Polycopié RDM_Bon cours

Rsistance des Matriaux 1

Dr Hassan EL MINOR 1

Cours de Rsistance des

Matriaux

3ime Anne Ingnieur en BTP

Cours assur par Dr Hassan ELMINOR

Professeur de Mcanique



La rsistance des matriaux, dsigne souvent par RDM, est la science du

dimensionnement. Cest une discipline particulire de la mcanique des milieux

continus qui permet de concevoir une pice mcanique, un ouvrage dart ou tout

objet utilitaire. Ce dimensionnement fait appel des calculs qui prvoient le

comportement de lobjet dont la conception doit runir les meilleures conditions de

scurit, dconomie et desthtique.

L'objet de la rsistance des matriaux est l'tude de la stabilit interne c'est dire la

dtermination des contraintes et dformations l'intrieur de la matire et les

dplacements des lignes moyennes des structures gnrs (machines en gnie

mcanique, btiment en gnie civil,). Elle est base sur des hypothses

simplificatrices vrifies exprimentalement. La RDM fait appel la statique du solide

qui est une branche de la statique tudiant l'quilibre des pices dans un mcanisme.

C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systmes mcaniques rels.

Lobjet de la statique est l'tude de l'quilibre dun corps ou dun ensemble de corps

solides dans leur gomtrie initiale; cest--dire dans la structure non dforme par

rapport un repre Galilen. Le solide sera considr comme infiniment rigide.

Etudier donc la statique d'une structure revient tudier sa stabilit externe, d'une

part en vrifiant qu'elle ne se comporte pas comme un mcanisme, et d'autre part en

dterminant les actions de liaisons (assemblages entre les diffrents solides et entre

la structure et la fondation ou le sol).

La statique et la rsistance des matriaux constituent l'outil indispensable de

l'ingnieur constructeur pour concevoir et raliser des ouvrages conomiques qui ne

risquent ni de se rompre ni de se dformer excessivement sous les actions qui leur

sont appliques.

Le polycopi est structur de manire fournir ltudiant les bases de la statique

afin que ce dernier puisse maitriser lquilibre de systmes simples, calculer les

ractions aux appuis dune structure isostatique et calculer les efforts intrieurs dans

ses barres. Les autres chapitres constituent une introduction la rsistance des

matriaux. Le contenu est consacr, en premier lieu, la mise en place des

hypothses fondamentales de la RDM. Ensuite, afin de dimensionner de petites

structures lmentaires isostatiques; c'est--dire l'tude de la rsistance et de la

dformation des lments d'une structure, de dterminer ou de vrifier leurs

dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de scurit

satisfaisantes et au meilleur cot (optimisation des formes, dimensions, nature des

matriaux ...) des cas de sollicitations simples (traction/compression, cisaillement

pur, Torsion, flexion) et sollicitations composes sont tudies.



Chapitre 1. Gnralits sur la rsistance des matriaux

1. Objectifs de la rsistance des matriaux RDM 2. Les diffrentes thories de la mcanique du solide 3. Construction relle, son schma de calcul : Modlisation

a. Matriau b. Gomtrie de la structure : Notion de poutre c. Charges (sollicitations) d. Conditions aux limites

Chapitre 2 : Statique Plane

1. Introduction 2. Principe fondamental de la statique (PFS)

2.1 Enonc du principe 2.2 Utilisations pratiques

3. Mthode de rsolution dun problme statique 4. Organigramme de la mthode 5. Cas Particuliers

a. Solides soumis deux forces extrieures b. Solides soumis trois forces extrieures non parallles

6. Statique graphique a. Cas dun solide soumis deux forces b. Cas dun solide soumis trois forces

7. Conclusion 8. Applications

Chapitre 3 : Efforts Internes (Torseur de cohsion)

1. Hypothses de la rsistance des matriaux 1.1 Hypothses sur le matriau 1.2 Hypothses sur la gomtrie - Hypothse de la poutre 1.3 Hypothses sur les dformations

2. Efforts internes (Torseur de cohsion) 2.1 Reprage de la coupure fictive 2.2 Dfinition du torseur de cohsion

3. Dtermination des lments de rduction en G du torseur de cohsion

4. Repre de dfinition des sollicitations 5. Nature des Sollicitations 6. Applications



Chapitre 4. Caractristiques gomtriques des sections planes

1. Introduction 2. Aire dune section 3. Moment statique dune surface plane par rapport un axe de son plan.

3.1 Dfinition. 3.2 Proprit du centre de surface G de (S) 3.3 Exemple

4. Moment dinertie (Moment quadratique)

4.1 Dfinition 4.2 Proprits

5. Moment produit dune section 6. Moment Quadratique polaire dune surface plane par rapport un point de son plan.

6.1 Dfinition 6.2 Proprits

7. Moment quadratiques connatre (O et en G) 8. Conclusion 9. Module de rsistance 10. Exemple 11. Rayon de giration 12. Exercices

Sollicitations simples Chapitre 5 : Extension Compression

1. Extension simple a. Dfinition b. Elments de rduction en G du torseur des forces de cohsion c. Hypothses d. Contrainte dans une section droite (S) e. Condition de rsistance

f. Relation entre allongement L et leffort normal N. 2. Compression simple 3. Exercices

Chapitre 6 : Cisaillement simple (pur)

1. Dfinitions 1.1 Etat de cisaillement 1.2 Cisaillement simple

2. Exemples 2.1 Action dune cisaille 2.2 Rivets

3. Etude exprimentale 3.1 Modlisation 3.2 Rsultats de lessai



4. Etudes des dformations lastiques. 5. Etudes des contraintes

5.1 Contrainte moyenne de cisaillement 5.3 Contrainte pratique de cisaillement 5.4 Condition de rsistance au cisaillement

6. Exercices Chapitre 7 : Torsion simple (pur)

1. Dfinition et hypothse

1.1 Dfinition 1.2 Hypothse

2. Essai de torsion simple 3. Etude des contraintes

3.1 Effort de cohsion 3.2 Loi de Hooke 4. Dformation de torsion rigide

4.1 Equation de dformation lastique 5. Condition de rsistance

5.1 Expression de la contrainte de torsion en fonction de Mt 5.2 Condition thorique de rsistance la torsion 5.3 Conditions de relles de la torsion

6. Exercices

Sollicitations composes Chapitre 8 : Flexion Plane Simple 1. Diffrents types de flexion. 2. Hypothses la flexion plane simple 3. Distribution des contraintes.

3.1 Contraintes normales 3.2 Relation entre x et Mfz 3.3 Contrainte normale maximale 3.4 Contraintes tangentielle

4. Conditions de rsistance 4.2 Condition de rsistance aux contraintes tangentielles

5. Equation de la courbe de la dforme 6. Exemple 7. Exercices

Chapitre 9 : Flexion et torsion/Flexion plane et extension ou compression

1. Principe 2. Flexion plane simple et torsion

2.1 Dfinition 2.2 Analyse des contraintes

2.2.1 Contrainte tangentielle de flexion 2.2.1 Contrainte normale de flexion 2.2.3. Contrainte tangentielle de torsion simple



2.2.4. Zones contraintes maximales 2.3. Etude des contraintes maximales

2.3.1. Contrainte normale maximale 2.3.2 Contrainte tangentielle maximale

2.4 Dfinition des moments idaux de flexion et de torsion 2.4.1 Moment idal de flexion 2.4.2 Moment idal de torsion

2.5 Condition de rsistance 2.5.1 Condition limite pour les contraintes normales. 2.5.2 Condition limite pour les contraintes tangentielles.

3. Flexion plane et extension ou compression 3.1 Etude des contraintes normales

4. Exercices Chapitre 10 : Flambage 1. Etude du Flambage Thorme dEuler

1.1 Hypothses de ltude. 1.2 Dformation de flambage, charge critique dEuler. 1.3 Cas dune poutre dont les extrmits A et B, sont parfaitement encastrs 1.4 Longueur libre de flambage. 1.5 Domaine demploi du flambage, Elancement 1.6 Calcul de rsistance au flambage (Euler)

1.7 Critres de rsistance 2. Exercices



Chapitre 1. Gnralits sur la rsistance des matriaux.

1. Objectif de la rsistance des matriaux

La RDM est une science qui permet lingnieur soit :

Vrification des constructions Dimensionnement

Ou des pices de machines.

Vrifier une construction cest sassurer que certains critres sont respects par exemple la

rsistance du corps reste en tout points infrieure une certaine limite impose . Dimensionner cest dterminer les dimensions de la construction telle que celle-ci supporte les

charges appliques cest dire que les critres (de rsistance, de dformabilit) soient vrifis.

Condition de rsistance

La condition de rsistance scrit : max : contrainte maximale en MPa ; p : Contrainte pratique (ou rsistance admissible du matriau) en MPa ; e : rsistance lastique du matriau en MPa ; s : coefficient de scurit.

Que ce soit dans le cas de la vrification ou le dimensionnement, la RDM permet dtudier ltat de contrainte et de dformation dans les lments de construction. Elle suit un but pratique savoir ltablissement de formules simple faciles appliquer, pour cela elle utilise des hypothses simplificatrices qui sont plus ou moins vrifies exprimentalement.

2. Les diffrentes thories de la mcanique du solide :

La rsistance des matriaux (RDM). La thorie de llasticit (T.E). La thorie de la plasticit (T.P). La thorie du fluage (T.F). (etc)

La diffrence entre ces thories rside essentiellement dans la formulation des lois de comportement : = f (). (Exemple : dans le cas lastique cette loi se traduit par la loi de Hook :

= E . La RDM et la thorie de llasticit supposent les corps tudis lastique; la diffrence entre les deux thories cest que la premire utilise des hypothses simplificatrices en plus des thories dlasticits.



