Poly Electromagn1

8/13/2019 Poly Electromagn1

1/49

Electromagnetisme classique du vide

et des milieux continus

Ce cours est divise en neuf chapitres, couvrant respectivement :

1. Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnetisme

2. Electrostatique

3. Mili eux dielectri ques

4. Magnetostati que

5. Mi lieux magnetiques

6. Indu ctio n elec tromagn etiq ue

7. Propagation dans le vide et les milieux dielectriques

8. Systemes rayonn ants

9. El ectromagn etisme et relativ ite restreinte

Ces notes de cours sont volontairement extremement succinctes, en particulier sur le plandes explicat ions qui ser ont princip alement donn ees en amphi. De meme, certains calculs sontdetailles da ns le polycopi e, ta ndis que d autres le ser ont en amphi. Ces n otes completentdonc ce qui est dit en cours ma is ne saurait dispenser dune assiduite reguliere.

Certains chapitres sont moins developpes que da utres. C est notamm ent le cas d es chapitreconcernant lelectrosta tique et la m agnetostatiq ue.

Dans le texte, les noms propres en gras correspondent a des physiciens dont les principalescontributions a l elect romagnetis me ou a la relativi te sont detai llees page 2 du preambule,meme si cetait par le biais des mathematiques !

Ce poly copie doit beaucoup a ceux reali ses par les ensei gnant s qui mont precede (E. Auge,H. Doubre et J. Perez-Y- Jorba). Qui ls en soient r emercies.

Patrick Puzo

Notes de cou rs d electromagn etisme classi que,Licence 3 et Magistere de Physiq ue Fondamentale, P. Puzo (2 010 - 2011)

i

Le whos who de

lelectromagnetisme

Andre M arie Ampere (1775 - 1836), mathematicien et physicien francais. Il donne lespremieres formulation s mathematiques de lelectromagnetisme. On lui doit egalement lestermes de courantet tensionet linvention du galv anometre et du so leno de. Il supposeegalement que les propri etes d es aimants sont dues a des courants microscopiques dans lamat iere (hypot hese dAm pere).

Peter Barlow (1776 - 1862), mathematicien et physicien anglais. Il publie en 1820 sonEssai sur le magnetisme et invente en 1828 la roue de Barlow dont on peut considererquelle est le 1er conver tiss eur elect romecanique .

Jean-BaptisteBiot(1774 - 1862), astronome et physicien francais. Il enonce avecSavarten 1820 la loi donnant le champ B cree par un courant conti nu.

HenryCavendish(1731 - 1 810), physi cien et chimis te britan nique. Il determine la densitemoyenne du globe a laide de sa balance de torsion, qui sert en outre a mesurer la force entredeux charges ponctuelles. Il en deduit que le champ electrostatique est nul a l interie urdune sphere c reuse chargee. Il introduit le potentiel electrostat iqueet la capacite duncondensateur.

Pavel Cherenkov (1904 - 1990), physicien russe, prix Nobel de physique en 1958. Ildecrouvre leffet qui porte son nom en 1934 en observant la teinte bleutee dune bouteilledeau soumise a des irradiations.

Rudolf Clausius(1822 - 1888), physicien allemand. Il demontre en 1879 la relation deClausius-Mossottientre la p olarisabil ite microscop ique dun milieu et sa per mittivit e ma-croscopique.

Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806), physicien francais. I l etudie les aigu illesaimantees et intro duit en 177 7 la notion demomen t magnetique. Il montre e xperimentale-ment en 1785 a laide dune ba lance de torsio n tres sensible que la for ce entre deux chargeselectrique s est en 1/r2 et que les charges dun c onducteur en equilibre se repartissent sur

sa surface.

Peter Debye(1884 - 1966), physicien et chimiste neerlandais, prix Nobel de chimie en1936. Il montre en 1920 que linductio n dipo laire entre molecules genere une force de typeVan der Waals.

PaulDirac (1902 - 1984), physicien britannique, prix Nobel de physique en 1933.

Peter-Gustav Lejeune-Dirichlet(1805 - 1859), ma thematicien allemand.

Notes de cour s d electromag netisme classiq ue,Licence 3 et Magistere de Physiqu e Fondamentale, P. Puzo (20 10 - 2011)

ii


2/49

PaulDrude(1863 - 1906), physici en allemand. Il intro duit en 1900 le mo dele de la conduc-tivite electrique dans les metaux en appliquant la theorie cinetique des gaz aux electronsdes metaux.

Michael Faraday (1791 - 1867), physicien et chimiste anglais. Il invente le disque deFaradayen 1821. Experimentateur de genie, il decouv re le p henomene dind ucti on en 1831et enonce la loi correspondante en 1854. Il introduit les termes de champ et de ligne dechamp.

HippolyteFizeau(1819 - 1896), physicien francais. Il effectue la premi ere mesure precis ede la v itesse de la lumi ere en 1 851.

Leon Foucault(1819 - 1868), physicien francais. Il decouvre le s courants induits da ns lamatiere qui portent desormais son nom.

Benjamin Franklin (1706 - 1790 ), homme politiqu e et physi cien americain. Il decouvrela natur e electrique des eclairs et invente le parat onnerre en 1852. I l affirme lexistence dedeux sortes delect rici te (positiveet negati ve) et enonce une premiere fo rme qu alitative duprincipe de conservation de la charge.

LucienGaulard(1850 - 1888), in genieur fr ancais. Ses travaux ont permis la distributiona distance du courant electrique (transport a haute tension et abaisseur de tension sur lesite dutilisation) par linvention du transformateur. En 1884, il acheminait du courant sur

80 km.

Carl Friedrich Gauss(1777 - 1855), mathematicien et physicien allemand. Il effectue en1832 les premi eres mesures d u champ magnetique ter restre et mo ntre quil a la structu redu champ dun dipole magnetique. En electrostat ique, il d onne sa fo rme definitive autheor eme de Gaussen 1839.

WilliamGilbert(1544 - 1603), p hysicien an glais. Il etudie q ualitativement le magnetismeterrestre et introduit la notion de poledun aimant. Il enonce en 16 00 quil nex iste pas decharge magn etique. En electrosta tique, il introdui t les co ncepts de conducteuret disolant.

Stephen Gray (1670 - 1736 ), phy sicien a nglais. Il d ecouvre en 1729 que l es ph enomenesdelectrisati on peuvent etre transmis a grande distance pa r des fils metalliques.

GeorgeGreen(1793 - 1841 ), ma thematicien et phy sicien anglais. Il enonce une premiereforme duth eoreme de Gaussen 1828.

Edwin Herbert Hall (1855 - 193 8), phy sicien am ericain. Il d ecouvre leffet qui porte sonnom en 1879.

JosephHenry(1797 - 1878), p hysicien americain. Il decouvre lauto-ind uction e n 1832.

Hermann Ludwig von Helmholtz(1821 - 1894), physicien et physiologiste allemand. Ilintroduit en 1847 le concept denergie electros tati que.

Heinrich Hertz (1857 - 1894), physicien allemand. Il demontre en 1888 lexistence des


iii

onde s elect romagnetiq ues predites p ar Maxwell en 1873.

Willem HendrikKeesom(1876 - 1956), p hysicien neerlandais, collegue puis successeur deKamerlingh Onnes a la t ete du laborat oire de Leyde. I l montre e n 1921 que linteractiondipole-dipole ent re mol ecules p olaires genere une f orce d e typ e Van der Waals.

PaulLangevin(1872 - 1946), physicien francais. Il introduit en 1905 la fonction qui porte

son no m lors de son etude sur le paramagnetisme.

Pierre Simon Laplace (1749 - 827), physicien francais. Il est a lorigine de la notion depotentiel par lintroduction de l equation qui porte son nom.

PyotrLebedev(1866 - 1912), phy sicien russe. Il prouve experimentalement l existence dela pression de radiation en 1900.

HeinrichLenz(1804 - 1865), physicien r usso-allemand . Son nom est reste attache a la loide moderation r eliant la fo rce electromotr ice induit e dans un circuit a la variation du fluxdu champ mag netique a travers ce circuit.

FritzLondon (1900 - 195 4), physicien germano-americain. I l montre en 1390 que linte-raction instantanee d ipole-dipole entre molecules non polaires genere une force de typeVan der Waals.

Ludwig Lorenz (1829 - 1891), physicien danois. Il introduit la jauge qui porte d esor-mais son nom et les p otentiels retardes en 1867. A ne pas confondre avec Lorentz. Ilsentretenai ent dailleurs de s relations execrables...

Hendrik AntoonLorentz (1 853 - 1928), physicien neerlandais, pri x Nobel de physique en1902 pour sa theorie electroniqu e de la mat iere. I l est egalement connu p our l a tra nsfor-mation et la force qui portent son nom. A ne pas confondre avec Lorenz. Ils entretenaientdailleurs des relat ions execrables...

James Clerk Maxwell (1831 - 1879), p hysicien br itannique . Il r assemble l electricit e et lemagnetisme sous une seule theorie (lelect romagnetism e) a partir de 1855. Il introduit lecourant de d eplaceme nten 1862 et predit la pression de radiation en 1871.

RobertsMillikan(1868 - 1953), physicien americain, prix Nobel de physique en 1923. Ilmontre vers 1912 que la charge electrique est qu antifiee.

Hermann Minkowski (1864 - 1909), mathematicien et physic ien allema nd. Il developpe

le formalisme quadridimensionnel en 1907.

Ottaviano-Fabrizio Mossotti (1791 - 1863), physicien italien. Il a introduit en 1850 larelation entre les constantes dielectriques de deux milieux differents.

CarlNeumann(1832 - 1925), ma thematicien allemand.

