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c'est un petit livre (PDF) qui contienne de très intéressent cours résumé d'identification des systèmes

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  • G12(p)

    G11(p)

    G2(p)

    H(p)

    ++E(p) Y(p)-

    +

    Rpubliques Algrienne Dmocratique et PopulaireMinistre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

    Universit A. Mira de BEJAIAFacult de Technologie

    Dpartement de Gnie Electrique

    Systmes Linaires ContinusCours et Exercices

    Dr. GUENOUNOU Ouahib

    Matre de Confrences classe B

    Anne universitaire 2013-2014

  • TABLE DES MATIERES

    Chapitre I: Introduction aux systmes asservis .....................................Pages: 01-07

    Chapitre II: Transforme de Laplace ....................................................Pages: 08-18

    Chapitre III: Rponses temporelles des systmes fondamentaux.........Pages: 19-36

    Chapitre IV: Analyse frquentielle .......................................................Pages: 37-51

    Chapitre V: Performances des systmes asservis..................................Pages: 52-76

    Chapitre VI: Correction.........................................................................Pages: 77-95

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 1

    I.1 Notion de systme

    Un systme est un ensemble dlments lis entre eux dans le but de raliser une tchedonne. Ce dispositif soumis aux lois physiques est caractris par des grandeurs de types :entres et sorties. Les entres sont des grandeurs de commande du systme ou encore dessignaux de parasites appels perturbations. Les sorties caractrisent ltat du systme.

    Exemple 1 : Four combustible

    Entre de commande : dbit de combustible, Entre de perturbation : dperdition dechaleur, Sortie : temprature lintrieur du four.

    Figure I.1 : Four combustible

    Exemple 2 : Circuit RC

    Figure I.2 : Circuit RC

    La tension e(t) reprsente le signal dentre et la tension s(t) aux bornes du condensateur Creprsente le signal de sorite. La relation entre le signal e(t) et le signal de sortie s(t) peut tredcrite par lquation diffrentielle suivante :

    () = ()

    + () (I. 1)

    Chapitre

    I Introduction aux systmes asservis

    R

    Ce(t) s(t)

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 2

    La figure I.3 montre la reprsentation dun systme plusieurs entres et sorties.

    Figure I.3 : Systme Dynamique

    Les entres et les sorties sont en gnrale multiples (systmes multi-variable ou enanglais systme MIMO, Multi Inputs Multi Outputs). Lorsquil ny a quune entre decommande et une sortie, le systme est dit mono-variable ou en anglais systme SISO (Singleinput single output). Dans ce qui suit nous allons considrer uniquement les systmes mono-variables.

    I.1.1 Nature des signaux dentre

    Les signaux dentre sont des fonctions du temps. Ils seront dits alatoires oudterministes selon que le hasard intervient ou non dans leur gnration. On sintressera dansla suite quaux signaux dterministes causaux, cest--dire nuls pout t

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 3

    Notons que ces systmes copient le plus souvent le comportement de lhomme dans les troisphases essentielles de son travail :

    - 1ere phase : observation ;- 2me phase : rflexion ;- 3me phase : action.

    Puis retour la premire phase.

    Exemple :

    Remplir une cuve une hauteur donne deau

    Les trois phases sont alors :

    - Observation du niveau deau actuel dans la cuve- Comparaison avec le niveau souhait- Action sur le robinet (ouverture, fermeture)

    Puis retour la phase dobservation.

    Ce retour constitue lune des notions fondamentales de lautomatique. On dit encore que lonralise un bouclage (feedback en anglais).

    I.2.1 Dfinition du bouclage

    Un bouclage apparait chaque fois quan cours dune opration, un systme prend encompte de lobservation et de son tat pour le modifier.

    Exemple de systmes boucls :

    - Bicyclette+cycliste ralisant lopration de conduite sur route (systme nonautomatique)

    - Rgulation de la temprature dun fer repasser (systme automatique).

    I.3 Rgulations et asservissements

    Parmi les systmes automatiques on distingue :

    - Les systmes programms et squentiels o lautomatisation porte sur un nombrefini doprations prdtermines dans leur droulement.Exemples : machine laver, ascenseur, etc.

    - Les systmes asservis, o tous les cas possibles ntant pas prvisibles, ledroulement dune opration ne peut tre connu lavance (prsence de perturbations,, etc). Les systmes asservis sont ncessairement boucls.Exemple : Antenne de radar asservie la poursuite dun avion.

    Parmi les systmes asservis on distingue : Les rgulations et les asservissements

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 4

    I.3.1 Rgulation

    On parle de rgulation, lorsque la tche raliser consiste maintenir une ou plusieursgrandeurs physiques des valeurs fixes.

    Exemples : Rgulation de temprature dun four.Rgulation de la vitesse dun moteur lectrique.

    1.3.2 Asservissements lorsque la tche raliser consiste suivre une loi non fixe lavance une ou plusieurs grandeurs physiques.

    Exemple : Direction asservie dun engin

    I.4 Structure dun systme asserviUn systme asservi est un systme boucl.La structure gnrale est alors la suivante :

    Figure I.5 : Structure dun systme asservi

    Exemple :

    Rgulation automatique du niveau deau dans une cuve fuite.

    Louverture ou la fermeture de la vanne est commande par la position relative du flotteur.

    Flotteur

    Vanne

    Figure I.6 : Exemple de rgulation

    Rflexion Action

    Observations

    Effet delaction

    Informationconcernant matche effectue

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 5

    Le fonctionnement de cette rgulation peut tre dcrit par le schma gnral ci-dessous :

    Figure I.7 : Schma bloc dun systme boucl

    Lentre reprsente le niveau deau dsir. La sortie est le niveau deau rel. Laction se faitaprs comparaison des deux niveaux, dsir et rel.

    On reprsente habituellement ce schma appel schma fonctionnel ou schma bloc de lamanire suivante :

    Figure I.8 : Schma bloc dtaill dun systme boucl

    1. Le correcteur labore lordre de commande partir du signal derreur : cest lorgane intelligent.

    2. Lactionneur ou organe daction apporte en gnral, la puissance ncessaire laralisation de la tche : cest lorgane de puissance.

    3. Le systme dynamique volue selon laction suivant des lois physiques qui lui sontpropres. La sortie est, en gnrale, une grandeur de sortie physique qui caractrise la tche raliser. De plus cette sortie peut fluctuer en fonctions des perturbations extrieures, engnral, imprvisible.Ex : four dont la temprature est fonction de la consommation en combustible et dedperdition de chaleur.

    4. Le capteur dlivre partir de la sortie une grandeur caractrisant lobservation. Laprincipale qualit est la prcision dont dpendra la prcision du systme globale.

    Chaine directe

    (Ou daction)

    Chaine de retour

    (Ou dobservation)

    Entre SortieComparaison

    Systmedynamique

    Capteur

    Entre SortieActionneurCorrecteurErreur

    Ecart

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 6

    Remarque : le signal (cart ou erreur) caractrise la qualit de fonctionnement dun systme asservi. On vise obtenir un cart nul ou faible.

    I.5. Concepts utiles ltude des systmes dynamique

    Dans lanalyse des systmes asservis, nous distinguerons laspect statique et laspectdynamique :

    a) Laspect statique concerne ltude des systmes asservis en rgulation (entre fixe).On dfinit lerreur statique comme la diffrence entre la tche demande et la tcheralise.Au cours de la synthse des systmes asservis, on sefforcera dannuler cette erreurstatique.

    b) Laspect dynamique, essentiel en automatique, studie par les notions de prcisiondynamique, de rapidit et de stabilit.

    b.1) La prcision dynamique est caractrise par lerreur avec laquelle la sortie suit la loidentre impose au systme

    )(te )(t)(t

    )(ts)(te

    )(ts

    t

    Figure I.9 : Prcision dynamique

    b.2) La rapidit est caractrise par le temps que met le systme ragir une variationbrusque de la grandeur dentre (temps de rponse !!). Cette notion est fortement lie laprcision dynamique (plus un systme est rapide plus il est prcis).

    e

    t

    e

    t

    Figure I.10 : Rapidit

    b.2) La stabilit : la prsence dun bouclage risque dintroduire une divergence ou uneoscillation de la sortie. Ce comportement est intolrable pour un systme asservi. On sefforceau cours de la synthse dviter ce risque en dfinissant une marge de stabilit.

  • I. Introduction aux systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 7

    Exemple : Un systme asservi prsentant une marge de stabilit suffisante sera caractris parune rponse, une variation brusque dentre (rponse indicielle), convenablement amortie.

    Ces trois aspects dynamiques sont troitement lis.

    On cherche rendre compatible la rapidit ou prcision et un bon amortissement au cours dela synthse des correcteurs.

    0 1 2 3 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    0 2 4 6-10

    -5

    0

    5

    10

    15

    0 5 100

    0.5

    1

    1.5

    Systme stable margesuffisante

    Systme instable

    Systme stable margeinsuffisante

    Figure I.11 : Stabilit

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 8

    II.1 Transforme de Laplace

    Soit f(t) une fonction nulle pout t 0 on a| ()| . A>0, k relalors F(p) existe pour = () > On dmontre quil existe un nombre tel que lintgrale soit absolument convergente pour > et ne le soit pas pour < .Ce nombre sappelle labscisse de convergence absolue ou abscisse de sommabilit.

    II.1.2 Exemple :

    - f(t)= u(t) : chelon unit de Heaviside : () = 0 < 01 > 0 (II. 2)

    Figure II.1 : chelon

    F(p)=TL{f(t)}

    TL

    Chapitre

    II Transforme de Laplace

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 9

    () =

    = 1

    = 0 1= 1

    () = {u(t)} = 1

    () > 0- () = sin ()

    () = sin() .

    = () ()2 () = 12 ()( ) + ()( + )

    () = 12 1( ) 1(+ )= + () = {sin ()} = + () > 0

    II.2 Proprits de transforme de Laplace

    1. Linarit() = { ()}() = {()} {. () + .()} = .() + .() (II. 3)

    2. Drivation temporelle() = { ()} {()} = .() (0) (II. 4)

    Plus gnralement

    ()()= () (0) (0) ()(0) (II. 5)3. Intgration par rapport au temps

    () = { ()} ()

    = ()

    (II. 6)4. Thormes de la valeur finale et de la valeur initialelim

    () = lim

    .(), (II. 7)lim

    () = lim

    .() (II. 8)

    5. Translation (a> 0)() = { ()} {()} = (+ ) (II. 9)

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 10

    6. Thorme du retardSoit f(t) =0 pour t< 0 (fonction causale)

    () = { ()} {( )} = () (II. 10)

    Figure II.2 : Fonction causale retarde de

    7. Changement dchelle des temps (a> 0)() = { ()} (

    )= .(.) (II. 11)

    8. Drivation par rapport p

    () = { ()} {()} = ()

    (II. 12)Et plus gnralement

    {()()} = ()

    (II. 13)9. Transforme de Laplace dun produit de convolution

    Dfinition : le produit de convolution de deux fonction f et g est :

    () = () () = ( ).( )

    (II. 14)Soit :

    () = { ()} () = {()}Alors () = { () ()} = ().() (II. 15)

    II.3 Transforme de Laplace inverse

    Pour retrouver loriginale dune fonction F(p) donne, on dcompose cette fonction(en gnral, une fraction rationnelle en p) en lments simples dont en prendra loriginal dansla table de transformation.

