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UniversitAixMarseille1LicencedemathmatiquesCoursdAnalysenumriqueRaphaleHerbin19octobre2008Tabledesmatires1 Systmeslinaires 51.1 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Quelquesrappelsdalgbrelinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Normeinduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Matricesdiagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Lesmthodesdirectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2 MthodedeGaussetmthodeLU . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 MthodedeCholeski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.4 Quelquesproprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.1 Leproblmedeserreursdarrondis . . . . . . . . . . . . . 221.4.2 Conditionnementetmajoration delerreurdarrondi . . . 221.4.3 Discrtisationdquationsauxdrivespartielles, condi-tionnementecace". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.5 Mthodesitratives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.1 Originedessystmesrsoudre . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.2 Dnitionetproprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.3 MthodesdeJacobi,Gauss-SeideletSOR/SSOR. . . . . 331.5.4 Recherchedevaleurspropresetvecteurspropres . . . . . 391.6 Exercicesduchapitre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.7 Suggestionspourlesexercicesduchapitre1 . . . . . . . . . . . . 591.8 Corrigsdesexercicesduchapitre1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 Systmesnonlinaires 1032.1 Lesmthodesdepointxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.1.1 Pointxedecontraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.1.2 Pointxedemonotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.1.3 Vitessedeconvergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.2 MthodedeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.2.1 Constructionetconvergence delamthode . . . . . . . . 1112.2.2 VariantesdelamthodedeNewton . . . . . . . . . . . . 1152.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192.4 Suggestionspourlesexercicesduchapitre2 . . . . . . . . . . . . 1262.5 Corrigdesexercicesduchapitre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 12813 Optimisation 1503.1 Dnitionsetrappelsdecalculdirentiel . . . . . . . . . . . . . 1503.1.1 Dnitiondesproblmesdoptimisation . . . . . . . . . . 1503.1.2 Rappelsetnotationsdecalculdirentiel . . . . . . . . . 1503.2 Optimisationsanscontrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.2.1 Dnitionetconditiondoptimalit. . . . . . . . . . . . . 1523.2.2 Rsultatsdexistenceetdunicit . . . . . . . . . . . . . . 1523.3 Algorithmesdoptimisationsanscontrainte . . . . . . . . . . . . 1573.3.1 Mthodesdedescente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.3.2 Algorithmesdugradient conjugu . . . . . . . . . . . . . 1613.3.3 MthodesdeNewtonetQuasiNewton . . . . . . . . . . 1683.3.4 Rsumsurlesmthodesdoptimisation. . . . . . . . . . 1723.4 Optimisationsouscontraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.4.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723.4.2 ExistenceUnicitConditionsdoptimalitsimple . . . 1733.4.3 Conditionsdoptimalitdanslecasdecontraintesgalit 1743.4.4 Contraintesingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.5 Algorithmesdoptimisationsouscontraintes . . . . . . . . . . . . 1793.5.1 Mthodesdegradientavecprojection . . . . . . . . . . . 1793.5.2 Mthodesdedualit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1823.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1853.7 Suggestionspourlesexercicesduchapitre3 . . . . . . . . . . . . 1993.8 Corrigsdesexercicesduchapitre3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014 Equationsdirentielles 2194.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2194.2 Consistance,stabilitetconvergence . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.3 Thormegnraldeconvergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2274.5 Expliciteouimplicite ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.5.1 Limplicitegagne... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2284.5.2 Limpliciteperd... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2294.5.3 Matchnul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304.6 EtudeduschmadEulerimplicite . . . . . . . . . . . . . . . . . 2304.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2324.8 Corrigdesexercicesduchapitre4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2412IntroductionLobjetdelanalysenumriqueestdeconcevoiretdtudierdesmthodesdersolution de certains problmes mathmatiques, en gnral issus de la modlisa-tion deproblmes rels", et dont on cherche calculer la solution laidedunordinateur.Lecourseststructurenquatregrandschapitres: Systmeslinaires Systmesnonlinaires Optimisation Equationsdirentielles.Onpourraconsulterlesouvragessuivantspourcesdirentesparties(ceciestunelistenonexhaustive !): P.G.Ciarlet,Introduction lanalyse numriqueet loptimisation,Masson,1982,(pourleschapitre13decepolycopi). M. Crouzeix, A.L. Mignot, Analysenumriquedesquationsdirentielles,Collection mathmatiquesappliques pourlamaitrise,Masson, (pourlecha-pitre4decepolycopi). J.P.Demailly,AnalysenumriqueetquationsdirentiellesCollectionGre-noblesciencesPressesUniversitairesdeGrenoble L. Dumas, Modlisation loral de lagrgation, calcul scientique, CollectionCAPES/Agrgation,Ellipses,1999. J.Hubbard,B.West,Equationsdirentiellesetsystmesdynamiques,Cas-sini. P. Lascaux et R. Thodor, Analyse numrique matricielle applique lart delingnieur,tomes1et2,Masson,1987 L. Sainsaulieu, Calcul scientiquecours et exercices corrigs pour le2mecycleetlescolesdingnieurs, Enseignementdesmathmatiques, Masson,1996. M.Schatzman,Analysenumrique,coursetexercices,(chapitres1,2et4). D.Serre,Lesmatrices,Masson,(2000).(chapitres1,2et4). P. Lascauxet R. Theodor, Analyse numriquesapplique auxsciences delingnieur,Paris,(1994) R. Temam, Analysenumrique, CollectionSUPle mathmaticien, PressesUniversitairesdeFrance,1970.Etpourlesanglophiles... M. Braun, Dierential Equations and their applications, Springer, New York,1984(chapitre4). G. Dahlquist andA. Bjrck, Numerical Methods, Prentice Hall, Series inAutomaticComputation,1974,EnglewoodClis,NJ.3 R. Fletcher, Practical methods of optimization, J. Wiley, NewYork, 1980(chapitre3). G. Golub and C. Van Loan, Matrix computations, The John Hopkins Univer-sityPress,Baltimore(chapitre1). R.S. Varga, Matrixiterativeanalysis, Prentice Hall, EnglewoodClis, NJ1962.Cecoursatrdigpourlalicencedemathmatiquespartl-enseignementde luniversit dAix-Marseille 1. Chaque chapitre est suivi dun certian nombredexercices.Ondonneensuitedessuggestionspoureectuerlesexercices,puisdescorrigsdtaills. Il estfortementconseilldessayerdefairelesexercicesdabordsanscesindications,etdeneregarderlescorrigsdtaillsquunefoislexercice achev (mme si certaines questions nont pas pu tre eectues), cecipourseprparer auxconditionsdexamen.4Chapitre1Systmeslinaires1.1 ObjectifsOnnote N(IR)lensembledesmatricescarresdordreN.SoitA N(IR)unematriceinversible,etb IRN,onacommeobjectifdersoudrelesystmelinaireAx = b,cestdiredetrouverxsolutionde:

