Poly Tec 105

109
Ministère De L’Enseignement supérieur et de la recherche scientifique Centre Universitaire de Bechar Cours d’hydraulique générale Réalisé par Mr ABDELAZIZ Redha Année Universitaire 2005-2006

Transcript of Poly Tec 105

Page 1: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Ministère De L’Enseignement supérieur et de la recherche scientifique Centre Universitaire de Bechar

Cours d’hydraulique générale

Réalisé par Mr ABDELAZIZ Redha

Année Universitaire 2005-2006

Page 2: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Avant propos

Ce cours est destiné aux étudiants de graduation spécialisés en génie civil du centre

universitaire de Bechar et qui a pour objectif de donner un aspect général sur l’hydraulique

qui est une science qui étudie tous les phénomènes et lois qui s’intéresse à l’eau.

L’hydraulique est une branche de la mécanique des fluides dont lequel la majorité des lois et

équations rencontrées s’inspirent de cette discipline.

Généralement on troue l’hydraulique dans plusieurs domaines de l’ingénieur telle que :

L’alimentation en eau potable, l’assainissement, l’irrigation, le drainage, le traitement des

eaux, l’épuration des eaux et les ouvrages hydrauliques…etc.

L’importance de l’étude de l’hydraulique devient de plus en plus grande à cause des

problèmes rencontrés dans la pratique comme : le coups de bélier dans les conduites, les

ondes de crue, les inondations, la remonté et pollution des nappes souterraines…etc.

Cet ouvrage est composé de dix chapitres et qui donne une vision générale sur l’hydraulique

et qui touche la majorité des points critiques que l’ingénieur à besoin.

Page 3: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Table de matière

Introduction générale

Introduction 1 Historique de l’hydraulique 1

Chapitre I : Caractéristique physique et propriétés des fluides I-1. Définition d’un fluide 3 I-2. Masse volumique 3 I-3. Poids spécifique 3 I-4. Compressibilité volumétrique des liquides 4 I-5. Module d’élasticité 4 I-6. Viscosité 4 I-7. Viscosité cinématique 5 I-8. Tension superficielle 5 Exercices 5

Chapitre II : Hydrostatique II-1. Introduction 7 II-2. Pression en un point 7 II-3. Propriétés de la pression hydrostatique 7 II-4. Equation fondamentale de l’hydrostatique 8 II-5. Surface d’égale pression 11 II-6. Différents types de pression 12 II-7. Appareils de mesure de la pression 13 II-8. Loi des vases communicants 13 II-9. Représentation graphique de la pression 14 II-10. Forces de pressions sur les parois 14 II-11. Flottement des corps dans un liquide 19 II-12. Caractéristiques d’un corps flottant 20 II-13. Stabilité des corps flottants 21 Exercices 22

Chapitre III : Cinématique des liquides III-1. Introduction 26 III-2. Mouvement d’un liquide 26 III-3. Equation de continuité 28 III-4. Fonction de courant 30 III-5. Interprétation physique d’une fonction de courant 30 III-6. Ecoulement irrotationnel 31 III-7. Potentiel des vitesses 32 III-8. Ecoulement potentiel plan 33 Exercices 34

Page 4: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Chapitre IV : Hydrodynamique des liquides

IV-1. Introduction 36 IV-2. Hydrodynamique des liquides parfaits 36 IV-3. Hydrodynamique des liquides réels 40 Exercices 45

Chapitre V : Les régimes d’écoulement V-1. Introduction 48 V-2. Expérience de Reynolds 48 V-3. Répartition des vitesses en écoulement laminaire 49 V-4. Répartition des vitesses en écoulement turbulent 50 Exercices 51

Chapitre VI : Le courant liquide VI-1. Introduction 52 VI-2. Quantité de mouvement 52 VI-3. Energie cinétique 53 VI-4. Couche limite 54 VI-5. Quantité de mouvement dans le cas d’un courant liquide 57 VI-6. Perte de charge totale 58 Exercices 60

Chapitre VII : Ecoulement par les orifices, ajutages et déversoirs VII-1. Introduction 62 VII-2. Orifice en mince paroi non noyé 63 VII-3. Orifice en mince paroi noyé 64 VII-4. Ecoulement par les ajutages 65 VII-5. Ecoulement en charge variable 67 VII-6. Ecoulement par les déversoirs 69 Exercices 71

Chapitre VIII : Les réseaux de distribution VIII-1. Réseaux maillés 73 VIII-2. Réseaux ramifiés 76 Exercices 76

Chapitre IX : Ecoulement à surface libre IX-1. Introduction 79 IX-2. Régime uniforme 79 IX-3. Régime non uniforme 81 Exercices 92

Page 5: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Chapitre X : Ressaut hydraulique

X-1. Introduction 95 X-2. Types de ressaut 95 X-3. Equation fondamentale du ressaut parfait 96 X-4. Fonction du ressaut hydraulique 98 X-5. Détermination des profondeurs conjuguées du ressaut 99 X-6. Pertes de charges dues au ressaut 100 X-7. Longueur du ressaut 101 Exercices 101

Page 6: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

INTRODUCTION A L’HYDRAULIQUE

Introduction Aussi ancien que la civilisation, humaines, l’hydraulique est une science qui commande et dirige toute utilisation de l’eau. L’hydraulique traite les lois de l’équilibre et du mouvement des liquides et établit des modes d’applications de ces lois à la résolution des problèmes pratiques. Cette activité est utilisée dans de nombreux domaines, parmi lesquels on cite : Les aménagements hydroélectriques, l’hydraulique fluvial, l’hydraulique maritime, l’hydraulique urbaine, l’hydraulique agricole, l’hydraulique souterraine et les commandes hydraulique. Historique de l’hydraulique Dés l’antiquité et 4000 ans avant l’ère chrétienne, de nombreux témoignages de l’existence d’ouvrage hydraulique notamment : En Egypte o⎤ on été découverts des ouvrages d’irrigation et des canaux d’assainissement de la vallée du nil. En Mésopotamie, la région arrosé par le tigre et l’Euphrate se prêtait également à l’utilisation des eaux pour l’irrigation. En Inde et au Pakistan, des fouilles on révélée l’existence de bains alimentés par des tuyaux et se déversant dans des canalisations souterraines. En Iran et au moyen orient, des galeries souterraines de captage des nappes de faible profondeur pour les besoins d’irrigation. En Afrique du nord, les foggaras des oasis saharienne. En définitive l’hydraulique de l’antiquité reste un art sans aucune Base scientifique, en dehors du principe d’approximations successives vers le but cherché. Le développement ultérieur de l’hydraulique repose essentiellement sur l’amélioration des outils mathématiques et sur les notions de la mécanique. On considère que le premier ouvrage scientifique consacré aux problèmes de l’hydraulique et le traité des corps flottants par Archimède (287-212 av. J-C). Léonard de Vinci , savant universellement connus (1452-1519) écrivit un ouvrage intitulé ‘’ Sur le mouvement et la mesure de l’eau ‘’. G.Galillée (1564-1642) examina les lois principales sur la chute des corps. Evangélista Torricelli (1508-1647) élève de G.Galillée, applique les lois du maître au mouvement des liquides. Blaise Pascal (1623-1662) apporta ainsi une très importante contribution à l’hydraulique en donnant la forme définitive de l’hydrostatique. Newton (1642-1727), formula en 1668 l’hypothèse sur le frottement interne dans le liquide. Cependant l’apparition de l’hydraulique en tant que science avec une base théorique solide n’est devenu possible qu’après les ouvrages de : Daniel Bernoulli (1700-1782), qui publia en 1738 son ouvrage ‘’Hydrodynamique’’ dans lequel il exposa une équation appelée l’équation de Bernoulli. Léonard Euler (1707-1783), qui fonda définitivement la science de l’hydrodynamique et les équations qui régissent l’écoulement d’un fluide non visqueux. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) qui développa largement les travaux d’Euler.

Page 7: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Pierre-Simon Laplace (1749-1827) contemporain de Lagrange développa surtout la mécanique céleste. Ces travaux donnant une poussée au développement rapide de l’hydraulique. Il faut souligner les mérites des savants : Antoine Chézy (1718-1798) qui étudia le mouvement uniforme des liquides. Adhémar Barré de Saint Venant (1797-1886) qui étudia l’écoulement non permanent. Henri-Emile Bazin (1829-1917) qui étudia le mouvement uniforme et l’écoulement par les déversoirs. Osborne Reynolds (1842-1912) dont l’apport dans l’apport dans l’étude du mouvement laminaire et turbulent. Cette science maintenant étant ses frontières au delà de son domaine traditionnel. La recherche hydraulique se développe très largement dans les laboratoires industriels et universitaires. Aux outils traditionnels tels que les essais sur modèles réduits, sont venues s’ajouter les techniques de simulation numérique sur ordinateur.

Page 8: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE I

CARACTERISTIQUE PHYSIQUES ET PROPRIETE DES FLUIDES

I-1. Définition d’un fluide Un fluide peut être considéré comme étant formé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres. Un fluide est donc un milieu matériel continu, déformable, sans rigidité et qui peut s'écouler. On distingue les fluides aqueux comme l’eau, le pétrole, l’essence, le mercure, etc. et les fluides gazeux comme les gaz. Les fluides aqueux n’occupent pas tout l’espace d’une capacité comme le fond les gaz. Ils peuvent avoir une surface libre en contact avec un milieu gazeux (le plus souvent c’est l’atmosphère). Ils sont peu compressible et sont volume change peu à la température et de la pression, alors que le volume des fluides gazeux change d’une façon notable en fonction de la température et de la pression. Le fluide aqueux est mobile, il est caractérisé par une fluidité et adopte le forme du récipient ou il est versé. Dans ce cours, nous allons examiner seulement les fluides aqueux, en les appelant simplement liquides et en premier chef l’eau. I-2. La masse volumique ρ C’est le rapport de la masse du liquide (M) à son volume (W).

WM

Le liquide est considéré comme homogène si sa masse volumique est égales en tous les points. Les différents liquides ont les différentes valeurs de la masse volumique. La masse volumique de l’eau ordinaire pure ne diffère pratiquement pas de celle de l’eau distillée et elle est prise pour les calculs hydrauliques égale à 1000 . 3/ mkg Au chauffage, la masse volumique de l’eau dont la valeur maximale est observée à 4°c diminue d’une façon insignifiante. Au chauffage de l’eau jusqu’à 30°c, ρ diminue de 0,47 %, c’est pourquoi dans les calculs pratiques la masse volumique de l’eau peut être considérée constante. I-3. Le poids spécifique γ On appelle poids spécifique d’un liquide homogène le rapport de la force due à la masse du liquide à son volume :

WG

le poids spécifique et la masse volumique sont liés de la façon suivante :

Page 9: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

gWgMWG .. ργγ =⇒==

Dans ces expressions, g est l’accélération de la pesanteur. Le poids spécifique de l’eau change peu en fonction de la température, comme d’ailleurs la masse volumique, et dans les calculs on le prend constant. I-4. La compressibilité volumétrique du liquide CβElle est égal à la variation relative du volume survenue à la variation de la pression d’une unité autrement dit :

WdW

dpdpWdW

C .1−=−=β

ou W : est le volume initial du liquide à la pression atmosphérique. dW : est la diminution du volume du liquide à l’augmentation de la pression de dp. I-4. Le module d’élasticité K C’est la grandeur inverse du coefficient de compressibilité volumétrique. I-5. La viscosité Les liquides ont les propriétés de résister aux efforts tangentiels qui tendent à faire déplacer les couches du liquide les unes par rapport aux autres. Cette propriété s’appelle viscosité. La viscosité se manifeste par le fait qu’au déplacement des couches du liquide voisines naissent des forces de frottement interne entre les couches. Par suite du frottement, la couche la plus rapide entraîne la couche de liquide plus lente et vice versa. Newton proposa une hypothèse conformément à laquelle la force de frottement interne T dans un liquide ne dépend pas de la pression mais proportionnelle à la surface de contact des couches, à la vitesse relative du mouvement des couches et des fonction de la nature du liquide. La véracité de l’hypothèse de Newton fut démonté par N.Pétrov, qui avait proposé la formule suivante pour la contrainte tangentielle lors d’un écoulement laminaire :

dyduST .µτ +==

ou τ : c’est la contrainte tangentielle. T : c’est la force de frottement interne. S : c’est la surface de contact de deux couches voisines. µ : c’est la viscosité dynamique du liquide. du : c’est la différence de vitesses de deux couches en contact. dy : c’est la distance entre ces deux couches suivant la normale par rapport au sens de l’écoulement.

dydu : c’est le gradient de vitesse.

Page 10: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

I-6. La viscosité cinématique ν C’est le rapport de la viscosité dynamique à la masse volumique du liquide :

ρµν =

La viscosité cinématique de l’eau à la pression atmosphérique peut être calculée à l’aide de la formule empirique de Poiseuille (en stokes) :

2.000221,0.0337,010178,0

tt ++=ν

ou t :c’est la température en °C. I-7. La tension superficielle Les particules du liquides se trouvant à sa surface libre en contact avec un milieu gazeux sont soumises à l’action des forces d’attraction. C’est pourquoi toute la surface libre du liquide se trouve en état d’une tension superficielle uniforme qui dépend de la températures et en diminuant avec son accroissement. Exercice N° 01 Un fluide de viscosité dynamique égale à 4.88 x et une densité de 0.913, se trouve entre deux plaques superposées dont la plaque inférieure est fixe et la plaque supérieure se trouve en mouvement avec une vitesse de 1.125 m/s (Fig.1-1).

310− 2/. mskg

- Calculer le poids spécifique de ce liquide ? - Calculer le gradient de vitesse dans les A et B et la contrainte tangentielle ?

Fig.1-1

75 mm V

A

B

V=1.125 m/sY

Solution

- La densité eaudliqeauliqd . γγγ

γ =⇒=

=liqγ 0.913 x 9810 = 8956.53 3/mkg

Page 11: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

- Puisque la variation des vitesses est linéaire donc le gradient des vitesses dv/dy est toujours constant et est égale a : v/y = 1.125/0.075 = 15 . 1−s-La contrainte tangentielle

dydv/. µτ = =4.88 x x15=0.0732 310− 2/mkg Exercice N° 02 Un cylindre de 12 cm de rayon tourne à l’intérieur d’un cylindre fixe de même axe et de 12.6 cm de rayon. La longueur des deux cylindre est de 30 cm (Fig.1-2). - Déterminer la viscosité du liquide qui remplit l’espace entre les deux cylindres s’il est nécessaire d’appliquer un couple de 9.0 cm.kg pour maintenir la vitesse angulaire à 60 tr/min. Solution : -La vitesse tangentielle du cylindre intérieur égale à r.w = 0.12 x 2 x π =0.755 m/s. puisque la distance entre les deux cylindres est petite, on peut admettre que le gradient des vitesses est rectiligne, donc : dv/dy = 0.755/(0.126-0.12) =125.83 1−set d’une autre part en a le couple appliqué = le couple résistant 0.09 = Ls..τ 0.09 = 123,0).30,0..2.( rmoyπτ

2/ 15,3 mkg=τ et on aura la viscosité dynamique :

. τµ = dy/dv = 0.025 2/. mskg Exercice N° 3 Un réservoir cylindrique vertical d’une hauteur h = 10 m , et d’un diamètre d = 3 m. Déterminer la masse du mazoute de masse volumique qui peut être déverser dans ce réservoir a une température t = 15 °, si la température augmente jusqu'à 40°, le coefficient thermique du liquide

30 / 920 mkg=ρ

01/c 0.0008 =tβ et l’élargissement des paroi est négligeable.

Page 12: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE II HYDROSTATIQUE

II-1. Introduction L’hydrostatique c’est l’étude de l’équilibre du liquide et son interaction avec les corps solides. On notera que dans ce cas il n’y a pas de manifestation de la viscosité. II-2. Pression en un point Examinons un corps liquide de volume limité au repos, (il n’existe pas de forces tangentielles) et divisons-le en deux parties par un plan. Rejetons une partie et remplaçons son action par la force F (Fig. II-1).

S

F Fig. II-1 La pression moyenne exercée par la force F sur une unité de surface S est définie par l’expression suivante :

moyp

moyp = SF (II–1)

La limite de ce rapport à la diminution de la surface S jusqu’à zéro exprime la pression au point donné :

SFp lim = (II–2)

S 0 II-3. Propriétés de la pression hydrostatique

a) La pression est toujours dirigée suivant la normale intérieure vers la surface d’action. b) Dans un liquide au repos, la pression est indépendante de la direction. Pour démontrer

cette propriété, on considère un petit élément du liquide en forme de tétraèdre élémentaire (Fig.II-2).

dz

dy dx

Fz

Fn

Fy

Fx

C

B

A x

z

y

Fig. II-2

Page 13: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Le tétraèdre est soumis à l’action des forces superficielles t . zyx FFF , , e nFEn plus des ces forces il y’a aussi l’action des forces de masse ( pesanteur et forces d’inertie). En désignant le rapport de la résultante des forces de masse à la masse du liquide (accélération des forces de masse) par N et tenant compte du volume du tétraèdre W :

dzdydxW .. 61 =

On peut définir la résultante comme WN ρ Faisant la projection de toutes les forces sur l’axe Ox on obtient l’équation de l’équilibre sous la forme suivante :

0 ),cos( =+− WNxnFF xnx ρ (II-3) Ici, ( n,x ) est l’angle entre la surface ABC et l’axe Ox. En désignant la surface OBA par et en divisant l’équation (II-3) par , on obtient : xS xS

xx

x

n

x

x

SWN

SxnF

SF

ρ - ),cos(

= (II-4)

et comme et ),cos( xnSS nx = dzdySx ..21 = , l’équation (II-4) prend la forme suivante :

dxNSF

SF

xn

n

x

x .. 31 ρ−= (II-5)

De la même façon, on obtient les équations correspondant aux axes Oy et Oz. En passant à la limite à dx 0, dy 0 , dz 0 et en tenant compte de l’équation (II–2), on trouve :

nzyx pppp === (II-6)

par conséquent, la pression hydrostatique en un point est égale dans toutes les directions. c) La pression hydrostatique dans un point donné dépend des coordonnées (position) du

point dans le volume du liquide et de la masse volumique, c’est-à-dire : ) ,,,( ρzyxfp = (II-7)

II-4. Equation fondamentale de l’hydrostatique Soient Ox,Oy,Oz, trois axes de coordonnées rectangulaires auxquels nous rapporterons les points de la masse liquide (fig.II-3).

O

y

x

Fig.II-3

G A

dzdyxpp ..⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+

z −dzdy..p

F

E

C

B

D

Page 14: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Considérons dans cette masse liquide, un parallélépipède rectangulaire infiniment petit. Les surfaces des faces du parallélépipède sont respectivement égales à :

dzdySx . = dzdxSy . = dydxSz . =

Le parallélépipède à volume se trouve en équilibre sous l’action des forces de masse et des forces de pression.

dzdydxW .. =

Les projections de la résultante des forces de masse sur les axes Ox,Oy,Oz sont respectivement :

dzdydxNx ...ρ dzdydxNy ...ρ dzdydxNz ...ρ

Les forces de pressions sur les six faces sont parallèles aux axes, on peut donc en faire immédiatement les sommes suivant les trois directions Ox,Oy,Oz. La somme suivant Ox est égale à la somme des forces de pression s’exerçant sur les faces ABCD et EFGH.

