Prise de d cision en maintenance conditionnelle pour un ... · 2Departamento de Matematicas...

Prise de decision en maintenance conditionnelle

pour un systeme soumis aux risques concurrents

de choc et de degradation

K.T. Huynh1, A. Barros1, C. Berenguer1 et I.T. Castro2

1Institut Charles Delaunay - UMR CNRS 6279Universite de technologie de Troyes, France

2Departamento de MatematicasUniversidad de Extremadura, Spain

Groupe de travail FIMA, Grenoble, le 13 Octobre 2011

K.T. Huynh et al. (UTT, UEX) Decision en maintenance conditionnelle FIMA, Grenoble, France 1 / 33

Outline

1 Motivations & Objectifs du travail

2 Modelisation du systeme

3 Maintenance preventive basee sur le temps calendaire

4 Maintenance preventive basee sur la degradation

5 Maintenance preventive basee sur la MRL conditionnelle

6 Conclusions


Motivations & Objectifs du travail

Motivations

Motivations

Maintenance calendaire (TBM): classique et ineffective

Generalisation des techniques de surveillance ⇒ Politiques conditionnelles

Maintenance conditionnelle (CBM): onereuse a cause des inspections, ineffective acause des mauvais indicateurs de decision

Necessite

CBM vs. TBM ⇒ Avantageuse en terme de cout?

Construction un indicateur robuste pour la decision en CBM


Motivations & Objectifs du travail

Objectifs du travail

Modeliser un systeme fonctionnant dans un environnement dynamique⇒ Modele de defaillances concurrentes dependantes de degradation et choc

Proposer et developper les modeles de cout des politiques de maintenance:⇒ Politique calendaire: politique BR

⇒ Politique conditionnelle basee sur la degradation: politique (∆T ,M)⇒ Politique conditionnelle basee sur la MRL: politique (∆T ,m)

Etudier les deux politiques BR et (∆T ,M)⇒ Quantifier l’apport de l’information de surveillance

Etudier les deux politiques (∆T ,m) et (∆T ,M)⇒ Construire un indicateur plus robuste et le quantifier


Modelisation du systeme Impact de l’environnement et objectif de modelisation

Impact de l’environnement et objectif de modelisation

Impact de l’environnement

Environnement dynamique provoque des chocs qui causent une defaillance dusysteme degrade

Modele DTS (degradation-threshold-shock) = modele de degradation + modelede choc

Contexte

Modele DTS traditionnel: independant entre processus de choc et de degradation

Situations pratiques: dependance structure entre choc et degradation est important

Objectif de modelisation

Elargir le modele DTS traditionnel en soulignant la dependance entre des modesde defaillance


Modelisation du systeme Modele DTDS (degradation-threshold-dependent shock)

Modele DTDS (degradation-threshold-dependent shock)

Motivation de modelisation

Plus le systeme est degrade, plus il est sensible a des defaillances par choc

Modelisation de degradation - Modele DT

Processus gamma homogene {xt}t≥0, xt − xs ∼ Ga (α · (t − s) , β)

fα·(t−s),β (u) = 1Γ(α·(t−s))

βα·(t−s)uα·(t−s)−1e−βu · 1{u≥0}

Defaillance du systeme: xt ≥ L (seuil critique de defaillance par la degradation)

Modelisation de choc - Modele DS

Processus de Poisson non-homogene {Nt}t≥0 dont l’intensite est

r (t, xt) = r1 (t) 1{xt<Ms} + r2 (t) 1{xt≥Ms}

ou, r2(t) ≥ r1(t), Ms est un niveau de degradation fixe

Le systeme tombe en panne lorsqu’un choc survient


Modelisation du systeme Modele DTDS (degradation-threshold-dependent shock)

Illustration du modele DTDS

Defaillance liee a la degradation Defaillance liee au choc

r1(t)

r2(t)

