Polyccfbdfopié RDL L2

Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique

Universit Hassiba Benbouali de Chlef

Facult de Gnie Civil et dArchitecture Dpartement de Gnie Civil

Polycopi de

Ralis par

Professeur

Zamila HARICHANE

Mars 2015

Rsistance des Matriaux

- i -

Prface Dans la prsent polycopi intitul Polycopi de Rsistance des Matriaux, qui sadresse aux tudiants de deuxime anne LMD en Gnie Civil et les lves ingnieurs des coles

prparatoires, laccent est mis sur le dimensionnement des lments dune structure soumis aux sollicitations simples de sorte permettre ltudiant de dimensionner tous types dlments de structures isostatiques simples raliss en bois, en acier ou en bton.

Il est rdig de manire simplifie et beaucoup dexemples sont introduits aprs avoir donn des notions afin que ltudiant puisse assimiler le contenu du cours et ait une vision claire de son application dans la vie courante. Des problmes sont accompagns de leurs

solutions et la fin de chaque chapitre des exercices sans solutions sont donns pour que

ltudiant sy entraine.

Ce polycopi est divis en six chapitres. Le contenu du premier chapitre concerne une

introduction gnrale la rsistance des matriaux. Aux chapitres 2 et 3, ltudiant se familiarise avec les notions de sollicitation simple, de diagramme defforts intrieurs, de section dangereuse, de contrainte et enfin de dimensionnement. Il sagit de la traction (ou la compression) et le cisaillement pur, respectivement. Au chapitre 4, on introduit le calcul

des caractristiques gomtriques dune section plane. En effet, pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la section droite est ncessaire

pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Tandis que pour tous les autres types de sollicitations, la forme et les dimensions de la section droite

de la poutre jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes sollicitations

de torsion ou de flexion.

Dans le chapitre 5, on aborde le dimensionnement des barres soumises la torsion pure.

Enfin, en 6me

chapitre, on dimensionne des poutres droites isostatiques sollicites en

flexion simples.

- ii -

Table des Matires Chapitre 1

Introductions et Gnralits Page

1.1. Buts et hypothses de la rsistance des matriaux 2

1.1.1. Dfinitions 2

1.1.2. Hypothses de la rsistance des matriaux 4

1.1.2.1. Hypothses sur le matriau 4

1.1.2.2. Hypothses sur les dformations 5

1.1.2.3. Hypothses de Navier-Bernoulli 5

1.1.2.4. Hypothse de Barr de Saint-Venant 6

1.2. Classification des solides (poutre, plaque, coque)

1.2.1. Poutre

6

6

1.2.2. Plaque 7

1.2.3. Coque 7

1.3 Diffrents types de chargements

8

1.4. Types de liaisons en gnie civil

10

1.4.1. Appui simple 10

1.4.2. Appui lastique 11

1.4.3. Articulation

1.4.4. Encastrement

1.5 Principe Gnral dquilibre quations dquilibres

1.5.1. Enonc du principe

1.5.2. Utilisations pratiques

1.6 Principes de la coupe (ou isolement) lments de rduction

1.7. Dfinitions et conventions de signes des efforts intrieurs

1.8. Conclusion

12

12

14

14

14

15

17

19

20

- iii -

Chapitre 2

Traction et Compression Simples

2.1. Introduction 24

2.2. Dfinitions 24

2.3. Contrainte normale 24

2.4. Diagramme de leffort normal (DEN) 26

2.5. Courbe contrainte - dformation 27

2.6. Condition de rsistance 28

2.7. Loi de dformation lastique

Exercices

29

33

Chapitre 3

Cisaillement Pur


3.2. Dfinition

3.3. Contrainte de cisaillement

39

39

3.4. Dformation de cisaillement

3.5. Loi de HOOKE

40

41

3.6. Condition de rsistance au cisaillement

42

3.7. Applications

3.7.1. Assemblage par rivets

42

42

3.7.2. Assemblage par boulons 48

Exercices 50

- iv -

Chapitre 4

Caractristiques gomtriques des

sections planes


4.2. Aire dune section 53

4.3. Moment statique 55

4.4. Centre de gravit

4.5. Moment dinertie

4.5.1. Dfinition

56

59

59

4.5.2. Moment dinertie polaire 61

4.6. Variations des moments dinertie

4.6.1. Translation des axes

4.6.2. Rotation des axes

62

62

64

4.7. Module de rsistance 67

4.8. Rayon de giration

4.8. Conclusion

Exercices

68

69

70

Chapitre 5

Torsion

5.1. Dfinition

5.2. Moment de torsion

5.2.1. Convention de signe

74

74

74

5.2.2. Diagramme du moment de torsion 75

- v -

5.3. Contraintes de cisaillement et angle de torsion 75 5.3.1. Hypothses53 75

5.3.2. Angle de torsion 76

5.3.3. Contraintes de cisaillement 76

5.4. Dimensionnement la torsion 78 5.4.1. Condition de rsistance 78 5.4.2. Condition de rigidit

5.5. Torsion dune barre section transversale non circulaire

Exercices

79

80

82

Chapitre 6

Flexion simple

6.1. Systme isostatique, systme hyperstatique, mcanisme

6.2. Dfinition

6.3. Efforts tranchants, moments flchissants

86

86

88

6.4. Diagrammes des Efforts tranchants et des moments flchissants 89

6.5. Relation entre moment flchissant et effort tranchant 91

6.6. Relation entre effort tranchant et chargement rparti 92

6.7. Dforme d'une poutre soumise la flexion simple (flche)

6.8. Calcul des contraintes

6.8.1. Cas de la flexion pure

6.8.2. Cas de la flexion simple

Exercices

Rfrences Bibliographiques

Annexes

94

95

95

99

109

112

114

Chapitre 1

Introduction et gnralits

Chapitre 1 : Introduction et gnralits

Universit Hassiba Benbouali de Chlef - 2 - Cours de Rsistance de Matriaux

1.1. Buts et hypothses de la rsistance des matriaux

1.1.1. Dfinitions

Rsistance des matriaux

La rsistance des matriaux (RDM) est une branche de la mcanique des milieux continus

adapte aux dformations des structures (machines en gnie mcanique, ou btiment en gnie

civil). Cest une science exprimentale concernant les solides rels. Elle permet dtudier dans

les pices mcaniques leur rsistance, les actions mcaniques qui sy exercent et leur

dformation. Pour cela il est ncessaire au pralable de bien modliser les diffrentes liaisons

mcaniques possibles et les actions extrieures agissant sur le systme.

La statique, quant elle, est une branche de la mcanique qui tudie les conditions sous

lesquelles un corps est en lquilibre, compte tenu des efforts que son milieu extrieur exerce sur

lui.

Notion de Contrainte

Une contrainte est un effort par unit de surface qui s'exerce dans le matriau.

Soit un solide soumis des forces (concentres ou rparties) schmatis par la figure 1.1-a.

Fig. 1.1- Schmatisation dun solide charg.

On coupe le solide en deux parties S1 et S2. Considrons un point M entour par une surface

S. Le solide S2 exerce une action mcanique sur le solide S1 12 S/SF que lon peut modliser

par un effort rparti et on a:

Sn,MCF 1S/2S (1) Le vecteur n,MC est appel vecteur contrainte au point M et de normale n (o n est le vecteur unitaire normal S sortant).

Le vecteur contrainte au point M relativement l'lment de surface S orient par sa normale

extrieure x , est dfini par:

0S

dS

df

S

flimx,MC

(2)

(a) (b)

M

S1

t

n

S



On peut dcomposer le vecteur contrainte sur les vecteurs n et t ( t est un vecteur unitaire

contenu dans le plan tangent S) (Figs. 1.1-b, 1.2) sous la forme:

tnn,MC (3) est appele la contrainte normale

est appele la contrainte tangentielle.

La contrainte normale et la contrainte tangentielle sexpriment en Pa (ou MPa).

Fig. 1.2- Dcomposition du vecteur contrainte sur la normale n et la tangente t .

Exprimentalement, on dfinit pour chaque matriau une contrainte limite admissible, note [],

au-del de laquelle la pice subit des dtriorations de ses caractristiques mcaniques,

dimensionnelles, voire une rupture. Le calcul de rsistance des matriaux consiste vrifier que

les contraintes engendres par les sollicitations extrieures ne dpassent pas la contrainte limite

admissible par le matriau [].

