1

Notes de Cours

Auteur Daghboudj Samir

2

Pour analyser un phénomène naturel en général ou un problème d’ingénierie en

particulier, on est souvent amené à développer un modèle mathématique pouvant décrire d’une manière aussi fiable que possible le problème en question. Le développement d’un modèle mathématique s’appuis généralement sur quelques postulats de base et plusieurs hypothèses simplificatrices pour aboutir à des équations gouvernantes qui sont souvent des équations différentielles auxquelles sont ajoutées des conditions aux limites. Exemple, la théorie d’élasticité s’appuis sur le postula fondamental de l’existence du vecteur contrainte et les équations générales d’élasticité linéaire isotrope sont obtenues avec les hypothèses de petites déformations, d’homogénéité et d’isotropie des matériaux ainsi que la linéarité des relations liants les contraintes et les déformations.

La résolution analytique d’équations différentielles pose parfois des difficultés insurmontables, et une solution exacte décrivant bien le problème étudié n’est pas toujours facile à trouver. Le recours aux modèles physiques et à la simulation expérimentale pour la recherche d’une solution analogue à la solution recherchée peut s’avérer coûteux en temps et en moyens. Cependant, avec les progrès enregistrés dans le domaine de l’informatique et les performances des ordinateurs de plus en plus grandes, il est devenu possible de résoudre des systèmes d’équations différentielles très complexes. Plusieurs techniques de résolution numérique ont été ainsi développées et appliquées avec succès pour avoir des solutions satisfaisantes à des problèmes d’ingénierie très variés. La méthode des éléments finis est l’une des techniques numériques les plus puissantes. L’un des avantages majeurs de cette méthode est le fait qu’elle offre la possibilité de développer un programme permettant de résoudre, avec peu de modifications, plusieurs types de problèmes. En particulier, toute forme complexe d’un domaine géométrique où un problème est bien posé avec toutes les conditions aux limites, peut être facilement traitée par la méthode des éléments finis. Cette méthode consiste à diviser le domaine physique à traiter en plusieurs sous domaines appelés éléments finis à dimensions non infinitésimales. La solution recherchée est remplacée dans chaque élément par une approximation avec des polynômes simples et le domaine peut ensuite être reconstitué avec l’assemblage ou sommation de tous les éléments. Etape 1 : Formulation des équations gouvernantes et des conditions aux limites. La majorité des problèmes d'ingénierie sont décrits par des équations différentielles aux dérivées partielles associées à des conditions aux limites définies sur un domaine et son contour. L'application de la MEF exige une réécriture de ces équations sous forme intégrale. La formulation faible est souvent utilisée pour inclure les conditions aux limites. Etape 2 : Division du domaine en sous domaines. Cette étape consiste à discrétiser le domaine en éléments et calculer les connectivités de chacun ainsi que les coordonnées de ses noeuds. Elle constitue ainsi la phase de préparation des données géométriques. Etape 3 : Approximation sur un élément. Dans chaque élément la variable tel que le déplacement, la pression, la température, est approximée par une simple fonction linéaire, polynomiale ou autres. Le degré du polynôme d'interpolation est relié au nombre de noeuds de l'élément. L'approximation nodale est appropriée. C'est dans cette étape que se fait la construction des matrices élémentaires.

3

Etape 4 : Assemblage et application des conditions aux limites. Toutes les propriétés de l'élément (masse, rigidité,...) doivent être assemblées afin de former le système algébrique pour les valeurs nodales des variables physiques. C'est à ce niveau qu'on utilise les connectivités calculées à l'étape 2 pour construire les matrices globales à partir des matrices élémentaires. Etape 5 : Résolution du système global : Le système global peut être linéaire ou non linéaire. Il peut définir soit un problème d'équilibre, de valeurs critiques ou de propagation. Le problème d’équilibre concerne les cas statiques et les cas stationnaires. Dans un problème de valeurs critiques, on s’intéresse aux fréquences et aux modes propres de vibrations du système physique étudié. Les problèmes de propagations, concernent les cas transitoires dans lesquels sont déterminées les variations dans le temps des variables physiques. Les méthodes d'intégration pas à pas conviennent mieux pour ce type de problème. Les plus utilisées sont : méthode des différences finies centrales, méthode de Newmark, méthode de Wilson. A ces méthodes doivent être associées des techniques d'itération pour traiter le cas non linéaire. La plus fréquente est la méthode de Newton Raphson. Formulation faible : Actuellement, le principe des travaux virtuels est bien connu et très répandu. Il est souvent formulé en termes d'égalité des travaux effectués par les forces extérieures et intérieures lors d'un déplacement virtuel quelconque. Ce concept est essentiel pour la résolution des équations aux dérivées partielles. En effet, les déplacements sont remplacés par une fonction arbitraire continue sur le domaine et l'équation est réécrite sous forme intégrale

4

Approximation Un modèle mathématique d'un système physique fait intervenir plusieurs variables ou fonctions, dites exactes uex(x) : températures, déplacements, potentiels, vitesse, etc. Celles-ci sont représentées par des fonctions "approchées" u(x) telles que la différence (erreur d’approximation) : e(x)=u(x) - uex(x) soit "petite" (de l'ordre de grandeur de la précision désirée). Construction d’une fonction approchée (Étape 1)