    Exemple

    () = (+ )(+ )() = {()} = {()}

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 11

    () = 1+ 2 1+ 3() = 1+ 2 1+ 3() = exp(2) + exp(3) > 0

    Question : comment dcomposer en gnral une fonction F(p) !!!!

    II.3.1. Mthode de dcomposition

    Soit une fonction F(p) de la forme :

    () = ()()

    Chacune des valeurs de p qui annule soit le numrateur, soit le dnominateur, sappelle uneracine. Chacune des valeurs de p qui annule le numrateur est appele un zro. Chacune desvaleurs de p qui annule le dnominateur est appele un ple.

    Lide consiste alors mettre lexpression du dnominateur sous forme dun produit defacteurs o apparat chacune des racines :

    () = ( )( ) . ( ) ( )Ceci permettra de dcomposer F(p) sous la forme dune somme de fractions simples. Danstous les cas qui vont suivre nous considrerons que N(p) est dordre polynomial infrieur D(p). Si ce nest pas le cas, il faudra dabord extraire la partie entire par divisionpolynomiale. Puis traiter uniquement la partie fractionnaire.

    Exemple :

    () = + + +

    () = + + +

    partie entire partie fractionnaire

    Cas 1 : tous les ples pk sont des racines simples (distinctes) :

    Dans ce cas la forme dcompose de F(p) sera :

    () = ()( ). . . ( ) ( ) = ( ) + ( ) + + ( ) (II. 16)Chaque coefficient Ak est obtenu par :

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 12

    =

    ( )() (II. 17)et la solution dans le domaine temporel est :() = exp() + exp() + + exp() + + exp() > 0Exemple :

    Soit trouver la solution dans le domaine temporel de :

    () = + 1 + 6

    1) Mettre le dnominateur sous forme de produit :

    () = + 1 + 6= + 1( 2)(+ 3)

    2) Mettre F(p) sous la forme dune somme de fractions partielles :

    () = + 1( 2)(+ 3) = + 2 + + 3

    3) Calcule de la valeur de chaque coefficient :

    = lim

    () = lim

    + 1( 2)(+ 3) = 16 = lim

    ( 2)() = lim

    + 1(+ 3) = + 310

    = lim

    (+ 3)() = lim

    + 1( 2) = 215

    4) Exprimer la solution en p:

    () = + 1( 2)(+ 3) = 16 1+ 310 1 2 215 1+ 3

    5) Exprimer la solution dans le domaine temporel :

    () = 16 + 310 215pour t>0 ( ne pas oublier)

    Cas 2 : il existe un ple pk qui est une racine de multiplicit m :

    Cest dire que :

    () = (). . ( ) . . =. . + ( ) + ( ) ( )+. . + ( ) +.. (II. 18)

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 13

    Chaque coefficient Ai est obtenu par :

    = ( )! ( ) () (II. 19)Exemple :

    Soit trouver la solution dans le domaine temporel de :

    () = 4 + 4( 2)( 1)

    () = 4 + 4( 2)( 1) = + + ( 2) + ( 1)

    La dtermination des coefficients va donner le rsultat suivant :

    = lim

    () = lim

    4 + 4( 2)( 1) = 2 = 11! lim

    [()] = lim

    4 + 4( 2)( 1)= 3

    = lim

    ( 2)() = lim

    4 + 4( 1) = 1

    = lim

    ( 1)() = lim

    4 + 4( 2) = 1

    () = 4 + 4( 2)( 1) = 3+ 2 1 2 1 1

    La solution dans le domaine temporel est alors :() = 3 + 2 exp(2) (), > 0II.4. Systmes Linaires Continus et Invariants

    a) Systme continu

    Un systme est dit continu, par opposition un systme discret, lorsque les grandeursphysiques le caractrisant dlivrent une information tout instant. La plupart des systmesphysiques sont continus.

    b) Systme linaire

    Un systme est dit linaire sil rpond au principe de superposition.

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 14

    Figure II.3 : Illustration du principe de superposition

    c) Systme invariant

    Un systme est dit invariant sil obit la loi suivante :

    Figure II.4 : Systme invariant

    Un systme qui ne vieillit pas est invariant !!!.

    II.4 Reprsentation des systmes linaires continus et invariants

    II.4.1 Reprsentation par quation diffrentielle et fonction de transfert

    On reprsente classiquement lvolution dun systme dynamique par une quation

    diffrentielle coefficients constants liant les gradeurs dentre-sortie.

    ()

    + () + + () = () + () + + ()La ralisabilit physique impose davoir m n . n est appel lordre du systme.

    Partant de conditions initiales nulles (systme au repos lorigine), par transforme de

    Laplace, lquation ci-dessus devient :

    () + () + + () = () + () + + ()

    Soit encore :()() = + + + + + + = () (II. 20)

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 15

    H(p) est la fonction de transfert du systme (transmittance), elle sexprime par le rapport de

    deux polynmes en p construit partir des coefficients de lquation diffrentielle.

    III.4.2 Reprsentation par rponse impulsionnelle

    -Chaque systme est caractris par une rponse impulsionnelle h(t) qui est la rponse dusystme limpulsion.

    -Lexpression de la sortie s(t) correspondante une entre e(t) scrit :

    () = ()(

    )= () ()On peut crire aussi :

    () = () (

    )= () ()Relation entre la fonction de transfert et la rponse impulsionnelle

    Nous avons :

    () = ()(

    )= () ()Nous avons :

    Par transforme de Laplace, on obtient :() = ().{()}()() = {()} = () (II. 21)

    0 t

    h(t)(t)

    h(t)

    H(p)

    E(p) S(p)

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 16

    Note :

    La fonction de transfert H(p) dun systme est la transforme de Laplace de sa rponseimpulsionnelle h(t).

    Exercices sur le chapitre 2Exercice N01

    Quelles sont les transformes de Laplace des signaux suivants :

    Impulsion de Dirac fonction Echelon fonction Rampe

    fonction Signe

    Porte causale Toit causal

    Exercice N02

    Trouver les transformes de Laplace des fonctions suivantes ( laide de la table).

    tutttf 4321 , )exp(32 tttf , )2sin(3 ttf , )cos(4 ttf

    )exp()2sin(5 tttf , )3exp()cos(6 tttf , )3exp())3cos(*)(cos(7 ttttf .

    Exercice N03Donner la transforme de Laplace dune fonction borne ,0 et priodique T,0

    pour t> 0 (on considre T ).

    0 t0 t0 t 0 t

    1 1

    1

    1

    -1

    0 t

    A

    T 0 t

    T

    T 2T 0 t

    T

    T 2T

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 17

    0 tT

    .

    2T

    tfT

    Fonction Priodique

    - Utiliser le rsultat obtenu pour trouver les transformes de Laplace de fonctions

    priodiques suivantes :

    Exercice N04

    Retrouver les originales des fonctions rationnelles en p suivantes

    12

    1

    pp

    ppF , 11 2

    pp

    ppF ,

    3116 3

    pppp

    pF ,

    pepp

    ppF 3

    2 11

    Exercice N05

    Soit un systme de 2me ordre rgi par lquation diffrentielle suivante :

    )()()()( 00.

    1..

    2 tebtyatyatya .

    1. Donner la fonction de transfert (Y(p)/E(p)) du systme dans le cas o le systme part

    du repos.

    2. Donner la relation qui lie Y(p) et E(p) le cas o le systme ne partant pas du repos.

    Application :

    )2sin()(6)(5)(...

    ttytyty

    2)0(.

    y et 1)0( y

    2012)(6)()(...

    ttytyty

    0)0(.

    y et 0)0( y

    0 tT/2 T 3T/2 2T

    A

    Onde Carre

    0 t54 10

    5

    Onde Triangulaire

  • II. Transforme de Laplace

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 18

    Exercice N06

    -Calculer pour chaque montage ci-dessous, la fonction de transfert F(p).

    R

    Ce(t) s(t) R2

    R1

    Ce(t) s(t)

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 19

    INTRODUCTIONIl existe un nombre important de systmes rels (Circuits RC, RLC, systme Masse

    Ressort, etc) qui peuvent tre dcrits par des simples quations diffrentielles du premier et

    du second ordre. La complexit dun systme est en ralit est d la multitude de sous-

    systmes dordre infrieur ou gal 2 qui le composent. Par exemple un systme de troisime

    ordre peut tre dcompos, en trois sous-systmes du premier ordre ou en un systme du

    premier ordre et un systme du second ordre. Il est donc trs important de comprendre et de

    maitriser les comportements et les caractristiques des systmes du premier et du second

    ordre.

    III.1 SYSTEME DU PREMIER ORDRE

    Un systme est dit du premier ordre sil est rgi par une quation diffrentielle de

    premier ordre de la forme :

    ()

    + () = () (III. 1)avec : e(t) et s(t) reprsentent respectivement lentre et la sortie du systme

    En supposant que les conditions initiales soient nulles (CI=0), il est possible de calculer la

    fonction de transfert G(p) du systme en appliquant la transforme de Laplace aux deux

    membres de l'quation (III.1):

    [ () (0)] + () = ()()[ + 1] = ()()() = 1 + () = 1 + (III. 2)

    Les paramtres de la fonction de transfert ou du systme sont alors :

    K : Gain statique

    : Constante de temps

    ChapitreIII Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    (Systmes du premier et du second ordre)

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 20

    III.1.1 Rponse Impulsionnelle

    La rponse impulsionnelle dun systme est sa rponse limpulsion de Dirac (). Ellecaractrise aussi lidentit du systme.

    Nous avons dans ce cas-l () = () , et puisque la transforme de Laplace de () vaut 1, lesignal de sortie sexprime comme suit :() = ()() = ()() = 1 + (III. 3)La sortie temporelle correspondante s(t) scrit :

    () = 1 + = + 1() =

    + 1() =

    e 0 (III. 4)

    Lallure de cette rponse est reprsente par la Figure 1.

    Figure III.1: Rponse impulsionnelle dun systme du premier ordre

    Les points particuliers de cette rponse sont donns dans le tableau ci-dessous :

    Point de dpart :

    (0) = lim

    () =

    [ ] Point darriv :lim

    () = lim

    () = 0 [ ]

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 21

    t 0 3 +

    s(t)

    0,37

    0,05

    0

    ds(t)/dt

    0,37

    0,05

    0

    Remarque : il est possible didentifier les deux paramtres {K et } de la fonction de transfert

    dun systme du premier ordre partir de la courbe de sa rponse impulsionnelle.

