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Hautes Etudes d’Ingénieur

Laboratoire de Résistance des matériaux 13 rue de Toul 59046 Lille Cedex

Tél. 03.28.38. 48.58 - Fax 03.28.38.48.04

TRAVAUX PRATIQUES – RdM

1ère

Année Cycle Ingénieur - Année 2012 / 2013 HEI 3

Salle H019

Déroulement d’une séance de TP

Lors d’une séance de TP, un groupe d’étudiants réalise une étude expérimentale sur

deux bancs d’essais. L’exploitation des mesures et leur analyse fera l’objet d’un

compte rendu dont le canevas est fourni en séance. La remise du compte rendu est

fixée par l’enseignant, en fonction du travail nécessaire pour finaliser le compte rendu

(avancement des cours, recherche bibliographique…).

A la fin de la séance de TP, veillez à ce que le matériel alimenté sous tension soit éteint.

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Documents de préparation des TP

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Désignation des Travaux Pratiques

TP 1 Essais photoélastiques par transmission

TP 2 Concentration des contraintes

TP 3 Etude des barres articulées d’un treillis

TP 4 Moment de flexion et Effort Tranchant

TP 5 Déformée des barres soumises à la flexion

TP 6 Jauges des déformations et calcul des contraintes : traction et torsion

TP 7 Etude du flambement de poutres droites

TP 8 Influence des caractéristiques physique et géométrique en Flexion pure

Déroulement :

Chaque groupe fait 3 séances de TP de 3 heures chacune et doit réaliser 6

manipulations au total. Dans chaque séance, le groupe réalise 2 manipulations

d’une durée de 1h30min en moyenne.

Attention : Il ne faut pas déborder pour ne pas gêner la rotation des groupes.

PROGRAMME

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TP N°1

ESSAIS PHOTOELASTIQUES PAR TRANSMISSION

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1. ESSAIS PHOTOELASTIQUES

I. BUT DE L’EXPERIENCE

Le polariscope par transmission FL 200 permet de réaliser des expériences sur la photoélasticité. Le passage de la lumière permet de visualiser la répartition mécanique des contraintes dans du matériel de sensibilité photoélastique. Dans leur forme et leur structure, les éprouvettes correspondent à des composants techniques, sur lesquelles on peut observer l’influence des entailles.Les éprouvettes peuvent subir différentes sollicitations,mais nous n’observerons que la compression. Description de l’appareil

La source de lumière La source de lumière est constituée d’un boîtier contenant la lampe et d’un écran diffuseur blanc. Il est possible de générer deux types différents de lumière : 1. Lumière blanche d’un tube fluorescent qui est en plus soutenu par deux ampoules à incandescence qui garantissent une répartition uniforme de la lumière. 2. Lumière monochromatique générée par une lampe à vapeur de sodium . (REMARQUE : la lampe à vapeur de sodium nécessite un temps de réchauffement d’environ sept minutes pour atteindre sa pleine luminosité) Les filtres Le FL 200 possède quatre filtres. Ceux-ci sont constitués de deux plaques en verre entre lesquelles est placée une feuille filtrante. Les bordures des filtres sont collées et pourvues d’une protection les empêchant d’être repliées. Le polariseur se trouve entre la source de lumière et le modèle, l’analyseur entre le modèle et l’observateur. Le polariseur et l’analyseur sont constitués chacun d’un filtre de polarisation linéaire (olive foncé) et d’un filtre de quart d’onde (pratiquement incolore). Ces filtres sont décalés par rapport à leur axe selon un angle déterminé. Vus depuis la source de lumière dans la direction de l’observateur 1. Filtre de polarisation : 0° 2. Filtre de quart d’onde : 45° 3. Filtre de quart d’onde : 315° 4. Filtre de polarisation : 270°

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Montés dans un porte-filtre , les filtres peuvent tourner sur leur axe. Le porte-filtre possède sur le côté une aiguille qui permet de lire la position angulaire du filtre. La broche de charge Le dispositif est monté sur la traverse supérieure.Le dispositif de charge est constitué d’une broche filetée(1) et d’un écrou de serrage(2) avec goupilles(3) pour un réglage fin de la charge. Pour minimiser le frottement et exclure une transmission de couples sur le modèle, l’écrou de serrage est doté d’une butée à billes (4).

Matériel à sensibilité photoélastique Fondamentalement, tout matériau biréfringent convient aux expériences photoélastiques (le verre, différentes matières plastiques transparentes…). Mais on utilisera des éprouvettes en polycarbonate, sous forme de plaques sous la désignation commerciale “MAKROLON” certains matériaux transparents peuvent fournir, sous l’effet d’une charge, un effet biréfringent. La double réfraction résulte du fait que certains matériaux isotropes à l’état non chargé présentent un effet anisotrope lorsque la structure moléculaire se modifie suite à une sollicitation mécanique. L’indice de réfraction dépend des contraintes agissant dans le matériau.

