Poly Mécanique Générale2012

0

MECANIQUE GENERALE

1re anne

Gnie Civil & Gnie Hydraulique et Environnement

Joseph Louis Lagrange (1736-1813)

Hdi HASSIS - Lamia GUELLOUZ - Malek ABDELKARIM

Anne universitaire 2012 2013

1

Pont-levis

(Saint-Jean, photo Patrice Marcotte, 30 juin 2002, http://www.iro.umontreal.ca/)

2

SOMMAIRE

CHAPITRE I: PARAMETRAGE ET LIAISONS ... 3

1.1 Paramtrage .... 3

1.2 Liaisons .. 4

1.3 Paramtrage strict ou surabondant 6

1.4 Champs d'action - Energie Travail .... 6

1.5 Classification des actions mcaniques.. 7

Srie dexercice N1... 8

CHAPITRE II: PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS

APPLICATION AUX SOLIDES RIGIDES. 9

2.1 Mouvement Virtuel.. 9

2.2 Dplacement virtuel licite.... 13

2.3 Travail Virtuel. 14

2.4 Principe des travaux virtuels 17

2.5 Equivalence P.F.D - P.T.V . 19

2.6 Liaisons parfaites liaisons lastiques ... 21

2.7 Potentiel - Fonction de forces ... 22

2.8 Thorme de l'Energie cintique.... 23

2.9 Systme conservatif... 23

Srie dexercice N2.. 25

CHAPITRE III: LES MULTIPLICATEURS ET LES EQUATIONS DE LAGRANGE. 27

3.1 Les multiplicateurs de Lagrange (systme liaisons parfaites) 27

3.2 Les formules de Lagrange.. 30

3.3 Les quations de Lagrange. 31


CHAPITRE IV: ANALYSE DYNAMIQUE ET INSTABILITES

DES SYSTEMES DISCRETS... 37

4.1 Dfinition.. 37

4.2 Exemple introductif : formes nergtiques

de loscillateur 2 ddl. 37

4.3 Mthode modale.. 38

4.4. Application loscillateur 2ddl soumis

un dplacement impos.. 40


3

CHAPITRE I

PARAMETRAGE ET LIAISONS

1.1 Paramtrage

Dans l'tude du mouvement d'un systme de solides rigides, il est ncessaire, en tout

premier lieu, de savoir caractriser ses positions, c'est dire, de le paramtrer. Le

paramtrage est une tape essentielle qui est directement lie la modlisation

gomtrique du systme.

Dfinition:

Ayant choisi un repre, paramtrer un systme de solides, c'est associer toute

position du systme une famille de scalaires note (qi), i = 1 ...n, telle qu' deux

positions diffrentes du systme doivent correspondre deux familles diffrentes.

Les (qi) sont appels paramtres.

La position de toute particule P du systme , paramtre par (qi), est dtermine de

manire unique par :

OP = OP (qi) qi sont les paramtres ou les coordonnes gnralises

L'tude du mouvement consiste donc dterminer l'volution de (qi) en fonction du temps.

La vitesse est donne par :

V(P) = d OP dt (qi)

V(P) = OP qi

qi avec qi = dqidt : vitesse gnralise

(Ceci sous-entend le symbole de sommation pour l'indice muet "i" convention d'Einstein).

Rappels :

un solide dans le plan est paramtr par 3 paramtres.

un solide dans l'espace est paramtr par 6 paramtres.

4

Exemple : pendule

A

B

P

L

O

x

y

i

j

A

Soit une barre rigide AB articule en A et libre

en B. Le point A est mobile suivant l'axe

horizontal. Le systme est paramtr par : q1 =

yA ; q2 = .

La position d'une particule P situe une

distance L de A est donne par :

OP = L cos i + (yA + L sin) j

La vitesse d'un point P est donne par :

on a :

OP

= - L sin i + L cos j

OP y A

= 1 j

V (P) = OP y A

y A + OP

= - L sin i + ( y A + L cos ) j

1.2 Liaisons

Dfinition :

Une liaison entre deux solides est une entrave aux possibilits du mouvement

relatif entre eux. Elle rsulte du contact entre solides et est caractrise par la

nature gomtrique et physique de ce contact.

D'une manire gnrale, une liaison se traduit par des relations de dpendance entre les

paramtres, les vitesses gnralises et le temps. Une liaison peut donner lieu une ou

plusieurs relations scalaires entre paramtres du type gnral suivant :

0)t,q,q(f & (quation scalaire)

Classification des liaisons

-Unilatrale 0)t,q,q(f & il y a possibilit de dcollement.

-Bilatrale 0)t,q,q(f =& le contact est assur

5

*Dpendante du temps 0)t,q,q(f &

*Indpendante du temps 0)q,q(f & -Holonme 0)t,q(f Si les solides qui sont en contact ne sont astreints qu'

des conditions gomtriques de contact alors l'quation de liaison ne fait pas intervenir les

vitesses q& .

-Non holonme 0)t,q,q(f & Si les solides qui sont en contact sont astreints des

conditions gomtriques et cinmatiques l'quation de liaison fait intervenir q& .

Remarque:

Une liaison non holonme ncessite l'criture d'une liaison holonme traduisant

l'aspect gomtrique du contact.

Exemple : * Contact roue d'une voiture -sol

Ry

x

c

M

La position de la roue est paramtre par :

(xc , yc, ).

Le contact est assur si: yc - R = 0

Il y a dcollement si : yc - R > 0

Dans ce cours, on se limitera aux liaisons bilatrales

* Si la roue roule sans glisser et sans dcoller, lcriture de la C.R.S.G.

(Condition de Roulement Sans Glissement) en annulant la vitesse de glissement donne :

0

Cest une quation de liaison non holonme quon peut intgrer pour obtenir une quation

de liaison holonme : xc + R = Cte

Dans ce cas on dit que lquation de liaison est semi-holonme

Dfinition :

On appelle obstacle un solide dont le mouvement est a priori connu. L'obstacle

est gnralement considr comme un solide extrieur au systme. Selon que les

obstacles avec lesquels le systme est en contact sont fixes ou mobiles, les

6

relations qui traduisent les liaisons correspondantes ne dpendent pas

explicitement du temps ou en dpendent.

Exemple : Sphre sur un plan mobile.

1.3 Paramtrage strict ou surabondant

Proposition :

Lorsqu'un systme ne possde que des liaisons holonmes indpendantes du

temps, on peut rduire le paramtrage initial en un paramtrage strict l'aide des

quations de liaison. Le paramtrage est considr surabondant s'il existe au moins

une quation de liaison non utilise.

Attention :

Dans certains cas, lorsque les quations traduisant des liaisons holonmes sont

d'expression complexe, il n'est pas souhaitable de rduire le paramtrage initial

(voir multiplicateurs de Lagrange).

