Examen final CIV2310-H2014 Page 1/10

Polytechnique Montréal Département des génies civil, géologique et des mines

CIV2310 MÉCANIQUE DES FLUIDES

EXAMEN FINAL Hiver 2014

Date : 2 mai 2014 Heure : 13h30 à 16h00 (durée: 2h30) Pondération : 55% de la note globale Notes :

1. Aide-mémoire du professeur, calculatrice non-programmable permise. 2. Pour chaque question, vous devez bien détailler votre démarche. 3. Remettez le questionnaire avec votre copie d’examen. 4. Au besoin, utilisez les valeurs suivantes:

a. Accélération gravitationnelle, g = 9.81 m/s2 b. Poids spécifique de l’eau, γw = 9810 N/m3

5. Quelques propriétés géométriques a. Moments d’inerties:

PARTIE I : QUESTIONS CONCEPTUELLES Question 1 (0.5 pt) – Pour un écoulement de fluide visqueux en régime permanent, les forces agissant sur un élément de fluide sont:

(a) forces de gravité, cisaillement et normales (pression) (b) forces de gravité et normales (pression) (c) forces de gravité et cisaillement (d) forces normales (pression) et cisaillement

Ne justifiez pas votre réponse.

Examen final CIV2310-H2014 Page 2/10

Question 2 (0.5 pt) – Considérez le distributeur de café ci-dessous, équipé d’un tube de verre qui permet d’indiquer le niveau de café restant dans le réservoir opaque. Si on ouvre la valve, qu’adviendra-t-il du niveau de café dans le tube de verre? Ne justifiez pas votre réponse.

(a) il restera le même (b) il s’élèvera (c) il s’abaissera

Question 3 (0.5 pt) – Identifiez la vanne sur laquelle s’exerce la plus grande force résultante de pression hydrostatique. Chaque vanne est de dimension unitaire dans le plan sortant. Ne justifiez pas votre réponse.

Question 4 (1 pt) – Dessinez approximativement les lignes d’énergie et piézométrique pour ce montage hydraulique impliquant un fluide visqueux, incompressible et en régime permanent.

Examen final CIV2310-H2014 Page 3/10

Question 5 (0.5 pt) – Considérez un jet libre de fluide en régime permanent avec un profil de vitesse uniforme dévié d’un angle θ par un déflecteur à l’intérieur d’un chariot maintenu en place grâce à la force F. Quel angle θ parmi les suivants génère la plus grande force F? Ne justifiez pas votre réponse.

(a) θ = 45° (b) θ = 60° (c) θ = 90° (d) la force F est la même en (a), (b) et (c)

PARTIE II : RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Question 6 (2.5 pts) – Déterminez la différence de pression entre les points A et B de ce manomètre différentiel à l’équilibre. Utilisez les poids spécifiques suivants:

! benzène: 8 643 N/m3 ! mercure: 133 000 N/m3 ! kérosène: 7 887 N/m3 ! eau: 9 810 N/m3 ! air: 12 N/m3

Examen final CIV2310-H2014 Page 4/10

Question 7 (3.5 pts) – Considérez un écoulement d’eau en régime permanent issu d’un grand réservoir. À l’exutoire du système, on observe un jet libre. En assumant un fluide non-visqueux et incompressible, déterminez la valeur de D2 à partir de laquelle on observera de la cavitation dans ce système. La pression atmosphérique est de 101.3 kPa (absolue) et la pression de vapeur de l’eau est de 1.77 kPa (absolue).

! z0 = 1.00 m ! D1 = 0.10 m ! D3 = 0.05 m

Question 8 (4 pts) – On s’intéresse à la jonction en Y ci-dessous dans laquelle circule un écoulement d’eau (incompressible) en régime permanent avec des profils de vitesse uniformes. À la section (3), l’écoulement se transforme en jet libre. En négligeant les différences d’élévations dans le système, déterminez la force totale dans la direction des x exercée par les deux brides pour maintenir le système en place.

! θ = 30° ! Section 1: D1 = 0.34 m, Q1 = 0.57 m3/s, p1 = 47.88 kPa ! Section 2: D2 = 0.34 m, Q2 = 0.34 m3/s, p2 = 43.09 kPa ! Section 3: D3 = 0.17 m ! masse volumique de l’eau: 1000 kg/m3

Examen final CIV2310-H2014 Page 5/10

Question 9 (4 pts) – On transporte de l’eau en régime permanent entre deux grands réservoirs à l’aide d’une pompe et de deux conduites de longueurs et diamètres différents. Les pertes de charge dans le système sont décrites par la relation

hL = 0.018LD

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V 2

2g⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

où L est la longueur de la conduite [m], D est le diamètre de la conduite [m] et V est la vitesse dans la conduite [m/s]. En considérant un fluide incompressible et des profils de vitesse uniformes :

(a) Déterminez la puissance que nous devrons fournir à la pompe pour atteindre un débit de 0.5 m3/s. (3 pts)

(b) Dessinez les lignes d’énergie et piézométrique pour ce système. (1 pt)

! z0 = 50 m ! z3 = 75 m ! Conduite 1: L1 = 100 m, D1 = 0.5 m ! Conduite 2: L2 = 1000 m, D2 = 1 m ! Rendement de la pompe: 74%

Examen final CIV2310-H2014 Page 6/10

Question 10 (3 pts) – Le jet d’air vertical ci-dessous permet de maintenir une balle de ping-pong en équilibre à une hauteur h (dimension: L), laquelle dépend des variables suivantes:

! diamètre de la balle, D – dimension: L ! diamètre de la tuyère, d – dimension: L ! vitesse de l’air, V – dimensions: LT–1 ! masse volumique de l’air, ρ – dimensions: FL–4T2 ! viscosité dynamique de l’air, µ – dimensions: FL–2T ! poids de la balle, W – dimension: F

Exprimez la relation fonctionnelle entre h et ses variables indépendantes à l’aide de l’analyse dimensionnelle. Utilisez le système FLT.