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A l’état de contrainte plan, on observe pour chaque point deux sections principales superposées verticalement où les contraintes σx et σy reçoivent leurs valeurs

maximales : les contraintes principales σ1 et σ2. Il est convenu que σ est toujours supérieure algébriquement. Les grandeurs σ1 et σ2 et la direction principale a permettent de déterminer graphiquement et mathématiquement sur le “ cercle de Mohr ” toutes les contraintes σx et σy. ainsi que σxy selon leur taille et leur direction. Le procédé pour les contraintes du bord est particulièrement simple, car l’une d’elles est toujours perpendiculaire au bord et ainsi nulle. L’expérience photoélastique offre la possibilité de lire directement les contraintes du bord qui, dans la plupart des cas, sont déterminantes pour la mesure. Lumière polarisée la lumière transmise à travers le premier filtre subit une polarisation linéaire .cette polarisation est vérifiée par le second filtre perpendiculaire au premier: On obtient une zone sombre, c’est-à-dire que toutes les oscillations sont supprimées. Aussi le second filtre est-il appelé “ analyseur ”. La lumière de la lampe à vapeur de sodium, est considérée comme étant

monochromatique de longueur d’onde =589nm Les indices de réfraction (n=c/v) dépendent des contraintes principales : n1 =f(σ1 e) n2=f(σ2 ) Lorsqu’un vecteur lumineux de polarisation linéaire A rencontre un corps transparent en un point P, le vecteur d’oscillation se divise en deux vecteurs polarisés A1 et A2, colinéaires à σ1 et σ2. Pour chaque vecteur le temps pour traverser le corps d’épaisseur d est : t1=(d/v1) et t2 =(d/v2).

Soit une différence de marche = (cd/v1) -(cd/v2) = d(n1-n2)

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Selon la loi de Brewster “ la modification relative de l’indice de réfraction est proportionnelle à la différence des contraintes principales. ” (n1-n2)= K( σ1 -σ2) K est une constante dépendant du matériau et de la longueur d’onde de la lumière utilisée. Elle permet d’exprimer la sensibilité photoélastique du matériau. En combinant les équations, on obtient l’équation principale de la photoélasticité :

/Kd= ( σ1 -σ2) Isochromates et isoclines Si le modèle est exempt de contrainte, il n’y a pas de double réfraction. Si une charge est appliquée et augmentée, on obtient une différence des chemins qui augmente proportionnellement à la différence des contraintes principales. La lumière apparaissant derrière l’analyseur dépend de la composition des parts H1 et H2 et de la mesure dans laquelle l’oscillation générée par la différence de chemin permet ou non une résultante (voir fig.) On observe d’abord deux extrêmes : 1. H1 et H2 ne présentent aucune différence de chemin. Elles oscillent en opposition de phase. Ce cas intervient lorsque les contraintes principales sont faiblement supérieures à zéro ou identiques. La différence des contraintes principales ( σ1 -σ2) est alors égale à zéro. on obtient à cet endroit une suppression totale, c’est-à-dire une zone sombre dans le modèle. On obtient le même effet lorsque la différence des chemins correspond à une ou plusieurs longueurs d’ondes entières. 2. H1 et H2 présentent une différence de chemins d’une demi-longueur d’onde. Elles oscillent en phase. Une superposition des trains d’ondes concernés entraîne un renforcement des oscillations à chaque endroit. Derrière l’analyseur, on obtient à cet endroit la luminosité maximale. Ce processus se répète selon l’augmentation de la différence des contraintes principales et ainsi de la différence des chemins. On observe, selon la répartition des contraintes , c’est-à-dire selon l’augmentation ou la réduction des gradients de ces dernières, des lignes cohérentes, alternativement claires et sombres : les isochromates. Les isochromates sont donc des lignes de même différence de contraintes principales. On caractérise les isochromates selon des ordres. On compte à partir de l’ordre “ zéro ” le nombre de déphasages de longueurs d’ondes entières (isochromates des 1er, 2e, 3e, etc., ordres). Lorsqu’on observe une forte densité d’isochromates, c’est là qu’apparaissent les contraintes les plus élevées. L’observation du modèle en lumière blanche permet toutefois de voir d’autres lignes sombres qui ne sont pas des isochromates. Leur présence s’explique de la manière suivante : lorsque l’une des directions des contraintes principales coupe le plan de polarisation, il n’y a pas de double réfraction en ce point. Le rayon lumineux traverse donc le modèle sans obstacle, pour être supprimé ensuite par l’analyseur. On observe donc des lignes qui, pour tous les points, ont le même sens des contraintes principales : les isoclines. Pour l’évaluation de l’image isochromatique, les isoclines gênent. Pour les éliminer, on se sert des plaques de quart d’onde.

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TP N°2

CONCENTRATION DE CONTRAINTES

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CONCENTRATION DE CONTRAINTES

Nous allons démontrer l'existence de concentrations de contrainte et de déformations

au voisinage de la discontinuité d'une poutre encastrée au niveau du plan et obtenir une

valeur approximative du facteur de concentration Kt en domaine élastique.

I. POUTRE ETUDIEE

Dans le cas présent, la discontinuité est un trou percé dans la poutre sur son axe de symétrie.

Matériel de mesure

1/ Flexor (support)

E 70 GPa

2/ Poutre d'aluminium de 305 mm de longueur et de section droite

25 6 mm avec un trou de 6 mm de diamètre

3/ 4 jauges d'extensométrie (sur la surface supérieure).

Facteur de jauge

1 2.09 0.5 %

2 2.05 0.5 %

3 2.05 0.5 %

4 2.05 0.5 %

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II. ETUDE THEORIQUE DE PROBLEME

Faire l'équilibre de la poutre et tracer le diagramme du moment fléchissant

Toute présence de discontinuité géométrique de la forme d'une structure mécanique chargée

provoque, généralement, une augmentation de la contrainte par rapport à ce qu'elle serait en

l'absence de discontinuité.

Donner l'expression de la contrainte normale qui apparaît dans la section sur la

surface supérieure

Donner l'expression de la contrainte normale qui apparaîtrait dans la section sur la

surface supérieure. Si le phénomène de concentration de contraintes n'existait pas la

contrainte est dite nominale notée nom

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En comparant ces deux expressions, expliquer l'intérêt de positionner une jauge au

voisinage du plan à une distance du trou qui vérifie le rapport (R) suivant :

l

L

b d

b

Cependant, au bord du trou, on a une concentration de contraintes : la contrainte est bien plus

grande. On la note max

.