La somme algébrique de ces deux forces de pression suivant l’axe Ox est :

dxdzdyxpdzdypdzdyp ). .. .. ( - ..∂∂

+

dzdydxxp ... ∂∂−=

On trouverait de même : Suivant Oy :

dzdydxyp ... ∂∂−

Suivant Oz :

dzdydxzp ... ∂∂−

L’équation d’équilibre sur Ox, s’écrit donc :

0 ... - .... =∂∂ dzdydxxpdzdydxNx ρ

ou :

xpNx ∂∂= .ρ

En projetons également sur les deux autres axes, on obtiendra en définitive :

xNxp 1 =∂∂

ρ

yNyp 1 =∂∂

ρ (II-8)

zNzp 1 =∂∂

ρ

ou, en notations vectorielles : pdgraN 1

rr

ρ= (II-9)

Page 15: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Le système (II-8) peut s’écrire également :

dxNdxxp

x. 1 =∂∂

ρ

dyNdyyp

y. 1 =∂∂

ρ (II-10)

dzNdzzp

z. 1 =∂∂

ρ

Additionnons les trois équations du système (II-10) nous obtenons : dzNdyNdxNdp zyx ++= .1

ρ (II-11)

C’est l’équation différentielle de la statique des liquides.

Dans le cas du repos d’un liquide homogène par rapport à la terre (Fig.II-4) , seule la force de gravité agit parmi les forces de masse, et on obtient :

0=xN , et 0=yN gNz −=Remplaçons dans l’équation (II-11) on obtient :

dzgdp .1 −=ρ

Fig.II-4

dz

dy

x y

z p2

p1

z2 dx

z1

En désignant la pression sur la face inférieure de coordonnée par et sur la face supérieure de coordonnée par , on peut donc écrire que,

1z 1p

2z 2p

∫∫ −=2

1

2

1

1z

z

p

p

dzgdpρ

ou

. .2

21

1 constgpzg

pz =+=+ ρρ (II-12)

C’est l’équation fondamentale de la statique des liquides.

Page 16: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

II-5. Surface d’égale pression On appelle une surface d’égale pression la surface dont tous les points sont soumis à la même pression. La surface du liquide en contact avec un milieu gazeux est appelée surface libre, tous ses points sont soumis à la même pression extérieure . La surface libre représente la surface d’égale pression (fig. II-5).

0 p

p0

p0+ gh1

p0+ gh1

h

h1

Fig. II-5 Dans le cas de repos par rapport au récipient qui se déplace avec une accélération a, la pesanteurs et les forces d’inertie sont dirigées dans le sens opposé au déplacement (Fig.II-6). Chaque particule de masse m se trouvant en équilibre est soumise à l’action de la pesanteur gm et les forces d’inertie am. La résultante R n’est pas verticale et doit être perpendiculaire à la surface libre parce que cette dernière est une surface de pression égale. Par conséquent, la surface libre est un plan incliné par rapport à l’horizontale avec un angle ) (α , autrement dit

gatg =α .

gm

am

R

Fig.II-6

a En cas du repos relatif du liquide dans un récipient qui tourne avec une vitesse angulaire ω autour d’un axe vertical OZ, cherchons l’équation de l’équilibre relatif de la masse liquide par rapport au récipient (Fig. II-7). Soit M un point de la masse liquide dans le plan XOZ. Les forces extérieurs qui agissent sur le point M par unité de masse sont le poids –g et la force centrifuge x.2ω . En appliquant l’équation générale (II-11) on trouve :

) ( 2 gdzxdxdp −= ωρ

Page 17: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Dans le plan XOZ Les surfaces de niveau 0 =dp et les courbes sont représentées par l’équation différentielle :

gdzxdx− 2ω = 0 dont l’intégrale générale s’écrit :

ctegzx

- 22

2 =ω (II-13)

La surface de pression égale, dans chaque point étant normale à la résultante R de ces forces est un paraboloïde de révolution.

Fig.II-7 x

-g R

r

Z

X O

II-6. Différents type de pression II-6-1. La pression absolue ( p) Dans un point du liquide au repos la pression hydrostatique absolue est déterminée par la formule suivante :

hgpp .. 0 ρ+= (II-14) ou :

0p : c’est une pression extérieure est souvent égale à la pression atmosphérique qui est généralement prise dans les calculs technique égale à 98100 pa.

atmp

h : la profondeur d’immersion du point considéré. II-6-2. La pression manométrique ( ) mpElle est définie comme la différence entre la pression absolue et atmosphérique.

mp atmpp −= ou

mp atmphp .g. 0 −+= ρ (II-15)

Si = , la pression manométrique est déterminée à l’aide de l’expression suivante : 0p atmpmp = h.g.ρ (II-16)

II-6-3. La pression du vide ( ) vpSi la pression hydrostatique absolue est inférieure à la pression atmosphérique, le manque de la pression absolue par rapport à celle atmosphérique est appelé pression du vide :

mp patm −= p (II-17)

Page 18: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

II-7. Appareils de mesure de la pression Il existe différents sortes d’instruments mesurant la pression ou la différence de pression tel que : Le manomètre : c’est un qui tube transparent en forme de U qui contient généralement deux liquides différents et qui mesure la différence de pression absolue et atmosphérique (surpression par rapport à la pression atmosphérique) au moyen d’un liquide (Fig. II-8 ). P0

eau

A h

mercure

Fig.II-8

Le vacuomètre : qui mesure la différence de pression atmosphérique et absolue (manque de pression jusqu’à celle atmosphérique). Le piézomètre : c’est un tube mince transparent de diamètre intérieur de 10 à 15mm branché sur un récipient qui contient un liquide (Fig. II-9 ).

Piézomètre po

h

Fig II-9

Le manomètre incliné : ce type de manomètre est utilisé pour augmenter la précision dans la mesure des faibles pressions.

Page 19: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

II-8. Loi des vases communicants Examinons deux vases remplies de liquides différents de masse volumique et . La surface libre des deux vases est soumis à la pression (Fig. II-10).

1 ρ 2 ρ) ( 0p

P0 P0

h2 h1

O O Fig. II-10 L’équation d’équilibre par rapport au plan O-O s’écrit sous la forme suivante :

1 1 0 .g.hp ρ+ = 2 20 .g.hp ρ+D’ou

1

2

2

1 ρρ=

hh (II-18)

par conséquent si les pressions sur la surface libre sont égales, les hauteurs de deux liquides différents au-dessus du plan de séparation sont inversement proportionnelles à leurs masses volumiques. II-9. Représentation graphique de la pression D’après l’équation fondamentale de l’hydrostatique, la pression le long d’une paroi verticale varie suivant une loi linéaire :

hpp .g. 0 ρ+= la pression du liquide est toujours dirigée suivant la normale intérieure vers le palier d’action. L’ épure de la pression manométrique se présente sous la forme d’un triangle et l’épure de la pression absolue se présente sous la forme d’un trapèze puisque la pression absolue est supérieure à celle manométrique d’une valeur (Fig. II-11). 0p

p0

h

g h p0

Fig II-11

II-10. Forces de pressions sur les parois

Page 20: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

II-10-1. Paroi plane horizontale Considérons une paroi de largeur unitaire et de surface S immergée horizontalement à une profondeur h (Fig.II-12).

F

S

Fig.II.12 h La force de la pression hydrostatique sur la paroi horizontale S est la suivante :

== .SpF ). .. ( 0 Shgp ρ+

Dans la pratique l’intérêt est porté à la force de pression manométrique du liquide, et dans la majorité des cas la pression extérieure est égale à la pression atmosphérique donc la formule de calcul de la force de pression est donnée par la forme simplifié suivante :

atmpp 0 =

ShgF ... ρ= (II-19)

C’est-à-dire la force de pression sur une paroi horizontale correspond au poids de la colonne de liquide de hauteur h. Suivant la formule (II-19), quelle que soit la forme des réservoirs (Fig.II-13), s’ils sont remplies du même liquide, la même hauteur h et de même surface du fond sont soumis à la même force de pression, ceci s’appelle le paradoxe hydrostatique.

h

S

S S S S Fig.II-13

II-10-2. Paroi plane en position inclinée Considérons une paroi de surface S et de centre de gravité C , immergée dans un liquide et inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale (Fig. II-14).

Page 21: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Fig. II-14

dF

F

P

C

y yc yp

y0 y

P C

S dS

x

x xc

xp

x0

hp hc h Découpons de la paroi S un élément suffisamment petit , la force de pression sur l’élément est déterminée à l’aide de la formule suivante :

dsds

dsygdshgdspdF .sin... ... . αρρ ===

l’intensité de la force de pression agissent sur la surface S est :

∫∫∫ ===SSS

dsygdshgdFF .sin. .. αρρ

Cet intégral représente le moment statique qui est défini comme suit :

..sin . . SyShdsh CCS

α==∫

ou et représente respectivement la hauteur d’eau et la coordonnée le long de l’axe y du centre de gravité de la surface immergée.

Ch Cy

D’ou l’équation s’écrit : ShgF C...ρ= (II-20)

Donc, la force de pression sur une surface plane à orientation arbitraire est égale au produit de la surface de la paroi par la pression que subit sont centre de gravité, et est dirigée suivant la normale intérieure par rapport au palier d’action. Centre de pression Le point d’application de la force F, est appelé centre de pression . ),( pp yxP=Pour déterminer la coordonnée du centre de pression on prend le moment de la force par rapport à l’axe x et on écrit ainsi :

py

∫∫∫ ==SSS

dSygdSyygydF .sin. .sin.. 2αραρ

et d’une autre part en a :

Page 22: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

=∫S

ydF ∫∫ =S

p

S

p dSygydFy αρ sin

∫∫ =S

p

S

ydSgyydF αρ sin

donc : = ∫S

p ydSgy αρ sin ∫S

dSyg .sin. 2αρ

on obtient :

=py∫∫

S

S

ydS

dSy .2

l’intégrale du numérateur est le moment d’inertie par rapport à x, tandis que l’intégrale du dénominateur est le moment statique, d’ou :

SyIxyc

p.

=

Dans les calculs, il est plus commode de remplacer le moment d’inertie Ix par le moment d’inertie Ixo par rapport à l’axe parallèle à celui-ci qui passe par le centre de gravité de la paroi en utilisant , à cet effet, l’équation suivante :

SyIxIx c.2

0+= on obtient définitivement :

Sy

Ixyyc

cp.0+= (II-21)

II-10-3. Paroi plane verticale Considérons une paroi (A-B) de largeur unitaire et de surface S et de centre de gravité C, immergée verticalement (Fig.II-15).

S

h1

h2

F

A C P B

Fig. II-15

Page 23: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

La variation de la pression entre les points A et B est linéaire. Les pressions manométriques aux points A et B sont respectivement :

1 .g. hp A ρ= , 2 .g. hp B ρ=La force de pression sur la paroi AB est appliquée dans son centre de gravité est :

ShgSpF c.... ρ== (II-22) ou c’est la profondeur jusqu’au centre de gravité. ch

/22 / ) - ( 1 2 1 hhhhc += = ) ( 2 1 hh + Donc l’équation devient :

ShhgF ). .(..21

2 1 += ρ (II-23)

La position du point d’application est donnée par l’équation (II-21). II-10- 4. Paroi courbé Les paroi des ouvrages hydrotechnique qui subissent une pression hydrostatique peuvent être non seulement planes, mais également courbes, par exemples , les vannes secteurs, les parois des réservoirs d’eau en charge, etc. La force hydrostatique qui s’appliquent sur une surface courbé peut être obtenue par le calcul des composantes horizontales et verticale (Fig.II-16).

hc

F

Fy

Fx

Fig.II-16 L’intensité de la force F est obtenue ainsi :

2 2 yx FFF += (II-24) La composante horizontale de la force est définie comme suit : xF

..g. xcx ShF ρ= (II-25)

Ici est la surface de la projection d’une surface courbe sur un plan perpendiculaire à l’axe horizontal.

xS

ch c’est la profondeur d’immersion du centre de gravité de cette projection. La composante verticale est égale à :

Page 24: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

py WgF .. ρ= (II-26) ou est le volume de corps de pression. pW Corps de pression Le corps limité par une surface courbé, sa projection sur la surface libre et les plans de projection verticaux est appelé corps de pression. La figure (II-17) présente quelques exemples sur la détermination de la surface transversale du corps de pression.

Fy

Fy

Fy

Fig.II-17 La position de la composante est définie comme pour les surfaces planes. La composante verticale passe par le centre de gravité du corps de pression.

xFyF

La force de pression résultante s’appliquent normalement à la surface. II-11. Flottement des corps dans un liquide II- 11-1. Principe d’Archimède Soit une surface fermée formant un corps solide de masse volumique et de volume W immergé dans un liquide de masse volumique

sρρ (Fig. II-18).

p2 dS z

z2

z1

W

x

p1 dS

dz

dS

y

Fig.II-18 Les forces verticales qui agissent sur l’élément du volume sont dues aux pressions hydrostatiques. La résultante de ces forces est :

gdzdSdSzzgdSppdFz ρρ )( )( 1212 =−=−−= avec dz.dS = dW, dW c’est un volume élémentaire. après intégration sur le volume W, du corps immergé on obtient :

WgdWgFW

z .. . ρρ == ∫

Page 25: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Par conséquent, un corps immergé dans un liquide est soumis à l’action de la poussée verticale opposée en direction et égale au poids du liquide déplacé par le corps :

WgF .. ρ= (II-27)

La force F s’appelle la poussé vertical. Remarque Si le poids du corps G est supérieure à la poussé vertical F, le corps se noie (Fig.II-19.a). Si G = F le corps flotte en état immergé (Fig.II-19.b) (Dans ce cas le flottement est en plongé et il est en surface à l’immersion partielle). Si G < F le corps émerge (Fig.II-19.c). F

c)

b)

a)

F

F

G

G

G

Fig.II-19 Donc la condition essentielle du flottement est exprimée par :

WgFG .. ρ== (II-28) II-12. Caractéristique d’un corps flottant Soit un corps symétrique qui se trouve dans les conditions d’un flottement en surface (Fig.II-20).

Plan de flottement

Fig.II-20

Axe de flottement

y

D

C

Le plan de la surface libre traversant le corps s’appel plan de flottement.

Page 26: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

La profondeur d’enfoncement du point inférieur de la surface mouillée d’un corps y) est appelée tirant d’eau. Le volume du liquide déplacé par le corps est appelé volume de carène. II-13. Stabilité des corps flottants La stabilité est une aptitude d’un corps flottant déséquilibré de revenir en position initiale après que les forces provoquant l’inclinaison cessent d’agir. Examinons la stabilité statique d’un corps solide partiellement ou complètement immergé. La poussée verticale F, est égale au poids du corps G ; de plus, le centre de gravité C et le centre de poussé D, sont sur la même verticale. Selon les positions relatives de ces deux centres, trois positions d’équilibre sont possible :

1. Le centre de gravité C du corps se trouve au-dessous du centre de carène D , le couple de forces F et G tend à diminuer l’inclinaison, par conséquent la position du corps est stable (fig.II-21. a).

2. Le centre de gravité C du corps se trouve au-dessus du centre de carène D , le couple

de forces F et G tend à augmenter l’inclinaison par conséquent la position du corps n’est pas stable (fig.II-21. b).

3. Si les centres C et D coïncident le corps incliné se trouve en équilibre et ne revient pas

en position initiale, c’est à dire, il est également instable.

D

C

F

G

D

C

F

G

G

F

C D

Equilibre stable

D C

F

G

Equilibre instable a ) b )

Fig.II-21

Page 27: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Examinons maintenant un cas d’un flottement de surface pour cela on considère un corps solide (bateau) flottant dans un liquide (Fig. II-22).Le centre de gravité C est au-dessus du centre de carène D , le corps est donc en équilibre.

D

Position D’équilibre

C

D

C M

M

C

D

Position stable Position instable Fig. II-22 On incline légèrement ce corps d’un angle α , le point C reste dans la même position , par contre le point D s’est déplacé au point D’ . la ligne d’action de la force d’Archimède, F passant par D’ coupe la ligne centrale de section du corps solide au point M appelé métacentre. On distingue deux cas :

1. Si l’inclinaison ) (α est faible, le point M se situe au-dessus du point C. Cette position est stable et le corps solide revient à sa position d’équilibre initiale.

2. l’inclinaison ) (α est importante le point M se situe au-dessous du Si point C. Cette

position est instable et le corps solide se renverse.

Exercice N° 01 Calculer la pression manométrique dans Le point A dans un manomètre qui contient de l’eau et de mercure ( Fig. -01- ). Patm = 98.1 Kpa

3 13.6 mercure t / m=ρ

Page 28: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Mercure

Pat

Fig. -01-

Eau A

D C

0.8 m

0.6 m

Solution La pression manométrique en C est :

8,0.. gPC mρ= et d’une autre part 8,0.. 6,0.. ggPAPDPC mρρ =+==

donc en peut écrire que : 8,0.. 6,0.. ggPA mρρ =+ 6,0..8,0.. ggPA m ρρ −=

6,0.81,9.10008,0.81,9.10.6,13 3 −=PA ²/ 8,100846 mNPA=

xercice N° 02 E :

uile sous pression égale a PA = 135 Kpa. u d’huile dans

. -02- ). Patm = 98.1 Kpa

olution

On considère un récipient qui contient de l’hCalculer la hauteur du niveale piézomètre ( Fig

3/ 830 mkghuile =ρ

A

2 m

huile Fig. -02-

PA=135 kpa

Patm

C D

S

2..gPAPC ρ+= 2.81,9.83010.135 3+=PC

Page 29: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

=

h =..ρ donc on aura :

PC ²/ 6,151284 mNet PatmPD += PChg

gPatmPDh

h.ρ−=

81,9.830=h 981006,151284 −

h=6,53 m Exercice N° 03: Calculer la force de pression sur la vanne

-B), de largeur b = 5 m ( Fig. -03- ). atm =0.

t la résultante des forces de pressions selon

(AP

5 m

Eau

A

B

R =2

R =2

2 m

Fig. -03-

Solution La force de pression exercée sur la vanne A-B c’esl’axe x et y , elle est égale à :

22 PyPxP += La force de pression selon l’axe x est :

C.. ShgPx .ρ=

mhC 2221 =+=

2105.2 mS == donc

La force de pression selon l’axe y est :

10.2.81,9.1000=Px NPx 196200=

Page 30: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

WgPy ..ρ= ou W c’est le volume du corps de pression

bRD

W .1.4.4. 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

π

5.1.24.44. 2 ⎤⎡π

⎥⎦

⎢⎣

+W

=

xercice N° 04

=

W 3 708.25 mPy 708,25.81,9.1000=

NPy 48,252195= et enfin la résultante :

NP 212,319526= E :

alculer les forces de pressio et le nts d’applications dues à l’action de l’eau sur la anne rectangulaire (A-B) et la vanne triangulaire (C-D), Si la largeur b=3 m, Patm =0 (Fig.-4-).

