Plasticité FluagePlasticité Fluage

A Plasticité à Basse Température

B Origine de la Plasticité

C Plasticité à Haute Température

J.C. Charmet © 2005

Plasticité à Basse Plasticité à Basse TempératureTempérature

A-I Comportement Plastique

A-II Frontières de Plasticité

A-III Critères de Plasticité

A-IV Equations de la Plasticité

A-V Chargement Radial

AA--I Comportement PlastiqueI Comportement Plastique

A-I -1 Seuil de Plasticité

A-I-2 Déformations Plastiques

A-I-3 Plasticité Pure

A-I-4 Instabilité Plastique

II--11 Le Seuil de PlasticitéLe Seuil de Plasticitéσσσσ

εεεε

Limite d’élasticité Conventionnelleou Seuil de PlasticitéσσσσC(εεεεP)correspond à la contrainte σσσσC produisant une déformation Plastique Permanente εεεεP (conventionnellement 2% après décharge élastique)

σσσσC

Limite d’élasticité Vraie σσσσV : Plastification du premier grain de la microstructureValeur inaccessible à la mesure

σσσσV

Charge élastique

Plastification commençante

Décharge élastique

εεεεP

Déformation plastique permanente εεεεP

Déformation totaleÉlasto-Plastique εεεεT

εεεεT

II--22 Les Déformations PlastiquesLes Déformations Plastiques

Faible variation de laTexture (structure interne du matériau)Modules élastiques inchangés

σσσσ

εεεε

Déformation plastique modérée

Forte variation de laTexture ⇒⇒⇒⇒ Anisotropie et Modification des Modules élastiquesDéformation plastique intense

Effet Bauschinger

σσσσV Réduction de la Ductilité

Réduction progressive de l’Allongement plastique encore possible avant

Rupture et Diminution progressive de la Capacité de durcissement∂∂∂∂ εεεεP

2

∂∂∂∂2σσσσC<0

εεεεP

Ecrouissage: DurcissementElévation du Seuil de Plasticité au cours de l’écoulement plastiqueσσσσC

∂∂∂∂ εεεεP

∂∂∂∂σσσσC >0

σσσσC

εεεε

σσσσ

σσσσ’C

Diminution du Seuil de Plasticité pour les Contraintes opposées à celles provoquant l’Ecoulement plastique

II--33 Plasticité PurePlasticité PureLa Plasticité pure est Indépendante du temps, Absence d’effets visqueux

Plasticité Parfaite

Plasticité Ecrouissante

σσσσC

εεεεP

Ecoulement plastique libreσσσσ = σσσσC εεεεP indéterminé

εεεεP εεεεeElasticitéσσσσ < σσσσC ⇒⇒⇒⇒ εεεεe= εεεε – εεεεP = σσσσ

ΕΕΕΕ

Eσσσσ

εεεεe

σσσσ

σσσσC

εεεε

Elasticitéσσσσ < σσσσC ⇒⇒⇒⇒ εεεεe= εεεε = σσσσΕΕΕΕ

σσσσC

K

Ecoulement plastique contenu

εεεε =f(σσσσ )

dσσσσ

Elasticité dσσσσ<0 ⇒⇒⇒⇒ dσσσσ=E’dεεεε = Edεεεεe

Plasticité dσσσσ>0 ⇒⇒⇒⇒ dσσσσ=E’dεεεε = KdεεεεP

Chaque point de la courbe de charge est un point de bifurcation

⇒⇒⇒⇒ équations incrémentales

σσσσ

σσσσCεεεεe

E

Elasticitéσσσσ < σσσσC ⇒⇒⇒⇒ εεεεe= εεεε = σσσσΕΕΕΕ

σσσσ

εεεεεεεεe

σσσσC

σσσσIσσσσI

σσσσ = σσσσC + σσσσIσσσσI Contrainte interne de contention

εεεε = εεεεP + εεεεe

εεεεP

εεεεP εεεεe

εεεε

σσσσ

E

σσσσΕΕΕΕεεεεe=

E module élastique

E

εεεε =f(σσσσ )

εεεε=εεεεP+εεεεe= σσσσ( + )- = -σσσσCΚΚΚΚ

1ΕΕΕΕ

1ΚΚΚΚ

σσσσΕΕΕΕ’

σσσσCΚΚΚΚ

dσσσσdεεεεE’=

E’ moduletangentK<<E ⇒⇒⇒⇒ E’≈≈≈≈K

E’

σσσσIΚΚΚΚεεεεP = =

σσσσ -σσσσCΚΚΚΚK moduleplastique

εεεεP

K

II--44 Instabilité PlastiqueInstabilité Plastique

εεεεn oudl

σσσσn ouF

Courbe de charge : σσσσn=f(εεεεn)

σσσσ

εεεεStriction stable

(polymères)

εεεε

σσσσ

Loi de comportement : σσσσ=f(εεεε)

εεεε=Ln(1+εεεεn)

σσσσ= σσσσn Ln(1+εεεεn)

Déformation plastique à volume constant

V=S0l0=Sl

F=σσσσnS0=σσσσS Instabilité dF=0Striction

dσσσσn

dεεεεn=0

dσσσσdεεεεσ σ σ σ ==

dSS

dll

dVV

+ =0

dSS

=-dεεεε

=dSS

dσσσσσσσσ

dFF

+ =0

dσσσσσσσσ =-dεεεε

Re

Re Limite élastique

Allongement uniformément

réparti

Au

RP

RP Limite de Résistance

Au Allongement uniformément réparti

Rupture

Ar

Ar Allongement à rupture

AA--II Frontières de PlasticitéII Frontières de Plasticité

A-II -1 Frontière Elastique

A-II-2 Patin Elasto Plastique

A-II-3 Elasticité vs Plasticité

A-II-4 Frontière d’Ecoulement

A-II-5 Chargement Limite

Pour un Incrément de Charge d dirigé vers l’Extérieur de la Surface de Charge, celle-ci est Entraînéepar le Point de Charge (Ecrouissage Plastique) et devient la Frontière Elastique Ecrouief( ,αααα)=0, αααα étant le paramètre caractérisant l’écrouissage

σσσσ=

σσσσ=

IIII--11 Frontière ElastiqueFrontière Elastique

Le Domaine Elastiquef( )<0 est intérieur à la Surface de Chargeσσσσ=

σσσσ=le Point de Charge ≠≠≠≠0 décrit dans le Domaine Elastiqueun Trajet de Charge

σσσσjusqu’au Point de Plastification Naissante ≠0 =

σσσσ=

Surface de chargef( )=0σσσσ=

La Frontière Elastique ou Surface de Chargef( )=0 est constituée de l’ensemble des Points de Plastification Naissantecorrespondant à tous les Trajets de Chargepossibles

σσσσ1

σσσσ2

σσσσ3 Dans l’Espace des Contraintes(σσσσ1 , σσσσ2, σσσσ3) σσσσ=partant de l’Etat initial =0

Frontière Elastique Initiale

Frontière Elastique Ecrouie

Les Points de Chargesont confinés à l’ Intérieur ou Sur la Surface de Charge f( ) ≤≤≤≤ 0σσσσ=

σσσσ1

σσσσ2

σσσσ3

Tout Point de Chargesitué sur la Frontière Elastique Initialef( )=0 est un Point de Bifurcationσσσσ=

Pour un Incrément de Charge d dirigé vers l’Intérieur de la Surface de Charge, celle-ci n’est Pas Modifiée(Elasticité)

σσσσ=

InitialeX2+Y2=S2

E

E E Raideur élastique isotrope

KK

K Raideur plastique isotropeX

Y F(X,Y) Force Externe

F0(X0,Y0) Force Interne de contention plastique

Ue(x,y) Allongement élastiqueyx

IIII--22 Patin Patin Elasto Elasto PlastiquePlastique

y0

x0 UP(x0,y0) Glissement plastique

Frontière Elastique Initiale

X2+Y2=S2

F(Scosθθθθ,Ssinθθθθ)θθθθ

UP(x0,y0)=0

X

Y

O

S

S Seuil de glissement isotrope du patin

Au delà du point de plastification F=S+F0 induit :

Frontière Elastique Ecrouie UP(x0,y0)≠≠≠≠0

Un Allongement élastiqueUe(x= ,y= )XE

YE

Ue

Un Glissement plastiqueUP(x0,y0) // F (Loi du Frottement) associé à laForce InterneF0(X0=Kx0,Y0=Ky0) entraînant la Surface de Charge dans la direction θθθθ de F(écrouissage isotrope)

UP

Après retrait de F :

La frontière élastique écrouieest centrée en C(X0,Y0)

Le patin soumis à la Force Interne de Contention -F0

Matériau Isotropeà Ecrouissage Isotrope

(X-X0)2+(Y-Y0)

2=S2

F0(X0,Y0)

θθθθ CX

Y

O

X2+Y2=S2

IIII--33 Elasticité Elasticité vsvs PlasticitéPlasticité

L’Incrément de déformation élastiquedUe est parallèle à l’Incrément de chargedF appliqué au patinL’Incrément de déformation plastiquedUP est parallèle à la ChargePlastifiante R appliquée au patin

C(X-X0)

2+(Y-Y0)2=S2

La Surface de Charge Initiale a été Translatéede OCdF

L’ Incrémentde Force dF induit :

dUe

L’ Incrémentde déformation élastiquedUe // dF

dUP

L’ Incrémentde déformation plastiquedUP // R (Loi du Frottement)dont l’amplitude est fonction de la direction et du modulede dF

Traction F Torsion dCd’un fil en régime élasto plastique

Elastique Plastique

∆∆∆∆l

F

F ⇒⇒⇒⇒ Ue=∆∆∆∆l // F

F

δθδθδθδθ

dC

dC ⇒⇒⇒⇒ dUe=δθδθδθδθ // dC

F dC

δδδδl

dC ⇒⇒⇒⇒ dUP =δδδδl // F

Torsion élastiquesousl’action de dC

Etirement plastiquesous l’action de dC

Puis passage progressif à la Torsion Plastique

Matériau isotropeà écrouissage isotrope

X

Y

O

L’ écrouissagea généré la Force Interne de Contention F0

F0

Par application d’une Force externe F conduisant au Point de PlastificationF Le Patin est soumis à la Résultante R =F-F0 (Module S)

R

F

∆∆∆∆lF ⇒⇒⇒⇒ UP =∆∆∆∆l // F

Frontière Elastique Initiale : f( )=0σσσσ=

IIII--44 Frontière d’EcoulementFrontière d’EcoulementTout Matériau admet une Limite de Résistanceau delà de laquelle la Déformation Plastiquene peut plus être contenue. Ce Seuil d’Ecoulementest fonction de l’Etat de Contrainte appliqué

σσσσ1

σσσσ2

O

Dans l’Espace des Contraintes

Point d’Ecoulement Plastique Libre: Limite de RésistanceEcrouissage Insuffisant pour Contenir la Déformation Plastique

le long d’un Trajet de Charge

Frontière Elastique Ecrouie: f( ,α)=0σσσσ=

Frontière d’Ecoulement

La Frontière d’Ecoulement F( )=0est la Surface Enveloppede toutes les Frontières Ecrouiesayant atteint le Seuil d’Ecoulement Plastique Libre

σσσσ=

Point de Plastification Naissante : Limite Elastique Initiale

Frontière d’Ecoulementet Frontière Elastiquesont Confonduesen l’absence

d’écrouissage : Plasticité Parfaite εεεε

σσσσ

Entraînement par Ecrouissage: Limite Elastique Ecrouie

Surface de Chargement Limite

La Surface de Chargement LimiteF( )=0est la Surface Enveloppede toutes les Frontières Ecrouiesayant atteint le Seuil d’Ecoulement Plastique Libre

Q

Toute Structure admet un Chargement Limite

le long d’un Trajet de Charge

Frontière Elastique Ecrouiede la Structure: f( ,α)=0Q

Tant qu’il reste des Zones Elastiques, elles contiennent l’écoulement des Zones en Déformation PlastiqueLorsque toute la structure est plastifiéel’ écoulement plastiquedevient libre , la structure a atteint son Chargement Limite

ML MLσσσσmax= Re

Chargement Limite

Points d’Ecoulement Plastique Libre: Limite de Chargement

IIII--55 Chargement LimiteChargement Limite

Mσσσσmax= ReEcrouissage

M

Pour une répartition inhomogène de contrainte la Plastification (même Parfaite) envahit progressivement la structure.