    III.1.2 Rponse Indicielle

    La rponse indicielle dun systme est sa rponse quand un chelon damplitude E0 est

    appliqu son entre. Dans ce cas-l :() =

    () {()} = () =

    1 + = + 1

    Nous avons deux ples (p=0 et p=-1/), alors S(p) scrit :() =

    + + 1 = + 1

    La rponse indicielle temporelle a comme expression :

    () = 1 0 (III. 5)La courbe correspondante est donne par la figure ci-dessous

    Figure III.2: Rponse indicielle dun systme du premier ordre

    Les points particuliers de cette rponse sont donns dans le tableau ci-dessous :

    Point de dpart :

    (0) = lim

    () = 0 [ ]

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 22

    Point darriv :lim

    () = lim

    () = [ ]t 0 3 4 +

    s(t) 0 0,63 0,95 0,98 ds(t)/dt

    - - 0

    - Le temps de rponse 5% vaut 3 (tr5%=3)

    - Le signal de sortie atteint 63% de la valeur finale en units de temps

    - La drive t= 0 vaut :

    ()

    =

    0 (III. 6)

    -Il est important de remarquer que plus est faible, plus le systme est rapide.

    Figure III.3: Influence de la constante de temps () sur la rponse dun systme du premier

    ordre

    0 5 10 150

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    0.6

    0.7

    0.8

    0.9

    1

    Temps[s]

    s(t)

    Influence de la constante de temps sur la rponse indicielle

    =1s

    =2s

    =3s=4s

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 23

    III.1.3 Rponse une rampe

    Supposons que le systme du premier ordre soit excit par un signal de type rampe :

    e(t)= B.r(t)=B.t.u(t). La transforme de Laplace de ce signal dente est : () =

    La sortie du systme a pour expression :

    () =

    1 + = + 1() =

    +

    + + 1 = + + + 1

    Le signal temporel correspondant secrit :() = + > 0 (III. 7)

    Figure III.4: Rponse une rampe dun systme du premier ordre

    La figure ci-dessus reprsente la courbe de cette rponse. Lasymptote la courbe est :

    a(t) = BK(t ). Lecart , en rgime tabli, entre lentre et la sortie vaut + si K < 1, si

    K > 1 et B si K = 1. Il est baptis erreur de tranage lorsque K = 1.

    III.2 SYSTEME DU SECOND ORDRE

    Un systme est dit du second ordre sil est rgi par une quation diffrentielle de second

    ordre de la forme :1

    ()

    + 2

    ()

    + () = () (III. 8)

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

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    En supposant que les conditions initiales soient nulles, il est possible de calculer la fonction

    de transfert G(p) du systme en appliquant la transforme de Laplace aux deux membres de

    l'quation (III.8):

    1

    () (0) (0) + 2

    [ () (0)] + () = ()

    1

    + 2

    + 1 () = ()() = 1

    + 2+ 1 (III. 9)avec :

    K : le gain statique, le facteur ou coefficient damortissement et la pulsation naturelle.

    III.2.1 Rponse indicielle

    Comme le dnominateur de la fonction de transfert est dordre 2, il est ncessaire

    detudier le lieu de ces racines afin de connatre le comportement du systme.

    Le discriminant du dnominateur est

    =4

    ( 1)Pour > 1Le polynme () = 102 2 + 20 + 1 possde deux racines relles ngatives = + 1 et = 1 . La fonction de transfert correspond alors lamise en srie de deux systmes du premier ordre :

    () = 102 2 + 20 + 1 = (1 + 1)(1 + 2)avec:

    = 1

    = 1

    Pour = Les racines sont doubles = =

    , le polynme scrit sous la forme :

    () = 102 2 + 20 + 1 = (1 + )2Pour < 1Les racines sont complexes conjugues = + 1 et = 1 . La fonction de transfert ne correspond pas la mise en srie de deux systmesdu premier ordre car il sagit de ples complexes pas rels (le dnominateur nest pasfactorisable en termes rels).

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    La figure ci-dessous donne la position des ples dans le plan complexe en fonction de

    la valeur du coefficient d'amortissement.

    1 1 1

    Figure III.5: Position des ples d'un systme du second ordre

    III.2.1.1 Etude pour > 1Comme dans le cas du systme du premier ordre, lentre applique est un chelondamplitude E0

    () = (1 + 1)(1 + 2)() = (1 + 1)(1 + 2)

    La rponse temporelle s(t) correspondante secrit :

    () = 1 1

    > 0 (III. 10)

    avec :

    + = 2 = 1Etude de s(t)

    () = 0 lim () = () =

    () = 0

    Puisque > ; alors : 1

    < 1

    >

    d'o quelques que soient les valeurs de et , () > 0 pour > 0, s(t) est monotonecroissante sur , donc pas de dpassement. La rponse est alors qualifie dapriodiquepuisquelle ne prsente aucun dpassement relativement la valeur finale. Plus le facteurdamortissement est grand, plus le temps de rponse est consquent.

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 26

    2

    3

    1

    Figure III.6: Rponses apriodiques dun systme du second ordre

    La rponse est dans ce cas est trs semblable celle d'un premier ordre. La diffrence est

    remarquable t=0: le premier ordre dmarre directement avec une pente diffrente de zro

    alors que le systme du second ordre prsente une pente nulle (on dit que la rponse est de

    forme S).

    Si le coefficient d'amortissement est assez grand ( 1) l'un des ples (p1) l'emporte

    nettement sur l'autre (p2) et l'on a:

    () 1 > 0 (III. 11)Le systme est alors assimil un premier ordre.

    III.2.1.2 Etude pour = 1() = (1 + )2 avec = 10

    La rponse temporelle s(t) correspondante secrit :() = [1 (1 + )] > 0 (III. 12)

    Etude de s(t)() = 0 lim () =

    () = () > 0 > 0 , () = 0Il sagit de la rponse apriodique la plus rapide. Cest le rgime apriodique critique.

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    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 27

    III.2.1.3 Etude pour < 1() =

    102 2 + 20 + 1=

    (2 + 2 0+ 02) + 2 + = ( )( )

    avec:

    = + 1 = 1

    La rponse temporelle correspondante est de la forme :

    () = 1 11 1 + (III. 13)

    avec :

    cos () = sin() = 1

    La courbe de s(t) est une sinusode amortie.

    Figure III.7: Rponse oscillatoire amortie dun systme du second ordre

    Les caractristiques de la courbe sont :La pseudo-priode

    = 21

    (III. 14)

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    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 28

    La pseudo-pulsation = 1 (III. 15)

    Les extremums Dk sont donns par :

    = (III. 16)qui se produisent aux instants :

    = 1

    (III. 17)Le premier extremum, valeur maximale de s(t) est appel le dpassement (exprim en %) linstant tpic

    D% = 100 = (III.18)

    Figure III.8: Dpassement D% en fonction de

    Le temps de monte tm est dfini comme l'instant pour lequel la valeur finale est atteinte pourla premire fois.

    ( ) = (III. 19)La rsolution de l'quation (III.19), nous donne :

    = arctan1 1

    (III. 20)III.2.2 Temps de rponseLe plus couramment utilis est le temps de rponse 5% que nous noterons tr. Pour = 0.7le temps de rponse est minimal et il est obtenu pour un dpassement de 5%. La courbedquation = () est une bonne approximation de pour < 0.7

    0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    Coefficient d'amotissement

    D%

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 29

    III.3 Algbre des schmas-blocs

    Un systme de fonction de transfert H(p), peut tre reprsent laide dun schma bloc :

    On peut de la mme manire tracer le schma bloc dun systme asservi :

    En notant G(p)= G1(p)G2(p), le schma bloc du systme ci-dessous peut se simplifier et se

    mettre sous une forme dite forme canonique :

    () = () () , () = ().(), () = (). ()Soit : () = ().() ()= (). (() () ())()(1 + ().()) = ().()() = ()1 + ().()() ()() = ()1 + ().()alors :

    () = ()1 + ().() (III. 21)est la fonction de transfert en boucle ferme (FTBF)

    Ou encore :

    () = ()1 + ().() = ()1 + ().()() est la fonction de transfert de la chane directe ;

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 30

    () est la fonction de transfert de la chane de retour ;Fonction de transfert en boucle ouverte FTBO dun systme asservi :

    Le systme mis sous forme canonique, tant considr en boucle ouverte, on a :

    () = (), () = ().().()() = ()

    () = ().()() = () = ().() = ().()

    alors :

    () = ()1 + ().() = ()1 + ()= ()1 + () (III. 22)Fonction de transfert avec retour unitaire

    Comme prcdemment, mais avec H(p)=1

    La fonction de transfert en boucle ouverte est : () = ()Et la fonction de transfert en boucle ferme est :

    () = ()1 + ()Remarque :

    Tous les systmes boucls retour non unitaire peuvent se ramener sous forme de systmes

    retour unitaire.

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 31

    III.3.1 Schmas-blocs quivalents

    Systmes en srie

    Systmes en parallle

    Dplacement dun point de prlvement

    G(p)E(p)

    S(p)

    Dplacement dun point de prlvement

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 32

    Dplacement dun point de sommation

    G(p)E(p) +

    +S(p)

    Z(p)1G(p)

    Dplacement dun point de sommation

    Ces quivalences sont gnralement utilises pour rorganiser des schmas-blocs qui

    prsentent des difficults pour calculer la fonction de transfert.

    III.3.2 Systmes plusieurs entres

    Principe de superposition

    Un systme dynamique est linaire si le principe de superposition peut tre appliqu.

    Ainsi la rponse s(t) dun systme linaire d plieurs entres appliques simultanment est

    gale la somme des rponses de chaque entre applique sparment.

    Exemple :

    Soit calculer la sortie S(p) du systme, deux entres, reprsent ci-dessous :

    Figure III.9: Systme deux entres

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 33

    1ier Cas B(p)=0 et E(p)0 2ime Cas E(p)=0 et B(p)0

    Schma quivalent Schma quivalent

    B(p) S2(p)

    G(p).H(p)

    +-

    () = ()1 + ().()() () = 11 + ().()()() = () + () = ()() + ()1 + ().()

    Exercices sur le chapitre III

    Exercice N01

    Les figures ci-dessous reprsentent les rponses indicielles de trois systmes (S1, S2 et S3)

    caractriss respectivement par les fonctions de transfert F1(p), F2(p) et F3(p).

    Trouver la figure correspondant chaque systme.

    11)(1

    p

    pF ,11110

    1)( 22

    pppF et

    11)( 23

    pp

    pF

    Figure 1 Figure 2 Figure 3

    Exercice N02

    - Dterminer la fonction de transfert du circuit ci-dessous et montrer quil sagit dun systme

    du premier ordre.

    - Pour C=2F et R1=R2 =1M, dterminer le gain statique K et la constant de temps .

    - Donner lexpression de la rponse indicielle.

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 34

    Exercice N03

    - Dterminer la fonction de transfert du systme mcanique (figure a) et montrer quil sagit

    dun systme du second ordre. Quand une force F=2N est applique linstant t=0, la masse

    se met osciller comme illustr par la figure (b).

