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15 Cours - PFD CPGE MP

18/01/2014 sur 19

Principe Fondamental de la Dynamique

Sommaire

Principe Fondamental de la Dynamique................................................................................. 1

1 Principe Fondamental de la Dynamique ............................................................................................ 3

1.1 Référentiel Galiléen ............................................................................................................................................ 3

1.2 Chronologie ........................................................................................................................................................ 3

1.3 Enoncé du PFD .................................................................................................................................................. 3

1.4 Théorèmes généraux – Traduction vectorielle du PFD ........................................................................................ 3

2 Conseils pratiques pour la résolution de problème de dynamique .................................................... 4

2.1 Problèmes types.................................................................................................................................................. 4

2.2 Algorithme de résolution .................................................................................................................................... 4

3 Recherche des caractéristiques d’un actionneur à l’aide du PFD ...................................................... 5

3.1 Méthode générale ............................................................................................................................................... 5

3.2 Applications sur le robot anthropomorphe .......................................................................................................... 5

4 Recherche des caractéristiques des actions mécaniques dans une liaison à l’aide du PFD ............... 8

4.1 Méthode générale ............................................................................................................................................... 8

4.2 Applications sur le robot anthropomorphe .......................................................................................................... 8

5 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine ouverte à l’aide du PFD ................... 10

5.1 Méthode générale ............................................................................................................................................. 10

5.2 Application sur le gyroscope d’horizon artificiel ............................................................................................... 10

6 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine fermée à l’aide du PFD .................... 13

6.1 Méthode générale ............................................................................................................................................. 13

6.2 Application sur le vibreur d’olivier ................................................................................................................... 13


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EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Bras de robot anthropomorphique

Le manipulateur est conçu à partir d’une structure anthropomorphique à 7 degrés de liberté activés par des

paires de muscles artificiels montés en opposition et utilisant l’énergie pneumatique. Pour simplifier l’étude, on

se limitera à une étude avec 3 axes sur le manipulateur.

EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Gyroscope d’horizon artificiel

L'horizon artificiel est un gyroscope à 2 degrés de liberté à axe vertical, suspendu par son centre de gravité qui

détermine la verticale du lieu d'un avion. La vitesse de rotation du rotor du gyroscope est de l'ordre de

20 000 tr/min. Ce système permet au final d’indiquer via un cadran l'assiette longitudinale de l'avion et

l'inclinaison de l'avion.

Effet gyroscopique : Tout objet correctement équilibré tournant sur un axe qui, une fois lancée tend à résister

aux changements de son orientation.

EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Vibreur d’olivier

Le vibreur d’oliviers est destiné à la cueillette des olives. Un générateur de vibrations est monté sur une pince

mécanique qui enserre le tronc.

Réel

Modèle

Pince

Arbre

Réel

Modèle simplifié


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1 Principe Fondamental de la Dynamique

Le PFD permet d’établir une relation entre les actions mécaniques qui sont appliquées à un ensemble

matériel (E) et les mouvements qui en résultent selon toutes les directions de l’espace.

1.1 Référentiel Galiléen Un référentiel Galiléen est l’association d’un repère géométrique et d’un repère temporel pour lequel le

PFD est vrai. En SII, on considère Galiléen :

Tout repère fixe (i.e. sans mouvement) par rapport à la Terre.

Ou tout repère en mouvement de translation rectiligne (i.e. sa trajectoire est une droite)

uniforme (sa vitesse est constante) par rapport à la terre.

1.2 Chronologie Elle est obtenue par les horloges classiques (oscillation d’un quartz).

1.3 Enoncé du PFD Il existe au moins un repère galiléen ou absolu noté R et au moins une chronologie, appelée

chronologie galiléenne ou absolue, tels que, pour tout système matériel (E), le torseur des actions

mécaniques extérieures appliquées à (E) soit égal au torseur dynamique de (E) dans son mouvement

par rapport à R.

E / R E EF

D → d E / R E E

A, E / R A,E EA A

RR

M

où A est un point quelconque

d E / RE / R

A, E / RA

R

D :

E EE E

A,E EA

RF

M

: Torseur des actions

mécaniques extérieures

appliquées sur E

Torseur

dynamique

La démarche de calcul du torseur des actions mécaniques extérieures appliquées sur E est la

même que celle vue lors de l’utilisation du PFS (ce sont les mêmes torseurs).

1.4 Théorèmes généraux – Traduction vectorielle du PFD

L’énoncé du PFD conduit à l’écriture de deux équations vectorielles soit :

Le théorème de la résultante dynamique : /d E R E ER R

Le théorème du moment dynamique : , / ,A E R A E EM


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2 Conseils pratiques pour la résolution de problème de dynamique 2.1 Problèmes types On distingue généralement 2 grands types de problèmes en dynamique :

On connait :

Les actionneurs

Les inerties

On cherche à déterminer

Les lois du mouvement

Les actions mécaniques des liaisons

Problème de type 1

On connait :


Les inerties


Les caractéristiques des actionneurs


Problème de type 2

2.2 Algorithme de résolution Pour chaque application du PFD, il est important de se forcer à mettre en place les étapes suivantes du

raisonnement.

