PROBABILITÉS GÉNÉRALITÉS - CONDITIONNEMENT - INDÉPENDANCE

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    PROBABILITS : GNRALITS - CONDITIONNEMENT - INDPENDANCE

    1. Exprience alatoire, vnements, loi de probabilit (Rappels de premire et complments)

    1.1. Choix d'un modle

    Lors de la ralisation d'une exprience alatoire, on est amen choisir successivement :

    a. Un univers WIl reprsente l'ensemble toutes les issues envisages de l'exprience. Il est donc fonction de l'ide de

    modlisation a priori que l'on se fait de l'exprience. Si lors du lancer d'une pice de monnaie on considre

    usuellement qu'il y a deux issues "PILE" et "FACE", rien n'empche d'en rajouter une troisime, par exemple

    "TRANCHE". C'est chacun (ou chaque nonc) de le dfinir. dfaut, on considre tacitement, qu'il s'agit

    de l'univers usuellement utilis dans telle ou telle situation.

    Exemples :

    On lance un d et on regarde le numro de la face obtenue :

    W= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} On lance un d et on regarde si le numro de la face obtenue est pair ou impair :

    W= {P ;I}

    On lance une pice de monnaie : W= {P ; F}

    On lance deux pices de monnaie : W= {PP ; PF; FP ; FF}

    On lance deux ds : W= {(i,j) o 1 i 6 et 1 j 6}

    Remarquons que l'univers dpend de l'observation qui est faite : par exemple, si on lance deux ds et qu'on fait

    le produit P ou la somme S des deux numros obtenus, on obtient respectivement :

    WP= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20 ; 24 ; 25 ; 30 ; 36}

    WS= {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}

    Notons aussi qu'il existe des expriences alatoires qui comportent une infinit d'issues :

    On choisit un entier naturel au hasard : W= (Ce type d'ensemble infini est dit "dnombrable")

    On choisit un rel au hasard entre 0 et 1 : W= [0, 1] (Ce type d'ensemble infini n'est pas dnombrable)

    On choisit un rationnel au hasard entre 0 et 1: W= [0, 1]

    On choisit un nombre premier au hasard : W= {nombres premiers}

    On verra aussi (au point c.) que, dans certaines situations, l'expression "choisir au hasard" peut dboucher sur

    des univers diffrents suivant le protocole de choix utilis.

    b. Une famille de parties de W appeles "vnements"Il s'agit des issues discernables ou mesurables par l'observateur. Lorsque l'univers W est fini ou dnombrable

    (c'est--dire en bijection avec une partie de ), chaque partie de l'univers peut tre considre comme un

    vnement.(1)

    (1) Cependant, si W a la puissance du continu (par exemple W= [0, 1]), on ne peut plus considrer chaque partie de W comme un vnement (car

    certaines parties de W se rvlent si complexes qu'on est incapable de dire si elles sont ralises ou non). On fait donc le choix d'une partiestricte de (W) (appele tribu) vrifiant un minimum structurel afin de pouvoir calculer de manire commode des probabilits : et W (contient la "partie vide" et la "partie pleine") A W \A (est stable par passage au complmentaire)

    (An)n famille d'lments de AnnU

    (est stable par union au plus dnombrable)

    L'issue "obtenir la face portant le numro 1" est

    note abusivement 1. Idem pour les autres.

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    Exemples :

    On lance deux ds et on regarde la somme des rsultats obtenus. (Voir l'univers WS ci-dessus).

    La partieE= {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12} est un vnement qui peut se dcrire par la phrase "la somme obtenue

    est un nombre pair".

    On choisit 6 numros au hasard entre 1 et 49. Les vnements sont toutes les combinaisons de 6 numros

    choisis parmi 49. (On montrera qu'il y en a 49 48 47 46 45 446 5 4 3 2

    , voir la leon sur le

    dnombrement...)

    Rappelons que les lments de W sont appels des vnements lmentaires. Un vnement lmentaire est

    donc une partie de W rduite un seul lment (singleton).

    c. Une loi de probabilit (c'est--dire une applicationP valeurs dans [0, 1])

    On demande cette application P de vrifier les deux conditions :

    P(W) = 1 Si (An)n est une famille d'vnements deux deux disjoints, alors :

    P nn

    A

    C = ( )n

    n

    P A

    (Proprit de s-additivit(1) )

    En particulier, siA etB sont deux vnements incompatibles (i.e. disjoints), alors :

    P(AB) =P(A) +P(B)En consquence, on a : 1 =P(W) =P(W) =P(W) +P()

    Donc : P() = 0

    Une telle application P s'appelle probabilit ou loi de probabilit.

