Polycopie RDM 1 Licence 2 Genie Civil Harichan Z

138
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Hassiba Ben Bouali de Chlef Faculté de Génie Civil et d’Architecture Département de Génie Civil Polycopié de Fait par Pr. Zamila HARICHANE Septembre 2011 Résistance des Matériaux RDM-I

Transcript of Polycopie RDM 1 Licence 2 Genie Civil Harichan Z

  • Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

    Universit Hassiba Ben Bouali de Chlef

    Facult de Gnie Civil et dArchitecture Dpartement de Gnie Civil

    Polycopi de

    Fait par

    Pr. Zamila HARICHANE

    Septembre 2011

    Rsistance des Matriaux

    RDM-I

    RDM-I

  • - i -

    Prface

    La rsistance des matriaux, dsigne souvent par RDM, est la science du

    dimensionnement. Cest une discipline particulire de la mcanique des milieux

    continus qui permet de concevoir une pice mcanique, un ouvrage dart ou tout

    objet utilitaire. Ce dimensionnement fait appel des calculs qui prvoient le

    comportement de lobjet dont la conception doit runir les meilleures conditions

    de scurit, dconomie et desthtique.

    L'objet de la rsistance des matriaux est l'tude de la stabilit interne c'est

    dire la dtermination des contraintes et dformations l'intrieur de la matire

    et les dplacements des lignes moyennes des structures gnrs (machines en

    gnie mcanique, btiment en gnie civil, ). Elle est base sur des hypothses

    simplificatrices vrifies exprimentalement. La RDM fait appel la statique du

    solide qui est une branche de la statique tudiant l'quilibre des pices dans un

    mcanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des systmes

    mcaniques rels.

    Lobjet de la statique est l'tude de l'quilibre dun corps ou dun ensemble de

    corps solides dans leur gomtrie initiale; cest--dire dans la structure non

    dforme par rapport un repre Galilen. Le solide sera considr comme

    infiniment rigide. Etudier donc la statique d'une structure revient tudier sa

    stabilit externe, d'une part en vrifiant qu'elle ne se comporte pas comme un

    mcanisme, et d'autre part en dterminant les actions de liaisons (assemblages

    entre les diffrents solides et entre la structure et la fondation ou le sol).

    La statique et la rsistance des matriaux constituent l'outil indispensable de

    l'ingnieur constructeur pour concevoir et raliser des ouvrages conomiques qui

    ne risquent ni de se rompre ni de se dformer excessivement sous les actions qui

    leur sont appliques.

  • - ii -

    Ce polycopi sadresse aux tudiants de deuxime anne LMD en Gnie Civil et

    les lves ingnieurs des coles prparatoires. Il est rdig de manire que

    lattention du lecteur se concentre sur les applications pratiques du sujet trait.

    Des problmes sont accompagns de leurs solutions. En fin de chaque chapitre

    des exercices sans solutions sont laisss la rflexion des tudiants et pourront

    faire lobjet de travaux dirigs.

    Le polycopi est divis en sept chapitres. Le contenu des quatre premiers

    chapitres ressort de la statique du solide. Il est structur de manire fournir

    ltudiant les bases de la statique afin que ce dernier puisse maitriser lquilibre

    de systmes simples, calculer les ractions aux appuis dune structure isostatique

    et rechercher lquilibre des nuds dun systme articul et calculer les efforts

    intrieurs dans ses barres. Les trois derniers chapitres constituent une

    introduction la rsistance des matriaux. Le contenu est consacr, en premier

    lieu, la mise en place des hypothses fondamentales de la RDM ainsi quaux

    notions de contraintes et dformations. Ensuite, afin de dimensionner de petites

    structures lmentaires isostatiques; c'est--dire l'tude de la rsistance et de la

    dformation des lments d'une structure, de dterminer ou de vrifier leurs

    dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de scurit

    satisfaisantes et au meilleur cot (optimisation des formes, dimensions, nature

    des matriaux ...) des cas de sollicitations simples (traction/compression,

    cisaillement pur) sont tudies.

  • - iii -

    Table des Matires

    Page

    Chapitre 1

    Gnralits

    1.1. Introduction 2

    1.2. Action mcanique, Force 2

    1.2.1. Action mcanique 2

    1.2.2. Force 2

    1.2.3. Rsultante de forces 3

    1.2.4. Composantes dune force 4

    1.3. Moment 7

    1.3.1. Moment dune force par rapport un axe 7

    1.3.2. Moment scalaire dune force par rapport un point 8

    1.3.3. Moment vectoriel dune force par rapport un point 8

    1.3.4. Couple 9

    1.4. Torseur 12

    1.4.1. Dfinition 12

    1.4.2. Transport de torseurs 14

    1.4.3. Quelques proprits 15

    1.4.4. Torseur associ un systme de vecteurs 16

    1.5. Torseurs et forces 16

    1.6. Conclusions 18

    Exercices 19

  • - iv -

    Chapitre 2

    Actions Mcaniques

    2.1. Solides et systmes matriels 23

    2.1.1. Systme matriel 23

    2.1.2. Systme isol 23

    2.1.3. Solide 23

    2.2. Classification des actions mcaniques 24

    2.2.1. Actions mcaniques distance (ou volumiques) 24

    2.2.2. Actions mcaniques de contact (ou surfaciques) 25

    2.2.3. Actions mcaniques exerces sur des liaisons usuelles 25

    2.3. Modlisation des actions mcaniques 25

    2.4. Types de charges et liaisons en gnie civil 29

    2.4.1. Les efforts connus 29

    2.4.2. Les efforts inconnus 29

    2.4.3. Liaisons et efforts de liaisons 30

    2.3.3.1. Appui simple 31

    2.3.3.2. Appui lastique 32

    2.3.3.3. Articulation 34

    2.3.3.4. Encastrement 35

    Exercices 38

  • - v -

    Chapitre 3

    Statique plane du solide

    3.1. Introduction 41

    3.2. Principe fondamental de la statique (PFS) 41

    3.2.1. Enonc du principe 41

    3.2.2. Utilisations pratiques 42

    3.3. Actions extrieures et intrieures 43

    3.4. Principe des actions rciproques 44

    3.5. Quelques rsultats 46

    3.6. Mthode de rsolution dun problme statique 46

    3.6.1. Organigramme de la mthode 47

    3.6.2. Cas Particuliers 48

    3.6.2.1. Solides soumis deux forces extrieures 48

    3.6.2.2. Solides soumis trois forces extrieures non parallles 48

    3.7. Statique graphique 51

    3.7.1. Cas dun solide soumis deux forces 51

    3.7.2. Cas dun solide soumis trois forces 52

    3.8. Conclusion 54

  • - vi -

    Exercices 55

    Chapitre 4

    Treillis Articuls

    4.1. Dfinition dun treillis 59

    4.2. Equilibre dun treillis 61

    4.2.1. Equilibre global du treillis 61

    4.2.2. Equilibre dune barre 62

    4.2.3. Equilibre des nuds 63

    4.3. Analyse des treillis par la mthode des sections 67

    4.4. Isostaticit 68

    Exercices 72

    Chapitre 5

    Introduction la Rsistance des Matriaux

    5.1. Introduction 76

    5.2. Notion de Contrainte 76

  • - vii -

    5.3. Notion de dformation 80

    5.3.1. Dformation lastique 80

    5.3.2. Dformation plastique 80

    5.4. Hypothses de la rsistance des matriaux 81

    5.4.1. Hypothses sur le matriau 81

    5.4.2. Hypothses sur la gomtrie - Hypothse de la poutre 82

    5.4.3. Hypothses sur les dformations 83

    5.4.4. Hypothses de Navier-Bernoulli 84

    5.4.5. Hypothse de Barr de Saint-Venant 85

    5.5. Notions deffort intrieur 85

    5.5.1. Dfinition 85

    5.5.2. Diagramme de leffort intrieur 86

    5.6. Sollicitations simples 86

    Exercices 88

  • - viii -

    Chapitre 6

    Traction et Compression Simples

    6.1. Introduction 92

    6.2. Dfinitions 92

    6.3. Contrainte normale 92

    6.4. Diagramme de leffort normal (DEN) 95

    6.5. Courbe contrainte - dformation 96

    6.6. Condition de rsistance 98

    6.7. Loi de dformation lastique 100

    Exercices 104

    Chapitre 7

    Cisaillement Pur

    7.1. Introduction 109

    7.2. Dfinition 110

    7.3. Contrainte de cisaillement 110

    7.4. Dformation de cisaillement 112

    7.5. Loi de HOOKE 113

  • - ix -

    7.6. Condition de rsistance au cisaillement 114

    7.7. Applications 115

    7.7.1. Assemblage par rivets 115

    7.7.2. Assemblage par boulons 121

    Exercices

    Rfrences Bibliographiques 128

  • Chapitre 1

    Gnralits

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 2 -

    1.1. Introduction

    Rsistance des matriaux

    La rsistance des matriaux (RDM) est une branche de la mcanique des

    milieux continus adapte aux dformations des structures (machines gnie

    mcanique, ou btiment gnie civil). Cest une science exprimentale

    concernant les solides rels. Elle permet dtudier dans les pices mcaniques

    leur rsistance, les actions mcaniques qui sy exercent et leur dformation.