On choisit un repère galiléen

On isole le solide ou le système de solides considéré

On réalise le graphe de structure pour faire l’inventaire des données

et élaborer la stratégie de résolution

On effectue le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures agissant sur le système isolé

On écrit le PFD

On projette les relations vectorielles sur les axes choisis

On injecte les lois de comportement (ressort, lois de coulomb, …)

On effectue la résolution

On s’assure que le

problème est isostatique

Toujours préciser l’axe de projection pour le

théorème de la résultante dynamique, et le point +

l’axe pour le théorème du moment dynamique

Récapituler les particularités de certains

torseurs d’actions mécaniques : composantes

nulles, actions connues dans certaines liaisons

(couple moteur ou forces résistantes…), actions

à distance (pesanteur,…), …

L’utilisation du PFD pour établir les équations recherchées, impose toujours des choix

précis fait à partir des particularités des actions mécaniques (de liaison notamment) pour

n’effectuer que les calculs de cinétique nécessaire. Par conséquent, il est extrêmement

important de prendre le temps et de réfléchir aux 3 premières étapes de l’algorithme.

« Se réfugier dans les calculs de manière brouillonne, inefficace et douloureuse, tout en

pestant contre ces maudits calculs est un défaut banal. Ne le cultivez pas ! » (J.C. Bône)


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3 Recherche des caractéristiques d’un actionneur à l’aide du PFD 3.1 Méthode générale Pour déterminer les caractéristiques d’un

actionneur (moteur, vérin, …) dans les problèmes

de type 2, il faut rechercher les lois d’entrée-

sortie d’actions mécaniques (autant d’équations

que de caractéristiques d’actionneur à

déterminer).

Pour cela il faut rechercher les équations

particulières qui n’introduisent pas d’inconnues

de liaison, tout en écrivant le moins

d’équations possibles. Pour cela il faut utiliser

en priorité les équations associées à des

mouvements de solides ou d’ensemble de solides.

On connait :


Les inerties




Problème de type 2

Dans le cas d’un système (un solide ou un ensemble de solides) mis en mouvement de

rotation autour d’un axe par un actionneur, l’utilisation du théorème du moment dynamique

écrit en un point appartenant à l’axe de rotation projeté sur l’axe de rotation permet de

déterminer le couple moteur qui anime le système.

Dans le cas d’un système (un solide ou un ensemble de solides) mis en mouvement de

translation suivant une direction par un actionneur, l’utilisation du théorème de la résultante

dynamique projeté sur la direction de la translation permet de déterminer l’effort moteur qui

anime le système.

3.2 Applications sur le robot anthropomorphe Application 1 : Déterminer le couple moteur C1.

Pour déterminer le couple moteur C1, il faut isoler l’ensemble E = 1+2+3 et utiliser le théorème du

moment dynamique écrit au point O1 projeté sur l’axe 0z

. Ce choix permet d’obtenir une équation

scalaire où aucune inconnue de liaison n’intervient puisqu’elle correspond au 0 du torseur d’action

mécanique transmissible.

On a donc : 1 1

O , E / 0 0 0O ,E E.z M .z

avec

10O ,E E

M .z

= C.

2

1

3

1x

0y

θ

O1

O2

O3

0x

φ C

2x

3x

3y

3z

Modèle simplifié 0z

z

0

2 1 3 0

1 0 0P (O ,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre θ

Pesanteur → 1

G1 tel que 111 .2

xL

GO

Inertie 1 0(G ,z )I I

Masse m

Pivot (O1, 0z

) Pivot (O2, 0z

) Glissière ( 0z

)

Actionneur 0F.z

Actionneur 01.zC

Actionneur 012.zC

E

2 0 0P (O ,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre φ 0P (...,...,z )

... ...

... ...

...0

paramètre z

Pesanteur → 2

G2 tel que 222 .2

xL

GO


Masse m

1 3 0 0 0 0 0 0

1 2 2 3

O O x .x y .y z .z

O O O O L


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Remarque : pour déterminer la projection d’une résultante ou d’un moment dynamique suivant une

direction, il est préférable d’utiliser une intégration par partie (u’.v = [u.v]’ – u.v’) :

c,E / 0d,E / 0 c,E / 0

00

d(R u) duR u R

dt dt

A,E / 0A, E / 0 A,E / 0

00

d( u ) duu

dt dt

seulement si A est centre de gravité ou point fixe dans R0

Dans notre cas, 1O est un point fixe dans R0. On peut donc utiliser cette méthode.

On décompose le calcul du moment cinétique en passant par les solides élémentaires :

1 1 1 1O , E / 0 O ,1/ 0 O , 2 / 0 O , 3 / 0

1O ,1/ 0 ?

Nature du mouvement de 1/0 : Rotation autour de l’axe fixe (O1, 0z ) + mais G n’appartient pas à l’axe

de rotation + inertie donnée en G1 (centre de gravité)

on calcule 1G ,1/ 0 puis

1O , 1/ 0

1 1G ,1/ 0 G 1 1/ 0 0I (S ). I. .z

1 1O , 1/ 0 G , 1/ 0 1 1 C1/ 0 0 1 C1/ 0L

O G R I. .z .x R2

avec 1C1/ 0 G 1/ 0 1

LR m.V m. . .y

2

1

2

O , 1/ 0 0L

I m. . .z4

1

1 1

2O ,1/ 0 0 0

O ,1/ 0 0 O ,1/ 0

00

d( z ) dz L.z I m. .

dt dt 4

1O ,1/ 0 0.z f (t )

1O , 2 / 0 ?

