Ecole national d’Electronique et de Année universitaireCommunication de Sfax 2014-2015ENETCOM

Cours de Probabilité-Statistiquesélaboré par les enseignants de l’ENETCOM

Filières 1ING

1

Chapitre 1

Rappel de combinatoire - Langage desprobabilités

I Dénombrement

1.1 La règle de multiplicationExemple 1 On jette deux dés non truqués numérotés de 1 à 6. On s’intéresse aux résultatsamenés par les deux dés. Donner le nombre des résultats possibles.

Théorème 1 Si une première opération peut se réaliser de n1 façons, une deuxième de n2

façons, une keme de nk façons, alors la séquence des k opérations peut se réaliser de n1n2 · · ·nk

façons.

1.2 Les combinaisons

1.2.1 Combinaison sans répétition

Définition 1 Soit un ensemble à n éléments distincts, A = a1, · · · ,an. On appelle combi-naison sans répétition de p éléments choisis parmi les n éléments de A, une disposition nonordonnée de ces p éléments dans laquelle chaque élément figure une seule fois.

Exemple 2 On tire d’une urne, contenant 5 boules, 3 boules simultanément. Dénombrer cettesituation.

Théorème 2 Le nombre de combinaisons sans répétition possibles de p éléments parmi néléments distincts est donné par :

Cpn =

n!

(n− p)!p!, p ≤ n, avec n! = n(n− 1) · · · 1, 0! = 1.

Propriété 1 1. C0n = 1

2. Cnn = 1

3. C1n = n

4. Cpn = n

n−pCp

n−1

5. Cpn = n

pCp−1

n−1

6. Cpn = Cp

n−1 + Cp−1n−1

7. Binôme de Newton: ∀a,b ∈ IR∗, n ∈ IN, (a + b)n =∑n

k=0 Cknakbn−k

2

1.2.2 Combinaison avec répétition

Définition 2 Soit un ensemble à n éléments distincts, A = a1, · · · ,an. On appelle combi-naison avec répétition de p éléments choisis parmi les n éléments de A, une disposition nonordonnée de ces p éléments dans laquelle chaque élément peut figurer plus qu’une fois.

Exemple 3 Déterminer de combien de façons différentes peut-on ranger 5 cahiers indiscer-nables dans 2 tiroirs discernables, où chaque tiroir peut recevoir un nombre quelconque decahiers : 0,1, · · · ,5.

Théorème 3 Le nombre de combinaisons possibles, avec répétition éventuelle, de p élémentsparmi n éléments distincts est donné par :

Cpn+p−1 =

(n + p− 1)!

(n− 1)!p!

1.3 Les arrangements

1.3.1 Arrangements sans répétition

Définition 3 Soit un ensemble à n éléments distincts, A = a1, · · · ,an. On appelle arrange-ment sans répétition de p éléments choisis parmi les n éléments de A, une disposition ordonnée(p-uplet) de ces p éléments dans laquelle chaque élément peut figurer une seule fois.

Exemple 4 Cinq équipes de même niveau e1, · · · ,e5, participent à un tournoi de football. Decombien de façons différentes peut-on avoir le classement des trois premières équipes?

Exemple 5 On considère une urne contenant 10 boules. On tire de cette urne 3 boules suc-cessivement et sans remise. Déterminer le nombre des résultats possibles.

Théorème 4 Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments parmi n éléments dis-tincts est donné par :

Apn =

n!

(n− p)!,p ≤ n.

Propriété 2 Apn = (n− (p− 1))Ap−1

n

1.3.2 Arrangements avec répétition

Définition 4 Soit un ensemble de n éléments distincts, A = a1, · · · ,an. On appelle arrange-ment avec répétition de p éléments choisis parmi les n éléments de A, une disposition ordonnée(p-uplet) de ces p éléments dans laquelle chaque élément peut figurer plus qu’une fois.

Exemple 6 On tire d’une urne, contenant 5 boules, 3 boules successivement avec remise.Dénombrer cette situation.

Théorème 5 Le nombre d’arrangements avec répétition de p éléments parmi n éléments dis-tincts est donné par : np

1.4 Les permutationsDéfinition 5 Soit un ensemble à n éléments distincts ou non, A = a1, · · · ,an. On appellepermutation des n éléments de A une disposition ordonnée de ces n éléments.