    Grce la proprit d'additivit, on en dduit la proprit suivante indispensable pour calculer des probabilits

    de manire conforme notre intuition :

    la probabilitP(E) d'un vnementE est la somme des

    probabilits des vnements lmentaires qui le composent.

    Remarque : le triplet (W, (W), P) (ou (W,, P) si W n'est pas dnombrable) s'appelle un espace probabilis.

    Modliser une exprience alatoire, c'est choisir un tel triplet.

    Un choix particulier de P :

    Lorsque W est de cardinal fini et que l'on affecte la mme probabilit chaque vnement lmentaire, on dit

    que l'on choisit une probabilit P quirpartie. On a alors :

    pour tout vnement lmentaire w de W : P(w) =1

    Card( )W

    pour tout vnementE: P(E) =Card( )Card( )

    E

    W

    On dit aussi, dans une telle situation, qu'il y a quiprobabilit.

    (1)Notons que la somme peut contenir une infinit de termes non nuls mais qu'elle est ncessairement finie car majore par 1.

    Le symbole C dsigne une union. Il

    est juste utilis la place de pour

    prciser que l'union est disjointe.

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    Et pour finir, notons bien que, dans certaines situations, l'expression "choisir au hasard" mrite d'tre

    explique. En effet, sans protocole de choix, certaines expriences peuvent aboutir des univers diffrents et

    gnrer des calculs qui paraissent alors contradictoires. Imaginons, pour illustrer, l'exprience suivante : on

    dispose de deux bancs de deux places (les places sont numrotes a1, a2, a3 et a4 comme ci-dessous). On

    suppose que toutes les places sont vides sauf la place a4 qui est occupe. Arrive une deuxime personne qui on

    demande de s'asseoir "au hasard". Quelle est la probabilit que les deux personnes soient assises sur le mme

    banc ?

    Protocole 1 : choix d'un banc

    La seconde personne choisit l'un des deux bancs, de manire quiprobable.L'univers est donc W= {banc 1 ; banc 2}.

    La loi de probabilit est donne ici par :

    La probabilit que les deux personnes soient assises sur le mme banc est donc :

    p1= 12

    Protocole 2 : choix d'une place

    La seconde personne choisit l'une des trois places restantes, de manire quiprobable.

    L'univers est donc W= {a1 ; a2 ; a3}.

    La loi de probabilit est donne ici par :

    La probabilit que les deux personnes soient assises sur le mme banc est donc :

    p2=1

    3

    Et vous ? Choisissez-vous d'abord le banc puis la place ou directement la place ?

    Moralit : il y a parfois des rgles prciser lorsqu'on fait un choix "au hasard"...

    Une autre situation de ce type est le "paradoxe de Bertrand". (Voir exercices sur les probabilits continues)

    a2a1

    banc 1

    aa3

    banc 2

    vnement lmentaire banc 1 banc 2

    Probabilit1

    2

    1

    2

    vnement lmentaire place a1 place a2 place a3

    Probabilit 13

    13

    13

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    1.2. Rappel de quelques proprits des probabilits

    Proprit 1 : la probabilit de la runion de deux vnements est donne par :

    P(AB) =P(A) +P(B) P(AB)Exemple : dans une classe, 10% des lves jouent d'un instrument corde, 20% des lves jouent d'un

    instrument vent et 5% des lves jouent d'un instrument corde et d'un instrument vent. On choisit un lve

    au hasard. Quelle est la probabilit qu'il joue d'un instrument corde ou vent ?