Il ne faut jamais rduire un paramtrage laide dquations non holonmes.

Car dans ce cas les positions dpendraient de vitesses, ce qui est viter dans ce

cours (voir tablissement de la formule de Lagrange).

1.4 Champs d'action - Energie - Travail

Dfinition:

Une nergie mcanique (ou travail) est une nergie mise en jeu dans les

mouvements des particules d'un systme. Une nergie est un scalaire homogne

ML2T-

2

.

Ayant dfini ou mis en vidence (par lexprience) une nergie, on dfinit partir de celle-ci

un champ d'action comme tant quelque chose qui travaille dans le mouvement des

particules. Plus prcisment :

7

Dfinition :

toute sollicitation mettant en jeu l'nergie mcanique W dans l'volution d'un

systme entre les instants t1 et t2, on peut associer, tout instant t, un champ de

vecteur )t(r dfini sur tel que :

W = .V d

dt

t1

t2

r est appel champ d'action. W est le travail de r dans le mouvement de vitesse Vr

,

entre t1 et t2

P = (t).V(t) d

1.5 Classification des actions mcaniques

En Mcanique des Milieux Continus :

- Actions extrieures : c'est l'interaction du systme avec les particules extrieures.

On note We le travail de ces actions.

- Actions intrieures : c'est l'interaction entre particules du systme. On note Wi

l'nergie correspondante. Wi est l'nergie que l'on doit vaincre pour dformer le

systme. Dans un mouvement sans dformation : Wi=0.

- Actions d'inertie : c'est le travail du champ d'action r . On le note Wj.

En Mcanique des Solides Rigides :

- Actions donnes : ce sont les actions donnes (non inconnues du problme). On

note leur travail Wd.

- Actions de liaison : pour un systme de solides rigides, ce sont les actions entre les

solides du systme ou entre le systme et les appuis. Retenons en fait qu'il s'agit

d'inconnues. On note leur travail Wl.

- Actions d'inertie : ce sont les mmes que celles de la M.M.C

Remarque : On a videment Wd + Wl = We + Wi

est la puissance du champ daction r linstant t

8

Srie dexercice N1

T.D de rvision

Exercice 1

Un cadre (figure 1) est compos de quatre barres non pesantes parfaitement

articules entre elles. Entre A et B est plac un ressort de raideur K. Calculer les

ractions d'appui, les tensions dans les barres et dans le ressort.

Exercice 2

On considre le systme bielle manivelle de la figure 2, on nglige le poids des barres

et les articulations sont supposes parfaites. Un couple est appliqu en A et une force horizontale en C. Calculer les ractions des appuis et la position d'quilibre.

F F

l L

aa

a a

Figure 1 Figure 2

A B

A

B

C

Exercice 3

On considre une barre non pesante soumise un chargement dont les lments du

torseur quivalent en O sont : R et M . Cette barre repose sur une rpartition uniforme de ressorts de rigidit k (Voir figure 3).

a Dterminer lexpression des ractions des ressorts l'quilibre.

b - Calculer l'nergie potentielle des ressorts.

Figure 3

9

CHAPITRE II

PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS

APPLICATION AUX SOLIDES RIGIDES

2.1. Mouvement Virtuel

Ce cours de Mcanique Gnrale est bas sur une approche nergtique, l'ide de base est:

"la dtermination des champs d'action partir des nergies mises en jeu"

Il s'agit donc de dterminer, par exemple, leffet dune force F = (F1,F2,F3) partir du travail

(ou bien de la puissance) qu'elle fournie. La puissance P = V . F (o V est la vitesse dans le

mouvement rel) est une galit scalaire. Connaissant P, il est impossible de dterminer F

(3 inconnus) et par consquent le mouvement rel ne suffit pas pour dterminer F. Pour

lever, cette indtermination, on est conduit considrer des mouvements non rels, dits

virtuels, ainsi que les travaux virtuels associs.

Dfinition :

Soit un systme quelconque (dformable ou non). Un mouvement VIRTUEL

l'instant t0 est dfini par une application (ou une famille d'applications):

(P,u) OP (u) )u(Pr=

P tant un point de et u est un paramtre du mouvement virtuel. OP (u) est la position de P dans l'espace, lors du mouvement virtuel. u R + tel que p OP (u=0) = OP (t=t0) ; voir figure.

P

Q

P(u)

Q(u)

P

Q

t = to u = 0

t = to u = u

10

Remarques :

On ne se soucie pas de la faisabilit dun mouvement virtuel.

Le temps est fix t0. On insiste sur le caractre intemporel du mouvement

virtuel.

On se limitera dans ce cours aux mouvements qui respectent les corps rigides,

cependant les dfinitions sont valables pour tout systme.

Dfinition :

On appelle taux de dplacement virtuel l'instant to, le champ de vecteurs

tangents au mouvement virtuel en u = 0 ; on le note :

P = limu0

P(u) - P(u=0)u

=Pu u=0

Remarques

taux signifie un accroissement par rapport un paramtre. On dit parfois vitesse virtuelle

(incommode car vitesse sous-entend un accroissement par rapport au temps). Par abus de

langage on dira "dplacement virtuel", le taux tant entendu.

Exemples :

Translation.

X

P (u) = P (0) + u X P = X P

11

Glissement simple d'un rectangle

e1

e2

M

P(u) = (x + u y) e1 + y e2 P = y e1

Dfinition :

Un dplacement virtuel est dit rigidifiant s'il respecte l'indformabilit du systme.

Donc c'est un torseur.

Preuve : Le dplacement est rigidifiant si: Q(u)P(u) = constante

on drive par rapport u:

OP(u) - OQ(u) dOP(u)du - dOQ(u)

du = 0

pour u = 0, OP - OQ P - Q = 0 M est quiprojectif.

Ainsi il existe un vecteur qu'on notera tel que :

M = O + OM O, M rigide

Ceci est vrai pour un solide.

Dans ce cours, on traitera le cas dun systme de solides rigides. Dans le but de dfinir un

mouvement virtuel qui respecte l'indformabilit de chacun des solides, il suffit d'utiliser le

paramtrage du systme, qui par construction respecte l'indformabilit souhaite.

Dfinition:

Soient: un systme de solides rigides paramtr par (qi)

(q0i ) est la configuration de t0.

Un mouvement virtuel est dfini par la donne de l'application:

12

u qi (u) telle que qi (0) = q0i i = 1...n

On appellera (taux de) dplacement virtuel t0 le vecteur q de composante qi

dfinie par :

0u

i0uu

qu

)0(q)u(qlimqiii

i

=

=

=

Remarque:

Le vecteur OM est une fonction de q. Donc on peut crire :

ii

i

i qqOM

0uuq

qOM

0uu)u(OMM

=

=

=

=

=r

Au lieu de parler de mouvement virtuel t0 on dit parfois autour de t0, ou de la

position qi0

Exemple: bi-pendule.

