Polycopié des année précedentes

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Transcript of Polycopié des année précedentes

  • MINES ParisTech

    1reanne

    MCANIQUEDES

    MATRIAUXSOLIDES

    Notes de cours

    G. CAILLETAUD

    Responsables de PC et de projetsS. CANTOURNET, L. CORTE, J.L. DEQUIEDT

    S. FOREST, A. GAUBERT, S. JOANNES, M. MAZIEREH. PROUDHON, D. RYCKELYNCK, M. TIJANI

    Mars 2012

  • ii

  • Table des matires

    I COURS xi

    1 Introduction 11.1 Gnralits sur les proprits des matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Domaines dutilisation des modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Les types de modles de matriaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Les essais mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4.1 Diffrents types dessais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Moyens de mesure, ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.5 Mise en uvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Rhologie 112.1 Les diffrents types de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2.1.1 Les sources de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    2.2 Les briques de base du comportement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Plasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3.1 Modle lastiqueparfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Modle de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 criture gnrale des quations de llastoplasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . 15

    2.4 Viscolasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Un exemple de modle rhologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 tude dun modle compos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.5 Viscoplasticit uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 Un exemple de modle rhologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Quelques modles classiques en viscoplasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    2.6 Influence de la temprature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3 Critres 233.1 Les outils disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Critres ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.2.1 Critre de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 Critre de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Comparaison des critres de Tresca et von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.3 Critres faisant intervenir la pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Critre de DruckerPrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Le critre de MohrCoulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.3 Critre de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.4 Critres ferms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    3.4 Critres anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    iii

  • iv TABLE DES MATIRES

    4 Plasticit et viscoplasticit 3D 334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4.1.1 Dcomposition de la dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Critres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Lois dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    4.2 Formulation des lois de comportement viscoplastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1 criture gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 De la viscoplasticit la plasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.3 Formulation des lois de comportement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Principe du travail maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Interprtation gomtrique du principe de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4.4 Directions dcoulement associes aux critres courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.1 Critre de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.2 Critre de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.3 Critre de DruckerPrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    4.5 Comportement parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6 Viscoplasticit/plasticit non associe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    5 Variables dcrouissage 435.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Matriaux standards gnraliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    5.2.1 Une brve prsentation du formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    5.3 Expression de quelques lois particulires en plasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.1 Loi de PrandtlReuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.2 Loi de HenckyMises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.3 Loi de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.4 coulement vitesse de dformation totale impose . . . . . . . . . . . . . . . 48

    5.4 Viscoplasticit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    6 Elments de thorie des poutres planes 516.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    6.1.1 Modlisation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.3 Modlisation des actions mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    6.2 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.2 Dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    6.3 Approche par le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.2 Cinmatique de la poutre de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.3 Traitement des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.4 Caractrisation de lquilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.5 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    6.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.1 Evaluation des efforts intrieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.2 Forme gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  • TABLE DES MATIRES v

    6.5 Flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5.1 Forme gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5.2 Poutre simplement supporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5.3 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    7 Matriaux composites, stratifis 697.1 Gnralits sur les matriaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2 Rappel : milieux lastiques anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    7.2.1 Notation de Voigt pour les relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . 707.2.2 Respect des symtries matrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    7.3 Composites unidirectionnels fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3.1 Loi de mlange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3.2 Constantes lastiques dans un repre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3.3 Thorie des stratifis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.3.4 Dfinition dune plaque stratifie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    7.4 Les composants lmentaires des matriaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.4.1 Renforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4.3 Tissus et mats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4.4 Critre de rupture des stratifis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4.5 Quelques modles dingnieurs de fonctionnement du composite . . . . . . . 797.4.6 Ordres de grandeur des modules et contraintes rupture . . . . . . . . . . . . . 80

    8 Plaq