Une contrainte est un outil de calcul; on ne peut pas l'observer directement, par contre on

peut observer ses effets: tudes des dformations par exemple.

La contrainte tant le rapport d'une force par une surface, les paramtres qui influencent

directement une contrainte sont les sollicitations et la section de la pice.

Exemple 1.1

Calculer la contrainte due un effort de 100 N appliqu perpendiculairement sur une surface

de 1mm2.

Solution de lexemple 1.1

Notons cette contrainte par . Si l'effort est not F et la surface S, alors:

2mm/N100S

F

n,MC

t

n



Remarque

La contrainte dpend de la valeur de la sollicitation et de la surface du solide. Pour une mme

sollicitation, la contrainte sera d'autant plus faible que la surface est grande et inversement (Fig.

1.3).

Fig. 1.3- Comparaison de contraintes.

Notion de dformation

Tout solide soumis un effort se dforme. Les dformations rsultent et varient avec les charges

appliques sur les objets. Elles sont mises en vidence par la variation des dimensions, et

peuvent tre lastiques ou plastiques.

- La dformation est dite lastique si le solide reprend sa forme initiale aprs arrt de

l'action des forces (cas dun ressort charg normalement).

- La dformation est dite plastique si le solide reste dform aprs arrt de l'action des

forces (cas dune pte modeler).

Notons quaucun matriau n'est parfaitement lastique. Cependant, la dformation est

gnralement lastique pour les efforts suffisamment faibles, puis devient plastique partir d'un

certain seuil de contrainte e appel limite lastique.

La limite d'lasticit est une contrainte caractristique du matriau. Elle ne dpend ni des dimensions de la pice ni des sollicitations qui lui sont appliques.

Dans le cours de la rsistance des matriaux, nous nous intresserons exclusivement aux

matriaux lastiques. Ceci veut dire que nous supposerons toujours que les sollicitations

auxquelles sont soumises les structures tudies sont suffisamment faibles pour que les

dformations soient lastiques.

1.1.2. Hypothses de la rsistance des matriaux

1.1.2.1. Hypothses sur le matriau

Continuit

La matire est suppose continue, c--d que les distances entre les molcules sont toujours

trs petites; l'chelle de la RDM, alors la matire apparat continue.

N N

S1 S2

1 2 car S1 > S2



Homognit

On admettra que tous les lments du matriau, aussi petits soient-ils, ont une structure

identique. Ses proprits sont identiques en chaque point.

Isotropie

On admettra, qu'en tous les points et dans toutes les directions autour de ces points, les

matriaux possdent les mmes proprits mcaniques.

1.1.2.2. Hypothses sur les dformations

On fera lhypothse que les dformations sont petites par rapport toutes les dimensions de

llment (poutre, par exemple). Ainsi, on assimilera la gomtrie en configuration dforme

la gomtrie en configuration non dforme (Fig. 1.4). Les efforts sont donc considrs

invariants en dpit de la dformation des poutres.

1.1.2.3. Hypothses de Navier-Bernoulli

Les sections planes, normales aux fibres avant dformation restent planes et normales

aux fibres aprs dformation.

Les sections droites normales la fibre neutre restent donc perpendiculaires la fibre

neutre aprs dformation. Si lon connat la dforme de la fibre neutre, on peut donc en

dduire le dplacement de nimporte quel point de la poutre. Dans la suite, on ne

reprsentera donc que la fibre neutre pour reprsenter une poutre (Fig. 1.5).

Fig. 1.4- Poutre droite dforme.

Fig. 1.5- Schmatisation de lhypothse de Navier - Bernoulli.

Dforme de la

ligne moyenne

Poutre avant

dformation

P P



1.1.2.4. Hypothse de Barr de Saint-Venant

On fera lhypothse que les rsultats de calculs seront valables loin des points dapplication des

charges.

Ltat des sollicitations dans une rgion suffisamment loigne des points dapplication des

charges extrieures appliques la poutre ne dpend donc que du torseur associ ces charges

(Fig. 1.6).

Fig. 1.6- Schmatisation de lhypothse de Barr de Saint-Venant.

1.2. Classification des solides (poutre, plaque, coque)

1.2.1. Poutre

Une poutre est un solide engendr par une surface plane () dont le centre G dcrit une courbe

appele ligne moyenne. Le rayon de courbure de la ligne moyenne est grand par rapport aux

dimensions de la section droite ().

La section droite () de centre de surface G varie progressivement (Fig. 1.7) ou est

constante (Fig. 1.8).

La poutre a une grande longueur par rapport aux dimensions transversales.

La poutre possde un plan de symtrie.

Les points disposs de faon identique sur les sections droites constituent des lignes

appeles fibres (Fig. 1.7).

La ligne moyenne est aussi appele fibre neutre.

Lorsque la ligne moyenne est une droite, alors la poutre est appele poutre droite (Fig.

1.8).

Les sections droites des poutres tudies ont un plan de symtrie et quelles sont

charges dans ce plan.

Fig. 1.7- Modle de poutre.

Section droite

Poutre

Fibre

Section droite ou

ligne moyenne



Fig. 1.8- Poutre droite.

1.2.2. Plaque

Une plaque est un lment prismatique dpaisseur h petite devant les deux autres directions de

lespace (Fig. 1.9). Le plan moyen sera le plan (O, x, y), le dplacement transverse tant la

direction z. On suppose que lhypothse des petits dplacements vrifie.

Fig. 1.9- Plaque.

1.2.3. Coque

Une coque est un solide dlimit par deux surfaces proches et approximativement parallles.

Elle est soit ferme sur elle-mme, soit dlimite en outre par une surface priphrique (le bord)

qui joint les deux surfaces principales.

Extrmits fermes Extrmits ouvertes

Fig. 1.10- Coques.



1.3 Diffrents types de chargements

Les chargements peuvent tre classifis de diffrentes manires. On distingue deux types de

chargements (ou actions mcaniques):

les actions mcaniques de contact (liaisons de contact entre solides, pression,...);

les actions mcaniques distance (champ de pesanteur, force lectromagntique,... ).

Le premier type daction est une action qui sapplique sur la surface du solide (action

surfacique) tandis que le second sexerce au niveau de son volume (action volumique).

On distingue aussi les actions extrieures et les actions intrieures un systme de solides.

On appelle effort (ou action) extrieur appliqu un systme matriel isol, toutes les

actions mcaniques agissant sur ce systme, dont lorigine est lextrieur du systme.

Ces actions sont : soit des actions mcaniques de contact ; soit des actions distances

(gravit).

Les efforts intrieurs sont les efforts que sexercent mutuellement les diffrentes parties

du systme isol.

Remarque

La notion defforts extrieurs et intrieurs ne dpend que de la frontire du systme isol.

Modlisation des actions mcaniques

Lanalyse des actions mcaniques ne peut se faire quen utilisant des modles pour reprsenter

les actions et leurs effets sur le solide. On distingue principalement deux modles pour

reprsenter et tudier les actions mcaniques, le modle local et le modle global.

Le modle local (Fig. 1.11) permet dtudier laction et son effet en tout point de la zone o elle

sexerce: tude des pressions de contact, contraintes dans les matriaux, dformation du

solide, ...

Dans le modle global (Fig. 1.12) on associe laction mcanique un torseur (dit Torseur

dAction Mcanique). Ce modle fait disparatre leffet local de laction mais rend son

utilisation pratique pour ltude de lquilibre ou de la dynamique.

Ces deux modles, global et local, ne sont pas interchangeables; si on peut dterminer le torseur

daction mcanique partir de la rpartition locale des efforts, on ne peut faire le travail inverse

sans faire des hypothses sur la rpartition.

Fig. 1.11- Modle local.

Fig. 1.12- Modle global.

La charge uniformment rpartie (Fig. 1.11) est remplace par leffort quivalent F

(Fig.1.12).

Charge uniformment rpartie Charge

concentre



Dfinition du torseur

La dfinition complte dun effort (force) fait intervenir deux vecteurs :

- une force R

appele rsultante,

- un moment O/RM

en un point O quelconque, appel moment.

Ces deux vecteurs, appels lments de rduction, peuvent tre regroups en une seule criture

dans un nouvel outil mathmatique appel Torseur .