A

B

L

O

L

C

X

Y

Si on choisit le paramtrage surabondant: XA, YA, , , alors le dplacement virtuel sera

dfini par : (XA, YA, , ). Si on choisit le paramtrage strict (YA, , ) , alors le dplacement virtuel sera dfini par : (YA, , ).

C = OC = - L sin - L sin YA + L cos + L cos

13

B = - L sin YA + L cos

Autres Mouvements virtuels:

rotation de BC, AB reste fixe

===

===

cosLsinL

C;0BA0;0

0Y;0X AA rrrr

rotation de AB, BC reste fixe

===

===

cosLsinL

CB;0A0;0

0Y;0X AA rrrr

translation selon y, pas de rotation des barres

YA A = B = C = 0 YA

A

AAY

0CBA

0;00Y;0X

===

=== rrr

Exercice : Soit un autre paramtrage (XG, YG, , ) o G est le milieu de la barre AB. Dfinir

un mouvement virtuel.

2.2 Dplacement virtuel licite

Dfinition:

Un mouvement virtuel est dit licite pour une liaison s'il respecte cette liaison telle

qu'elle existe t0. Le dplacement virtuel associ est dit licite pour cette liaison.

Un dplacement virtuel est dit licite s'il respecte toutes les liaisons.

Remarque :

Si on a tenu compte de la liaison et on a rduit le paramtrage donc lespace

des paramtres est inclus dans lespace des paramtres respectant cette

liaison. Ainsi si le paramtrage est strict, le mouvement virtuel associ est licite.

14

Si au contraire on na pas rduit le paramtrage, on est donc forcement en

paramtrage surabondant et on suppose qu'il existe k quations de liaisons

(qu'on veut respecter) de type :

fk (qi , t) = 0

Lors dun mouvement virtuel licite, il faudrait respecter ces k quations u et

t0.

fk (qi(u) , to) = 0 u

soit en drivant par rapport u (et en prenant sa valeur en u = 0), on obtient:

( ) ii

i0

ikq0q

qt),0(qf =

licite t0 pour fk.

Donc si le mouvement virtuel est licite les qi doivent vrifier lquation de liaison virtualise.

Pour une liaison non holonme qui scrit dans le cas dune C.R.S.G.

, , 0 , un mouvement virtuel licite vrifie

, 0

(le terme b(q,t) provient dun obstacle mobile or dans un mouvement virtuel le

temps est fig et donc les obstacles sont figs, et dun autre ct ).

2.3 Travail Virtuel

Dfinition :

Le travail d'un champ d'action dans un mouvement virtuel l'instant t0 entre u1 et u2 est :

uddu

M)t(W 21

u

u 0

=

rr

15

Dfinition :

Le (taux de) travail virtuel l'instant t0 du champ d'action dans le dplacement

virtuel 0uu

MM=

=

rr

est :

W = (t0) M d

0uu

WW=

=

Remarques :

ceci fige to;

le dplacement considrer est celui de la particule sur laquelle agit et non le dplacement du point gomtrique.

2.3.1 cas d'un solide rigide

Le dplacement virtuel est un torseur dtermin par ses lments de rduction en un point

quelconque du solide: M (A, ) de telle sorte que :

M = A + AM A, M

le travail virtuel devient :

W = (M,t0) M d

= (M,t0) A d

+ (M,t0) AM d

= (M,t0) d

A + (M,t0) MA d

= R.A + M(A). (Co-moment de deux torseurs)

o Rr

est la rsultante de sur et )A(Mr

est le moment rsultant de par rapport A.

16

Remarques :

Si est le champ des efforts extrieurs ext, alors on a:

We = Rext .A + Mext(A).

Si = - les actions d'inertie :

Wj = - m G.A + (A).

un champ d'action quivalent zro ne fournit aucun travail.

Exemple: Action concentre

Force concentre: soit une force Fi concentre en Ai, son torseur est Fi, FiAiA ,

alors le travail virtuel (lors d'un mouvement virtuel) est:

W = Fi.A + FiAiA . = Fi. A +AAi = Fi.Ai (vident !)

Couple: soit un couple C, son torseur est (O, C), alors le travail virtuel (lors d'un

mouvement virtuel) est:

W = 0.A + C. = C. (vident !)

2.3.2 Cas d'un systme de solides rigides

Soit un systme paramtr par (qi). Le dplacement virtuel d'un point M est donn par :

ii qq

MM

=r

Le travail virtuel W est donn par:

ii

ii0

ii00

q).(Aqdq

OM)t,M(

dqq

OM)t,M(dM)t,M(W

=

=

==

rr

rrr

17

On appellera Ai les actions gnralises dues relatives qi.

Notations : on note

le travail virtuel des actions donnes Wd=Qi qi le travail virtuel des actions de liaisons W=Li qi le travail virtuel des actions dinertie Wj=Ji qi Les Qi sont les actions gnralises dues aux efforts donns et relatives qi

Les Li sont les actions gnralises dues aux efforts de liaison et relatives qi

Les Ji sont les actions gnralises dues aux efforts dinertie et relatives qi

2.4 Principe des travaux virtuels

Principe:

Il existe au moins un repre d'espace et une mesure de temps constituant un

rfrentiel Galilen, dans lequel tout instant, et pour tout dplacement

virtuel d'un systme quelconque, la somme des travaux virtuels de toutes les

actions s'exerant sur est nulle.

We + Wi + Wj = 0 (M.M.C) MWd + Wl + Wj = 0 (M.S.R) M

Dans le cas d'un systme paramtr par (qi), on note:

Wd = Qi qiWl = Li qiWj = Ji qi

P.T.V : Qi + Li + Ji qi = 0 le mouvement virtuel

Remarque:

si les qi sont indpendants, on obtient n quations de type: Qi + Li + Ji = 0

si les qi sont lis, on ne peut pas tout de suite conclure (voir multiplicateur de

Lagrange).

18

Exemple: pendule pesant.

Y

X

O

G*

m g

ij

L

l'instant t0 on a: = 0, x0 = 0, y0 = 0. Les forces sont:

- le poids : mg en G (action donne)

- la raction R0 en 0 (action de liaison)

- le champ - (M,to) (action d'inertie)

Le torseur dynamique ( to) est dfini par :

DS,t0 = mG = mL - cos

2 - sin i + - sin

2 + cos j

/O = Jk

Soit le paramtrage:

OG = L cos L sin

G = - Lsin L cos

Wd = mg. G = - mgL sin Wl = R. O = 0 Wj = -mG(to). O+ -J(to)k .k =-J(to).

