Poutres Continues Methodes Des Forces

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Methodes Des Forces

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  • Chapitre 6

    LES POUTRES CONTINUES Application de la mthode des forces

    A- POUTRES CONTINUES A ME PLEINE

    6.1 INTRODUCTION

    Les poutres continues sont des structures qu'on rencontre trs frquemment dans les constructions courantes.

    On appelle poutre continue une poutre reposant sur plusieurs appuis. Il sagit gnralement dappuis simples, lexception dun seul qui est un appui double et dont le rle consiste assurer la stabilit gomtrique de la poutre, comme empcher la translation horizontale dans le cas de la figure 6.1. Lappui double peut tre plac une extrmit ou, plus gnralement, tre un appui

    intermdiaire.

    k n lk ln

    1 l1

    0

    Figure 6.1 : Poutre continue avec le mode de numrotation des traves

    Les extrmits dune poutre continue peuvent trs bien comporter des porte--faux ou tre encastres. Le traitement de ces cas particuliers est abord plus loin.

    Les poutres continues sont des systmes hyperstatiques puisquelles prsentent des liaisons surabondantes (toutes les liaisons en plus de ce que doit comporter une poutre isostatique). Dans le cas dune poutre sans encastrements, le nombre de liaisons surabondantes, donc le degr dhyperstaticit, est gal au nombre dappuis intermdiaires.

  • 96 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Comparativement une srie de poutres bi-articules dont le nombre est gal celui des traves dune poutre continue, cette dernire est plus conomique car les moments flchissants qui la sollicitent sont plus faibles. La comparaison est encore plus nettement lavantage de la poutre continue par rapport une poutre isostatique unique de mme longueur. Dans une poutre continue, les appuis intermdiaires contribuent rduire et mieux rpartir sur toute la poutre le moment flchissant (qui est la sollicitation prpondrante). Cette observation reste valable pour les dplacements qui sont nettement moins importants dans le cas des poutres continues. Ces dernires prsentent par ailleurs une plus grande rigidit et rsistent de ce fait mieux laction dynamique.

    Les charges considres ici sont supposes tre appliques statiquement. Elles sont constitues de charges transversales (voire inclines), concentres ou rparties, et de couples.

    Contrairement aux poutres isostatiques, les poutres continues, comme tous les systmes hyperstatiques, sont trs sensibles aux dplacements des appuis. Ce phnomne a dj t mis en exergue dans un exemple dapplication des formules de Bresse traitant une poutre continue soumise au seul effet de laffaissement dun de ses appuis.

    Lorsque des tassements dappuis sont craindre, les poutres isostatiques sont mieux indiques. Si pour quelque raison que ce soit des appuis intermdiaires sont ncessaires, on ajoute la poutre continue des articulations judicieusement places de manire la rendre isostatique et annuler ainsi sa sensibilit aux affaissements des appuis susceptibles de se produire.

    Ce type de poutre - poutre reposant sur plusieurs appuis et rendue isostatique par lajout de rotules - est dsign par poutre Gerber. Elles sont obtenues en ajoutant autant darticulations quil y a dappuis intermdiaires. Pour sassurer que la structure obtenue est bien isostatique et quil ny a ni tronon dformable (tronon libre constituant un mcanisme) ni tronon hyperstatique, il suffit de respecter la rgle suivante : pas plus de deux articulations entre deux appuis, ni plus de deux appuis entre deux articulations. A titre dexemple, la figure 6.2 montre les deux faons possibles dobtenir une poutre type Gerber dans le cas de deux appuis intermdiaires.

    (a)

    (b)

    Figure 6.2 : Exemples de poutres Gerber

    Linfluence du moment flchissant sur les dformations tant prpondrante dans les poutres continues, cest la seule sollicitation dont il sera tenu compte lors du calcul des dplacements que nous serons amens effectuer.

  • A- Pou t res con t inues me p le ine 97

    6.2 APPLICATION DIRECTE DE LA METHODE DES FORCES

    Considrons une poutre continue horizontale sans encastrements (Figure 6.3a). L'application directe et intuitive de la mthode des forces conduit considrer comme inconnues hyperstatiques les ractions (verticales) des appuis intermdiaires.

    Le systme de base obtenu par suppression des liaisons verticales des appuis intermdiaires est une poutre simplement appuye (Figure 6.3b). Dans ce cas, le calcul des moments unitaires msk (Figure 6.3c et 6.3d) et du moment provoqu par les charges extrieures MsF, ncessaires au calcul des coefficients , ne prsente aucune difficult. ij u et

    X2=1

    X1=1

    X2 X1

    0 1 l1

    2 3 l2 l3

    (a)

    (b)

    (c)

    (d)

    Figure 6.3

    jFCependant, ce choix nest pas intressant car il implique des calculs

    fastidieux cause notamment du fait que les moments msk et MsF sont gnralement diffrents de zro sur toute la longueur de la poutre. De la sorte, les lments de la matrice de souplesse [u] et du vecteur dplacement [F] sont tous non nuls.

