Probabilités

PROBABILITES

Pr. A. SOULAYMANI Cours Statistique 2005 1

Probabilités

Eléments de base

PROBABILITES


I- DEFINITIONI-1. Définition classique

Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés.

Un événement aléatoire est un événement qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une expérience aléatoire.

Exemple : expérience aléatoire "traverser la route" - événement aléatoire "se faire écraser".

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Si m résultats peuvent se produire avec des chances égales et si k résultats correspondent à la réalisation de l'événement, la probabilité de l'événement est le rapport k/m : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.

Par exemple dans un jeu de 52 cartes on a 13 coeurs, si toutes les cartes ont des chances égales d'être tirées, la probabilité d'extraire un Trèfle est 13/52 = 0,25.

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II- APPROCHE AXIOMATIQUEAxiomes élémentaires:

☻ La probabilité de tout événement associé à une épreuve est compris entre 0 et 1:0 < P(A) < 1

☻ La probabilité de l’événement certain est égale à 1: P(S) = 1 « événement toujours réalisé »

☻ La probabilité de l’événement impossible est nulle:P(Ø) = 0 « événement impossible »

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Evénements mutuellement exclusifsLes événements A et B ne peuvent se produire simultanément. Pour tous couples (A,B) l'ensemble A ∩ B est vide.

P(A ou B) = P(A + B) = P(A U B) = P(A) + P(B)

AEB

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Exemple probabilité d'extraire un cœur ou un carreau = P(Cœur ou Carreau)

= 0,25 + 0,25 = 0,5.Généralisation P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)

Si 2 événements sont mutuellement exclusifs (mort-vivant)

on a P(A)+P(B) = 1 => P(A) = 1-P(B). La probabilité de survie à un moment donné est égale à 1 moins la probabilité de décéder à ce moment.

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Evénements non nécessairement exclusifs Les événements peuvent se produire

simultanément. Exemple « avoir un infarctus du myocarde », « être diabétique ».

P(A ou B) = P(B ou A)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

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En conclusion• P(A ou B) est toujours < P(A) + P(B)• P(M ou S ou T) = P(M) + P(S) + P(T) - P(M et S) - P(S et T) - P(M et T) - P(M et S et T)

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Ensemble des réalisations et évènementUn évènement E est un ensemble d’évènements élémentaires (A, B, ….).

Définitions & Calculs

La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des évènements élémentaires inclus dans A.

Ex: Jet de Dé; A: Avoir un résultat > 5

AE5

6

1

23

4

B

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Exemple : Familles à 3 enfants

Réalisations Probabilités

GGG 1/8

GGF 1/8

GFG 1/8

GFF 1/8

FGG 1/8

FGF 1/8

FFG 1/8

FFF 1/8

A1: Les 2 derniers enfantssont des filles:

P(A1) = 1/8 + 1/8 = 2/8

A2: Avoir au moins unefille:

P(A2) = 1/8 + 1/8+…+1/8 = 7/8

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E

« Moins de 2 filles »

« Au moins 2 filles »

Évènement contraire et probabilité complémentaire:


GGG 1/8

GGF 1/8

GFG 1/8

GFF 1/8

FGG 1/8

FGF 1/8

FFG 1/8

FFF 1/8

)(1)( APAP

AA

P(A) = 4/8

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E


GGG 1/8

GGF 1/8

GFG 1/8

GFF 1/8

FGG 1/8

FGF 1/8

FFG 1/8

FFF 1/8

BAÉvènement inclus dans un autre:

B:« Au moins 1 filles » : 7/8

Si A est inclus dans B, alors P(A) < P(B)

A:« Avoir une fille » : 3/8

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GGG 1/8

GGF 1/8

GFG 1/8

GFF 1/8

FGG 1/8

FGF 1/8

FFG 1/8

FFF 1/8

Évènement A ou évènement B: (A ou B)E

A:« Au moins 1 garçon » : 7/8

B:« Au moins 1 filles » : 7/8

P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)P(A ou B) = 7/8 + 7/8 – 6/8 = 8/8 = 1

♀♀♂

♂♀ ♂

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Complémentaire: Définition:Si E et A sont deux ensembles, on appelle Complémentaire de A dans E l'ensemble formé des éléments de E qui ne sont pas dans A. On note CEA cet ensemble.

Par exempleSiE = {1;2;3;4;5;6} et A = {4;5;6;7;8;9} alors:le complémentaire deA dans E est {1;2;3}.

(A∩E) Complémentairede A dans E

12

3

45

6

7

9

8

45

6

45

6

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D’une manière générale:Si A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a : P(A U E) = P(CEA) + P(CAE) + P(A ∩ E).


Complémentairede E dans A

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Événement [A ou exclusif E ]:A est réalisé, E est réalisé mais (A et E) n’est pas réaliséSi A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a :

P(A ou exclusif E) = P(CEA) + P(CAE) = P(A) + P(E) - 2 P(A ∩ E).

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Événement différence (A-E) :A se réalise et E ne se réalise pasSi A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a :

P(A - E) = P(CAE) = P(A) - P(A ∩ E)



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Réalisations A:Avoir au moins un Garçon sans av oir tr

GGG 1/8

GGF 1/8

GFG 1/8

GFF 1/8

FGG 1/8

FGF 1/8

FFG 1/8

FFF -

E:Avoir 2 filles A-E: Avoir un garçon sans avoir

2 filles

- 1/8

- 1/8

- 1/8

1/8 -

- 1/8

1/8 -

1/8 -

- -

Ex: Avoir au moins un Garçon sans avoir 2 filles:

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