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4 AAA2014/20151. INTRODUCTION Les plans d'expriences permettent d'organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des tudes industrielles . Ils sont applicables de nombreuses disciplines et toutes les industries partir du moment o lon recherche le lien qui existe entre une grandeur dintrt, y, et des variables, xi. Il faut penser aux plans d'expriences si lon sintresse une fonction du type : y =f(x)LES PLANS DEXPERIENCES Avec les plans d'expriences on obtient le maximum de renseignements avec le minimum d'expriences. Pour cela, il faut suivre des rgles mathmatiques et adopter une dmarche rigoureuse . Il existe de nombreux plans d'expriences adapts tous les cas rencontrs par un exprimentateur. Les principes fondamentaux de cette science seront indiqus et les principaux plans seront passs en revue. La comprhension de la mthode des plans d'expriences s'appuie sur deux notions essentielles, celle d'espace exprimental et celle de modlisation mathmatique des grandeurs tudies. 1.1 Notion d'espace exprimental Un exprimentateur qui lance une tude s'intresse une grandeur qu'il mesure chaque essai. Cette grandeur s'appelle la rponse, c'est la grandeur d'intrt. La valeur de cette grandeur dpend de plusieurs variables. Au lieu du terme variable on utilisera le mot facteur. La rponse dpend donc de un ou de plusieurs facteurs. Le premier facteur peut tre reprsent par un axe gradu et orient (Figure 1). La valeur donne un facteur pour raliser un essai est appele niveau. Lorsqu'on tudie l'influence d'un facteur, en gnral, on limite ses variations entre deux bornes. La borne infrieure est le niveau bas. La borne suprieure est le niveau haut.

Figure 1 : Le niveau bas du facteur est not par - 1 et le niveau haut par +1. Le domaine de variation du facteur est constitu de toutes les valeurs comprises entre le niveau bas et le niveau haut. S'il y a un second facteur, il est reprsent, lui aussi, par un axe gradu et orient. On dfinit, comme pour le premier facteur, son niveau haut, son niveau bas et son domaine de variation. Ce second axe est dispos orthogonalement au premier. On obtient ainsi un repre cartsien qui dfinit un espace euclidien deux dimensions. Cet espace est appel l'espace exprimental (Figure 2).

Le niveau x1 du facteur 1 et le niveau x2 du facteur 2 peuvent tre considrs comme les coordonnes d'un point de l'espace exprimental (Figure 3). Une exprience donne est alors reprsente par un point dans ce systme d'axes. Un plan d'expriences est reprsent par un ensemble de points exprimentaux.

Figure 3 : Dans l'espace exprimental, les niveaux des facteurs dfinissent des points exprimentaux. Le regroupement des domaines des facteurs dfinit le domaine d'tude. Ce domaine d'tude est la zone de l'espace exprimental choisie par l'exprimentateur pour faire ses essais. Une tude, c'est--dire plusieurs expriences bien dfinies, est reprsente par des points rpartis dans le domaine d'tude (Figure 4). Cette faon de reprsenter une exprimentation par des points dans un espace cartsien est une reprsentation gomtrique de l'tude. Une autre reprsentation d'une tude sera introduite au paragraphe 2.1.

Figure 4 : Les points exprimentaux sont disposs dans le domaine d'tude dfini par l'exprimentateur Les dfinitions qui ont t donnes s'appliquent bien aux variables continues. Mais il existe d'autres types de variables. Il y a les variables discrtes comme par exemple des personnes : Ali, Sad, Nora, Salim et Sara. On peut encore parler d'espace exprimental mais il n'aura pas les mmes proprits que l'espace des variables continues. Il y a galement les grandeurs ordonnables comme, par exemple, des distances qui peuvent tre courtes, moyennes et longues. L aussi, la notion d'espace exprimental existe toujours mais cet espace possde des proprits diffrentes des deux premiers. 1.2 Notion de surface de rponse Les niveaux xi reprsentent les coordonnes d'un point exprimental et y est la valeur de la rponse en ce point. On dfinit un axe orthogonal l'espace exprimental et on l'attribue la rponse. La reprsentation gomtrique du plan d'expriences et de la rponse ncessite un espace ayant une dimension de plus que l'espace exprimental. Un plan deux facteurs utilise un espace trois dimensions pour tre reprsent : une dimension pour la rponse, deux dimensions pour les facteurs. A chaque point du domaine d'tude correspond une rponse. A l'ensemble de tous les points du domaine d'tude correspond un ensemble de rponses qui se localisent sur une surface appele la surface de rponse (Figure 5). Le nombre et l'emplacement des points d'expriences est le problme fondamental des plans d'expriences. On cherche obtenir la meilleure prcision possible sur la surface de rponse tout en limitant le nombre dexpriences.