C ns s Poiv0

45 °

A

B

C

D

6 m 7 m

3 m 3 m

Vanne A-B Vanne C -D

Fig. -04 -

m 3

Page 31: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE III

II-1. Introduction t l’étude du mouvement des liquides sans tenir compte des

n considère donc seulement les relations entre les positions des particules liquides dans le

’un liquide, deux méthodes sont employées :

II-2-1. Méthode de Lag nge ette méthode consiste à suivre une particule liquide dans son mouvement. Pour cela , on onsidère a un instant initial, , une particule liquide M de coordonnées, et on suit dans son mouvement (Fig.III-1).

La position de cette particule dans le temps t, xM t est définit à partir des variables

fonction suivantes :

(III-1)

se sont les variable de Lagrange. a voie parcourue par cette particule, est appelée trajectoire. Les vitesses et les accélérations orrespondantes sont déterminées par les relations suivante :

CINEMATIQUE DES LIQUIDES ILa cinématique des liquides c’esforces qui lui donnent naissance. Otemps. III-2.Mouvement d’un liquide Pour étudier le mouvement d I raC

0t ),,( 000 0 zyxMtcla

),,( z

x

trajecto re

z

i

Mt0(Mt(x, y,z)

x0, y0,z0)

y

Fig.III-1

y

indépendantes, 000 ,, zyx et t par les),,,( 0001 tzyxfx =

),,,( 0002 tzyxfy = ),,,( 0003 tzyxfz =

Lc

dtxu ∂= , dt

yv ∂= , dtzw ∂= (III-2)

Page 32: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

2

2

x

a∂

= , dtx 2

2

y

a dty∂

= , 2

2

z

a dtz∂

= (III-3)

III-2-2. Méthode d’Euler

ette méthode consiste à fixer un point dans l’espace et d’étudier, en fonction du temps, ce ui ce passe en ce point. our ce faire, on considère un point ,( yxM itué ’une masse liquide en ouvement (Fig.II-2).

a vitesse

Cq

), z s à l’intérieur dP m x

y z

Ligne de courant

M(x, y,z)

V(u,v,w)

Fig.III-2

),,( wvuV

r L d’une particule liquide à chaque instant t peut être obtenue à partir des

z par les fonctions suivantes :

a variation totale de la vitesse selon l’axe x est donnée par :

variables indépendantes, x,y,),,,( 1 tzyxfu = ),,,( 2 tzyxfv = ),,,( 3 tzyxfw =

e sont les variable d’Euler. s

L

dzzuuuu dyydxxdttdu ∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂= (III-5)

et l’accélération selon l’axe x est alors obtenue de la façon suivante :

dzzyxtdt ∂uwdyuvdxuuudu ∂+

∂∂+

∂∂+∂= (III-6) ∂

Page 33: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ocale et l’accélération onvective.

D’une façon générale, la méthode d’Euler e a méthode de Lagrange, pour ela nous considérons seulement les variables d’Euler.

II-2-3. Lignes de courant chacun de ses points, au vecteur vitesse (Fig.III-2) et qui

es lignes de courant satisfont les équations différentielles suivantes :

donc l’accélération totale est égale à la somme de l’accélération lc

st plus simple que lc ISe sont des lignes tangente enchange d’un instant à l’autre sauf dans le cas d’un écoulement permanent, elles coïncident avec les trajectoires. L

wdz

vdy

udx == (III-7)

i on a lieu a des lignes de co rant limitées par un contour fermé c’est un tube de courant.

II-3. Equation de continuité té c’est une équation fondamentale de la mécanique des fluides, elle

t n de la m e.

our établir cette équation, considérons un parallélépipède élémentaire de liquide de volume x,dy,dz (Fig.III-3).

s u IL’équation de continuiexprime le principe de conserva io ass Pd udydzdt ρ

Pendant le temps dt, la masse liquide qui entre par la face ABCD est égale à :

z

udydzdt ρ

et la masse qui sort par la face EFGH est égale à :

dydzdtdxxuu ) ( ∂

∂+ ρρ

d’autre par, la différence des masses entrant et sortant et donnée par :

x O

F E

H A

B

C

y

G D

dx

dy

dz

Fig. III-3

dydzdtdxxuu ) ( ∂

∂+ ρρ

Page 34: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

dydzdtdxxu ∂

∂− ρ

Cette expression représente l’accroissement de masse des parallélépipède à travers les deux faces envisagées.

e la même manière on obtient l’accroissement sur les autre faces, de sorte que total de la masse liquide dans le parallélépipède pendant le temps dt est :

Dl’accroissement

dxdydzdtzw

yv

xu )

( ∂∂+∂

∂+∂∂− ρρρ

uisque la masse du parallélépipède est constante pendant le temps dt, cet accroissement de masse est égale à l’accroissement de masse volumique mu le volume, soit :

P

ltiplié par

dtdxdydzt∂∂ ρ

’ou l’égalité :

d

) ( - zw

yv

xu

t ∂∂+∂

∂+∂∂=∂

∂ ρρρρ

que l’on écrit généralement sous la forme :

∂∂+∂

∂+∂∂+∂

∂ wyv

xu

t 0 =zρρρρ (III-8)

C’est l’équation de continuité pour un liquide parfait. Pour un liquide incompressible ( ρ =cte). L’équation de continuité devient :

0 =∂∂+

∂∂+

∂∂

zyx (III-9) ou wvu

0 =Vr

div multiplions l’équation de continuité par un volum

olume on obtient : e élémentaire dW et intégrons par rapport au

v

∫∫ == 0 dSVdWVdiv pW

(III-10) S

r

ou est la composante de la vitesse re à la surface du volume. ’équation (III-10) signifie que les débits entrant et sortant à travers une surface quelconque

ar définition, le débit total, Q, traversant une surface est donné par :

pV qui est perpendiculai

Lfermée doivent être égaux. P

Page 35: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

dSVS

p . =∫ (III-11)

u U est la vitesse moyenne sur cette surface, S

II-4. Fonction de courant D’prés l’équation (III-7), l’équation des lignes de courant pour un écoulement plan, permanent et incompressible est :

U = QS

o I

0 =+− udzdx (III-12) w

Supposons qu’il existe une fonction ),( zxψ , telle que :

zu ∂∂= ψ et xw ∂

∂−= ψ (III-13)

a fonction ψ , ainsi définie est appelée fonction de courant.

emplaçons les équations (III-13) dans l’équation des lignes de courant on obtient :

L R

0 ∂+ ==∂∂

∂ ψψψ ddzz

dxx

(III-14)

uisque la différentielle totale P ψd est nulle donc ψ = cte le long d’une ligne de courant.

II-5. Interprétation physique de

ψ IOn considère suivant l’axe Ox deux lignes de courant, ψ et ψψ ∆+ , voisines et séparées

une de l’autre par une distance dn (Fig.III-4).

e débit unitaire, q, entre ces deux lignes de courant est obtenu par

l’

O

z

ψψ ∆+u

Z2

Z1

dn

Fig.III-4

ψ

x

L

∫∫ ∂z

z1

et puisque

∂== dzudzq 2 z ψ

Page 36: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ψψ ddzz =∂∂

d’ou 2

1

dq (III-15)

le débit unit r ent deux lign e courant,

ψψψψψ

ψ

∆=−==∫ 12

21 et ψψDonc on peut conclure que ai e re e d est constant

t égal à ψ∆ . e III-6. Ecoulement irrotationnel

oit un écoulement d’un élément liquide de section dx dz dans le plan xz qui subit une rotation endant un temps dt (Fig.III-5).

III-6-1. Rotation Sp

dzzuu ) / ( ∂∂+ dxxww ) / ( ∂∂+ x

z

y dx

dy

u

w

dzdtz

u∂∂

x

z

dxdtx

w∂∂− Fig. I-5

y

II Le taux de rotation de cet élément fluide, dx dz, autour d’un axe y, en considérant le sens

ositif le sens des aiguilles d’une montre est : Suivant dx :

p

xw

dxwdxxww

∂∂−=−∂∂+− ) ) / ( (

dz :

uivantS

zu

dzudzzuu

∂∂=−∂∂+ ) ) / ( (

Page 37: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Le taux net de rotation représente la moyenne de rotation des faces dx et dz ; on le définit alors ainsi :

( )xw

zu

∂∂−

∂∂= 1 y ω

isons de même pour les deux autres sections dx dy et dy dz on obtient :

2

fa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂−∂

∂= zv

yw

x 21 ω

⎟⎠

⎜⎝⎛

∂∂−∂

∂= yu

xv 2

1 z ω

ou

) ,,( z y ωωω xΩr

= Vrotr

21 (III-16)

) ,,( z y ωωω xΩ

r s’appel le vecteur tourbillon ou vorticité du champs de vitesse qui est égale à

tion en bloc, à itesse angulaire

la moitié du vecteur rotationnel. Ceci correspond à un mouvement de rotaΩvr

de l’élément liquide. II-6-2. Irrotationalité

tout point donc ISi le vecteur tourbillon est nul en

Ωr

= Vrotr

21 = 0.

Ses écoulements sont apPour un écoulement plan en xz :

pelés écoulements irrotationnels.

( )xz ∂

wu ∂−∂∂= 2 y ω = 0 1

Ce qui donne x

wzu

∂∂=∂

∂ II

III-7. Potentiel des vitesses

(I -17)

Dans un écoulement irrotationnel, la vitesse Vr

Peut être exprimée par la fonction φ appelée potentiel des vitesses telle que :

φ dgraVrr

= (III-18) dont les trois composantes sont :

xu ∂∂= φ

Page 38: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

yv ∂∂= φ (III-19)

zw ∂∂= φ

Un tel écoulement est dit écoulement à ote ie p nt l des vitesses ou plus brièvement, écoulement

Les lignes équipotentielles sont telles que la fonction

potentiel.

φ , conserve la même valeur en tout point de chacune d’elles et qui sont données par :

), cte.,( == zyxφ Remplaçons la fonction φ dans l’équation de continuité pour n l uiu iq de parfait, incompressible et conservatif on obtient :

0 ∇= 22

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

φφφφzyx (III-20)

ou 0 ) ( =φdgradiv

r

Par conséquent, un tel écoulement irrotationnel satisfait l’équation de Laplace 0 2 =∇ φ ; la onction φ esf t donc harmonique.

III-8. Ecoulement potentiels, plans II-8-1. Réseau des lignes

φ et ψ IDans un écoulement plan en x , incompressible et irrotationnel, les composantes de la vitesse peuvent être e

zxprimées en fonction de φ et ψ

De la manière suivante :

xu ∂∂= φ , zw ∂

∂= φ

zu ∂∂= ψ , xw ∂

∂−= ψ

relations suivantes entre les fonctions φ et ψ . D’après ses égalités on constate les

x∂∂φ z∂

∂= ψ

z∂∂φ = x∂

∂− ψ

es conditions représentent les conditions de Cauchey-Riemannenant compte de la condition d’irrotationalité dans le plan x z donnée par :

C .

0 =∂∂+∂

∂− zu

xw

(II-21)

T

Page 39: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

on obtient :

0 22

22 ∂∂2 =∆=∂+∂ ψ

ψψzx (II-22)

Do lnc a fonction de courant ψ , satisfait l’équation de Laplace. Elle est par conséquent aussi

ar n

au orth o

h

mo ique.

Par onc séquent les lignes de courants et les lignes équipotentielles forment donc un réseog nal (Fig.III-6).

ψψ ∆+ φφ ∆+

ψ φ

xercice N°01

tes v r

- Déterminer les lignes de courant ?

erminer les trajectoires ?

- Puisque la vitesse est une fonction du temps donc l’écoulement est non permanent. - L’équation des lignes de courant à l’instant est :

E

Un écoulement est définie en variable d’Euler par les relations suivan t: ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+==

ktbUyaUx

a,b,k étant des constantes. - Quelle est la nature du mouvement ?

- Dét Solution

0t

Uydy

Uxdx=

ktbdy

adx= +

∫∫ += dy

ktbdxa 0

11

10.11 cy

ktbxa +

+=

( ) ( ) CBAxktbcaxy −+=+− 01 .. c’est une équation d’une droite.

z

x o

Fig.III-6

=

Page 40: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

oire est : -L’équation de la traject

dtUydy

Uxdx ==

acxtcatxdta

dx 22

−=⇒+=⇒=

3

222

2 22 caabyktb +⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝

=+

2

ckt

btydtdy ⇒++=⇒= cxkcx ⎞⎛ −⎞⎛ − c’est une équation d’une parabole.

xercice N°02 a fonction potentielle des vitesses d’un écoulement est donnée par :

E

axy=φ L - Déterminer l’équation de continuité ?

- Calculer la fonction du courant ψ ?

olution

-L’équation de continuité est

S

yx ∂∂UUx ∂+∂ y

ayxUx =∂=∂φ , axyU y =∂=

∂φ

0=∂xUx ,∂ 0=∂y

y ∂

don

U

c 0=∂∂ yx∂+ UU yx ∂

dy- yx ∂∂ dxd ∂+∂= ψψ ψ

axU −=−=yx y∂∂∂−=∂ φψ

ayU =−=xy x∂∂∂−=∂ φψ

aydyaxdx+−=∂ψ

on obtient finalement : ( )222 xya −=ψ

xercice N°03 E

L’écoulement d’un fluide est définie on coordonnées de Lagrange par :

⎨⎧=⎩

ou k c’est une constante.

=

-Déterminer la trajectoire de la particule du fluidéterminer les composantes de vitesses ?

−kt

kt

eyyexx

..

0

0

e ? -D

Page 41: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE IV

HYDRODYNAMIQUE DES LIQUIDES IV-1. Introduction L’hydrodynamique des liquides est l’étude du mouvement des liquides en tenant compte des forces qui lui donnent naissance. En hydrodynamique, les forces de viscosité n’interviennent que pour les liquides réels. Cette

marque nous conduit donc à étudier successivement :

V-2. Hydrodynamique des liquides parfait IV-2-1. Equation générale du mouvement

n hydrostatique, nous avons établi les équations d’équilibre d’un parallélépipède élémentaire

agissant sur l’unité de masse u liquide, l’équation d’équilibre hydrostatique s’écrit :

re L’ hydrodynamique des liquides parfait. L’ hydrodynamique des liquides réels.

I

Epris dans une masse liquide au repos. En considérant la force extérieure de composantes N

rzyx NNN ,, ,

d

Nprr grad 1 =ρ

En hydrodynamique il suffit donc d’ajouter, au second membre, la force d’inertie par unité de masse, c’est-à-dire au signe prés, l’accélération absolue, soit ar− , ce qui conduit à l’équation fondamentale suivante :

aNp rrr−= grad 1

ρ (IV-1)

,z) fournit les trois équations suivantes :

Cette équation vectorielle projetée sur les axes (x,y

tu

zuwy

uvxuNx x ∂−∂−=∂ .ρup

∂∂−∂

∂−∂∂∂ 1

tvvwvvvuNp

zyxy y ∂∂

∂ −∂∂ −∂

∂∂ −∂−=∂ρ .1

twww zy

wvxwuNz

pz ∂

∂∂ −∂

∂∂−∂

∂−=∂∂ .1

ρ −

ou sous la forme suivante :

2dtx x∂ρ

21 xdp∂ . N −=

2

2

.1dt

ydN

yp

y −=∂∂

ρ

Page 42: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

2

2

.1dt

zdN

zp

z −=∂∂

ρ

Se sont les équations généra

lions la première équation du systèmles du mouvement appelées équations d’Euler.

Multip e précédent par dx , la seconde par dy, la troisième par dz et a e :

dditionnons, on obtient en définitiv

VdvdzNdyNdxNdttp +=dp(1

ρ zyx −+∂∂ )

st permanent ,

Si le mouvement e tp∂∂ = 0 et on aura :

VdvdzNdyNdxNdp zyx −++= 1

ρ (IV-2)

énéralement un liquide en m ment est supposé soumis à la seule action de pesanteur

emplaçons dans l’équation (IV-2) on trouve :

G ouve

0 , =yx NN gNz - =

R

Vdvgdzdp −−= 1ρ (IV-3)

près l’intégration l’équation (IV-3), s’écrit ainsi : a

CtegV

gz + ρp 2

2

=+

a constante est donc homogène à une hauteur H . ectoire d’une m lécule liquide :

LOn a donc, tout le long de la traj

o

CteHgVp

gz 2 2

==++ ρ (IV-4)

gie mécanique totale est constante en toute la ent.

L’équation de Bernoulli peut être écrite entre les deux section (1-1) et (2-2) (Fig.IV-1) de la açon suivante :

C’est l’équation de Daniel Bernoulli dans le cas d’un liquide parfait.

découle de l’équation de Bernoulli que l’énerIllongueur de l’écoulem

f

2 2

111 =++ g

Vg

pz ρ 2 2

222 Hg

Vg

pz =++ ρ

u oz : hauteur de position

Page 43: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

gpρ : hauteur piezométrique

gz ρ+ : charge hydrostatique p

22

g : hauteur du à la vitesse ou pression cinétique.

: l’énergie mécanique totale. ous les termes de l’équation de Bernoulli peuvent être représentés graphiquement (Fig.IV-1). our un liquide non visqueux la ligne qui horizontale qui tracée avec l’ordonné H s’appelle la gne de charge .

a liaison entre les extrémités des tronçons des tronçons

V

HTPli

gpz ρ+L donne la ligne

iezométrique.

n appelle pente piezométrique le rapport :

p Plan de charge

Ligne piezométrique

1 2

z1

V 21 /2g

V 22 /2g

p1/ gρ H

p2/ gρ

Fig.IV-1

z2 O

lgp2zgpzI p) () ( 211 ρρ +−+=

u l est la distance entre deux sections.

ube de Pito i l’on immerge dans un courant liquide un tube (Fig.IV-2-a), l’eau monte dans le tube au-

o TSdessus de la surface libre d’une hauteur :

gV

h 2 2

=

Ce tube s’appelle tube de Pito. Pour déterminer les vitesses locales dans le courant on utilise un piézomètre ordinaire

ant la hauteur piézométrique et un tube de Pitot (Fig.IV-2-b).

La différence de niveau h dans les deux tubes est la hauteur due à la vitesse

indiqu

gV2

2

.

Page 44: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

es vitesse locales sont déterminées à l’aide du tube de Pitot suivant la formule suivante : L

hgkV 2 = ou k est un coefficient de correction déterminé pour chaque tube par expérience.

ube de venturi e tube de venturi a pour but de mesurer le débit à partir de la détermination de la différence e pression. e dispositif consiste à faire passer un écoulement par une contraction pour qu’il y’aura une iminution de pression (Fig.IV-3).