Franz Ernst Neumann (1798 - 1895), physicien a llemand. Il publ ie une theorie ma the-matique de linduction en 1845.


iv


3/49


4/49

Bibliographie

[1] W. Panofsky et W. Phillips, Classical Electricity and Magnetism, 2e edition, Addison-Wesley, 1962

[2] J.P. Barrat,Electroma gnetisme et Relativit e Restreinte, Ediscience, Paris, 1972

[3] E. Purcell,Electricite et magnetisme - Cours de Physique de Berkeley, volume 2 (versionfrancaise), Armand Colin, Paris, 1973

[4] R. Feynman, R. Leighton et M. Sands, Cours de Physique - Electromagnetisme (versionfrancaise), InterEditions, Paris, 1979

[5] R. Feynman, R. Leighton et M. Sands,Cours d e Phys ique - Mecanique(version francaise),InterEditions, Paris, 1979

[6] D.K. Cheng, Field and Wave - Electromagnetics, Addison-Wesley, 1983

[7] H. Gie et J.P. Sar mant., Electroma gnetis me, Tec et Doc, Paris, 1985

[8] L. Landau et E. Lifchitz, Physique Theoriqu e Tome II, T heorie des c hamps, 4 e edi tio n,Mir, Moscou, 1989

[9] J.P. Faroux et J. Renault, Electromagnetisme 1 - Cours et ex ercices corriges, Dunod,Paris, 1996

[10] J.P. Perez, R. Carles et R. Fleckinger,Electroma gnetis me, 3 eme edition, Masson, 1997

[11] J.P. Faroux et J. Renault, Electromagnetisme 2 - Cours et ex ercices corr iges, Dunod,Paris, 1998

[12] J.P. Perez,Relat ivi te, Dunod, Paris, 1999

[13] M. Lambert, Relati vite res trein te et electrom agnetis me, Ellipses, Paris, 2000

[14] J.D. Jackson,Electrodynamique classique(version francaise), 3eme edition, Dunod, Paris,2001

[15] D. Halliday, R. Resnick et J. Walker,Physique, 6em e edit ion, McGraw-Hil l, Montreal,2003


vii

Notations

Dans tout le polyc opie on not era (V) un volume et (S) la surf ace fermee qui sap puie sur cevolume. La normale sortante du volume (V) s era noteen.

On noteran12 le vecteur un itaire p orte par la surface de separation entre deu x milieux ( 1)et (2) et oriente du milieu (1) vers le milieu (2).

Champ electrique V/m EPotentiel scalaire V

Champ magnetique T B

Potentiel vecteur Tm A

Polarisation C/m2 P

Vecteur D C/m2 D

Aimantation A/m M

Vecteur H A/m H

Vecteur de Poynting RDensite volumique denergie electromagn etique J/m3 u

Densite volumique de charges C/m3

D en site volu mi qu e d e cou ra nt s A /m2 JDensite sup erficielle de charge C/m2

D en site su per ficie ll e d e co ur ant A /m K

I nt en site d u n cou ra nt p er ma ne nt A IIntensite dun courant variable A i


viii


5/49

Annexe A

Rappels mathematiques

Sommaire

A.1 Formes diffe re nt ie ll es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

A.2 Outils mathe ma tiqu es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

A.3 Systemes de coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

A.4 Resolution de lequation de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

A.5 Quelques notions sur lanalyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . 12

Introduction

Les not ations utilisees dans ce chapit re seront utilisees tout au long du p olycopie.


1

A.1 Formes differentielles

En notantrle rayon vecteur, on pourrait montrer que lon a :

. (r) = 3 (A.1)

r = 0 (A.2)(r) = r

r (A.3)

1

r

= r

r3 (A.4)

.

r

r3

=

1

r

= 0 si r = 0 (A.5)

On note A, B et Ctrois vecteurs quelconques et et des fonctions scalaires arbitraires.On pourrait montrer les relations suivantes :

() = () + () (A.6)( A . B) = A ( B) + B ( A) + ( A . ) B + ( B . ) A (A.7)

. (A) = . A + A . () (A.8) . ( A B) = B . ( A) A . (B) (A.9)

(A) = A A () (A.10)( A B) = A( . B) B( . A) + ( B . ) A ( A . ) B (A.11)

() = + + 2 () . () (A.12)

A ( B C) = ( A . C) B ( A . B) C (A.13)

Enfin, en combinant le s operateurs different iels d u 1er ordre, on peut montrer que lon a :

. ( A) = 0 (A.14)( ) = 0 (A.15) . ( ) = 2() = (A.16)

A

= ( . A) A (A.17)


2


6/49

A.2 Outils mathematiques

A.2.1 Interpretation physique des op erateurs differentiels

Interpretation p hysique d u gradi ent

Pour donner une inte rpretation intu itive au gradient du ne fonction f, il faut se souvenir dela pro priete fondament ale sui vante :

df = (f) . dOM (A.18)qui vient directement de la definition du gra dient. L equation f(x, y, z) = , defini t de s

surfaces de niveaupour chaque valeur de la constante . Pour tout deplacement dOM sef-

fectuant sur la surface f(x, y, z) = , la propriete fondamentale du gradient rapport ee

ci-dessus s ecri t (f) . dOM= 0, ce qui montre que (f) est normal a tout deplacementdOMse faisant sur la surface f(x, y, z) = au voisinage de M.

De plus, lorsquon passe dune surface de niveau a une surface voisine correspondant a unevaleur superieure de f, la relation (A.18) montre que le (f) est dirige suivant les valeurscroissantes def.

En resume, on re tien dra que (f) est normal aux surfacesf= Cste et dirig e ver s lesvaleurs croissantes def.

Interpretation physique de la divergence

On consid ere un champ de vecteur a, defini par a= r ou est un e const ante r eelle. Le slignes de champ sont radiales. Suivant que est positif ou negatif, le champ diverge depuislorigineO ou converge vers O (figure A.1). Comme de plusax = x,ay = y et az = z,

on a . a= 3 , cest a dire que . aa le signe de .

M

OO

M

!< 0!> 0

Figure A.1 Interpretation phys ique de la diver gence.

En resume, on retiendra que le signe de

. a est lie au caract ere convergent ou

divergent des lignes du champa a pa rtir de l origin e.

Interpretation phy sique du ro tationne l

On considere un conto ur de surf ace donnee. On peu t montrer q ue le rota tionnel du n champde vecteurs est la limite du rapport :

Integrale cur viligne au tour du contour

Aire du contour


3

lorsque la surface du c ontour tend vers zero. Considerons par exemple un cha mp de vecteurvitesse dont le rotationnel est non nul. On peut alors representer les vitesses de ce champpar les schemas de l a figure A.2, auxq uels on superp ose une derive dense mble.

ou

FigureA.2 Le rotationnel dun champ de vecteur.

Interpretation physique du laplacien scalaire

On considere un champ scalair e quelconqu eV(M) autour dun pointM. On noteV(M0) lavaleur du champ en un point M0et le rayon d une petite sphere centree su rM0. On appellevaleur moyennede Vsur le domaine (D) la grandeur < V > telle que :

< V > = 1

4 2

(D)

V(M) dS

On peut montrer que :

< V > = V(M0) + 2

6V(M0) + O(

2)

ou le laplacien

V(M0) est eval ue en M0. Ce laplacien permet donc de comparer V(M0) a lavaleur moyenne du champ au voisinage deM0. En particulier, siM0est un minimum local, ona necess aire ment V(M0)> 0. D e meme, siM0 est un maximum loc al, on a necessairementV(M0)< 0.

A.2.2 Transformation des domaines dintegration

Certaines r elations mat hematiques ont u ne import ance particu liere dans tou s les domainesde la physique, et principalement en electromagnetisme. On peut citer principalement, ennotant A un champ vectoriel a derivees partiel les bornees et et des fonctions scalaires :

1. la relation reliant le flux dun champ de vecteurs A a travers une sur face fer mee (S) alintegrale de s a divergence dans le volum e (V) d elimite pa r cet te su rface, connue sousle nom de theo reme dOstrogradskyou theoreme de la dive rgence:

(S) A . n dS = (S) A . dS (V) . A dV (A.19)La normalena la surf ace est orient ee sortante du volume.

2. la relation reliant la circulation dun champ de vecteurs Ale long dune c ourbe fermee(C) au flux de son rotationnel a travers une surface ouverte quelconque (S) qui sappuiesur (C), connue sous le nom de theo rem e d e Stokes :

(C)

A . dl

(S)

( A) . dS (A.20)


4


7/49

3. la relation reliant le flux du produit vectoriel de la normale na un e sur face f ermee (S)

avec un champ de vecteurs A a travers cette surface, a lintegrale de son rota tionneldans le volume (V) delimite par cette surface, connue sous le nom de formule durotationnel:

(S)

(n A) dS

(V)

( A) dV (A.21)

4. la relation reliant le flux dune fonction scalaire a travers une sur face fermee (S) alintegrale de son grad ient dans le volume (V) delimite pa r cet te surface, connue sousle nom de formule du gradient:

(S)

dS

(V)

() dV (A.22)

5. la relation reliant la circulation dune fonction scalaire le long dune courbe fermee(C) au flux du produit vectoriel de la normale n a une surface (S) sappuyant surce contour par le gradient de la fonction scalaire, connue sous le nom de formule deKelvin:

(C)

dl =

(S)

n () dS (A.23)

6. La formule suivante sappliquant a un e sur face f ermee (S) est connue sous le nom deformule de Green:

(V)

[() ()]dV = (S)

() () . dS (A.24)

En se souvenant des propri etes des operateurs differentiels (A.14) a (A.17), les formulesde changement de domaine dintegration ci-dessus permettent de passer de la formulationintegrale dune loi a sa formulation locale, et vice versa (voir table A.1).

Propriete Formulation Formulation Formulationdu champ integrale differentielle differe nti ell e

en champ avec potentiels

Circulation(C)

h . dr= 0 h= 0 h= (f)c on ser vat ive (C) fer mee

quelconque

Flux(S) g . d

S= 0 . g= 0 g= aconservatif (S) fermee

quelconque

Table A.1 Formulation s mat hematique s des principal es pr oprietes de s cham ps


5

A.2.3 Unicite d e la definition dun champ p ar des equations lo-cales

Cas dun champ scalaire

On considere une fonction scalaire fsatisfaisant en tout point dun volume ( V) l imite parune surface (S) l equation :

f = (r)

ou(r) est une fonction definie en tout point du volume (V), sans singularit e. On p eut alorsmontrer que la solution est unique si une des trois conditions suivantes est remplie :

1. La valeur de fest connue en chaque point de la surface (S) (condition dite deDiri-chlet).

2. La valeur den . (f) est connue en chaque point de la surface (S), ounest un vecteurunitaire normal a (S) au point considere ( condition dite deNeumann).

3. La valeur de f est connue sur une partie de ( S), et la valeur de n . (f) est connuesur la partie complementaire d e (S).