3

1.4.1 Permutations sans répétition

Exemple 7 Cinq équipes de même niveau, e1, · · · ,e5, participent à un tournoi de football.Déterminer le nombre de classements possibles à la fin du tournoi.

Théorème 6 Le nombre de permutations (sans répétition) possibles de n éléments distinctsA = a1, · · · ,an est donné par

Pn = Ann = n! = n(n− 1)(n− 2) · · · (2)(1) avec 1! = 1, 0! = 1.

1.4.2 Permutations avec répétition

Exemple 8 Cinq étudiants tunisiens, trois étudiants français et deux étudiants marocainspassent un concours de statistique. Le classement final sera établi selon la nationalité et in-dépendamment de tout autre critère. Déterminer le nombre de classements possibles à ceconcours.

Théorème 7 Le nombre de permutations, avec répétition, possibles de n éléments non tousdistincts est donné par :

P n1···nkn =

n!

n1! · · ·nk!, avec

k∑i=1

ni = n.

II Langage des probabilités

1.5 Notions de base: Expérience aléatoire, ensemble fon-damental, évènement

Définition 6 – Une expérience E est dite aléatoire si le résultat n’est pas prévisible aveccertitude. (on dit aussi épreuve aléatoire)

– L’ensemble des résultats possibles associés à une expérience aléatoire est appelé ensemblefondamental ou univers, on le note Ω.

– Un évènement A est un sous ensemble de Ω c’est à dire un ensemble de résultats possiblesde l’expérience aléatoire.

– L’évènement a, constitué par un seul élément de Ω est appelé évènement élémentaire.– L’ensemble vide (aucun résultat) est appelé évènement impossible.– L’ensemble Ω est appelé évènement certain.

Exemple 9 1. E1 : Jet d’un dé numéroté de 1 à 6. Ω1 =?A1 : " Obtenir un nombre pair en lançant un dé "

2. E2 : Jet d’une pièce de monnaie Ω2 =?

3. E3 : note obtenue dans une matière Ω3 =?

1.5.1 Relations entre évènements

Soient A et B deux évènements,

Exemple 10 E: jet d’un dé, A: obtenir un nombre pair, B : obtenir un nombre premier

4

1. Réunion : A ∪B est l’évènement qui se produit si A ou B ou les deux est réalisé.

A ∪B = w ∈ Ω ,w ∈ A ou w ∈ B

2. Intersection : A ∩ B est l’évènement qui se produit si A et B sont réalisés les deux à lafois.

A ∩B = w ∈ Ω, w ∈ A et w ∈ B

3. Complémentaire ou contraire : A est l’évènement qui se produit quand A n’est pas réalisé(on dit aussi non A)

A = Ω\A = w ∈ Ω, w /∈ A.

4. Incompatibles: A et B sont dits incompatibles ou disjoints si A∩B = ∅ Il est évident queA et A sont incompatibles. Les évènements élémentaires d’un espace fondamental sontaussi incompatibles deux à deux.

5. Système complet d’évènements: soit Ω un espace fondamental. On dit que A1, · · · ,Ak estun système complet (ou une partition) de Ω si:

– Ai ∩ Aj = ∅, ∀i, j ∈ 1, · · · ,k avec i 6= j.

– A1 ∪ · · ·Ak = ∪ki=1Ai = Ω

1.6 Espace probabilisable et probabilitéExemple 11 Vous faites un pari avec une pièce de monnaie: vous jetez la pièce, vous gagnezsi c’est Pile, vous perdez si c’est Face.La connaissance des résultats possibles de l’expérience : Ω = P,F n’est pas suffisante. Onaimerait savoir quelles sont les chances d’avoir Pile c’est à dire de gagner: pour décrire uneexpérience aléatoire on aimerait associer à chaque évènement sa fréquence d’apparition.

1.6.1 Espace probabilisable

Définition 7 Soit Ω l’espace fondamental associé à une expérience aléatoire et soit P(Ω)l’ensemble des évènements qu’on peut former à partir de Ω. Le couple (Ω,P(Ω)) est appeléespace probabilisable.

Exemple 12 Expérience E: jet d’une pièce, P(Ω)?