On note

un torseur quelconque et O

ses lments de rduction au point O.

Exemple 1.2

Considrons le cas dun cylindre sur un plan. Modliser l'action du plan sur le cylindre.


Laction du plan sur le cylindre peut tre reprsente par une force linique (force rpartie le

long d'une ligne) 1/0f

. Elle se mesure en (N/m).

Si la charge est uniforme, alors l'ensemble de la charge linique est quivalent une force

1/0F

situe au centre de la ligne de contact.

Exemple 1.3

On voudrait modliser laction dun plan horizontal (0) sur un prisme triangulaire (1) (figure

ci-dessous).

- Schmatiser cette action par un modle local puis un modle global.


Le prisme agit sur le plan horizontal par son poids. Dans un modle local le poids est modlis

par une force rpartie. A chaque poids Px correspond une force rx qui reprsente la raction du

plan horizontal ce poids une abscisse x et qui a lexpression:



maxx rL

xr

comme montre sur la figure suivante:

Dans un modle global, la raction du plan horizontal est reprsente par la force R dont la

valeur est gale au poids du prisme P.

1.4. Types de liaisons en gnie civil

Les actions extrieures (forces extrieures) sappliquant sur les solides peuvent tre connues ou

inconnues. Parmi les efforts connus on retrouve les efforts modlisant, les actions du poids

propre des lments, les actions climatiques (vent, neige, houle) et les actions dexploitation.

Ces actions sont donnes par le cahier des charges dutilisation du btiment: poids des machines,

action des ponts roulants, utilisation des locaux, etc

Les efforts inconnus sont dvelopps par les liaisons du solide tudi avec les lments de

transfert des charges. Les liaisons servent bloquer certains degrs de libert (ddl) des solides.

Nous effectuerons notre analyse dans le cadre du plan et du Gnie Civil. Les liaisons, pour

bloquer les dplacements, gnrent des efforts inconnus appels efforts de liaison (appels aussi

ractions). On associera la liaison un torseur defforts li ses caractristiques cinmatiques.

Les mouvements lmentaires possibles dans le plan sont: deux translations (x et y) ; une

rotation: =k.

Les principales liaisons du gnie civil sont:

- Lappui simple: 1 DDL bloqu (1 inconnue de liaison)

- Lappui lastique: 1DDL contrl (1 inconnue de liaison et une loi de comportement)

- Larticulation: 2 DDL bloqus (2 inconnues de liaison)

- Lencastrement: 3 DDL bloqus (3 inconnues de liaison)

1.4.1. Appui simple

Lappui simple bloque la translation dans la direction de lappui, il permet une translation x

dans la direction perpendiculaire et une rotation autour de laxe perpendiculaire au plan de la

liaison.

rx = px

x

L

R = P

rmax



La modlisation dun appui simple est schmatise sur la figure 1.13.

Fig. 1.13- Schmatisation dun appui simple.

Le torseur au centre de la liaison scrit:

k0M

jYR

O

OO

O

1.4.2. Appui lastique

Lappui lastique contrle une translation par la connaissance de la raideur de lappareil dappui.

On a une relation de comportement de lappui du type:

ykF Il permet une translation contrle y, peut permettre ou non une translation x (appui glissant)

et il permet une rotation

Lappui lastique est modlis comme le montre la figure 1.14.

Fig. 1.14- Schmatisation dun appui lastique.


O

X i

Y

j

OY

O

X i

Y

Z

j

k

(P)

Y

O

X i

Y

j

OY

O

X i

Y

Z

j

k

(P)

X



k0M

j..kjYR

O

YOO

O

1.4.3. Articulation

Larticulation permet de bloquer les deux translations possibles dans le plan. Elle permet donc

une rotation libre .

Larticulation est modlise comme le montre la figure 1.15.

Fig. 1.15- Schmatisation dune articulation.


k0M

jYiXR

O

OOO

O

1.4.4. Encastrement

Cette liaison bloque les trois degrs de libert possibles: deux translations lmentaires et une

rotation.

Lencastrement est modlis comme le montre la figure 1.16.

Fig. 1.16- Schmatisation dun encastrement.

O

X i

Y

j

OY

OX

k

O

Z

O

X i

Y

Z

j

k

(P)

O

X i

Y

j

OY

OX

O

X i

Y

Z

j

k

(P)




kM

jYiXR

OO

OOO

O

Exemple 1.4

Une balanoire 3 est articule en O (liaison pivot) sur un socle fixe 0. P1 et P2 reprsentent les

poids respectifs des deux enfants 1 et 2, appliqus respectivement en G1 et G2.

Schmatiser toutes les actions sexerant sur la balanoire.

- Solution de lexemple 1.4

Les actions sexerant sur la balanoire sont:

- Le poids de la balanoire

- Les poids des deux enfants

- Laction de liaison au point O

Rcapitulation sur la modlisation des liaisons

Les diffrentes liaisons souvent ralises en domaine du gnie civil sont rcapitules sur lz

tableau 1.1.

P1 P2

ROX

ROY a b

L

P

G

G2 G1



Tableau 1.1- Modlisation des liaisons

Type de liaison Modlisation Inconnue de liaison

Appui simple (ou mobile)

1 inconnue

Appui double (ou fixe, ou

articulation)

2 inconnues

Encastrement

3 inconnues

1.5 Principe Gnral dquilibre quations dquilibres

1.5.1. Enonc du principe

Soit un solide (S) soumis un systme de forces extrieures modlis par le torseur extF . Soit {} le rfrentiel associ (S); (S) est en quilibre si et seulement si:

0F ext

1.5.2. Utilisations pratiques

Lgalit de deux torseurs entrane lgalit de leurs lments de rduction.

Soit O le point choisi:

0M

0R

0F

O/)F(

)F(

OOext

ext

ext

(4)

(5)

Les quations (4) et (5) sont deux quations vectorielles qui donnent:

- 6 quations scalaires en lespace.

- 3 quations scalaires en plan.

En plan, lquation des forces (1) possde deux quations scalaires et lquation des moments

(5) une quation scalaire. Le moment est un produit de vecteurs appartenant toujours (P) (plan

de sollicitations); le moment est autour de laxe z (z tant perpendiculaire au plan (P)).



Fig 1.17- Illustration en plan de lquilibre statique.

Remarque

En gnie civil, nous nous ramenons le plus souvent possible ltude des problmes plans, cest

dire ltude de structures charges dans leur plan de symtrie.

1.6 Principes de la coupe (ou isolement) lments de rduction

Soit deux solides (S1) et (S2) et (S) le systme form par (S1) et (S2) comme le montre la figure

3.2.

Fig 1.18- Illustration des frontires dun solide.

Soit le torseur des actions du monde extrieur sur (S):

21 FFF (6) - 1F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire extrieure de (S1)

- 2F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire extrieure de (S2)

Faisons le bilan des actions sexerant sur (S1). On a, en isolant (S1):

1/211 FFD (7)

(S2)

(S1) (S)

(P)

A

F

FOA X

Y

Z



O

1F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire libre de (S1)

1/2F est le torseur des actions exerces par (S2) sur (S1) sur la frontire commune.

Ainsi, on peut donner la dfinition ci-dessous.

Dfinition

Si on isole (S), lquation (6) ( 21 FFF ) modlise le torseur des actions extrieures appliques sur le solide (S) et 1/2F reprsente le torseur des actions intrieures par rapport (S).

Si on isole (S1), 1F et 1/2F modlisent les torseurs des actions extrieures par rapport (S1).

Principe des actions rciproques

Si on isole maintenant (S2) le bilan des actions extrieures donne:

2/122 FFD (8) o

2F est le torseur des actions sappliquant sur la frontire libre de (S2)

2/1F est le torseur des actions exerces par (S1) sur (S2)

On a:

21 SSS (9)

et donc:

)6()8()7(

FFFFFF

DDF

212/121/21

21

Soit:



0FF 2/11/2 (10) Lquation (10) reprsente le principe des actions rciproques. De faon simplifie, le principe

des actions rciproques ou mutuelles, pour deux solides en contact scrit:

2/11/2 FF (11)

Fig 1.19- Illustration du principe des actions rciproques.