’équation de Bernoulli entre les section (1-1) et (2-2) pour un liquide parfait est :

TLdCd L

2 2

111 =++ g

Vg

pz ρ 2 2z2

22

gV

gp ++ ρ

’une autre part l’équation de cont rit : S

’ou

d inuité s’ éc

2211 VSV =d

u

h= V 2 /2g

u

h=V 2 /2g

b) a)

Fig.IV-2

S1 S2

1 2

Fig.IV-3

Page 45: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

)(2 )/(1

1 212

122 pp

SSV −

−= ρ

e débit total, Q traversant cette conduite est : L

)(2

)/(121

212

22SS− ρ

1 ppS −=

V-3. Hydrodynamique des liquides réels

ottement. Cela va nous amener à définir la viscosité du liquide qui est associée à la sistance au mouvement de glissement d’une couche de particules liquide par rapport à une

autre.

permet également de la mesurer, elle est es .

, don l’espace intermédiaire et

n entraînant le cylindre extérieur avec une vitesse angulaire constante

VQ= (IV-5)

IDans cette partie le liquide est considéré comme réel, donc il y’a un effet des forces de frré

IV-3-1. Expérience de Couette Cette expérience met en évidence la viscosité etdécrite ci-d sousOn considère deux cylindres coaxiaux, de rayon peu différents trempli d’un liquide (Fig.IV-4). E ω , on constate que le ylindre intérieur a tendance à tourner dans le même sens. Pour le maintenir fixe, il faut lui ppliquer un couple Cp dans le sens opposé. a distance e entre les deux cylindres étant petite devant le rayon r, on peut schématiser expérience en considérant un plan fixe et un plan mobile se déplaçant parallèlement au plan xe de surface

caLl’fi hrS 2π= et de v sseite rV ω= (Fig.IV-5).

r

Cp

e h

ω

Fig.IV-4

e

u

V= rω

Plan fixe

Plan mobile

Fig.IV-5

Page 46: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ngentielles au contact des couches successives n équent, la force de frottement reste proportionnelle à SV/e

L’ expérience montre l’existence de tension tade fluide et par co sSoit :

eSF V µ=

µ : est un coefficient qui exprime la viscosité dynamique du fluide, il dépend de la empérature et du tt

Oype de fluide.

n u a

pe t définir la force de frottement, p r unité de surface de la manière suivante :

eVµτ =

ou e

V c’est le gradient de vitesse dydu entre les deux plans et on aura

dydu µτ=

l’ expérience de Couette permet de calculer la viscosité dynamique du fluide µ , ce qui justifie l’appellation de Viscosimètre de Couette. L’unité de µ est .

On définit également le coefficient de viscosité cinématique :

2/. msN

ρµν =

L’unité de ν est .

il existe des forces internes ou tension visqueuses qui vont tervenir dans les équation générales du mouvement.

ession analytique de ces ossible de les faire intervenir dans les équations générales du

mouvement. IV-3-3.Détermination des tension visqueuses Considérons en un point M(x,y,z) du liquide un parallélépipède infiniment petit dont les arêtes dx, dy, dz sont parallèle aux axes.

sm /2

IV-3-2. Equations dynamiques des liquides réels Dans le cas d’un liquide réel, inNous nous proposons donc, en premier lieu, de préciser l’exprtensions et comment il est p

Soient u,v,w les composantes de la vitesse Vr

, des liquides au point M.(Fig.IV-6). Désignons respectivement par iσ et par iτ les composantes normales et tangentielle agissant ur ig.IV-6).

s le parallélépipède (F

τ 1

σ 2 τ 3

τ 2

σ 1 τ 3

τ 2

σ 3

τ 1

H

E

A B

F D C

G O

Z

Y

X

Fig.IV-6

Page 47: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

r ation angulaire sont :

Si les vitesses de défo m

⎟⎠⎞

⎜⎝ 2

1 ⎛∂∂+∂

∂zv

yw Sur l’axe ox est :

Sur l’axe oy est : )xw

zu

∂∂( +∂

∂ 21

Sur l’axe oz est : ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

s la théorie

Les contraintes tangentielles sont proportionnelles aux vitesses de déformation

+∂∂

yu

xv 2

1

Et d’après les hypothèses de Stokes et Newton analogues à celle de Hooke dan

’élasticité on a : d

iτangulaire, soit :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂+∂

∂−= zv

yw 1 µτ

( )xw

zu

∂∂+∂

∂−= 2 µτ

⎜⎛ ⎟

⎠⎞

⎝ ∂∂+∂

∂− yu

xvµ

Les contraintes normales sont des fonctions linéaires des vitesses de déformation linéaire, soit :

= 3τ

λθµσ −∂∂−= xu 2 1

λθµσ −∂∂−= yv 2 2

λθµσ −∂∂−= zw 2 3

ici, θλ et sont des grandeurs caractéristique du fluide θ c’est la dilatation cubique.

Vdivr

=θ S de continuité impose que Les é u :

0 == Vdivr

θ i le liquide est incompressible l’équation q ations (IV-) devient

x∂u∂−= 2 µσ 1

y∂v∂−= 2 µσ 2

Page 48: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

zw∂∂−= 2 3 µσ

Pour tro muver les équations dyna iques des liquides réels, on doit ajouter les forces de iscosité par unité de masse. Pour cela, considérons les projections sur l’axe ox.

Sur la face ABCD :

ur la face EFGH :

v

a) la composante 1σ dydz1σ

dydzdxS x ⎠⎝ ∂ 11 ⎟

⎞⎜⎛ ∂+− σσ

La résultante : dxdydzx∂∂− 1σ

b) la composante 2τ

Sur la face CGHD : dx2τ dy

ur la face ABFE : dxdydz

S z2⎠⎝ ∂

La résultante :

2 ⎟⎞

⎜⎛ ∂+− ττ

dzdxdyz∂∂

Sur la face BCGF :

− 2τ

c) la composante 3τ

Sur la face ADHE : dxdz3τ

dxdzdyy 33 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂+− ττ

La résultante : dydxdzy∂∂− 3τ

es autres composantes sont perpendiculaire à ox et leur projection est donc nulle.

n définitive, la résultante des forces de viscosité sur l’axe ox a pour expression :

L E

dxdydzzyx 231 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂+∂

∂+∂∂− ττσ

Remplaçons 231 et , ττσ par leurs expressions on trouve :

dxdydzz∂u

yxu

2

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∂∂∂

µ u

2

2

+∂∂

+

ou dxdydzu ∆µ

ramenant cette équation à l’unité de masse :

u u ∆=∆ υρµ

Ajoutons ce terme aux équations d’Euler pour les liquides parfait, on obtient en définitive :

udtduNx

px ∆+−=∂

∂ υρ 1

Page 49: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

vdtdvNy

py ∆+−=∂

∂ υρ 1

(IV-6)

wdtdwNz

pz ∆+−=∂

∂ υρ 1

ou sous la forme vectorielle :

VaFpdgrarrrr

∆+−= υρ 1 (IV-7)

u : opdgra 1

ρ :r

force de pression

Fr

:force extérieur ar− :force d’inertie résultant du mouvement

: force de viscosité

à é é p senté en 1822 par Navier, elle sont généralement appelées les tokes.

l long de la trajectoire d’une molécule liquide en régime permanent et en tenant compte des forces de viscosité on peut écrire :

Vr

∆υ

tLes équations (IV-6) réo s de Navier-Séquati n

Donc e

VdvdzNdyNdxNdp zyx −+ ρ

1 +=

) ( dzwdyvdxu ∆+∆+∆+υ Appliquons cette équation à une particule d’un liquide incompressible soumise à la seule action de la pesanteur ),0( gNNN zyx −=== , il vient :

0 )( 1 =∆+∆+∆−++ wdzvdyudxVdvgdzdp υ ρ l’in rtég ale le long de la trajectoire donne :

∫ ==∆+∆+∆−+v

2

+ Hwdzvdyudxgggpz Cte ) (2 υ

e te

ρ

L rme ∫− g ∆+∆+∆ ) ( wdzvdyudxυ a les dimensions d’une longueur, il représente la perte de

harge et on le signe par j. ’équation s’éc t alors :

c dériL

CteHjVpz g 2 g

2

==+++ρ (IV-8)

’est le théorème de Daniel Bernoulli dans le cas d’un liquide réel (fluidité non parfaite) et ui exprime qu’on tout point en mouvement permanent, la cote, la hauteur représentative de la ression, la hauteur représentative de la v se et la perte de charge forment une somme

. i dans le cas d’un liquide réel peut être écrite entre les deux section (1-

Cqp itesconstanteL’équation de Bernoull1) et (2-2) (Fig.IV-7) de la façon suivante :

2 2

1 Vp 2 2

222 jg

Vg

pz +++ ρ 11 =++ ggz ρ

Page 50: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

raulique : et la longueur à laquelle ces per o

La pente hyd c’est le rapport des pertes de charges j

tes n lieu :

ljI =

Exercice N°01Dans le tube d és

1Dans le tube d és

: e venturi repr enté dans la figure ci-dessous, la dénivellation du mercure du

m nomètre différentiel et 36 cm, la densité du mercure égale à 13,6. reil si aucune énergie n’est perdue entre A et B.

: e venturi repr enté dans la figure ci-dessous, la dénivellation du mercure du

m nomètre différentiel et 36 cm, la densité du mercure égale à 13,6. reil si aucune énergie n’est perdue entre A et B.

aa-Calculer le débit d’eau à travers l’appa -Calculer le débit d’eau à travers l’appa

Solution : Solution : Appliquons l’équation de Bernoulli entre les point A et B : Appliquons l’équation de Bernoulli entre les point A et B :

gVB

gPBZBg

VAg

PA++ZA .2..2. ++= ρρ

’ou

22

d 75,0.2 g .2..

22

+−=−VA

gVB

gPB

gPA

ρρ

t pu SA=VB.SBe isque VA. VBVAVBVA .91 4

.0,1.4

.0,3.

22

=⇒=⇒ππ

d’une autre part en aonc

PLPR= d ( ) ( )36,0 36,0..75,0. ++=+++ ZPAgZgPB mρρ

mgPB

gPA 286,5.. =− ρρ

et on obtient l’égalité suivante :

Plan de charge

Ligne piezométrique

1 2

z1

p1/ gρ

p2/ gρ

/2g

/2g

V 21

V 22

z2

j

H

Fig.IV-7

75 cm

15 cm

A .

B .

Z 36 cm 30 cm

Page 51: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

75,0.2 - .2.9

286,5222

+= gVA

gVA

- le débit Q=VA.SA =0,074

xercice N°02 e l’eau circule du T vers le point W. Si la charge consommée par la turbine C-R est de 50 m

t la pression en T est de 4 bars, le diamètre de la conduite T-C=25 cm et de la conduite R-=60 cm, les pertes de charges totales dans les conduites sont les suivantes :

ntre les points T et C ntre les points W et R =

- Calculer le débit qui circule dans le système et les hauteurs de pression dans les points C ,R ?

olution - Calcul de débit

n appliquant l’équations de Bernoulli entre T et W

smVA /054,1=⇒

sm /3

EDeWE = gVTC .2/.2 2 E gVWR .2/.3 2

S

E

gggggg .2.2.2..2. ρρ25 /10.44 mNbarsPT ==

remplaçons dans la première équation en trouve :

VRVTVWPW .3.250

222

+++++ ZWVTPTZT

2

=++

gg .2.2

t puisque

VRVT.3774,25 +=

22

e VRDR

VTDT

Q ....22

ππ == 44

t on peu écrire

VTVR .1736,0=⇒

e ( ) 222

.1736,0.23

.2774,25 VTggVT

+=

et /smVT /535.21=⇒ smVR 738,3=

onc le débitd smQ /057,1535,21.25,0.432 ==π

- Calcul des hauteurs de pression dans les points C et R L’équation de Bernoulli entre T et C

gVC

gVC

gPCZCg

VTg

PT.2

.2.2..2.

222 +++=++ ρρ

Cote=75m

Cote=40m

T

W

C R

ZT

Page 52: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

5+40,77-30- gPC

g .535,21 2

ρ= 7

mgPC 496,38. =ρ

t l’équation de Bernoulli entre T et R e

gggZRgg .2.2..2. +++=++ ρρ

75+40,77-30-23,637-50=

VTVRPRVTPT .2 222ZT

gPR.ρ

mgPR 133,12. =ρ

xercice N° 03

e l’eau circule du réservoir vers le point C qui se trouve dans l’atmosphère, si les pertes de harges sont :

e A-B =

E Dc

gV

.2.9

260 et de B-C =

gV

.2.6

230 D

Calculer le debit ? alculer la pression dans le point B et tracer la ligne de charge total ?

CPatm =0

A

B

C

D1=60 cm

D2=30 cm

ZC=20 m

ZB=30 m

Patm

Fig. -05 -

ZA=40 m

Page 53: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE V LES REGIMES D’ ECOULEMENTS

ens avaient constaté l’existence de ces différents régimes, ais c’est à Osborne Reynolds qu ‘il appartenait de les mettre expérimentalement en évidence

et de dégager le critère permettant de les différencier.

. Expérience de Reynolds V-1), consiste à injecter un liquide coloré dans une masse

l’intérieure d’un tube en verre.

i on ouvre légèrement le robine commence à passer lentement ans le tube en verre et ne se lange pas avec les autres couches du liquide (Fig.V-2), les gnes de courant dans le tube sont toujours rectiligne de telle sorte que la coloration reste niforme. Ce régime s’appelle Régime laminaire.

V-1. Introduction Depuis longtemps les hydraulicim

V-2L’expérience de Reynolds (Fig.liquide en mouvement à

Liquide coloré

Tube en verre

Vanne

Vanne

Réservoir d’alimentation

Fig.V-1 S t de vidange, le liquide coloréd méliu

Fig.V-2

Page 54: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

coulement s’accroît et on remarque des oscillations dans le tube.

’augmentation ultérieur de la vitesse entraînent le mélange du liquide coloré avec

Si on augmente l’ouverture du robinet, la vitesse d’é

L les autres couches du liquide dont laquelle chaque particule est projetée dans toutes les direction d’une manière irrégulière et désordonnée (Fig.V-3). Ce régime s’appelle Régime turbulent.

Fig.V-3

Si on désigne par U la vitesse moyenne dans le tube, D le diamètre du tube et par υ le coefficient de viscosité cinématique du liquide en mouvement, le nombre adimensionnel app

elé nombre de Reynolds est :

υUDR =

R> 232

rtition des vitesse en écoulement laminaire minaire, les vitesses d’écoulement ne subissent pas des

osc s e temps. D’après les expériences, la vitesse dans une section d’écoulement est égale a zéro sur les parois et elle est maximale dans le centre de la conduite (Fig.V-4).

Le nombre de Reynolds peut servir à caractériser le régime d’écoulement. Si R< 2320 le régime est laminaire Si 0 le régime est turbulent V-3. RépaDans le cas d’un écoulement la

illations et ne varient pas dan l

Vmax

r 0

r y

Fig.V-4

Page 55: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

onc les vitesses de l’écoulement laminaire on une forme d’une parabole conformément à

l’expression théorique suivante :

D

( )220 ⎟⎞4 rrgIV −⎜

⎝⎛= υ

ou g : l’accélération de la pesanteur I : la pente hydraulique

υ : la viscosité dynamique : le rayon de la conduite

r : la distance entre l’axe de la conduite et le point dans lequel on veut déterminer la vitesse. Si r=0 on obtient la valeur maximale de la vitesse qui est :

0r

( )20max rgIV ⎟

⎞⎜⎛

4 ⎠⎝= υ

gale à la moitié de la vitesse maximales.

lement turbulent

autour d’une certaine valeur moyenne de la e désigné par U qui est indépendante de temps (Fig.V-5).

onné du temps au point donnée est appelée vitesse instantané

ire que :

Les expériences montrent que dans le cas d’un régime laminaire, la vitesse moyenne U dans une conduite circulaire é

max5.0 VU = V-4. Répartition des vitesse en écouLes vitesses dans un écoulement turbulent sont soumises à des variations (pulsations) plus ou moins rapides dans le temps. Les mesures indiquent que les pulsations se fontvitess

t (s)

u ( t )

U

Fig.V-5

La vitesse en chaque moment det on la désigne par u . La différence entre la vitesse instantanée et la vitesse moyenne U s’appelle la vitesse de pulsation 'u .

onc on peut écrD

' uUu +=

a vitesse moyenne du courant turbulent est éga à : L le

∫=T

dtuTU 1 0

Page 56: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Exercice N°01

é ans une conduite de diamètre d = 4cm, le débit Q = 70 , la viscosité inématique

scm /3De l’eau s’ coule dscm / 0124,0 3=γc . Déterminer le régime d’écoulement et décrire le caractère du

mouvement d’un liquide coloré introduit au centre de la section de la conduite ? uel est le débit qu’on doit transiter par la conduite pour changer le régime d’écoulement ?

- La vitesse d’écoulement est :

Q Solution

scmdQ

SQv /6,54.14,3

70.4.4

22 ==== π

o bre de Reynolds 18060124,04.6,5Re == -Le n m

puisque Re = 1806<2320 donc le régime est laminaire et le filet liquide s’écoule sans se mélanger avec d’autre couche liquide.

- Pour que le régime d’écoulement devient turbulent on calcul la vitesse critique :

scmdcrvcr /192,74

0124,0.2320.Re === γ

/33,904/16.3 3= .

=3,8m, le coefficient d’inclinaison des lus m = 1,5, la profondeur d’eau h = 1,éterminer le régime d’écoulement pour transiter un débit

SvQ 14,.192,7. == scm

Exercice N°02 n canal de forme trapézoïdale de largeur du fond bU

ta 2m. smQ /2,5 3=D , la viscosité

inématique sm /10.01,1 26−=γ c

olution S

SQv= - La vitesse d’écoulement :

- Calcul du rayon hydraulique : χSR=

222 72,62,1.5,12,1.8,3 mmhbhS =+=+= - C’est la section mouillé qui est égale à:

mmhb 13,85,11.2,1.28,31.2 22 =++=++=χ - C’est le périmètre mouillé qui est égale à :

D’ou 83,013,872,6 ==R

d’ou la vitesse égale smv /77,072,62,5 ==

- Le nombre de Reynolds : 2,63277210.01,183,0.77,0Re 6 == − 8

donc l’écoulement est turbulent.

Page 57: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Un courant liquide est la réunion de l’ensemble des filets liquides juxtaposés dans le cas d’un ouvement permanent.

a quantité de mouvement d’une masse liquide qui traverse l’élément dS de surface S avec la itesse réelle V pendant l’intervalle de temps dt

CHAPITRE VI LIQUIDE LE COURANT

VI-1. Introduction

mComme le filet liquide ne peut se concevoir qu’ avec le mouvement permanent, le courant liquide sera toujours pris dans une masse liquide en régime permanent.