3. Construction relle, son schma de calcul : Modlisation Il est impossible de rsoudre le problme dune construction relle en tenant compte de la multiplicit de ses proprits. Lingnieur est amen, dans un problme donn, dgager les facteurs essentiels

influenant la rsistance et la rigidit de la construction. Modlisation du problme : Etablir le modle de calcul

Matriau prciser la gomtrie de la structure les forces extrieures les conditions aux limites (les liaisons)

3.1 Matriau

En RDM ce schma commence souvent par la schmatisation des proprits du matriau, on suppose le matriau homogne (mme caractristiques physiques en tout point) et isotrope mme caractristiques mcanique de les trois directions). Les caractristiques mcaniques du matriau sont souvent dtermines par des essais de traction dite statique.

Cas lastique (cas la RDM) : la loi de comportement est : = E



Les caractristiques classiques sont :

E : le module de young (MPa) (pour les aciers E 200000MPa) : Coefficient de poisson : il exprime le rapport entre la dformation longitudinale et la dformation transversale : = -/ . e : la limite lastique du matriau (MPa). A % = 100 (Lu-Lo)/Lo : lallongement pour cent aprs rupture.

3.2 Gomtrie de la structure : Notion de poutre

Lors du choix dun modle de calcul on introduit des simplifications dans la gomtrie du corps.

Exemple de poutre :

Variation brusque de section : nest pas une poutre au sens de la RDM



3.3 Les charges (Sollicitations)

Lors du choix dun modle de calcul on introduit aussi des simplifications dans le systme des forces appliques la construction. On distingue deux groupes de sollicitation dune construction

Les charges permanentes : Elles comprennent le poids propre des lments de construction, le poids propre des lments dachvement (par exemple : la pousse des terres sur un mur de soutnement). Les forces provoques par ces charges ne disparaissent pas en priode dexploitation de louvrage, elles restent, elles vivent avec lui.

Les surcharges : Ce sont toutes les charges qui ne sont pas fixes en rpartition, ni constantes dans le temps, ce sont par exemples les surcharges dexploitation : marchandise dans un magasin, une foule sur une passerelle.

Selon le caractre de la mobilit de la sollicitation on peut distinguer les charges statiques et les charges dynamiques :

Les charges statiques : La charge croit trs lentement de zro sa valeur initiale, puis elle reste invariable.

Les charges dynamiques : La charge croit vite et sa grandeur change avec une frquence assez

grande (choc, vibration, rptition de charge).

Types de charges et liaisons en gnie civil (en gnie mcanique)

Les actions extrieures (forces extrieures) sappliquant sur les solides sont, au niveau mathmatique, de nature diffrente.

Les efforts connus

On retrouve les efforts modlisant, les actions du poids propre des lments, les actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions dexploitation. Ces actions sont donnes par le cahier des charges dutilisation du btiment: poids des machines, action des ponts roulants, utilisation des locaux, etc

Les efforts inconnus

Ils sont dvelopps par les liaisons du solide tudi avec les lments de transfert des charges. Les liaisons servent bloquer certains degrs de libert (ddl) des solides.



Exemples de Sollicitations

Traction-Compression

Une poutre est sollicite en traction (ou en compression) lorsque les actions aux extrmits se rduisent deux forces gales et opposes, portes par la ligne moyenne lm.

Cisaillement

La direction du chargement est perpendiculaire la ligne moyenne lm de la poutre.

Flexion



Le chargement est un moment autour laxe Z. Le moment Mz est appel moment flchissant.

Torsion

Une poutre est sollicite en torsion lorsque les actions aux extrmits se rduisent deux moments de torsion Mt gaux et opposs, ports par la ligne moyenne lm.

3.4 Conditions aux limites (liaisons)

Un appui est un lment extrieur en contact avec la structure tudie et la raction dappui dpend de la nature de la liaison appui-structure.



Liaisons et efforts de liaisons

Nous effectuerons notre analyse dans le cadre du plan et du Gnie Civil. Les liaisons, pour bloquer les dplacements, gnrent des efforts inconnus appels efforts de liaison. On associera la liaison un torseur defforts li ses caractristiques cinmatiques. Les mouvements lmentaires possibles dans le plan sont : deux translations (x et y), une rotation: =k.

Modlisation des liaisons

La norme voudrait que l'on utilise les mmes symboles que dans les schmas cinmatiques. Cependant la pratique et notamment les logiciels spcifiques la rdm utilisent frquemment les reprsentations suivantes (qui par dfinition sont variables car non normalises):

Appui simple - Appui glissant

Lappui simple bloque la translation dans la direction de lappui, il permet une translation x dans la direction perpendiculaire et une rotation autour de laxe perpendiculaire au plan de la liaison.

une inconnue de liaison (raction verticale) : 1ddl bloqu deux degrs de libert ddl (un dplacement suivant x et une rotation). Modlisation

La modlisation dun appui simple est schmatise sur la figure ci-dessous.



Fig. Schmatisation dun appui simple.

Exemples de ralisation

Diffrents exemples de ralisation dun appui simple sont schmatiss sur la Figure ci-dessous :

Figure : ralisation dun appui simple



Remarque

En gnie civil, lappui simple ne sera pas ponctuel mais plutt du type surfacique. Lappui des lments sexercera souvent sur une "certaine surface". Articulation (Appui double - Appui articul)

Larticulation permet de bloquer les deux translations possibles dans le plan. Elle permet donc une rotation libre k. Deux inconnues de liaison (ractions verticale et horizontale) : 2 ddl bloqus un ddl (une rotation). Modlisation

Larticulation est modlise comme le montre la figure ci-dessous.

ou

Fig. Schmatisation dune articulation

Remarque

Les rotations admises sont faibles, de lordre de 10-1 radian (voir plus pour certains cas).

Encastrement (Appui triple)

Cette liaison bloque les trois degrs de libert possibles: deux translations lmentaires et une rotation. -soppose tout dplacement toute rotation. Dans ce cas nous avons zro degr de libert. -Aucun ddl

Modlisation



Lencastrement est modlis comme le montre la figure

Fig. Schmatisation dun encastrement Exemple

Une balanoire 3 est articule en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2 reprsentent les poids respectifs des deux enfants 1 et 2, appliqus respectivement en H1 et H2. Schmatiser toutes les actions sexerant sur la balanoire.



Les actions sexerant sur la balanoire sont: Le poids de la balanoire Les poids des deux enfants Laction de liaison au point O

Rcapitulation sur la modlisation des liaisons :

Les diffrentes liaisons souvent ralises en domaine du gnie civil sont rcapitules sur la figure ci-dessous :

Fig. Reprsentations simplifies des diffrentes liaisons du gnie civil.

Exercice 1

Soit un plongeoir, schmatis par la figure ci-dessous.

- Reprer, identifier et schmatiser tous les efforts sexerant sur la planche (1).



Chapitre 2 : Statique Plane

9. Introduction La statique du solide est la branche de la statique tudiant l'quilibre des pices dans un mcanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systmes mcaniques rels. Lobjet de la statique est l'tude de l'quilibre dun corps ou dun ensemble de corps solides dans leur gomtrie initiale; cest--dire dans la structure non dforme par rapport un repre Galilen. Le solide sera considr comme infiniment rigide. Etudier donc la statique d'une structure revient tudier sa stabilit externe, d'une part en vrifiant qu'elle ne se comporte pas comme un mcanisme (hypostatique), et d'autre part en dterminant les actions aux liaisons (assemblages entre les diffrents solides et entre la structure et la fondation ou le sol. Dautre part, la statique graphique est une mthode entirement gomtrique de rsolution de problmes de statique. Elle permet de saffranchir de nombreuses lignes de calculs et de mieux visualiser et apprhender le dispositif tudi mais elle est particulirement adapte aux problmes plans.

10. Principe fondamental de la statique (PFS)

2.1 Enonc du principe

Soit un solide (S) soumis un systme de forces extrieures modlis parle torseur . Soit R le rfrentiel associ (S); (S) est en quilibre si et seulement si:

2.2 Utilisations pratiques

Lgalit de deux torseurs entranait lgalit de leurs lments de rduction. Soit O le point choisi:

Les quations (1) et (2) sont deux quations vectorielles qui donnent: - 6 quations scalaires en lespace - 3 quations scalaires en plan En plan, lquation des forces (1) possde deux quations scalaires et lquation des moments (2) une quation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs appartenant toujours (P) (plan de sollicitations); le moment est autour de laxe z (z tant perpendiculaire au plan (P)).



Fig. Illustration en plan.

Remarque

En gnie civil, nous nous ramenons le plus souvent possible ltude des problmes plans, c'est--dire ltude de structures charges dans leur plan de symtrie.

11. Mthode de rsolution dun problme statique Rsoudre un problme de statique consiste trouver des efforts inconnus (en direction et/ou en sens et/ou en intensit) en fonction dautres efforts qui eux sont connus; le principe fondamental de la statique met en relation les efforts inconnus avec les efforts connus. Hypothses

Les solides tudis sont parfaits (indformables et de gomtrie idale). Les liaisons dans les mcanismes sont sans jeu; les frottements pourront ou non tre

considrs.

12. Organigramme de la mthode La mthode de rsolution dun problme statique peut tre schmatise par lorganigramme ci dessous. Cet organigramme permet de dterminer les actions mcaniques qui agissent sur un solide.