Définition 8 Soit (Ω,P(Ω)) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω,P(Ω)),l’application P définie par:

P : P(Ω) → [0,1]A → P (A)

vérifiant les propriétés suivantes:– P (Ω) = 1

– P (∪iAi) =∑

i P (Ai) pour toute réunion finie ou dénombrable d’éléments de P(Ω) deuxà deux incompatibles

On appelle alors espace probabilisé le triplet (Ω,P(Ω),P )

5

Equiprobabilité Soit un univers fini Ω = w1,w2, · · · ,wn. Si tous les évènements élémentairesont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité. L’espace probabilisé est alors uniforme.Dans ce cas pour tout évènement A,

P (A) =card(A)

card(Ω).

Exemple 13 Calculer la probabilité des évènements élémentaires dans les expériences E1 etE2. Calculer P (A1) et P (A1).

Propriété 3 Soit (Ω,P(Ω),P ) un espace probabilisé, A et B deux évènements.1. P (A) = 1− P (A).

2. si A ⊂ B alors P (A) ≤ P (B) et P (B\A) = P (B)− P (A)

3. P (∅) = 0

4. P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

5. P (A ∩B) = P (B)− P (A ∩B)

6. soit A1,A2, · · · ,Ak un système complet d’évènements et soit B ⊂ Ω alors

k∑i=1

P (Ai) = 1 et P (B) =k∑

i=1

P (Ai ∩B)

7. 0 ≤ P (A) ≤ 1.

1.7 Probabilité conditionnelleDéfinition 9 Soit (Ω,P(Ω),P ) un espace probabilisé et soit A, B deux évènements de Ω avecP (B) 6= 0. On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B, et on note P (A/B) , laprobabilité de réalisation de l’évènement A sachant que l’évènement B s’est réalisé.

P (A/B) =P (A ∩B)

P (B).

Remarque 1 1. Dans le cas où A et B sont incompatibles, P (A/B) = P (B/A) = 0

2. Si B ⊂ A, P (A/B) = 1

3. A/B est un évènement, son complémentaire est A/B d’où P (A/B) = 1− P (A/B).

Propriété 4 1. P (Ω/B) = 1

2. Formule des probabilités composées: si P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0 alors,

P (A ∩B) = P (A/B)P (B) = P (B/A)P (A)

3. généralisation: P (A ∩B ∩ C) = P (A/B ∩ C)P (B ∩ C) = P (A/B ∩ C)P (B/C)P (C)

4. Formule des probabilités totales: si A1, · · · ,Ak est un système complet d’évènements deΩ avec P (Ai) 6= 0, ∀i alors ∀B ⊂ Ω,

P (B) =k∑

i=1

P (B ∩ Ai) =k∑

i=1

P (B/Ai)P (Ai)

6

5. Théorème de Bayes

P (Ai/B) =P (B/Ai)P (Ai)∑k

j=1 P (B/Aj)P (Aj), i = 1, · · · ,k

6. Un cas particulier:

P (B) = P (B/A)P (A) + P (B/A)P (A), P (A/B) =P (B/A)P (A)

P (B)

7. Si A1 et A2 sont incompatibles alors P (A1 ∪ A2/B) = P (A1/B) + P (A2/B)

Exemple 14 Trois urnes identiques contiennent respectivement:U1: 20 boules blanches et 5 boules rougesU2: 2 boules blanches et 98 boules rougesU3: 4 boules blanches et 6 boules rougesOn tire au hasard une boule, elle est blanche. Quelle est la probabilité pour qu’elle proviennede U1.

1.8 Indépendance d’évènementsDéfinition 10 Soit A et B deux évènements tels que P (A) 6= 0 et P (B) 6= 0. A et B sont ditsindépendants si la connaissance du fait que B s’est réalisé n’a pas d’influence sur les chancesd’apparition de A c.à.d

P (A/B) = P (A) et P (B/A) = P (B)

ou encoreA et B sont indépendants ssi P (A ∩B) = P (A)P (B)

Exemple 15 On lance en même temps deux dés cubiques non truqués. On note les chiffresqui apparaissent sur les deux dés. soit les évènements A:”on trouve 2 en lancant le 1er dé“ etB:” on trouve 5 en lancant le 2eme dé“.A et B sont-ils indépendants?

7

Chapitre 2

Variable aléatoire - Fonction derépartition

2.1 Variable aléatoireDéfinition 11 Soit un espace probabilisable (Ω,P(Ω)). On appelle variable aléatoire (v.a.)une application

X : Ω → IRw → X(w)

On note par

ΩX = X(w), w ∈ Ω,

l’ensemble des valeurs possibles de X.