I-2. Quantité de mouvement VL

vest :

dtdSVdQdtV 2ρρ = (VI-1)

dSVdtdtdSV 22 ρρ (VI-2)

ent fictive est :

La quantité de mouvement d’une masse liquide qui traverse toute la section est :

∫ ∫=S S

’une autre part la quantité de mouvemd

dtSUQUdt 2ρρ = (IV-3)

u U c’est la vitesse moyenne. ésignons par v l’éxes, positif, négatif ou nul de la valeur réelle de la vitesse d’un filet liquide aversant la section S sur la valeur mo n peut écrire :

oD

yenne U.trO

V = U+ v ou

222 2 vUvUV ++= multiplions par dS et intégrons dans toute la section :

∫ ∫∫ ++= dSvvdSUSUdSV 222 2 S SS

et puisque donc ∫ =S

vdS 0

Page 58: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

+=S

dSvSUdSV 222

n divisant par :

∫ ∫S

SU 2e

SU

dSv

SU

dSVSS

2

2

2

2

1 ∫∫

+=

posons : η 2

2

=∫

SU

dSvS

on obtient :

η 1 2

2

+=∫

SU

dSVS

et supposons que βη=+1 β est appelé : coefficient de quantité de mouvement ou coefficient de Boussinesq. n définitivE

e, la quantité de mouvement réelle est :

22 ρβρ =∫ 4) dt (VI-SUdSVdtS

VI-3. Energie cinétique

’énergie cinétique réelle du courant est : L

∫ ∫=S2

S

dSVdtdtdQV 32 21 1 ρρ (VI-5)

L’énergie cinétique fictive est :

dtQUdtQU 21 2

1 32 ρρ = (VI-6)

de la même façon que la quantité de mouvement en a :

V = U + v 32233 33 vUvvUUV +++=

multiplions par dS et intégrons dans to

dSvdSvUSUdSV 3233 3 0

ute la section S :

∫ ∫∫ +++=S SS

Page 59: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ivisant par : SU 3d

SU

dSv

SU

dSv

SU

dSVSSS

3

3

2

2

3

3

3

1 ∫∫∫

++=

puisque v est petite par rapport à U on peut négliger le terme : S3 . U

dSvS

3∫

’ou D

η3 1 =∫ dSVS

3

3

+SU

upposons que :

αη 3 1 =+ Sα est appelé coefficient d’énergie cinétique ou coefficient de Coriolis.

’énergie cinétique réelle du courant est donc : L

∫ =S

dtSUdSVdt 1 21 33 ραρ (VI-7) 2

n particulier l’applicatio l ique à un filet liquide conduit au éorème de Bernoulli. n tenant compte du coefficient de Coriolis, l’équation de Bernoulli s’exprime comme suit :

E n du théorème de ’énergie cinétthE

CtejUpz g 2 g

2

=+++α

ρ

Remarque

ans la pratique usuelle de l’écoulement dans les conduites D 04.102.1 −=α , dans es aqueducs de section circulaire :L 02.101.1 −=α . énéralement on ignore r exacte de η , pour cela en le néglige et on prend G souvent la valeu

1==βα .

I-4. Couche limite n 1904, Prandtl à montré que l’épure des vitesses dans le cas d’un régime turbulent est onstituée de deux zones, (Fig.VI-1).

VEc

V

Fig.VI-1

Page 60: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

L’une com rps de l’écoulement, dont les vitesses sont égales, et les forces de iscosité sont négligeables par rapport aux forces d’inertie et de turbulence. ’autre située au voisinage des parois, d’une épaisseur

prenant le covL δ (Fig.VI-2) et d’une vitesse qui varie

ès rapidement d’une valeur nu i) jusqu'à une valeur finie. Dans cette ouche les forces de viscosité ne sont plus négligeables par rapport aux forces d’inertie et de rbulence, cette couche s’appelle la couche limite. ’écoulement dans la couche limite peut être laminaire ou turbulent.

e Si on place une plaque plane et très mince dans un liquide de vitesse (Fig.VI-3), on

marque que l’épaisseur de la couche limite est nul à l’entrée de la plaque mince, ensuite

tr l (au contact avec la paroctuL

δ V

Fig.VI-2

VI-4-1. Couche limite laminair

Vr

reVr

cette épaisseur augmente dans la direction de la vitesse .

la nce x , l’épaisseur

δ

V

Fig.VI-3

V

x Paroi mince

A dista de la couche limite est donnée par la formule approchée δsuivante :

υδ

/.5 5 xVRx =≈ (VI-8)

aVvec

la vitesse du courant mesurée loin de la plaque. :υ : le co fficient de viscosité cinématique. R

ente

(VI-8) ainsi que le nombre de Reynolds R . i R dépasse la couche limite n’est plus laminaire et elle devient turbulente.

Donc on peut dire que la couche limi après celle laminaire.

e

: le nombre de reynolds. VI-4-2. Couche limite turbulD’après la (Fig.VI-4) on voit clairement que la couche limite laminaire augmente d’épaisseur comme le prouve l’équation

65 10 a 10Ste turbulente se produit

Page 61: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

a zone de séparation entre les deux couches s ‘appelle zone de transition. Le point qui arque l’origine de la zone de transition s’appel point de transition.

aque et le point de transition est très petite, donc on peut

ite turbulente est :

LmLa distance entre l’entrée de la pladmettre que la couche limite turbulente commence à l’entrée de la plaque mince (Fig.VI-4). L’épaisseur de la couche lim

1

+

=nn

RB

xδ (VI-9)

avec B : est une constante numérique. N : est un exposant qui est proportionnel au nombre de Reynolds.

es expériences montre que pour LR= 510 , on a B=0.33 et n=0.25

V

Zone laminaire

Zone de transition

Zone turbulente

Sous couche laminaire

Fig.VI-4

Les figures (VI-5) et (VI-6) représentent le développement de la couche limite dans le cas d’un régime laminaire et turbulent.

Couche limite laminaire Régime laminaire

Fig.VI-5 Couche limite lamin

aire

Régime turbulent

Fig.VI-6

Couche limite turbulente

Sous couche laminaire

Page 62: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

s t, dans une masse liquide en mouvement permanent, un filet liquide BCD limité par deux section :

(Fig.VI-7).

a théorie des quantité de mouvement de ce filet liquide exprime que la dérivée par rapport au somme des quantité de mouvement de cette masse liquide est égale à la somme

VI-5. Quantité de mouvement dans le cas d’un courant liquide Considérons au tempA

1dSAB= , 2dSCD=

B B’

Ltemps de la des forces extérieures )( eF

rqui lui sont appliquées, soit :

∑mdtd ∑= eFV

rr (VI-10)

Les quantité de mouvement dans les deux parties sont : Sur la partie ABA’B’ est dtVdq 1

Sur la partie CDC’D’ est dtVdq 2 r

ρ Donc la variation infiniment petite de la quantité de mouvement est :

∑ −= )( 12 VVdqdtVmdrrr

ρ ou

∑ −= )( VVdqVmd12dtrrr

ρ

La somme des forces extérieures ) (∑ eF

r

Appliquées respectivement sur les sectionst S est :

1S E 2

A A’

C C’

D D’

V1

dS1 V2

dS2

Fig.VI-7

Page 63: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

12 VdqVdqrr

ρρ − Souvent le théorème des quantité de mouvement s’écrit de la façon suivante :

∑=− eFUdqUdqrrr

11 22 ρβρβ (VI-11) ou

ηβ +=1

1U et sont les vitesses moyennes.

énéralement la perte de charge totale est égale à la somme des perte de charge linéaire et la erte de charge singulière :

(VI-12)

I-6-1. Perte e linéaire ’expression de la perte de charge le long d’une conduite rectiligne et d’une section ansversale constante est :

2U VI-6. Perte de charge totale Gp

sl jjJ += V de chargLtr

LgU

D

jl .λ= 2 (VI-13)

oyenne dans la conduite L : longueur de la conduite

: l’accélération de la pesanteur

2

avec U : vitesse m

D : diamètre de la conduite gλ : c’est un coefficient adimensionnel qui dépend de la nature de l’écoulement (nombre de

eynolds) et de la rugosité des parois de la canalisation, appelé aussi coefficient de frottement.

mination du coefficient de frottement

R VI-6-1-1. Déter λ

a) Cas d’un régime laminaire Dans le cas d’un régime laminaire le coefficient de frottement est fonction seulement du nombre de Reynolds R, suivant la formule :

R64 =λ (VI-14)

b) Cas d’un régime turbulent

de frottement dans le cas d’un régime turbulent, on a deux types de conduites : conduites hydrauliquement lisses et rugueuses. Pour déterminer le coefficient

La surface des parois des conduites limitant le courant liquide n’est pas toujours parfaitement lisse à cause de présence des aspérités ∆ et des rugosité ε .

e et de l’usinage des parois des conduites. La différence entre les deux types de conduite est déduite en fonction du rapport entre les dimensions des aspérités et l’épaisseur du film laminaire

Ces aspérité dépend de la natur

∆ δ on distingue trois condition :

Page 64: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

es aspérités est inférieur à l’épaisseur du film laminaire ∆ δSi la hauteur d , toutes les n

tère de

sont appelées hydrauliquement lisses et le coefficient de frottement est fonction du iné par les formules suivantes :

irrégularités sont immergées dans le film laminaire et le liquide s’écoule d’une façolaminaire, Dans ce cas la rugosité des paroi n’a aucune influence sur le caracl’écoulement. Ces paroinombre de Reynolds R, et il est détermLa formule de Nikuradse :

237.0 221.0 0032.0 R+=λ (VI-15)

La formule de Schiller et Hermann :

La formule de Filonenko t A e ltschoul :

( ) 2 64.1log 8.1 −−= Rλ (VI-16)

3.0 0054.0 R+=λ (VI-17)

La formule de Von Karman :

396.0

λλ R51.2 log 2 1 −= (VI-18)

d rochage uivi d’un échange intense des particules. Le coefficient de frottement dans ce cas dépend de rugosité des paroi et le régime est en pleine turbulence. Ces conduites s’appellent

hydrauliquement rugueuses et le coe nt est déterminé par la formule de Nikurad

Si la hauteur des aspérités dépasse l’épaisseur du film laminaire, les irrégularités des parois pénètrent dans le noyau turbulent et le courant s’écoule autour des aspérités avec écsla

fficient de frottemese suivante :

D 3.7 log 2 - 1 ελ= (VI-19)

rook présenta la formule qui permet de calculer le coefficient de frottement

Si la hauteur des aspérités est égale à l’épaisseur du film laminaire dans ce cas le régime est de faible turbulence, et l’écoulement est similaire à celui pour les conduites lisses. VI-6-1-2. Formule de Colebrook En 1939, Colebpour une conduite de diamètre D et de rugosité donnée. La formule de Colebrook est :

⎥⎤1 ⎦⎢⎣

⎡ +=λ

ελ RD

5.2 7.3 log 2 1 VI-20)

emarque

− (

R

Page 65: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ouvent on utilise le graphique de Moody pour déterminer le coefficient de frottement ig.VI-11).

I-6-2. Perte de charge singulière es pertes de charges singulière sont dues essentiellement à la présence des obstacles ou une

S(F VLvariation de la section transversale ou de changement de la direction de l‘écoulement. La relation qui permet d’évaluer les pertes de charges singulière est la suivante :

gj s 2 U 2 ξ

= (VI-21)

avec U : vitesse moyenne ξ : coefficient de perte de charge singulière qui dépend de la forme et des dimensions de la singularité.

ξD di (Fig.VI-8) le coefficient ans le cas d’un coude arron est donné par le tableau suivant :

ans le cas d’un coude sans arrondissement our obtenir le coefficient

Dp ξ il faut multiplier les valeurs du tableau (VI-1) par le rapport :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎛

⎝0 90

α .

ans le cas d’un Elargissement brusqu Fig.VI-9) : D e (

( )gs 2 (VI-22)

ou 21 ,UU sont les vitesses moyennes

U 2 2−

ans le cas d’un Rétrécissement brusque (Fig.VI-10):

Uj 1=

D

S1 S2 U1 U2

Fig.VI-9

S1 S2 U2 U1

Fig.VI-10

r0 / R

ξ

0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 0.5 1

0.131 0.138 0.158 0.206 0.294 0.440 0.661 0.977 1.408 1.978

TAB (VI-1) 090=α

R

r0

Fig.V-8

Page 66: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

gUjs 2 5.0

2 2 = (VI-23)

u est la vitesse moyenne dans la conduite rétrécie.

alculer la perte de charge linéaire pour 1000 m de longueur de tuyau de fonte neuve, sans

revêtement, le diamètre intérieur égal à 30 cm, la vitesse d’écoulement est 1,5 m/s , la viscosité cinématique est 6−=

2Uo

Exercice N°01C

sm /10.13,1 2γ et la rugosité égale à 0,024 cm. on

-Calcul du nombre de Reynolds : Soluti

56 10.98,310.13,1

3,0.5,1.Re === −γdv l’écoulement dans ce cas est turbulent.

- Calcul de la rugosité relative

0008,030024,0 ==d

ε

reportons les valeurs du nombre de Reynolds et la rugosité relative sur le diagramme de Moody en trouve le coefficient de frottement 40 0 9, 1=λ - Calcul de la perte de Charge

7,65m.1000 81,9.2.3,00194,0 2. === Lgj

5,1 22vdλ

e N°02 Calcul le coefficient de frottement Exercic

λ par la formule de Colebrook pour un écoulement de l’huile dans un tuyau de fontviscosité cinématique

e asphaltée de 15 cm de diamètre, si le débit Q=13 l/s, la sm /10.10,2 26− et la rugosité cm012,0=ε . =γ

Solution - Calcul du coefficient de frottement :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +− ε

λ RD2 3 log 2 1 =λ

51. d’après la formule de Colebrook 7.

La vitesse d’écoulement est smQv /735,010.13 3

===−

S 10.77,1 2−

Reynolds

5250010.1,215,0.735,0.Re 6 === −γ

dv Le nombre de

Donc l’écoulement est turbulent et il est possible d’appliquer l’équation de Colebrook - Supposant que la première valeur du coefficient de frottement est 0,05 et remplaçant dans l’équation de Colebrook on obtient :

0,0220 05,05250015,0.7,3⎣λ

51.2 10.012,0

log 2 12

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎡

+−=−

λ

s et on trouve la valeur final

Remplaçons la nouvelle valeur du coefficient de frottement et répétant la même procédure jusqu'à l’obtention des même valeur 0235,0=λ

Page 67: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

xercice N°03 ne canalisation horizontale (A-B) de 100 cm dia tr ntérieur, de 2500 m de longueur, ansporte du pétrole de densité 0,912 avec un débit de 1,20 avec une perte de charge tal de 22 m, quelle doit être la pression en A pour que la pression en B soit :1,4

CHAPITRE VII ECOULEMENT PAR LES ORIFICES, AJUTAGES ET DEVERSOIRS

tockés. Ces ouvertures pelées les orifices. Si l’orifice est muni d’un tuyau court cet orifices s’appel ajutage.

n peut considérer que les pertes de charges dans les orifices et les ajutages sont des pertes de charge locales.

ous l’action dominante de la force de

On considère l’orifice petit si sa dimensi t inférieure au terme 0.1H . celui dont les bords sont effilés et l’épaisseur de la paroi ne

tion s’appelle section contractée. a contraction du jet est caractérisée par un coefficient de contraction

EU de mè e i

sm /3tr2/cmkgto

VII-1. Introduction Les ouvrages hydrotechniques telle que les réservoirs, les barrages, les écluses peuvent

ir des ouvertures pour pouvoir exploiter ou vidanger les eaux scontenont aps

O

L’écoulement par les orifices et les ajutages a lieu sesanteurs et de la charge H (Fig.VII-1). p

A A

C

Les orifices peuvent avoir plusieurs forme géométrique et on peut les classés suivant les dimension relatives (orifices petit ou grand) et suivant l’épaisseur relative de la paroi (orifice a paroi mince ou épaisse).

on verticale esOn appelle orifice a mince paroi dépasse pas 3d. A une certaine distance de la paroi, la courbure des lignes de courant diminue, les filet se disposent presque parallèlement et on observe une réduction notable de la section liquide du jet déversant, cette secL ε qui est le rapport de la surface du liquide contracté

tCS à la surface de l’orifice S.

S

S tC =ε

C O O

P0 0.5 d

S

Sc

Fig.VII-1

H d

Page 68: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

contraction du jet écoulant est maximale à 0.5 de diamètre à partir de la surface intérieure de la paroi du réservoir lorsque le jet est soumis à la contraction suivant tout le périmètre de l’orifice, la contraction est complète. La contraction est incomplète si le jet ne subit pas la contraction d’un coté ou de plusieurs

( Fig.VII-2).

n est complète, elle peut être parfaite ou imparfaite. :

la contraction est parfaite. Si la contraction est imparfaite.

le d’un réservoir de charge H et ne pression extérieur par un orifice en mince paroi. tablissons l’équation de rnoulli entre les section A-A et la section contracté C-C

la

cotés de l’orifice

l2

l

a

1

Fig.VII-2

b

Si la contractio

utrement dit ASi blal 3 et 3 2 1 >>

blal 3 et 3 2 1 << VII-2. Orifice en mince paroi non noyé Examinons un cas générale (Fig.VII-1) d’un liquide qui s’écou

0 puE Be

jgV

gp

gV

gpH CC 2 0 + =2

2

2 00 +++ ρρ

s pertes de charges totales sont égales aux rtes de charges locales et sont données par la rmule suivante :

+

le pefo

∑= gVj C

2 2

ξ

si on désigne 0H par l’expression :

0H = gVpp 2

00 −g ρ

donc

H 2 ++

=0H ∑+ ) 1 ( 22

ξgVC

par conséquent la vitesse dans la section contracté est :

Page 69: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

02 1

1 gHVC

∑+=

ξ

posons que

∑+ ξ1 =ϕ

1

ou ϕ : est appelé coefficient de vitesse. lors A

0 H 2 gVC =

d’ou le débit dans la section contracté est :

ϕ

02 gHSVSQ CC ϕε==

µEn introduisons le coefficient de débit qui est égale a : εϕµ =

Donc le débit du liquide dans le cas d’un orifice non noyé est :

02 gHSQ µ= Remarques Dans la pratique la pression 0p est la pression atmosphérique. Lorsque le nombre de Reynolds dépasse 100000, les coefficient de vitesse et de débit sont constants et égaux aux valeurs suivantes :

62.0 60.0 à=µ , 97.0 =ϕ . VII-3. Orifice en mince paroi noyé Examinons un écoulement par un orifice en mince paroi qui se fait dans le liquide, dans ce cas

s niveaux du liquide de deux cotés ne varient pas, et les pressions sur les surfaces libres sont (Fig.VII-3).

leégales à la pression atmosphérique atm

p

A A

B B

z1

z

z2 C

Patm

Patm

C

O O

Fig.VII-3

Etablissons l’équation de Bernoulli entre les sections A-A et B-B par rapport au plan O-O qui passe par le centre de l’orifice on obtient :

jzz 21 +=

Page 70: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ans ce cas la perte de charge totale j est égale à la somme de la perte de charge dans l’orifice n mince paroi et de la perte de charge due à l’élargissement brusque.