Extension des zones plastifiées : Ecrouissagede la Structure

Me Meσσσσmax= Re

Frontière Elastique

Points de Plastification Naissante : Limite Elastique de la Structure

Frontière Elastique de la Structure : f( )=0Q

Dans l’Espace des Chargements

OQ1

Q2

M Mσσσσmax< Re

Domaine Elastique

Toute la Structure est en Domaine Elastique

AA--III Critères de PlasticitéIII Critères de Plasticité

A-III -1 Domaine de Résistance

A-III-2 Matériaux Ductiles

A-III-3 Tresca et Von Misès

A-III-4 Mohr, Caquot et Coulomb

A-III-5 Ductilité et Fragilité

IIIIII--11 Domaine de RésistanceDomaine de RésistanceMatériau à Comportement Plastique Isotrope sous Contrainte Homogène

Critères de Plasticitéet d’Ecoulement

f( ,αααα)=0 Critère de Plasticité(Frontières Elastiques Initiale ou Ecrouie) et F( )=0 Critère d’Ecoulement ou Limitede Résistancesont des fonctions des 3 Invariants ou des 3 Contraintes Principalesde

σσσσ=σσσσ=

σσσσ=

Domaine de Résistanceou Domaine des Déformations Plastiques ContenuesF( ) <0σσσσ=

• N’est Pas Limité du coté des Pressions (σσσσm < 0) Une pression hydrostatique ne provoque pas de Rupture

Exemple de Domaines de RésistanceLimités du coté des Pressions

Pour des Matériaux Homogènes(sans vide) le Domaine des Déformations Plastiques Contenuesborné par la Surface ΠΠΠΠ

ΠΠΠΠ

• Est Limité par la Surface ΣΣΣΣ ( associée à la Rupture en Traction) du coté des Tractions (σσσσm > 0)

ΣΣΣΣ

*Cf. Contraintes- Déformations ⇒ Représentation des Contraintes ⇒ Critères de Plasticité et de Rupture

∆∆∆∆

σσσσ1

σσσσ2

σσσσ3

Dans l’Espace des Contraintes, ce sont des Surfaces* à symétrie Ternaire autour de l’axe ∆∆∆∆ des Contraintes Isotropes

Tissus

ττττ

σσσσ σσσσ

Matériaux InhomogènesPoreux

ττττ

Résistance Limitée à la Compression

(Ecrasement des Pores)

FaibleCohésion

(Résistance à la Traction)

FaibleRésistance à la Compression

(Flambement)

ForteRésistance en Traction

Pour les corps à forte ductilité, l’expérience montre que seul intervient le Déviateur des Contraintes D= -σσσσm

avecσσσσm Contrainte Normale Moyennetelle que 3σσσσm=I 1=Tr ( ).σσσσ=σσσσ=σσσσ= δδδδ=

IIIIII--22 Matériaux DuctilesMatériaux Ductiles

On peut donc substituer aux invariants I 2 et I 3 de les invariants J2= Tr ( D2)/2 et J3= Det( D) correspondants de son

déviateur D, J1= Tr ( D)=0 par définition. Le critère se met alors sous la forme : Φ(J2,J3)=g(σσσσm)σσσσ=σσσσ=σσσσ=σσσσ=σσσσ=

*Cf. Contraintes- Déformations ⇒ Représentation des Contraintes ⇒ Espace des Contraintes

Dans le Plan du Déviateur* perpendiculaire à∆∆∆∆ à la coteσσσσm les projections du vecteur HM représentatif de l’Etat du

Déviateur sur les perspectives des trois axes Oσσσσ1,Oσσσσ2,Oσσσσ3 sont donc HM i= (σσσσi-σσσσm), son module vérifiant

|HM |2=2J2=Tr ( D2). σσσσ=

32

Aux fortes pressionsla fonction g(σσσσm) devient une constante indépendante de σm et la surface ΠΠΠΠ se rapproche d’un

cylindre de génératrices parallèles à∆∆∆∆ .

Traction ou CompressionPureσ 0 0σ 0 0σ 0 0σ 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

=σσσσ3

1 0 01 0 01 0 01 0 00 1 00 1 00 1 00 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

+2 0 02 0 02 0 02 0 00 0 0 0 −−−−1 01 01 01 00 0 0 0 0 0 0 0 −−−−1 1 1 1

σσσσ3

Cisaillement Pur

τ 0 0τ 0 0τ 0 0τ 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −−−−τ τ τ τ

= ττττ1 0 01 0 01 0 01 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −−−−1 1 1 1

déviateurσσσσ1

σσσσ3

σσσσ2

HM=σσσσ3

32

2-1-1

2J2= σσσσ2

Compression

Traction

23

HM=32

10-1

2J2= 2ττττ2ττττ

Cisaillement

H

M

Dans l’Espace de Mohr(σσσσ,ττττ), le critère de Trescase réduit à une bande de largeur2k

ττττ

σσσσ

k

Compression Traction

Dans l’Espace des Contraintes

∆∆∆∆

H

σσσσ1 σσσσ2

σσσσ3

, la base circulairede Von Misèsest inscrite dans la base hexagonalede Tresca

IIIIII--33 TrescaTresca et et Von MisèsVon Misès

Critère de Von Misèsf( )=J2-k2=0σσσσ=

Les Matériaux Ductiles cèdent par Cisaillement lorsque le Cisaillement Maximal ττττ atteint la Limite de Résistance au Cisaillement k caractéristique du Matériau. Dans le cas des Métaux k≈≈≈≈Cte ne dépend pas de σσσσm.

f( )=Sup(|σσσσi-σσσσj|)-2k=0σσσσ=Critère de Tresca

A Résistance au Cisaillementk fixée

En traction uniaxialeσσσσ, pour une même Résistance au Cisaillementk :

Tresca Sup(|σσσσi-σσσσj|)=σ σ σ σ La Résistance à la Traction(telle que ττττ=k) vaut RP=2k

Von Misès J2= σσσσ2 La Résistance à la Traction(telle queJ2=k2) vaut RP= k13 3

, ce sont deux cylindres à base hexagonale et à base circulaire d’axe ∆∆∆∆.

Elastique

Plastique

RP

IIIIII--44 MohrMohr, Caquot et Coulomb, Caquot et CoulombPour les autres Matériaux la Résistance au Cisaillement k dépend de la contrainte normale moyenne σσσσm. k=f(σσσσm)

Critère de Von Schleicherf( )=J2-f(σσσσm)=0σσσσ= f( )=Sup(|σσσσi-σσσσj|) -f(σσσσm)=0σσσσ=

Critère de Tresca généraliséRoches: f(σσσσm)=A| σσσσm |α α ≤ et ≈ 1

Frottement SecC=σσσσC=0 ⇒ |ττττ|=-µσσσσ

Critère Non Rigoureuxne prenant pas prendre en comptel’influence de la Contrainte Principale intermédiaire σσσσ2

σσσσ2

Critère de Mohr|ττττ|=f(σσσσ)

σσσσ

ττττ

Aux Fortes Pressions, σσσσm<< 0, ττττ tend vers une limite finie (critère de Tresca). " le matériau : Grandes DéformationsPlastiques(même les plus fragiles : roches, verres,….)

ττττk

σσσσ1σσσσ3

La plastification intervient sur la facette dont les composantesNormale σσσσ et de Cisaillement ττττ vérifient |ττττ|=f(σσσσ)

ττττ

σσσσ

ϕϕϕϕ

Dans l’espace de Mohr σσσσ , ττττ la courbe |ττττ|=f(σσσσ) dite courbe de Résistance Intrinsèqueou Courbe Intrinsèquede Caquot délimite le domaine de résistancedu matériau

|ττττ|=f(σσσσ)Au voisinage du sommet S la Rupture intervientAvant la Déformation Plastique

S

σσσσC Rupture en traction hydrostatiqueC Cohésion Cisaillement critique à σσσσ=0

généralement faible

C

σσσσC

Critère de Coulomb|ττττ|=µ(σσσσC - σσσσ)=tgϕϕϕϕ(σσσσC - σσσσ)=C-µσσσσ

σσσσ

ττττ

ϕϕϕϕ

Matériaux Ductiles

k

σσσσ

ττττ

S

OS> 2k

Matériaux Fragiles

σσσσ

ττττ

k

O

OS< 2k

S

O

IIIIII--55 Ductilité et FragilitéDuctilité et FragilitéLes Matériaux diffèrent Seulementpar la Positionde l’origine O

des Contraintes par rapport à la Courbe Intrinsèque

L’action d’un compression hydrostatique revient à déplacer l’origine O des Contraintes Déviatoriques.Les Matériaux Fragiles deviennent Ductilessous forte pression

σσσσT

Plastification avant Rupture en Traction Simple

σσσσT ≈ 2k

σσσσT

Rupture avant Plastification en Traction Simple

σσσσT < 2k

σσσσCσσσσC

Plastification en Compression Simple Plastification en Compression Simple

σσσσC ≈ σσσσT ≈ 2k σσσσC ≈ 2k ≈ 10 à 100 σσσσT

AA--IV Equations de la PlasticitéIV Equations de la Plasticité

A-IV-1 Forme Incrémentale

A-IV-2 Condition d’Ecoulement Plastique

A-IV-3 Potentiel Plastique

A-IV-4 Plasticité Associée

A-IV-5 Module d’Ecrouissage

A-IV-6 Lévy Von Misès

IVIV--11 Forme IncrémentaleForme IncrémentaleEquation Fonctionnelle de la Plasticité

La Plasticité étant indépendante du temps, le Temps Conventionnelt caractérise l’Etat Actuel tandis que le Temps conventionnelττττ - ∞ < τ < t caractérise l’Histoire de Déformation Plastiquedu Matériau

εεεεP= (t)=FFFF[ (t), (τ)] -∞ < τ < t ⇒ à (t) peut correspond re une infinité d’états de contrainte (t)σσσσ= σσσσ= εεεεP= σσσσ=

Equations Incrémentales de la Plasticité

dααααdεεεεP= =0

=0Régime Elastique

A partir de l’Etat Actuel l’évolution de l’Etat de Déformation plastiqueest caractérisée sous forme incrémentale par

dααααdεεεεP= =Y( , )σσσσ= αααα dσσσσ=

=K ( , )σσσσ= αααα dσσσσ=Régime Plastique

Y Loi d’Ecoulement PlastiqueK Loi d’Ecrouissage

Ecoulement PlastiqueLa caractérisation de l’Evolution Plastiquenécessite à tout instant la connaissance de

σσσσ=La Fonction de Charge f( , ) caractérisant le Seuil d’Ecoulement Plastiqueαααα

σσσσ=f( , )=0αααα

La Fonction d’Ecoulement Y( , ) caractérisant l’Evolution de la Déformation Plastiquedu Matériauσσσσ= αααα

σσσσ=f( , )=0αααα

dσσσσ=dεεεεP= =Y( , )σσσσ= αααα dσσσσ=

La Fonction d’Ecrouissage K( , ) caractérisant l’Evolution de la Forme de la Fonction de Chargeσσσσ= αααα

dαααα =K ( , )σσσσ= αααα dσσσσ=

dσσσσ=

σσσσ=f( + , + )=0ααααdσσσσ= dαααα

L’ Histoire de Déformation Plastiquedu Matériau est caractérisée dans l’ Etat Actuel t par les Variables Cachées(t) fonctionnelles de (ττττ) -∞ < τ < t nommées Variables d’Ecrouissage. αααα σσσσ=

IVIV--22 Condition d’Ecoulement PlastiqueCondition d’Ecoulement Plastique

Le Point de Chargedoit se trouver sur la Frontière de Chargepour que l’Ecoulement Plastiquesoit Possible : Condition Nécessaire

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

f( , )=0σσσσ= αααα

f( , )<0σσσσ= αααα

La Frontière de Charge de normale extérieure délimite le Domaine Elastique

f( , )=0σσσσ= ααααf( , )<0σσσσ= αααα

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

Ecoulement Plastique

Pas d’Ecoulement Plastique

dσσσσ=∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

l’ Ecoulement Plastique Effectifn’aura lieu que si l’ Incrément de Charge est dirigé vers l’ Extérieur de la Frontière soit : scalaire > 0

dσσσσ=∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

Charge Plastique

f( , )=0σσσσ= αααα ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= Charge Plastiqueet >0

dσσσσ=

Régime Elastique

f( , )<0σσσσ= αααα dσσσσ= Régime Elastique""""

dσσσσ=Décharge Elastique

Décharge Elastiquef( , )=0σσσσ= αααα ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=et <0

dσσσσ= Charge Neutre

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= Charge Neutref( , )=0σσσσ= αααα et =0

Condition de Cohérence de la Loi d’EcrouissageAu cours de l’Ecoulement Plastique: f=0 et df=0 conduisant à df=

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

dααααdσσσσ= =0+

Avec

La Condition d’Ecoulement Plastique Effectif s’écrit

dαααα =K ( , )σσσσ= αααα dσσσσ=

=0f( , )=0σσσσ= αααα et et ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= >0 df= ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ=∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

dσσσσ=+K

La Direction de l’Ecoulement Plastiqueest celle de fonction de l’Etat Actuel de Contrainte et d’Ecrouissageh= σσσσ= αααα

h=

IVIV--33 Potentiel PlastiquePotentiel PlastiqueCharge Neutre Déplacement le long de la Surface de Chargesans Plastification Ni Ecrouissage