    Notons Cl'vnement : "l'lve joue d'un instrument corde" et V : "l'lve joue d'un instrument vent"

    D'aprs les donnes, on a : P(C) = 0,1 ; P(V) = 0,2 et P(CV) = 0,05

    D'aprs la proprit 1, on obtient : P(CV) =P(C) + P(V) -P(CV) = 0,25

    Exercice : dmontrer que si C,D etEsont trois vnements alors,

    P(CDE) =P(C) +P(D) +P(E) -P(CD) -P(DE) -P(EC) +P(CDE)

    En effet : P(CDE) = P(C (DE)) =P(C) +P(DE) -P(C (DE))

    P(CDE) =P(C) +P(D) +P(E) -P(DE) -P((CD) (CE))

    P(CDE) =P(C) +P(D) +P(E) -P(DE) -P(CD) -P(CE) +P(CDE)

    En gnralisant cette formule une union de n vnements, on obtient la fomule du "crible" :

    P

    1

    n

    i

    i

    A

    =

    U =

    1 2

    1

    1 1 ... 1

    ( 1)k

    p

    np

    i

    p i i i n k p

    P A+

    = < < 0 (resp. E(X) < 0) alors le jeu est

    avantageux (resp. dsavantageux) pour le joueur. Si E(X) = 0 alors le jeu est dit quitable.

    L'cart-type est une caractristique de la dispersion des valeurs deX.

    Remarque : on pourrait aussi calculer l'espranceE(X) en revenant aux vnements lmentaires de l'univers W

    au lieu d'utiliser les valeursxi de la variable alatoireX:

    E(X) = ( ) ( )P Xw W

    w w

    Sur l'exemple prcdent, comme P(w) =18

    cela donnerait :

    E(X) =18

    ( )X

    w W

    w = 18 (X(PPP) +X(PPF) +X(PFP) +X(PFF) +X(FPP) +X(FPF) +X(FFP) + X(FFF))

    (1)

    SiX(W) est infini dnombrable, l'esprance existe encore sous rserve de la convergence (absolue) de la srie de terme gnralxnpn.SiX(W) a la puissance du continu, l'esprance est donne par une intgrale.

    pi=P(X=xi)

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    E(X) =18

    (0 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 2 + 3) =3

    2Le calcul peut paratre plus long mais dans certaines situations, il peut s'avrer plus pratique (voir par exemple

    la dmonstration de la linarit de l'esprance en 2.4.)

    Exercice thorique : dmontrer que l'espranceE(X) minimise la fonction dfinie sur par :

    (x) = 2

    1

    ( )n

    i i

    i

    p x x

    =

    -

    mais pas la fonction g dfinie par : g(x) =1

    n

    i i

    i

    p x x

    =

    -La fonction est drivable comme somme de fonctions drivables et on a pour toutx :

    '(x) =-21

    ( )n

    i i

    i

    p x x

    =

    - =- 21

    n

    i i

    i

    p x

    = - 2x pi

    i

    n

    =

    1

    =-2(E(X) -x)

    On en dduit : '(x) 0 xE(X)

    Donc admet un minimum enE(X) (et ce minimum est (E(X)) =V(X) ...)L'esprance est donc la quantit qui minimise la moyenne des carrs des carts. Par contre, elle ne minimise

    pas la moyenne des carts. En effet, considrons la variable alatoireXdfinie par la loi suivante :

    On a : E(X) =p1x1+p2x2= 100

    g(E(X)) =p1|x1-100| +p2|x2- 100| = 90 + 90 = 180

    Or : g(0) =E(X) = 100Donc : g(0) < g(E(X))

    Conclusion : E(X) ne minimise pas la fonction g

    Quelle est donc la quantit qui minimise la fonction g ? Etudions a de prs.

    Quitte rindexer les indices desxi, on peut supposer sans perte de gnralit que :

    x1

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    2.4. Thorme Linarit de l'esprance

    SoientXet Y deux variables alatoires dfinies sur le mme univers W de cardinal fini.

    Soit P une probabilit sur W.

    On a : E(X+Y) =E(X) +E(Y)

    Et en particulier, pour tout rel b : E(X+b) =E(X) +b

    E(kX) =kE(X) pour tout rel k

    Dmonstration :

    E(X+Y) = ( )( ) ( )X Y PwW

    + w w = ( ) ( )X PwW

    w w + ( ) ( )Y PwW

    w w =E(X) +E(Y)

    En prenant Yconstante gale b, on obtient :

    E(X+b) =E(X) +E(b) =E(X) +b

    E(kX) =

    1

    n

    i i

    i

    kp x

    =

    =k1

    n

    i i

    i

    p x

    =

    =kE(X)

    Exemple :

    On lance 4 ds, et on note S la somme des rsultats obtenus. Calculer E(S).