x IRNAx = b(1.1.1)Comme A est inversible, il existe un unique vecteur x IRNsolution de (1.1.1).Nousallonstudierdanslesdeuxchapitressuivantsdesmthodesdecalculdecevecteurx: lapremirepartiedecechapitreseraconsacreauxmthodesdirectes"etladeuximeauxmthodesitratives". Nousaborderonsensuiteen troisime partie les mthodes de rsolution de problmes aux valeurs propres.Undespointsessentielsdanslecacitdesmthodesenvisagesconcernelatailledessystmesrsoudre.Entre1980et2000, latailledelammoiredesordinateursaaugmentdefaondrastique. Latailledessystmesquonpeutrsoudresurordinateuradoncgalementaugment, selonlordredegrandeursuivant:1980 : matricepleine (touslestermessontnonnuls) N= 102matricecreuse N= 1062000 : matricepleine N= 106matricecreuse N= 108Ledveloppementdesmthodesdersolutiondesystmeslinairesestlielvolutiondes machines informatiques. Ungrandnombrederecherchessontdailleursencourspourproteraumieuxdelarchitecturedesmachines(m-thodesdedcompositionensousdomainespourproterdesarchitecturespa-rallles,parexemple).Dans la suite de ce chapitre, nous verrons deux types de mthodes pour rsoudrelessystmeslinaires: lesmthodesdirectesetlesmthodesitratives. Pourfaciliter la comprhension de leur tude, nous commenons par quelques rappelsdalgbrelinaire.51.2 Quelquesrappelsdalgbrelinaire1.2.1 NormeinduiteDnition1.1(Normematricielle,normeinduite)1. On appelle norme matricielle sur N(IR) une norme t.q. |AB| |A||B|,pourtoutesmatricesAetBde N(IR).2. OnconsidreIRNmunidunenorme ||.Onappellenormematricielleinduite (ou norme induite) sur N(IR) par la norme ||, encore note ||,lanormesur N(IR)dniepar: |A| = sup|Ax|; x IRN, |x| = 1pourtoutematriceA N(IR).Proposition1.2Soit N(IR) muni dune norme induite ||. Alors pour toutematriceA N(IR),ona:1. |Ax| |A| |x|, x IRN,2. |A| = max|Ax|; |x| = 1,x IRN,3. |A| = max

|Ax||x|; x IRN` 0

.4. ||estunenormematricielle.Dmonstration:1. Soitx IRN` 0,posonsy=x|x|,alors |y| = 1donc |Ay| |A|.Onendduit |Ax||x| |A|etdonc |Ax| |A| |x|. Si maintenantx=0,alorsAx= 0,etdonc |x| =0et |Ax|=0 ;lingalit |Ax| |A| |x|estencorevrie.2. LapplicationdniedeIRNdansIRpar: (x)= |Ax|estcontinuesurlasphreunitS1= x IRN[ |x|=1qui estuncompactdeIRN. Doncestborneetatteintsesbornes: il existex0 IRNtel que|A| = |Ax0|3. La dernire galit rsulte du fait que |Ax||x|= |Ax|x||etx|x| S1pourtoutx = 0.Proposition1.3SoitA = (ai,j)i,j{1,...,N} N(IR).1. OnmunitIRNdelanorme ||et N(IR)delanormeinduitecorres-pondante,noteaussi ||.Alors|A|= maxi{1,...,N}Nj=1[ai,j[. (1.2.2)2. OnmunitIRNdelanorme ||1et N(IR)delanormeinduitecorres-pondante,noteaussi ||1.Alors|A|1= maxj{1,...,N}Ni=1[ai,j[ (1.2.3)63. OnmunitIRNdelanorme ||2et N(IR)delanor