1.3 Notion de modlisation mathmatique On choisit a priori une fonction mathmatique qui relie la rponse aux facteurs. On prend un dveloppement limit de la srie de Taylor-Mac Laurin. Les drives sont supposes constantes et le dveloppement prend la forme d'un polynme de degr plus ou moins lev :

o y est la rponse ou la grandeur d'intrt. Elle est mesure au cours de l'exprimentation et elle est obtenue avec une prcision donne. xi reprsente le niveau attribu au facteur i par l'exprimentateur pour raliser un essai. Cette valeur est parfaitement connue. On suppose mme que ce niveau est dtermin sans erreur (hypothse classique de la rgression). a0, ai, aij, aii sont les coefficients du modle mathmatique adopt a priori. Ils ne sont pas connus et doivent tre calculs partir des rsultats des expriences. L'intrt de modliser la rponse par un polynme est de pouvoir calculer ensuite toutes les rponses du domaine d'tude sans tre oblig de faire les expriences. Ce modle est appel "modle postul" ou "modle a priori". 1.4 Le modle de l'exprimentateur Deux complments doivent tre apports au modle prcdemment dcrit. Le premier complment est le "manque d'ajustement". Cette expression traduit le fait que le modle a priori est fort probablement diffrent du modle rel qui rgit le phnomne tudi. Il y a un cart entre ces deux modles. Cet cart est le manque d'ajustement (lack of fit en anglais). Le second complment est la prise en compte de la nature alatoire de la rponse. En effet, si l'on mesure plusieurs fois une rponse en un mme point exprimental, on n'obtient pas exactement le mme rsultat. Les rsultats sont disperss. Les dispersions ainsi constates sont appeles erreurs exprimentales. Ces deux carts, manque d'ajustement et erreur exprimentale, sont souvent runis dans un seul cart, note e. Le modle utilis par l'exprimentateur s'crit alors :

1.5 Systme d'quations Chaque point exprimental permet d'obtenir une valeur de la rponse. Cette rponse est modlise par un polynme dont les coefficients sont les inconnues qu'il faut dterminer. A la fin du plan d'expriences, on a un systme de n quations (s'il y a n essais) p inconnues (s'il y a p coefficients dans le modle choisi a priori). Ce systme s'crit d'une manire simple en notation matricielle :

y : est le vecteur des rponses. X : est la matrice de calcul, ou matrice du modle, qui dpend des points exprimentaux choisis pour excuter le plan du modle postul. A: est le vecteur des coefficients. e: est le vecteur des carts. Ce systme possde un nombre d'quations infrieur au nombre d'inconnues. Il y a n quations et p + n inconnues. Pour le rsoudre, on utilise une mthode de rgression base sur le critre des moindres carrs. On obtient ainsi les estimations des coefficients que l'on note : Le rsultat de ce calcul est :

=(XX)-1 Xy {4}

Formule dans laquelle la matrice 'X est la matrice transpose de X. De nombreux logiciels excutent ce calcul et donnent directement les valeurs des coefficients. Deux matrices interviennent constamment dans la thorie des plans dexpriences La matrice dinformation . XXLa matrice de dispersion . (XX)-1

Nous allons maintenant appliquer les notions et les proprits que nous venons de dcrire aux plans dexpriences les plus classiques. Nous verrons successivement les plans suivants : Plans factoriels complets deux niveaux. Plans factoriels fractionnaires deux niveaux. Autres plans deux niveaux. Plans plusieurs niveaux. Plans pour surfaces de rponse. Plans de mlanges.

2. PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX Ces plans possdent un nombre de niveaux limit deux pour chaque facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectues au cours de l'exprimentation. Ces plans peuvent tre utiliss indistinctement pour les variables continus et pour les variables discrtes. 2.1 Plan deux facteurs Pour deux facteurs, le domaine d'tude est un carr (en units codes). Par exemple, la Figure 6 reprsente un plan factoriel complet deux facteurs. Le modle mathmatique postul est un modle du premier degr par rapport chaque facteur : Y = a0 + a1x1+a2x2+a12x12+e {5}. y est la rponse xi reprsente le niveau attribu au facteur i. a0 est la valeur de la rponse au centre du domaine d'tude. a1 est l'effet (ou effet principal) du facteur 1. a2 est l'effet (ou effet principal) du facteur 2. a12 est l'interaction entre les facteurs1 et 2. e est l'cart.

On dmontre que les meilleurs emplacements des points d'expriences sont situs aux sommets du domaine d'tude.

Figure 6 : Les meilleurs emplacements des points exprimentaux sont les sommets du domaine d'tude lorsque le modle postul est du premier degr. Reprsentation d'une tude sous forme de tableau Les reprsentations gomtriques sont commodes et trs parlantes mais ds que le nombre de facteurs est suprieur trois, elles ne peuvent plus tre employes. Pour les espaces multidimensionnels, on adopte une reprsentation en forme de tableau. Pour montrer la correspondance entre les deux reprsentations, gomtrique et tableau, nous allons expliquer la construction du tableau rassemblant les expriences du plan 22 associ la Figure 6. Ce tableau comprend trois colonnes, la premire identifie les essais, la seconde et la troisime indiquent les coordonnes des points d'expriences. L'essai n1 est celui pour lequel les deux facteurs tudis sont aux niveaux bas, 20C (ou - 1 en units codes) et 5 grammes (ou - 1 en en units codes). Cet essai n1 correspond au point A de la Figure 6. L'essai n2 est celui pour lequel le premier facteur est fix au niveau haut, 80 C (ou +1 en units codes) et le second facteur est fix au niveau bas : 5 grammes (ou - 1 en units codes). Cet essai n2 correspond au point B. Ce tableau s'appelle Tableau d'exprimentation s'il est construit avec les units physiques habituelles (Tableau 1) et Plan d'expriences s'il emploie les units codes (Tableau 2). Dans ce dernier cas, on rappelle la signification des units codes en indiquant, pour chaque facteur, leurs valeurs en units physiques habituelles en bas du tableau. Tableau 1 : Tableau d'exprimentation (units courantes). N dessaiTemprature (1)Poids (2)1(A)20c5 grammes2(B)80c5 grammes3(C)20c10 grammes4(D)80c10 grammesLa reprsentation qui utilise les units codes est plus gnrale que celle qui emploie les units physiques habituelles. C'est celle qui est le plus souvent adopte et cest celle que nous utiliserons par la suite. Tableau 2 : Plan d'expriences (units codes).

Les reprsentations gomtriques et les reprsentations par tableaux sont quivalentes. Les tableaux (ou matrices) prsentent l'avantage de pouvoir tre utiliss quel que soit le nombre de facteurs, c'est--dire quel que soit le nombre de dimensions de l'espace exprimental. Il est utile de savoir passer d'une reprsentation l'autre pour bien interprter les rsultats des plans d'expriences.

2.1.2 Prsentation des rsultats d'essais A chaque essai, l'exprimentateur mesure la rponse qu'il a choisie. Par exemple, la rponse de l'essai n 1 est y1. Celle de l'essai n 2 est y2, et ainsi de suite. Ces rponses sont indiques en face chaque essai et sont rassembles dans la colonne Rponse (Tableau 3).

Tableau 3 : Plan dexpriences et rsultats exprimentaux.

2.1.3 Calcul des coefficients Les quatre points d'expriences apportent quatre quations.

La rsolution de ce systme donne la valeur des coefficients :

Connaissant les coefficients, on peut crire le modle de rgression qui servira faire des prvisions y= 0 + 1x1+2x2+12x1x2+e {6}

2.1.4 Signification de 0Si l'on donne x1 et x2 la valeur zro, on dfinit le centre du domaine d'tude. La relation {6} devient alors

Le coefficient 0 est la valeur calcule de la rponse au centre du domaine d'tude. 2.1.5 Signification de 1Plaons nous maintenant au niveau moyen du facteur 2, pour cela donnons la valeur zro x2. La relation {6} devient :

Cette relation permet de tracer l'volution de la rponse prdite dans un plan de coupe x2= 0 (Figure 7). L'effet du facteur 1 apparat comme la variation de la rponse quand on passe du niveau zro au niveau haut du facteur 1.