1.7. Dfinitions et conventions de signes des efforts intrieurs

Les efforts intrieurs en un point G de la ligne moyenne d'une poutre sont les composantes des

lments de rduction du torseur des efforts intrieurs. Ces efforts intrieurs prennent les

notations suivantes (Fig. 1.20):

- N est l'effort normal (dans la direction x )

- Ty est l'effort tranchant dans la direction y

- Tz est l'effort tranchant dans la direction z

- T = TY y + Tz z est l'effort tranchant

- Mt est le moment de torsion (autour de laxe x )

- My est le moment de flexion ou flchissant (autour de laxe y )

- Mz est le moment de flexion ou flchissant (autour de laxe z )

- M = My y + Mz z est le moment de flexion

1

2

2/1F

1

2

1/2FPlan tangent

1

2



Fig. 1.20- Efforts intrieurs en un point de la ligne moyenne d'une poutre.

Diagramme de leffort intrieur

On appelle diagrammes des efforts intrieurs les courbes reprsentant la variation de chacun des

efforts intrieurs selon la ligne moyenne. Ces reprsentations sont utiles pour situer rapidement

les sections les plus sollicites.

Sollicitations simples

Les sollicitations couramment rencontres sont la traction ou la compression, la flexion, la

torsion et le cisaillement. Quelques types de sollicitations simples sont donns sur le tableau 1.2.

La figure 1.21 schmatise ces types de sollicitations.

Tableau 1.2: Quelques types de sollicitations

Sollicitations Effort Normal Effort Tranchant Moment de

Torsion

Moment de

Flexion

Traction/compression N 0 T =0 Mt =0 Mf =0

Cisaillement pur N =0 Ty (ou Tz) 0 Mt =0 Mf =0

Torsion pure N =0 T =0 Mt 0 Mf =0

Flexion pure N =0 T =0 Mt =0 Mz (ou My) 0

Flexion simple N =0 Ty (ou Tz) 0 Mt =0 Mz (ou My) 0

N

YT

ZT tM

YM

ZM

Z

O X

Y



Fig. 1.21- Poutre soumise une sollicitation simple.

1.8. Conclusion

Dans ce chapitre, des notions prliminaires de la Rsistance des Matriaux sont donnes. Le

contenu est consacr, en premier lieu, la mise en place des hypothses fondamentales de la

RDM ainsi quaux notions de contraintes et dformations. Les principales liaisons de gnie et

leur modlisation sont, ensuite revues. Le principe fondamental de la statique est galement

donn. En dernier, les notion de sollicitations simples sont abordes et schmatises.

Traction / Compression F

F

Cisaillement

Mt x

Torsion

F

Flexion

Traction / Compression

Cisaillement

Torsion Flexion



Exercices

Exercice N1

Considrons le cas dune boite sur un plan.

Schmatiser l'action du plan sur la boite. 1/0f

est une charge uniforme qui se mesure en (N/m2).

Exercice N2

Exprimer les torseurs du poids P par rapport aux points G et A.

Exercice N3

Soit un plongeoir, schmatis par la figure ci-dessous.

- Reprer, identifier et schmatiser tous les efforts sexerant sur la planche (1).

Exercice N4

Calculer la contrainte agissant au niveau de la surface de contact des deux tles montres par la

figure ci-dessous.

- De quel type de contrainte sagit-il?



Exercice N5

Pour un effort P agissant sur un plan inclin, exprimer les contraintes normale et tangentielle

agissant sur ce plan.

On donne h = 100 mm, b = 50 mm et = 70.

Calculer l'effort admissible (Padm) si les contraintes admissibles en traction et en compression

sont, respectivement, []=2 MPa et []=1,5 MPa.

Exercice N6

Un btiment dune hauteur de 60 et de forme

rectangulaire est montr sur la figure ci-

dessous. Le vent exerce des forces sur les

facettes verticales du btiment qui sont

exprimes par des pressions supposes

uniformment rparties sur les trois facettes.

Ces pressions valent 781 N/m2 sur la couche

infrieure, 1264 N/m2 sur la couche du milieu

et 1530 N/m2 sur la couche suprieure.

- Dterminer la force de cisaillement que doit

exercer la fondation du btiment pour rsister

aux forces du vent.

781 N/m2

1264 N/m2

1530 N/m2

20m

20m

20m

50m

L

W



Exercice N7

Soit soulever une caisse de poids qui vaut 736 N par un dispositif avec poulie et cbles (Figure

suivante).

1- Isoler la caisse et faire le bilan de toutes les actions extrieures sexerant sur celle-ci.

2- En appliquant le principe fondamental de la statique, dterminer les tensions des cbles AB et

AC et leffort T que doit exercer loprateur pour maintenir lensemble en quilibre.

Exercice N8

Le systme montr par la figure suivante est constitu de

quatre barres rigides en acier: deux barres suprieures AB

et AC et deux barres infrieurs BD et CD, ayant chacune un

module de Young E et une mme section transversale A. Le

systme est sollicit par une force concentre au point D

(P=17,3 kNw et une charge rpartie (q = 3,46 kN/m).

1- Dterminer les efforts dans les barres AB et AC. On

donne 22L m.

2- Dterminer les efforts dans les barres BD et CD.

Mur

Poulie Plafon

d

Caisse

P = 736

N

Chapitre 2

Traction et Compression Simples

Chapitre 2: Traction et Compression Simples


2.1. Introduction

La traction ou compression correspond des forces s'exerant perpendiculairement aux sections

des pices; elle est dite uni-axiale car les cts de la pice ne sont pas contraints, toutes les forces

sont sur un mme axe.

2.2. Dfinitions

Soit une barre rectiligne sollicite par deux forces gales et directement opposes agissant

suivant sa fibre moyenne est soumise un effort normal (Fig. 2.1). Cet effort est dit:

un effort de traction simple si les forces tendent allonger la barre,

un effort de compression simple si les forces tendent raccourcir la barre.

Fig. 2.1- Barre en traction.

2.3. Contrainte normale

On considre une barre rectiligne, de section S lie un massif fixe son extrmit suprieure

(Fig. 2.2-a). A l'autre extrmit, elle est soumise l'action d'une force N suivant son axe.

N N

a

a'bb'

a' b'

(a) (b)

Fig. 2.2- Barre encastre sollicite en traction.

N NS



D'aprs le principe de l'action et de la raction, le massif exerce une force de raction gale et

oppose N. La barre est alors soumise un effort normal. Sa base -ab- se dplace alors

paralllement elle-mme pour venir en -a'b'-. Toutes les fibres ont subi, si l'effort est un effort

de traction, le mme allongement (hypothse de Navier-Bernoulli: les sections droites restent

planes et perpendiculaires l'axe) et supportent donc la mme tension.

Imaginons qu'on coupe la barre par un plan perpendiculaire l'axe de la pice. Pour maintenir

le tronon infrieur en quilibre, il faut placer dans une force intrieure gale et oppose N.

Lhypothse de Navier-Bernoulli permet dcrire:

S

N (1)

est appel contrainte normale. Elle reprsente lintensit de l'effort normal par unit de

surface. se mesure en (N/m) ou Pascal (Pa).

Exemple 2.1

Soit la barre schmatise par la figure ci-dessous. Calculer les contraintes au niveau des

sections 1-1, 2-2 et 3-3.

Solution de l'exemple 2.1

Section 1-1

kN25N0F 1x

MPa100cm/kN105,2

25

S

N 2

1

111

1

1

25 kN N1

x

25 kN 15 kN 5 kN

5 kN

1

1

2

2 3

3

S2=6cm2 S1=2,5cm

2 S3=4cm

2



Section 2-2

kN15N0F 2x

MPa25cm/kN5,26

15

S

N 2

2

222

Section 3-3

kN15N0F 3x

MPa5,37cm/kN75,34

15

S

N 2

3

333

2.4. Diagramme de leffort normal (DEN)

Le digramme de leffort normal (DEN) donne la valeur de leffort normal dans toutes les

sections perpendiculaires la membrure ltude.

Leffort normal dans une section est la rsultante des charges axiales sexerant sur la

section.

Le DEN est obtenu par la mthode des sections en effectuant une coupe suivant lentre de

chaque force concentre et, au dbut et la fin ainsi quau minimum et au maximum (sil y

a lieu) de chaque charge rpartie.