    SoientX1,X2,X3 etX4 les rsultats obtenus pour chaque d. On a :

    E(X1) =E(X2) =E(X3) =E(X4) =1

    6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 3,5

    Or, S=X1+X2+X3+X4, d'o :

    E(S) =E(X1+X2+X3+X4) = 4E(X1) = 4 3,5 = 14

    2.5. Thorme Calcul pratique de la variance : formule de Koenig-Huyghens

    La variance d'une variable alatoireXpeut se calculer avec la relation suivante :

    V(X) =E(X2) - [E(X)]2

    la variance est l'cart entre la moyenne des carrs et le carr de la moyenne

    Dmonstration : on rappelle que l'esprance d'une variable alatoire constante X=b est gale la constante b.

    D'aprs la linarit de l'esprance :

    V(X) =E((X-E(X))2) =E(X2- 2XE(X) +E(X)2) =E(X2) - 2E(X)E(X) +E(X)2E(1)

    V(X) =E(X2) - [E(X)]2

    Pour le calcul de la variance, on prfrera l'emploi de cette dernire formule plutt que celle vue en 2.3. En

    effet, outre un intrt pratique indniable pour mener le calcul, la formule de Koenig-Huyghens est surtout plus

    fiable lorsque l'espranceE(X) ne tombe pas juste. En effet, dans la formule vue en 2.3. l'erreur due l'arrondi

    deE(X) se propage tout au long du calcul alors qu'elle n'apparat que dans le dernier terme dans la formule 2.5.

    Exemple :

    Reprenons l'exemple de la pice de monnaie lance trois fois de suite. Xdsigne le nombre de "face" obtenu.

    E(X2

    ) =

    1

    8 0

    2

    +

    3

    8 1

    2

    +

    3

    8 2

    2

    +

    1

    8 3

    2

    = 3

    V(X) =E(X2) - [E(X)]2= 3 -94

    =34

    On calcule les esprancesrelativement aux

    vnements lmentairesafin de pouvoir utiliser lalinarit de l'oprateur .

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    2.6. Corollaire Effet d'un changement affine sur la variance et l'cart type

    SoitXune variable alatoire. Soient a et b deux rels.

    On a : V(aX+b) =a2V(X) et s(aX+b) = |a|s(X)

    En particulier : V(aX) =a2V(X) et s(aX) = |a|s(X)

    V(X+b) =V(X) et s(X+b) =s(X)

    Dmonstration :

    D'aprs 2.5., on a : V(aX+b) =E(a2X2+ 2abX+b2) - [E(aX+b)]2

    Et d'aprs la linarit de l'esprance :

    V(aX+b) =a2E(X2) + 2abE(X) +b2- [aE(X) +b]2

    V(aX+b) =a2E(X2) + 2abE(X) +b2-a2[E(X)]2- 2abE(X) -b2

    V(aX+b) =a2V(X)

    D'o, par passage la racine carre : s(aX+b) = |a|s(X)

    En particularisant b= 0, puis a= 1, on obtient :

    V(aX) =a2V(X) et s(aX) = |a|s(X)

    V(X+b) =V(X) et s(X+b) =s(X)

    Interprtation des dernires relations : une translation n'a pas d'incidence sur la variance ou l'cart type d'une

    variable alatoire (en effet, cela ne modifie pas son degr de dispersion).

    2.7. Dfinition Fonction de rpartition d'une variable alatoire

    SoitXune variable alatoire. La fonction de rpartition Fassocie Xest la fonction dfinie sur par :

    F(x) =P(Xx)La fonction de rpartition est toujours une fonction croissante et borne par 0 et 1.

    Exemple : avec toujours les mmes donnes prcdentes, on a :

    Pourx ]- ; 0[, on a : F(x) = 0

    Pourx [0 ; 1[, on a : F(x) =18

    Pourx [1 ; 2[, on a : F(x) =18

    +38

    =1

    2

    Pourx [2 ; 3[, on a : F(x) =18

    +38

    +38

    =78

    Pourx [3 ; +[, on a : F(x) = 18

    + 38

    + 38

    + 18

    = 1

    Reprsentation graphique :

    1

    12

    78

    18

    -1 4321

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    3. Probabilits conditionnelles

    3.1. Exemple introductif : un joueur tire, au hasard, une carte d'un jeu de 32 cartes.

    On considre les vnements suivants :

    F= "la carte tire est une figure" et R= "la carte tire est un roi"

    1) Calculer P(F), P(R) et P(R F) (o P dsigne la probabilit correspondant l'quirpartition)

    2) Le joueur affirme : "la carte tire est une figure". Quelle est alors la probabilit que ce soit un roi ?

