FLEXION DUNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE

2x

x1x3

Epaisseur b

MM 2h

FIG. 1 Gomtrie et chargement de la poutre

La poutre de la figure 1 possde une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b. Elle estcharge en flexion pure (cisaillements ngligs), et on suppose quune section droite de normale x1 restedroite.

Le comportement du matriau qui la constitue est lastique (E, ) parfaitement plastique (y).1. Quelle est la distribution de contrainte et de dformation en lasticit ?2. Trouver le moment Me pour lequel la plasticit dbute.3. Trouver la distribution des contraintes lorsque M dpasse Me. Montrer quil existe une valeur

limite M du moment de flexion pour laquelle les dformations deviennent infinies.4. Que se passe-t-il lorsquon relche leffort (M = 0),

i) dans le cas o le moment maximum atteint vaut Mm Me,ii) dans le cas o Me < Mm < M ?Montrer quil subsiste dans ce dernier cas des contraintes rsiduelles.

5. Recommencer le problme avec une force horizontale P superpose au moment de flexion : dfinirdans le plan PM la limite dlasticit, pour laquelle il y a plasticit commenante, et la chargelimite correspondant la ruine de la structure par dformation excessive.

Corrig

1. En flexion pure, ltat de contrainte est uniaxial ; le dplacement u1, donc 11 et 11 sontproportionnels x2 (origine des axes sur la ligne neutre).

=

0 00 0 00 0 0

; e = /E 0 00 /E 0

0 0 /E

(1)Lcriture de lquilibre des moments (Fig.2a), M =

+hh

x211b dx2 donne, en supposant que 11 =

kx2 :

11 = = Mx2/I , avec I = 2bh3/3max = m = 3M/2bh2 , (x2) = (x2 /h)m

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-

x2x2

0-

0

x2

0-

0

c

Compression

Traction

-h

+h

a

-a

ba

FIG. 2 Profil de contrainte 11 dans une poutre en flexion simple : (a) Elasticit, (b) En cours deplastification, (c) Charge limite

2. Il y a plastification lorsque m = y, soit : Me = 2bh2y/3

3. Pour M > Me, il y a un noyau lastique a x2 a, et deux zones plastiques, lune en traction(x2 > a), lautre en compression (x2 < a). Dans le noyau lastique, on a toujours linarit de lacontrainte avec x2 : = kx2 ; dans les zones plastiques, on a = +y(x2 > a), ou = y(x2 < a)(Fig.2b). Les deux inconnues du problme sont k et a.

Elles doivent vrifier : la condition dquilibre (1) :

+hh

x2 b dx2 = M

la continuit de la dformation en a , entranant celle de la contrainte la frontire entre les zoneslastique et plastique : ka = y do : k = y/a.

En remplaant par son expression dans lgalit (1), on obtient la valeur de M :

M/2 = a

0x2(y x2/a)b dx2 +

hax2 by dx2

M = by(h2 a2/3)

Remarques : Si a = h : M vaut bien Me = (2/3)byh2 Si a = 0 : M = M = byh2 = 3Me/2

Dans les deux cas, les solutions lastique et plastique se raccordent correctement.

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x2 x2c

T 0-

0- /2

0 /2

-a

a

a b

0

TC

C

T

FIG. 3 Profil de contrainte 11 aprs dcharge : (a) Pour une mise en charge lastoplastique, (b) Pourune mise en charge la charge limite

Pour M = M, la totalit de la poutre est plastifie, elle ne peut plus supporter de chargesupplmentaire, on a une rotule plastique (Fig.2c).

4. Il faut faire passer le moment de Mm zro. Les fibres qui sont allonges (resp. raccourcies) defaon irrversible vont donc se retrouver en compression (resp. traction). En supposant que lensemblede la dcharge seffectue de faon lastique (ce que lon vrifiera par la suite), on obtient ltat final parsuperposition de ltat actuel et de la distribution de contrainte que lon obtiendrait en lastique avec lemoment Mm, soit, quel que soit x2 compris entre h et +h : = Mmx2/I . Cela donne le profilsuivant, report en figure 3a :

pour a x2 a = yx2/a 3Mmx2/2bh3 pour x2 a = y 3Mmx2/2bh3 pour x2 a = y 3Mmx2/2bh3

Remarques : On note que la pente 3Mm/2bh3 est ngative pour |x2| > a. Les contraintes rsiduelles sont autoquilibres :

+hh

dx2 = 0.

On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le moment maximum Mm tend versle moment limite M = byh2, la contrainte c obtenue par superposition en x2 = h reste suprieure y :

c = y (3byh2/2bh3)h = y/2

5. Si on applique une traction horizontale en plus dun moment la forme du tenseur de contrainte estinchange, mais la ligne neutre est dplace. On a simplement, en lasticit :

11 = = Mx2/I + P/2bh

On dfinit donc la limite du domaine dlasticit par un segment de droite dans chaque quadrant duplan PM .

On connait dj le moment limite en flexion simple. En labsence de moment, la charge limite entraction est gale la charge qui produit la premire plasticit :

P = Pe = 2hby

Pour trouver les valeurs de Pr et Mr qui conduisent la ruine, en cas de chargement combin, ilsuffit de se placer directement ltat limite (Fig.4a), et dy crire lquilibre des moments et de la force

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0

+0

ruine de lastructure

M/Me

P/Pea

1Elastique

Plast.

1.5

1

(a) (b)

FIG. 4 (a) Profil de contrainte 11 pour ltat de charge limite, en traction axiale et flexion pure, (b)illustration des domaines lastique et plastique dans lespace PM

horizontale. Cet tat est caractris par :

si x2 < a : = ysi x2 > a : = y.

On crit alors :

P = ahyb dx2 +

hayb dx2 = 2yab

M = ahyx2b dx2 +

hayx2b dx2 = by(h2 a2)

En normant par Pe et Me, Pr = Pea/h ; Mr = 3Me(1 a2/h2)/2, et on trouve le diagramme de lafigure 4b :

Mr/Me = (3/2)(1 (Pr/Pe)2)

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