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    - Dterminer m, b et k partir de la courbe de la figure (b).

    Exercice N04

    La figure (a) donne la rponse indicielle (chelon unitaire) du systme boucl de la figure (b).

    - Donner lexpression de la fonction de transfert ou boucle ouverte ainsi que celle de la

    boucle ferme. (() = () )

    - Dterminer les valeurs de T et K.

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 35

    (a) (b)

    Exercice N05

    Simplifier les schmas bloc suivants puis calculer les fonctions de transfert Y(p)/X(p) :

  • III. Rponses temporelles des systmes fondamentaux

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 36

    Exercice N06

    Trouver lexpression de la sortie en fonction des diffrentes entres pour les systmes

    suivants:

    +

    -

    ++H2(p)H1(p)

    F1(p)

    + +E(p) S(p)

    D(p)

    -

    +

    F1(p) F2(p)

    H1(p) H2(p)

    + +E1(p)

    E2(p)

    E3(p)

    S(p)

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 37

    Introduction

    Lanalyse frquentielle est ltude du comportement et de la rponse dun systmelinaire une entre sinusodale. La rponse en frquence du systme est ltude du rgimepermanent. La sortie dun systme linaire une entre sinusodale est de la forme sinusodalede mme pulsation que le signal dentre mais damplitude diffrente et dphas par apport ausignal dentre.

    Figure IV.1 : Rponse dun systme linaire une entre sinusodale

    IV.1 Fonction de transfert complexe

    La fonction de transfert dun systme linaire continu invariant dans le temps est unefonction de la forme :

    () = ()()

    o E(p) et S(p) sont les transformes dans le domaine de Laplace des fonction temporelles :e(t) et s(t).

    On appelle fonction de transfert complexe ou transmittance, la fonction obtenue enremplaant la variable de Laplace p par le terme jw (imaginaire pur).

    ( ) = ( )( ) (IV. 1)

    Chapitre

    IV Analyse frquentielle

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 38

    IV.2 Lieu de transfert :Ltude de la fonction complexe T(jw) peut se faire dune manire graphique. On

    distingue principalement trois types de reprsentation : le diagramme de Bode, lareprsentation de Nyquist et la reprsentation de Black.

    IV.2.1 Diagramme de BodeLanalyse par le diagramme de Bode, consiste reprsenter sparment le module A(w)=|( )| et la phase () = (( )) de la fonction T(jw) en fonction de la pulsation w. Lchelle horizontale est le () Lchelle pour le module est le dB = 20 (). Lchelle pour la phase est le degr

    AdB(w)

    )log(

    )(

    )log(00

    Diagramme damplitude

    Diagramme de phase

    Figure IV.2 : Diagrammes de Bode

    Cette reprsentation est bien adapte pour lanalyse des fonctions de transfert, en effetsi :( ) = ( ) ( ) (connexion en srie) :

    = + = +

    Il suffit donc dajouter les diagrammes des fonctions T1 et T2 aussi bien sur le diagrammedamplitude que sur le diagramme de phase.DfinitionsGain en dcibels (dB)

    ( ) = 20 log( ) (IV. 2)Exemples :

    ( ) = 2 ( ) = 20 log(2) = 6( ) = 10 ( ) = 20 log(10) = 20

    OctaveCest un intervalle dont les deux bornes sont distantes dun rapport de 2.Exemples : [1 2], [10 20] et [5 10].DcadeCest un intervalle tel que ses bornes sont distantes dun rapport de 10.Exemples : [1 10], [10 100] et [5 50].

    Gain statiqueGain lorsque 0 , celui-ci doit tre fini.

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 39

    IV.2.2 Reprsentation de NyquistLa reprsentation de Nyquist est la reprsentation dans le plan complexe de la fonction :

    ( ) = () + ()

    Figure IV.3 : Diagramme de Nyquist

    Le graphique reprsentant la fonction de transfert doit tre gradu dans le sens des croissants ( : 0 +)

    IV.2.3 Reprsentation de BlackOn reprsente la phase () en degr en abscisse et le module A() en dcibel en ordonne. La courbe obtenue doit tre gradue en pulsation.

    Figure IV.4 : Diagramme de Black

    IV.3 Etude du systme du premier ordreDans ce cas-l

    () = 1 + (IV. 3)soit :

    ( ) = 1 + (IV. 4)IV.3.1 Diagramme de BodeDiagramme damplitudeLe module de la fonction complexe T(j) est :

    = |( )| = 1 + ( ) (IV. 5)

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    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 40

    Le gain logarithmique de ce nombre est : = 20 log 10 log(1 + ( )) (IV. 6)

    Etude des asymptoteslim

    () = lim

    (20 log 10 log(1 + ( ))) = 20 logLa courbe du module est approxime par une droite horizontale (asymptote horizontale)dquation :

    = 20 loglim () = lim

    (20 log 10 log(1 + ( )))Nous avons :lim

    (1 + ( )) = ( ) (on nglige le nombre 1 devant )lim () = 20 log 20 log( ) = 20 log 20 logDans le systme de cordonnes du diagramme de Bode, l'asymptote est une droite d'quation :

    = 20 log 20 logOn dit que la pente est de -20dB par dcade (le module diminue de 20dB pour uneaugmentation d'un facteur 10 de ). Cest aussi quivalent une pente de -6dB par octave (le module diminue de 6dB pour une augmentation d'un facteur 2 de ). Les deux asymptotes se croisent pour =c, cette pulsation est appele pulsation de cassure :

    = 1 (IV. 7)

    = 20 log = 20 log 20 log

    au point dintersection, nous avons y1=y2

    = 20 log = 20 log 20 log 20 log 20 log = 0 log= 0= 1 = 1

    Pour =c |( )| = 1 + = 2 (IV. 8) = 20 log 20 log 2 = 20 log 3

    Pour la pulsation de cassure l'cart par rapport l'asymptote est de -3dB.Pour les pulsations double et moiti de c , l'cart est de -1dB.Diagramme de phaseLa phase de la fonction complexe T(j) est :

    () = arctan( ) (IV. 9)Le diagramme asymptotique a la forme dune marche descalier, il nest pas suffisammentprcis pour reprsenter lvolution de la phase.Quelques points de la courbe() = arctan(1) = 45

    2 = arctan12= 26,56(2) = arctan(2) = 63,43

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    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 41

    /1C

    )log(20 K

    )log(

    -20dB/dec

    /1C

    )log(

    Figure IV.5 : Diagrammes de Bode dun systme du premier ordre

    IV.3.2 Diagramme de Nyquist

    ( ) = 1 + = (1 )1 + = 1 + 1 + (IV. 10)

    = ( )= 1 + > 0 [0, +[= ( )= 1 + < 0 [0, +[ (IV. 11)

    Point de dpart (w=0) = lim

    =

    = lim

    = 0Le point de dpart est (x0, y0)=(K, 0-).Point darrive ( )

    = lim

    = 0 = lim

    = 0

    Le point darrive est (x, y)=(0+, 0-).On peut vrifier que le lieu de Nyquist dun systme du premier ordre est demi-cercle

    de centre (K/2, 0) et de rayon K/2. Le diagramme doit tre gradu en pour tre utilisable. A la pulsation de cassure c =1/ correspond le point (K/2,- K/2).

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 42

    c

    0

    Figure IV.6 : Diagramme de Nyquist dun systme du premier ordre

    IV.3.3 Diagramme de BlackOn retrouve sur le trac les points caractristiques dfinis prcdemment. Le lieu a uneasymptote horizontale aux basse frquences (=0) et une asymptote verticale aux hautes frquences ( ).( = 0) = 20 log

    ( = 0) = 0( ) = ( ) = 90() = 20 log 3() = 45

    Figure IV.7 : Diagramme de Black dun systme du premier ordre

    IV.4 Etude du systme du second ordreLa fonction de transfert est de la forme :

    () = 1

    + 2+ 1 (IV. 12)IV.4.1 Diagramme de BodePour > 1La fonction de transfert correspond alors la mise en srie de deux systmes du premier ordre

    () = 102 2 + 20 + 1 = (1 + 1)(1 + 2)( ) =

    1 + 1(1 + 2) (IV. 13)La reprsentation prend la forme ci-dessous :

    )log(20 K0

    c

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    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 43

    1

    )log(20 K

    )log(

    -20dB/dec

    2

    21

    -40dB/dec)log(

    Figure IV.8 : Diagrammes de Bode dun systme du second ordre ( > 1)Points du diagramme( = 0) = 20 log( = 0) = 0( ) = ( ) = 180() = 90Pour = 1

    () = 102 2 + 20 + 1 = (1 + )2 = 1

    La reprsentation prend la forme ci-dessous :

    )log(

    )log(20 K

    )log(0

    Figure IV.9 : Diagrammes de Bode dun systme du second ordre ( = )

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    Points du diagramme( = 0) = 20 log( = 0) = 0( ) = ( ) = 180() = 90Pour < 1Les racines sont complexes conjugues = + 1 et = 1 . La fonction de transfert ne correspond pas la mise en srie de deux systmesdu premier ordre car il sagit de ples complexes pas rels (le dnominateur nest pasfactorisable en termes rels).

    ( ) = 1

    + 2 (IV. 14)

    Posons =

    ( ) = 1 + 2

    = |( )| = (1 ) + 4 = [(1 ) + 4] = ()

    Etude de la fonction f(X) pour X0 (0) = 1 , lim

    () = 0() = 12[4(1 ) + 8][(1 ) + 4]() = 2[ (1 2)][(1 ) + 4]

    Etude du signe de f(X)() = 0 = 0 (1 2) = 0

    fest strictement ngative sur R+* si

    car (1 2) si <

    f est positive pour 0 < < 1 2est nulle pour = 1 2est ngative pour > 1 2

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 45

    Le tableau ci-dessous donne les variations de = |( )|

    1

    2

    X 0 + 0 + f(x) -|( )| K

    0|( )| 20log(K) -

    < 12

    X 0 1 2 + 0 = 1 2 + f(x) + 0 -|( )|

    K 0|( )| 20 log

    20log (K) -

    RsonanceOn a rsonance pour des valeurs du coefficient damortissement <

    . La pulsation pour

    laquelle on a rsonance est : = 1 2 (IV. 15)

    La valeur du gain la rsonance est :

    () = 20 log 21 (IV. 16)Facteur de surtension QLe facteur de surtension exprim en dB est la diffrence entre la valeur du gain la rsonance(() ) et le gain statique (0):

    = 20 log 21 20 log = 20 log 121 (IV. 17)Le facteur de rsonance est alors :

    = 121 (1.18)

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 46

    Asymptotes( = 0) = 20 log. La droite = 20 log est une asymptote horizontale.Nous avons :

    = |( )| = (1 ) + 4 = [(1 ) + 4]= 1 + 2(2 1)

    + 1

    Le terme 1 + ()

    +

    tend vers zro en hautes frquences ( +)

    Alors ( +) =

    ( +) = 20 log ( +) = 20 log

    = 20 log = 20 log() 40 log

    La droite = 20 log() 40 log est une asymptote de la courbe du module enhautes frquences. Elle prsente une pente de -40dB/dcade (-12dB/octave) et passe par lepoint = , 0Les deux asymptotes se croisent pour =0 .