Figure 7 : Dans le plan moyen du facteur 2, l'effet du facteur 1 est la variation de la rponse entre le centre du domaine dtude et le niveau haut du facteur 1.2.1.6 Signification de 12

La relation {6d} peut s'crire:

L'interaction apparat comme la demi diffrence entre l'effet du facteur 1 au niveau haut du facteur 2 (effet not ef+) et l'effet du facteur 1 au niveau bas du facteur 2 (effet not ef -). Elle traduit une variation de l'effet d'un facteur en fonction du niveau d'un autre facteur. L'interaction entre les deux facteurs 1 et 2 est une interaction d'ordre 2.2.2 Exemple 1 : Amlioration du rendement

2.2.1 Description de l'tude

Un industriel cherche augmenter le rendement de sa fabrication. Il prpare un mdicament partir de plantes naturelles et cherche amliorer le rendement d'extraction du principe actif. L'extraction est effectue en prsence de chlorure de sodium dont la concentration est de 50 grammes par litre et une temprature de 70C. L'industriel dcide d'tudier ces deux facteurs et de les faire varier autour des consignes normales de fonctionnement. D'o les facteurs et le domaine d'tude : Facteur 1 : concentration en chlorure de sodium entre 40 et 60 grammes. Facteur 2 : temprature entre 60C et 80C. La rponse est la masse de produit actif fabriqu. L'industriel excute un plan factoriel complet 22. Ce plan est dfinit par Tableau 4. Les rsultats exprimentaux sont consigns dans la colonne "Rponse".Tableau 4 : Plan dexpriences et rsultats exprimentaux

2.2.2 Interprtation Les calculs sont effectus en utilisant la relation {4}.Tableau 5 : Tableau des effets.

L'effet de la concentration est de 30,5 grammes pour une variation de 10 grammes en chlorure de sodium (Figure 8). On peut donc amliorer la production en augmentant la concentration en chlorure de sodium. L'effet de la temprature est de -10 grammes pour une variation de 10C. Il en rsulte qu'il faut baisser la temprature pour amliorer le rendement.

Figure 8 : Effets de la concentration en chlorure de sodium et de la temprature sur le rendement en produit actif.Pour avoir une vue d'ensemble des rsultats, on trace les courbes isorendement dans le domaine d'tude (Figure 9)

Figure 9 : Courbes isorponses montrant l'influence de la concentration en chlorure de sodium et de la temprature sur le rendement en produit actif.2.3 Plans factoriels k facteurs 2 niveaux On peut augmenter le nombre de facteurs. L'espace exprimental possde autant de dimensions qu'il y a de facteurs et le modle mathmatique correspond la relation {2}. Un plan comportant k facteurs deux niveaux est not 2k. Le k en exposant signifie qu'il y a k facteurs tudis. Le 2 indique le nombre de niveaux par facteur. On remarquera que cette notation indique galement le nombre d'essais raliser. Ce nombre devient rapidement trs important. Pour seulement 7 facteurs, il faudrait excuter 128 essais. Pour diminuer le nombre des essais en conservant la possibilit d'tudier tous les facteurs, les plans factoriels fractionnaires deux niveaux ont t introduits. Exemple: tude dune mulsion de bitume Un fabricant dmulsion de bitume dsire mettre au point une nouvelle formulation. Il possde deux bitumes, le bitume A et le bitume B. Il dsire tudier linfluence dun acide gras et de lacide chlorhydrique sur la stabilit de lmulsion.Ayant trois facteurs , il envisage de raliser un plan 23. Les bases de son tude sont les suivantes:

Facteur 1Acide gras faible(-1) et forte concentration (+1)Facteur 2Acide chlorhydriqueTrs dilu (-1) et peu dilu (+1)Facteur 3