Ms

L

Temps

0

0

0

Temps

Temps

xt

Nt

r(t,xt)Zone de fonctionnement Etat de panne

Zone de fonctionnement Etat de panne


1

τLτMs

τf

τs

Mode nominal Mode accéléré

r1(t)

r2(t)

Ms

L

Temps

0

0

0

Temps

Temps

xt

Nt

r(t,xt)Zone de fonctionnement Etat de panne



1

τLτMs

τf

τs

Mode nominal Mode accéléré


Modelisation du systeme Fiabilite du modele DTDS

Fiabilite du modele DTDS

Ff (t) = P (xt < L,Nt = 0) = P (xt < Ms ,Nt = 0) + P (Ms ≤ xt < L,Nt = 0)

= F1 (t) FτMs(t) + F2 (t)

∫ t

0

a (u) FτL−τMs(t − u) du,

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Temps

Fia

bilit

é

Modèle DTModèle DSModèle DTDS


Hypotheses et critere d’evaluation de la performance

Hypotheses et critere d’evaluation de la performance

Hypotheses

Defaillance et degradation cachees

Defaillance et degradation sont revelees par une inspection (Cid)

Deux actions de maintenance: remplacement preventif (Cp > Cid) et correctif(Cc > Cp) ⇒ Renouveler le systeme

Duree d’indisponibilite (Cd) et actions de maintenance prennent le tempsnegligeable

Critere d’evaluation de la performance - critere du cout

Theoreme de renouvellement:

C∞ = limt→+∞

E [C (t)]

t=

E [C (S)]

E [S ]

ou, S est un cycle de renouvellement


Maintenance preventive basee sur le temps calendaire

Politique BR

Remplacement a periodes T , soit preventivement si en marche, soit correctivement sinonModele de cout:

CBR∞ (T ) =

CpFf (T ) + Cc

(

1− Ff (T ))

+ Cd

∫ T

0

(

1− Ff (t))

dt

T

Optimisation:

CBR∞ (Topt) = min

T

{

CBR∞ (T ) ,T > 0

}

0 5 10 15 20 25 30 35 405

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55C∞

BR (Topt

) = 7.1099, Topt

= 14

T

C∞B

R (

T)


Maintenance preventive basee sur la degradation Politique (∆T ,M)

Modele et politique de maintenance basee sur le niveau de

degradation (1)

Politique (∆T ,M)

Inspecter periodiquement (periode ∆T )

Remplacer correctivement si le systeme tombe en panne

Remplacer preventivement si le systeme est en marche et xTi≥ M

Variables de decision: ∆T , M

Modele de cout

C∆T ,M∞ (∆T ,M) =

CidE

[

N∆T ,M

i

]

+ CpP∆T ,Mp + Cc

(

1− P∆T ,Mp

)

+ CdE

[

W∆T ,M

d

]

E [S∆T ,M ]


Maintenance preventive basee sur la degradation Politique (∆T ,M)

Modele et politique de maintenance basee sur le niveau de

degradation (2)

Probabilite de remplacement preventif: P∆T ,Mp =

∑∞k=0 P

(

E∆T ,M

p,(k+1)∆T

)

E∆T ,M

p,(k+1)∆T=

{

k∆T < τM ≤ (k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

Optimisation:

C∆T ,M∞ (∆Topt ,Mopt) = min

∆T ,M

{

C∆T ,M∞ (∆T ,M) ,∆T > 0, 0 < M < L

}

05

1015

20

0

10

20

304

6

8

10

12

∆TM

C∞∆T

, M(∆

T, M

)

∆T

M

C∞∆T, M(∆T

opt, M

opt) = 4.4349, ∆T

opt = 2.5, M

opt = 19

1 2 3 4 5 6 7 8

5

10

15

20

25

30


Maintenance preventive basee sur la degradation Performance economique de la politique (∆T ,M)