Exemple avec des forces concentres

La figure ci-dessous schmatise le DEF tout au long d'une barre dans le cas o les efforts axiaux

sont concentrs.

3

3

15 kN N3

L-x

2

2

25 kN N2

x

5 kN

5 kN

10 kN

20 kN

50 kN

30 kN

10 kNR = 40 kN0

1 2 3 4

O

AB C

D

+

-

+

40

-10

10

30

30-40DEN - 20



Exemple avec une charge rpartie (poids de llment)

La figure ci-dessous schmatise le DEF tout au long d'une barre soumise son poids propre.

2.5. Courbe contrainte - dformation

La courbe contrainte dformation est une courbe caractrisant le matriau. Elle est obtenue

empiriquement d'une exprience de traction effectue sur une barre de section constante. Lors de

cette exprience l'effort normal est augment progressivement provoquant l'allongement de la

barre. A chaque incrment d'effort, la contrainte normale et la dformation de la barre sont

portes sur une courbe. Cette opration est effectue rgulirement jusqu' la rupture de la barre.

La courbe ainsi obtenue est la courbe contrainte - dformation du matriau. Elle a gnralement

(de manire simplifie) l'allure montre sur la figure 2.3.

Fig. 2.3- Courbe contrainte - dformation de traction.

(= (dx)/dx)

(N/m2)

e

C B

A

P

E

L X

L-X

P P

N(x) = P + W(x) = P + g A (L - x)

W(x) = g A (L - x)

P

P + g A L

DEN



La partie (OA) est la partie lastique. La limite lastique n'est pas atteinte. La barre reprend sa

forme initiale si l'exprience est interrompue dans cette zone. Dans ce cas l'lasticit est linaire

((OA) est une droite). La pente E de la droite (OA) est appele module d'lasticit linaire ou

module de Young (tableau 2.1). Il reprsente le rapport entre la contrainte et la dformation

dans la zone lastique. La relation entre la contrainte et la dformation dans la zone lastique est

donne par la loi de Hooke:

E (2)

La partie (AB) est la partie plastique. La limite lastique est dpasse. Si l'exprience est

interrompue (point C), la barre ne reprend pas sa forme initiale. Le chemin de dcharge est, de

manire simplifie parallle la droite (OA). Lorsque l'effort appliqu s'annule, il persiste une

dformation rsiduelle p qui ne disparat plus.

Tableau 2.1: Ordres de grandeur du module de Young (E)

Matriau Acier Bton Aluminium

E (daN/mm2) 21000 2000 7000

2.6. Condition de rsistance

Pour vrifier la condition de rsistance d'une pice sollicite en traction ou en compression, on

doit sassurer que:

(3)

O [] est la contrainte admissible pour le matriau tudi. Elle est donne par lexpression:

n

e (4)

O e est la limite lastique en traction et n un coefficient de scurit (n>1).

Limite lastique

Pour tous les matriaux homognes et isotropes la limite lastique en traction et est gale la

limite lastique en compression ec. On les dsigne alors simplement e (limite lastique). C'est

le cas des aciers.

Coefficient de scurit

Le coefficient de scurit vaut 1,5 2 pour un plancher, 2 3 pour une charpente, 10 12 pour

ascenseurs et cbles.



Exemple 2.2

Vrifier la rsistance de la barre mtallique schmatise par la figure ci-dessous, sachant que

[]=14 kN/cm2.


Nous traons le Diagramme de lEffort Normal (DEN) et nous dduisons le Diagramme de la

Contrainte Normale (DCN) puis nous reportons dessus la valeur de la contrainte admissible du

matriau:

Nous remarquons que la contrainte maximale est gale 15,2 kN/cm2 et elle est suprieure la

contrainte admissible, do la barre ne rsiste pas la traction.

2.7. Loi de dformation lastique

On considre une barre de longueur initiale L soumise un effort normal N. Une portion de

longueur dx de la barre subit une variation de longueur du=(dx) (Fig. 2.4).

On appelle dformation longitudinale dans la section d'abscisse x la quantit adimensionnelle:

38 kN 58 kN

10 kN

10 kN

+

+

)

+

+

)

+

+

)

N(kN)

38

58

+

+

)

+

+

)

+

+

)

(kN)cm2)

9,5

15,2

8,3

[]=14kN/cm2

(DEN)

(DCN)

38 kN 58 kN

10 kN

S3=7cm2 S2=2,5cm

2 S1=4cm2 10 kN



dx

dx (5)

D'o

dxdx (6)

D'autre part,

ES

N

E

(7)

Ainsi (dx) vaut

dxES

Ndx (8)

et la dformation totale de la barre est donc

dxES

NdxL

L

0

L

0

(9)

Fig. 2.4- Dformation linaire.

Cas particulier

Pour une barre homogne de section constante, si N est constant (Fig. 2.5), lallongement absolu

scrit:

ES

NLL (10)

L

a a'

b b'

x

dx

du

N

L L



Revenons l'quation ES

N , on a la relation

L

L (10)

qui exprime la dformation (ou lallongement) relative. L est la dformation absolue.

Fig. 2.5- Barre homogne soumise un effort de traction.

Exemple 2.3

Dterminer l'allongement total de la barre mtallique, sollicite comme le montre la figure ci-

dessous, sachant que le module de Young E = 2,1106 kg/cm

2. La section de la barre est constante

et vaut 5 cm2.


Le DEN est montr sur la figure ci-dessous:

4500 kg 5000 kg 1500 kg 1000 kg

N (kg)

5000 3500

4500

+

(DEN)

5000 kg 4500 kg 1500 kg 1000 kg

50 cm 75 cm 100 cm

L L



3

1i i

ii

3

33

2

22

1

11

L

2L1L 3

32L1L

1L 2

21L

0 1

1L

0

S

LN

E

1

ES

LN

ES

LN

ES

LN

dxES

Ndx

ES

Ndx

ES

Ndx

ES

NL

100x450075x350050x50005x10.1,2

1L

6

Ainsi, l'allongement total de la barre est

cm092,0L



Exercices

Exercice N1

Soit la barre schmatise par la figure ci-dessous:

1- Tracer le diagramme de leffort normal tout au long de la barre.

2- Tracer le diagramme de la contrainte normale tout au long de la barre.

3- Vrifier la rsistante de la barre si la contrainte admissible du matriau est suppose de 14

kN/cm2.

4- Calculer la dformation (allongement ou raccourcissement) de la barre.

5- En dduire le pourcentage de lallongement et le pourcentage du raccourcissement dans la

barre.

Exercice N2

Soit la barre en acier, schmatis par la figure ci-dessous, encastre son extrmit suprieure et

tendue par une force de 16 kN son extrmit infrieure.

En tenant compte du poids spcifique du matriau (=7,8 104 N/m3),

1- Tracer le diagramme de leffort normal tout au long de la barre.

2- Tracer le diagramme de la contrainte normale tout au long de la barre.

3- Vrifier la rsistante de la barre, la section dangereuse, si la contrainte admissible du

matriau est suppose de 15 kN/cm2.

10 kN

10 kN

10 kN

10 kN

10 kN

50 kN

18cm 10cm 12cm 20cm

D1=18 mm D2=22 mm D3=25 mm D4=10 mm



Exercice N3

Deux barres cylindriques en acier, sont relies ensemble, comme le montre la figure ci-dessous.

Le systme entier est encastr son extrmit infrieure et sollicit par l'effort P.

Dterminer la valeur du diamtre d, si la contrainte admissible du matriau constituant chacune

des deux barres est gale 16kN/cm2.

Exercice N4

Soit la barre en acier, encastre son extrmit suprieure et tendue par une force de 0,8kN/m

linairement rpartie comme le montre la figure ci-dessous.

A

2d d

B L L

P

P=1256kg

N

P

10 cm2

5 cm2

16 kN

2 m

1 m



1- Que pourrait reprsenter la force de 0,8 kN/m? Schmatis cette force dans un modle global.

2- Vrifier la rsistante de la barre, la section dangereuse, si la contrainte admissible du

matriau est gale 150 MPa.

3- Calculer lallongement total de la barre (en mm) si le module de Young vaut 21000daN/mm2.

Exercice N5

Soit une barre conique en acier de longueur L, montre sur la figure suivante. Sa section

transversale varie uniformment dun diamtre d un diamtre D dune limite une autre.