En introduisant le coefficient de concentration de contraintes, donner la relation qui

relie max

et nom

.

Du fait que, dans les sections uniformes de la poutre, sur les bords du trou, les contraintes sont

uniaxiales, les déformations sont directement proportionnelles aux contraintes

correspondantes. Le facteur de concentration de contraintes est donc également le même

facteur de concentration des déformations. On a donc :

max max

t

nom

K

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III. CE QUI VOUS SERA DEMANDE

Manipulation

Pour cette expérience nous utiliserons trois petites jauges au voisinage du trou dans la

section et une quatrième dans la section située selon le rapport (R).

1. Placer la poutre dans le flexor, les jauges vers le haut du côté de l'encastrement.

Veiller à ce qu'elles soient centrées par rapport aux flancs du flexor.

2. L'équilibrage de la jauge n° 1 :

Réglage de l'état initial pour la jauge : la poutre étant muni d’un support de charge,

sélectionner une jauge, afficher son facteur de jauge sur le pont et équilibrer le pont

(déformation à Zéro) à l'aide du potentiomètre balance correspondant a son canal.

Remarque : les facteurs de jauges sont différents.

3. La jauge numéro 1 étant équilibrée, charger le support en faisant fléchir

progressivement la poutre jusqu'à ce que la déformation affichée atteigne 1500 m/m.

4. L'équilibrage des jauges : Pour le réglage de l'état initial des jauges n° 2,3 et 4 la

poutre est impérativement muni d’un support de charge, sélectionner chacune des

jauges séparément, afficher son facteur de jauge sur le pont et équilibrer le pont

(déformation à Zéro) à l'aide du potentiomètre balance correspondant a son canal.

5. Maintenir le charge sur le support et passer aux jauges 2, 3, 4 en relevant à chaque fois

les valeurs des déformations correspondantes.

6. Refaire la même mesure au moins deux fois.

Dépouillement des mesures

Déterminer la loi d'évolution des contraintes au bord du trou.

En déduire le coefficient de concentration de contraintes.

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TP n°3

EFFORT DANS LES BARRES D’UN TREILLIS

14

1) Partie analytique :

On considère le treillis suivant :

Treillis 1 Pièces requises : • 7 x barre 3 (300mm) • 3 x barre 5 (424mm)

• 5 x plaque à nœud

Travail à préparer à la maison :

On se propose de déterminer les forces dans chacune des barres de treillis dans les conditions

des chargements suivants : on donne P=200 N

Chargement 1

Chargement 2

Chargement 3

15

Tableau des résultats de calcul

Barre Chargement 1 Chargement 2 Chargement 3

1 – 2

1 - 5

2 - 3

2 - 5

2 - 6

3 – 4

3 – 6

3 - 7

5 - 6

6 - 7

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TP N°4

Moment de flexion et effort Tranchant

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Sommaire

1 Objectifs

2 Composition

3. Application des charges et calcul des éléments de réductions

3.1 Principes de base

3.2 Charge appliquée au milieu de la poutre

3.3 Charge symétrique

3.4 Etude des charges appliquées aux trois étriers-support

4. Travail à préparer à la maison

5. Ce qui vous sera demandé au laboratoire R.D.M

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1. OBJECTIFS

Dans toute étude statique des structures isostatiques, il faut avant tout calculer les

actions de liaisons du système étudié (poutre) sur l'environnement extérieur. Par la suite, la

résistance des matériaux mettra en évidence les efforts intérieurs de la matière et notamment

le moment fléchissant et l’effort tranchant engendrés par la charge que supporte la poutre.

La manipulation que nous allons faire a pour but de comprendre les actions de l’effort

tranchant et du moment fléchissant dans une poutre. Nous apprendrons également à mesurer

le moment fléchissant et l’effort tranchant existant dans une section normale de poutre

chargée pour pouvoir comparer la théorie avec l'expérience.

2. Composition et Description du dispositif

L’appareil de démonstration d’effort tranchant et de moment de flexion WP 960 permet

d’étudier expérimentalement la répartition de moment de flexion Mz(x) et la répartition de

force transversale Ty(x) dans une poutre chargée par des forces simples:

2.1 Outillages : Nombre

1 Poutre de 1000 mm de long avec articulation spéciale à 366 mm 1

2 Dynamomètre 0 - 140 N pour le moment de flexion avec levier 1

3 Dynamomètre 0 - 50 N pour la force transversale 1

4 Appuis avec roulements à rouleaux 2

5 Suspente, poids propre 1N 3

6 étrier-support 3

7 Charges 1 N 12

8 Charges 5 N 9

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2.2 Caractéristiques de l’appareil de démonstration :

- Mesure directe du moment de flexion agissant dans la poutre et de la force transversale en

utilisant une articulation à faible frottement avec deux degrés de liberté à 1/3 de la longueur

de serrage et deux comparateurs à cadran.

- Compensation de la déflexion due à la course de mesure du comparateur à cadran et

positionnement rectiligne à l’aide de vis de réglage.

- Charge par la mise en place de jeux de poids à n’importe quel l’endroit de la poutre.

- Appui avec rouleaux sur roulements à billes.

- Démonstration du principe de coupe en mécanique

- Calculer et donner la représentation des efforts tranchants dans la poutre

- Exprimer et représenter le moment de flexion dans la poutre

3. Application des charges et calcul des éléments de réductions

3.1 Principes de base Le principe de coupe est employé en mécanique pour déterminer les forces internes et

les moments déterminants pour la charge d’une poutre. Pour ce faire, la poutre est séparée en

deux parties par une coupe imaginaire à l’endroit considéré.