13. Cas Particuliers

a. Solides soumis deux forces extrieures

Soit un solide (0) soumis deux forces extrieures F1/0 et F2/0. Soit P le point d'application de la force F1/0 . D'aprs le principe de la statique, l'quilibre du solide (0) se traduit par:

Thorme

Si un solide est en quilibre sous l'action de deux forces extrieures, alors ces deux forces sont gales et opposes. Leur direction passe par les deux points d'application des forces.

b. Solides soumis trois forces extrieures non parallles Soit un solide (0) soumis trois forces extrieures F1/0, F 2/0 et F 3/0. On suppose parfaitement connues la force F1/0 ainsi que la direction de F 2/0. Soit I le point d'intersection des directions des forces F1/0 et F 2/0. D'aprs le principe de la statique, l'quilibre du solide (0) se traduit par:

Thorme

Un solide soumis l'action de trois forces extrieures non parallles est en quilibre, si: La somme des trois forces est nulle. Les trois forces sont concourantes en un point.

Exemple

Appliquer lorganigramme de la mthode de rsolution dun problme statique au systme schmatis par la figure ci-dessous

Supposons que le systme est en plan. Notons les poids des trois lments constituant la grue par P1, P2, P3 et le poids du panneau maintenu par Pn comme montr sur la figure suivante:



Le systme schmatis ci-dessus est isol de son environnement; c--d que laction du sol sur la grue est reprsente par les actions de liaison qui sont, en plan, les deux composantes RX et RY et le moment autour de laxe Z. Aprs avoir fait le bilan de toutes les actions sexerant sur le systme on applique le principe fondamental de la statique (PFS) et par consquent on obtient les quations suivantes:

14. Statique graphique Les constructions graphiques permettent de rsoudre simplement et rapidement un problme de statique. Toutefois, leur mise en uvre devient complique et fastidieuse pour certains problmes, cest pourquoi le recours la statique graphique se limite aux problmes deux ou trois glisseurs.

a. Cas dun solide soumis deux forces Un solide soumis deux forces est en quilibre si elles sont: - colinaires (directions confondues), - de sens contraire, - de mme intensit.



b. Cas dun solide soumis trois forces Un solide soumis trois forces est en quilibre si: - elles sont concourante (elles se coupent en un mme point), - le dynamique est ferm.

Fig. Dynamique et schmatisation dun solide soumis trois forces.

Trouver la direction et le module de la force F3sur la figure suivante:

Les trois forces F1, F 2 et F3 doivent tre concourantes au point I et la somme des trois forces doit tre nulle.

Nous dterminons dabord le point dintersection de F1et F 2puis la direction de F3 qui est porte par la droite IC. Nous traons le dynamique des forces. Les directions du triangle des forces doivent tre parfaitement parallles celles de la figure initiale ayant servi dterminer le point I . On choisit une chelle



pour tracer F1sur le triangle des forces; les modules de F 2 et F3 seront mesurs partir de cette mme chelle. Lextrmit de chaque force concide avec lorigine de la force suivante. Lordre de construction et le rsultat est montr sur la figure suivante.

15. Conclusion Selon la complexit du problme traiter, nous avons disposition diffrentes expressions du principe fondamental de la statique (PFS). Pour les problmes complexes, cest dire si on a plus de trois glisseurs ou si les efforts ne sont pas des glisseurs, la statique graphique devient fastidieuse, les mthodes analytiques prennent le relais. Si lexpression vectorielle possde elle aussi des limites dutilisation (limites lies la difficult de mise en uvre), lutilisation des torseurs permet de rsoudre efficacement tous les problmes (2D, 3D, avec ou sans glisseur), notamment ceux o interviennent des liaisons mcanique telles que glissire, hlicodale,

16. Applications

Exercice 1

Soit la poutre montre sur la figure ci-dessous.

1- Calculer les torseurs des forces F et q par rapport aux points A, B, C et D. 2- Etudier lquilibre de cette poutre.



Exercice 2

Soit soulever une caisse de poids qui vaut 736 N par un dispositif avec poulie et cbles (Figure suivante).

1- Isoler la caisse et faire le bilan de toutes les actions extrieures sexerant sur celle-ci. 2- En appliquant le principe fondamental de la statique, dterminer les tensions des cbles AB et AC et leffort T que doit exercer loprateur pour maintenir lensemble en quilibre. Exercice 3

Le systme montr par la figure suivante est constitu de quartes barres rigides en acier: deux barres suprieures AB et AC et deux barres infrieurs BD et CD, ayant chacune un module de Young E et une mme section transversale A. Le systme est sollicit par une force concentre au point D (P=17,3 kN= et une charge rpartie (q = 3,46 kN/m).

1- Dterminer les efforts dans les barres AB et AC. On donne . 2- Dterminer les efforts dans les barres BD et CD.



Exercice 4

Dterminer la rsultante de toutes les forces sexerant sur le solide (S) montr sur la figure suivante.

Exercice 5



Chapitre 3 : Efforts Internes (Torseur de cohsion) Dans le cours de la rsistance des matriaux, nous nous intresserons exclusivement aux matriaux lastiques. Ceci veut dire que nous supposerons toujours que les sollicitations auxquelles sont soumises les structures tudies sont suffisamment faibles pour que les dformations soient lastiques.

3. Hypothses de la rsistance des matriaux 1.1 Hypothses sur le matriau

Continuit

La matire est continue (les distances entre les molcules sont toujours trs petites; l'chelle de la RDM, la matire apparat continue). Autrement, ses proprits sont des fonctions continues de lespace, les discontinuits microscopiques dues la nature des matriaux de construction (grains, mailles) sont ngliges. Homognit

On admettra que tous les lments du matriau, aussi petits soient-ils, ont une structure identique. Ses proprits sont identiques en chaque point. Isotropie

On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de ces points, les matriaux possdent les mmes proprits mcaniques. 1.2 Hypothses sur la gomtrie - Hypothse de la poutre

On utilise le modle de la poutre pour tudier la RDM (voir chapitre 1) 1.3 Hypothses sur les dformations

On fera lhypothse que les dformations sont petites par rapport toutes les dimensions de la poutre. Ainsi, on assimilera la gomtrie en configuration dforme la gomtrie en configuration non dforme. Les efforts sont donc considrs invariants en dpit de la dformation des poutres.

Fig. Poutre droite dforme.



Hypothses de Navier-Bernoulli

Les sections planes, normales aux fibres avant dformation restent planes et normales aux fibres aprs dformation.

Les sections droites normales la fibre neutre restent donc perpendiculaires la fibre neutre aprs dformation. Si lon connat la dforme de la fibre neutre, on peut donc en dduire le dplacement de nimporte quel point de la poutre. Dans la suite, on ne reprsentera donc que la fibre neutre pour reprsenter une poutre.

Fig. Schmatisation de lhypothse de Navier - Bernoulli.

Hypothse de Barr de Saint-Venant

On fera lhypothse que les rsultats de calculs seront valables loin des points dapplication des charges. Ltat des sollicitations dans une rgion suffisamment loigne des points dapplication des charges extrieures appliques la poutre ne dpend donc que du torseur associ ces charges.

Fig. Schmatisation de lhypothse de Barr de Saint-Venant.



2_ Efforts internes (Torseur de cohsion)

2.1 Reprage de la coupure fictive

Soit )(E le solide assimil une poutre et )(Elensemble extrieur )(E . ),,( 0000 zyxR

rrr= est le repre li )(E tel que 0x

rest confondu avec la

ligne moyenne. Considrons un plan )(P normal 0xr

dfinissant la section droite )(S de )(E . Soit

G le centre de surface de )(S , 0.xxOGr=

dfinissant la position de la section droite par rapport 0R .

La coupure fictive par le plan )(P partage la poutre en deux tronons )( 1E et )( 2E

2.2 Dfinition du torseur de cohsion

Le torseur de cohsion { } 0RcohG TS est le torseur associ l'ensemble des actions mcaniques exerces par le tronon )( 2E sur le tronon )( 1E de la poutre dont les lments de rduction sont exprims au

point G centre de la surface )(S

{ }

=

GG

cohG MRT rr

Remarque : Ces actions, non visibles, sont internes au matriau et lui permettent de garder son intgrit physique d'o le nom de cohsion. Le torseur de cohsion est toujours le torseur des actions mcaniques exerces par le tronon de droite

)( 2E sur le tronon de gauche )( 1E

Rr

et GMv

sont fonctions de labscisse x du centre de surface G de )(S Pour simplifier les critures, il ny aura pas dindices sur les lments de rduction

3_Dtermination des lments de rduction en G du torseur de cohsion

Etude de lquilibre de la poutre )(E :

Le PFS nous permet dcrire : { } { }00

0 =

===

r

v

EEG

EE

G

EEMRT



En utilisant la coupure fictive, les actions mcaniques extrieures peuvent tres spares en deux groupes :

le torseurs des AM extrieures la poutre appliques sur )( 1E : { }

=

1

11

EEG

EE

G

EEMRT

le torseurs des AM extrieures la poutre appliques sur )( 2E : { }

=

2

22

EEG

EE

G

EEMRT

Lquilibre de )(E peut scrire : { } { } { } { }02

2

1

121 =

+

=+=

EEG

EE

GEEG

EE

G

EEEEEEMR

MRTTT

Etude de lquilibre de )( 1E . Relation entre { }1EET et { }cohesionT )( 1E est en quilibre sous laction de deux torseurs :

action du milieu extrieur : { }

=

1

11

EEG

EE

G

EEMRT

action de 12 EE : { }

=

GG

cohG MRT rr

PFS appliqu )( 1E : { } { } { }00

01

11 =

=+=+=+

GEEG

EE

G

cohEEMMRRTT

Les lments de rduction en G du torseur des actions de cohsion peuvent donc sexprimer de deux faons :

Suivant le cas (simplicit), nous utiliserons lune ou lautre des relations

4_Repre de dfinition des sollicitations

Soit ),,,( zyxGRrrr= le repre local associ la section droite

fictive (S). Ce repre est tel que xr

dfinit la normale extrieure (S) relative )( 1E . y

r et z

r appartiennent alors au plan (P) de la

section (S).