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= =0 dεεεεP= =Y( , )σσσσ= αααα dσσσσ==0 dαααα =K ( , )σσσσ= αααα dσσσσ= =0 ⇒⇒⇒⇒ Y= ƒƒƒƒh= ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ= et K= ƒƒƒƒ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=k

dεεεεP= = ( , )σσσσ= ααααh= ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

dαααα = ( , )σσσσ= ααααk∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

Pour tout Incrément de Charge Plastifiante tel que >0

dσσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

dσσσσ= ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

L’ Amplitude de l’Ecoulement Plastiqueest fonction de l’Incrément de Charge via le scalairedσσσσ= ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

dεεεεP= = ( , )σσσσ= ααααh= ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

Potentiel Plastique

Le Scalairedλλλλ est une fonction de et de la sensibilité de la Surface de Chargeà se distordre

quand varie, sensibilité liée à la Loi d’Ecrouissage par la Condition de Cohérence

dσσσσ= ∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

σσσσ= 1+k ( , ) =0σσσσ= αααα∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ=

g( , )=0σσσσ= ααααPotentiel

est proportionnel au gradient d’une Surface Potentiel Plastique

qui fixe la Direction de

l’ Ecoulement Plastique

h= ∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ=

g( , )=0σσσσ= αααα

= dλλλλdεεεεP= = ( , )σσσσ= ααααh= ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= ∂∂∂∂g

∂∂∂∂σσσσ=

L’Amplitude de l’ Ecoulement Plastiqueétant fixée par dλλλλ

f( , )=0σσσσ= αααα

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

Charge

La Condition d’Ecoulement Plastique Effectif se réduit à :

f( , )=0σσσσ= αααα et et ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= >0 1+k ( , ) =0σσσσ= αααα

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

f( , )=0σσσσ= αααα

=dεεεεP2 dσσσσ2222

=

=dεεεεP3

dσσσσ3333=

dσσσσ1111=

=dεεεεP1

IVIV--44 Plasticité AssociéePlasticité AssociéeLoi d’ Ecoulement PlastiqueY

Plasticité Non Associée

Plasticité Associée

L’établissement de la Loi Incrémentale nécessite d’exprimer Y en fonction des trois informations :dεεεεP= =Y( , )σσσσ= αααα dσσσσ=Surface de Chargedéfinissant la Condition d’Existencede la Déformation Plastiquef( , )=0σσσσ= ααααPotentiel Plastiqueprécisant la Direction de la Déformation Plastiqueg( , )=0σσσσ= αααα

Loi d’Ecrouissagedéfinissant L’Amplitude de la Déformation Plastiqueet l’Evolution de la Surface de Chargek ( , )σσσσ= αααα

Surface de Charge ≠≠≠≠ Potentiel Plastique (Sables et Sols)f( , )=0σσσσ= αααα g( , )=0σσσσ= αααα

Surface de Charge ≡≡≡≡ Potentiel Plastique (Matériaux Cristallins Ductiles)f( , )=0σσσσ= αααα g( , )=0σσσσ= αααα

En liant l’Incrément d’Ecrouissage à l’Incrément de Déformation Plastiquela Condition de Cohérencede la Loi d’écrouissage s’écrit avecdεεεεP= ∂∂∂∂g

∂∂∂∂σσσσ== dλλλλ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

dααααdσσσσ= =-=-∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

dααααdεεεεP= dεεεεP= =-

∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

dααααdεεεεP=

∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ=

dλλλλ=- dλλλλM ( , )σσσσ= αααα

dαααα dεεεεP=

⇒ M scalaire =-∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

dααααdεεεεP=

∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=dλλλλ =

M ( , )σσσσ= αααα1

D’où la Loi d’Ecoulement Plastique

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

M ( , )σσσσ= αααα1 = dλλλλ= ( , )αααα ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=σσσσ=h= ∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ=

dεεεεP= =Y( , )σσσσ= αααα dσσσσ= =∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ= M ( , )σσσσ= αααα

1( , )αααασσσσ=h= = ∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ=

Matériaux Isotropesà Ecrouissage isotropeLe tenseur symétrique admet les mêmes directions principales que

et ont Mêmes Directions Principales

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

σσσσ=

σσσσ= dεεεεP=

dεεεεP= ∂∂∂∂g∂∂∂∂σσσσ== dλλλλ ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ== dλλλλ est⊥⊥⊥⊥ à la Surface de Charge

f( , )=0σσσσ= αααα

dεεεεP=

σσσσ=

mais et ont des Directions Principales DifférentesdεεεεP= σσσσ=

IVIV--55 Module d’EcrouissageModule d’EcrouissageEn Plasticité Associée, la Loi d’Ecoulement ne nécessite que la connaissance de la Fonction de Charge

dλλλλ ( , )=αααασσσσ=∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

dεεεεP= = ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

M ( , )σσσσ= αααα1∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ= si f( , )=0σσσσ= αααα et ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= >0

dεεεεP= =0 si f( , )<0σσσσ= αααα ou ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= =0

M ( , )σσσσ= αααα contenant la Loi d’Ecrouissage

Le Module Plastiqueou Module d’Ecrouissageest le scalaireK tel que M=K ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

Traction Simple*

*Cf*Cf . I. I--3 Plasticité Pure3 Plasticité Pure

dll

La Contrainte σσσσ produit une Déformation Totale(élastiqueet plastique) εεεε=εεεεE+εεεεP dont l’Incrément est

σσσσ

εεεε

L’évolution du Seuil d’EcoulementσσσσS en Zone Plastique( au delà de la Limite Elastique Initiale σσσσe εεεεE << εεεεP ) est directement représentée par la Courbe de Première Mise en Chargeσσσσ=ΨΨΨΨ(εεεε) :

σσσσS ≈≈≈≈ ΨΨΨΨ(εεεεP)

σσσσe

σσσσS

σσσσ=ΨΨΨΨ(εεεε)

E

Incrément de Déformation Elastique dεεεεE= dσσσσE

La Déformation Plastique CumuléeεεεεP étant prise comme variable d’Ecrouissageαααα, la Fonction de Chargef(σσσσ, αααα)=σσσσ-σσσσS= σσσσ-ΨΨΨΨ(εεεεP)=0

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ =1 ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ =1∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ dσσσσ=dσ σ σ σ ⇒⇒⇒⇒

Incrément de Déformation Plastique dεεεεP= dσσσσK

Module d’Ecrouissage K= =MdσσσσdεεεεP

ββββ

Module TangentE’= =tgββββdσσσσdεεεε

E’

1E

1K

1E’

= + E’ ≈≈≈≈ K

IVIV--66 Lévy Lévy Von MisèsVon MisèsRelation de Maurice Lévy

Le Critère de Von Misèss’écrit en présence d’Ecrouissgae = σσσσd2-ψ( )=0

32σσσσ=Tr ( D

2)f( )=J2-ψ( )=σσσσ= αααα12 -ψ( )αααα αααα

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= = =σσσσD Le Loi d’Ecoulement se réduit à dλλλλ ( , )=αααασσσσ=dεεεεP= = ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=M ( , )σσσσ= αααα

1=σσσσD=σσσσD si et ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ= >0J2-ψ( )=0αααα

Intensité de Contraintes σσσσI

*Cf. III-2 Matériaux Ductiles

En Traction Simple* J2= σ212

Avec σσσσI2 =3J2= Intensité des Contraintesou Contrainte équivalente de Von

MisèsunEtat de Contrainte Complexe est assimilable à une traction simpleéquivalente d’amplitudeσσσσI

32 σσσσ=Tr ( D

2)

σσσσ=

Ecrouissage IsotropeL’écrouissage isotrope est généralement caractérisé par le scalaireαααα avec M fonction de αααα seulement. Son Evolution

est contenue dans le critère lui même via la condition de cohérence 1+k =0dαααα=k(α)α)α)α) ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

L’ Evolution Plastiqueest Complètementdéfinie par la donnée de la SeuleFonction de Charge

La Fonction de Charge Initialede Von Misèss’écrit alors simplement fe( )=σσσσI-σσσσe=0σσσσe limite d’élasticité initiale en traction simple

σσσσ=

σσσσ=La Fonction de Chargede Von Misèsévolue par écrouissageselon f( )= fe( )-αααα=σσσσI-αααα-σσσσe=0σσσσ=

Loi d’Ecoulement Plastique∂∂∂∂σσσσΙΙΙΙ∂∂∂∂σσσσ=

∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ= = =

32σσσσI

=σσσσDσσσσI2 = ⇒3

2 σσσσ=Tr ( D2) ∂∂∂∂f

∂∂∂∂σσσσ= dσσσσ==3

2σσσσI

=σσσσDdσσσσ==dσσσσI f( )=0 ⇒ αααα= σσσσI-σσσσe ⇒ dαααα=dσσσσIσσσσ=

En posant =ΦΦΦΦ(αααα)=ΦΦΦΦ(σσσσI) Les Lois d’Ecoulementet d’Ecrouissagese réduisent à1M (αααα)

dαααα=dσσσσI si σσσσI-αααα-σσσσe=0 et dσσσσI >0dεεεεP= = 32σσσσI

=σσσσD dσσσσIΦΦΦΦ(σσσσI)3

2σσσσI= =σσσσDdλλλλ

AA--V Chargement RadialV Chargement Radial

A-V-1 Déformation Plastique Cumulée A-V-2 Loi d’Hollomon A-V-3 Loi de Hooke généralisée A-V-4 Le Travail Elasto-Plastique A-V-5 Le Travail Plastique A-V-6 Théorème de la Décharge

VV--11 Déformation Plastique CumuléeDéformation Plastique CumuléeParamètre d’Ecrouissage

Travail de Déformation Plastique

Elasto-Plasticité de Prandtl-Reuss

Au Potentiel Plastiqueg=f sont associées les grandeurs énergétiques duales et = dλλλλdεεεεP=σσσσ= ∂∂∂∂f∂∂∂∂σσσσ=

Au Paramètre d’Ecrouissage associons le Flux d’Ecrouissage tel que =- dλλλλα α α α p dp∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

Ecrouissage Isotrope =-1 etdp=dλλλλ=ΦΦΦΦ(σσσσI )dσσσσI

∂∂∂∂f∂∂∂∂αααα

32Comme et σσσσI

2 = dp2=dλλλλ2= = = = dεεεεI2====dεεεεP= 3

2σσσσI= =σσσσDdλλλλ =σσσσD

=σσσσD Tr ( 2)23

dεεεεP=

dp s’identifie alors à l’Incrément dεεεεI de l’Intensité des Déformations

La Plastification s’effectuant à Volume Constant, en Traction Simple :σ 0 0σ 0 0σ 0 0σ 0 00 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

⇒dεεεε2

2 0 02 0 02 0 02 0 00 0 0 0 −−−−1 01 01 01 00 0 0 0 0 0 0 0 −−−−1 1 1 1

dεεεεP= =dεεεεD= = et dεεεεI=dεεεε de la même manière que σσσσI=σσσσ

εεεεI=23

Tr ( 2)dεεεεP=

0

εεεεP=

εεεεI Intensité des Déformationsdéfinit au sens de l’équivalence de Von Misès la notion de Déformation Plastique Cumulée

dW= = = σσσσI dεεεεI=σσσσDdεεεεP= 3

2σσσσI

=σσσσDΦΦΦΦ(σσσσI)=σσσσD dσσσσI

Ce Travail est Dépenséet non Dissipécar une partie est Bloquéesous forme de Travail Elastique de Contentionde la Déformation Plastique

dεεεεP= = =σσσσDΦΦΦΦ(σσσσΙΙΙΙ)dσσσσΙΙΙΙ3

2σσσσIsi σσσσI-αααα-σσσσe=0 et dσσσσI >0 εεεεP >>>>>>>> εεεεEdεεεεE= = dσσσσ=1+ηηηη

EηηηηE

- dTr ( )σσσσ= δδδδ=

εεεεP =0=0=0=0

εεεε=ϕϕϕϕ(σσσσ)

Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope

dεεεεP=dεεεε= dεεεεE== + σσσσI=σσσσ

εεεεI=εεεεΦΦΦΦ(σσσσI) généralise, au sens des grandeurs σσσσI et εεεεI associée à une Traction Simple Equivalente la notion de Module Plastique Tangentpour σσσσI >σσσσe

dϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ)dσσσσΙΙΙΙ

dεεεεI= dσσσσI=ΦΦΦΦ(σσσσI)dσσσσI

εεεεP ≈≈≈≈ εεεε=ϕϕϕϕ(σσσσ)

Au delà la Déformation PlastiqueεεεεP ≈≈≈≈ ε. ε. ε. ε. La Plasticitéest entièrement caractérisée par ΦΦΦΦ(σσσσΙΙΙΙ) obtenue expérimentalement par la Courbe de Traction εεεεP ≈≈≈≈ εεεε=ϕϕϕϕ(σσσσ) avec σσσσI=σσσσ et εεεεI=εεεε qui fournit

σσσσe εεεεP ≈≈≈≈ εεεεE

Au voisinage de σσσσe la Contention limite la Déformation Plastique εεεεP ≈≈≈≈ εεεεE

εεεεP s’accompagne d’une variation de volume allant décroissante tandis que ηηηη→→→→½

VV--22 Loi Loi d’Hollomond’HollomonDéformation Simple1) Les Charges Externes(Traction, flexion, torsion,…) varient de manière proportionnelle entre elles, le tenseur garde une Orientation Fixe (Radialedans l’Espace des Contraintes) .