    Pour cela il est ncessaire au pralable de bien modliser les diffrentes

    liaisons mcaniques possibles et les actions extrieures agissant sur le

    systme.

    Statique

    La statique, quant elle, est une branche de la mcanique qui tudie les

    conditions sous lesquelles un corps est en lquilibre, compte tenu des efforts

    que son milieu extrieur exerce sur lui.

    1.2. Action mcanique, Force

    1.2.1. Action mcanique

    On appelle action mcanique toute cause susceptible de maintenir un corps au

    repos, de crer ou de modifier un mouvement ou encore de crer une

    dformation.

    1.2.2. Force

    On appelle force, laction mcanique qui sexerce entre deux particules

    lmentaires, pas forcment en contact. Une force est toujours applique en

    un point, elle est modlisable par lensemble dun point et dun vecteur

    (glisseur): (P, F

    ). Lintensit F

    se mesure en Newtons (N).

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 3 -

    Fig.1.1- Schmatisation dune force.

    1.2.3. Rsultante de forces

    Il est toujours possible de remplacer un systme de forces 1F

    , 2F

    , 3F

    , par

    une force unique qui a les mmes effets. Elle sappelle rsultante et sexprime

    mathmatiquement par:

    ...FFFR 321

    (1)

    Exemple 1.1

    La rsultante R

    est obtenue en

    grandeur et direction en formant le

    polygone des deux forces (Fig.

    1.2).

    Fig .1.2- Rsultante de deux forces.

    A

    F1

    F2

    R

    A

    F

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 4 -

    Exemple 1.2

    La rsultante R

    des forces F

    , F

    , 1F

    et 2F

    est reprsente sur la figure 1.3.

    Fig.1.3- Rsultante de plusieurs forces.

    1.2.4. Composantes dune force

    Dans la plus part des problmes, il est avantageux de dcomposer une force

    F

    en deux composantes XF

    et YF

    suivant deux axes perpendiculaires entre

    eux (Fig. 1.4). A partir de la figure 1.4, il est vident que:

    FX = F.cos ; FY = F.sin

    2Y

    2X FFF ;

    = Arctg (FY / FX)

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 5 -

    Fig. 1.4- Composantes dune force.

    Exemple 1.3

    Dans chacune des figures (1.5-a) et (1.5-b), dcomposer la force F

    par

    rapport deux axes perpendiculaires ox et oy.

    Fig.1.5- Exemples typiques de dcomposition dune force.

    F

    F

    XF

    YF

    X

    Y

    O

    O X

    F Y

    (b)

    Y

    X

    F

    (a)

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 6 -

    Solution de lexemple 1.3

    = -

    FX = F cos() = - F cos()

    FY = F sin() = F sin()

    = -

    FX = F cos() = - F cos(-)

    FY = F sin() = F sin(-)

    O X

    F Y

    (b) (b)

    FX

    Y

    X

    F

    (a)

    FX

    FY

    FY

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 7 -

    1.3. Moment

    En plus de la possibilit de provoquer un mouvement de translation, une force

    peut aussi faire tourner un corps rigide autour dun axe non parallle sa

    ligne daction et ne linterceptant pas. Cette possibilit de faire tourner un

    corps rigide est identique laction dun moment de cette force par rapport

    un axe donn.

    1.3.1. Moment dune force par rapport un axe

    Le moment de F

    par rapport laxe OO (Figure 1.6) est proportionnel

    lintensit de cette force ainsi qu la distance (d) qui spare laxe de la ligne

    daction de cette force. Le moment est dfini comme suivant:

    dxFM (2)

    Le moment est un vecteur perpendiculaire au plan du corps, son sens dpend

    de la position de la force par rapport laxe.

    Fig.1.6- Schmatisation dun moment.

    d

    F

    O

    O

    M

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 8 -

    1.3.2. Moment scalaire dune force par rapport un point

    On note FM O/

    le moment de la force F

    par rapport au point O (Figure

    1.6); sa valeur se calcule partir de la formule suivante:

    dxFFMO

    (3)

    Le moment en O de la force F

    est gal (plus ou moins) lintensit de F

    multiplie par le bras de levier d. il se mesure en (N.m)

    le moment sera positif si, par rapport au point de calcul, la force tend

    faire tourner le solide dans le sens trigonomtrique,

    le moment sera ngatif si, par rapport au point de calcul, la force tend

    faire tourner le solide dans le sens anti-trigonomtrique.

    1.3.3. Moment vectoriel dune force par rapport un point

    Un moment est reprsentable sous forme vectorielle (vecteur moment) et

    dfini partir dun produit vectoriel. De la figure 1.7, on aura:

    FOAFMO

    (4)

    Dans ce cas, le signe () est donn par le calcul lui mme.

    En effet,

    F,OAsin.F.OAFOAFMO

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 9 -

    Fig.1.7.- Moment vectoriel dune force.

    1.3.4. Couple

    On appelle couple le moment de deux forces gales, opposes et de lignes

    daction parallles. Un tel ensemble de forces F

    et F

    est donn par la figure

    1.8.

    Fig.1.8- Schmatisation dun couple.

    Les deux forces F

    et F

    (Figure 1.8) ne peuvent tre combines en une

    seule force puisque leur rsultante est nulle. Leur action consiste uniquement

    A

    F

    O

    - F

    F

    d

    a

    O

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 10 -

    faire tourner le corps sur lequel elles sexercent. La somme des moments

    des deux forces par rapport un axe qui passe par le point O scrit:

    a.FdaxFM

    Do:

    dxFM (5)

    On remarque que le moment M est indpendant de la distance a (Figure 1.8).

    Do on conclut que le moment dun couple est constant. Le sens dun couple

    peut tre reprsent comme le montre la figure suivante.

    Fig.1.9- Reprsentation du sens dun couple.

    Exemple 1.4

    Soit une force F

    d'intensit gale 50 N applique la cornire illustre ci-

    dessous.

    Calculer un systme force-couple quivalent, au niveau du point A.

    M M

    M M

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 11 -

    Solution de l'exemple 1.4

    Dcomposons la force F

    de 50 N suivant

    les directions X et Y comme le montre la

    figure ci-contre, nous obtenons:

    FX = 50.sin(30) = 25 N ;

    FY = 50.cos(30) = 43,3 N

    Ces composantes peuvent tre transportes au point A si nous leur associons

    un couple de moment MA gal la somme des moments par rapport au point

    A des composantes dans leur position initiale.

    Avec la convention des signes adopte, on obtient:

    MA = 25.5 43,3.10

    Do :

    MA = -308 N.cm

    25N

    50N 43,3N

    B

    F 30

    Y

    A

    10 cm

    5 cm

    X

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 12 -

    Systme force-couple quivalent.

    1.4. Torseur

    1.4.1. Dfinition

    Comme nous l'avons vu ci-dessus, la dfinition complte dun effort (force) fait

    intervenir deux vecteurs :

    une force R

    appele rsultante,

    un moment O/RM

    en un point O quelconque, appel moment.