Soit (xo, yo, ) le paramtrage

G = x0 - L sin y0 + L cos

et O = x0 y0

/ J k

19

Wd = mg. G = mgx0 - mgL sin Wl = R. O = R0x x0 + R0

y y0

Wj = -mG(to). O+ -J(to)k .k = mL cos

2+sin x0 +

mL sin 2- cos y0-J

Si le mouvement virtuel utilise comme paramtrage, l'application du principe

des travaux virtuels donne:

- mgL sin - J = 0 - mgL sin - J = 0

ceci est vrai quelque soit t0 choisi et donc nous avons obtenu l'quation du

mouvement.

Si le mouvement virtuel utilise (X0,Y0, ) comme paramtrage, on obtient:

- mg + R0x + mL cos 2+sin x0+

R0y + mL sin

2- cos y0 +

- mgL sin - J = 0 x0, y0, Puisque le paramtrage est strict, on peut crire

R0x = - mg - mL cos

2+sin

R0y = - mL sin

2 - cos

mgL sin + J = 0

Conclusion :

Plus le paramtrage comporte de paramtres plus lon obtiendra dinformation sur les

champs dactions.

2.5 Equivalence P.F.D - P.T.V

Cette quivalence sera tablie, dans ce cours, uniquement pour le cas de systme de

solides rigides.

2.5.1 P.T.V P.F.D

Ide de la dmonstration : on applique le P.T.V l'aide de dplacements virtuels rigides ne

faisant pas intervenir les actions intrieures.

20

Dmonstration :

Soient : un systme quelconque soumis aux champs : Fe et -

M = O + OM un dplacement virtuel rigide quelconque.

Lapplication du PTV implique : We + Wj = 0

We = Fe.M d

= Fe.O d

+ FeMO d

Wj = - .M d

= - .O d

+ - MO d

We + Wj = Fe- .O d

+ OM Fe- d

= 0 M rigide

Fe d

= d

et OMFe d

= OM d

Do le P.F.D

2.5.2 P.F.D P.T.V

Cas d'un solide unique

Soit un mouvement virtuel rigide: Wi = 0 le P.F.D donne:

Fe d

= d

FeMO d

- MOd

= 0

On multiplie la premire quation par un vecteur O quelconque et la seconde

quation par un vecteur quelconque. On obtient par addition des deux quations

rsultats:

Fe- .O d

+ OM Fe- d

= 0 (O,)

d'o le rsultat.

21

Cas d'un systme de solides rigides

Soit un systme form de deux solides 1 et 2 (on en prend 2 pour simplifier

l'criture). = 1 2

Le P.F.D appliqu 1 We1 + We2/1 + Wj1 = 0 (un solide unique)

Le P.F.D appliqu 2 We2 + We1/2 + Wj2 = 0 (un solide unique)

Le P.F.D appliqu

We = We1 + We2 Wj = Wj1 + Wj2

Wi = Wi1 + Wi2

We + Wj + Wi = 0 M rigidifiant chacun des solides

2.6 Liaisons parfaites Liaisons lastiques

Dfinition:

Une liaison entre deux solides t0 est dite parfaite si dans tout dplacement virtuel

licite pour cette liaison, le travail virtuel des actions de liaisons est nul.

Exemple :

Pour une liaison pivot est licite do W=0.

Dfinition:

Une liaison entre deux solides t0 est dite lastique, sil existe un potentiel Ep ne

dpendant que des positions mutuelles des deux solides et tel que pour tout

mouvement virtuel licite pour cette liaison, le travail virtuel des actions de liaisons

est W = - Ep .

Exemples : ressort linaire ressort spiral.

22

2.7 Potentiel - Fonction de forces

Dfinition:

Soient un systme et un champ d'action appliqu . S'il existe une fonction U(M,t) telle que pour tout dplacement virtuel du systme, le travail virtuel W du

champ est gal (-U), on dit alors que drive du potentiel U. On a:

= - grad(U)

U est dfini une constante prs qu'on impose en choisissant une position de

rfrence o U est nul.

Exemples:

La pesanteur: soit une masse ponctuelle m place en G. on a:

W m g G mgz mgz constante U

+ U mgz constante

Liaison ressort: soit un ressort, de rigidit k et de longueur initiale Lo, limit par

deux points A et B. Par dfinition, l'action du ressort sur les points A et B est:

A B* *

k

FR/B = - k(L - Lo)ABAB

; FR/A = - k(L - Lo)BAAB

Wl = FR/A.A + FR/B.B = FR/A. A - B

Par projection sur l'axe du ressort, not X, on a:

Wl = k(xB - xA - Lo) (xA - xB) = - d 12 k xB - xA - Lo2 = - dU

U = 12 k xB - xA - Lo2

Force concentre constante dont le point d'application est A ; son travail virtuel est:

W = F . A = - d(- F . OA + constante) = - dU U = - F . OA + constante

x

Ep

+Ep

23

2.8 Thorme de l'nergie cintique

Thorme:

Si on applique le principe des travaux virtuels au mouvement rel, on obtient:

Wi = Pi We = Pe Wj = - dTdt

Pi + Pe = dTdt

o T est l'nergie cintique du systme.

Dmonstration:

Pour M = V on a:

We = e.V d

= Pe ; Wi = i.V d

= Pi

Wj = - .V d

= - dVdt .V d

= - ddt.(

V22 ) dm

= -ddt (

V22 ) dm

= -

ddt (T)

2.9 Systme conservatif

Dfinition:

Un systme soumis des forces extrieures, est dit conservatif s'il existe une

fonction scalaire U(q) indpendante du temps appele nergie potentielle totale qui

vrifie

q licite Wl +Wd = - U systme conservatif

Remarques:

Lorsque les liaisons sont parfaites et le dplacement virtuel est licite, on a: Wl = 0.

24

Donc un systme, avec des liaisons parfaites lastiques, soumis des actions

extrieures drivant d'un potentiel, est un systme conservatif.

Si

We = - V Wl = - Ep

We + Wl = - (V+Ep) = - U

En statique Wj = 0 , on a:

0qqUUWW iild =

==+

Thorme:

Pour un systme conservatif, l'nergie mcanique totale se conserve dans le

mouvement rel: U + T = constante

Dmonstration:

Dans le mouvement rel, on a:

- U = - dUdt = Pi + Pe = Wi + We = dTdt

ddt

(U + T ) = 0

25

Srie dexercice N2

Principe des Travaux Virtuels

EXERCICE 1

On considre le systme bielle

manivelle dfini par la figure 1.