Remarque : Ceci est egalement valable si le volume (V) est lespace entier a condition quela fonctionfsannule en dehors dune portion finie de lespace et que (r) t ende vers z ero alinfini au moins comme 1/r.

Cas dun champ vectoriel

On cons idere un champ vecto riel A dans un volume (V) limite par une surface (S). On

suppose que Aet . A sont definis en chaque p oint, san s singu larite. La connaissanceen chaque point de la surface (S) de n . A (ounest un vecteur unitaire normal a la surface

(S) en chaque point) assure lunicite du champ vectoriel A.

Remarque 1 : Ceci est egalement valable si le volume ( V) est lespace entier a condition

que A= 0 et . A= 0 en dehors dune portion finie de lespace et que A(r) tende verszero a linfini au moins comme 1/r2.

Remarque 2 : Ceci est une cons equence du theo rem e dHelmholtzqui dit que tout vecteurA est parfaitement connu a une constante additive pres si on connait en tout point sadivergence et son rotationnel.

A.2.4 Derivation du ne integrale

On considere une fonction de la for meI(x) =ba f(x, t) dt. Si les bornesa et b depen dent de

x, on aura :

dI(x)

dx =

d

dx

ba

f(x, t) dt

= f(x, b)

db(x)

dx f(x, a)da(x)

dx +

ba

f(x, t)

x dt (A.25)

Si au contraire les bornes a et b ne dependent pas d ex, alors on aura simplement :

dI(x)

dx =

d

dx

ba

f(x, t) dt

=

ba

f(x, t)

x dt (A.26)


6


8/49

De plus,Isera continument derivab le si f admet des derivees partielles continues.

Exercice 1.1 : Calcul symbolique

On donne F= (3 y

c1 z)ux+(c2 x

2 z)uy

(c3 y + z) uz. En supposant que Fest irrotationnel,

determi ner les constante s ci puis la fonction telle que F= ().

A.3 Systemes de coordonnees

On donne ici quelques r esultats importants. Les calculs, sans difficult es particul ieres , sontdetailles dans de nombreux ou vrages, pa r exemple da ns [10, pa ge 609 et suivantes]. On vousdemandera de connatre les resultats en coordonn ees cartesiennes (A.3.1). Les expressionsdans les autres systemes de coordonn ees ne sont pas a retenir.

A.3.1 Coordonnees cartesiennes (x, y, z)

y

z

x

Mdy

Odx

dz

d = dx dy dz

Divergence :

.A = Axx

+ Ay

y +

Azz

(A.27)

Gradient :

(f)x = f

x (

f)y = fy

(f)z = f

z (A.28)

Rotationnel :

A =

( A )x = Azy

Ayz

( A )y = Axz

Azx

( A )z = Ayx

Axy

(A.29)


7

Laplacien scalaire :

f = 2f

x2 +

2f

y2 +

2f

z2 (A.30)

Laplacien vectoriel :

A = (Ax) ux + (Ay) uy + (Az) uz (A.31)

A.3.2 Coordonnees cylindriques (r, , z)

y

z

x

Mdr

dz

r d

" m

r

"

O

d = r dr d dz

x = r cos()

y = r sin()

Divergence :

.A =

1

r

r(rAr) +

1

r

A

+Az

z (A.32)

Gradient :

(f)r = f

r (

f) = 1r

f

(

f)z = fz

(A.33)

Rotationnel :

A =

( A )r = 1r Az

Az

( A ) = Arz

Azr

( A )z = 1r

r

(rA) Ar

(A.34)


f = 2f

r2 +

1

r

f

r +

1

r22f

2 +

2f

z2 (A.35)


A =

Ar 1

r2

Ar+ 2

A

ur +

A 1

r2

A 2Ar

u + (Az) uz


8


9/49

A.3.3 Coordonnees spherique s (r, , )

DD

y

z

M

dr

r d

r sin

x

"

# m

"

" #

O

d

d = r2 sin()dr d d

x = r sin() cos()

y = r sin()sin()

z = r cos()

Divergence :

.A = 1r2

r(r2Ar) +

1

r sin()

[sin() A]

+

1

r sin()

A

(A.36)

Gradient :

(

f)r =

f

r

(

f) =

1

r

f

(

f) =

1

r sin()

f

(A.37)

Rotationnel :

A =

( A )r = 1r sin()

[sin() A] A

( A ) = 1r

1

sin()Ar

r

(rA)

( A ) = 1r

r

(rA) Ar

(A.38)


f = 1r2

r (

r2 f

r ) + 1

r sin()

sin()

rf

+

1

r sin()f

= 1r 2

r2(rf) + 1

r2 sin()

sin()

f

+ 1

r2 sin2()2f2

(A.39)


9


A =

Ar 2r2 sin()

Ar sin() +

(sin() A)

+A

ur +

A 2

r2 sin() A2 sin

2()Ar

+ cos()A

u +A 2

r2 sin()

A2 sin()

Ar

cos()A

u

(A.40)

Exercice 1.2 : Calcul symbolique

1. Calculer le gradient et le laplacien du champ scalaireU= A .r, ou A represente un cha mpvectoriel uniforme

2. Calculer la divergence, le rotationnel et le laplacien du champ vectoriela=r

A.4 Resolution de lequation de Bessel

A.4.1 Equation de Bessel

La r esolution de l equation de L aplace en co ordonnees cyl indriques (r, ,z) :

V = 2V

r2 +

1

r

V

r +

1

r22V

2 +

2V

z2 = 0

peut se faire en cherchant une solution de la forme V = R(r)() Z(z). En multipliantensuite le r esultat par r 2/(Z), on obtient lequation decrivant levolution de R sous laforme :

r2d2R

dr2 + r

dR

dr + (k2 r2 2) R = 0

En substituant x =k r, on obtient lequatio n de Be ssel d ordre:

x2d

2R

dx2 + x

dR

dx + (x2

2

) R = 0 (A.41)

A.4.2 Fonctions de Bessel et fonctions de Neumann

Une solution de (A.41) est la fonction de Bessel de 1re es pece J(x) defini e par :

J(x) =+k=0

( 1)k(k+ 1)(+ k+ 1)

x2

+2 k(A.42)


10


10/49

ou (x) est l a foncti on definie pa r :

(x) =

+0

e t tx1 dt (A.43)

Les variations des premieres fonctions de Bessel sont donnees sur la figure A.3. Une autresolution de lequation de Bessel (A.41) estJ (x). Lorsque nest pas un entier, J(x) et

J(x) sont lineairement independants. Si = n est entier, on peut montrer que :

Jn(x) = ( 1)n Jn( x) (A.44)

Lafonction de Bessel de 2e es pece ou fonction de NeumannN(x) est definie par :

N(x) = l imm

cos(m ) Jm(x) Jm(x)

sin(m x)

(A.45)

Les variations des premieres fonct ions de Neu mann sont do nnees sur la figure A.4. On peutmontrer que :

N(x) x0

x et N(x) x+

ln(x)

Figure A.3 Les trois premieres fonctionsde BesselJn(x).

Figure A.4 Les trois premi eres fonctions deNeumannNn(x).

Pour resoudre lequation de Bessel (A.41), on doit considerer d eux cas :

1. Sinest pas entier, la solutionR(x) est une combin aison lin eaire de J(x) etJ(x) :

R(x) = C1 J(x) + C2 J(x)

2. Si = n est entier, Jn(x) et Jn( x) ne sont pas lineairement independants dapres(A.44). On peut montrer que la solution Rn(x) est a lors une combinaison l ineaire deJn(x) et Nn(x) :

Rn(x) = C1 Jn(x) + C2 Nn(x)


11

A.5 Quelques notions sur lanalyse de Fourier

Ce paragraphe est uniquement qualitatif et ne pretend pas a la moindre rigueur mathe-matique. Se reporter a un cours specialise p our des demonstratio ns r igoureuses (voir parexemple [7, Tome 2 - Annexe B]).

A.5.1 Coefficients de Fourier

On con sidere un e fonct ion f(t) perio dique de perio de T. On pose1= 2 /T. Sous certainescondition s mathematiques assez p eu restrictives en phy sique, fp eut secrire, avecn entier :

f(t) =+

n=

cn exp(i n t) avec n = n 1 (A.46)

Lequa tion (A.4 6) defini t uneserie de Fournierdont les coefficients cn se calculent selon :

cn = 1

T

T0

f(t) exp( i n t) dt (A.47)

Lensemble des modules des coefficients cn est appele le spectre de Fourierde f(figure A.5).

Figure A.5 Exemple de spectre de Fou-rier.

Figure A.6 Superposition des harmoniques dela fonc tion cr eneau j usqua N = 3 ( trait epais) etN = 21 (t rait fin) . Le fondamenta l est representeen poi ntill es.

Si la fonction fest reelle, l es co efficients cn veri fientcn= cn. On peut alors reecrire (A.46)

sous la forme :

f(t) = an=1++0

an cos(n t) + bn sin(nt ) avec a0 = 1

T

T0

f(t) dt (A.48)

a0 represente simple ment la moyenn e de la fonction f. Pour n1, les coefficients an et bnsont donnes p ar :

an = 2

T

T0

f(t) cos(n t) dt et bn = 2

T

T0

f(t) sin(n t) dt (A.49)


12


11/49

Ces relations montrent que le spectre dun signal p eriodique est un spectre de raie: a chaquevaleur de n correspond une harmonique(de rangn ). Lharmonique de rang 1 est le modefondamental. La figure A.6 represente la superposition de divers harmoniques dune fonctionen creneaux. Au fur et a mesure que le nombre d harmoniqu es utilis ees cro t, la fonction serapproche de plus en plus de la fonction originelle.

A.5.2 Transformations de Fourier

On con sidere u ne fo nction s(t) qui nest pa s forcement periodiq ue. Sous certaines conditionsmathematiques p eut restri ctives en physique, o n montre que s(t) peut sexprimer sous formeduneintegrale de Fourier:

s(t) = 1

2

+

S() exp(i t) dt avec S() = 1

2

+

s(t) exp( i t) dt(A.50)

Les fonctions s (t) et S() sont les transfor mees de Fourier lune de lautre. Ces relationsmontrent qu e le sp ectre d un signal continu est en general conti nu.