    Ceci nest pas la seule raison ; il en existe une autre plus dterminante. Chaque colonne de la matrice [u] reprsente les dplacements (flches sil sagit dune poutre horizontale) des points dapplication des inconnues hyperstatiques provoqus par une sollicitation unitaire. Pour une poutre comportant plusieurs appuis intermdiaires, deux colonnes successives de [u] auront des valeurs trs proches et seront comparables. De ce fait, la matrice [u] devient pratiquement singulire et conduit des solutions trs imprcises lors de la rsolution du systme dquations canoniques. Aussi, on opte pour un autre choix des inconnues hyperstatiques de manire contourner cette difficult et rduire les calculs.

  • 98 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    6.3 FORMULE DES TROIS MOMENTS

    6.3.1 Etablissement de la formule

    Considrons une poutre continue sans encastrements n traves (Figure 6.4). Son degr d'hyperstaticit est gal n-1.

    ln n 1 k-1 k k+1

    l1 lk lk+1 0

    Figure 6.4

    Prenons pour inconnues hyperstatiques les moments flchissants agissant au droit de chaque appui intermdiaire. Pour ce faire, on procde des coupures de manire supprimer la liaison de moment au niveau de chaque appui. Sagissant dinconnues hyperstatiques internes, chaque coupure libre deux inconnues (des moments) gales est opposes.

    En pratique, cela revient introduire une articulation au-dessus de chaque appui intermdiaire (Figure 6.5a). Pour remplacer les liaisons supprimer, on applique aux lvres de chacune des coupures deux couples gaux et opposs (M1, M2, , Mn-1) (Figure 6.5b).

    (a)

    Xn-1=Mn-1Xk+1=Mk+1Xk=Mk Xk-1=Mk-1X1=Ml

    n n-1 k+1k-1 k 1 0

    (b)

    Figure 6.5 : Systme statique de base

    Le systme statique de base ainsi obtenu prsente une proprit remarquable. En effet, on remarque que si on charge une trave, les autres ne subissent aucune influence. Ce rsultat signifie que le systme principal se comporte comme une succession de poutres simplement appuyes obtenues par sparation des n traves (Figure 6.6).

    Mn-1

    Mn-1

    Mk+1

    Mk+1

    Mk

    Mk

    Mk-1

    Mk-1

    M1

    M1

    Figure 6.6

  • A- Pou t res con t inues me p le ine 99

    Pour calculer les moments inconnus aux appuis, on applique le thorme de Menabrea pour chacun deux :

    WM

    c WM

    c WM

    c WM

    ck

    kn

    n = = = = 1 1 2 2 1 1, ... ... , ,

    o les reprsentent les manques de concordance des appuis. Ils sont nuls dans le cas des systmes concordants. Les quations du systme ci-dessus peuvent se mettre sous la forme connue de Mller-Breslau. Lquation courante relative linconnue M

    ci

    k scrit :

    WM

    c Mk

    k kiu

    i kF = + = i=1n-1

    ck

    kd

    En dveloppant lexpression prcdente, le systme des "n-1" quations de continuit prend la forme :

    11 1 12 2 1 1 1 1 1

    1 1 2 2 1 1

    u un

    un F

    ku

    ku

    knu

    n kF k

    M M M c

    M M M c

    + + + + =+ + + + =

    ...............................................................

    .................................................................

    ... nu nu n n n n F nM M M c + + + + =11 1 12 2 1 1 1 1 1

    Chacune des quations exprime la condition de continuit de la poutre dforme au-dessus d'un appui. Lquation k par exemple, exprime que la rotation relative entre les lvres de la coupure au-dessus de l'appui k est gale au manque de concordance correspondant. Dans le cas dun systme concordant cette rotation relative est nulle ; ou encore que la rotation gauche ( )

    est gale la rotation droite ( ) ; ce qui signifie aussi qu'en chaque point (appui par exemple) il n'y a qu'une tangente car la ligne lastique (la dforme) est continue (Figure 6.7).

    kg

    ( ) kd( ) k

    g

    Tangente

    k

    Figure 6.7

    Signification des coefficients iju et iF Les coefficients et iju iF

    iju

    reprsentent les rotations relatives des lvres de

    la section coupe i du systme de base. Les premires sont des rotations par unit de couple.

    est la rotation relative des lvres de la section i du systme de base,

    sous leffet dun couple unitaire appliqu aux lvres de la coupure j (les sections i et j se trouvant dans le cas prsent au dessus des appuis intermdiaires i et j).

    est la rotation relative des lvres de la section i du systme de base, sous leffet des charges extrieures (notes F).

    iF

  • 100 CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUES

    Considrons par exemple l'quation de continuit k (relative la coupure k). Elle scrit :

    ku ku kku k kku k kku k knu n kF kM M M M M M c1 1 2 2 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + = + + ... ... (6.1)