    Solution :

    1) Ici, l'univers W est constitu de 32 vnements lmentaires quiprobables. On a donc :

    P(F) =Card

    Card

    ( )

    ( )

    F

    W=

    1232

    =38

    ; P(R) =Card

    Card

    ( )

    ( )

    R

    W=

    432

    =18

    et P(R F) =Card

    Card

    ( )

    ( )

    R FW

    =4

    32=

    18

    2) Maintenant, nous n'avons plus l'quiprobabilit sur W. Les seuls vnements de probabilit non nulle sont

    ceux qui sont constitus d'une partie des 12 figures du jeu de cartes. Nous allons choisir une nouvelle

    probabilit PF qui sera nulle pour les vnements lmentaires ne correspondant pas une figure et

    quirpartie pour les vnements lmentaires correspondant une figure. Pour dterminer la probabilit

    que la carte soit un roi, nous devons seulement considrer les rois qui sont des figures, donc compter les

    lments deR F, si bien que :

    PF(R) =Card

    Card

    ( )

    ( )R F

    F

    =

    412

    =13

    La probabilit PF(R) s'appelle la probabilit conditionnelle de R par rapport F. On la note parfois

    P(R|F) o R|Freprsente l'vnement "R est ralis" sachant que F est ralis. (Cette dernire notation

    tant dconseille car ne faisant pas ressortir le fait que l'on a une nouvelle probabilit).

    Nous remarquons que : PF(R) = P R FP F

    ( )( )

    Gnralisons ce rsultat :

    3.2. Thorme

    Soit une exprience alatoire d'univers W (avec W de cardinal fini), P une probabilit sur W etB un vnement

    tel que P(B) 0. L'application PB de (W) dans [0 ; 1] dfinie par

    PB(A) =P A B

    P B

    ( )

    ( )

    pour toutA(W)

    est une probabilit sur W.

    Dmonstration (Hors programme)

    On a : PB(W) =P B

    P B

    ( )

    ( )

    W =

    P B

    P B

    ( )

    ( )= 1

    SoientA1,A2, ... ,An des vnements (donc des lments (W)) deux deux disjoints. On a :

    PB1

    n

    i

    i

    A

    =

    C = 1 ( )

    n

    i

    i

    P A B

    P B

    =

    C

    = 1( )

    n

    i

    i

    P A B

    P B

    =

    C

    Or, les vnementsAi B sont deux deux disjoints puisque lesAi le sont, donc :

    P1

    n

    i

    i

    A B

    =

    C = P A Bi

    i

    n

    ( )=

    1

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    D'o : PB1

    n

    i

    i

    A

    =

    C =

    P A B

    P B

    i

    i

    n

    ( )

    ( )

    =

    1 =P A B

    P B

    i

    i

    n ( )( )

    =

    1

    = P AB ii

    n

    ( )=

    1

    L'application PB est bien une probabilit, le thorme est donc dmontr.

    3.3. Dfinition Probabilit conditionnelle

    L'application PB ainsi dfinie s'appelle "probabilitB-conditionnelle".

    La quantit PB(A) se lit "probabilit, sachantB, deA" parfois (et abusivement) note P(A|B).

    On a ainsi : P(A|B) =PB(A) =P A B

    P B

    ( )

    ( )

    Remarques :

    la relation ci-dessus est trs utile galement dans l'autre sens :

    P(A B) =PB(A) P(B) =PA(B) P(A) l'vnement contraire deA |B est A |B ("A n'est pas ralis" sachant queB l'est).

    cas particulier : siAB, alors P(A) P(B) et P(A B) =P(A).

    D'o : PB(A) =P A

    P B

    ( )

    ( )

    Exemples :

    Un lve srieux de terminale a 80% de chance d'avoir son Bac au mois de juin. Pendant les grandes

    vacances qui suivent, il passe un concours pour intgrer une cole. Le concours est ouvert tous les lves

    (bacheliers ou non) mais notre candidat a 60% de chance d'tre admis dans cette cole s'il est bachelier et30% sinon.

    NotonsB l'vnement "l'lve russi son Bac" etA l'vnement "l'lve est admis dans l'cole".

