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POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

- Section Orthoptiste / stage i-Prépa intensif -

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Chapitre 5 : Energie potentielle – Energie mécanique Systèmes conservatifs

Introduction : L’énergie potentielle d’un corps est en quelque sorte une énergie « cachée ». Lorsqu’on étire un ressort, celui-ci emmagasine de l’énergie ; même immobile dans cette position d’étirement, cette énergie est là, prête à être restituée. De même, lorsqu’on élève un corps par rapport à sa position de repos (balle de tennis prête à être lâchée d’une certaine hauteur), ce corps, bien qu’immobile, possède une certaine énergie « cachée », c’est-à-dire que si on le laisse libre, il ne va pas rester immobile, mais va se mettre spontanément en mouvement et restituer cette énergie sous forme d’énergie cinétique. Notons également que lorsque ce corps a été surélevé d’une certaine hauteur (c’est-à-dire que la force qui a élevé ce corps a « lutté » contre les forces de pesanteur), même maintenu immobile les forces de pesanteur sont encore là, le corps est encore en interaction avec la Terre L’énergie potentielle d’un corps est donc une certaine forme de l’énergie, liée à la position du corps par rapport à sa position de repos ou à son interaction avec un autre système.

I. Energie potentielle de pesanteur : Définition : c’est l’énergie que possède un corps en interaction avec la Terre, dans une région où g peut être considérée comme constant. L’énergie potentielle de pesanteur d’un corps ne dépend que de l’altitude de son centre d’inertie G.

m : masse de l’objet (en kg)

z : altitude du centre d’inertie par rapport à une altitude de référence choisie (z = 0)

g : valeur de la pesanteur ( )

Remarques :

• cette relation est valable pour un axe [Oz) ascendant ; si l’axe [Oz) est choisi comme descendant, alors : . Pour éviter les erreurs de signe, vérifier que lorsque G s’élève, son Epp augmente ; lorsque G descend, son Epp diminue.

• Lorsque les déplacements ne sont plus uniquement localisés à la surface de la Terre, g lui-même varie avec l’éloignement (cas des satellites) ; on parle alors d’énergie potentielle

gravitationnelle ( ; voir chapitre Satellites)

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Variation de l’énergie potentielle de pesanteur : Lorsque la position d’un corps varie d’une altitude zA à une altitude zB, la variation d’énergie potentielle de G est égale à l’opposé du travail du poids :

Un travail moteur diminue l’ d’un corps, un travail résistant l’augmente

II. Energie mécanique : L’énergie mécanique d’un corps est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle (de pesanteur ou autre) que possède ce corps ; si le système n’est soumis qu’à la pesanteur, l’énergie potentielle est uniquement sous forme d’énergie potentielle de pesanteur et l’on a alors :

III. Systèmes conservatifs : En l’absence de frottements, l’énergie mécanique d’un corps est constante ;

Loi de conservation de l’énergie : « L’énergie totale de tout système isolé du reste de l’Univers reste constante, mais l’énergie peut être transformée d’une forme à une autre à l’intérieur du système »

⇒⇒⇒⇒ l’énergie cinétique se transforme en énergie potentielle et inversement.

En l’absence de frottements et de toute autre force que celle de la pesanteur, on a donc, entre deux états A et B :

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Exemple : si l’objet est lâché de A sans vitesse initiale et que l’on considère les frottements comme négligeables, quelle est la vitesse atteinte en B ?

Or

⇒

IV. Systèmes dissipatifs : En présence de frottements, l’Em d’un solide diminue, sa variation est égale au travail des forces de frottements qui lui sont appliquées :

Et l’énergie du système est perdue sous forme d’énergie thermique. Remarque :

• Un système isolé possède une quantité d’énergie totale finie et constante • Un système pseudo-isolé n’a pas forcément une énergie mécanique constante

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Chapitre 6 : 2ème et 3ème Lois de Newton - Mouvements plans dans le champ de pesanteur terrestre -

I. Accélération

• accélération moyenne : la variation de vitesse par unité de temps définit l’accélération

=

• accélération instantanée : c’est la variation de vitesse pour un temps extrêmement court ;

= ⇒ =

Remarque : expérimentalement, on peut mesurer l’accélération grâce à une chronophotographie :