Nature de bitumeA (-1) et B (+1)RponseIndice de stabilit de bitume mesur en points de stabilitLexprimentateur sait que lerreur exprimentale sur la rponse est de 2.Lobjectif vis par lexprimentateur est une mulsion stable, ce qui va se traduire par un indice de stabilit faible.Les rponses yi dans lordre sont: 38; 37; 26; 24; 30; 28; 19; 16N.B La matrice dexprience est tablie selon la reprsentation de Yates. Question: Etablir le modle optimal d une mulsion stable.Conclusion: La concentration de lacide gras est pratiquement sans influence sur la stabilit de l'mulsion. Par contre, la dilution de lacide chlorhydrique est un facteur important effet ngatif. La nature du bitume est galement importante, la meilleure stabilit sera obtenue avec la bitume B (rponse la plus faible). Il ny a aucune interaction significative.La stabilit de lmulsion de bitume sera la meilleure si lacide chlorhydrique est peu dilu et si lon a utilis la bitume B. 3. PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES A DEUX NIVEAUX 2k-q Les plans factoriels fractionnaires sont des plans factoriels qui permettent d'tudier tous les facteurs mais dont le nombre d'essais est rduit par rapport aux plans factoriels complets. Un plan factoriel fractionnaire 2 fois moins, ou 4 fois moins ou 2q fois moins d'essais que le factoriel complet correspondant. A la fin d'un plan factoriel fractionnaire, on a un systme de n quations p coefficients inconnus avec p plus grand que n. On ne sait pas rsoudre un tel systme. Comme on ne peut pas augmenter le nombre d'quations, il faut diminuer le nombre d'inconnues. On y arrive en utilisant un artifice : on regroupe les coefficients de telle manire qu'il y ait n inconnues. On rsout donc un systme de n quations n groupes de coefficients. On appelle ces groupes de coefficients, des contrastes ou des aliases et on dit que les coefficients sont aliases dans les contrastes. 3.1 Notation des plans factoriels fractionnaires

Pour k facteurs prenant deux niveaux le plan complet est not 2k. Le plan fractionnaire, moiti du plan complet possde 1/2 2k ou 2k-1 essais. On peut donner une signification chaque caractre de cette notation : Le k signifie qu'il y a k facteurs tudis. Le 2 signifie que chaque facteur prend deux niveaux. Le 1 signifie que le nombre d'essais du plan a t divis par 21.

Un plan 25-2 permet d'tudier cinq facteurs prenant chacun deux niveaux en 8 essais. Le plan complet a t divis par 22 = 4. Un plan 2k-q permet d'tudier k facteurs prenant chacun deux niveaux. Le plan complet a t divis par 2q.

3.2 Application au plan factoriel fractionnaire 23-1 On veut tudier 3 facteurs en ne faisant que 4 essais. On prend la prcaution de choisir les 4 essais pour que la matrice X soit une matrice orthogonale d'Hadamard. Les 4 points choisis sont disposs comme l'indique la Figure 10.

Figure 10 : Un plan factoriel complet 23 peut tre divis en deux plans factoriels fractionnaires 23-1, un plan noir et un plan gris. Le modle mathmatique de la rponse d'un plan factoriel 3 facteurs comporte 8 coefficients (modle 1) :

Si on effectue 4 essais, on obtient un systme de quatre quations 8 inconnues :

On ne sait pas rsoudre le systme {11}. Comme il n'y a que 4 essais, on ne peut calculer que 4 inconnues. On adopte le modle (modle 2) :

On sait calculer les contrastes li du modle 2. Mais la difficult est d'arriver interprter ces contrastes pour remonter aux coefficients.3.3 Application au plan factoriel fractionnaire 25-2 Le modle 1 du plan complet comporte 32 coefficients inconnus. Le modle 2 est tabli avec 8 essais de telle manire que la matrice soit une matrice orthogonale d'Hadamard. On obtient, par exemple, le plan d'expriences d'une telle matrice en prenant les colonnes 1, 2, 3, 12 et 13 de la matrice de calcul d'un plan 23 (Tableau 6). Les niveaux d'tude du facteur 4 sont donns par les signes de l'interaction 12 et ceux du facteur 5 par les signes de l'interaction 13.Tableau 6 : Plan d'expriences du plan factoriel fractionnaire 25-2.

On obtient un systme de 8 quations 32 inconnues qui s'crit sous forme matricielle :

Pour rduire le nombre des inconnues, on introduit 8 contrastes.

