n nV X p x p x p x E X = + +

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Lcart-type de cette loi, not , est la racine carre de la variance : ( ) ( ) X V X =

On a toujours ( ) 0V X ; donc on peut toujours calculer ( ) ( ) X V X = . De plus on a toujours ( ) 0X .

Loi binomialeUne preuve de Bernoulli est une exprience alatoire deux issues possibles : Succs et Echec . Si on note p la

probabilit dun succs, alors la probabilit dun chec est gale 1q p= .

Si on considre une une preuve de Bernoulli, de succs de probabilit p, et dchec de probabilit q=1-p , rpte n fois

de manire indpendante, et si on note X la variable alatoire dsignant le nombre de succs obtenus au cours de ces n

rptitions, on dit que la variable alatoire Xsuit la loi binomiale de paramtre n et p , note B(n,p)

Alors pour tout entier k, tel que 0 k n , ( ) (1 )k n k

nP X k p p

p

= =

.

Si Xsuit la loi binomiale B(n,p) alors ( ) E X np= , ( ) (1 )V X np p= et ( ) (1 ) X np p = .

Loi de Poisson ( )L

Une variable alatoire Xsuit la loi de poisson ( )L si et seulement si sa loi de probabilit est dfinie par :

Pour tout entier naturel k, ( )!

k

P X k ek

= = .

Si Xsuit la loi de Poisson L() alors ( )E X = , ( )V X = et ( )X = .

Si n est grand , si p est proche de 0 et si np nest pas trop grand alors on peut approcher la loi binomiale

( ); B n p par la loi de Poisson ( ) L np

Lois continues

Soit fune fonction continue, positive sur un intervalle [ ]; I a b= (respectivement [ [;a + ).On dfinit sur Iune loi de probabilit P dont fest appele densit si :

- ( ) 1

b

a

f t dt = ( respectivement lim ( ) 1x

xa

f t dt +

= )

- Si c et d dsignent les bornes d'un intervalle J, (de la forme [ ] [ [ ] ] ] [; , ; , ; , ;c d c d c d c d ), avec c et d lments de I,

( ) ( )

d

c

p J f t dt = . De plus pour tout intervalle [ [;J c= + , o c appartient I, on a ( ) 1 ( )c

a

p J f t dt =

Loi de dure de vie sans vieillissement :

La loi exponentielle de paramtre (rel strictement positif) a pour densit la fonction f

dfinie sur l'intervalle

[ [0;I = + par ( ) t f t e

= .

Ainsi, pour tout rel 0x , ( )0

x

t p X x e dt

=

Loi uniforme sur [0;1]La loi uniforme P sur [0;1] modlise le choix d'un nombre rel au hasard dans l'intervalle [0;1].

Pour tous rels c et d de [0;1], tels que c d , si I dsigne l'un des quatre intervalles [ ] [ [ ] ] ] [; , ; , ; , ;c d c d c d c d ,

on a ( )p I d c=