σσσσ=ππππ=

2) Le Matériau est Isotrope à Ecrouissage Isotrope, et ont mêmes directions propres ππππ=σσσσ= dεεεεP=

Il en va de même pour et les Equations Incrémentalessont IntégrablesεεεεP=

=σσσσd = σσσσI=σσσσD ππππ= 3

2ππππ= dεεεεP= = =σσσσDdσσσσΙΙΙΙ====

32σσσσI

dϕϕϕϕdσσσσΙΙΙΙ

dϕϕϕϕdσσσσΙΙΙΙ

dσσσσΙΙΙΙππππ=12

εεεεI= =ϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ)23

Tr ( 2)dεεεεP=

0

εεεεP=

Tr ( 2)=3 ⇒ππππ=

Loi de Hencky Misès εεεεP= = =σσσσDϕϕϕϕ(σΙ)3

2σσσσI

dϕϕϕϕdσσσσΙΙΙΙ

dσσσσΙΙΙΙππππ=12

σσσσΙΙΙΙ−−−−σσσσe

σσσσe

=

Loi d’Hollomon Métaux et Alliages RP (Mpa) A (MPa) χχχχAcier doux recuit 210 500 0,28Acier 0,6% C trempé revenu 520 1270 0,15Acier allié laminé 15 630 100 0,14Acier inoxydable recuit 590 1280 0,45Cuivre recuit 60 320 0,54Laiton α (70-30) recuit 80 900 0,49 Aluminium recuit 40 180 0,20Al Cu Mg (2024) 310 700 0,16

Ecrouissage linéaire

≤≤≤≤ 1111

Plasticité Parfaite

0 0 0 0 ≤≤≤≤ χχχχ

traduit l’égalité =ππππσσσσ=ππππεεεε=

=σσσσDσσσσd

==σσσσDσσσσI

223 ==

=εεεεDεεεεI

=εεεεDεεεεd

=

conduisant à 23

=εεεεDεεεεI

=εεεεDεεεεI

=32

=σσσσDσσσσI

=σσσσDσσσσI

=1 et liant à tout instant les grandeurs actuelles etεεεεP= σσσσ=23

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ)

σσσσΙΙΙΙ =23

par le Module Sécant⇒ εεεεI =

23 εεεε=Tr ( D

2)

σσσσΙΙΙΙ

εεεεΙΙΙΙ

23

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ)

σσσσΙΙΙΙ =23

εεεεI=ϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ)

En Déformation SimpleεεεεI=ϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ) est Universellepour tous les Chargement Radiaux Monotones:

L’ Elasto-Plasticité se réduit à la Traction Simple d’une éprouvette équivalentesoumise à la Contrainte

présentant une Déformation Cumulée dans l’Etat Actuel

σσσσI = 32 σσσσ=Tr ( D

2)

εεεεI = 23 εεεε=Tr ( D

2)

Ecrouissage

σσσσΙΙΙΙ > > > > σσσσe σσσσΙΙΙΙ= εεεεIχχχχ

σσσσe

VV--33 Loi de Hooke généraliséeLoi de Hooke généraliséeEcoulement Plastiqueà Volume Constant εεεεP= εεεεS

=εεεεD=≡ εεεε== -

23

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

=23

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

=Hencky-Misès =εεεεD=σσσσD εεεεS

=εεεε=-( )

Elasticité Pure =3GσσσσD= εεεεD

= σσσσd=2Gεεεεd σσσσI=3GεεεεI

σσσσI

εεεεIO

Hooke

σσσσS= εεεεS

=Compressibilité σσσσm=3Kεεεεm=Kθθθθ=3K =KTr ( )εεεε= δδδδ=

Ecrivant σσσσI=f(εεεεI) Caractéristique du Matériausous la forme σσσσI=3G(1-ωωωω(εεεεI)) εεεεI

Matériau Ecrouissable

σσσσe

εεεεe

3GσσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

dεεεεΙΙΙΙ

dσσσσΙΙΙΙ

Modules Elastique Sécant Tangent

0 ≤≤≤≤ 3G ≤≤≤≤ ≤≤≤≤σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ dεεεεΙΙΙΙ

dσσσσΙΙΙΙ

σσσσI=f(εεεεI) ⇒ εεεεI=ϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ) Inversibilité

ωωωωEcrivant εεεεI=ϕϕϕϕ(σσσσΙΙΙΙ) Caractéristique du Matériausous la forme 3G εεεεI= (1+ψψψψ(σσσσI))σI

ψψψψ(σσσσI) = 1-ωωωω

Caractérise l’écart relatif en terme de Déformationpar rapport à un Comportement purement Elastique

Par Inversion

Avec et ψψψψσσσσS=σσσσD

=σσσσ= = + =σσσσD= + 1

3 σσσσ=Tr ( )δδδδ=

32

εεεεΙΙΙΙσσσσΙΙΙΙ

12

εεεεΙΙΙΙσσσσΙΙΙΙ

εεεε==( - )Tr ( ) +σσσσ= δδδδ= σσσσ=13K

σσσσS=σσσσD

=σσσσ= = +23

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

29

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

σσσσ==(K- )Tr ( ) +εεεε= δδδδ= εεεε=

εεεε==1

3KσσσσS= + 1

2GσσσσD= +

ψψψψ(σσσσΙΙΙΙ)2G σσσσD

=

Partition des déformations εεεεP=εεεεE=εεεε= = +Elastique εεεεE= = 1

3K + 12GσσσσD

=σσσσS= σσσσI

2GεεεεIE=

Plastique εεεεP= =ψψψψ(σσσσΙΙΙΙ)2G σσσσD

=ψψψψ(σσσσI)2GεεεεI

P=

σσσσI

M

M’

M’’

3Gωωωω(εεεεI)εεεεI

ωωωω(εεεεI) = 3G εεεεI-σσσσI3G εεεεI

MM’M’’M’= Caractérise l’écart relatif en terme de Contrainte

par rapport à un Comportement purement Elastique

σσσσI

VV--44 Le Travail Le Travail ElastoElasto--PlastiquePlastiqueExpression générale

Déformation Simple

εεεεS= εεεεD

=εεεε= = + εεεεm +εεεεd= δδδδ= =ππππεεεεσσσσS= σσσσD

=σσσσ= = + σσσσm +σσσσd= δδδδ= =ππππσσσσ Travail Elasto-Plastiquedes Forces Internes

δδδδW=Tr ( )=σσσσmδεδεδεδεmTr ( )+σσσσmδεδεδεδεdTr ( )+σσσσdδεδεδεδεmTr ( )+σσσσdδεδεδεδεdTr ( )σσσσ=δεδεδεδε= δδδδ= =ππππεεεε=ππππσσσσ

=ππππεεεε=ππππσσσσ =3σσσσmδεδεδεδεm+σσσσdδεδεδεδεdTr ( )=ππππεεεε

=ππππσσσσ

==ππππσσσσ=ππππεεεε==ππππ Tr ( 2)=3=ππππ θθθθ=3εεεεm σσσσIεεεεI=3σσσσdεεεεd δδδδW=dW Différentielle Exacte

dW=dWF+dWV dWV=3σσσσdεεεεd = σσσσIεεεεIdWF=3σσσσmdεεεεm=σσσσmdθθθθLe Travail Elasto-Plastiquedes Forces Internes Ne Dépend Plusdu Chemin Suivi

W=WF=Cte+WV=Cte WF=Cte= σσσσmdθθθθ0

θθθθWV=Cte= σσσσIdεεεεI

0

εεεεI

W(θθθθ, εεεεI) est le Potentiel des Contraintes σσσσI =∂∂∂∂W∂∂∂∂εεεεI

σσσσm= ∂∂∂∂W∂∂∂∂θθθθ==σσσσ ∂∂∂∂W

∂∂∂∂εεεε= ==σσσσD∂∂∂∂WV=Cte

∂∂∂∂εεεεD=

Potentiel WF=Cte

Potentiel WV=Cte

Changement de Volumeà Forme Constanteaction de la Contrainte Normale Isotrope Moyenne σσσσm

Nature Purement Elastique(Plastification à Volume Constant)σσσσm=3Kεεεεm=Kθ θ θ θ ⇒ WF=Cte = Kθθθθ212

Changement de Formeà Volume Constantaction de la Contrainte Déviatorique Moyenne σσσσd

Nature ElastoPlastique WV=Cte =WE+WP

WE Purement Elastique Récupérable Changement de Forme Réversible

WP Purement Plastique Dépensé Changement de Forme Irréversible

WV=Cte

Surface OSMM’’O

M’’

WPSurface OSMO’O

VV--55 Le Travail PlastiqueLe Travail Plastique

Partie Elastique Récupérable WE Changement de Forme Réversible

σσσσd < k Limite de Résistance au Cisaillement σσσσd=2Gεεεεd σσσσI =3GεεεεI ⇒ WE = σσσσI21

6G

Partie Plastique Dépensée WP Changement de Forme Irréversible

• PlasticitéParfaite σσσσI = σσσσe

• Plasticité EcrouissanteσσσσI րրրր

avec la Progression de la Plastificationet WE րրրր mais le Module Tangentցցցցet rapidement WP >> WE

Le Potentiel W V=Cte =WE+WP Changement de Formeà Volume Constantest lié à la Courbe d’EcrouissageσσσσI=f(εεεεI) et Indépendantdu Chemin Suivi

WE Récupérablesature àWEmax = σσσσe21

6G

O’

M

M’’

σσσσI

εεεεI

σσσσe

εεεεeO

3G

=WE+WPWV=Cte= σσσσIdεεεεI0

εεεεIWP = σσσσIdεεεεI

0

εεεεI- σσσσI

216G

Ce Travail est Dépenséet non Dissipécar une partie est Bloquéesous forme de Travail Elastique de Contentionde la Déformation Plastique

Potentiel desDéformations Plastiques(hors Changement de Volume)

W* V=Cte= σσσσIεεεεI-WV=Cte= σσσσIεεεεI- σσσσIdεεεεI= εεεεIdσσσσI0

εεεεI

0

σσσσI

O’’

W*

Surface OSMO’’O

∂∂∂∂σσσσIεεεεI = ∂∂∂∂W*

∂∂∂∂σσσσD=

∂∂∂∂W* V=Cte==εεεεD

WE = σσσσI21

6G

O’

Surface O’MM’’O’

3G

σσσσI

εεεεI

σσσσI

σσσσe

O

M

S

WE

Surface O’MM’’O’

VV--66 Le Théorème de la DéchargeLe Théorème de la DéchargeChargement Plastifiant OSM

23

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

29

σσσσΙΙΙΙεεεεΙΙΙΙ

σσσσ=M=(K- )Tr ( M) + Mεεεε= δδδδ= εεεε= σσσσI

εεεεI

σσσσe

O

M

S

3G

=σσσσMσσσσIM

=εεεεM

εεεεIM

Décharge Elastique Partielle MN

N

=εεεεN

εεεεIN

=σσσσNσσσσIN

Selon la Loi Elastique σσσσI=3GεεεεI

23

σσσσ==(K- G )Tr ( )+2G =ΛΛΛΛθθθθ +2Gεεεε= εεεε= εεεε=δδδδ=

Décharge ElastiqueTotale MZ

- =ΛΛΛΛ(θθθθM−−−− θθθθN) +2G( - )=σσσσM =σσσσN =εεεεM =εεεεNδδδδ=

2G = ΛΛΛΛθθθθM +2G -=εεεεPM δδδδ= =εεεεM =σσσσM

Charge Elastique FictiveOSM’

M’=σσσσfM

Pour obtenir la Déformation avecun Matériau Purement Elastique il aurait fallu une charge

=εεεεM

=σσσσfM

=ΛΛΛΛθθθθM +2G=σσσσfM =εεεεMδδδδ=

2G = -=εεεεPM =σσσσM=σσσσfMThéorème de la Décharge

La Déformation Plastiquerésultant d’un chargement Réels’obtient à partir de la différence entre la Contrainte Fictivesolution du problème Elastique Linéaire et la Contrainte Réelledu problème Elasto-Plastique