La meilleure faon de savoir comment les coefficients sont aliass dans les contrastes, est de faire appel aux logiciels. Dans les cas simples, on peut utiliser le calcul de Box. Pour cet exemple on trouve :

3.4 Le pari des plans fractionnaires D'aprs les relations {13} et {16} un contraste n'est gal un effet principal que si les interactions avec lesquelles il est alias sont ngligeables. C'est donc le pari que l'on fait quand on ralise un plan fractionnaire. On espre que les interactions sont assez faibles pour tre ngliges. A chaque fois que ce sera le cas, on aura gagn. Mais si l'interaction est forte il faudra faire des essais supplmentaires pour valuer individuellement l'effet principal d'un ct et les interactions de l'autre. Le problme qui se pose toujours est de savoir si un contraste contient ou non une interaction non ngligeable. C'est le point dlicat de l'interprtation des plans fractionnaires. On rsout ce problme en connaissant bien la thorie des aliases et en appliquant intelligemment les hypothses d'interprtation (paragraphe suivant). Mais rien n'est ici automatique et l'exprimentateur devra mettre en oeuvre son bon sens et les connaissances qu'il a du phnomne tudi. 3.5 Les hypothses d'interprtation Tous les plans fractionnaires posent le mme problme d'interprtation des rsultats. Comme on n'effectue pas toutes les expriences du plan complet, on ne peut pas obtenir la valeur de toutes les interactions. Il faut crer soi mme des informations supplmentaires de remplacement. Ces informations supplmentaires doivent tre ralistes et compatibles avec l'tude mene. Elles sont introduites sous forme d'hypothses et elles demandent tre vrifies avant la conclusion de l'tude. Les hypothses de travail les plus souvent retenues sont les suivantes : Hypothse 1 Les interactions d'ordre 3 (interaction entre 3 facteurs) ou d'ordre plus lev sont considres comme ngligeables. On limine ainsi un grand nombre d'inconnues. Mais attention cette hypothse peut parfois tre mise en dfaut. Hypothse 2 Si un contraste est nul, cela peut signifier : que les effets et les interactions aliass sont tous nuls. Cest lhypothse la plus probable et cest celle que nous retiendrons sous le nom dhypothse 2. - que les effets et les interactions aliass se compensent. Cette hypothse est peu probable et nous ne la retiendrons pas. Hypothse 3 Si deux contrastes sont faibles, on supposera que leur interaction l'est aussi. Si un contraste est faible et l'autre fort, on supposera que leur interaction est faible.

Hypothse 4 Si deux contrastes sont forts, on se mfiera de leur interaction qui peut l'tre galement.

Les hypothses prsentes ici sont trs souvent vrifies mais, il arrive parfois qu'elles soient mises en dfaut. Il est toujours possible d'en adopter d'autres en fonction du problme trait et des risques encourus. Pour une bonne analyse des rsultats il est prudent de toujours bien prciser les hypothses d'interprtation que l'on a retenues. 3.6 Construction pratique d'un plan fractionnaire On choisit un plan complet et l'on crit sa matrice de calcul en omettant la colonne de signes plus. On appelle cette nouvelle matrice le plan de base. Dans ce plan de base, on choisit une colonne de signes correspondant une interaction et on l'attribue un facteur supplmentaire. Les signes de l'interaction choisie deviennent les niveaux d'tude (haut et bas) de ce facteur supplmentaire. Dans l'exemple du paragraphe 3.3, on aurait pu aliaser le facteur 4 (ou le facteur 5) sur une autre interaction, on aurait eu d'autres points exprimentaux et d'autres aliases. On peut gnraliser cette mthode et utiliser toutes les colonnes d'un plan de base. Par exemple sur le plan de base bti sur la matrice de calcul d'un plan 23 on peut tudier sept facteurs. Sur le plan de base d'un plan 24, on peut tudier jusqu' quinze facteurs. 3.7 Nombre maximum de facteurs tudis sur un plan de base On peut tudier autant de facteurs supplmentaires qu'il y a d'interactions dans le plan de base. Sur un plan de base 22 il y a une interaction. On pourra donc tudier 3 facteurs, deux sur les colonnes 1 et 2, le troisime sur la colonne de l'interaction. Sur un plan de base 23, il y a quatre interactions. On pourra donc tudier 7 facteurs. Trois sur les colonnes 1, 2 et 3. Les quatre autres sur les colonnes d'interaction 12, 13, 23 et 123. Le Tableau 7 indique le nombre maximum de facteurs que l'on peut tudier sur diffrents plans de base.