Ce repre sera toujours direct.

Dnomination des composantes des lments de rduction du torseur des efforts de cohsion

{ }fMtMM

TNRMRT

GGG

coh rrr

rrr

r

r

+=+=

=

{ }

=

=

1

1

EEG

EE

GG

G

cohG MR

MRT rr

{ }

=

=

2

2

EEG

EE

GG

G

cohG MR

MRT rr



Effort normal Nr

: projection de Rr

sur laxe xr

Effort tranchant Tr

: projection de Rr

sur la section droite ),( zyrr

Moment de torsion tMr

: projection de GMr

sur laxe xr

Moment de flexion fMr

: projection de GMr

sur la section droite ),( zyrr

Tr

et fMr

nayant pas de direction privilgie dans ),( zyrr

, il est prfrable dutiliser les composantes

algbriques de ces vecteurs

{ }RG

GG

coh

MfzTzMfyTyMtN

MRT

=

= r

r

zTTzyTTyxNN

Rrr

rr

rr

r

sur de algbrique composante : sur de algbrique composante : sur de algbrique composante :

zfMMfzyfMMfy

xtMMtMG

rr

rr

rr

r

sur de algbrique composante : sur de algbrique composante :

sur de algbrique composante :

Diagrammes

Les composantes algbriques MfzMfyMtTzTyN ,,,,, varient en fonction de la position du centre de surface G de la section droite fictive (S). La reprsentation graphique des fonctions

)();();();();();( xMfzxMfyxMtxTzxTyxN donne les diagrammes des composantes des lments de rduction en G du torseur de cohsion

5_Nature des Sollicitations

En fonction de lallure du torseur de cohsion, une typologie des sollicitations est tablie. On appelle sollicitation simple l'tat de contrainte dune poutre dont le torseur de cohsion ne comporte qu'un lment.

Nature des sollicitations Effort

Normal

Effort

Tranchant

Moment de

Torsion

Moment de

Flexion

Torseur de cohsion

Traction (N>0)

Compression (N



Fig. Poutre soumise une sollicitation simple.

6. Applications

Exemple 1

Soit une poutre cylindrique, de 200 mm de long et de 5 mm de diamtre, soumise une action mcanique modlisable par un

glisseur avec ER3 d'intensit 100 daN.

mm 150 ; . == axaAC r

mm 200 ; . == lxlAB r Ltude seffectuera dans la plan de symtrie ),( yx

rr

DETERMINATION DES ACTIONS EN A ET B

Isolement de la poutre (E) (E) est soumis 3 actions mcaniques : { }{ }{ }EEE TTT 310 .;

E

0 1 l

a

S x



{ }),,(

0

0

0

00

0000

zyx

E

E

AEA

E

A

E YX

MRT

rrr

=

=

{ }),,(

11

11

00000

zyx

E

BEB

E

B

E YMRT

rrr

=

=

{ }),,(

3

33

00010000

zyxCEC

E

C

EMRT

rrr

=

=

Ecriture des torseurs au point A

{ }),,(

0

0

0

00

0000

zyx

E

E

AEA

E

A

E YX

MRT

rrr

=

=

{ }),,(

1

11

11

.0000

zyxE

E

AEA

E

A

E

YlY

MRT

rrr

=

=

{ }),,(

3

33

100.0010000

zyxAEA

E

A

E

aMRT

rrr

=

=

Ecriture du PFS appliqu (E)

{ } { }0100..0

01000

),,(1

10

0

=

+=

zyxE

EE

E

A

EEaYl

YYX

Trrr

v

Equations Rsolution

00 =EX 75200

15000100.1 ===

laY E 251007510010 =+=+= EE YY

Conclusion

{ }),,(

0

00

0002500

zyxAEA

E

A

EMRT

rrr

=

=

{ }),,(

1

11

0007500

zyxBEB

E

B

EMRT

rrr

=

=

{ }),,(

3

33

00010000

zyxCEC

E

C

EMRT

rrr

=

=

DETERMINATION DU TORSEUR DE COHESION

Il faut tudier chaque portion de poutre comprise entre deux charges. POUR cx



COURBES DES EFFORTS INTERIEURS

On reprsente la variation des efforts intrieurs l'aide de courbes qui visualisent immdiatement les zones dangereuses de la poutre. Effort tranchant

E

0 1

l

a

S x

Ty (daN)

x (mm)

75

-25

0 A C B

Mfz (daN.mm)

x (mm) 0

A C B

Sollicitation A



Exemple 2

Soit une poutre de 3 m de long soumise 2 actions mcaniques modlisable par :

une charge concentre ER3

une charge rpartie qL

Donnes a = 2 m ; l = 3 m

xR Er

.12003 = (N) yqLr.900= (N/m)

La charge rpartie sera ramene une charge concentre au point m centre de la rpartition Ltude seffectuera dans la plan de symtrie ),( yx

rr

1_Dtermination des actions en A et B

2_Dtermination des torseurs de cohsion

ER3

1 2

l

a

S x

qL



Chapitre 4 : Caractristiques gomtriques des sections planes

7. Introduction Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la section droite est ncessaire pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la section droite de la poutre jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes sollicitations de torsion ou de flexion. Nous allons nous intresser dans le prsent chapitre aux caractristiques suivantes : - Aire dune section - Moment statique par rapport une droite (ou un axe) - Centre de gravit - Moment quadratique d'une section par rapport une droite (ou un axe) - Moment de rsistance

8. Aire dune section

Par dfinition laire A dune section est dfinie par lintgrale:

Exemple

Calculer laire dun triangle. Soit la surface triangulaire plane montre par la figure ci-dessous.

Remarque

Si la section est compose, nous la dcomposons en sections usuelles et laire est calcule comme:



Exemple :

3. Moment statique dune surface plane par rapport un axe de son plan.

3.1 Dfinition.

Le Moment statique de la surface plane (S) par rapport laxe de son plan est dfini

par la relation :

y

x ds(dA)

M(x,y)

S

y

x

),( xOW ),( xO

=S

ydsxOW ),(



Le Moment statique de la surface plane (S) par rapport laxe scrit alors :

Units : longueur en mtres, surface en mtres carrs, ),( yOW en mtres cubes. Nota : Le moment statique peut tre positif, ngatif ou nul.

Remarque : Si on procde des translations paralllement aux axes ox et oy, les moments statiques changent. Soit la section montre par la figure (1.2) telle que SX, SY, A sont connus et on se propose de dterminer SX et SY.

Fig. Translation des axes

Soit :

, = = = ,

, = = = ,

3.2 Proprit du centre de surface G de (S)

Daprs la dfinition du centre de surface, on peut crire :

SOGdsOMS

.. =

En projection sur ),( xO on obtient :

Syyds GS

.= =

),( yO

=S

xdsyOW ),(

),( xOW



En projection sur ),( yO on obtient :

Sxxds GS

.= = ),( yOW

y

M(x,y)

dS

G(XG, YG)

S

O x Remarque

Pour une section compose, les coordonnes du centre de gravit sont donnes par les expressions:

),( yOW = Sxxds GS

.= = !"#""

),( xOW = Syyds GS

.= = $!"#""

Si la section possde un axe de symtrie, le centre de gravit G est situ sur cet axe.

3.3 Exemple

Calculer les coordonnes du centre de gravit de la section plane suivante.



4. Moment dinertie (Moment quadratique)

On dfinit le moment dinertie ou moment quadratique dune section comme le degr de rsistance de cette section aux efforts extrieurs appliqus, en tenant compte de la forme de cette section. 4.1 Dfinition

Le Moment quadratique ),( xOI de la surface plane (S) par rapport laxe ),( xO de son plan est

dfinie par la relation :

Le Moment quadratique de la surface plane (S) par rapport laxe ),( yO scrit alors :

=S

dsxyOI ),(

Units : longueur en mtres, surface en mtres carrs, ),( yOI en (m4). Nota : Le moment quadratique est toujours positif.

4.2 Proprits

Le Moment quadratique de la surface plane (S) par rapport laxe ),( xO de son plan est

gale Le Moment quadratique ),( xGI de la surface plane (S) par rapport laxe ),( xG augment du produit de laire de la surface par le carr de la distance des axes.

On peut crire de mme :

'),(),( SdyGIyOI +=

y

d

dS

G(XG,YG)

d

S

O x

=S

dsyxOI ),(

),( xOI

),(),( SdxGIxOI +=



5. Moment produit dune section

Lintgrale: =S

xydSyxI )(

Sappelle moment centrifuge ou produit dinertie de la surface plane (S) par rapport laxe systme

),( xO .

Remarque

Les moments quadratiques Ix et Iy sont toujours positifs, tandis que le moment produit Ixy peut tre positif, ngatif ou nul.

Application

Calculer les moments quadratiques par rapport aux axes ox et oy et le moment produit pour le rectangle montr par la figure suivante.

6. Moment Quadratique polaire dune surface plane par rapport un point de son plan.

Dfinition

Le Moment quadratique polaire OI de la surface plane (S) par rapport un point O de son plan est dfini par la relation :

Units : longueur en mtres, surface en mtres carrs, OI en (m4).