I=σσσσrM

Rétablir la forme initiale et annuler⇒ une décharge jusqu’au point I

=εεεεPM=σσσσrM =-2G =-( - )=εεεεPM σσσσMσσσσfM

Contrainte Interne deContention Plastique =σσσσrM

DivD( )=0=σσσσrMChamp de Contrainte Autoéquilibré associé à l’Energie Elastique Bloquée=σσσσrM

Z=σσσσZσσσσIZ

=εεεεPM

=σσσσZσσσσIZ = 0 = 0 θθθθZ = 0 =εεεεZ =εεεεPM=

Donne la Déformation Plastiqueen M

Origines de la PlasticitéOrigines de la Plasticité

B-I Le Glissement Plastique

B-II Les Dislocations

B-III Les Interactions

B-IV Les Obstacles Intrinsèques

B-V Les Obstacles Etrangers

BB--I Le Glissement PlastiqueI Le Glissement Plastique

B-I-1 Origine des Déformations Permanentes

B-I-2 Paradoxe de la Contrainte Théorique

II--11 Origine des Déformations PermanentesOrigine des Déformations Permanentes

Sols

Polymères

Métaux

Monocristaux

Les grains ne se déforment quasiment pas (sauf aux hautes pressions où ils se cassent). Le Glissements’effectue par Roulement des Grains

La Rupture des Liaisons Faibles(Hydrogène, Van der Waals ) provoquele Glissementrelatif des Macromolecules

A Haute Température (Changements de Structure et de Phase) : Glissement Inter-GrainsA BasseTempérature : Glissement Intra-Grains

A BasseTempérature la Déformation Plastique résulte de Glissements le long de

Directions Particulières dans lesPlans cristallographiques lesPlus Denses

Contrainte Théorique de Glissementdans un Monocristal

Les Déformations Permanentesont toujours pour origine des Mécanismes de Glissement

Le Glissementγγγγ est relié au DéplacementRelatif x des Plans Atomiques γγγγ =

xb

ττττ ≈ ττττth sin2π xa

ττττ ≈ ττττth 2π γγγγbaγγγγ << 1

⇒ab

µµµµ2πττττth =

ττττ

xL’ Instabilité de GlissementPlastiquese produit lorsque

a2x = ττττ = ττττth

ττττth

x

a2x =

Le Réseau Atomiqueretrouve une Positiond’Equilibre pour un GlissementPlastique

x = a

x

x = a

ττττ

bx

a

x = 0

Comportement Elastique x << a ττττ=µγµγµγµγ

ττττ ≈ ττττth sin2π γγγγba

µµµµ10

ττττth ≈ E10

Rth ≈⇒

II--11 Paradoxe de la Contrainte ThéoriqueParadoxe de la Contrainte Théorique

Le Mécanismedu Glissement Progressif

La Résistance à la Traction RP des matériaux est toujours inférieure à la Résistance Théorique Rth

Les Données Expérimentales

RP (Gpa) Rth (Gpa

MonocristauxAl (CFC) 0,0010 7 7000Zn (Hexagonal) 0,0016 5 3125

PolycristauxAl 0,04 7 175Fe 0,21 21 100

AlliagesAcier doux 0,3 21 70Duralumin 0,35 7 20Acier spéciaux 1,5 21 14

RthRP

(Gpa) RP Rth

Graphite 19,6 69 3,5Al 2O3 15,4 53 3,4SiC 40 70 1,8Fe 12,6 20 1,6

RthRP

Trop petits pour contenir des Dislocations, ilsont une Résistanceproche de la Limite Théorique

Les Trichites

Whiskers Cristaux filamentaires Φ ≈ 1 µm

PhotoD. Chambolle

Taylor (1934)

Le Glissementdes Plans Atomiquesne s’effectue pas d’un Bloc mais Progressivementpar Propagationd’un Défautappelé Dislocationdans l’arrangement des atomes. Son Déplacementn’intéressant qu’un petit nombre d’atomes se fait sous Contrainte Plus Faibleet conduit à la Même Déformationde Glissementlorsqu’il a Balayétout le Plan Atomique

ττττ ττττ ττττ ττττ ττττττττ

BB--II Les DislocationsII Les Dislocations

B-II-1 Dislocations Vis et Coin

B-II-2 Le Champ de Contrainte Interne

B-II-3 Energie libre et Tension de Ligne

B-II-4 Densité de dislocations

IIII--11 Dislocations Vis et CoinDislocations Vis et CoinDislocation

S

l

Découpe selon S en appui sur l

b

Translation des lèvres de Vecteur de BürgersbDéplacement de matière et Recollage ⇒ Crréation d’un Champ Contraintes InternesIndépendant de S

Caractérisé par la Ligne de Dislocationl orientée ( ) et son vecteur

t

t b

t

b

b

t

t

t

b

t

b

Réseau sans défaut

du =0

déplacement d’un atome par rapport au réseau sans défautdu

t

Insertion d’un demiPlan atomique

Dislocation Coin ⊥⊥⊥⊥ tb

Dislocation Vis // tb

Une Ligne de Dislocationse termine à la Surface, en Boucleou sur un Noeud

bdu =-= uGrad dx

t1

b1 t2

t3

b2

b3

bΣ Σ Σ Σ =0000Loi des Nœuds tous convergentsou divergentst i

IIII--22 Le Champ de Contrainte InterneLe Champ de Contrainte InterneDislocation Vis // tb

Dislocation Coin ⊥⊥⊥⊥ tb

Invariance par Translation uz=f(r,ϕϕϕϕ)

r

z

r

2πrγγγγ

t

b

z

r

z

xϕϕϕϕrb

t

Glissement SimpleSans variation de Volume

u =

00b

2π ϕϕϕϕ

=εεεε=0 0 00 0 10 1 0

b4π

1r

=σσσσ=0 0 00 0 10 1 0

µb2π

1r

Sans variation de Volume

ur

uϕϕϕϕ0000

u =ur = sinϕϕϕϕ+2ϕϕϕϕcosϕϕϕϕ- Lnrsinϕϕϕϕb

4π1

1-η1 -2η1-η

uϕϕϕϕ =- 2ϕϕϕϕsinϕ ϕ ϕ ϕ + Lnrcosϕϕϕϕb4π

1 -2η1-η

y

r

x

z

ϕϕϕϕ

b

t

tb

x

yz

=-bDσσσσ=sinϕϕϕϕ -cosϕϕϕϕ 0-cosϕϕϕϕ sinϕϕϕϕ 0

0 0 2ηηηηsinϕϕϕϕ1r

=-εεεε=(1-2ηηηη)sinϕϕϕϕ –2cosϕ ϕ ϕ ϕ 0

–2cosϕϕϕϕ (1-2ηηηη)sinϕϕϕϕ 00 0 0

b4π

1r

11-η

µ2π(1-ηηηη)D =

Invariance par Translation uz=0

b2πrγ γ γ γ =

µb2πrτ τ τ τ = µγ γ γ γ =

ττττ

ττττ

IIII--3 3 Energie Libre et Tension de LigneEnergie Libre et Tension de LigneEnergie Libre

Tension de Ligne

Réseaux Auto Stabilisés

Cœur de Dislocation

E = Tr ( )dV12 σσσσ= εεεε= Dislocation Vis E = 2σσσσr ϕϕϕϕεεεεr ϕϕϕϕ2πrdθdr=1

2µb2

4πdrr Divergence logarithmique

lD

r0 ≈ b ≈ 10-10 m

F = Ln ≈ µb2µb2

4πlDr0

12

Par unité de longueur de ligne de dislocation

lD ≈ 10-4 cm

r0 Elasticité

Lb

Distance moyenne Energie libre F et Entropie de Configuration S par atome

Nombre Positions DislocationL,b L 3

Lb 2L 2

b2=Nombre Atomes sur L

Lb

Entropie (Boltzmann) S = k LnbL

L 2

b2

Energie E = µb2L = µb3bL

12

12

Energie Libre F = E-ST = µb3- Ln kT12

bL

L 2

b2

Cu : b=2,5.10-10 m , µ=40 Gpa, L= 10-4 cmS = 4.10-3 k, T=300 °K et kT= 2,5.10-2 eV E = 2 eV et F=E

Une dislocation Isoléeest thermodynamiquementInstable. Mais elles forment toujours des Réseaux Auto Stabilisés qui lesrendentfortement Métastables. En moyenne leurs champs de contraintes s’annihilent (statistiquement il y a autant de dislocations de chaque signe) à une distance de l’ordre de lD générantun Champ deContraintes Internes Autoéquiibré

L’ Energied’une dislocation est très grandedevant son Entropie. Une dislocation augmente fortementl’ Energie Libre

L

L’ >LCourber un segment de dislocation րրրր sa longueur L et son Energie W=FL .

T= =F= µb2dWdL

12

T T= µb212⇒ Force de Rappel : Tension de Ligne

IIII--4 4 Densité de DislocationsDensité de DislocationsDéfinition de la Densité

Estimation de la Densité

Variation de Volume

Densité de Dislocation ρρρρD = Longueur Totale de Dislocation par Unité de Volume (cm-2)

L

b

l

Un cube d’arête L<<l contient N Segments de Dislocations de Vecteur de Bürgers b

Densité de Dislocation ρρρρD = Nombre de Dislocation traversant Unité d’Aire

Mais Cœur de DislocationTube Vide de Rayon r 0 ≈ b, Section S ≈ b2

⇒ Variation Relative de Volume ∆∆∆∆VV

SLLLLV= = ρρρρDb2

Négligeablejustifiant l’hypothèse des Déformations Plastiquesà Volume Constantde la Mécanique des Solides Cohérents

Le Champ deContraintes Internes crée par lesDislocations étantAutoéquilibré < > = 0 ⇒ ∆∆∆∆V = 0σσσσ=

Etat ρρρρD (cm-2)

Monocristaux solidifiés avec précaution 10-2 - 10-3

Monocristaux recuits 10-5 - 10-6

Polycristaux recuits 10-6 - 10-7

Polycristaux fortement écrouis 10-9 - 10-12

∆∆∆∆V/V (b=3,1.10-10 m)

10-13 - 10-12

10-10 - 10-9

10-9 - 10-8

10-6 - 10-3

Par comptage

ρρρρD = NLV

NLL 3

NL 2

NS= ==

BB--III Action d’une Contrainte III Action d’une Contrainte ExterneExterne

B-III-1 Action d’une Contrainte Externe

B-III-2 Force de Peach-Köhler B-III-3 Interactions entre Dislocations

B-III-4 Déformation Plastique Macroscopique

B-III-5 Multiplication des Dislocations

IIIIII--1 1 Action d’une Contrainte ExterneAction d’une Contrainte Externe

Dislocation Existante

Création d’une Dislocation

E = ED + ET

Une Mesuredes Constantes ElastiquesNe Permet Pas de Détecterles DislocationsIl faut que la Dislocationse Déplaceinduisant une Déformation Plastique

l

∂∂∂∂V

V

tET

Les Efforts Externes créent Energie de Déformation Elastique ET indépendante de ED

T

T

L’ Equilibre Mécanique de la Dislocation ⇒ = =0 sur ∂∂∂∂VσσσσD=fD n

fDn

Avant coupure selon SD l’ Energie de Déformationvaut ET

SDn

bTD

Le Travail Dépensépour Translater de les Lèvres par l’action de imposée est égal à l’Energie de Dislocation EDTDb

L’ Energie de Déformationvaut alorsE = ED + ET ⇒⇒⇒⇒

uD

σσσσ=

Le Travail des Efforts Externes et du Champ de Contrainte Externe

dans le Champ de Déplacement induit par la Création de la Dislocation

T σσσσ=

uDest Nul WT+Wσσσσ=0

⇒⇒⇒⇒

Travail des Efforts Externes WT= dS ∂∂∂∂VT uD

Lorsque varie T

du

dW= ( + ) dS= dS=dET∂∂∂∂VfD T du

∂∂∂∂VT du

σσσσD=

ED

La Contrainte Interne de la Dislocationpiège une Energie de Déformation ElastiqueED

σσσσD=

Travail du Champ de Contrainte Externe Wσσσσ= ( )(- )dS=- ( ) dSσσσσ=SD

n bSD

bσσσσ= n∂∂∂∂VT uD dS= ( ) dS

SD

bσσσσ= n

=b( ∧∧∧∧ ) = b ( ∧∧∧∧ ) = bnF tf = σσσσ=n n σσσσ=n t n n σσσσ= v

IIIIII--2 2 Force de Force de PeachPeach--KöhlerKöhlerMouvement d’une Dislocation