Les efforts de cisaillement au bord de coupe de gauche sont appliqués en sens positif et ceux

au bord de droite en sens négatif. Avec un cas de charge plan, on distingue 3 efforts de

cisaillement différents:

- Force normale : Nx dans la direction de la poutre. Elle génère dans la poutre des

contraintes de traction et de compression.

- Force transversale : Ty perpendiculaire à l’axe de la poutre. Elle est responsable des

contraintes de cisaillement dans la poutre.

- Moment de flexion Mz, perpendiculaire au plan de contrainte. Il génère les contraintes de

flexion dans la poutre.

20

Il existe entre la force transversale et le moment de flexion le rapport différentiel suivant:

La répartition de la force transversale donne donc la pente de la courbe de moment de flexion.

3.2 Charge appliquée au milieu de la poutre

L'étude statique d'une structure se décompose en deux phases. On étudie tout d'abord

l'équilibre de l'ensemble de la structure afin de déterminer l'ensemble des actions extérieures

qui s'exercent dessus. Puis, on fait appel à la résistance des matériaux pour évaluer les efforts

intérieurs par une coupure fictive dans une section droite.

3.2.1 Préparation de l’essai

Phase 1 : Donner les forces d’appui A, B à l’aide des équations d’équilibres dans le cas d’une

charge F appliquée au milieu

Phase 2 : Il s’agit d’exprimer la répartition du moment de flexion Mz(x) et celle de la force

transversale Ty(x) d’une poutre sur deux appuis et avec une charge centrée simple F.

3.2.2 Réalisation de l’essai

Nous disposons d'une poutre expérimentale dont la structure est détaillée ci-dessus.

Réaliser le montage expérimental suivant le schéma ci-contre:

- Placer les appuis à une distance de 800 mm sur la traverse inférieure du cadre.

- Centrer la poutre sur les appuis et placer l’étrier-support au centre (à 400 mm de l’appui).

- Ajuster la poutre (opération d’étalonnage) avec les vis (1)

- Lire le dynamomètre et noter la valeur.

- Placer la charge 20 N (2) sur la poutre.

Un moment résistant à la rotation est produit par un dynamomètre placé en dessous de la poutre et agit

avec un bras de levier de 100 mm. Ce moment résistant vient équilibrer le moment fléchissant créé par

l'apport des charges.

- Réajuster la poutre avec les vis (1).

- Lire une nouvelle fois les deux dynamomètres et noter la valeur.

Vérifier la concordance de la précision des mesures d’efforts locaux Mz, Ty et Interpréter

21

3.3 Charge symétrique

Préparation de l’essai

Il s’agit de déterminer et de vérifier expérimentalement la ligne de moment de flexion Mz (x)

et la ligne de force transversale Ty (x) d’une poutre avec une charge symétrique avec deux

forces simples F = 21 N

Phase 1 : Donner les forces d’appui A, B à l’aide des équations d’équilibres dans le cas d’une

charge symétrique appliquée à 200mm des supports A et B.

Phase 2 : Il s’agit d’exprimer la répartition du moment de flexion Mz (x) et celle de la force

transversale Ty (x) d’une poutre sur deux appuis et avec une charge symétrique appliquée à

200mm des supports A et B.

Vérifier la concordance de la précision des mesures d’efforts locaux Mz , Ty et Interpréter

3.4 Etude des charges appliquées aux trois étriers-support

Nous disposons les étriers-supports et les charges suivant le mode d'essai représenté

ainsi que les mesures dans le tableau fourni.

Figure 2 : Modèle de la poutre expérimentale du moment fléchissant

Xa : représente la distance du support de gauche de la poutre au premier étrier-support

Xb : représente la distance du support de gauche de la poutre au second étrier-support

Xc : représente la distance du support de gauche de la poutre au troisième étrier-support

Pa : représente le poids en Newton supporté par le premier étrier-support

Pb : représente le poids en Newton supporté par le second étrier-support

Pc : représente le poids en Newton supporté par le troisième étrier-support

Pa Pb Pc

Xa

Xb

Xc

22

4. Travail à préparer à la maison :

Pour chacun des six cas de chargement, tracez les diagrammes des efforts tranchants et

des moments fléchissants.

4.1 Tableau des calculs RDM : effort tranchant et moment fléchissant.

Calculez les valeurs de l’effort tranchant et du moment fléchissant dans la section

(Xj = 366 mm) pour chacun des six cas. Reportez ces valeurs dans le tableau ci-dessus

Essai aX

(mm)

bX

(mm)

cX

(mm)

aP

(N)

bP

(N)

cP

(N)

Tj théorique

(N)

Mj théorique

(Nxmm)

Etalonnage - 400 - 0 0 0 - -

1 - 400 - 20

Etalonnage 200 - 600 0 0 0 - -

2 200 - 600 21 21

Etalonnage 200 400 600 0 0 0 - -

3 200 400 600 10 - 20

4 200 400 600 20 - 10

5 200 400 600 10 20 10

6 200 400 600 20 10 20

23

Cas de chargement 1 : diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant

Cas de chargement 2 : diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant

24

Cas de chargement 3 : diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant

Cas de chargement 4 : diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant

25

Cas de chargement 5 : diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant

Cas de chargement 6 : diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant

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5. CE QUI VOUS SERA DEMANDE AU LABORATOIRE R.D.M

Manipulations

- Monter la poutre comme indiqué dans le schéma. Positionner les supports de masses

(cas du chargement 1). N’oubliez pas la procédure d’étalonnage, c'est-à-dire : Alignez les

deux parties de la poutre en agissant sur le dynamomètre et noter l'indication

dynamométrique. Appliquer le chargement 1, réaligner la poutre et noter la nouvelle

indication du dynamomètre. La différence de lecture est due au chargement 1. Cette

dernière est à multiplier par la distance qui sépare la fibre neutre de la poutre de l’axe du

dynamomètre.