Cout de remplacement preventif variable

Cid = 2, Cc = 100, Cp = 2 : 1 : 100, Cd = 25

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

Mop

t

0 20 40 60 80 1000

5

10

15

20

Top

t/∆T

opt

Cp

Topt

∆Topt

0 20 40 60 80 1002

3

4

5

6

7

8

9

10

Cp

C∞op

t

C∞BR(T

opt)

C∞∆T, M(∆T

opt, M

opt)



Cout d’indisponibilite par unite de temps variable

Cid = 5, Cc = 100, Cp = 50, Cd = 5 : 1 : 150

5 34 63 92 121 1500

10

20

30

Mop

t

5 34 63 92 121 1500

10

20

30

Top

t/∆T

opt

Cd

Topt

∆Topt

5 34 63 92 121 1504

6

8

10

12

14

Cd

C∞op

t

C∞BR(T

opt)

C∞∆T, M(∆T

opt, M

opt)



Cout d’inspection variable

Cid = 2 : 1 : 90, Cc = 100, Cp = 90, Cd = 25

0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010

12

14

16

18

20

Mop

t

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

5

10

15

20

25

Top

t/∆T

opt

Cid

Topt

∆Topt

0 10 20 30 40 50 60 70 80 905

6

7

8

9

10

11

12

13

Cid

C∞op

t

C∞BR(T

opt)

C∞∆T, M(∆T

opt, M

opt)



Sensibilite a la dynamique d’evolution du systeme

r1(t) = 0.001, r2(t) = 0.01 r1(t) = 0.01, r2(t) = 0.1

1 5 9 13 17 212.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Cid

C∞op

t

(∆T, M): σ2 = 10

BR: σ2 = 10

(∆T, M): σ2 = 1

BR: σ2 = 1

1 5 9 13 17 214

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

Cid

C∞op

t

(∆T, M): σ2 = 10

BR: σ2 = 10

(∆T, M): σ2 = 1

BR: σ2 = 1


Maintenance preventive basee sur la MRL conditionnelle Construction de MRL conditionnelle

Motivations

Indicateur de decision conditionnelle

Bon indicateur doit caracteriser precisement l’etat courant et futur du systeme

Niveau de degradation: classique, ne represente que l’etat de sante courant, n’estpas suffisant pour un modele DTS

⇒ La duree de vie residuelle moyenne (MRL) conditionnelle?

Prise de decision en maintenance preventive

Decision basee sur le niveau de degradation: populaire

Decision basee sur la MRL: rare

⇒ Comment integre-t-on la MRL dans les regles de decision?

⇒ Quel sont ses apports?



Construction de MRL conditionnelle (1)

Calcul de MRLFonction de RUL a l’instant t:

τf − t | τf > t,Z0:t

τf : date de defaillance, Z0:t : covaribles correlees a l’etat du systeme

Methode classique: τf − t | τf > t

Dans ce travail:mxt (t) = E [τf − t | τf > t, xt ] =

∫∞

tR (u | xt) du

xt : niveau de degradation a t, R (u | xt) fiabilite conditionnelle a u > t sachant xt

Fiabilite conditionnelle du modele DTDS

R (u | xt) = P (xu < L,Nu = 0 | xt) = R1 (u | xt) 1{xt<Ms} + R2 (u | xt) 1{xt≥Ms}

R1 (u | xt) = FτMs−xt(u − t) F1(u)

F1(t)+

∫ u

tFτL−τMs

(u − v) F1(v)F2(u)

F1(t)F2(v)fτMs−xt

(v − t) dv

R2 (u | xt) = FτL−xt(u − t) F2(u)

F2(t)



Construction de MRL conditionnelle (2)

Illustrations:

0

10

20

30

0

10

20

30

1

7

13

19

25

xtt

mx t(t

)

0

10

20

30

0

10

20

30

2

7

12

17

xtt

mx t(t

)

r1(t) = 0.01, r2(t) = 0.1 r1(t) = 0.0025t + 0.01, r2(t) = 0.0025t + 0.1

Remarques:

r (t, xt) independant du temps: MRL est inutile pour la decision en maintenance

r (t, xt) dependant du temps: MRL est utile pour la decision en maintenance


Maintenance preventive basee sur la MRL conditionnelle Modele et politique de maintenance basee sur MRL