Nature du mouvement de 2/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G2 (centre de gravité)

on calcule 2G , 2 / 0 puis

1O , 2 / 0

2 2G , 2 / 0 G 2 2 / 0 0I (S ). I.( ).z

1 2O , 2 / 0 G , 2 / 0 1 2 C 2 / 0 0 1 2 C 2 / 0L

O G R I.( ).z (L.x .x ) R2

Avec 2 2 2 1C 2 / 0 G 2 / 0 G 2 /1 G 1/ 0 2 O 1/ 0

LR m.V m. V V m. . .y m. V

2 2 1 1/ 0 2 2 1

L LG O m. . .y m. . .y m.L. .y

2 2

1O , 2 / 0 0 1 2 1 2L L

I.( ).z (L.x .x ) (m.L. .y m. .( ).y )2 2

1

22 22

O , 2 / 0 0L L L

I.( ) m.L . m. .( ).cos m. . .cos m. .( ) .z2 2 4

1

2O , 2 / 0 0

5 1 1I.( ) m.L . cos . cos . .z

4 4 2

1

1 1

O ,2 / 0 0 20O , 2 / 0 0 O ,2 / 0

00

d( z ) dz 5 1 1 1.z I.( ) m.L . sin . cos . sin . cos .

dt dt 4 2 4 2

1O , 2 / 0 0.z g(t )

1O , 3 / 0 0 car inertie et masse négligées pour le solide 3

Au final l’utilisation du PFD donne : 1C f(t ) g(t ) On constate que le couple moteur dépend

des caractéristiques géométriques et inertielles (L, m, I), mais également du mouvement ( , , , , ).

1y

x

0y

x

θ

0x

x

2x

x

2y

x

φ 1x

x

210 zzz


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Application 2 : Déterminer le couple moteur C12.

Pour déterminer le couple moteur C12, il faut isoler l’ensemble E = 2+3 et utiliser le théorème du

moment dynamique écrit au point O2 projeté sur l’axe 0z . Ce choix permet d’obtenir une équation

scalaire où aucune inconnue de liaison n’intervient puisqu’elle correspond au 0 du torseur d’action

mécanique transmissible.

On a donc : 2 2

O , E / 0 0 0O ,E E.z M .z

avec

20O ,E E

M .z

= C12

Dans notre cas, 2O n’est pas un point fixe dans R0. On ne peut donc pas utiliser l’intégration par partie.

On décompose le calcul du moment dynamique en passant par les solides élémentaires :

2 2 2O , E / 0 O , 2 / 0 O , 3 / 0

2O , 2 / 0 ?

Nature du mouvement de 2/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G2 (centre de gravité) + O2

n’est pas un point fixe dans 0.


2G , 2 / 0 puis 2O , 2 / 0

2G , 2 / 0 0I.( ).z

2

2

G , 2 / 0G , 2 / 0 0

0

dI.( ).z

dt

2 2O , 2 / 0 G , 2 / 0 2 2 d 2 / 0 0 2 d 2 / 0L

O G R I.( ).z .x R2

Avec : 2C 2 / 0 G 2 / 0 1 2

LR m.V m.L. .y m. .( ).y

2

C 2 / 0 2 2d 2 / 0 1 1 2 2

0

dR L LR m.L. .y m.L. .x m. .( ).y m. .( ) .x

dt 2 2

2

2

2 2O , 2 / 0 0 2 1 1 2 2

2 2 22

O , 2 / 0 0

L L LI.( ).z .x (m.L. .y m.L. .x m. .( ).y m. .( ) .x )

2 2 2

L L LI.( ) m. . .cos m. . .sin m. .( ) .z

2 2 4

2O , 3 / 0 0 car inertie et masse négligées pour le solide 3

Au final l’utilisation du PFD donne : 2 2 2

212

L L LC m. . .cos m. . .sin I m. .( )

2 2 4

2

1

3

1x

0y

θ

O1

O2

O3

0x

φ C

2x

3x

3y

3z


z

0

2 1 3 0

1 0 0P (O ,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre θ

Pesanteur → 1

G1 tel que 111 .2

xL

GO


Masse m

Pivot (O1, 0z

) Pivot (O2, 0z

) Glissière ( 0z

)

Actionneur 0F.z

Actionneur 01.zC

Actionneur 012.zC

E

2 0 0P (O ,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0


... ...

... ...

...0

paramètre z

Pesanteur → 2

G2 tel que 222 .2

xL

GO


Masse m

1 3 0 0 0 0 0 0

1 2 2 3

O O x .x y .y z .z

O O O O L

1y

x

0y

x

θ

0x

x

2x

x

2y

x

φ 1x

x

210 zzz


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4 Recherche des caractéristiques des actions mécaniques dans une liaison à l’aide du PFD

4.1 Méthode générale La recherche des inconnues dans une liaison peut être conduite dans tous les problèmes de dynamique

(type 1 et type 2). Il suffit dans ce cas d’écrire autant d’équations que d’inconnues de liaison à

déterminer pour au final obtenir leurs expressions uniquement en fonction de données connues.

On connait :

Les actionneurs

Les inerties




Problème de type 1

On connait :


Les inerties




Problème de type 2

Les calculs dans ce genre de problème sont en général très longs et fastidieux …

4.2 Applications sur le robot anthropomorphe Application 1 : Déterminer les actions de liaisons dans la liaison pivot entre 1 et 2.

Pour déterminer les inconnues de la liaison, il faut isoler l’ensemble E = 2+3 et donc obtenir 5

équations scalaires pour lier les 5 inconnues de liaisons aux données connues du problème. Ces 5

équations scalaires sont issues du théorème de la résultante dynamique projeté sur 3 axes et du

théorème du moment dynamique écrit en O2 et projeté sur les axes ix et iy .