    Diagramme de phaseLa phase de la fonction de transfert est :

    () = arctan 21 si 1 > 0 + arctan

    21

    si 1 < 0 (IV. 19)Nous avons :( = 0) = 0 , ( ) = et ( = ) = On peut vrifier que la fonction () est ngative sur R+. La fonction () est monotonedcroissante, do le tableau ci-dessous :

    0 +

    02

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 47

    )log(20 K

    )log(0r

    maxdBA 21

    21

    )log(

    Figure IV.10 : Diagrammes de Bode dun systme du second ordre ( < 1)IV.4.2 Diagramme de Nyquist

    ( ) = 1 + 2 = [1 2 ](1 ) + 4 (IV. 20)

    = ( )= [1 ](1 ) + 4= ( )= 2(1 ) + 4 < 0 [0, +[ (IV. 21)

    Point de dpart (w=0) = lim

    =

    = lim

    = 0Le point de dpart est (x0, y0)=(K, 0-).Point darrive ( )

    = lim

    = 0 = lim

    = 0

    Le point darrive est (x, y)=(0-, 0-)

    Intersection avec laxe imaginaire

    () = [1 ](1 ) + 4 = 0 = 1 = ( = 1) = 2(1 ) + 4

    = 2Les cordonns du point dintersection du lieu avec laxe imaginaire est 0,

    et ce point

    nous avons = .

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 48

    5.08.0

    5,10

    0

    r

    Figure IV.11 : Diagramme de Nyquist dun systme du second ordre

    IV.4.3 Diagramme de Black

    0

    0

    0

    )(0

    r

    Figure IV.12 : Diagramme de Black dun systme du second ordre

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 49

    IV.5 Abaque de BLACK-NICHOLSLabaque de BLACK-NICHOLS permet de dterminer le module et la phase de la

    fonction de transfert en boucle ferme F(p) retour unitaire partir de ltude de la fonctionde transfert en boucle ouverte T(p).

    Figure IV.12 : Systme asservi retour unitaire

    () = ()1 + () (IV. 22)Soit :

    = Arg[T(j)] et A = |T(j)|posons

    = Arg[F(j)] et B = |F(j)|On peut montrer sans difficult les relations ci-dessous :B = A

    1 + A + 2A cos (IV. 23) =

    arctan sin

    A + cos si A + cos > 0arctan sin

    A + cos si A + cos < 0

    2 si A + cos = 0 (IV. 24)

    () et B() sont des fonctions des deux variable A et , paramtres en .

    Labaque est constitu de deux rseaux de courbes :

    Les courbes isomodules : telles que le module de F(p) reste constant

    Les courbes isophases : telles que largument de F(p) reste constant.

    Ce trac est ralis dans le plan de BLACK et est appel abaque de BLACK-NICHOLS.

    Utilisation de labaque :

    Tracer le lieu de T(j) dans le plan de BLACK (utiliser les coordonnes rectangulaires

    de labaque pour reporter les points)

    Lire sur les courbes isom odules et isophases de labaque les valeurs des points

    appartenant F(j).

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 50

    -360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    6 dB

    3 dB

    1 dB

    0.5 dB

    0.25 dB

    0 dB

    -1 dB

    -3 dB

    -6 dB

    -12 dB

    -20 dB

    -40 dB

    Figure IV.13 : Abaque de BLACK-NICHOLS

  • IV. Analyse frquentielle

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 51

    Exercice sur le chapitre IVExercice N01Tracer les diagrammes de Bode des systmes suivant :

    () = 20 ,() = 20(1 + ) ,() = (1 + )(1 + 10) ,() = 15(1 + 10)(1 + 100)() = 30 + 1.6+ 1 ,() = 50 + + 1 ,() = 15(1 10)(1 + 100)Exercice N02

    Soit un systme asservis S caractris une fonction de transfert en boucle ouverte T(p).

    La figure ci-dessous reprsente le lieu asymptotique de Bode de la fonction T(p).

    Sachant que le systme S est un systme dphase minimal, dterminer lexpression de T(p)

    dBjwT )(

    Exercice N0 03Soit le systme dcrit par la fonction de transfert F(p) :

    () = 1(1 + )(1 + 10)1. Dterminer la valeur du coefficient damortissement , de la pulsation naturelle n , et

    du gain statique Ks.2. Tracer les trois diagrammes (Bode, Nyquist et Black) de T(p).

    Exercice N0 04Reprsenter le diagramme de Nyquist de la fonction T(p)

    () = 10(1 + 0.5)(1 + 5)

    Exercice N0 05 Soit la fonction de transfert T(p) avec a R+

    () = 1 + 1 + - Mettre T(p) sous la forme () = +

    - En dduire les diagrammes de Nyquist obtenus, selon a est suprieur ou infrieur 1- Dterminer la valeur des maxima ou minima de = arg [()] ainsi que la

    pulsation laquelle ils se produisent.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 52

    V.1 StabilitV.1.1 Dfinition :

    Un systme est dit stable si sa sortie tend vers zro lorque lentre sannule.

    Figure V.1: Systme masse ressort avec frottement (systme stable)

    - Soit un systme dordre n dfini par lquation diffrentielle suivante :

    ()

    + () + + () + () = () (V. 1)En appliquant la TL, on obtient :

    () = + + + + () (V. 2)

    Pour tudier la stabilit de ce systme, il suffit de le soumettre une impulsion et dobserverlvolution de sa sortie. Si cette dernire tend vers zro le systme est stable sinon il estinstable.

    Nous avons dans ce cas (lentre est une impulsion) :() = () () = 1 , do :() =

    + + + + (V. 3)() =

    + + + + y(t) est en gnral la somme de termes de la forme ci-dessous :

    () = ()

    (V. 4)1. () = e

    Chapitre

    V Performances des systmes asservisStabilit-Prcision-Rapidit

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 53

    avec: est un ple simple

    0p 0p

    Figure V.2: Rponse impulsionnelle ple rel simple

    2. () = , . ()! eavec: est un ple multiple dordre k (exemple ple double k=2)

    0p 0p

    Figure V.3: Rponse impulsionnelle ple rel multiple

    3. () = sin + eavec sont des ples complexes conjugus simples

    0 0

    Figure V.4: Rponse impulsionnelle deux ples complexes conjugus simples

    4. () = ()!,sin + eavec sont des ples complexes conjugus multiples

    0 0

    Figure V.5: Rponse impulsionnelle deux ples complexes conjugus multiple

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 54

    Conclusion :Un systme linaire est strictement stable si tous les ples de sa fonction de transfert sont partie relle ngative

    V.1.2 Stabilit des systmes en boucle ferme

    Soit le systme en boucle ferme reprsent ci-dessous avec G(p) et H(p) sontrespectivement les fonctions de transfert de la chane directe et de la chane de retour.

    Figure V.6: Systme en boucle ferme

    () = ()() = ()1 + ()() = ()1 + ()

    () = ()() est la fonction de transfert en boucle ouverte associe F(p).Les ples de F(p) sont les racines de lquation caractristique1 + () = 0 (V. 5)

    Si T(p) est la FTBO associe F(p), le systme est stable si seulement si lquation1+() = 0 na que des solutions (racines) parties relles ngatives. La stabilit de la BO nimplique pas ncessairement celle de la BF et inversement.

    La connaissance des ples de la fonction de transfert dun systme (BO, BF) permet devrifier aisment la stabilit de ce dernier. Cependant il est souvent difficile de calculer lesples notamment ceux des systmes boucls.

    Une alternative consiste donc tudier la stabilit sans passer par le calcul des ples. Ondistingue deux approches :

    Approche algbrique ; Approche gomtrique.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 55

    V.1.3 Approche Algbrique de stabilit

    Critre de ROUTH

    Cest un critre algbrique qui permet de savoir si les racines dun polynme sont

    toutes partie relle strictement ngative.

    Pour un systme boucl, nous allons tudier le dnominateur de la fonction de

    transfert en boucle ferme F(p) :

    () = 1 + () = + + (V. 6)Condition 1.

    Une condition ncessaire de stabilit est que les coefficients ai du polynme soient

    tous prsents et tous de mme signe. Cette condition est gnralement vrifie pour la

    plupart des systmes physiques

    Condition 2.

    Dans le cas o la condition 1 est vrifie, on construit le tableau de Routh partir des

    coefficients du polynme.

    Une condition ncessaire et suffisante pour que le systme soit stable est que tous les

    coefficients de la premire colonne soient de mme signe.

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    Remarque :

    Le nombre de changement de signe est gal au nombre de racines partie relle positive

    V.3.1. 1 Cas particuliers

    1ier Cas :

    Il sagit dexaminer le cas o tous les termes dune ligne sont nuls. Cela signifie que p = jw

    est racine de D( p). Le systme est donc juste oscillant et lon peut crire :

    () = ( + )() (V. 7)

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 56

    Pour construire la table de ROUTH on applique la mthode suivante :

    partir des coefficients de la dernire ligne non nulle on construit un polynme dit

    auxiliaire Paux admettant p = jw comme racine,

    on calcule la drive de Paux par rapport p et lon remplit la ligne nulle par les

    coefficients de ce polynme driv,

    on construit la suite de la table de ROUTH. Illustrons le procd sur un exemple.

    Exemple : Etudier la stabilit de la fonction de transfert F(p) admettant comme

    dnominateur :

    () = + 2 + 11 + 18+ 18Puisque tous les coefficients de D(p) sont prsents et de mme signe, on construit alors la

    table de ROUTH.

    1 11 18

    2 18 0 2 18 0 Dernire ligne non nulle

    () = + () = + () =

    0/2 0/0 0/0 Ligne nulle : on remplace par() =

    18 0 0

    On constate, aprs avoir construit la table de Routh, que les lments de premire colonne

    sont de mme signe.

    () = + 2 + 11 + 18+ 18 = ( + 9)( + 2+ 2) = 0 = 3Le systme oscille la pulsation oss =3rad/sec.

    2ime Cas :

    Il sagit du cas o le pivot dune ligne non nulle est gal zro.Exemple : Etudier la stabilit de la fonction de transfert F(p) admettant commednominateur :

    () = + 5 + 4 + 20+ 1Puisque tous les coefficients de D(p) sont prsents et de mme signe, on construit alors la

    table de ROUTH.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 57

    1 4 1

    5 20 0 0/ 1 0 ligne non nulle avec un pivot nul

    on remplace le pivot par

    < 0 0 0

    1 0 0

    Il y a deux changements de signe, alors D(p)=0 admet deux racines partie relle positive. Lesystme est alors instable.