L’association d’un évènement élémentaire w ∈ Ω et d’une valeur x se traduit par X(w) = x.On dit alors que x est la valeur ou la réalisation prise par la v.a. X lorsque le résultat del’expérience aléatoire est w.

Exemple 16 1. Expérience E1 : jet d’une pièce de monnaie

X =

1 si Pile0 si Face

ΩX = 0,1.2. Expérience E2 : jet d’un dé, V : deux fois le nombre obtenu, ΩV = 2,4,6,8,10,12.3. Expérience E3 : contrôle d’un article dans un processus de production.

U =

1 si défectueux0 sinon

ΩU = 0,1.4. Expérience E4 : contrôle de n articles. W : nombre d’articles défectueux. ΩW = 0,1, · · · ,n.5. Expérience E5 : réception d’appels téléphoniques au standard d’un établissement. Y :

nombre d’appels. ΩY = 0,1, · · · = IN.

6. Expérience E6 : exploitation d’un ordinateur. T : durée de service. ΩT = [0, +∞[

Définition 12 Une variable aléatoire X est dite:– discrète si ΩX est dénombrable ou fini (exemple:X,V,U,W,Y ).

8

– continue si ΩX est non dénombrable (exemple: T ).

On note par X = x l’évènement

X = x = w ∈ Ω, X(w) = x.

Exemple 17 Expérience: jet d’une pièce deux fois. X: nombre de Piles obtenus.

Ω = w1 = (F,F ), w2 = (F,P ), w3 = (P,F ), w4 = (P,P ).

X(w1) = 0, X(w2) = 1, X(w3) = 1, X(w4) = 2.l’ensemble des valeurs prises par X est ΩX = 0,1,2.X = 0 = w ∈ Ω, X(w) = 0 = w1,X = 1 = w2,w3,X = 2 = w4,X = x = ∅ si x /∈ 0,1,2

P (X = 0) = P (w1) = 1/4,P (X = 1) = P (w3,w2) = 2/4,P (X = 2) = P (w4) = 1/4,P (X = 3) = P (∅) = 0.

Exemple 18 Expérience: jet de deux dés: un rouge et un bleuZ: somme des points amenés par les deux dés.Déterminer la probabilité des évènements suivants:A: avoir une somme égale à 10B: avoir une somme inférieure strictement à 2C: avoir une somme inférieure à 13

2.2 Fonction de répartition

2.2.1 Définition et exemple

Définition 13 Soit X une v.a. discrète ou continue. On appelle fonction de répartition de Xla fonction:

F : IR → [0,1]x 7→ F (x) = P (X ≤ x).

Exemple 19 Expérience: jet d’une pièce deux foisX: nombre de piles obtenus, ΩX = 0,1,2. Calculer F (x) et la représenter.

Exercice 1 Expérience: jet d’une pièce trois foisX: nombre de piles obtenus. Calculer F (x) et la représenter.

2.2.2 Propriétés de la Fonction de répartition

1. Propriétés caractéristiques

Théorème 8 La fonction de répartition d’une variable aléatoires X a les propriétéscaractéristiques suivantes:

9

1) limx→−∞ FX(x) = 02) limx→+∞ FX(x) = 13) FX est croissante: ∀x1 ≤ x2, F (x1) ≤ F (x2)4) FX est continue à droite en x, ∀x ∈ IR

2. Autres propriétés(a) FX admet en tout point a une limite à gauche FX(a−) et on a:

P (X = a) = FX(a)− FX(a−).

(b) La connaissance de la fonction de répartition permet de calculer la probabilité detout intervalle:XP (X ≤ a) = FX(a)

XP (X < a) = FX(a−)

XP (X ≥ a) = 1− FX(a−)

XP (X > a) = 1− FX(a)

XP (a < X ≤ b) = FX(b)− FX(a).

XP (a < X < b) = FX(b−)− FX(a).

XP (a ≤ X < b) = FX(b−)− FX(a−).

XP (a ≤ X ≤ b) = FX(b)− FX(a−).

(c) Les atomes de la variable aléatoire X, c-à-d les réels a pour lequel P (X = a) > 0,sont exactement les points de discontinuité de la fonction de répartition. La fonctionde répartition d’une variable aléatoire X est donc continue si et seulement si X n’aaucun atome, i.e. si et seulement si∀x ∈ IR,P [X = x] = 0.