2

1

3

1x

0y

θ

O1

O2

O3

0x

φ C

2x

3x

3y

3z


z

0

2 1 3 0

1 0 0P (O ,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre θ

Pesanteur → 1

G1 tel que 111 .2

xL

GO


Masse m

Pivot (O1, 0z

) Pivot (O2, 0z

) Glissière ( 0z

)

Actionneur 0F.z

Actionneur 01.zC

Actionneur 012.zC

E

2 0 0P (O ,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0


... ...

... ...

...0

paramètre z

Pesanteur → 2

G2 tel que 222 .2

xL

GO


Masse m

1 3 0 0 0 0 0 0

1 2 2 3

O O x .x y .y z .z

O O O O L


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Pour la phase de vie étudiée, le PFD donne : 2 2

2 2

d E / 0 E E

O , E / 0 O (E E )O O

RR

M

Avec :

2 0

1 2 12 2 12 2 12 2

P,12 2 P,12 2P,1 2 P (O ,z )

R X .x Y .y Z .z

L .x M .yM

actionneur 2

12 0P,actionneur 2 P

R 0

C .zM

2 0 22 2

2 0 2 0pesanteur 2 2 02 0

2 2 02 2 2 0P,pesanteur 2 P (G ,z ) OO O

m .g.z m .g.zR m .g.zm .g.zL

.x m .g.zO G m .g.z0M2

2 2

Lm .g. .y

2

Et selon partie précédente :

2 2d 2 / 0 1 1 2 2

2 2d 2 / 0 2

22

L LR m.L. .y m.L. .x m. .( ).y m. .( ) .x

2 2

LR m.L. .sin m.L. .cos m. .( ) .x

2

Lm.L. .cos m.L. .sin m. .( ) .y

2

2

2 2 22

O , 2 / 0 0L L L

m. . .cos m. . .sin I m. .( ) z2 2 4

D’où :

2 212

212

12 2

12

12 2

LX m.L. .sin m.L. .cos m. .( )

2

LY m.L. .cos m.L. sin m. .( )

2

Z m .g

L 0

LM m .g.

2

1y

x

0y

x

θ

0x

x

2x

x

2y

x

φ 1x

x

210 zzz


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5 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine ouverte à l’aide du PFD

5.1 Méthode générale Pour déterminer les lois du mouvement dans un

problème de type 1, il faut dans un premier

temps, identifier la nature de la chaine

cinématique (ouverte ou fermée) car les

méthodes de calcul différent en fonction de ce

critère.

Pour déterminer les lois du mouvement à

l’aide du PFD dans une chaine ouverte, il faut

rechercher autant d’équations scalaires (dans

laquelle il n’y a pas d’inconnue de liaison) que

de paramètres cinématiques inconnus.

On connait :

Les actionneurs

Les inerties




Problème de type 1

On connait :


Les inerties




Problème de type 2 (cours 17)

Pour un solide (ou un ensemble de solides) en liaison pivot (parfaite) par rapport à un autre

solide, l’équation du moment dynamique suivant l’axe de rotation permet d’exprimer la

dérivée seconde du paramètre de position angulaire en fonction du couple appliqué (couple

connu).

Pour un solide (ou un ensemble de solides) en liaison glissière (parfaite) par rapport à un

autre solide, l’équation du théorème de la résultante dynamique suivant la direction de la

translation permet d’exprimer la dérivée seconde du paramètre de position linéaire en

fonction de l’effort appliqué (effort connu).

5.2 Application sur le gyroscope d’horizon artificiel

ψ

0z

=1z

1y

0y

1x

1z

1y

2z

2y

1x

= 2x

0x

φ

2z

=3z

3y

2y

3x

2x

2 1 3 0

Pivot (G, 0z

) Pivot(G, 1x

) Pivot(G, 2z

)

Actionneur 223.zC

Pesanteur → 3

G

G (b2 )

A 0 0

I (3 ) 0 A 0

0 0 C

Masse m

Grâce à un moteur électrique qui délivre un

couple C23, le rotor tourne à une vitesse

constante de 20 000 tr/min

Modèle

1 1P (G,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre ψ

2 2P (G,x ) (...,...,x )

... 0

... ...

... ...

paramètre θ 3 3P (G,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre φ


18/01/2014 sur 19

Le modèle possède 3 paramètres cinématiques : ψ, θ et φ. Il existe une condition liée à la loi horaire :

cte → il y a donc 2 degrés de liberté de mouvement en ψ et θ et il faut rechercher 2 équations

scalaires à l’aide du PFD liées à ces 2 degrés de liberté de mouvement, ne faisant pas intervenir les

inconnues de liaisons.

1er

isolement

On isole E1 = 2+3 et on utilise le théorème du moment dynamique écrit en G et projeté sur 2x .

On a donc : G, E1/ 0 2 2G,E1 E1.x M .x

avec

G,E1 E1M 0

(car la pesanteur ne crée pas de moment en G)

Dans notre cas, G est le centre de gravité. On peut donc utiliser l’intégration par partie :

G,E1/ 0 2 2G, E1/ 0 2 G,E1/ 0

00

d( x ) dx.x

dt dt


G, E1/ 0 G,2 / 0 G,3 / 0

G,2 / 0 0 car inertie et masse négligées pour le solide 2

G,3 / 0 ?