II. 2ème et 3ème Lois de Newton

a) Enoncé de la 2ème Loi :

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées au solide est égale

au produit de la masse m du solide par le vecteur accélération du centre d’inertie :

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Remarques :

� validité de la 2ème Loi : si v < 0,14 c (c : célérité de la lumière dans le vide) ; sinon il faudrait raisonner dans le cadre de la relativité restreinte (Hors-Programme)

� si = , alors = , donc et le mouvement est rectiligne uniforme ; or, si =

, : on retrouve la 1ère Loi � la 2ème Loi de Newton est aussi appelée : Relation Fondamentale de la dynamique (RFD), ou :

Théorème du Centre d’Inertie (TCI) b) 3ème Loi de Newton, ou : loi des actions réciproques, ou : Principe de l’action et de

la réaction « Les forces sont toujours une affaire de paire ». Autrement dit, si un système a exerce sur un corps B

une action mécanique , alors le système b exerce sur le corps A l’action mécanique opposée :

Ces forces ont la même droite d'action, des sens opposés et la même norme. Exemples : avions à réaction, les moteurs éjectent des gaz qui produisent une poussée, une propulsion sur l’avion lui-même ; starting-bloc, l’athlète pousse sur le starting-bloc, qui, bien accroché, résiste et « renvoie » la force vers l’avant, ce qui propulse l’athlète ; recul d’un arme à feu lors d’un tir, …

III. Mouvements Plans ; exemple-type : projectile dans le champ de pesanteur

a) Equations du mouvement :

Exemple-type : projectile M lancé d’une hauteur avec une vitesse initiale faisant un angle avec l'horizontale.

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1. Système : {le projectile} 2. Référentiel : terrestre supposé galiléen

3. Bilan des forces : le poids 4. Dans le référentiel galiléen, la 2nde Loi de Newton appliquée au projectile donne :

Soit :

5. Projection selon les axes du repère [O,x,y) :

Comme = , on a, après intégration :

Comme = , on a, après intégration :

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Equations paramétriques (ou horaires) du mouvement de M

⇒ Selon l’axe [Ox) , le mouvement est rectiligne uniforme (

⇒ Selon l’axe [Oy), le mouvement est rectiligne uniformément décéléré

(

1. Grâce à on peut isoler le temps t, c’est-à-dire : , expression que l’on injecte dans y ; soit :

Cette trajectoire est de la forme : trinôme du second degré dont la courbe est un arc de parabole ; la trajectoire suivie par le projectile lancé d’une hauteur h est une parabole tronquée

b) Portée / Flèche : Portée xP : abscisse du lieu où retombe le projectile

Si le lancer se fait sur un plan horizontal, on a au point de portée : ⇒ y = 0

On est alors amené à résoudre un polynôme du second degré :

… Remarque :

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• si

• Attention, si le plan n’est pas horizontal mais par exemple incliné d’un angle β :

Equation du plan incliné :

Flèche yF : ordonnée du point de plus haute altitude ⇒

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Remarque : on constate que l’abscisse de la flèche est la moitié de celle de la portée :

c) Mouvement à une dimension : (Cas particulier plus simple que les mouvements à 2 dimensions, on ne projette que sur un axe) Exemple 1 :

On lâche une balle d’un pont de 30 m sans vitesse initiale et sans frottements. On prend g = 10 m/s² et on prend comme origine des dates l’instant du lâcher, et comme origine de l’espace l’endroit du lâcher. On se référera à un axe vertical descendant. Au bout de combien de temps la balle touche-t’elle l’eau ?

Soit :

projection selon :[Oz)

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Comme = , on a, après intégration :

d’où :

Comme = , on a, après intégration :

Remarque : 3e façon de trouver la formule de la chute libre sans vitesse initiale :

Exemple 2 : On recommence la même expérience que l’exemple 1 mais on impulse maintenant à la balle une vitesse initiale verticale vers le haut . On prend g = 10 m/s² et on prend comme origine des dates l’instant du lâcher, et comme origine de l’espace l’endroit du lâcher. On se référera à un axe vertical ascendant. Au bout de combien de temps la balle touche-t’elle l’eau ?

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Soit :

projection selon :[Oz)

Comme = , on a, après intégration :

d’où :

Comme = , on a, après intégration :

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