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Résumé du cours

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  • Branches infinies

    TEKAYA HABIB

    IHEC de sousse

    2014-2015

  • DfinitionLa droite dquation y = ax +b est une asymptote la courbe reprsentant f si etseulement si :

    limx+(f (x)ax b)= 0 ou limx(f (x)ax b)= 0

    Branches infinies Asymptote dquation y = ax +b 1 / 9

  • Une asymptote Cf dquation y = ax +b nest pas parallle (y y). Par contre,si a= 0 elle est parallle (x x) et la dfinition prcdente de lasymptote estquivalente :

    DfinitionLa droite dquation y = b est une asymptote la courbe reprsentant f si etseulement si :

    limx+ f (x)= b ou limx f (x)= b

    Branches infinies Asymptotes parallles aux axes des coordonnes 2 / 9

  • Une asymptote Cf dquation y = ax +b nest pas parallle (y y). Par contre,si a= 0 elle est parallle (x x) et la dfinition prcdente de lasymptote estquivalente :

    DfinitionLa droite dquation y = b est une asymptote la courbe reprsentant f si etseulement si :

    limx+ f (x)= b ou limx f (x)= b

    Branches infinies Asymptotes parallles aux axes des coordonnes 2 / 9

  • Dfinition asymptote parallle (y y)La droite dquation x = x0 est une asymptote la courbe reprsentant f si etseulement si :

    limxx+0

    f (x)=+ ou limxx+0

    f (x)= ou limxx0

    f (x)=+ ou limxx0

    f (x)=

    Branches infinies Asymptotes parallles aux axes des coordonnes 3 / 9

  • Dfinition

    Si limx

    f (x)x

    = a R, on dit que la courbe Cf admet une direction asymptotique quiest la direction de la droite dquation y = ax .

    Dfinition

    Si limx

    f (x)x

    = a R et si limx(f (x)ax)=, on dit que Cf admet une branche

    parabolique de direction asymptotique celle de la droite dquation y = ax .

    Branches infinies Quelques cas particuliers 4 / 9

  • Dfinition

    Si limx

    f (x)x

    = a R, on dit que la courbe Cf admet une direction asymptotique quiest la direction de la droite dquation y = ax .

    Dfinition

    Si limx

    f (x)x

    = a R et si limx(f (x)ax)=, on dit que Cf admet une branche

    parabolique de direction asymptotique celle de la droite dquation y = ax .

    Branches infinies Quelques cas particuliers 4 / 9

  • Exemple f (x)= x +x +1

    2 1 1 2 3 4 5 6

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    0

    Cf

    y = x

  • Dfinition

    Si limx

    f (x)x

    = 0 (ici a= 0) et si limx(f (x)ax)= limx f (x)=, alors Cf admet

    une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droitedquation y = 0 cest dire la direction de (x x).

    Si limx

    f (x)x

    = , on dit alors que Cf admet une branche parabolique dedirection asymptotique celle de la droite dquation x = 0 cest dire ladirection de (y y).

    Branches infinies Quelques cas particuliers 6 / 9

  • Dfinition

    Si limx

    f (x)x

    = 0 (ici a= 0) et si limx(f (x)ax)= limx f (x)=, alors Cf admet

    une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droitedquation y = 0 cest dire la direction de (x x).Si lim

    xf (x)x

    = , on dit alors que Cf admet une branche parabolique dedirection asymptotique celle de la droite dquation x = 0 cest dire ladirection de (y y).

    Branches infinies Quelques cas particuliers 6 / 9

  • Exemple g(x)=px et f (x)= x2

    4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

    1

    1

    2

    3

    4

    5

    0

    Cf

    Cg

    Branches infinies Quelques cas particuliers 7 / 9

  • On peut rsumer les situations prcdentes par :

    Branches infinies Rsum 8 / 9

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?

    limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?

    limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?

    limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?

    limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?

    limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?

    limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

  • Si limx f (x)= b R alors : y = b est une asymptote horizontale C au voisinage de

    Si limx f (x)=

    On calcule limx

    f (x)x

    =?limx

    f (x)x

    =C admet une brancheparabolique de direction (y y)

    limx

    f (x)x

    = 0C admet une brancheparabolique de direction (x x)

    limx

    f (x)x

    = a R

    limx(f (x)ax)=?

    limx(f (x)ax)= b RLa droite : y = ax +best une asymptote oblique C au voisinage de

    limx(f (x)ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite : y = axau voisinage de

    Asymptote d'quation y=ax+bAsymptotes parallles aux axes des coordonnesQuelques cas particuliersRsum