Lintegrale de Fourie r (A.50) est lhomo logue, po ur une fo nction qu elconque, d u developpe-ment en serie de Fourier don ne par (A.46) pour une fon ction periodiqu e. La fonction S()ne fait que traduire le poids relatif des diverses pulsations.

Exemple dune fonction creneau

On consid ere l a foncti on c reneau defini e par s(t) = 1 pour< t < , 0 sinon. Sa transfor-mee d e Fourier vaut :

S() = 1

2

+

s(t) exp( i t) dt = 2 2

sin(X)

X avec X = (A.51)

et est representee sur la figu re A.7 . On appelle sinus cardinal la fonction sin(x)/x dont laforme ca racteristique est a retenir.

Figure A.7 Fonction creneau (a gauche ) et sa transfo rmee de Fourie r norma lisee (a droite).


13

Exemple dune fonction sinusodale l imitee

On con sidere la f onction defini e par s(t) = cos(0 t) pour < t < , 0 sinon. Sa tr ansformeede Fourier vaut :

S() = 2

2

sin[(+0) ]

(+0) +

sin[( 0) ]( 0)

(A.52)

et est representee sur la figure A.8. Dans un large domaine de pulsation, elle peut etreconsideree com me la somme de deux sinus cardinaux centres su r 0.

Figure A.8 Fonction sinusodale limitee (a gauche) et sa transformee de Fourier (a droite).

A.5.3 Extention du signal et largeur de son spectre

On considere la fonction creneau. Il est naturel au vu de la figure A.7 de definir sonextension temporelle par t= 2 et lextension spectrale de sa transformee de Fourier par /. On a alors :

t 2 ou t 1 (A.53)

en intro duisant le spectre en frequence = /(2 ). On adm ettra que (A.53) est g eneralisablepour un signal quelconque.


14


12/49

Chapitre 1

Equations de Maxwell dans le vide -Electromagnetisme

Sommaire

1.1 Distributions de charges et de courants . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2 Equations de Maxwell dans le vide . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Champ electromagnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4 Quelques regimes particuliers de lelectromagnetisme . . . . . . 23

1.5 Invariances et symetries du champ electromagnetique . . . . . 241.6 Conditions aux limites du champ electromagnetique . . . . . . 29

Introduction

Ce chap itre fondamental part des equations de M axwell p our etudier le champ electromagn e-tique dans toute sa g eneralite. I l s acheve p ar des rappels sur les sy metries et les c onditionsaux limi tes auq uelles est soumis le champ electromagn etique.


15

1.1 Distributions de charges et de courants

1.1.1 La charge electrique

Diverses experiences ont montre que la charge netait pas uniformement repartie dans toutlespace mai s localis ee en quel ques sites (par exemp le lexperience de diffusion de Rutherforddecrite dans [14, page 654]), tandis que dautres ont montre que la charge electrique detout systeme a letat libre etait quantifiee (par exemple lexperience de Millikan decr itedans [10, page 26]).

On montre ainsi quil existe deux types de charges : les charges positives et les chargesnegative s.

1.1.2 Choix d e lelement de volume - Grandeurs nivelees

Pour avoir un sens, la densite volumique de charge = Q/V ne d oit pa s dependrede la forme exacte du volume V et d oit etre r aisonnableme nt consta nte si on deplacelegerement le volu me di ntegration. Pour d es ra isons de commodite, on prend souvent unesphere de centre M et de rayon R pou r evaluer la densite volumique en M. Dun cot e,le rayon R doit etre grand a l echelle atomique pour pouvoir contenir un grand nombre decharges, ce qui implique R0, 1A. De lautre, il doit etre petit a lechelle microscopiqu e.Comme le meilleur etat de surface actuellement realisable est de lordre du micron, on doit

avoir R 1m. Finalement,R doit valoir approximativement 100 a 1000A.

Or le champ a la sur face dun e sphere de r ayon 100 A contenant une unique charge elemen-taire en son centre vaut 1,5 107 V/m. Cest a dire que lexistence dune charge en plus ouen moins dans la sphere de rayonR modifie considerablement le champ electrique, ce quiest inco mpatible avec lhypothese du debut d e ce par agraphe de const ance du resultat endeplacant legere ment la sphere .

Ceci montre quon ne d oit pas pr oceder ainsi m aisnivelerla de nsite volumiqu e de charges enremplacant la vraie variationvrai par u ne gran deur d ebarrassee de toutes les fluct uationsspatiales. On remplace donc une charge quasi p onctuelle centree sur M(figure 1.1) par unedistribution continue niv cent ree sur M mais s etalant sur 1 00 a 1000A. La forme de lafonction de distribution niv na pas dimportance, il suffit quelle soit continue et etalee s ur(100A)3 a (1000A)3.

Lutilisat ion dune sp here pour moyenner les gra ndeurs micro scopiques nes t pas entierementsatisfaisant e. On p ourrait montrer q uil est preferable d utiliser une fonction de nivellementcontinue, centree enret a sy metrie spherique. La distance caracteristique sur laquelle cette

fonction est non nulle est un e distance mesoscopique de 0 ,3 a 1A. La fonctionfdoi t verifier :Espace

f(r) dV = 1 (1.1)

Par exemple, une charge ponctuelle qi en un pointri est rempl acee par l a fonctio n continuei= qi f(r ri) et la densit e volumique de charge nivel lee e st donnee par :

=i

qi f(r ri) (1.2)


16


13/49

R

$vrai

$niv

$

Distance0

Figure1.1 On remp lace une densite volumique vraiassimilable a une fonction de Dirac par unefonc tion nivelee niv de meme integrale dont lexte nsion spa tiale e st de lo rdre de 1 00 a 1000A (voirtexte).

ou la sommation seffectue sur toutes les charges du systeme. La forme de la fonctionf faitque dans la pratique, seules les charges qui se trouvent proche de rapportent une contributioneffective a .

On proc ede de meme pour les autres g randeurs que lon sou haite niveler : , J, E, B, ...

1.1.3 Equation de continuite

En regime variable, la conservatio n de la charge tot ale impo se que la densite volumique entout p oint de l espace soit liee a la densite de courant au voisinage de ce point par lequat ionde contin uiteou equation de conservation de la charge:

t + . J = 0 (1.3)

Cette relation signifie simplement quune diminution au cours du temps de la charge totalecontenue dans un petit volume correspond a un flux de charge sortant a travers la surfacedelimitant ce volume.

Dans le cas particulier ou les charges sont mobiles mais ou le ur d ensite volum ique resteconstante au cours du temps , lequation de continuit e est simp lement :

. J = 0 (1.4)

On dit a lors quil sagit du n regime permanentou stationnaire. La densite de courant Jestalorsa flux conservatif. Si en plus Jest constant, on aura un courant continu.

1.1.4 Changement de referentie l

On note et Jles densites vol umiques de charges et de courants dans un referentiel galileen(R). Dans un autre referentiel (R) en mouvement rectiligne uniforme a la vitesse u par

rapport a (R), ces distributions sont respectivement et J.

On verra au 9 quu n tra itement r elativiste est necessaire pour une r eponse exacte. Nean-moins, dans le cadre de lapproximation galileenne, on montre que :

= et J

= J u (1.5)


17

1.2 Equations de Maxwell dans le vide

1.2.1 Equations de Maxwell

En notant(r, t) et J(r, t) les densites respect ives de charges et d e courants volum iques, la

forme lo cale des equations de Maxwell da ns le vide secrit en fonction d es champs E(r, t) etB(r, t) :

. E = 0 Maxwell Gauss ou (MG)

. B = 0 C ons er va tio n d u fl ux m ag ne tiq ue o u ( M)

E = Bt

Maxwell Faraday ou (MF)

B = 0 J + 1c2

Et

Maxwell Ampere o u (MA)

(1.6)

en fonction des deux constantes universelles 0= 8, 854 1012 F/m (perm itti vite di electri quedu vide) et 0= 4 10

7 H/m (perm eabi lit e m agnetiq ue du vide).

1.2.2 Invariances de jauge

Il est par fois plus simpl e dintrod uire les po tentiels que de resoudre dir ectement les equationsde Max well, qui sont des equations couplees du 1er ordre. On obtient alor s moins d equations,mais dun ordr e pl us eleve.

Jauge de Lorentz

Il est trivial de montrer que les definitions des potentiels vecteurs et potentiels scalaires par :

B = A et E = () A

t (1.7)

satisfont les equations (M) et de (MF) . Il est evident qu e (MG) entrane alor s :

+

t

. A

=

0(1.8)

tandis qu e (MA) p ermet decrire :

A 1c2

2A

t2

. A + 1

c2

t

= 0 J (1.9)

Le champ B reste inchange par la t ransformat ion :

A A = A +() (1.10)


18


14/49

ou est une fonction scalaire quelconque. Pour que Edon ne pa r ( 1.7) reste inchange, il fautque se tra nsforme simultanement en :

= t

(1.11)

On admettra que la liberte de choix offerte par A A = A +() et (1.11) permet dechoisir Aet tels que :

. A + 1c2

t = 0 (1.12)

et que lon peut toujours trouver des potentiels A et qui satisfont cette condition. Larelation (1.12) permettant de fixer de maniere univoque les potentiels est connue sous lenom de condition de Lorentz. En combinant cette relation avec (1.8) et (1.9), on obtientains i deux equation s decouplees qui so nt equi valentes aux equation s de M axwel l :

1

c22t2

= 0

A 1c2

2At2

= 0 J(1.13)

Lensemble des deux transformations (1.10) et (1.11) sappelle une transformation de jauge,tandis que linvariance des champs sous une telle transformation sappelle uneinvariance dejauge. Si Aet verifient la condition de Lorent z, alors la transformation de jauge restreinte

( A A et ) verifie la condition de Lorentz si :

1c2

2

t2 = 0 (1.14)

Les potentiels de cette classe restreinte constituent la jauge de Lorentz. Cette jauge estcouramment utilisee en electromagnetisme car elle conduit a un traitement identique pourle potentiel scalaireVet le potentiel vecteur A (1.13).