    Sous MATLAB il possible de calculer les racines de D(p) et ce en utilisant les deuxinstructions suivantes :%%%%%%%%%%%%%D=[1 5 4 20 1]roots(D)%%%%%%%%%%%%Les ples sont : -4.9931, 0.0218 + 1.9918i, 0.0218 - 1.9918i et -0.0505. Il y a effectivementdeux ples partie relle positive.

    V.1.4. Critres gomtriques (Graphiques)

    Lobjectif de ces critres est dobtenir des renseignements sur la stabilit dun systme enboucle ferme partir du lieu de sa fonction de transfert en boucle ouverte T(p).

    V.1.4.1. Critres du revers

    Les critres du revers sont valables pour les systmes dphase minimal, cest dire lessystmes pour lesquels la fonction de transfert en boucle ouverte T(p) na ni de ples ni dezros partie relle positive.

    V.1.4.1.1. Critre du revers dans le plan de NYQUIST

    Un systme dphase minimal sera stable en boucle ferme si le lieu de transfert deNYQUIST (de T(p)) parcouru dans le sens des pulsations () croissantes laisse le point -1

    (point critique) sur sa gauche.

    0 00

    Figure V.7: Stabilit dans le plan de Nyquist

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 58

    V.1.4.1.2. Critre du revers dans le plan de BLACK

    Un systme dphase minimal sera stable en boucle ferme si le lieu de transfert de BLACK(de T(p)) parcouru dans le sens des pulsations (w) croissantes laisse le point critique (AdB = 0, = -180) sur sa droite.

    0

    0

    0

    Figure V.8: Stabilit dans le plan de Black

    V.1.4.1.3. Critre du revers dans le plan de BODE

    Un systme dphase minimal sera stable en boucle ferme si le gain en BO est infrieur 1(ou < 0dB) lorsque le dphasage atteint -180.

    Stable

    AdB

    Log(w)0dB

    Log(w)

    0c

    -180

    180

    180

    A 0dB

    Figure V.9: Stabilit dans le plan de Bode

    Nous dfinissons les deux pulsation : c0 et 180

    () = 0dB ou () = 1 (V. 8)() = 180 (V. 9)

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 59

    V.1.4.2 Etude de la stabilit par le Critre de Nyquist

    V.1.4.2.1 Thorme de Cauchy

    Si un point M (daffixe p) dcrit dans le plan complexe un contour ferm C dans le sens des

    aiguilles dune montre, entourant P ples et Z zros dune fonction A(p) de la variable

    complexe p, alors limage du point M par lapplication A(p) entour P-Z fois lorigine dans le

    sens trigonomtrique (contour orient dans le sens trigonomtrique).

    Nous avons :

    N =P-Z

    Figure V.10: Illustration du thorme de Cauchy

    V.1.4.2.2 Application au critre de Nyquist

    Considrons la transformation A(p)=1+T(p) et le contour C reprsent ci-dessous. On dsire

    que 1+T(p) nait pas de zro lintrieur de C (Z=0). Limage de C par 1+T(p) doit donc

    entour lorigine dans le sens direct (sens trigonomtrique) un nombre de fois gal au nombre

    de ples instables de 1+T(p) (donc de T(p)).

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 60

    R

    Figure V.11: Application du critre de Cauchy ltude de la stabilit

    Remarque :

    Le nombre de tours de la transformation 1+T(p) autour de lorigine est gal au nombre de tourde la transformation T(p) au tour du point -1

    Ce point -1 dans le plan complexe est appel point critique.

    Nous tudierons donc lmage de contour C (contour de Nyquist) par la transformation T(p) etnous comptons le nombre de tours dans le sens direct autour du point critique -1.

    Comment dessiner limage du contour C ?

    Exemple :

    () = (+ )(+ )(+ )

    R

    Figure V.12: Image du contour de Nyquist

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 61

    - Limage du segment [0, +[, est le trac de la boucle ouverte T(p) dans le plan deNyquist dcrit dans le sens des croissants.

    - Limage du segment ], 0] est symtrique de la prcdente par apport laxe rel.- Lmage du demi-cercle de rayon infini est rduite un point (en gnral lorigine) si le

    systme est physiquement ralisable.

    V.1.4.2.3. Enonc du critre de Nyquist

    Pour quun systme soit stable en boucle ferme, il faut et il suffit que le lieu de Nyquist de lafonction en boucle ouverte T(p), compltement complt et dcrit dans le sens de croissants, fasse autour du point -1 dans le sens direct un nombre de tours gal au nombre deples de T(p) partie relle positive.

    V.1.4.2.4. Cas particuliers ( ples sur laxe imaginaire)

    1. Cas de ples simples ou multiple lorigine (p=0)2. Cas de paire de ples imaginaires purs conjugus (p=j).

    Lorsquil y a des ples de T(p) sur laxe imaginaire, on les fait alors viter au contour deNyquist laide de patits demi-cercles de rayon, situs dans le demi-plan complexe de droite,et en fait tendre vers zro. (Voir le figure ci-dessous)

    R

    0

    0

    0

    j

    j

    Figure V.13: Contour de Nyquist en prsence de ple lorigine ou de ples imaginaires purs

    Des exemples de ples lorigine seront tudis durant la sance de TD.

    V.1.5. Conditions de stabilit pratique

    Un systme la limite de la stabilit est mal amorti. Son bon fonctionnement n'est pas

    assur car une faible modification de ses caractristiques peut le rendre instable. Les lieux de

    transfert peuvent tre obtenus par modlisation ou exprimentalement. Quelle que soit la

    mthode utilise, ces lieux ne sont pas connus de faon exacte.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 62

    Ces raisons expliquent qu'en pratique, on ne se contente pas de raliser un systme

    thoriquement stable. On assure la stabilit en prenant des marges de scurit. Ces marges se

    traduisent par une distance respecter entre le lieu de la fonction de transfert en boucle

    ouverte et le point critique d'affixe -1.

    V.1.5.1. Marge de gain (G)

    L'affixe du point critique a pour module 1 et pour argument -180. Lorsque l'on se fixe

    une marge de gain, on se donne une distance respecter entre le point critique et le point de la

    FTBO pour lequel la phase vaut -180. Une valeur de marge de gain couramment utilise

    est 6dB (une marge de 6dB, autorise une variation de 100% du gain de boucle sans risque

    d'instabilit).

    V.1.5.2. Marge de phase ()

    La marge de phase est la diffrence de phase entre la phase du point de la FTBO de

    module 1 et la phase du point critique (-180).

    On utilise couramment une marge de phase de 45 qui garantit un fonctionnement correct de

    la plupart des systmes

    Remarques : La reprsentation de BODE permet une lecture directe de la marge de gain en dB

    )log(

    dB0

    dBT

    )log(

    o180

    dBT

    G

    Figure V.14: Marges de gain et de phase dans le plan de Bode

    Dans le plan de BODE = + ( ) (V. 10) = ( ) (V. 11)Dans le plan de BLACK, la marge de gain se lit aussi directement en dB.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 63

    dBT

    dB0 o180

    G

    Figure V.15: Marges de gain et de phase dans le plan de Black

    Dans le plan de NYQUIST, la marge de gain et de phase sont mesures comme suit :

    0

    Figure 16: Marges de gain et de phase dans le plan de Nyquist

    Le point M est dfini par lintersection du lieu de Nyquist de T(p) avec le cercle centr lorigine et de rayon unit.

    Le point N est dfini par lintersection du lieu de Nyquist avec le demi-axe rel ngatif.

    - La marge de phase est langle orient ( , ).- la marge de gain, exprime en dB, est G :

    = 20 log() , =

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 64

    V.2. PRECISION

    Considrons le systme asservi ci-dessous:

    E(p) S(p)G1(p)

    H(p)

    +-

    ++

    B(p)

    G2(p)(p)

    Figure V.17: Systme asservi avec perturbation

    Ce systme asservi est conu afin de faire suivre la sortie s(t) une loi dtermine par l'entre

    e(t). La qualit d'un tel systme se jugera :

    par sa stabilit

    par la prcision avec laquelle la loi est suivie

    Afin d'valuer la prcision de ce systme, on dfinit tout instant l'cart (ou l'erreur) () .Le cas idal de point de vue prcision est d'avoir chaque instant () = . Cependantl'entre e(t) peut varier au cours du temps et le systme est soumis divers perturbations.

    l'cart n'est pratiquement jamais nul.

    Remarques:

    o Minimiser ou annuler l'cart quant l'entre e(t) varie au cours du temps, c'estrsoudre un problme de poursuite.

    o Minimiser ou annuler l'cart quant l'entre e(t) est constante, c'est rsoudre unproblme de rgulation.

    V.2.1 Etude avec perturbation nulle "Prcision vis vis l'entre"

    Dans ce cas-l, le schma de la figure ci-dessus se simplifie et on obtient le schma-bloc ci-

    dessous:

    Figure V.18: Systme asservi sans perturbation

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 65

    Expression de l'cart ()(p) = E(p) S(p). H(p)S(p) = (p). G(p) (p) = E(p) G(p). H(p). (p)

    (p)[1 + G(p). H(p)] = E(p)(p) = E(p)1 + T(p) avec T(p) = G(p). H(p) FTBO.

    (p) = E(p)1 + T(p) (V. 12)L'cart, comme la variable de sortie s(t), comporte une partie transitoire et une partie

    permanente.

    - Au cours du rgime transitoire, il est appel l'cart dynamique (prcision dynamique)

    - Au cours du rgime permanent, il est appel l'cart statique (prcision statique) .

    Ecart statique

    L'cart en rgime permanent est la valeur de () quand t tend vers l'infini: = lim

    () (V. 13)

    Pour obtenir partir de (), il faut appliquer le thorme de la valeur finale: = lim

    () = lim

    E(p)1 + T(p) = lim

    E(p)1 + T(p) (V. 14)Ecart de position ""

    C'est l'cart quand l'entre e(t) est un chelon.

    Nous avons de ce cas:() = .() () = avec lamplitude de lchelon l'expression de est :

    = lim

    1 + T(p) = lim 1 + T(p)

    = lim

    1 + T(p) (V. 15)La forme gnrale de T(p) est :

    L'cart () ne dpend que de l'entre et de la fonction de transfert en boucle ouverte T(p)

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 66

    () = 1 + + + + + (1 + + + + + ) (V. 16)

    : correspond la classe du systme ou encore au nombre d'intgrateurs prsents dans la

    fonction de transfert en boucle ouverte T(p) et K est la gain de la fonction de transfert T(p).