Nature du mouvement de 3/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G (centre de gravité)

G, 3 / 0 G 3 / 0 G 1 1 2 2 2 2

G (b2 )

A 0 0

I (3 ). I (3 ) ( .z .x .z ) 0 A 0 .( .sin .y .x ( .cos ).z )

0 0 C

G, 3 / 0 2 2 2A. .x A. .sin .y C.( .cos ).z

2 11/ 0 1 1

0 0

dx dxx .y

dt dt

G, E1/ 0 2 2 2 2 1

22 1 2 1

2

.x A. ( A. .x A. .sin .y C.( .cos ).z ) .y

A. ( A. .sin .y .y C. ( .cos ).z .y )

A. ( A. .sin .cos C. ( .cos ).sin )

2A. A. .sin .cos C. ( .cos ).sin 0 (1)

2 1 3 0

Pivot (G, 0z

) Pivot(G,1x

) Pivot(G,2z

)

Actionneur 223.zC

Pesanteur → 3

G

G (b2 )

A 0 0

I (3 ) 0 A 0

0 0 C

Masse m

1 1P (G,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre ψ

2 2P (G,x ) (...,...,x )

... 0

... ...

... ...

paramètre θ 3 3P (G,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre φ


18/01/2014 sur 19

2ème

isolement

On isole E2 = 1+2+3 et on utilise le théorème du moment dynamique écrit en G et projeté sur 1z .

On a donc : G, E2 / 0 1 1G,E2 E2.z M .z

avec

G,E1 E1M 0

(car la pesanteur ne crée pas de moment en G)

Dans notre cas, G est le centre de gravité. On peut donc utiliser l’intégration par partie :

G,E2 / 0 1 1G, E2 / 0 1 G,E2 / 0

00

d( z ) dz.z

dt dt


G, E2 / 0 G,1/ 0 G,2 / 0 G,3 / 0

G,1/ 0 G,2 / 0 0 car inertie et masse négligées pour les solides 1 et 2

G, 3 / 0 2 2 2A. .x A. .sin .y C.( .cos ).z (voir partie précédente)

2

2 1 2 1G, E2 / 0 1

00

d A. .sin C.( .cos ).cosd A. .sin .y .z C.( .cos ).z .z.z

dt dt

2A. .sin C.( .cos ).cos cte (2)

Ainsi, les équations (1) et (2) correspondent aux lois du mouvement du système.

2A. A. .sin .cos C. ( .cos ).sin 0 (1)

2A. .sin C.( .cos ).cos cte (2)

2 1 3 0

Pivot (G, 0z

) Pivot(G,1x

) Pivot(G,2z

)

Actionneur 223.zC

Pesanteur → 3

G

G (b2 )

A 0 0

I (3 ) 0 A 0

0 0 C

Masse m

1 1P (G,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre ψ

2 2P (G,x ) (...,...,x )

... 0

... ...

... ...

paramètre θ 3 3P (G,z ) (...,...,z )

... ...

... ...

... 0

paramètre φ


18/01/2014 sur 19

6 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine fermée à l’aide du PFD

6.1 Méthode générale

Pour déterminer les lois du mouvement dans un

problème de type 1, il faut dans un premier temps,

identifier la nature de la chaine cinématique

(ouverte ou fermée) car les méthodes de calcul

différent en fonction de ce critère.

Pour déterminer les lois du mouvement à l’aide du PFD dans une chaine fermée, il faut « ouvrir

fictivement la chaine » en « supprimant » une liaison de la chaine fermée (on choisit en général la

liaison qui possède le plus de degré de liberté et donc le moins d’inconnues de liaisons). Il faut

ensuite écrire N équations scalaires dans laquelle il n’y a pas d’inconnues de liaison

supplémentaires. N correspond au nombre de paramètres cinématiques inconnus ajouté au

nombre d’inconnues de liaison de la liaison coupée pour ouvrir la chaine.

6.2 Application sur le vibreur d’olivier Le repère 0 correspond au sol, on associe le repère galiléen R0 à 0 dont l’axe (O0, 0z

) est

vertical ascendant.

Le solide 1 correspond au tracteur porteur. On considère que dans la phase de vie étudiée le

tracteur est en liaison glissière de direction 0y

par rapport au sol 0, et un système ressort +

amortisseur visqueux modélise le comportement des pneus (ressort de raideur k1 et

amortissement visqueux de coefficient b1). Le paramètre du mouvement est Y tel que

110 .yYOO

.

Le solide 2 correspond au bras en liaison pivot d’axe (O2, 2y

) par rapport au solide 1. Le

paramètre du mouvement est θ tel que ),( 21 xx

. On définit 1121 .xlOO

.

Le solide 3 correspond à la pince liée en liaison glissière de direction 2x

avec le solide 2. Le

paramètre du mouvement est X tel que 232 .xXGO

. On définit 2333 .xlOG

avec l3 = cte.

Le solide 4 correspond à un rotor qui porte un excentrique (balourd) qui génère les vibrations.

Ce solide 4 est en liaison pivot d’axe (O4, 3z

) par rapport au solide 3. Le paramètre du

mouvement est ϕ tel que ),( 43 yy

. On définit 243 .ydOO

et 444 .yeGO

.