- Procéder de la même façon pour les chargements 2 à 6.

6. Caractéristiques techniques

Cadre

Longueur x largeur: 1400 x 320 mm

Poutre

Longueur totale: 1000 mm

Longueur de serrage: 800 mm

Position articulation:

1/3 longueur de serrage (266 mm)

Type d’articulation:

Souple aux moments et forces transversales, rigide aux forces normales

Mesure du moment de flexion

Dynamomètre: 0 - 140 N

Bras de levier: 100 mm

Champ de mesure du moment 0 - 14 Nm

Mesure de la force transversale

Dynamomètre: -50...+50 N

Suspente: 3 x 1 N

Jeu de poids: 12 x 1 N

9 x 5 N

Appui: Palier libre avec roulements à billes

Largeur: 25 mm

27

TP N°5

DEFORMEE DES BARRES SOUMISES A LA

FLEXION

28

Introduction

Le but de ce TP est d’étudier la déformation des poutres droites pour divers cas de

chargements.

L’appareil Déformation de poutres droites WP 950 autorise de nombreux essais relatifs à la

déformation d’une poutre en flexion.

La déformation de la poutre est mesurée par des comparateurs à cadran.

Les forces d’appui peuvent être déterminées à l’aide des dynamomètres intégrés aux appuis.

Des poutres de différentes compositions sont prévues pour montrer l’influence du module

d’élasticité sur le fléchissement.

Composition de l’appareil

L’appareil se compose d’un cadre (1) en aluminium robuste, mais léger. Les différents appuis

(2,3) sont fixés à la membrure inférieure à l’aide de leviers de blocage. Les comparateurs à

cadran (4) sont fixés à la membrure supérieure.

Les poids (5) sont placés sur la poutre (7) par l’intermédiaire de cavaliers mobiles (6). Les

cavaliers peuvent être bloqués. Cavalier et suspente pèsent 2,5 N au total.

La charge peut être réglée à l’aide de poids par pas de 2,5 N et 5 N.

Les appuis articulés (2) sont équipés de dynamomètres (8). L’appui peut être réglé en hauteur

par une tige filetée (9). La vis (10) permet de bloquer l’appui. Ceci permet de compenser une

déformation de la poutre par son poids propre ou la déflexion de l’appui suite au

fléchissement du dynamomètre.

29

Expérimentation

Figure 1- Montage expérimental cas 1

Réaliser le montage expérimental suivant l’illustration.

Le matériel nécessaire est le suivant:

- Poutre d’acier 6 x 20 x 1000 mm (7)

- Cavalier pour poids (6)

- Suspente pour poids (5)

- 3 poids de 5N

- Comparateur à cadran avec support (4, 12)

- Colonne d’appui avec serrage (3)

- Bloquer la colonne d’appui sur le cadre

- Serrer la poutre dans la colonne d’appui

- Placer le cavalier sur la poutre et le bloquer à la position voulue

- Bloquer le comparateur à cadran avec le support sur le cadre de manière à ce que le palpeur

rencontre le méplat du boulon du cavalier

- Mettre le comparateur à cadran à zéro en l’absence de charge de la poutre. Pour ce faire,

déplacer le support et tourner l’échelle pour le réglage fin.

- Accrocher le poids de charge et lire et noter la déflexion sur le comparateur à cadran.

Figure 2- Montage expérimental cas 2

30

Figure 3- Montage expérimental cas 3

Les cas étudiés

Flexion en porte à faux

a.) Cas 1 :

b.) Cas 2 :

31

Poutre sur deux appuis (cas 3)

Question de préparation

Pour chaque cas de chargement déterminer les expressions littérales des déflexions

(déformées) de la poutre.

32

TP N°6

MESURES DES JAUGES DE DEFORMATIONS

POUR DES CALCULS DE CONTRAINTES

EN TORSION ET TRACTION

33

Calcul des contraintes : Traction et Torsion

Objectifs : Les objectifs de ce TP sont les suivants :

Comprendre le fonctionnement de la technique des extensomètres à jauge

Etudier les contraintes mécaniques simples que constituent la traction et la torsion

pour des poutres ayant différentes sections.

Rappel des principes théoriques La technique des extensomètres à jauge permet de mesurer l’allongement à la surface du

matériau

Traction :

La traction et la pression constituent les types de contraintes les plus simples. Un état de

tension mécanique homogène s’établit dans l’échantillon de traction. Les efforts superficiels,

qui peuvent ici être mesurés avec des extensomètres, sont identiques aux efforts internes.

L’effort de traction est calculé à partir de la force de traction (force normale) F et de la

surface de la section

D’après la loi de Hooke, la tension et l’allongement sont liés par le module d’élasticité E

Pour la détermination expérimentale de l’effort de traction, l’échantillon de traction est muni

à l’avant et à l’arrière de respectivement deux extensomètres, un extensomètre étant placé

dans le sens de la longueur et l’autre dans le sens de la largeur. Les extensomètres d’un côté

constituent une branche du pont.