Total des points : /20 Bon examen!

Examen final CIV2310-H2014 Page 7/10

AIDE-MÉMOIRE CIV2310 – Mécanique des fluides

Chapitre 1: Introduction et propriétés des fluides

1. Densité relative:

2. Poids spécifique: 3. Loi des gaz parfaits: avec R : constante spécifique du gaz

4. Loi de viscosité de Newton:

5. Relation entre viscosité cinématique et viscosité dynamique:

Chapitre 2: Statique des fluides

1. Pression hydrostatique pour un fluide incompressible: 2. Force hydrostatique sur une surface plane

- Surface plane horizontale: • Direction: normale à la surface • Orientation: vers la surface • Amplitude: • Point d’application: centroïde de la surface

- Surface plane inclinée: • Direction: normale à la surface • Orientation: vers la surface • Amplitude: FR = γ hc A = γ yc sinθ( )A • Point d’application: au centre de pression (xR, yR)

3. Force hydrostatique sur une surface courbe

a. Composante horizontale: force sur la surface projetée dans un plan vertical b. Composante verticale: poids du fluide au-dessus de la surface

4. Poussée d’Archimède: FB = poids du fluide déplacé = γ V

SG =

ρ fluide

ρeau à 4°C

=γ fluide

γ eau à 4°C

gγ ρ=

p = ρRT [J/ kg ⋅K( )]

τ = F

A= µ du

dy; µ⎡⎣ ⎤⎦ =

N ⋅sm2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

; ms

µνρ

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

p = γ h+ p0

FR = pA

xR =

Ixyc

yc A+ xc

yR =

Ixc

yc A +yc avec: yc =

hc

sinθ

Examen final CIV2310-H2014 Page 8/10

Chapitre 3: Théorème de Bernoulli

1. Accélération en régime permanent

a. Le long d’une ligne de courant: as =V ∂V

∂s

2. Normal à une ligne de courant:

3. Théorème de Bernoulli:

4. Équation de continuité en régime permanent: m1 = m2 = ρ1A1V1 = ρ2 A2V2

Chapitre 4: Cinématique des fluides

1. Lignes de courant:

dydx

= vu

2. Champ d’accélération:

ax =∂u∂t

+ u∂u∂x

+ v∂u∂y

+ w∂u∂z

ay =∂v∂t

+ u∂v∂x

+ v∂v∂y

+ w∂v∂z

az =∂w∂t

+ u∂w∂x

+ v∂w∂y

+ w∂w∂z

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

3. Dérivée matérielle:

D( )Dt

=∂( )∂t

+ V ⋅∇( )( )

4. Théorème de transport de Reynolds :

DBsys

Dt= ∂∂t

ρbdVCV∫ + ρb

CS∫ V ⋅ n̂dA

Chapitre 5: Analyse par volumes de contrôles finis

1. Équation de continuité, régime permanent: mout∑ = min∑ avec m = ρQ = ρAV 2. Équation de la quantité de mouvement linéaire, régime permanent:

FCV∑ = mVout∑ − mV

in∑

3. Équation d’énergie:

pout

γ+α outV out

2

2g+ zout =

pin

γ+α inV in

2

2g+ zin + hs − hL

a. Pour un écoulement uniforme: α out =α in = 1

an =

V 2

ℜ

p1

γ+

V12

2g+ z1 =

p2

γ+

V22

2g+ z2

Examen final CIV2310-H2014 Page 9/10

b. Charge extraite par une turbine (hs < 0) ou fournie par une pompe (hs > 0):

hs =

Wshaftnet in

mg=Wshaft

net in

γ Q

c. Rendement d’une pompe: ηpompe =

γ Qhs

Ppompe

d. Rendement d’une turbine: ηturbine =

Pturbine

γ Qhs

4. Ligne d’énergie: LE =

pγ+ V 2

2g+ z

5. Ligne piézométrique: LP =

pγ+ z

Chapitre 6: Analyse différentielle en mécanique des fluides

1. Équation de continuité, forme différentielle:

∂ρ∂t

+∂ ρu( )∂x

+∂ ρv( )∂y

+∂ ρw( )∂z

= 0

2. Fonction de courant: u = ∂ψ

∂y; v = − ∂ψ

∂x

Chapitre 7: Analyse dimensionnelle et similitude

1. Théorème des pi de Buckingham: k – r nombres pi requis, avec k : nombre de variables, r : nombre de dimensions de référence.

2. Théorie des modèles: Π1 = φ Π2 ,Π3,...( ); Π1m = φ Π2m ,Π3m ,...( ) a. Conditions de similitude: Π2 =Π2m; Π3 =Π3m; ... b. Si conditions de similitude respectées, équation de prédiction : Π1 =Π1m

Examen final CIV2310-H2014 Page 10/10

Chapitre 9: Écoulements externes

1. Traînée de forme pour une plaque plane de taille b× : Df = 1

2 CD f ρU 2b

2. Nombre de Reynolds sur une plaque plane: Rex =

ρUxµ

3. Couche limite entièrement laminaire (valide pour Rex < 5×105 )

a. Épaisseur de la couche limite :

δx= 5

Rex

b. Cisaillement à la paroi : τ w = 0.332U

32

ρµx

c. Coefficient de trainée : CDf =

1.328Re

4. Couche limite transitoire (avec Rexcr = 5×105 )

a. Coefficient de trainée :

CDf =0.455

log Re( )2.58 −1700Re

5. Couche limite entièrement turbulente (valide pour Rex > 5×105 )

a. Coefficient de trainée :

CDf =0.455

log Re( )2.58