On nglige le poids des barres

et les articulations sont

supposes parfaites. Un couple

est appliqu en A et une

force horizontale en C.

A

B

C

l

L

Figure 1

Calculer les ractions des appuis et la position d'quilibre.

EXERCICE 2

Dterminer la position d'quilibre du bipendule de la figure 2 et l'action de liaison en A

EXERCICE 3

La plateforme OA est de longueur L et de masse M. Le point C est astreint se mouvoir sur

une droite horizontale par l'intermdiaire d'une roue (voir figure 3). Calculer la masse du

contrepoids B pour que la plate-forme soit lquilibre quelle que soit son inclinaison.

O

F

A

B

g

H

b

a

C

B

A

O x

y

X

Y

L, M

L, M

L, M

a > H

Figure 2 Figure 3

Fr

EXERCICE 5

Un flotteur est schmatis par deux barres indformables de

chacune. Elles sont relies par un ressort spiral de raideur c schmatisant llasticit en

flexion de la poutre. Le ressort linaire de raideur k schmatise les forces de rappel de leau

sur le flotteur. On paramtre le systme pa

On ngligera la masse des ressorts et on supposera quils sont dans leur tat naturel quand

= = 0. La liaison au point O est suppose parfaite.

1. Dans le but de dterminer les quations dquilibre par le P.T.V., dfinir un

virtuel.

2. Dterminer le potentiel lastique du systme et en dduire le travail virtuel des actions

de liaisons.

3. Dterminer le travail virtuel des actions donnes.

4. Dterminer le travail virtuel des actions dinertie.

5. Appliquer le P.T.V. et dterminer les quations dquilibre.

EXERCICE 4

Calculer la tension de la barre indique dans

la structure de la figure 4. Toutes les barres

extrieures sont de mme longueur L et

pesantes.

Figure 4

Un flotteur est schmatis par deux barres indformables de longueur L et de masse m



sur le flotteur. On paramtre le systme par les angles et .


= 0. La liaison au point O est suppose parfaite.

1. Dans le but de dterminer les quations dquilibre par le P.T.V., dfinir un


3. Dterminer le travail virtuel des actions donnes.

4. Dterminer le travail virtuel des actions dinertie.

. et dterminer les quations dquilibre.

de la barre indique dans

la structure de la figure 4. Toutes les barres

extrieures sont de mme longueur L et

26

Figure 4

longueur L et de masse m




1. Dans le but de dterminer les quations dquilibre par le P.T.V., dfinir un mouvement


27

CHAPITRE III

LES MULTIPLICATEURS

ET LES EQUATIONS DE LAGRANGE

3. 1 Les multiplicateurs de Lagrange (systme liaisons parfaites)

3.1.1 Thorme des multiplicateurs de Lagrange

Soit un systme paramtr par (qi) avec:

p liaisons holonomes : fk(q,t) = 0 ; k = 1..p

p' liaisons non holonomes aik'(q,t) qi + bk'(q,t)= 0 ; k' = 1..p'

Soit un dplacement virtuel licite ( qi). L'application du P.T.V donne:

Wd = Qi qi

Wj = Ji qi

Wl = 0 (liaisons parfaites avec dplacement licite). (Qi + Ji) qi = 0 qi vrifiant les quations virtualises :

( ) 0qq

t,qf ii

00k

=

k=1..p

( ) 0qt,qa i00'ki = k=1..p Notations:

l : la forme linaire de composantes: li = Qi + Ji

lk : les p formes linaires de composantes : i

kki q

fl

=

l'k': les p' formes linaires de composantes: l' ik' = aik'

On peut rcrire les quations de liaisons sous la forme:

l(q) = 0 ; lk(q) = 0 ; l'k'(q) = 0. Ces quations expriment que le vecteur q solution appartient aux noyaux des formes linaires l, lk et l' k'. Autrement dit, l'quation du PTV est satisfaite lorsque les quations de liaisons le sont.

28

Thorme des multiplicateurs de Lagrange

Soit En un espace vectoriel de dimension finie (n) Soient l, l1,..., lr (r+1) formes

linaires sur En, les deux propositions suivantes sont quivalentes :

Kerir

li Ker l

() = (1,..., r ) Rr tel que l + ili = 0 Applications :

Il dcoule du thorme qu'il existe k scalaires (k = 1,...p) et ' k' (k' = 1,...,p') tels que:

0'l'll'p

1'k

'k'k

p

1k

kk =++

==

Ce qui pour notre problme s'crira :

1...ni 0a'qfJQ

'p

1'k

'ki'k

p

1ki

k

kii ==+++

==

Les scalaires k et ' k' sont des inconnues, leur nombre est p+p'. Sans multiplicateurs de Lagrange, nous avions:

( ) 0q JQ iii =+ 1 quation

( ) 0qq

t,qf ii

00k

=

p quations

( ) 0q t,qa i00'ki = p quations Soit (1 + p + p') quations pour n (qi) inconnues. A l'aide des multiplicateurs de Lagrange,

on passe :

0a'qfJQ

'p

1'k

'ki'k

p

1ki

k

kii =+++

==

n quations

0)t,q(f 00k = p quations ()

( ) ( ) ( ) 0t,qbt,qqt,qa 00'k00i00'ki =+& p quations Soit (n+p+p') quations pour n (qi), p(k) et p'(k) inconnues. On a donc compliqu le problme pour le rsoudre. La rsolution passe par le calcul des multiplicateurs de Lagrange.

29

3.1.2 Interprtation des multiplicateurs de Lagrange

Reprenons le systme avec le paramtrage qi et considrons un mouvement virtuel qui

ne respecte aucune des liaisons, de sorte qu'il n'existe aucune quation de liaisons entre les

qi. Cette fois, le travail virtuel des actions de liaisons est non nul et s'crit Wl = Li qi. L'application du PTV donne:

(Qi + Li + Ji) qi = 0 (qi indpendants) Qi + Li + Ji = 0 i = 1...n ()

Les qi sont les mmes, donc Qi et Li le sont. L'interprtation des multiplicateurs, vient en

comparant les quations () et ():

( ) ( )00'ki'ki 00k

ki t,qa 'qt,qfL +

=

Les multiplicateurs de Lagrange sont lis aux actions de liaison.