.E

A

F

34

Compte tenu de la disposition sur les faces opposées, les efforts de torsion superposés n’ont

aucune influence sur la mesure. Le signal de sortie UA du pont de mesure est référencé à la

tension d’alimentation UE. Avec la sensibilité (k =2.05) de l’extensomètre, l’allongement

du pont intégral peut être calculé à l’aide de la formule suivante :

E

A

U

U

kµ

4

)1(2

1

Avec µ étant l’indice de contraction transversale du matériau considéré.

Torsion :

La mesure des moments de torsion constitue un autre domaine d’applications des

extensomètres. Le moment de rotation dans l’arbre est calculé à partir de la contrainte de

cisaillement mesurée.

Pour la détermination expérimentale de l’effort de torsion, la barre en torsion est munie de

quatre extensomètres disposés suivant un angle de 45. Les extensomètres sont ainsi placés

dans la direction des principales tensions normales, donc dans celle du plus fort allongement.

Les extensomètres de même allongement sont disposés en diagonale dans le montage en

pont. Ainsi, tous les changements de résistance s’additionnent et on obtient une sensibilité

élevée. L’allongement peut être calculé à l’aide de la formule suivante

E

A

U

U

k

1

La relation suivante existe entre l’allongement et le glissement avec une contrainte de

cisaillement pure

.2

D’après la loi de Hooke, la contrainte de cisaillement recherchée est obtenue avec le module

de glissement G

GG ..2.

La relation suivante existe entre la contrainte de cisaillement à la surface de la barre en

torsion et le moment de torsion tM

Pt WM .

Avec PW étant le moment résistant polaire pour la section circulaire

35

16

.3 dWP

Le moment de torsion peut ainsi être calculé

E

APt

U

UWG

kM ...

2

CE QUI VOUS SERA DEMANDE : L’équilibrage des extensomètres : Réglage de l’état initial pour chaque extensomètre.

Faire varier la charge (m) appliquée sur la structure et relever les différentes valeurs

des paramètres pour chaque essai : traction et torsion.

1. Essai de traction :

Les essais de traction se font avec des objets disponibles en quatre matériaux différents. La

section de chaque barre est A : 10×2 mm²

Les barres en traction sont munies à chaque extrémité de crochets :

Les barres de traction sont équipées d’un pont d’extensomètres intégral. Le montage des

extensomètres en pont intégral avec respectivement deux jauges pour l’élongation dans la

longueur et la largeur est montré sur l’illustration suivante :

Monter la barre en traction dans le cadre de la manière indiquée

sur l’illustration. Utiliser pour ce faire la fixation avec l’œillet.

Raccorder l’appareil de mesure et le mettre en marche.

Ajuster le zéro de l’affichage avec le réglage d’offset.

Charger la barre avec le grand jeu de poids. Augmenter

graduellement la charge et noter la valeur affichée.

36

Le tableau suivant présente les valeurs caractéristiques des matériaux

1.1.Reporter les valeurs mesurées par les extensomètres dans le tableau pour chaque

matériau.

1.2.Tracer les courbes d’affichage (mV /V) pour chaque barre en fonction de la charge

(Nm) dans le même graphe, et vérifier que la loi de Hooke est respecté.

1.3.Calculer l’allongement du pont (déformation) pour chaque charge et pour

chaque matériau.

1.4.Déterminer la contrainte mesurée σ en N/mm² à partir de la loi de Hooke pour

chaque charge et pour chaque matériau.

1.5.Déterminer la contrainte théorique σ en N/mm2 pour chaque charge et pour

chaque matériau en utilisant la relation suivante SF / .

1.6.Calculer l’erreur pour chaque charge et pour chaque matériau.

Valeurs caractéristiques des matériaux

Module d’élasticité E en

N/mm2

Indice de contraction

transversale μ

Acier 210000 0.28

Acier CrNi 18.8 191000 0.305

Cuivre 123000 0.33

Laiton 88000 0.33

37

Essai de traction, acier CrNi18.8 (standard)

Charge en N 0 10 20 30 40 50

Affichage en mV/V

Allongement du pont

ou la déformation

Contrainte mesuré σ

en N/mm2

Contrainte théorique σ

en N/mm2

Erreur (%)

Essai de traction, cuivre (accessoire)

Charge en N 0 10 20 30 40 50

Affichage en mV/V

Allongement du pont

ou la déformation

Contrainte mesuré σ

en N/mm2

Contrainte théorique

σ en N/mm2

Erreur (%)

Essai de traction, laiton (accessoire)

Charge en N 0 10 20 30 40 50

Affichage en mV/V

Allongement du pont

ou la déformation

Contrainte mesuré σ

en N/mm2

Contrainte théorique

σ en N/mm2

Erreur (%)

38

Essai de traction, aluminium (accessoire)

Charge en N 0 10 20 30 40 50

Affichage en mV/V

Allongement du pont

ou la déformation

Contrainte mesuré σ

en N/mm2

Contrainte théorique

σ en N/mm2

Erreur (%)

2. Essai de torsion :

Les essais de torsion se font avec barre ronde en acier (1) encastrée

Longueur L : 500mm

Diamètre D : 10mm

Moment résistant polaire Wp: 196.3 mm³

Module de glissement G : 80000N/mm²

L’application d’extensomètres est logée dans un carter en plexiglas. L’extrémité libre

de la barre en torsion présente un levier transversal (3) destiné à produire le moment

de torsion.

39

Monter la barre en torsion dans le cadre de

la manière indiquée sur l’illustration.

Placer l’extrémité à encastrer sur la tige

supérieure de la fixation à deux tiges.

Mettre l’extrémité libre de la barre en

appui sur l’autre fixation. S’assurer que la

barre est à l’horizontale.

Raccorder l’appareil de mesure et le mettre

en marche.