Jauge de Coulomb

Il exist e une autre jauge co uramment utilisee pou r les phenomenes st atiques :

. A = 0 (1.15)Cest la jauge de Coulomb. En lutilisant, la relation tres generale (1.8) peut secrire :

= 0

Cette rela tion montre que dans cet te jauge, l e potentiel scalaire verifie lequation de Poisson(dou son nom dejauge de Coulomb). La solution de cette equation est simpleme nt le potentielde Co ulomb in stantane du a :

(M) = 1

40

Espace

(P)

P M d3P (1.16)


19

Remarqu e sur la cau salite

La relation (1.16) indique que se propage instantanement, alors que les relations (1.13)

indiquent que Aet se propagent a la vitessec. Les domaines dapplication de ces relationsseront donc differe nts .

1.3 Champ electromagnetique

1.3.1 Energie du champ

Local isation de l energie

Les d eux ex periences schematisees sur la fig ure 1 .2 p ermettent de met tre e n evidence le faitque l energie s e propage dans le vide, ce qui impliq ue la n ecessite de p ouvoir fai re un bilanlocal de lenergie.

(1) (2)

FilamentTrain dondes

Laser

Thermopile

Figure 1.2 Ces deux e xperience s mett ent en evidence la propa gation de l energie dans le vide,

en labsence de support materiel.

Puissan ce cedee par le champ a des charges

Lenergie fournie par le champ electromagnetique pendant dt aux charges contenues dans levolume dVse met sous la forme :

2W

dV =

d F

dV . d =

d F

dV . v dt (1.17)

ouv est la vitesse moyenne des particules et d F/dV la den site volumique d e force. C ommed F/dV = Eet v= J/, on a finalement :

2W

dV = J . E dt

dont on deduit q ue la puissance volumique cedee par le champ aux char ges vaut :dP

dV = J . E (1.18)

Relation lo cale de conservation de lenergie

On noteu la dens ite vo lumi que denergie elect romagnetique, R son flux par uni te de sur faceet la densite volu mique denergie perdue par le cham p electromagn etique. La variation dE


20


15/49

de l ener gie elect roma gnetique pend ant dt peut se mettre sous la forme :

dE =

(S)

( R dt) . dS

(V)

dV

dt

soit :dE

dt+ (S) R . dS+ (V) dV = 0 (1.19)

Le 1er terme de cette rel ation p eut s ecrire da pres (A.26) :

dE

dt =

d

dt

(V)

u dV

=

(V)

u

tdV

tandis que le 2e devient en u tilisant le th eoreme dOst rogradski :(S)

R . dS =

(V)

( . R) dV

Finalement, on p eut r eecrire ( 1.19) s ous la forme :(V)

u

t+ . R+

dV = 0

Comme ceci est valable pour tout volume de controle V , on en d eduit lequatio n locale deconservat ion de lenergie:

ut

+ . R+ = 0 (1.20)

Identite de Poynting

On part des formes suivantes de (MF) et (MA) :

E+ B

t = 0 et B 1

c2E

t = 0 J

En multipliant scalairement la 1re equation par B et en lui soustrayant la 2e multi pliee parEpuis en divisant lensemble par 0, on obtient :

1

0

B . ( E) E . ( B B)

+

1

0B .

B

t +

1

0 c2E .

E

t = J . E

Dapres (A.9 ), on reconnait

. ( E

B) dans le 1er terme, tandis que B . B/tet E . E/t

secrivent respecti vement :

t

B2

2

et

t

E2

2

Finalement, on obtient lidentit e d e Po ynting:

.

E B0

+

t

1

20 E

2 + B2

2 0

= J . E (1.21)


21

En identifiant avec (1.20), il semble naturel de poser :

u = 1

20 E

2 + B2

2 0 = J . E R =

E B0

(1.22)

R est appele le vecteur de Poynting.

1.3.2 Impulsion du champ

On peut voir sur lexemple de la figure 1.3 que la force exercee par la particule (1) sur laparticule (2) nest pas lopposee de la force exercee par la particule (2) sur la particule (1).Cela signifie que la somme des deux impulsionsp1+ p2nest pas constante. On peut montrerque la loi d e conservation de la quantite de mouvement sap plique ap1+ p2+ pchampoupchampest l a quantite de mouveme nt ass oci ee au ch amp elect romagnetiq ue.

2

2

(% )1

(% )

q2

BA

q1

v1

v

Figure 1.3 Dans cette configuration, la force exercee par la particule (2) sur la particule (1)nest pas lopposee de celle exercee par la particule (1) sur la particule (2) - voir texte.

On montre qua t out champ electromagnetique, on as socie une densite volu mique dimpulsiong telle que :

g = 0 E B =R

c2 (1.23)

1.3.3 Moment cinetique du champ

De la meme man iere q uon associe de l energie et de la quantite de mouvement au champelectromagn etique, on pe ut lui associer un moment cinetique. On pourr ait montr er que laquantite de mo uvement contenue dans le volume dVentourant un point Mcorrespond a unmoment cinetique de densite volumique :

d

dV

= d

g avec d =

OM (1.24)

La loi de conservation d u moment cinetique do it prendr e en compt e le moment cin etique duchamp, en sus de celui des particules chargees contenues dans le champ.

1.3.4 Conclusion su r le champ electromagnetisme

En electromagn etisme, on ne doit pas pa rler d e la force que deux charges exercent lune surlautre, mais dela force quune charge subit dans le champ cr ee par lautre.


22


16/49

1.4 Quelques regimes particuliers de lelectromagne-tisme

1.4.1 Regime permanent

On appelle regime permanen t le r egime pour lequel les variations temporelles des termessources du champ sont nulles. Le couplage entre Eet B dispar at alors et les equations deMaxwell (1.6) secrivent :


. B = 0 Conservation du flux magnetique ou (M)

E = 0 Maxwell Faraday ou (MF)

B = 0 J Maxwell Ampere o u (MA)

(1.25)

Dans ce cas, il est p ossible d e separer lelectromagn etisme en deux b ranches :

1. letude du cham p electrique permanent E(r) ayant pour source (r)

2. letude du cham p magn etique permanent B(r) ayant pour source J(r)

Remarque : On peut noter q ue letude des champs magnetiques p ermanent est la mag ne-tostatique, tandis que l etude d es champs electriques permanent nest pas lelectros tati que.

1.4.2 Approximation des regimes quasi stationnaires

En negligeant linfluence de la propagation, on retombre sur lapproxima tion d es RegimesQuasi Stationnaires(ARQS ou AEQS pour certains auteurs) qui secrit :


. B = 0 Conservation du flux magnetique ou (M)

E = Bt Maxwell

Faraday ou (MF)

B = 0 J Maxwell Ampere ou (MA)

(1.26)

On remar que en particulie r que lintensit e est conservative d ans lA RQS. Cest une pr oprietede base de l elect roc inetiq ue.


23

1.5 Invariances et symetries du champ electromagne-tique

Les propri etes dinvariance et de symetrie du champ electromagn etique sont basees sur leprincipe de Curie(1894) qui reste valable tant que la solution du probleme est unique :

Si une cause presente une certaine symetrie (ou invariance), alors soneffet aura l a m eme symetrie (ou la meme invari ance), ou u ne symetriesuperi eure

Applique a l elect romagnetism e, ce ci i mpli que que les element s de symetrie ou danti syme-trie des distributions de charge et de courant doivent se retrouver dans les champs et lespotentiel s. Le pr incipe d e Curie permet d e dire que si un systeme poss ede un ce rtain de grede symetrie, on peut deduire les effets crees par c e systeme en un point a partir des effetscrees en un a utre po int a lai de de six pr oprietes, valables aussi b ien en regime s tatique quenregime variab le tant quon neglige le temps d e propa gation.

1.5.1 Invariances du champ electromagnetique

Invariance par translation

Si un systeme est invariant dan s tout e tran slation parallele a un axe, les effets sont indepen -dants des coordon nees de cet axe (propri ete #1)

Symetri e axia le

Si un systeme est invariant dans toute rotation autour dun axe donne, alors ses effets nedependent pas de langle qui definit la rotation (propri ete # 2)

Par exemple, linvariance dune densite volumique de charge par rapport a un axe Ozpermet decrire en tout p oint M:

V(M) = V(r, z) et E(M) = Er(r, z) ur+ E(r, z) u+ Ez(r, z) uz

Symetrie cylin drique

Si un systeme est invariant par translation et rotation, ses effets ne dependent que de ladistance a l axe de rotation (propri ete #3)

Symetr ie sp herique

Si un systeme est invariant dans toute rotation autour dun point fixe, ses effets ne depe ndentque de la distance a ce poi nt (prop riete #4)


24


17/49

1.5.2 Symetries du champ electro magnetique

Quest-ce que le champ magn etique ?

Experimentalement, on montre que dans toute region de lespace subissant linfluence decourants ou daimants permanents, la force d F a laquelle est soumise un element d decircuit parcouru par un courant Idepen d lineairement de I d . On peut mathematiquement

traduire ceci par :

dFx

dFy

dFz

= (B)

I dx

I dy

I dz

avec (B) =

Bxx Bxy Bxz

Byx Byy Byz

Bzx Bzy Bzz

(1.27)

On ob serve egalement que d Fet I dsont perpendiculaires, ce qui se traduit par dFx I dx +dFyI dy + dFzI dz = 0. Comme ceci est valable pour toute longueur d, on en deduitfinalement que :

Bxx = Byy = Bzz = 0 Byx = Bxy Bxz = Bzx Bzy = ByzLa matrice des coefficients de (B) definie par (1 .27) est donc ant isymetrique. Il suffit de trois

quant ites po ur decri re l acti on, s ur l element de longue ur d, du cha mp magnetique. On posedoncBx= Byz,By= Bzx et Bz = Bxy, soit :

(B) =

0 Bz By

Bz 0 Bx

By Bx 0

(1.28)

On voit donc que meme si la necessite de le visu aliser pousse a rep resenter le champ ma-gneti que B sous forme vectorielle ( B = Bx ux+By uy+Bz uz), les trois coordonn ees Bx,By et Bz du champ magnetique sont en realite le s com posantes dun tenseur antisymetriquedordre deux 1.

Une autre facon de voir les choses

On peut introduire le champ magnetique dune facon different e, a partir de laction quilexerce sur une particule de chargeq, cest a dire a partir de la force de Lorentz:

F = q( E+ v B) (1.29)On voit sur cette relation que, pour que la force Fsoit une observable physique (puisquelle

est liee a lenergie !), le champ B, au contraire du champ E, doit dependre de la conventiondorientation de lespace.