Le solide 5 correspond à l’arbre vibré. Lors de la phase de vie étudiée, on considère que l’arbre

est en liaison pivot d’axe (O*, 0x

) par rapport au sol 0 et un système ressort + amortisseur

visqueux modélise le comportement de l’ensemble tronc+racines (ressort de raideur k* et

amortissement visqueux de coefficient b*). Le paramètre du mouvement est β tel que

),( 50 zz

. Enfin on considère que la liaison pince 3 tronc d’arbre 5 est modélisée par une

liaison sphérique de centre O3. On définit 00

*

0 .xdOO

et 555

* .zlOO

.

On connait :

Les actionneurs

Les inerties




Problème de type 1

On connait :


Les inerties




Problème de type 2 (cours 17)


18/01/2014 sur 19

Hypothèses :

Les liaisons sont toutes supposées parfaites sauf la liaison sphérique entre 5 et 3 où l’on admet

une loi de comportement donnée par le torseur

)2(53

53

53

35

sin..

0

cos..

3 bOZ

Y

X

F

.

L’action mécanique exercée par le ressort et l’amortisseur entre 0 et 1, est modélisée par une

force 01110 )...( yYbYkF .

L’action mécanique exercée par le ressort et l’amortisseur entre 0 et 5 est modélisée par un

couple 0

**

50 )...( xbkC .

Le rotor est entrainé par un moteur hydraulique qui exerce un couple 443 .zCC m

et qui

assure une vitesse de rotation uniforme cte .

On néglige l’action mécanique de la pesanteur par rapport aux autres actions mécaniques mises en jeu.

Données massiques :

S1 : Solide de masse m1 et de centre de gravité O1.

S2 : Solide de masse m2 et de centre de gravité O2. 2

2

O 2 2

2O2 (b2 )

A 0 0

I (S ) 0 B 0

0 0 C

S3 : Solide de masse m3 et de centre de gravité G3. 3

3

G 3 3

3G3 (b2 )

A 0 0

I (S ) 0 B 0

0 0 C

S4 : Solide de masse m4 et de centre de gravité G4. 4

4

G 4 4

4G4 (b4 )

A 0 0

I (S ) 0 B 0

0 0 C

S5 : Solide de masse m5 et de centre de gravité O5. 5

O* 5 5

5O* (b5 )

A 0 0

I (S ) 0 B 0

0 0 C


18/01/2014 sur 19

Réel Modèle

50 xx

0

1

O1 4y

0 2 3

4

5 32 yy

43 zz

1x

21 yy

10 yy

10 zz

32 xx

5z

O0 O2 O4

O3 = O5

O*

G3

G4

1

0

2

3 4

5

Gl 1y

P(O2, 1y

)

Gl 2x

P(O4, 4z

)

Sphérique non parfaite en

O3

)2(53

53

53

35

sin..

0

cos..

3 bOZ

Y

X

F

P(O*, 0x

)

01110 )...( yYbYkF

0

**

50 )...( xbkC

443 .zCC m

1...

...

...

...

0

...

0 bO

paramètre Y 1...

0

...

...

...

...

2 bO

paramètre θ

2...

...

...

...

...

0

2 bO

paramètre X

40

...

...

...

...

...

4 bO

paramètre ϕ (loi horaire) 0*

...

...

0

...

...

...

bO

paramètre β

Le système est une chaine cinématique fermée avec 5 paramètres de mouvement : Y, θ, X, ϕ et β.

On « ouvre fictivement » la chaine cinématique :

1

0

2

3 4

5

Gl 1y

P(O2, 1y

)

Gl 2x

P(O4, 4z

)

On coupe la liaison avec le moins

d’inconnues de liaisons (X53, Y53 et Z53 ici)

P(O*, 0x

)

01110 )...( yYbYkF

0

**

50 )...( xbkC

443 .zCC m

1...

...

...

...

0

...

0 bO

paramètre Y 1...

0

...

...

...

...

2 bO

paramètre θ

2...

...

...

...

...

0

2 bO

paramètre X

40

...

...

...

...

...

4 bO

paramètre ϕ (loi horaire)

0*...

...

0

...

...

...

bO

paramètre β

On injecte par conséquent 3 inconnues de liaisons supplémentaires dans le système d’équation qui

permettra d’obtenir les lois du mouvement → Soit un total de 8 équations à trouver.


18/01/2014 sur 19

La fermeture géométrique de la boucle permet de lier certain de ces paramètres et d’obtenir les

premières équations : * *0 5 0 1 1 2 2 3 3 5O O O O O O O O O G G O

0 0 5 5 1 1 1 2 3 2d .x l .z Y.y l .x X.x l .x

En projection dans la base 0 :

0 1 3

5

5 3

d l ( X l ).cos

l .sin Y

l .cos ( X l ).sin

θ 10 zz

0123 yyyy

432 zzz

10 xx

23 xx

β

0z

0y

5z

50 xx

5y

Hypothèse : on suppose les paramètres θ et β petits → 0 1 3

5

5 3

d l ( X l )

l . Y

l ( X l ).

Soit : 5Y l . (1)

0 1 3X d l l cte (2)

5

3

lcte

X l

(3)

De plus une loi horaire est imposée sur le paramètre ϕ : ϕ = Ω.t avec Ω=cte (4)

Soit 4 équations sur 8. Il y a donc au final un seul degré de liberté en mouvement β (car X, et ϕ sont

constante, et Y=f( ). L’équation du mouvement est donc une équation en fonction de β et des ses

dérivées. Pour trouver cette équation, il reste 4 équations à écrire à l’aide du PFD en allant

« chercher les 0 » des liaisons :

1

0

2

3 4

5

G(O0, 1y

)

P(O2, 1y

)

G(O2, 2x

)

P(O4, 4z

)

P(O*, 0x

)

01110 )...( yYbYkF

0

**

50 )...( xbkC

443 .zCC m

1...