Ajuster le zéro de l’affichage avec le

réglage d’offset.

Accrocher le jeu de poids au bras de

levier et produire un moment de torsion.

Augmenter graduellement la charge de 5

N et noter la valeur affichée.

2.1.Reporter les valeurs mesurées par les extensomètres dans le tableau

2.2.Déterminer le moment de torsion théorique pour chaque charge.

2.3.Tracer la courbe d’affichage (mV /V) en fonction de la charge (Nm), et vérifier

que la loi de Hooke est respecté

2.4.Calculer l’allongement (ou déformation) pour chaque charge.

2.5.Calculer la contrainte de cisaillement τ (avec Le module de glissement G de 80000

N/mm²)

2.6.Déterminer le moment de torsion mesuré pour chaque charge.

2.7.Calculer l’erreur

Essai de torsion bras de levier 100 mm

Charge en N 0 5 10 15 20

Moment de torsion

théorique en Nm

Affichage en mV/V

Allongement du pont

Contrainte de cisaillement

mesuré τ

en N/mm2

Moment de torsion

mesuré en Nm

Erreur (%)

40

TP N°7

FLAMBEMENT DES POUTRES DROITES

41

FLAMBEMENT et CHARGE CRITIQUE

Le flambage ou flambement est un phénomène d'instabilité d'un matériau, qui soumis à une

force de compression, a tendance à fléchir et à se déformer dans une direction perpendiculaire

à cette force.

Le flambement se caractérise par une augmentation rapide du déplacement lorsque l'on s'approche de la charge

critique du système parfait. Ce cas est très important en pratique car les poteaux, poutres et plaques présentent ce

type de comportement post-critique.

Le fléchissement de la barre se produit toujours suivant l’axe de sa section qui présente l’inertie la plus faible. Le

sens à priori est indéterminé ; il dépend de plusieurs facteurs : défaut de rectitude de la barre, charge non

parfaitement centrée, défaut de l’homogénéité du matériau, anisotropie… Dans la suite, on supposera que

macroscopiquement le matériau est homogène et isotrope.

I. RAPPELS THEORIQUES

Pour une poutre d'inertie constante soumise à un effort normal de compression simple, la

charge critique à partir de laquelle il y a risque de rupture par flambage est calculée par la

formule d'Euler.

L’expression de la charge critique est :

avec est le module de Young, est l’inertie minimale et est appelée longueur libre de

flambement. Elle dépend du mode de fixation de la barre en compression (barre bi-articulée,

barre bi-encastrée, barre articulée-encastrée…).

La contrainte d’Euler est donnée par :

où est la section et

correspond à l’élancement de la pièce avec

appelé

rayon de giration.

On s’aperçoit que plus l’élancement de la pièce est grand, plus le risque de flambement

apparait pour une charge faible. En revanche, pour les pièces courtes, il faudra s’assurer que

la contrainte

reste inférieure à la valeur admissible en compression pour le matériau utilisé.

42

II. ETUDE DE LA LONGUEUR DE FLAMBEMENT

La démonstration suivante faite par l’enseignant va permettre de déterminer la valeur de en

fonction du mode de fixation.

Schéma de montage :

1 : cadre WP121 ;

2 : barres de flambement (E=210 GPa) ;

3 : trame imprimée sur mesure de déplacement ;

4 : logements inférieurs ;

5 : logements supérieurs ;

6 : support de chargement ;

7 : poids de chargement de 5N et 1N (attention à ne pas dépasser les limites, cf figure

suivante).

Mode opératoire fait par l’enseignant :

1) Procéder au chargement de la première barre. Ce chargement se fait pas à pas et finira par des poids de 1N. Avant de procéder au chargement, repérer la charge limite, cf figure précédente ;

2) Relever la charge pour laquelle la barre commence à flamber ;

3) Relever le schéma de la déformée de la barre et en déduire la longueur de flambement en fonction du mode de fixation considérée ;

4) Décharger la barre ;

5) Charger la barre suivante selon le même protocole et procéder aux mêmes mesures.

Exploitation :

1) Faire un bilan des valeurs de la longueur de flambement (et donc de la

charge critique d’Euler) en fonction du mode de fixation considérée.

43

III. MANIPULATION EXPERIMENTALE

Le but du TP est d’étudier le flambement de poutres droites. Il s’agit de 4 éprouvettes constituées du même

matériau d’élancements différents : 400, 500, 600 et 800 mm.

(Module d’Young de l’acier standard: 210000 MPa)

Le temps nécessaire aux mesures sur 4 éprouvettes pour toutes les liaisons étant trop important (environ 4

heures), nous étudierons donc le flambement uniquement sur 2 éprouvettes et avec 2 modes de fixation.

On cherche à comparer les contraintes critiques d’Euler avec les mesures expérimentales. La manipulation

consiste à disposer dans l’appareil de flambement une éprouvette qui sera soumise à un effort croissant de

compression jusqu’à sa charge critique. On mesure la flèche (déplacement) produite au centre de l’éprouvette à

l’aide du comparateur.

Schéma de montage :

Mode opératoire :

1) Mesurer la barre et repérer son milieu ;

2) Régler la traverse supérieure à la hauteur de l’éprouvette sélectionnée grâce aux 2 broches situées de part et d’autre de la traverse ;

3) Mettre en place l’éprouvette à étudier dans le système et serrer la barre dans le système selon la liaison à étudier :

Liaison encastrement : Serrer le bloc à rainure contre la barre ;

éprouvette

en acier

dynamomètre

poids 2,5kg

réglage de la charge

à appliquer

traverse

supérieure

bloc de

fixation

comparateur

réglage du

niveau (système

chargé)

niveau à bulle

44

Liaison articulée : Desserrer le bloc à rainure, laissé du jeu ;

Attention quelle que soit la liaison étudiée l’éprouvette doit être guidée dans les rainures des blocs

de fixation.