Dterminer llongation due la force axiale P applique de part et dautre de la barre.

Exercice N6

Soit le systme articul constitu des deux barres rigides AB et BC (verticale) soumis la seule

force verticale P applique au point B. la barre AB a une section transversale A1, une longueur

L1 et un module de Young E1. Les quantits correspondantes la barre BC sont A2, L2 et E2.

10cm2

0,8 kN/m

3 m



- Dterminer les composantes horizontale et verticale du dplacement du point B.

Chapitre 3

Cisaillement pur

Chapitre 3: Cisaillement Pur


3.1. Introduction

Considrons un bloc matriel mince (Fig. 3.1), coll une table; supposons qu'une plaque mince

est maintenant colle la surface suprieure du bloc. Si une force horizontale F est applique la

plaque, celle-ci tendra glisser le long de la surface du bloc, et le bloc lui-mme tendra glisser

le long de la table. Si les surfaces colles demeurent intactes, la table rsiste au glissement du

bloc, et le bloc rsiste au glissement de la plaque sur sa surface. Si nous supposons que le bloc

soit divis en n'importe quel plan horizontal imaginaire, tel que le plan ab, la partie du bloc au-

dessus de ce plan tendra glisser au-dessus de la pice au-dessous du plan. Chacune des deux

parties du systme divis tendra glisser par rapport l'autre au niveau du plan ab. Chaque

partie sera donc soumise une action de cisaillement; les contraintes rsultantes de ces actions

s'appellent les contraintes de cisaillement. Les contraintes de cisaillement agissent

tangentiellement par rapport la surface.

Fig. 3.1- Contraintes de cisaillement provoques par des forces de cisaillement.

Les contraintes de cisaillement surgissent dans beaucoup d'autres problmes pratiques. La figure

3.2 montre deux plaques lies par un rivet simple, soumise une force de traction F. Nous

imaginons que le rivet est divis en deux parties au niveau du plan ab; alors la moiti suprieure

du rivet tend glisser au-dessus de la moiti infrieure, et une contrainte de cisaillement est

tablie dans le plan ab (Fig. 3.3).

Fig. 3.2- Contraintes de cisaillement dans un rivet;

Force de cisaillement transmise au rivet travers le plan ab.

Fig. 3.3- Section du rivet soumise une contrainte de cisaillement.

a b

F

F

F

F Bloc

Plaque

a b



3.2. Dfinition

Il y a cisaillement lorsqu'une pice est sollicite par deux forces gales, de mme droite d'action

mais de sens contraires qui tendent faire glisser l'une sur l'autre des deux parties de la pice

(exemple: action d'une paire de ciseaux sur une feuille de papier, action d'un poinon sur une

tle, ...).

3.3. Contrainte de cisaillement

On considre une tle de section S encastre dans un massif rigide fixe (Fig. 3.4). Le long de ce

massif, on applique verticalement la lame d'une cisaille avec une force T appele effort

tranchant. Le principe de l'action et de la raction fait que le massif exerce une force de raction

gale et oppose T. La tle est alors soumise au cisaillement. Si la cisaille est suffisamment

tranchante, elle fait glisser les sections immdiatement voisines l'une sur l'autre au niveau de

l'encastrement. En supposant que toutes les fibres de la tle supportent la mme tension , celle-

ci vaut:

S

T (1)

est appele contrainte de cisaillement: c'est l'intensit de l'effort tranchant par unit de surface.

Elle se mesure en Newton/m (ou Pascal).

Fig. 3.4- Systme soumis un effort tranchant.

Exemple 3.1

Calculer la contrainte moyenne sur le plan ab sur la figure ci-dessous.

T T

a

a

1 2

C

D




La contrainte moyenne sur le plan ab est:

S

cosP

S

T

D'o pour , par exemple, gale 45 on a:

2cm/kN047,030x202

240

3.4. Dformation de cisaillement

On considre la section cisaille dans la figure 3.4 et on la montre par la figure 3.5. La section -

C'D'- glisse par rapport la section -CD-. La dviation tgdx

'C'C 1

Fig. 3.5- Dformation de cisaillement.

a

a

C C'

C1'

D D'

D1'

L

L+L

T

C C

D C1 D

D1

dx

20 cm

30 cm

P=40 kN a

b



Ou bien

atg

(2)

a245sin

a

45cos

L

L

D'o

2

(3)

s'appelle "distorsion" ou "dformation de cisaillement".

3.5. Loi de HOOKE

Pour beaucoup de matriaux, la dformation de cisaillement est linairement proportionnelle la

contrainte de cisaillement dans certaines limites (glissement faible). Cette dpendance linaire

est semblable au cas de la traction et de la compression directe. Dans les limites de la

proportionnalit, on a

G (4)

Le coefficient de proportionnalit G est appel module d'lasticit transversale ou de

cisaillement et est semblable au module de Young E, pour la traction et la compression. Pour la

plupart des matriaux E est environ 2.5 fois plus grand que G. Pour les mtaux G 0.4 E.

La relation (a) s'appelle la loi de HOOKE pour le cisaillement.

Exemple 3.2

La contrainte de cisaillement dans un corps mtallique est gale 1050 kg/cm2. Si le module de

cisaillement vaut 8400 kN/cm2, dterminer la dformation de cisaillement.


De l'quation (4), on a:

G

225,0rad00125,0840000

1050



3.6. Condition de rsistance au cisaillement

Dans certains cas, il peut tre important qu'une pice sollicite en cisaillement doive rsister en

toute scurit celui-ci (exemple: assemblage par rivets).

Pour qu'une pice sollicite en cisaillement rsiste en toute scurit, il faut que la contrainte de

cisaillement ne dpasse pas une valeur critique [] appele contrainte admissible en

cisaillement:

(5)

[] est une caractristique du matriau, elle ne dpend pas des dimensions de la pice sollicite

en cisaillement. Elle reprsente gnralement (ventuellement un coefficient de scurit prs)

la limite d'lasticit transversale de la pice, c'est--dire la contrainte au-del de laquelle la pice

ne reprend pas sa forme initiale aprs annulation de l'application de l'effort tranchant.

n

e (6)

O e est la limite lastique en cisaillement; n est le coefficient de scurit.

Limite lastique

Pour les aciers la limite lastique en cisaillement e est gale la moiti de la limite lastique en

traction et compression e; e = ec = et = 2e.

3.7. Applications

En pratique, un bon nombre d'lments de structure travaille principalement sous cisaillement.

Le cisaillement peut tre utilis dans le dimensionnement de pices travaillant en cisaillement.

Les exemples les plus simples sont les assemblages par boulons ou par rivets, ou encore les

assemblages par soudure.

3.7.1. Assemblage par rivets

Les assemblages par rivets servent aux pices d'paisseur faible ou moyenne, comme les tles et

les profils, en charpente et en chaudronnerie. Ils ncessitent un perage pralable des pices

assembler, ainsi que l'emploi de riveteuses, machines qui servent craser l'extrmit du rivet

oppose la tte, afin de raliser l'assemblage.

Si le systme assembl se trouve sollicit en traction, l'effort de traction va tre transmis au rivet

qui va travailler en cisaillement pur. Nous traiterons ci-dessous des exemples d'assemblage par

rivets.



Exemple 3.3

On veut assembler, l'aide de rivets dont le diamtre de chacun vaut 20 mm et d'un couvre joint,

deux tles mtalliques de 140 mm de largeur et 10 mm d'paisseur. L'ensemble est soumis un

effort de traction F = 10 000 daN, comme montr par la figure ci-dessous.

1- Dterminer le nombre de rivets ncessaires cet assemblage si la contrainte admissible de

cisaillement [], pour chaque rivet, est gale la 90 MPa.

2- Vrifier la rsistance du systme si la contrainte admissible pour chacune des deux tles est

12 daN/mm2.


1- Nous avons ici un seul plan de cisaillement. La force de cisaillement (effort tranchant)

applique la section cisaille, au niveau du plan de cisaillement est

n

FT1

O n est le nombre de rivets.