Modele et politique de maintenance basee sur MRL (1)

Politique (∆T ,m)

Inspecter periodiquement (periode ∆T )

Remplacer correctivement si le systeme tombe en panne

Calculer la MRL conditionnelle a chaque inspection

Remplacer preventivement si le systeme est en marche et mxTi(Ti ) ≤ m

Variables de decision: ∆T , m

Modele de cout

C∆T ,M∞ (∆T ,m) =

CidE

[

N∆T ,m

i

]

+ CpP∆T ,mp + Cc

(

1− P∆T ,mp

)

+ CdE

[

W∆T ,m

d

]

E [S∆T ,m]


Maintenance preventive basee sur la MRL conditionnelle Modele et politique de maintenance basee sur MRL

Modele et politique de maintenance basee sur MRL (2)

Probabilite de remplacement preventif: P∆T ,mp =

∑∞k=0 P

(

E∆T ,m

p,(k+1)∆T

)

E∆T ,m

p,(k+1)∆T=

{

mxk∆T(k∆T ) > m ≥ mx(k+1)∆T

((k + 1)∆T ) ,

(k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

Optimisation:

C∆T ,m∞ (∆Topt ,mopt) = min

∆T ,m

{

C∆T ,m∞ (∆T ,m) ,∆T > 0, 0 < m < MTTF

}

05

1015

05

1015

206

11

16

21

26

∆Tm

C∞∆T

,m(∆

T,m

)

m

∆T

C∞∆T,m(∆T

opt,m

opt) = 7.8416, m

opt = 8.5, ∆T

opt = 4.5

2 4 6 8 10 12 144

6

8

10

12

14

16


Maintenance preventive basee sur la MRL conditionnelle Analyse de l’equivalence des politiques (∆T ,m) et (∆T ,M)

Equivalence des politiques (∆T ,m) et (∆T ,M) (1)

Analyse de l’equivalence des probabilites de remplacement preventif

Cas de figure de r (t, xt) independant du temps

MRL ne depend que du xt → noter mx

Xm = inf {0 ≤ x ≤ L,mx ≤ m}, τXm et τM suivent la meme loi

Evenement de remplacement preventif a (k + 1)∆T :

E∆T ,m

p,(k+1)∆T,

{

mxk∆T> m ≥ mx(k+1)∆T

, (k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

⇔{

xk∆T < Xm ≤ x(k+1)∆T , (k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

⇔{

k∆T < τXm ≤ (k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

P∆T ,mp (∆T ,m) ≡ P

∆T ,Mp (∆T ,Xm)

Remarque: Deux politiques (∆T ,m) et (∆T ,M) sont equivalentes lorsque le taux de

choc est independant du temps





10 20 30 40 50 60 705

10

15

20

mop

t / M

opt

Évolution des variables de décision optimales

10 20 30 40 50 60 704

4.5

5

∆Top

t

Cp

Politique (∆T,M)Politique (∆T,m)

Mopt

mopt

mM

opt

(Topt

)

10 20 30 40 50 60 704

4.5

5

5.5

6

6.5Évolution des coûts moyens asymptotiques optimaux

Cp

Cop

t∞







10 30 50 70 90 110 130 15011

12

13

14

mop

t / M

opt


10 30 50 70 90 110 130 1502

3

4

5

6

7

∆Top

t

Inactivity cost rate − Cd


Mopt

mM

opt

(Topt

)

mopt

10 30 50 70 90 110 130 1505

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5Évolution des coûts moyens asymptotiques optimaux