=S

O dsI



Y

dS

M(x,y)

S

O X

Nota : Le moment quadratique polaire est toujours positif.

Le Moment quadratique de la surface plane (S) par rapport un axe ),( zO perpendiculaire son plan est gale au moment quadratique polaire de (S) par rapport au point O o laxe coupe le plan.

Proprits Le moment quadratique polaire dune surface (S) par rapport au point O de son plan est gale la somme des moments quadratiques de (S) par rapport deux axes rectangulaires de son plan passant

par ce point : 7. Moment quadratiques connatre (O et en G)

8.Conclusion

Dans ce chapitre, les caractristiques gomtriques des sections planes manipuler dans le dimensionnement des lments dune structure sont prsentes. Ce chapitre est accompagn de deux annexes : dans la premire annexe, les caractristiques (aire, coordonnes du centre de gravit et moments quadratiques) pour des sections usuelles sont donnes. Dans la deuxime annexe, on a prsent sous forme dun tableau les tapes suivre pour dterminer les moments dinertie pour des sections composes en procdant par dcomposition en sections usuelles.

),(),( yOIxOIIO +=



9. Module de rsistance

Le moment de rsistance dune section droite est le rapport entre le moment dinertie axial et la distance la plus loigne de cet axe.

10. Exemple

Soit pour la figure suivante dterminer le moment de rsistance minimal.

Deux cas se prsentent :

11. Rayon de giration

Le rayon de giration dune surface A selon laxe x ou laxe y est dfini par:

Exemple

Calculer les rayons de giration dun rectangle.

Soit la surface rectangulaire montre par la figure ci contre. Les rayons de giration sont:



12. Exercices

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3



Sollicitations Simples



Chapitre 5 : Extension Compression

1. Extension simple

1-1 Dfinition On dit quune poutre (E) travaille en extension simple quand les torseurs associs aux actions mcaniques de liaison, auxquelles sont soumises chacune de ses extrmits, se rduisent au centre de surface de ses sections extrmes une rsultante axiale qui tend lallonger (figure 1).

y (E) A B A(1E) B(2E) x

Figure 1

On note :

{ }

= 0

)1()1( EAEA

{ }

= 0

)2()2( EBEB

Et puisque la poutre et en quilibre : )2()1( EBEA = .

1-2 Elments de rduction en G du torseur des forces de cohsion Effectuons une section droite (S) de la poutre (E) et reprons le centre de surface G de cette section droite par son abscisse x dans 0(A, x0, y0) li la poutre. Considrons le repre (G,x,y,z) de dfinition des sollicitations (figure 2).

(0) yo () y A N A(1E) G (S) x xo

Fig. 2



La poutre est soumise lextension simple si le torseur des efforts de cohsion :

{ }

===

0GG

coh

MxNR avec : N> 0

par consquent :

==

000

z

y

TTN

;

===

000

z

yt

MfMfM

1-3 Hypothses

On suppose que les deux forces N sont rparties sur les sections extrmes de la poutre. Le matriau est homogne (mmes caractristiques physiques en tout point). Le matriau est isotrope (mmes caractristiques mcaniques en tout point). Dans la plupart des applications, de lextension (et de la compression) le poids de la

poutre peut tre nglig.

Daprs la loi de Hooke, x= E. x il est vident que les contraintes normales x sont les mmes en tout point de la section droite (S) .

1.4 Contrainte dans une section droite (S) Considrons une section droite (S), de centre de surface G, dune poutre tendue. Etudions lquilibre du tronon (E1) (figure 3).

0 yo y A dS dS A(1E) G x xo (E1) (S) (E2)

x

Fig. 3

Les actions mcaniques extrieures ( E1) sont modlises par les deux torseurs : Torseur des actions de liaison 1-E

{ }

= 0

)1()1( EAEA

Torseur des actions de cohsion que (E2) exerce sur (E1) travers (S).

{ }

=

GG

coh

MR



Lquilibre de (E1) entrane que :

{ } { }

=+

0)1( cohE

{ } { })1( Ecoh =

Et par consquent :

==

0

)1(

GG

M

EAR

Par consquent, dans (G, x, y, z) :

)1( EAN =

Nous avons par ailleurs que : =

SdSR

Daprs lhypothse de Navier et Bernoulli : ( = Cte dans S) et en projetant les vecteurs de la relation (1) sur (G, x) : N = S.

Nous crirons donc : = SN

En extension : N >>>> 0, >>>> 0. Units : N en newton, S en mm2, en MPa.

1-5 Condition de rsistance

Compte tenu de lexistence ventuelle dun coefficient de concentration de contrainte de k et si on adopte un coefficient de scurit s, la condition de rsistance pour une contrainte normale peut scrire :

max pe avec :

SNk=max et s

epe

=

Exemple de cas de concentration de contrainte



1-6 Relation entre allongement L et leffort normal N.

Daprs la loi de Hooke x =Ex

avec SN

x = et L

Lx

= ,

on peut crire : LLE

SN = . Soit

ESNLL= .

En extension : x > 0, N > 0 et L > 0.

Nota : lcriture LL

x= suppose que lallongement est galement rparti sur toute la longueur de la

poutre.

2. Compression simple On dit quune poutre (E) travaille en compression simple quand les torseurs associs aux actions mcaniques de liaison, auxquelles sont soumise chacune de ses extrmits, se rduisent au centre de surface de ses sections extrme une rsultante axiale qui tend la raccourcir. Remarque :

Cest la mme dmarche que pour le cas dextension. En compression : N < 0, < 0 et L < 0.

Nota : lcriture LL

x= suppose que le raccourcissement est galement rparti sur toute la longueur

de la poutre. 3. Exercices

A/ On considre le systme suivant (fig. 1) : Fig. 1 a a F = 10000 daN 1/ Calculer lallongement de chacune des barres. 2/ Quel doit tre le rapport des 2 sections pour que lallongement soit le mme.

Cuivre : L2 = 75 cm. E2 = 1.2 10

6 daN/cm. S2 = 5 cm

Acier : L1 = 100 cm. E1 = 2.1 10

6 daN/cm. S1 = 8 cm



B/ Soit un systme (fig. 2) constitu de trois barres de mmes sections S et de longueurs diffrentes l1, l2 et l3. Les barres sont construites du mme matriau (Acier dont le module de young est E). N1, N2 et N3 dsignent les efforts normaux dans les barres respectivement 1, 2 et 3.

l1 l2 l3

y Fig. 2 O x F 1/ Etudier lquilibre de laxe O et montrer que le systme est hyperstatique. 2/ Exprimer la relation entre les allongements des trois barres (on ngligera les variations de langle). 3/ Calculer les efforts normaux N1, N2 et N3 respectivement dans chaque barre 1, 2 et 3.

1

3 2



Chapitre 6 : Cisaillement simple 1. Dfinitions

1.1 Etat de cisaillement

Dans une section (S) de normale n (fig.1) ltat de cisaillement pur est caractris en tout point de cette section par une contrainte normale nulle et une rparation uniforme de la contrainte tangentielle. fig.1 1.2 Cisaillement simple

Une section droite (S) dun solide (E) est sollicite au cisaillement simple si la rduction au centre de surface G de (S) du torseur des forces de cohsion se rduit :

{ }

=

GG

coh

MR est telle que

==

0GMTR

Remarque : La dfinition du cisaillement simple sapplique une section droite donne (S) de la poutre et non

lensemble de cette poutre. La ligne moyenne de la poutre peut ne pas tre rectiligne.

La section droite (S) peut avoir une forme quelconque.

La sollicitation de cisaillement simple est pratiquement irralisable exprimentalement, on peut

cependant sen rapprocher dans certains cas.

2. Exemples

2.1 Action dune cisaille (fig.2)

Fig.2

M (S) :

{ Ctent n== 0 nt

S

n t

E1

E2

-F

F

A

B

S



Sous laction des deux rsultantes F et -F exerces par les deux couteaux de la cisaille, la poutre (E) tend se sparer en deux tronons (E1) et (E2) glissant lun par rapport lautre dans le plan de la section droite (S). 2.2 Rivets (fig.3) 1

F F 2

Fig.3

La section (S) du rivet est principalement sollicite au cisaillement. Le moment rsultant MG du

torseur de cohsion { }coh nest pas nul, il en rsulte une flexion du rivet (fig.3) dans le cas de glissement des tles et sil existe un jeu entre le rivet et son logement. 3. Etude exprimentale

3.1 Modlisation (fig.4) Ltude exprimentale est ralise avec une poutre de section rectangulaire parfaitement encastre, sur laquelle on applique un effort variable F uniformment rparti et situ dans une section droite (S1) une distance trs petite x de la section dencastrement(S).

yo (Ro) B

A (E1) G (E2) (S) (S) xo

F = F

Fig.4

Considrons le tronon (E1) de (E) (fig.5)

yo (Ro) y ( R) B

A (E1) G (S) (S) x xo

F = F

Fig.5

La rduction au centre de surface G de (S) du torseur des forces de cohsion scrit :

x

x



{ }

===

FGBMFR

GG

coh

En projection dans le repre R= (G ,x ,y ,z) li la section (S) on obtient : N = 0 Mt = 0 Ty = || F|| Mfy = 0 Tz = 0 Mfz = -|| F||.x Remarque : Pour que cette modlisation soit conforme la dfinition de sollicitation au cisaillement de la section

il est ncessaire que x soit nul, ce qui nest pas possible. On peut par contre raliser lessai avec un x trs petit, alors on peut ngliger Mfz = 0.