...

...

...

0

...

0 bO

paramètre Y 1...

0

...

...

...

...

2 bO

paramètre θ

2...

...

...

...

...

0

2 bO

paramètre X

40

...

...

...

...

...

4 bO


...

...

0

...

...

...

bO

paramètre β

)2(53

53

53

35

sin..

0

cos..

3 bOZ

Y

X

F

On isole 3+4 et on utilise le théorème de la

résultante dynamique projeté sur 2x .

→ d, 3 4 / 0 2 ext 3 4 2R .x F .x

1

0

2

3 4

5

G(O0, 1y

)

P(O2, 1y

)

G(O2, 2x

)

P(O4, 4z

)

P(O*, 0x

)

01110 )...( yYbYkF

0

**

50 )...( xbkC

443 .zCC m

1...

...

...

...

0

...

0 bO

paramètre Y 1...

0

...

...

...

...

2 bO

paramètre θ

2...

...

...

...

...

0

2 bO

paramètre X

40

...

...

...

...

...

4 bO


...

...

0

...

...

...

bO

paramètre β

)2(53

53

53

35

sin..

0

cos..

3 bOZ

Y

X

F

On isole 2+3+4 et on utilise le théorème du

moment dynamique en O2 projeté sur 2y .

→ 2 2O , 2 3 4 / 0 2 O ,ext 2 3 4 2.y M .y

1

0

2

3 4

5

G(O0, 1y

)

P(O2, 1y

)

G(O2, 2x

)

P(O4, 4z

)

P(O*, 0x

)

01110 )...( yYbYkF

0

**

50 )...( xbkC

443 .zCC m

1...

...

...

...

0

...

0 bO

paramètre Y 1...

0

...

...

...

...

2 bO

paramètre θ

2...

...

...

...

...

0

2 bO

paramètre X

40

...

...

...

...

...

4 bO


...

...

0

...

...

...

bO

paramètre β

)2(53

53

53

35

sin..

0

cos..

3 bOZ

Y

X

F

On isole 1+2+3+4 et on utilise le théorème de la

résultante dynamique projeté sur 1y .

→ d,1 2 3 4 / 0 1 ext 1 2 3 4 1R .y F .y

1

0

2

3 4

5

G(O0, 1y

)

P(O2, 1y

)

G(O2, 2x

)

P(O4, 4z

)

P(O*, 0x

)

01110 )...( yYbYkF

0

**

50 )...( xbkC

443 .zCC m

1...

...

...

...

0

...

0 bO

paramètre Y 1...

0

...

...

...

...

2 bO

paramètre θ

2...

...

...

...

...

0

2 bO

paramètre X

40

...

...

...

...

...

4 bO


...

...

0

...

...

...

bO

paramètre β

)2(53

53

53

35

sin..

0

cos..

3 bOZ

Y

X

F

On isole 5 et on utilise le théorème du moment

dynamique en O* projeté sur 0x .

→ O*, 5 / 0 0 O*,ext 5 0.x M .x


18/01/2014 sur 19

1. Calcul de d, 3 4 / 0 2 ext 3 4 2R .x F .x :

C, 3 4 / 0 C, 3 / 0 C,4 / 0R R R

3C, 3 / 0 3 G 3 / 0 3 1R m .V m .Y.y

4C, 4 / 0 4 G 4 / 0R m .V où 4

0 4 4 4 4G 4 / 0 1 1 4

00

d(O O O G ) dyV Y.y e. Y.y e. .x

dt dt

C, 3 4 / 0 3 4 1 4 4R (m m ).Y.y m .e. .x

Rappel : 0 car cte (voir équation 3)

C, 3 4 / 0 2 C, 3 4 / 0 2 22 4 4 2 4d, 3 4 / 0 2 C, 3 4 / 0 4

00 00 0

d(R .x ) d(R .x )dx d( m .e. .x .x ) d( m .e. .cos )R .x R . m .e. .sin

dt dt dt dt dt

→ ext 3 4 2 53F .x X → 24 53m .e. .sin X (5)

2. Calcul de 2 2O , 2 3 4 / 0 2 O ,ext 2 3 4 2.y M .y :

2O n’est pas un point fixe dans R0. On ne peut donc pas utiliser l’intégration par partie.

2 2O , 2 3 4 / 0 2 O , 4 / 0 2.y .y car 2/0 et 3/0 mouvements de translation suivant 2y

2O , 4 / 0 ?

Nature du mouvement de 4/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G4 (centre de gravité) + O2

n’est pas un point fixe dans 0.