Cd

Opt

imal

exp

ecte

d co

st r

ate

− C

opt







3 5 7 9 11 13 15 17 1911

12

13

14

15

mop

t / M

opt


3 5 7 9 11 13 15 17 193

5

7

9

∆Top

t

Ci


mM

opt

(Topt

)M

opt

mopt

3 5 7 9 11 13 15 17 195

5.5

6

6.5

7

7.5

8Évolution des coûts moyens asymptotiques optimaux

Ci

Cop

t∞






Cas de figure de r (t, xt) dependant du temps

MRL depend a la fois de xt et t

Xt,m = inf {0 ≤ x ≤ L,mxt (t) ≤ m} pour t fixe, τXt,m et τM suivent les loisdifferentes

Evenement de remplacement preventif a (k + 1)∆T :

E∆T ,m

p,(k+1)∆T,

{

mxk∆T(k∆T ) > m ≥ mx(k+1)∆T

((k + 1)∆T ) ,

(k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

⇔{

xk∆T < Xk∆T ,m,X(k+1)∆T ,m ≤ x(k+1)∆T ,

(k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

⇔{

k∆T < τXk∆T ,m, τX(k+1)∆T ,m

≤ (k + 1)∆T < τL,N(k+1)∆T = 0}

P∆T ,mp (∆T ,m) 6≡ P

∆T ,Mp (∆T ,Xt,m)

Remarque: Deux politiques (∆T ,m) et (∆T ,M) ne sont pas equivalentes lorsque le

taux de choc est dependant du temps





10 20 30 40 50 60 700

5

10

15

mop

t / M

opt


10 20 30 40 50 60 703.5

4

4.5

5

∆Top

t

Cp


Mopt

mopt

mM

opt

(Topt

)

10 20 30 40 50 60 705.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5


Cp

Cop

t∞







10 30 50 70 90 110 130 1508

10

12

14

mop

t / M

opt


10 30 50 70 90 110 130 1500

2

4

6

8

mop

t / M

opt

Cd


mM

opt

(Topt

)M

opt

mopt

10 30 50 70 90 110 130 1506

7

8

9

10

11

12


Cd

Cop

t∞







3 5 7 9 11 13 15 17 196

8

10

12

14

mop

t / M

opt


3 5 7 9 11 13 15 17 192

4

6

8

∆Top

t

Ci


Mopt

mopt

mM

opt

(Topt

)

3 5 7 9 11 13 15 17 197.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5


Ci

Cop

t∞




Maintenance preventive basee sur la MRL conditionnelle Performance economique de la politique (∆T ,m)


Cid = 5, Cc = 100, Cp = 10 : 1 : 70, Cd = 50

10 20 30 40 50 60 706

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

Cp

C∞op

t

σ2=2


10 20 30 40 50 60 706.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

Cp

C∞op

t

σ2=10


r1 (t) = 0.0025t + 0.01 et r2 (t) = 0.0025t + 0.1




Cid = 5, Cc = 100, Cp = 30, Cd = 10 : 1 : 150

10 30 50 70 90 110 130 1505.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

Cd

C∞op

t

σ2=2


10 30 50 70 90 110 130 1506

6.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

Cd

C∞op

t

σ2=10


r1 (t) = 0.0025t + 0.01 et r2 (t) = 0.0025t + 0.1




Cid = 2 : 1 : 20, Cc = 100, Cp = 30, Cd = 50

2 5 8 11 14 17 206.5

7

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

Cid

C∞op

t

σ2=2


2 5 8 11 14 17 207

7.5

8

8.5

9

9.5

10

10.5

11

11.5

12

Cid

C∞op

t

σ2=10


r1 (t) = 0.0025t + 0.01 et r2 (t) = 0.0025t + 0.1


Conclusions

Conclusions

Le modele de degradation/defaillance propose a le merite d’etre assez generique etde combiner un phenomene de degradation graduel avec chocs

Montrer l’interet de developper des modeles quantitatifs qui permettent d’integrerde l’information de surveillance en maintenance

Proposer et montrer l’interet economique de la prise de decision basee sur la dureede vie residuelle conditionnelle

Merci de votre attention!

Questions?


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