    Quelle est la probabilit que l'lve russisse son bac et soit admis son cole ?

    On calcule : P(AB) =PB(A)P(B) = 0,6 0,8 = 0,48

    ( )B

    AP = 0,7( )B

    AP = 0,3( )B

    AP = 0,4

    AA

    ( )P B = 0,2P(B) = 0,8

    BB

    PB(A) = 0,6

    AA

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    3.4. Thorme Formule des probabilits totales

    Soit W un univers muni d'une probabilit P.

    Si des parties B1, B2, ... , Bn, de probabilits non nulles, constituent une partition(1) de W, alors pour tout

    vnementA, on a :

    P(A) = P A Bkk

    n

    ( )=1 = 1 ( ) ( )k

    n

    B k

    k

    P A P B=

    Dmonstration (Hors programme)

    Les ensemblesA B1,A B2, ... ,A Bn constituent une partition deA :

    A= A Bkk

    n

    =1C (union disjointe).

    D'aprs l'additivit de la probabilit pour les ensembles disjoints on a :

    P(A) =P A Bk

    k

    n

    =1C

    = P A Bk

    k

    n

    ( )=1

    Et comme P(A Bk) = ( )kB

    P A P(Bk) pour tout entier ktel que 1 kn, on a :

    P(A) =1

    ( ) ( )k

    n

    B k

    k

    P A P B

    =

    Illustration sur un arbre :

    Remarques :

    La formule des probabilits totales reste vraie si B1, B2, ... , Bn sont des vnements deux deux

    incompatibles et siA Bii

    n

    =1U .

    On a en particulier : P(A) =P(A B) +P(A B )

    (1)

    On dit que des parties non vides B1, B2, .... , Bn forment une partition d'un ensemble W lorsqu'elles sont deux deux disjointes(BiBji=j) et recouvrent tout l'ensemble W (B1B2 ...Bn=W)

    W

    ... BnB5B4B3B2B1

    A

    ( )nB

    P A3

    ( )B

    P A2

    ( )B

    P A1

    ( )B

    P A

    AAAA AAAA

    ... BnB3B2

    P(Bn)P(B3)P(B2)P(B1)

    B1

    ...

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    Exemples :

    Reprenons l'exemple de notre lve qui passe son bac et son concours. On rencontre cet lve au mois de

    septembre et il nous dit qu'il a t admis l'cole. Quelle est la probabilit qu'il ait son bac ?

    Nous devons calculer :

    PA(B) =( )

    ( )

    P A B

    P A

    =

    ( )

    ( ) ( )

    P A B

    P A B P A B

    + =

    0,48

    0, 48 0,3 0, 2+ =

    8

    9

    Reprenons l'exemple de l'pidmie et cherchons la probabilit qu'une personne non vaccine tombe malade.

    Nous cherchons donc ( )V

    P M . Il est clair que les vnements Vet V constituent une partition de l'ensemble

    de la population. D'aprs la formule des probabilits totales, on a :

    P(M) =PV(M) P(V) + ( )VP M P(V )

    D'o : ( )V

    P M =( ) ( ) ( )

    1 ( )VP M P M P V

    P V

    --

    =

    1

    5

    2

    25

    1

    323

    - =

    1350

    = 0,26

    Le feu tricolore. Un automobiliste arrive proximit -disons une dizaine de mtres- d'un feu tricolore etaucun vhicule ne le prcde. On suppose que, si le feu est vert ce moment l, l'automobiliste dcide de

    passer avec une probabilit de 99/100. Si le feu est orange, l'automobiliste dcide de passer avec une

    probabilit de 3/10 et enfin si le feu est rouge, l'automobiliste dcide de passer avec une probabilit de 1/100

    (quelques fous...). Le cycle du feu tricolore dure une minute : vert : 25s, orange : 5s et rouge : 30s.

    Quelle est la probabilit que l'automobiliste passe sans s'arrter ce feu tricolore ?

    NotonsA l'vnement "l'automobiliste passe sans s'arrter au feu" et V(resp. O etR) = "le feu est vert (resp.

    orange et rouge)".

    Comme VOR=W (union disjointe), on a :

    P(A) =PV(A)P(V) +PO(A)P(O) +PR(A)P(R) =99

    100

    512

    +3

    10

    112

    +1

    100

    12

    =177400