1. Choisir un ensemble fini de fonctions dépendant de n paramètres ai :

u(x, a1, a2, ..., an) u(x) = P1(x) a1 + P2 (x) a2 + ... + Pn(x) an = <P> {a} 2. Les fonctions sont souvent choisies de manière à être faciles à évaluer, à intégrer ou

dériver explicitement. Polynômes: u(x) = a1 + a2x + ... + anxn-1

Fonctions trigonométriques : u(x) = a1sin(πx) + a2sin(2πx) + ... + ansin(nπx) Construction d’une fonction approchée (Étape 2) Déterminer les paramètres a1, a2, ..., an en faisant coïncider uex(x) et u(x) en n points x1, x2, ..., xn, c'est-à-dire en annulant e(x) en ces n points. L'approximation peut fournir :

1. une solution approchée en tout point x d'une fonction difficile à évaluer ou connue seulement en certains points.

2. une solution approchée d'une équation différentielle ou aux dérivées partielles. En général, les paramètres a1, a2, ..., an n'ont pas de sens physique. Cependant nous pouvons choisir comme paramètres ai les valeurs de la fonction uex(x) en n points appelés NOEUDS de coordonnées x1, x2, ..., xn, . Imposons de plus que la fonction approchée u(x) coïncide avec la fonction exacte uex(x) en ces nœuds.

u(x1) = uex( x1) = u1

u(x2) = uex( x2) = u2

...... u(xn) = uex( xn) = un

La fonction approchée (approximation globale) u(x) = P1(x) a1 + P2 (x) a2 + ... + Pn(x) an = <P> {a} s'écrit alors (approximation nodale) :

u(x) = N1(x) u1 + N2(x) u2 + ... + Nn(x) un = <N(x)>{ue}

Définitions : { a} - paramètres généraux de l'approximation {ue} - variables nodales de l'approximation <P(x)> - fonctions de base de l'approximation

5

<N(x)> - fonctions d'interpolation (fonctions de forme)

L'approximation nodale possède deux propriétés fondamentales : 1) comme u(xi) = ui, les fonctions Ni vérifient : Ni(xj) = δij (symbole de Kronecker) 2) l'erreur d'approximation s'annule en tous les nœuds xi e(xi) = 0

La méthode d'approximation nodale d'une fonction d'une variable s'étend directement à l'approximation de plusieurs fonctions de plusieurs variables. EXEMPLE: déplacements d'une structure 3D

u(x,y,z) = <N(x,y,z)> {un} v(x,y,z) = <N(x,y,z)> {vn} w(x,y,z) = <N(x,y,z)> {wn}

Discrétisation : Approximation nodale par sous doma ines La construction d'une fonction approchée u(x) est difficile lorsque le nombre de nœuds et donc de paramètres inconnus ui devient important. Le problème se complique encore si le domaine V a une forme complexe et si la fonction u(x) doit satisfaire des conditions aux limites sur la frontière de V.

• La méthode d'approximation nodale par sous-domaines simplifie la construction de u(x). Elle consiste à :

1. identifier un ensemble de sous-domaines Ve du domaine V. 2. définir une fonction approchée ue(x) différente sur chaque sous domaine par la méthode d'approximation nodale. Chaque fonction ue(x) peut dépendre des variables nodales d'autres sous-domaines comme c'est le cas dans l'approximation de type "Spline". Interpolation polynomiale : Lagrange

• Théorème Soient n+1 points distincts xi réels et n+1 réels yi, il existe un unique polynôme p ∈ Pn tel que p(xi) = yi pour i = 0 à n Construction de p : avec : Li polynôme de Lagrange L est un polynôme d’ordre n

Propriétés de Li : Li(xi)=1 et Li(xj)=0 (j ≠ i)

Lagrange : exemple n°1 – on connaît 2 points (x0,y0) et (x1,y1) – on cherche la droite y=ax+b (polynôme de degré 1)

qui passe par les 2 points :

y0 = a x0 + b a = (y0 - y1) / (x0 - x1) y1 = a x1 + b b = (x0 y1 - x1 y0) / (x0 - x1)

∑==

n

0iii )x(Ly)x(p

( )( )∏

−−

=≠=

n

ij0j ji

ji xx

xx)x(L

6

Lagrange : exemple n°2

• Exemple avec n=2 – on connaît 3 points (0,1), (2,5) et (4,17) – polynômes de Lagrange associés :

Calcul du polynôme d'interpolation p(x)=L0(x) + 5 L1(x) + 17 L2(x) En simplifiant, on trouve : P(x)=x2+1

( )( )8

4x2x)x(L 0

−−= ( )4

4xx)x(L1 −

−=( )

8

2xx)x(L 2

−=

7

Résidus pondéré

8

Principes de la MEF Pour un système discret (système de ressorts, réseaux électriques, réseaux hydrauliques,...), les équations de comportement peuvent en général s'écrire sous la forme matricielle suivante :

[K] - matrice caractérisant le système {U} - variables inconnues du problème DDL – Degré De Liberté DOF – Degree Of Freedom {F} - sollicitations connues (second membre)

La MEF est basée sur une idée simple : subdiviser (discrétiser) une forme complexe en un grand nombre de sous-domaines élémentaires de forme géométrique simple (éléments finis) interconnectés en des points appelés noeuds.