DeDonc

∑ += gV

gVj CC

2 2 2 2

ξ

vitesse du liquide dans la section contracté est : la

zgVC 2

1 1 ∑+

omme dans le cas précédent on obtient : c

zgVC 2 ϕ= et zgSQ 2 µ= pour des grandes valeurs du nombre de Reynolds 97.0 =ϕ , 62.0 5.0 à=µ .

VII-4. Ecoulement par les ajutages On appelle ajutage un tube court raccordé d’une façon serrée à l’orifice en mince paroi si

eur de l’ajutage est : l = (3 à 5)d.

ou d : diamètre de l’ajutage.

re un écoulement par un A-A et B-B par

O-O :

l’entrée de l’ajutage a un bord vif, le jet du liquide remplit totalement la section transversale de l’ajutage si la longu

Pour calculer la vitesse et le débit dans le cas d’un ajutage, on considèjutage (Fig.VII-4) et appliquons l’équation de Bernoulli entre les sections a

apport au plan

jgV

gp

gV

gpH atmatm 2 0 2

2 2

2 0 +++=++ ρρ

avec: 0V : c’est la vitesse dans le plan A-A : c’est la vitesse dans le plan B-B 2V

Dans ce cas la perte de charge totale j se réduit pratiquement à la perte de charge due au rétrécissement brusque :

gVjj S == 2

5.0 2

2

gV

gV2g

VH 2 5.1 5.0 2 2

22

22

20 =+=

donc on obtient

02 2 HgV ϕ= avec

Page 71: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

5.1 1 =ϕ

le débit qui traverse l’ajutage est déterminé par la formule suivante :

0 2 HgSQ µ=

ans ce casd 1 =ε

pour ce type d’ajutage les coefficients ϕ µet ne dépendent pas du Reynolds et si Re >10000 sont égaux à:

82.0 ==ϕµ

insi l’ajutage cylindrique extérieur de longueur (3 à 4) d possède un rendemA ent supérieur à elui d’un petit orifice en mince paroi de 32% environ, donc s’il faut augmenter le débit, il uffit de raccorder à l’orifice un ajutage cylindrique extérieur.

Le rd une contraction (Fig.VII-5), dans cette la pression diminue ce qui provoque l’augmentation de la vitesse .

fin d’assurer le bon fonctionnement, la charge de l’écoulement par un ajutage cylindrique

cs Remarque

jet arrivant dans l’ajutage subit tout d’abosection il se crée un vide etAextérieur ne doit pas dépasser 11.0 m. Dans le cas d’un écoulement par un ajutage noyé 82.0 == µϕ , comme en écoulement dans l’atmosphère. VII 1 Ce e térieur du réservoir .

i l = (3 à 4 ) et on a :

-4- . Ajutage cylindrique rentrant

typ d’ajutage est appelé aussi ajutage de Borda qui est placé à l’inS )d le jet s’écoule par l’ajutage en section totale (Fig.VII-5.a

1 ; 1 ; 71.0 ==== ξεϕµ Si l < 3d le jet ne s’écoule pas sur la section totale de l’ajutage (Fig.VII-5.b) et on a :

; 97.0 ; 0.51 ====

0.06 ; 0.53 ξεϕµ

A A

C

C

O O

Patm

H

Fig.VII-4

B

B

A A Patm

H l=(3-4)d

A A Patm

H l<3d

d d

Page 72: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ieur au débit par un ajutage cylindrique sortant de 13.5% , ais supérieur de 14 % environ au débit par un petit orifice en mince paroi.

II-4-2.Ajutage conique convergent ’est un cône raccordé à l’orifice dans la paroi du réservoir . ans ce type d’ajutage les pertes de charges sont inférieures à celles d’un ajutage cylindrique. la sortie on observe une contraction auxiliaire dont la présence est un inconvénient des

jutages coniques convergents.

Remarque Les résistances en écoulement du liquide engendrées par un ajutage cylindrique rentrant sont supérieurs à celles qui caractérisent l’ajutage extérieur ce qui implique que le débit par un ajutage cylindrique rentrant est inférm VCDAa

Le coefficient de vitesse et le coefficient de débit sont donnés pour un angle 0 13 =θ :

97.0 ; 0.95 == ϕµ VII-4-3. Ajutage conique divergent

Dans ce type d’ajutage on observe le décollement du jet des parois. En moyenne, on peut considérer que les coefficient de débit et de vitesse à la section d’entrée sont égaux et égalent a :

45.0 ==ϕµ

s. ans les conditions de la charge variable, la pression, la vitesse d’ écoulement et le débit du quide changent à l’instant considéré par rappo t à l’instant précédent. Par conséquent un tel coulement est un écoulement non permanent pour lequel il est impossible d’appliquer équation de Bernoullians la pratique l’obje l’écoulement du liquide en charge variable

st la détermination du p e vidange.

II-5-1. Temps de vidange d’un réservoir muni d’un orifice

ig.VII-6). près l’ouverture de l’orifice, le niveau d’eau va s’abaisser progressivement.

VII-5. Ecoulement en charge variable L’écoulement en charge variable à lieu lorsque le niveau du liquide dans un réservoir varie dans le tempDli rél’ . D ctif essentiel dans l’étude dee tem s d V

Cas générale Soit un réservoir de forme quelconque non alimenté et rempli a une hauteur H (FA

H

S

Sh

h s

dh D C

H1

Page 73: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

i la section transversale du réservoir est toujours assez gran ue les vitesses de

es à l’intérieur du réservoir soient constamment négligeables quand le niveau

S de pour qmolécules liquids’abaisse, on a constamment pour toute hauteur h.

ghQ 2 s µ=

pen n de cont

ou

da t le temps dt le niveau s’abaisse de dh. Soit hS la surface pour la hauteur h. l’équationinuité s’écrit :

dhSdtQ h −=

hdhSdtg h 2 s µ −=

e temps nécessaire pour que le niveau s’abaisse de A B à C D sera : L

∫−= 2 s dhhhStgµ

1 H

H

d’ou

dhh

Sg

tH

H

h 2 s

1 1 ∫=

µ

et le temps nécessaire à la vidange complète sera donné par la formule :

dhh

Sg

tH

h 2 s

1 0∫=

µ

Cas d’un réservoir cylindrique vertical

ir cylindrique vertical de section droite constante s. Soit un réservoD’après le raisonnement précédent

hdhSdtg 2 s −=µ

ctehtg

S 2 2 s 1 +−=µ l’intégrale donne :

pour t = 0, h = H, donc C = 2 H et l’équation s’écrit :

) ( 2 2 s 1 hHtgS

−=µ

la durée de vidange totale T s’obtient si h= 0 soit :

Page 74: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

gHsHST2 2

µ=

VII-6. Ecoulement par les déversoirs

II-6-1. Définition n déversoir est un orifice superficiel ouvert à sa partie supérieur, le mouvement du liquide

ur cette partie s’appelle écoulement par le déversoir et la partie de l’ouvrage par lequel ’effectue l’écoulement s’appelle seuil d versoir .VII-7).

Ou

ersoir. l: épaisseur de la paroi du déversoir.

ur du déversoir. haval : profondeur d’eau dans la partie aval.

: la vitesse d’approche du courant en amont. hd : hauteur du déversoir.

VII-6-2. Classification des déversoirs La classification des déversoirs est basés sur les caractéristique du déversoirs telle que le

is cas : Si l < 0.5 H le déversoir est en mince paroi .

ir est à seuil épais Si 0.5H < l < 2H le déversoir est à seuil normal.

VII-6-3. Equation générale des déversoirs Le débit dans le déversoir dépend de la largeu b du déversoir, de la charge H, de la vitesse d’approche du courant et de l’accélération de la pesanteur g. Pour un déversoir dénoyé le débit est donnée par la formule suivante :

VUss u dé (Fig

H : la hauteur d’eau en amont du dév

B : largeur du canal. b : large

0v

profil, les dimensions de la section transversale. En fonction des dimensions de la section transversale de la paroi on distingue tro

Si 2H < l < 10H le déverso

r0v

2/300 ..2.. HgbmQ = (VII-1)

ou : c’est un coefficient q i s’appelle coefficient du

éversoir. : c’est la charge totale.

) ou

0m : c’est un coefficient q i s’appelle coefficient du éversoir.

0H : c’est la charge totale.

0m ui tient compte du type du déversoir et quui tient compte du type du déversoir et qudd

0H

hd1

hd2

l H V0

haval

z

b B

Fig.VII-7

Page 75: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

gv

HH.2

20

0 +=

dans le bief aval influe surPour un déversoir noyé l’eau qui se trouveiminue le débit.

l’écoulement ce qui

r il faut introduire le coefficient qui es inférieur à l’unité et le formule suivante :

d nσDans ce type de déversoi

débit est donné par la

2/300 ..2... HgbmQ nσ= (VII-2 )

VII-6-4. Déversoir rectangulaire droit dénoyé en mince paroi Les déversoirs en mince paroi sont souvent utiliser pour mesurer les débits du liquide dans un courant à surface libre (Fig.VII-8).

paroi, on utilise souvent la formule (IX-1) ans laquelle le coefficient du débit est définis par la relation empirique de Rehbock :

our déterminer le débit du déversoir en minceFig.VII-8

Pd

HHhd

m 70053.0403.00 ++=

II-6-5. Déversoir rectangulaire droit noyé en mince paroie déversoir est noyé (Fig.VII-9) si le niveau haut que le seuil du éversoir c’est à dire :

ule (IX-2 ) ou le ns ce cas est calculé par la formule de Bazin :

00.

V L du bief d’aval est plusd

0>−=∆ hdhaval e débit du déversoir noyé en mince paroi est déterminé avec la forml

coefficient nσ da

3 .⎟⎠

2.01 05.1Hz

hdn⎞

⎜⎝⎛ ∆+=σ

ersoir rectangulaire droit dénoyé à seuil épais

haval hd2

z H

hd1 V0

Fig.VII-9 VII-6-6. Dév

Page 76: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Pour ce type de déversoir (Fig.VII-10), le débit t calculé par la formule suivante : es

)(.2.. 0 hHghbQ −= ϕ (VII-3) ou

:ϕ coefficient de vite : largeur du déversoir

sse

: la charge totale en amont : est calculé d’après la formule de Belanger

b0H

h

032Hh=

hd1

hd2 l

H V0

haval

Fig.VII-10 Exercice N°01

ans le corps d’un barrage béton, o rojète une vidange de forme circulaire d’une ngueur l = 5 m, la charge au dessus de la vidange d’un écoulement dénoyé est de H1 = 6,5m, différence des cotes entre le bief amont et aval H2 = 15 m, la vitesse d’approche de l’eau v 0,5 m/s.

- Déterminer le diamètre d de la vidange si le débit Q = 12000 l/s ? - Si le niveau d’eau dans le bief aval augmente de 10 m, quelle sera la capacité de cette

vidange ?

Solution - On peu considérer cette vidange un ajut e, d’ou on peu appliquer les même formules. - Calcul du diamètre

D en n plola=

H1 H2

V

ag

..2.. HgSQ µ= puisque le débit égale

23,15,6.81,9.2.82,0

12..2.

mHg

S ===⇒µ

nc le diamèt st

Q

do re e :

mS 1.4 ==d 29,π

oyée et la charge devient : - Si le niveau dans le bief aval augmente de 10m la vidange fonctionnera comme un ajutage n

mz 51015 =−= /s10,55m 5.81,9.2.3,1.82,0 ..2.. 3

1

Exercice N°02

=== zgSµ

Au fond d’un réservoir d’une section

Q

24,2 mS= , il est réaliser un orifice de diamètre d = 6 cm. min oitié ? si la hauteur de

r

e vidange : dans ce cas H1 = 2 m et H2 = H1/2=1 m

Déter er le temps t nécessaire pour que le réservoir se vidange à la mremplissage au moment de l’ouvertu e de l’orifice est de h = 2 m. Solution - Calcul du temps d

Page 77: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

le temps de vidange est donné par la form suivante :ule ( )212 HHt −=

.2.. gsµ.S

La section de l’orifice est 22

406,0.14,3

s ===2

0028,04.

mdπ

Le temps de vidange sera ( ) st 2581281,9.2.0028,0.62,0

4,2.2 =−=

Exercice N°03 Déterminer la largeur d’un déversoir rectangulaire mince paroi, si le débit Q = 520 l/s ,

largeur du canal B = 2,4 m.

Solution En supposant que le déversoir est sans contrac ine le coefficient du débit par

àP1=P2=0,4 m , H=0,35 m et la

H

P1 P2

tion et on détermla formule de Bazin

( ) ⎟⎠

⎜⎝ +⎟

⎠⎜⎝0 1PHH

⎞⎛ +⎞⎛ +=2

0,551 0027,0405,0 Hm

46,04,035,035,00,551 35,0

0027,0405,0⎜⎛ +=m2

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

++⎟⎠⎞

- Calcul de la largeur du déversoir :

mQ 23,152,0== Hgm 35,0.81,9.2.462,0.2. 2/32/3

0

=

uisque B>b donc il existe une contraction latéral qui peut être déterminée par la formule de ulg :

b

pH

( ) ( ) ⎟⎠⎝ +⎠⎝ 1 0,551 PHBBHC ⎜

⎛⎟⎞⎜⎛ −−+= 03,00027,0405,0 bBm ⎞+

22 Hb

41,04,035,035,023,1

4,223,14,203,00027,0405,0

22

⎟⎞

⎜⎛ ⎞⎛⎞⎛⎞⎜

⎝⎛ −−+= HmC 4,2 0,551 =⎟

⎠⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ +⎟

⎠⎜⎝

+⎟⎠

e la même manière on calcul b avec mc d

mHgm

QbC

38,135,0.12.410,0.2. 2/32/3

===

n remplace b dans la formule de Hulg une deuxième fois on obtient mc=0,412

t

5,0 28,9.

o

mb 38,135,0.81,9.2.412,0

52,02/3 == c’est la valeur définitive de b.

e

Page 78: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE VIII LES RESEAUX DE DISTRIBUTION

aillés et les réseaux ramifiés.

éseaux maillés

ge de ce type de réseau c’est qu’il permette l’alimentation en retour en cas de panne ans une conduite et cela après isolation du tronçon défectueux. omme dans le cas des réseaux ramifiés, le problèm e à d s débits dans us les tronço ui, une fois conn , permettrons de calculer les charges en chaque point

u réseau.

III-1-2.Méthode de Hardy Cross ette méthode repose sur l’approximation successive et elle se base sur les deux lois

uivantes :

) Première loi n un nœud quelconque des conduites, la somme des débits qui entrent à ce nœud est égale à somme des débits qui en sortent. (Fig.VIII-1).

) Deuxième loi e long d’un parcours orienté et fermé, la somme algébrique des pertes de charges est nulle

(Fig.VIII-2).

réseau de distribution est un ensemble de conduites raccordées d’une façon serré et elle permet l’acheminement de l’eau a des endroits bien précis. D’une manière générale les réseaux de distribution peuvent être classées en deux grandes familles : Les réseaux m VIII-1. RVIII-1-1. Définition Un réseau maillé est un ensemble de conduite qui forment des boucles fermées dites mailles. L’avantadC e consist éterminer leto ns q uesd VCs aEla

QAQB

QD

QD

QB

QC

B A

DC

QA = QB + QD QC = QB + QD

Fig.VIII-1 Cette loi est évidente et est approchée de la loi de Kirchhoff en électricité. bL∑ = 0j

+

QF

QA

Q E

QB

QC

A F

E D

B

C

J1 Q1

J6 Q6

J3

Q5 Q2 J2 J5

J4

Page 79: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ette loi appliquée au contour ABCDEF , ou l’orientation positive est donnée par le sens du éplacement des aiguilles d’une montre, donné pour le sens d’écoulement de l’eau indiqué par s flèches.

a méthode de Hardy cross consiste tout d’abord à se fixer dans chaque maille une répartition rbitraire des débits ainsi qu’un sens supposé d’écoulement. nsuite un diamètre arbitraire est choisi (optimal) et l’on calcul les pertes de charges

arbitrairement

et tels que :

= =

- les pertes d g t en A C .

hoisissons donc le diamètre avec les débits et qui engendreront les pertes de charges sur ADC et

ur ABC.

Cdle

0123456 =−−−−+ jjjjjj LaEcorrespondante.

ante : Soit la maille suiv

+

Q

QCQ2

A

Q2

Q1

J1

Q1

D A

J2 B

C

g

Fi .VIII-3

Supposons que l’on décomposele débit AQ en 1Q 2Q

AQ 1Q + 2Q CQ

e char es to ales tre et B et sont 2j- les pertes de charges totales entre A et D et C sont j . 1

C 1Q 2Q

1j 2j S

Page 80: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ier, d’après la deuxième loi et compte tenu de l’orientation d’une maille :

I Ordinairem ce li a r e t od

e ier en conséquence la valeur de .

oit la valeur dont il est nécessaire de modifier le débit. te à par exemple il faudra la déduire de afin que

ar ailleurs on a : et R=

O n e is ce nRe pl ’ t V

1 RQQR

e

On doit alors vérif

1 −j 02 = j (V II-1)

ent, tte éga té n’est p s vé ifies du p iafin rem r coups et il es nécessaire de m ifier

la répartition initiale supposée des débit 1Q et d rectif 2Q

21 et jj 1Q∆S

1Q∆ 1Q 2QPour arriver à ce but, si on ajoue la même. la somme AQ rest

P2

111 .QRj = j 22.Q 22

1R , 2Ru représe tes l s rés tan s des co duites. m açons dans l équa ion ( III-1) .

0 )21 =(2 Q)2

1 −(1 2 ∆+ Q∆+

En négligeant les termes en 21Q∆ on trouv :

)(2 2211

22 2

21

1 QRQRQRQRQ

+−

Et puisque

1 +=

21

1 QR =

j , 22

Q

22R =

j

1

On obtient :

)(22

2

1

1

211

Qj

Qj

jjQ+

−−=∆

Puisque c’est la somme des pertes de charges, en tenant compte du signe.

Et

21 jj −

∑=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Qj

Qj

Qj

2

2

1

12

On aura définitivement :

∑∑−=

jQ1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∆

Qj2

calculée de la façon que nous venons de voir.

En conséquence, dans une première approximation les nouveaux débits deviennent dans l’exemple choisis :

11 QQ ∆+ et 12 QQ ∆− Si dans ces cas ces condition, la deuxième loi n’est pas encore satisfaite, il faudra de nouveau corriger les débits d’une valeur de ∆ 2Q

Page 81: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

III-1-3. Cas de deux mailles

ans le calcul de la première maille (I) QF1 a un signe positif et dans le calcul de la deu m

VIII-2. Réseaux ramifiés VIII-2-1. Définition Se sont des réseaux ou, les conduites ne comporte aucune alimentation en retour.

is il manque de sécurité et de souplesse en cas de rupture car un accidents sur la conduite principale prive d’eau toutes la partie qui se trouve en aval (Fig.VIII-5). VIII-2-2. Calcul d’un réseau ramifié Le calcul d’un réseau ramifié s’effectue a p rtir des données de départ et qui sont : les longueurs des tronçons du réseau, les débits en chaque tronçon, et les données topographiques. Durant le calcul en doit assurer des pressions suffisantes et des vitesses optimales dans tout le

xercice Soi e -dessous, calculer les diamètres des can s ion à partir d’une répartition arbitraire ( méthode de Hardy- Cro .