4) Vérifier la présence du poids jaune (25 N) sur le câble se situant sur le côté droit de l’appareil ;

5) Mettre le système à niveau à l’aide de la manivelle se situant à la gauche de l’appareil et du niveau à bulle à son centre ;

6) Faire monter le dynamomètre à l’aide de la manivelle située au-dessus, jusqu'à ce que son crochet soit en contact avec la rainure de la poutre ;

7) Mettre en place le comparateur au centre de la barre étudiée et le mettre sur le 0 grâce au cadran de réglage ;

8) Appliquer la force désirée grâce à la manivelle située au-dessus du dynamomètre et appliquer une légère pression sur l’éprouvette pour que la barre fléchisse du bon côté ;

Tout le long des manipulations il faut vérifier que le niveau de l’appareil soit toujours droit avant

de prendre les mesures. Si une différence de niveau apparait, il suffit de la rectifier en actionnant la

manivelle située à gauche du système.

Le système étant assez rigide il est conseillé d’appuyer légèrement sur la barre après chaque

chargement jusqu'à ce que la mesure du comparateur soit fixe et également sur celle concernant les charges

appliquées par le dynamomètre.

9) Relever les informations concernant la flèche sur le comparateur en fonction de la force appliquée.

Les résultats relevés sur le dynamomètre sont soumis à cette formule :

[3 X Effort du dynamomètre] + [4 x 25]

Exploitation :

1) Relever les caractéristiques géométriques de chacune des éprouvettes.

Remarque : longueur entre appuis.

2) Poutres encastrées aux deux extrémités : mesure de la charge critique :

relever la charge critique de chacune des éprouvettes et en déduire leur

contrainte critique de flambement.

Remarque : prendre entre 4 et 8 mesures par éprouvette.

Newton Newton Newton (poids jaune)

45

3) Tracer la charge en fonction de la flèche et comparer les 2 longueurs sur un

même graphique.

4) Refaire la même analyse pour : poutres à une extrémité articulée et l’autre

encastrée.

5) Comparer les résultats en fonction du mode fixation pour une même longueur

de barre.

46

TP N°8

INFLUENCE DES CARACTERISTIQUES PHYSIQUE

ET GEOMETRIQUE EN FLEXION

47

Introduction

Le but de ce TP est d’étudier l’influence des divers paramètres de la poutre et du chargement

sur la déformation de la poutre.

Pour cela, on sera amené à fixer tous les paramètres et à faire varier un seul dans chaque cas

afin de voir son effet.

Dans ce TP on est capable d’étudier la flexion et la torsion ; cependant, vues les contraintes de

temps (90 minutes pour chaque TP) on se limitera à l’étude de la flexion.

Risques pour l’appareil et le fonctionnement

Prière de n’utiliser que les corps de charge prévus.

Des forces trop importantes peuvent conduire à la détérioration et à la destruction de

l’appareil.

Description de l’appareil

L’appareil est un appareil d’essai de flexion et de torsion. Lors des essais, on met en charge

différentes éprouvettes et on mesure les déformations ainsi provoquées.

L’appareil de table se compose d’un rail de base sur lequel se trouvent deux supports

coulissants pour la flexion et la torsion.

Composition de l’appareil

48

1 : rail de base

6 : élément de fixation et plaque de serrage

2 : appui coulissant

7 : élément d’introduction de la force

3 : élément de fixation des appuis

8 : comparateur à cadran

4 : corps de charge

9 : barre d’essai

5 : supports magnétiques pour le comparateur à

cadran

Détails concernant la flexion

L’élément d’introduction de la force peut être serré solidement sur la barre d’essai utilisée. De

la sorte, un basculement et un glissement ne sont plus possibles.

Poutres de flexion encastrées d’un côté (poutres autoportantes).

La longueur de poutre L est exactement définie et l’élément d’introduction de la force ne

glisse pas non plus pour les flexions importantes.

Notions et principes de la flexion

49

Une barre est sollicitée en flexion lorsque des forces individuelles et des charges réparties

agissent perpendiculairement à son axe longitudinal (axe de la barre) ou lorsque des paires de

forces agissent sur elle dans un plan contenant l’axe longitudinal. Les éléments de

construction en forme de barre droite sollicités en flexion sont appelés poutres ou profilés.

Une surface de coupe imaginaire définie perpendiculairement à l’axe longitudinal est appelée

section transversale. Les dimensions de la section transversale sont petites par rapport à la

longueur de la poutre.

Expérimentation

- Régler les couteaux des blocs d’appui à 500mm. Les barres profilées sont découpées à

la longueur de 510 mm.

- Placer la barre avec le support à couteau. Pour la mise en place du support de mesure, il

y a deux possibilités: avec la surface magnétique horizontale sur la face supérieure du

rail de base ou bien avec la surface magnétique verticale à la face latérale avant ou

arrière du rail de base.

- Mettre à zéro le comparateur à cadran

- Appliquer avec prudence le poids additionnel de 1 kg

- Lire l’indication du comparateur à cadran

Questions de préparation

-Déterminer l’expression littérale de la flèche dans chacun des cas de chargement suivants :

-Pour le premier cas tracer la flèche maximale en fonction de la hauteur (0<h<50 mm) pour

une poutre en acier de longueur 500 mm et ayant une base constante de 20 mm, sachant qu’on

applique à la poutre une masse de 1 kg.