    Ces deux vecteurs, appels lments de rduction, peuvent tre regroups

    en une seule criture dans un nouvel outil mathmatique appel Torseur .

    On note

    un torseur quelconque et O

    ses lments de rduction au

    point O.

    Ainsi, le torseur est un systme de vecteurs glissants; ensemble dun vecteur

    R

    et dun couple de moment C (not M

    ) dirig suivant la ligne daction de

    R

    (le support de R

    est laxe central du torseur, et le rapport M

    / R

    son pas).

    B

    FX=25N

    Y

    A

    X

    FY=43,3N

    MA=308N.cm

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 13 -

    Elments de rduction du torseur en un point A

    On appelle lments de rduction du torseur en A:

    AM

    : moment en A du torseur

    R

    : rsultante du torseur (indpendante de A)

    - Si un solide (S) subit un ensemble de n forces iF

    appliques aux points Pi,

    notes (Pi , iF

    ) de la part du milieu extrieur, cette action mcanique est

    modlisable par le torseur suivant:

    n

    1iiiA

    n

    1ii

    A

    FAPSextM

    FSextR

    SextF

    (6)

    Notations

    Dans une base directe (O, i

    , j

    , k

    ), on crit:

    kZjYiXSextR

    (7)

    et

    kNjMiLSextM AAAA

    (8)

    Alors

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 14 -

    Az,j,i,OO

    O

    O

    A

    NZ

    MY

    LX

    SextF

    (9)

    Fig. 1.10- Base directe.

    1.4.2. Transport de torseurs

    Soit

    2/1

    2/1

    2/1I

    2/1

    I2/1

    QIA

    Q

    QM

    QQ

    (10)

    un torseur dune action mcanique Q exprim au point I ; son transport au

    point K ncessite le calcul du moment de leffort au point K laide de la

    relation suivante:

    2/12/1I2/1I QKIQMQM

    (11)

    O X i

    Y

    Z

    j

    k

    A x

    R

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 15 -

    1.4.3. Quelques proprits

    La somme de deux torseurs est un torseur et ses lments de

    rduction sont la somme des lments de rduction des torseurs

    constituant la somme:

    21

    alors

    O2O1O

    On appellera et on notera torseur nul:

    0

    alors

    0RM

    0R

    0

    O/

    O

    Deux torseurs sont gaux si et seulement sils ont les mmes

    lments de rduction.

    21

    alors

    O/2O/1

    21

    RMRM

    RR

    On appelle couple, un torseur dont la rsultante est nulle et dont

    le moment rsultant est indpendant du point de calcul.

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 16 -

    1.4.4. Torseur associ un systme de vecteurs

    Soit la donne dun vecteur V

    et dun point A dapplication, on appelle

    glisseur le couple (A, V

    ) et on peut lui associer un torseur, de mme pour

    un systme de glisseurs.

    1.5. Torseurs et forces

    La dfinition prcdente permet donc dassocier un torseur une force et son

    point dapplication, ou un ensemble de forces et leurs points dapplication.

    Exemple 1.5

    Exprimer les torseurs du poids P par rapport aux points G et A.

    Solution de l'exemple 1.5

    On a:

    : Torseur du poids P

    par rapport au point G.

    : Torseur du poids P

    par rapport au point A.

    P,AGsin.P.AGPAG

    Or

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 17 -

    ACsin.AGP,AGsin.AG

    Donc

    P.ACPAG

    Calcul du moment dun torseur associ une force

    Cas plan

    Soit la figure suivante, nous avons:

    O/

    O

    FM

    F

    F

    ; FOAFM O/

    Par dfinition :

    sin.F.OAF,OAsin.F.OAFOA

    d

    A

    O

    F

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 18 -

    Car

    ;F,OA

    mais

    dsin.OA , ce qui implique:

    d.FFM O/

    d est la distance du point O la droite daction de F

    . On lappelle encore

    bras de levier de F

    . Le signe du sinus donne le signe du moment.

    1.6. Conclusions

    On peut dire que la rduction dun systme de forces en un point consiste

    remplacer ce systme par un systme de forces quivalent au point de vue

    statique. La rduction a souvent un rle simplificateur.

    La notion de force permet dexprimer laction quexerce un corps sur un autre,

    elle prend un sens uniquement sil y a un rcepteur. Elle se rapporte toujours

    au corps sur lequel elle agit, elle est le rsultat dune action.

    On entend par action toute cause sollicitant une construction, cest le cas du

    vent ou des sismes par exemple.

    Ainsi, les dfinitions donnes dans ce chapitre nous permettent de faciliter le

    travail sur les systmes de forces et notamment sur les systmes de forces en

    quilibre.

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 19 -

    Exercices

    Exercice 1

    Dterminer les composantes de la force F

    donne par la figure ci-dessous,

    suivant les directions x et y ; x et y ; x et y.

    Exercice 2

    Tracer les rsultantes des forces appliques sur chacune des figures suivantes:

    (a) (b)

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 20 -

    (c)

    Exercice 3

    Dterminer la rsultante des quatre forces et du couple qui agissent sur la

    plaque donne par la figure suivante.

    Exercice 4

    Calculer le moment M de la force F

    par rapport au point O de diffrentes

    manires.

    5m 2m

    2m

    2m

    1m

    45

    30

    60N

    50N

    40N

    80N

    140N.m

    Y

    X

  • Chapitre 1 : Gnralits

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 21 -

    Exercice 5

    Si la charge Q

    se trouve 7m du point C, la valeur de la tension T sera gale

    15 kN.

    1- Exprimer T en fonction de ses composantes XT

    et YT

    .

    2- Donner les lments de rduction du torseur de la tension T au point A.

    3- Transporter le torseur de la tension T au point C.

    A

    Y

    C

    B

    Q

    6m

    7m 3m

    X

    T

  • Chapitre 2

    Actions

    Mcaniques

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 23 -

    2.1. Solides et systmes matriels

    2.1.1. Systme matriel

    On appelle systme matriel un ensemble constitu de solides et de fluides que

    lon souhaite tudier.

    2.1.2. Systme isol

    Un systme isol, est un systme matriel que lon rend distinct de son

    environnement. Le systme isol peut tre une pice mcanique, un ensemble

    de pices, une partie de pice ou un fluide.

    Lisolement consiste couper lespace en deux parties disjointes afin de sparer,

    le systme isole (E) de son environnement (E).

    Fig. 2.1- Systme isol.

    2.1.3. Solide

    Un solide est un systme de points matriels immobiles les uns par rapport aux

    autres. Il est donc suppos indformable sous laction des forces exerces.

    E

    E1

    E2

    E3 E4

    E5

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 24 -

    2.2. Classification des actions mcaniques

    On distingue deux types dactions mcaniques:

    les actions mcaniques de contact (liaisons de contact entre solides,

    pression,...);

    les actions mcaniques distance (champ de pesanteur, force

    lectromagntique,... ).

    Le premier type daction est une action qui sapplique sur la surface du

    solide (action surfacique) tandisque le second sexerce au niveau de son

    volume (action volumique).

    On distingue aussi les actions extrieures et les actions intrieures un systme

    de solides.

    On appelle effort (ou action) extrieur appliqu un systme matriel isol,

    toutes les actions mcaniques agissant sur ce systme, dont lorigine est

    lextrieur du systme. Ces actions sont : soit des actions mcaniques de

    contact ; soit des actions distances (gravit).

    Les efforts intrieurs sont les efforts que sexercent mutuellement les

    diffrentes parties du systme isol.

    Remarque

    La notion defforts extrieurs et intrieurs ne dpend que de la frontire du

    systme isol.

    2.2.1. Actions mcaniques distance (ou volumiques)

    On appelle action distance toute action qui sapplique sur les solides ou les

    fluides sans contact.

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 25 -

    Comme exemples, nous citons:

    - Action de la pesanteur (Poids ou pesanteur)

    - Actions lectromagntiques (Aimantation)

    2.2.2. Actions mcaniques de contact (ou surfaciques)

    On appelle action surfacique ou action de contact, toute action mcanique

    quexercent deux solides lun sur lautre ou un solide et un fluide au niveau de

    leur surface de contact commune.