VDans le cas de deux mailles (Fig.VIII-4) le tronçon EF est commun entre les deux mailles,d

xiè e maille QF1 est négatif.

QA Q QB

Ils présentent l’avantage d’être économique, ma

a

réseau. E

t l réseau maillé représenté dans la figure ciali ation en utilisant des itératss)

Source

Fig.VIII-5

+ +

A B E E

QC2QF1QD I II

QF2 QC1 QC D C F

Fig.VIII-4

Débit nodal Réservoir 12

217.3

Q=65 l/s

1 2

8,9

Page 82: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Solution n donne une répartition arbitraire des débits et on choisis des diamètres approximatif qui

ient des vitesses entre 0,5-1,5 m/s en déduit les pertes de charges d’après les abaques de

suivante :

a première approximation

Maille Maille tronçon Q D V L

m J

M/m J.L M

J.L/Q S/m2

CPM CPMA CT Débit corrigé

OvérifColebrook White. -Proposons la répartition arbitraire 12

LPremière maille

voisine L/s mm M/s 1 - 1-2 -34 200 1,10 98 -0,0113 -1,1074 0,03257 -1,112 - -1,112 -35,112 1 2 2-5 -4,1 100 0,55 102 -0,0068 -0,6987 0,17041 -1,112 -0,7229 -1,8349 -5,9349 1 - 1-6 19 150 1,10 85 0,01649 1,40165 0,07377 -1,112 - -1,112 17,888 1 - 6-5 10,1 125 0,85 105 0,01246 1,3083 0,12953 -1,112 - -1,112 8,988 90385,0 =∑ 40628,0=∑ 112,1−=∆Q Deu è

Maille Mv

Cxi me maille

aille oisine

tronçon Q D V L J J.L J.L/Q CPM PMA CT Débit corrigé

2 71 - 2-3 -8,9 125 0,75 91 -0,0097 -0,8827 0,09918 0,7229 - 0,7229 -8,172 - 3-4 -1,6 40 1,30 75 -0,1475 -11,069 6,91781 0,7229 - 0,7229 -0,8771

217.3

Débit nodal Réservoir

8,9

105,8

Q=65 l/s

1 2

35 8,9

1,6

4,2

19 1 2 3

10,1

4,1

4 5

6

Page 83: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

2-5 4,1 100 0,55 102 0,00685 0,6987 0,17044 0,7229 1,112 1,8349 5,9349 2 2 2 - 5-4 4,2 100 0,55 89 0,00718 0,6397 0,1523 0,7229 - 0,7229 4,9229 6128,10−=∑ 3397,7=∑ 7229,0=∆Q

Premiè

M M.

t t é

La deuxième approximation

re maille

V ronç Q D V L J J.L J.L/Q CPM CPMA CT Débicorrig

1 - 0,03440 0,40245 - 0,40245 -34,7091-2 -35,112 200 1,15 98 -0,012327 -1,208046 1 ,44738 0,2440 0,40245 0,2031 0,19935 -5,73182 2-5 -5,9349 100 0,80 102 -0,01419 -11 - 90 1-6 17,888 150 1,05 85 0,0146 1,24372 0,0695 0,40245 - 0,40245 18,21 - 0 6-5 8,988 125 0,75 105 0,00989 1,303866 0,11556 0,40245 - 0,40245 9,39

37304,0−=∑ 46346,0=∑ 40245,0=∆Q

euxième maille M Maille

voisine tronço

n Q D V L J.L J.L/Q CPM CPMA CT Débit

corrigé

D

J

2 - 2-3 -8,1771 125 0,70 91 -0,0082 -0,7462 0,09125 0,2031 - 0,2031 -7,974 2 - 3-4 -0,8771 40 0,70 75 -0,0444 -3,33 3,7966 0,2031 - 0,2031 -0,674 2 1 01422 1,45 0,24431 0,2031 -0,4025 -0,1993 5,7356 2-5 5,9349 100 0,80 102 0,2 - 0,87487 0,17771 0,2031 - 0,2031 5,126 5-4 4,9229 100 0,65 89 0,00983

7513,1−=∑ 30987,4=∑ 2031,0=∆Q

a troisième approximation remière maille

M M.V

tronç Q D V L J J.L J.L/Q CPM CPMA CT Débit corrigé

LP

1 - 1-2 -34,709 200 1,15 98 -0,0792 -1,155616 0,033294 0,0849 - 0,0849 -34,6241 2 2-5 -5,7318 100 0,75 102 -0,013279 -1,354458 0,236305 0,0849 -0,05578 0,02912 -5,70261 - - 0,0849 18,374 1-6 18,290 150 1,05 85 0,015286 1,29931 0,071039 0,0849 1 - - 0,0849 9,4749 6-5 9,390 125 0,80 105 0,010785 1,132425 0,120599 0,0849

07833,0 −=∑ 461237,0=∑ 0849,0=∆Q

M MV tronç Q D V L J J.L J.L/Q CPM CPMA CT Débit corrigé

Deuxième maille

on 2 - 8 -0,709618 0,088991 0,05578 - 0,05578 -7,9182 2-3 -7,974 125 0,65 91 -0,007792 - 3-4 -0,674 40 0,55 75 -0,026367 -1,97752 2,9340 0,05578 - 0,05578 -0,61822 2 1 2-5 33 1,3566 0,236522 0,05578 -0,0849 -0,02912 5,70648 5,7356 100 0,75 102 0,012 - 5-4 , 0,946248 0,184597 0,05578 - 0,05578 5,18178 5 126 100 0,70 89 0,010632

38,0−=∑ 44,3=∑ 055,0=∆Q c’e bit. st la répartition final des dé

Page 84: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

APIT E IX

X-1. Introduction

es écoulements à surface libre sont écoulements qui comportent une surface libre en contact vec l’air, généralement soumise à la pression atmosphérique. et écoulement peut se faire soit dans des canaux naturels tels que les (rivières, isseaux,….etc. ) ou dans des canaux artificiels qui sont réalisés par l’homme tels que les

anaux de drainage et d’évacuation.

emarque i la largeur du fond du canal ne change pas en longueur le canal est dit prismatique, si non le anal est dit non prismatique.

es écoulements à surface libre en régime permanent peuvent se présenter deux aspects :

dinale (dans le sens d’écoulement) et la section transversale sont ng de la masse liquide, le régime est uniforme.

ontraire, le régime est non uniforme. ccessivement ces deux cas :

X-

CH RECOULEMENT A SURFACE LIBRE

I LaCruc RSc L

Si la pente longituconstante tout le lo

Dans le cas cous examinons, suN

I 2. Régime uniforme Dans le cas d’un écoulement en régime uniforme, il s’établit une pression constante, en général, celle atmosphérique. C’est pourquoi, pour ces courant la pente piezométrique égale à la pente de la surface et égale à la pente hydraulique (Fig.IX-1).

libp III ==

I Ip

i

J

Q

V

α

gV 2

2

gV2

2

Fig.IX-1

g ρp

gp ρ

Page 85: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

onc on peut dire qu’un écoulement uniforme est possible si les conditions suivantes sont ssurer :

Le débit du canal est constant ( Q = const ). Le canal est prismatique. La profondeur du courant ( h ) est constante en toute sa longueur. La pente du fond ( i ) est constante. La rugosité du fond et des parois du canal est constante en longueur (n=const). Les résistances locales sont absentes.

Il découle de ces conditions que l’écoulement uniforme doit remplis les égalités suivantes :

Da

iICteSRCteCteS lib ===== ,,,χ

χ

avec S : c’est la section transversale. χ : c’est le périmètre mouillé.

: la pente de la surface libre. I : la p e du fond

iforme de l’eau est la formule de hézy :

R : c’est le rayon hydraulique. Ilib

ent du canal.

IX-2-1. Calcul de l’écoulement uniforme La formule de calcul principale pour un écoulement unC

i.RCv = (IX-1) u

’écoulement. hézy.

R : c’est le rayon hydraulique. i En utilisant le rapport connu Q = v.S et multipliant l’équation (IX-1) par S, on obtient :

ov : c’est la vitesse dC : c’est le coefficient de C

: c’est la pente du fond du canal.

iRCSQ ..= (IX-2)

souvent, la formule (IX-2) est écrite dans les calcul hydrauliques sous la forme suivante :

iKQ .= (IX-3) ou RCSK ..= est la caractéristique de débit du lit.

39

Page 86: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Pour le calcul du coefficient de Chézy, plusieurs formules permettent de le déterminer parmi uels :

La formule d’Agroskine

lesq

RC log.72,171+=

n

La fo

rmule de Manning 6/1.1 R

nC =

onu : c’est la rugosité de la paroi.

ees conditions de l’écoulement uniforme de l’eau déjà établies sont remplies dans le

cas des canaux artificiels. ale, rectangulaire,

triangulaire et parabolique. e assure une valeur minimale de

Remarqu

L

Les sections transversales les plus utilisées sont :la forme trapézoïd

χ Si la section du canal donné et possède un débit m « la section hydrauliquement la plus avantageuse ».

n appelle écoulement non uniforme, un tel écoulement dont les aires des sections et les

variations des paramètres

ns des paramètres hydrauliques est rapides.

es causes de l’écoulement non uniforme sont : La présence des ouvrages hydrauliques tel que les barrages ce qui provoque la

variation des paramètres hydrauliques et on obtient des courbes de remous d’exhaussement (Fig.IX-2).

La présence des chutes, déversoirs et coursiers, ce qui provoque des courbes de remous d’abaissement (Fig.I

maxi ale cette section s’appelle IX-3. Régime non uniforme Ovitesse varient en longueur du courant mais le débit reste constant. Il existe deux types d’écoulement non uniforme :

L’écoulement graduellement varier pour lequel les hydrauliques sont lentes et progressives.

L’écoulement brusquement varier pour lequel les variatio

L

h

Fig.IX-2

X-3).

h

Fig.IX-3

Page 87: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Une brusque variation de la rugosité du lit du canal en longueur. Un brusque changement de pente.

X-3-1. Notions principales de l’écoulement non uniforme

ification des lits des canaux

Lit à pente positive i > 0 Lit à pente horizontale i = 0 Lit à pente négative i < 0

ent uniforme est appelée profondeur l (h0)

c) Débit fictif ‘est le débit qui correspond à la

n uniforme. u

IIi p ≠≠

I a) Class

b) Profondeur normale La profondeur du courant correspondant à l’écoulemnorma

Chauteur (h) de l’écoulement noO

IRSCQ ..'=

d) Energie spécifique de la section Examinons une certaine section d’un canal (IX-4). Cette section est parcourue par le débit (Q) à la profondeur de remplissage ( h ).

’énergie spécifique est :

z g

L

p .ρ

gv 2

.2 B

gv 2

+= hEs .2

Fig.IX-4

Page 88: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

2

22

..2.2 Sgg

Qh

vhE += (IX-4)

upposons que dans l’expression (IX-4) le débit (Q) est une constante et la profondeur (h) est ne ari le. Autrement dit, on suppose que le débit (Q) donné parcourt la section

avec

et

s +=

e) Profondeur critique

Su v abtransversale à des profondeurs de remplissages différentes, donc on peut écrire :

)(hfEs = 21 EE +=

hE =1 =2E 2

2

..2 SgQ

construisons la courbe de variation de , et en fonction de h (Fig.IX-5).

Si

1E 2E sESi ∞→→→ 2,0,0 ESh

∞→∞→ 2, Eh E E1

2

2

..2 SgQ

hEs +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 2

2

..2 SgQ

dhd

dhdh

dhdEs

dhdsQdEs 2

2−Sd

g).(.

.21+=

dh

dhdsS

gQ

dhdEs ).)(2.(

.21 3

2−−+=

3

2

.1

SgBQdEs

dh−=

t puisque correspond à l’énergie spécifique minimal ,donc : e crh

E2

h

Emin

hc

r

Fig.IX.5

Page 89: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

=dh

dEs 0 ⇒ 1. 3

2

=SgBQ

(IX-5)

ette expression est nécessaire pour déterminer . us la forme suivante :

crhc

L’équation (IX-5) peut être écrite so

3

2

SB

gQ

=

Détermination de 1 ) Section rectangulaire

crh

crcr hBS .=

BS

gQ cr

32

=

32.Bg

hcr =⇒ 2Q

2) Section triangulaire

crhb..=crS21

52

2

.

.2mgQ

hcr =⇒

3) Section trapézoïdale on utilise la formule d’Agroskine :

12 )..105,0

31( crcr hZrZrh +−=

ou

Bhm

Zr cr1.=

1crh : c’est la hauteur critique pour une section rectangulaire. n comparent la hauteur de l’écoulement non uniforme (h) avec la hauteur critique on déduit

oulement est critique. hh l’écoulement est torrentiel.

Eles types d’écoulement suivant : Si ⇒> crhh l’écoulement est fluvial.

i ⇒= hh l’écS cr

Si < ⇒cr

Page 90: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

f) Paramètre cinétique

e terme

L 3

2

.SgBQ

s’appelle le paramètre cinétique, il est désigné par et il s’appel le nombre

e Froude.

partie du nombre de Froude on peut aussi déduire le type d’écoulement :

i Fr < 1 l’écoulement est fluvial. i Fr=< l’écoulement est critique

Si Fr> 1 l’écoulement est torrentie. IX-3-2. Equation de l’écoulement non uniforme graduellement varié (canal prismatique ) Le but principal du calcul hydraulique en cas d’un écoulement non uniforme et de trouver la relation entre les profondeurs du courant dans les différentes sections.

trement dit, on doit établir la liaison entre les grandeurs h et l.

2Fr

d A S ⇒S 1⇒

l. ⇒

AuDécoupons dans un courant non uniforme par les sections (1-1) et (2-2) un tronçon suffisamment court dl (Fig.IX-6) et établissons l’équation de Bernoulli :

6)-(IX . 2S.2

.2)(

.

.2.2.

..2.2

2

21

22

2

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

++=

++=

−++=

++++

gdlI

dl

gvd

Idldhl

gv

gv

Idldhdl

dlIg

vdh

g

t puisque :

.21 =

vhdli

2 ⎞⎛ Qddh

2

+ h

i

di

i

e

J = I.dl I

V1

i α

gV 2

2

2

g2V 2

1

Fig.IX-6

dl

i.dl h+dh

1 2

V2

h

Page 91: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

dlds

SgQ

SgQ

dld .

..2..2 3

2

2

2

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

et on a

Bdlhl ∂+

∂= .. SdBs

ddh

dl∂∂

t comme le canal est prismatique, ceci implique que

dS

0=dldB et B

hS=

∂∂ e

dldhB

dldS .= d’ou

dldh

SgBQ

SgQ

dld .

..

..2 3

2

2

2

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒

et l’équation (IX-6) devient :

oud'

)-(1

2

IFrdldh

dli

+=

⎠⎝=

..

.3 dl

dhSg

QIdh

⎟⎟

⎜⎜⎛

−+

i

B ⎞

1 Fr-dl

-7)

t non uniforme graduellement varié dans le cas ’un canal prismatique.

La solution de cette équation nous donne la relation entre h et l (ou la forme de la courbe de remous). Admettons que la valeur de la pente hydraulique I en écoulement non uniforme dans le cas d’un tronçon court (dl) peut être déterminée à l’aide de la formule de Chézy :

I-i=

dh (IX

c’est l’équation fondamentale de l’écoulemend

2

2

22

2

2

2

)..(... RCS

QRCS

QRC

vI ===

et sup

posons que :

débit correspond à la hauteur normal de l’écoulement niforme.

I : c’est la pente du fond du canal.

iKQ .02 =

ou 0K : c’est la caractéristique du u

Page 92: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

22)..( KRCS =

ou K : c’est la caractéristique du débit qui correspond à la profondeur de l’écoulement non niforme. u

NNcr

BSgQ

Fr == 3

2

ou Ncr : c’est le niveau cri N : c’est le niveau normal.

’équation (IX-7) devien

tique. L t :

NNcrKK

idldh

−1

⎟⎟⎠

⎛−

=

12

0

(IX-8)

n étudions l’équation (IX-8) on peut savoir quelle peut prendre la surface du plan d’eau dans es différentes conditions.

X-3-3. Forme des courbes de remous our étudier la forme des courbes de remous, on utilise le graphique suivant(Fig.IX-7) :

a)on considère la figure (Fig.IX (N-N) qui correspond à la profondeur

tique (K-K) qui correspond à la profondeur critique, ces deux lignes sont

⎜⎜

Ed IP

h

Généralement trois cas sont distingués:

crii < -8) ou on reporte la ligne

normal et la ligne criparallèles.

K = f1 ( h )

BSN /3=

N = f2 ( h )

h0 hcr

Ncr K0

Fig.IX-7

RCSK =

A

B C

N

N K

K h0 hcr

i < icr

Fig.IX-8

Page 93: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

D’après la figure on a trois zones :

Zone A crhhh >> 0

0 >⎟⎠

1

0 12

0

⎜⎝⎛−⇒>

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒>

NNcrNcrN

dldh

KK

KK

dans le sens d’écoulement et on aura une courbe de

mous d’exhaussement avec Dans ce cas la profondeur de l’écoulement se raccorde asymptotiquement à l’amont et tend

Zone

0>

0

La profondeur du courant augmente 0.02,1 hh = re

vers l’horizontale à l’aval.

B

crhhh >>0

0 1 >⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒>

NNcrNcrN

dl0

01 00

<⇒

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⇒<

dh

KKK

e

Zone C

2⎞⎛ K

<

dans ce cas la profondeur du courant diminue dans le sens d’écoulement et on obtient uncourbe de remous d’abaissement avec 0.98,0 hh =

0hcr hh <<

0 1

0

0 12

00 <⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒<

KK

KK

<⎟⎠

⎜⎝

−⇒<

<⇒

NNcrN

dl dh

⎞⎛ Ncr

Page 94: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

la profondeur augmente dans le sens de l’écoulement et la surface libre prend la forme d’une courbe de remous d’exhaussement.

rface du courant augmente brusquement vers le haut et tend vers une tangente à la

b) en suivant la même analyse on distingue trois zones (Fig.IX-9) :

Ici la suvertical en aval.

crii >

A2

N

B2 C2

N K

K h0 hcr

cr

Fig.IX-9

i > i

Zone A2

0cr hhh >>

0 1

0

0 12⎞⎛ 0

0

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒

>⇒

>⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

−⇒>

NNcrNcrN

dldh

KK

KK

dans ce cas on aura une courbe de remous d’exhaussement qui est tangente à la verticale en

e horizontale en aval.