Déplacement (s), s abscisse curviligne de la ligne l ⇒⇒⇒⇒δδδδx δδδδuD

δδδδuD

δδδδx

Travail des Efforts Externes

δδδδW= dS ∂∂∂∂VT δδδδuD

D’après∂∂∂∂VT uD dS= ( ) dS

SD

bσσσσ= n

=δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) dS SD

bσσσσ= n = ( )( ∧∧∧∧ )dsl

σσσσ=b t δδδδx = ( ∧∧∧∧ ) dsl

σσσσ=b t δδδδx

l

∂∂∂∂V

V

t

T

b

σσσσ=Force de Peach-Köhler

En écrivant ce travail sous la formeδδδδW= dsl

δδδδxF = ∧∧∧∧σσσσ=b tF

F

F est la Force par Unité de Longueur de Ligne de Dislocationtraduisant l’action du Champ de Contrainte Externe sur la Dislocationσσσσ=

Plan de Glissement et Cission résolue

F ⊥⊥⊥⊥ t

Le Plan de Glissementππππ est le Plan défini par les vecteurs et Unique pour les Dislocations Coinb t ⊥⊥⊥⊥ tb

ππππb

t

Cission résolueττττ : Composante de Cisaillementdans la direction du Glissement

v σσσσ=

n

t

vT

crée sur la Facette de ππππ de normale le vecteur contrainte σσσσ= vT =F

l

v

Forces de Montée et de Glissement

La composante fM ⊥⊥⊥⊥ ππππ est appelée Force de MontéeLa composante f Force de Glissementest la SeulePartie Active de à Basse TempératureF

⇒⇒⇒⇒

La relation entre la Cission résolueet laForce de Glissement f=ττττb

n σσσσ= vττττ =dont la composante ττττ dans la Direction du Glissement est

ττττ

= fM +fvF n fM

f

La Direction Effective du Glissementimposée par la structure atomique dans le Plan ππππ est celle de =bb n

n

µb1b2

8π(1-ηηηη)hf =b2σσσσxy = sin4ϕ= ϕ= ϕ= ϕ= f0 sin4ϕϕϕϕ

b1b2>0

b1b2<0

ff0

xh

ϕϕϕϕ→0

Attraction

Répulsion

hy

xz

vn

Plans de Glissement (x,z) // de normale y

IIIIII--3 3 Interactions entre DislocationsInteractions entre DislocationsInteraction Vis-Vis //

Interaction Vis // Surface Libre

Interaction Coin-Coin //

Joints de Grains

// deux dislocation Vis// admettent toujours un Plan de Glissement Commun : Interaction à Symétrie Radialetb

b1

t2

b2

t1

r

ϕϕϕϕ

z

2πrµb1b2f =

La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainteττττ

=σσσσ=0 0 00 0 10 1 0

µb12πr

= ∧∧∧∧σσσσ=b2 t2F

f

exerçant sur 2 une force = dirigée selon rf00

Répulsivesi b1b2>0 Attractivesi b1b2<0

Equilibre Surface libre ⇒ =0 σσσσ=x-b1t2⇒ Dislocation Vis - Image dans Miroir Surface

b1hz

xb1

t14πhµb1

2

f =-f

Toujours AttractiveLes Dislocations Vis et Coin

Sont attirées par la Surface Libre

b1

b2

⊥⊥⊥⊥

⊥⊥⊥⊥

t

La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte

=σσσσ=σxx σxy 0σxy σyy 00 0 σzz

f

exerçant sur 2 une Force de Glissementselon x f = b2n σσσσ= vϕϕϕϕ

rµb1

2π(1-ηηηη)rσσσσxy = cosϕϕϕϕcos2ϕϕϕϕ

l

θθθθ= bl

b1b2<0

Attraction |x|>|y|

Répulsion|x|<|y|Répulsion|x|>|y|

Attraction |x|<|y|

b1b2>0

Dipôles

Stable x=y

ππππ4ϕϕϕϕ=

Empilement Stable x=0

ππππ2ϕϕϕϕ=

IIIIII--4 4 Déformation Plastique MacroscopiqueDéformation Plastique MacroscopiqueGlissement Macroscopique Moyen

L

L

l

Grain de Polycristal Recuit ΦΦΦΦ=100 µm ρρρρD=108 cm-2 b=2,5.10-10 m ⇒⇒⇒⇒ γγγγ = 2,5%

la Dislocation se déplace induisant Glissement Macroscopique

ττττ

SLorsque la Dislocation a balayé la surface S=L lb

elle a produit un décalage bet un Glissement Macroscopique Moyen γ γ γ γ = b

L

Travail de ττττ : ττττL l b = fl L : Travail de f ⇒ f = ττττb

δδδδxδδδδS

δγ δγ δγ δγ =b =b =lδδδδxlL 2

δδδδxL2

bδδδδSV

Si V contient N Dislocationsde longueur l se déplaçant d’une Distance Moyenne lD γγγγ =Nδγδγδγδγ = blD=blDρρρρDNLV

Nécessité de Mécanismes de Création de Nouvelles Dislocations

Dislocations d’Accommodation géométrique

ρρρρG Densité de dislocations nécessaire pour courber une poutre au rayon R

Poutre Non Déformée Circuit de Bürgers ABCD

B

CD

A

B

C

B’

D

A

Poutre Déformée Circuit de Bürgers ABB’CD

⊥⊥⊥⊥b⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥

⊥⊥⊥⊥

BB’=Nb

ρρρρG = =NS

NABxCD

θθθθR

θ θ θ θ = =BB’AB

ABR ⇒⇒⇒⇒ ρρρρG =

1Rb

Avec b=2,5.10-10 m et ρρρρD=105 cm-2

R 1 m 10 cm 1 cmρρρρG (cm-2) 4.105 4.106 4.107

ρρρρG / ρρρρD 4 40 400

δγ δγ δγ δγ = bδδδδSV γγγγ =blDρρρρD

Sous l’action de la Cissionττττ induisant la Force f

f

ττττ

IIIIII--5 5 Multiplication des DislocationsMultiplication des Dislocations

A

B

Le Moulin de Frank – Read est un des mécanismes efficaces de Multiplication des Dislocations

Moulin de Frank – Read

Un segment de Dislocationde longueur L vecteur de Bürgersb est ancré en deux points A et B

A

B

L

b B

ττττ

R

Sous l’action de la Cission réduiteττττ qui s’exerce dans le plan de glissement il se courbe (Rayon R)

A

θθθθ

fds

T

L’arc dsest en équilibre sous l’action de la Forcefds=ττττbdset des Tensions de Ligne T fds=2Tsinθθθθ ≈ 2Tθ θ θ θ = TdsR

A

B

ττττFR

jusqu’àR= pour ττττ = ττττFR Contrainte Critique d’Activation du Moulin L2 T= µb21

2 ⇒⇒⇒⇒ ττττFR = µbL

où la recombinaison des portions de signes opposés éjecte une boucle qui se propage par glissement

A

B

et un nouveau segment AB

Un tel moulin peut produire jusqu’à 500boucles

PhotosJ.M. Marchon, G. Wyon

A

B

Lorsque ττττրրրր Rցցցց

qui démarre un nouveau cycle

BB--IV Les Obstacles IntrinsèquesIV Les Obstacles Intrinsèques

B-IV-1 La résistance du Réseau Atomique

B-IV-2 Ecrouissage et Réseau de Frank

B-IV-3 Résistance des Joints de Grains

B-IV-4 Ecrouissage et Restauration

A la barrière de potentiel ∆∆∆∆EPN entre vallées correspond une Cission Critique ττττPNRésistance du Réseaupour faire basculer les liaisons atomiques

ττττPN

IVIV--1 1 La Résistance du Réseau AtomiqueLa Résistance du Réseau AtomiqueForce de Peierls - Nabarro

Céramiques

Métaux

L’ Energie de Cœurest minimale lorsque la Dislocation suit une rangée atomique dense Vallée de Peierls

∆∆∆∆EPN

Si les vallées sont peu profondes le Passagene s’effectue pas d’un bloc mais Progressivementpar la Propagationd’un Décrochement

Liaison Ionique

Liaison Covalente

+ + + + + +

+ + + + + +

+ + + + + +

La Liaison Métallique est délocalisée peu sensible au rapprochement d’ions de même signe. Vallées de Peierlspeu profondes Force de Traînage Faible ττττPN ≈ E/1000

Faible Friction du Réseau

+ - + - + -

- + - + - +

+ - + - + -

Le Glissement amène des ions de même signe face à face Forte Dépensed’Energie Coulombienne

Vallées de Peierlstrès profondes Force de Traînage Forte ττττPN ≈ E/30

Forte Friction du Réseau

Les Céramiquessont intrisèquement fragiles maisDures (abrasifs, …).

Les Dislocationsrestent Rectiligneset leur Déplacement Quasi Impossibleà

l’ambiante.

La Rupture Brutale intervient Toujours avant la Plastification

Les Métaux sont intrinsèquement ductiles

Très Rigideet Directive Forte Dépensede Rupture des Liaisons

IVIV--2 2 Ecrouissage et Réseau de FrankEcrouissage et Réseau de FrankLe réseau de Frank

Dislocations mobiles : les Vis

Interaction avec la Forêt

Réseau Tridimensionnelde Densité ρρρρD formé par les Dislocationsinteragissant entre elles en se plaçant en position d’énergie minimaleDistance Moyenne des DislocationslD telle que lD

2 ρρρρD =1

Certaines sont dans des Plans de Glissements // à ππππ, d’autres percent ππππ ce sont les Arbres de la Forêt

Les Dislocations Coin se bloquent en formant des Dipôles Stables

Les Dislocations Vis changent facilement de Plans de Glissements au sein de la Forêt. Elles sont Mobiles

2πrµb2

f =D’après leur loi d’interaction Avec f = ττττb et r = lD la Cissionqui s’oppose à leur Mouvement ττττC≈ µb2π

ρρρρD

Deux Dislocations qui s’intersectent se combinent pour former une Dislocationde vecteur de Bürgers +et d’Energie

b1 b212

| + |2b1 b2µ

La Distance Moyenneentre deux Arbres Attractifs étant 2lDla Contrainte d’Activation des Moulins de Frank – Read ττττFR = µb

2lDρρρρD⇒⇒⇒⇒ ττττC = µb

2

Lorsque ρρρρD augmente ττττC augmente traduisant l’Ecrouissagedu Matériau à l’Echelle Macroscopique

Déplacer une Dislocation dans son Plan de Glissement ππππ implique de lui faire franchir les collinesd’Interaction avec ses voisines

ππππ

b1 b2• >0 Jonction Attractive et StablePoints d’ancrage des Moulins de Frank - Read

Attractif

Ancrage

b1 b2• >0 Jonction Répulsiveet franchissement par un Cran

Répulsif

Cran

IVIV--4 4 La Résistance des Joints de GrainsLa Résistance des Joints de Grains

Lorsque ττττ - ττττPN atteint le Seuil d’Activation ττττFR des Sources de Dislocations, les Dislocations crées viennent s’accumuler aux Joints de Grainsjusqu’à ce que les Forces en Retour exercées par ces Empilements sur les Sources viennent les Tarir Contention par les grains voisins moins bien orientés travaillant en régime élastique

A Basse Températurele Durcissementpar les Jointsest d’autant plus Elevéque les Grains sont plus Petits

Limite Elastique d’un Grain ττττY

Le Polycristal est constitué de Grains de taille moyenne ΦΦΦΦ d’orientations différentes séparées par des Joints de Grains

Limite Elastique Initiale

ττττY = ττττPN

Limite élastique Ecrouie

Lorsque la Contrainte appliquéeττττ devient supérieure à la Résistance de RéseauττττPN le Glissementdes Dislocationss’amorce dans les Grains les plus favorablement orientésvis à vis de ττττ

ττττ = ττττPN ττττ = ττττY = ττττPN + ττττFR

γγγγ =bΦΦΦΦ ρρρρ

Source

ττττ > ττττPN

ρρρρրրրրγγγγ

ττττFR ≈ ≈ µbµbΦΦΦΦ ρρρρ Ecrouissage

Loi de Petch ττττY - ττττPN = µ = kγγγγbΦΦΦΦ1

ΦΦΦΦ1

caractérisant la Résistance ττττJG des Joints de Grain

Lorsque ττττ -րրրր la Concentration de Contrainte au Joint active les Sources proches des Grains voisins et le Glissement se propage progressivement de Grains en Grains

PhotoP. Mussot Cuécroui à 20%

IVIV--4 4 Ecrouissage et RestaurationEcrouissage et RestaurationEcrouissage

Restauration

ττττ < ττττPN Dislocations ImmobilesComportement Parfaitement Elastique

ττττ > ττττFR ρρρρDրրրր Densification du Réseau de Frank, Formation d’écheveaux fortement stabilisés, EcrouissageDurcissementpar Freinage du Mouvement au sein de la Forêt, Déformation Plastique Croissantejusqu’auBlocageprovoquant laRupture