1. On appelera tenseurun tableau de coefficients traduisant des proprietes p hysiques, au contraire dunematricequi traduit simplement une variation lineaire entre diverses quantites. L ordredun tenseur est lenombre dindices matriciels necessaires pour le d ecrire. Par exemple, la masse et toute autre quantite scalaireest un tenseur dordre 0, mais une force ou toute autre quantite vectorielle est un tenseur dordre 1.


25

Representation vectoriel le d e Eet B

On rep resente donc Eet Bpar des vecteurs dans lespace a troi s dimension s, meme si co mmeon vient de le voir, cette schematisation peut amener des confusions pour B.

On appelera par it e loperation de symetrie par rappor t a une origine O . Cette definitionpermet dintroduire deux types de vecteurs :

1. un vecteur sera dit polaireou vrai vecteursi Parit e (V) =

V. L e cham p electriqueE, le potentiel vecteur A, la densite volumiqu e de courant J, le vecteur position r, la

vitessev, la force de Lorentz F, etc .. sont des vecteurs polaires.

2. un vecteur sera dit axialou pseudo-vecteursi Parit e (V) = V. Comme le produit

vectoriel de deux vecteurs polaires est un vecteur axial, le champ magnetique B est unvecteur ax ial car la force magnetique qv B secrit alors comme le produit de deuxvecteurs polaires.

Le principe de Curie permet de dire que si un systeme admet un plan de symetrie, alors entout point de ce plan, un effet vectoriel est contenu dans ce plan tandis quun effet axial estperpendiculaire a ce plan (propri ete #5) .

De man iere equivalente, si un systeme adme t un plan dantisymetrie, alors en t out p oint d ece plan, un effet vectoriel est perpendiculaire a ce plan tandis quun effet axial est contenudans ce pl an (prop riete #6) .

Symetrie p ar r appor t a un point

Si une distribut ion de charge po ssede un centre de symetrie, Eest nul en ce point.

Si une distribut ion de courants p ossede un centre de symetrie, B est nul en ce point.

Symetrie p ar r appor t a un axe

Si une distribut ion de charge po ssede un axe de symetrie, Eest porte par cet axe.

Si une distribution de courants possede un axe de symetrie, B est nul en tout point decelui-ci.

Symetrie p ar r appor t a un plan

On dira dun e distribut ion de charge qu elle possede un plan de symetrie() si deux eleme ntsde volume sy metriques p ar rapp ort a ce plan contiennent la meme charge. On notera M lesymetrique de Mpar rapport au plan () dans tout ce paragraphe. On peut montrer quelon a (figure 1.4) :

E//(M) = E//(M)

E(M) = E(M)

et V(M) = V(M) (1.30)

En particulier, si un pointMappartient a un plan de symetrie de la distribution de charge,le champ electrique en Mest contenu dans ce plan.


26


18/49

E E

E//

E//E (M)

(&)

MM

E (M)

(&)

M

E (M)

Figure 1.4 Distribution de charge ayant un plan () de symetrie : cas dun pointMsi tue e ndehors du plan (a gauche) et dun point Msitue sur le pla n (a droite).

De meme, on di ra dune distribut ion de co urant qu elle poss ede un plan de symetrie() si

les courants volumiques J en deux points P et P symetriques par ra pport a ce plan sonteux-memes symetri ques :

J(P) = J(P) et J//(P) = J//(P)

On peut montrer que lon a (figure 1.5) :

B//(M) = B//(M)

A//(M) = A//(M)

et

B(M) = B(M)

A(M) =

A(M)

(1.31)

En particulier, si un point Mappartient a un plan de symetrie de la dis tribution de courant,le champ magnetique en Mest normal au plan tandis que le potentiel vecteur est contenudans le plan.

B (M)

M

(&)

M

B (M)

B//

B

B

B//

(&)

MM

A (M)

A

A//

A//

A

A (M)

B (M)

A (M)

(&)

M

Figure 1.5 Distribution de courant ayant un plan () de symetrie : cas dun pointM situe endehors du plan (a gauche et au centre) et dun point Msitue sur le plan (a droite).

Cas des antisymetries

On peut aisement dedui re du paragraphe precedent les proprietes de Eet B dans une anti-symetrie p ar ra pport a un point, a un axe ou a un plan.


27

Par exemple, on dira dune distribution de charge quelle possede un plan dantis ymetrie() si deux elements de volu me symetriques par rappor t a ce plan contiennent des chargesopposees. Dans ce cas, on a (figure 1.6) :

E//(M) = E//(M)

E(M

) = E(M)

et V(M) = V(M) (1.32)

En particulier, si un point Mappartient a un plan da ntisymetrie de la di stributio n de charge,le champ electrique en Mest normal a ce plan.

E

E//

E

E//

E (M)

M

(&)

M

E (M)

(&)

M

E (M)

Figure 1.6 Distribution de charge ayant un plan () dantisymetrie : cas dun point M si tueen dehors du plan (a gauche) et dun pointMsitue sur le plan (a droite).

De meme, on dira du ne distr ibution de coura nt quelle possede un plan dantisy metrie()

si les courants volumiques Jen deux pointsPet P symetriques par r apport a ce plan sonteux- memes antisymetri ques , cest a d ire opposes a l eur symetrique :

J(P) = J(P) et J//(P

) = J//(P)

On peut montrer que lon a (figure 1.7) :

B//(M) = B//(M)

A//(M) = A//(M)et

B(M) = B(M)

A(M) = A(M)

(1.33)

En particulier, si un point M appartient a un plan de dantisymetrie de la distribution decourant, le champ magnetique en Mest contenu dans ce plan tandis que le potentiel vecteurest normal au plan.

Si une distribut ion de charge p ossede un axe dant isymetrie, Eest perpendiculaire a cet axe.

Si une distribut ion de courants p ossede un axe danti symetrie, B est porte par cet axe.


28


19/49

(&)

MM

B (M)

B

B//

B//

B

B (M)

A (M)

M

(&)

M

A (M)

A//

A

A

A//

(&)

B (M)

A (M)

M

Figure 1.7 Distribution de courant ayant un plan () dantisymetrie : cas dun point M si tueen dehors du plan (a gauche et au centre) et dun point Msitue sur le plan (a droite).

Exercice 1. 1 : Theoreme de Gauss et champ coulombien

Montrer en electrostatique que si le champ Esatisfait au theoreme de Gauss, cest un champcoulombien (radial et variant en 1/r2). Comment se fait-il que le champ dune charge en mouvementpuisse satisfa ire au th eoreme de Gaus s sa ns etre forcement c oulombien ?

1.6 Conditions aux limites du champ electromagne-tique

Les proprietes de co ntinuite/dis conti nuite du champ elect roma gnetique d epen dent de la n a-ture des d istribut ions et don c du mod ele utilis e. Dans ce p aragraphe, on supp ose des milieu xcar acterises par 0 et 0.

1.6.1 Densites p onctuelles, lineiques et volumiques

Pour une d ensite de charg es ponctu elles, on d eduit des expressions du pot entiel ponct et du

champ Eponct :

ponct(M) = 1

4 0

i

qiri

et Eponct = 1

4 0

i

qir2i

ui (1.34)

quil existe des si ngularit es au voisinage des char ges. On observe le meme ph enomene p ourun modele lineique :

lin(M) =

2 0ln

r

r0

et Elin =

2 0

1

r ur (1.35)


29

Par contr e, dan s le cas du n mo dele volu mique, l es equations de definition de vol et duchamp Evol s ecri vent :

vol = 0

Evol = 0 . Evol = 0

(1.36)

Elles indiquent que vol et Evol sont definis ( pas de singularit e) et continus en tout p oint

(car leurs derivees parti elles sont b ornees).

1.6.2 Densites surfaciques

Le cas des d ensites surfaciqu es est plus complexe.

Discontinu ite en physiqu e et en m athematique s

On consid ere deux milieux ( 1) et (2) separes par une sur face (S) . Avec les notation s de lafigure 1.8, une fonction F(x, y, z, t) estdiscontinue enzau point Msi F1=F2 avec :

Fi = limMiM

(F(x, y, z, t))

Ladiscontin uit eest mesuree par F2 F1. Mathematiquement , la valeu r de F/znest pasdefin ie e nM. En fait, en physique, il nexiste pas de discontinuite si brutale quon ne puisse

la voir. La variation de F est simplement tellement rapide sur [M1, M2] (figure 1.8) queF/zest tres elevee, mais rest e finie, de meme que :

F2 F1 = M2M1

F

z dz

puisqueF/za une valeur tres elevee ma is fin ie (fi gure 1.9). Dans le ca s du ne d iscontinuiteen z, on supposera toujours que dans les autres dimensions (x, y et t ), la fonction F estcontinue. Par exemple :

limM1M2

M2M1

F

xdx

= 0

On suppo sera toujo urs la meme chose pou r F/y et F/t.

(S)M

2

z

(2)

(1)M

M1

Figure 1.8 La discontinuit e d unequa nti te F sexprime par la differenc eF2 F1 dans les deux milieux (1) et (2)

(2)(1)

F(z)

z

(1) (2)

F(z)

z

Figure 1.9 Une variation rapide de F/z (agauche) est souvent assimilee a une discontinuit e ( adroite).


30


20/49

Composante normale de E

On con sidere une surfac e chargee () de for me quelconqu e, de densit e surfaciqu e, sepa rantdeux milieux (1 ) et (2) de densi tes volumiques resp ectives 1et 2(figures 1.10 et 1.11). Les

champs electrosta tiques E1 et E2sont des fonctions de classe C1 mais ne sont pa s definis su rla surface ().

Si le volume (V) de la figure 1.10 est suffisament petit, cest a dire si la sur face laterale ducylindre est negligeable, on p eut ecrire, en not ant (S) la surface parallele a () :

Cylindre

E . dS ( E2 E1) .Sn12 (1.37)

oun12 est un vecteur unitaire normal a la surface oriente du milieu (1) au milieu (2).

De plus, on a dans le volume ( V) :(V)

0dV =

0S (1.38)

En combina nt (1.37 ) et (1.38), le theoreme de Gauss (2 .17) p ermet decrire :

( E2 E1) . n12 = 0

(1.39)

Il est important de soul igner q uen r ealite (cest -a-dire dan s un modele volumique) , le champ

elect riqu e Eest continu de classe C1. La discontinuite don nee par (1.39) est d ue a lapproxi-mation faite en negligeant lepaisseur de la nappe chargee.