    2.2.3. Actions mcaniques exerces sur des liaisons usuelles parfaites

    Une liaison parfaite est une liaison sans frottement. L'ensemble des actions

    mcaniques qui s'exercent l'intrieur d'une liaison peut tre reprsent par un

    torseur rsultant exprim au centre de la liaison.

    2.3. Modlisation des actions mcaniques

    Lanalyse des actions mcaniques ne peut se faire quen utilisant des modles

    pour reprsenter les actions et leurs effets sur le solide. On distingue

    principalement deux modles pour reprsenter et tudier les actions mcaniques,

    le modle local et le modle global.

    Le modle local (Fig. 2.2) permet dtudier laction et son effet en tout point de

    la zone o elle sexerce: tude des pressions de contact, contraintes dans les

    matriaux, dformation du solide, ...

    Dans le modle global (Fig. 2.3) on associe laction mcanique un torseur (dit

    Torseur dAction Mcanique). Ce modle fait disparatre leffet local de laction

    mais rend son utilisation pratique pour ltude de lquilibre ou de la dynamique.

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 26 -

    Ces deux modles ne sont pas interchangeables; si on peut dterminer le torseur

    daction mcanique partir de la rpartition locale des efforts, on ne peut faire le

    travail inverse sans faire des hypothses sur la rpartition.

    Fig. 2.2- Modle local.

    Fig. 2.3- Modle global.

    La charge uniformment rpartie (Fig. 2.2) est remplace par leffort quivalent

    F

    (Fig.2.3).

    Exemples de charges

    Charge concentre

    Considrons une bille sur un plan. L'action du plan sur la bille peut tre

    reprsente par une force 1/0F

    .

    Fig. 2.4- Schmatisation dune charge concentre.

    Charge uniformment rpartie Charge concentre

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 27 -

    Charge linaire

    Considrons le cas dun cylindre sur un plan. L'action du plan sur le cylindre peut

    tre reprsente par une force linique (force rpartie le long d'une ligne) 1/0f

    .

    Elle se mesure en (N/m).

    Si la charge est uniforme, alors l'ensemble de la charge linique est quivalent

    une force 1/0F

    situe au centre de la ligne de contact.

    Fig. 2.5- Schmatisation dune charge linaire.

    Charge surfacique

    Considrons le cas dune boite sur un plan.

    Fig. 2.6- Schmatisation dune charge surfacique.

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 28 -

    L'action du plan sur la boite peut tre reprsente par une force surfacique

    (force rpartie sur une surface quivalente une pression. 1/0f

    se mesure en

    (N/m2).

    Si la charge est uniforme, alors l'ensemble de la charge surfacique est

    quivalente une force 1/0F

    situe au centre de la surface de contact. Elle se

    mesure en (N).

    Exemple 2.1

    On voudrait modliser laction dun plan horizontal (0) sur un prisme triangulaire

    (1) (figure ci-dessous).

    - Schmatiser cette action par un modle local puis un modle global.

    Solution de lexemple 2.1

    Le prisme agit sur le plan horizontal par son poids. Dans un modle local le poids

    est modlis par une force rpartie. A chaque poids Px correspond une force rx

    qui reprsente la raction du plan horizontal ce poids une abscisse x et qui a

    lexpression:

    maxx rL

    xr

    comme montre sur la figure suivante:

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 29 -

    Dans un modle global, la raction du plan horizontal est reprsente par la

    force R dont la valeur est gale au poids du prisme P.

    2.4. Types de charges et liaisons en gnie civil

    Les actions extrieures (forces extrieures) sappliquant sur les solides sont, au

    niveau mathmatique, de nature diffrente.

    2.4.1. Les efforts connus

    On retrouve les efforts modlisant, les actions du poids propre des lments, les

    actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions dexploitation. Ces actions

    sont donnes par le cahier des charges dutilisation du btiment: poids des

    machines, action des ponts roulants, utilisation des locaux, etc

    2.4.2. Les efforts inconnus

    Ils sont dvelopps par les liaisons du solide tudi avec les lments de

    transfert des charges. Les liaisons servent bloquer certains degrs de libert

    (ddl) des solides.

    rx = px

    x

    L

    R = P

    rmax

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 30 -

    2.4.3. Liaisons et efforts de liaisons

    Nous effectuerons notre analyse dans le cadre du plan et du Gnie Civil. Les

    liaisons, pour bloquer les dplacements, gnrent des efforts inconnus appels

    efforts de liaison. On associera la liaison un torseur defforts li ses

    caractristiques cinmatiques.

    Les mouvements lmentaires possibles dans le plan sont: deux translations (x

    et y) ; une rotation: =k.

    Fig. 2.7- Liaisons en Gnie civil.

    Les principales liaisons du gnie civil sont:

    Lappui simple: (1 inconnue de liaison)

    Lappui lastique: 1ddl contrl (1 inconnue de liaison et une loi de

    comportement)

    Larticulation: (2 inconnues de liaison)

    Lencastrement: (3 inconnues de liaison)

    Z

    O

    X i

    Y

    j

    k

    (P)

    Y

    X

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 31 -

    2.4.3.1. Appui simple

    Lappui simple bloque la translation dans la direction de lappui, il permet une

    translation x dans la direction perpendiculaire et une rotation autour de laxe

    perpendiculaire au plan de la liaison.

    Modlisation

    La modlisation dun appui simple est schmatise sur la figure 2.8.

    Fig. 2.8- Schmatisation dun appui simple.

    Elments de rduction du torseur au centre de la liaison

    Le torseur au centre de la liaison scrit:

    k0M

    jYR

    O

    OO

    O

    Exemples de ralisation

    Diffrents exemples de ralisation dun appui simple sont schmatiss sur la

    figure 2.9.

    O

    X i

    Y

    j

    OY

    O

    X i

    Y

    Z

    j

    k

    (P)

    X

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 32 -

    Fig. 2.9- Ralisations dun appui simple.

    Remarque

    En gnie civil, lappui simple ne sera pas ponctuel mais plutt du type surfacique.

    Lappui des lments sexercera souvent sur une "certaine surface".

    2.4.3.2. Appui lastique

    Lappui lastique contrle une translation par la connaissance de la raideur de

    lappareil dappui. On a une relation de comportement de lappui du type:

    ykF

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 33 -

    Il permet une translation contrle y, peut permettre ou non une translation x

    (appui glissant) et il permet une rotation

    Modlisation

    Lappui lastique est modlis comme le montre la figure 2.10.

    Fig. 2.10- Schmatisation dun appui lastique.

    Elments de rduction du torseur au centre de la liaison

    Le torseur au centre de la liaison scrit:

    k0M

    j..kjYR

    O

    YOO

    O

    Exemples de ralisations

    Des exemples de ralisation dun appui lastique sont schmatiss sur la figure

    2.11.

    O

    X i

    Y

    j

    OY

    O

    X i

    Y

    Z

    j

    k

    (P)

    Y

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 34 -

    Appareil dappui en lastomre glissant Appareil dappui pot unidirectionnel

    Fig. 2.11- Ralisations dun appui lastique.

    2.4.3.3. Articulation

    Larticulation permet de bloquer les deux translations possibles dans le plan. Elle

    permet donc une rotation libre .

    Modlisation

    Larticulation est modlise comme le montre la figure 2.12.

    Fig. 2.12- Schmatisation dune articulation.

    O

    X i

    Y

    j

    OY

    OX

    O

    X i

    Y

    Z

    j

    k

    (P)

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 35 -

    Elments de rduction du torseur au centre de la liaison

    Le torseur au centre de la liaison scrit:

    k0M

    jYiXR

    O

    OOO

    O

    Remarque

    Les rotations admises sont faibles, de lordre de 10-1 radian (voir plus pour

    certains cas).

    2.4.3.4. Encastrement

    Cette liaison bloque les trois degrs de libert possibles: deux translations

    lmentaires et une rotation.

    Modlisation

    Lencastrement est modlis comme le montre la figure 2.13.

    Fig. 2.13- Schmatisation dun encastrement.