3.2 Rsultats de lessai

Au cours de lessai, la section droite (S1) (fig.6) lisse transversalement de y par rapport (S). On admet que ce glissement se fait sans dformation interne de (S) et (S1).

y B

A (E1) G (E2) (S) (S) xo Eprouvette

F = F

Fig.6

La courbe enregistre (fig.7) au cours de lessai donne la relation entre lintensit de la force F et le glissement transversal y de la section (S1) par rapport (S).

F(N) B Fmax C Fe A O y (mm)

Fig.7

Sur la courbe fig.7 on distingue deux zones :

La zone 0A des dformations lastiques ou domaine lastique; La zone ABC des dformations permanentes ou domaine plastique.

x



4. Etudes des dformations lastiques.

Dans la zone des dformations lastiques il y a proportionnalit entre le glissement transversal y

et leffort de cisaillement || F || tel que : || F || = k.y

k dpend des dimensions de lprouvette.

On constate quavec : en abscisse, le rapport (y/x) appel glissement relatif ou dviation en un point de la

section droite (sans unit) ;

en ordonnes, le rapport (|| F || /S) appel effort unitaire de cisaillement (en MPa). Nous obtenons des courbes identiques qui ne dpendent que du matriau de lprouvette.

On note : xy

GS

F

=

.

Avec :

G est le module dlasticit transversale ou module de Coulomb. = y /x est le glissement relatif ou dviation. Units : F (en newton); S (en millimtre carr); y et x (en millimtre) ; G (en mgapascal). 5. Etudes des contraintes

5.1 Contrainte moyenne de cisaillement

Considrons lquilibre du tronon (E1) (fig.8)

yo y

0 F df

M dS G x

zo z

x fig.8

0(A, x0, y0 , z0) est le repre li la poutre. (A, x, y , z) est le repre li la section (S). Nous avons vu que la rduction du torseur des efforts de cohsion au centre de surface G de la section (S) sexprime par : N = 0 Mt = 0 Ty = || F|| Mfy = 0 Tz = 0 Mfz = -|| F||.x Soit df leffort de cohsion que (E2) exerce sur (E1) en un point M de la section (S). Si on admet que x est trs petit et quen consquence Mfz = 0 on se trouve alors dans les conditions du cisaillement simple. Dans ce cas thorique nous admettrons que les efforts de cohsion df sont uniformment rpartis dans la section (S) et parallles T.



On en dduit que : x = 0 ;

== ydS

dfxMc xy.),(

Si df est uniformment rparti dans (S) il en rsulte que xy est uniformment rpartie dans la section droite (S). Cette hypothse ntant quapproximative et pour viter toute confusion avec la vraie valeur de la contrainte tangentielle en un point M de (S), nous noterons :

S

Tmoy

= Remarque :

Si la direction de T est quelconque dans (S) :

T = Ty y +Tz z

do : zy TTT +=

5.2 Condition de rsistance

En utilisant la courbe, fig.7 de lenregistrement de lessai de cisaillement on dtermine la charge limite

lastique Fe et on en dduit la contrainte tangentielle moyenne limite lastique e : e = Fe / S De la mme faon on dtermine la charge maximale Fmax et la contrainte tangentielle moyenne de

rupture r : r = Fmax / S 5.3 Contrainte pratique de cisaillement

Elle est dfinie par : p = e / s s est un coefficient de scurit. Si lutilisateur na pas la possibilit de raliser un essai de cisaillement pour dterminer e il est possible dutiliser les valeurs approximatives donnes en fonction de e . 5.4 Condition de rsistance au cisaillement

La condition de rsistance au cisaillement scrit : max p

Dans la plupart des cas max est difficile dterminer, on se contente donc le plus souvent de lexpression approche : moy p

Soit : || T|| / S p



6. Exercices



Chapitre 7 : Torsion simple (pur)

1. Dfinition et hypothse

1.1 Dfinition

Considrons un solide E et une section droite (S) de centre de surface G.

y (E) G R x (S) z La section droite (S) de E est sollicite en torsion simple si dans R les lments de rduction du torseur de cohsion sexpriment par :

{ }

===

xMMR

tGG

coh

.0

1.2 Hypothse

La poutre est un cylindre de rvolution. Le poids est ngligeable. Les dformations sont faibles. La variation de longueur des gnratrices est ngligeable.

2. Essai de torsion simple

Le solide de forme cylindrique de rvolution est parfaitement encastr son extrmit gauche.

l G G x (S) (S)

Fig. 1

M1 Mo

M M t M

Mo



On constate : Une proportionnalit entre langle et la position de la section droite x.

Cette constante quon dsigne par est dite : Angle unitaire de torsion.

x= (1)

avec : : rd x : mm : rd/mm.

Une proportionnalit entre langle de torsion et le moment de torsion Mt. La figure 2 reprsente lenregistrement dun essai de torsion simple.

Mt MA A B A

Fig. 2

OA : dformation angulaire lastique. Mt = . ( : constante) AB : dformation angulaire permanente. B : rupture de la poutre.

3. Etude des contraintes

3.1 Effort de cohsion

Soit la section droite (S). z1

df y1 M G dS x (S)

Fig. 3

Dans le repre M(x, y1, z1) on peut crire : ),(xMC = xz1. 1z

xz1 est la composante algbrique sur z1 du vecteur contrainte ),(xMC



Par dfinition : ),(xMC =

dS

df

On en dduit que : df = xz1 dS. 1z (2)

3.2 Loi de Hooke

y M1 Mo M M G1 G x x

Fig. 4

La loi de Hooke pour les contraintes tangentielles sexprime par :

M = G M (3) G : module dlasticit transversale ou module de Coulomb (en MPa). M : en MPa M : en Radians. 3.3 Rpartition des contraintes dans une section droite

Considrant la section droite (S) distante de x (fig. 1). Aprs dformation : (GMo, GM) = et (M1Mo, M1M) = M

On a : df = xz1 dS. 1z Dans la zone des dformations lastiques, M est trs petit do : Arc MoM = M x

M = (/x) =

La relation (3) devient : xz1 = G (4) xz1 (en MPa), G (en MPa), (en rd/mm), (en mm).

xz1 est proportionnelle (max est donne pour max).



4. Dformation de torsion rigide

4.1 Equation de dformation lastique

Dans une section droite (S) le moment en G du torseur de cohsion a pour expression :

GM = (S) GM df

Daprs la relation (2) : GM = (S) 1y xz1dS. 1z

GM = (S) xz1dS. x

Or : GM = Mt. x

Soit : Mt = (S) xz1dS Daprs la relation (4) : Mt = (S) G dS = G (S) dS ;

(S) dS est le moment quadratique polaire IG de (S) par rapport laxe (G, x), do : Mt = G IG (5)

Mt en Nmm, G en MPa, (en rad/mm), IG (en mm4).

4.2 Condition de rigidit

Pour assurer une rigidit convenable de la transmission, on impose une limite langle unitaire de torsion : lim (6)

On adopte gnralement : lim = 0.5/m = 0.5 (/180) 10-3 rad/mm. 5. Condition de rsistance

5.1 Expression de la contrainte de torsion en fonction de Mt

Daprs (4) : xz1 = G

Daprs (5) : Mt = G IG xz1 = (Mt / IG).

Pour une poutre de section constante : IG =Cste et un moment de torsion constant, la rpartition des contraintes tangentielle est donc linaire en fonction de (fig.5).

max O

Fig. 5



La contrainte tangentielle maximale sexprime par :

=

v

I

M

G

txz

max

max1 (7)

avec v = max : appel le module de torsion 5.2 Condition thorique de rsistance la torsion

Une pice sollicite la torsion simple rsiste en toute scurit si :

max p = e/s (8)

p : contrainte limite pratique e : contrainte limite lastique s : coefficient de scurit. 5.3 Conditions de relles de la torsion

Dans le cas dun arbre dont le diamtre nest pas constant la contrainte tangentielle est maximale dans la section la plus faible. Si le diamtre de larbre varie brusquement, il ya apparition de concentration de contraintes. La contrainte tangentielle maximale thorique doit tre multiplie par un coefficient de concentration de contrainte k. D d Zone de concentration de contrainte

Fig. 6

La condition de rsistance scrit alors :

k.max p (9)



6. Exercices



Sollicitations composes



Chapitre 8 : Flexion Plane Simple 1- Diffrents types de flexion.

On dfinit diffrents types de flexion en fonction de la gomtrie de la poutre de la configuration des actions mcaniques extrieures et des valeurs prises pour x. 1.1 flexion pure : On est en prsence dune flexion pure dans le cas o laction de la partie gauche sur la partie droite se rduit un moment flchissant Mfy ou Mfz . y z G Mf x

Fig. 1 Dans le repre (G, x, y, z) les composantes des lments de rduction du torseur des forces de cohsion ont pour valeurs :

{ }),,(

000000

zyxfzz

fyyt

G

coh

MTMTMN

=====

=

1.2 flexion plane

y y

G Mf N x z x (S) T T

Fig.2

Dans le repre (G, x, y, z) les composantes des lments de rduction du torseur des forces de cohsion ont pour valeurs :

{ }),,(

000000

zyxfzz

fyyt

G

coh

MTMTMN

===

=



1.3 flexion plane simple y

G z Mf x T

Fig.3 Dans le repre (G, x, y, z) les composantes des lments de rduction du torseur des forces de cohsion ont pour valeurs :

{ }),,(

000000

zyxfzz

fyyt

G

coh

MTMTMN

====

=

Remarque : toute les forces extrieures sont perpendiculaires ligne moyenne et elles sont confondues un plan de symtrie. 1.4 flexion dvie Le systme des forces extrieures se rduit un systme coplanaire mais ce plan nest pas un plan de symtrie. Toutes les forces sont perpendiculaires la ligne moyenne. Yo y z G Mf x T

Fig.4

Dans le repre (G, x, y, z) les composantes des lments de rduction du torseur des forces de cohsion ont pour valeurs :

{ }),,(

000000

zyxfzz

fyyt

G

coh

MTMTMN

==

=



2. Hypothses la flexion plane simple

La ligne moyenne de la poutre est rectiligne. La section droite de la poutre est constante. La poutre admet un plan de symtrie longitudinal. Le moment de flexion agit dans le plan de symtrie. Les forces appliques sont perpendiculaires la ligne moyenne (situes dans le plan de

symtrie longitudinal). Les dformations sont petites (domaine lastique). Les sections transversales planes restent planes prs dformation.