3.8 Exemple 2 : Le gteau d'anniversaire 3.8.1 Description de l'tude La petite Lucie a dcid de confectionner un gteau pour son anniversaire. Comme la recette n'est pas trs claire et que les conseils recueillis auprs de la famille sont divergents, Lucie entreprend de raliser un plan d'expriences pour connatre l'influence des quantits de produits et de la manire d'oprer

Lucie retient les facteurs suivants : La temprature du four. La dure de cuisson. La quantit de farine. La quantit de sucre. Le nombre d'ufs. La rponse est la hauteur du cake mesure en millimtres. Plus, il sera haut meilleur sera le rsultat. Comme elle ne veut pas prparer 32 gteaux, Lucie dcide d'excuter un plan factoriel fractionnaire 25-2 en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le facteur 5 sur l'interaction 13. Ce plan est donn par le Tableau 9 dans lequel figurent galement les rponses mesures.

Les contrastes sont obtenus avec un logiciel ou avec le calcul de Box. On les simplifie en tenant compte des hypothses d'interprtation (Hypothse 1) :

Les coefficients sont calculs avec la relation {4}, on trouve :

Ces rsultats sont illustrs par Figure 11. On constate que cinq contrastes sont faibles. D'aprs l'hypothse 2, on peut conclure que les effets et les interactions aliass dans ces contrastes sont tous faibles. On peut donc ngliger les facteurs Dure (2), Farine (3) et Sucre (4).

En revanche les contrastes L1 et L5 ne sont pas ngligeables. Il faut donc se mfier de l'interaction L15 qui pourrait tre forte (Hypothse 4). Cette interaction est aliase avec le facteur 3 dans le contraste . Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothse 2). On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du gteau, la Temprature (1) et le nombre d'ufs (5). Il n'y a pas d'interaction entre ces deux facteurs. Exemple: Optimisation dun dpropaniseur1: Description de ltude: Les gaz naturels propane et butane ont des usages industriels qui ncessitent dobtenir chacun deux avec une trs grande puret. Ces gaz sont extrait du ptrole sous forme de mlange. Il est ncessaire de les sparer pour quils soient purs et conformes aux spcifications. Cette opration de sparation est ralise dans une unit de distillation particulire qui porte le nom de dpropaniseur. Cette unit est principalement constitue dune colonne de distillation alimente par une charge compose dun mlange de butane et de propane. Cette charge est introduite soit au niveau du plateau 20, soit celui de 21. Le butane sort en bas de la tour et le propane en haut. En bas de la tour, les traces de propanes qui restent dans le butane sont limines grce au rebouilleur et sont recycles dans la colonne. En haut de la tour, les traces de butane qui restent dans le propane sont limines par le condenseur et sont recycles dans la colonne. On obtient ainsi un butane et un propane purs.Le cot de fonctionnement de cette unit est proportionnel lnergie dpense dans la tour de distillation, dans le rebouilleur et le condensateur. 2: Objectif de ltude: On dsire connatre les rglages du dpropaniseur qui minimisent le cot de lnergie dpense pour la sparation des gaz butane et propane.

CondenseurRebouilleur2021DpropaniseurF1F3F4PropaneButane + PropaneChargeButaneF2F1: Pression au condensateurF2: Temprature de la charge lentre de lunit.F3: Numro du plateau ou lon introduit la charge.F4: Taux de recyclage au rebouilleur. 3: Rponse : La rponse est la dpense, en dirhams, correspondant un rglage donn du dpropaniseur.4: Facteurs et domaine dtude :

FacteursNiveau -1Niveau +1

Pression au condensateurBasseForteTemprature de la charge70C80CNumro du plateau2021Taux de recyclageFaibleElev5: Modlisation mathmatique: Le modle mathmatique choisi priori est un modle polynomial classique de premier degr: y= a0+a1x1+a1234 x1x2x3x4Ce modle mathmatique comporte 16 cfficients, soit 16 inconnues.6: Choix du plan dexpriences: Lexprimentateur dcide dtudier 4 facteurs en ne faisant que 8 essais. Il prvoit donc dexcuter un plan fractionnaire 24-1. Lexprimentateur aliase le facteur supplmentaire sur linteraction 123 et il peut crire 4=123 et en dduire le gnrateur daliases du plan factoriel fractionnaire: I=1234 .