3.1.3 Applications du thorme des multiplicateurs de Lagrange

Exemple : bielle - manivelle:

On se propose de dterminer la relation entre le couple , la force F et l'angle l'quilibre .

lL

O

A

B

F

x

y

Le paramtrage considr est : (,). Le dplacement virtuel est caractris par (,). L'quation de liaison est dfinie par:

OB.j = L sin + l sin = 0 L'quation de liaison virtualise s'crit donc: L cos + l cos = 0

Le travail virtuel des efforts s'crit comme suit:

30

Wd = + FxB = - F L sin + l sin = 0

= - FL sin - Fl sin = 0 Wl = 0 Wj = 0

L'application du principe des travaux virtuels donne:

- FL sin - Fl sin = 0 ( , ) vrifiant:L cos + l cos = 0

On introduit un multiplicateur de Lagrange , on obtient alors: - FL sin + L cos = 0 - Fl sin + l cos = 0 L sin + l sin = 0

La solution de ce problme est:

= F tg = FL cos [ tg - tg ]

Ici est gale l'action verticale de l'appui en B, action qu'il faut exercer pour garder le dplacement vertical de B nul.

3.2 Formules de Lagrange

Pour la rsolution d'un problme de mcanique de solides rigides, le calcul du travail virtuel

des efforts d'inertie, ou encore du torseur dynamique, reste un point dlicat et "difficile".

Les formules de Lagrange permettent de calculer les actions gnralises d'inertie Ji partir

de l'expression de l'nergie cintique.

Proposition 1

Soit un systme paramtr par (q), alors on a:

ii q)M(V

qMO

M &

rr

=

Dmonstration de la proposition 1

On a : ii qqMO

tMO

)M(V &rr

r

+

=

En drivant cette expression par rapport qi, il vient: j

ijij q

MOqMO

q)M(V

=

=

rr

&

r

31

Proposition 2

Soient un systme et T son nergie cintique, alors:

iii qT

qT

dtdJ

+

=

&

Remarque

La dmonstration de cette proposition utilise le fait que le vecteur position ne

dpend pas de iq& . Ceci ne serait plus possible si une rduction de paramtrage a t

faite avec une liaison non-holonome.

Dmonstration de la proposition 2

On a

ii

iij qJdqq

M dM W ===

rrrr

= d

qM

J ii

rr

D'autre part, on a:

=

=

iiii q

MdtdV

qMV

dtd

qM

dtVd

qM

rr

rr

rrrr

=

=

2V

q

dtd

qVV

dtd

qMV

dtd 2

iii

r

&&

rr

rr

=

=

+

=

2V

q

qV

V qqq

M

qtMV

qM

dtdV

2

iij

ij2

i

2

i

rrr

&

rrr

rr

+

=

= d

2V

q d

2V

qdtd

- dqMJ

2

i

2

iii

rr

&

rr

iii qT

qT

dtd

J

+

=&

3.3 Equations de Lagrange

3.3.1 Systme conservatif

Par dfinition, pour un systme conservatif, on a:

Wd + Wl = - U o U est l'nergie potentielle totale. En dynamique:

32

iij qJW = avec iii qT

qT

dtd

J

+

=

&

L'application du principe des travaux virtuels pour le systme paramtr par (q) donne:

q 0qqU

qT

qT

dtd

iiii =

+

&

Cest lquation de Lagrange (1788)

Remarque

Si le paramtrage est strict, alors on a:

i 0qU

qT

qT

dtd

iii =

+

&

3.3.2 Systme non conservatif

Dfinition

Il y a frottement linairement visqueux entre deux solides lorsque la force de

frottement exerce par 2 sur 1 est proportionnelle la vitesse de glissement.

g2/11/2 V Fr

lr

= ; l est le coefficient visqueux, l est positif.

On montre dans ce cas, que le travail des actions de liaison entre les deux solides peut

s'obtenir partir d'un potentiel D qui dpend des vitesses. D est appel potentiel de

dissipation.

Proposition

Si V2/1 est la vitesse de glissement l'instant t entre deux solides et si le frottement est linairement visqueux, alors on a:

iil qqDW

=&

avec 2 1/2V21D

rl=

Si on note:

F2/1 l'action de 2 sur 1

F1/2 l'action de 1 sur 2.

33

P1 et P2 les deux points de contact entre les deux solides (ils correspondent au

mme point gomtrique)

alors on a:

22/111/2l P FP F Wrrrr

+=

2g1/21g2/1 P V P V rr

lrr

l =

( )21g2/1 P P V rrrl = or iiii qq(P)V

qq

POP

=

=&

rrr

( ) i21ig2/1 q)P(V )P(Vq V

=

rr

&

rl i

g2/12

i q2V

q

=

r

&l

Le principe de travaux virtuels donne dans ce cas:

q 0qqD

qU

qT

qT

dtd

iiiii

=

+

&&

3.3.3 Applications des quations de Lagrange

Exemple: chariots avec amortisseur

Le systme est paramtr par x1 et x2 le dplacement respectif du centre de gravit des

chariots 1 et 2. Alors on a:

xx1 x2

x

m1 m2F1 F2

U = 12 k(x1-x2)2 - F2x2 - F1x1

D = 12 l(x1-x2)2

T = 12 m1x12 + 12 m2x2

2

d'o les quations du mouvement:

mx1 + l(x1-x2) + k(x1-x2) = F1mx2 + l(x2-x1) + k(x2-x1) = F2

l

34

Srie dexercice N3

P.T.V en dynamique - Les multiplicateurs de Lagrange.

EXERCICE 1

Dterminer l'quation du mouvement du pendule de la figure 1.

EXERCICE 2

Dterminer la position d'quilibre du systme de la figure 2. Etudier le cas particulier

y=x.

x

y o A k

(l,m)

Figure 1.

y = f(x) A

B

(l,m)

y

x

Figure 2

P

F(t)

EXERCICE 3

La figure 3 reprsente la position d'quilibre d'une barre pesante AB de longueur 2l et de

masse M, suspendue par deux fils inextensibles de longueur L dont les extrmits sont

attaches aux points C(0,-l,L) et D(0,l,L).

On tudie le mouvement de la barre AB tel que les fils restent tendus et le point G reste sur

oz.

1. Donner la relation de liaison entre les paramtres zG, cte de G et l'angle de rotation, rotation autour de z, partir de la position d'quilibre.

2. Quel couple doit - on exercer sur la barre pour la maintenir dans la position d'quilibre .

3. En vue, d'interprter les multiplicateurs de Lagrange, calculer la tension dans chaque

35

fil.

4. On suppose que la barre est lche sans vitesse partir d'une position initiale.

Donner les quations du mouvement.

EXERCICE 4

On considre le systme plan suivant : (voir figure 4 )

Deux disques (D1) et (D2) de rayon R, de masses respectives M1 et M2, sont relis par une

barre homogne, de longueur 2L, de masse nulle, articule au point A li (D1) et au point

B li (D2).

Les disques (D1) et (D2) roulent sans glisser sur l'axe horizontal ox. Le systme est soumis

l'action de la pesanteur, les liaisons sont supposes parfaites.