S'il y a un seul rivet, alors

FT

La contrainte de cisaillement sur la section cisaille (revenant chaque rivet) est

F

F

Plan de

cisaillement F

T=F

T=F

F

10mm

280 mm

140 mm

F F

10mm

F F



4

dA;

A

T 2

1

1

11

La condition de rsistance tant

1

Alors, on crit

9

420

n10000

21

5,3n

Le nombre de rivets ncessaire cet assemblage est donc

4n

Les dispositions pratiques des rivets se fait selon les conditions suivantes

d3

' au voisinage de 1,5d

d5,2d5,1 "

Selon ces conditions, le nombre de rivets obtenu est dispos sur la figure ci-dessous.

' '

"

"



1- Pour vrifier la rsistance du systme, on doit vrifier la rsistance de chacune des deux tles

au niveau de la section dangereuse qui passe naturellement par les axes des rivets, comme

montre co-dessous, avec b = 14 mm, t = 10 mm, d = 20 mm.

)d2btA;FN;A

N11

11

11

2

11 mm/daN1020x214010

10000

La condition de rsistance pour la traction

11

est vrifie, alors le systme rsiste l'effort de traction appliqu.

10mm 10mm

280 mm

140mm

F F

F

1

1

Section

1 - 1 2

2

Section

2 - 2



Exemple 3.4

Trois tles en acier sont assembles entre elles par deux rivets de diamtre chacun gale 17

mm.

1- Vrifier la rsistance des rivets si la contrainte admissible de cisaillement [] = 900 kg/cm2.

2- Dterminer l'paisseur minimale de chacune des deux tles si []= 1200 kg/cm2.


1- Nous avons ici deux plans de cisaillement. La force de cisaillement (effort tranchant)

applique la section cisaille, au niveau d'un seul plan de cisaillement est

2

FT1

S'il y a n est rivets.

P= 4 tonnes

P/2

P/2

2 cm e

e

P/2 P L

F

F/2

Plan de

cisaillement

Plan de

cisaillement

F/2

F/2 T=F/2

F

T=F/2

F/2



2

nF

T1

La contrainte de cisaillement sur la section cisaille (revenant chaque rivet) est

4

dA;

A

n2F 2

1

1

1

Avec la condition de rsistance

1

on crit

21dn

F2

2

2

3

1 cm/kg6,440172

10.4x2

221 cm/kg900cm/kg6,440

Alors la rsistance des rivets est vrifie.

2- La contrainte normale dans une des deux tles la section dangereuse est

7,1x25e2/F

A

N

11

11

1200e.6,1

10.2 3

11

cm04,1e

Donc l'paisseur minimale que devrait avoir chacune de deux tles est au moins gale 10,4

mm.



3.7.2. Assemblage par boulons

Les boulons sont composs d'une vis et d'un crou (Fig. 3.6). Ils sont utiliss lorsque l'on dsire

dmonter ultrieurement les pices ou que les autres types d'assemblages mcaniques ne

correspondent pas aux performances souhaites.

Dans le cas de l'assemblage par boulons ordinaires, on empche le dplacement relatif des

lments de l'assemblage en amenant ces lments au contact du corps de la vis. C'est alors la

rsistance au cisaillement de la vis qui assure la tenue de l'assemblage (Fig. 3.7).

Fig. 3.6- Schmatisation d'un boulon.

Fig. 3.7- Boulons opposs la translation des 2 profils.

Le calcul au cisaillement se fait de la mme manire que pour les rivets. De plus, lors de

l'assemblage, le boulon doit vrifier:

1- Le serrage du boulon de sorte que le diamtre de la vis soit gal celui du trou qui lui

est destin. Les trous sont, en gnral, percs un diamtre suprieur de 1 2 mm

environ du diamtre nominal de la vis (Fig. 3.6).



2- La rsistance au glissement. En effet, lors du serrage, la vis du boulon sera soumise

un effort de traction N (Fig. 3.8). Cet effort provoquera un cisaillement dans la surface:

h.d.Ac

La condition de rsistance au cisaillement sera donc:

cA

N

La condition de rsistance la traction et par consquent:

4

dA;

A

N 2

t

t

Fig. 3.8- Tte du boulon soumise au cisaillement.

d

h

N



Exercices

Exercice N1

Une barre en acier dpaisseur e = 10 mm est relie au reste dune structure par lintermdiaire

dun gousset, galement en acier, de contrainte admissible []=14 kN/cm2. Les deux pices sont

assembles entre elles laide dun nombre n de rivets de diamtres chacun gal 17 mm et de

contrainte admissible []=8 kN/cm2 rpartis comme le montre la figure ci-dessous.

1- Quel est le nombre de rivets ncessaire cet assemblage?

2- La barre en acier supportera-t-elle la charge applique ? Justifier votre rponse.

Exercice N2

Deux pices mtalliques dont l'paisseur de chacune est gale 1 cm, sont assembles l'aide de

4 rivets dont le diamtre de chacun vaut 16 mm et de deux couvres joints d'paisseur gale

0,6 cm, comme le montre la figure ci-dessous. La contrainte admissible dans les rivets est de 75

MN/m2.

1- Dterminer l'effort F (kN) que supporterait l'ensemble des rivets.

2- Dimensionner les barres si la contrainte admissible du matriau les constituant est de 16

daN/mm2.

1 cm

0,6cm 400 mm

L

F F

P = 70 kN

P P

P

1

1

8c

m

e



Exercice N3

Pour lassemblage propos, trois boulons ajusts en acier, d=12mm, la contrainte admissible au

cisaillement des boulons est gale 30 daN.mm-2. Dterminer leffort admissible F.

Exercice N4

Les plats 1 et 2 sont colls comme lindique la figure. La rsistance la rupture en traction de la

colle est de 235 daN.cm-2

, sa rsistance au cisaillement est de 175 daN.cm-2

. La colle tant

uniformment rpartie sur la surface rectangulaire (30 x 70), dterminer leffort de traction

admissible F par lassemblage.

Exercice N5

Un crochet est fi dans un plafond de hauteur h et supporte une charge verticale F de 200 daN.

a) Si la contrainte admissible au cisaillement du matriau du plafond est de 1 MPa, dterminer h.

b) Si la contrainte admissible en traction du crochet est de 100 MPa, dterminer son diamtre d.

Chapitre 4

Caractristiques Gomtriques des Sections

Planes

Chapitre 4: Caractristiques gomtriques des sections planes


4.1. Introduction

Pour une sollicitation de traction ou compression simple, seule la donne de l'aire de la section

droite est ncessaire pour tudier ou vrifier la rsistance dune section dune poutre par exemple. Pour toutes les autres sollicitations, la forme et les dimensions de la section droite de la poutre

jouent un rle prpondrant sur le comportement aux diffrentes sollicitations de torsion ou de

flexion. Nous allons nous intresser dans le prsent chapitre aux caractristiques suivantes :

- Aire dune section

- Moment statique par rapport une droite (ou un axe)

- Centre de gravit

- Moment quadratique d'une section par rapport une droite (ou un axe)

- Moment de rsistance

4.2. Aire dune section

Par dfinition laire A dune section est dfinie par lintgrale:

A

dAA (4.1)

Exemple 4.1

Calculer laire dun triangle.

Solution 4.1

Soit la surface triangulaire plane montre par la figure ci-dessous.

Fig. E4.1

dA

dx

h-

(h/b

)x h

x

b



Considrons une surface lmentaire telle que:

dxb

x1hdA

2

bhdx

b

x1hdAA

b

0A

Remarque

Si la section est compose, nous la dcomposons en sections usuelles et laire est calcule comme:

n

1iiAA

Exemple 4.2

Calculer laire de la section droite de la poutre montre par la figure ci-dessous. On donne b1 = 300 mm, b2 = 150 mm, tw = 10 mm, tf1 = 20mm, tf2 = 15 mm, hw = 1000 mm.

Fig. E4.2

Solution 4.2

A = b1 x tf1 + b2 x tf2 + tw x hw

A = 300 x 20 + 150 x 15 + 10 x 1000 = 18250 mm2



4.3. Moment statique

Le moment statique S dune section par rapport un axe ox ou oy (Fig. 4.1) est donn par lune des expressions suivantes:

A

X ydAS (4.2)

A

Y xdAS (4.3)

Fig. 4.1- Section plane.

Si on procde des translations paralllement aux axes ox et oy, les moments statiques changent.

Soit la section montre par la figure (4.2) telle que SX, SY, A sont connus et on se propose de

dterminer SX et SY.