ττττPN < ττττ < ττττFR Formation d’arcs entre points d’ancrageBalayage Réversible avec Hystéresisεεεε élastiquesupplémentaire Comportement Anélastique Dissipatif

Ecroui à 15% formation d’amasEcroui

1 µm

Hastalloy Recuit

PhotosCEA-SRMA

Déblocagedu Réseaupar Diffusion des Atomessous Activation Thermique provoquant leDésancragedesDislocations qui quittent leur plan de glissement parMontée avec Annihilation desDipôles et

Formation de Parois de Dislocations⇒ Création de Sous Grains Polygonisationsuivie d’une Recristallisation sil’ Ecrouissage a étésuffisant⇒⇒⇒⇒ Nouvelle Structurede Grains à Faible Densité de DislocationàDureté Abaisséeet à Capacité d’EcrouissageRestaurée

C’est tout l’Art du Forgeron qui alterne Ecrouissage Mécaniqueet Recuit de Restauration

La Taille desGrains Recristallisés est une fonctionրրրր deT deRecuit etցցցց du Taux d’Ecrouissage Préalable

BB--V Les Obstacles EtrangersV Les Obstacles Etrangers

B-V-1 Durcissement Solutions Solides et Précipités

B-V-2 Vers la Plasticité Macroscopique

VV--1 1 Durcissement Solutions Solides et PrécipitésDurcissement Solutions Solides et PrécipitésSolution Solides

Contrainte Critique ττττSSR∼ c concentration en solutéc

La différence de diamètre entre les atomes de laSolution et duSoluté crée desContraintes qui rendent le plan deglissementRugueux, augmentant laRésistance au mouvement desDislocations. (Laiton : Cu-Zn jusqu’à 30%)

Efficace à l’ambiante ceDurcissement perd son efficacité à chaud par diffusion duSoluté ⇒⇒⇒⇒ DésancrageetFluage

PrécipitésFormation de Précipités Stables Petitset Durs par trempe d’une solution Solide Sursaturée

La Contrainte Critique րրրր lorsque la distance entre précipitésցցցց, Le Durcissementmaximal est produit par des précipités à dispersoïdes durs et rapprochés.

Cisaillement des petitsprécipités Contournement des gros précipités

ττττORL

R

ττττ

avec abandon de boucles

Mécanisme d’Orowan analogue à celui du Moulin de Frank - Read

ττττOR =µb

L -2R

ΦΦΦΦ

ττττCP

L

w

T

K

En Limite d’Arrachement

K - ττττCP b w = 2 T cosΦΦΦΦK Résistancedu Précipité

Equilibre de l’Arc ττττCPb b (L -w) = 2 T cosΦΦΦΦ

ττττCP =KLb

VV--2 2 Vers la Plasticité MacroscopiqueVers la Plasticité MacroscopiqueCourbe de Consolidation

La Limite d’Ecoulement ττττY résulte des diverses contributions à la Résistance auMouvementdes Dislocations

ττττY = Max ττττPN, ττττSS, ττττCP , ττττOR+k + µbΦΦΦΦ1 ρρρρ

DurcissementdeJoints deGrain k

Durcissementd’Ecrouissage ≈ µbΦΦΦΦ1

ρρρρ

Résistancedu Réseau Atomique ττττPN

DurcissementdeSolution Solide ττττSSDurcissement dePrécipités etParticules ττττCP , ττττOR

Monocristal

Polycristal

Critère de PlasticitéLoi d’Ecrouissage

Loi d’Ecoulement Plastique

Echelle Microscopique

Echelle Mésoscopique

Echelle Macroscopique

Même si le Passage Quantitatif Micro – Macro se heurte à de Nombreuses Difficultés, la Compréhension Qualitative des Mécanismes deGlissement Plastiqueest un Guide précieux pour l’élaboration de Nouveaux Matériaux

PlusieursSystèmes deGlissement Facile ⇒ PlusieursFonctions de ChargeLoi d’évolution desContraintes Critiques ττττC (Paramètres d’écrouissage) et desDensités de Dislocation ρρρρ avec l’Ecoulement Plastique

Caractérisation de la Fraction ρρρρm et de la Vitesse Moyenne v des DislocationsMobiles et de leur évolution avec laContrainte Appliquée σσσσ

Aux Difficultés Précédentess’ajoutent celles liées à la Présencedes Joints de Grains

Nature des Interactions entre Dislocationde Réseauet Défautsconstituant le Joint Site privilégié de Ségrégation d’impuretés, Précipités, …

Hétérogénéitéde Comportementdu Grain . La Zone Cristalline Prochedu Joint étant Riche en Défautset Plus Ecrouieque l’Intérieur du Grain

Frontière d’Orientation entreGrains, Déformations Plastiques Incompatibles⇒⇒⇒⇒ Fluctuation Importante desContraintes Locales

Plasticité à Haute Plasticité à Haute TempératureTempérature

C-I Le Fluage

C-II Origines du Fluage

CC--I Le FluageI Le Fluage

C-I-1 Fluage et Température de Fusion

C-I-2 Fluage et Contrainte Visqueuse

C-I-3 Le Fluage Secondaire

II--1 1 Fluage et Température de FusionFluage et Température de Fusion

Sous l’action de Chargesqui, à Température Ambiante ne provoquent pas de Déformations Permanentes, les Matériaux commencent à Fluer de manière Irréversible lorsque la Température Augmente

BasseTempérature

Haute Température

La Déformation est Indépendantedu Temps: Plasticité

La Déformation est fonction du Tempset de la Température : Visco-Plasticité

La Température à laquelle un Matériau commence à Fluer est une fonction de sa Température de Fusion Tf (°K) ou de sa Température de Ramollissement (Transition Vitreuse Tg )des Polymères

Le Fluageest une Déformation Lente et Continue fonction du Temps, de la Température et de la Contrainte Appliquée

Le Fluage

La Température de Fusion

Fluage Métaux Céramiques PolymèresT > 0,3-0,4 T f 0,4-0,5 T f Tg

Plomb

Tungstène

Glace

T f > 3000 °K Ambiante T = 300 °K Très BasseTempératureAmpoule Electrique T = 2000 °K HauteTempérature

Fluage du filament sous poids propre l’ampoule grille par court circuit entre spires

T f = 600 °K Ambiante T = 300 °K HauteTempérature

Fluage Lent sous poids propre

T f =273 °K T <≈ T f Très HauteTempérature Fluage des Glaciers et Calottes Glaciaire

=f( ,t,T)σσσσ=εεεεV=

=f( )εεεεP= σσσσ=

II--2 2 Fluage et Contrainte VisqueuseFluage et Contrainte VisqueuseEssai de Fluage Traction Simple sous Charge et Température Constantes

t

εεεεV

Fluage Primaire ցցցց tandis que le Matériau se DurcitεεεεV•

Observable Seulement à BasseTempérature T < 0,3 T f

Loi empirique εεεεV =ALn(1+t/t0)Secondaire

Fluage SecondaireεεεεV•= Cte Fluage Stationnaire εεεεV•

Prépondérantdès que T > 0,3 T f

Loi empirique de Norton

εεεεV• =( )Mσσσσ-σσσσS

K

Rupture

Fluage Tertiaire րրրր tandis que le Matériau s’Endommage Rapidement(Cavités, Déformations Localisées,…)εεεεV•

Contrainte Visqueuse

L’ Elasto-Visco-Plasticitéprésente, comme l’Elasto-Plasticité, une Déformation Permanenteaprès Décharge

A

A

B

B

C

C

La ViscositéInterdit les Déformations PlastiquesInstantanées εεεε=εεεεE+εεεεV avecεεεεV=f(t) ou εεεεV=f( ) Vitesse de Chargeεεεε•

σσσσ

ε ε ε ε ≈ εεεεV

εεεε•0

Plasticité Ecrouissante

→→→→ 0 Plasticité EcrouissanteClassiqueεεεε•

t

εεεε

La Viscositése manifeste également par le Retard à la Déformation lors des Changements de Vitesse de Charge

∞∞∞∞Plasticité Instantanée

εεεε• →→→→ ∞∞∞∞ Plasticité Instantanéeà Grande Vitesse

Saturation

Avec αααα Paramètre d’Ecrouissage

σσσσ(εεεεV, αααα)= σσσσP(εεεεV, αααα)+ σσσσV( , αααα)εεεεV•σσσσP

σσσσP(εεεεV, αααα) Contrainte Plastique

σσσσV

σσσσV( , αααα) Contrainte Visqueuse→→→→ 0 quand →→→→ 0εεεε•εεεεV•

II--3 3 Le Fluage SecondaireLe Fluage SecondaireLe palier Athermique

La Dépendance en Contrainte

La Dépendance en Température

La Dépendance en Temps

La Conception des pièces de fluage

Expérimentalement =f(T, ) →→→→ Constante pour T > TC ≈ 0,2-0,3 T fERP εεεε•

Loi empirique de Norton εεεεV• =( )Mσσσσ-σσσσS

K0,3 T f < T < T f

LorsqueT > 0,5 T f σσσσS = 0 =( )MεεεεV• σσσσ

KM = 3-8 fonction duMatériau

A σσσσ Cte et T > 0,5 T f suit une Loi d’ArrheniusεεεεV•

LorsqueT > 0,7 T f et σσσσ faible M =1 ∀ Matériau

ERP

T f

T0,1 0,2 0,3 0,4

εεεε•

TC

εεεεV• =Cexp(- )QRT

R Cte des Gaz parfaits et Q énergie d’activation thermique égale à l’énergie d’autodiffusion QA pour les métaux purs

Métal M Q QA (kcal/mole)

Al 4,4 34 34Cu 4,8 48,4 47,1Ni 4,6 66,5 66,8Zn 6,1 21,6 24,3

T = Cte

M

Ln σσσσ

Ln εεεεV• Ln εεεεV•σσσσ = Cte

T1R

Q-

=( )MεεεεV• σσσσ

Kexp(- )

QRTLoi de Monkman - Grant

( )qtR=CMG Cte du Matériau q ≈≈≈≈ 1εεεεV•

Durée deVie àRupture tR ≈ CMG( )Mσσσσ

Kexp( )

QRT

Pour une Durée de Vie Prévuet et des conditions de fonctionnement données en Température et en Contrainte :• La Déformation de Fluage εεεεf doit être compatible avec la fonction e la pièce (Ex. Ailettes de Turbo Réacteurs)• La Ductilité en FluageεεεεfR (Déformation à rupture) doit être Supérieureà εεεεf• La Durée de Vie à RupturetR doit être Supérieure(avec un facteur de Sécurité) à la Durée de Vie Prévue t

CC--II Origines de FluageII Origines de Fluage C-II-1 Les Mécanismes du Fluage C-II-2 La Diffusion dans les Solides C-II-3 Les Modes de Fluage C-II-4 Le Fluage Dislocation Montée-Glissement

C-II-5 Le Fluage Dislocation Ecrouissage-Restauration

C-II-6 Le Fluage Diffusion C-II-7 Les Cartes de Fluage

IIII--1 1 Les Mécanismes du FluageLes Mécanismes du FluageUneBonne Tenue auFluage nécessite uneTempérature de Fusion Tf élevée

BasseTempérature T < 0,3 Tf : Domaine de la Plasticité Le Fluageest Négligeable :

Le Matériau ne peut se Déformer de manière Permanenteque si la Contrainte appliquée σσσσ est Suffisantepour que les Dislocations, assujetties à Resterdans leur Plan de Glissement, puissent franchir les Obstacles

Intrinsèques (Friction de Réseau, Forêt de Frank) ou Etrangers (Solutés, Précipités).

MoyenneTempérature 0,3 Tf < T < 0,7 Tf : Domaine du Fluage Dislocation

Haute Température T > 0,7 Tf : Domaine du Fluage Diffusion

La Dépendance en Température du Fluageest toujours contrôlée par la Diffusion (Thermiquement Activée)

La Dépendance en Contrainte du Fluageest contrôlée par :

• Les Obstacles à Franchiren Fluage Dislocation(Loi de Norton d’exposant M )• Le Contrôle du Flux de Diffusiond’atomes par la Contrainte σσσσ en Fluage Diffusion ( ~ σσσσ, M=1)εεεεV•

Création de Déformations Permanentespar Modification de la Forme des Grains sous l’action d’une Diffusion Rapide d’Atomes au sein des Grains, Diffusion Anisotrope Dirigéepar la Contrainte σσσσ Appliquée

Les Dislocations Libéréespar la Diffusion des Atomespeuvent Franchir les Obstaclespar Changementde Plande Glissementsous l’action de la Force de Montée. LeurMouvement est responsable de laDéformation

PermanenteetContinue duFluage Secondairequi intervient sous l’action d’une Contrainte σσσσ appliquée PlusFaible que celle nécessaire en Plasticitéà BasseTempérature en l’absence d’Activation Thermique

IIII--2 2 La Diffusion dans les SolidesLa Diffusion dans les SolidesLe Coefficient de Diffusion

Dans les Solidesles atomes peuvent sauter d’un site atomique à l’autrelorsqu’ils acquièrent, par agitationthermique, une énergiesupérieure à la barrière énergétiqueséparant deux sites voisins.