1. Paramtrer le systme.

2. Dterminer les quations de liaison du systme.

3. Ecrire les quations du mouvement.

4. Donner une expression des ractions horizontales aux deux points de contact des

disques avec le plan, et de la tension dans la barre AB en fonction des paramtres de

leurs drives.

o

GA B

DC

z

Figure 3

2LA B

O1 O2

y

x

O1A = O2B = a

Figure 4

36

EXERCICE 5

La plate-forme OA dun pont mobile est de longueur L et de masse M. Le systme de

levage du pont est constitu par la barre AB o le point C est astreint se mouvoir sur une

droite horizontale par l'intermdiaire d'une roue (voir figure 5 ci-dessous). En B est plac un

contrepoids de masse MB.

1. Donner un paramtrage du systme et prciser lquation de liaison.

2. En utilisant le thorme des multiplicateurs de Lagrange, dterminer la masse du

contrepoids MB pour que la plate-forme soit lquilibre quelle que soit son inclinaison.

3. Calculer la raction en C et donner une interprtation du multiplicateur de Lagrange.

Figure 5

H

b

a

C

B

A

O x

y L, M

a > H

37

CHAPITRE IV

ANALYSE DYNAMIQUE ET INSTABILITES

DES SYSTEMES DISCRETS

4.1. Dfinition

Un systme discret est un ensemble de masses concentres en des points de lespace. Le

mouvement de ces masses est repr par un ensemble de fonctions du temps que lon

appelle variables de dplacement. On tudie les dplacements autour dune position

dquilibre ou autour dun mouvement permanent. Les variables de dplacement

indpendantes sont appeles degrs de libert (ddl) du systme

4.2. Exemple introductif : formes nergtiques de loscillateur 2 ddl

Soit le systme reprsent sur la figure ci-dessous. Il est compos de deux masses

ponctuelles m1 et m2 se dplaant suivant laxe horizontal. Elles sont relies trois ressorts.

Le systme est soumis aux forces )t(f1r

et )t(f2r

et il est paramtr par x1 et x2 :

x1= 011 x-i OGr

: dplacement de m1 par rapport la position initiale 01x .

x2= 022 x-i OGr

: dplacement de m2 par rapport la position initiale 02x .

Ce systme est un oscillateur deux ddl : x1 et x2.

Le potentiel associ aux forces )t(f1r

et )t(f2r

et aux forces de rappel des ressorts scrit :

( )( ) ( ) ( )022201112221221 xxfxxfkxxxkkx21U ++++= Lnergie cintique du systme scrit : 22

21 x m2

1x m

21T && +=

Les quations de Lagrange pour un systme conservatif scrivent :

0qqU

qT

qT

dtd i

iii =

+

& quels que soit qi ; i=1,n

k1 k2 k3

m m

G1 G2 k1 = k2 = k3 = k

m =m =m O )t(f2

r)t(f1

r

38

En les appliquant notre cas, nous obtenons le systme dquations suivant :

=+

=+

2122

1211

f xkx k2x mf xkx k2x m

&&

&&

que lon peut crire sous une forme matricielle :

=

+

2

1

2

1

2

1

ff

x

x

k2kkk2

x

x

m00m

&&

&&

et lon note : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ])t(FQ KQ M =+&& (1)

[M] est la matrice de masse, elle est toujours symtrique dfinie positive (signification

physique : pas de mouvement sans nergie).

[K] est la matrice de rigidit, elle est symtrique mais pas ncessairement dfinie positive :

si la matrice de rigidit nest pas dfinie positive le systme possde un mcanisme

local ou global ce qui nest pas conseill en Gnie Civil ;

si la matrice de rigidit est dfinie positive le systme est stable.

La rsolution du systme (1) peut tre analytique pour les systmes simples ou bien

numrique en utilisant des approximations en temps (voir cours dAnalyse Numrique).

Mais ces algorithmes numriques peuvent tre coteux en temps de calcul.

La mthode la plus utilise en dynamique est la mthode modale. Elle est base sur la

projection de la solution sur un ensemble de vecteurs (dits modes) correspondants aux

vecteurs propres dun systme linaire.

4.3. Mthode modale

On veut rsoudre le systme le systme (1). Soit [qI] lensemble des vecteurs solutions du

systme suivant :

[K] [qI] 2 [M] [qI] = 0 (2)

[K] et [M] sont de dimension (n x n).

On montre (voir cours dAnalyse Numrique) quil existe n vecteurs distincts et n scalaires

(pouvant tre confondus) solutions du systme (2) : vecteurs et valeurs propres.

39

Le problme (2) est appel problme aux valeurs propres gnralis par comparaison au

problme classique de valeurs propres AX = X. On classe les vecteurs par ordre croissant du correspondant.

Les vecteurs propres sont appels modes propres et les valeurs propres sont appeles

pulsations .

i est la pulsation numro i et qIi est le mode numro i.

On montre que les modes propres forment une base complte et orthogonale :

base orthogonale signifie : [qIi]T [M] [qIj] =

=

ji si 0ji si m j

mj : masse modale du mode j

De mme [qIi]T [K] [qIj] =

=

ji si 0ji si k j

kj : rigidit modale du mode j

base complte : signifie que la solution de (1) peut scrire comme une combinaison

linaire des vecteurs de cette base : [q] = =

n

1i

i [qIi]

Dans la pratique et pour les systmes grand nombre de paramtres (ddl), on montre quil

est numriquement difficile de calculer un grand nombre de vecteurs propres sans

commettre trop derreurs et quun nombre rduit de modes propres, formant une base dite

tronque est suffisant pour dcrire le mouvement. Soit nc le nombre de vecteurs de la

base tronque, il est choisi tel que %75mcn

1ii =

=

de la masse totale du systme.

Le systme (1) scrit :

[K] =

cn

1i

i [qIi] + [M] =

cn

1i

i [qIi] = [F(t)] (3)

On multiplie (3) par[qIj]T, on obtient :

kj j + mj

j&& = [qIj]T [F(t)] (sans sommation sur j) (4)

0 1 2 3 n

40

On obtient donc nc quations indpendantes qui peuvent tre rsolues une une. La

rsolution de ces quations indpendantes peut tre faite en utilisant les algorithmes

appropris de lanalyse numrique.

Pour lingnieur, la rponse instantane du systme q(t), nest pas importante en soit, mais

par contre, les maxima du dplacement, contraintes forces etc. sont importants.

On peut dterminer ces maxima par le passage de lespace temps lespace de Fourier.

+

pi==-

t f i 2 dte )t()(F)f(~

))t((F i))t((F =& avec T2f 2 pi=pi=

o f est la frquence et T la priode.