Fig. 4.2- Translation des axes.

X

Y

O

dA (dS)

r

y

x

x

y

O

dA

O x

y

a

b

Y Y

X

X



De la figure (4.2), on a:

x = x a ; y = y b

Par dfinition, on a:

AA

'X dAbydA'yS

AA

'Y dAaxdA'XS

do:

SX = SX b.A

(4.4)

SY = SY a.A (4.5)

4.4. Centre de gravit

On peut choisir a et b de sorte que SX et SY soient nuls, c--d :

a = SY /A ; b = SX /A

- laxe pour lequel le moment statique est nul sappelle axe central

- le point dintersection de deux axes centraux sappelle centre de gravit dune section.

Ainsi, les coordonnes du centre de gravit dune section scrivent :

xG = SY /A ; yG = SX /A (4.6)

Dfinition

Le centre de gravit G dune section est le point tel que le moment statique de la section par rapport nimporte quel axe passant par ce point est nul.

On peut dire que le moment statique dune section est gal au produit de laire de la section par la distance entre son centre de gravit G et laxe.

Les figures (4.3) et (4.4) montrent des exemples de positions de centres de gravit.

Fig. 4.3- Aire rectangulaire. Fig. 4.4- Aire triangulaire.

G G



Remarque

Pour une section compose, les coordonnes du centre de gravit sont donnes par les

expressions:

Sx = yGi.Ai ; i = 1, n

(4.7)

Sy = xGi.Ai ; i = 1, n (4.8)

Exemple 4.3

Dterminer les coordonnes du centre de gravit de la section triangulaire ci-dessous.

Fig. E4.3

Solution4.3

b

0

b

0

A

AG

xdxb

h

xdxb

hx

dA

xdA

X

Do

b3

2X G

b

0

b

0

A

AG

xdxb

h

xdxb

hx

b

h

2

1

dA

ydA

Y

x

y

x dx

b

h



Do

h3

1YG

Proprits

Si la section possde un axe de symtrie, le centre de gravit G est situ sur cet axe. A dfaut

daxes de symtrie on procde :

- Choisir un rfrenciel (O,x,y)

- Calculer le moment statique S de la section par rapport aux axes du rfrentiel

- Calculer laire totale de la section

- Utiliser la proprit du moment statique SY = XG .A , SX = YG .A

Exemple 4.4

Calculer les coordonnes du centre de gravit de la section plane suivante.

Fig. E4.4

Solution4.4

SX= 2,5(5x10)-4(2x3)-1,5(3x2) = 125-24-9 = 92cm3

SY=5(5x10)-1,5(2x3)-9(3x2) = 250-9-54 = 187cm3

XG = SY / A = 187/38 = 4,9cm

YG = SX / A = 92/38 = 2,4cm

8cm

3cm 7cm

3cm

2cm

2cm X

Y



4.5. Moment dinertie

4.5.1. Dfinition

On dfinit le moment dinertie ou moment quadratique dune section comme le degr de rsistance de cette section aux efforts extrieurs appliqus, en tenant compte de la forme de cette

section.

Par dfinition, les intgrales:

A

2x dAyI (4.9)

A

2y dAxI (4.10)

Sappellent moments dinertie de la section A par rapport aux axes ox et oy, respectivement, conformment la figure 4.1. Ces expressions sont dduites de la dfinition suivante.

Le moment dinertie dune surface infiniment petite par rapport un axe loign de cette surface est gal au produit de son aire par le carr de la distance laxe. Il est toujours positif et sexprime en m4(cm4, mm4).

Fig. 4.5 Moment quadratique dune section.

Lintgrale:

A

xy xydAI (4.11)

Sappelle moment centrifuge ou produit dinertie de la section A par rapport au systme xoy.

Iaa = dA. d2

a

dA

a

d



Remarque

Les moments quadratiques Ix et Iy sont toujours positifs, tandis que le moment produit Ixy peut

tre positif, ngatif ou nul.

Exemple 4.5

Calculer les moments quadratiques par rapport aux axes ox et oy et le moment produit pour le rectangle montr par la figure suivante.

Fig. E4.5

Solution 4.5

A

2

'x dA'yI

3

bh'dy.b.'yI

3H

0

2

'x

De la mme manire

3

hbdA'xI

3

A

2

'y

et

A

2

'y'x dA'y'.xI

H

0

B

0

22

'y'x4

hb'dy'.dx'.y'.xI

b

dA

h

dy

y G X

Y

O X

Y



4.5.2. Moment dinertie polaire

Le moment dinertie polaire de la section montre par la figure 4.1 est donn par la relation:

A

2P dArI (4.12)

Avec

r2 = x

2 + y

2

do

yxP III (4.13)

Le moment dinertie polaire est toujours positif et nest jamais nul.

Thorme

Le moment dinertie polaire dune section par rapport tout point de cette section est gal la somme des moments dinertie par rapport deux axes perpendiculaires passant par ce point.

Exemple 4.6

Pour le quart de cercle montr par la figure (E4.6-a), calculer le moment quadratique polaire IO.

Fig. E4.6-a

Fig. E4.6-b

Solution4.6

De la dfinition du moment dinertie polaire et la figure (E4.6-b) on crit:

A

2

A

2

O rdrdrdArI

x O

y

x O

y

dA

d

r

dr

R



8

RddrrI

42

0

R

0

3

O

ou en terme du diamtre

128

DI

4

O

4.6. Variations des moments dinertie

4.6.1. Translation des axes

Soit une section A, ses moments dinertie dans le systme xoy: Ix, Iy, Ixy sont connus. On se propose de calculer les moments dinertie de la section A dans le systme xoy en procdant aux translations des axes ox et oy conformment la figure 4.6.

x = x + a ; y = y + b

A

2

AA

2

A

2

A

2'x

dAbydAb2dAy

dAbydA'yI

Do

AbbS2II 2xx'x (4.14)

On suit le mme raisonnement pour Iy et Ixy

Si le point O concide avec le centre de gravit G, les moments statiques Sx et Sy deviennent nuls

et on a:

AbII 2x'x (4.15)

AaII 2y'y (4.16)

abAII xy'y'x (4.17)



Fig. 4.6 Moment dinertie dune section et translation des axes.

Thorme de Huygens

Le moment dinertie dune section par rapport un axe quelconque est gal au moment dinertie de la section par rapport laxe passant par son centre de gravit et parallle augment du produit de laire de la section par le carr de la distance entre les deux axes.

Fig. 4.7- Schmatisation du thorme de Huygens.

AdII 2G (4.18)

x

y

O

dA

O x

y

a

b

Y Y

X

X

A

d

G

G



Exemple 4.7

Dterminer les moments dinertie par rapport au systme xOy pour le rectangle montr par la figure ci-dessous.

Fig. E4.7

Solution 4.7

De la relation de Huygens on crit:

AdII 2'xx

12

bhbh

2

h

3

bh 323

et

AdII 2'yy

12

hbbh

2

b

3

hb 323

De mme

abAII 'y'xxy

0bh2

h

2

b

4

hb 22

Car les axes x et y sont centraux.

4.6.2. Rotation des axes

Soit une section A, ses moments dinertie dans le systme xoy Ix, Iy, Ixy sont connus. On se

propose de calculer les moments dinertie de la section A dans le systme uov qui fait un angle avec le systme xoy (Fig. 4.8).

b

h

h/2

G X

Y

O X

Y



Fig. 4.8- Moment dinertie dune section et rotation des axes.

Daprs la figure (4.8)

sinycosxu

cosysinxv

En utilisant la dfinition du moment dinertite, on crit:

A

2

u dAvI

AA

22

A

22 xydAcossin2dAxsindAycos

xyy

2

x

2 I.cossin2I.sinI.cos

En utilisant les relations trigonomtriques:

2

2cos1cos;

2

2cos1sin 22

lexpression ci-dessus devient:

xyyxu I2sin2

1I

2

2cos1I

2

2cos1I

Ou bien,

X

Y

V

U

x

y

x

u v

dA

O



2sinI2cosII2

1II

2

1I xyyxyxu (4.19)

En suivant le mme raisonnement on obtient:

2sinI2cosII2

1II

2

1I xyyxyxv (4.20)

2cosI2sinII2

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