    O

    X i

    Y

    j

    OY

    OX

    k

    O

    Z

    O

    X i

    Y

    Z

    j

    k

    (P)

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 36 -

    Elments de rduction du torseur au centre de la liaison

    Le torseur au centre de la liaison scrit:

    kM

    jYiXR

    OO

    OOO

    O

    Exemple 2.2

    Une balanoire 3 est articule en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2

    reprsentent les poids respectifs des deux enfants 1 et 2, appliqus

    respectivement en H1 et H2.

    Schmatiser toutes les actions sexerant sur la balanoire.

    Solution de lexemple 2.2

    Les actions sexerant sur la balanoire sont:

    Le poids de la balanoire

    Les poids des deux enfants

    Laction de liaison au point O

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 37 -

    Rcapitulation sur la modlisation des liaisons

    Les diffrentes liaisons souvent ralises en domaine du gnie civil sont

    rcapitules sur la figure 2.14.

    Fig. 2.14- Reprsentations simplifies des diffrentes liaisons du gnie civil.

    P1 P2

    ROX

    ROY a b

    L

    P

    G

    Modlisation Inconnues de liaison

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 38 -

    Exercices

    Exercice 1

    Soit une surface plane rectangulaire subissant une rpartition surfacique p

    constante suivant lace OX comme montr sur la figure ci-dessous:

    - Modliser cette action dans un modle local et dans un modle global. - Calculer le torseur au point O reprsentant cette action rpartie.

    Exercice 2

    Soit un plongeoir, schmatis par la figure ci-dessous.

    - Reprer, identifier et schmatiser tous les efforts sexerant sur la planche (1).

  • Chapitre 2: Actions Mcaniques

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 39 -

    Exercice 3

    Considrons la manutention dun panneau prfabriqu comme le montre la figure

    ci-dessous.

    - Selon ltude que lon souhaite mene, quelles sont les possibilits d'isolement

    de chaque lment indpendamment des autres ou bien lensemble des

    lments?

    - Dans chacun des cas considrs ci-dessus, modliser toutes les actions

    mcaniques.

  • Chapitre 3

    Statique plane

    du solide

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 41 -

    3.1. Introduction

    La statique du solide est la branche de la statique tudiant l'quilibre des pices

    dans un mcanisme. C'est un maillon essentiel dans le dimensionnement des

    systmes mcaniques rels. Lobjet de la statique est l'tude de l'quilibre dun

    corps ou dun ensemble de corps solides dans leur gomtrie initiale; cest--dire

    dans la structure non dforme par rapport un repre Galilen. Le solide sera

    considr comme infiniment rigide.

    Etudier donc la statique d'une structure revient tudier sa stabilit externe,

    d'une part en vrifiant qu'elle ne se comporte pas comme un mcanisme

    (hypostatique), et d'autre part en dterminant les actions aux liaisons

    (assemblages entre les diffrents solides et entre la structure et la fondation ou

    le sol.

    Dautre part, la statique graphique est une mthode entirement gomtrique de

    rsolution de problmes de statique. Elle permet de saffranchir de nombreuses

    lignes de calculs et de mieux visualiser et apprhender le dispositif tudi mais

    elle est particulirement adapte aux problmes plans.

    3.2. Principe fondamental de la statique (PFS)

    3.2.1. Enonc du principe

    Soit un solide (S) soumis un systme de forces extrieures modlis parle

    torseur extF . Soit {} le rfrentiel associ (S); (S) est en quilibre si et seulement si:

    0F ext

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 42 -

    3.2.2. Utilisations pratiques

    Lgalit de deux torseurs entranait lgalit de leurs lments de rduction. Soit

    O le point choisi:

    0M

    0R

    0F

    O/)extF(

    )extF(

    OOext

    (1)

    (2)

    Les quations (1) et (2) sont deux quations vectorielles qui donnent:

    - 6 quations scalaires en lespace

    - 3 quations scalaires en plan

    En plan, lquation des forces (1) possde deux quations scalaires et lquation

    des moments (2) une quation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs

    appartenant toujours (P) (plan de sollicitations); le moment est autour de laxe

    z (z tant perpendiculaire au plan (P)).

    Fig 3.1- Illustration en plan.

    (P)

    A

    F

    FOA X

    Y

    Z

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 43 -

    Remarque

    En gnie civil, nous nous ramenons le plus souvent possible ltude des

    problmes plans, cest dire ltude de structures charges dans leur plan de

    symtrie.

    3.3. Actions extrieures et intrieures

    Soit deux solides (S1) et (S2) et (S) le systme form par (S1) et (S2) comme le

    montre la figure 3.2.

    Fig 3.2- Illustration des actions extrieures et intrieures.

    Soit le torseur des actions du monde extrieur sur (S):

    21 FFF (3)

    1F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire extrieure de (S1)

    2F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire extrieure de (S2)

    (S2)

    (S1) (S)

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 44 -

    Faisons le bilan des actions sexerant sur (S1). On a, en isolant (S1):

    1/211 FFD (4) O

    1F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire libre de (S1)

    1/2F est le torseur des actions exerces par (S2) sur (S1) sur la frontire commune.

    Ainsi, on peut donner la dfinition ci-dessous.

    Dfinition

    Si on isole (S), lquation (3) ( 21 FFF ) modlise le torseur des actions extrieures appliques sur le solide (S) et 1/2F reprsente le torseur des actions intrieures par rapport (S).

    Si on isole (S1), 1F et 1/2F modlisent les torseurs des actions extrieures par rapport (S1).

    3.4. Principe des actions rciproques

    Si on isole maintenant (S2) le bilan des actions extrieures donne:

    2/122 FFD (5)

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 45 -

    o

    2F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire libre de (S2)

    2/1F est le torseur des actions exerces par (S1) sur (S2)

    On a:

    21 SSS (6)

    et donc:

    )3()5()4(

    FFFFFF

    DDF

    212/121/21

    21

    Soit:

    0FF 2/11/2 (7)

    Lquation (7) reprsente le principe des actions rciproques. De faon simplifie,

    le principe des actions rciproques ou mutuelles, pour deux solides en contact

    scrit:

    2/11/2 FF (8)

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 46 -

    Fig 3.3- Illustration du principe des actions rciproques.

    3.5. Quelques rsultats

    Ltude de lquilibre des solides va revenir chercher lquilibre du

    systme de forces qui sapplique sur lui. Cest dire que le systme de

    forces doit produire un effet nul sur le solide suppos indformable.

    Un solide S soumis laction de deux forces est en quilibre si et

    seulement si ces deux forces sont gales et directement opposes.

    Un solide S soumis laction de trois forces est en quilibre si et seulement

    si ces trois forces sont concourantes en un point et coplanaires.

    3.6. Mthode de rsolution dun problme statique

    Rsoudre un problme de statique consiste trouver des efforts inconnus (en

    direction et/ou en sens et/ou en intensit) en fonction dautres efforts qui eux

    sont connus; le principe fondamental de la statique met en relation les efforts

    inconnus avec les efforts connus.

    Hypothses

    Les solides tudis sont parfaits (indformables et de gomtrie idale).

    Les liaisons dans les mcanismes sont sans jeu; les frottements pourront

    ou non tre considrs.

    1

    2

    2/1F

    1

    2

    1/2FPlan tangent

    1

    2

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 47 -

    3.6.1. Organigramme de la mthode

    La mthode de rsolution dun problme statique peut tre schmatise par

    lorganigramme montr par la figure 3.4. Cet organigramme permet de

    dterminer les actions mcaniques qui agissent sur un solide.

    Fig 3.4- Organigramme de la mthode de rsolution dun problme statique.

    Isoler des solides voisins et

    faire intervenir le principe

    des actions mutuelles

    Faire un bilan des actions extrieures

    agissant sur le solide.

    NON

    Identifier les actions distance et les

    schmatiser.

    Rsoudre graphiquement ou

    analytiquement afin de connatre les

    actions agissant sur le solide.

    Y-a-til autant dquations

    que dinconnues?

    Identifier pour chaque zone de contact la

    liaison correspondante et schmatiser les

    actions mcaniques correspondantes.

    Reprer toutes les zones de contact entre

    le solide et les autres solides du

    mcanisme.