1

2

1!>2n

Volume (V)

1E

2E

'

Figure1.10 Volume de controle qui amenela discontinuite de la compo sante normale deE.

1

2

1!>2n

t

Contour (C)

1E

2E

'

Figure 1.11 Surface de controle qui amenela co ntinuite de la composante tangentielle deE.

Composante tangentielle de E

Le theoreme d e St okes (A.20) a ppli que a lequation de Maxwell-Faraday entrane q ue :(C)

E . d =

(S)

B

t . t dS (1.40)


31

En notant la grande longueur du contou r ferme (C) de la figure 1.11, on peut ecrire :(C)

E . d = (t n12) . ( E2 E1) (1.41)

ou t represente un vecteur uni taire tan gent a la surface et orthogonal au contour (C). Enappelant (S) u ne surface ouverte delimitee p ar (C), on a :

(S)

B

t .t dS 0 (1.42)

carB/ta une valeur finie sur la surface etStend vers zero lo rsquon fait tendre lepaisseurdu cont our ver s zero. Fi nalement, ( 1.40) peut secrire :

(t n12) . ( E2 E1) = 0dont on deduit q ue :

n12 ( E2 E1) = 0 (1.43)qui montre que la composante tangentielle de Eest continue au passage de la sur face chargee().

On peut regrouper (1.39) et (1.43) sous la forme :

E2

E1 =

0n12 (1.44)

Composante normale de B

On considere une na ppe de co urant () de forme quel conque, de dens ite surfacique d e courantK, separant deux milieux (1) et (2) de densites volumiques de courant respectivesj1 et j2(figures 1.12 et 1.1 3). Les champs magnetiques B1et B2sont des fonctions de classe C

1 maisne sont pas definis sur la nappe de courant ().

En u tilisant le meme r aisonnement que celui applique au paragraph e pr ecedent pour lacomposante normale de E, on peut montrer que la composante normale de B est continue :

( B2 B1) . n12 = 0 (1.45)

Composante tangentielle de B

Le t heoreme de Stokes (A.2 0) appli que a l equation de Maxwel l-Ampere e ntra ne q ue :

(C)

B . d =

(S)

0 J+0 0

E

t

.t dS (1.46)

Le meme raisonnement que precedemment permet dannuler a la limite le terme en E/t

dans lintegrale de d roite. Le terme de g auche de cette meme integrale secrit 0 K . t.


32


21/49

1

2

1!>2n

Volume (V)

1B

2B

K

Figure1.12 Volume de controle qui amenela continuite de la composante normale de B.

1

2

1!>2n

t

Contour (C)

1B

2B

K

Figure 1.13 Surface de controle qui amenela discontinuite de la composante tangentiellede B.

Le terme de gauche de (1.46) secrit a la lim ite des faibles epaisseurs : B . d = (t n12) . ( B2 B1) (1.47)

Finalement, (1.46) p eut s ecrire :

(t n12) . ( B2 B1) = 0 K . t

dont o n deduit que : n12 ( B2 B1) = 0 K (1.48)qui montre que la composante tangentielle de Eest discontinue au passage de la nappe decourant.

Avec les memes argu ments que pour le champ E, la discontinuite don nee pa r ( 1.48) est enfait due a lappr oximation faite en negligeant l epaisseur de la n appe d e courant .

On peut regrouper (1.45) et (1.48) sous la forme :

B2 B1 = 0 K n12 (1.49)

Exercice 1.2 : Potentiel et champ dune pla que uniformement chargee

Calculer le potentiel et le champ E en tout pointde lespace lorsque la source est une plaque uniforme-ment chargee en volume de de nsite 0. Que se passe-t-il lo rsque l epaisse ure de la plaque tend vers z ero ?

e

z

y$

O0


33 Notes de cours delectromag netisme classiq ue,Licence 3 et Magistere de Physiqu e Fondamentale, P. Puzo (20 10 - 2011)

34


22/49

Chapitre 2

Electrostatique

Sommaire

2 .1 E le ct ro st at iq ue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6

2.2 Aspects energetiques lies a lelectrostatique . . . . . . . . . . . 43

2.3 Conducteurs en electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4 Dipole electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.5 Le probleme du zero des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . 62

Introduction

Pour les phenomenes ne dependant pas du temps, l a conservatio n de la charge totale (1.3)

implique que . J= 0, mais ninterdit pas J= Cste=0. Lelectros tati que(ou electrost a-tique du vide) correspond a letude de s charges immobiles ( J= 0) dans le vide. Le cas ouJ= 0 correspond a l electroci neti que.


35

2.1 Electrostatique

On appelle electros tati que letude du champ electrique produi t par des charg es immobil es.On suppose ra donc que la densite volumique de char geest indepe ndante du temps . Dapres(1.3), ceci n implique pas qu e la densite volumique de cou rant Jsoit nulle. On fera cependant

dans ce cha pitre lhypothese s upplementaire que J= 0. Le cas ou J= 0 se ra traite au 2.3.Les observables physiques tr aitees dans ce cha pitre sont d onc independante s du temps.

Remarque : Le domaine de valid ite d e l electrosta tique setend jusqua linfini pour lesgrandes d imensions. Dan s le domaine microscopiqu e, cette th eorie cesse de sappliquer desquil faut prendre en compte les effets quantiques. On abo rde alors lelectrody namique quan-tique (QED).

2.1.1 Loi de Coulomb

La f orce d interaction creee par une charge q1(fixe) et sexercant sur une chargeq2(fixe) estdonn ee par l aloi deCoulomb:

F12 = 1

40

q1 q2r212

u12 (2.1)

ou r12 est la distance entre les deux charges et u12 un vecteur unitaire oriente de lacharge (1) vers la charge (2). La constante 0 est la permitti vite dielectriq ue du videet vaut8, 8541012 F/m dans le systeme intern ational 1. Cette loi experimentale est a la base detout lelectrostat ique.

2.1.2 Principe de superposition

Pour une distribution de charges discretes, le principe de superpositionstipule que la forceFi sexercant sur une charge i peut secrire comme la somme des forces Fji que chacunedes chargesj (autres que la charge i) exerce sur la charge i :

Fi =j=i

Fji

Ceci p ermet de ramener l etude des interactions electrostatiques au cas de deux chargesponctuelles et revient a dire que les equations de lelectrosta tique doivent etre lineaires.

2.1.3 Champ electrique

Lecha mp electriqu e E1 cree pa r la charg eq1 sur la charge q2 est par d efinition :

F12 = q2 E1 soit E1 = 1

40

q1r2

u12 (2.2)

ou F12 est la force de Coulomb. Cette definition nest donc valable que pour des chargesq1etq2 fixes (puisque la loi de Coulomb ne sapplique que pour des charges fixes).

1. On pourra retenir que 1/(4 0) 9 109 SI.


36


23/49


24/49

Dapres (2.6), l e potentiel electrique de la charge ponctuel le a pour expression :

= q

4 0

1

r + Cste (2.9)

La relation (2.8) montre que la circulation du champ electrostatique entre deux points nedepend que de la valeur du potentiel en ces deux points. En particulier, sa circulation le long

dun contour ferme (C) est nulle : (C)

E . d = 0 (2.10)

En fixant la constante arbitraire par la convention () = 0, le potentiel dun systeme decharg es secri t :

(M) = 140

i

qiri

pour une d istribut ion de charges disc retes

(M) = 140

(D)

(P)

P M d3P pour une distribution continue de charges

(2.11)ou lintegrale est effectuee sur la distribution volumique de charge (D) decrite par le po intcourantP.

Dapres ( A.15), on deduit immediatement de (2.7) que :

E = 0 (2.12)

Remarque 1 : Les expressions du p otentiel donnees par (2.11) supposent que pour chaquecharge qi, la constante dans lexpression du potentiel est nulle. Ceci nest possible pourlensemble des charges que si celles-ci sont reparties dans un volume fini de lespace. Cesexpressions ne sont donc correctes que sil ny a pas de charges a linfini. Sil y a des chargesa linfini, les expressions (2.11) ne sont plus correctes. Cela ne veut pas dire pour autant quele potentiel electrosta tique nest p as defini. Il fau t alors le calcu ler en utili sant la circulat iondu champ electrique entre deux points A et B donn ee p ar (2.8).

Remarque 2 : Dans le cas du ne r epartition surfacique de charg es caract erisee loc alementpar la densite surfac ique =dq/dSen chaque point dune surface (), on aura :

E = 14 0

()

dS

r2 u et = 14 0

()

dS

r (2.13)

De meme, on aura pour une distribut ion l ineique de cha rges caracterisee lo calement par laden site li neique =dQ/den chaque point dune courbe () :

E = 1

4 0

()

d

r2 u et =

1

4 0

()

d

r (2.14)


39

2.1.5 Surfaces equipotentielles et lignes de champ

Les surfaces equipotent iell essont par d efinition les surfaces pour lesquelles = cste. Onen deduit dapres ( 2.8) que le cham p Eest normal aux equipotentielles en tout point delespace.

Les lignes de champ 3 sont par definition les courbes t angentes en chaqu e point au champ E.Elles verifient donc, en notant k un scalaire arbitraire :

dOM = k E ou encore EdOM = 0Les lignes de champ sont donc normales aux surfaces equipotentielles. Les equations diffe-rentielles qu i decrivent les lign es de champ so nt :

dxEx

= dy

Ey= dzEz

en co ordo nnees c artesie nnes

drEr

= r dE= dzEz

en co ordonnees cylin driques

drEr

= r dE= r sin()

dE

en c oordonn ees spheriques

(2.15)

Les lignes de champ so nt orientees dans le sens de E, cest a dire dans le sens des potentielsdecroissants. Ce sont des cour bes ou vertes qu i ne peuvent etre fer mees car le pot entiel necesse de decrotre t out au long de la lign e de champ.

Les tubes de champ sont pa r definition les sur faces fermees cons tituees par lensemble deslignes de champ qui sappuient sur un contour ferme (figure 2.4).

Figure 2.4 Tube de champ

q q

(S)

dS = dS n

(S)

dS = dS n

Figure 2.5 Le theoreme de Gaus s re lie la cha rgeinterne a un volume a lintegrale du cha mp electr iquesur la surface qui delimite le volume.