La Transforme de Fourier de lquation (4) donne :

kj ~ j - 2 mj ~

j = [qIj]

T [ F~ ]

do [ ] [ ]

j2

j

TjIj

mkFq

~

=

[ ] [ ]( )22jj

TjI

m

Fq

= et )t(

j

avec j

j2j

m

k=

4.4. Application loscillateur 2ddl soumis un dplacement impos

Soit le systme reprsent sur la figure ci-dessous. Il est compos de deux masses

ponctuelles m1 et m2 se dplaant suivant laxe horizontal. Elles sont relies trois ressorts.

Soient : x1 : dplacement de m1 par rapport la position initiale.

x2 : dplacement de m2 par rapport la position initiale.

x0(t) : dplacement impos aux extrmits (sisme).

k1 k2 k3 m1 m

x0(t) x0(t) x1 x2

k1 = k2 = k3 = k

41

Ecrivons les quations du mouvement sous forme matricielle :

Lnergie cintique du systme a pour valeur :

222

211 x m2

1x m

21T && += en effectuant le changement de variables :

=

=

022

011

xxXxxX

on obtient : ( ) ( )20222011 xX m21

xX m21T &&&& +++=

Lnergie potentielle est donne par : ( )( )2221221 kXXXkkX21U ++=

Les quations de Lagrange pour un systme conservatif scrivent :

0qqU

qT

qT

dtd i

iii =

+

& quelque soit q

En les appliquant notre cas, nous obtenons le systme dquations suivant (m1=m2=m):

=+

=+

0122

0211

xmkXkX2XmxmkXkX2Xm&&&&

&&&&

que lon peut crire sous forme matricielle :

02

1

2

1 x11

m00m

XX

k2kkk2

XX

m00m

&&&&

&&

=

+

Que lon note : 0x U MKXXM &&&& =+ (5)

U dpend de la direction du sisme.

42

Dterminons la rponse du systme au sisme

Dans le cas des petites oscillations libres le systme ci-dessus, scrit :

0KXXM =+&&

Cherchons une solution particulire dans laquelle toutes les coordonnes gnralises

suivent un facteur prs la mme loi temporelle )t( xX =

do : 0KxMx =+&&

Pour un systme position dquilibre stable, K et M sont non singulires, on crit le

systme : MxKx

=

&& si on note

=&&

on aura K x = M x

est une constante par rapport au temps, cest un rel positif donc on pose :

=&&2

Do K x - 2 M x = 0 (6)

On obtient un problme de valeurs et vecteurs propres gnralis. Il existe N vecteurs et

valeurs propres ( )2nn ,X / . ( )n321 X,......X,X,X //// forment une base complte et orthogonale, cest dire :

Tout vecteur X(t) peut scrire comme une combinaison linaire des vecteurs de la

base :

nN

1n

n X )t()t(X /= =

Les vecteurs de la base orthogonale vrifient :

=

=//sinon 0

mn si MXMX nmn

=

=//sinon 0

mn si KX KX nmn

On appelle : Mn masse modale et Kn rigidit modale.

En reprenant lquation (5), en utilisant (6) et en multipliant toute lquation par le vecteur

mX/ nous obtenons :

=

/+

//

==

0n

N

1n

nn

N

1n

nm xMUX )t(MX )t(KX &&

. .

43

et puisque mX/ et nX/ sont orthogonaux, on obtient m quations indpendantes :

0m0mm

mm

m x qx U M XMK &&&&&& =/=+ (7)

En appliquant la transforme de Fourrier lquation (7), nous obtenons :

02

mm

m2m

m x~

q~M~K = do m

2m

02

mm MK

x~q~

= )t(m

De mme pour le vecteur propre :

=

/=N

1mm

mX~)f(X~ =

/=N

1mm

m X)t()t(X

Dterminons les pulsations et les modes propres du systme

Reprenons lquation (6):

( ) 0XMK 2 =/ do 0)MKdet( 2 = et donc les deux pulsations propres sont :

m

k21 = et

m

k 322 =

Les deux modes propres sont :

=/

11

X1 vibration en phase

=/1

1X2 vibration en opposition de phase

Remarque : Un sisme peut tre assimil une force impulsionnelle applique un

systme sur une trs courte dure. Cette force est assimile un Dirac en temps :

=

=sinon 0

t tsi 1)tt( 00

Fourrier

Fourrier

44

Srie dexercice N4

Dynamique des systmes discrets

EXERCICE 1 : Instabilit dun poteau

Un poteau articul en pied, sur appui simple en tte, est schmatis

par trois barres identiques de longueur l , de masse m, relies par

deux ressorts spiraux de rigidit c.

Au milieu I de ce poteau on ajoute un contreventement assimilable

un ressort horizontal de raideur K. Ce ressort a un allongement nul

lorsque les 3 barres sont verticales.

On applique en tte de ce poteau une force verticale Fr

. Les dplacements sont supposs

petits et la pesanteur est nglige.

1. En utilisant le paramtrage (, , ) du systme (les angles sont compts positifs dans le sens trigonomtrique), prciser lquation de liaison.

2. Dterminer lnergie potentielle de dformation du systme.

3. Sachant que lnergie cintique du systme est :

( )+= &&&&l 222 226

mT

et en utilisant les quations de Lagrange, dterminer les quations dynamiques du systme.

Les crire sous forme matricielle.

4. Dterminer lintensit de la force critique qui fera flamber le poteau.

5. Quelle serait lintensit de cette force critique sil ny avait pas de contreventement.

6. Conclure.

Fr

B

A

O

C

I K

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EXERCICE 2 : Etude dun pont roulant

Pour schmatiser un pont roulant on considre la structure suivante :

Les barres (AB) et (CD) sont rigides et comportent des ressorts spiraux en A, B et C, D, de

raideur c. Les barres (AB) et (CD) sont caractrises par une longueur L, une masse M et

une inertie I par rapport kr

.

La barre (BC) est dformable, elle est donc modlise par un ressort linaire de raideur

k.

Ce systme est soumis un mouvement horizontal x0(t) (sisme) en A et D et une force

horizontale F(t) applique en B.

On paramtre le systme par les angles et que font, respectivement, les barres (AB) et (CD) avec la verticale.

1. Ecrire lnergie cintique et lnergie potentielle de dformation du systme.

2. En utilisant les quations de Lagrange, dterminer les quations dynamiques du

systme. Les crire sous forme matricielle.

3. Dterminer les pulsations propres ainsi que les modes propres du systme.

4. Ecrire les quations dynamiques projetes sur la base des modes propres.

5. En utilisant la transforme de Fourier, dterminer les transformes de Fourier de et . 6. Dterminer la transforme de Fourier de la force dans le ressort (BC).

L ( M , I ) ( M , I )

y

c k c

B C

A D

F(t)

x0(t) x0(t)

Poly Mécanique Générale2012

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