Nota : Ces hypothses sont additionnes celles de la RDM. 3. Distribution des contraintes.

Soit une poutre 1 sollicite en flexion plane simple (figure 5). Y (S1) 1 C D G (S2)

Fig.5

Considrons deux sections fictives dans la poutre (S1) perpendiculaire la ligne moyenne et (S2) parallle au plan neutre (G, x, z).

Fig.6

Soit : x : contrainte normale dans une section droite. xy : contrainte tangentielle transversale dans une section droite. yx : contrainte tangentielle longitudinale. (thorme de Cauchy : xy = yx).



3.1 Contraintes normales

Soit la loi de Hooke : x = E x

Soit : l

lEx

= .

or : yl

l.=

yEx .= ykx .= (1)

La rpartition des contraintes normales dans la section (S1) est reprsente dans la figure : y G x y M x S x

Fig. 6

3.2 Relation entre x et Mfz Dans une section droite (S1) de la poutre on peut crire :

GM = (S1) (GM x S x) + (S1) (GM xy S y ) = Mfz z.

Or : (S1) (GM xy S y ) = 0

GM = (S1) (GM x S x) = Mfz z.

GM = (S1) ( yy. x S x) = Mfz z.

GM = -(S1) (y. x S ) z= Mfz z. -(S1) y.x S = Mfz Or : x = k.y -k.(S1) y S = Mfz

avec : (S1) y S = I(G, z) : Moment quadratique de la section droite par rapport laxe (G, z).

soit : y

k x

=



La relation scrit alors :

yzGI

M fzx .

),(= (3)

3.3 Contrainte normale maximale

I(G, z) est constant le long de la poutre. La contrainte maximale xmax est donc obtenue dans le section o Mfzmax est maximal et pour ymax= v.

vzGI

M fzx

),(

maxmax

= (4)

3.4 Contraintes tangentielle

La contrainte tangentielle est donne par la relation suivante :

),(.

.=zGIb

WT Gzyxy (5)

avec b : lpaisseur de la poutre. WGz : Moment statique par rapport laxe (G, z) de la section droite. 4. Conditions de rsistance

4.1 Condition de rsistance aux contraintes normales

La contrainte normale x doit tre infrieure sa valeur limite lastique e.

xmax p = e /s (6) avec : p : limite pratique de la contrainte normale admissible. s : coefficient de scurit. 4.2 Condition de rsistance aux contraintes tangentielles

La contrainte tangentielle xy doit tre infrieure sa valeur limite lastique e.

xmax p = e /s (7)

avec : p : limite pratique de la contrainte tangentielle admissible. s : coefficient de scurit.



5. Equation de la courbe de la dforme

Entre A et C on considre deux sections droites (S1) et (S2) de centre de surface G1 et G2 distants de x trs petit. (Fig. 7)

Fig. 7

Soit I le centre de courbure de la ligne moyenne en G1 et R = G1I le rayon de courbure algbrique.

On dmontre que : ( )

"'1 2/3

yy

R+= (8)

avec : y et y sont les valeurs en G1 de la drive premire et de la drive seconde de la fonction y = f(x).

Les dformations sont petites ; on admettra que : (1+y)3/2 1, do : "

1y

R (9)

Daprs les hypothses, les sections restent planes et perpendiculaire la ligne moyenne aprs dformation :

Fig. 8



Soit : 21

22 'mmmm

x = (dformation unitaire)

La loi de Hooke : x = E. x

21

22 '.mmmmEx = (x < 0) (10)

avec :

22 'mm = -y. 21mm = x

Lquation (10) devient alors : x = -E y (/ x) (11)

Or daprs (3) : yzGI

M fzx .

),(=

Soit (3) et (10) : ),(

zGI

M fz= E (/ x) (12)

Dautre part : x R . (13) Daprs (9) et (13) on a : y 1/R ./x (14) Daprs (12) et (14), lquation de la dforme est donne par la relation suivante :

E I(G, z) y = Mfz (15) 6. Exemple

7.Exercice

Prenons pour exemple un cas simple : une poutre sur deux appuis simple charge en son milieu.

On isole la poutre, bilan des actions extrieures, P.F.S., afin de connatre les actions extrieures, ici on a :

R RF

A B= = 2 On recherche le torseur de cohsion, savoir :



tronon BC.

{ }coh F

L xF

G

G

=

0 0

2 0

02

( )

tronon AC.

{ }coh Fx F

G

G

=

0 0

2 0

02

On est bien en prsence dune sollicitation de flexion simple. On recherche alors la dforme :

tronon BC.

E I y x L xF

E I y x LF

xF x

C

E I y x LF x F x

C x C

Gz

Gz

Gz

=

= +

= + +

( ) ( )

( )

( )

2

2 2 2

2 2 2 6

2

1

2 3

1 2

On trouve alors les constantes C1 et C2 laide des conditions aux limites, savoir, en B pas de dplacement et en C une tangente horizontale (par raison de symtrie), soit : x L y x

xL

y x

= =

= =

( )

( )

0

20

On obtient alors :

+ + =

+ =

L FL

FL C L C

L F L F LC

4 120

2 2 4 20

2 31 2

2

1

=

=

CF L

CF L

1

2

1

3

3

16

48 On obtient finalement lquation de la dforme :

y xEI

Fx

FLx

FLx

FLBC ( ) = + +

1

12 4

3

16 483 2

2 3

tronon AC.



E I y x xF

E I y xF x

C

E I y xF x

C x C

Gz

Gz

Gz

=

= +

= + +

( )

( )

( )

2

2 2

2 6

2

3

3

3 4

On trouve alors les constantes C1 et C2 laide des conditions aux limites, savoir, en A pas de dplacement et en C une tangente horizontale (par raison de symtrie), soit : x y x

xL

y x

= =

= =

0 0

20

( )

( )

=

=

C

CF L

3

4

2

0

48 On obtient finalement lquation de la dforme :

y xEI

Fx

FLxAC ( ) =

1

12 483

2

Exercice : Une poutre droite E de section circulaire pleine de rayon R, de longueur L est encastre en A et charge son extrmit droite B par une force

1/ Etablir lquilibre de la poutre AB et exprimer les inconnus de liaisons en A en fonction de F et L. 2/ Dterminer lquation des moments flchissants Mfz(x) le long de la poutre (AB). 3/ Exprimer lquation de la dforme y(x) de la poutre (AB) en fonction de F et L



Chapitre 9 : Flexion et torsion

1. Principe

Si la poutre et soumise plusieurs sollicitations simples quon ne peut pas ngliger on se trouve dans le cas de sollicitations composes on utilise le principe de superposition. Dans ce chapitre nous tudierons deux cas de sollicitations composes que lon rencontre le plus souvent :

Flexion plane simple et torsion ; Flexion plane simple et extension (ou compression) ;

2. Flexion plane simple et torsion

2.1 Dfinition Soit une poutre de section circulaire constante dont la ligne moyenne est droite et porte par (A, x) est sollicite en flexion-torsion lorsque :

La flexion prise sparment est plane simple; La torsion prise sparment est simple et telle queMt est du mme ordre de

grandeur que MF maxi .

Figure 1

Le torseur des forces de cohsion : { }

=

=

fz

ty

GGG

cohM

MT

M

R0

0

0

2.2 Analyse des contraintes Dans cette partie nous allons dfinir toutes les contraintes dues TY, MF , Mt ;



2.2.1 Contrainte tangentielle de flexion

Cette contrainte est dfinie en un point M de (S) dordonne y (figure 2) par :

),(.

.=zGIb

WT Gzyxy (1)

avec b : lpaisseur de la poutre. WGz : Moment statique par rapport laxe (G, z) de la section droite.

Figure 2

En gnrale Txymax est faible compar aux deux autres contraintes que nous allons rencontrer. En A et B, l o les deux autres contraintes sont maximales Txy= 0. Nous ngligerons donc cette contrainte.

2.2.1 Contrainte normale de flexion La contrainte normale en un point M de (S) de coordonnes M(x, y) est donne par la relation suivante :

yzGI

M fzx .

),(= (2)

Figure 3

Cette contrainte est calculer dans la section droite (S) pour laquelle Mf est maximal.x est donc maximale pour : Mfz max et ymax .



Les valeurs maximales de x sont obtenues en A et B dordonnes 2d et -

2d .

2),(

d

zGI

M

fz

fxAx = (3)

2),(

d

zGI

M

fz

fzBx = (4)

2.2.2. Contrainte tangentielle de torsion simple

On considre une section droite (S) de centre de surface G et un point M de (S) situ la distance de G. On note (G, x, y, z) le repre direct tel que :

y z1 xz1

y1 z M G x (S)

Figure 4

La contrainte tangentielle de torsion au point M sexprime par :

=G

txz

IM

1 (5)

Cette contrainte est calculer dans la section droite (S) pour laquelleMt est maximaL.