    Extraire le solide du mcanisme et le

    dessiner seul, dans la mme position.

    Isoler un solide

    OUI

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 48 -

    3.6.2. Cas Particuliers

    3.6.2.1. Solides soumis deux forces extrieures

    Soit un solide (0) soumis deux forces extrieures 0/1F et 0/2F . Soit P le point

    d'application de la force 0/1F . D'aprs le principe de la statique, l'quilibre du

    solide (0) se traduit par:

    0FMFM P/0/2P/0/1 (9)

    Thorme

    Si un solide est en quilibre sous l'action de deux forces extrieures, alors ces

    deux forces sont gales et opposes. Leur direction passe par les deux points

    d'application des forces.

    3.6.2.2. Solides soumis trois forces extrieures non parallles

    Soit un solide (0) soumis trois forces extrieures 0/1F , 0/2F et 0/3F . On

    suppose parfaitement connues la force 0/1F ainsi que la direction de 0/2F . Soit

    I le point d'intersection des directions des forces 0/1F et 0/2F . D'aprs le

    principe de la statique, l'quilibre du solide (0) se traduit par:

    0FFF 0/30/20/1 (10-a)

    0FMFMFM I/0/3I/0/2I/0/1 (10-a)

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 49 -

    Thorme

    Un solide soumis l'action de trois forces extrieures non parallles est en

    quilibre, si:

    La somme des trois forces est nulle.

    Les trois forces sont concourantes en un point.

    Exemple 3.1

    Appliquer lorganigramme de la mthode de rsolution dun problme statique au

    systme schmatis par la figure ci-dessous

    Solution de lexemple 3.1

    Supposons que le systme est en plan. Notons les poids des trois lments

    constituant la grue par P1, P2, P3 et le poids du panneau maintenu par Pn comme

    montr sur la figure suivante:

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 50 -

    Le systme schmatis ci-dessus est isol de son environnement; c--d que

    laction du sol sur la grue est reprsente par les actions de liaison qui sont, en

    plan, les deux composantes RX et RY et le moment autour de laxe Z. Aprs

    avoir fait le bilan de toutes les actions sexerant sur le systme on applique le

    principe fondamental de la statique (PFS) et par consquent on obtient les

    quations suivantes:

    0R0F XX

    321YY PPPR0F

    2

    dLPndL

    2

    PdL

    2

    P0FM 32

    31

    2Z/iO

    G1

    G2 G3

    x

    x x

    Pn

    P2 P3

    P1

    H

    L2/2 L1/2

    O

    RX RY

    X

    Z

    Y

    d

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 51 -

    3.7. Statique graphique

    Les constructions graphiques permettent de rsoudre simplement et rapidement

    un problme de statique. Toutefois, leur mise en uvre devient complique et

    fastidieuse pour certains problmes, cest pourquoi le recours la statique

    graphique se limite aux problmes deux ou trois glisseurs.

    3.7.1. Cas dun solide soumis deux forces

    Un solide soumis deux forces est en quilibre si elles sont:

    - colinaires (directions confondues),

    - de sens contraire,

    - de mme intensit.

    Fig 3.5- Schmatisation dun solide soumis deux forces.

    3.7.2. Cas dun solide soumis trois forces

    Un solide soumis trois forces est en quilibre si:

    - elles sont concourante (elles se coupent en un mme point),

    - le dynamique est ferm.

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 52 -

    Fig 3.3- Dynamique et schmatisation dun solide soumis trois forces.

    Exemple 3.2

    Trouver la direction et le module de la force 3F sur la figure suivante:

    A

    B

    C x

    x

    1F (connue)

    2F (module inconnu)

    3F (direction et Module inconnus)

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 53 -

    Solution de lexemple 3.2

    Les trois forces 1F , 2F et 3F doivent tre concourantes au point I et la

    somme des trois forces doit tre nulle.

    0FFF 321

    Nous dterminons dabord le point dintersection de 1F et 2F puis la direction de

    3F qui est porte par la droite IC.

    Nous traons le dynamique des forces. Les directions du triangle des forces

    doivent tre parfaitement parallles celles de la figure initiale ayant servi

    dterminer le point I . On choisit une chelle pour tracer 1F sur le triangle

    des forces; les modules de 2F et 3F seront mesurs partir de cette mme

    chelle. Lextrmit de chaque force concide avec lorigine de la force suivante.

    Lordre de construction et le rsultat est montr sur la figure suivante.

    Triangle des forces

    A

    B

    C x

    x

    1F

    2F

    3F I

    Parallle IA K

    1F

    3F I

    Parallle IC

    Parallle IB

    2F 1F

    3F

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 54 -

    3.8. Conclusion

    Selon la complexit du problme traiter, nous avons disposition diffrentes

    expressions du principe fondamental de la statique (PFS). Pour les problmes

    complexes, cest dire si on a plus de trois glisseurs ou si les efforts ne sont

    pas des glisseurs, la statique graphique devient fastidieuse, les mthodes

    analytiques prennent le relais. Si lexpression vectorielle possde elle aussi des

    limites dutilisation (limites lies la difficult de mise en oeuvre), lutilisation des

    torseurs permet de rsoudre efficacement tous les problmes (2D, 3D, avec ou

    sans glisseur), notamment ceux o interviennent des liaisons mcanique telles

    que glissire, hlicodale,

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 55 -

    Exercices

    Exercice 1

    Soit la poutre montre sur la figure ci-dessous.

    1- Calculer les torseurs des forces F et q par rapport aux points A, B, C et D.

    2- Etudier lquilibre de cette poutre.

    Exercice 2

    Un panneau indicateur, comme le montre la figure ci-dessous, est soumis son

    propre poids et laction du vent sur sa partie rectangulaire. Le poids linique

    des montants OA et AB est j.qq . Le poids du panneau CDEF est j.MgP .

    Laction du vent sur CDEF est reprsente par une densit surfacique defforts

    k.pp (p constant).

    - Calculer le torseur de laction mcanique du sol sur cette structure au niveau du

    point O.

    On donne les valeurs numriques suivantes:

    OA = 7,5 m, AB = 3 m, DC = 3 m, DE = 4 m, q = 750 Nm1, p = 500 Nm2,

    Mg = 7000 N.

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 56 -

    Exercice 3

    Soit soulever une caisse de poids qui vaut 736 N par un dispositif avec poulie

    et cbles (Figure suivante).

    1- Isoler la caisse et faire le bilan de toutes les actions extrieures sexerant

    sur celle-ci.

    2- En appliquant le principe fondamental de la statique, dterminer les

    tensions des cbles AB et AC et leffort T que doit exercer loprateur pour

    maintenir lensemble en quilibre.

  • Chapitre 3: Statique plane du solide

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 57 -

    Exercice 4

    Le systme montr par la figure suivante est

    constitu de quartes barres rigides en acier: deux

    barres suprieures AB et AC et deux barres

    infrieurs BD et CD, ayant chacune un module de

    Young E et une mme section transversale A. Le

    systme est sollicit par une force concentre au

    point D (P=17,3 kN= et une charge rpartie (q =

    3,46 kN/m).

    1- Dterminer les efforts dans les barres AB et

    AC. On donne 22L m.

    2- Dterminer les efforts dans les barres BD et

    CD.

    Exercice 5

    Dterminer la rsultante de toutes les forces sexerant sur le solide (S) montr

    sur la figure suivante.

    (S)

  • Chapitre 4

    Treillis Articuls

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 59 -

    4.1. Dfinition dun treillis

    On appelle treillis un assemblage de barres articules entre elles de manire ce

    que chacune des barres ne soit sollicite quen traction ou compression. Les figures

    4.1 et 4.2 montrent des exemples de ralisation de treillis.

    Fig. 4.1- Exemple de treillis (toutes les barres ne sont pas reprsentes).

    Lorsque toute la gomtrie est dans un mme plan (au dcalage prs entre les

    barres due la ralisation pratique des noeuds) et que les efforts appliqus sont

    dans ce plan, le treillis est dit plan (Fig. 4.2).

    Fig. 4.2- Exemples de treillis plans.

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 60 -

    On appelle nud une articulation entre plusieurs barres. La figure 4.3

    prsente le dtail de la ralisation pratique dun noeud de treillis.