Remarque 2 (a) L’ensemble S des atomes de la variable aléatoire X est fini ou dénom-brable.

(b) Si P (X ∈ S) = 1, alors X est une v.a discréte.

10

Chapitre 3

Variables aléatoires discrètes - Loisdiscrètes usuelles

3.1 Loi de probabilitéDéfinition 14 On appelle loi (ou distribution) de probabilité d’une v.a. discrète X, la fonctionqui à tout x ∈ ΩX associe P (X = x).

Exemple 20 Déterminons la loi de X dans l’exemple précédant: ” jet d’une pièce deux fois”

Remarque 3 On peut faire la vérification:∑

x∈ΩX

P (X = x) = 1

3.2 Fonction de répartition d’une v.a. discrètePropriété 5 Pour les variables aléatoires discrètes X les plus courantes (par exemple, les loisuniformes, binomiales, de Poisson) ΩX est un ensemble bien ordonné : on peut alors numéroterses éléments de manière croissante : s1 < s2 < s3 < ... On a alors:

Xsi x ∈ [si,si+1[, FX(x) =∑

1≤j≤i P [X = sj].

XP [X = sj] = FX(sj)− FX(sj−1) ∀j ∈ 2,3,... et P [X = s1] = FX(s1).

Propriété 6 La fonction de répartition est alors une fonction constante par intervalles et sareprésentation graphique est en escalier. Les sauts d’une marche à l’autre de l’escalier se situentaux abscisses si, et l’amplitude du saut d’abscisse s est ps = FX(s)− FX(s−).

3.3 Transformation d’une v.a. discrèteSoit la v.a. discrète X et ΩX l’ensemble de ses valeurs possibles, et soit la transformation

φ : IR → IRX 7→ Y = φ(X)

Notons par ΩY l’ensemble des valeurs possibles de Y = φ(X).Alors connaissant la loi de X, on peut déterminer la loi de Y = φ(X) avec ΩY = φ(ΩX)

11

Exemple 21 Soit la v.a. X de loi donnée parX -2 -1 0 1 2P(X=x) 0.05 0.15 0.4 0.3 0.1

Déterminer la loi de Y = X2

3.4 Espérance- Variance-Ecart typeDéfinition 15 Soit la v.a. discrète X et ΩX son ensemble de réalisations. Soit φ(X) unefonction de X. On appelle espérance mathématique de φ(X) le réel:

E(φ(X)) =∑

x∈ΩX

φ(x)P (X = x).

Exemple 22 Déterminer l’espérance de Y dans l’exemple précédant.1ere méthode: E(Y ) = E(φ(X)) =

∑x∈ΩX

φ(x)P (X = x)

2eme méthode: E(Y ) =∑

y∈ΩY

yP (Y = y)

Définition 16 Soit X une v.a. discrète d’espérance m = E(X). On appelle variance de X leréel positif:

V (X) = E((X −m)2) = E(X2)−m2 =∑

x∈ΩX

(x−m)2P (X = x).

On appelle écart-type le réel positif σX =√

V (X).

Exemple 23 Calculer E(X) et V (X) dans l’exemple précédent.

Propriété 7 Soit X et Y deux v.a. et a une constante réelle1. E(aX) = aE(X).

2. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

3. E(a) = a.

4. V (aX) = a2V (X)

5. V (X + a) = V (X).

3.5 Lois usuelles discrètes

3.5.1 Loi de Bernouilli

Exemple 24 On jette une pièce non équilibrée: Pile apparait avec la probabilité p (0 < p < 1)et Face avec la probabilité (1− p). Soit la v.a.

X =

1 si Pile (succès)0 si Face (echec)

Définition 17 La v.a. X suit une loi de Bernouilli de paramètre 0 < p < 1 , l’ensemble deses valeurs est ΩX = 0,1 et on a

P (X = x) =

px(1− p)1−x si x ∈ 0,10 sinon

On note X ≡ B(p).