    () = ()() /(0) = (0) = 1

    = lim

    1 + T(p) = lim 1 + ()() = lim

    ()() + ()

    = lim

    + (V. 17)si =0 (T(p) est de classe zro) alors:

    = 1 + si 1 (T(p) est de classe 1) alors:

    = 0

    Figure V.19: Erreur de position

    Ecart de vitesse (tranage) ""

    Cet cart est dfini pour une entre en rampe

    Pour annuler l'erreur de position, il faut au moins une intgration dans la

    fonction de transfert boucle ouverte T(p) (1)

    Si T(p) est de classe 0, l'erreur diminue quand le gain K augmente.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 67

    () = ..() () =

    Dans ce cas, nous avons:

    = lim

    1 + T(p) = lim p[1 + T(p)]

    = lim

    p1 + ()()= lim

    ()() + ()

    = lim

    + (V. 18)si =0 (T(p) est de classe zro) alors:

    = +

    si =1 (T(p) est de classe 1) alors:

    = si 2 (T(p) est de classe2) alors:

    = 0

    Figure V.20: Erreur de vitesse

    Ecart en acclration ""

    Cet cart est dfini pour une entre sous forme parabolique.() = .2 .() () = on peut vrifier aisment que :

    Pour annuler l'erreur de position, il faut au moins deux (2) intgrations dans la

    fonction de transfert boucle ouverte T(p) (2)

    Si T(p) est de classe 1, l'erreur de vitesse diminue quand le gain K augmente.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 68

    = lim

    + (V. 19)si =0 = 1 (T(p) est de classe zro ou de classe 1) alors:

    = +

    si =2 (T(p) est de classe 2) alors:

    = si 3 (T(p) est de classe3) alors:

    = 0

    Tableau rcapitulatif

    () = G(p). H(p) = ()() avec (0) = (0) = 1

    classe 0

    =0

    classe 1

    =1

    classe 2

    =2

    classe 3

    =3

    Ecart de position1 + 0 0 0

    Ecart de vitesse +

    0 0

    Ecart en acclration + +

    0

    Pour diminuer l'cart en rgime permanent, il faut augmenter soit:

    La gain K

    La classe du systme c'est dire le nombre d'intgrateurs dans T(p)

    Pour annuler l'erreur de position, il faut au moins deux (3) intgrations dans la

    fonction de transfert boucle ouverte T(p) (2)

    Si T(p) est de classe 2, l'erreur en acclration diminue quand le gain K augmente.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 69

    V2.2. Etude avec entre nulle "Prcision vis vis des perturbations"

    Dans ce cas-l, le schma de la figure devient :

    La sortie S(p) d la perturbation B(p) est :S(p) = G(p)1 + G(p)H(p) B(p) (V. 20)Et comme l'cart (p)=E(p)-H(p).S(p), on obtient l'cart d la perturbation :

    (p) = H(p). S(p) = H(p)G(p)1 + G(p)H(p) B(p) (V. 21)Il suffit donc d'avoir (p) = 0 pour que la sortie du systme ne sera pas affecte par laperturbation.

    Perturbation en chelon:

    La perturbation b(t) est un chelon () = () () = L'cart en rgime permanent d la perturbation est gale :

    = lim

    p H(p)G(p)1 + G(p)G(p)H(p) B(p)Notons:

    () = ()() et ()() = ()() /(0) = (0) = (0) = (0) = 1 = lim

    p H(p)G(p)1 + G(p)G(p)H(p) = .2.2().11+21().2() + 1.1().2.2()

    =

    .2.11+2 + 1.2 (V. 22)

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 70

    Examinant la valeur en fonction de

    = 0 = 1 = 0 > 0 = 0 > 0

    .21 + 1.2 1 0 0Conclusion

    En rponse une perturbation en chelon, un systme comportant au moins une intgration en

    amont du point d'entre de cette perturbation, aura un cart nul.

    Ainsi il est clair que linsertion dun correcteur doit tre faite juste derrire le

    comparateur.

    Perturbation en rampe

    Par un raisonnement similaire aux prcdents, on aurait:

    =

    .2.111+2 + 1.2 (V. 23)

    Rsultat :

    = 0 = 1 2 +

    1 0

    En rponse une perturbation en rampe, un systme comportant au moins deux intgrations

    en amont du point d'entre de cette perturbation, aura un cart nul. Une augmentation du gain

    K1 en amont du point d'entre de la perturbation diminue l'cart d'un systme comportant une

    seule intgration.

    V.2.3. Erreur transitoire (Prcision dynamique)

    Ecart permanent vis a vis d'une entre sinusodale (Perturbation nulle)

    On considre une entre sinusodale de la forme :() = () (V. 24)Comme l'cart (p) est gal :

    (p) = E(p)1 + T(p)L'cart (t) en rgime permanent est un signal harmonique:

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 71

    (t) = 1 + ( ) ( [1 + ( )]) (V. 25)Ainsi, le module de lerreur (t) est, approximativement, inversement proportionnelle augain de la FTBO T(p) la pulsation .

    La connaissance du diagramme de BODE de ( ) permet de dterminer 1 + ( ) etdvaluer en consquence le module de lerreur. Si le module de lerreur doit rester infrieur

    une valeur donne on dtermine la valeur du gain K adopter.

    Mthode de la sinusode quivalente

    On cherche maintenir l'erreur dynamique infrieur une valeur . Pour un signal

    d'entre quelconque, l'expression de l'erreur dynamique est souvent complexe. Cependant s'il

    existe une limitation des signaux d'entre en vitesse et en acclration, il possible d'obtenir

    une condition caractrisant le prcision exige.

    Le signal d'entre est alors dfini par :

    (V. 26)Parmi les signaux satisfaisant ces conditions, le signal sinusodal est de loin le plus simple.

    Soit () = () un tel signal.La vitesse maximale de ce signal est = et l'acclration maximale est =

    .

    On a:

    = = La condition satisfaire est :

    1 + ()<

    d'o :

    1 + ()

    <

    On obtient: |1 + ()|

    Notons que cette condition est ncessaire et peut dans certains cas n'tre pas suffisante.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 72

    V.3 Rapidit

    V.3.1 Rponse transitoire

    Considrons un systme peu amorti dun ordre suprieur deux (approxim par deux

    ples complexes conjugus dominants), soumis une entre chelon, dont la rponse est

    donne ci-dessous:

    00

    D1

    +5%

    -5%sfinale=KE0

    tr5%tm

    s(t)

    Figure V.21: Rponse indicielle d'un systme peu amorti

    Le temps de rponse 5% not tr5% est dfini comme le temps partir duquel la rponse du

    systme entre dfinitivement dans la zone des 5% autour de sa valeur finale.

    Le temps de mont est le temps au bout duquel la rponse passe pour la premire fois sa

    valeur finale. Il est dfini lorsque le rgime transitoire est oscillant.

    Gnralement ces deux grandeurs sont utilises pour caractriser la rapidit d'un systme.

    Plus ces grandeurs sont faibles, plus le systme est rapide.

    Exemple : La systme 1 est plus rapide que le systme 2

    Figure V.22: Comparaison entre deux systmes du premier ordre

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 73

    V.3.2 Rponse frquentielle

    V.3.2.1 Bande passante

    On appelle bande passante -3dB (ou -6dB) d'un systme l'ensemble des pulsations

    pour lesquelles le signal de sortie subit un affaiblissement infrieur 3dB (ou 6 dB) par

    rapport sa valeur pour =0.F F(0) > 3 (ou 6dB)Cette dfinition fait intervenir la pulsation de coupure -3dB (ou -6dB).

    On appelle aussi bande passante la plage de pulsations ou de frquences pour laquelle

    le signal de sortie subit un affaiblissement gal sa valeur pour =0. Cette autre dfinition

    fait intervenir la pulsation de coupure . (pulsation de coupure 0dB).

    Le diagramme de Bode en amplitude de la fonction de transfert en boucle ferme F(p)

    affecte le plus souvent une des formes ci-dessous:

    )log(

    maxdBF

    0dBF-3dB

    dBc 3 0c dBc 3 0c

    FdB

    Bande passante -3dBBande passante

    Figure V.23: Bande passante et pulsation de coupure

    V.3.2.1 Relation entra la bande passante et la rapidit d'un systme

    Soit un systme asservi retour unitaire de fonction de transfert en boucle ouverte T(p):

    () = 1 + = ()()p

    K1

    Sa fonction de transfert en boucle ferme F(p) vaut:

    () = ()1 + = ()() + () = + 1 + = + 11 + + 1F(p) est une fonction de premier ordre de gain

    et de constante de temps

    Si lon trace le diagramme de gain de F(p) :

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 74

    KC

    1

    )1

    log(20K

    K

    )log(

    -20dB/dec

    Figure V.24: Bande passante d'un premier ordre

    Dans ce cas, la bande passante -3dB est l'intervalle 0, .

    Remarque: : La bande passante est dfinie sur le diagramme de gain de la fonction F(p) et

    non sur le diagramme de gain de la T(p) utilise pour ltude de la stabilit.

    Il est alors ncessaire de raliser un lien entre les bandes passantes de la FTBO et de la FTBF.

    Dune manire gnrale, on montre que la bande passante -3 dB dun systme en BF peut

    tre approche par la pulsation de coupure 0 dB de sa FTBO (si K>>1).

    Dans le cas particulier du systme du 1ier ordre, plus est faible, plus tr5% =3, le temps derponse 5% est faible et donc plus le systme est rapide. La rponse harmonique dusystme du 1ier ordre, montre que plus est faible, plus la bande passante 0,

    est

    leve. On peut dduire que le systme est dautant plus rapide que la bande passante estleve. Cest le cas pour tous les autres systmes physiques.

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 75

    Exercices sur le chapitre V

    Exercice N01 :

    Discuter la stabilit suivant la valeur du gain positif K des systmes boucls qui ont pour

    fonction de transfert en boucle ouverte : () = ()()() = + 5 + 8+ 5() = (1 + )(+ 1)(0.5+ 1)

    Exercice N02 :

    Un systme boucl est caractris par une fonction de transfert en boucle ouverte T(p) :

    () = (+ 3)

    - tudier la stabilit du systme boucl en utilisant le critre de Nyquist.

    - Trouver la valeur de K pour imposer une marge de phase gale 45.

    Exercice N03

    Soit le systme en boucle ferme de la figure avec :

    3)1()(

    PKpT

    1- Tracer le lieu de Nyquist de : 3)1()(

    jwKjwT

    2- Dterminer la frquence dintersection avec laxe rel, w.

    3- Discuter la stabilit du systme boucl, en spcifiant en particulier :

    a)- la plage du gain K assurant la stabilit.

    b)- Positions des ples correspondant au gain critique.

    4- Pour une entre chelon, trouver lexpression de lerreur statique et dterminer

    lintervalle du gain K assurant la fois la stabilit du systme et une erreur inferieure

    20 % .

    u(t) y(t)T(p)

    e(t)

  • V. Performances des systmes asservis

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 76

    Exercice N04

    Soit le schma-bloc dun systme asservi de la figure ci-dessous o e(t) est lentre et b(t) une

    perturbation mesurable.

    e(t) s(t)+-

    (p) 10(p+3)

    10(p+1)

    ++

    b(t)

    Calculer pour les deux cas ci-dessous la valeur de lerreur statique

    1. e(t)=u(t) et b(t)=0

    2. e(t)=0 et b(t)=u(t)

    Exercice N05

    I. Soit le systme asservi de la figure ci-dessous :

    p0125.01p1.01K

    -En appliquant le critre de Routh, montrer que le systme est toujours stable pour K positif.