• Nous considérons le comportement mécanique de chaque élément séparément, puis nous assemblons ces éléments de telle façon que l’équilibre des forces et la compatibilité des déplacements soient satisfaits en chaque nœud.

• La MEF utilise des approximations simples des variables inconnues dans chaque élément pour transformer les équations aux dérivées partielles en équations algébriques.

9

Étapes logiques du calcul par éléments finis

1. Définir les nœuds et les éléments (Créer le maillage) 2. Pour chaque élément, établir la matrice de rigidité élémentaire [ke] reliant les degrés

de libertés (déplacements) nodaux {ue} et les forces {fe} appliquées aux nœuds : [ke] {u e} = {f e}

3. Assembler les matrices et les vecteurs élémentaires en un système global [K] {U} = {F} de manière à satisfaire les conditions d’équilibre aux nœuds

4. Modifier le système global en tenant compte des conditions aux limites 5. Résoudre le système [K] {U} = {F} et obtenir les déplacements {U} aux nœuds 6. Calculer les gradients (flux de chaleur, déformations et contraintes) dans les éléments

et les réactions aux nœuds sur lesquels les conditions aux limites sont imposées.

Discrétisation : Approximation nodale par éléments finis La méthode d'approximation nodale par éléments finis est une méthode particulière d'approximation nodale par sous domaines qui présente les particularités suivantes :

1. L'approximation nodale sur chaque sous-domaine Ve ne fait intervenir que les

variables nodales attachées à des nœuds situés sur Ve et sur sa frontière.

2. Les fonctions approchées ue(x) sur chaque sous-domaine Ve sont construites de manière à être continues sur Ve et elles satisfont des conditions de continuité entre les différents sous-domaines. Les sous-domaines Ve sont appelés des ELEMENTS connectés par des NOEUDS.

• Deux éléments distincts ne peuvent avoir en commun que des nœuds situés sur leurs frontières, si elle existe.

• L'ensemble de tous les éléments doit constituer un domaine aussi proche que possible du domaine donné.

• Le recouvrement de deux éléments et les trous entre éléments sont inadmissibles. Erreur de discrétisation géométrique

10

Lorsque la frontière du domaine est constituée par des courbes ou des surfaces plus complexes que celles qui définissent les frontières des éléments, une erreur est inévitable. Cette erreur est appelée "erreur de discrétisation géométrique". Elle peut être réduite :

1. en diminuant la taille des éléments 2. en utilisant des éléments à frontières plus complexes

Problèmes d'équilibre (système continu) Pour un système continu, prenons comme exemple le problème thermique :

Problème physique Problème continu Problème discret

Élément 1D

Règles du maillage 1. La densité du maillage peut être variable en fonction de la variation des inconnues 2. placer un nœud où D, Q changent brutalement 3. placer un nœud à l'endroit où on veut connaître la solution

11

Élément linéaire à 2 nœuds

Propriétés de N

12

Méthode des éléments finis 1D

Notion de maillages : connectivité

Cas général : plusieurs éléments

Remarque 1 : la numérotation des nœuds peut être aléatoire. Un maillage éléments finis est dît non structuré.

Remarque 2 : les éléments peuvent être de longueurs différentes.

13

Technique d’assemblage par projection

s

Applications : maillage à 3 éléments

14

15

Méthode des éléments finis en élasticité Résoudre un Pb d’élasticité revient à :

a. Déterminer le vecteur déplacement en tout point de la structure : 3 inconnues b. Déterminer le tenseur des déformations en tout point de la structure : 6

inconnues c. Déterminer le tenseur des contraintes en tout point de la structure : 6 inconnues

= 15 inconnues

Nous aurons ainsi 15 équations locales à notre disposition :

1. Les 3 équations d'équilibre 2. Les 6 équations liant les déplacements aux déformations 3. Les 6 équations traduisant le loi de comportement du matériau utilisé

Et enfin... la mise en équations globales en utilisant le PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES

LA RESOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME PRECEDENT DANS UN MILIEU CONTINU EST RAREMENT POSSIBLE.

On remplace le problème continu par un problème approché en discrétisant la structure

CLASSEMENT D'ELEMENTS FINIS - les éléments unidimensionnels : barres, poutres rectilignes ou courbes

- les éléments bidimensionnels : élasticité plane, plaques, coques

- les éléments tridimensionnels : éléments de volume, coques épaisses

- les éléments axisymétriques : tores à sections triangulaire ou rectangulaire

Approximation nodale Les éléments sont reliés entre eux par un nombre fini de points situés sur leur périphérie et appelés NOEUDS. Les déplacements (et éventuellement les rotations) de ces points sont les inconnues du

16

problème. Une approximation du champ de déplacement dans l'élément est réalisée par interpolation des valeurs aux nœuds. = > choix des fonctions de forme f (M).

17

18