Zon B2

>

amont et possède une asymptote à la lign

e0hhhcr >>

0 1

0

0 12

00

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒>

<⇒

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒>

NNcrNcr

dldh

KK

K

s’agit d’une courbe de remous d’abaissement et perpendiculaire au niveau critique à l’amont t elle tend asymptotiquement vers la profondeur normal en aval.

K

N

ile

Page 95: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Zone C2 cr << 0

h hh

0 1

0

0 12

00

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⇒>

>⇒

<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⇒>

NNcrNcr

dldh

KK

K

n aura une courbe de remous d’exhaussement qui coupe le fond sous un angle

K

N

o θ .

) (Fig.IX.10)

)( 0 crcr hhii ==c

01 hh < K

Ncrdldh

K

>

>⇒

>

0

0

N

02 hh >

NcrNdldh

K

>

>⇒

>

0

0

onc la courbe de remous est de type exhaussement.

ontale) (Fig.IX-11)

K

d

K ,N

K ,N

h1 hcr h2 = h0

i = icr

Fig.IX-10

d) i = 0 (canal horiz

si le régime est fluvial crhh > on a une courbe de remous d’abaissement. si le régime est torrentiel crhh < on a une courbe de remous d’exhaussement

K K

i = 0

h hcr

Fig.IX-10

Page 96: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

) Canal ascendant (Fig.IX-11) Si on a une courbe de remous d’abaissement. Si on a une courbe de remous d’exhaussement.

Méette méthode est une application directe du théorème de Bernoulli.

IX-12) on peut écrire :

E

crhh >

crhh < K

K h

hcr

IX-3-4. Equation de calcul de l’écoulement non uniforme Fig.IX-thode des différences finies

CD’après la figure (Fig.

dlIig

vhg

vh

Jvv

dl

m ).( ).2

( ).2

(

.

21

1

22

2

22

−=+−+

+

dlIiEE m ). (12 −=−

dlIJ m .=

gh

gh

.2.22

21

1 +=++i

⇒ avec

mm

mm RC

vI

.2

2

=

d’ou on obtient l’équation suivante :

mIidl

12

−= EE −

’est une autre forme de l’équation de l’écoulement non uniforme et qui permet de calculer cilement la longueur de la courbe de remous si on connaît les profondeur de l’écoulement

on uniforme.

11

cfan g

V2

21

I

i

V1

gV2

22

αdl

i.dl

h1

h2

1 2

V2

J

Page 97: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

xercice N° 01 :

E

éterminer le débit et la vitesse dans un canal trapézoïdal, si la rugosité n=0.025, la pente du a hauteur d’eau h=3.5m.

alcul du rayon hydraulique R :

Dfond du lit i=0.0002, la pente des berges m=1.25, l Solution -C

χSR=

=+=+= S 222 3,505,3.25,15,3.10.. mhmhb

mmhb 2.2125,11.5,3.101..2 22 =+=++=χ

mR 37,22,213,50 ==

-Calcul du coefficient de Chézy C’après la formule d’Agroskine :

: d

RnC log.72,171+=

5,4637,2log.72,17025,01 =+=C

-Calcul du débit Q : iRCSQ ...=

smQ /9,500002.0.37,2.5,46.3,50 == -Ca l

3

lcu de la vitesse v :

smS /01,13,0 ==

ce N° 02 :

Qv 55=

Exer i

9,0

c Déterm déb té n=0,025, la pente des berges m=1,0 et la hauteur d’eau Solution :

iner la largeur b du fond d’un canal trapézoïdal et la vitesse moyenne v de l’eau, si leit smQ /2,5 3= , la pente du fond i=0,0006, la rugosi

h=1,2 m.

Page 98: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

-Calcul de la caractéristique de débit K :

smi

QK /2130006,02,5 3===

Ensuite en prenant une série de valeurs de b et on calcul CRS ,,,χ respectivement selon lebleau suivant :

b

S X R C K

ta

0 1.44 3.39 0.425 33.42 31.4 0.5 2.04 3.89 0.524 35.05 51.8 1 2.64 4.39 0.577 35.77 74.6 2 3.84 5.39 0.711 37.38 121.0

2.5 4.44 5.89 0.754 37.84 146.0 3 5.04 6.39 0.789 38.20 171.0

3.5 5.64 6.89 18 38.46 197.0 0.84 6.24 7.39 43 38.69 220.0 0.8

Ensuite en trace le graphique K=f (b)

K=f(b)

0

50

100

150

250

200

0 1 2 3 4 5

b (m)

K (m

3/s)

Série1

Du graphique on déduit que b=3,85m. -Calcul de la section S :

2.. hmhbS += S 22 06,62,1.12,1.85,3 m=+= -Calcul de la vitesse v :

smQv /86,02,5 ===

S 06,6

a l trapézoïdal de largeur b=20 m, la pente des berges m=1,25, la rugosité n=0,020, la /60 3

Exercice N° 03 Un c napente du fond du lit i=0.001, évacue un débit Q sm= , la hauteur d’eau de l’écoulement niforme .

fin de ce canal , il existe un déversoir qui provoque l’élévation du niveau d’eau en aval de 1,7 m à 2,0 m et la formation d’une courbe de remous.

mh 45,10=uA la

Page 99: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

-Déterminer le type de la courbe de remous, ainsi que sa longueur ?

Solution

alculée par la formule d’Agroskine de la

-Calcul de la hauteur critique hcr : pour un canal trapézoïdal, la hauteur critique est cmanière suivante :

( ) )(..105,031 2 recthcrZrZrhcr +−=

u c

o)(recthcr ’est la hauteur critique pour un canal rectangulaire.

32

2

)(Q

rect = hcr .bg

mrecthcr 97,020.81.960

)( 32 ==

alcul du paramètre Zr :

2

-c

brecthcrm )(.= Zr

060,02097,0.25,1 ==Zr

remplaçant dans l’équation d’Agroskine o mhcr 951,0= n trouve : donc en a ⇒>> hcrhh 0 en a une courbe de remous d’exhaussement.

alcul de la longu e la courbe de remous dl : -C eur d

mIiEE

−−= 12

alcul des paramètres hydrauliques pour les deux sections : h S X R C v

dl

-C

1,7 37,6 25,45 1,48 53,37 1,596 2 45 26,4 1,7 54,62 1,333

d’après le tableau on calcul les paramètres moyens :

vitesse moyenne : ,vm m463 s/1= lale coefficient de Chézy mo

rayon hydraulique moyen :alcul de la pente moyenne :

yen :Cm 99,53=mRm 59,1= le

-C

RmCmvm

Im .22

=

00046,059,1.99,53 2 ==m 463, 21

I

gvhE .211

21+=

mE 83,181,9.2516,1

7,112

=+=

Page 100: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

ghE .222 2+= v2

mgE 09,2.81,9333,1

222

=+=

la longueur de la courbe de remous est :

mIiEEdl

−−= 12

mdl 48,48100046,0001,083,109,2 =−

−=

Page 101: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

CHAPITRE X RESS IQUE

X-1. Introduction

e ressaut hydraulique est une surélévation brusque de la surface libre d’un écoulement r un court tronçon lors du passage du régime torrentiel au régime

fluvial et occupe une position fixe. Ce phénom ne est accompagné d’une agitation plus ou

e ressaut hydraulique est observé dans plusieurs ouvrages hydrotechniques, en particulier als des déversoirs, des vannes,…. etc.

et (2-2) limitant le ressaut s’appellent

sentent au sujet du ressaut sont essentiellement les suivant : Etant donné une profondeur h1, on détermine la profondeur h2 ou vice-versa.

aut. .

a) Ressaut parfait serve dans le lit à pente uniforme et à rugosité ordinaire (Fig.X-1).

t ondulé

AUT HYDRAUL

Lpermanent, qui se produit su

èmoins marquée et de grandes pertes d’énergie. Ldans les biefs av v2

g.20

Les profondeurs h1 et h2 dans les sections (1-1)pr fondeurs conjugées. o Les problèmes qui se pré

Calculer la perte de charge. Déterminer la longueur du ress Fixer l’emplacement du ressaut

X-2. Types de ressaut On distingue les types suivants de ressaut :

Le ressaut s’obDans ce cas la hauteur du ressaut est :

112 )( hhha >−=

b) Ressau

H v0

h1,v1

h2,v2 g.2

v21 g

v.2

2

Fig.X-1

2 1

2

Page 102: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Ce type de ressaut à hauteur ne contient pas de rouleau superficiel, il se présente sous ressivement amorties ( Fig.X-2).

s conjuguées sont voisines à la profondeur

c) saut à remCe typ ressaut surgit d un lit qui un ou un gradi lue sur le reIl est observé dans un bassin de dissipation o nt les parois rtissement.

surgit en écoulement par dessous les vannes et il a une zone superficielle développée

e) Ressaut superficiel Ce type de ressaut à un rouleau de fond développé. Il est observé lorsque l’eau s’écoule d’un barrage muni d’un gradin superficiel (Fig.X-6). X-3. Equation fondamentale du ressaut parfait Ici le théorème de Bernoulli n’est pas applicable à cause de l’importance de la perte de charge (Fig.X-7) pour cela on utilise le théorème d’Euler .

1ha < forme d’une série d’ondes progCe ressaut se produit lorsque les profondeurcritique h . cr

Res ous e de ans e paroi n qui inf ssaut.

u deva d’amo

h1h2hcr

Fi

g.X-3

Fig.X-4

d) Ressaut noyé

Il(Fig.X-5).

Fig.X-5

Fig.X-6

h1

h2

G P1 P2 Ff

2

2

1

1 Fig.X-7

Page 103: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

théorème d’Euler : la projection de l’accroissement de la quantité de mouvement d’une masse liquide par unité de temps en une direction quelconque est égale à la somme des forces extérieures agissant sur la masse liquide. Nous allons projeté la quantité de mouvement et toutes les forces extérieurs dans la direction du mouvement en supposant que :

Le fond du canal est horizontal ou très faiblement incliné de sorte que la projection du poids sur un axe parallèle au fond Gx est nulle ou négligeable.

Les frottements sur les parois et le fond du canal le long de la faible distance séparant les sections (1) et (2) sont négligeables par rapports à la perte de charge crée par le ressaut, autrement dit 0≈fF .

Les vitesses des différentes filets liquides dans chacune des sections sont parallèles. La quantité de mouvement de la masse (dM) est :

dtdSvdtdQvdWvdMv ......... 2ρρρ === donc la quantité de mouvement du système examiné par unité de temps est le suivant :

∫∫ ==1

22

1

2 .....SS

SvdSvdSv ρρρ

l’accroissement de la quantité de mouvement du système examiné par unité de temps :

).(..... 121212

22 vvQSvSv −=− ρρρ

ou 2121 ,,, SSvv sont les vitesses et les aires respectivement dans les sections (1-1) et (2-2). Conformément au théorème de la variation de la quantité de mouvement :

∑=∆ FeQM

2112 .... PPvQvQ −=− ρρ (X-1) puisque dans les sections (1-1) et (2-2) le mouvement est graduellement varié, donc on peut appliquer la loi hydrostatique de répartition de la pression :

111 ... ShgP Cρ= et 222 ... ShgP Cρ= ou 1Ch et 2Ch sont les profondeurs d’immersion à partir du centre de gravité des aires : 21 , SS . Substituons les valeurs de 1P et 2P dans la relation (X-1), on trouve :

Page 104: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

221112 .......... ShgShgvQvQ CC ρρρρ −=− et compte tenu que :

QSvSv == 2211 .. on obtient :

222

2

111

2

..

..

ShSg

QSh

SgQ

CC +=+

Cette dernière équation est appelée équation fondamentale du ressaut parfait. Cette équation permet de déterminer une profondeur conjuguée du ressaut lorsqu’on connaît l’autre profondeur. X-4. Fonction du ressaut hydraulique

La relation (X-2) démontre que la fonction ShSg

QhF C .

.)(

2

+= conserve la même valeur de

part et d’autre de ressaut. Le premier nombre de l’équation (X-2) dépend de la profondeur 1h et le deuxième en fonction de 2h . Analysons la fonction du ressaut F(h) si Q=cte Si

∞→→∞→→ )(et 0.,.

,02

hFShSg

Qh C

Si ∞→∞→→∞→ )(et .,0.

,2

hFShSg

Qh C

Ainsi la fonction du ressaut F(h) croit tant à la diminution qu’à l’augmentation des profondeurs. Donc à une certaine profondeur h, F(h) doit avoir un minimum.

∞→∆

∆∆

+−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

h

hSh

dhdS

SgQ

dhShd

Sdhd

gQ

dhhdF

C

C

).(lim.

.

).(1)(

2

2

ou ).( ShC∆ est l’accroissement du moment statique ShC . de la section mouillé par rapport à la surface libre pour un accroissement h∆ de la profondeur. D’après la figure (X-8) :

(X-2)

B

Fig X 8

h∆

C . hc S∆

Page 105: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

3)-(X 1.

.ou

0.

.)(

:donc0 0

)2

lim().(

lim).(

2)(

.

.2

..)().(

3

2

3

2

2

=

=+−=

→∆→∆

=∆

+=∆

∆=

∆+∆=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

∆+∆+=∆

SgBQ

SSg

BQdh

hdF

hh

ShBSh

Shdh

Shd

hBhS

ShhhBhhSSh

CC

CCC

par conséquent F(h) aura un minimum lorsque Fr = 1 et h=hc la fonction F(h) peut être représentée graphiquement (Fig.X-9). Cette courbe montre qu’il existe deux profondeurs correspondant à F(h) et qui sont h1 et h2.

hch <1 c’est la position amont du ressaut est l’écoulement est torrentielles. hch >2 c’est la position d’aval du ressaut et l’écoulement est fluvial.

X-5 Détermination des profondeurs conjuguées du ressaut A l’aide de la courbe de la fonction du ressaut (Fig.X-9) , on peut déterminer une des profondeurs conjuguées du ressaut si l’autre est connue dans le lit à toute forme donnée de la section transversale.

h

F(h)

hcr h2 h1

Es F(h)

Fig.X-9

Page 106: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Pour les lit à section rectangulaire l’équation (X-2) s’écrit de la manière suivante :

0.2

.

0.

.2

...211.2

22

2..2..

..2..

..2..

1

3

2122

21

3

21

21

213

12

322

21

22

2

321

1

3

22

22

221

12

2

22

2

2

11

1

2

=−+

=−+

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

+=+

+=+

+=+

hh

hhh

hhh

hh

hhhh

hhh

hhh

hh

hcrhh

hcr

hhbg

Qhhbg

Q

hbh

hbgQ

hbh

hbgQ

cr

cr

crcr

en résolvant cette équation par rapport à 2h on trouve :

3

11

12 81

21

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

hh

hh

h cr

ou

⎟⎟

⎜⎜

⎛+= 1-

.81 .

2 31

21

2 hgqh

h

et tenant compte que :

131

2

231

2

31

2

..

...

.Fr

SgBQ

BhgQ

hgq

===

donc on peut écrire que :

( ) 1-81 .2 22

1 Frhh +=

( )1- 81 .2 11

2 Frhh +=

X-6. Pertes de charges dues au ressaut La perte de charge dues au ressaut hydraulique est beaucoup supérieure à celle de l’écoulement graduellement varié et elle est exprimée par la différence entre les énergies totales entre le début et la fin du ressaut selon la formule suivante :

Page 107: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

2.1.4)12( 3

hhhh

j−

=

X-7. Longueur du ressaut La longueur du ressaut est la distance entre les sections (1) et (2) (Fig.X-1), caractérisées par les profondeurs conjuguées h1 et h2. Plusieurs formules permettent de calculer la longueur du ressaut et qui sont basés sur les expérimentations. La longueur du ressaut dans le cas d’un canal rectangulaire est déterminées à l’aide des formules suivantes : Si 10>Fr Formule de Pavlovski : )12.9,1.(5,2 hhl −= Formule de Pikalov : Frhl .21.1.4 += Plusieurs autres formules empiriques donnent la longueur de ressaut dans un canal rectangulaire parmi lesquelles :

2.5 hl= )12.(6 hhl −=

Pour un canal trapézoïdal :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 1

12.41.2.5 BBBhl

ou B1 et B2 sont les largeurs en surface respectivement en amont et aval du ressaut. Exercice N°01 Dans un canal rectangulaire d’une largeur b = 10m, qui évacue un débit Q = 50000 l/s, il surgit un ressaut. Déterminer la deuxième profondeur conjuguée h2 si la première profondeur conjuguée h1=0,5m ? Déterminer la hauteur et la longueur du ressaut ? Déterminer la perte de charge dans le ressaut ? Solution - Détermination du nombre de Froude

38,20)5,0.10.(81,910.50

..

3

.2

3

.2

=== SgbQ

Fr

- Donc la deuxième profondeur conjuguée sera égale à :

( ) ( ) mFrhh 95,21- 38,20.81 .25,01- 81 .2 1

12 =+=+=

- La hauteur du ressaut : mhha 45,25,095,2)( 12 =−=−=

1ha> en déduit que le ressaut est parfait. - Longueur du ressaut : en utilisant la formule de Pavlovski :

( ) mhhl 387,10)5,045,2.9,1.(5,212.9,1.5,2 =−=−= - Calcul de la perte de charge :

Page 108: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

Pour un canal rectangulaire la perte de charge du au ressaut est donné par la formule

suivante : mhhhh

hpc 492,25,0.95,2.4)5,095,2(

2.1.4)12( 33

=−

=−

=

Exercice N°02 Dans un canal trapézoïdal se produit un ressaut pour Q=16000 l/s, b=7m, m=1,5. Déterminer graphiquement la deuxième profondeur conjuguée h2 si h1=0,5 m ? Calculer la longueur du ressaut et les pertes de charge dues au ressaut ? Solution -Calcul de h2

en a la fonction du ressaut est : ShSg

QhF C .

.)(

2

+=

- Pour un trapèze mhbmhbhhc +

+= 2.3.6 et 2mhbhS +=

on donne une série de hi et on calcul Si, hci et F(hi) ensuite en trace la fonction du ressaut

h(m) S(m²) hc hc.S F(h) 0,2 1,46 0,098 0,1431 18,02 0,5 3,875 0,242 0,9377 7,67 1,0 8,5 0,470 3,9950 7,06 1,2 10,56 0,559 5,903 8,37 1,5 13,875 0,689 9,5599 11,44 2,0 20,0 0,90 18,0 19,30

Représentation de la fonction du ressaut

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5 2 2,5

h

F(h) Série1

à partir du graphique en déduit que h2=1,125 m. - La longueur du ressaut pour un canal trapézoïdal égale à :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= 12

1..22..2.41.2.5112.41.2.5 mhb

hmbhmbhBBBhlres

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 5,0.5,1.27

)5,0.125,1.(5,1.2.41.125,1.5lres =16,20 m

- Calcul des pertes de charges dues au ressaut :

Page 109: Poly Tec 105

Cours d’hydraulique générale

gv

gvhhhpc .2.221

22

21 −+−=

2..21..22122

SgQ

SgQ

hhhpc −+−= =0,1074 m