    Fig. 4.3- Dtails dun nud.

    Pour assurer que chacune des barres (Fig. 4.4) ne soit sollicite quen traction ou

    en compression il faut que:

    le poids des barres soit ngligeable devant les autres sollicitations,

    les sollicitations extrieures ne soient que des efforts appliqus sur les

    noeuds,

    les liaisons avec lextrieur soient des appuis fixes ou des appuis mobiles.

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 61 -

    Fig. 4.4- Barre sollicite: (a) en traction, (b) en compression.

    4.2. Equilibre dun treillis

    4.2.1. Equilibre global du treillis

    Lquilibre global du treillis (Fig. 4.5) permet de calculer les ractions aux appuis

    (actions de liaison).

    Fig. 4.5- Equilibre global du treillis.

    Traction Compression

    (a) (b)

    (a) (b)

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 62 -

    Par exemple, pour le treillis de la figure 4.5, lquilibre des efforts donne:

    (1)

    et lquilibre des moments (somme des moments par rapport au point A):

    (2)

    ce qui permet bien de calculer les ractions XA, YA et XD:

    XA = F ; XD = - F ; YA = F

    4.2.2. Equilibre dune barre

    Lcriture de lquilibre dune barre napporte aucune information supplmentaire.

    En effet, la barre ntant sollicit que par deux forces ses extrmits, on sait dj

    que ces efforts peuvent tre exprims partir de la tension T dans la barre. Cette

    tension est leffort normal N, comme le montre la figure 4.6.

    Fig. 4.6- Equilibre dune barre.

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 63 -

    4.2.3. Equilibre des noeuds

    La complexit dun treillis ne provient pas de la complexit de ses lments (les

    barres) mais plutt de la complexit de larrangement des barres entre elles. Cest

    pourquoi, pour tudier lquilibre dun treillis, on ralise lquilibre de chacun de ses

    noeuds. Comme le montre la figure 4.7, cet quilibre fait intervenir les efforts

    normaux de chacune des barres connectes au noeud isol.

    Fig. 4.7- Equilibre dun nud.

    Nous tudions ci-dessous lquilibre du nud A du treillis de la figure 4.7.

    Equilibre du nud A

    0NNNNN 54321

    0F

    0F

    5

    1iYi

    5

    1iXi

    0N2

    2NN

    2

    2

    0NN2

    2N

    2

    2N

    432

    5421

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 64 -

    Equilibre dun nud soumis un effort

    Si le noeud est soumis un effort extrieur donn (Fig. 4.8), lquilibre fait

    intervenir les composantes de cet effort.

    Fig. 4.8- Equilibre dun noeud soumis un effort.

    Lquilibre du nud A de la figure 4.8 donne:

    0FNNN 321

    0FNN2

    2

    0FN2

    2N

    Y32

    X21

    Equilibre dun noeud en appui fixe

    Si le noeud est en appui fixe (Fig. 4.9), les deux inconnues de liaison interviennent

    dans les quations dquilibre. Ces quations sont celles qui permettront de calculer

    les ractions aux appuis si celles-ci nont pas t obtenues par lquilibre global du

    treillis:

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 65 -

    Fig. 4.9- Equilibre dun noeud en appui fixe.

    Lquilibre du nud A de la figure 4.9 permet dcrire:

    0RNNN A321

    0YNN2

    2

    0XN2

    2N

    A32

    A21

    Equilibre dun noeud en appui mobile

    Si le noeud est en appui mobile (Fig. 4.10), linconnue de liaison intervient dans

    lquation dquilibre dont la direction correspond au blocage. Cette quation est

    celle qui permettra de calculer cette raction si elle na pas t obtenue par

    lquilibre global du treillis.

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 66 -

    Fig. 4.10- Equilibre dun noeud en appui mobile.

    Lquilibre du nud A de la figure 4.9 permet dcrire:

    0RNNN A321

    0NN2

    2

    0XN2

    2N

    32

    A21

    Exemple 4.1

    Dterminer les efforts dans les trois

    barres du systme articul montr par la

    figure ci-contre.

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 67 -

    Solution de lexemple 4.1

    Equilibre du nud B

    0cosNcosN0F 12x

    cos

    cosNN 12

    024,22sinNsinN0F 12y

    Mais = 37,17 et = 53,43 , on

    obtient alors:

    kN72,17N1 (Compression); kN25,13N2 (Traction)

    Equilibre du nud A

    0NsinN0F 31y

    sinNN 13

    kN23,14N3 (Traction)

    4.3. Analyse des treillis par la mthode des sections

    La mthode des nuds ci-dessus est un outil trs pratique lorsquil sagit de

    dterminer les efforts dans toutes les barres du treillis. Cependant, pour dterminer

    ou vrifier leffort dans une barre quelconque, une autre mthode, appele la

    mthode des sections est plus avantageuse.

    Soit dterminer, par exemple, leffort dans la barre BE du treillis de la figure 4.11.

    A

    N1

    N3

    B

    22,24 kN

    B B

    B

    N2

    N1

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 68 -

    Fig. 4.11- Treillis coup par un plan.

    La mthode des sections consiste sparer le treillis en deux parties par un plan

    de coupe et tudier lquilibre de chaque partie comme un corps isol.

    Pour le calcul des forces on peut traiter une partie ou lautre, mais en gnral la

    partie o il y a moins de forces nous permet de calculer les forces plus facilement. Il

    nest pas toujours possible de dduire le sens des forces; dans ce cas nous

    donnerons un sens arbitraire ses forces. Un rsultat positif confirme notre

    hypothse de dpart; par contre un rsultat ngatif nous indique que notre

    hypothse de dpart est incorrecte et ds lors le sens exact sera contraire celui

    choisi.

    4.4. Isostaticit

    Considrons un treillis constitu de n noeuds et de m barres. Il y a m inconnues

    defforts intrieurs (Ni, i = 1, . . , m). Par ailleurs, supposons quil y ai p inconnues

    de liaison (XA, YA, . . . ). Lquilibre des n noeuds conduit 2n quations.

    A B C D

    E F

    I

    I

    C D

    E NEF

    NBC

    NBE

    F R1 R2

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 69 -

    Trois situations peuvent alors se produire:

    Si m + p = 2n: le treillis est isostatique, cest--dire que les efforts intrieurs

    peuvent tre calculs et ne dpendent pas du comportement des barres.

    Cest par exemple le cas du treillis de la figure 4.12-a pour lequel n=4, m=5,

    p=3.

    Si m+p < 2n: le treillis possde des mobilits internes: il ne peut tre en

    quilibre. Cest par exemple le cas du treillis de la figure 4.12-b pour lequel n

    = 4, m = 4 et p = 3.

    Si m + p > 2n: le treillis est dit hyperstatique cest dire que les efforts

    intrieurs ne pourront tre calculs quaprs prise en compte de la

    dformation des barres (fig. 4.12-c).

    (a) (b) (c)

    Fig. 4.12- Exemple dun treillis: (a) isostatique,

    (b) mcanisme, (c) hyperstatique.

    I II

    III IV

    (1)

    (2)

    (3)

    (5)

    A B

    C D

    (4)

    I II

    III IV

    (1)

    (2)

    (3)

    A B

    C D

    (4)

    I II

    III IV

    (1)

    (2)

    (3)

    (5)

    A B

    C D

    (4)

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 70 -

    Exemple 4.2

    Soit le treillis articul plan schmatis par la figure ci-dessous.

    1. Etudier l'isostaticit du treillis ci-dessus.

    2. Dterminer leffort dans la barre DG.

    Solution de lexemple 4.2

    1- Isostaticit du systme

    Nombre de nuds: (n = 7) do le nombre dquations est: (2n = 14)

    Nombre de barres: (m = 11)

    Nombre dactions de liaisons: (p = 3) do le nombre dinconnues est:

    (m+p = 14)

    Ainsi, le nombre dquations est gal au nombre dinconnues. Do le systme est

    isostatique.

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 71 -

    2- Effort dans la barre DG.

    En utilisant la mthode des section, on coupe au maximum trois barres de sorte

    que la barre dont on recherche leffort soit parmi elle.