    - Pour K=1, tracer le diagramme de Bode de la fonction de transfert en boucle ouvert T(p).

    - Dterminer la valeur du Gain K correspondant une marge de phase de 45 degrs.

    - Calculer en fonction de K les erreurs de position et de vitesse.

    II. Pour amliorer la prcision du systme boucl, on ajoute comme indiqu par la figure ci-

    dessous un compensateur de fonction de transfert () = (.)

    - Donner la nouvelle expression de T(p).

    - Donner la nouvelle valeur de K pour obtenir la mme marge de phase que

    prcdemment.

    - Calculer en fonction de K les nouvelles valeurs des erreurs de position et de vitesse.

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 77

    INTRODUCTIONAu cours du chapitre prcdent nous avons tudi les performances dun systme asservi

    savoir la stabilit et la prcision. Nous avons montr que pour annuler lerreur statique, la

    FTBO doit comporter un ou plusieurs intgrateurs et doit prsenter un gain statique K le plus

    lev possible. Par contre pour obtenir un bon degr de stabilit il faut une marge de phase et

    une marge de gain suffisantes, do un gain statique faible.

    Il est clair que le respect des spcifications du cahier de charges ne peut tre en gnral

    obtenu par un simple rglage dun gain ou dinsertion dintgrateurs. Dans la plus part des

    cas, il est indispensable dinsrer un correcteur (compensateur, rgulateur).

    VI.1 Structures de correction

    VI.1.1 Correction srie

    Ce type de correcteur est insr dans la chane directe juste aprs le comparateur, il est en

    srie avec le systme et dlivre un signal de commande

    () = () (VI. 1)

    Figure VI.1: Correction srie

    VI.1.2 Correction parallle (en raction)

    Ce type de correcteur dispose dune chane de retour secondaire cre spcialement. Le

    correcteur se met en parallle avec un lment fig de la chane directe. Le signal de

    commande est donn par :

    () = () + () (VI. 2)

    ChapitreVI Correction

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 78

    Figure VI.2: Correction parallle

    G1(p) caractrisant () peut tre par exemple un correcteur srie. () caractrise lactionde correcteur parallle avec x est une grandeur intermdiaire entre la commande et la sortie.

    Gnralement = ()

    et nous sommes dans le cas dune correction tachymtrie.

    VI.1.3 Correction par anticipation (compensateur)

    VI.1.3.1 Compensation des perturbations (entre nulle)

    Dans ce cas nous supposons que la perturbation B(p) est mesurable. Il est alors possible

    dliminer linfluence de la perturbation B(p) en insrant un correcteur suivant la

    configuration ci-dessous.

    Figure VI.3: Correction par anticipation (Compensation des perturbations)

    Il suffit, de choisir

    () = 1() (VI. 3)

    Gnralement la fonction () nest pas physiquement ralisable et on adopte des formes

    approximatives de () . Il ny a plus alors de compensation parfaite du rgime transitoire

    des perturbations.

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 79

    VI.1.3.2 Compensation de lentre (perturbation nulle)

    Figure VI.4: Correction par anticipation (Compensation de lentre)

    Ce schma peut tre transform dans un premier sous une configuration permettant

    dappliquer le thorme de superposition pour le calcul de lerreur.

    La sortie S(p) peut tre considre comme la superposition de deux schmas blocs ci-

    dessous :

    () = ()1 + ()()() (VI. 4)

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 80

    () = () () = ()()()()1 + ()()() (VI. 5)() = () + () = ()1 + ()()() ()()()()1 + ()()() (VI. 6)

    Afin dannuler lerreur vis--vis de lentre, il suffit choisir :

    () = 1()() (VI. 7)

    On notera que, dans ce cas, le systme asservi suit parfaitement la loi dentre. Comme le cas

    de la compensation des perturbations, souvent la fonction ()() nest pas physiquement

    ralisable. La compensation ne sera donc pas parfaite dans les rgimes transitoires.

    VI.2 Classes des correcteurs

    On peut dfinir deux classes de correcteurs:

    1. Les correcteurs spcifiques qui sont dtermins partir de la fonction de transfert en

    boucle ferme recherche. Il s'agit de dterminer la fois la structure et les paramtres

    du correcteurs ( structure+paramtres)

    2. Les correcteurs classiques, dont la structure est bien dfinie et dont seuls les

    paramtres sont dterminer.

    VI.3 Correcteurs classiques (sries)

    On distingue trois actions de base : Proportionnelle (P), Intgrale (I) et Drive (D),

    qui permettent, individuellement, damliorer telle ou telle performance. Elles sont simples

    raliser mais, en gnral, dgradent dautres performances.

    Type daction Signal de

    Commande m(t)

    Fonction de

    transfert

    Effet

    Proportionnelle

    (P) () = () () =

    Kc>1 (Amplificateur) : amliore laprcision statique et la rapidit maisdgrade la stabilit et augmente ledpassement.Kc

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 81

    VI.3.1 Correcteur Proportionnel et driv (P.D)

    Le correcteur proportionnel et driv (P.D) de fonction de transfert C(p), sinsre dans la

    boucle de commande derrire le comparateur. Cest un correcteur srie.

    La transmittance dun correcteur P.D idal est :

    () = (1 + ) (VI. 8)o Kc est le gain de l'action P et Td est la constante de temps de l'action I.

    La figure ci-dessous donne les rponses frquentielle (amplitude et phase) de ce correcteur.

    dT1

    Figure VI.5: Diagrammes de Bode dun correcteur P.I (Kc =1)

    Avantages

    - Amlioration de la stabilit (par apport de phase)

    - Augmente la rapidit (par augmentation de la bande passante)

    Inconvnients

    - Amplifie les bruits de mesures

    - Ne permet pas d'amliorer la prcision

    VI.3.2 Correcteur avance de phase

    Dans un correcteur P.D, laction drive ntant pas physiquement ralisable

    (Deg(N)>Deg(D)) on adopte :

    () = 1 + 1 + = 1 + (+ )1 +

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 82

    Que lon peut crire sous forme :

    () = 1 + 1 + avec a > 1 (VI. 9)VI.3.2.1 Diagrammes de Bode dun correcteur avance de phase

    On pose Kc=1 pour simplifier ltude.

    () = 1 + 1 + avec a > 1 (VI. 10)Nous avons deux pulsations de cassure 1 et 2 / 1 < 2

    = 1 et = 1 (VI. 11)Les diagrammes damplitude et de phase du correcteur sont donns ci-dessous

    a/11 /12m

    m

    a/11 /12

    Figure VI.6: Diagrammes de Bode dun correcteur avance de phase

    Nous avons :

    () = arctan( ) arctan( )()

    = 1 + ( ) 1 + ( )()

    = 0 = 1

    (VI. 12)

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 83

    log( ) = log 1

    = 12 log 1= 12 log 1 1= 12log 1 + log1= 12 [log() + log()]Alors log ( ) est au milieu du segment [log(), log()]( ) = 1 + 1 + 1/= 1 + 1 1/1 + 1/ = 2+ ( 1)+ 1sin = ( 1)

    4 + ( 1) = ( 1) (+ 1) = 1+ 1 = arcsin 1+ 1 (VI. 13)

    Notons que : |( )| = 1+ 14 + ( 1) = |( )| = 20 log = 10 log , alors |( )| est au milieu du segment [0 , 20 log ]sin = 1+ 1 (+ 1) sin = 1 = 1 + sin1 sin= 1 + sin

    1 sin(VI. 14)

    a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

    0 19,5 30 36,9 41,8 45,6 48,6 51,1 53,1 54,9 56,4 57,8 59

    L'intrt de ce correcteur est visible sur son diagramme de phase : il permet de remonter la

    phase la pulsation , d'o il est possible d'amliorer la marge de phase du systme

    corriger. Si le correcteur avance de phase se justifie, cest gnralement la marge de phase

    est insuffisante.

    VI.3.3 Correcteur Proportionnel et intgral (P.I)

    La fonction de transfert de ce correcteur est :

    () = 1 + 1 (VI. 15)

    VI.3.3.1 Diagrammes de Bode du correcteur P.I

    On pose Kc=1 pour simplifier ltude.

    ( ) = 1 +

    (VI. 16)Nous avons une pulsations de cassure

    = 1 (VI. 17)

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 84

    Le module et la phase sont donns par les relations suivantes:

    () = 1 + ( )

    (VI. 18)() = 90 + arctan( ) (VI. 19)

    iT1 log

    log

    Figure VI.7: Diagrammes de Bode dun correcteur Proportionnel Intgral (P.I)

    Avantage:

    Prcision parfaite en rponse un chelon cause de l'action intgrale.

    Inconvnients:

    - Diminution de la marge de phase et donc du degr de stabilit;

    - Rponse lente.

    VI.3.4 Correcteur retard de phase

    Comme nous venons de le voir, un correcteur P.I a pour fonction de transfert

    () = 1 + 1

    Ce correcteur admet une forme approche ds que l'intgration n'est pas pure:

    () = 1 + 1+ 1 (1 + )(1 + )

    avec a>>1

    D'une manire gnrale, on appelle correcteur retard de phase un correcteur de fonction de

    transfert:

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 85

    () = (1 + )(1 + ) avec a > 1 (VI. 20)VI.3.4.1 Diagrammes de Bode dun correcteur retard de phase

    Les mmes calculs que pour le correcteur avance de phase sont utiliss pour tudier

    le comportement frquentielle de ce correcteur.

    Pour la pulsation = , la phase atteint une valeur minimale = arcsin . Lemodule cette pulsation est gal |( )| = 20 log= 10 log .Notons que :

    = 1 sin1 + sin (VI. 21)Le tableau ci-dessous, donne les valeur de - en fonction de a

    a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

    0 19,5 30 36,9 41,8 45,6 48,6 51,1 53,1 54,9 56,4 57,8 59

    Les diagrammes damplitude et de phase du correcteur sont donns ci-dessous:

    m

    a1

    1

    1

    2

    m

    Figure VI.8: Diagrammes de Bode dun correcteur avance de phase

    VI.3.5 Correcteur Proportionnel Intgral Driv (P.I.D)

    VI.3.5.1 Correcteur P.I.D parallle

    K

    Td p

    ++

    +

    m(t)(t) 1Ti p

    Figure VI.9: Structure d'un correcteur PID parallle

    Un correcteur P.I.D thorique peut tre dfini par une fonction de transfert de la forme:

  • VI. Correction

    Cours LAA311 Enseignant : O. GUENOUNOU 86

    () = + 1

    + avec T > T (VI. 22)VI.3.5.2 Correcteur P.I.D srie

    Figure VI.10: Structure d'un correcteur PID srie

    Dans ce cas, la fonction de transfert est:

    () = 1 + 1(1 + ) avec T > T (VI. 23)

    VI.3.5.3 Correcteur P.I.D Mixte

    Figure VI.11: Structure d'un correcteur PID mixte

    Un correcteur PID