12

Propriété 8 1. E(X) =∑

x∈ΩXxP (X = x) = p

2. V (X) = p− p2

3. σ(X) =√

p− p2

3.5.2 Loi Binomiale

Exemple 25 On jette la pièce non équilibrée n fois avec p : probabilité de succèsX : nombre de Piles obtenus (nombre de succès)

Définition 18 La v.a. X suit une loi Binomiale de paramètres (n,p), n ∈ IN∗, 0 < p < 1 avecΩX = 0,1,2, · · · ,n

P (X = x) =

Cx

npx(1− p)n−x si x ∈ ΩX ,0 sinon

On note X ≡ B(n,p)

Exemple 26 Une population compte 40% de femmes et 60% d’hommes. On prend au hasardun échantillon de 4 personnes. Soit X: nombre de femmes dans l’échantillon. Déterminer la loide X.

Propriété 9 E(X) = np, V (X) = np(1− p)

3.5.3 Loi de Poisson

Définition 19 Une v.a. X suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 si ΩX = 0,1,2, · · · = INet

P (X = x) =

e−λ λx

x!si x ∈ IN,

0 sinon

On note X ≡ P(λ)

Exemple 27 Sur l’autoroute, 4 voitures en moyenne passent par minute. On compte le nombrede voitures par 10 minutes: ce nombre suit une loi P(40)

Propriété 10 E(X) = λ, V (X) = λ

Remarque 4 La loi de Poisson décrit le comportement du nombre d’évènements se produisantdans un laps de temps fixé, si ces évènements se produisent avec une fréquence moyenne connueet indépendamment du temps écoulé depuis l’évènement précédent.

3.5.4 Loi Uniforme discrète

Définition 20 Une v.a. X suit une loi uniforme discrète si ΩX = 1,2, · · · ,n et

P (X = x) =

1n

si x = 1,2, · · · ,n0 sinon

On note X ≡ U1,2,··· ,n

Propriété 11 X ≡ U1,2,··· ,n, E(X) = n+12

, V (X) = n2−112

.

Exemple 28 On jette un corps à 4 faces équiprobables numérotées 1,2,3,4.Soit la v.a. Z : numéro obtenu. Donner la loi de Z.

13

3.5.5 Loi géométrique

Exemple 29 On jette une pièce jusqu’à obtenir un Pile, avec p: probabilité d’avoir Pile,0 < p < 1X : rang du premier Pile obtenu. ΩX = IN∗,

P (X = x) = P (FF · · ·FP ) = (1− p)x−1p, ∀x ∈ IN∗

alors X suit une loi géométrique de paramètre p

E(X) =1

p, V (X) =

1− p

p2.

14

Chapitre 4

Variables aléatoires continues - Loiscontinues usuelles

Définition 21 Une v.a. est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans unintervalle donné (borné ou non borné)

4.1 Loi de probabilitéDéfinition 22 On appelle densité de probabilité toute fonction f : IR → IR vérifiant:

1. f est positive2. f est continue par morceaux

3.∫

IR

f(x)dx = 1 où l’intégrale est définie par∫

IR

f(x)dx = limA→+∞

∫ A

−A

f(x)dx

Exemple 30 Déterminer la constante α ∈ IR pour que la fonction définie sur IR par

f(t) =

0 sit < 0αe−2t sit ≥ 0

représente la densité de probabilité d’une v.a. X

Définition 23 Une v.a. X de fonction de répartition FX est dite absolument continue s’ilexiste une densité de probabilité f telle que pour tout réel x, on a

FX(x) =

∫ x

−∞f(t)dt.

Dans ce cas f est la densité de probabilité de la v.a. X.

Propriété 12 1. Pour tout réel a, P (X = a) = 0.

2. Pour tous réels a et b tels que a < b on a

P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b).

Autement dit peu importe si on considère les intervalles ouverts ou fermés ou semi-ouverts.

Exercice 2 Soit X une v.a. de densité de probabilité

f(x) = c(4x− x2)1I[0,3](x)

où c ∈ IR.

15

1. Déterminer c

2. Quelle est la fonction de répartition F associée à cette loi de probabilité.3. Déterminer P (1 < X < 3)

4. Déterminer ΩX

4.2 Fonction de répartition d’une v.a. continuePropriété 13 1. Pour tous réels a et b tels que a < b on a P (a < X ≤ b) = FX(b)−FX(a) =∫ b

af(t)dt.