4G , 4 / 0 puis 2O , 4 / 0

4 4

4

G , 4 / 0 G 4 4 / 0 4 4 4 4

4 (b4 )

A 0 0

I (S ). 0 B 0 . .z C . .z

0 0 C

4

4

G , 4 / 0G , 4 / 0 4 4

0

dC . .z

dt

2 4O , 4 / 0 G , 4 / 0 2 4 d, 4 / 0O G R

2

2O , 4 / 0 4 4 3 2 2 4 4 1 4 4C . .z (( X l ).x d.y e.y ) (m .Y.y m .e. .y )

2

2 2O , 4 / 0 4 4 4 3 2 4 3 3 4 3 4 3C . .z m .Y.( X l ).z m .e. .( X l ).cos .z m .d.e. .sin .z m .Y.e.sin .z

Or 2 3 4z z z d’où 2O , 4 / 0 2.y 0

2 2 2O ,ext 2 3 4 2 O ,5 3 2 O ,1 2 2M .y M .y M .y

3

53

5 3 53

53O (b2 )

X . .cos

F Y 0

Z . .sin

→

2 3

2

2

O ,5 3 2 O ,5 3 2 3 53 2 53 2 53 2 2

O ,5 3 2 3 2 53 2 53 2 53 2 2

O ,5 3 2 3 53

M .y M O O ( X .x Y .y Z .z ) .y

M .y ( X l ).x ( X .x Y .y Z .z ) .y

M .y ( X l ).Z

→ 2 2O , 2 3 4 / 0 2 O ,ext 2 3 4 2.y M .y → 3 53( X l ).Z 0 → 53Z 0 (6)

ϕ

23 xx

0123 yyyy

432 zzz

4x

4y


18/01/2014 sur 19

3. Calcul de d,1 2 3 4 / 0 1 ext 1 2 3 4 1R .y F .y :

C,1 2 3 4 / 0 1 2 3 4 1 4 4R (m m m m ).Y.y m .e. .x

C,1 2 3 4 / 0 1 C,1 2 3 4 / 0 11d,1 2 3 4 / 0 1 C,1 2 3 4 / 0

00 0

1 2 3d,1 2 3 4 / 0 1

d(R .y ) d(R .y )dyR .y R .

dt dt dt

d((m m mR .y

4 4 4 1 4

1 2 3 400

2d,1 2 3 4 / 0 1 1 2 3 4 4

m ).Y m .e. .x .y ) d(m .e. .sin )(m m m m ).Y

dt dt

R .y (m m m m ).Y m .e. .cos

ext 1 2 3 4 1 1 1 53F .y k .Y b .Y Y

→ d,1 2 3 4 / 0 1 ext 1 2 3 4 1R .y F .y → 21 2 3 4 4 1 1 53(m m m m ).Y m .e. .cos k .Y b .Y Y (7)

4. Calcul de: O*, 5 / 0 0 O*,ext 5 0.x M .x :

O * est un point fixe dans R0. On peut donc utiliser l’intégration par partie :

O*, 5 / 0 0 O*, 5 / 0 00O*, 5 / 0 0 O*, 5 / 0

00 0

d( .x ) d( .x )dx.x .

dt dt dt

5

O*, 5 / 0 O* 5 5 / 0 5 5 5 5

5O* (b5 )

A 0 0

I (S ). 0 B 0 . .x A . .x

0 0 C

O*, 5 / 0 0 5.x A .

* *

O*,ext 5 0 O*,3 5 0M .x k . b . M .x

3

53

5 3 53

53O (b2 )

X . .cos

F Y 0

Z . .sin

→

3

*O*,3 5 0 O ,5 3 3 53 2 53 2 53 2 0

O*,3 5 0 5 5 53 2 53 2 0 53

O*,3 5 0 5 5 5

M .x M O O ( X .x Y .y Z .z ) .x

M .x . l .z ( X .x Y .y ) .x car Z 0

M .x . l .z ( X

3 0 53 0 53 0 0

O*,3 5 0 5 53 5 53

.cos .x X .sin .z Y .y ) .x

M .x . l .X .sin .sin l .Y .cos

→ O*, 5 / 0 0 O*,ext 5 0.x M .x → * *5 5 53 5 53A . k . b . . l .X .sin .sin l .Y .cos

En linéarisant : * *5 5 53 5 53A . k . b . . l .X . . l .Y (8)


18/01/2014 sur 19

5. Au final :

En reprenant l’équation (7) : 21 2 3 4 4 1 1 53(m m m m ).Y m .e. .cos k .Y b .Y Y

En y intégrant l’équation (1) : 5Y l . → 5Y l . → 5Y l .

On obtient : 21 2 3 4 5 4 1 5 1 5 53(m m m m ).l . m .e. .cos k .l . b .l . Y

En y intégrant l’équation (8) : * *5 5 53 5 53A . k . b . . l .X . . l .Y

On obtient : 2 * *1 2 3 4 5 4 1 5 1 5 5 5 53

5

1(m m m m ).l . m .e. .cos k .l . b .l . .(A . k . b . . l .X . . )

l

2 2 2 2 * *1 2 3 4 5 4 5 1 5 1 5 5 5 53(m m m m ).l . m .l .e. .cos k .l . b .l . A . k . b . . l .X . .

En y intégrant l’équation (5) : 24 53m .e. .sin X

et l’équation (3) : 5

3

l

X l

On obtient :

2 2 2 2 * * 2 51 2 3 4 5 4 5 1 5 1 5 5 5 4

3

l(m m m m ).l . m .l .e. .cos k .l . b .l . A . k . b . . l .m .e. .sin . .

X l

En y intégrant l’équation (2) : 0 1 3X d l l

et l’équation (4) : t

On obtient :

2 2 2 2 * * 2 51 2 3 4 5 4 5 1 5 1 5 5 5 4

0 1

l(m m m m ).l . m .l .e. .cos( .t ) k .l . b .l . A . k . b . . l .m .e. .sin( .t ). .

d l

Soit la loi du mouvement : 2

2 * 2 * 2 2 255 1 2 3 4 5 1 5 1 5 4 4 5

0 1

lA (m m m m ).l . b b .l . k k .l m .e. .sin( .t ). . m .l .e. .cos( .t )

d l

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