    Nous crivons une seule quation qui est celle des moments par rapport au point B:

    0FM B/

    sin

    2N

    03x23xsinN

    GD

    GD

    Avec = 67,38 alors:

    kN17,2NGD (Traction)

    NCD

    NGD

    NGF

    Y

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 72 -

    Exercices

    Exercice 1

    Calculer les efforts dans toutes les barres de la structure donne par la figure ci-

    dessous:

    Exercice 2

    Calculer les efforts dans les barres de la structure donne par la figure ci-dessous:

    Soit AB = BC = AC = BD = CD = DE = CE = 5m.

    A

    B

    C

    D

    E 20kN 30kN

    B

    200kg

    A

    C

    5m

    3m

    2m

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 73 -

    Exercice 3

    Calculer leffort dans la barre CF du systme articul suivant.

    Exercice 4

    Pour le systme articul ci-dessous, dterminer leffort dans la barre CF. Tous les

    angles intrieurs sont de 60.

    A

    C

    F

    D

    E

    20kN

    B 5m 5m

    D A

    B C

    E 4m 6kN

    F 4m 4m

    3m

  • Chapitre 4: Treillis Articuls

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 74 -

    Exercice 5

    Soit la structure articule plane schmatise par la figure ci-dessous.

    1- Montrer que la structure est isostatique.

    2- Dterminer les ractions aux appuis.

    3- Dterminer leffort dans la barre BD.

    1,8m

    1,8m

    2,4m 2,4m 2,4m

    30 kN

  • Chapitre 5

    Introduction la

    Rsistance des

    Matriaux

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 76 -

    5.1. Introduction

    La rsistance des matriaux (RDM) est l'tude de la rsistance et de la

    dformation des lments d'une structure (arbres de transmission, btiments,

    ponts, ...) dans le but de dterminer ou de vrifier leurs dimensions afin qu'ils

    supportent les charges dans des conditions de scurit satisfaisantes et au

    meilleur cot (optimisation des formes, dimensions, nature des matriaux ...).

    Lobjet de ce cours est ltude de la rsistance des solides vis--vis de

    sollicitations en efforts et leur dformation lors de ces sollicitations.

    5.2. Notion de Contrainte

    Une contrainte est un effort par unit de surface qui s'exerce dans le matriau.

    Soit un solide soumis des forces (concentres ou rparties) schmatis par

    la figure 5.1-a.

    Fig. 5.1- Schmatisation dun solide contraint.

    (a) (b)

    M

    S1

    t

    n

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 77 -

    On coupe le solide en deux parties S1 et S2. Considrons un point M entour

    par une surface S. Le solide S2 exerce une action mcanique sur le solide S1

    12 S/SF que lon peut modliser par un effort rparti et on a:

    Sn,MCF 1S/2S (1)

    Le vecteur n,MC est appel vecteur contrainte au point M et de normale n (o n est le vecteur unitaire normal S sortant).

    Le vecteur contrainte au point M relativement l'lment de surface S

    orient par sa normale extrieure x , est dfini par:

    0S

    dS

    df

    S

    flimx,MC

    (2)

    On peut dcomposer le vecteur contrainte sur les vecteurs n et t ( t est un

    vecteur unitaire contenu dans le plan tangent S) (Figs. 5.1-b, 5.2) sous la

    forme:

    tnn,MC (3)

    est appele la contrainte normale

    est appele la contrainte tangentielle.

    La contrainte normale et la contrainte tangentielle sexpriment en Pa (ou MPa).

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 78 -

    Fig. 5.2- Dcomposition du vecteur contrainte sur

    la normale n et le vecteur tangent t .

    Lorsque la normale est x , on munit le plan tangent de deux vecteurs y et z

    tels que la base ( x , y , z ) soit orthonormale directe (Fig. 5.3). On dcompose

    la contrainte comme tant:

    zyxn,MC xzxyxx

    xx est la contrainte normale et la contrainte tangentielle est gale :

    2xz

    2xy

    n,MC

    t

    n

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 79 -

    Fig. 5.3- Dcomposition du vecteur contrainte sur la base ( x , y ,z ).

    On peut dire en simplifiant, qu'une contrainte est une force intrieure

    applique l'unit de surface au point donn de la section donne.

    Exprimentalement, on dfinit pour chaque matriau une contrainte limite

    admissible, note [], au-del de laquelle la pice subit des dtriorations

    de ses caractristiques mcaniques, dimensionnelles, voire une rupture. Le

    calcul de rsistance des matriaux consiste vrifier que les contraintes

    engendres par les sollicitations extrieures ne dpassent pas la contrainte

    limite admissible par le matriau [].

    Une contrainte est un outil de calcul; on ne peut pas l'observer directement,

    par contre on peut observer ses effets: tudes des dformations par

    exemple.

    Nous avons vu prcdemment que la contrainte est le rapport d'une force

    par une surface. Les paramtres qui influencent directement une contrainte

    sont: les sollicitations et la section de la pice.

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 80 -

    Exemple 5.1

    Calculer la contrainte due un effort de 100 N appliqu perpendiculairement sur

    une surface de 1mm2.

    Solution de lexemple 5.1

    Notons cette contrainte par . Si l'effort est not F et la surface S, alors:

    2mm/N100S

    F

    La contrainte dpend de la valeur de la sollicitation et de la surface du solide.

    Pour une mme sollicitation, la contrainte sera d'autant plus faible que la surface

    est grande et inversement (Fig. 5.4).

    Fig. 5.4- Comparaison de contraintes.

    5.3. Notion de dformation

    Tout solide soumis un effort se dforme. Les dformations rsultent et varient

    avec les charges appliques sur les objets. Elles sont mises en vidence par la

    variation des dimensions, et peuvent tre lastiques ou plastiques.

    N N

    S1 S2

    1 2 car S1 > S2

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 81 -

    5.3.1. Dformation lastique

    La dformation est dite lastique si le solide reprend sa forme initiale aprs arrt

    de l'action des forces (cas dun ressort charg normalement).

    5.3.2. Dformation plastique

    La dformation est dite plastique si le solide reste dform aprs arrt de l'action

    des forces (cas dune pte modeler).

    Aucun matriau n'est parfaitement lastique. Gnralement la dformation est

    lastique pour les efforts suffisamment faibles, puis devient plastique partir

    d'un certain seuil de contrainte e appel limite lastique (voir courbe

    contraintes-dformations en chapitre 6).

    La limite d'lasticit est une contrainte caractristique du matriau. Elle ne

    dpend ni des dimensions de la pice ni des sollicitations qui lui sont appliques.

    Dans le cours de la rsistance des matriaux, nous nous intresserons

    exclusivement aux matriaux lastiques. Ceci veut dire que nous supposerons

    toujours que les sollicitations auxquelles sont soumises les structures tudies

    sont suffisamment faibles pour que les dformations soient lastiques.

    5.4. Hypothses de la rsistance des matriaux

    5.4.1. Hypothses sur le matriau

    Continuit

    La matire est continue (les distances entre les molcules sont toujours trs

    petites; l'chelle de la RDM, la matire apparat continue). Autrement, ses

    proprits sont des fonctions continues de lespace, les discontinuits

  • Chapitre 5: Introduction la Rsistance des Matriaux

    Universit Hassiba Benbouali de Chlef Cours de Rsistance de Matriaux I - 82 -

    microscopiques dues la nature des matriaux de construction (grains,

    mailles) sont ngliges.

    Homognit

    On admettra que tous les lments du matriau, aussi petits soient-ils, ont une

    structure identique. Ses proprits sont identiques en chaque point.

    Isotropie

    On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de ces

    points, les matriaux possdent les mmes proprits mcaniques.

    5.4.2. Hypothses sur la gomtrie - Hypothse de la poutre

    On utilise le modle de la poutre pour tudier la RDM (Fig. 5.5).

    Dfinition de la poutre

    Une poutre est un solide engendr par une surface plane () dont le centre G

    dcrit une courbe appele ligne moyenne. Le rayon de courbure de la ligne

    moyenne est grand par rapport aux dimensions de la section droite ().

    La section droite () de centre de surface G est