2.1.6 Relations avec les charges

Theoreme de Gauss

On considere une sur face f ermee (S) telle que celle de la figure 2.5. On note comme dhabitudenle vecteur unitaire orthogonal a la surface en u n p oint e t di rige vers lexterieur. Dapres la

3. La notion de ligne de champ a ete intro duite par Faraday pour representer les lignes de force qui,dans la description de l epoque, entouraient chaque corps soum is a des forces. Le concept de lignes de forcea disparu depu is, mais les lignes de champ sont restees!


40


25/49

definition du champ electrique (2.2), l a composa nte norma le de Een tout point de la surfacepeut secri re :

E . n dS = E . dS = q

40

cos()

r2 dS

or cos() dS= r 2 d ou d est langle solide sous lequel on voit dSdepuis la charge q. En

integrant la composante normale d e Esur to ute la surface f ermee (S), on voit que :

(S)

E . dS =

q0 siqse trouve a l interie ur de S

0 siqse trouve a l exterie ur de S

(2.16)

Cette relation constitue le theoreme d e Gau ss pour une c harge pon ctuel le. Pour une densitede charge (r) cont inue, l e theoreme de Gauss d evient :

(S)

E . dS = 1

0

(V)

(r) dV (2.17)

En ut ilisant le th eoreme dOst rogradsky (A.19), cette derniere r elation permet decrire :(V)

. E

0

dV = 0

Comme le volume d integration (V) est ar bitraire , on en deduit la form e locale du theoremede Gauss:

. E =

0(2.18)

Remarque : Le theoreme de Gauss p ermet d e calcule r le champ electrostat ique da ns des

prob lemes ou la sy metrie des sources est suffisante pour que le calcul du flux =

E .d Ssortant dune surface convenablement choisie soit simple. La surface (S) a travers laquelleon calcule le flux est app elee surface de Gauss.

Equation de Poisson

En combinant (A.16) et (2.7), on obtient :

. ()

= =

0

Le pot entiel scalai re verifie don c lequatio n de Poisson:

+

0= 0 (2.19)

qui donne lequatio n de Laplace en labsence de charge :

= 0 (2.20)

Le A.2.3 traitait de lu nicite de la solu tion de cet te equation. Les su rfaces fermees cons ide-rees y sont les su rfaces exterieures des co nducteurs en equilibre electrostat ique. La so lutionde (2.19) et (2.20) est donc unique si :


41

1. le potentiel des conducteurs (donc de leur surface) est connu(condition deDirichlet)

2. le champ est connu sur la surface des conducteurs(condition deNeumann)

3. Le potentiel est connu sur certains conducteurs, alors que le champ lest sur les autres

Ce r esultat est parfois connu sous le nom de theoreme dunici te.

2.1.7 Methodes de calcul du champ E

Il existe trois methodes p our calculer le champ electrique, connaissant la distribution decharges :

1. calcul direct par lintegrale vectorielle:

E = 1

4 0

(V)

u

r2 dV

2. calcul indirect a laide du p otentiel scalaire:

= 1

4 0

(V)

rdV suivi de E = ()

3. calcul direct a laide du theoreme de Gauss:

Dans ce cas, la distribution de charges doit presenter un degre suffisant de symetrie

pour que le calcul du flux a travers la surface de Gauss soit facile et/ou faisable.

Exercice 2.1 : Quelques calculs classiques en electrostatique

Calcule r le champ et le po tentiel crees par :

1. Un fil infini de charge lin eique uniforme

2. Un plan infini de charge surfacique uniforme

3. Une sphere de rayon R uniformement cha rgee en surface (charge totale Q)

4. Une sphere de rayon R uniformement chargee e n volume (charge volumique )

Exercice 2.2 : Etude nave d une distribution spherique

Une distribution a s ymetrie spherique autour dun p oint O cree le p otentiel electro statiqu e telque :

(r) = q

4 0

exp( r)r

avec >0 et q > 0

1. Calculer la densit e de charge(r) et pr eciser son sig ne

2. En appli cant le theoreme de Gauss, d etermine r la charge Q(r) s ituee a li nterie ur d une spherede centre O et de rayon r . Comment peut-on comparer ce resultat avec celui de la questionprecedente ?


42


26/49

Exercice 2.3 : Distribution de Dirac et charges ponctuelles

On co nsidere un point Mde coor donnees r ur et une distribution de charge (D) c onstitu ee duneunique chargeqsi tuee a lorigineO du referentiel.

1. Quel est le gradient deU= 1 /r ? Montrer que

Uest nul en tout point diff

erent de l origine2. Calculer

U dV ou lintegrati on est etendue a tout lespace

3. En deduire q ue Usexprime simplement a laide de la fonction de Dirac a trois dimensions(r)

4. Montrer que (D) peut etre assimi lee a une den site volumique de charge s

5. En deduire lexpr ession de ou est l e po tentiel electr ostatiqu e cr ee par la cha rge q

2.2 Aspects energetiques lies a lelectrostatique

2.2.1 Rappels sur lenergie potentielle en mecanique

On con sidere u n p oint ma teriel plonge dan s un champ de force f. On montre en mecaniqueque si fpeut se mettre sous la forme :

f = (Ep(r)) (2.21)

alors le travail de la force flor s du n deplacement du p oint ma teriel n e depend pas d u cheminsuivi mais uniquement des positions initiales et finales. La fonctionEp(r) es t ap peleeenergiepotentielle du point materiel dans le champ de force.

Dans le cas dun ensemble de n points materiels, on montre que si la force fk traduisantlinteraction des autres points mat eriel avec le po int k peut se mettre sous la forme :

fk = rk(UI(r1, . . . , rk1, rk+1, . . . ,rn)) (2.22)

alors le travail des forces internes et externes est donne par :

dWint = dUI et dWext = d(Ec+ UI) (2.23)

La fonctionUIest alors appelee energie poten tiel le dint eraction de sn point s materiels.

2.2.2 Cas de charges ponctuelles dans le vide

On supposera dans tout ce paragraphe que le champ electrostatique Eest constant.


43

Cas dune seule charge

Si une chargeqse trouve en un point Mou le p otentiel electrosta tique est (M) et le champ

elec tros tatique E(M), elle subit une force Ftelle que :

F = q E avec E = ()

ou encore : F = (UI) avec UI = qPar definition, on dir a que UI est lenergie potentielle de la chargeqdans le champ E, oude mani ere equi valente l energie dinteraction de la charge ponctuelleq avec la distribution(D) qui engendre E et . Cet te definition de UI en donne lorigine : elle est nulle lorsquela charge se trouve a une distance infinie de la distribution (D) qui engendre le potentiel ,cest a dire lorsque est nul.

Le travai l elementaire dw de la force electrosta tique lors dun deplacement elementaire d rde la chargeqvaut :

dw = F . d r = (q) . d r = q d = dUISi lon suppose quun operateur va fournir le travail externedW pour effectuer ce deplace-ment, le theoreme de lenergie cinetiq ue 4 appl ique a la charge secrit :

dW + dw = dEc soit dW = d(Ec+ UI) (2.24)

On se place ici dans le cas de charges fixes. Cela signifie que si les charges sont amenees ase deplacer, on se li mitera a des situations ou dans les etats initiaux et finaux les particulesont une vitesse nulle. Dans notre cas particulier dune charge plongee dans le potentiel , larelation (2.24) secrit :

dW = dUI (2.25)

car la charge est immobile dans les etats initiaux et finaux.

Cas de deux charges

On con sidere cet te foi s que le p otentiel est cr ee par une ch arge p onctuelle q1. Une de uxiemecharge q2 est soumise au potentiel 1 tel que :

1 = 1

4 0

q1r12

4. Le th eoreme de lene rgie cin etiq ueenonc e qu e :

Dans un r eferentiel galil een, la va riation de l energie cinetique Ec dun point ma-teriel soumis a une force f pendant lintervalle de tempsdt est egale au travailelementai re de cette force pen dantdt , soit :

dEc = W = f . dr


44


27/49

Lenergie potentiell e dinter action des deux charges s ecrit :

UI = q2 1 = 1

4 0

q1 q2r12

(2.26)

et est ainsi ent ierement d eterminee (elle est nulle lorsque les deux charges so nt infini menteloignees lune de lautre). Cette energie potentiell e r epresente le travail quun operateur doit

fournir pour amener depuis linfini la charge q2 a la distancer12 de la charge q1, la chargeq2etant immobile da ns ses positio ns initiales et fi nales.

Comme on peut egalement ecrire UI = q1 2 (obtenu en rapprochant cette fois q1 dans lechamp cree par q2), on peut ecrire :

UI = 1

2(q12+ q2 1) (2.27)

Remarque : Dapres ( 2.26), lenergie dinteractio n UI est positive si les charges sont dememe signe et negative si elles sont de sign e contrai re.

Cas den charges

En reprenant les notations du 2.2.1, la force Fk repr esentant laction des n 1 charges surla chargek (par lintermediaire de la loi de Coulomb) secrit :

Fk = qk E(rk) avec E(rk) = rk() et =i=k

1

4 0

qirik

soit :

Fk = rk

i=k

1

4 0

qi qkrik

(2.28)

Il est facil e de verifier qu e la foncti onUIdonnee par :

UI = 1

2

i

j=i

1

4 0

qi qjrij

(2.29)

rempli les condition s requises pour pouvoir etre app eleeenergie pote ntiel le dint eraction d esncharges ponctuelles, cest a dire que F

k=

rk(U

I).

Remarque : Lenergie dinteracti onUIpeut encore se mettre sous la forme :

UI = 1

2

i

qii (2.30)

ou i est le p otentiel cree au point ou se trouve la chargeqi par lensemble des autresn 1charges.


45

Travail d un operateur constru isant le systeme

On supp ose que loperateur construit la distr ibution precedente en apport ant depui s linfinitoutes les charges une a une a leur position finale. L es charges etant su pposees immobi lesaux instants initiaux et finaux, on deduit de (2.23) donnant dWext que le travail W deloperat eur es t W = UI(on utilise egalement le fait que UI = 0 lorsque les charges sontinifiniment

Poly Electromagn1

Documents

Transcript of Poly Electromagn1