Le Coefficient de Diffusion D varie avec la Température selon une Loi d’Arrhenius caractéristique des processus thermiquement activés

D=D0exp(- )QRT

Les Chemins de Diffusion en Volume

Les Chemins de Diffusion Rapide

Pour une Classede Matériaux donnée D0 ≈ Cteet Q proportionnel à T f

Matériaux D0 m2s-1 Q/RTf

Cubique Centré W, Mo, Fe <911°C,… 1,6.10-4 17,8Hexagonaux Zn, Mg, Ti,… 5.10-5 17,3Cubique Face Centrée Cu, Al, Ni, Fe >911°C,… 5.10-5 18,4Oxydes MgO, FeO, Al2O3,… 3,8.10-4 23,4

Le Fluagest un phénomène Diffusifcontrôlé par la Température de Fusion T

T fεεεεV• =Cexp(- )QRT f

Diffusion Interstitielle despetits Atomes C, O, N, B, H

Fe

C

Cu Zn Diffusion Lacunaire des Atomes de taille comparable au constituant majeur vers les

sites cristallins vides

δδδδ

Le Joint de Grain se comporte comme un canal plande largeur δδδδ ~2-4b

Le Cœur de Dislocationse comporte comme un tube de section ~2b2

Le Coefficient de Diffusion Localest très Supérieur au Coefficient de Diffusion en Volume

La Contribution des Chemins Rapidesau Flux de Diffusion est fonction de la Densitéde Joints et de Dislocations Lorsque lesGrains sontPetits et lesDislocations Nombreuses leur contribution peut devenirprépondérante dans

certains domainesde Température T et deContrainte σσσσ appliquées

IIII--3 3 Les Modes de FluageLes Modes de FluageFranchissement des Obstacles

Les Dislocationsdoivent Franchir des Obstaclescaractérisés par leur Barrière Energétiqueq0, et leur PortéeL

Le Fluageest contrôlé par les Obstacles FortsPrécipitéset Réseau de Frank

Sous Agitation ThermiqueT >0,3 T fle Franchissementdes Obstacles

Forts à longue portéeest IrréversibleFaiblesà courte portéeest Réversible

q0 L ObstaclesFaible < 0,2 µb3 ~1-10 b Friction réseau Solutions solidesMoyen 0,2 –1 µb3 ~100-1000 b Réseau de Frank Précipités cisaillésFort >≈ µb3 ~100-1000 b Précipités contournés

Fluage Dislocation

Contrainte InterneUn fois les Obstacles Franchis, le Glissementne peut se produire que si la Contrainte appliquée σσσσ > σσσσS

Contrainte Interne Moyenne résultant des actions àlongue portéedes Autres Dislocations

σσσσS est fonction de la Température T (par l’intermédiaire des Modules Elastiques) et du Taux de Déformationqui contrôle l’évolution des Cellules de Dislocationdu Réseau de Frank

εεεεV•

L’action d’une Contrainte σσσσ fournit à l’atome devolume Ω Ω Ω Ω uneEnergie Mécanique σσσσΩΩΩΩ, induisant un Flux deDiffusion en Facilitant

le Sautdans la Direction de la Contrainte Appliquée

σσσσ

<v> = v+ - v- = 2 v0 exp(- ) sh( )σσσσΩΩΩΩkT

qkT

<v> = v+ - v- = 0

Fluage Diffusion

La Contrainte appliquée σσσσ contrôle le Flux de Diffusion

v- = v0 exp(- )q+σσσσΩΩΩΩ

kT

q+ σσσσΩΩΩΩ

v+ = v0 exp(- )q-σσσσΩΩΩΩkT

q- σσσσΩΩΩΩ

v = v+ = v- = v0 exp(- )q

kT

v+

v-

Distance

q

Energie

D = D0 exp(- ) sh( )σσσσΩΩΩΩkT

QRT

Sous l’action de l’Energie d’agitation thermique kT, les Fréquences de Saut v+ et v- de la barrière énergétique qsont égales v+

v-σσσσ

IIII--4 4 Le Fluage Dislocation Le Fluage Dislocation ((MontéeMontée GlissementGlissement))

Obstacle Fort : PrécipitéLa Réaction f0 d’un Précipité sur une Dislocation Ancréeéquilibre

f0fM

• La Force fM qui tend à faire Monter la DislocationHors de son Plan

⇒⇒⇒⇒ Diffusion desAtomesT > 0,3 T f Agitation Thermique

⇒⇒⇒⇒ Montée desDislocation sous l’action defM

La Répétition du MécanismeMontée–Glissementtraduit la natureContinueet ProgressiveduFluage Macroscopique

0,3 Tf <T< 0,7 Tf Diffusion des Atomes dans le Tube de la Dislocation: Domaine deFluage Dislocation parDiffusion deCœur

T> 0,7 Tf Diffusion des Atomes dans le Volume du Cristal: Domaine deFluage Dislocation parDiffusion enVolume

Plusσσσσ appliquée րրրր plus fM րրրր plusGrand est le Flux de Dislocations DésancréesplusGrande est leur Vitesse de Glissementet plus est ElevéeεεεεV•=( )M

εεεεV• σσσσK

exp(- )QRT

Le Fluage Dislocationn’est Important que dans unDomaine deContrainte σσσσ proche de laLimite Elastique

Vitesse de Déformation Macroscopiquede Fluage εεεεV•

M >> 1 ⇒⇒⇒⇒ lorsque σσσσցցցց alors ցցցց Très Rapidement ⇒⇒⇒⇒εεεεV•

Mécanisme deMontée

T < 0,3 T f PlasticitéClassique ττττ > ττττOR Franchissement parContournementdans le Plan de Glissement avec abandon d’une boucle

ττττ

fG

• La Force fG= ττττb qui tend à faire Glisser la DislocationDans son Plan

Mécanisme deGlissement

PuisGlissement si σσσσ > σσσσS Contrainte Interne Moyenne résultant des actions àlongue portéedes Autres Dislocations

IIII--5 5 Le Fluage Dislocation Le Fluage Dislocation ((EcrouissageEcrouissage RestaurationRestauration))

Taux de Consolidation

Fluage Stationnaire : Réseau de FrankLe Régime Stationnairerésulte de la Compétition entre l’Ecrouissageassocié à րրրր de la Densité de DislocationsρρρρD et la Restaurationassociée à sa ցցցց par recombinaison de paires (+-) se rapprochant au cours du Mouvement régi par la Diffusion

εεεεV• = Cte⇒⇒⇒⇒ σσσσS = Cte ⇒⇒⇒⇒ dσσσσS

dt∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂εεεε t

∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂t εεεε= + =0εεεεV•

∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂εεεε tTaux de Consolidation h =

∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂t εεεεVitesse de Restauration r =-

hrεεεεV• =

Vitesse de Restauration

Réseau de Frank: Cellules de Dislocationsde Taille Moyenne l ⇒⇒⇒⇒ σσσσS =µbl

Les Dislocations mobilesglissent sur une distance l et la Déformation Macroscopique εεεε = ρρρρmbl = α α α α ρρρρDbl

Avec ρρρρDl2 = 1 εεεε = ααααbl

σσσσS = εεεεµαααα

∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂εεεε th = = =Cte

µαααα

EcrouissageLinéaire

Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage εεεεV•

Pour Minimiser l’Energie, le Réseau de Franktend à ցցցց le Nombre de ses Cellulesen րրրր leur Taille l

∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂t εεεε

∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂l εεεεr =- =-

dldt

La Croissance des Celluless’effectuant par Montéed’ Arcs de Dislocationpar Diffusion de Lacunessur la distance l

dldt

1l= D0exp(- )

QRT

σσσσSb3

kT∂∂∂∂σσσσS

∂∂∂∂l εεεε- = ⇒⇒⇒⇒µb

l2r = exp(- )

QRT

D0bkT

σσσσS4

µ2

= αexp(- ) QRT

D0bkT

σσσσ4

µ3hrεεεεV• =

correspondant à un exposant de Norton M = 4

Dl

dldt

≈lt =La loi de Diffusion l2=Dt ⇒⇒⇒⇒

Volume des Lacunes ΩΩΩΩ ≈≈≈≈ b3 sh( ) ≈σσσσSΩΩΩΩkT

σσσσSb3

kT

A σσσσ et T fixés, prend une valeur telle que σσσσS(T, )=σσσσεεεεV•εεεεV•

D = D0 exp(- ) sh( )σσσσSΩΩΩΩkT

QRT

contrôlant le Flux de Lacunes

D(σσσσS,T) étant leCoefficient deDiffusion sousContrainte

IIII--6 6 Le Fluage DiffusionLe Fluage Diffusion

Diffusion Lacunaire

Diffusion en Volume T > 0,7T f

Diffusion aux Joints 0,5T f < T < 0,7T f

n σσσσn σσσσ n

Création d’une Lacune ≡ Ejection d’un Atome

Équilibre ThermiqueBarrière q

Concentrationc0

Face en TractionBarrière q-σσσσΩΩΩΩ

Concentrationc+=c0exp(σσσσΩΩΩΩ))))

Face en CompressionEnergie q -σσσσΩΩΩΩ

Concentrationc-= c0exp(-σσσσΩΩΩΩ)

Diffusion desLacunes et desAtomes

Monocristal : cube d’arêted sans dislocations et en Cisaillementpur σσσσ

σσσσ

σσσσσσσσ

d

c+

c-

Vitesse de Fluage

c0 = =NV

n0b3n0 fraction atomique de lacunes à l’équilibre thermique

Flux de Lacunes ⇒ Flux opposéd’Atomes (Coefficient de Diffusion D = DL n0 = DL c0b3)

Un atome (volume b3) sortant par une face en Tension (aire d2)

εεεεV δdd

δ = = b3

d3et une déformation élémentaires

σσσσb3

kTc+ - c-

dsh( ) ≈ 2c0DL à Faible ContrainteσσσσΩΩΩΩ

kTΦ Φ Φ Φ = SDL∇∇∇∇c ≈ SDL = 2c0DLSd

Sd

σσσσb3

kTΦ Φ Φ Φ = D sh( ) S

db3

S = d2 εεεεV• ~ Dd2

σσσσb3

kT

εεεεV• ~ DδδδδJ

d3σσσσb3

kT

εεεεV• ~ σσσσ ComportementVisqueux Newtonien (Norton M=1)

D = D0 exp(- )Q

RTεεεεV• ~ Vitesse de Fluageրրրր avec T

εεεεV• ~ 1

d2Vitesse de Fluageրրրր quand la Taille d du Grain ցցցց

Fluage Diffusion

Loi de Fick : Flux en nombre de Lacunes (Coefficient Diffusion DL) traversant S

S

S = ddJ

δδδδJ

S

b3

d2δd =

δd

produit un allongement

A ΦΦΦΦ correspond la Vitesse de Fluage εεεεVεεεεV• = Φ Φ Φ Φ δ = ΦΦΦΦ b3

d3

ΦΦΦΦ

IIII--7 7 Les Cartes de FluageLes Cartes de Fluage

0,30 0,5 0,7 1

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

10-6

Cartes adimensionnelleindiquant lesdomaines deContrainte et deTempérature desMécanismesdeFluage

TTf

En abscisse : Température réduite TTf

En ordonnée : Contrainte équivalente réduiteσσσσµµµµ

σσσσ = 12 σσσσ=Tr ( D

2)σσσσµµµµ avecPlasticité

Résistance théorique

Résistanceau Fluage

Température de fusionT f élevée

En fluage dislocation, important sousforte contrainte : Multiplier les obstacles au mouvement des dislocations (précipités stablesà la température d'usage) et matériaux àforte friction intrinsèque de réseau(liaisons covalentes de nombreux oxydes,

silicates, carbures et nitrures)

Le fluage diffusion est important quand les grains sont petits et la pièce soumise à de faibles contraintesàhaute température (les céramiques se déforment de manière prépondérante par ce mécanisme les grains étant de petite

taille et la friction intrinsèque de réseau, qui supprime le fluage en loi puissance, importante)

Accroître la taille de grain par des traitements thermiques adaptés(afin que les distances de diffusion soient élevées et la diffusion aux joints négligeable) et forcer une précipitation intergranulairepour bloquer le

glissement aux joints améliorela résistance au fluage diffusion.

Fluage Dislocation

Fluage DiffusionElasticité

Palier athermiqueLignes de Vitesse de DéformationConstante

εεεεV• Tr ( 2)= 2 εεεε=• (s-1)

10-2

10-4

10-6

10-0

10-9

10-7

10-10

Coeur

Volume

VolumeJoints deGrains