2. FX est continue sur IR. De plus en tout point x où f est continue F ′X(x) = f(x).

Théorème 9 La fonction de répartition d’une variable aléatoires continue X à densité a lespropriétés caractéristiques suivantes:

1) limx→−∞ FX(x) = 0 et limx→+∞ FX(x) = 12) FX est continue sur IR3) FX est croissante: ∀x1 ≤ x2, F (x1) ≤ F (x2)4) FX est de classe C1 sur IR sauf peut être en un nombre fini de points

4.3 Paramètres d’une v.a. continueDéfinition 24 Soit X une v.a. de densité de probabilité f

1. On appelle espérance de X, le réel ( quand il existe)

E(X) =

∫IR

tf(t)dt.

2. Si E(X) existe, on appelle variance de X, le réel positif (quand il existe)

V (X) =

∫IR

(t− E(X))2f(t)dt.

Dans ce cas, on appelle écart type le réel positif σX =√

V (X).

Remarque 5 1) En posant de façon générale (quand l’intégrale existe)

E((X − a)n) =

∫IR

(t− a)nf(t)dt, ∀a ∈ IR, ∀n ∈ IN∗

on peut écrire V (X) = E(X − (E(X))2).2) Si X est une v.a. telle que E(X) existe, alors

V (X) = E(X2)− (E(X))2 =

∫IR

t2f(t)dt(

∫IR

tf(t)dt)2.

Propriété 14 Soit X et Y deux v.a. continues et a ∈ IR, alors1. E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

2. E(a) = a.

3. E(X + a) = E(X) + a.

4. E(aX) = aE(X).

5. V (a) = 0.

6. V (X + a) = V (X).

7. V (aX) = a2V (X).

16

4.4 Lois continues usuelles

4.4.1 Loi uniforme

Définition 25 Soit a et b deux réels tels que ab. On dit que X suit la loi uniforme sur [a,b]si ΩX = [a,b] et la densité de X est

f(t) =1

b− a1[a,b](t)

Propriété 15 Si X suit une loi uniforme sur [a,b] alors sa fonction de répartition est F

F (x) =

0 si x ≤ ax−ab−a

si a ≤ x ≤ b

1 si x ≥ b

E(X) = a+b2

et V (X) = (b−a)2

12.

Exemple 31 Le temps d’attente en minutes pour accéder à des données suit une loi uniformesur [1,6]. Déterminer la probabilité d’attendre au moins 4 minutes. Déterminer le temps d’at-tente moyen.Réponse: P (X ≥ 4) = P (4 ≤ X ≤ 6) = F (6)− F (4) = 1− 3/5, E(X) = 7/2

4.4.2 Loi exponentielle

Définition 26 Soit λ un réel strictement positif. On dit que X suit la loi exponentielle deparamètre λ, et on note

X E(λ),

si sa densité de probabilité est donnée par:

f(t) = λe−λt1[0,+∞[(t).

Propriété 16 Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ alors sa fonction de répartitionest

FX(t) =

0 si t ≤ 01− e−λt si t ≥ 0

E(X) =1

λet V (X) =

1

λ2

4.4.3 Loi normale

Définition 27 Soit m ∈ IR et σ ∈ IR∗+. On dit que X suit la loi normale (ou loi Gaussienne)

de paramètres m et σ2, notée N(m,σ2), si elle est à valeurs dans IR: ΩX = IR, et a pour densitéla fonction

f(t) =1√2πσ

e−12

(t−m)2

σ2 .

Alors E(X) = m et V (X) = σ2.

Propriété 17 Pour tout réel a ∈ IR∗ et b ∈ IR,

X N(m,σ2) ⇐⇒ Y = aX + b N(am + b,a2σ2).

17

Loi normale centrée réduite

Définition 28 On dit que X suit la loi normale centrée réduite N(0,1) si E(X) = 0 etV (X) = 1. Dans ce cas

f(t) =1√2π

e−t2

2

Propriété 18 Si X suit une loi N(m,σ2) alors Y =X −m

σsuit une loi N(0,1)

Si X N(0,1) alors sa fonction de répartition est

F (x) =

∫ x

−∞

1√2π

e−t2

2 dt

dont les valeurs numériques sont tabulées.On peut montrer que

∀x ∈ IR, F (x) = 1− F (−x)

Exemple 32 a) Soit X une v.a. normale centrée réduite, calculer

P (1 ≤ X ≤ 2), P (1.24 ≤ X ≤ 2.63), P (−2.5 ≤ X ≤ −0.25)

b) On pose Y = 2X + 1. Donner la loi de Y et calculer P (1.42 ≤ Y ≤ 5.26)

18