XZ1 est donc maximal pour : MtMAX et max = 2d

2.2.3. Zones contraintes maximales

Si on nglige la contrainte tangentielle xy due leffort tranchant Ty, lanalyse des contraintes montre que les contraintes normales x sont maximales en A et B sur laxe (G, y) de la section droite (S), pour laquelle Mfz est maximal. Dautre part, les contraintes tangentielles de torsion xz1 sont maximales pour tous les points tels que

= 2d et donc en A et B.

Nous ferons ltude des contraintes en A et B.



2.3. Etude des contraintes maximales Si on considre en A un plan de section de la poutre perpendiculaire y (figure 5), la contrainte normale Ay due la flexion et la torsion est nulle. Cette situation correspond un tat plan de contrainte en A dans le plan (A, z, x).

Figure 5

Considrons un lment de poutre en A compris entre deux sections trs voisines normales y et les trois facettes suivantes (figure 6) :

Figure 6

- La facette de normale (A, x ) est un plan de section droite pour lequel :



=

=

2

2),(),(

dIM

d

zGI

M

xAC

G

tAxz

fzAx

(6)

- La facette de normale (A, z ) est dans le plan de section longitudinal, qui est galement plan de symtrie pour les forces extrieures appliques en flexion et pour lequel :

=

=

AzxAxz

AxxAC

0),( (7)

- La facette de normale (A, n ) dans ltat plan (A, z , x ) est telle que : ( z , n ) = . La relation (7) du chapitre Contrainte autour dun point permet dcrire en A,

dans ltat plan (A, z , x ) :

+=

+=

2cos2sin21

2sin)2cos1(21

),(AzxAxAnt

AzxAxAn

xAC (8)

avec : Az= 0 2.3.1. Contrainte normale maximale

Soient Z et X les directions principales dans le plan (A, Z , X ) des contraintes

normales au point A. On note : ( z , Z ) = ( x , X ) = avec Az = 0 :

tan 2 = Ax

Azx

2 (9)

Les contraintes normales principales AZ et AX au point A, (avec Az = 0) scrivent :

22 421

21

AzxAxAxAZ ++=

22 421

21

AzxAxAxAX += La construction graphique de Mhr (Figure 7) permet de dterminer rapidement les

directions principales Z et X , et les valeurs de AZ et AX.

due la flexion

due la torsion

Thorme de Cauchy

(10)



Figure 7

Dans le repre direct (A,z , x ), sur laxe (A,z ) : = zAH AX

= xHS AZX

Soit J le milieu de AH. Le cercle de Mhr des contraintes au point A est le cercle de centre J et de rayon R = JS.

Ce cercle coupe (A, z ) en C et D (C le point proche de A et D le point proche de H). Sur le cercle de Mohr on observe que :

2tan2

2

),tan( ====

Ax

Azx

Ax

Azx

JHHSJSHS 2),( =

JSHS

Dans le cas de la Figure 7 o Ax >>>> 0 et Azx >>>> 0, on note : (CD, CS) = . On trace (A, Z ) et (A, X ) tels que : ( z , Z ) = ( x , X ) = . La Figure 8 correspond au cas o Ax



Figure 8

En effet, en B :

Bx = - Ax Bzx = - Azx

Les directions principales en A et B sont identiques ; Soit : Bx

Bzx

Ax

Azx

222tan ==

(DC, DS) = donc : (A, Z ) et (A, X ) sont tels que ( z , Z ) = ( x , X ) = Sur les deux figures on observe que A est maximale en D.

JDAJAD += (11) or : AHAJ .2/1= = Ax. et JD = JS = R avec : JS = Azx + Ax = (Azx +4 Ax).

JD = R = 22 421

AzxAx + (12)

Dans le cas o Ax > 0 ; JD = +R do :

JDAJAD += = Ax + 22 421

AzxAx + = AZ (daprs la relation (11)).

Donc : AD = AZ et AZ > 0 En en dduit :

Amax = AD = Ax + 22 421

AzxAx + (13)



Dans le cas o Ax < 0 ; JD = -R do :

JDAJAD += = Ax - 22 421

AzxAx + = AX (daprs la relation (11)).

Donc : AD= AX et AX < 0 En en dduit :

Amax = AD = Ax + 22 421

AzxAx + (14)

On retrouve la mme valeur de Amax pour Ax>0 et pour Ax



2.4 Dfinition des moments idaux de flexion et de torsion

2.4.1 Moment idal de flexion

La contrainte normale maximale a pour expression : max = [Ax+ 22 4 AzxAx + ] (22)

Exprimant cette contrainte en fonction de Mfz et Mt :

++= 4

),(.

),(21

2

22

maxR

I

MR

zGI

MR

zGI

M

G

tfzfz

avec : IG= 2 I(G, z ). do :

[ ]),(2

1 22max

++=zGI

RMMM tfzfz (23)

RzGI

M if

),(max

= (Mif est analogue Mfz dans le cas de la flexion simple)

[ ]2221

tfzfzif MMMM ++= : dit Moment idal de flexion. (24)

2.4.2 Moment idal de torsion

On sait que :

22max

421

AzxAxAnt += (25)

+= 4

),(21

2

22

maxR

IMR

zGI

M

G

tfz

G

tfz IR

MM += 22max

RIM

G

it=max

(Mit est analogue Mt dans le cas de la torsion simple)

22 tfzt MMM += est dit Moment idal de torsion. (26)

Mif



2.5 Condition de rsistance

2.5.1 Condition limite pour les contraintes normales.

Soit :

p = e/s (27) avec : e : contrainte normale limite lastique. p : contrainte normale limite pratique. s : coefficient de scurit. La condition limite pour les contraintes normales scrit :

p max

pif RzGI

M ),(

if

p

MzGI

R ),(

(28)

2.5.2 Condition limite pour les contraintes tangentielles.

Soit :

p = e/s (29)

avec : e : contrainte tangentielle limite lastique. p : contrainte tangentielle limite pratique. s : coefficient de scurit. La condition limite pour les contraintes tangentielles scrit :

p max pG

it RIM

it

p

G MIR (30)

Remarque : On tiendra compte de la condition la plus contraignante : cd celle qui donne le diamtre le plus grand.

3. Flexion plane et extension ou compression

Soit une poutre 1 et soit S la section droite de centre G. (G, zyx ,, ) tel que x est

normale S, (G, yx, ) est un plan de symtrie.



Figure 9

Le torseur des forces de cohsion :

{{{{ }}}}

========

====

====

====

0M

0M

0M

0T

0T

0N

M

R

fz

fy

t

z

y

GGG

coh

3.1 Etude des contraintes normales

Figure 10

(a) : 1 = N/S (31)

(b) : yzGI

M fz .),(

2 = (32)

(c) : ),(.

=

zGIb

WT Gzyxy (33)

Au point M et N xy= 0; donc Mx et Nx sont des contraintes principales en M et N.

Flexion simple



Soit la configuration suivante rsultante des deux sollicitations.

Figure 11

Dans la zone comprime, au point M :

Mx = 1M + 2M (34) Mxy= 0. (35)

Do : Mfz yzGI

MSN .

),(max

= (36)

Dans la zone tendue, au point N :

Nfz yzGI

MSN .

),(max

= (37)

Entre M et N xy varie, sa valeur maximale reste faible compare xmax. xy nglige devant xmax.

La rpartition des contraintes normales entre M et N est dtermin avec une bonne approximation partir de la relation de superposition des contraintes normales x dans le plan de la section droite (S).

x = 1 + 2 (38) Soit :

yzGI

MSN fz

x .),(

= (39)

Cette relation permet de dterminer lordonne y dans la fibre neutre pour laquelle x = 0.



Chapitre 9 : Flambage

1. Etude du Flambage Thorme dEuler

Soit une poutre rectiligne telle que :

Figure 1

1.1 Hypothses de ltude.

La poutre a une section constante et une ligne moyenne rigoureusement droite avant dformation.

Les liaisons de la poutre avec le milieu extrieur sont des liaisons sphriques sans adhrence.

(sur le plan ce sont des pivots daxe z)

Soit le repre ),,,( zyxARo tel que la ligne moyenne est porte par ),( xA avant dformation.

Dans un plan ),,( zyG de section droite ),( yG , ),( zG sont axes principaux et I ),( zG < I

),( yG alors la dformation aura lieu dans le plan ),,( yxA La liaison 1-2 an A est une liaison pivot sans adhrence. La liaison 1-3 an B est une liaison pivot sans adhrence. Les actions de liaison se rduisent respectivement en A et B deux glissires dont les

rsultantes sont directement opposes.

{ }

=

0

)12(

)12(

A

A

A avec: xFA .)12( =

{ }

=

0

)12(

)12(

B

B

B avec: xFB .)12( =

Le poids de la poutre est nglig.



1.2 Dformation de flambage, charge critique dEuler.

Modlisation du systme

Figure 2 Dterminant le torseur de cohsion au point G

{ }

=

GG

G

M

R

coh)(

avec :

==

FGBM

xFR

G

.

Dans ),,,( zyxARo

==

z.FyM

x.FR

G

Dformation lastique de la poutre sous leffort du moment de flexion Mfz= -Fy, on sait que :

0Fy''y)z,G(EI =+ (1) quation diffrentielle du second ordre, linaire coefficient constant, sans second membre, dont la solution gnrale est :

xsinBxcosAy += avec :

)z,G(EI

F = (mm-) (2)

Les constants A et B, peuvent se calculer par les conditions aux limites :

Rsistance des Matria

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