Lexprimentateur prvoit galement de vrifier la validit du modle. Pour cela, il faut dune manire gnrale ajouter un ou plusieurs points de contrle , situ(s) si possible dans le centre du domaine dtude. Dans le prsent exemple, le facteur Numro du plateau est discontinu et l exprimentateur ne peut pas placer des points de contrle en ce centre. Il dcide de mettre un point de contrle au centre de lespace dfini par les trois facteurs continus. Il y a deux points possible, lun situ au niveau haut du facteur 3 (essai n9) et lautre situ au niveau bas (essai n10) du mme facteur . Essai1234dh1-1-1-1-124,621-1-1136,23-11-1120,6411-1-156,65-1-11121,461-11-159,47-111-124,68111136,69001034,81000-1035,37: Ralisation des essaisCoefficients estims pour Y l'aide des donnes des units non codes

Terme CoeffConstante 35,0000P 12,2000T -0,400000N 0,450000D -6,30000P*T -0,200000P*N 0,300000P*D -4,50000

Matrices dexpriences de criblage Matrices DHADAMARD

Pour chacun des facteurs tudis on choisit deux valeurs appeles respectivement

niveau basniveau hautnot -not +Si le facteur est qualitatif ce sont les deux niveauxSi le facteur est quantitatif ce sont deux valeurs choisies dans la plage de variation du facteur

LES MATRICES D HADAMARDCes matrices existent pour un nombre dexpriences N, multiple de 4 et se construisent selon un algorithme qui donne la 1re ligne de la matrice dexpriences, les autres lignes tant gnres par permutation circulaire de cette 1re ligne et la dernire ligne tant une ligne ne comportant que des signes (-)n=4n=8n = 12n = 16n = 20Hadamard (5)LES MATRICES D HADAMARD

Exemple: Etude de la formation de Xynalase par Sclerotium rolfsii: effet des substrats de croissance et dveloppement dun milieu de culture.FACTEURSNIVEAU(-)NIVEAU(+)F1Alpha-cellulose g/l3060F2Peptone (hydrolyse trypsine) g/l2448F3NH4NO3 g/l2.85.6F4KH2PO4 g/l 0.81.6F5MgSO4,7H2O g/l1.02.0F6KCl g/l0.40.8F7Oligo-lments g/l0.00.5F8ZnSO4,7H2O g/l

1.02.0F9MnCl2,4H2O g/l

0.30.6F10CoCl2,6H2O g/l2.03.0F11CuSO4,5H2O g/l0.10.31- Domaine Exprimental: 2- Rponses Exprimentales: Production de XynalaseLES MATRICES D HADAMARD

3-Matrice dExpriences: Le but de ltude est destimer le poids de chacun des facteurs tudis, tous les facteurs prenant 2 niveaux distincts. La matrice adquate est une matrice dexpriences dHadamard (ou Plackett Burman). Ces matrices permettent de peser k facteurs en N expriences .Ce type de matrice dexpriences nexiste que pour des nombres dexpriences multiple de 4, appels nombre dHadamard. Dans ce cas, le nombre de facteurs tudis est 11; il faudra donc au minimum 12 expriences pour estimer le poids de ces 11 facteurs.Exemple : Matrice dHadamardABCDEFGHJKLy1-11-1-1-1111-1119411-11-1-1-1111-1261-111-11-1-1-11112891-111-11-1-1-11116511-111-11-1-1-11281111-111-11-1-1-1264-1111-111-11-1-1318-1-1111-111-11-1252-1-1-1111-111-112241-1-1-1111-111-1200-11-1-1-1111-111314-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1232

Plan factoriel : y en fonction de A; B; C; D; E; F; G; H; J; K; L

Effets et coefficients estims pour y (units codes)

Terme Effet CoeffConstante 249,50A -44,00 -22,00B 76,67 38,33C -5,00 -2,50D 1,33 0,67E 4,33 2,17F -4,00 -2,00G 20,67 10,33H 4,00 2,00J -3,67 -1,83K -5,33 -2,67L -10,00 -5,00